автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач динамики пространственных систем методом конечных элементов на основе функционалов в свертках

РГБ ОД

г ..•Г;

САНКТ--ПЕТЕРБУРГСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНМЧЕСШ ЖЕЕТ-СИТЕТ

На сргвах рукописи

САФРОКОВ ПАВЕЛ ИВАНОВИЧ

PS12HHE ЗАДАЧ ДШКЙКЙ ПРСЮГРАШЪЕЧКЬК СЖТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЗШ'ОВ IIA OCHOBS «УКЮШОНАЛОП В СВЕРТКАХ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой стешна кандидата гвашческах наук

СЙШГ-ПгГГЕРБУРГ IÖ36

Работа выполнена в Санхт-Петербургском государственном техническом университете. ,

Паучкнй руководитель - заслуженный деятель науки и техники

Российской Федерация, доктор физико-математических наук, профэссор Л.А.Розин.,

Научный консультант - кандидат технических наук, доцент

0.А.Винокуров.

Сфшисльние оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор К.Н.Пйинек; кандидат технические наук Б.В.Цейтлин.

Ведущая организация - ВНИйГ км.Е.Е.Ееденвеза.

Задита состоятся "30 " 0- 1995 г. в ¿А часов на заседании диссертационного Совзтз К 063.38.03 при Санкт-Петербургском государственном техническом университете по адресу:

I

195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул.; 29, Гидрокорпус ауд. Щ..

С диссертацией мозво ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь . диссертационного Совета, -кандидат технических наук, доцент

ь.А.Рукавишников

ОБЩАЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. На настоящем этапе развития науки и гехники постоянно возрастает необходимость рассматривать поведение того или иного сооружения в условиях нестационарного нагру-кешя. Такие отрасли современного машиностроения как мостостроение, автомобилестроение, судостроение я другие предъявляют поваленные требования к расчету конструкций из стержней и жестких тэл на различные динэмичеокие воздействия. Интенсивно развивается строительство различных.сооружений в районах с поваленной сейсии-ческой активностью. Актуальной является задача разработки местс-роздений .нефти и газа, располоаенннх в шельфовой зоне мерей и океанов. Освоение шельфоЕых месторождений осуществляется с помощью морских буровых платформ различного, типа. Их монтаж и эксплуатация ео многих случаях осложняется тем, что платформы возводятся в сейсмически активных районах. Эти и многие другие проблемы требуют разработки все более совершенных численных методов ре-еония нестационарных динамических задач пространственных стержневых систем. ' .

Одним из наиболее эффективных численных методов для решения подобного рода задач в настоящее время является метод конечных элементов, позволяющий достаточно точно учесть многие факторы, ¿лиявдиэ на динамическую реакцию.сооружения. При этом перспективным является вариант метода конечных элементов, основанный на применении функционалов в свертках со времени Гуртина. Данный подход достаточно подробно разработан примэнительио к динамическим задэ-чам теории упругости. Вместе с тем, представляет большой -.гиге ре с исследовать применение•такого рода функционалов к пространственным стержневым системам, для которых функционалы ? свертках по времени пока использовались весьма редко.

Бурный рост-возможностей современной вычислительной техники привел к тому, что в кастояпйй е$эмя стирается грань между теорией упругости и строительной механикой стержневых систем. Поэтому важной становится проблема разработка постановок задач в рамках единого мэтрзгшо-векториого аппарата. В результате схема расчета стеркневых систем во многом теряет свои специфические особенности я хорошо вписывается в единую схему регеяия задач дзфорафуеиа систем обаего вида на ЭВМ. Поэтому рассмотрение вопросов аоствяог

1

вочного характере я д&зькейиео совершенствование методов и алгоритмов чиелейного рэшвЕКя нестационарных задап ПрООТраКСТЕ9Ш£ЬЦ сторкнэши систем представляется актуачьныыг.

