автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Анализ однолинейных систем массового обслуживания конечной емкости с зависимым обслуживанием

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С МАРКОВСКИМ

ПОТОКОМ И ПРОИЗВОЛНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ЧИСЛА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ.

§ 1. Описание системы.

§ 2. Линейчатый марковский процесс и Система уравнений.

§ 3. Решение системы уравнений.

§ 4. Вычисление матричных экспоненциальных моментов.

§ 5. Стационарные вероятности и показатели производительности.

§ 6. Вложенные цепи Маркова.

§ 7. Выходящий поток.

§ 8. Численные примеры.

ВЫВОДЫ.

Глава 2. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С МАРКОВСКИМИ

ПОТОКАМИ, ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ДЛИН ОЧЕРЕДЕЙ

§ 1. Описание системы.

§ 2. Линейчатый марковский процесс и Система уравнений.

§ 3. Решение системы уравнений.

§ 4. Вычисление матричных экспоненциальных моментов.

§5. Вычисление стационарных вероятностей.

§ 6. Основные показатели производительности системы.

§ 7. Цепи Маркова, вложенные по моментам поступления заявок или окончания их обслуживания.

§8. Численные примеры.

ВЫВОДЫ

Глава 3. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С МАРКОВСКИМИ

ПОТОКАМИ, АБСОЛЮТНЫМ ПРИОРИТЕТОМ И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ДЛИН ОЧЕРЕДЕЙ

§ 1. Система уравнений.

§2. Решение уравнений.

§ 3. Стационарные вероятности состояний системы и показатели производительности.

§ 4. Вложенные Цепи Маркова.

§5. Численные примеры.

ВЫВОДЫ.

Последние годы характеризуются стремительным развитием разнообразных вычислительных средств и создаваемых на их базе информационно-вычислительных сетей, цифровых сетей с интеграцией служб и др. Основное назначение сетевых систем такого типа—это передача и обработка потоков информационных сообщений, которые по своей природе носят стохастический характер. В силу этого, как на этапе создания сетевых систем, так и в процессе их функционирования приходится решать ряд математичских задач, связанных с оценкой производительности сетевых систем и их компонентов. Известно, что одним из основных математических инструментов, позволяющих строить адекватные вероятностные модели для получения количественных оценок показателей функционирования сетевых систем и осуществлять анализ этих моделй, является аппарат теории массового обслуживания (ТМО) [13, 20, 32, 40-42, 46, 47, 51, 56, 64, 65, 68, 69, 79-81, 87]. Эффективность использования систем массового обслуживания (СМО) и сетей массового обслуживания (СеМО) для аналитического моделирования различного рода сетевых систем и их компонентов нашла свое обоснование в большом числе книг и обзоров [5, 9, 13, 14, 16, 44, 45, 40, 48, 50, 54, 59, 60].

Однако, при построении моделей ТМО для оценки производительности современных цифровых сетей [19, 44, 59, 60] в ряде случаев оказывается, что известные классические потоки—пуассоновский, эрланговский и, в общем случае, рекуррентный потоки—не вполне корректно моделируют реальные потоки пакетов, циркулирующих в сетях. Это в основном связано с тем, что рекуррентные потоки отражают только ситуации, когда интервалы между событиями потоков независимы между собой, что не всегда присуще реальным потокам. Этот недостаток рекуррентного потока в определенной степени был устранен с появлением марковского потока заявок (Markov arrival process—MAP) ([78]), который позволяет учитывать зависимости интервалов между смежными событиями потока, и в этом смысле является более общим по сравнению с рекуррентным потоком. В последние годы исследованию СМО с марковскими потоками заявок посвящено большое число публикаций. В частности, в работах [61, 70, 73, 74, 88, 89] отражены результаты исследования СМО с марковскими потоками, являющихся моделями различных компонентов цифровых сетей с одновременной передачей данных, речи и видеосигналов.

