автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез конечномерных регуляторов для бесконечномерных объектов

На правах рукописи

ДЫЛЕВСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

СИНТЕЗ КОНЕЧНОМЕРНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка

информации: управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

003469396

Воронеж—2009

003469396

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» на кафедре «Технической кибернетики и автоматического регулирования»

Научный консультант — доктор технических наук, профессор

Лозгачсв Геннадий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Баркин Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Коган Марк Михайлович

Ведущая организация — Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Защита состоится « 08 » июня 2009 г. в 11 часов в аудитории 1506 на заседании диссертационного совета Д-002.086.02 при Институте системного анализа РАН по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН

Автореферат разослан « 27 » апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д-002.086.02 доктор технических наук, профессор

'Л

Г"

А. И. Пропой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы управления объектами с распределенными параметрами привлекают все большее внимание специалистов в области теории автоматического управления. Об этом свидетельствует появление в отечественных и зарубежных изданиях многочисленных публикаций как теоретического, так и прикладного характера, проведение различных конференций и симпозиумов, посвященных этим проблемам. Такой интерес к проблемам управления распределенными объектами обусловлен не только развитием теории и методов управления, но и практической значимостью важнейших прикладных задач, которые необходимо рассматривать в рамках теории распределенных систем. Действительно, трудно указать какую-нибудь естественно-научную, техническую или промышленную область, где бы не возникали задачи, связанные с использованием распределенных объектов: управление химическими и ядерными реакторами, регулирование давления в длинных нефте-, газо- и водопроводах, управление лазерами и роботами и т. д.

Среди основных проблем теории управления объектами с распределенными параметрами можно выделить следующие: идентификация, моделирование, анализ (устойчивость, управляемость, наблюдаемость), синтез и техническая реализация управляющих систем, оптимизация и т. д. Следует заметить, что по сравнению с сосредоточенными системами, указанные выше задачи для систем с распределенными параметрами являются значительно более сложными. Это объясняется следующими фактами. Основная особенность объектов с распределенными параметрами состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать только изменением координат объекта во времени. Состояние таких объектов должно описываться функциями нескольких переменных, а поведение —, как правило, дифференциальными уравнениями с частными производными. При этом, управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами могут быть сосредоточенными (описываться функциями одной переменной) и распределенными (описываться функциями нескольких переменных).

Однако, несмотря на всю сложность проблем управления распреде-'

-Л

ленными системами, благодаря известным работам А. Г. Бутковского, Ю. И. Неймарка, И. А. Брина, Я. 3. Цыпкина, Б. Н. Девятова, В. В. Со-лодовникова, А. А. Шевякова, Ч. Дезоера, М. Видиасагара, М. Крстича и других ученых по многим направлениям удалось получить основополагающие результаты. Вместе с тем, сохраняется постоянный интерес исследователей к центральной задаче теории управления распределенными системами — проблеме синтеза управляющих систем для объектов с распределенными параметрами. Этот интерес объясняется, во-первых, значимостью проблемы синтеза для решения важных прикладных задач, во-вторых, необходимостью применения сложного математического аппарата, что в значительной степени затрудняет разработку методов синтеза управляющих систем для распределенных объектов, и в-третьих, определенными трудностями при технической реализации управляющих систем.

Особый интерес исследователей вызывает проблема синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. В частности, построение ПИД-регуляторов для распределенных объектов рассматривалось в работах X. Турецкого, А. Г. Бутковского и многих других ученых. Следует отметить, что применение ПИД-регуляторов для бесконечномерных объектов ограничено узким классом таких объектов. Например, для неустойчивого объекта с запаздыванием ПИД-регулятор может и не существовать. Задача управления распределенными объектами с помощью конечномерных регуляторов на основе метода желаемых логарифмических характеристик рассматривалась в работах В. В. Солодовникова. Однако применение этого метода возможно лишь для минимально-фазовых объектов. Другой подход основан на использовании конечномерных аппроксимирующих моделей распределенных объектов, т.е. конечномерный регулятор синтезируется для некоторой конечномерной модели. Заметим, что применение этого метода требует не столько высокой точности аппроксимации, сколько достаточной грубости регулятора. Можно показать, что построение регулятора по конечномерной аппроксимации в ряде случаев приводит к неустойчивости замкнутой системы регулирования с исходным объектом. Поэтому развитие методов синтеза модальных регуляторов, обеспечивающих желаемые свойства замкнутой системы

управления, позволит решить задачу построения конечномерных регуляторов для распределенных объектов.

Таким образом, разработка эффективных методов синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами, допускающих простую техническую реализацию, позволит решить актуальную проблему теории распределенных систем, связанную с автоматическим управлением распределенными объектами.

Целью работы является разработка и обоснование методов построения конечномерных регуляторов для линейных стационарных объектов с распределенными параметрами.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории устойчивости, линейной алгебры, функционального и математического анализа, методы вычислительной математики, теории функций комплесного переменного, операционного исчисления. Экспериментальные результаты получены с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы характеризуется следующими результатами, полученными автором лично:

1. Впервые разработан метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта с сосредоточенными параметрами. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы.

2. Разработан метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез распределенного регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы.

3. Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части

нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр — произвольную целую функцию.

4. Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Разработан частотный критерий устойчивости распределенных систем управления. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5. Впервые разработан эффективный метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта.

6. Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является помехозащищенным.

7. Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса мо-

жет быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти применение в различных отраслях промышленности при решении задач автоматизации процессов управления объектами с распределенными объектами. На основе теоретических разработок получены практические методики и программы, позволяющие производить автоматизированный анализ и синтез систем автоматического управления. Это дает возможность сократить время проектирования регуляторов, повысить их точность и надежность, уменьшить степень риска при эксплуатации.

Поддержка. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-07-00007-а «Построение конечномерных робастных регуляторов для объектов с распределенными параметрами»).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах "Нейроинформатика и ее приложения" (Красноярск, 1996, 1997), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 1998), Международной конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства" (Воронеж, 1998), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), Международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века" (Воронеж, 2000, 2001, 2005-2008), семинарах Института автоматизации при университете Бундесвера (г. Гамбург, Германия), кафедры автоматического регулирования Университета Саарланда (г. Саарбркжен, Германия), Института техники измерений и автоматического регулирования Университета Ганновера (г. Ганновер, Германия), Института Макса Планка

динамики комплексных технических систем (г. Магдебург, Германия), ИСА РАН (г. Москва), МГТУ им. Н. Э. Баумана (г. Москва) и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 38 работах, из них одна монография и 10 публикаций в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 176 наименований. Работа содержит 304 страницы машинописного текста и 43 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, приведены методы исследования и отражена научная новизна. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводится обзор литературы, посвященной исследованию систем управления с распределенными параметрами, дана классификация распределенных объектов управления и рассмотрены различные способы математического описания таких объектов.

На основе проведенного анализа проблемы управления конечномерными объектами сделан вывод, что основные не решенные проблемы связаны со следующими факторами:

1. необходимостью выбора адекватной конечномерной аппроксимирующей модели бесконечномерного стационарного линейного объекта, позволяющей сохранить определяющие свойства распределенного объекта в рабочей полосе частот;

2. необходимостью исследования устойчивости систем с распределенными параметрами в частотной области, в том числе систем, передаточные функции которых содержат счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления;

3. необходимостью синтеза модальных регуляторов с сосредоточенными параметрами, обеспечивающих заданное распределение нулей и полюсов замкнутой системы управления;

4. необходимостью оценки грубости конечномерного регулятора, синтезированного по конечномерной дробно-рациональной аппроксимации и используемого для управления объектом с распределенными параметрами;

5. необходимостью синтеза реализуемых помехозащищенных дифференцирующих устройств, применяемых для синтеза регуляторов бесконечномерных объектов, а также для повышения качества регулирования в достаточно широком классе систем управления.

Во второй главе рассматриваются методы дробно-рациональной аппроксимации в комплексной области трансцендентных передаточных функций объектов управления с распределенными параметрами (ряды Тейлора, Лорана, Бурмана-Лагранжа, непрерывные дроби и дроби Паде, разложения мероморфных функций в ряды). Рассматриваются частотные методы исследования устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Доказывается частотный критерий устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

В третьей главе диссертации предлагается метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта.

Для заданной дробно-рациональной передаточной функции объекта управления

и заданного алгебраического многочлена D(p) требуется так определить передаточную функцию реализуемого регулятора

= degS ^ degR, (2)

чтобы передаточная функция замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1, удовлетворяла следующему условию:

Я(р)

ф(р) =

deg<3 < deg D,

(3)

D(p)>

где Q{p) — алгебраический многочлен определенной структуры, у которого к £ Zo коэффициентов являются произвольными. Общий вид многочлена Q(p) будет выписан ниже. Произвольные коэффициенты многочлена Q(p) влияют на распределение только нулей передаточной функции Ф (р).

