автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез оптимальных регуляторов для распределенных систем управления на основе спектрального метода представления

РГБ ОД

г $ АПР 2300

На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВ Сергей Николаевич

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

, АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете

Научный руководитель :

Официальные оппоненты :

Научный консультант:

Ведущая организация :

доктор технических наук профессор В.А. Подчукаев

доктор технических наук профессор В.А. Коваль

доктор технических наук профессор К.П. Андрейченко,

доктор технических наук профессор

Э.Я. Рапопорт

ОАО КБ «Электроприбор»

Защита состоится «11 » 04 2000 г. в 1500 в ауд. 216А на заседании диссертационного совета Д.063.58.08 в Саратовском государственном техническом университете.

410054, Саратов, Политехническая, 77, СГТУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан «£>г» оз 2000 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

ш, т - см, я - о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В теории и практике автоматического управления широкое распространение получили системы с распределенными параметрами, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Объектами управления в этих системах являются химико-технологические и металлургические производства, технология обработки металлоа и изделий, радиационные и магнито-гидродинамические процессы, различные конверсионные технологии, процессы, связанные с движением упругих конструкций и т.д.

Создание распределенных систем управления, удовлетворяющих высоким требованиям точности и качества, ставит проблемы разработки адекватных математических моделей объектов управления, методик расчета систем управления и синтеза регуляторов, оптимизации конструктивных и эксплуатационных параметров разрабатываемых систем.

Решение этих проблем для распределенных систем в значительной степени усложняется отсутствием единого методологического подхода вследствие сложности и разнообразия используемого математического аппарата.

Особое место среди многочисленных методов анализа и синтеза распределенных управляемых систем занимает спектральный метод, позволяющий перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений в форме Коши в спектральной области представления, в правую часть которых входят составляющие, учитывающие управляющие воздействия, внешние возмущения, внутренние источники и граничные условия.

Основным преимуществом спектральной формы представления является широкая возможность использования хорошо формализованных методов пространства состояний для анализа и синтеза распределенных систем.

В связи с вышесказанным актуальным, экономически целесообразным и практически значимым является решение проблем, связанных с дальнейшим развитием спектрального метода в части, касающейся его использования для

управления трехмерными температурными полями и упругими конструкциями. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

Объектом исследований в работе являются системы автоматического управления с распределенными параметрами, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных параболического и гиперболического видов.

Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета -АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 96-01-00240 - программа государственной поддержки ведущих научных школ России).

Цель диссертационной работы состоит в развитии спектрального метода анализа распределенных управляемых систем применительно к объектам управления, описываемым уравнениями параболического и гиперболического вида, и использовании методов пространства состояний для синтеза распределенных систем в спектральной области представления.

Поставленная цель в диссертации достигается решением следующих основных задач :

- развитие спектрального метода для анализа распределенных объектов управления, описываемых уравнениями гиперболического вида;

- развитие спектрального метода для анализа распределенных объектов управления, описываемых уравнениями параболического вида в трехмерном евклидовом пространстве;

исследование возможности использования методов теории оптимального управления и методов пространства состояний для синтеза распределенных систем управления указанных выше классов в спектральной области представления;

- создание и внедрение на основе предложенных методик пакетов прикладных программ для анализа и синтеза систем управления упругими конструкциями и температурными полями в многослойных оболочках.

Методы исследования в диссертации базируются на методах теории автоматического управления, спектральной теории, методах теории оптимального управления, математического анализа, линейной алгебры и численных методах.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Развитие математического аппарата спектрального метода анализа распределенных управляемых систем применительно к объектам управления, описываемым:

- уравнениями параболического вида в случае, когда регулируемая переменная зависит от трех независимых пространственных переменных и времени;

- уравнениями гиперболического вида в случае, когда регулируемая переменная зависит от одной независимой пространственной переменной и времени.

Результатом развития (математического аппарата) спектрального метода применительно к указанным классам распределенных управляемых систем является введение в рассмотрение ряда новых, ранее не описанных свойств спектральных характеристик, имеющее конечным результатом представление этих систем в спектральной области в виде бесконечномерной систег/.ы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши, отличительной особенностью которой является аддитивное вхождение граничных условий и внешних воздействий в правую часть полученной системы.

2. Постановка и решение в непрерывном и дискретном случаях задачи локального оптимального управления Г.Л. Дегтярева в спектральной области представления объектов управления, описьтаемых уравнениями в частных производных параболического вида в условиях зависимости регулируемой переменной от трех пространственных координат и времени. Найденное управление доставляет минимум функционалу, содержащему отклонение регулируемой переменной от заданного значения в каждый момент времени.

3. Постановка и решение задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов A.M. Летова применительно к синтезу оптимального закона управления в спектральной области представления поперечных колебаний гибкого упругого стержня с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту в условиях зависимости массы и жесткости стержня от пространственной переменной, в роли которой выступает его длина, описываемых уравнением в частных производных гиперболического вида.

4. Анализ проблемы жесткости, устойчивости вычислительных процедур и сходимости при численном интегрировании уравнений в спектральной области представления указанных выше классов распределенных объектов управления.

5. Программное обеспечение алгоритмов анализа и синтеза распределенных управляемых систем, оформленное в виде пакета прикладных программ «СПЕКТР» (зарегистрировано Российским агентством по правовой охране программ для ЭВМ, баз данных и топологий интегральных микросхем).

Достоверность теоретических разработок, научных положений подтверждается численными примерами, результатами имитационного моделирования, а также совпадением полученных результатов с известными решениями аналогичных задач.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем:

1. Получены новые свойства спектральных характеристик, позволяющие использовать спектральный метод для анализа пространственно-трехмерных распределенных объектов управления, описываемых уравнениями параболического и гиперболического вида.

2. Для гибкого упругого стержня, описывающего поперечные колебания летательного аппарата, математическая модель которого учитывает неравномерное распределение жесткости и массы по длине объекта и внутреннее сопротивление по Фойгхту, синтезирован оптимальный регулятор по методу АКОР.

3. Для трехмерной распределенной системы управления на основе условия локальной оптимальности в непрерывном и дискретном случаях синтезированы эффективные алгоритмы управления распределенными объектами, доставляющие в каждый момент времени минимум квадратичному критерию, содержащему ошибку рассогласования системы.

4. Дана оценка сходимости полученных решений и погрешностей оптимизируемых функционалов при замене бесконечномерной системы конечномерной, а также исследована проблема жесткости при численном интегрировании уравнений движения рассматриваемых объектов.

5. На основе спектрального метода разработано алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющее исследовать в диалоговом режиме динамику распределенных систем управления с различными начальными и граничными условиями.

Практическая ценность работы

Основные теоретические положения диссертационной работы в виде алгоритмов и программ были использованы для решения ряда народнохозяйственных задач.

