автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитические методы и модели управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз

На правах рукописи

ЯЦКО АНДРЕЙ ИВАНОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ И УГРОЗ

Специальность 05. 13. 01 - Системный анализ, управление и обработка информации.

Специальность 05.26. 02 - Безопасность в чрезвычайных ситуациях (по техническим наукам)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва -2005

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор Дивеев А.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гусятников П.Б.

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Н.В.

доктор технических наук, заслуженный машиностроитель РФ Давыдов А.Н.

Ведущая организация:

Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится 2005 г. в Н^"

на заседании диссертационного совета Д002.017.03 при Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра РАН.

Автореферат разослан

12 Ма^ 2оо$г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

наук Мухин А.В.

наук Мухин А.В.

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время все большее значение приобретает проблема создания математических моделей в задачах управления рисками и обеспечения безопасности объектов, что подчеркивается в доктрине информационной безопасности РФ, утвержденной Президентом РФ 09.09.2000 г.

Несмотря на то, что первый поисковый период в развитии теории системной безопасности сложных технических объектов еще не завершен, уже ведутся работы по созданию математических моделей оптимального выбора параметров и показателей безопасности. В теории информационной безопасности в качестве базовой математической модели часто используется метод динамического программирования. Однако данный метод в основном является численным и, как правило, не позволяет получать простые аналитические результаты, необходимые при анализе последствий возможных угроз, выборе вариантов зашиты от этих угроз.

В целом проблема создания количественных математических моделей управления рисками технических объектов, оптимального выбора и контроля критериев и показателей их безопасности находится еще в стадии становления.

В связи с изложенным заключаем, что тема представленной диссертации является актуальной.

Цель и задачи исследований. Цель работы состоит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Под безопасностью объекта на заданном интервале времени [0,7] понимается его защищенность от случайного или преднамеренного вмешательства в нормальный процесс его функционирования.

Под угрозой понимается потенциально возможное воздействие на объект, направленное на нарушение его безопасности. Угроза считается случайным событием.

Угроза называется крупной, если ее реализация является недопустимой с точки зрения обеспечения безопасности объекта. Далее рассматриваются только крупные угрозы. Общей угрозой объекта называется событие, состоящее в реализации хотя бы одной из крупных угроз.

Частным риском на интервале времени [0,7] называется вероятность реализации угрозы на этом интервале. Под общим риском объекта на интервале времени [0,7] понимается вероятность реализации общей угрозы безопасности объекта на [0,7].

Под управлением параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз в настоящей работе понимается реализация совокупности следующих воздействий на процессы проектирования, отработки и эксплуатации объекта:

- минимизация общего риска угроз безопасности сложного объекта и оптимальный выбор показателей системы защиты;

-выбор интервальных ограничений на показатели системы защиты, исходя из заданных ограничений на риск объекта;

- декомпозиция общего риска объекта по совокупности угроз;

- сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности объекта.

Указанная научная проблема впервые решается в представленной диссертации на основе теории геометрического программирования и включает в себя следующие три направления разработок автора:

1. Основы теории системного интервального анализа параметров технических объектов.

2. Аналитический метод решения задачи геометрического программирования.

Аналитическое решение задачи нахождения допустимых векторов в двойственной задаче.

3. Разработка моделей общего риска. Приложения полученных результатов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

Задачами исследований, которые решены в рамках указанных направлений, являются следующие.

По первому направлению исследований:

- вывод исходных неравенств и оценок для целевой функции технического объекта;

- решение задачи оценки корректности заданных границ на целевую функцию и разработка методов решения производящих уравнений и неравенств;

- решение задачи по заданию интервальных ограничений на показатели системы, исходя из требований к целевой функции.

По второму направлению исследований:

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности;

-аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- построение основ теории двойственности и разработка линейного итерационного метода для решения двойственной задачи с оценкой скорости его сходимости.

Потретьему направлению исследований:

- разработка моделей общего риска, выбор целевой функции и установление двусторонних оценок для общего риска;

-минимизация общего риска угроз безопасности сложных объектов и оптимальный выбор показателей систем защиты;

-интервальный анализ общего риска объекта, обоснование интервальных ограничений к показателям системы защиты;

-декомпозиция общего риска и его распределение по отдельным угрозам;

- сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

Методы исследования. Основной метод состоит в установлении и использовании неравенств и оценок в зада-

чах минимизации риска. Важное место в работе занимает теория обобщенных обратных матриц, применение которой приводит к получению систем производящих уравнений и неравенств, определяющих условия существования решений рассматриваемых задач интервального анализа. Для доказательства теорем и построения прикладных моделей использовалась и развивалась теория геометрического программирования, применялись элементы теории вероятностей, методы численного анализа.

Степень изученности проблемы. 1. Постановка задачи интервального анализа состоит в следующем. Пусть на целевую функцию у ~Цх) технического объекта задано требование в форме ^[у, у ].

Требуется задать интервальные ограничения [а„Ь^ на показатели системы защиты такие, чтобы при реализации всех требований выполнялось условие у ]. Интервальная задача известна и является одной из основных при проектировании и эксплуатации технических систем. Однако до настоящего времени в силу значительной сложности она еще не имеет решения при задании критерия у=/1х) в виде, принятом в теории геометрического программирования, т.е. в форме суммы по-зиномов. Данная задача ранее в теории геометрического программирования не рассматривалась.

2. Задача оптимального выбора показателей систем на основе использования геометрического программирования рассмотрена во многих работах. Основная их часть посвящена приложениям в различных областях результатов теории для первого уровня трудности. Для темы диссертации наибольший интерес представляет задача минимизации без ограничений повышенной трудности. Однако эта задача до настоящего времени еще не имеет аналитического решения. Полученные же в существующей литературе результаты относятся к оценке границ решений и построению численных алгоритмов.

Имеющееся решение задачи минимизации с ограничениями на дополнительные суммы позиномов сво-

дат ее к сложной проблеме решения систем нелинейных алгебраических уравнений. До настоящего времени метода решения этой системы не имеется.

Таким образом, в существующей литературе аналитического решения задачи на минимум геометрического программирования без ограничений повышенной трудности еще не получено.

Отличие предлагаемого нового метода состоит в том, что он впервые содержит аналитическое решение указанной задачи минимизации для повышенного уровня трудности.

3. В существующей литературе не имеется работ, где использовались бы математические методы геометрического программирования для решения задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

В данной диссертации на основе полученных в ней новых теретических результатов впервые решаются указанные задачи на основе геометрического программирования в аналитической форме.

Достоверность. Достоверность полученных результатов определяется строгостью математического аппарата, применяемого при создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз. Каждое новое утверждение доказывалось в форме теоремы, а их общее число составляет 36. Адекватность предлагаемых новых методов и моделей имеющимся опытным данным подтверждена на практическом примере оценки безопасности реального объекта и выбора оптимальных параметров системы его защиты.

Научная новизна. Новизной обладает как разработанная в диссертации новая актуальная научная проблема, так и три перечисленные выше направления разработок, которые она включает.

Основы теории интервальной задачи впервые позволяют обоснованно выбрать систему интервальных ограничений на показатели системы защиты, исходя из требова-

ний к критерию объекта, при задании критерия в виде целевой функции геометрического программирования.

Новый метод решения задачи теории геометрического программирования без ограничений повышенного уровня трудности впервые позволяет решить эту задачу в аналитическом виде с использованием простого линейного итерационного метода в соответствующей двойственной задаче. Предлагаемый итерационный метод сходится по норме к оптимальному решению задачи и имеет квадратичную скорость сходимости.

Ряд перечисленных выше прикладных задач управления параметрами системы защиты оценки и обеспечения безопасности технических объектов впервые решены с помощью предложенных методов в простой аналитической форме.

Совокупность разработанных в диссертации теоретических и прикладных результатов составляют содержание решенной в работе новой актуальной научной проблемы.

Практическая ценность. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, они впервые позволяют решать в аналитическом виде важные прикладные задачи оценки, контроля и обеспечения безопасности технических объектов. К числу таких задач относятся:

- минимизация общего риска угроз безопасности сложного объекта;

-оптимальный выбор показателей системы защиты;

-выбор интервальных ограничений на показатели системы защиты, исходя из заданных ограничений на риск объекта;

- декомпозиция общего риска объекта по совокупности угроз;

- сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности объекта в направлении снижения риска.