9 „ V(p) W(P)

Рис. 1

Для решения поставленной задачи требуется решить систему полиномиальных уравнений относительно S(p) и R(p):

B(p)S(p) = Q(p), B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p).

(4)

Для того чтобы многочлен (¿(р) имел к произвольных коэффициентов, решение системы (4) будем искать в виде

S(P) = S0(p) + А(р)С(р), R(p) = R0(p) - В(р)С(р),

(5)

где С(р) € — произвольный полином, а многочлены б'о(р) и Ro(р) являются решением следующего полиномиального уравнения:

B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p).

(6)

Здесь Лп — множество алгебраических многочленов степени п над полем действительных чисел М. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если многочлены А(р) € Лт и В(р) € [Rj взаимно простые, то для любого полинома D(p) G Л„, n ^ m + I, существует единственная пара многочленов Sç>(p) € и /?о(р) 6 Лп-т, явля-

ющаяся решением полиномиального уравнения (6).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда многочлен So(p) определяется следующей формулой:

1=1 г—О l> 1=Г

A(s)

ад

[B(s)\

Многочлен R0 (р) находится по формуле

х

=щ

(1-г) 1

s=ai (иг -!-/)!(/ -г)!' (7)

= (8)

Следует отметить, что многочлены Sq(р) и Ro(p) не зависят от С(р).

Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Передаточные функции регулятора (2) и замкнутой системы (3) всегда реализуемы, если выполняется неравенство

n^m + x + k, х = max{m - 1,(9)

В диссертации предлагается метод, позволяющий упростить процедуру синтеза передаточной функции модального регулятора в том случае, когда многочлен А(р) е !Rm содержит своим множителем некоторый полином Н{р) F . С этой целью представим многочлены А(р), S0(p) и D(p) в виде произведений А(р) = Ä(p)H(p), So(p) = S0{p)H(p) и D{p) = D(p)H{p), где Ä{p) e Xn-g, S0(p) € Olm-g-i и D{p) e Тогда полиномиальное уравнение (6) приобретает следующий вид:

B(p)S0(p) + Ä(p)R0(p) = D(p). (10)

Таким образом, получаем алгебраическую систему, состоящую из (т — q) уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена

5о (р), вместо т уравнений в (6). Кроме того, для разрешимости полиномиального уравнения (10) в условиях теоремы 1 следует требовать взаимной простоты многочленов В(р) и А(р), а не В(р) и А(р).

В диссертации решается задача синтеза следящей системы, блок-схема которой представлена на рис. 2.

Следуя принципу поглощения, классы задающих воздействий д(Ь) и внешних возмущений /(£) будем описывать соответствующими дифференциальными (разностными) уравнениями

Ь1(а)д(г) = 0, £2(<г)/(0 = 0, (11)

с произвольными начальными условиями. Здесь 1а(сх), //2 (о-) — некоторые алгебраические многочлены от а\ а — либо оператор дифференцирования (ст/(£) = непрерывный случай), либо оператор опережения (с/(г) = /(г + 1), дискретный случай). Конкретные представители классов задающих и возмущающих воздействий определяются начальными условиями уравнений (11).

Рис. 2

Для повышения качества управления синтезируем передаточную функцию регулятора, использующего полезную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. Метод построения регулятора без особых трудностей сводится к описанной выше процедуре синтеза модальных регуляторов. Действительно, рассмотрим расширенный объект с передаточной функцией

УТЬ) = В{Р) = (12)

^ т А(рЩр) А*(р) ' ^

где L(p) = Ll(p)L2(p) e Li(p) 6 Xri, i = 1,2, r = n + r2. Для расширенного объекта (12) полиномиальное уравнение (6) принимает вид

JB(p)Sb(p) + ^(p)^o(p) = i?(p). • (13)

Здесь Л*(р) = Л(р)£(р) 6 !R„i-, т* = т + г. Отметиму что полином D{p) естественно выбирать устойчивым.

В четвертой главе рассматриваются задачи синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами.

Пусть передаточная функция объекта управления с распределенными параметрами имеет вид

w(P) = еть(р)Ф(р), (14)

где

А{р)

функция Ф(р) комплексной переменной р является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси.

Для заданной передаточной функции W{p) объекта управления (14) и заданного полинома D{p) € требуется определить дробно-рациональную передаточную функцию реализуемого регулятора

с компенсирующей обратной связью так, чтобы передаточная функция замкнутой системы управления по управляющему воздействию, структурная схема которой изображена на рис. 3, имела вид

<ад = (i?)

и учитывала полезную информацию о задающем воздействии g(t) и внешнем возмущении f(t) ■ Классы задающих воздействий и внешних возмущений будем описывать линейными дифференциальными уравнениями (11).

Рис. 3

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом синтеза модальных регулятров. На основе структурной схемы (см. рис. 3) находим передаточную функцию замкнутой системы по заданию

= Vo(p)W(p)_ 1 + WQ(p)V0(p)-

Принимая во внимание условие (17) и формулы (14)—(16), для многочленов S(p) и R(p) получаем систему полиномиальных уравнений (4). Решение этой системы будем искать в виде (5), где С(р) £ — произвольный многочлен; многочлены Sq(р) и Ro(p) являются решениями полиномиального уравнения (6). Условия существования и единственности решения полиномиального уравнения (6) определяются теоремой 1.

Передаточная функция конечномерного регулятора определяется формулой

УМ.. s{p) -- So(p) - Мр)С(Р) (iq)

1[Р> R(p) Ro(p) + B(p)C(p) 1 J

и соответствующая передаточная функция регулятора V(p) с компенсирующей обратной связью приобретает вид

V( ) = [So(p)-A(p)C(p)]A(p) [Р) D{p) - [S0(p) - А(р)С(р)} В(р)Ф(р) ' 1 j

Следует отметить, что условие реализуемости передаточной функции регулятора (19) определяется условием (9).

В диссертации рассматривается задача построения модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией.

Пусть передаточная функция W(p) объекта управления является мероморфной функцией в конечной комплексной плоскости (исключая точку р = со). Представим мероморфную функция W(р) в следующем виде:

Здесь А(р) и В(р) — целые функции, не имеющие общих нулей.

Обозначим через С<р'а> множество целых функций порядка р и типа а. Относительно целых функций А(р) и В(р) будем дополнительно предполагать, что А(р) и В(р) функции конечного порядка, для которых выполнено одно из следующих условий:

либо 0 ^ рв < РА, (22)

либо 0 < рв = рА, а в < аА. (23)

Каждое из соотношений (22) или (23) можно рассматривать как условие физической реализуемости передаточной функции объекта управления (21).

Для заданной мероморфной передаточной функции W(p) объекта (21) рассмотрим задачу построения мероморфной передаточной функции регулятора

<»>

обеспечивающего заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции Ф(р) замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1. В формуле (24) предполагается, что искомые функции S(p) и R(p) являются целыми функциями конечного порядка S(p) <Е C<ps'as> и R{p) £ C<PR'<rR>, для которых выполнено одно из условий физической реализуемости передаточной

функции регулятора

или 0 < ps < pR, (25)

или 0 < р3 = pr, as ^ VR- (26)

По структурной схеме, представленной на рис. 1, принимая во внимание формулы (21) и (24), находим передаточную функцию замкнутой системы

W(p)V(p) B(p)S(p)

[Р> 1 + W(p)V(p) B(p)S(p) + A(p)R(p) ' 1 1

Зададимся желаемым распределением нулей и полюсов передаточной функции Ф(р). С этой целью введем в рассмотрение целую функцию Q(p) G C<PQ,CTQ>, определяющую распределение части нулей ме-роморфной функции Ф(р), и целую функцию D(p) € C<pD'aD>, определяющую распределение полюсов передаточной функции Ф(р). Тогда желаемая передаточная функция Ф(р) замкнутой системы управления может быть представлена в виде

Из равенств (27) и (28), приравнивая соответственно числители и знаменатели дробей, получаем систему уравнений относительно функций S(p) и Я(р)

(B(p)S(p) = Q(p)1

\B(P)S(P) + A(P)R(P)=D(P).

Очевидно, что при известной целой функции S(p) функция Q(p) полностью определена. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно решить следующее уравнение:

B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p). (30)

Для того чтобы обеспечить заданное расположение части нулей передаточной функции Ф (р), решение уравнения (30) будем искать в виде

S(P) = S0(p) - i(p)A(p), R{p) = R0(p) + 7(P)B(P), (31)

где 7(р) £ С<р~"а'<> — произвольная целая функция, а функции S'q(р) и Rq{p) являются решением уравнения

B(p)So(p) + А(р)Щр) = D(p). (32)

Имеет место следующая теорема. Теорема 3. Пусть целые функции А(р) £ С<РА>аА> и В(р) £ С<Рв'ав> не имеют общих нулей и удовлетворяют условию (22) или (23). Тогда для любой целой функции D(p) £ C<pA,tTD>, стд > a а, существует единственная пара целых функций So(p) £ C<pso,<Tso>, где либо PSo =0) O'S'o = 0; либо PS О = PA, <TS0 Ro(p) G C<p^°~aA>,

являющаяся решением уравнения (32).