В ЗАО «ШАР» г. Саратова внедрен программный комплекс по анализу температурных полей в нагревательных установках вытяжки стеклоэлементов. Разработана распределенная система управления температурными полями. В результате внедрения удалось снизить брак при изготовлении стеклоэлементов на 2.5%.

В ГНПП «АЛМАЗ» внедрена программа анализа движения упругих распределенных объектов управления и программа расчета температурных полей в многослойных оболочках.

Разработанные на основе спектрального метода программы и алгоритмы зарегистрированы в Реестре программ для ЭВМ Российского агентства по правовой охране программ для ЭВМ, баз данных и топологий интегральных микросхем (РОСАПО.рег. № 970358 от 22.07.97 г.) и внедрены в учебный процесс на кафедре технической кибернетики и информатики Саратовского государственного технического университета при изучении курса «Автоматизированное управление в технических системах с распределенными параметрами» и на кафедре №10 Саратовского филиала Военного артиллерийского университета.

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-техническом семинаре «Управление в технических системах» (Саратов, 1997, СВВКИУ); на региональной научно-технической конференции «Аналитическая теория автоматического управления» (Саратов, 1997, СГТУ); на научной конференции «Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем» (Пенза, 1997, Пенз. гос. техн. ун-т); на научных семинарах кафедры ТКИ в СГТУ.

Публикации

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, опубликованы а 9 работах, из них статей - 4, тезисов докладов - 3, методических указаний - 1, пакетов прикладных программ, зарегистрированных РОСАПО -1.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти основных разделов с выводами, заключения, списка литературы из 81 наименования и трех приложений.

Диссертация изложена на 155 стр. машинописного текс\.\ в том числе 138 стр. основного текста, 19 рисунков и 15 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации.

В первом разделе дан обзор литературы по современным методам анализа систем автоматического управления с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди всего многообразия методов выделены следующие основные группы методов: метод разделения переменных или метод Фурье; интегральные преобразования; методы, основанные на структурной теории А.Г. Бутковского; численные методы; спектральный метод.

В работе дается анализ рассмотренных групп методов, показаны их достоинства и недостатки, классы решаемых задач, преимущества перед остальными.

Среди методов синтеза регуляторов для распределенных систем автоматического управления, освещенных в обзоре литературы, основное место занимают методы, основанные на теории оптимального управления. Особое внимание уделено работам А.Г. Бутковского, Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, Э.Я. Рапопорта. Выделены работы, посвященные аналитическому конструированию оптимальных регуляторов (АКОР) для распределенных систем, методам параметрического синтеза регуляторов и частотным методам синтеза. Рассмотрены работы, связанные с использованием модального управления для распределенных систем.

В обзоре литературы вопросы сходимости решений и оценки погрешностей, полумаемые при замене бесконечномерной системы конечномерной, анализируются с свето работ АА. Первозванского, В.И. Плотникова, Э.Я. Рапопорта.

На основании проведенного анализа сформулированы цели и задачи диссертационной работы, отражены научная новизна и практическая значимость проводимых исследований, приведены сведения о внедрении результатов.

Во втором разделе решается задача анализа трехмерной распределенной системы спектральным методом.

Для функции (р(х,уд,1) трех независимых пространственных переменных х,у,7.еО и времени 1еГ2 с интегрируемым квадратом, удовлетворяющей неравенству

Ь] 62 Ьз

| | | ф2(х,у,г,0сМу112<оо, (1)

а1 а2 аз

х е[а|,Ь1],у е [а2,Ь2],ге[аз,Ьз],а1 = а, -е,Ь, = Ь; + £,(1 = 1,2,3), где е - бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, вводится понятие вектора спектральной характеристики, элементы которого

61 Ьг Ьз

Ф(Ь,,Ь2,Ь3,0= { \ |р1(х)р2(у)рз(г)Р1(111,х)Р2(Ь2,у)Рз(Ьз,г)ф(х>у,2Д)ахёу112 ,(2) а1 аг аз

Ь,,112,Ь3 = 1,оо

представляют собой коэффициенты разложения функции ф(х,у,гд) в ряд Фурье по системе ортонормированных функций {Р|(11],х),[>;(1]2,у),Р^(1ь,^)}:

ОО 00 00

Ф(х,у,г,0= 2 Е Е Ф(1»1,Ь2.!13,0 Р1(Ь,,х)-Р2(|12,у)-Р,(Ь3,г), (3) Ь, = 1 Ь2 = 1 Ь5 =1

Спектральная характеристика Ф(ЬьЬ2,Ьз.1) - это функция трех дискретных переменных Ь,,Ь,,Ь3 = Ц» и времени ь

При представлении функции ф(х,у,г,1) в виде ряда (3) ограничимся конечным числом членов ряда п, где п назовем порядком усечения. В этом случае представление функции с помощью ряда производится с точностью, зависящей от числа отброшенных членов.

Ошибка представления функции ф(х,у,2,1) оценивается с помощью функционала, содержащего квадрат разности функции ф(х,у,2,1), и ее представления в виде ряда (3) при использовании ограниченного числа членов ряда (Ь,,Ь2,Ь3 = Цп).

Точность представления квадратично-интегрируемых функций определяется среднеквадратической ошибкой.

В данном разделе доказываются следующие новые свойства спектральных характеристик для трехмерного пространства: линейность

спектральных характеристик; спектральная характеристика для дельта -функции; представление интеграла от произведения двух функций в спектральной форме; представление произведения двух функций в

- ^ Зф(х,у,г,1) Э2ю(х.у,гл)

спектральной форме; представление производных / , У .

Эх Эх"

Э3ф(х.у,-г,1) Э3ф(х,у,2,1) _

^^ - ■ ■■, дхдуд ' в спектральной форме; представление интеграла по

пространству в спектральной форме; изменение базисной системы функций.

Полученные выражения записаны в векторно-матричной форме на основании введенных правил построения матриц спектральных характеристик по трем пространственным переменным, что дает возможность существенно упростить алгоритмы вычислительных процедур и использовать стандартные операции над матрицами.

В качестве объекта исследования во втором разделе рассматривается распределенная система, математическая модель которой описывается дифференциальным уравнением в частных производных параболического вида

Зю , Эю Эф Эф Э2ф _ Э2ф Э2ф

<Л дх ду о?. дхду дхог дудт.

, Э2ф . дгф . Э2ф _ . ...

где ф=ф(х,у,г,1) - регулируемая или измеряемая переменная распределенной системы; х,у,ге(0,1) - пространственные координаты; £0 время; аДсДе.^дДу - заданные коэффициенты объекта управления, являющиеся функциями пространственных координат (х,у,г); Рч.(х,у,г,1) - заданное внешнее возмущение.