В целом ряде практических ситуаций процесс обслуживания заявок сопряжен с выполнением специальных требований, что приводит к появлению нестандартных моделей ТМО. К последним, например, можно отнести СМО, в которых параметры обслуживания тем или иным образом зависят от состояния очереди. Особый интерес вызывают при этом системы, в которых такого рода зависимость служит для управления механизмом обслуживания. В результате такого управления появляется возможность изменять не только скорость (интенсивность) обслуживания, но и само распределение времени обслуживания. Однако, до недавнего времени в ТМО ограничивались в основном лишь исследованием классических моделей, в которых интервалы между поступлениями заявок и длительности их обслуживания являются независимыми случайными величинами, что в ряде случаев не вполне адекватно отражает процессы очередей в реальных системах. Этот факт отмечается, например, в монографии

Другим видом специальных требований, накладываемых на процесс обслуживания в реальных сетевых системах, часто бывает приоритетный механизм обслуживания. В этих случаях процессы очередей более адекватно описываются приоритетными СМО. Например, приоритетный механизм обслуживания часто используется в цифровых сетях с интеграцией служб, в которых одновременно могут передаваться различные виды сигналов: данные, речь, видеосигналы, и др. В частности, принцип обслуживания с относительным приоритетом (без прерывания обслуживания) ([15]) используется при аналитическом моделировании системы сигнализации N 7 ([82]), которая является необходимой составляющей ряда современных цифровых сетей—телефонных сетей общего пользования, мобильных сетей, при реализации концепции интеллектуальных сетей [55] и т.д.

Еще одним важным практическим требованием, которое нельзя игнорировать при аналитическом моделировании процессов очередей, является ограничение на объемы буферных накопителей в реальных сетевых системах. СМО с накопителями конечной емкости являются более сложным объектом для аналитического изучения. Это связано с невозможностью применения для моделей с конечными очередями метода производящих функций и других традиционных методов ТМО. Поэтому значительная часть публикаций, связанных с оценкой производительности сетевых систем, посвящена анализу СМО с неограниченными накопителями. В некоторых случаях приближения такого рода дают вполне удовлетворительные результаты при решении реальных задач. Но это далеко не всегда так. Как показано в [13], глава 5, характер поступающего потока заявок также, как и распределение длительности обслуживания, может внести существенные коррективы в количественные оценки показателей производительности сетевых систем. Примером этого может служить резко выраженная зависимость вероятности потерь в однолинейной СМО с ограниченным накопителем от значения коэффициентов вариации интервалов между поступлениями заявок и длительностей их обслуживания. Неучет этого фактора при замене ограниченного накопителя на неограниченный может привести к совершенно неприемлемым результатом, так как вероятность потерь при одной и той же нагрузке, но различных значениях соответствующих коэффициентов вариации может различаться на несколько порядков.

В связи с этим предметом нашего исследования в данной диссертационной работе будут СМО с зависимым приоритетным обслуживанием марковских потоков заявок, в которых введены ограничения на емкости буферных накопителей.

Перейдем теперь к обзору основных публикаций в ТМО, посвященных анализу указанного выше класса СМО. Для упрощения изложения материала мы будем в дальнейшем использовать модифицированные обозначения Кендалла. В этой связи кратко напомним основные символы, используемые при описании этих обозначений.

Предметом нашего исследования являются однофазные СМО, которые кодируются в виде А/В ¡с/г. Здесь символ А обозначает тип потока заявок, входящего в СМО, символ В—тип обслуживания заявок, с—число обслуживающих приборов и, наконец, г—емкость буферного накопителя. Наиболее часто в ТМО для обозначения типов потоков и обслуживания используются следующие коды: М— пуассоновский поток или экпоненциальное обслуживание, D—детерминированный поток или обслуживание, Н—гиперэкспоненциальный поток или обслуживание, Е—эрланговкий поток или обслуживание, РН—поток или обслуживание фазового типа, MAP—марковский поток, GI—произвольный рекуррентный поток, G—произвольное рекуррентное обслуживание. При этом данные коды могут иметь нижние индексы, которые обозначают число входящих потоков и соответственно видов обслуживания такого типа. Например, символ М2 на первом месте означает, что в систему поступают два пуассонов-ских потока, а на втором месте,—что заявки обоих типов имеют экспоненциальные распределения с различными параметрами. Соответствующий символ, сопровождаемый обозначением (к), например РН(к), обозначает зависимость соответствующего потока или обслуживания от числа к заявок, находящихся в системе.