Основные преимущества предлагаемых методов состоят в следующем:

-аналитический характер соотношений для выбора совокупности интервальных ограничений на показатели сложных объектов;

-аналитический характер соотношений для минимизации общего риска объекта и оптимального выбора показателей и параметров систем зашиты;

- возможность учета дискретных и целочисленных исходных данных;

- вычислительная простота метода решения двойственной задачи, выражающаяся в том, что все вычислительные операции являются линейными, реализуемыми средствами теории матриц;

- возможность получения аналитического решения прикладных задач управления параметрами системы защиты, оценки и обеспечения безопасности технических объектов.

Реализация. Результаты работы внедрены в НПО Машиностроения, НПО им. Лавочкина С.Л., НИИКП и были использованы при проведении проектных разработок (акты о внедрении имеются).

Апробация. Результаты работы прошли широкое обсуждение на ряде научных семинаров и конференций. Они неоднократно обсуждались на научном семинаре Отдела надежности и устойчивости ВЦ РАН им. А.А. Дородницына (2004 г, руководитель - профессор Север-цев Н.А.), на научных конференциях по проблемам надежности кафедры прикладной математики МТУ им. Н. Э. Баумана (1983 -1984 г., руководитель - профессор Судаков Р.С.), на совместных семинарах по проблемам устойчивости сложных систем Института математики АН УССР и военной академии ПВО (1985 г., руководитель профессор Варюхин В.А.), на научных семинарах по проблеме прикладных математических исследований МТ'АУ им. В.П. Горячкина (1990, руководитель профессор Сер-гованцев В.Т.), на международном семинаре "Надежность и качество", Пенза (2003 г.), на конференциях профессорско-преподавательского состава Одесского государственного университета и национальной Академии государст-

венного управления при Президенте Украины (2001-2004 г.), на научных семинарах в Институте математики Польской АН и в Варшавском университете под руководством профессора Боярского Б (механико - математический факультет, 1999 г.), на 3 - м международном когрессе "Applied Mathematics", Гамбург, 1995 г., на 29 -й Всеполь-ской конференции по прикладной математике, Закопане, 2000 г, на 7 -ой международной конференции по теории вероятностей (Польская АН), Бендлево, 2002 г.

Публикации. По темелдиссертации опубликовано две монографии и 20 статей, из которых 8 опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. В диссертацию включены результаты, которые-получены лично автором.

Одна из двух монографий, а также большая часть статей, написаны лично автором. В работах с соавторами диссертанту принадлежит 60% результатов.

Структура и объем диссертации: диссертация изложена на 235 страницах и состоит из введения 4 глав, заключения, списка литературы из 70 наименований.

Краткий обзор глав диссертации.

Введение. Дано обоснование актуальности темы исследования, сформулирована цель диссертации, которая состит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Глава 1. Даны приложения теоретических результатов работы к решению задач разрабатываемой научной проблемы.

1.1. Разработанымодели общегорискаугроз безопасности объекта на заданном отрезке времени [0,7]. Для общего риска q объекта найдена оценка:

Показано, что верхняя граница q этой оценки монотонно возрастает с ростом суммы частных рисков qj, причем q ^ qj + ...+q„. Это позволяет свести минимизацию верх-

ней границы ц общего риска объекта на заданном отрезке времени [ОД] по параметрам х системы защиты к задаче минимизации по х суммы и(х)1 + ...+ и(х\ частных рисков д, = и(х\.

Предложена экспоненциальная модель общего риска, в которой рассматриваются интенсивности Я, угроз безопасности объекта. В этой модели минимизация общего риска сводится к минимизации суммарной воздействую-

«V 14«

щей на объект интенсивности А(х)= Я(*)1+...+Я(х)п, общей угрозы при х>0.

1.2. Разработан новый аналитический метод минимизации общего риска. Сформударованы допущения, при которых частный риск (¡г, = м(х), выражается в форме по-зинома

т

$ =«(*),= С, Л или

Н

1пм(х), = 1пС, + ааЬис! + ...+ ЯщДшст, где С,>0.

Коэффициенты Сх и ац могут быть найдены стандартными методами линейной регрессии. Предполагается, что х - кусочно - постоянный вектор на каждом отрезке [0,Т].

Минимизация общего риска на заданном отрезке [0,7] времени по параметрам х системы защиты сводится к решение задачи геометрического программирования по нахождению

т

У =/*) « Ч\ +...+ <?п -+мт, х>0, = ф), =

с последующим использованием найденной в работе двусторонней оценки для общего риска. Считается, что матрица А- (а„) степеней, в которые возводятся величины хр имеет вид

А =

, где В - квадратная подматрица с определите-

лем \В\Ф$, а Н- подматрица из строк матрицы А, не вошедших в базис В. Уровень трудности задачи определя-

ется числом с1 строк в Н. При й = 1 (при ¿/>1) задача имеет первый (повышенный) уровень трудности.

В работе получено решение указанной задачи в явной аналитической форме:_

Здесь у* - искомое значение минимального риска объекта, a jfj» — опгамалыше значения параметров системы защиты, причем^ -элементы матрицы В.

Для задачи первого уровня трудности числа Si находятся по формуле _

5T = (8,...5D)=i(-flnTF1) 1),

_V_

где aj - последняя строка матрицы A =(a,j), р - сумма элементов строки (-ajff\ 1). Предполагается, что строка 8Т>0Т. Первая из трех приведенных формул известна, а две другие получены в главе 3 работы.

Для задачи повышенного уровня трудности решение еще не получено. В работе доказано, что в этой задаче первые две формулы сохраняются, а величины 8j = 8;' находятся в результате их оптимального выбора путем решения двойственной задачи в соответствии с новым линейным итерационным методом из главы 3.

Дано приложение метода к решению задачи минимизации риска нарушения безопасности движения автотранспорта на железнодорожном переезде.

1.3. Разработан новый аналитический метод интервального анализа общего риска объекта. Пусть задан допустимый интервал [у», у ] на общий риск у= fix) объекта. Требуется задать интервальные ограничения [а,,Ь,] на показатели xi системы защиты такие, чтобы при реализации всех требований х,е[as,b^ выполнялось условие уе\у*,у]. Для решения этой задачи определяются координаты jtj. точки х< минимума у* ~-=f(x*). Далее по методу, разработанному в главе 2, из производящих соотношений находится

вектор <х=сР:) с компонентами а,>0 при а/+ ...+ сь-Л, которому соответствует решение хт неравенства $х)< у, имеющее элементы

, У=1,2.....т.

В результате получается искомый набор интервальных ограничений на показатели системы защиты. Для

другого решения а = производящих соотношений может быть нацией новый набор интервальных

ограничений. Теоремами из главы 2 гарантируется, что для каждого набора при выполнении т условий ^е^»^^} обеспечивается требование ^[у», р] на критерий у~/(х). Дополнительно по предлагаемому методу могут быть найдены весовые коэффициенты р} интервалов [х,., У1^]. С помодао коэффициентов учитывается, что, несмотря на выход показателя за допуск, условие У) может выполняться. Окончательный выбор варината набора интервальных ограничений осуществляете* с привлечением дополнитеяышх условий экономического или технологического характера.

1.4. Разработан новый аналитический метод декомпозиции общего риска объекта. Пусть к общему риску у=$х) объекта задано требование Дх)< у, где у - максимально допустимое значение общего риска. Предположим, что из решения двойственной задачи по предлагаемым методам найдены значения двойственных переменных §¡>0, с помощью которых из производящих соотношений получены числа а ¿>0 при #;+ ...+ При этих условиях показано, что максимально допустимое значение фд частного риска ^ может быть выбрано по формуле

Ад = <%У\ где 1 = 1,2, ...,п.

1.5. Разработан новый аналитический метод корректировки проектов обеспечения безопасности объекта. Пусть задано требование у=&х)< у к общему риску у объекта. Предположим, что рассматривается один из проек-

тов обеспечения безопасности объекта, содержащий набор хП) показателей ха) системы защиты, удовлетворяющий требованию у = fix) <у при х =• д/1'. Пусть вектор обеспечивающий минимальное значение y*=flx»)<y общего риска, является неприемлемым по показателям стоимости. Требуется на основе проектного вектора дг^ и с учетом вектора х. дать рекомендации по возможному улучшению проектных показателей. Решение задачи дается с помощью неравенства, доказанного в главе 2, вида

где//*)

- проектное значение общего риска, а x~ = xfl)xx.i~l

- вектор показателей улучшенного проекта системы защиты с элементами xf= х*1' причем X - произвольный коэффициент из интервала (0,1). Число

представляет собой значение общего риска для улучшенного проекта.

