автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Алгоритмическое и программное обеспечение для исследования естественных семейств периодических решений

РГб од

2 О СЕН

МИНИСТЕРСТВО ПО НАУКЕ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКЕ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи УДК 682.3 +' 521.13

АРТАМОНОВ ГРИГОРИИ ФЕЛИКСОВИЧ

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ СЕМЕЙСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Специальность 05.13.11 "Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СОКОЛЬСКИЙ А. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гребенников Е. А. кандидат физико-математических наук, доцент Медведев С. В.

Ведущая организация: Институт системного анализа Российской академии наук.

Защита состоится ■■ 1993г. в 4-0 чаС0в на

заседании специализированного Совета К 053.18.09 в Московском авиационном институте им. С. Орджоникидзе.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ. Адрес института: 125871', Москва, А-80, Волоколамское ш. , 4.

Автореферат разослан " úó^Cü^T^j 1993г.

(

Ученый секретарь Совета кандидат физико-математических наук, доцент ^

М. В. Ротанина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и созданию алгоритмического и программного обеспечения для построения и исследования естественных семейств периодических движений гамильтоновых систем и их приложениям к задаче движения спутника относительно центра масс на круговой орбите.

Актуальность работы. В связи с изучением космического пространства в последнее время интенсивно разрабатываются идеи использования естественных (в частности. ' периодических) движений спутников в качестве штатных (номенклатурных) режимов их функционирования. Из-за большого объема работ на стадии планирования и моделирования космических экспериментов особенно актуальной становится задача разработки алгоритмического и программного обеспечения таких работ. Между тем, наиболее известные и применяемые на сегодняшний день методы решения указанной задачи обладают рядом недостатков. К их числу относятся и неалгоритмизуемые этапы при решении, и отсутствие указаний на величину радиуса сходимости рядов по малому параметру в виде которого ищется это решение, и вычислительные трудности при изучениии возвратных движений (см. работы А. Д. Брюно, А. П. Марке-ева, А. Г. Сокольского, А. Депри, Дж. Анрара, В. А. Сарычева, В. В. Сазонова, С. А. Хованского, С. Р. Каримова).

Поэтому исследование движений конечной амплитуды, особенно в сложных прикладных задачах, требует развития нового, более совершенного алгоритмического и программного обеспечения и должно основываться, по-видимому, на использовании численно-аналитических методов. Такой подход может базироваться на предиктор-корректорном методе Каримова-Сокольского, в результате которого исходная краевая задача нахождения периодического решения сводится к задаче Коши. Использование гамильтонова формализма в этом методе приводит к увеличению размерности решаемой задачи, но позволяет при этом избавиться как от вычислительных трудностей при изучении возвратных движений, так и от неформализованных во многих предшествующих методах этапов решения исходной задачи.

Необходимость использования аппарата аналитических вычислений (методов компьютерной алгебры) вызвана не только сложностью вывода уравнений движения "вручную", которые почти невозможно

получить без использования ЭВМ, но и требованием повышения надежности и точности используемых математических моделей. Численный подход обусловлен ситуацией, когда порождавшее решение известно лишь своими начальными условиями и периодом, а само является результатом численного интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений. При этом важно, чтобы методика и технология использования алгоритмического и программного обеспечения была полностью "открыта" для их последующего использования и модификации на ЭВМ при продвижении в решении широкого круга задач теоретической физики, динамики и небесной механики.

Цель работы состоит в разработке математического обеспечения задачи поиска новых периодических решений, являющихся продолжением по параметрам системы. Это подразумевает разработку численно-аналитической методики и технологии ее применения, использованной для построения и исследования семейств периодических движений спутника относительно центра масс на круговой орбите.

Методы исследования. В качестве метода построения новых естественных семейств периодических решений был выбран предиктор-корректорный метод продолжения по параметрам динамической системы. Этот метод реализован в виде комплекса программ на IBM PC (на языках REDUCE и FORTRAN), а методика и технология его применения и модификации продемонстрирована на переходе от модельного примера к сложной прикладной задаче. Результаты применения метода в задаче движения спутника относительно центра масс оформлены с помощью средств компьютерной графики на IBM PC.

Научная новизна н практическая значимость работы состоит в

создании интегрированного комплекса REDUCE-FORTRAN программ, реализующего на IBM PC алгоритмы предиктор-корректорного метода, разработке технологии и методики применения этого комплекса к решению практических задач физики, теоретической, прикладной и небесной механики.