Начальные условия: ф(х,у,г,0)= фо(х,у,г) (5)

Граничные условия:

Р[Ф(0,у,7,1)]=и,(у,г,1) ;Р[Ф(1,у,гД)]=и2(у,2Д) ;Р[ф(х,0,гД)]=и3(х,г,1);

Р[Ф(х,1,гД)]=и4(х,2,1); Р[<р{х,у.0,»)]=и3(х.у,1) ;Р[ф(х,у,1,1)=и<;(х,у,4)], (6)

где и, (¡=1,6) - управляющие воздействия.

Проведено обоснование перехода от уравнений в частных производных к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений и использования в дальнейшем конечного числа уравнений. Эта система получается из первых и

уравнений бесконечномерной системы, если положить в них равными нулю все искомые функции, начиная с (п-И)-й.

На основании доказанных свойств спектральных характеристик уравнение (4) (при использовании ограниченного числа первых членов ряда (3), равного п\ Ь,,Ь3,11, = 1,п ) в векторно-матричной форме записывается в виде

Фо = АФ0 + В • и + Фу , (7)

где матрица А и произведение ЕШ вычисляются по формулам

А = Ф1а +Ф1ЬР,оо+Ф1сРою+Ф1(1роо1+Ф|еР|10+ф1Гг,10] +

+ Ф1ёР011+ФшР200 +Ф11Р020 +Ф^Р002 , (8)

В формулах (7), (S), (9) Ф0 - матрица спектральной характеристики функции (p(x,y,z,t) размером (n3x1); А - матрица чисел размером (п3хп3); В - матрица чисел размером (n3x6); U - матрица-столбец размером (6x1), содержащая управления на границах x = aj, x=b1,y=a2, y = b2,z=a3, z=b3; Фу - матрица-столбец спектральной характеристики внешнего воздействия Fv размером (nVl); Фь, Фц„ Ф,с Фы, Ф,с, Ф]г, Ф1В. Фи, Фи, Фи - матрицы первого сомножителя спектральных характеристик функций a,b,c,d,e,f,g,h,i,j размером (п3хп3); Рюо, Рою, Poci -операционные матрицы дифференцирования по х, у, z размером (ivW); Р,ц,, Рюь Pon - операционные матрицы дифференцирования от смешанных производных по (х,у), (x,z), (y,z); Рмо , Рою , Ром - операционные матрицы дифференцирования по х, у, z второго порядка размером (п3хп3);

га, ГЬ] га2 ГЬ2 га3 rb3 r.ia1 rib, ria2 rib2 ria3 rib3 oa, robj ,4)a2 rob2 r-oa-, 'l >M >' I '11 '»I > 1 ?1 2 > 2 > 2 ' 2 • 12 > 2 ' 2 '12 >l2 >l2 >*2 >

Г°Ъз - матрицы граничных условий размером (n3xl), содержащие скачки функции

Ф(х,у,г,1) и ее производных на границах х=;|(. \ = 1),,у = а2, у = Ь2,х = а3, х=Ь,.

Выражение (7) представляет собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в которой спектральные характеристики регулируемой переменной распределенной системы являются переменными состояния. Отличительной особенностью осуществленного перехода от уравнений в частных производных к описанию в форме Коши в спектральной области представления является аддитивное включение граничных условий и внешних воздействий в правую часть уравнений объекта.

Это дает возможность использовать для анализа и сингеза приведенной системы всю полноту методов пространства состояний.

Решение (7) находится с помощью интеграла Коши

I

Ф0 = еА1Фн + | еА<1_т'(Ви + Ф„ )с!т, (10)

0

где Фн - вектор спектральной характеристики начального условия (5) размером (п3х1).

Регулируемая или измеряемая переменная объекта управления находится по формуле

ф(х,у,г,1)=Рт-Фо , (11)

где Р - вектор, составленный из произведения базисных функций {Р,(11Ьх), 'М'>2.у)> Рз(1>л.2)) размером (п"^).

Решение задачи анализа распределенной системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений в форме Коши (7) при соответствующих начальных условиях (5), также представленных в спектральной форме. Переход к решению в пространственной области осуществлен с помощью выражения (11).

На примере основной тригонометрической системы, выбранной в качестве базисной системы функций в ортогональных разложениях, записаны выражения для операционных матриц дифференцирования, решена задача анализа трехмерной распределенной системы при различных видах граничных условий и внешних воздействий. Рассмотрены вопросы нахождения спектральных характеристик для функций точечных источников и условия стыковки сред с разными коэффициентами температуропроводности.

Научную новизну второго раздела диссертационной работы составляют введение понятия вектора трехмерной спектральной характеристики, получение новых свойств спектральных характеристик, осуществление перехода на основе спектрального метода от описания распределенной системы в виде дифференциальных уравнений в частных производных к описанию в форме Коши.

На основе предложенных методов дан анализ температурных полей в установке для вытяжки плоских элементов стекла из расплава.

В третьем разделе для пространственно-трехмерной системы с распределенными параметрами, приведенной к форме Коши на основе спектрального метода, решается задача синтеза локально-оптимального закона управления. Найденные регуляторы для непрерывной и дискретной модели системы управления обеспечивают оптимальные свойства управляемого движения. Полученные алгоритмы управления распределенными объектами доставляют в каждый момент времени I минимум квадратичному критерию, содержащему ошибку рассогласования системы.

Построение регулятора осуществляется по регулируемым переменным, с чем часто приходится иметь дело при решении практических задач. В качестве критерия выступает функционал, содержащий вектор рассогласования между значениями выходной переменной и ее требуемым значением в заданных точках пространства.

В работе введено понятие вектора регулируемой или измеряемой переменной в отдельных точках пространства

у= Н • Фо, (12)

где II - матрица чисел размером (гаг1), составленная из значений базисных функций {Р^ЬьхХРгОедХРз^г)}, Ь,, Ил, И3 = 1, п , вычисленных в точках с координатами (xi.yi.zi), (хз.уз.г?) ... (хг,угл) , в которых происходят измерения. Вектор у имеет размерность (гх1).

Вектор отклонения регулируемой переменной у^.у.г^) в точках (xi.yi.zi), (х2,у2,г2)... (хг,уг,^) от требуемого распределения записан в виде

е(х,у,г,1)=г(х,у,г,1)-у(х,у,г,1). (13)

2(Х,У,2,1)=С010П[21(Х1,У1,2Ь«) , г2(х2,у2,7.2,0 ... 5!,(Хг,у„7, Д)] (14)

Задача синтеза локально-оптимального регулятора для системы (7), (12), (13), представленной в форме Коши, формулируется следующим образом:

Необходимо найти управление и(1)=со1оп[и1,и2,...и<0, которое доставляет минимум функционалу в произвольный момент времени I, определяемому на решениях уравнений (7), (12), (13)

I

Л(1) = ст(1)0|е(1) +/ (ет(т)С2е(т) + ит(т)03и(т))ск , (15)

О

где Оь в? - заданные симметричные неотрицательно-определенные матрицы чисел, Сз - заданная симметричная положительно-определенная матрица чисел.