Полученные в работе новые и простые методы решения важных прикладных задач доказывают практическую значимость полученных результатов.

Глава 2. Дана постановка задачи системного интервального анализа первого уровня трудности и разработаны методы ее решения.

2.1. Получены новые исходные неравенства и оценки для сумм позиномов. Впервые получено геометрическое тождество для среднего порядка t.

Теорема 1. Дм среднего Mt(x,a) чисел дс,>0 порядка t по системе коэффициентов а,>0, ai +...+ On= 1 имеем

/=1 /=1

S(t,x)i

где

На основании теоремы 1 далее, в теоремах 2... 13 получены ряд новых неравенств, из которых отметим:

и t Mt п i=1 /=1 и » Afo*)

>п v

¡=1 /и

□

где Q>0, xf>0,

6(x)i =8(1,х)ь Дх)| = „g/X/ , а,>0, а,' + ...+

ZfjXj

С» fft

ßi = \[xf , у, = aijßi +...+ а^, j= 1,2.....п

У >1 1

2.2. Получено решение задачи оценки корректности границ, заданных на целевую функцию. Границы уи у

заданного интервала на целевую функцию y=j{x) назовем корректными, если они являются значениями Дх). Для оценки корректности границы у решается векторное уравнение Alnx = Ь(а), правая часть которого зависит от векторного параметра а и имеет компоненты bflnfay /С\), а искомый вектор 1пх составлен го значений 1щ.

Теорема 14. Пусть для матрицы А выполняются условия: d - 1, г(А}=т, причем единственное решение уравнений 8ТА = 0\ 5i +.. .+5„ = 1 положительно.

1. Уравнение Alnx = b(a) совместноовылолняется производящее соотношение ¡а/81а,/2...оь8п = у, где

« 5-

г - (ДС, 1)/у яри ар>0, а,+ а2+...+ <^=1.

2. Уравнение А1пх= Ъ(а) совместно о имеет место неравенство у >у«, где у* - минимальное значение целевой функции (критерия)

3. Если у~£у>, то производящее соотношение имеет решение относительно а, а верхняя граница у на критерий у является корректной. □

Теорема 15. Пусть в условиях теоремы 14 матрица А имеет базис В из ее первых т строк, причем, 2Г1 ~ (¿Д Если/>у., то справедливы следующие утверждения.

1. При фиксированном значении а, удовлетворяющем производящему соотношению, уравнение А1пх - Ь~(а), где вектор Ь' (а) составлен из элементов Ь, = /и(а; у /С), имеет единственное решение

Ыш1юС = А^УШ Ас = (ВГ1,0).

В точке х = х~ целевая функция у =Ддс) принимает значение/х") = у", а компоненты единственного решения х выражаются в явной форме:

V*! СV

Теорема 18. Пусть с? = 1 и задано значение у>у*. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. (у = и(х)1+ и(х)2 +...+ «(х)п<У)о(За,>0 при

у).

2. Неравенство/(х)<у имеет решения тогда и только тогда, когда в выражении

/их = —

М

|>_1 о4 ( 1Л -В

0 0 Ь(а) + I

3Т атВ~1

V / ^ п У

существует выбор допустимых векторов оёО и для которого элементы дСш+ь.-.л^ вектора х удовлетворяют соотношениям дгти>:1,...¿Ст^Ь Если эти соотношения выполняются, то набор из первых т элементов вектора х является решением неравенства /(х)<у, а множество всех его решений находится путем задания всевозможных допустимых значений £ и а.

3. При \ = 0 утверждение записывается в формулировке: пусть коэффициенты ос, найдены из производящего неравенства а/'а/2...^80 >г, где сц>О при «/+ «;+...+ а** 1. Тогда решения неравенства /(х)<у находятся по формулам из теоремы 15. □

2.3. Доказана теорема о задании системы интервальных ограничений.

Теорема 19. Предположим, что в условиях теоремы 18 на критерий у=/(х) задано ограничение в виде неравенства причем уЪу..

Пусть ^>0 и дс® >0 два решения неравенства /(х)<у с элементами х?) и найденные для различных решений а = сР и а = аР производящего неравенства а1&1а2ъ2...а^°>г.

Тогда для любого числа Ае[0,1] вектор х~ = д*1^*1"^ с элементами =дгаУтакже является решением неравенства/^ , кроме того,

(У/-1 [Л^])=>(у= ^¡Цх?

В теореме получены новые неравенства

выявляющие ранее неизвестные свойства суммы позино-мов.

Теорема 20. Пусть (¿Х) - известное решение производящего неравенства а^а^.-.а^ >г, где а*>0 при а2+...+ <4=1, , а Б - какая либо дважды стохастическая матрица порядка и, отличная от матрицы перестановки.

Тогда вектор сР = является решением этого же неравенства. □

Глава 3. В главе дано новое аналитическое решение задачи геометрического программирования без ограничений повышенного уровня трудности.

Для двойственной задачи разработан линейный итерационный метод ее решения. До настоящего времени аналитического решения этих задач еще не получено.

3.1.Разработан новый метод нахождения допустимых значений двойственных переменных

Наряду с прямой задачей/(х)-*тт, х>0 (см. обозначения гл.1) рассмотрим двойственную задачу

П'!А

8 е 8+ = {5>0:8ТА = 0Т, 8,+ 8г+...+ 8„= 1}.

Теорема 19. Условия ортогональности и нормализации 81А=07 и81+82 + ...+ 8ц= 1 записываются в виде

1&ты = 8Т«пб1 и |8г,аД где § (т)= (81 82...8Ш) и 8%)= (8т+1 8т+2 8т+<1) -строки из основных и свободных элементов вектора 8, а £ = ((), I) = (2 ~ ~НК1, причем ц - вектор с компонентами щ, равными суммам элементов строк матрицы 5.

Двойственная задача имеет допустимое решение 8е 5+ о существует вектор 8для которого

8(С)€ 6((1>+ = {8(^0:5т(ш)>0т, =1}.

Если матрица содержит столбец (¡<0, то двойственная задача не имеет решения. □

Нахождение положительного решения системы линейных уравнений является проблемной и еще не решенной задачей. Для двойственной задачи нами получен следующий новый результат.

Теорема 23. Пусть в уравнении = 1 вектор ц>0, а сумма элементов каждого столбца с? матрицы Q положительна. Тогда в двойственной задаче существует положительное решение 8>0. □

В теореме 24 предложен новый метод коррекции для нахождения вектора 8>0 двойственных переменных.

3.2. Теорема о строгой вогнутости логарифма преобразованной двойственной функции и условия оптимальности при d>l

Функция V(8), где используется зависимость 8Т= 8T(d)S, называется преобразованной двойственной функцией и обозначается как

V(8(d)), где 8(d)6 8{d)+ = {8(d)>0: 8(m)= QT8(d)>0, цт8(<ч = 1}.

Теорема 20. Логарифм преобразованной двойственной функции V(8(á)) строго вогнут при 8(d)e5((jyf. □

Теорема 22. Пусть существует вектор б^е Тогда двойственная задача имеет единственное решение 8(li)= 8(d)*e5(d)+) определяемое из условия оптимальности

Sz~-0. Решению соответствует наибольшее

значение P=F(8(d)*) - двойственной функции в области 6(<г)+. Здесь z — вектор с компонентами z, - /и(СД8,), а Л>0 - константа, рассматриваемая как параметр. Система уравнений Sz~=0,8№е5(а)+, или

&~=0,8T(m) = 8T(d)0 и 8T(J)\i=\, содержит d +1 уравнений с d+1 неизвестными 8т,ь Sm+2v An+d, X,.

X ТФ 41 f ql *

В точке 5 = 8 = (8 (Ш) ,8 (d) ) векторы Saz~ ортогональны.* |8У= 0, причем параметр X=K(8(d)*).

Условие Sz~= 0 оптимальности вектора б^еб^ может быть записано как

, /=1,2,...Д 8т(ш) = 8T(d)0. Ü

В отличие от условий оптимальности в задаче с ограничениями, где логарифм ее преобразованной двойственной функции является (просто) вогнутой функцией, в нашей задаче он оказался строго вогнутым, что имеет принципиальное значение в данной тематике. Задача

трудности ¿/>1 без ограничений ранее не рассматривалась.

3.3. Новый метод решения двойственной задачи Предлагаемый метод является итерационным, но на каждом приближении в нем используются линейные операции. Таким образом, в своей вычислительной основе предлагаемый метод является линейным; он впервые позволяет решить двойственную задачу геометрического программирования линейными методами матричной алгебры.