К числу новых прикладных результатов, имеющих практическую значимость для теоретической и небесной механики, относится решение задачи нахождения новых естественных семейств периодических движений динамически-симметричного "закрученного" спутника относительно центра масс при движении по круговой орбите.

Эти движения "рождаются" из плоских колебаний "незакрученного" спутника при изменении его параметров. В пространстве параметров задачи найдены области орбитальной устойчивости полученных движений, а также резонансные кривые, на которых возможна неустойчивость. В этом же пространстве обнаружена асимптотическая сеть, состоящая из резонансных кривых разных порядков. Выдвинута гипотеза о бесконечном многообразии семейств периодических движений в области бифуркации решений. Сделаны практические выводы, позволяющие на этапе проектирования решать вопросы устойчивого относительного движения и пассивной стабилизации спутника в зависимости от его параметров.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в работах 11-81, а также докладывались на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991г.), на семинарах кафедры "Математическая кибернетика" (1988-1993гг.) и кафедры "Вычислительная математика" (1993г.) Московского авиационного института. Всесоюзных (Всероссийских) совещаниях (с международным участием) "Применение систем аналитических вычислений в задачах классической и небесной механики" (Санк-Петербург, 1989-1992гг. ).

Структура работы. Об'ем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемых источников литературы из 74 наименований, трех приложений. Объем работы 169 машинописных страниц, в том числе 2 таблицы и 39 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении проводится обзор развития методов построения и исследования периодических движений, обосновывается необходимость численно-аналитического подхода к решению этих задач, актуальность выбранной темы и кратко описывается содержание диссертационной работы. Одним из выводов ■ указанного обзора является следующий: для практического применения методов гамильтоновой механики в рассматриваемых задачах космической практики необходима разработка специального математического и программного обеспечения.

В первой главе диссертации описывается разработанный и реализованный на IBM PC численно-аналитический подход к нахож-

дению новых семейств периодических движений гамильтоновых систем. Он базируется на использовании системы аналитических вычислений REDUCE для вывода дифференциальных уравнений предиктора и корректора, а также на возможности средствами этой системы генерировать скелетоны FORTRAN-программ для численного продолжения решения по параметрам движения. В п.1.1 ставится задача изучения периодических движений, используя численно-аналитические методы.

В п.1.2 дается описание предиктор-корректорного метода в матричной форме.

Рассматривается гамильтонова система с J степенями свободы, зависящая от К параметров р, и гамильтонианом

Н(5,р>= h, z = [ у ], (1)

где х, у - координаты и импульсы, h - константа энергии. Внесем

константу энергии в вектор параметров, т. е. обозначим h. Сами дифференциальные уравнения имеют вид

z = 1Н2 . (2)

Здесь I = ( -Е о ] " еДиничная симплектическая матрица, Hz=aH/az.

Пусть при некоторых фиксированных значениях параметров р=Р известны начальные значения для какого-нибудь периодического решения уравнений (2). Пусть для некоторого фиксированного набора параметров Р известно периодическое решение Z(t) периода Т(Р) дифференциальных уравнений с гамильтонианом (1), т.е. известны начальные условия' Z(0) этого периодического решения. Метод численного продолжения предназначен для построения периодического решения z(t) периода Т(р), соответствующего новым значениям параметров р = Р + тг, которое переходит в известное при it б* т.е. искомое решение рождается из известного. Важно, что задача формулируется и решается в численной постановке, т. е. периодическое решение считается найденным, если найдены его начальные условия и период или, что то же самое, смещения начальных условий и периода порождающего решения. Само построение осуществляется численным интегрированием специальным образом построенной по гамильтониану Н системы дифференциальных уравнений.

- 7 'Для реализации предиктор-корректорного метода вводятся-смещения С = 5 - 2 и для С строятся гамильтоновы дифференциальные уравнения. Затем с помощью канонической замены переменных, производимых симплектической матрицей Э, осуществляется переход к локальной сопровождающей системе координат, составленной из так называемых тангенциального и, энергетического V и нормальных п смещений. Смещение и направлено по касательной к орбите, смещение V направлено по нормали к гиперповерхности Н = Ь, остальные смещения п также ортогональны к орбите. В результате довольно громоздких преобразований, сохраняя в разложениях лишь члены первого порядка, получаем, что нормальные смещения описываются канонической системой дифференциальных уравнений с Л-1 степенями свободы и гамильтонианом

Г = \ п^п + птГ2тг , (3)

тангенциальное смещение определяется дифференциальным уравнением

и = + С2п + С3тг , (4)

энергетическое смещение определяется по формуле

V = 0 я , (5)

где матрицы Г, С с индексами и 0 однозначно определяются через гамильтониан Н и известное решение 2Ш с помощью довольно громоздких формул, сложность которых зависит от сложности исходного гамильтониана.

