автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Алгоритмы оптимизации в задачах идентификации и синтеза цифровых устройств автоматизированных систем управления

005001716

Окишев Андрей Сергеевич

АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ И СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.06 - «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами» (отрасль: промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О НОЯ 2011

Томск-2011

005001716

Работа выполнена в Омском государственном университете путей сообщения (ОмГУПС) и Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Научный руководитель - доктор технических наук

СЕРГЕЕВ Виктор Леонидович

Официальные оппоненты: доктор технических наук профессор

ЗАМЯТИН Николай Владимирович (ТУ СУР)

кандидат технических наук доцент КОЧЕГУРОВ Александр Иванович (Национальный исследовательский

Томский политехнический университет)

Ведущая организация - Омский государственный технический

университет

Защита состоится «24» ноября 2011 г. в 1515 часов на заседании диссертационного совета Д 212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40, ауд. 203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники.

Автореферат разослан «21» октября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При анализе и проектировании промышленных объектов и технологических процессов используются их математические модели. После определения структуры математической модели системы необходимо найти значения неизвестных параметров модели, при которых ее характеристики во временной или частотной области будут удовлетворять заданным требованиям. Классическим подходом к выбору параметров является использование численных методов безусловной оптимизации, которые минимизируют функционал ошибки между заданной и реальной характеристикой.

Методы безусловной оптимизации функций приведены в работах зарубежных ученых: Р. Флетчера, М. Пауэлла, У. Дэвидона, Д. Шанно, Дж. Дэнни-са, С. Бройдена, Д.Гольдфарба, Ф.Гилла, У.Мюррея, М.Райта, Б. Банди, Г. Мак-Кормика, А. Фиакко, Дж. Нойсдейла - и отечественных: Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, И.С. Березина, В.И. Крылова, A.A. Самарского, A.B. Пантелеева и др. Как правило, методы оптимизации требуют, чтобы начальные приближения параметров были достаточно близки к истинным значениям.

Предлагается в качестве основных методов безусловной оптимизации рассматривать итерационные процедуры поиска решений нелинейных уравнений. Такой подход позволяет использовать известные в прикладной математике итерационные методы и методики их исследования, которые приведены в работах Дж. Трауба, Дж. Ортеги, В. Рейнболдта, Ш.Е. Микеладзе и др.

Наиболее известным методом решения уравнений является метод Ньютона, использующий линейную аппроксимацию функции. Для повышения скорости сходимости в методе полиномиальной аппроксимации учитывается вторая производная ряда Тейлора.

Д ля функций многих переменных определение высших производных требует вычислительных затрат, поэтому в практических алгоритмах высшие производные заменяют комбинацией первых и получают градиентные методы решения уравнений, направление спуска в которых уточняется с помощью высших производных. Впервые такой подход был предложен К. Рунге и М. Кутга при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Итерационные методы оптимизации используются при параметрической идентификации моделей систем управления и при проектировании устройств обработки информации, таких как цифровые фильтры.

Основы теории идентификации заложены в трудах отечественных ученых: ЯЗ. Цыпкина, JI.A. Растригина, В.А. Бесекерского, A.M. Корикова, А.И. Рубана, В.В. Солодовникова и зарубежных: JI. Льюинга, Р. Изермана и др.

Оптимизационные методы синтеза цифровых фильтров приведены в работах зарубежных ученых: JI. Рабинера, Б. Гоулда, А. Антонью, А. Дечки, Т. Паркса, М. МакКлеллана, К. Штейглица, С. Чараламбуса и др.

Итерационные процедуры оптимизации, используемые в классических работах, хорошо разработаны и удобны при практической реализации, но учитывают первую и вторую производную, поэтому имеют низкую скорость сходимости. При идентификации и проектировании систем в реальном времени к алгоритмам предъявляются повышенные требования по скорости сходимости. Следовательно, разработка новых методов безусловной минимизации, обладающих высокой скоростью сходимости, является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в повышении качества идентификации автоматизированных систем управления технологическими процессами и ускорении проектирования цифровых устройств обработки информации с помощью алгоритмов оптимизации высокой скорости сходимости.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Разработаны алгоритмы безусловной оптимизации функций многих переменных, основанные на разложении в ряд Тейлора нелинейной функции, и исследованы основные свойства полученных алгоритмов.

2. Получены аналитические выражения для коэффициентов базовой последовательности, основанной на разложении в ряд Тейлора обратной функции.

3. Разработан алгоритм выбора коэффициентов аппроксимации обратной функции рекурсивной последовательностью, использующей значения функции и ее первой производной в нескольких точках. Определены аналитические выражения и проведен теоретический анализ основных показателей сходимости.

4. Проведены экспериментальные исследования предлагаемых методов с помощью программных средств Matlab для тестовых функций и выполнено сравнение результатов моделирования и теоретических исследований.

5. Разработаны рекуррентные вычислительные процедуры параметрической идентификации на основе алгоритмов высокой скорости сходимости.

6. Составлен алгоритм синтеза цифровых рекурсивных фильтров на основе метода минимизации /^-ошибки с использованием разработанных оптимизационных процедур.

Объект исследования. Объектом исследования являются математические модели автоматизированных систем управления технологическими процессами. При идентификации во временной области основными моделями являются разностные уравнения, при проектировании устройств обработки информации в частотной области рассматриваются передаточные функции, амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Предмет исследования - методы оптимизации и решения нелинейных уравнений на основе разложения функций многих переменных в ряды Тейлора с учетом высших производных.

Методы исследования. Теоретический анализ проводился на основе методов прикладной математики при безусловной минимизации функций многих переменных и численном решении нелинейных уравнений, теории матричного и тензорного исчислений, разностных уравнений и дискретных преобразований.

Научная новизна. В ходе работы были получены следующие новые научные результаты:

- найдены аналитические выражения для оценки показателей сходимости алгоритмов оптимизации, основанных на прямой интерполяции и доказано, что скорость сходимости ограничена третьим порядком;

- получена оптимальная с точки зрения вычислительных затрат базовая итерационная последовательность, основанная на обратной интерполяции, в которой порядок сходимости алгоритмов равен числу учитываемых производных;

- предложена рекурсивная аппроксимация высших производных значениями первых производных нелинейной функции, основанная на вычислении нескольких последовательных приближений по методу Ньютона и представлен алгоритм выбора значений коэффициентов аппроксимации, позволяющий получить методы оптимизации с заданными показателями сходимости;

- разработаны методы параметрической идентификации нелинейных динамических моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами с учетом высших производных, позволяющие увеличить скорость и область сходимости.

Значение полученных результатов для теории заключается в разработке нового подхода к построению методов решения оптимизационных задач на

основе обратной интерполяции с учетом высших производных, который позволяет синтезировать эффективные практические алгоритмы безусловной минимизации функций многих переменных.

Практическая ценность работы. Создана библиотека вычислительных процедур минимизации функции многих переменных с учетом высших производных для системы автоматизации математических вычислений МаЙаЬ. Разработаны тестовые программы для исследования основных показателей численных методов безусловной минимизации.

Представлены комплексы программ для идентификации и проектирования цифровых фильтров с использованием предлагаемых методов оптимизации. Программы функционально встроены в среду Ма^аЬ и обладают улучшенными характеристиками сходимости по сравнению со стандартными процедурами.

