автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмическое обеспечение и вычислительный комплекс для решения некоторых задач палеомагнитной диагностики

Введение.

Глава I.

Палеомагнитная диагностика, ее физические и математические основы

§ 1.1. Геофизические основы палеомагнетизма.

§ 1.2. Математические методы, используемые при решении палеомагнитных задач.

Глава И.

Статистический палеомагнитный анализ и его алгоритмическое обеспечение.

§2.1. Статистическая постановка палеомагнитной задачи

§ 2.2. Алгоритм нахождения палеомагнитного определения, основанный на использовании критерия согласия %2.

§ 2.3. Результаты численных компьютерных исследований.

Глава III.

Математическое обеспечение палеомагнитной диагностики и результаты его практического использования.

§3.1. Вычислительный программный комплекс «Сириус».

§ 3.2. Результаты применения комплекса «Сириус» к обработке реальных данных.

Статистические методы палеомагнитной диагностики развивались одновременно с палеомагнитологией. В начале, когда палеомагнитология становилась, как одна из наук о Земле, главными проблемами были, как постановка задач палеомагнитного анализа таким образом, чтобы к ним можно было применить уже известные статистические методы, так и отсутствие необходимых статистических методов.

Начало применению статистических методов в палеомагнитологии было положено статьей Рональда Фишера [76], в которой он рассмотрел названное впоследствии его именем унимодальное распределение векторов на единичной сфере. В этой работе были получены методы определения среднего направления для совокупности палеомагнитных векторов и его точности, а также введена важная характеристика распределения векторов - кучность.

Статья Р. Фишера дала толчок множеству работ Дж. Ватсона, посвященных анализу этого распределения. С этого времени методы статистики направлений стали развиваться и обогащаться сравнительно быстро.

В работе [53] и других выдвинуты основные идеи для получения и обоснования палеомагнитного результата. Затем эти идеи были облечены в математическую формулировку и созданы первые методы и тесты, позволяющие выделить из естественной остаточной намагниченности палеомагнитной коллекции характерные компоненты и определить их надежность с помощью палеомагнитных тестов. Как правило, первые реализации были несовершенны и палеомагнитное сообщество вынуждено было подвергнуть их критике [82], что привело к переосмыслению старых и появлению новых корректных методов и модификаций [69, 71, 82, 84,].

При этом следует отметить, что появление, анализ и развитие методов обоснования надежности палеомагнитных данных опережали по времени появление методов выделения компонент намагниченности из сложной по компонентному составу остаточной намагниченности, что подчеркивает особое значение процедур проверки статистических гипотез на заключительных стадиях анализа палеомагнитных данных.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Исследование строения Земли, происходящих внутри (эндогенных) и на ее поверхности (экзогенных) процессов, использование и мониторинг (контроль) природных ресурсов, прогноз катастрофических процессов - важнейшая составляющая обеспечения экологической безопасности, устойчивости и бескризисности развития современного общества. Палеомагнитная диагностика является единственным, кроме прямых инструментальных наблюдений, малоэффективных в режиме реального (не геологического) времени, методом, позволяющим количественно оценивать направление и скорость перемещения крупных блоков земной коры [21, 26, 27, 37, 58]. Прогноз сейсмической опасности в зонах сочленения крупных блоков земной коры - одна из актуальных задач современной геоэкологии. Например, палеомагнитные исследования для оценки сейсмической опасности эффективно использовались при проведении экологической экспертизы строительства Крымской АЭС [Печерский и др., 1991]. Кроме анализа и прогноза явлений, ответственных за крупные изменения на Земле, палеомагнитная диагностика является важным инструментом при экологической экспертизе техногенного загрязнения окружающей среды. Исследование корреляционной зависимости между магнитными свойствами осадков (осадочных пород) и концентрацией тяжелых металлов в них позволило предложить петромагнитный метод в качестве экспресс-метода для экологического мониторинга промышленных районов [34, 43, 55].

Предметом изучения в палеомагнитологии служит естественная остаточная намагниченность горных пород, возникшая при их образовании под действием магнитного поля Земли. Существует обусловленная целым рядом разнообразных причин вторичная намагниченность, которая рассматривается как помеха. На практике полностью разделить эти намагниченности зачастую невозможно, поэтому результирующая выборка палеомагнитных направлений имеет иногда распределение отличное от фишеровского. К настоящему времени алгоритмическое обеспечение статистического анализа палеомагнитных данных развито слабо, что отражается на надежности результатов интерпретации.