Построенные уравнения с гамильтонианом (3) обладают важным свойством - в них входят только нормальные смещения.

Нахождение периодического решения для новых значений параметров разбивается на две части - предикторную и корректорную. В предикторной части метода задаются приращения параметров я и после интегрирования уравнений (3)-(4) вычисляются смещения начальных условий и периода исходного периодического движения, которые в первом приближении должны удовлетворять условиям периодичности искомого движения.

Корректорная часть метода построена в виде итерационной процедуры. В этой части вновь на основе уравнений (3)-(5), но уже при фиксированных параметрах (т.е. я = (Т), начальные значения периодического движения находятся с заданной точностью. Как в предикторе, так и в корректоре соответствующие краевые задачи за счет линейности уравнений (3)-(4) сводятся к задаче Коши.

Рассмотренный метод свободен от основного недостатка предыдущих методов продолжения по параметрам - при работе с возвратными движениями (т. е. при наличии точек нулевой скорости на орбите) никаких особенностей в правых частях дифференциальных уравнений не возникает.

Кроме того, на последней итерации корректора автоматически вычисляется матрица фундаментальных решений системы (3). Таким способом строится алгоритм исследования в линейном приближении орбитальной устойчивости (устойчивости по отношению к нормальным возмущениям п) найденного движения z(t). Для этого лишь требуется найти корни характеристического уравнения и воспользоваться известными условиями устойчивости.

В п. 1.3 предложена концепция численно-аналитического подхода в решении задачи построения и исследования устойчивости новых периодических движений, являющихся продолжением по параметрам рассматриваемой системы. В ее основу положены следующие требования к программному комплексу.

1. Автоматизировать громоздкий процесс вывода уравнений предиктор-корректора, полностью избавив исследователя от ошибок в аналитических выкладках, применив для этого систему аналитических вычислений REDUCE.

2. Используя результаты, полученные REDUCEom, создать автоматизированный алгоритм формирования FORTRAN-файлов для последующих численных вычислений.

3. Комплекс программ расчета новых движений (орбит) реализовать на IBM PC наиболее доступными и надежными программными средствами.

4. Миминизировать время исследования любой новой задачи, включающее в себя аналитические выкладки и численные расчеты, начиная от ее постановки до получения конечного результата в виде областей устойчивости и новых семейств периодических решений, применив для этого современные программно-технические средства.

Реализация этих требований наглядно отражена в численно-аналитической схеме решения подобных задач (см. рис.1).

Опыт использования алгоритма предиктор-корректорного метода в задаче нахождения периодических движений "закрученного" спутника относительно центра масс на круговой орбите в ньютоновском

ОБЩАЯ СХЕМА РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

рис. 1.

гравитационном поле (ГЛАВА 3) показал, что полностью автоматический аналитический вывод матричных уравнений может привести не только к неоправданно большому увеличению времени счета, но и стать причиной несанкционированных сбоев при вычислениях в широком диапазоне изменения переменных л параметров. Поэтому был применен автоматизированный подход, который, является наиболее рациональным при исследовании широкого класса гамильтоно-вых систем.

В п. 1.4 на основе предложенной в п. 1.3 концепции разработана общая схема численно-аналитической реализации метода на ЭВМ PC AT в системе GenShell. Использоваш^ пакета генератора оболочек GenShell (разработанный в ИТА РАН пакет, состоящий из экранного редактора и собственно генератора, который позволяет создавать и редактировать меню, входящие в состав оболочки ППП) в качестве системы, позволило реализовать процедуру использования пакета прикладных REDUCE-FORTRAN программ в этой задаче.

Технология нахождения новых периодических движений, реализованная в среде GenShell, является полностью открытой для каких-либо изменений или коррекций и при этом есть возможность как вернуться в первоначальное состояние, так и, выполнив редактирование каких-либо файлов, вновь обратиться к описанию подсистем формирования файлов исходных данных (рис. 1). Результатом работы может быть как комплекс (пакет) новых REDUCE-FORTRAN программ, готовых к расчету нового периодического движения, например, на компьютере типа IBM PC АТ/386, так и само вычисление этого движения (файлы, содержащие траектории в фазовом, конфигурационном и пр.. пространствах).