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы в ЗАО «Автоматика-Э» при разработке подсистемы идентификации компьютерного тренажера для операторов исследовательского ядерного реактора на быстрых нейтронах и в ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» при проектировании фильтра нижних частот для обработки потока данных демодулятора в составе цифрового радиоприемного устройства.

В работе автор защищает следующие положения:

1. Использование прямой интерполяции и последующей линеаризации Рунге-Кутга не позволяет получить алгоритмы безусловной оптимизации с порядком сходимости выше третьего.

2. Алгоритмы оптимизации на основе обратной интерполяции могут обладать более высоким порядком сходимости, который соответствует числу учитываемых высших производных.

3. Возможно построение рекурсивных вычислительных процедур на основе обратной интерполяции, которые используют значения только первой производной и при этом сохраняют высокую скорость сходимости.

4. Применение рекурсивных процедур, учитывающих высшие производные, при параметрической идентификации моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами и синтезе цифровых фильтров позволяет увеличить скорость и область сходимости алгоритмов.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были доложены и представлены на конференциях всероссийского и международного уровня:

XV-я международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (МЭИ, Москва,

2009 г.); XII-я и XIV-я Международные научно-практические конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (ТПУ, Томск, 2006 г., 2008 г.); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (НГТУ, Новосибирск, 2006 г.); II Межвузовская научно-практическая конференция «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (САГМУ, Самара,

2010 г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (ЧТУ, Чебоксары, 2010 г.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI век» (ДвГУПС, Хабаровск, 2009 г.); Юбилейная научно-техническая конференция «Современное состояние и перспективы развития специальных систем радиосвязи и радиоуправления» (ОНИИП, Омск, 2008 г.).

Публикации результатов работы. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ: 8 материалов конференций и 3 статьи, из которых 2 - в изданиях, определенных ВАК Минобрнауки России.

Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В опубликованных автором работах лично предложены и исследованы методы оптимизации с учетом высших производных [1,2]. Разработаны алгоритмы идентификации КЛ и РКЛ третьего и четвертого порядков сходимости, программные комплексы для идентификации параметров систем автоматического регулирования и синтеза цифровых фильтров [3, 6-8,11].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех основных глав и заключения, выполнена на 119 страницах машинного текста, содержит 29 иллюстраций, 19 таблиц, список использованной литературы из 130 наименований и 9 страниц приложений с результатами дополнительных исследований и актами о внедрении результатов работы. Общий объем диссертации -140 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность результатов диссертационной работы.

7

В первой главе рассмотрены основные математические модели и виды целевых функций при решении задач параметрической идентификации автоматизированных систем управления технологическими процессами и проектировании цифровых фильтров. Приведены основные градиентные методы безусловной оптимизации первого и второго порядка. Предложено заменить методы оптимизации алгоритмами нахождения корней нелинейных уравнений. Разработаны два способа построения вычислительных процедур, учитывающих значения не только первой, но и высших производных минимизируемой функции: первый основан на разложении прямой функции в ряд Тейлора с последующей линеаризацией; второй использует только разложение обратной функции.

Для получения методов безусловной оптимизации с учетом высших производных рассматривается задача нахождения корня х* нелинейного уравнения

х: /=^(х*), /=0. (1)

Первый способ. Допустим, что функция ^(х) е С в окрестности точки х*+1 = + Ах, поэтому ее можно заменить рядом Тейлора:

^^¿^.ДхИ + ДДАх), (2)

/=1 I!

где х^ е - вектор-столбец аргумента функции; Дх = х4+1 - х4; ^ = ^(х*);

^ е - вектор-строка /-ой производной, состоящий из ц частных производных функции /<" в точке х^; Я„(Ах) - остаточный член ряда.

В разложении (2) множители Дх'^еН'7'*1 представляют вектор-столбцы, вычисленные с помощью операции прямого тензорного произведения векторов: ДхИ = Дх®Дх , Дх[3' = ДхИ ® Дх,..., ДхИ = ДхМ ® Дх.

При линейной аппроксимации функции Дх) в разложении (2) учитывается только первая производная, что соответствует классическому методу Ньютона, в котором приближение хж определяется с использованием операций транспонирования (.. .)т и псевдообращения (...)+ векторов по формуле:

= (3)

Метод имеет квадратичную скорость сходимости.

Для построения более эффективных алгоритмов необходимо учитывать высшие производные Дх). Выражение (2) нелинейно относительно вектора Дх, поэтому применим процедуру линеаризации Рунге-Кутга, когда множители

Ах10 заменяются произведением б^1® Дх, и получим итерационную процедуру: ^,=x4-{F<n|lFf{5Hl®l]}T+.F,. (4)

Формула (4) реализует двухступенчатую процедуру. На первой ступени с помощью алгоритма (3) определяется вектор 8Ш. Нз второй ступени значение уточняется согласно выражению (4).

Второй способ. Рассмотрим эквивалентную (1) задачу поиска решения уравнения для обратной функции

х*: х'=ф(У), /=0, (5)

где Ф(у) - вектор-функция, обратная функции F(x); _yeR'.

Допустим, что обратная функция Ф(>>) еС" в окрестности точки У, тогда она может быть представлена в виде ряда Тейлора:

<Ф>фМ+£:^(у -y)'+Q,(y-y). (6)

/=1 J •

где у = F(x) - точка в окрестности у\ Q„iy-y) - остаточный член ряда.

Учитывая условия (5), запишем обратную функцию в явном виде:

i=0 »!

где коэффициенты А, вычисляют по рекурсивным формулам:

Алгоритм для определения нового приближения записывается в виде:

(8)

¡=1 1-

Использование обратной интерполяции, в отличие от разложения прямой функции, позволяет получить аппроксимацию функции F(\), линейную относительно переменной хж, поэтому в итерационных процедурах, учитывающих высшие производные, нет необходимости в линеаризации выражений.

Во второй главе разработаны и исследованы практические алгоритмы решения нелинейных уравнений с учетом высших производных. Получены значения коэффициентов аппроксимации и аналитические выражения для оценки точности и скорости сходимости вычислительных процедур на основе прямой интерполяции. Для обратной интерполяции разработана базовая итерационная

последовательность и представлен новый алгоритм выбора значений коэффициентов аппроксимации высших производных.

Процедуры на основе прямой (4) и обратной (8) интерполяции содержат

векторы частных производных е К1"', поэтому обладают большой вычислительной сложностью. Предлагается аппроксимировать последовательности, учитывающие высшие производные, выражениями, включающими одно значение функции и несколько значений первой производной в разных точках.

Непосредственное определение высших производных в выражении (4) не требуется, если ввести следующую аппроксимацию:

= Ъ +|£а/,)(х, +Р; -5ы)|.Дх. (9)

Неизвестные значения параметров ар (Зу при заданном т могут быть найдены из системы нелинейных алгебраических уравнений

т т 1

£а,=1; ] = 1,2,...,2т-1, (10)

ы 7 + 1

которая была получена путем сравнения соответствующих коэффициентов при разложении ^(х* +Р; в многочлены Тейлора степени 2т с представлением (4) при п = 2т.