3.4. Теорема о сходимости и скорости процесса сходимости Теорема 25.1. Рассматривая множество

я+=н,>>0:и>(«геЧ^ь

будем считать, что вектор цХ), а сумма элементов каждой из строк матрицы 0Т положительна.

Пусть по теореме 24 найдено допустимое начальное значение 4))° вектора свободных двойственных переменных, а также вектор

где У0 = УЦф0) - начальное значение двойственной функции.

2. Для любой начальной точки и>(<])0= итерации,

определенные по формуле

сходятся к единственному значению и^^ при

использовании на каждой итерации метода коррекции из теоремы 24, обеспечивающего выполнение условий *= 1,2....

Здесь <5^ - единственное решение двойственной задачи, которому соответствует наибольшее значение

У* = У(4п*) = Цт»и>* = + ууп*

двойственной функции V = РЦ^). В формулах для нахождения итераций матрица

причем 5 = ({), Г) и

где

(Wlk-Wmk) =

W"')^*-l-^-i)1, z^lrtw^/Ci), /=1,2,...,«.

3. Пусть в результате расчетов получены оптимальный вектор W(d)* и наибольшее значение F* двойственной функции V- Тогда <нташальный вектор <5* двойственных переменных находится по формулам

4. Скорость сходимости процесса итераций является квадратичной, т.«., начиная с некоторого номера к, существует константа с, для которой выполняется соотношение

3.5. Теорема двойственности

Теорема 26. Пусть существует допустимый вектор 5б5+. Тогда двойственная задача имеет единственное решение 8 = 8*, определяемое с помощью теорем 22...24, для которого двойственная функция принимает наибольшее значение maxV(8) — В этом случае существует наименьшее значение у• = f(x>) целевой функции у= f(x) в прямой задаче, причем f(x>)= V(S*).

Пусть существует вектор х = х*>0 такой, что у>=f(x+) -наименьшее значение целевой функции >» =f(x) в прямой задаче. Тогда существует единственный вектор 8= 8* е 8+, определяемый из условий теоремы 22, такой, что V(S*)=maxV($), и при этом f(x.) = V(S*). □

Глава 4. Основные результаты настоящей главы относятся к решению уравнения f(x) = у~, а также неравенств fix) <у~, f(x) > у", где у~ - заданное число, a f(x) - целевая функция в задаче геометрического программирования, представляющая собой сумму позиномов. Необходимость решения этих задач возникает при выборе совокупности интервальных ограничений на параметры системы защиты, исходя из заданного интервала значений общего риска q =f(x) рассматриваемого объекта.

Данная тематика ранее не рассматривалась.

4. L Новый метод решения уравнения f(x) = у~

Теорема 27. Пусть существует допустимое решение S >0, которое найдено из условий ортогональности и нормализа-

ции, а у~ - заданное число, причем у~>У*, где число V* представляет собой максимальное значение двойственной функции Г(8).

Утверждение 1. Решения уравнения /(х) = у" могут быть найдены из системы уравнений

Эта система уравнений совместна о выполняются условия совместности

a?xaf2...amsmam,l-ri /= 1,2,...Д

где - элементы матрицы Q ~ (5„), а число

Mi = «1) + «il + ... + Sim + 1, причем

г,-(С П

m + iyzz]

Утверждение 2. Если числа а,>О при ai+ а2+...+ ¿4=1 выбраны из условий совместности, a Ira = (Irai 1пх2...1пх^, то решение исходной системы уравнений для указанного фиксированного вектора а единственно и находится по формуле

1пх = (В\(Що).

Утверждение 2 записывается также в формулировке: пусть числа а,>О при а/+ ££+...+ а„-1 выбраны из условий совместности. Тогда решение уравнения f(x) = у~ находится по формулам

. 1,2,...,m,

где ку- элемент обратной матрицы ÏÏX = (kjV). Различные решения соответствуют различным наборам чисел а, из условий совместности. □

4.1.3. Новый метод решения системы производящих уравнений

Теорема 28. Пусть д = aGfy /^.../^Ьлрока

с номером j матрицы

(д+ее^о*)-

Если числа то в области значений параметра со, определяемой условиями

* т

тах{па^К1-9))<®<мт{\1(па^т-\ где а,=Пг«' '

¡=1

а минимум (максимум) берется по всем номерам у, для которых числа Р)>\ (для которых числа уравнение

®=<р(®)=§Г

имеет единственное решение со. Соответствующий решению и набор чисел

<1

а, - а,/© = Цгр

представляет собой решение системы производящих уравнений. □

4.2. Новый метод решения неравенства/(х) <у Теорема 29. Рассмотрим задачу первого уровня трудности. Пусть у - заданное число, а

т

и, = и(х), = С,Цх* ,гдеС,>0,причем п Г

пу- П(~) /=1 8,

где у» - минимальное значение функции/(х) при х>0. Утверждение 1. Вектор х удовлетворяет неравенству у=/(х) = щ + и2 + ...+ип<у «существуют числа а,>О при а^ а2+...+ Оп= 1 такие, что для указанного х исходная система неравенств

{И4

а,у, где/=1,2,...,и,

является совместной.

Утверждение 2. Исходная система неравенств совместна о для вспомогательной системы уравнений А\1п\-1пЬ,

где „, а Ыа) - вектор с компонентами Ь, =

/л(а, у/С;), имеющей множество решений

1

(цгл 0" ( 1Л

0 0 Ь(а) + /

8Т атВ 1

V V п /

/их =

существует выбор векторов а и !;, для которого компонента Ят+ь -Лп+о вектора х с номерами 5 = т±\,...,т+п удовлетворяют неравенствам

Если эти неравенства выполняются, то набор из т компонент хь- Лп векторах' является решением исходной системы неравенств.

Множество всех решений неравенства/(х)<у находится путем задания всевозможных значений векторов % и ос, обеспечивающих выполнение условий Хт+^Ь.. .

При \ = 0 утверждение 2 записывается в формулировке: пусть коэффициенты а, найдены из условия совместности

81 $2 5о ^

\а, «;...<%, >/■ 1,

п 6.

где а,>0 при а,+ а2+...+ <4=1, г = (ПС, ' )/у. Тогда некоторые из решений неравенства/(х)< у находятся по формулам

V-1 ("V

где кр - элементы обратной матрицы Вх - (к^. Различные решения соответствуют различным наборам чисел а, из условия совместности.

Утверждение 3. Неравенство а^а?2>г при а,>О, а;+...+оп=1 имеет хотя бы одно решение относительно а,. В частности, вектор а с элементами а, = ¿¡ удовлетворяет этому неравенству. Если у > С0, где С0 =С\ + С2 + ... + С^ то вектор а с элементами а, = С,/С0 также является решением указанного неравенства. □

Теорема 30. Рассмотрим задачу повышенного уровня трудности.

Утверждение 1. Вектор х удовлетворяет неравенству

т

У=/(х) = и, + и2 +... + щ>у, гдеи1 = С,рх^ ,

где у~- фиксированное число, «существуют числа а,>0 при а/+...+¿4=1 такие, что для указанного х исходная система неравенств

т

Ц = СЦ>ау~, где 1=1,2,...,и,

является совместной.

Исходная система неравенств совместнаов выражении

V1 о' '-в-1>

0 Ъ(а) + -б

0 \ 0 / 1ж \ т /

существует выбор векторов а и Е,, для которого компоненты хт (ь • ■ • Лп+п вектора х удовлетворяют неравенствам Если эти неравенства выполняются, то набор из первых т компонент дть-.-Л, вектора х является решением системы неравенства/(х)>у~.

Множество всех решений неравенства /(х)>у~ находится путем задания всевозможных значений векторов % и а, обеспечивающих выполнение условий хш+]<1. .дттл<1.