Содержанием п. 1.5 и 1,6 является описание REDUCE и FORTRAN подсистем разработанного комплекса программ для построения естественных семейств периодических решений. Изложена структура подсистем, технология применения и особенности использования на этапах модификации программного обеспечения и решения конкретной задачи.

Во второй главе на модельном примере отработана методика и технология применения созданного комплекса REDUCE-FORTRAN программ в задаче построения естественных семейств периодических движений.

В п.2.1 для апробации и отладки методики численно-

аналитического подхода при использовании предиктор-корректорного метода в поиске новых семейств периодических движений в качестве такого модельного примера был выбран двумерный линейный гармонический осциллятор с нерезонирующими частотами.

Н = \( qg + pg ) + 1а( q2 + р2 ) (6)

Очевидно, что при а=0 существует частное периодическое решение динамической системы с гамильтонианом (6) вида

qQ = А sin(t), р0 = A'-cos(t) (7)

Следовательно, имеем двухпараметрическую систему (параметры а, h) с двумя степенями свободы, где h - константа энергии системы с функцией Гамильтона (6) и значением а=0. Цель - найти новые периодические решения системы (6>, взяв за порождающие движения решения (7) и продолжив их по параметру h.

Главное отличие от других известных подходов к решению подобной задачи, состоит в наличии REDUCE-подсистемы, которая отвечает за аналитический вывод уравнений предиктор-корректорного метода, формирование FORTRAN-скелетонов программ расчета новых движений, проверку симплектичности матрицы перехода к новым координатам и оптимизацию (в смысле свертки больших символьных выражений) выходных результатов.

В п.2.2 и п. 2.3 подробно изложена методика применения комплекса REDUCE-F0RTRAN программ, а также технология их настройки на случай двумерного линейного гармонического осциллятора с нерезонирующими частотами.

В п. 2.4 изложены результаты численно-аналитического исследования по указанной выше методике, основным содержанием которых явилось построение новых периодических движений в задаче с функцией Гамильтона (6) и порождающим решением (7).

Графический вывод результатов осуществлялся с помощью пакета "Surpher". Об устойчивости в линейном приближении получаемых движений можно судить по мультипликаторам матрицы фундаментальных решений уравнений с гамильтонианом (3), получаемой на последней итерации корректора.

По результатам эксплуатации комплекса программ на модельном примере разработаны общие рекомендации и предложения по

применение разработанного пакета. В качестве основных можно выделить следующие.

1. Все вычисления необходимо проводить с двойной точностью.

2. Перед формированием расчетной части задачи РСЖТ1Ш-подсистемы, необходимо убедиться в правильности вывода матрицы перехода к новым переменным Б, приводящей к расщеплению исходной системы на тангенциальное и, энергетическое V и нормальные п смещения.

3. Предиктор позволяет двигаться одновременно по любому числу параметров системы. При этом интерпретация результатов в подобном случае может быть затруднительна (даже в задаче с тремя параметрами). Поэтому, по-видимому, методически правильнее было бы исследовать изменения каких-либо двух параметров на плоскости, фиксируя при этом остальные. Получая набор таких плоскостей с заданным шагом по ранее фиксированному параметру, можно определить границы устойчивых движений в линейном приближении.

4. Для минимизации времени вычисления правых частей дифференциальных уравнений на каждом шаге интегрирования, каждое часто встречающееся выражение должно быть заменено на переменную, вычисляемую один раз при обращении к блоку правых частей. Практика эксплуатации комплекса НЕБиСЕ-ЕСЖИШ программ предиктор-корректорного метода показала, что, сделав указанные замены, можно экономить до 15'/. компьютерного времени.

5. С той же целью и сами периодические движения должны сохраняться только по уточнению их корректором и лишь в характерных, особенно интересных, точках параметрического пространства.

Важным выводом применения указанной методики к решению даже модельного примера явилось понимание того, что решение задачи повышения точности используемых математических моделей лежит на пути создания и освоения новых подходов к ЭВМ, выражающихся в естественном сочетании аналитических вычислений и численных. Такая технология решения позволяет получить не только уравнения движения, но и способствует созданию новых методов аналитико-численного исследования, более эффективных чем чисто численные.