Функционал (15) достигает, минимального значения отклонения регулируемой координаты у(х,у,г,1) в точках (xi.yi.zi), (x2.y2.z1) ... (х,,уг,/,) от требуемого г(х,у,г,1) при оптимальном управлении ио в каждый момент времени 1.

Отличительной особенностью такой постановки задачи для распределенной системы является нахождение управляющих значений на всех границах объекта одновременно (111,112,...и«), обеспечивающих взаимное влияние на поведение функции у(х.у.гд) в точках (xi.yi.zi), (x2.y2.z2) ... (х,,у,,л) и оптимальных в смысле критерия (15).

При положительно-определенных матрицах 02, вз решением нелинейного матричного алгебраического уравнения Риккати

-А^-СЗА +СВС3-,ВТС-НТС,Н = 0 (16)

является симметричная положительно определенная матрица в. Если положить число измерений г равным числу спектральных характеристик п и выбирать С, из выражения

С=НТС,Н (17)

при условии гапк[Н]=п, где в есть решение (16), то 61 будет симметричной положительно-определенной матрицей, и локально-оптимальное управление для непрерывной распределенной системы запишется в виде

и0 = -О3~1ВтНтО1(НФ0 - г(1)) = Оз-'втНтО,е(1) , (18)

откуда видно, что оптимальное управление и0 , доставляющее минимум функционалу (15), является функцией ошибки рассогласования системы е(1). При этом управляемое движение с управлением (18) будет асимптотически устойчивым.

Аналогичным образом формулируется и решается задача построения локально-оптимального управления для дискретной системы.

На конкретном примере показана процедура синтеза локально-оптимального закона управления для непрерывной -распределенной системы управления.

Моделирование замкнутой системы автоматического управления показывает, что относительная погрешность управления в установившемся режиме не превышает 3.5%.

Исследованы вопросы сходимости получаемых решений при замене бесконечномерной системы конечномерной в зависимости от величины N. Даны оценки погрешностей по оптимизируемому функционалу качества.

Научную новизну третьего раздела составляют постановка и решение в непрерывном и дискретном случаях задачи локального оптимального управления Г.Л. Дегтярева в спектральной области представления распределенных объектов управления, описываемых уравнениями в частных производных параболического вида, в условиях зависимости регулируемой переменной от трех пространственных координат и времени.

В четвертом разделе предлагается применение спектрального метода для решения уравнений в частных производных гиперболического вида, которыми описывается широкий круг распределенных объектов управления, представляющих собой упругие конструкции.

Для регулируемой переменной распределенного объекта, описываемого уравнением гиперболического вида, являющейся функцией пространственной координаты и времени, доказываются новые свойства спектральных характеристик по представлению произведения функций и производных в

спектральной форме: Бр

Ф1(М)

3492(М)

6х<

дд>1(х,р

Эх

<р2(х.1)

Бр

'V -^(м)

Эх

, Бр

<3ф1(х,0 Э3ф2(х,1)

Бр

д2Ф1(х,р Э2Ф2(Х,1)

Зх Эх3 '[ Эх2 Эх2

В работе рассмотрен анализ дифференциального уравнения поперечных колебаний прямой упругой балки с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту (упругие колебания летательного аппарата)

, . Э2у(х,0 д2

Эх

е;(х)

Э2У(М) Эх2

\ I , , X 3 ( д2 {

¿И / [Эх2!

Е^х)

Эх2

= Р(х,1) ,(19)

где хе[0,Ц - координата точки на продольной оси, отсчитанная от начала балки;

t>0 - время; y(x,t) - прогиб оси балки в сечении х, измеренный в направлении, перпендикулярном к недеформированной оси балки; ц(х) - масса единицы длины стержня; EJ(x) - изгибная жесткость балки в сечении х; Е - модуль упругости; F(x,t) - внешняя распределенная поперечная нагрузка, отнесенная к единице длины балки; h(x) - коэффициент внутреннего сопротивления по Фойгхту.

Начальные условия при t=0 имеют вид

5у(х,0)

у(х,С1)=£\(х), ^p=f2(x).

(20)

Рассматривается случай балки со свободными концами. Граничные условия имеют следующий вид

У(0, t) ^y(L.t)

= 0,

g У(0. t) _ ^y(L.t)

= 0. (21)

д У< дх*- дхГ дтС

С использованием свойств спектральных характеристик записано уравнение (19) в векторно-матричной форме Коши

ф = АФ + BU + MV , (22)

где матрицы А и М размером (2пх2п), Ф и BU размером (2их1) имеют вид

0„

-ф0"

ф= ,А =

А

On К -Ф^А -Ф^Л

,ви=

-ф-'(ви+фь^)

, v=

, м =

Р. 0.

Р. Ф:'

.(23)

где

А = (ф|з JP2 +2(Ф|У )Р3 +ФЫР4 •

ВО = [(Фи+У Ф )(Гоа +Г°ь +Г,а + Г,Ь) +

f^ 21У. 2 2 2 2

+ 2(ф1, + У Ф ХГ,оа + гоЬ + г,а + rlb + Г2а + r2b ) ■+

fi 1М з з з з з

(24)

+ Фш(Гоа + ГоЬ + Г,а + Г,Ь + Г2а + ГзЪ + Г1а + ГзЬ)].

" 4 4 4 4 4 444

(25)

Фо - матрица спектральной характеристики функции у(х,1) размером (их1); ЭФ

Ф, =.....—; Фм, Ф^ , Фь - матрицы первого сомножителя спектральных

й

1 2

характеристик функций ц(х), EJ(x), h(x) размером (nxn); <t>EJ, Фи -

операционные матрицы умножения функции EJ(x) размером (nxn),

соответствующие dEJ(x) d EJ(x). . матрица спектральной характеристики Эх Эх2

функции F(x,t) размером (пх1); Рг , Рз , Pi - операционные матрицы дифференцирования размером (nxn); а, Г2оЬ, Г]а, rj'', Г30а, Г3оЬ.

rja,rib,r32",r32b,r40a,r40b,ri»trib,r42",r42bir?air|b - матрицы спектральных характеристик граничных условий размером (nxl), содержащие значения

производных и функции y(x,t) на границах х = а,х=Ь; Ф ,Ф , (i=l,k) -

1ПЛ !Ы

матрицы, содержащие скачки функции EJ(x) на интервале хе[а,Ь] при

5 EJ(x) 52EJ(x) вычислении-—,-—.

дк дх2

Таким образом, осуществлен переход от описания уравнения поперечных колебаний в частных производных (19) с заданными граничными и начальными условиями (20), (21) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (22) с постоянными коэффициентами, решение которой находится в виде

t

Ф = еА1Ф11 +J eA<1-x,(BU + MV)dT, (26)

О

где Фи :

Фо„

- матрица спектральных характеристик начальных условий (20)

размером (2пх1).