При выборе вектора \ - 0 утверждение записывается в формулировке: пусть числа ау удовлетворяют условиям совместности

а"1а/2...а^лат+, <г„ /=1,2,...Д где

т ш

П = (С ПС,. )1уЛ ... + + 1>0,

т +1 у=1

а - элементы матрицы () = («¡у) = - НВ{. Тогда некоторые из решений неравенства/(х)> у~ находятся по формулам

Различные решения соответствуют различным векторам а из условий совместности. □

Теорема 32. Утверждение 1. Пусть число у" удовлетворяет условиюу~¿Со, причем С0 = С1 + С2 + ... + С„, а коэффициенты щ = я,, + ...+ + 1>0. Тогда неравенство/(х)<у~ имеет решение

о

где ^ = + кр + ... + кр - еуммаэяементов строки с номе-рому матрицы 2Г1. Утверждение 2. Вектор х1 с компонентами

где 8*« - оптимальные значения переменных в двойственной задаче уровня трудности <¿>1, также является решением неравенства /(х)£у~, если заданное значение у~>у*, где у* =Лх>) -минимум целевой функции Д*) в задаче геометрического программирования. □

4.2.1. Новый метод решения системы производящих неравенств

Теорема 33. Пусть оР и оР - два решения системы производящих неравенств

п

Y\afJ <ri, /=1,2,...Д

Тогда для любого число X, е (0,1) вектор

BV1

также является решением указанной системы неравенств. D

Пусть yh у2,... у, - некоторые числа, удовлетворяющие условиям у3>у~ при s= 1,2,...,/. Тогда решение Xs каждого из t уравнений f(x) = у,» найденное по теореме 27, одновременно является решением неравенства f(x)>y~.

4.3. Теорема о задании системы интервальных ограничений

Теорема 36. Пусть на целевую функцию у = f(x) в задаче геометрического программирования задано ограничение в виде неравенства f(x)<y, причем у>у>, где величина у> представляет собой минимальное значение функции f(x) при х>0, а числа ^ = sa + ...+5щ, + 1>0.

Утверждение 1. В числе решений неравенства f(x)<y имеется вектор х = х., которому соответствует минимальное значение у = у* функции f(x), с компонентами Вектор х с компонентами

также является одним из решений неравенства/^^.

Утверждение 2. Пусть х(1)>0 и х(2) >0 два решения неравенства/бг,) ¿'.у с элементами

и «Oil

и

т „О)-г.

найденные для векторов а - (¿Х) и а = аР из условий совместности, а и <Р\ при } = 1,2,... ,т - элементы, векторов

d 'W2).

Тогда для любого числа Ае[0,1] вектор

с компонентами х^ = хаукрс<т'Х), также является решением неравенства /(х)<у, т.е.

№1})<у ,/(ха')<у )=> (/(х<1*хШАТ^), и, кроме того,_

_'=1 7=1_

Утверждение 3. Пусть х(1) - решение неравенства/(х)< у с элементами х(1),. Тогда для всех векторов * с компонентами *,е [х^, х*1*,] неравенство/(х)<у также вьшолняется и

(Уу =1,2,.[^^^¿^Пх^ е \у*,у])П

1=1 у=1

Теорема 35. Пусть сР и оР - решения системы производящих неравенств из теоремы 30. Тогда при любом Х,е(0,1) вектор а =с/1)Х0!(2Х1"Х) также является решением указанной системы неравен^! в. □

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Показана актуальность темы диссертации и сформулирована цель диссертации: разработка новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

2. Указанная научная проблема впервые решается в представленной диссертации на основе геометрического программирования и включает в себя следующие три направления разработок автора:

-основы теории системного интервального анализа параметров технических объектов;

-аналитический метод решения задачи геометрического программирования; аналитическое решение задачи нахождения допустимых векторов в двойственной задаче;

-разработка моделей общего риска; приложения полученных результатов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

3. Задачами исследований, которые решены в рамках указанных разработок, являются следующие.

По первому направлению исследований:

- вывод исходных неравенств и оценок для целевой функции технического объекта;

- решение задачи оценки корректности заданных границ на целевую функцию и разработка методов решения производящих уравнений и неравенств;

- решение задачи по заданию интервальных ограничений на показатели системы, исходя из требований к целевой функции.

По второму направлению исследований:

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности;

-аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- построение основ теории двойственности и разработка линейного итерационного метода для решения двойственной задачи с оценкой скорости его сходимости.

По третьему направлению исследований:

- разработка моделей общего риска, выбор целевой функции и установление двусторонних оценок для общего риска;

-минимизация общего риска угроз безопасности сложных объектов и оптимальный выбор показателей систем защиты;

-интервальный анализ общего риска объекта, обоснование интервальных ограничений к показателям системы защиты;

-декомпозиция общего риска и его распределение по отдельным угрозам;

- сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

4. При разработке теории системного интервального анализа дана постановка задачи, доказаны ряд новых неравенств и оценок для целевой функции объекта.

Получены условия совместности рассматриваемых систем неравенств в виде производящих систем уравнений и систем неравенств относительно векторного параметра. Впервые найдено явное аналитическое решение интервальной задачи.

5. При разработке методов оптимального выбора показателей системы разработан аналитический метод решения задачи геометрического программирования повышенной трудности. Доказано, что логарифм преобразованной двойственной функции строго вогнут в области его определения. Найдены явные условия оптимальности в двойственной задаче. Доказана сходимость по норме предложенного итерационного процесса, а также установлено, что предложенный метод имеет квадратичную скорость сходимости. Доказана теорема двойственности в задаче геометрического программирования повышенной трудности. Разработан новый метод, позволяющий решить в аналитической форме задачу нахождения положительного решения систем линейных уравнений в двойственной задаче.

6. При разработке приложений решены практические задачи управления параметрами систем защиты технических объектов в соответствии с третьим направлением исследований, указанным выше.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Яцко А. И. Системный интервальный анализ. - М: Знание, 2005, монография, 10.5 уч. изд. л.

2. Судаков Р.С., Яцко А. И. Элементы прикладной теории геометрического программирования. - М: Знание, 2004., монография, 8.5 уч. изд. л.

3.Яцко А.И. Метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска.

//Вопросы теории безопасности и устойчивости систем- М: ВЦ РАН, вып. 8,2004, с.

4. Яцко А.И. Общий метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска. //Вопросы теории безопасности и устойчивости систем - М.: ВЦ РАН, вып. 8,2005.

5. Яцко А.И. Интервальный анализ риска угроз безопасности сложной технической системы. //Вопросы теории безопасности и устойчивости систем- М.:ВЦ РАН, вып. 8,2005.

6. Яцко А.И. Общая задача интервального анализа риска угроз безопасности сложной технической системы. //Вопросы теории безопасности и устойчивости систем-М.:ВЦРАН,вып.7,2004.

7. Северцев Н.А., Яцко А.И. Экспоненциальная модель безопасности технических объектов. - М: Журнал РАН: Проблемы машиностроения и надежности машин, N 2,2005 г.

8. Северцев Н.А., Яцко А.И. Аналитическое решение задачи минимизации общего риска в экспоненциальной модели безопасности объекта. - М..: Журнал РАН: Проблемы машиностроения и надежности машин, N 2,2005 г.

9. Тескин О.И., Яцко А.И. Планирование объемов испытаний при конструировании технических изделий для случая параметрических отказов. Надежность и контроль качества, М,1990,с.12-16.

10. Тескин О.И., Яцко А.И. Расчет доверительных границ вероятности беззотказной работы для параметрической модели отказов. Надежность контроль качества, N9, 1989, с.16-20.

11. Яцко А.И. К теории факторизации матриц - функций в пространствах Lp с весом. Препринт Ко. 2072 ук - 84. Деп. в АН Украины, НИНТИ. -1984,15 с.

12. Jatsko A.I. Niektore zagadnienia planowania zakresu forownych prob technicznuch. Proceed "VII Konferencja z prob-abilistyki". Institut Matematyczny Nauk. Bedlewo.-Maj 20-24, 2002,18-19 с

13. Jatsko A.I., Lipski T. Planowanie zakresu forownych prob techmcznuch podczas kontroli parametrycznej niezawododnosci

urzadzen. Proceed "Ogolnopolska XXIX konferencja zastosowan matematyki"~ Zakopane -Koscielisko, 2000, p. 52-54.

14. Ахламов С.Г., Яцко А.И. Моделирование и прогнозирование развития области как сложной социально - экономической системы. Изд. Национальной АН Украины, 2002,20 с.

15. Яцко А.И., Ежемовская М. Требования Европейского комитета статистики к качеству статистических данных, касающихся региональной економики. Материалы научно -практической конференции "Государственная стратегия управления местным и региональным развитием". Одесса. -2004. с. 175-178.

16. Яцко. А.И. Об одной математической модели теории риска. // Инновационные процессы и социально—экономическое развитие. Научные труды. - М.: Муниципальный выпуск П, Изд. дом "Граница" 2004, с. 337-342.

17. Яцко А. И. Метод оценки уровня безопасности движения автотранспортных средств на железнодорожном переез -де, - М.: Научный журнал "Естественные и технические науки", 2005.

