автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.02, диссертация на тему:Разработка методики расчета колебаний конструктивных элементов машин типа ортотропных пластин и цилиндрических панелей неканонического очертания

Введение.

Глава 1. Постановка задачи и разработка методики решения задачи о свободных колебаниях конструктивных элементов машин неканонического очертания.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Математическая модель многослойной оболочки из ортотропногс материала. 1В

1.3. Построение матрицы жесткости.

1.4. Алгоритм построения матрицы масс.

1.5. Решение алгебраической задачи.

1.6. Подготовка исходных данных.

Глава 2. Методика проведения экспериментальных исследований колебаний пластин и панелей.

2.1. Требования, предъявляемые к эксперименту.

2.2. Технология, оборудование и методика изготовления образцов для испытания.

2.3. Определение геометрических и механических характеристик исследуемых образцов.

2.4. Описание экспериментальной установки и методики эксперимента

Глава 3. Результаты испытания и расчетов колебаний пластин и панелей неканонической формы.

3.1. Исследование колебаний квадратных пластин при различных условиях закрепления контура.

3.2. Исследование колебаний шшстан сложной геометрии.

3.3. Исследование частот колебаний панелей при различных граничных условиях.

3.4. Исследование колебаний цилиндрических панелей в форме параллелограмма.

3.5. Исследование колебаний ортотропных панелей, повернутых относительно направляющей цилищцра на угол Э .-.

3.6. Исследование частот и форм собственных колебаний элементов конструкции вертолета «АНСАТ».

Одним из эффективных способов снижения шума работающего оборудования без каких-либо существенных конструктивных изменений машины является применение звукоизолирующих кожухов, полностью или частично закрывающих машину. В этом случае можно достигнуть эффекта снижения шума на любую требуемую величину. Звукоизолирующие кожуха винтовых компрессоров, нагнетателей ГПА магистральных газопроводов, двигателей летательных аппаратов представляют собой сочетание однослойных и слоистых, изотропных и композиционных пластин и оболочек с различной формой очертания контура. Такие конструктивные элементы появились в результате поиска оптимальных звукоизолирующих свойств, а также в результате возросших возможностей технологических производств современных композиционных конструкций.

Исследование свободных колебаний таких элементов конструкции является одной из важных задач, так как определение частот и форм колебаний элементов авиационных конструкций, работающих при динамическом на-гружении, является одним из основных этапов полного динамического расчета. Наряду с этим знание спектра собственных частот необходимо для отстройки системы от опасных резонансных режимов.

Основные достижения в области теории одно и многослойных пластин и оболочек отражены в статьях, монографиях, обзорах Н.А. Алумяэ [5,6],М.Я. Айнолы [2,3], С.А. Амбарцумяна [7-9], И.Г. Амирханова, Х.М. Муштари [10], Б.А. Бастацкого [14], В.В. Болотина [24-27],А.А. Вовк, И.АЛучко, П.З. Лугового [40], К.З. Галимова [44-47], B.C. Гонткевича [55], Э.М. Григолкжа [56-60], О. Зенкевича [63-65], В.Н. Кобелева, В.А. Потопахина [73], В.О. Кононенко и др. [79], С.П. Лихницкого [84], Е.А. Липатова и др. [85],

Н.И. Мусхелишвили [93], О.Д. Ониашвили [101], И.Ф. Образцова [96,97], В.Н. Паймушина [102-105], И.Н. Преображенского [108-111], Р.Б. Рикардса [113-114], А.В.Саченкова [116-118], И.Г. Терегулова [122,123], Ю.М. Федо-ренко [127-129], А.П. Филина [130], К. Флетчера [131], В. Флюгге [132], Andersen B.W. [141], Bassüy S.F., Pickirson S.M. [142], Canpen D.N. [143], Dur-vasula S.O. и Leissa Arthur W. [144,146].

Следует отметить, что для определения частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек канонической геометрии при классических условиях их закрепления широко применяются точные аналитические методы. Систематизированный теоретический и справочный материал по свободным колебаниям балок, пластин и оболочек канонической формы представлен в книгах И.М. Бабакова [12], В.Л. Бвдермана [20,21], B.C. Гонткевича [55], Я.Г. Пановко [106].

Однако точные аналитические решения, как правило, относятся к частным случаям и не обладают общностью и универсальностью, но могут быть использованы для апробации решений, получаемых приближенными методами.