Связь регулируемой переменной у(хД) со спектральной характеристикой осуществляется на основании выражения

У(х,1)= Рт • Ф0 , (27)

где Р - вектор, составленный из базисных функций Р(Ь,х) размером (пх1).

Анализ выражения (22) показывает, что граничные условия (21) вошли в

уравнение объекта, и через них могут быть реализованы упразляющие воздействия в системе управления. Количество и вид слагаемых в выражении (25) зависят от способа закрепления упругой балки. Исходя из физической природы движения поперечных колебаний упругой балки, в качестве управляющих воздействий на концах балки могут быть приложены изгибающий момент и поперечная сила, то есть в этом случае в выражении (25) необходимо брать члены, пропорциональные второй и третьей производной функции у(хд) на границах по пространственной переменной х. В случае движения упругой балки со свободными концами изгибающий момент и поперечная сила на границах равны нулю, поэтому влияние этих членов учитывать не нужно, а свободное движение системы (25) определяется лишь матрицей А.

Из сравнения решений, полученных для уравнения поперечных колебаний прямой упругой однородной балки известными методами и на основе спектрального метода, следует, что максимальное отклонение полученных результатов не превышает 3%. На основании этого можно сделать заключение о достоверности решений, полученных спектральным методом.

Решено уравнение поперечных колебаний прямой упругой балки спектральным методом с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту и неравномерным распределением массы и жесткости по длине балки. Исходные данные: длина балки - Ь=1.0 м; коэффициент внутреннего сопротивления по Фойгхту -

Ь(х)=0.001(1+х) с;

(28)

внешнее воздействие вида

Р(х,1)=е(-°а)5(х-х1); х,=0.8м; распределение массы ц(х) и жесткости Е.)(х) имеет вид

(29)

ц(х)=105+600-1(х-0.45)-564-1(х-0.65) хе[0,Ь] (30)

Е,1(х)= 88+58-1 (х-0.45)-29-1(х-0.65) хе[0, Ц (31)

Начальные условия

у(х,0)=-0.84+Б1П(л:х), ^^1 = 0.0, хе[0, Ц, 1>0.

(32)

Подобным уравнением описывается летательный аппарат, который можно рассматривать как прямую упругую балку переменной жесткости с незакрепленными кснцами при наличии внутреннего сопротивления.

По результатам вычислений построены графики изменения функции у(хд)

за время I от 0.0 до 0.2 с с шагом Д1=0.02 с. (рис.1).

Рис.1. Графики изменения выходной переменной у(х. О во времени с с учетом неравномерного распределения массы ц(х) и жесткости Е.)(х)

Таким образом, в четвертом разделе диссертации для регулируемой переменной распределенного объекта доказаны новые свойства спектральных характеристик по представлению произведения производных в спектральной форме, и на этой основе решено уравнение гиперболического вида спектральным методом с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту и неравномерным распределением массы и жесткости по длине балки.

В пятом разделе рассматривается синтез регулятора по методу АКОР для распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с коэффициентами, являющимися функциями пространственных координат (19) и исходными данными (20),(21),(28)-(31).

В качестве базисной системы выбрана основная тригонометрическая

система {1Л>/2, э^лх), соэ(ях).....зт(К7гх), соз(кях)}, к=2. Общее число членов -

п=2к+1=5. Для выражения (22) получены значения матриц А, В, V, М в числовом Биде. Вектор управлений размером (2x1)

и= »•<;>, (аз.

где и,(1)= и2(1)=

дх1 д1

Записано уравнение регулируемой переменной у(х,0 в точке Х1 в виде

у(х,Д)= й • Ф0, (34)

где О - матрица размером (1хп), содержащая значения базисных функций Р(И,х) в точке х^О.7

О =[0.707, 0.809, -0.587, -0.951, -0.309, 0, 0, 0, 0, 0]. (35)

Для объекта управления (22) с числовыми значениями матриц А, В, Р, который полностью управляем и наблюдаем, синтезирован закон управления

и = С-Ф0 (36)

по методу АКОР. В качестве критерия оптимальности выбран квадратичный функционал

Л=]КОФ0 + ити)с11. (37)

с

где О - симметричная положительно-определенная матрица функционала оптимизации размером (10x10), выбранная в виде

0=сИад[10,10,10,10,10,10,10,10,10,10]. (38)

Матрица искомого регулятора С находится по формуле

С= - Р В , (33)

где матрица Р - решение алгебраического уравнения типа Риккати

РА+АтР-РВВтР=-0. (40)

Полученная матрица оптимального регулятора представлена выражением

-3.1623 129095 -187168-2933 7.284 -3.9736 3.9299 -23579 -3.1663 3.0331]

(41)

0.0024 -0.0666 -0.0386 -0.083 0.034 0.0021 0.0274 -0.0406 -0.0079 -0.0007 По результатам вычислений построены графики переходного процесса регулируемой переменной у(хт Д) о матрицей регулятора (41) и графики оптимальных управлений 111(0,игО).

Таким образом, научную новизну пятого раздела диссертационной работы составляют анализ управляемости и наблюдаемости распределенного упругого объекта управления в спектральной области представления и синтез для него регулятора по методу АКОР.

В заключении приведены основные результаты и выводы по

С=

диссертационной работе.

В приложения 1 и 2 вынесены акты внедрения результатов диссертационной работы.

В приложении 3 списаны назначение, функциональные возможности и особенности работы с пакетом прикладных программ «СПЕКТР» для анализа распределенных систем управления. Приведены примеры решения задач анализа тепловых объектов при различных видах граничных и внешних воздействий.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Расширение классов задач, решаемых на основе спектрального метода для распределенных управляемых систем. Спектральный метод применен для анализа распределенных объектов управления, описываемых уравнениями гиперболического вида, и развит на случай пространственно распределенных трехмерных объектов управления, математические модели которых описываются уравнениями параболического вида.

2. Получение новых свойств спектральных характеристик, с использованием которых осуществлен переход от описания систем управления уравнениями в частных производных параболического и гиперболического вида к векторно-матричному описанию в форме Коши относительно спектральных характеристик. Отличительной особенностью полученных моделей является вхождение граничных условий и внешних воздействий в правую часть систем уравнений, описывающих объекты управления.

3. Проведение анализа распределенных систем при различных типах граничных условий и внешних воздействий. Рассмотрение вопросов стыковки нескольких сред с различными физическими свойствами.

4. Синтез (для пространственно-трехмерной распределенной системы) в непрерывной и дискретной формах локально-оптимального закона управления, доставляющего в каждый момент времени минимум квадратичному критерию, содержащему ошибку рассогласования, в условиях управления с границ.

5. Синтез методом АКОР оптимального закона управления для упругого распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с неравномерным распределением массы и жесткости по длине и учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту.