В некоторых случаях дополнительно на последнем месте в кодированном обозначении указывается дисциплина обслуживания, т.е. порядок выбора заявок из накопителя на приборы. В частности, это важно для приоритетных СМО, для которых иногда требуется даже указать приоритет заявок при поступлении в переполненную систему. В этом случае возможен один из случаев: либо поступающая заявка независимо от ее типа теряется и вновь не возвращается в систему, либо, если это приоритетная заявка, то она вытесняет из накопителя одну из неприоритетных заявок, которая при этом теряется. Для обозначения приоритетных дисциплин обслуживания будем пользоваться символом /] ([12]), где верхний индекс г обозначает дисциплину постановки заявок в очередь, а нижний 3—дисциплину выбора заявок: если г = 0, то заявка любого типа, поступающая на переполненную СМО, теряется, а при % = 2—поступившая приоритетная заявка вытесняет из накопителя одну из неприоритетных заявок; при 3 = 1 приоритетные заявки имеют относительный приоритет (без прерывания обслуживания), а при 3 = 2—абсолютный приоритет (с прерыванием обслуживания).

Однолинейные СМО с временем обслуживания заявок, зависящим от состояния системы, исследовались в работах [1-4, 25, 43, 66, 67, 71, 84-86], где были изучены разные типы зависимости времен обслуживания от состояния системы. При этом в этих работах результаты получены лишь для случая одного потока. Монография [1] и работы [2-4] посвящены в основном предельным результатам для систем с неограниченными накопителями и зависимым обслуживанием. В работе [25] рассматривалась СМО РН/РН/1/г с входящим потоком и обслуживанием фазового типа, зависящими от состояния очереди, а также с учетом обратной связи на входе и выходе системы. В этой работе был получен матричный алгоритм для вычисления стационарных вероятностей состояний СМО и выведены соотношения для вычисления ряда показателей ее производительности. В работе

43] рассматривалась задача выбора оптимальной пороговой стратегии переключения скорости обслуживания заявок в двухскоростной ненадежной СМО М/G/l неограниченной емкости, в которой ФР времени обслуживания для первой скорости является экспоненциальной, а для второй скорости имеет произвольный вид. В [66] подобная задача решалась для аналогичной СМО с групповым пуассоновским потоком. В [67] изучалась СМО MMPP/M/1/r конечной емкости с гистерезисным управлением механизмом обслуживания. В отличие от других работ для исследуемой в [67] системе ФР времени обслуживания для конкретной заявки может меняться до завершения ее обслуживания. В [71] изучалась СМО М/G/l бесконечной емкости, имеющая функцию распределения (ФР) времени обслуживания Bk(t) для случая, когда число заявок в системе в момент начала обслуживания равно к < if, и B(t) для случая, когда к > К. Ряд результатов для СМО М/G/l бесконечной емкости для случая, когда ФР времени обслуживания зависит от длины очереди, получен в работах [84-86]. В [89] для СМО MAPJGJ1 бесконечной емкости рассматривался другой тип зависимости, когда время обслуживания зависит от состояния управляющего марковского процесса. В работе [39], основные результаты которой получены автором, анализировалась СМО MAP/G(k)/l/r с функциями распределения времени обслуживания, зависящими от числа заявок, находящихся в системе в момент выбора очередной заявки на обслуживание, для которой были получены матричные рекуррентные формулы для расчета стационарного распределения вероятностей состояний системы. Полученные в [39] результаты обобщают выводы для СМО MAP/G/1/r для случая, когда времена обслуживания заявок не зависят от состояния системы, изученной в [34-37].

Приоритетные СМО являются одним из важнейших типов систем, исследуемых в ТМО. Результаты для приоритетных СМО с неограниченными накопителями отражены в монографиях [40, 42, 87], а также в справочнике по ТМО [69].

Приоритетные системы конечной емкости, представляющие собой отдельный объект исследования. Начало исследования таких систем было положено Г.П.Башариным в работе [10], где для анализа многолинейной СМО М2/М/с/г//У с общим ограниченным накопителем был впервые предложен матрично-алгоритмический подход, позволивший получить рекуррентный алгоритм для вычисления стационарного двумерного распределения длин очередей в данной СМО. Матрично-алгоритмический подход позже был развит в целом ряде других публикаций ([13, 14, 29, 32, 53, 80, 81] и др.). В [10] также было получено выражение для преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) времени ожидания приоритетных заявок и, кроме того, рассмотрен случай раздельных конечных накопителей. В работе [49] выводы [10] были обобщены на случай произвольного числа потоков. СМО Мк/М/с/г//1 с к входящими потоками исследовалась в работе [91], где были выведены явные выражения для распределений длин очередей каждого типа. Аналогичная СМО для случая произвольного обслуживания изучалась в [52].