Математическое направление в статистической науке начало развиваться в середине 19-го - начале 20-го века как в работах Ф. Гальтона (18221911 гг.), К. Пирсона (1851-1936 гг.), В. Госсета (1876-1936 гг.), М. Митчела (1874-1948 гг.), так и в работах российских ученых - П.Л. Чебышева (18211894 гг.), A.A. Маркова (1903 - 1979 гг.), A.A. Ляпунова (1911 - 1973 гг.), С.Н. Бернштейна (1880 - 1968 гг.). В последующие годы это направление нашло свое развитие в трудах Э. Пирсона (1895 - 1980), Ю. Неймана (1894 -1981 гг.), Р. Фишера (1890-1962 гг.), а в СССР - В.И. Романовского (1879 -1954 гг.), А.Н. Колмогорова (1903 -1987 гг.), Е.Е. Слуцкого (1880 - 1948 гг.), Н.В. Смирнова (1900 - 1966 гг.), Ю.В. Линника (1914 - 1972 гг).

Непосредственный интерес с точки зрения использования в исследованиях, излагаемых ниже в главе II, представляют результаты К. Пирсона, внесшего значительный вклад в разработку теории количественной оценки связи между явлениями, Р. Фишера, развивавшего методы количественного анализа. Теорию малой выборки разработал В. Госсет, писавший под псевдонимом Стьюдента.

В настоящее время фундаментальные результаты в области математического моделирования, в том числе, для геофизических задач, получены A.C. Алексеевым, М.М. Лаврентьевым, Г.И. Марчуком, В.Н. Страховым, C.B. Гольдиным, A.B. Николаевым, В.Н. Опариным, Ю.А. Ворониным, Б.Г. Михайленко, Б.М. Глинским, В.В. Пененко, Г.М. Цибульчиком.

Использование современных компьютерных технологий, составляющих вместе с математическим аппаратом основу вычислительной диагностики, позволяет автоматизировать и поднять на качественно более высокий уровень обработку и интерпретацию палеомагнитных данных. Палеомагнитный анализ - довольно консервативный измерительно-описательный раздел наук о Земле в конце XX столетия оформился в палеомагнитную (вычислительную) диагностику.

Численные исследования, выполненные в диссертационной работе, необходимы для планирования палеомагнитного эксперимента и оптимального выбора требуемых статистических параметров, компьютерного и информационного обслуживания палеомагнитных исследований.

Таким образом, актуальность настоящей работы определяется как ролью палеомагнитных исследований в современной геологической науке (геодинамика, геоэкология), так и недостаточно развитым математическим и информационным обеспечением палеомагнитной диагностики.

Цель работы: а) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов обработки 2 палеомагнитных коллекции на основе статистического критерия согласия х :

- определение параметров одномодального распределения;

- определение наличия бимодальности в коллекции и определение ее параметров. б) Численное исследование на основе математического моделирования на ЭВМ влияния объема палеомагнитых коллекций на определение их характеристик. в) Создание на основе разработанных алгоритмов вычислительного программного комплекса для решения задач палеомагнитной диагностики, адаптированного для пользователя геолога-геофизика.

Практическое значение работы определяется тем, что выполненные численные исследования позволяют определить обеспечивающие эффективность и надежность палеомагнитного определения требования к палеомаг-нитным коллекциям, являющихся результатом дорогостоящих полевых и камеральных геолого-геофизических работ. Разработанные алгоритмы обработки и интерпретации палеомагнитных данных доведены до программной реализации, прошли необходимое тестирование и составляют математическое обеспечение вычислительного комплекса «Сириус». Комплекс «Сириус» внедрен и используется при работе с реальными палеомагнитными коллекциями в Палеомагнитном Центре ОИГГиМ СО РАН.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами:

1. Разработан вычислительный алгоритм на основе минимизации критерия X2, позволяющий определять при заданном уровне значимости критерия параметры фишеровского распределения, что дает возможность повысить достоверность палеомагнитного определения.

2. Проведены численные исследования влияния объема палеомагнитных коллекций на параметры фишеровского распределения. Показано, что влияние объема коллекции на значение параметров фишеровского распределения при N>10 ослабевает. Это обосновывает использование коллекций малого объема (7 < N < 50) в палеомагнитной диагностике.

3. Впервые предложена вычислительная методика определения наличия би-модальности и ее исследование в палеомагнитных коллекциях.

4. На основе предложенных методик разработан вычислительный комплекс «Сириус» для обработки данных палеомагнитной диагностики, а также для архивирования и систематизации палеомагнитной информации.

