автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Алгоритмы оценивания волновых векторов по измерениям на системе дипольных решеток

\

л

На правах рукописи

ЛАВРОВ Дмитрий Николаевич

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ НА СИСТЕМЕ ДИПОЛЬНЫХ РЕШЕТОК

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Омск - 1998

Работа выполнена на кафедре математического моделирование Омского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат технических наук

Хомич Е.В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Денисов В.П.

кандидат физико-математических нау: Горощеня А.Б.

Ведущая организация: Центральное конструкторское бюро

автоматики, г. Омск

Защита состоится

часов н

заседании диссертационного совета К 200.63.01 по защите диссе[ таций на соискание ученой степени кандидата наук в Институт информационных технологий и прикладной математики СО РА' (644099, г. Омск, Певцова 13).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт информационных технологий и прикладной математики.

Автореферат разослан <,.10 > о^тломт'Ит.

Ученый секретарь

диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Йльев В..

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Оценивание угловых координат точечного источника излучения по измерениям на антенной решетке является классической задачей радиолокации, гидролокации и сейсмологии.

Направление распространения волны в точке приема характеризуется волновым вектором (векторным волновым числом). Задача определения угловых координат, следовательно, эквивалентна оцениванию волнового вектора. В радиолокации алгоритмы определения угловых координат используются, например, в системах навигации и системах наблюдения за воздушным пространством аэродромов. В гидролокации алгоритмы применяются для обнаружения и слежения за подводными целями. В сейсмологии ■— для регистрации землетрясений и подземных ядерных испытаний.

Основные трудности при построении алгоритмов оценивания - это. во-первых, наличие нескольких источников излучения с близкими частотными характеристиками, разрешение которых возможно только по пространственным переменным, то есть по угловым координатам или волновым векторам; во-вторых, возможная неоднозначность оценок, если расстояние между соседними элементами антенной решетки больше, чем половина длины волны приходящего волнового фронта. Второе особенно значимо в радиолокации высокочастотного диапазона, так как размер элементов антенной решетки может оказаться больше длины волны. Кроме того, использование разреженных решеток дает существенный выигрыш по аппаратным затратам, так как точность оценок определяется, в большей степени, не количеством элементов решетки, а размером апертуры. При построении алгоритмов важными условиями являются практическая реализуемость и быстродействие.

Большое число методов определения волновых векторов нескольких источников излучения основывается на вычислении пространственного спектра. Для линейных неразреженных эквидистантных решеток разработан ряд эффективных алгоритмов [6, 8, 9, 10, 19, 15 и др.] получения

оценок, основанных на эквивалентности представления сигнала во временной и пространственной областях. Для работы этих алгоритмов необходимо решение вспомогательных задач определения числа источников излучения или оценивания порядка модели сигнала. После работы алгоритмов, в общем случае, получаются не сами волновые вектора, а скалярные произведения их на вектора, соединяющие соседние датчики решетки и называемые пространственными частотами. Они должны быть дополнительно обработаны для получения оценок волновых векторов или угловых координат. Кроме того, при шаге решетки большем половины длины волны принимаемого сигнала эти оценки являются неоднозначными.

Решение задачи устранения неоднозначности оценки при воздействии на решетку волнового фронта от одного источника излучения дает теория многошкальных измерителей, сформированная работами В.И. Белова, В.П. Денисова, К.В. Пензина, А.А Поваляева, Н.В. Собцова и других учёных [1, 2, 3, 4, 7, И, 12, 13, 14, 16, 17, 18 и др.]. В рамках теории ставятся две основные задачи: первая - построение максимально правдоподобной оценки волнового вектора и эффективных алгоритмов ее вычисления [2, 5, 11,16, 17,18], вторая - определение характеристик качества и синтез структуры измерителя [3, 4, 7, 12, 13, 14]. Одним из ограничений алгоритмов оценивания является предположение о единственности принимаемого сигнала на заданной частоте.

Целью работы является построение и исследование оценки совокупности волновых векторов по измерениям на системе дипольных решеток, а также разработка алгоритмов её получения.

Для достижения этой цели необходимо было выполнить исследования по следующим направлениям.

В теоретическом плане:

- разработать критерий определения числа источников излучения;

- исследовать методы вычисления пространственных частот для линейных решеток с целью изучения возможности их использования в схеме оценивания волновых векторов;

- исследовать возможности увеличения быстродействия выбранного метода оценивания пространственных частот;

- разработать модель многошкальных измерений пространственных частот нескольких источников;

- разработать алгоритм оценивания совокупности волновых векторов по измерениям пространственных частот;

- исследовать возможности увеличения быстродействия частных алгоритмов, включенных в схему оценивания совокупности волновых векторов.

В экспериментальном плане: "

- исследовать работоспособность и качество разработанных алгоритмов и критериев;

- разработать методику синтеза систем дипольяых решеток;

- провести компьютерное моделирование синтеза по предложенной методике;

- исследовать устойчивость оценок волновых векторов, полученных на синтезированных конфигурациях, к изменению таких параметров, как масштаб решетки и дисперсия шума.

В плане технической реализации разработать программное обеспечение, удовлетворяющее потребности моделирования на ЭВМ.