18. Яцко А.И. Метод нахождения начального решения в задаче геометрического программирования. - М.: Научный журнал "Техника и новые технологии ",N1,2005, с.29-33.

19. Яцко А.И. Об одной задаче в теории двойственности геометрического программирования. - М.: Научный журнал "Естественные И технических гаук", 2005, №1, 2005, с.148 152.

2 0. Яцко А.И., Мочкаев Н.М. Некоторые особенности математического обеспечения задач геометрического программирования. - М.: Научный журнал "Техника и новые технологии ",N1,2005, с. 45-50.

21. Яцко А.И. Применение метода мажоризации в системном интервальном анализе. - М: Научный журнал "Техника и новые технологии ", N1,2005, с. 39-45.

22. Яцко А.И. Метод решения системы производящих соотношений в теории геометрического программирования. - М.: Научный журнал "Естественные и технические науки". N1,2005, с. 143-147.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.06.2000 г. Подписано в печать 12.03.2005 Тираж 70 экз. Усл. печ. л. 2

Печать авторефератов 730-47-74,778-45-60

973

Введение.2

Глава 1. Прикладные задачи управления параметрами систем защиты технических объектов.22

1.1. Состояние проблемы создания математических моделей обеспечения безопасности технических объектов.22

1.2. Минимизация общего риска угроз безопасности объекта и оптимальный выбор показателей системы защиты.27

1.2.1. Математические модели общего риска.32

1.2.2. Новый аналитический метод минимизации общего риска (I).47

1.2.3. Новый аналитический метод минимизации общего риска (II).55

1.3. Интервальный анализ общего риска угроз безопасности технического объекта.66

1.3.1. Постановка задачи системного интервального анализа.67

1.3.2 Новый метод интервального анализа общего риска.70

1.3.3. Новый метод декомпозиции общего риска.76

1.3.4. Новый метод корректировки проектов обеспечения безопасности.77

Выводы по главе .79

Глава 2. Основы теории системного интервального анализа (I).82

2.1. Постановка интервальной задачи.83

2.2. Вывод геометрического тождества для среднего порядка t и получение из него новых неравенств.86

2.2.1. Вывод геометрического тождества для среднего порядка t.88

2.2.2. Вывод новых соотношений для среднего порядка t.94

2.2.3. Геометрическое тождество для средних значений и новые неравенства между ними.95

2.2.4. Неравенства для отношения двух средних порядка t.100

2.2.5. Оценки сверху для целевой функции в задаче геометрического программирования.113

2.3. Теоремы о решении уравнения f(x) = у, где f[x) - сумма позиномов.116

2.3.1. Решение уравнения f(x) = у и производящее соотношение.118

2.3.2. Нахождение решения производящего уравнения.127

2.4. Теорема о задании системы интервальных ограничений (I).134

2.4.2. Весовые коэффициенты числовых интервалов.138

Выводы по главе.142

Глава 3. Новый аналитический метод решения задачи геометрического программирования.148

3.1. Постановка двойственной задачи.150

3.2. Нахождение множества допустимых векторов в двойственной задаче.152

3.3. Нахождение максимума двойственной функции.156

3.4. Новый метод коррекции для нахождения допустимого решения двойственной задачи.165

3.5. Новый линейный итерационный метод решения двойственной задачи.173

3.6. Элементы теории двойственности.183

Выводы по главе.188

Глава 4. Основы теории системного интервального анализа (II).191

4.1. Теоремы о решении уравнения f(x)= у ,

0) где фс) - сумма позиномов (II).193

4.1.1. Методика решения уравнения f{x)=y в задаче первого уровня трудности.193

4.1.2. Нахождение решений системы производящих уравнений.197

4.2. Новый метод решения неравенств f(x)<y, f(x) >у, где f(x) - сумма позиномов.200

4.2.1. Новый метод решения неравенства f{x)<y, в задаче первого уровня трудности.200

4.2.2. Новый метод решения неравенств f(x)<y , f(x)>y, в общем случае.209

4.2.3. Новые методы нахождения решений системы производящих неравенств.213

4.3. Теорема о задании системы интервальных ограничений в общем случае.220

Выводы по главе.223

Актуальность проблемы. В настоящее время все большее значение приобретает проблема создания математических моделей в задачах управления рисками объектов, что подчеркивается в доктрине информационной безопасности РФ, утвержденной Президентом РФ 09.09.2000 г.

На начальных этапах исследования сложных технических систем первое место отдавалось проблеме их надежности [24]. В последующем акцент был перенесен на проблему обеспечения безопасности. Задачу развития теории безопасности технических систем взяла на себя научная школа под руководством Северцева Н.А., включающая основных авторов: Барзиловича Е.Ю., Дедкова В.К, Дивеева А.И., Зубова Н.В., Ильичева А.В, Ишмухаметова А.З., Каштанова В. А., Садыхова Г.С. и др. Этой школой уже созданы основополагающие труды в данной области [3, 9, 10, 11, 13. 17,29]. Одновременно развивается научное направление под руководством Сухарева Е.М. по проблеме информационной безопасности электронных систем и информационных технологий [21,25].

В настоящее время ведутся работы по созданию математических моделей оптимального выбора параметров и показателей безопасности. Так в работе [30] показана необходимость математического подхода к анализу рисков угроз безопасности. В монографии [14] указывается на необходимость совместного рассмотрения показателей эффективности и безопасности. Монография [21] посвящена разработке моделей разведок и угроз безопасности информации. В ней в качестве базовой математической модели предлагается принять метод динамического программирования. Однако данный метод в основном является численным и, как правило, не позволяет получать простые аналитические результаты, необходимые при анализе безопасности систем.

В целом проблема создания количественных математических моделей управления рисками сложных объектов, оптимального выбора и контроля критериев и показателей их безопасности находится еще в стадии становления.

В связи с изложенным заключаем, что тема представленной диссертации является актуальной.

Цель и задачи исследований. Цель работы состоит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Под безопасностью объекта на заданном интервале времени [0,7] понимается его защищенность от случайного или преднамеренного вмешательства в нормальный процесс его функционирования.

Под угрозой понимается потенциально возможное воздействие на объект, направленное на нарушение его безопасности. Угроза считается случайным событием.

Угроза называется крупной, если ее реализация является недопустимой с точки зрения обеспечения безопасности объекта. Далее рассматриваются только крупные угрозы.

Общей угрозой объекта называется событие, состоящее в реализации хотя бы одной из крупных угроз.

Частным риском на интервале времени [0,7] называется вероятность реализации угрозы на этом интервале.

Под общим риском объекта на интервале времени [0,7] понимается вероятность реализации общей угрозы безопасности объекта на [0,7].

Указанная научная проблема впервые решается в представленной диссертации на основе теории геометрического программирования и включает в себя следующие три направления разработок автора:

1. Основы теории системного интервального анализа параметров технических объектов.

2. Аналитический метод решения задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности. Аналитическое решение задачи нахождения допустимых векторов в двойственной задаче.

3. Разработка моделей общего риска. Приложения полученных результатов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

Задачами исследований являются следующие.

По первому направлению:

- вывод исходных неравенств и оценок для целевой функции технического объекта;

- решение задачи оценки корректности заданных границ на целевую функцию; разработка методов решения производящих уравнений и неравенств;

- решение задачи по заданию интервальных ограничений на показатели системы, исходя из требований к целевой функции.

По второму направлению:

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности;

- аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- построение основ теории двойственности и разработка линейного итерационного метода для решения двойственной задачи с оценкой скорости его сходимости.

По третьему направлению:

-разработка моделей общего риска, выбор целевой функции и установление двусторонних оценок для общего риска; -минимизация общего риска угроз безопасности сложных объектов и оптимальный выбор показателей систем защиты; -интервальный анализ общего риска объекта, обоснование допус-ковых требований к показателям системы защиты; -декомпозиция общего риска и его распределение по отдельным угрозам;

-сравнительная оценка и коррекция проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

Методы исследования. Основной метод состоит в установлении и использовании неравенств и оценок в задачах минимизации риска. Важное место в работе занимает теория обобщенных обратных матриц, применение которой приводит к получению систем производящих уравнений и неравенств. Для доказательства основных теорем и построения прикладных моделей использовалась и развивалась теория геометрического программирования, применялись элементы теории вероятностей, методы численного анализа.

Степень изученности проблемы. 1. Постановка задачи интервального анализа состоит в следующем. Пусть для целевой функции у = f(x) объекта задано ограничение в форме уе[у,у]. Требуется задать интервалы [aj,foj] для показателей Xj системы защиты такие, чтобы при реализации всех условий Xje[aj,bj] выполнялось ограничение уе[у,у].