Целы) диссе ртанионной работа налается развитие методов и программного обеспечения численного решения нестационарных задач "" лространстЁеишх старзкевцх систем на беконе функционалов в свертках '.гс времени. •

Научная новизна работы состоит в следующем:

- построены различные дифференциальные и ~варка:щонные постановка линейных залач динамики для отдельного стержня и пространственной стержневой системы в целом; ■

- сформулированы Функционалы Яагранжа, Кастидьяио, Рейсснера и Ху-йасидзу в свертках пс времени для отдельного стерхня и пространственной стерхнезой системы в целом и исследованы экстремальны? свойства 5тих функционалов;

- сформулирован функционал Лагранжа в свертках по времени, учитываящкй диссииацшо анергии в стерамввой системе;

- на основе функционала Лагрвнка в свертках"по времени поот-роакз расчетная схема метода конечных элементов;

-• различные операторы прямого пошагового интегрирования уравнений движения исследованы на устойчивость и показана безусловная устойчивость построенного алгоритма; '

- рассмотрена реализация нестационарных граничных -условий. £13а;глодействия сооружения с основанием, включения абсолютно жест-

*ких твл в расчетную схему.

- разработана вычислительная программа для решения нестационарных динамических задач пространственных стержневых систем с помощью расчетной схемы метода конечных элементов в перемещениях на основе Функционала Лагранжа в свертках по времени;

• выполнен анализ точности построенной расчетной схемы метода •конечных элементов.

Практическое значение. Сопоставление результатов численных экспериментов по решению модельных задач для стержней с известными аналитическими решениями позволяют применять' построенную расчетную схему метода конечных элементов для решения 'задач,-имеющих, практическое значение. Результаты исследований и разработанная вычислительная программа переданы во ВНЖГ им.Б.Е.Веденеева для использования в научно-исследовательских работах.

г»

А

В частности, мояно определять палряжегоо-деформированное состояние иельфэшх буровых установок при сейсмических воздействиях, фундаментов под машине турбоагрегата при аварийных режимах работы и т.д.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертационной работы били доложены на семинарах по строительной механике, проволетах, на кафедре "Строительная механика и теория упругости" Санкт-Петербургского государственного тзхническогс университета и на научно-методической конференции "Актуальные вс-просн образования, науки и техники" (Псков, 19Э5 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована шесть статей.

Структура и оСьем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы (126 наименований). Работа изложена на 159 страницах основного текста, содеркит 22 рисунка и 9 тзблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено обоснованию актуальности рассматриваемо!! проблема, обзору отечественной и зарубежной литературы по вопросам, связанным с численным решением нестационарных динамических задач простраштвеннцх стергшев.чх систем. Здбсь обсуждаются наиболее зажние аспекты решения таких задач методом конечных элементов и формулируются основные цели и задачи настоящего исследования .

Ревеняе задача о нестационарных колебаниях сложной пространственной системы вследствие математической слсапдости в большинстве случаев осуществимо лишь с помощью приближенных численных методов. Репекию этой проблемы посзящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов, часть которых включена в обзор литературы.

Преимущества метода конечных элементов, обеспечивало его широкое распространение в самых различных областях науки и техники, обусловлены его вариационно-разностной суищостью, большой гибкость» при описании сложных геометрических структур, возможностью увеличения точности решения с поморю эле?«штов более высоких порядков, возможностью применения универсальных конечно-элементных программ для ЭВМ п т.д. Вместе с тем, при использовании метода

конечных элементов для решении нестационарных динамических задач . ¡гространствешшх стержневых систем возникает ряд вопросов, связанных с постановкой этих задач и с численной реализацией метода. Рассмотрение вопросов такого рода является основной целью настоя-аей диссертации.

В первой главе рассматриваются дифференциальные и ьаризцион-¡¡ые постановки динамических задач для отдельного прямолинейного стеркня с распределенным;! параметрами.