6. Разработка алгоритмического и программного обеспечения, обеспечивающего в диалоговом режиме анализ распределенных систем управления с заданными начальными и граничными условиями.

7. Анализ сходимости решений на основе спектрального метода и получение точностных оценок погрешностей по оптимизируемым функционалам при замене систем с распределенными параметрами, описываемых бесконечномерными моделями, на конечномерные.

8. Анализ жесткости и устойчивости вычислительных процедур спектрального метода, разработанных в диссертации.

9. Использование разработанных алгоритмов и программ для анализа и синтеза распределенной системы управления температурным полем в установке вытяжки стеклоэлементов на ЗАО «ШАР» г. Саратова и расчет систем управления на ГНПП «АЛМАЗ».

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Коваль В.А.,' Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для анализа систем с распределенными параметрами II Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. I Сарат. гос.техн. ун-т. Саратов, 1996. С.39-54.

2. Лебедев С.Н. Анализ трехмерной распределенной системы управления на основе спектрального метода // Аналитическая теория автоматического управления: Тезисы докладов региональной научно-технической конференции. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1997. С. 82-97.

3. Лебедев С.Н. Приведение трехмерной распределенной системы к форме Коши на основе спектральных методов //Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем: Сб. докл. научн. конф. Пенза: Пенз. гос. техн. ун-т, 1997. С. 118.

4. Лебедев С.Н. Анализ управляемых распределенных систем в трехмерном пространстве // Управление в технических системах: Тезисы докладов научно-технического семинара (Саратов, 3-5 декабря 1997г.). Саратов: СВВКИУ, 1998. С. 53-58.

5. Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для ЭВМ «СПЕКТР» для анализа распределенных систем управления. Per. № 970358 в РОСАПО от 22.07.97, рукописно. - 176 с.

6. Лебедев С.Н. Синтез локально-оптимального управления для систем с

распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. гос.техн. ун-т. Саратов, 1998. С. 104-115.

7. Коваль В.А., Лебедев С.Н. Применение спектрального метода для анализа уравнений гиперболического вида // Аналитические методы синтеза регуляторов • Межвуз. науч. сб. / Сарат. гос.техн. ун-т. Саратов, 1998. С. 55-71.

8. Коваль В.А., Лебедев С.Н. Автоматизированное управление в технических системах с распределенными параметрами. Программа, методические указания и контрольные задания / Сарат. гос.техн. ун-т. Саратов, 1998. 18 с.

9. Коваль В.А., Лебедев С.Н. Синтез регулятора для упругого распределенного объекта управления // Доклады Российской академии естественных наук. 1999. №1. С. 56-62.

В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад автора состоит в развитии спектрального метода для анализа объектов управления, описываемых уравнением в частных производных гиперболического вида, синтезе оптимального регулятора для упругого распределенного объекта управления методом АКОР в условиях неравномерного распределения массы и жесткости по длине объекта с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту, разработке программного обеспечения по анализу указанных выше классов распределенных систем.

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ.

I 1.1. Методы анализа распределенных систем управления

1.2. Методы синтеза регуляторов для распределенных систем управления.

1.3. Точностные оценки получаемых оптимальных решений.

1.4. Цели и задачи диссертации.

1.5. Новизна научных результатов.

1.6. Внедрение результатов работы.

1.7. Основные результаты, выносимые на защиту.

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА ДЛЯ АНАЛИЗА ТРЕХМЕРНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Математическая модель распределенного объекта.

2.2. Определение спектральной характеристики по трем пространственным переменным.

2.3. Погрешности представления.

2.4. Свойства спектральных характеристик.

2.5. Представление дифференциального уравнения в спектральной форме.

2.6. Использование основной тригонометрической системы в качестве базисной системы функций.

2.6.1. Спектральные характеристики и операционные матрицы дифференцирования.

2.6.2. Представление модели распределенной системы при различных видах граничных условий.

2.6.3. Функция точечного источника.

2.6.4. Условия стыковки двух сред.

2.6.5. Пример использования спектрального метода для анализа систем с распределенными параметрами.

2.7. Выводы по второму разделу.

3. СИНТЕЗ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Постановка задачи управления для распределенной системы.

3.2. Синтез локально-оптимального регулятора для непрерывной системы.

3.3. Синтез локально-оптимального регулятора для дискретной системы

3.4. Пример синтеза регулятора для распределенной системы по критерию локальной оптимальности.

3.5. Сходимость оптимальных решений и оценка погрешностей.

3.6. Выводы по третьему разделу

4. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ВИДА СПЕКТРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

4.1. Свойства спектральных характеристик.

4.2. Представление уравнения гиперболического вида в спектральной форме.

4.3. Примеры решения уравнения гиперболического вида спектральным методом.

4.4. Выводы по четвертому разделу.

5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ УПРУГОГО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ.

5.1. Синтез регулятора для упругого распределенного объекта управления

5.2. Выводы по пятому разделу.

В теории и практике современных систем автоматического управления широкое распространение получили системы с распределенными параметрами, в которых регулируемые переменные являются функциями пространственных координат и времени. Это обусловлено реальными пространственно-временными многомерными процессами, протекающими в живой и неживой природе. Распределенными объектами управления являются химико-технологические и металлургические производства, технологическая термообработка материалов и изделий, радиационные и магнито -гидродинамические процессы, задачи, связанные с управлением движением упругих жестких конструкций.

Проблемы, решаемые при построении систем автоматического управления с распределенными параметрами аналогичны тем, которые возникают в сосредоточенных системах. Это вопросы управляемости, наблюдаемости, устойчивости, идентификации, синтеза регуляторов. Однако, применительно к системам с распределенными параметрами эти задачи значительно усложняются. Это объясняется большим разнообразием уравнений с частными производными, которыми описываются процессы, протекающие в системах данного класса. Отсутствие единого методологического подхода для решения задач, связанных с системами с распределенными параметрами ставит перед их разработчиком проблемы, требующие использования нестандартных методов исследования и принятия инженерных решений в каждом конкретном случае.

В современных сосредоточенных системах автоматического управления для решения задач оптимизации, идентификации, фильтрации, расчета корректирующих устройств широкое распространение получили спектральные методы, обеспечивающие устойчивость вычислительных процедур и хорошую сходимость полученных решений при переходе от бесконечномерного представления динамических характеристик систем по ортогональным базисам к конечномерным матрично-операторным уравнениям. В качестве ортогональных базисов выбираются тригонометрические функции, функции Уолша или полиномы Чебышева первого рода, обладающие не только хорошими аппроксимативными свойствами, но и позволяющие использовать для расчетов на ЭВМ алгоритмы быстрых преобразований, что особенно актуально на современном этапе при использовании в контурах управления автоматическими системами вычислительной техники.