Если выполнены все условия теоремы 3, то искомые функции ¿>о(р) и Ro{p) могут быть всегда найдены соответственно по формулам (7) при тп = оо и (8), причем единственным образом, а значит, передаточная функция регулятора полностью определена и представляет собой мероморфную функцию

v(n) = M = 5о(Р) - 7Ш(р) ,

[Р) R(p) До(р) + 7(р)Я(р)' ^ 1

где, как и ранее, -/(р) £ C<p~"a'r> — произвольная целая функция. При этом передаточная функция замкнутой системы имеет вид

ФЫ -Ш- B{p){S0(p)-lijp)A(p)}

ПР) ~ D(p) D(jp) • ^

В формуле (7) on является нулем функции А(р).

Исследуем теперь вопрос о физической реализуемости передаточных функций модального регулятора V(p) и замкнутой системы Ф(р). С этой целью рассмотрим следующую теорему.

Теорема 4. Передаточные функции регулятора (33) и замкнутой системы (34) всегда реализуемы, если выполняются следующие неравенства:

Pi ^ РА,

aD > 2<7А + а7х,

(35)

(36)

где

х=<: гV" (37)

[О, Ру < рА.

Рассмотрим метод синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Введем обозначения V(p) — передаточная функция конечномерного регулятора; Ф(р) — передаточная функция объекта с распределенными параметрами; Фдг(р) — передаточная функция объекта с сосредоточенными параметрами, являющаяся дробно-рациональной аппроксимацией порядка N передаточной функции Ф(р); Г — мнимая ось без полюсов функции Ф^(р)У(р). В диссертации доказано, что выполнение неравенства

II + ФлК^ЖСН! > |- ФлгСИ)| ^ € г, (38)

гарантирует устойчивость замкнутой системы управления с передаточной функцией Ф (р), если сосредоточенная система с передаточной функцией Ф лг,п(р) устойчива и передаточные функции объектов Фд'(р) и Ф(р) имеют равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Введем в рассмотрение следующее обозначение:

Длг(р) = |Ф(р)-Ф*(р)|. (39)

Нетрудно заметить, что Ддг(р) представляет собой абсолютное значение ошибки аппроксимации порядка N трансцендентной передаточной функции Ф/у(р) с помощью дробно-рациональной передаточной функции Ф(р). Отсюда, полагая передаточную функцию порядка N замкнутой системы Флг,п(р) равной

Флгп(р) =-^--, (40)

получим условие устойчивости

|Флг,п(;и;)|Д^Ы <1 У и € Г, (41)

эквивалентное неравенству (38).

Так как Флг(р) есть дробно-рациональная аппроксимация трансцендентной передаточной функции Ф(р), то для произвольного Ü, > О справедливо следующее равенство:

lim Фдг(р) = Ф(р) V|p|<fl. (42)

N—юо

Здесь N — порядок аппроксимации. Очевидно, что условие (42) с учетом обозначения (39) может быть представлено в виде

Vfi>0V£>03Ar*6NViV>iV* (Ajv(p) < е) V|p| < П. (43)

Скорость стремления д ^ (р) к нулю при N —* оо зависит от вида функции Ф(р), значения 11, способа аппроксимации (например, с помощью отрезка ряда Тейлора, Лорана, Бурмана-Лагранжа, Паде и т. д.).

Тогда условие устойчивости (41) будет выполнено, если частотная характеристика Флг.пО'^) при N —> ос удовлетворяет неравенству

|Флг,пй'")| < \ Vw < пг. (44)

Здесь О г — отрезок мнимой оси [0, jifi], не содержащий полюсы функции V(p)4>N(p).

Необходимо отметить, что условие (44) следует рассматривать при JV —+ оо, так как функция Флг,п(р) > определяемая формулой (40), зависит от передаточной функции регулятора V(p), синтезируемой для аппроксимации Фдг(р) порядка N. Таким образом, неравенство (44) означает, что при N —> оо передаточная функция Флг,п(р) должна иметь ограниченные полосу пропускания и наибольшее значение амплитудно-частотной характеристики.

Далее, относительно Ддг(р) будем предполагать, что при фиксированном N ошибка Ajv(p) в области ¡р| ^ П растет не быстрее некоторой степени р, т. е.

ЗМ > 0 Зц £ Z0 (Длг(р) ^ М|рП V|p| ^ п. (45)

В этом случае выполнение неравенства (41) может быть обеспечено за счет выбора достаточно большого относительного порядка передаточной функции замкнутой системы $N,n(p)- Такой выбор всегда возможен, так как согласно формулам (2), (40) и обозначению

имеем равенство

Ф М ММ

Степень многочленов S(p) и А{р) не зависит от степени многочлена D(p). Поэтому произвольный заданный относительный порядок передаточной функции Ф]у,п(р) обеспечивается соответствующим выбором степени п полинома D(p). cleg D = п. Принимая во внимание утверждение (45) и приведенные выше рассуждения, получаем следующий результат:

VJ > о Зп G N эDtp) е (ßN>n(p)!AN(p) < 6) V|р| ^ а

Таким образом, условие устойчивости (38) будет выполнено, если окажутся справедливыми условия

lim |Флг,п(р)|Ддг(р) = 0 V|p| < SI, (46)

N—>00

lim \Фм1П(р)\Аф) = 0 V|p| > П. (47)

n—»oo

Имеет место теорема. Теорема 5. Пусть передаточная функция объекта с распределенными параметрами Ф(р) и конечномерная дробно-рациональная аппроксимация Фдг(р) порядка N имеют при каждом фиксированном N равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости так, что для произвольного Я > 0 справедливо равенство (42). Пусть, кроме того, ошибка аппроксимация Ajv{p), определяемая выражением (39), удовлетворяет условию (45). Тогда, если найдется такая дробно-рациональная передаточная функция реализуемого регулятора Vijp), что замкнутая система управления с передаточной функцией

*1.,М - , , (48)

является устойчивой, где п — степень характеристического многочлена замкнутой системы Фдг,п(р), то замкнутая система автоматического управления с передаточной функцией

у(рМр±_

Ф[р) 1 + У(р)Ф(р) 14У]

также является устойчивой.

Теорема 5 дает достаточные условия для устойчивости системы автоматического управления с распределенными параметрами и позволяет свести задачу исследования устойчивости распределенной системы к анализу фильтрующих свойств сосредоточенной системы. Очевидно, что подобный анализ удобнее проводить, учитывая конкретный вид передаточной функции (48). В самом деле, пусть конечномерная дробно-рациональная аппроксимация Фл'(р) имеет вид

где Вн(р) и А л' {р) — некоторые полиномы, degBN = I, с1ед А^ = ш. При этом, передаточная функция (50) может не удовлетворять условию физической реализуемости ш ^ I, т. е. можно рассматривать случай тп < I. Во-первых, это позволяет применять для аппроксимаций отрезки степенных рядов (например, отрезок ряда Тейлора), а во-вторых, для фиктивной нереализуемой передаточной функции объекта всегда

можно синтезировать реализуемый модальный регулятор

= <51>

для объекта (50), используя подробно рассмотренный в диссертации метод синтеза модальных регуляторов. Передаточная функция Флг,п(р) согласно формулам (40), (50) и (51) принимает вид

£ / \

,п

= ' (52)

где Ду,„(р) — произвольный желаемый характеристический многочлен степени п, удовлетворяющей условию (9); С(р) € — произвольного многочлена, определяющий распределение нулей передаточной функции Фм,п(р) так, что

= - Ам(р)С(р),

Пн,п(р)=К%ЛР) + Вц{р)С{р),

а многочлены S^, п(р) и R°Nn(p) удовлетворяют следующему полиномиальному уравнению:

S°N,n(p)BN(p) + R%n(p)AN(p) = DN,n(p). (53)

Тогда передаточная функция (52) может быть представлена в виде

\SUp)-An(P)C{P)\An(P)

Dn,u{p)

В результате неравенство (41) принимает вид \&Nin(ju)-ANtiu>)C(ju>)\\ANtiu)\bNVu) < |DN,n(ju)\, Vu; е Г. (54)

С помощью этого условия в диссертации доказана следующая теорема, лежащая в основе метода синтеза конечномерных регуляторов. Теорема 6. Пусть передаточная функция объекта с распределенными параметрами Ф (р) и конечномерная дробно-рациональная аппроксимация Ф лг(р) имеют равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости и, кроме того, ошибка аппроксимации удовлетворяет условиям (43), (45). Тогда существует такой конечномерный реализуемый регулятор с передаточной функцией V(p), что замкнутая система автоматического управления с передаточной функцией Ф (р), определяемой формулой (49), является устойчивой.