Последовательное применение метода конечных элементов предполагает дйскретизашпо искомых функций не только по пространственным, не и по временным переменным, чти обеспечивается использованием функционалов в свертках по времени, предложенных Гурти-ком. В настоящей работе вариационные постановки задач динамики для отдельного стержня и стержневой систем! в целом строятся на основе таких функционалов. Рассматривается функционалы в свертках по времени Ху-Басидзу, Рейсснера, Кастильяно и Лаграгаса.

Например, первая форма функционала Ху-Васидзу в сирткьх пс 'времени для отдельного стержня может быть записана в следу№ м виде:

ь I

1 * I

г { ' С '

- \ («)'«• £¿X. ♦ ) е^(БАк.) »па* - • ыЛх - (I,

I « Ь •

где м, £ . <1 - соответственно векторы перемещений, деформаций и внутренних усилий; Р , А - матрицы упругих и инерционных характеристик; - символическая матрица операций дифференцирования соотношений между деформациями и перемещениями; С1в - матрицы, перестраивающие векторы .к и и в векторы большей размерности, включавдие в себя наряду с основными компонентами перемещений и внутренних усилий также производные от них; - диагональная матрица, соответствующая заданным"компонентам вектора перемещений на концах стержня; i - вектор, включающий в с~бя начальные усло-4

еия; d - вектор внешних распределенных нагрузок; ц , гэ - векторы, содержание заданные компоненты перемещений и усилий на концах стержня? cj'.Uvt r teto,—) ; а., I - координаты концов стержня. Символ "* " означает операцию свертки функций по времени, э ( • )' - операцию транспонирования матрицы или вектора. Векторы п , ¿ , и., не связанные -дополнительными условиями и доставляющие'стационарное значение функционалу (I), являются истинными. Б этом состоит принцип стационарности первой формы функционала Ху-Васидзу в свертках для задач динамики стержня.

Вторая форма функционала Ху-Вэсидзу б свертках по времени для отдельного стержня имеет вид:

1 , ' 1

n.jrj, £,«.) - 2 5 dot-j j (ак)'* w.0íx -

а » с » i

\ г ?

' * \ Ч*(£) d-x. - u.d-x - ч itd s. - (2)

а V , a * й.

' '1/ , - ' , ^

гдз. Bt - символическая- матрица операц-.й дифференцирования уравнений динамического равновесия. На векторы еъ , £ , и. не накладывается никаких дополнительных условий.

ФункционалЛагранка в свертках ло времени для отдельного стержня может быть записан в следующем заде:

í I

■ ■'■ I * ■ I 4 -h (3;

Данный функционал определен на множестве ректоров геометрически возмоаных перемещений. Принцип стацконарко -тк функционала Лагран-sa в свертках заключается в том, что-вектор геометрически возмож-нах перемещений, доставляющий стационарное значение функционал?

. (3), является истинным.

Далее в дорьой глазе исолодуются экстремальные свойства функционалов Ху-басидзу, Рейссчера, Кзстильяно и Лагранжа в свертках по времени. Похаз«вЕзтсяг что истинный вектор перемещений доставляет функционалу Лагранжа в свертках.минимальное значение по сравнения с любым другим геометрически возможным вектором перемещений. Истинный вектор внутренних усилий и соответствующий ему истинный вектор перемещений доставляют фунхциснелу Кастиль-яго в свертках максимальное значение по сравнения с лаЗыми другими статически допустимыми векторами внутренних усилий и осот-взтствувдими им векторами перемещений. .Для исследования экстремальных свойств функционалов Рейсснера и Ху-Васкдзу в свертках используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Показывается, что условие стационарности функционалов Ройсснера есть максимум относительно внутренних усилий и минимум относительно перемещений. Условие стационарности функционалов Ху--Васидзу есть максимум относительно внутренних усипий и минимум относительно деформаций и перемещений»

Вторая глава посвящена списанию пространствешой стержневой системы с распределенные параметрами. Рассматриваются дифференциальные и вариационные постановки задач динамики для стбрзккеьой системы. Приводятся Функционалы в свертках Ху-Бэсидгу, Рейсснерь, Кастильяно и Лагранжа для такой системы. ■ ■