Методы исследований. Алгоритмы, разработанные в диссертации, базируются на методах теории вероятности, математической статистики, теории многошкальных измерителей, вычислительной математики и компьютерного моделирования:

- при разработке метода оценки пространственных частот использовался метод поворота инвариантных подпространств;

- при построении алгоритма оценивания совокупности волновых векторов применялся метод максимального правдоподобия и метод минимума среднеквадратической ошибки;

- алгоритм устранения неоднозначности основан на алгоритме частичного перебора;

- расчет вероятности правильного определения числа источников про-

изводился методом статистических испытаний;

- при синтезе систем дипольных решеток использовались оптимизационные процедуры: метод пассивного поиска, метод циклического покоординатного спуска, в котором в качестве алгоритма одномерной оптимизации применяется гибридный алгоритм, комбинирующий методы секущих, парабол и золотого сечения.

Теоретические исследования подтверждаются результатами компьютерного моделирования.

Научная новизна. К новым результатам относятся:

- модель многошкальных измерений пространственных частот, полученных на системе дипольных решеток;

- критерий определения числа источников излучения на основе анализа асимптотических доверительных интервалов собственных чисел корреляционной матрицы сигналов;

- алгоритм согласования пространственных частот, полученных от нескольких источников;

- результаты исследования устойчивости оценок волновых векторов к изменению параметров измерительной системы;

- совместная оценка совокупности волновых векторов. Практическая и теоретическая ценность результатов работы:

- обоснована модель многошкального измерителя, построенного на системе дипольных решеток, и даны рекомендации по выбору структуры измерительной системы на основе совокупности технических требований;

- предложена методика синтеза систем дипольных решеток, позволяющая оптимизировать характеристики точности оценки волновых векторов и вероятности аномальной ошибки;

- разработано программное обеспечение, позволяющее проводить компьютерное моделирование с целью определения характеристик эффективности предложенных решений и автоматизировать обработку результатов моделирования;

- исследована устойчивость оценок волновых векторов, полученным по

измерениям на кольцевых структурах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на Международной научно-технической конференции: «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1995), на II Международной научно-технической конференции: «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1997), на V Всероссийском семинаре «Нейроикформатикаи ее приложения» (Красноярск, 1997).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации составляет 127 стр. машинописного текста. Библиографический список насчитывает 50 наименований.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Редукция метода поворота инвариантных подпространств позволяет при небольшом числе источников (два-три) на порядок снизить вычислительные затраты оценивания пространственных частот.

2. Предложенный алгоритм оценивания совокупности волновых векторов позволяет (при дополнительных ограничениях на структуру системы дипольных решеток) существенно понизить вычислительные затраты, при этом время, потраченное на последующее вычисление оценок волновых векторов, сравнимо (при параллельной обработке) с временем получения оценки единственного источника излучения.

3. Алгоритм согласования измерений пространственных частот нескольких источников излучения (построенный на основе принципа максимального правдоподобия) позволяет не учитывать взаимное расположение дипольных решеток в системе.

4. Критерий оценки числа источников излучения, основанный на анализе асимптотических доверительных интерватов собственных чисел корреляционной матрицы сигналов, (при заданном отношении сигнал/помеха и подобранном размере выборки) позволяет разделять источники на малых угловых расстояниях с большой вероятностью.

5. Методика синтеза структуры системы решеток позволяет уменьшать вероятность аномальной ошибки при заданных ограничениях на точность оценок волновых векторов.

6. По результатам оптимизации ряда систем при условиях однородности (заключающейся в равенстве длин порождающих векторов) стрз-ктуры плоских систем дипольных решеток выдвинута гипотеза о локальной оптимальности рассмотренных в работе кольцевых конфигураций.

7. Исследования устойчивости вероятности аномальной ошибки оценивания волновых векторов на плоских кольцевых конфигурациях к изменению параметров системы (масштаба решетки, дисперсии ошибок измерения пространственных частот) позволяют сделать вывод об устойчивости конфигураций, приемные элементы которых размещены в углах правильных многоугольников с нечетным числом вершин.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение освещает основные задачи, возникающие при оценивании волновых векторов. Обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели работы к основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. Рассматриваются известные, основанные на параметрической модели сигнала алгоритмы определения пространственных частот /Uk,k = 1, D (здесь D - число источников) по Т временным пространственным выборкам на линейной эквидистантной решетке.

Основным методом оценивания пространственных частот в данной работе выбран метод оценивания параметров сигналов поворотом инвариантных подпространств (ESPRIT) [15] по измерениям на дипольной решетке, все диполи которой получены одним и тем же вектором сдвига. Для работы алгоритма необходимы оценки матриц корреляций R.v.v-Rxу между измерениями выходных сигналов ~x.it) на первых датчиках решетки и у(t) - на вторых: R.o: — E(x(t)x(t)*), R.vy = E(x(t)y{t)*).

S

Затем вычисляются обобщенные собственные числа матричной пары (И-Л'Л' — ' ^-А'У') > где \Х* - минимальное собственное значение 11\ ■ Аргументы собственных чисел отождествляются с пространственными частотами.