5. В соответствии с актом о внедрении с использованием математического обеспечения комплекса «Сириус» обработаны реальные палеомагнитные коллекции и результаты используются при анализе палеомагнитых данных в Палеомагнитном Центре ИГ СО РАН (лаборатория геодинамики и палеомагнетизма № 618).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительный алгоритм на основе минимизации критерия % , позволяющий повысить достоверность палеомагнитного определения.

2. Рекомендации к проведению палеомагнитного эксперимента, полученные в результате выполненных численных исследований.

3. Вычислительная методика определения наличия бимодальности в палеомагнитных коллекциях.

4. Вычислительный комплекс «Сириус» для обработки данных палеомагнитной диагностики и результаты его применения.

Внедрение результатов работы

Результаты работы внедрены и используются в Палеомагнитном Центре ОИГГиМ СО РАН, в соответствии с актом о внедрении (см. Приложение к диссертации).

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на:

Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000).

ILL-POSED AND NON-CLASSICAL PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS AND ANALYSIS, Samarkand, Uzbekistan, September 2000.

Третьей краевой конференции по математике. Барнаул, АГУ, 2000.

57-ой научно-технической конференции. Новосибирск, НГАСУ, 2000.

Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, ИВТ СО РАН, декабрь, 2000.

Обратные и некорректно поставленные задачи. Москва. МГУ. 2001.

На научных семинарах: ИМ СО РАН, под руководством академика М.М. Лаврентьева; ОИГГиМ СО РАН; кафедры прикладной математики НГАСУ.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 9 печатных научных работ: 4 научных статьи [1, 7, 8, 9], 1 препринт [2], 4 тезисов международных [4, 5, 6] и региональных [3] конференций.

Личный вклад автора диссертации:

В работах 3, 5, 7 Зеркалю С.М. (научный руководитель), Казанскому А.Ю. (научный консультант) принадлежат постановки задач и руководство работой. В работе 6 Белоусовой О.Н. принадлежит разработка информационной структуры базы данных раздела "Науки о Земле".

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка цитируемой литературы и приложения, содержащего подтверждение внедрения результатов. Общий объем составляет 105 стр., 28 рисунков.

Основные результаты диссертационной работы формулируются следующим образом:

1. Разработан вычислительный алгоритм на основе минимизации критерия хи-квадрат, позволяющий повысить достоверность палеомагнитного определения.

2. С использованием разработанного алгоритма получены рекомендации к проведению палеомагнитного эксперимента.

3. Впервые предложена вычислительная методика определения наличия бимодальности и ее исследования в палеомагнитных коллекциях.

4. Разработан вычислительный комплекс «Сириус» для обработки и интерпретации данных палеомагнитной диагностики, а также для архивирования и систематизации палеомагнитной информации.

5. В соответствии с актом о внедрении с использованием математического обеспечения комплекса «Сириус» обработаны реальные палеомагнитные коллекции, что способствует получению новых геологических данных.

В заключение считаю приятным долгом выразить благодарность д.т.н., профессору С.М. Зеркалю за научное руководство, а также к.ф.-м.н., с.н.с. C.B. Рогазинскому и к.г.-м.н., с.н.с. А.Ю. Казанскому за полезные обсуждения и консультации при выполнении изложенных в диссертации исследований.

Заключение

1. Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования / Отв. ред. А.С. Алексеев. Новосибирск: Наука. 1985. 264с.

2. Базара M., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1982. 583 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Глав. ред. физ.-мат. лит. 1973. 631 с.

4. Беллман Р., Задэ JT. Принятие решений в расплывчатых условиях. В кн.: Вопросы анализа и принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 172-215.

5. Белоусова О.Н. Статистическое численное моделирование в задачах палеомагнетизма. Сб. Труды НГАСУ, т.2, № 3(4). Новосибирск: изд-во НГАСУ, 1999. С. 14-18.

6. Белоусова О.Н. Математическое обеспечение обработки и интерпретации данных палеомагнитологии. Новосибирск. Препринт № 31-99. ИДМИ НГУ, 1999. 20 с.

7. Белоусова О.Н., Зеркаль С.М., Казанский А.Ю. Компьютерные технологии обработки и интерпретации данных палеомагнитологии. Третья краевая конференция по математике. Материалы конференции, Барнаул, АГУ, 2000, С.48-49.

8. Белоусова О.Н. Вычислительный программный комплекс палеомагнитной диагностики. IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тезисы докладов, ч. III, Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН. С. 130-131.