Анализу однолинейных СМО конечной емкости с относительным приоритетом при общей очереди в литературе посвящен ряд работ [21-23, 30, 33]. В этих работах анализировались СМО с пуас-соновскими входящими потоками: в [30] рассматривалась система М2/М2/1/Г/Д0, в [21]—система М2/Я2/1/г//?, в [22]—система М2/С*2/ 1/г//1 и в [23]—система М2/С?2/1/г//°. Основными результатами этих работ являются рекуррентные формулы и рекуррентно-матричные алгоритмы для расчета совместного стационарного распределения длин очередей. В [33] было выведено условие существования равновесного режима СМО М2/С/1 с относительным приоритетом с двумя накопителями—конечным для приоритетного потока и бесконечным для неприоритетного потока. Получен также алгоритм для вычисления распределения очереди приоритетных заявок и факториальных моментов длины очереди неприоритетных заявок. Анализ СМО с потоками фазового типа и относительным приоритетом проводился в работах [6-8]. Исследуемая в этих работах СМО РЯ2/РЯ2/1/г1,Г2//10 с потоками и временами обслуживания, характеризуемыми распределениями фазового типа (РН~распределениями), имеет раздельные накопители для каждого типа заявок.

Исследованию однолинейных СМО с общим ограниченным накопителем и абсолютным приоритетом посвящены работы [6, 11, 28]. В работе [11] исследовалась СМО М2/М2/1/г//2, для которой были получены рекуррентные формулы для вычисления стационарного двумерного распределения длин очередей. В работах [6, 28] анализировалась СМО РН2/РН2/1 /г//2 с распределениями фазового типа, для которых был получен матрично-рекуррентный алгоритм для вычисления стационарного распределения вероятностей состояний соответствующего марковского процесса.

В работе [24] был разработан унифицированный алгоритм для нахождения стационарного распределения вероятностей состояний линейчатого марковского процесса, описывающего функционирование СМО М2/Су2/1 Для совокупности приоритетных дисциплин обслуживания {/?, Д2, /|}.

Приоритетные системы с марковскими входящими потоками изучались в работах [88-90, 34-37]. В работах [88-90] исследовалась СМО МАР2/С2/1 с двумерным марковским потоком и относительным приоритетом при бесконечной емкости накопителей, где ряд результатов для стационарного режима функционирования системы был получен в терминах производящих функций. Система М АР2/^2/1/г//1 с относительным приоритетом была подробно изучена в работах

34, 35], где выведен матричный алгоритм для расчета стационарного распределения линейчатого марковского процесса, описывающего поведение СМО, а также получены выражения для определения стационарных вероятностей цепей Маркова, вложенных по моментам поступления заявок или окончания их обслуживания. Также в этих работах получено выражение для ПЛС для стационарной ФР времени ожидания приоритетных заявок при обслуживании их согласно дисциплине Аналогичные результаты были получены в работах [36, 37] для подобной системы в предположении, что выбор заявок на обслуживание производится с абсолютным приоритетом. В работах [39, 62], основные результаты которой были получены автором, результаты работ [34-37] были обобщены на случай приоритетных систем МАР2/в2(к)/1/г/Д0 и МАР2/02(к)/1/г/$ с зависимым обслуживанием.

Актуальность работы. Оценка производительности бурно развивающихся в последнее время сетевых систем является одной из важных и актуальных теоретических проблем информатики. Наиболее действенным инструментом аналитического моделирования сетевых систем является теория массового обслуживания.