В пятой главе диссертации рассматривается задача построения автоматических дифференциаторов, осуществляющих многократное иомехозащищенное дифференцирование широкого класса сигналов.

Обозначим через МС™ = МС™[0, +оо), где М = const > 0, m е N, — множество всех функций / G С"1-1 [0, +оо), являющихся решением (в смысле Каратеодори) линейного дифференциального уравнения

/(Ш)С0 + aif(m~l\t) + ... + am_i/(i) + Om№ = m, (55) где ip(t) — измеримая функция, удовлетворяющая неравенству

| i>(t)\^M Vi€[ 0,+оо). (56)

Фмп(р)

Здесь сц (г = 1,ш) — постоянные вещественные коэффициенты.

В диссертации показано, что для класса сигналов МС™ можно синтезировать диференцирующий наблюдатель, оценивающий производные сигнала у(() = /(£), т. е. V/ 6 МС™

z(t) = (A-KC)z(t) + Kf(t). Здесь использованы следующие обозначения:

(57)

А =

/0 1 0 ... 0 0 0 . 0 0 \

0 0 1 ... 0 0 0 . 0 0

0 0 0 ... 0 1 0 . 0 0

0 0 0 ... 0 0 1 . 0 0

0 0 0 ... 0 0 0 . 0 1

уО 0 0 ... 0 -От • -а2 -а\)

(1,0,.. .,0).

(58)

При этом коэффициенты матрицы коэффициентов усиления наблюдателя К могут быть найдены по формуле:

к0 = 1; kj

j'-i

dj - kiaj-i, j = 1, m,

г=0

I dj kidj-i,

1 i=j—m

(59)

j = m-f 1,7г,

где dj (j = l,n) — коэффициенты характеристического многочлена наблюдателя (57)

D(p) - det(£p - A + КС) = pn + dlPn~l + ... + + dn. (60)

Передаточная функция дифференциатора имеет вид

Р4-гОД - i?i-i(p)Q(p)

^г(р) =

£>(р)

Vt = 1,п.

(61)

Здесь

t-i

J?i_i(p) = £ ко = 1, i = 1, n, Q(p) = рп'тР(р), (62)

Р(р) — характеристический многочлен уравнения (55),

Р(р) - pm -f aipm_1 + ... + om-ip + ат. (63)

В диссертации показано, что устройство с передаточной функцией (61) является помехоустойчивым по отношению к высокочастотным аддитивным помехам,

В диссертации рассматривается задача построения модальных дифференциаторов, осуществляющих асимптотически точное многократное дифференцирование сигналов из класса МС™. Для решения этой задачи используется метод синтеза модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы. Введем в рассмотрение следующую передаточную функцию:

Р6С (64)

Здесь Р(р) — характеристический многочлен уравнения (55) ; v — произвольное целое неотрицательное число;

А{р) = риР(р), deg А — т* = т + и, В{р) = 1. (65)

Передаточная функция регулятора (2) для объекта (64) определяется по формулам (5), (6), где С(р) G j. В формуле (6) используется полином D(p), который представляет собой желаемый характеристический многочлен замкнутой системы управления (см. рис. 1) с передаточной функцией

Пусть многочлен D(p) определяется формулой (60) и имеет степень

deg D = п > 2т* -1 + 1.

Тогда в силу теоремы 2 передаточная функция регулятора (2) физически реализуема. Принимая во внимание обозначения (65), представим полиномиальное уравнение (6) в следующем виде:

5о(р) + ЫР)Р(Р)Р" = D(p). (66)

В силу теоремы 1 решение уравнения (66) существует и является единственным.

В диссертации показано, что устройство с передаточной функцией

ркУ(р)Цг(р) Фк(р) = ТТПрШ (67)

является дифференциатором к-го порядка, к = 0,тп — 1, сигналов из класса МС™. Доказано, что статическая ошибка дифференцирования может быть сделана сколь угодно малой при соответствующем выборе порядка передаточной функции дифференциатора.

В шестой главе диссертации рассматривается применение регуляторов для управления объектами с распределенными параметрами. В частности, рассматриваются задачи построения конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом, управления процессами в длинной электрической линии, регулирования температуры поверхности массивного тела, регулирования температуры в проходных печах, управления неустойчивым процессом горения в ракете с реактивным двигателем на твердом топливе.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы в виде следующих выводов.

1. Разработан новый эффективный метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Предлагаемый метод дает возможность проектировать не только свободное, но и вынужденное движение замкнутой системы управления, учитывая априорную информацию о задающих воздействиях и внешних

возмущениях. При этом для устойчивого объекта синтез модальных регуляторов значительно упрощается. Доказаны теоремы о существовании и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с невырожденной дробно-рациональной передаточной функцией.

2. Разработан новый метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы. Класс реализуемых бесконечномерных модальных регуляторов для объектов с запаздыванием включает регуляторы Смита. Доказана теорема о существовании множества реализуемых бесконечномерных регуляторов для объекта, принадлежащего некоторому классу объектов с распределенными параметрами.

3. Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Модальный регулятор синтезируется непосредственно по желаемой передаточной функции замкнутой системы. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр — произвольную целую функцию. Доказаны теоремы существования и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с мероморфной передаточной функцией.

4. Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Развит частотный критерий устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное

число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5. Разработан новый метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта. Синтезированный регулятор обеспечивает устойчивость и заданные показатели качества переходного процесса замкнутой системы управления с исходным распределенным объектом. Доказана теорема существования конечномерного регулятора с физически реализуемой дробно-рациональной передаточной функцией. Получены оценки грубости конечномерного регулятора.

6. Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является дифференцирующим наблюдателем и поэтому помехозащищен. Получены оценки точности дифференцирования широкого класса сигналов с помощью дифференцирующих наблюдателей. Доказаны теоремы о том, что заданная точность дифференцирования может быть достигнута за счет увеличения размерности дифференциатора при некоторых распределениях полюсов передаточной функции дифференцирующего наблюдателя.

7. Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что в диссертации на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно трактовать как новое крупное научное достижение в теории автоматического управления системами с распределенными параметрами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях по перечню ВАК РФ

1. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 9. — С. 13-20.

2. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Нелинейная динамика и управление: Сборник трудов ИСА РАН. К 70-летию академика С. В. Емельянова. — М.: ИСА РАН, 1999. — С. 37-47.

3. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 4. — С. 17-20.

4. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение регулятора для объекта с распределенными параметрами по передаточной функции замкнутой системы // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2004. — № 2. — С. 154-157.

5. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных систем управления // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. - 2004. - № 1. - С. 103-109.

6. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Конечномерный модальный регулятор для объектов с запаздыванием // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2005. — № 1. — С. 158— 162.

7. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Управление объектами с рециклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2006. — № 1. — С. 58-61.

8. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2006. — № 2. - С. 198-203.

9. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез модального регулятора для объекта с распределенными параметрами // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2007. - № 1. — С. 128-132.

10. Дылевский А. В. Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 3. — С. 23-28.

Монографии

11. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. Автоматические дифференциаторы: построение и применение в задачах управления. — Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 2000. — 144 с.

Публикации в других изданиях

12. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Опти-хмизация и моделирование в автоматизированных системах: Меж-вуз. сб. научн. трудов. — Воронеж, 1995. — С. 47-53.

13. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез дифференцирующих устройств и фильтров с помощью метода пространства состояний // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. IV Всерос. семинара, 5-7 октября 1996 г. — Красноярск, 1996. — С. 33.

14. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Меж-вуз. сб. научн. трудов. — Воронеж, 1996. — С. 119-126.

15. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. О некоторых способах описания сигналов дифференциальными системами // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. трудов. — Воронеж, 1997. — С. 90-94.

16. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез фильтров и дифференциаторов с помощью метода пространства состояний // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы, 28 января - 4 февраля 1997 г. — Воронеж, 1997. — С. 105.

17. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов. — Воронеж, 1997.

- 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.12.97., № 3520-В 97.

18. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Нейроинфор-матика и ее приложения: Тез. докл. V Всерос. семинара, 3-5 октября 1997 г. — Красноярск, 1997. — С. 118.

19. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Тез. докл. конф. 12-16 октября 1998 г. — Воронеж, 1998. — С. 52-53.

20. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Математика. Компьютер. Образование: Тез. докл. V Международ, конф. 2630 января 1998 г. - М., 1998. - С. 120.

21. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов. — Воронеж, 1998. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.02.98., № 517-В 98.

22. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Междунар. конф. по проблемам управления: Тез. докл.

- М., 1999. — Т. 1. - С. 30-31.

23. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Труды конф., 12-16 октября 1998 г. — Воронеж, 1999. — С. 113-118.

24. Дылевский А. В. О выборе порядка передаточной функции модального дифференциатора // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения (МНКАДМ-2000): Между-

нар. науч. конф., посвящ. 80-летию А. Д. Мышкиса, 15-20 мая 2000 г. — 2000. — С. 91-92.