Третья глава посвящена построению новых периодических движений динамически-симметричного спутника, рождающихся из его плоских колебаний на круговой орбите.

В п.3.1 дается постановка задачи. Изучается спутник как ди-

намически-симметричное твердое тело, центр масс которого движется в центральном ньютоновском гравитационном поле сил по круговой орбите. Требуется исследовать его движение относительно центра масс с ограничением - движение спутника относительно центра масс не влияет на его орбиту. Цель - найти новые периодические движения "закрученного" спутника и исследовать их орбитальную устойчивость, взяв за порождающее решение плоские колебания "незакрученного"спутника.

В п.3.2 приводится классическая математическая модель относительного движения спутника в эйлеровых переменных. Строится функция Гамильтона, и для удобства исследования в параметрическом пространстве вводятся три внутренних безразмерных параметра: инерциальный, динамический и энергетический - а, ц, h, имеющие конкретный физический смысл. Инерциальный параметр характеризует степень динамического сжатия или растяжения (сплюснутости или вытянутости) спутника, динамический - степень "закрученности" спутника (пропорционален угловой скорости), энергетический - меру внутренней энергии.

В п. 3.3 в исходном гамильтониане делаются вспомогательные преобразования и вводятся новые переменные q.O,P.P^. Получаем преобразованный гамильтониан в виде

H(q,e,p,pe) = \ р2+ ¿ sin2q ♦ —l- Г3(g'1) p2ctg2tf +

» ¿ ¿ 3 (a-1) L 2

. Х7ГТГ „ cosí? (cosí? - r) ^ 1 J¿ 3 . «> _i„2„ + vjia-l) p -n-2— + - p — _ (a-1) sin q

sin¿0 ¿ 9 ¿

cos2t5 + cos? ((y2+ 1) cosí? - 2y) ] (8),

2sin¿fl J

где q, i? - углы прецессии и нутации, а р.р^ - их импульсы.

Дальнейший'анализ гамильтониана (8) показал, что имеет место диффеоморфизм векторных полей в пространстве координат-импульсов-параметров, который определяет два вида симметрии решений. Обнаружение указанных симметрии дает возможность сократить объемы вычислений, а полученные результаты распространить на области, где существуют симметричные решения. Один вид симметрии решений может быть интерпретирован как идентичность новых периодических движений, получаемых при закрутке спутника относительно продольной оси симметрии по часовой стрелке и против нее. Второй - означает, что движение "вытянутого" спутника сво-

дится к случав "сплюснутого" соответствующей заменой переменных.

В п. 3.4 находится порождающее решение, соответствующее плоским движениям спутника, при которых ось динамической симметрии спутника совершает колебания (или вращения) в плоскости орбиты центра масс.

В зависимости от значений константы энергии эти плоские движения имеют различный характер - либо это плоские колебания, либо плоские вращения. И те и другие выражаются через эллиптические функции Якоби и эллиптический интеграл первого рода. Далее изучаются движения, являющиеся продолжением плоских колебаний по "динамическому" параметру у. По отношению к координатам и скоростям эти движения неустойчивы, так как частоты колебаний зависят от начальных условий. Это означает, что может быть орбитальная (в смысле Ляпунова) устойчивость.

В п.3.5. кратко описан метод исследования новых периодических движений, рождающихся из плоских колебаний "незакрученного" спутника, опирающийся на использование программного комплекса, разработанного и опробованного в Главах 1 и 2.

В п. 3. 6 проводится сравнение орбит, найденных по эллиптическим функциям, с орбитами, полученными предиктор-корректорным методом. С этой целью был проведен расчет траекторий при а=2.0, Г=0.0 и для значений 11=0.05, 0.1, 0.2 и 0.3. Итогом этих вычислений явилось почти полное совпадение периодических движений, известных своими начальными условиями и периодом (невязки составили 10~5- 10~в). Их анализ дает возможность произвести "настройку" предиктор-корректорного метода - задать параметры, определяющие точность интегрирования численным методом.

В п. 3.7 приводятся описание и анализ новых периодических движений "закрученного" спутника.

На рис.2 и 3 изображены типичные периодические траектории, полученные в результате вычислений. Здесь указана эволюция орбит при некоторых изменениях параметров (в тексте диссертации проведен анализ вычисленных траекторий на основе более ста рисунков).