Оценка точности линейного приближения (9) к функции /•'(х) проводилась по величине остаточного члена, когда вектор 8*н принимался равным т|Дх, где г] лежит в пределах т|е[0;1]. Погрешность аппроксимации при произвольном значении т и выполнении всех уравнений системы (10) имеет вид:

г,, (п, Ах) = Л„ (т], Ах) +о(|Дх12т+11||), (11)

2т-\

Ли (ц, Ах) = (1 - Л) I ГЦ (Ах) + ц2т-%т (Ах). (12)

ы

В работе получены оценки показателей сходимости предлагаемых итерационных функций (ИФ) в виде:

II х,+1-х-||/||х,-х (13)

где р - порядок сходимости; Ср-константа сходимости.

Если все элементы последовательности {х4}, принадлежат отрезку [а, Ь],

где а,Ь е И', а для матричных норм выполняются условия

= ш | Р0)(Х) |, М2 = тах|| Е«(х) |, Л/3 = гшх|| Р«(х) |,

то при учете в выражении (4) первой и второй производной аппроксимация (9) имеет третий порядок сходимости:

2 М, М\

(14)

щ т;)

При учете третьей и более высоких производных повышается точность, но не порядок сходимости, поэтому при аппроксимации используются только первая и вторая производные.

Для обратной интерполяции необходимо получить базовую итерационную последовательность, так как в выражении (7) она задана неявно. После введения обозначений

А^АрО.^Ор.^^^ОДр.^ (15)

выражение (8) можно переписать в виде последовательности ИФ

п 1=2

где Р/ - многочлены, включающие значения высших производных от Р(2) до Б*0.

Аналитические выражения для Р1(\2,..., А,) были получены дифференцированием уравнения Ф^(х))= х по векторной переменной х. Итерационные

функции базовой последовательности <рт(х) приведены в табл. 1. В отличие от прямой интерполяции, для всех функций базовой последовательности порядок сходимости равен порядку последней учитываемой производной.

Таблица 1 - Базовая итерационная последовательность

п Итерационная функция <р„(х)

1 Ф1 (х) = х и

2 Ф2(х)= х-и- А2и2

3 Фз (х) = х - и - А2и2 - (2 А2 - А3)и3

4 ф4 (х) = х - и - А2и2 - (2 А22 - А3)и3 - (5 А32 - 5А2 А3 + А4)и4

Коэффициенты А, включают /-ые производные функции многих переменных. Базовую последовательность можно заменить рекурсивной аппроксимаци-

ей (РА), содержащей значения только самой функции и ее первой производной

уДх)=х-1алМ> (17)

/=1

где У,={р(,)}Т>(х) = и(х); у2 = {р(,)(х + р1у1(х))}Т>(х);

у3 = { Р» (х + р2у, (х) + рзуг (*)) )Т+ ^(х).

После выбора структуры аппроксимирующего полинома необходимо определить его параметры а; и рь при которых он имеет тот же порядок сходимости, что и аппроксимируемая одноточечная ИФ. Для этого функции V,- раскладываются в ряды Тейлора относительно переменной и, а погрешность аппроксимации определяется как разность функций у„(х) и ф„(х). Например, для РА третьего порядка погрешность аппроксимации имеет вид: (х) - ч»3 (х) = (1 - ^ - а2)и + (1 + 2р,а2) А2и2 + +(2-4Р,2а2) КУ +(зр12а2 -1)А3и3 +о\\ и41|. °

Автором предложен алгоритм выбора коэффициентов, состоящий из двух этапов. На первом этапе определяется общая вычислительная схема в соответствии с требуемым порядком сходимости. ИФ \у„(х) имеет порядок сходимости п тогда и только тогда, когда в разности «|/„(х) - <р„(х) слагаемые при и, и2, ..., и""' равны нулю, а слагаемое при и" не равно нулю. Это условие позволяет установить соотношения между параметрами а, и р„ обеспечивающие требуемый порядок сходимости, и определить общий вид константы сходимости.

На втором этапе выбираются конкретные значения свободных параметров р„ так чтобы минимизировать величину погрешности и упросить аналитические выражения для практических итерационных алгоритмов. Значения связанных параметров а,- определяются по соотношениям, полученным на первом этапе.

Общий вид констант сходимости и погрешности приближений при различных а, и р, для РА трегьего и четвертого порядка приведен в табл. 2. При выборе значений а, и р, предпочтение следует отдать алгоритмам с наименьшей величиной константы сходимости. Для большинства гладких функций выполняется условие Ца^^Ца^Ц, поэтому в ИФ порядка п константа сходимости будет иметь меньшее значение, если в нее не будут входить слагаемые А2(х),..., А„_!(х), и для алгоритмов третьего и четвертого порядка выбраны соответственно первый и пятый наборы коэффициентов из табл. 2.

Таблица 2 - Параметры итерационных функций третьего и четвертого порядков

п К Р. р2 Рз а! а2 аз Константа сходимости С„

Общий вид: С3 = 2(Р,

1 -1 0 0 1/2 1/2 0 1/2 А3 (х*)

3 2 -1/2 0 0 0 1 0 А>(х*)-1/4АЗ(Х*)

3 -2/3 0 0 1/4 3/4 0 2/ЗА!(Х')

4 -6/7 0 0 5/12 7/12 0 2/7(А22(х>А3(х'))

с4 = [4р,(у + 1) + У у + 5} А32 - (6у + 5)(Р, +1) А2А3 + + ^(Г + Р1) + 1^А4,У = Э2 + Р1

5 -1 -9/16 -3/16 5/18 -1/6 8/9 1/6А4(Х*)

6 -1 -1/4 -1/4 1/6 1/6 2/3 1/3 АЦх)

7 -1 -4/9 -2/9 1/4 0 3/4 1/9(А32(х) + А4(Х))

8 -1 -1/9 -2/9 0 1/4 3/4 1/9(5АЦХ-)-А4(х-))

9 -1/3 1 -2 0 3/4 1/4 1/з(-А> (*> 2А2 (х*) А3 (х') -1/3 А4 (х*))

10 -1/3 0 -2/3 1/4 0 3/4 Аг (х) - 2/3 А2 (х') А3 (х) -1/9 А4 (х)

11 -1/3 5/12 -5/4 1/10 1/2 2/5 1/ЗАЦх)

12 -1/2 1 ~2 1/6 2/3 1/6 -1/3 А32 (х*) +1/2 А2 (х') А3 (х*)

В третьей главе разработаны методика и программное обеспечение для оценки изменения основных показателей численных методов безусловной оптимизации при учете высших производных. Оценивалось расширение области сходимости и увеличение скорости сходимости при переходе от метода Ньютона к методам решения уравнений, учитывающих третью (РАЗ) и четвертую (РА4) производную нелинейной функции.

Реализована программа для анализа алгоритмов решения нелинейных уравнений в среде математического моделирования МаИаЬ 7. Результаты экспериментальных исследований подтвердили теоретические показатели сходимости, как это видно из приведенных на рис. 1 зависимостей средней погрешности вычислений от шага итерации для методов Ньютона, РАЗ и РА4.

Экспериментальные исследования предлагаемых итерационных процедур показали, что учет высших производных в алгоритмах РА позволяет увеличить скорость сходимости, причем порядок сходимости соответствует числу учитываемых производных. Кроме того, при минимизации большинства нелинейных функций алгоритмы РА обеспечивают расширение области сходимости в среднем в 1,2-2 раза по сравнению с методом Ньютона.