Например, первая форма Функционала Рейсснера в свертках по времени для пространственной стержневой система кокет быть запл-сана в следующем виде:

!> Г л

1« ^

* и \ *. )

Б

где ^ , ^ - индексы, обозначай^ соответственно узлы гэсткого я парннрного типа; у^ , Уц - вектори перемещений узлов; ,1Уь)-векторы, содорзсащие заданные компонента персмвдаяий узлов ^ ( « > и кули, отвеаагшв незпданшк кстзгснентам; V»,- вектор перемещений конца стержня г , примихаздего к шарнирному узлу п : -т^, (-«!,) - вектора суммарных усилий, дойсгкунщк со стороны концов стержней, сходящихся в узле ] (¡1 ), ка узел ^ ( Ь }: Р; ( р1) - лектор внешних усилий, прилонэнных к узлу ] (Ь ); - диагональная

матрица для узла ^ (Ь содеркггая на главной диагонали единицы для заданных компонентов V,- ( V;) и нули для незаданных компонентов ( V»,); VI - вектор углоеых перемещений конца старвня г , примыквщёго к шарнирному угЛу I) : р1~ вехтор, который содеркит внешние моменты, на конца стертая г , примыкающего к шарнирному узлу К ; символ 2Г ; 2 ) означает иукгироввнпе по всем узлам кесгкого (шарнирного) тиха,. символ и означает сумму штегралоЕ по всем участкам стеркневой системы. Если вектор и., удовлетворяющий условиям гладкости на уровне стержневой системы ь целом, и вектор «э<, ва который не накладывается дополнительных условий. доставляют стационарное значение фушчисналу (4), то они являются истинными. Б зтом состоит принцип стационарности первой форма функционала ^ейсснера в свертках д'.я задач динамики пространственных стержневых систем.

Вторая форма Сункционала Рейсснера в свертках для стержневой системы имеет вид:

К «•) " " 1 - 2 ) ум'г&ГпИ -

' ^ д*«а1)'«и.¿1- ][$)■*+ ± \ (Ак.У*о.<*£ *

<. * и х I.

(5)

где игц- вектор, который содержит внутренние моменты на конце стержая г , примыкающего к шарнирному. уэлу Ii ; E¿; [£гО - диагональная матрица для узла j (fi ), содержащая на главкой диагонали единицы для заданных компонентов p¿ ( Pi,) и нули для незаданных компонентов. Вектор к. должен удоапетзорять условиям неразрывности линейных и угловых перемещений в жестких узлах и линейных перемещений з шарнирных узлах, fía вектор л не накладывается никаких дополнительных условий. •

Функционал Лагранжа. в СБертках по времени для пространственной стеркневой системы может быть записан в следуяцем виде:

. и.) - } S я * i вки.) » si^ и. d¿ - ) 9 * Ы) * и. dl г

• ь 0 ь (j

- \(l)*u.dí t i-1 (A. LS.)' IX. di - Z o*(fi.)*y. - (6)

U ~ u, . ¿ ¿ 1 { i

Если~вектср гл. , принадлежащий к классу геометрически возможных векторов, доставляет стационарное значение функционалу (6), то он является истинным, В этом состоит принцип-стационарности функционала Лагранжа в свертках для задач динамики пространственных стержневых. систем.

Функционал Кастильяно в свертках для стержневой системы имеет вид:

Пг (й,м.) = \и*Ы)'*№ndl-j ¡(QK^n-QAol-S/tUdi*

u ■ Ud V ■ (71

В отличие от соответствующего функционала в статике, в данный функционал входят два вектора уз , и. . Если вектор н , принадлежащий к классу статически возможных внутренних усилий, и вектор и. , удовлетворяющий условиям неразрывности перемещений в узлах доставляют стационарное значение функционалу (7), то они являют-8

ся истинными. В этом состоит принцип стационарности.фушсционалз Кастильяно в свертках для зада-: динамики пространстЕешшх ст&рж невых систем.