В настоящее время спектральный метод получил дальнейшее развитие и широко используется для анализа и синтеза распределенных управляемых систем [27], [28], [29]. При этом вводится понятие спектральной характеристики по пространственной переменной и дифференциальное уравнение в частных производных представляется бесконечномерной системой дифференциальных уравнений в форме Коши, в правую часть которых входят составляющие, учитывающие граничные условия, внешние возмущения, внутренние источники.

Основным преимуществом спектральной формы представления является широкая возможность использования хорошо формализованных методов пространства состояний для анализа и синтеза распределенных систем.

В связи со сказанным, актуальным, экономически целесообразным и практически значимым является решение проблем, связанных с дальнейшим развитием спектрального метода в части, касающейся его использования для управления трехмерными температурными полями и упругими конструкциями. Зтим вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

5.2. Выводы по пятому разделу

1. Дана оценка управляемости и наблюдаемости распределенного упругого объекта управления в спектральной области представления.

2. Для упругого распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхгу и неравномерным распределением массы и жесткости по длине, синтезирован регулятор по методу АКОР.

3. Проведен анализ влияния внутреннего сопротивления по Фойгхгу на динамику движений гибкого упругого объекта управления, описываемого уравнением в частных производных гиперболического вида.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Расширен класс задач решаемых на основе спектрального метода для распределенных управляемых систем. Спектральный метод применен для анализа распределенных объектов управления, описываемых уравнениями гиперболического вида, и развит на случай распределенных пространственно трехмерных объектов управления, математические модели которых описываются уравнениями параболического вида.

2. Получены новые свойства спектральных характеристик, благодаря которым осуществлен переход от описания в виде уравнений с частными производными параболического и гиперболического вида к описанию в области пространства состояний - векторно-матричному описанию в форме Коши относительно спектральных характеристик. Отличительной особенностью полученной модели является вхождение граничных условий и внешних воздействий в правую часть системы уравнений, описывающей объект управления.

3. Проведен анализ распределенных систем при различных типах граничных условий и внешних воздействий. Рассмотрены вопросы стыковки нескольких сред с различными физическими свойствами.

4. Для пространственно трехмерной распределенной системы в непрерывной и дискретной формах синтезирован локально-оптимальный закон управления, доставляющий в каждый момент времени минимум квадратичному критерию, содержащему ошибку рассогласования системы. Управление осуществляется с границ.

5. Для упругого распределенного объекта управления, описываемого уравнением гиперболического вида с неравномерным распределением массы и жесткости по длине и учетом внутреннего сопротивления по Фойгхгу, синтезирован оптимальный закон управления по методу АКОР.

6. На основе спектрального метода разработано алгоритмическое и программное обеспечение, обеспечивающее в диалоговом режиме анализ распределенных систем управления с заданными начальными и граничными условиями.

7. Показана сходимость решений на основе спектрального метода и даны точностные оценки погрешностей по оптимизируемым функционалам при замене систем с распределенными параметрами, описываемых бесконечномерными моделями, на конечномерные.

8. Показано, что решения на основе спектрального метода обладают достаточной жесткостью, устойчивостью вычислительных процедур и простотой для их реализации в программных комплексах управления.

9. Разработанные алгоритмы и программы использованы для анализа и синтеза распределенной системы управления температурным полем в установке вытяжки стеклоэлементов на ЗАО «ШАР» г. Саратова и расчета систем управления на ГНПП «АЛМАЗ».

1. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. -М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

2. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Динамическое моделирование гироскопической системы угловой стабилизации упругой ракеты II Доклады академии военных наук. -1999. №1, - С. 5-13.

3. Арсенин В .Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. -М.: Наука, 1966. 367 с.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. -М.: Наука, 1968. 560 с.

5. Батурин В.В. О синтезе регуляторов для одного класса объектов с распределенными параметрами і і Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб./ Сарат. политехи, ин-т. Саратов, -1988. - С. 72-77.

6. Батурин В.В., Герасимов С.М. Синтез дискретных систем управления для объектов с распределенными параметрами. / Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, 1990. 30 с. -Деп. в ВИНИТИ 1990, № 4181-В90.

7. Батурин В.В., Герасимов С.М. Условия применения модальных методов управления для объектов с распределенными параметрами. / Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, 1990. -7 с. -Деп. в ВИНИТИ 1990, № 4182-В90.

8. Бутковскнй А.Г. Структурная теория распределенных систем. -М.: Наука, 1977. 320 с.

9. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1965. 474 с.

10. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1979. 224 с.

11. Валеев Г. В., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. -Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1974. -415 с.

12. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. -М.: Наука, 1971.-560 с.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.-318 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1988. -547 с.

15. Герасимов С.М. Алгебраический метод синтеза модальных, регуляторов для объектов с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб./ Сарат. политехи, ин-т. -Саратов, -1990. С.19-27.

16. Герасимов С.М., Подчукаев В А Алгебраический подход к анализу и синтезу распределенных управляемых систем // Автоматика и телемеханика, 1991-№5. С. 57-62.

17. Дегтярев Г.Л. Оптимальное управление стахостическими процессами с распределенными параметрами при локальном критерии качества // Оптимальные процессы: Труды КАИ. Казань, -1975. -Вып. 188. -С. 37-41.

18. Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1991. 304 с.

19. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. -М.; Машиностроение, 1986. 216 с.

20. Дейч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. -М.: Фитматгиз, 1958.

21. Джашитов В А, Панкратов В.М., Сучков A.B. Автоматизированное исследование смещения центров масс быстровращающихся роторов изделий машиностроения в неоднородном температурном поле // Проблемы машиностроения и надежности машин, -1990. -№ 4. -С. 106 -111.

22. Диткии В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

23. Жаутыков O.A. Решение краевой задачи для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений /У Укр. матем., -1960. Т.12. -№2. -С. 157-164.

24. Иванов В.И., Чемоданов Б.К., Медведев B.C. Математические осйовы теории автоматического регулирования. -М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

25. Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. -М.: ОГИЗ, 1947, -288 с.

26. Коваль ВА Метод пространственно частотной декомпозиции для управления в трехмерном евклидовом пространстве // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1982.-С. 31-36.

27. Коваль В А Применение спектральных методов к анализу систем управления с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1994.- С. 18-36.

28. Коваль В.А. Применение ортогональных разложений для анализа распределенных систем управления // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гостехн. ун-т. Саратов, -1996.- С. 39-54.

29. Коваль ВА Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. Саратов; Саратовский гостехн. ун-т., -1997. -192 с.

30. Коваль ВА, Лебедев С.Н. Автоматизированное управление в технических системах с распределенными параметрами. Программа, методические указания и контрольные задания. / Саратовский гос.техн. ун-т. -Саратов, -1998. -18 с.

31. Коваль В А, Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для анализа систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1996.- С. 39-54.

32. Коваль ВА, Лебедев С.Н. Применение спектрального метода для анализа уравнений гиперболического вида // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1998! -С. 55-71.