Системы массового обслуживания, являющихся моделями процессов очередей в сетевых системах, часто имеют целый ряд особенностей. Прежде всего, потоки заявок могут не быть пуассонов-скими, а в некоторых случаях они не являются даже рекуррентными, так как интервалы между смежными заявками могут быть зависимыми. С другой стороны, длительности обслуживания заявок могут зависеть от состояния очереди, что позволяет решать задачу управления механизмом обслуживания. Также при выборе заявок на обслуживание возможны ситуации, когда определенный тип заявок пользуется тем или иным приоритетом, который может допускать обслуживание текущей заявки без прерывания либо прерывать его. Естественно считать, что длительности обслуживания заявок могут в общем случае носить случайный характер. Одним из существенных факторов, учет которых необходим для адекватного построения модели,—это ограниченность буферных накопителей в узлах сетевых систем. Вследствие этого возникает необходимость анализа моделей конечных очередей.

В рамках этих особенностей наиболее изучены к настоящему времени системы конечной емкости с марковскими потоками заявок при произвольных распределениях длительностей их обслуживания как для случая бесприоритетного обслуживания, так и для случаев относительного и абсолютного приоритетов. Исследование возможности зависимости времен обслуживания заявок для СМО конечной емкости с марковскими потоками для случая произвольных распределений длительностей обслуживания ранее в литературе не проводилось. Поэтому тема диссертационной работы представляется актуальной.

Целью диссертационной работы является:

1. Развитие аналитических методов и разработка алгоритмов для вычисления стационарных характеристик качества функционирования однолинейных бесприоритетных и приоритетных СМО конечной емкости с марковскими потоками заявок и произвольным обслуживанием, зависящим от состояния очереди.

2. Создание на основе теоретических результатов комплекса программ для анализа стационарных вероятностно-временных характеристик исследуемых СМО.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Развиты методы анализа однолинейных бесприоритетных и приоритетных СМО конечной емкости с марковскими потоками заявок и произвольным обслуживанием, зависящим от состояния очереди, на основе которых выведены рекуррентные матричные алгоритмы для вычисления стационарных распределений длин очередей как для произвольного момента времени, так и для моментов поступления заявок или окончания их обслуживания найдены выражения для ряда других показателей производительности систем.

2. На базе полученных теоретических результатов разработан комплекс программ на языке Турбо Паскаль для расчета стационарных вероятностно-временных характеристик исследуемых СМО.

Методы исследования. В диссертационной работе в основном используются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, матричной алгебры и численные методы.

Обоснованность научных положений. Все полученные в диссертации результаты полностью обоснованы корректными математическими доказательствами и подтверждены проведенными численными исследованиями.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации, могут найти свое применение при аналитическом моделировании сетевых систем. Результаты диссертации дают возможность более адекватно моделировать процессы очередей в реально существующих сетевых системах. К результатам диссертации относятся также программы, разработанные для полученных при теоретическом исследовании вычислительных алгоритмов и включенные в программный комплекс для расчета систем и сетей массового обслуживания, разрабатываемый в РУДН. Эти результаты могут быть использованы в учебном процессе для студентов направления "Прикладная математика и информатика" в курсе "Стохастическое моделирование" и при подготовке курсовых и выпускных работ, а также при выполнении магистерских диссертаций по программе "Теория вероятностей и математичекая статистика".

Реализация результатов работы. Исследование однолинейных систем массового обслуживания конечной емкости с марковскими потоками при произвольном обслуживании, зависящим от состояния очереди, проводилось в рамках НИР "Разработка математических методов и алгоритмов анализа цифровых систем с интеграцией служб (государственный регистрационный номер 01.960.0 09077), выполняемой в соответствии с координационными планами РУДН, а также по гранту РФФИ № 99-01-00034 "Стохастические сети: моделирование, анализ производительности и устойчивости".

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на ХХХ1У, ХХХУ и ХХХУ1 научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1998-2000 гг.), а также на научном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН (1998-2000 гг.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 работ, из них две в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Каждая глава состоит из параграфов, при этом нумерация формул, теорем и рисунков внутри каждого параграфа осуществляется с указанием его номера. При ссылках на формулы, теоремы и рисунки из другой главы указывается дополнительно номер главы.

Основные результаты выполненных исследований заключаются в следующем:

1. Для случаев как бесприоритетного, так и приоритетного обслуживания выведены рекуррентные матричные алгоритмы расчета стационарных вероятностей состояний систем в произвольные моменты времени и формулы для вычисления основных показателей их производительности.

2. Для всех изученных систем получены стационарные распределения цепей Маркова, вложенных либо по моментам поступления заявок, либо по моментам окончания их обслуживания.