В первой части четвертой главы отражены результаты практического применения разработанных алгоритмов с высокой скоростью сходимости к задачам идентификации параметров имитационных моделей локальных систем автоматического регулирования на атомных электростанциях. Во второй части приведены результаты использования предложенных алгоритмов при проектировании цифровых фильтров для устройств обработки информации о технологических процессах.

При параметрической идентификации модель объекта известна с точностью до параметров и начальных условий:

¿(/) = Е(х(/),и(/)); х(/0) = х°; (19)

у(г) = С-х(*), (20)

где £(/) = [г(?)|а]Т - расширенный вектор состояния размером дх1; г (г), п(0> У(0 - вект0Ры состояния, входного воздействия и выхода модели размерности лх1, #х1, /лх1 соответственно; а - г-мерный вектор оценок параметров; р(х(г),и(/)) - нелинейная функция размером д х 1; х° - вектор оценок начальных условий; С - матрица связи размером т х д.

Идентификация сводится к определению оценок вектора х((0) из условия минимума квадратичного функционала

14

^)=1(у(0-у('/))т-(у('/)-у(0)->'пь., (21)

где у(/,), у (О траектории объекта и модели; — число отсчетов времени.

Объект состоит из ядерного реактора и исполнительного механизма с регулирующим стержнем, посредством которого осуществляется автоматическое регулирование процесса выделения энергии в активной зоне реактора. Имитационная модель (рис. 2) включает точечную модель нейтронной кинетики реактора с учетом шести групп запаздывающих нейтронов, статическую Ли) и передаточную характеристики двигателя постоянного тока, нелинейную градуировочную характеристику стержня управления Идентифицируемыми характеристиками являются реактивности регулирующего рэф и компенсирующего рзап стержней и начальные значения параметров состояния реактора.

и{() - управляющее напряжение двигателя; Т„ кя - постоянная времени и коэффициент передачи двигателя; /с(/), р*(/), рэф - координата, мгновенная и маски-мальная реактивности регулирующего стержня; рзап - запас реактивности компенсирующего стержня; р(/) - общая рекативность; р(/) - мощность реактора.

Рис. 2. Структурная схема имитационной модели

При идентификации уравнение модели (19), нелинейное относительно искомого вектора состояния х(г), заменяется отрезками ряда Тейлора, включающими первые три производные функции Р, в соответствии с алгоритмами классической (ЮТ) и разностной (РКЛ) квазилинеаризации. Далее для линеаризации полученных выражений используются разработанные рекурсивные процедуры высокой скорости сходимости.

Вводится показатель качества идентификации на итерации к

■Г^ЁШ-Ш)2' (22)

;=о

где .}'(/,) - траектория объекта; ук (/,) - траектория модели на к-ой итерации.

Графики показателя для алгоритмов КЛ и РКЛ второго, третьего и четвертого порядков сходимости приведены на рис. 3.

а — алгоритмы KJI; б — алгоритмы РКЛ

2,3,4 - алгоритмы KJI и РКЛ 2-го, 3-го и 4-го порядка сходимости Рис. 3. Графики показателя качества идентификации

В работе исследован как детерминированный случай, так и стохастический, когда в наблюдениях учитывалась помеха. В большинстве экспериментов выявлено преимущество в точности и скорости сходимости методов PKJI, учитывающих высшие производные, пс> сравнению с классическими методами (рис. 3). Результаты использованы в ЗАО «Автоматика-Э» при разработке подсистемы идентификации компьютерного тренажера для операторов исследовательского ядерного реактора на быстрых нейтронах.

Автоматизированные системы управления технологическими процессами включают устройства сбора и обработки информации, которые рассчитаны на работу с сигналами в определенном частотном диапазоне. Для выделения полезных сигналов из помех используют блоки аппаратно или программно реализованных цифровых фильтров (ЦФ).

Основной математической моделью ЦФ во временной области является разностное уравнение N-ro порядка с постоянными коэффициентами а, и Ь,\

у(п) = ^Ьгх(п-{]-^агУ{п-{), п>0, (23)

(=0 (=1

где х(п), у(п) - входная и выходная последовательности.

Передаточная функция фильтра H{z) определяется в комплексной области как --преобразование разностного уравнения:

м К N J 1 + h ■г'1 + h 7~2

я(*)=2>7 i+i^-'Цп(24)

1=0 /V /=1 У 1 1 + +a2JZ

где a¡¡ и b¡j - действительные коэффициенты; J=N/2 и На- константа.

В частотной области ш используется амплитудно-фазовая характеристика: Н\е'и'ту Л{шТ)ем,1-т\ (25)

где А(соТ) - амплитудная частотная характеристика (АЧХ); ф(<о7) - фазовая частотная характеристика (ФЧХ); Т-период дискретизации сигнала.

Основным этапом проектирования ЦФ является определение коэффициентов а, и Ь„ при которых его АЧХ удовлетворяет заданным требованиям. АЧХ цифрового фильтра на частоте со/ можно найти по формуле:

Л(х,ш,) = |л(еЛГ)|, (26)

где х = [¿>п Ь21 ап аг] ...Ьи Ъи аи аг] Я0]т е К? - вектор-столбец, содержащий # = 4У+ 1 неизвестных коэффициентов передаточной функции (24).

Задача проектирования фильтра сводится к минимизации ¿;,-нормы вектора ошибки, т.е. максимального отклонения £(х) текущей АЧХ от заданной

/ ч1/о

1Ф)Г

2

\

пи'п, (27)

\Е(х)

где р - норма ошибки; е, (х) = е(х, со,) = V, • | А(х,(и/)-Аг (со,) | - ошибка аппроксимации АЧХ на частоте сад Л(х,ю;) и А, (са;) - расчетная и заданная АЧХ соответственно; - весовой коэффициент; Ь — число точек АЧХ; Е(х) = [е, (х) е2 (х) ...е1 (х)]Т - вектор ошибки; £(х) = тах| е,(х)|^0.

Разработан комплекс программ для проектирования цифровых рекурсивных фильтров по заданным частотным характеристикам методом минимизации £р-нормы ошибки с использованием предлагаемых алгоритмов.

Программное обеспечение использовалось на предприятии ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» для проектирования цифрового узкополосного ФНЧ для обработки потока данных демодулятора в составе цифрового радиоприемного устройства. К фильтру предъявлялись следующие требования: полоса пропускания// = 500 Гц; неравномерность в полосе пропускания а! = 1 дБ; полоса задерживания от^= 1000 Гц; минимальное ослабление в полосе задерживания а2 = 100 дБ; частота дискретизации /г = 78125 Гц. Исследованы области сходимости квазиньютоновских методов оптимизации и методов решения уравнений, учитывающих высшие производные. Экспериментальные данные подтвердили расширение области сходимости алгоритмов РАЗ и РА4 по сравнению с квазиньютоновскими методами ББР и ВвРБ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Содержанием работы является разработка алгоритмов высокой скорости сходимости для повышения качества идентификации моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами и ускорения проектирования цифровых устройств обработки информации. Основой алгоритмов являются методы решения нелинейных уравнений, учитывающие высшие производные функций многих переменных.