9. Белоусова О.Н., Зеркаль С.М., Казанский А.Ю. Алгоритмическое обеспечение нефишеровской палеомагнитологии. IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тезисы докладов, ч. III, Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН. С. 131-132.

10. Белоусова О.Н., Зеркаль С.М., Казанский А.Ю. Палеомагнитная диагностика: задачи и их численное исследование. Вопросы устойчивого и бескризисного развития. Новосибирск, НГУ. № 2, т.2. 2000. С. 51-67.

11. Белоусова О.Н. Численное исследование статистической задачи палео-магнитной диагностики. Сб. Труды НГАСУ, т.З, № 2(9), Новосибирск: изд-во НГАСУ, 2000. С. 8-15.

12. Белоусова О.Н. Вычислительная методика проверки типа статистического распределения палеомагнитных данных при дефиците объема исследуемой выборки. Сб. Труды НГАСУ, т. 4, № 2(13), Новосибирск: изд-во НГАСУ, 2001.С. 16-24.

13. Боровков A.A. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. М.: Наука. 1984. 246 с.

14. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 434 с.

15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1980.

16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981.

17. Вентцель Е.С. Теория вероятности. М.: Наука, 1964. 576 с.

18. Воронин Ю.А., Гольдин С.В.

19. Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1996. 98 с.

20. Геодинамика и эволюция Земли, /под редакцией чл.-корр. A.B. Каныгина. Новосибирск. СО РАН. НИЦ ОИГГМ. 1996. 252 с.

21. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк, 1972. 479 с.

22. Дал У., Дейкетра Э., Хоор К. Структурное программирование. М.: Мир, 1975.248 с.

23. Дантеман Д., Мишел Д., Тейлор Д. Программирование в среде Delphi. Киев: НИПФ «ДиаСофт», 1995.

24. Девис Дж. Статистический анализ данных в геологии. М.: Недра, 1990. Кн.1. 320 с. Кн.2.428 с.

25. Добрецов H.JI. Глобальные проблемы физики Земли и геологии // Наука на грани тысячелетий. Новосибирск. Изд-во НГУ, 1997. Вып. 1. С.37-41.

26. Добрецов H.JL, Кирдяшкин А.Г. Глубинная геодинамика. Новосибирск. Изд-во СО РАН, НИЦ ОИГГМ, 1994. 150 с.

27. Джонс Ж., Харроу К. Решение задач в системе Турбо-Паскаль. М.: Финансы и статистика, 1991. 718 с.

28. Дьяконов Е.Г. Нелинейное уравнение; численные методы решения. МЭ. М.: Сов. Энциклопедия. 1982. Т.З. С. 945 950.

29. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука. 1983. 99 с.

30. Информатика. Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Педагогика-Пресс, 1994. 350 с.

31. Йенсен К., Вирт Н. Паскаль. Руководство пользователя и описание языка. М.: Финансы и статистика. 1982. 151 с.

32. Йодан Э. Структурное программирование и конструирование программ. М.: Мир, 1979.416 с.

33. Казанский А.Ю., Буслов М.М., Метелкин Д.В. Эволюция палеозойской структуры Горного Алтая: корреляция палеомагнитных и геологических данных // Геология и геофизика. 1998. т.39, №3. С.297-306.

34. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1994.

35. Кокрен У. Методы выборочного исследования. М.: Статистика. 1976. 440 с.

36. Кокс А., Харт Р. Тектоника плит. М.: Мир, 1989. 429 с.

37. Компьютерные технологии обработки информации / Под редакцией C.B. Назарова. М.: Финансы и статистика. 1995.

38. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: изд-во МГУ, 1976. 367 с.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. Минск: Наука и техника. 1982.

40. Лаврентьев М.М., Бадажков Д.В., Белоусова О.Н. и др. Сервер «Условно-корректные задачи» в информационном обеспечении вычислительной математики. Москва. МГУ, 2001. С.48.

41. Лебедев Л.Н. Создание систем помощи в Windouws. МирПК. 1994. № 2. С.125-130.

42. Левашова Н.М., Шипунов C.B., Баженов М.Л. Несмещенная оценка направления синскладчатой намагниченности: новый метод, численное моделирование и экспериментальные данные. Труды ГИН РАН, вып.515. М.: Наука. 1999. С.210-222.

43. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

44. Ливитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений // ЖВМиМФ. 1966 Т 6 № 5. С. 787-823.

45. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 618 с.

46. Майерс Г. Надежность программного обеспечения. М.: Мир, 1980. 380 с.

47. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана на основе метода расщепления. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1972. 170 с.

48. Математические проблемы геофизики / Под ред. М.М. Лаврентьева и A.C. Алексеева. Новосибирск: изд-во ВЦ СО РАН. Вып. 1. 1969, вып. 2. 1971.

49. Математическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия. 1982. Т. 1-5.

50. Матчо Д., Фолкнер Д.П. Delphi. M.: Бином, 1995.

51. Оузьер Д., Гробман С., Батсон С. Дельфи-3. М.: Бином. 1998. 550 с.

52. Палеомагнитология /А.Н. Храмов, Г.И. Гончаров, Р.А. Коммисарова и др. Л.: Недра, 1982. 312 с.

53. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 367 с.

54. Поспелова Г.А., Левковская Г.М., Пилипенко О.В. Динамика напряженности геомагнитного поля и палеоклимата 53-32 тыс. лет тому назад. Доклады Академии наук. Т. 375, № 1. С. 98-102.

55. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985. 78 с.

56. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Физматгиз. 1959.

57. Теоретические и региональные проблемы геодинамики. Труды ГИН РАН, вып.515. М.: Наука. 1999. 279 с.

58. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Думнова А.А. и др. О многоцелевой проблемно-ориентированной системе обработки результатов экспериментов. Препринт, институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. М., 1976. 50 с.

59. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 190 с.

60. Фаронов В.В. Основы Турбо-Паскаля (в 3-х книгах). М.: МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК. 1992.286 с.

61. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1967.

62. Ферхуген Дж., Тернер Ф., Вейс Л и др. Земля (Введение в общую геологию). М.: Мир, Т. 1-2, 1974.

63. Фихтенгольц Г.М. Математический анализ. Ленинград: изд-во ЛГУ. 1968. 440 с.

64. Фокс Дж. Программное обеспечение и его разработка. М.: Мир, 1985. 368 с.

65. Хеннекен П.Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974. 472 с.

66. Химмельблау Д., Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

67. Чини. Статистические методы в геологии. М.: Мир, 1996. 192 с.

68. Шипунов С.В. Основы палеомагнитного анализа. М. 1993. 158 с.

69. Шипунов С.В. Статистика при получении и обосновании палеомагнитных данных. Труды ГИН РАН, вып.515. М.: Наука. 1999. С. 196-210.

70. Шипунов С.В., Алексютин М.В., Левашова Н.М. Вопросы палеомагнитного анализа. М.: ГИН РАН, 1996. 62 с.

71. Яглом A.M., Яглом И.М. Вероятность и информация. М.: Наука, 1973. 512 с.

72. Яненко Н.Н., Карначук В.Н., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии. В кн.: Численные методы механики сплошных сред. Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1977. С. 129-157.

73. Butler R.F., Paleomagnetism: magnetic domains to geologic terrains. Backwell Sci.Publ., Oxford, 1992, 319 p.

74. Efron, В., The Jackknife, the Bootstrap and Other Resampling Plans, SIAM (Regional Conf. Ser. In App. Math.), 1982.

75. Fisher R.A. Dispersion on a sphere. Proceeding Royal Society. London, A, 217, 1953, pp. 295-305.

76. Fisher R.A., Levis N.I., Embleton B.J.J. Statistical analysis of spherical data. Cambridge: Cambridge University Press. 1987. 330 p.

77. Lavrent'ev M.M., Zerkal S.M. and Trofimov O.E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems. Utrecht. VSP.2001. P. 128.

78. Mardia K.V. Statistics of directional data. London: Academic Press. 1972. 357 p.

79. McElhinny M., Paleomagnetism and Plate Tectonics, Cambridge University Press, 1973.

80. McFadden P.L., Lowes F.J The discrimination of mean directions drawn from Fisher distributions. Geophys. J. R. astr. Soc. № 67, 1981. P. 19-33.

81. McFadden P.L., Jones D.L. The fold test in palaeomagnetism. Geophys. J. R. astr. Soc. № 67, 1981. P. 53-58.

82. McFadden P.L., Reid A.B. Analysis of paleomagnetic inclination data. Geophys. J. R. astr. Soc. № 69, 1982. P. 308-319.

83. McFadden P.L. A new fold test for palaeomagnetic studies. Geophys. J. Int. № 103, 1990. P. 163-169.

84. Tauxe, L., N. Kylstra, and C. Constable, Bootstrap statistics for paleomagnetic data, J. Geophys. Res., 95, 11723-11740, 1991.