Рассмотрены основные принципы оценивания волнового вектора единственного источника излучения по оценкам пространственных частот. Эта задача тесно связана с алгоритмом устранения неоднозначности оценки, возникающей, к примеру, при шаге линейной решетки большем половины длины волны. Алгоритм строится на основе принципа максимального правдоподобия и сводится к нахождению минимума вырожденной квадратичной формы на ограниченной целочисленной области. Обсуждаются основные принципы построения эффективных алгоритмов решения этой задачи.

Вторая глава посвящена разработке алгоритмов обработки измерений, полученных на системе дипольных решеток.

Рассматривается система дипольных решеток произвольной геометрии, состоящая из ¿-дипольных решеток. Каждая г-ая дипольная решетка составлена из М согласованных диполей, элементы которых разнесены в смысле параллельного переноса под действием постоянного вектора сдвига { — 1,Ь . Характеристики элементов, например диаграмма направленности элемента, усиление и фаза и т.д. для каждого диполя могут быть произвольными, поскольку элементы попарно идентичны [15]. Возможность наличия общих элементов у диполей не исключается. Множество первых датчиков каждой дипольной решетки образует её порождающее множество, а вторых - порожденное. Вектора параллельного сдвига (порождающие вектора) 1г,-, I — 1,Ь образуют структурную матрицу системы

Имеется О < М узкополосных стационарных источников с нулевым средним и центральной частотой и, расположенных достаточно д гите ко от решетки, чтобы волновые фронты можно было считать плоскими.

На все датчики воздействует стационарный случайный процесс с нулевым средним, который является аддитивным шумом без взаимной пространственно-временной корреляции [15].

В векторно-матричном представлении выходные сигналы примут вид

X;{t) = AjS(f) + U;(£) у,-(f) = Ai$,s(i) + w,(i),

где X{(t) - М-вектор

X?» = (*«.!(*).. ... ,*,\Л/(0)

y(f),u(i), w(i) - аналогично определяемые М-векторы; s(t) представляет собой D-вектор сигналов. Ф, - диагональная D х D-матрица фазовых задержек между датчиками порождающего и порожденного множеств г-ой дипольной решетки при воздействии D-волновых фронтов:

Ф, = Над ^exp ^-hjv^j ,..., exp j^h,TvD

Aj - матрица откликов на единичные сигналы; с - скорость распространения^ - мнимая единица; V,- - нормированный волновой вектор, совпадающий с направлением распространения г-ого фронта.

Решается задача: «По известным результатам измерений x,(f), у,(i) (г = 1, L ) с минимальными допущениями о геометрии решетки, направлениях прихода сигналов, характеристик элементов, шумовых мощностях и корреляций волновых фронтов определить волновые вектора приходящих сигналов». К минимальным допущениям о геометрии относятся знания о компонентах порождающих векторов.

Решение поставленной задачи состоит из двух этапов это, во-первых, вычисление пространственных частот ¡хц = hjvj и, во-вторых, вычисление совокупности волновых векторов п устранение' неоднозначности, если необходимо.

Оценивание пространственных частот методом поворота подпространств требует решения L задач на собственные значения с матрицами

размерности М. Предлагается модификация метода поворота, позволяющая понизить размерность матриц до размера

Выводится оценка волновых векторов по критерию минимума сред-неквадратической ошибки при условии однозначности измерений. Получены формальные выражения, определяющие совместную оценку совокупности волновых векторов и алгоритм согласования измерений пространственных частот нескольких источников:

V = (НтН)-1НМа, (1)

а = агдттЗр(М]хТ1М.а.), (2)

где V - N х £>-матрица волновых векторов записанных по столбцам V = (ух,.. ЛЛа ~ матрица пространственных частот; а -Ь х ¿^-целочисленная матрица индексов пространственных частот, каждая строка которой представляет собой перестановку чисел от 1 до О. П - Ь х ¿/-проектор на пространство ортогональное линейной оболочке столбцов Н и П = I - Н(НТН)-1НТ; I - единичная матрица.

Строиться оценка максимального правдоподобия совокупности волновых векторов на основе усеченной гауссовской плотности. Получены выражения обобщающие оценку (1), (2).

Выводятся оценки при неоднозначных оценках пространственных частот:

V = ((ь ® н)тв(1д ® н))-1^ ® Н)тВР(^+к). (з)

Р = аг^1шп(^ + ^С)тРтПР(^ + /С) (4)

7С = агд + 7С)ТРТПР(^" + К). (о)

К

где V - (ОИ)-вектор, составленный из компонент волновых векторов так, что

V = (У,.ь • • •У2,„...,У2Л.....Vd.It ■ ■

Р - {Ь х ¿,)-матрица перестановок; Л4 = Ф + /С; Т - £Л-вектор дробных, измеренных частей полных фаз сигналов записанных по правилу

= у>;д-,/ — 1, Ь ,к = 1 , здесь к ~ номер волнового вектора, / - номер дипольной решетки; К - аналогично определяемый ЬИ-вектор целых частей фаз = кц.,/ = 1,1 ,к = , потерянных при

измерении (вектор неоднозначности); П = В-В(1оОН)((1^ ОН)тВ(1оо Н))~'(1£ © Н)ТВ - матрица проектирования.