1. Предложено заменить методы оптимизации алгоритмами численного нахождения корня нелинейного уравнения. Основным алгоритмом является метод Ньютона, который учитывает только первую производную нелинейной функции и обладает квадратичной скоростью сходимости. Предложены более эффективные процедуры решения уравнений, учитывающие высшие производные. Предлагается два подхода: первый основан на разложении прямой функции в ряд Тейлора с последующей линеаризацией, а второй использует только разложение обратной функции.

2. Разработаны методы безусловной оптимизации, основанные на разложении в ряд Тейлора прямой функции. Получены аналитические выражения для оценки точности и скорости сходимости предлагаемых процедур. Установлено, что максимальная скорость сходимости методов ограничена третьим порядком и не зависит от количества учитываемых высших производных.

3. Получена базовая итерационная последовательность, использующая разложение обратной функции в ряд Тейлора, которая, в отличие от разложения прямой функции, позволяет получить алгоритмы нахождения численного решения нелинейных уравнений с порядком сходимости, равным числу учитываемых производных.

4. Предложена рекурсивная аппроксимация высших производных значениями первых производных нелинейной функции и разработан универсальный алгоритм проектирования численных методов безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений, состоящий из двух этапов. На первом этапе обеспечивается требуемый порядок сходимости, а на втором - минимизируется величина погрешности. В результате достигнуто уменьшение вычислительной сложности практических алгоритмов без ухудшения показателей сходимости.

5. Проведены экспериментальные исследования предлагаемых алгоритмов в среде автоматизации математических вычислений Ма^аЬ 7 для пяти тестовых функций, которые подтвердили теоретические соотношения для скоро-

стей сходимости, а также показали расширение области сходимости при учете высших производных.

6. Разработана подсистема идентификации компьютерного тренажера для операторов исследовательского реактора на быстрых нейтронах с использованием методов классической и разностной квазилинеаризации с учетом второй и третьей производных. Для принятой имитационной модели ядерного реактора и исполнительного механизма проведены расчеты по идентификации параметров и состояний. Подтверждено преимущество разработанных алгоритмов по точности и скорости сходимости по сравнению с классическими методами идентификации. Результаты работы внедрены в ЗАО «Автоматика-Э».

7. Разработано математическое и программное обеспечение для расчета коэффициентов цифровых рекурсивных фильтров на основе заданных частотных характеристик. Предложенные алгоритмы позволили увеличить скорость вычислений по сравнению со стандартными методами. Программное обеспечение использовалось в ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» при проектировании фильтра нижних частот для обработки потока данных демодулятора в составе цифрового радиоприемного устройства.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, определенных ВАК Минобрнауки России:

1. Окишев А. С. Применение обратной интерполяции в численных алгоритмах синтеза цифровых фильтров // Доклады ТУСУРа.- 2010. - №2 (22), 4.1-С. 319-323.

2. Окишев А. С. Формирование и исследование численных методов оптимизации, учитывающих высшие производные /У Омский научный вестник. Серия Приборы, машины и технологии. - 2010. - №3 (93) - С. 20-25.

Статьи и материалы международных и всероссийских конференций:

3. Окишев А. С. Особенности проектирования некоторых цифровых фильтров по их аналоговым прототипам // Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта: сб. науч. статей аспирантов и студентов Омского гос. ун-та путей сообщения. - 2006. - Вып. 6. - С. 125-130.

4. Раб Е. И., Любченко А. А., Окишев А. С., Деглан В. А., Краснокуц-кий И. Н. Система управления и обработки информации в автоматизированном диагностическом комплексе // 15-я межд. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика»: тез. докл. (Россия, Москва, 26 - 27 февраля 2009 г.). - Т. 1. - С. 342-344.

19

5. Саньков М. Г., Окишев А. С., Бетев Ю. Ю. О постановке задачи оптимизации моделей телекоммуникационных систем // Материалы всеросс. науч. конф. молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Россия, Новосибирск, 7-10 декабря 2006 г.). - ч. 1 - С. 65-66.

6. Окишев А. С. Алгоритмы синтеза информационно-измерительных систем на основе численных методов решения нелинейных уравнений // Материалы II всеросс. науч.-практ. конф. с мелед. участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (Россия, Самара, 14-15 октября 2010 г.). - С. 46-51.

7. Окишев А. С. Выбор численных методов безусловной оптимизации при проектировании цифровых рекурсивных фильтров // Материалы VII всеросс. науч.-техн. конф. «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (Россия, Чебоксары, 4-5 июня 2010 г.). - С. 171-173.

8. Окишев А. С. Анализ частотных методов синтеза цифровых рекурсивных фильтров по их аналоговым прототипам // Сб. трудов XII межд. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (Россия, Томск, 27 - 31 марта 2006 г.). - Т2. - С. 102-104.

9. Александров И. В., Окишев А. С., Когут А. Т. Применение численных методов при оценивании влияния параметров двухпроводной линии на качество распространения радиоволн // Материалы всеросс. науч.-практ. конф. с межд. участием «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке» (Россия, Хабаровск, 22 - 24 апреля 2009 г.). - Т.З. - С. 14&-153.

10. Актаев Н. Е., Окишев А. С. Синтез программного управления механическими колебаниями виброисточника с использованием метода Розенброка // Сб. трудов XIV межд. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (Россия, Томск, 24 - 28 марта 2008 г.). - Т2. - С. 228-229.

11. Когут А. Т., Окишев А. С., Любченко А. А. Применение методов оптимизации при обработке сигналов // Юбилейная науч.-техн. конф. «Современное состояние и перспективы развития специальных систем радиосвязи и радиоуправления»: тез. докл. (Россия, Омск, 15-16 декабря 2008 г.). - С. 60-61.

Типография ОмГУПСа. 2011. Тираж 100 экз. Заказ 720. 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

Введение.

1. Методы решения нелинейных уравнений в задачах оптимизации и идентификации автоматизированных систем управления.

1.1. Описание объекта исследования.

1.2. Постановка задачи исследования.

1.3. Выводы.

2. Построение итерационных процедур высших порядков на основе первых производных.

2.1. Основные итерационные процедуры решения уравнений.

2.2. Итерационные процедуры на основе ряда Тейлора для прямой функции.22 2.2.1. Методика полиномиальной аппроксимации.

2.2.2. Аппроксимация высших производных.

2.2.3. Оценка скорости сходимости.

2.3. Обоснование и выбор оптимальной базовой последовательности.

2.4. Итерационные процедуры на основе обратной интерполяции».

2.4.1. Выбор параметров рекурсивной аппроксимации третьего порядка

2.4.2. Выбор параметров рекурсивной аппроксимации четвертого порядка.

2.5. Выводы.

3. Экспериментальные исследования*предлагаемых итерационных процедур.

3.1. Разработка методики исследования алгоритмов.

3.2. Исследование алгоритмов на тестовых функциях.

3.3. Выводы.

4. Применение алгоритмов высокой скорости сходимости при проектировании автоматизированных систем управления.

4.1. Идентификация модели нейтронной кинетики ядерного реактора.

4.1.1. Постановка задачи идентификации в общем виде.

4.1.2. Алгоритм квазилинеаризации.

4.1.3. Алгоритм разностной квазилинеаризации.

4.1.4. Постановка задачи идентификации моделей АСУТП в АЭС.

4.1.5. Выбор имитационной модели.