Рассмотрим кратко основные приближенные методы исследования частот и форм собственных колебаний стержневых и тонкостенных конструкций.

Широкое применение в практике расчетов колебаний стержней, стержневых систем, круглых пластин переменной толщины нашли матричные методы, объединенные в класс методов дискретных моделей. Это методы динамических жесткостей и метод динамических податливостей [12,13,21 ДЗ,62,148]. Методы дискретных моделей основаны на замене реальной конструкции физической моделью, которая состоит из невесомых упругих кольцевых или стержневых участков и массовых элементов, сосредоточенных на границах участков. Они обладают алгоритмичностью и хорошо программируются, а также являются универсальными в классе одномерных задач. Методы, основанные на дискретизации, приводят к системе однородных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных, что в задачах на свободные колебания приводят к необходимости решать проблему собственных значений для матриц весьма высокого порядка. Это, как правило, связано с большими затратами машинного времени.

Методы ортогональной прогонки и начальных параметров [20,21,33,36,71,98-100] позволяют осуществить непосредственное численное интегрирование дифференциальных уравнений в задачах на свободные колебания. Они достаточно эффективны и их успешно применяют к исследованию систем, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, что позволяет использовать для интегрирования на ЭВМ эффективные численные методы Рунге-Кутта, Адамса, обеспечивающие хорошую точность расчета. Метод начальных параметров позволяет достаточно точно получить низшие частоты. Для определения высших частот колебаний целесообразно использовать метод ортогональной прошнки. Оба метода позволяют составлять достаточно общие алгоритмы и программы для элементов и конструкций, изготовленных из изотропных и ортотропных материалов и имеющих произвольные условия опирания контура.

Методы, основанные на теории функций комплексного переменного [78,89], широко используются в плоской задаче теории упругости, а также в некоторых задачах прочности и устойчивости пластин и оболочек со сложным очертанием контура. Исследования проводились аналитически и в сочетании с другими приближенными методами. Существенным препятствием для этих методов являются геометрическая и физическая нелинейности.

Эффективным численным методом решения задач, описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных, является метод конечных разностей [15,34,35,37,38,41,73,74]. При его использовании осуществляется конечно-разностная аппроксимация разрешающих дифференциальных уравнений, при которой задача нахождения искомых функций сводится к решению системы алгебраических уравнений а в случае определения собственных частот колебаний - к проблеме собственных значений матриц большого порядка. Метод конечных разностей позволяет определять достаточно точно низшие частоты [76] и дает хорошие результаты лишь при сравнительно простом строении дифференциальных уравнений [33,35,37,38,74].

Среди численных методов отметим хорошо зарекомендовавший себя на практике при решении задач теории колебаний пластин и оболочек интегрально-разностный метод, являющийся комбинацией методов конечных разностей и конечных сумм [33,38]. Впервые метод был применен к решению двумерных задач механики деформирования пластин и оболочек в работах М.Б. Вахитова [36,39], ВА. Смирнова [119], В.Я. Кантора [69,70], В.Н. Пай-мушина [104].

Одним из универсальных численных методов является метод конечных элементов, который интенсивно начал развиваться с появлением мощных быстродействующих ЭВМ [63,64,80,82,83,96,113,133]. Метод успешно применяется в задачах динамики, является независимым от различных граничных условий, геометрических особенностей объекта исследования и материала, из которого он изготовлен. Метод конечных элементов целесообразно применять к решению задач для сложных механических систем, когда использование других численных или аналитических методов затруднено. В статье [82] с использованием МКЭ находится общее значение функционала в виде сумм функционалов элементов. Радиус кривизны при этом не учитывается. В статье [86] расчетные модели строятся на основе МКЭ. Используются элементы треугольной, четырехугольной формы для описания оболочек. Узловые точки располагаются в вершинах. Однако, при использовании метода конечных элементов получаются системы уравнений очень высокого порядка, что требует использования ЭВМ с большой оперативной памятью. Использование внешней памяти значительно увеличивает время счета. Все это снижает эффективность использования метода. Среди работ, посвященных решению задач на собственные значения методом конечных элементов, в частности определения частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек (в том числе и сложной геометрии), необходимо отметить работы [15,30,32,42,65,74,83,94,98,113,114,129].