В результате численных исследований обнаружено, что в плоскости 7=0 при увеличении параметра Ь до значения Ь=0.5, т. е. при приближении к границе порождающих движений, являющихся пло-

скими колебаниями динамически-симметричного спутника, все резонансные кривые (А=-1, -1/2, 0, 1) делают поворот направо, асимптотически приближаясь к прямой h = 0. 5. Таким образом, в приграничной области h = 0.5 - с, где с << 1, находится асимптотическая сеть, состоящая из резонансных кривых. Количество этих кривых счетно, а свое начало они берут из отрезка 1<а*2 при h=0. При этом, чем ближе мы на нем к точке а=1, тем плотнее они расположены друг к другу.

Отмечена важная особенность, заключающаяся в качественно различных геометрических формах движений полученных слева и справа от области бифуркации (граница области бифуркации - кривая А = 1, рис.4), исходящей в плоскости у=0 из точки аг=1.333... Назвав для удобства описания и из-за внешнего сходства эту область "усом", можно сделать попытку разделить анализ геометрии орбит на две части: справа от "уса" из точки а-г (1-ая область) и слева от него (II-ая область). Главный интерес составляли устойчивые в линейном приближении движения. Средством для визуализации орбит и областей устойчивости явилась компьютерная графика, реализованная пакетами Grapher и Surpher.

Интересными для анализа явились и семейства решений, полученных при движении в параметрическом пространстве (а, y, h) по резонансной кривой А = - 1 из точек, соответствующих продолжениям по у точек а и сс^ плоскости г=0 (рис.33). Многообразие их форм, обнаруженное в результате исследований, свидетельствует о большом "богатстве" природы движений, рождающихся из плоских колебаний симметричного спутника и находящихся по разные стороны области бифуркации, определяемой поверхностью А = 1.

В п. 3.8 представлена общая картина областей линейной устойчивости в параметрическом пространстве (а,у,h), которая строилась на основе сечений этого пространства плоскостями у = 0.0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. Были получены изображения областей устойчивости и неустойчивости, а также резонансные кривые 3-го и 4-го порядков и лишь потом, после интерполяции кубическими сплайнами, была построена пространственная картинка. Результаты этих исследований, полученные при значениях параметров 1<аз2, 0*h<0.5, 0sys0.5, приведены на рис.5. Области устойчивости на этих рисунках отмечены штриховкой.

рис. 2. Alf=l.5, h=0.05

CD

QammaO.O, ]

Gamma=0.1,

Gamma=0.2,

Gamna=0.3,

Gamma=0.4,

рис. 3. Alf=1.21, h=0.1 4 _

Ь -б -

-J

Gamma=0.2, Gcmma=0.3, Gainma=ü. 4, 6airana=0.5.

Анализ полученных результатов позволяет сделать в п. 3.9 ряд выводов.

1). Найдены и наглядно показаны области существования и устойчивости в линейном приближении периодических движений динамически-симметричного спутника на круговой орбите.

2>. С увеличением параметра у от 0 до 0.5 уменьшается площадь (объем на пространственной картинке рис.5) областей устойчивости в линейном приближении. Значительное увеличение параметра у (7»0.5> приводит к тому, что резонансные кривые 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков практически сливаются и области устойчивости становятся очень малыми.

3). При приближении к полосе 0.5-еаЬ<0.5, где е<<1 во всем диапазоне возможного изменения параметров а и г по переменной Ь резонансные кривые (поверхности в пространственном случае) расположены настолько близко друг к другу, что возникает ассимпто-тическая сеть.

4). Резонансные кривые, рождающиеся из точки ад (рис.4.), и получаемые продолжением по параметру г, образуют поверхность типа "складка", которая разделяет области устойчивого и неустойчивого движения (рис.5).

5). Результаты, полученные в пространстве (а, у, Ь) при значениях параметров 1<а*2, 0аЬ<0.5, (ЬузО.5, в соответствии с существующими симметриями решений (см. п.3.3) распространяются на области, где -0.5*у<0, 0<а<1, а 1Г/2«0(и*я.

6). Области бифуркации делятся на пространства, где происходит смерть или расщепление семейства периодических решений. В этих пространствах, где нарушены достаточные условия теоремы А. Пуанкаре о существовании периодического решения, численными вычислениями обнаружены периодические движения с периодами, превосходящими периоды соседних движений (вне зоны бифуркации) в 2 и 4 раза и отличающиеся многообразием форм. С прикладной точки зрения главный интерес полученных результатов заключается в следующих выводах.