4.1.6. Идентификация параметров и состояний имитационной модели.

4.2. Применение численных методов оптимизации при проектировании цифровых систем обработки информации.

4.2.1. Математические модели дискретных систем и типы цифровых фильтров.

4.2.2. Методы проектирования цифровых фильтров.

4.2.3. Синтез цифрового БИХ фильтра для системы обработки сигналов .112 4.2.3.1 Вычислительная схема алгоритма проектирования БИХ фильтров 115 4.2.3.2. Результаты синтеза цифрового фильтра нижних частот.

4.3 Выводы.

4.3 Выводы

1. Выполнена идентификация параметров компьютерной модели локальной системы автоматического регулирования для исследовательского ядерного реактора нулевой мощности. Идентифицируемый объект представляет собой ядерный реактор на быстрых нейтронах и исполнительный механизм в виде од-ностержневой сервоприводной системы регулирования. Принята имитационная модель, включающая точечную модель нейтронной кинетики реактора с учетом шести групп запаздывающих нейтронов, статическую и передаточную характеристики двигателя постоянного тока, нелинейную градуировочную характеристику стержня управления. Идентифицируемыми характеристиками являются реактивности регулирующего и компенсирующего стерженей и начальные значения параметров состояния реактора.

2. Проведены экспериментальные исследования методов классической и разностной квазилинеаризации с применением разработанных алгоритмов рекурсивной аппроксимации второго, третьего и четвертого порядка сходимости. Исследован как детерминированный случай, так и стохастический, когда в наблюдениях учитывались возмущения.

3. Получены результаты, согласующиеся с теоретическими предположениями. Выявлено преимущество предлагаемых алгоритмов, учитывающих высшие производные, перед классическими методами. Наилучшие показатели по точности и скорости сходимости выявлены у метода разностной квазилинеаризации, построенного на основе алгоритма четвертого порядка сходимости.

4. Рассмотрены основные математические модели дискретных систем обработки информации и методы проектирования цифровых фильтров во временной и частотной области. В качестве универсальной методики проектирования-БИХ фильтров предлагается использовать метод минимизации ¿^-ошибки между текущей и заданной амплитудной характеристикой. Созданы новые рекурсивные процедуры оптимизации для синтеза цифровых фильтров.

5. Предложен и реализован новый алгоритм определения коэффициентов БИХ фильтров и описаны основные этапы его работы. Разработан комплекс программ для проектирования рекурсивных фильтров.

6. Выполнено проектирование цифрового фильтра нижних частот, который используется в ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» в составе демодулятора устройства обработки информации для ограничения спектра частот входных сигналов.

122

Заключение

Содержанием работы является разработка алгоритмов высокой скорости сходимости для повышения качества идентификации моделей автоматизированных систем управления технологическими процессами и ускорения проектирования цифровых устройств обработки информации. Основой алгоритмов являются методы решения нелинейных уравнений, учитывающие высшие производные функций многих переменных. По содержанию работы можно выделить следующие основные результаты и сделать выводы:

1. Предложено заменить методы оптимизации алгоритмами численного нахождения корня нелинейного уравнения. Основным алгоритмом является метод Ньютона, который учитывает только первую производную нелинейной функции и обладает квадратичной скоростью сходимости. Предложены более эффективные процедуры решения уравнений, учитывающие высшие производные. Предлагается два подхода: первый основан на разложении прямой функции в ряд Тейлора с последующей линеаризацией, а второй использует только разложение обратной функции.

2. Разработаны методы, безусловной оптимизации, основанные на разложении в ряд Тейлора прямой^ функции. Получены аналитические выражения для оценки точности и скорости сходимости предлагаемых процедур. Установлено, что максимальная скорость сходимости методов ограничена третьим порядком и не зависит от количества учитываемых высших производных.

3. Получена базовая итерационная последовательность, использующая разложение обратной функции в ряд Тейлора, которая, в отличие от разложения прямой функции, позволяет получить алгоритмы нахождения численного решения нелинейных уравнений с порядком сходимости, равным числу учитываемых производных.

4. Предложена рекурсивная аппроксимация высших производных значениями первых производных нелинейной функции и разработан универсальный алгоритм проектирования численных методов безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений, состоящий из двух этапов. На первом этапе обеспечивается требуемый порядок сходимости, а на втором — минимизируется величина погрешности. В результате достигнуто уменьшение вычислительной сложности практических алгоритмов без ухудшения показателей сходимости.

5. Проведены экспериментальные исследования предлагаемых алгоритмов в среде автоматизации математических вычислений Ма^аЬ 7 для пяти тестовых функций, которые подтвердили теоретические соотношения для скоростей сходимости, а также показали расширение области сходимости при учете высших производных.

6. Разработана подсистема идентификации компьютерного тренажера для операторов исследовательского реактора на быстрых нейтронах с использованием методов классической и разаностной квазилинеаризации с учетом второй и третьей производных. Для принятой имитационной модели ядерного реактора и исполнительного механизма проведены расчеты по идентификации параметров и состояний в различных режимах работы объекта. Подтверждено преимущество разработанных алгоритмов по точности и скорости сходимости, по сравнению с классическими методами идентификации. Результаты работы внедрены в ЗАО «Автоматика-Э».

7. Разработано математическое и программное обеспечение для расчета коэффициентов цифровых рекурсивных фильтров на основе заданных частотных характеристик. Предложенные алгоритмы позволили увеличить скорость вычислений по сравнению со стандартными методами. Программное обеспечение использовалось в ОАО «Омский приборостроительный завод им. Н.Г. Козицкого» при проектировании фильтра нижних частот для обработки потока данных демодулятора в составе цифрового радиоприемного устройства.

1. Автоматизированное проектирование систем управления / Под. ред. М. Джамшиди и др. М.: Машиностроение, 1989. - 344 с.

2. Айфичер Э. Цифровая обработка сигналов: практический подход / Э. Айфичер, Б. Джервис. Пер. с англ. М.: Вильяме, 2008. - 992 с.

3. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование / А. Анто-нью. Пер. с англ. под ред. С.А. Понырко. М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971.-239 с.

5. Аттетков A.B. Методы оптимизации / A.B. Аттетков, C.B. Галкин, B.C. Зарубин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 440 с.

6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. Пер. с англ. под ред. В.А. Волынского. Mi: Радио и связь, 1988. - 128 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н:С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Бином. Лаборатория знаний; 2008. — 636 с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976: -351 с.

9. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 183 с.

10. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т., т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. - 464 с.

11. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т., т. 2 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. - 620 с.

12. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М.: Профессия, 2003. - 750 с.

13. Богнер Р. Введение в цифровую фильтрацию / Р. Богнер, А. Константи-нидис. Пер. с англ. под ред. Л.И. Филиппова. М.: Мир, 1976. - 216 с.

14. Богуславский И.А. Полиномиальная аппроксимация для нелинейных задач оценивания и управления / И.А. Богуславский. М.: Физматлит, 2006. -208 с.

15. Брунченко A.B. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике /

16. A.B. Брунченко, Ю.Т. Бутыльский, Л.М. Гольденберг. Под ред. JIM. Гольден-берга. Mi: Радио и связь, 1982. - 224 с.

17. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения«/В:Mi Вержбицкий: -Mi: Оникс 21 век, 2005. — 432 с.