Интервальная задача известна и является одной из основных при проектировании и эксплуатации технических систем. Однако до настоящего времени в силу значительной сложности она еще не имеет решения при задании критерия у= f(x) в виде, принятом в теории геометрического программирования, т.е. в форме суммы позиномов. Данная задача ранее в теории геометрического программирования не рассматривалась. Ее решение впервые дается в настоящей работе. Ранее термин "интервальный анализ" использовался в теории приближенных вычислений [1,19], а также в теории доверительных интервалов [24], где в этот термин вкладывался другой смысл.

2. Задача оптимального выбора показателей систем на основе использования геометрического программирования рассмотрена во многих работах. Основы теории изложены в монографии [8], а ее приложения даются в работах [7,22,34]. Развитие теории содержится в [12,35], где уделяется внимание оценке границ решений и построению численных алгоритмов. Для темы данной работы наибольший интерес представляет задача минимизации геометрического программирования без ограничений повышенной трудности. В [8] эта задача решена лишь для уровня первого уровня трудности, а для повышенного уровня трудности аналитического решения еще не получено.

В существующей литературе эффективного аналитического решения задачи на минимум геометрического программирования без ограничений повышенной трудности (индекса d>1) еще не получено.

Отличие предлагаемого нового метода состоит в том, что он содержит аналитическое решение указанной задачи минимизации при d>1 простыми методами матричной алгебры.

3. Приложения предлагаемых новых методов к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз ранее не давались.

Достоверность. Достоверность полученных результатов определяется строгостью математического аппарата, применяемого при создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз. Каждое новое утверждение доказывалось в форме теоремы, а их общее число составляет 36. Адекватность предлагаемых новых методов и моделей имеющимся опытным данным подтверждена на практическом примере оценки безопасности реального объекта и выбора оптимальных параметров системы его защиты.

Научная новизна. Новизной обладает как разработанная в диссертации новая актуальная научная проблема, так и три перечисленные выше основные направления разработок, которые она включает.

Основы теории интервальной задачи впервые позволяют обоснованно выбрать систему интервальных ограничений на показатели системы защиты.

Новый метод решения задачи теории геометрического программирования без ограничений повышенного уровня трудности впервые позволяет решить эту задачу в аналитическом виде с использованием простого линейного итерационного метода в соответствующей двойственной задаче. Предлагаемый итерационный метод сходится к оптимальному решению задачи и имеет квадратичную скорость сходимости.

Ряд перечисленных выше прикладных задач управления параметрами системы защиты оценки и обеспечения безопасности технических объектов впервые решены с помощью предложенных методов в простой аналитической форме.

Совокупность разработанных в диссертации теоретических прикладных результатов составляют содержание решенной в работе новой актуальной научной проблемы.

Практическая ценность. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, они впервые позволяют решать в аналитическом виде важные прикладные задачи оценки, контроля и обеспечения безопасности технических объектов по указанному выше третьему направлению исследований, проведенных в диссертации.

Преимущества предлагаемых методов состоят в следующем, -аналитический характер соотношений для выбора совокупности интервальных ограничений на показатели сложных объектов;

-аналитический характер соотношений для минимизации общего риска объекта и оптимального выбора показателей системы защиты;

- вычислительная простота метода решения двойственной задачи;

- возможность получения аналитического решения прикладных задач управления параметрами системы защиты.

Реализация. Результаты работы внедрены в НПО им. Лавочкина С.Л., НИИКП, были использованы в ряде проектных разработок, а также при составлении экспертного заключения на проект «Сахалин II».

Апробация. Результаты работы прошли широкое обсуждение на ряде научных семинаров и конференций.

Они неоднократно обсуждались на научном семинаре Отдела надежности и устойчивости ВЦ РАН им. А.А. Дородницына (2004 г, руководитель - профессор Северцев Н.А.), на научных конференциях по проблемам надежности кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана (1983 -1984 г., руководитель - профессор Судаков Р.С.), на совместных семинарах по проблемам устойчивости сложных систем Института математики АН УССР и военной академии ПВО (1985 г., руководитель профессор Варюхин В.А.), на научных семинарах по проблематике прикладных математических исследований МГАУ им. В.П. Горячкина (1990, руководитель профессор Сергованцев В.Т.), на международном семинаре "Надежность и качество", Пенза (2003 г.), а также на конференциях профессорско - преподавательского состава

Одесского государственного университета и национальной Академии государственного управления при Президенте Украины (2001-2004 г.), на научных семинарах в Институте математики Польской АН под руководством профессора Боярского Б. (механико - математический факультет, 1999 г.), на 3 - м международном когрессе "Applied Mathematics", Гамбург, 1995 г., на 29 -й Всепольской конференции по прикладной математике, Закопане, 2000 г, на 7 -ой международной конференции по теории вероятностей (Польская АН), Бендлево, 2002 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две монографии в центральном издательстве и 20 статей, из которых 8 опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. В диссертацию включены результаты, которые получены лично автором. Одна из двух монографий, а также большая часть статей, написаны лично автором. В работах с соавторами диссертанту принадлежит 60% результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 235 страницах и состоит из введения 4 глав, заключения, списка литературы из 70 наименований.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Показана актуальность и необходимость создания математических моделей в задачах управления параметрами систем защиты технических объектов, оценки и обеспечения их безопасности. Установлено, что в настоящее время указанное научное направление находится в стадии становления.

2. Сформулирована цель диссертации, которая состоит в разработке новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

Это научная проблема впервые решается на основе теории геометрического программирования в представленной диссертации и включает в себя следующие три новые направления разработок:

- основы теории системного интервального анализа;

- аналитическое решение задачи геометрического программирования повышенного уровня трудности; аналитическое решение задачи нахождения допустимых значений двойственных переменных;

- разработка моделей общего риска и приложения разработанных новых аналитических методов и моделей к решению задач управления параметрами систем защиты технических объектов.

3. По первому направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- дана постановка задачи интервального анализа, доказаны ряд новых неравенств и оценок для целевой функции объекта;

- разработан метод оценки корректности заданных границ на целевую функцию объекта; в результате получены условия совместности в виде производящих систем уравнений и неравенств;

- впервые разработаны методы решения систем производящих уравнений и неравенств, что позволило получить основные результаты системного интервального анализа в аналитической форме;

- впервые получено явное аналитическое решение задачи о задании интервальных ограничений на показатели системы защиты, исходя из заданных ограничений на целевую функцию объекта.

4. По второму направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- разработан аналитический метод решения задачи геометрического программирования повышенной трудности; метод реализован в виде простых рабочих формул или линейных расчетных схем с использованием операций над матрицами и векторами;

- доказано, что логарифм преобразованной двойственной функции строго вогнут и имеет единственную точку максимума, в которой достигается наибольшее значение двойственной функции;

- найдены явные условия оптимальности для нахождения единственной оптимальной точки в двойственной задаче; предложен новый линейный итерационный метод нахождения этой точки;

- доказана сходимость по норме итерационного процесса к единственной оптимальной точке, а также доказано, что предложенный метод имеет квадратичную скорость сходимости;

- дано построение теории двойственности в рассматриваемой задаче геометрического программирования повышенной трудности;

-разработан новый метод коррекции, позволяющий решить в аналитической форме задачу нахождения допустимых значений решений в двойственной задаче.

5. По третьему направлению исследований получены следующие новые научные результаты:

- разработана модель общего риска объекта и получена двусторонняя оценка общего риска с использованием суммы частных рисков;

- впервые разработаны приложения предлагаемых новых методов для решения следующих задач управления параметрами систем защиты технических объектов:

- минимизация общего риска угроз безопасности объекта;

- оптимальный выбор показателей системы защиты;

- интервальный анализ общего риска объекта и обоснование допусковых требований к показателям системы защиты;

- декомпозиция общего риска и его распределение по системе угроз;

- сравнительная оценка проектов обеспечения безопасности сложных объектов.

Иллюстрация предлагаемых новых методов дана на примере минимизации риска угроз безопасности движения автотранспорта на железнодорожном переезде и оптимального выбора параметров системы защиты этого объекта.

Совокупность разработанных в диссертации теоретических и прикладных результатов составляют содержание решенной в работе новой актуальной научной проблемы, заключающейся в создании аналитических методов и моделей управления параметрами систем защиты технических объектов в условиях рисковых ситуаций и угроз.