В последнее время значительное число решений различных задач динамики колебания пластин и оболочек получено численными методами, основанными на вариационных постановках. Применение таких методов позволяет получать более простые решения, так как используемые функционалы имеют более низкий порядок производных искомых функций, чем в соответствующих дифференциальных уравнениях, что упрощает построение локальных аппроксимаций, удовлетворяющих граничным условиям. В статьях [16,17] на основе теории Ю.Г. Одинокова построена дискретно - континуальная расчетная модель. Параметры напряженного состояния считаются непрерывными в продольном направлении и дискретными в поперечном. Применена гипотеза о неизменяемости формы контура поперечных сечений. Для решения динамических задач, когда внешние силы имеют потенциал, широко применяется принцип Гамильтона-Остроградского или принцип наименьшего действия[1,2,19,21,22,45,107]. Этот принцип используется также и для получения уравнений движения систем с конечным числом степеней свободы. Условия стационарности функционала в этом случае приводят к системе уравнений движения, или уравнениям Лагранжа [113].

Для расчета пластин со сложным контуром используют также разложение искомых функций в ряды. Решения представленные в виде ряда для прямоугольных, треугольных и секторных пластин, были получены без применения ЭВМ [43].

Задачи о собственных колебаниях и устойчивости для мембран, пластин и оболочек, имеющих в плане неканоническую форму (параллелограмм, трапеция, эллипс и т.д.), часто решаются методом возмущений Рэлея-Шредингера. Подробный обзор таких решений дан в работе [81] При решении методом возмущений неканоническая область должна быть близка к каионической (прямоугольник, круг и т.п.). Тогда решение строится в виде разложения в ряды Тейлора по степеням параметра, характеризующего отклонение неканонической области от канонической. Как правило, удается построить ряды только до второй степени параметра. Попытки использовать более высокие приближения приводят к громоздким выкладкам.

Значительное место в теории однослойных и многослойных изотропных и анизотропных пластин и оболочек со слоями переменной толщины, относящихся к классу пластин и оболочек сложной геометрии, занимают исследования проводимые в Казанском Государственном техническом университете под руководством В.Н. Паймушина. В работах В.Н. Паймушина и его учеников нашли отражение различные варианты теории многослойных пластин и оболочек, вопросы динамики, собственных колебаний, устойчивости пластин и оболочек сложной геометрии [76,102-105].

Создание и применение новых материалов, конструкционных пластиков, металло- и органокомпозитов привели, как уже упоминалось выше, к нетрадиционным методам прочностных расчетов и проектирования конструкций. Развитие новых концепций проектирования машин, конструкций, отдельных элементов конструкций изменило соотношение между объемами и трудоемкостью расчетных, конструкторских и экспериментальных работ. Значительно повысилась доля экспериментальных исследований на всех этапах проектирования и эксплуатации новой техники. Упрочняют свои позиции экспериментальные методы в расчетной практике, где выступают как критерии: оценки точности того или иного численного метода; области применения гипотез в теории пластин и оболочек. Физическое моделирование задач прочности и строительной механики выполняется методами фотоупругости, муаровых полос, сеток, голографической интерферометрии, хрупкими тензочув-ствительными покрытиями, а также другими методами [18,101].

Значительный вклад в развитие экспериментальных методов исследования динамических характеристик элементов конструкций внесли: В.В.Болотин

24], В.Е.Бреславский [31], Н.А.Инородцев [67,68], Ю.Г.Коноплев [75], В.И.Митряйкин [89-92], О.Д.Ониашвили [101], И.Н.Преображенский [108111], А.В.Саченков [116-118], В.АСмирнов [119-121], А.К.Шалабанов [137139], Уоткинс, Клери [126], Хью [134], Almroth В.О, Holmes А.М. [140].

Выбор экспериментальных методов и средств исследования динамических характеристик, деформаций и напряжений в связи с задачами расчета на прочность зависит от особенностей поставленной задачи и ее сложности, условий измерения, требуемой точности, сроков получения решения. Относительная эффективность экспериментальных методов не может быть определена для общего случая, так как зависит от различных условий, в том числе от наличных средств измерений. При выборе экспериментальных методов исследований учитываются их возможности, и предпочтение должно отдаваться более экономичным методам, дающим требуемую точность.