Предлагается эвристический алгоритм согласования в пространстве угловых координат при условии Ь = N = 2 и наличии однозначных измерений.

Указаны ограничения на структуру системы дипольных решеток (заключающиеся в совпадении порождающих множеств дипольных решеток), которые позволяют обойти использование трудоемких алгоритмов согласования и решать в полном объеме только одну задачу на собственные значения для получения пространственных частот.

Предлагается алгоритм оценки числа источников на основе анализа асимптотических доверительных интервалов собственных чисел корреляционной матрицы Нхх- Число источников равно разности размерности корреляционной матрицы и «кратности» ее минимального собственного числа. «Кратность» определяется по правилу: «если выполняется неравенство

то считается кратным где Т - размер выборки по которой получена матрица; р - произвольный положительный параметр (р = 3)».

По результатам главы предлагается редуцированный алгоритм оценивания совокупности волновых векторов, позволяющий проводить параллельные вычисления для оценки и обработки пространственных частот.

Результаты главы получены при личном участии соискателя.

В третьей главе предлагается методика синтеза систем дипольных решеток на основе критерия минимума вероятности аномальной ошибки при ограничении на точность оценок в предположении, что для обработки сигналов используется распараллеленный алгоритм, предложен-

(6)

ный во второй главе.

Рассматриваются характеристики качества оценок волновых векторов, к которым относятся точность оценок, численно выражаемая определителем вида £>ei(HTBH), и вероятность аномальной ошибки, оценка верхней границы [4]

Р00;в = 1 - Р(Х> ldm{n/2f) которой напрямую зависит от арифметического минимума

dmin = min kTnk. (7)

keZLMKern

Для «нецелочисленных» антенных решеток множество А'егП состоит из единственного элемента - нуль-вектора. Множество ZL есть область изменения векторов неоднозначности.

Проведена оптимизация структур ряда систем решеток с независимыми базами при условии однородности решеток, заключающимся в равенстве длин порождающих векторов. Анализ полученных решении показывает, что локальными экстремумами по критерию минимальной вероятности аномальной ошибки при максимальной точности являются кольцевые структуры.

Предложена методика оптимизации по критерию минимума вероятности аномальной ошибки при заданных ограничениях на точность, применяемая к плоским системам дипольных решеток. Приведены результаты оптимизации системы при L = 5 с соединением датчиков по типу «звезда».

Исследуется устойчивость к изменению параметров (таких как масштаб решетки или дисперсия шума) кольцевых конфигурации трех типов: «звезда» (с центральным элементом), «цепь»(без центрального элемента), независимые соединения. Установлены оптимальные параметры структур. Рекомендуется использовать кольцевые конфигурации, приемные элементы которых расположены в вершинах правильных многоугольников с нечетным количеством вершин.

Результаты главы получены при личном участии автора диссертации.

В четвертой главе рассматривается реализация С^И-алгоритма, используемого в методе поворота подпространств. Показана возможность получения замкнутых выражений для оценок пространственных частот. Представлен ряд результатов моделирования по определению качества работы алгоритмов: определение вероятности правильного оценивания число. источников, вычисление числовых характеристик качества оценивания пространственных частот при помощи ОБ,- и (^-алгоритмов, их сравнение. Результаты представлены в виде графиков. Редуцированный алгоритма проигрывает стандартному алгоритму поворота подпространств в точности оценок пространственных частот, но в большинстве случаев, использование матриц с пониженной размерностью приемлемо и дает выигрыш по быстродействию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В представленной работе решалась задача оценивания волновых векторов по измерениям пространственных частот нескольких источников излучения на системе дипольных решеток. Алгоритм оценивания состоит из этапов:

- определение числа источников излучения;

- оценивание пространственных частот;

- согласование частот, устранение неоднозначности, вычисление оценок волновых векторов.

Основными требованиями к алгоритму являются: максимальная точность оценок, минимальная вероятность аномальных ошибок и максимальное быстродействие. Одновременно удовлетворить всем этим требованиям нельзя, поэтому задача решалась поэтапно.

При построении алгоритма: 1. Разработан критерий оценки числа источников излучения на основе анализа собственных чисел корреляционной матрицы сигналов. Проведено компьютерное моделирование для определения вероятности правильного оценивания числа источников от дисперсии аддитивного

шума, углового расстояния между источниками и размера сигнальной выборки. Результаты представлены в виде графиков, которые можно использовать для определения оптимальных соотношений между исследуемыми параметрами.

2. Получена максимально правдоподобная оценка совокупности волновых векторов по измерениям пространственных частот, полученных методом поворота подпространств, обобщающая соответствующую оценку теории многоппсальных измерителей. При этом сделано обоснование выбора плотности распределения ошибок на основе принципа максимальной энтропии.

3. Проведена редукция метода поворота инвариантных подпространств, позволяющая при дополнительных ограничениях на структуру системы длпольных решеток существенно понизить вычислительные затраты оценивания пространственных частот и последующего оценивания волновых векторов. Вычислены характеристики качества оценок редуцированного алгоритма путем моделирования на ЭВМ.