В третьей главе обсуждается проблемз выбора вариационной постановки для построения расчетной схемы метода конечных элементов. Отмечается возможность построения комбинированных постановок, когда рассматриваемая стержневая система разбивается на две-части. В первой части используется какой-либо смешанный функционал. тогда как во второй части - функционал Лагранжа. Вместе с тем, указывается, что в стержневых системах существует однозначное соответствие между компонентами усилий в узлах и искомыми компонентами напряжений. Учитывая это обстоятельство, а также простоту внутренней структуры .функционала Лагранжа з свертках по сравнению с остальными построенными функционалами, в качестве основы- для построения расчетной схемы метода конечных элементов принимается функционал Лагранжа в свертках. После разделения пространственных и временных переменных при помощи метода кантороЕи-ча, функционал Лагранжа в свертках для стержневой системы можно записать в следующем виде:

^ I > ( / /

' П4<«р «й-

{о)

где о, , , - соответственно глобальные векторы узловых перемещений, начальных узловых перемещений и скоростей; К , М - глобальные матрицы жесткости и масс: 81 - вектор приведенных узловых нагрузок.'

Из условия стационарности функционала (8) получается матричное уравнение, описывающее состояние пространственной стержневой конечноэлементной системы в момент временя t :

у Ку * Му - о (С)

При рввиою ддашпеоок задач часто возникает необходимость учета диссипации энергии колебание, обусловленной наличием внут-роквэго трения в материала сооружения и иными причинами, £ данной работе полагается, что силы сопротивления, действуюдаз.нз колзс-ледуюся сиетеиу, пропорциональны скоростям движения точек системы. функцгоягл Лагранзю в свертках при учете сил сопротивления будет иметь вид:

• , (10)

где - ступенчатая функция Хэвасайда; С ~ глобальная матрица демпфирования. Из условия стационарности функционала (-0) вытекает матричное уравнение для определения вектор-функцин ^ :

' О.

СП

Для дискретизации неизвестных функций уравнений (9), (II; по времени в денной работе используются азрохеимирунще полиномы Эр-мита второго порядка, позволяющие получить линейный, одаоиаговый, нвявнкй, безусловно устойчивый оператор прямого интегрирования в слбдущем виде:

СМ*

. , (12) £ ( -

где - соответственно векторы перемещение и скоростей в

К°нцв шага со времени д«^ _ | ; а , л -вектора перемещений 10 т»

р

скоростей в начале лага по времени; R - вклад нагрузки на рассматриваемом aave. Алгоритм (1С) требует обязательного решения 'системы линейных алгебраических уравнений ьа каждом шаге гю ьрв-меш;, однако цели шаг л. остается постоянные, то факторизацию матрицы коэффициентов достаточно выполнить одна раз ьэ первом шаге. Следует отметить, что оператор (12) лишен аскусстьенногэ ?л-горитмического затухания. В том случае, когда в стержневой системе учитывается явление диссипации энергии при помощи фукклиоиэла (1С), безусловно устойчивый оператор прямого пошагового интегрирования уравнений движения будет ¿меть вид:

(М tbC + ,

(13)

iV" »

где С- - глобальная матрица демпфирования.

3 заключении главы рассматриваются вопроси учета нестационарных кинематических условий, учет?, взаимодействия сооружения с основанием,- учета абсолютно жестких тел в построенных расчетных схемах метода конечных элементов.

Четвертая глава посвящена описанию -вычислительной программы MINIFEM и решению различных динамических задач- сторхневых систем при помощи- этой программы.

Вычнолитёлькая-программа М11ШЕМ предназначена для определения напрянэнло-деформированного состояния пространственных стэркневых систем на основе построенной расчетной схемы метода конечных элементов и обеспечивает как выполнение практических расчетов, так и исследовательских работ. Программа написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН 90, включает в себя S8 подпрограмм, содержит приблизительно 3700 строк исходного текста, имеет оверлейную структуру и эксплуатируется на ПЭВМ IEM AT под управлением MS DOS. В качестве внешнего запоминающего устройства используется пакопитэль на фиксированном магнитном диске.