Анализ обзора специальной литературы показывает, что наибольшее количество работ посвящено исследованиям частот и форм колебаний всевозможных конструкций в виде балок (более 80% всех исследований), за ними идут опубликованные результаты по исследованию частот и форм колебаний тонких пластин и оболочек традиционных очертаний: в виде треугольника, параллелограмма, круга, диска (примерно 15% от публикаций), значительно меньше публикаций по исследованиям колебаний многослойных пластин и оболочек как постоянной, так и переменной толщины. Практически отсутствуют данные по экспериментальным определениям частот и форм колебаний пластин и оболочек сложных очертаний с различными условиями закрепления.

Из проведенного анализа работ следует, что к настоящему времени теория и методы расчета собственных колебаний элементов авиационных конструкций типа многослойных анизотропных пластин и оболочек сложной геометрии разработаны недостаточно полно и практически отсутствуют инженерные методы решения задач данного направления, и, кроме того, весьма мало соответствующих этим задачам результатов экспериментальных исследований.

Таким образом, проблема развития теории, инженерных методов и физических экспериментов, посвященных исследованию собственных колебаний элементов конструкции ЛА сложной геометрии и сложной структуры, приобретает в настоящее время особую актуальность.

Цель работы - разработать методику исследования собственных колебаний слоистых пластин и оболочек, имеющих неканонические очертания контура.

Научная новизна состоит в следующем:

- с использованием МКЭ разработана методика расчета частот и форм колебаний многослойных анизотропных пластин и панелей со сложной геометрией контура;

- экспериментально получены частоты и формы собственных колебаний пластин с косыми срезами и цилиндрических панелей неканонического очертания и установлено существенное влияние формы контура и граничных условий на частотные характеристики;

- решены новые задачи исследования колебаний фрагментов оболочечных конструкций ЛА сложной геометрии.

Практическая ценность работы. Получены результаты физического эксперимента определения частот и форм собственных колебаний изотропных и анизотропных пластин и цилиндрических панелей со сложным контуром, а также результаты численных экспериментов по исследованию влияния различных граничных условий и формы контура на собственные колебания.

Результаты решения конкретных задач использованы заинтересованной организацией при расчетах и испытаниях элементов конструкций летательных аппаратов, что подтверждено соответствующими актами.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 148 наименований.

Результаты исследования ортотропных пластин с косым срезом Х= 15°, 30° приведены в таблице 3.6, для пластин с двумя симметричными срезами - в табл. 3.7.

Сравнение показывает, что расхождение между расчетом и экспериментом не превышает 22%.

Расчетные формы колебания для различных пластин приведены на рис. 3.8, экспериментальные на рис. 3.7.

Заключение.

1. Разработана методика определения частот и форм свободных колебаний с применением метода конечных элементов. Основой для расчета служил изопараметрический, девятиузловой, четырёхугольный конечный элемент с биквадратичной аппроксимацией вектора перемещений срединной поверхности и вектора углов поворота нормали.

2. На основе созданного программного обеспечения проведены численные исследования колебаний изотропных и ортотропных пластин с косым срезом, с двумя параллельными и симметричными срезами. Выявлено влияние на частоты и формы колебаний угла косого среза и условий закрепления опорного контура.

3. Определены частоты и формы собственных колебаний ортотропных панелей сложной геометрии, образованных в результате поворота прямоугольных панелей относительно образующей цилиндрической поверхности. Исследовано влияние угла поворота на частоты и формы колебаний.

4 . Для проведения экспериментальных исследований изготовлены образцы изотропных и ортотропных пластин и панелей и разработана методика определения их механических характеристик, главное достоинство данной методики состоит в том, что она не предусматривает разрушение образцов при проведении экспериментов.

5. Усовершенствована экспериментальная установка и разработана методика проведения экспериментальных исследований частот и форм собственных колебаний моделей тонкостенных оболочечных и пластинчатых элементов машин.

6. Экспериментальные исследования частот и форм собственных колебаний пластин и цилиндрических панелей сложной геометрии позволили установить сложный характер образования продольных и поперечных узлоиз вых линий и зон по мере изменения геометрических параметров исследуемых образцов и условий их закрепления.

7 . Анализируя результаты численного и физического экспериментов, сделан вывод о том, что предлагаемый метод позволяет с достаточной степенью точности для инженерной практики исследовать частоты и формы колебаний слоистых композиционных конструкций сложной геометрии.