4. Для структуры системы дипольных решеток с независимым типом формирования баз разработан алгоритм согласования измерений пространственных частот на основе принципа максимального правдоподобия. Предложен эвристический алгоритм согласования для волновых фронтов распространяющихся в одной плоскости.

0. Указана возможность получения замкнутых выражений оценок для метода поворота подпространств.

Второй основной задачей, рассмотренной в работе, была задача синтеза структуры системы, обеспечивающей оптимальные характеристики качества оценок (точности оценок и вероятности аномальных ошибок).

В рамках решения задачи синтеза:

1. Предложена методика стохастической оптимизации структуры системы для уменьшения вероятности аномальной ошибки при заданных ограничениях на точность, позволяющая находить решения близкие к оптимальным.

2. Проведена оптимизация ряда плоских систем дипольных решеток при условиях однородности структуры. На основе полученных результатов сделан вывод об оптимальности кольцевых структур.

3. Исследована устойчивость оценок волновых векторов, полученных на кольцевых конфигурациях, к изменению таких параметров системы, как масштаб решетки, дисперсия измерения пространственных частот пли центральная частота принимаемого сигнала. Получены устойчивые структуры.

Список литературы

[1] Белов В .И. Теория фазовых измерительных систем. / под. ред. проф. Г.Н.Глазова. - Томск: ТГАСУР 1994. С.144.

[2] Белов В.И. Квазиоптималъный алгоритм устранения неоднозначности в многошкальной фазовой измерительной системе. // Радиотехника и электроника. 1990. Т.35, N.8, С.1642-1645.

[3] Белов В.И. Оценка достоверности оптимального и квазиоптимального алгоритмов обработки многошкальных фазовых измерений. Ц Радиотехника и электроника. 1994. Т.39, N.10, С.1619-1627.

[4] Белов В.И., Денисов В.П. Оптимизация антенных структур фазовых пеленгаторов по критерию минимума вероятности аномальной ошибки. Ц Радиотехника и электроника. 1990. Т.35, N.3, С.521-527.

[5] Белов В.И., Челембий В.М. Об одном алгоритме определения параметра в многошкальной фазовой измерительной системе. // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39, N.10, С.1619-1624.

[6] Вайс А.Дж., Уиллски A.C., Леви Б.Ч. Обработка сигналов решетки по максимуму правдоподобия для оценивания налагающихся сигналов. // ТИИЭР. 1988. Т. 76, N.2, С.119-120.

[7] Денисов В.П. О потенциальной точности фазового пеленгатора с антенной системой в виде линейной решетки. // Радиотехника и электроника. 1978. Т.35, N.8, С.1631-1636.

[8] Джонсон Д.Х. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения. // ТИ-ИЭР. 1982. Т. 70, N.9, С.126-139.

[9] Караваев В.В., Сазонов В.В. Статистическая т.еория пассивной локации. - М.: Радио и связь, 1987, С. 240.

[10] Кен С.М., Марпл СЛ. Современные методы спектрального анализа: Обзор. // ТИИЭР. 1981. Т. 69, N.II, С.5-51.

[11] Пензин К.В. Алгоритмы оперативной обработки многошкальных измерений по критерию максимального правдоподобия. // Радиотехника и электроника. 1990. Т.35, N.l, С.97-106.

[12] Пензин К.В. Синтез структуры многошкальных многопарам.етриче-ских измерительных систем. // Радиотехника и электроника. 1990. Т.35, N.II, С.2317-2326.

[13] Поваляев A.A. Вычисление характеристик качества и синтез многошкальных измерительных устройств, осуществляющих построение оценки максимального правдоподобия. // Радиотехника и электроника. 1978. T.XXIII, N.l, С.48-56.

[14] Поваляев A.A., Палъмбах Д.Г. Вычисление характеристик качества и синтез многошкального измерительного устройства при последовательном устранении неоднозначности. // Радиотехника и электроника. 1984. Т.29, N.10, С.1927-1932.

15] Полрадж А., Рой Р., Кайлах Т. Оценивание параметров сигнала методом поворота подпространств // ТИИЭР. 1986. Т. 74, N.7. С.165-166.

16] Собцов Н.В. Задача регрессии при неоднозначных измерениях. // Радиотехника и электроника. 1974. T.XIX, N.7, С. 1543-1546.

17] Собцов Н.В. К задаче регрессии при неоднозначных измерениях. // Радиотехника и электроника. 1978. Т.ХХШ, N.6, С. 1303-1305.

18] Borgiotti G.V. Maximum Theortical Angular Accuracy of Planar and Linear Arrays of Sensor. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. 1977. Vol. AES-13, N2, PP 208-216.

19] Haykin S.S., Ed Nonlinear Methods of Spectral Analysis. / Neq York: Springer-Verlag. 1979.

Список публикаций автора по теме диссертации:

[20] Лавров Д.Н. Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем диполъиых решеток. // Вестник Омского университета, 1996. N.1, С.27-29

[21] Лавров Д.Н. Хомич Е.В. Алгоритм согласования измерений, полученных от диполъных решеток. // Динамика систем, механизмов и машин. Международная научно-техническая конференция: Тез. докл. Омск, 1995. Кн.1, С.59-60

[22] Лавров Д.Н. Хомич Е.В. Оценивание волновых векторов системой диполъных решеток. // Фундаментальная и прикладная математика / под ред. А.К.Гуца: Сборник научных трудов. Омск, 1994. С. 112-119

[23] Лавров Д.Н. Хомич Е.В. Многошкалъный измеритель как система диполъных решеток: Обработка измерений и синтез структуры. / Омский гос. ун-т. Омск, 1997. 22 е., с ил., библиогр. 21 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 146-В98).