4. Для системы с одним входящим марковским потоком получено преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарной функции распределения интервалов между выходами заявок.

5. На основе разработанных вычислительных алгоритмов составлены программы на языке Турбо Паскаль для расчета стационарных распределений длин очередей и проведен численный анализ ряда показателей производительности исследуемых систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследовались однолинейные системы массового обслуживания с ограниченным накопителем для марковских потоков заявок с произвольными распределениями длительностей обслуживания, зависящими от числа заявок в системе в момент начала обслуживания очередной заявки. Рассматривались три случая: система с одним марковским входящим потоком; система с двумя марковскими потоками с относительным приоритетом при обслуживании; система с двумя марковскими потоками с абсолютным приоритетом и повторением обслуживания прерванной заявки.

1. Абрамов В.М. Исследование системы с обслуживанием, зависящим от длины очереди. Душанбе: Изд-во Донищ, 1991.

2. Абрамов В.М. Некоторые предельные теоремы для одноканаль-ной системы, интенсивность обслуживания которой зависит от длины очереди // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. N 5. С. 53-57.

3. Абрамов В.М. Предельные теоремы для некоторых совместных распределений одноканальной системы с интенсивностью обслуживания, зависящей от длины очереди, I // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1982. N 2. С. 135-138.

4. Абрамов В.М. Предельные теоремы для некоторых совместных распределений одноканальной системы с интенсивностью обслуживания, зависящей от длины очереди, II // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. N 2. С. 115-119.

5. Авен О.И., Гурин H.H., Коган Я.А. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем. М.: Наука, 1982.

6. Алъборес Ф.Х., Бочаров П.П. Об однолинейной системе обслуживания конечной емкости с распределениями фазового типа и абсолютным приоритетом // Автоматика и телемеханика. 1987. N 12. С. 93-103.

7. Алъборес Ф.Х., Бочаров П.П. Анализ двух ограниченных очередей с относительным приоритетом в однолинейной системе обслуживания с распределениями фазового типа // Автоматика и телемеханика. 1993. N 12. С. 96-107.

8. Артамонов Г.Т., Брехов О.М. Аналитические вероятностные модели функционирования ЭВМ. М.: Энергия, 1978.

9. Башарин Г.П. Об обслуживании двух потоков с относительным приоритетом на полнодоступной системе с ограниченным числом мест для ожидания // Изв. АИ СССР. Техническая кибернетика. 1967. N 2. С. 72-86.

10. Башарин Г.П. Об обслуживании двух потоков на однолинейной системе с ограниченным числом мест для ожидания и абсолютным приоритетом // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1967. N 5. С. 31-49.

11. Башарин Г.П. О пуассоновских обслуживающих системах с абсолютным приоритетом и обратной связью // Массовое обслуживание в системах передачи информации. М.: Наука, 1969. С. 1-12.

12. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989.

13. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Спесивое С.С. Об алгоритмическом и программном обеспечении методов аналитического моделирования информационно-вычислительных систем и их компонентов // Препринт НСК АН СССР. М.: ВИНИТИ. 1983.

14. Башарин Г.П., Самуилов К.Е. Об однофазной системе массового обслуживания с двумя типами заявок и относительным приоритетом // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. N 3. С. 48-55.

15. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Физматгиз, 1969.

16. Боккер П. ISDN. Цифровая сеть с интеграцией служб. М.: Радио и связь, 1991.

17. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

18. Бочаров П.П. Об обслуживании на однолинейной пуассоно-эр-ланговской системе с ограниченным числом мест для ожидания и относительным приоритетом // Проблемы передачи информации. 1969. Т. V. N 4. С. 50-58.

19. Бочаров П.П. Об однолинейной обслуживающей системе с ограниченным числом мест для ожидания с приоритетами // Проблемы передачи информации. 1970. Т. VI. N 3. С. 70-77.

20. Бочаров П.П. О вычислении стационарных вероятностей в системе с относительным приоритетом и ограниченной очередью // Сборник научных работ аспирантов, вып. 7. М.: Изд-во УДН, 1970. С. 3-9.

21. Бочаров П.П. Анализ системы Мг/б^Д/г с относительными и абсолютными приоритетами // Численные методы решения задач математической физики и теории систем. М.: Изд-во УДН, 1979, С. 32-43.