Для облегчения ввода большого обьома разнообразной исходной информации программа ШШРЕИ тлеет специализированный входной язык, обеспечивает разнообразные возможности автоматической ге-

нерацяв исходных данных.

Надежность программы обеспечивзется с помощью обычных средств структурного программирования -- метода проектирования "сверху - вниз" и разбиения на небольшие, легко управляемые модули с минимально возможным числом взаимосвязей.

Программа КШРЕМ. имеет оверлейную.структуру и состоит из управляющей корневой фазы и четырех перекрывающихся сегментов: препроцессора, процессора "Библиотека конечных элементов-, процессора "Алгоритмы МКЭ" к постпроцессора.

Ьа примере модельных задач о свободных продольных и попере;;-ных колебаниях стержня исследованы зависимости точности численного решения при помощи построенной схемы метода конечных элементов от параметров пространственно-временной дискретизации рассматриваемых задач. Сделан вывод о том, что наиболее точное' решение получается в том случао, когда величина шага по времени « время распростанения волны мевду двумя соседними узлами сетки совпадают. Исследуется точность вычисления перемещений при достаточно большой протяженности вычислительного процесса. Делается вывод с; том, что основное влияние на величину погрешности сказывает величина шага по Бремени.

. Решена серия задач о распространении в стержне продельной волны, возбуждаемой импульсным силовым воздействием.- Подробно проанализированы причины искажения формы волны, распрсстрзняшей-ся в конечноглементиой модели и выработаны рекомендации с способах согласования размеров элементов и величины шага по времени, при которых эта волна характеризуется наименьшим отклонением от точной формы.

В качестве задачи, имевшей практическое значение, рассматривается расчет, самоподьемной плавучей буровой установки (СПБУ). Характерный размер СПБУ в плане - 60м, высота опорных колонн -150м. Понтон СПБУ рассматривается в расчетной схеме как абсолютно жесткое тело. Сейсмическое воздействие определяется аналоговой акселерограммой девятибального землетрясения и прикладывается в точках опирания опорных колонн. Расчет СПБУ выполняется в течении 792 шагов по временя на протяаэнии 16.63с. 12

Расчеты сейсмонапряженного состояния С ЛБУ проведены в двух Сопоставительных вариантах. В первом варианте влияние основания не учитывается. Ео втором варианте в узлах описания вводятся упругие, демпфирующие связи с присоединенной массой, характеристики которых определены из решения задачи о взаимодействии жесткого круглого штампа с упругим полупространством.

Сравнение результатов решения задач с учетом и без учета влияния основания показывает их существенное расхождение. На рис.1, показаны графики перемоаения центра тяжести понтона СПБУ в горизонтальной плоскости в направлении сейсмического воздействия. Кривая I соответствует расчету без учета влияния основания, кривая 2-е учетом влияния основания. .Учет влияния основания приводит к существе.иному увеличению -амплитуда пярежае-жй, однако внутренние усилия в сооружении в целом умег«,шаются.' Эти и другие результаты-свидетельствуют о применимости разработанной методики для расчетов реальных сооружений и конструкций.

Рис.1,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной роботы состоят в следу».

щем:

1. Построены различные дифференциальные и вариационные постановки линейных задач динамики для прямолинейного пространственного стержня.

2. Сформулированы функционалы Лагранжа, Кастильяно, Рзйс-снара и Ху-Васидзу в свертках по времени для прямолинейного пространственного стержня.

3. Исследованы экстремальные свойстве функционалов Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера и Ху-Васидзу в свертках по времени применительно к прямолинейному пространственному стержню.