25. Дылевский А. В. Многократное дифференцирование сигналов // Кибернетика и технологии XXI века: Труды I Междунар. конф. 24-26 октября 2000 г. — Воронеж, 2000. — С. 31-36.

26. Дылевский А. В. Об одном способе построения канонических форм // Вестник факультета ПММ: Сб. научн. тр. — Воронеж, 2000. - Вып. 2. - С. 80-85.

27. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Вестник факультета ПММ: Сб. научн. тр. — Воронеж,

2000. - Вып. 2. — С. 85-93.

28. Дылевский А. В. О выборе порядка передаточной функции модального дифференциатора // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. 15-20 мая 2000 г. — Воронеж, 2000. — С. 91-92.

29. Dylevskii А. V., Lozgachev G. I. Modal Difftrentiator Desing // Computations Mathematics and Modeling. — 2000. — Vol. 11, No. 2. - P. 109-118.

30. Дылевский А. В. Синтез автоматических дифференциаторов в пространстве состояний // Кибернетика и технологии XXI века: Труды II Междунар. конф. 23-25 октября 2001 г. — Воронеж,

2001. - С. 22-27.

31. Дылевский А. В. Об одном способе многократного дифференцирования сигналов // Нелинейная динамика и управления: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. — М.: Физматлит, 2001. — Вып. 1. — С. 145-150.

32. Dylevskii А. V. A Technigue for Multiple Signal Difftrentiation // Computations Mathematics and Modeling. — 2001. — Vol. 12, No. 4. - P. 353-358.

33. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез систем управления с заданным характеристическим многочленом // Нелинейная динамика и управления: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. — М.: Физматлит, 2002. — Вып. 2. — С. 125-138.

34. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез конечномерных регуляторов для объектов с запаздыванием // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VI Междунар. науч.-техн. конф. 1719 мая 2005 г. — Воронеж, 2005. — С. 40-47.

35. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез конечномерных регуляторов для объектов с запаздыванием // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VII Междунар. науч.-техн. конф. 16-18 мая 2006 г. - Воронеж, 2006. — Т. 1. - С. 40-47.

36. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез регулятора для объекта с распределенными параметрами по передаточной функции замкнутой системы // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VIII Междунар. науч.-техн. конф. 15-17 мая 2007 г. - Воронеж, 2007. - Т. 1. - С. 73-78.

37. Дылевский А. В. Синтез модальных регуляторов для объектов с мероморфной передаточной функцией // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды VIII Междунар. науч.-техн. конф. 15-17 мая 2007 г. - Воронеж, 2007. - Т. 1. — С. 79-83.

38. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина В. С. Синтез бесконечномерных регуляторов для объектов с мероморфной передаточной функцией // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Труды IX Междунар. науч.-техн. конф. 13-15 мая 2008 г. — Воронеж, 2008. — Т. 1. — С. 66-70.

Подписано в печать 24.04.09. Формат 60*84 V^. Усл. печ. л. 1,84. Тираж 100 экз. Заказ 690

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Проблема управления объектами с распределенными параметрами.

§1.1. Классификация динамических объектов с распределенными параметрами.

§ 1.2. Математическое описание объектов с распределенными параметрами.

§ 1.3. Методы управления объектами с распределенными параметрами

§ 1.4. Постановка задачи.

Глава 2. Анализ систем управления с распределенными параметрами.

§ 2.1. Дробно-рациональная аппроксимация передаточных функций объектов с распределенными параметрами

§ 2.2. Передаточные функции астатических систем.

§ 2.3. Исследование устойчивости систем управления с распределенными параметрами

§ 2.4. Анализ переходных процессов.

Глава 3. Синтез модальных регуляторов.

§3.1. Построение модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы

§ 3.2. Редуцированный метод синтеза модальных систем управления.

§ 3.3. Синтез следящих систем при заданных классах внешних воздействий

§ 3.4. Синтез параллельных корректирующих устройств

§ 3.5. Практическая реализация метода синтеза модальных систем управления.

§ 3.6. Построение комбинированных систем управления

Глав а 4. Синтез систем управления с распределенными параметрами.

§4.1. Построение регулятора для объекта с распределенными параметрами.

§ 4.2. Синтез регуляторов для устойчивых объектов с распределенными параметрами

§4.3. Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией.

§ 4.4. Синтез конечномерных регуляторов.

§ 4.5. Конечномерный модальный регулятор для объектов с запаздыванием.

Г лава 5. Синтез дифференциаторов.

§ 5.1. Определение класса дифференцируемых сигналов

§ 5.2. Синтез дифференцирующих наблюдателей.

§ 5.3. Исследование точности дифференцирования.

§ 5.4. Последовательное дифференцирование сигналов

§5.5. Синтез модальных дифференциаторов.

Г л а в а 6. Применение регуляторов для управления объектами с распределенными параметрами

§6.1. Построение конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом

§ 6.2. Длинная электрическая линия.

§ 6.3. Регулирование температуры поверхности массивного тела.

§ 6.4. Регулирование температуры в проходных печах

§6.5. Управление неустойчивым процессом горения в ракете на твердом топливе.

Актуальность темы. Проблемы управления объектами с распределенными параметрами привлекают все большее внимание специалистов в области теории автоматического управления. Об этом свидетельствует появление в отечественных и зарубежных изданиях многочисленных публикаций как теоретического, так и прикладного характера, проведение различных конференций и симпозиумов, посвященных этим проблемам. Такой интерес к проблемам управления распределенными объектами обусловлен не только развитием теории, и методов управления, но и практической значимостью важнейших прикладных задач, которые необходимо рассматривать в рамках теории распределенных систем. Действительно, трудно указать какую-нибудь естественно-научную, техническую или промышленную область, где бы не возникали задачи, связанные с использованием распределенных объектов: управление химическими и ядерными реакторами, регулирование давления в длинных нефте-, газо- и водопроводах, управление лазерами и роботами и т. д.

Среди основных проблем теории управления объектами с распределенными параметрами можно выделить следующие: идентификация, моделирование, анализ (устойчивость, управляемость, наблюдаемость), синтез управляющих систем, оптимизация, техническая реализация управляющих систем и т. д. Заметим, что по сравнению с сосредоточенными системами, указанные выше задачи для систем с распределенными параметрами являются значительно более сложными. Это объясняется следующими фактами. Основная особенность объектов с распределенными параметрами состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать только изменением координат объекта во времени. Состояние таких объектов должно описываться функциями нескольких переменных, а поведение —, как правило, дифференциальными уравнениями с частными производными. При этом, управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами могут быть сосредоточенными (описываться функциями одной переменной) и распределенными (описываться функциями нескольких переменных).

Однако, несмотря на всю сложность проблем управления распределенными системами, благодаря известным работам А. Г. Бут-ковского, Ю. И. Неймарка, И. А'. Брина, Я. 3. Цыпкина, Б. Н. Де-вятова, В. В. Солодовникова, А. А. Шевякова, Ч. Дезоера, М. Ви-диасагара, М. Крстича и других ученых по многим направлениям удалось получить основополагающие результаты. Вместе с тем, сохраняется постоянный интерес исследователей к центральной задаче теории управления распределенными системами — проблеме синтеза управляющих систем для объектов с распределенными параметрами. Этот интерес объясняется, во-первых, значимостью проблемы синтеза для решения важных прикладных задач, во-вторых, необходимостью применения сложного математического аппарата, что в значительной степени затрудняет разработку методов синтеза управляющих систем для распределенных объектов, и в-третьих, определенными трудностями при технической реализации управляющих систем.

Особый интерес исследователей вызывает проблема синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. В частности, построение ПИД-регуляторов для распределенных объектов рассматривалось в работах X. Турецкого, А. Г. Бутковского и многих других ученых. Следует отметить, что применение ПИД-регуляторов для бесконечномерных объектов ограничено узким классом таких объектов. Например, для неустойчивого объекта с запаздыванием ПИД-регулятор может и не существовать. Задача управления распределенными объектами с помощью конечномерных регуляторов на основе метода желаемых логарифмических характеристик рассматривалась в работах В. В. Солодовникова. Однако применение этого метода возможно лишь для минимально-фазовых объектов. Другой подход основан на использовании конечномерных аппроксимирующих моделей распределенных объектов, т.е. конечномерный регулятор синтезируется для некоторой конечномерной модели. Заметим, что применение этого метода требует не столько высокой точности аппроксимации, сколько достаточной грубости регулятора. Можно показать, что построение регулятора по конечномерной аппроксимации в ряде случаев приводит к неустойчивости замкнутой системы регулирования с исходным объектом. Поэтому развитие методов синтеза модальных регуляторов, обеспечивающих желаемые свойства замкнутой системы управления, позволит решить задачу построения конечномерных регуляторов для распределенных объектов.