8. Разработанный пакет программ использован заинтересованной организацией при расчетах колебаний отдельных элементов конструкций летательных аппаратов.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Даруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек- М.: Наука Главная редакция физ. - мат. литературы, 1978.-288 с.

2. Айнола Л.Я. О применении прямых методов в вариационных задачах динамики оболочек Труды 7 Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - с. 26-32.

3. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин. Труды 6 Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, (Баку, 1966,- 1016с.)-М.: Наука, 1966. -с. 883-889.

4. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластин. В кн.: Мех. в СССР за 50 лет, т. 3, - М.: Наука, 1972, с. 227-266.

5. Амбрацумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек ( Изд-во АН Армянской ССР, серия физ. мат. наук. 1964. Т. 17 №3, с. 30-53.

6. Амбрацумян С.А. Общая теория анизотропных слоистых оболочек. М.: Наука, 1974.-448 с.

7. Амбрацумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -268 с.

8. Ю.Амирханов И.Г., Муштари Х.М. К вопросу изгиба оптимальной круглой пластины из армированного пластика ( Исследования по теории оболочек. Казань гос ун-т, 1976. Вып. 7, с. 47-51.

9. Асланян А.Т., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974. -156с.

10. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука. 1968. -50 с.

11. Балабух Л.И., Алфуров H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1984. -392 с.

12. Бастацкий Б.А. Об одном приближенном методе решения задач теории пологих оболочек (Сб. науч. техн. статей. Труды НИИ Энерг. и гидро-техн. сооруж. 1976, вып.З (58), - с. 102-107.

13. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и методы конечных элементов Пер. с англ. -М.: Стройиздат, 1982. -448 с.

14. Бейг М.Г., Кретов A.C., Шатаев В.Г. К расчету свободных колебаний тонкостенных конструкций. Казань. КАИ, 1985, с 42-46.

15. Бейг М.Г., Кретов A.C. Вариационный метод расчета свободных колебаний тонкостенных конструкций. Казань. КИСИ, 1985, с 26-28.

16. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформированных твердых тел. Ч. 1. Малые деформации. /Пер. с англ. М.: Наука, 1984. -596 с.

17. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука. Главная редакция Физ.мат. литер. 1983. 448 с.

18. Бидерман В.П. Механика тонкостенных конструкций. Статика. ~М.: Машиностроение, 1977, -488 с.

19. Бидерман В.П. Теория механических колебаний. -М.: Высшая школа. 1980, -408с.

20. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение. 1984, -312с.

21. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек. ПММ. 1963. Т. 27, вып 2, с. 362-364.

22. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. Труды 2 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Львов, 15-20 сентября, 1960г. - Киев. Изд-во АН УСССР, 1962г, -538с., с. 16-32.

23. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. -375с.

24. Болыпунов Р.П. Методы определения механических характеристик стеклопластиков. Труды Казанского ВКИУ, Казань, Изд. КВКИУ, 1969. с. 3435.

25. Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек МКЭ с применением ЭЦВМ. Казань: КГУ, 1973 -569 с.

26. Бреславский В.Е. Колебание оболочек, скрепленных с наполнителем. в сб.: Конф. по колебаниям механических систем. - Киев: Наукова думка , 1971.-c.42.

27. Варвак П.М., Бузун И.М. и др. Метод конечных элементов. Киев: Выща школа, 1981, - 304 с.

28. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат-во, 1977, -154 с.

29. Ваеиленко А.Т. К расчету утонченной модели ортотропных слоистых оболочек переменной толщины. Прикладная механика, 1977, вып 13,№7, с. 28-36.

30. Вахитов М.Б., Фирсов В.А. Численные методы решения одномерных задач строительной механики летательных аппаратов.: Учебное пособие. -Казань: КАИ, 1985. -66с.

31. Вахитов М.Б. Вопросы статической прочности и свободных колебаний несущих поверхностей летательных аппаратов. Дисс. на соиск. уч. ст. докт. техн. наук. -Казань, КАИ, 1965, -241 с.

32. Вахитов М.Б., Селин И.С., Гарифуллин М.Ф. Расчет на колебания несущих поверхностей с учетом изгиба хорды. -В книге Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев.: КуАИ, 1980, с. 11-15.

33. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снегирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань, Татарское книжное издательство, 1975. -212 с.