18. Вержбицкий В;М; Численные: методы. Математический?анализ и обыкновенные дифференциальные: уравнения? / В.М. Вержбицкий. — М.: Оникс 21 век, 2005.-400 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. Mi: Наука; 1988: -548 с.

20. Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Пер. с англ. под ред. A.A. Петрова. М.: Мир, 1985. - 509 с.

21. Гилл Ф. Численные методы условной оптимизации / Ф. Гилл, У. Мюррей. Пер. с англ. под ред. A.A. Петрова.-М.: Мир, 1977. -209 с.

22. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /

23. B.Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1972. - 368 с.

24. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов / Л.М. Гольденберг, Б;Д: Матюшкин, М.Н. Поляк. М;: Радио и связь,, 1990i - 256 с.

25. Гоулд Б. Методы расчета цифровых фильтров в частотной области / Б. Гоулд, Ч. Рэйдер. ТИИЭР, 1967. т.55, №2, с. 19-43":

26. Гоулд Б. Цифровая обработка сигналов: с прил. работы Д. Кайзера «Цифровые фильтры» / Б. Гоулд, Ч. Рэйдер. Пер. с англ. под ред.

27. A.М. Трахтмана. М.: Еов. радио, 1973. - 376 с.

28. Гроп Д. Методы идентификации систем / Пер. с англ. В.Л.Васильева,

29. B.И.Лопатина; Под ред. Е.И.Кринецкого М:: Мир, 1979: - 304 с.

30. Демидович Б:П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич; И.А. Mäpom -М.: Наука; 1966.- 664 с.

31. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П: Демидович; И.А. Марощ Э:3. Шувалова. М.: Наука, 1967. - 560 с.

32. Демьянов В.Ф. Введение в минимакс / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. М.: Наука, 1972. -367 с.

33. Денисова Л.А. Адаптивное управление мощностью ядерного реактора в пусковом диапазоне: Дис. канд. техн. наук. Красноярск, 1993. 166 с.

34. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика / В.П. Дьяконов. -М.: Нолидж, 2001. 1296 с.

35. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы РС МАТЬАВ / В.П. Дьяконов. М.: Физматлит, 1993. - 112 с.

36. Дьяконов В.П. МАРЬЕ 9.5/10 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов. М.: Солон-Пресс, 2006. - 720 с.

37. Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. 440 с.

38. Изерман Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. Пер. с англ. под ред. И.М. Макарова М.: Мир, 1984. - 541 с.

39. Казанский Ю.А., Матусевич Е.С. Экспериментальные методы физики реакторов. -М.: Энергоатомиздат, 1974. 270 с.

40. Каппешни В. Цифровые фильтры и их применение / В. Каппешни,

41. A. Константинидис, П> Эмилиани. Пер. с англ. под ред. Н:П. Слепова. — М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с.

42. Кетков Ю. МАТЬАВ 7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 с.

43. Крылов В.И. Вычислительные методы: в 2-х т., т. 1 / В.И. Крылов,

44. B.В. Бобков, П.И. Монастырный. М.: Наука, 1976. - 304 с.

45. Когут А.Т. Разработка и исследование метода структурной идентификации непрерывных технологических процессов: Дис. канд. техн. наук. Омск, 1981.-152 с.

46. Когут А.Т. Экспериментальные методы идентификации динамических объектов и систем: Учебное пособие/ Омская гос. академия путей сообщения. — Омск, 1995.-61 с.

47. Когут А.Т. Расширение класса методов квазилинеаризации при-решении задач параметрической идентификации // Информатика и процессы управления. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1995. - 140 с.

48. Когут А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления / А.Т. Когут. — Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003.-243 с.

49. Комашинский В.И. Нейронные сети и их применение в системах управления и связи / В.И. Комашинский, Д.А. Смирнов. М.: Горячая линия-Телеком, 2003.-94 с.

50. Кориков A.M. Основы теории управления. Учебное пособие. 2-е изд / A.M. Кориков. Томск: Изд-во НТЛ, 2002. - 392 с.

51. Лазарев Ю. Моделирование процессов ^ систем в MATLAB7 Ю; Лазарев. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. - 512 с.

52. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. М.: Наука, 1978. — 280 с.

53. Ланнэ A.A. Оптимальный синтез линейных электрических цепей / A.A. Ланнэ. -М.: Связь, 1969. 293 с.

54. Лотоцкий В.А. Идентификация структур и параметров систем управления // Измерения, контроль, автоматизация. 1991, №3-4, с. 30-38'.

55. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. Пер. с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 199Г. -423 с.

56. Лэй Э. Цифровая обработка сигналов для инженеров и технических специалистов: практическое руководство / Э. Лэй. Пер. с англ. — М.: ООО «Группа ИДТ», 2007. 336 с.

57. Малютин А.Г. Алгоритмы оценивания параметров и состояний нелинейных динамических моделей на основе полиномиальной аппроксимации: Дис. канд. техн. наук. Красноярск, 2001. 125 с.

58. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл-мл. Пер. с англ. под ред. И.С. Рыжака. М.: Мир, 1990. - 584 с.

59. Медведев B.C. Нейронные сети. MATLAB 6 / B.C. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог-МИФИ, 2002. - 496 с.

60. Микеладзе Ш.Е. Решение численных уравнений / Ш.Е. Микеладзе. — Тбилиси: Мецниереба, 1965.

61. Мэтьюз Дж. Г. Численные методы. Использование MATLAB / Дж. Г. Мэтьюз, К.Д. Финк. Пер. с англ. под ред. Ю.В. Козаченко. М.: Вильяме, 2001. - 720 с.

62. Окишев A.C. Применение обратной интерполяции в численных алгоритмах синтеза цифровых фильтров / A.C. Окишев // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники, №2 (22), ч. 1 / Томск: Изд-во ТУСУР, 2010. с. 319-323.

63. Окишев A.C. Синтез программного управления механическими колебаниями виброисточника с использованием метода Розенброка / A.C. Окишев,

64. Н.Е. Актаев // XIV Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии», 24 -28 марта 2008 г. Труды в 3-х томах. / Томск: Изд-во Томского политехи, ун-та, 2008.

65. Окишев A.C. Формирование и исследование численных методов оптимизации, учитывающих высшие производные / A.C. Окишев // Омский научный вестник. Серия Приборы, машины и технологии, №3 (93) / Омск: Изд-во Ом-ГТУ, 2010. с. 20-25.

66. Основы цифровой' обработки сигналов: Курс лекций / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьева, И.И. Гук. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 608 с.

67. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации / С. Осов-ский. Пер. с польского. М.: Финансы и статистика, 2004. — 344 с.

68. Пантелеев A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах /

69. A.B. Пантелеев, Т.А. Летова. -М.: Высш. шк., 2005. — 544 с.

70. Полак Э. Численные методы оптимизации / Э. Полак. — М.: Мир, 1974. 376 с.

71. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. М.: Наука, 1983. -384 с.

72. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1982.-330 с.

73. Раб Е.И. Система управления и обработки информации в автоматизированном диагностическом комплексе / Е.И. Раб, A.A. Любченко, A.C. Окишев,

74. Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. Пер. с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир, 1978.-848 с.