1. Альфред Г., Херцебергер Е. Введение в интервальные вычисления. - М.:Мир, 1987, 517 с.

2. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.:Мир, 1961, 276 с.

3. Гусятников П.Б. Линейные навигационные задачи. М.:, изд. МФТИ, 1994,154

4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984, 320 с.

5. Гипич Г.Н. Модели прогнозирования и снижения рисков воздушных судов гражданской авиации. М.: изд. МГУ им. Ломоносова, 2005, 500 с.

6. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.:Наука, 1986, 384 с.

7. Давыдов Э.Г., Злобина С.В. Применение геометрического программирования к задачам распределения ресурсов на сетевых графах,- М.: ВЦ РАН, 1981, 45с.

8. Даффин Р., Питерсон Э., Зеннер К. Геометрическое программирование. М.: Мир, 1972, 311 с.

9. Дикусар В.В., Милютин А .А. Качественные и численные методы в принципе максимума. -М.: Наука, 1989, 240 с.

10. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, 2003, 186 с.

11. И.ДивеевА. И., Северцев Н.А., Метод выбора оптимальных вариантов технических систем. М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, 2000, 105 с.

12. Дикин И.И. Решение задачи геометрического программирования методом внутренних точек. Препринт ИСЭМ СО РАН, 2002- N 7, Иркутск, 1999, 54 с.

13. Зубов Н.В., Зубов С.В. Математические методы в стабилизации динамики систем. С. Питербург, СПГУ, 1996 г., 212 с.

14. Ильичев А.В. Введение в системную безопасность и эффективность. М.: Научный мир, 2003, 215 с.

15. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимально го управления систем с распределенными параметрами.-М.:ВЦ РАН, 1988, 72 с.

16. Каштанов В. А. Вероятностные процессы и их приложения М.:МИЭМ, 1989, 149 с.

17. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Наука, 2002, 307 с.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1988, 278 с.

19. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск, Наука, 1986, 278 с.

20. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Наука, 972, 354 с.

21. Модели технических разведок и угроз безопасности информации. /Под ред. Е.М. Сухарева, кн. 3. -М.: Радиотехника, 2003, 178 с.

22. Макаров В.В., Ибрагимов Л.Г. Проектирование химико-технологических процессов методами геометрического программирования.-М.: МХТИ, 1982, 45 с.

23. Маршалл Д., Олкин И. Неравенства.теория мажоризации и ее приложения. -М.: Мир, 1983, 489 с.

24. Надежность и эффективность в технике. Энциклопедический справочник в 10 т. М.: Машиностроение, 1988.

25. Общие вопросы защиты информации /Под ред. Е.М. Сухарева, кн. 3, М.: Радиотехника, 2002, 232 с.

26. Ортега Дж., Вернер Р. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1976, 558 с.

27. Проект выносного свайного основания «Сахалин П» - М: МПР РФ, 2003.

28. Садыхов Г.С. Решение практических задач математической теории надежности теоретико вероятностными методами. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 19992, 44 с.

29. Северцев Н.А., Шутова Т.В. Моделирование управлением системой военноэкономической торговли России. М.: Изд. УДН, 2004, 205 с.

30. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул,-М.:Наука, 1974, 541 с.

31. Судаков Р.С. Теория псевдополуобратных матриц и ее применение к задачам оценки надежности систем. М.:3нание, 1981, 72 с.

32. Судаков Р.С. Теория испытаний технических систем. М.: Машиностроение, 1988, 345 с.

33. Судаков Р.С., Яцко А.И. Элементы прикладной теории геометрического про-грамирования. -М.: Знание, 2004., монография, 8.5 уч. изд. л.

34. Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Геометрическое программирование в инженерных задачах. М.: Колос, 1999, 280 с.

35. Тарасов С.П. Границы решений в задачах геометрического программирова -ния.-М.: ВЦ РАН, 1981,32 с.

36. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967, 493 с.

37. Указ Президента РФ от 24. 04. 96., N 608. О государственной стратегии экономической безопасности РФ. Основные положения.

38. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свертки. М.: Изд. иностранной литературы, 1958, 312 с.

39. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Мир, 1989, 504 с.

40. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.:Наука, 1968, 329 с.

41. Яцко А.И. Системный интервальный анализ. Элементы теории и приложения. М.: Знание, 2005, монография, 9.5 уч. изд. л.

42. Яцко А.И. Метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска. // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем- М.: ВЦ РАН, -2004.-вып. 7. с. 27 35.

43. Яцко А.И. Метод оптимизации параметров, определяющих надежность сельхозмашин.// Тракторы и сельскохозяйственные машины, -М. -2005.-№ 6.

44. Яцко А.И. Новый метод задания допусковых ограничений на парамет ры технических объектов // Приборы, -М.- 2005,- № 4, 7 с.

45. ЯцкоА.И. Методика решения задач оптимизации по критерию обес печения максимума надежности сельхозмашин.//Тракторы и сельскохозяйственные машины, -М.- 2005.- № 7.

46. ЯцкоА.И. Метод коррекции проектов обеспечения безопасности систем по критерию минимизации риска II Приборы,-М,- 2005.-№ 5, 8 с.

47. Яцко А.И. Новый метод коррекции в прикладных задачах геометри ческого программирования // Приборы, -М,- 2005.-№ 6, 7 с.

48. Тескин О.И., Яцко А.И. Планирование объемов испытаний при конструировании технических изделий для случая параметрических отказов

49. Надежность и контроль качества, -М.- 1990.- № 2, с.12-16.

50. Тескин О.И., Яцко А.И. Расчет доверительных границ вероятности безотказной работы для параметрической модели отказов.// Надежность и контроль качества,-М.:-1989.- № 9, с. 16-20.

51. Jatsko A.I., Lipski T. Planowanie zakresu forsownych prob technicznych podczas kontroli parametrycznej niezawodnosci urzadzen. // Proceed "Ogolnopolska XXIX konferencja zastosowan matematyki". Zakopane -Koscielisko,- 2000- p. 52-54.

52. Ахламов С.Г., Яцко А.И. Моделирование и прогнозирование развития области как сложной социально экономической системы.// Изд. Национальной АН Украины, -2002- 20 с.

53. Яцко А.И. Метод нахождения начального решения в задаче геометриче ского программирования. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.29 -32.

54. Яцко АИ. Об одной задаче в теории двойственности геометрического программирования. // "Естественные и технические науки"- М.:- 2005,-№ 1, с.148 — 152.

55. Яцко А.И., Мочкаев Н.М. Некоторые особенности математического обеспечения задач геометрического программирования. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.45 50.

56. Яцко А.И. Применение метода мажоризации в системном интервальном анализе. // "Техника и технология "- М.:-2005.-№ 1, с.39 45.

57. Яцко А.И. Метод решения системы производящих соотношений в тео рии геометрического программирования. // "Естественные и технические науки"- М.:- 2005.-№ 1, с. 143 148.

58. Яцко А.И., Яцко С.И. Обобщенная краевая задача Римана с кусочно -непрерывными коэффициентами. II Укр. матем. журнал. -1978. т. ЗО. N5, с. 646-653.

59. Яцко А.И., Яцко С.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана с кусочно непрерывными коэффициентами. II В кн. "Теоретические и прикладные вопросы диф. уравнений и алгебра". Сб. научи, тр., Киев. "Наукова думка". -1979.

60. Яцко А.И. Обобщенная краевая задача Римана в пространствах lp с весом. II Укр. матем. журнал. -1981. т.ЗЗ. Ко. 2, с. 283 - 286.

61. Яцко А.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана с производными. II Препринт. Но. 5554 81 Деп. в ВИНИТИ.-1981.

62. Яцко А.И. К теории обобщенной краевой задачи Римана для сложного контура. II Извест. ВУЗов. Математика. 11.-1981 .-с. 85 87.

63. Яцко А.И. О некоторых классах сингулярных интегро дифференциальных уравнений со сдвигом и сопряжением. II Препринт N0. 402 - 82. Деп. в ВИНИТИ.-1982.

64. Яцко А.И. Исключительный случай обобщенной краевой задачи Римана. II Препринт Ко. 152 ук-85. Деп. в Укр. НИНТИ.

65. Dragomir S.S. On the arithmetic mean geometric mean -harmonic mean inequality., Austral.Math. Caz. 2000,27,N1,с 6-11

66. Greville T.N., Ben -Israel A. Generalized Inverse Matrices. New York, 1973, 420 p.71 .Gusyatnikov P, Rtznichenko S. Vector algebra.-M.:Mir, 1988, 288