1). С увеличением степени "закрученности" спутника уменьшаются области возможного устойчивого движения в пространстве параметров.

2). Динамически-симметричные спутники с максимальной степенью "вытянутости" или "сплюснотости" (а=2 и а=0) имеют самые

со

I

h

рис. 4. 1.0< Alf <2.0, O.G< h <0.5, Gamma=0.0, 0.1, 0.3, 0.5

большие области устойчивости в диапазонах возможных изменений параметров.

3). Найденные новые перидические движения в п.3.7 позволяют проектировщикам "закрученного" спутника решить задачу его пассивной стабилизации, как результат начальных условий движения (или значений вектора параметров) относительно центра масс при движении самого центра масс по круговой орбите.

Результаты диссертации перечислены в Заключении.

В Приложении 1 приводится текст программ для РС АТ, реализующих вывод уравнений предиктор-корректорного метода.

В Приложении 2 приводится текст программ для РС АТ, реализующих предиктор-корректорный метод в решении задачи нахождения новых периодических движений спутника относительно центра масс, при движении центра масс по круговой орбите.

В Приложении 3 приведены таблицы начальных значений и периодов новых периодических движений спутника на круговой орбите.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ.

Основным итогом диссертации является разработка математического обеспечения задачи поиска новых периодических решений, являющихся продолжением по параметру, и его применение на практике, выразившееся в следущих научных результатах.

1. Разработано алгоритмическое обеспечение предиктор-корректорного метода для нахождения новых периодических решений произвольной автономной обобщенно-консервативной механической системы, ориентированное на использование численно-аналитического подхода.

2. Разработан комплекс НЕ0иСЕ-Г0КТ1Ш программ на 1ВМ РС для построения новых семейств периодических решений этой системы. Одновременно с построением всего параметрического семейства решений исследуется их устойчивость в линейном приближении. На основе задачи нахождения периодических решений двумерного линейного гармонического осциллятора с нерезонирующими частотами создана методика (технология) автоматизированного подхода к решению задачи нахождения периодических движений автономных гамильтоновых систем.

3. Решена задача существования (конструктивным построением) и исследования устойчивости новых периодических движений динами-

чески-симметричного спутника на круговой орбите, рождающихся из его плоских колебаний. Сделаны практические выводы, позволяющие на этапе проектирования спутника решить вопросы устойчивости его относительного движения и пассивной стабилизации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Артамонов Г.Ф., Сокольский А. Г. Комплекс REDUCE-FORTRAN программ для построения периодических решений гамильтоновых систем.// Препринт ИТА РАН, 1993, К 33 . -С.1-34.

2. Артамонов Г.Ф., Сокольский А.Г. Периодические движения, рождающиеся из плоских колебаний динамически- симметричного спутника на круговой'орбите.// Препринт ИТА РАН, 1993, N 34, -С.1-61.

3. Артамонов Г.Ф. Об интегрированном подходе к использованию систем аналитических вычислений в задаче нахождения новых семейств периодических движений динамических систем.// В сб. Программы и практика применения ПЭВМ, Москва, МДНТП им. Дзержинского 1990. -С.104-110.

4. Артамонов Г.Ф., Каримов С. Р. Периодические движения симметричного спутника, рождающиеся из его плоских колебаний.// Аннотации докладов VI 1-го Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, -М., 1991. -С.21.

5. Артамонов Г.Ф., Приходько A.B., Сокольский А.Г. Применение CAB "REDUCE-3" при нахождении вынужденных колебаний спутника на слабоэллиптической орбите.// Деп. в ВИНИТИ N4703-B87, 1987. -С.1-18.

Б. Артамонов Г.Ф., Приходько A.B., Садовников A.A., Сокольский А. Г. Алгоритмы и программы исследования условно-периодических движений гамильтоновых систем.// Деп. в ВИНИТИ N4487-B87, 1987. -С.1-27.

7. Артамонов Г.Ф., Савушкин С.А., Сокольский А.Г. Символьное дифференцирование на ПЭВМ.// Сборник докладов 1-й Всесоюзной школы-семинара "Разработка и внедрение в народное хозяйство персональных ЭВМ", Минск, 1988, т.4. -С.173-177.

8. Артамонов Г. Ф. Численно-аналитические вычисления новых семейств периодических движений спутника. // Тезисы докладов Всесоюзного совещания "Алгоритмы и программы небесной механики". Ленинград, 1990. -С. 48-49.