'-•.'4] Лавров Д.Н. Синтез структуры системы диполъных решеток. // Динамика систем, механизмов и машин. II Международная научно-техническая конференция: Тез. докл. Омск, 1997. Кн.1, С.99

[25] Лавров Д.Н. Параллельная обработка многошкальных измерений, полученных от системы диполъных решеток. // Нейроинформатика и ее приложения. V Всероссийский семинар: Тез. докл. Красноярск, 1997. С.114

[26] Лавров Д.Н. Плотность с максимальной энтропией ошибки измерения фазы. Ц Вестник Омского университета, 1997. N.4. С. 14 -16

[27] Лавров Д.Н. Совместная плотность распределения ошибок в многош-калъном измерителе. // Математические структуры и моделирование. Под ред. А.К.Гуца, Омск: Омский гос. ун-т., 1998. Вып.1. С.54-59

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 621.396

Лавров Дмитрий Николаевич

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ НА СИСТЕМЕ ДИПОЛЬНЫХ РЕШЕТОК

Специальность 05.13.16 -«Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях»

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -кандидат технических наук, доцент Е.В. Хомич.

Омск - 1998

Содержание

Введение 4

Глава 1. Методы оценивания угловых координат нескольких

источников 14

1.1 Задача оценивания угловых координат............ 14

1.2 Вычисление пространственных частот нескольких источников .............................. . 16

1.3 Оценивание порядка модели сигнала и количества источников ............................... 25

1.4 Устранение неоднозначности в измерениях пространственных частот............................ 27

Глава 2. Алгоритмы получения и обработки пространственных частот в системах дипольных решеток 34

2.1 Задача оценивания совокупности волновых векторов .... 34

2.2 Оценивание пространственных частот............ 38

2.3 Оценка волновых векторов по критерию минимума среднеквадратичной ошибки .................... 42

2.4 Обоснование выбора плотности распределения ошибки измерения пространственных частот.............. 43

2.5 Оценка максимального правдоподобия............ 56

2.6 Оценка максимального правдоподобия при неоднозначных измерениях............................ 58

2.7 Алгоритм согласования пространственных частот на основе принципа максимального правдоподобия....... 60

2.8 Эвристический алгоритм согласования............ 62

2.9 Оценивание волновых векторов без согласования пространственных частот...................... 63

2.10 Оценивание числа источников................. 64

2.11 Редуцированный алгоритм оценивания совокупности вол-

новых векторов ......................... 66

Глава 3. Синтез системы дипольных решеток 69

3.1 Характеристики качества оценок волновых векторов ... 69

3.2 Область значений векторов неоднозначности................71

3.3 Структура соединений датчиков в системе дипольных решеток ..............................................................73

3.4 Оптимизация систем с независимыми базами................76

3.5 Оптимизация структур типа «звезда» и «цепь» ..............83

3.6 Устойчивость систем с кольцевой конфигурацией к изменению параметров системы......................................84

Глава 4. Особенности реализации алгоритмов и моделирование 54 88

4.1 Структура алгоритма оценивания волновых векторов ... 88

4.2 Вычисление обобщенных собственных чисел в алгоритме оценивания волновых векторов ................ 88

4.3 Определение вероятности правильного оценивания числа источников............................ 95

4.4 Вычисление характеристик алгоритмов оценивания пространственных частот...................... 97

4.5 Расчет вероятности аномальной ошибки для правильной семиэлементной кольцевой антенной решетки........107

Заключение 112

Приложение А. Арифметические минимумы и точности оценок на кольцевых решетках 121

Приложение Б. Замкнутые выражения собственных чисел

корреляционных матриц 125

Введение

Актуальность работы. Оценивание угловых координат точечного источника излучения по измерениям на антенной решетке является классической задачей радиолокации, гидролокации и сейсмологии. Так как направление распространения волны в точке приема характеризуется векторным волновым числом, которое в дальнейшем называется волновым вектором, то задача определения угловых координат эквивалентна оцениванию волнового вектора. В радиолокации алгоритмы определения угловых координат включаются в системы навигации, системы наблюдения за воздушным пространством аэродромов и т.п. В гидролокации алгоритмы используются для обнаружения и слежения за подводными целями. В сейсмологии применяются для регистрации землетрясений и подземных ядерных испытаний.

Основными трудностями при построении алгоритмов оценивания являются: во-первых, наличие нескольких источников излучения с близкими частотными характеристикам, разрешение которых возможно только по пространственным переменным, то есть по угловым координатам или волновым векторам; во-вторых, возможная неоднозначность оценок, если расстояние между соседними элементами антенной решетки больше, чем половина длины волны приходящего волнового фронта. Второе особенно значимо в радиолокации высокочастотного диапазона, так как размер элементов антенной решетки может оказаться больше длины волны. Кроме того, использование разреженных решеток (с шагом большим половины длины волны) дает существенный выигрыш по аппарат-

ным затратам, так как точность оценок определяется, в большей степени, не количеством элементов решетки, а размером апертуры. При технической реализации алгоритмов часто требуются условия простоты реализации и быстродействия.