4. Построены различные дифференциальные и вариационные постановки линейных задач динамики для пространственных стержневых систем,

о. Сформулированы функционалы Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера и Ху-Весидзу в свертках по времени для пространствм яих стержневых систем,

С. С помощью вариационной постановки в перемещениях, основанной на применении функционала Лэгранжз в свертках по времени, построена расчетная схема'метода конечных элементов. Для этой схемы разработан алгоритм определения напряженнодэформи-рованного состояния пространственных стержневых систем.

7. Исследованы на устойчивость по Бремени различные операторы прямого пошагового интегрирования уравнений движения и показана безусловная устойчивость построенного алгоритма.

8. Сформулирован функционал Лагранжа в свертках, учитывающий диссипацию энергии в рассматриваемой системе. На основе вышеупомянутого функционала разработана расчетная схема метода конечных элементов в перемещениях.

9. Для построенной расчетной схемы метода конечных элементов в перемещениях исследованк вопросы учета нестационарных кинематических граничных условий, взаимодействия сооружения с основанием, включения абсолютно жестких тол в расчетную схему.

10. Разрзботана вычислительная программа, в которой реализован построенный алгоритм. Программа ориентирована на ш-

..полнеЕне как практических расчетов, так а работ исследоЕа-14

тельского характера.

11. Полученные результаты позволяли разработать методику расчета пространственных стзркнёвых систем на пирский класс нестационарных силовых и кинематических Бездействий. Апробация методики расчета выполнена путом решения ряда модельных задач и сопоставления полученных результатов с аналитическими решениями. В частности, решены задачи о свободных продольных и попере'шых колебаниях стержня, о распространена продольной'волны в стерхне.

12. Решена задача об исследовании сейсмонапряжекного состояния самоподьемной плавучей, буровой установки при задашк сейсмического воздействия в виде с-налоговой акселерограммы. Рассматриваются расчетные варианты с учетом и без учета податливости основания..Резкция сооружения .на сейсмическое воздействие оценивается с помощью эпюр перемещений и внутренних усилий, построенных для ряда расчетных сечений.

■ Основное содержание диссертации спуб.пкковано в следующих работах: .

I..Сафронов П.И., Спиридонов A.A. Расчет на ЭВМ. плоских стер-яневкх систем на сейсмические воздействия //Новая техника в автоматизации производства. - Псков, 1385. - с.23-2.4.

2. Горбачев A.A., Сафронов Il.il. Вычислительный программный комплекс РЕБУС //Вклад специалистов в ускорение научно-технического прюгрессэ. - Псков, [987. - c.IÍS-117,

3. СафроноБ П.й. Матрица масс конечного элемента при нежестком присоединении элемента к узлам //Вклад специалистовв ускорение научно-технического прогресса. - Псков, 1987. - с.117-119.

4. Сафронов П.М. Вариационные функционалы в свертках для пространственных стержневых систем. Часть I: отдельный стержень /'/Псковский филиал ЛШ им. М.И.Калинина - М., 1989. - 16с. - дел. В ВИНИТИ 08.12.89, N7289. ■

5. Сафронов П.И. Вариационные функционалы в свертках для пространственных стерккевых систем. Часть 2: стержневая система //Псковский филиал ЛПМ им. Н.И.Калинина - М., 198Э. - 19с. - дел. в ВИНИТИ 17.02.90, N805.

6. Сафронов П.И. Вычислительная программа MINIFEM для расчета пространственных стержневых систем /'/Актуальные вопросы образования, науки и техники. - Псков, 1995. - с.128-129.

!Кч. чпцстия л> 020029. Дата им.чичи 18.09. 19УI года, Полши'аио в печать _ объем издания в условных печатных лнстух : тираж -^у :

номер заказа___.

Пскогхкий государственныйпела!о; ическиК институт имени С. М. Кироаг, 1807М), гор. Псков, пл. В. И. Ленин», 2.

Ргд<]хл;:сч1;о - издательский отдгл ЛГПН ;<м. С. М. Кирова. 180760, гор. Пскоз, \л. Ссвстскья. 21.