Таким образом, разработка эффективных методов синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами, допускающих простую техническую реализацию, позволит решить актуальную проблему теории распределенных систем, связанную с автоматическим управлением распределенными объектами.

Целью работы является разработка и обоснование методов построения конечномерных регуляторов для линейных стационарных объектов с распределенными параметрами.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории устойчивости, линейной алгебры, функционального и математического анализа, методы вычислительной математики, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления. Экспериментальные результаты получены с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы характеризуется следующими результатами, полученными автором лично:

1) Впервые разработан метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта с сосредоточенными параметрами. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы.

2) Разработан метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез распределенного регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы.

3) Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр — произвольную целую функцию.

4) Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Разработан частотный критерий устойчивости распределенных систем управления. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5) Впервые разработан эффективный метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации распределенного объекта.

6) Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является помехозащищенным.

7) Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка* передаточной функции модального дифференциатора.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти применение в различных отраслях промышленности при решении задач автоматизации процессов управления объектами с распределенными объектами. На основе теоретических разработок получены практические методики и программы, позволяющие производить автоматизированный анализ и синтез систем автоматического управления. Это дает возможность сократить время проектирования регуляторов, повысить их точность и надежность, уменьшить степень риска при эксплуатации.

Поддержка. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-07-00007-а «Построение конечномерных робастных регуляторов для объектов с распределенными параметрами»).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах "Нейроинформатика и ее приложения" (Красноярск, 1996,1997), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 1998), Международной конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства" (Воронеж, 1998), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), Международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века" (Воронеж, 2000, 2001, 2005-2008), семинарах Института автоматизации при университете Бундесвера (г. Гамбург, Германия), кафедры автоматического регулирования Университета Саарланда (г. Саар-брюкен, Германия), Института техники измерений и автоматического регулирования Университета Ганновера (г. Ганновер, Германия), Института Макса Планка динамики комплексных технических систем (г. Магдебург, Германия), ИСА РАН (г. Москва), МГТУ им. Н. Э. Баумана (г. Москва) и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 38 работах, из них одна монография и 10 публикаций в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ:

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 176 наименований. Работа содержит 304 страницы машинописного текста и 43 рисунка.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы в виде следующих выводов.

1) Разработан новый эффективный метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта. Метод позволяет для объекта с невырожденной передаточной функцией синтезировать множество регуляторов, обеспечивающих заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Предлагаемый метод дает возможность проектировать не только свободное, но и вынужденное движение замкнутой системы-управления, учитывая априорную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. При этом для устойчивого объекта синтез модальных регуляторов значительно упрощается. Доказаны теоремы о существовании и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с невырожденной дробно-рациональной передаточной функцией.

2) Разработан новый метод, позволяющий для одного класса объектов с распределенными параметрами непосредственно по передаточной функции объекта осуществлять синтез регулятора, обеспечивающего заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой системы. Класс реализуемых бесконечномерных модальных регуляторов для объектов с запаздыванием включает регуляторы Смита. Доказана теорема о существовании множества реализуемых бесконечномерных регуляторов для объекта, принадлежащего некоторому классу объектов с распределенными параметрами.

3) Для объекта с распределенными параметрами впервые решена задача построения класса бесконечномерных регуляторов, обеспечивающих заданное желаемое распределение полюсов и части нулей передаточной функции замкнутой системы. Передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы рассматриваются в классе мероморфных функций. Модальный регулятор синтезируется непосредственно по желаемой передаточной функции замкнутой системы. Передаточная функция регулятора имеет свободный параметр — произвольную целую функцию. Доказаны теоремы существования и физической реализуемости класса модальных регуляторов для объекта управления с мероморфной передаточной функцией.

4) Разработан новый частотный метод исследования устойчивости распределенной системы управления с помощью модальной сосредоточенной системы управления. Получены достаточные условия устойчивости распределенной системы управления. Развит частотный критерий устойчивости систем управления с распределенными параметрами. Исследование устойчивости проводится по трансцендентной передаточной функции разомкнутой системы, которая может иметь счетное число полюсов или конечное число алгебраических точек ветвления на мнимой оси. Число полюсов в правой полуплоскости предполагается конечным.

5) Разработан новый метод построения конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Синтез регуляторов осуществляется в частотной области по конечномерной рациональной аппроксимации передаточной функции распределенного объекта. Синтезированный регулятор обеспечивает устойчивость и заданные показатели качества переходного процесса замкнутой системы управления с исходным распределенным объектом. Доказана теорема существования конечномерного регулятора с физически реализуемой дробно-рациональной передаточной функцией. Получены оценки грубости конечномерного регулятора.

6) Впервые решена задача многократного дифференцирования на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Синтез дифференцирующих устройств осуществляется в пространстве состояний по части переменных вектора состояний. Построенный дифференциатор является дифференцирующим наблюдателем и поэтому помехозащищен. Получены оценки точности дифференцирования широкого класса сигналов с помощью дифференцирующих наблюдателей. Доказаны теоремы о том, что заданная точность дифференцирования может быть достигнута за счет увеличения размерности дифференциатора при некоторых распределениях полюсов передаточной функции дифференцирующего наблюдателя.

7) Разработан новый метод построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Доказано, что ошибка дифференцирования сигналов из рассматриваемого в диссертации класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции модального дифференциатора.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что в диссертации на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно трактовать как новое крупное научное достижение в теории автоматического управления системами с распределенными параметрами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами // Автоматика и телемеханика. — 1977. — № 3. — С. 5-50.

2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с.

3. Бейкер Док,., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986. 502 с.

4. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1975. — 768 с.

5. Бобылев Н.А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Несколько замечаний об устойчивости бесконечномерных систем / / Нелинейная динамика и управление. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — С. 15— 21.

6. Брин И. А. Об устойчивости некоторых систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. — 1962. — Т. XXIII, № 7. С. 863-871.

7. Бронштейн И. Н.} Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Физматгиз, 1962. — 608 с.

8. Бутковский А. Г. Структурная теория распределенных систем.1. М.: Наука, 1977. — 320 с.

9. Бутковский А. Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 11. С. 16-65.

10. Бутковский- А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979. — 224 с.

11. Вишняков А. Н., Цыпкин Я. 3. Синтез модальных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 7. С. 86-94'.

12. Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. — М.: Наука, 1986. — 240 с.

13. Волгин JI. Н. Диофантово полиномиальное исчисление и его применение для решения математических задач теории управления // Автоматика. — 1987. — № 1. — С. 43-52.

14. Воробьев Ю. В., Дроздович В. Н. О методах исследования устойчивости систем регулирования с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. — 1949. — Т. X, № 2. — С. 24-29.

15. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. — М.: Энергоиздат, 1981.- 304 с.

16. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. — 335 с.

17. Голембо Б. 3. Применение систем с переменной структурой в задачах фильтрации и дифференцирования : Автореф. дис. . канд. техн. наук. — М., 1978. — 26 с.

18. Турецкий X. Анализ-и синтез систем управления с запаздыванием. — М.: Машиностроение, 1974. — 328 с.

19. Девятое Б.Н., Демиденко Н.Д., Охорзин В. А. Динамика распределенных процессов в технологических аппаратах, распределенный контроль и управление. — Красноярск: Красноярское книжное изд-во, 1976. — 312 с.

20. Девятое Б. Н. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач упраавления. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1964. 324 с.

21. Дегтярев Г. JI., Сиразетдинов Т. К. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояния (обзор) // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1983. — № 2. — С. 123-136.

22. Дегтярев Г. JI., Сиразетдинов Т. К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. — М.: Машиностроение, 1986. — 214 с.

23. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1971. — Т. 1. — 316 с.

24. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям // Фильтрация и стохастическое управлениё в динамических системах. — М., 1980. — С. 253-320.

25. Динамика и управление ядерным ракетным двигателем / В. В. Бугровский, В. П. Жуков, С. С. Преображенский и др.; Под ред. Б. Н. Петрова. — М.: Атомиздат, 1974. — 253 с.

26. Доюоунс У, Трон У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. — М.: Мир, 1985. — 416 с.

27. Дылевский А. В. Построение модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 3. — С. 23-28.

28. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Конечномерный модальный регулятор для объектов с запаздыванием // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2005. — № 1. —1. С. 158-162.

29. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение регулятора для объекта с распределенными параметрами по передаточной функции замкнутой системы // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2004. — № 2. — С. 154-157.

30. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение модальных дифференциаторов. — Воронеж, 1998. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.02.98., № 517-В 98.

31. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов. — Воронеж, 1997. 33 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.12.97., № 3520-В97.

32. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 9. — С. 13-20.

33. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 4. — С. 17-20.

34. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных дифференциаторов // Сборник трудов ИСА РАН. К 70-летию академика С. В. Емельянова. Нелинейная динамика и управление. — 1999. С. 37-47.

35. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез модальных систем управления // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2004. — № 1. — С. 103-109.

36. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Управление объектами с рециклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2006. — № 1. — С. 58-61.

37. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Построение конечномерных регуляторов для объектов с замкнутым циклом // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика. — 2006. — № 2.- С. 198-203.

38. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И., Малютина B.C. Синтез модального регулятора для объекта с распределенными параметрами // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2007. — № 1. — С. 128— 132.

39. Евграфов М. А. Аналитические-функции. — М.: Наука, 1991. — 448 с.

40. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. — М.: Наука, 1967. — 335 с.

41. Емельянов С. В., Коровин С. К. Наблюдатели и дифференциаторы выхода неопределенных систем // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С. 5-22.

42. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. — М.: Наука, 1997. — 352 с.

43. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитина М'. Г., Никитин С. В. Конечномерный стабилизатор систем с распределенными параметрами: регулятор Сакавы // Докл. АН СССР. — 1990. Т. 315, № 4. - С. 798-803.

44. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитина М.Г., Никитин С. В. Аппроксимативная управляемость и наблюдаемость бесконечномерных систем // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 315, № 4. С. 1052-1056.

45. Кадымов Я. Б. Переходные процессы в системах с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1968. — 192 с.

46. Калачев М. Г. Один метод многократного дифференцирования сигнала в системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. — 1970. — № 6. — С. 15-22.

47. Калачев М. Г., Петровский А. М. Многократное дифференцирование сигнала с ограниченным спектром // Автоматика и телемеханика. 1972. — № 3. — С. 28-34.

48. Калмап Р., Бьюси Р. Новые результаты в теории линейной; фильтрации и упреждения // Труды американского общества инженеров-механиков, серия Д.—1961. — № 1. — С. 123-141.

49. Калмап Р., Фалб П.Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир. 1971. — 100 с.

50. Коваль В. А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1997.- 192 с.

51. Колмогоров A. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей; // Известия АН СССР, серия математическая. — 1941. — Т. 5, № 1. — С. 3-14.

52. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

53. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1973. — 832 с.

54. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 498 с.

55. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. — М.: Наука, 1973; — 558 с.

56. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука, 1989. — 736 с.

57. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. — М.: Машиностроение; 1976. — 184 с.

58. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.

59. Лозгачев Р. И., Дылевский А. В. Автоматические дифференциаторы: построение и применение в задачах управления. — Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2000. — 144 с.

60. Лозгачев Г. И. Построение дифференцирующих устройств на основе метода функций Ляпунова. — Воронеж, 1987. — 17 с. —

61. Деп. в ВИНИТИ 06.11.87., № 7796-В87.

62. Лозгачев Г. И. Построение модальных регуляторов для одноконтурных и многосвязных систем // Автоматика и телемеханика.- 2000. № 12. - С. 15-21.

63. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 1995. — С. 47-53.

64. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 1996. — С. 119-126.

65. Лозгачев Г. И. Синтезv модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы / / Автоматика и телемеханика. — 1995. № 5. - С. 49-55.

66. Лозгачев Г. И. Синтез регуляторов по передаточной функции замкнутой системы // Алгоритмы управления и идентификации.- М.: Изд-во Диалог-МГУ, 1997. — С. 85-93.

67. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980. — 608 с.

68. Мазуров В. М., Хайниш С. В. Идентификация объекта управления с рециклом // Сб. "Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами". Вып. 3. — Тула: Изд-во Тульского политехнического института, 1972. — С. 218— 228.

69. Мазуров В. М., Малое Д. И., Саломыков В. И. Система автоматического регулирования величины в абсорбционной колонне с рециклом // Химическая промышленность. — 1974. — № 4. — С. 63-65.

70. Марков А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробейи теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. — М.: Го-стехиздат, 1948. — 410 с.

71. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1986. — 304 с.

72. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. — Киев, 1973. — 268 с.

73. Менский Б. М. Принцип инвариантности в автоматическом регулировании и управлении. — М.: Машиностроение, 1972. — 248 с.

74. Нагиев М. Ф. Теоретические основы рециркуляционных процессов в химии. — М.: Наука, 1962. — 332 с.

75. Нагиев М. Ф. Исследования в области кинетики, моделирования и оптимизации химических процессов. — Баку: ЭЛМ, 1970. — 264 с.

76. Натанзон М. С. Неустойчивость горения. — М.: Машиностроение, 1986. 248 с.

77. Неймарк Ю. И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автоматика и телемеханика. — 1948. — Т. IX, № 3. — С. 190—203.

78. Паршева Е.А., Цыкунов A.M. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со скалярными входами-выходами // Автоматика и телемеханика. — 2001. — N® 1. — С. 142-149.

79. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. — М.: Наука, 1979. — 344 с.

80. Первозванский А. А., Солонина Н. В. Субоптимальный конечномерный регулятор для объекта с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 4. — С. 48-59.

81. Першин И. М. Синтез систем с распределенными параметрами: проблемы и перспективы // Мехатроника, автоматизация,управление. — 2005. — № 6. — С. 2-10.

82. Петров Б.Н., Емельянов С. В., Дудин Е.Б. О выборе критериев синтеза комбинированных следящих систем с переменной структурой // Доклады АН СССР. — 1963. — Т. 153, № 6. — С. 1280-1283.

83. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Емельянов С. В. Оптимизация и инвариантность в системах автоматического регулирования с жесткой и переменной структурой // Теория непрерывных автоматических систем: Труды II Конгресса ИФАК. — М., 1965. — Т. 1.- С. 214-229.

84. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с.

85. Понтрягин JI. С. О нулях некоторых элементарных функций // Известия АН СССР. Математика. — 1942. — Т. 6, № 3. — С. 115-134.

86. Рапопорт Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. — М.: Высш. шк., 2003. 299 с.

87. Рапопорт Э. Я. Структурно-параметрический синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 4.- С. 47-60.

88. Рассудов Л. НМядзель В. Н. Электроприводы с распределенными параметрами механических элементов. — JL: Энергоатом-издат, Ленингр. отд-ние, 1987. — 144 с.

89. Рей У. Методы управления технологическими процессами. — М.: Мир, 1983. 368 с.

90. Рязанов Ю.А. Проектирование систем автоматического регулирования. — М.: Машиностроение, 1967. — 359 с.

91. Смагина Е. М. Синтез систем управления с заданными передаточными функциями // Автоматика'И'телемеханика. — 1977. — № 4. С. 13-16.

92. Симою М. П. Определение коэффициентов передаточной функции линеаризованных звеньев и, систем регулирования // Автоматика и телемеханика. — 1957. — Т. XVIII, № 6. — С. 514-528.

93. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977. — 480 с.

94. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука, 1987. — 232 с.

95. Соколов А. А. Критерий^ устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами и? его приложение // Инженерный'сборник. — 1946. — Т. II, Вып. 2. — О. 19-26.

96. Стильтъес Т. И. Исследования о непрерывных дробях. — Харьков-Киев: ОНТИ, 1936. 156 с.

97. Теория автоматического управления. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А'. А. Воронова1. — М.: Высш. шк., 1986. — 367 с.

98. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1967. Т. 1, 768 е.; Т. 2, 680 с.

99. Тимнат И. Ракетные двигатели,на химическом топливе. — М.: Мир, 1990. 294 с.

100. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980. — 464 с.

101. Справочник конструктора печей прокатного производства // Под ред. В.М. Тымчака. — М.: Металлургия, 1970. — Т. 1,-298575 е.; Т. 2, 992 с.

102. Уолт Дою. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961. — 508 с.

103. Утеуш Э. В., Утеуш 3. В. Введение в кибернетическое моделирование. — М.: Энергия, 1971. — 208 с.

104. Филимонов А. Б. Спектральная декомпозиция систем с запаздываниями. Компенсация запаздываний. — М.: Физматлит, 2002.- 288 с.

105. Филимонов А. Б. Модальные свойства конечномерных динамических систем. — М.: Компания Спутник, 2001. — 96 с.

106. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

107. Хайниш С. В. Об оптимальном управлении объектами с замкнутым циклом // Управление сложными системами: Сб. науч. тр.- М.: ИАТ, 1974. С. 42-55.

108. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978. — 112 с.

109. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М.: Гостехиздат, 1956. — 204 с.

110. Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с последействием. — М.: Наука, 1984. — 240 с.

111. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука, 1977. 560 с.

112. Цыпкин Я. 3. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях ограниченной неопределенности // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 9. — С. 139-159.

113. Цыпкин Я. 3. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. — 1946. — № 2. — С. 107— 128.

114. Чеботарев Н. Г. К проблеме Гурвица для целых трансцендентных функций // ДАН СССР. Новая серия. — 1941. — Т. 33, № 9.- С. 483-486.

115. Шевяков А. А. Системы управления ракетных двигателей и энергетических установок. — М.: Машиностроение, 1985. — 183 с.

116. Шевяков А. А., Яковлева Р. В. Инженерные методы расчета динамики теплообменных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1968.- 312 с.