33. Коваль В .А., Лебедев С.Н. Синтез регулятора для упругого распределенного объекта управления. II Доклады Российской академии естественных наук. -1999. №1, - С. 56-62.

34. Коваль В.А., Першин И.М. Применение метода пространственно частотной декомпозиции к анализу систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехи, ин-т. Саратов, -1981. - С. 49-56.

35. Лебедев С.Н. Пакет прикладных программ для ЭВМ «СПЕКТР» для анализа распределенных систем управления. Per. № 970358 в РОСАПО от 22.07.97, рукописно. 176 с.

36. Лебедев С.Н. Синтез локально-оптимального управления для систем с распределенными параметрами. // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Саратовский гос.техн. ун-т. Саратов, -1998. -С. 104-115.

37. Лебедев A.A., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1973. -616 с.

38. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

39. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

40. Первозванский А.А., Солонина Н.В. Субоптимальный конечномерный регулятор для объекта с распределенными параметрами. . 1. Детерминированная задача аналитического конструирования fi Автоматика и телемеханика, 1984. -Na 4. С. 48-59.

41. Персидский К.П. об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Изв. АН Каз. ССР, серия матем. и механ. -1948.-Вып.2. -С. 2-35.

42. Першин И.М. Об одной структуре регулятора для систем управления с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1982. -С. 15-30.

43. Першин И.М. Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1984. - С. 70-84.

44. Першин И.М. Синтез многомерных систем частотным методом // Аналитические методы синтеза регуляторов : Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, -1990. - С. 53-63.

45. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы) К Журн. вычислит, математ. и мат. физики, 1968. Т.8. -№1. С. 136-157.

46. Подчукаев В.А. Аналитическая теория автоматического управления. -Саратов: Саратовский гос.техн. ун-т., 1996. с. 200.

47. Подчукаев В.А. Устойчивость, качество и коррекция систем автоматического управления: Учебное пособие для студентов втузов. -Саратов: Сарат. политехн. ин-т., 1989. 80 с.

48. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы анализа и синтеза систем автоматического регулирования на основе полиномиальных функций их параметров. Саратов: Саратовский гос.техн. ун-т., 1986. -112 с.

49. Рапопорт Э.Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнением параболического типа // Сиб. мат. журнал, 1982. Т.23. -№ 5. -С. 168-191.

50. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. -М.: Металлургия, 1993. 278 с.

51. Рапопорт Э.Я. Чебышевские приближения в задачах параметрической оптимизации управляемых процессов. 1-Ш //Автоматика и телемеханика, 1992. № 2. -С. 60-67; N8 З.-с! 59-64; № 5. -С. 168-191.

52. Рапопорт Э.Я., Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Конечномерные приближения в одном классе задач оптимизации систем с распределенными параметрами // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки, 1996. Выл. 4. С. 24 -36.

53. Ризаев И. С. Синтез оптимального управления в дискретных линейных стохастических системах при локальном критерии качества // Оптимизация процессов в авиационной технике: Межвуз. сб. / Казань: Изд. КАИ, -1992. -С. 30-33.

54. Ризаев И.С., Хасанова Н.Г. Параметрический синтез локально-оптимального управления по результатам предыдущих измерений // Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межвуз. научн. сб. / Уфа: Изд. УАИ, -1985. -С. 7-11.

55. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. -М.: Наука, 1971. -396 с.

56. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1977. -480 с.

57. Снеддон И. Преобразования Фурье. -М.: ИЛ, 1955.

58. Солодовников В.В., Дмитриев АН., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. -М.: Машиностроение, 1986.-440 с.

59. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. -М.: Наука, 1974. 329 с.

60. Солодовников В.В. Чулин H.A. Частотный метод анализа и синтеза многомерных систем автоматического управления: Учеб. пособие. -М.: Высшая школа, 1981.-46 с.

61. Тихонов А.М., Самарский A.A. Методы математической физики. -М.: Наука, 1966. 727 с.

62. Толстое Г.П. Ряды Фурье. -М.: Наука, 1980. 384 с.

63. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1957. 345 с.

64. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1979. 312 с.

65. Balas M.J. Exponentially stabilizing finite-dimensional controllers for linear distributed parameter systems: Galerkin approximation of infinite dimensional controllers // J. Math. Anal, and Appl. -1986. Vol. 117, -№2, -P. 358-384.

66. Balas M.J. Finite-dimensional control of by Galerkin approximation of infinite dimensional controllers И J. Math. Anal, and Appl. 1986. Vol. 114, -№1, -P. 17-36.

67. Kaiman R. Contributions to the Theory of optimal control. Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana, v. 5, Segunda serie, 1960, -№1, -P. 102-119. '

68. Kobayashi Т. Regulator design for continuos-time distributed parameter systems by discrete-time controls II Int. J. Syst. Sci. -1987. -Vol.18, -Na6. -P.1003-1120.

69. Kobayashi T. Regulator design for distributed parameter systems with constant disturbances // Int. J. Syst. Sci. -1984. -Vol. 15, -№4. -P. 375-399.

70. Logemann H., Boutsema Owens D.H. Low-gain control of distributed parameter systems with unbounded control and observation // Contr.: Theor. and Adv. Techno!. -1988. -Vol. 4, -№4. -P. 429-446.

71. Kazemi-Dehkordi M.A. A method of successive approximation for optimal control of distributed parameter systems // J. Math. And Appl. 1988. -Vol. -133, -№4. -P. 484-497.

72. Semenov V.V., Sotskova I.L. The spectral method for solving the Fokker-Planck-Kolmogorov equation for stochastic control system analysis // IFAC stochastic control, Vilnius, Lithuanian SSR, USSR, 1986, -P. 503-508.

73. Shimemura E., Uchida K. A design method of an LQ regulator for DSP locating poles in the specified region // Distrib. Parameter Syst Modell. and Simul .: Proc. IMACS /IFAC Int. Symp., Hiroshima , 6-9 oct., 1987, -Amsterdam, etc., 1989. -P. 115-120.

74. Wang M., Chang R. Optimal control of linear distributed parameter by shifted Legendre polynomial function II Trans. ASME: J. Oy. Syst. Meas. and Contr. -1983. -Vol.105, -№4 -P. 226.

75. Wang S. Reduction of a distributed system to a lumped system via state feedback ft Proc. 26 th. IEEE conf. Decis. and Contr., Los Angeles, Califo., Dec. 9-11, 1987. -NewYork, 1987.-P. 2154-2157.

76. Watanabe E., Yamamoto Т., Omatu S. A design method for a self-tuning regulator for a distributed parameter system // Int. J. Contr. -1985. -Vol. 43, -№1. -P. 271-283.

77. Zhu J., Lu Y. Hierarchical optimal control for distributed parameters systems via block pulse operator II Int. J. Contr. -1988. -Vol. 48, -№2. -P. 685-703.»і-;«:-,:"«