22. Бочаров П.П. О системе массового обслуживания ограниченной емкости с распределениями фазового типа, зависящими от состояния очереди // Автоматика и телеиеханика. 1985. N 10. С. 31-38.

23. Бочаров П.П. Анализ системы масссового обслуживания МАР/С/1/г конечной емкости // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". 1995. N 1. С. 52-67.

24. Бочаров П.П. Анализ конечной очереди с марковским входящим потоком, зависящим от состояния системы, и произвольным обслуживанием // Автоматика и телеиеханика. 1995. N 12. С. 60-70.

25. Бочаров П.П., Литвин В.Г. Методы анализа и расчета систем массового обслуживания с распределениями фазового типа // Автоматика и телемеханика. 1986. N 5. С. 5-23.

26. Бочаров П.П., Лысенкова В. Т. Об однолинейной системе с относительным приоритетом и ограниченным числом мест для ожидания // Вероятностные задачи в структурно-сложных системах коммутации. М.: Наука, 1969. С. 59-65.

27. Бочаров П.П., Матюшенко С.И., Фонг Н.Х., Тхирау X. О зависимом обслуживании в системе МАР/С/1/г конечной емкости

28. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г. М.: Изд-во РУДН, 1998. С. 9-10.

29. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН, 1995.

30. Бочаров П.П., Фонг Н.Х. Анализ системы массового обслуживания MAP2/G2/l/r с относительным приоритетом // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". 1996. N 2. С. 67-85.

31. Бочаров П.П., Фонг Н.Х. Анализ системы массового обслуживания MAP2/G2/llr с абсолютным приоритетом. Автоматика и телемеханика. 1997. N. 9. С. 66-85.

32. Бочаров П.П., Хак Тх., Фонг Н.Х. Анализ конечной очереди с марковским потоком и произвольным обслуживанием, зависящим от числа заявок в системе // Автоматика и телемеханика. 1998. N 10. С. 64-75.

33. Бочаров П.П., Фонг Н.Х., Хак Тх. Анализ системы массового обслуживания MAP2/G2/I/T с относительным приоритетом и обслуживанием, зависящим от длин очередей // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". 1999. N 1. С. 57-64.

34. Гнеденко Б.В., Даниеллн Э.А., Димитров Б.Н., Климов Г.П., Матвеев В.Ф. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973.

35. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.

36. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. М.: Мир, 1973.

37. Дудин А.Н. Оптимальное управление ненадежной двухскорост-ной системой массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1985. N 9. С. 56-62.

38. Ершов В.А., Кузнецов H.A. Теоретические основы построения цифровой сети с интеграцией служб (ISDN). М.: Институт проблем передачи информации РАН, 1995.

39. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988.

40. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.

41. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

42. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

43. Кокотушкин В.А., Михалев Д.Г. Обслуживание полнодоступным пучком нескольких потоков с относительным приоритетом на обслуживании и ограниченной общей очередью // Проблемы передачи информации. 1969. Т. V. Вып. 2. С. 47-54.

44. Липаев В.В., Колин К.К. Серебровский Л.А. Математическое обеспечение управляющих ЦВМ.: М.: Советское радио, 1972.

45. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.

46. Михалев Д.Г. Однолинейная система массового обслуживания с ограниченной очередью, многими входящими потоками и произвольным временем обслуживания // Проблемы передачи информации. 1970. Т. VI. N 1. С. 87-96.

47. Наумов В.А. Численные методы анализа марковских систем. М.: Университет дружбы народов, 1985.

48. Основы теории вычислительных систем / Под. ред. Майорова С.А. М.: Высшая школа, 1978.

49. Самуилов К.Е. Система сигнализации N 7—ключевой элемент современных цифровых сетей связи // Сети. 1996. N 7. С. 1518.

50. Тихонечко О.М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации. Минск: Изд-во "Университетское", 1990.

51. Фонг Н.Х. О системе МАР2Л*2/1/г с относительным приоритетом и с потоками, зависящими от состояния очередей // Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.—М.: Изд-во РУДН, 1977. С. 99.

52. Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981.

53. Шварц М. Сети связи. Протоколы, моделирование и анализ. М.: Наука, 1992.