Большое число методов определения волновых векторов нескольких источников излучения основывается на вычислении пространственного спектра. Для линейных неразреженных эквидистантных решеток разработан ряд эффективных алгоритмов [10, 13, 16, 18, 45, 32 и др.] получения оценок, основанных на эквивалентности представления сигнала во временной и пространственной областях. Для работы этих алгоритмов необходимо решение вспомогательных задач: определение числа источников излучения и (или) оценивание порядка модели сигнала. После работы алгоритмов, в общем случае, получаются не сами волновые вектора, а скалярные произведения их на вектора соединяющие соседние датчики решетки. Эти скалярные произведения принято называть пространственными частотами, и они должны быть дополнительно обработаны для получения оценок волновых векторов. Кроме того, при шаге решетки большем половины длины волны принимаемого сигнала эти оценки являются неоднозначными.

Решение задачи устранения неоднозначности оценки при воздействии на решетку волнового фронта от одного источника излучения дает теория многошкальных измерителей, сформированная работами В.И. Белова, В.П. Денисова, К.В. Пензина, А.А Поваляева, Н.В. Собцова и других учёных [2, 3, 4, 5, 11, 27, 28, 29, 31, 35, 36, 42 и др]. В рамках теории ставятся две основные задачи: первая — построение максимально

правдоподобной оценки волнового вектора и эффективных алгоритмов ее вычисления [3, б, 27, 35, 36, 42], вторая — определение характеристик качества и синтез структуры измерителя [4, 5, 11, 28, 29, 31]. Одним из ограничений алгоритмов оценивания является предположение о единственности принимаемого сигнала на заданной частоте.

Целью работы является построение и исследование оценки совокупности волновых векторов по измерениям на системе дипольных решеток, а также разработка эффективных по вычислительным затратам алгоритмов её получения.

Для достижения этой цели необходимо было выполнить исследования по следующим направлениям. В теоретическом плане:

- разработать критерий определения числа источников излучения;

- исследовать методы вычисления пространственных частот для линейных решеток с целью изучения возможности их использования в общей схеме оценивания волновых векторов;

- исследовать возможности увеличения быстродействия выбранного алгоритма оценивания пространственных частот;

- разработать модель многошкальных измерений пространственных частот нескольких источников;

- разработать алгоритм оценивания совокупности волновых векторов по измерениям пространственных частот;

- исследовать возможности увеличения быстродействия частных алгоритмов, включенных в схему оценивания совокупности волновых векторов.

В экспериментальном плане:

- исследовать работоспособность и качество разработанных алгоритмов и критериев;

- разработать методику синтеза систем дипольных решеток;

- провести компьютерное моделирование синтеза по предложенной методике;

- исследовать устойчивость оценок волновых векторов, полученных на синтезированных конфигурациях, к изменению таких параметров, как масштаб и дисперсия шума.

В плане технической реализации разработать и протестировать программное обеспечение, удовлетворяющее потребности моделирования.

Методы исследований, выполненных в диссертации, базируются на методах математической статистики, теории многошкальных измерителей и компьютерном моделировании:

- при разработке метода оценки пространственных частот использовался метод поворота инвариантных подпространств;

- при построении алгоритма оценивания совокупности волновых векторов применялся метод максимального правдоподобия и метод минимума среднеквадратической ошибки;

- алгоритм устранения неоднозначности основан на алгоритме частичного перебора;

- расчет вероятности правильного определения числа источников производился методом статистических испытаний;

- при синтезе систем дипольных решеток использовались оптимизационные процедуры: метод пассивного поиска, метод циклического покоординатного спуска, в котором где в качестве алгоритма одномерной оптимизации применяется гибридный алгоритм, комбинирующий методы секущих, парабол и золотого сечения.

Теоретические исследования подтверждаются результатами компьютерного моделирования.

Научная новизна. К новым результатам относятся:

- модель многошкальных измерений пространственных частот, полученных на системе дипольных решеток;

- критерий определения числа источников излучения на основе анализа асимптотических доверительных интервалов собственных чисел корреляционной матрицы сигналов;

- алгоритм согласования пространственных частот, полученных от нескольких источников;

- результаты исследования устойчивости конфигураций систем дипольных решеток;

- совместная оценка совокупности волновых векторов.

Практическая и теоретическая ценность результатов работы:

- обоснована модель многошкального измерителя, построенного на системе дипольных решеток, и даны рекомендации по выбору структуры измерительной системы на основе совокупности технических требований;

- предложена методика синтеза систем дипольных решеток, позволяющая оптимизировать характеристики точности оценки и вероятности аномальной ошибки;

- разработано программное обеспечение, позволяющее проводить компьютерное моделирование с целью определения характеристик эффективности проектных решений и автоматизировать обработку результатов моделирования;

- исследована устойчивость оценок волновых векторов, полученным по измерениям на кольцевых структурах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на Международной научно-технической конференции: «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1995), на II Международной научно-технической конференции: «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1997), на V Всероссийском семинаре «Нейроинформатика и ее приложения» (Красноярск, 1997).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

Структура и объем работы Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации составляет 127 стр. машинописного текста. Библиографический список насчитывает 50 наименований.