75. Рабинер JI. Цифровая обработка речевых сигналов / Л.Р. Рабинер, Р.В. Шафер. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

76. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. - 121 с.

77. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами / Л.А. Растригин. -М.: Сов. радио, 1980. 232 с.

78. Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектовна основе алгоритма чувствительности. — Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1975. 270 с.

79. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем / А.И. Рубан. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1981. - 302 с.

80. Рубан А.И. Методы оптимизации: учебное пособие / А.И. Рубан. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 528 с.

81. Рудаков П.И. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5.x / П.И. Рудаков, И.В. Сафонов. Под общ. ред. В.Г. Потемкина. — М.: Диалог-МИФИ, 2000.-416 с.

82. Самарский A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989.-432 с.

83. Сейдж Э., Мелса Д. Идентификация систем управления. — М.: Наука, 1972.-248 с.

84. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. — СПб.: Питер, 2007.-751 с.

85. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1 / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1974.-480 с.

86. Солодовников В.В. Теория автоматического управления техническими системами / В.В. Солодовников, В.Н. Плотников, A.B. Яковлев. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 492 с.

87. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред.

88. A.A. Красовского. -М.: Наука, 1987. 712 с.

89. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации / А.Г. Сухарев, A.B. Тимохов,

90. B.В. Федоров. М.: Наука, 1986. - 328 с.

91. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Трауб. Пер. с англ. под ред. А.Х. Сухарева. М.: Мир, 1985. - 263 с.

92. Фиакко А. Нелинейное программирование (методы последовательной безусловной минимизации) / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. Пер. с англ. под ред. Е.Г. Голыптейна. М.: Мир, 1972. - 238 с.

93. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1970.-720 с.

94. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг. Пер. с англ. под ред. A.M. Трахтмана. М.: Советское радио, 1980. - 224 с.

95. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Хим-мельблау. Пер. с англ. под ред. M.JL Быховского. М.: Мир, 1975. - 534 с.

96. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин. -М.: Наука, 1977.-548с.

97. Цыпкин Я.З. Основы информационной» теории идентификации.-М.: Наука, 1981.-320 с.

98. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации / Я.З.Цыпкин. — М.: Наука. Физматлит, 1995. 336 с.

99. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления / И.Г. Черноруцкий. СПб.: Питер, 2004. - 256 с.

100. ЮО.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975.-680 с.

101. Antoniou A. Digital signal processing. Signals, systems and filters / A. An-toniou. N.Y.: McGraw-Hill, 2006. - 965 p.

102. Antoniou A. Improved minimax optimization algorithms and their application in the design of recursive digital filters // Proc. Inst. Elect. Eng., Part G, vol. 138, Dec. 1991.-pp. 724-730.

103. Antoniou A. Practical optimization. Algorithms and engineering applications. A. Antoniou, W.-S. Lu. - N.Y.: Springer Science, 2007. — 669 p.

104. Bandler J.W. Least pt\\ optimization of recursive digital filters / J.W. Bandler, B.L. Bardakjian // IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. 21, Oct. 1973.-pp. 460-470.

105. Bertsekas D.P. Nonlinear Programming. 2nd Ed. / D.P. Bertsekas. — Belmont, Massachusets: Athena Scientific, 1999. 740 p.

106. Charalambous C. Acceleration of the least pth algorithm for minimax optimization with engineering applications / C. Charalambous // Mathematical Programming, vol. 17, 1979. pp. 270-297.

107. Charalambous C. Minimax design of recursive digital filters / C. Charalambous // Computer Aided Design, vol. 6, Apr. 1974. — pp. 73-81.

108. Deczky A.G. Synthesis of recursive digital filters using the minimum /?-error criterion / A.G. Deczky // IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. 20, Oct. 1972. -pp. 257-263.

109. Fletcher R. An optimal positive definite update for sparse Hessian matrices / R. Fletcher // SIAM Journal on Optimization, 5, 1995. pp. 192-218.

110. O.Fletcher R. Function Minimization by Conjugate Gradients / R. Fletcher, C.M. Reeves // Computer J., 7, 1964. pp. 149-154.

111. Fletcher R. Practical methods of Optimization. 2nd Ed. / R. Fletcher. N.Y.: John Wiley & Sons, 1987. - 560 p.

112. Gibbs A.J. The Design of Digital Filters / A.J. Gibbs // Australian Telecommunication Research, 4, No. 1, 1970. pp. 29-34.

113. Gill P.E. Numerical Linear Algebra and Optimization, Vol. 1 / Gill P.E., Murray W., M.H. Wright. Redwood City, California: Addison Wesley, 1991.

114. Goodwin G.C. The application of curvature methods to parameter and state estimation / G.C. Goodwin // Proc. IEE, 116, №6, 1969.

115. Gould N.I.M. Numerical methods for large-scale nonlinear optimization / N.I.M. Gould, D> Orban, PlL. Toint. Acta Numerica, 14, 2005. - pp. 299-361.

116. Himmelblau D.M. Applied Nonlinear Programming / D.M. Himmelblau. — N.Y.: McGraw-Hill, 1972.

117. Ingle V.K. Digital Signal Processing using MATLAB 4.0 / V.K. Ingle, J.G. Proakis. Boston, PWS Publishing Company, 1997. - 420 p.

118. Liu D.C. On the limited-memory BFGS method for large scale optimization / D.C. Liu, J. Nocedal. Mathematical Programming, 45, 1989. - pp. 503-528.

119. Mangasarian O.L. Nonlinear Programming. 2nd Ed. / O.L. Mangasarian. -Philadelphia: SIAM, 1994. 220 p.

120. Marquardt D.W. An algorithm for least squares estimation of non-linear parameters / D.W. Marquardt. SIAM Journal, 11, 1963. - pp. 431^41.

121. MATLAB. Filter Design Toolbox: Reference guide. The MathWorks, Inc., 2010.-1418 p.

122. McCormik G.P. Methods of Conjugate Directions versus Quasi-Newton methods / G.P. McCormik // Math. Prog., 3(1), 1972. pp. 101-116.

123. Medler Ch.R. An algorithm for nonlinear parameter identification/ Ch.R. Medler, Chin-Chi Hsu // IEEE Trans. Autom. Control, 1969, v. 14, №6.

124. Murray W. Numerical methods for Unconstrained Optimization/ W. Murray. London: Academic Press, 1972.

125. Nocedal J. Numerical optimization / J. Nocedal, S.J. Wright. N.Y.: Springer Science, 2006. - 664 p.

126. Parks T.W. A Program for the Design of Linear Phase Finite Impulse Response Digital Filters / T.W. Parks, J.H. McClellan // IEEE Trans. Audio Elec-troacoust., AU-20, No. 3, Aug. 1972. pp. 195-199.

127. Ruszczynski A. Nonlinear Optimization / A. Ruszczynski. Princeton, 2005.-464 p.

128. Shanno D.F. Matrix Conditioning and Nonlinear Optimization / D.F. Shanno, K.H. Phua // Math. Prog., 14, 1978. pp. 149-160.

129. Steiglitz K. Computer-aided design of recursive digital filters / K. Stieglitz // IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. 18, June 1980. pp. 123-129.

130. Vavasis S.A. Nonlinear Optimization / S.A. Vavasis. N.Y.; Oxford: Oxford University Press, 1991.