117. Шевяков А. А., Яковлева Р. В. Управление тепловыми объектами с распределенными параметрами. — М.: Энергоатомиздат, 1986. 208 с.

118. Шеннон К. Математическая теория дифференциального анализатора // Работы по теории информации. — М., 1963. — С. 709728.

119. Шильман С. В. Адаптивное прогнозирование временных рядов при наличии систематической составляющей // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1996. — № 2. — С. 64-67.

120. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. — М.: Наука, 1978. — 416 с.

121. Artstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction 11 IEEE Trans. Automat. Control. — 1982. — Vol. AC-42, No. 4.- P. 869-879.

122. Astrom K. J., Hang С. C., Lim В. C. A new Smith predictor for controlling a process with an integrator and long dead-time // IEEE

123. Trans. Automat. Control. — 1994. — Vol. 39, No. 2. — P. 343-345.

124. Ball B. J., Rekoff M. G. An analysis of the distributed lag // ISA Transaction. — 1966. — Vol. 5, No. 2. P.146-155.

125. Boskovic D. M., Krstic M. Stabilization of a solid propellant rocket instability by state feedback // Int. J. Robust Nonlinear Control. — 2003. Vol. 13. - P. 483-495.

126. Chait Y., MacCluer C. R., Radcliffe C. J. A Nyquist stability criterion for distributed parameter systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1989. — Vol. 34, No. 1. — P. 90-92.

127. Chen C. F., Shieh L. S. A novol approach to linear model simplification proceedings // Journal Autom. Control Conf. — 1968. P. 454-461.

128. Culick F. E. C. A review of calculations for unsteady burning of a solid propellant // AIAA Journal. — 1968. — Vol. 6, No. 12. — P. 2241-2255.

129. Curtain R., Zwart H. An introduction to infinite-dimensional linear systems theory. — New York: Springer-Verlag, 1995. — 697 p.

130. Denison M. R., Baum E. A simplified model of unstable burning in solid propellants // ARS Journal. — 1961. — Vol. 31, No. 8. — P. 1112-1122.

131. Desoer C.A., Wang Y.-T. On the generalized Nyquist stability criterion // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1980. — Vol. AC-25, No. 2. P. 187-196.

132. Dugard L., Verriest E. I. Stability and control of time-delay systems. Lecture notes in control and information sciences. — London: Springer-Verlag, 1998. — 317 p.

133. Foda S. G., Mahmoud M. S. Adaptive stabilization of delay differential systems with unknown uncertain bounds // Int. J. Control. 1998. — Vol. 71, No. 2. - P. 259-275.

134. Foias C., Ozbay H., Tannenbaum A. Robust control of infinitedimensional systems: Frequency domain methods. Lecture Notes in Control and Information Sciences. — New York: Springer-Verlag, 1996. 218 p.

135. Fridman E., Shaked U. A descriptor system approach to H^ control of time-delay systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 2002. — Vol. 47. P. 253-279.

136. Grimble M. J., Кисета V. Polynomial methods for control systems design. — London: Springer, 1996. — 260 p.

137. Gu G., Khargonekar P.P., Lee B.E. Approximation on infinite-dimensional systems // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1989. — Vol. 34, No. 6. P. 610-618.

138. Gu K., Niculescu S.-I. Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems // J. Dyn. Syst. Meas. Control (special issue: Time delayed systems). — 2003. — Vol. 125, No. 2. — P. 158-165.

139. Gyori I. Delay differential and integro-differential equations in biological compartment models // Syst. Sci. — 1982. — Vol. 8, No. 23. P. 167-187.

140. Hill P., Peterson C. Mechanics and thermodynamics of propulsion.

141. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1992. — 563 p.

142. Huang Y.-P., Zhou K. Robust control of uncertain time delay systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 2000. — Vol. 45, No. 11. — P. 2169-2173.

143. Huang Y.-P., Zhou K. On the robustness of uncertain time-delay systems with structured uncertainties // Syst. Control Lett. — 2000.- Vol. 41. P. 367-376.

144. Kailath T. Linear Systems. — New Jersey: Prentice Hall, 1980. — 682 p.

145. Kharitonov V. L. Robust stability analysis of time delay systems:

146. A survey 11 Ann. Rev. Control. -• 1999. — Vol. 23. — P. 185-196;1491 Kharitonov V. L., Niculescu S.-I. On the stability of linear systems, with uncertain delay // IEEE Trans. Automat. Control; — 2003; — Vol. 48, No. 1. — P. 127-132:

147. Kharitonov V. L. , Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to robust stability of time-delay systems // Automatica. — 2003; — Vol. 39, No. .1. P. 15 20.

148. Кисета V. Polynomial equations — a tool for control sytem synthesis // IFAC Conf. System and Structure and Control, Nantes, France, 1998. — P. 69-76.

149. Кисета V., Zagalak Pi Proper solutions ofi polynomiali equations // 14th IFAC World Congress, Beijing, China, 1999. P. 357-362.

150. Mahmoud Mi S. Adaptive control of; a class of time-delay systems with uncertain parameters // Int. J. Control. — 1996. — Vol. 63, No. 5. P. 937-950.

151. Mahmoud M. S. Robust control and filtering for time-delay systems. — New York: Marcel-Dekker, 2000. — 448 p.

152. Malek-Zavarei M., Jamshidi M. Time delay systems: analysis,, optimization? and applications.—Amsterdam: North-Holland, 1987.504 p.

153. Mazenc; F., Mondie Si, Niculescu S.-I. Global asymptotic stabilization for chains of integrators with a delay in the input 11 IEEE Trans. Automat. Control. — 2003. — Vol. 48', No. 1. — P. 57-63.

154. Meinsma G., Zwart Hi On H°° control for dead-time systems 11 IEEE Trans. Automat. Contr. — 2000. — Vol. 45, No. 2. — P. 272285.

155. Mirkin B.Mi, Gutman P.-O. Output feedback model reference adaptive control for multi-input-multi-output plants with state delay U Systems Control Lett. — 2005. — Vol. 54, No. 10. — P. 961-972.

156. Niculescu S.-I. Delay effects on stability: A robust control approach.

157. New York: Springer-Verlag, 2001. — 383 p.

158. Niculescu S.-I., Michiels W. Stabilizing a chain of integrators using multiple delays // IEEE Trans. Automat. Control. — 2004.

159. Vol. 49, No. 5. — P. 802-807.

160. Niculescu S.-I., Annaswamy A. M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree n* ^ 2 // Syst. Control Lett. 2003. - Vol. 49. - P. 347-358.

161. Oucheriah S. Adaptive robust control of class of dynamic delay systems with unknown uncertainty bounds // Int. J. Adapt. Control Signal Process. — 2001. Vol. 15. — P. 53-63.

162. Palmor Z. J. Time-delay compensation — Smith predictor and its modifications // The Control Handbook. — Boca Raton, Fb: CRC Press andi IEEE Press, 1996. — P. 224-237.

163. Richard J.-P. Time-delay systems: An overview of some recent advances and open problems // Automatica. — 2003. — Vol. 39, No. 10. — P. 1667-1694.

164. Ryan E. P., Sangwin C. J. Controlled functional differential equations and adaptive stabilization // Int. J. Control. — 2001. — Vol. 74, No. 1. P. 77-90.

165. Smith O.J.M. Closer control of loops with dead time // Chem. Eng. Progr. 1957. - Vol. 53. - P. 217.

166. Sutton G. P., Biblarz 0. Rocket propulsion elements. — New York: Wiley, 2001. 768 p.

167. Tien J. S.} Sirignano W. A. Unsteady thermal response of the condensed-phase fuel adjacent to a reacting boundary layer // Proceedings of the 13th International Combustion Symposium, Pittsburgh, USA, 1971. P. 529-539.

168. Vidyasagar M. Control systems synthesis: A factorization approach.

169. Cambridge: MIT Press, 1988. — 456 p.

170. Williams F.A. Combustion theory. — New York: Addison-Wesley Publishing Company, 1985. — 195 p.

171. Williams F. A. Quasi-steady gas-phase flame theory in unsteady burning of a homogeneous solid propellant // AIAA Journal. — 1973.- Vol. 11, No. 9. — P. 1328-1330.

172. Winer N. The Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. — New York: Wiley. — 1949. — 162 p.

173. Zames G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems. Part I, II // IEEE Trans, on Automatic Control.- 1966. Vol. 11, No. 2. - P. 228-238; Vol. 11, No. 3. - P. 456-476.

174. Zhong Q.-C. Robust control of systems with delays. — London: Springer-Verlag , 2006. — 231 p.

175. Zhong Q.-C. H°° control of dead-time systems based on a transformation // Automatica. — 2003. — Vol. 39, No. 2. — P. 361366.

176. Zhong Q.-C. On standard H°° control of processes with a single delay // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — Vol. 48. — P. 10971103.