Основные положения, выносимые на защиту

I. Максимально правдоподобная оценка совокупности волновых векторов по измерениям пространственных частот, полученных мето-

дом поворота подпространств.

2. Редуцированный метод поворота инвариантных подпространств, позволяющий при дополнительных ограничениях на структуру системы дипольных решеток существенно понизить вычислительные затраты.

3. Алгоритм согласования измерений пространственных частот нескольких источников излучения на основе принципа максимального правдоподобия.

4. Критерий оценки числа источников излучения, основанный на анализе асимптотических доверительных интервалов собственных чисел корреляционной матрицы сигналов.

5. Методика синтеза структуры системы решеток, уменьшающая вероятность аномальной ошибки при заданных ограничениях на точность.

6. Результаты оптимизации ряда систем при условиях однородности, заключающейся в равенстве длин порождающих векторов, структуры плоских систем дипольных решеток. На основе полученных результатов сделан вывод об оптимальности кольцевых структур.

7. Численные характеристики устойчивости кольцевых конфигураций к изменению параметров системы (масштаба решетки, дисперсии ошибок измерения пространственных частот и т.п. ).

Содержание работы. Введение освещает основные задачи, возникающие при оценивании волновых векторов. Обосновывается актуальность

темы диссертации, отмечено в чем заключается новизна результатов, формулируются цели работы и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. Обсуждаются методы вычисления пространственных частот, сопутствующие методам задачи: определение числа источников излучения и оценка порядка модели. Рассматриваются методы оценивания волновых векторов и алгоритмы устранения неоднозначности. Делаются выводы о предпочтительном выборе метода поворота подпространств или процедур из семейства алгоритмов линейного предсказания.

Вторая глава целиком посвящена разработке алгоритмов обработки измерений, полученных на системе дипольных решеток. Процедура вычисления пространственных частот строится на основе метода поворота инвариантных подпространств [32]. Далее, пространственные частоты рассматриваются как многошкальные фазовые измерения О источников, на основе принципа максимума энтропии обосновывается использование усеченного гауссовского закона для аппроксимации распределения ошибок измерения пространственных частот (разностей фаз). Выводятся выражения для максимально правдоподобной оценки волновых векторов, формулируются сопутствующие задачи: согласование измерений и устранение неоднозначности; обсуждаются алгоритмы их решения. Предлагается критерий определения числа источников излучения на основе анализа собственных чисел корреляционной матрицы сигналов. Предлагается алгоритм оценивания совокупности волновых векторов, позволяющий как существенно сократить вычислительные затраты,

так и вести параллельную обработку принимаемых сигналов. Результаты данной главы получены при непосредственном участии автора.

В третьей главе предлагается методика синтеза систем дипольных решеток на основе критерия минимума вероятности аномальной ошибки при ограничении на точность оценок в предположении, что для обработки сигналов используется распараллеленный алгоритм, предложенный во второй главе. Приводятся и обсуждаются результаты синтеза при наложенном на систему дипольных решеток условии однородности, заключающегося в равенстве длин порождающих векторов. На основе полученных результатов делаются выводы о предпочтительном использовании кольцевых конфигураций. Исследуется устойчивость кольцевых конфигураций к изменению таких параметров, как масштаб решетки и дисперсия ошибок измерения пространственных частот. Результаты представлены в виде таблиц. Результаты главы получены при личном участии автора диссертации.

В главе четвертой рассматриваются особенности реализации численных методов, прежде всего, нахождения обобщенных собственных чисел при помощи С^В,-алгоритма. Рассмотрена возможность получения замкнутых выражений для оценок пространственных частот. Представлен ряд результатов моделирования по определению качества работы алгоритмов: определение вероятности правильного оценивания числа источников, вычисление числовых характеристик качества оценивания пространственных частот на основе С^Л- и (^-алгоритма и их сравнение, расчет характеристик качества семи-элементной кольцевой антенной решетки. Результаты представлены в виде графиков и таблиц, которые

позволяют сравнить качество используемых алгоритмов.

В заключении излагаются основные результаты работы.

В приложении А приводятся таблицы арифметических минимумов и характеристик точности кольцевых решеток трех исследуемых типов, используемых при определении устойчивости.

Приложение Б содержит результаты вывода замкнутых выражений для обобщенных собственных чисел корреляционных матриц через их компоненты.

Глава 1

Методы оценивания угловых координат нескольких источников

1.1 Задача оценивания угловых координат

Рассмотрим антенную решетку, составленную из набора М датчиков произвольно расположенных в пространстве. На решетку воздействует В волновых фронтов от источников, расположенных в дальней зоне апертуры решетки так, что распространяющиеся волновые фронты можно считать плоскими. Принимаемые сигналы будем считать узкополосными случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и центральной частотой и. Каждому фронту ставится в соответствие нормированный волновой вектор к = совпадающий с направлением распространения плоско