54. Blondia С. Performance evaluation of an M/l-stage in an ATM switching element // Performance Evaluation. 1992. V. 15. P. 1-20.

55. Brown P., Chemoil P., Delosme В. A congestion control policy for signalling networks // IEEE Intrenat. Conf. on Commun., 1985. P. 33-40.

56. Cooper R.B. Introduction to queueing theory. New Nork: North-Holland Publ., 1981.

57. Gelenbe E., Pujolle G. Introduction aux reseaux de files d'attente. Paris: Editions Eyrolles. 1982.

58. Dudin A. Optimal control for an M x/G/1 qeuue with two operation modes // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 1997. V. 11. P. 255-265.

59. Halberstadt S., Kofman D. A dynamic bandwidth allocation mechanism for connectionless traffic on ATM networks // Proceedings of XV International Teletraffic Congres. 1997. P. 1281-1290.

60. Handbuch der Bedienungstheorie. I. Grundlagen und Methoden/ Gnedenko B.W., Konig D. (red.). Berlin: Academie-Verlag, 1983.

61. Handbuch der Bedienungstheorie. II. Formeln und andere Ergebnisse /Gnedenko B.W., Konig D. (red.). Berlin: Academie-Verlag, 1984.

62. He ff es H., Lucantoni D.M. A Markov modulated characterization of packetized voice and data traffic and related statistical multiplexer performance // IEEE J. Selected Areas in Comm. 1986. V. 4. N 6. P. 856-868.

63. Izydorczyk J. M/G/l queues with state dependent service times // Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej. 1990. V. 2. № 1-2. P. 19-26.

64. Khamisy A., Sidi M. Discrete-time priority queueing systems with two-state Markov modulated arrival process // Proc. of IEEE IN-FOCOM '91. Bal Harbour. Florida. 1991. P. 1456-1463.

65. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.

66. Lucantoni D.M. The BMAP/G/1 queue: a tutorial. Models and techniques for performance evaluation of computer and communication systems / L. Donatiello and R. Nelson (eds.). Amsterdam: Springer Verlag, 1993. P. 330-358.

67. Lucantoni D.M., Meier-Hellstem K.S., Neuts M.F. A single-server queue with server vacations and a class of non-renewal arrival processes // Adv. Appl. Prob. 1990. V. 22. P. 676-705.

68. Medhi J. Stochastic models in queueing theory. London: Acad. Press, 1981.

69. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. Baltimore and London: The Johns Hopkins Univ. Press. 1981.

70. Neuts M.F. Structured stochastic matrices of M/G/l type and their applications. New York: Marcel Decker, 1989.

71. Specification of signalling system N 7 CCITT // Blue Book. Fasc. YI.7. Geneva, 1989.

72. Sugahara A., Takine T., Takahashi Y. and Hasegawa T. Analysis of a non-preemptive priority queue with SPP arrivals of high class // Performance Evaluation. 1995. V. 21. P. 315-238.

73. Suzuki T. A queueing system with service depending on queue-length // Comment. Mat. Univ. St. Pauli. 1961. V. 10. N 10. P. 12621273.

74. Suzuki T. On a queueing process with service depending on queue-length // Journal of Operation Research Society of Japan. 1962, V. 4. N 4. P. 147-169.

75. Takagi H. Analysis of finite-capacity M/G/l queue with a resume level // Performance Evaluation. 1985. N 5. P. 197-203.

76. Takagi H. Queueing analysis: A foundation of performance evaluation. Part 1. Vacations and priority systems. Amsterdam: North-Holland Publ., 1991.

77. Takine T. A non-preemptive priotiy MAP/G/1 queue with two classes of customers // Journal of Operation Research Society of Japan. 1996. V. 39. N 2. P. 266-290.

78. Takine T., Hasegawa T. The workload in the MAP/G/1 queue with state-dependent services: its application to a queue with preemptive resume priority. Stoch. Mod. 1994. V. 10. P. 183-204.

79. Takine T., Matsumoto Y., Suda T., Hasegawa T. Mean waiting times in non-preemptive priotiy queues with Markovian arrival and i.i.d. service processes // Performance Evaluation. 1994. V. 20. P. 131-149.

80. Wagner W. On combined delay and loss systems with non-preemptive priority service // V International Teletraffic Congress. Preprints of technical papers. New York. 1967.