34. Вовк A.A., Лучко И.А., Луговой П.З. Динамика оболочечных конструкций при кратковременных нагрузках. Киев.: Изд-во АН УССР, 1984, 43 с.

35. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки -М. :Гостехиздат-во, 1956, -419с.

36. Вольмир A.C., Сметаненко В.А. Исследование собственных колебаний пластинок, выполненных из композиционных материалов, с помощью метода конечных элементов. //Механика полимеров, 1976, №2. с. 284-288.

37. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. М.: Госстройиздат-во, 1933.- 371 с.

38. Галимов К.З. Основы нелинейной теории оболочек. Казань; изд-во казанского ун-та. - 325с.

39. Галимов К.З. О некоторых направлениях механики деформированного твердого тела. Казань « Исслед. по теории пластин и оболочек». - Казань Гос. Ун-т 1979. Вып 14. - с.11-85.

40. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Об одном методе численного решения задач теории упругости Тр. семинара Статика и динамика оболочек: Сб. статей Казань, 1979. - Вып. 12. - с. 69-79.

41. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии ( геометрические вопросы теории оболочек). Казань.: Изд-во КГУ, 1985. -106 с.

42. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование геометрически нелинейного деформирования произвольных многослойных оболочек малой и средней толщин МКЭ // Известия вузов: Авиационная техника. Казань. -2000.-№2.-с. 5-8.

43. Гольденвейзер А.Л. Асимптотические свойства собственных значений в задачах теории тонких упругих оболочек. ПММ. 1961. Т.25, вып. 4. с. 729-741.

44. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний тонкой упругой оболочки. В сб. Пробл. механики тверд, деформ. тела. -Л.: Судостроение, 1970, с. 121-128.

45. Гольденвейзер A.JI. Приближенные методы исследования свободных колебаний тонких оболочек. Приклад, мат. и мех., 1997,41, №6. С 10791094.

46. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстюс П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. Главная ред. физ. мат. литературы. 1979. -384с.

47. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочник. Под ред. А.П. Филипова, Киев, Наукова думка, 1964. -228с.

48. Грип>люк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек М.: Наука, 1976, -260с.

49. Григолюк Э.И., Кочан Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикладная механика, 1972, 8, вып. 6. С. 5-17.

50. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973, -172с.

51. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978, -359с.

52. Григолюк Э.И., Лопаницин Е.А. Примечание метода И.Г. Бубнова к решению задачи о свободных колебаниях трехслойной конической панели. // проблемы надежн. ЛА. -М.: 1985, с. 171-187.

53. Догадкин В.Н. Устойчивость неоднородных оболочечных элементов конструкций летательных аппаратов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидат технических наук. Казань, КАИ, 1990.- 24 с.

54. Дондошанский В.К. Расчет колебания упругих систем на электронных вычислительных машинах. М.-Л.: Машиностроение, 1965, -257 с.

55. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975, -541с.64.3енкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. -М.: Мир, 1986, -318с.

56. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1975. -541с.

57. Иванов И.А., Кононов Н.М., Садаков О.С. Определение собственных частот и форм колебаний пластин в виде кольцевого сектора. В сб. науч. тр. Че-ляб. Политех. Института, Вып. 45,1968, - с. 22-29.

58. Кантор Б.Я., Филиппов А.П. Расчет изгиба секторной пластины переменной толщины, защемленной по части дугового края на быстродействующей счетной машине. Изв. АН СССР, сер. ОТН, Механика и математика, 1962, №1, с. 121-124.

59. Кантор Б.Я., Науменко В.В. Об одном варианте теории оболочек средней толщины. Проблемы машиностроения, - Киев: Наук, думка 1980. - Вып. 12. -с.3-7.

60. Кармишин A.B., Мяченков В.И., Фролов А.Н., и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение. 1975, -376 с.

61. Кобе лев В.И., Потопахин В. А. Динамика многослойных оболочек. Ростов н/д., изд-во ун-та, 1985, -159с.

62. Кобелев В.И., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. Справочник. -М.: Машиностроение. 1984, -303 с.

63. Коноплев Ю.Г., Шишкин А.Г. Собственные колебания прямоугольных пластин с вырезами. В кн.: Теория оболочек и пластин: Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Д.: Судостроение, 1975, с. 192195.

64. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я. Вариационные методы исследования устойчивости и колебания пространственных оболочечных систем. В сб. Тезисы 6 Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. 1986., -369 с.

65. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей. Прочность и устойчивость оболочек. Казань, Каз. физ. - техн. ин-т КФАН СССР, 1977, - с. 5-13.

66. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. -М.: Наука, 1965. -107 с.

67. Кононенко В.О., Галака П.И., Бондаренко A.A., Теляков А.И. Носаченко А.М. Исследование колебаний стеклопластиковых оболочек. Научно-техническая информация. -Киев, Наукова думка, 1974, -84с.

68. Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Исследование колебаний оболочек сложной геометрии методом изопараметрических конечных элементов. -Львовск. унт, Львов. 1984.-36 с.(Рукопись деп. в Укр. НИИНТИ зав. 1984г. № 1343 Ук. 84 Деп).

69. Кубенко В.Д., Ширенко К.И., Шульга H.A. Метод возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел. Прикладная механика. Т. 18, № 11, 1982.-с. 3-20.

70. Кузнецов Ю.М., Голованов А.И. Применение МКЭ к задачам свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек. Тр. семинара по теор. оболочек. Казанск. физ. техн ин-т АН СССР. 1984, №17, с. 79-88.

71. Лебедева Н.К., Власова Е.Е. Об унификации методов расчета колебаний типовых элементов машин и конструкций. В книге Стандартизация расчетов и испытаний на прочность. 1985. С. 3-13.

72. Лехницкий С.Г. «Анизотропные пластинки». ГИТТЛ, М. 1957.

73. Липатов Е.А., Канович М.З., Рачинский С.Л., Дрейзер В.И. К вопросу создания стеклопластиковых сандвич оболочек. // Ориентированные стеклопластики. -М.: 1978, с. 18-29.

74. Литвинов В.Б., Гамова И.Н., Степченко А.С. Вынужденные и нестационарные колебания сложных оболочечных конструкций. Казань КИСИ 1985, с. 13-14.

75. Марченко Т.А. Некоторые результаты исследования колебаний несимметричных консольных пластин. «Динамика и прочность машин» Реп. межвед. сб. вып. 8,1968.

76. Марченко Т.А. Применение ЭЦВМ к расчету колебаний пластин «ЭЦВМ в строительной механики». Стройиздат. М. 1968.

77. Митряйкин В.И., Паймушин В.Н. Применение метода возмущений при теоретике экспериментальном исследовании механики пластин и оболочек, имеющих сложный контур. -Известия АН СССР МТТ, вып. 4,1990, -с. 105112.

78. Митряйкин В.И. Расчет на прочность и устойчивость тонкостенных конструкций сложной формы. КВАКНУ, Казань. 1994, - 66 с.

79. Митряйкин В.И., Суркин Р.С. О динамических катастрофах тонкостенных конструкций. Тезисы докладов 9 НТК, КВВКИУ РВ, 1985, - с.18-21.

80. Митряйкин В.И., Шихалов М.Л. Теоретике экспериментальный подход к исследованию колебаний пластин с произвольной формой в плане. Тезисы докл. и сообщ. На 8 НТС, Казань: 1996, с. 81-83.

81. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966, -707с.

82. Науменко В.В. Исследование напряженно деформированного состояния оболочек сложной геометрии. - Автор, дисс. канд. тех. наук. - Харьков, 1982.

83. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин. Тр. 8 Всес. Конф., - М.: 1970, - С. 16-19.

84. Образцов И.Ф., Савельев JIM., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. Учеб. пособ. для студентов авиац. спец. вузов. -М.: Высшая школа 1985. 395с.

85. Одиноков Ю.Г. Расчет самолета на прочность. -М.: Машиностроение, 1973, -392 с.

86. Ониашвили О,Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М. Изд-во АНСССР 1957. - 195с.

87. Паймушин В.Н. К расчету анизотропных пластин и оболочек со сложным контуром. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985, вып. 19, с.100-110.

88. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек, пологах относительно поверхности отсчета. Изв. АН СССР. МТТ. 1976, №3, с. 184.

89. Паймушин В.Н. Соотношение теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета. Прикладная мат. и мех., 1978,42^24, с. 767-772.

90. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я., Инородцев H.A. К вариационным методам исследования собственных колебаний многослойных оболочек сложной геометрии на основе обобщенной модели типа Тимошенко. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, 1987, 38с., 6 В 274 ДЕП.

91. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Изд-е 3-е, доп. и перераб. -JL: «Машиностроение» (Ленингр. изд-е), 1976, -320 с. с ил.

92. Пискунов В.Г. Влияние деформации сдвига на частоты колебаний слоистых пластинок различных очертаний. -В сб.: Расчет пространственных строительных конструкций. Вып. 6. Куйбышев, 1976. с. 31-35.

93. Преображенский H.H. Обзор гипотез и допущений применяемых при исследовании устойчивости многослойных оболочек вращения. В сб.: Гидромеханика и теория упругости. 1970, вып. 12, с. 78-87.

94. Преображенский И.Н. Обзор о задачах по устойчивости и колебаниям многосвязанных тонкостенных деформированных систем. Механика. Нов. в зарубежн. науке. - Москва 1984, № 32, с. 287-309.

95. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981, - 191 с.

96. Преображенский И.Н., Гршцак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение. 1986, - 240с.

97. Рвачев В.А., Ракова A.B. Расчет собственных форм и частот поперечных колебаний пластинок сложной формы. «Прикл. мех», том 4. Вып. 4. 1970, -с.109-118.

98. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига.: Зинатне, 1988, 280 с.

99. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига. Зинатне. 1974. - 270 с.

100. Россато Д.В., Грове К.С. Намотка стекло нитью М.: Машиностроение, 1969.-242 с.

101. Саченков A.B. Теоретико-экспериментальный метод исследований устойчивости пластин и оболочек. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1968. №6-7, с. 391-433.

102. Саченков A.B., Артюхин Ю.П. Экспериментальное решение задач о свободных колебаниях и устойчивости пластин и оболочек. №67, Казань, Изд. КГУ, 1970.397 с.

103. Саченков A.B., Шалабанов А.К. Исследования свободных колебаний сек-ториальных пластинок и конических панелей теоретико-экспериментальным

104. Саченков A.B., Шалабанов A.K. Исследования свободных колебаний секториальных пластинок и конических панелей теоретико-экспериментальным методом. В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. №9. Казань, Изд-во КГУ, 1972. С. 339-346.

105. Сивков А.Л., Белов Е.В. Исследование параметров акустического поля вертолета «АНСАТ». Тезисы докладов на научно-техническом семинаре факультета ДЛА КГУ (КАИ). Казань. 1999.

106. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. -М.: Стройиздат, 1978.-300 с.

107. Смирнов В. А., Мещеряков М.А., Нанасов М.П. Экспериментальные исследования резонансных колебаний круглых пластин на точечных опорах. «Пространственные конструкции общественных и производственных зданий». М., 1985, с. 88-95.

108. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек. ПММ. Т.26,№2,1962. С. 346-358.

109. Терегулов И.Г., Алексеев К.П., Сафиуллин Д.Х., Каюмов P.A. Установка для исследования механических свойств волоконных композитов на трубчатых образцах В сб. Механика композитных материалов. Т.31.№1 КИСИ, Татарстан, Россия, 1995, с 125-130.

110. Третьяков А.О., Зюзин В.И. Механические свойства металлов и сплавов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1973. - 190с.

111. Уоткинс, Клери. Вибрационные характеристики тонкостенных усеченных конических оболочек. Ракетная техника и космонавтика /русск. перевод/ 1964. №10.

112. Федоренко Ю.М. Влияние граничных условий на частоты собственных колебаний слоистых пластин. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. 1980, №37, с. 33-38.

113. Федоренко Ю.М. К сравнению различных теорий для задачи колебаний трехслойных пластин. Изв. высш. уч. заведения. Стр-во и архитектура. 1875. №10, с. 48-52.

114. Федоренко Ю.М., Третьяк В.П. Исследование колебаний трехслойных цилиндрических оболочек методом конечных разностей. В сб.: Науч. конф. высшая матем. в совр. науч.-техн. прогрессе. Канев.1974 с. 355-361.

115. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат ленингр. отделение, 1984. - 384 с.

116. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. -М.: Мир. 1988.-352 с.

117. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. Пер. с нем. - М.: Госстройиз-дат, 1961.-306 с.

118. Хронин Д.К. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. -М.: Машиностроение 1970. -412 с.

119. Хью. Замечания к статике. Вибрационные характеристики тонкостенных усеченных конических оболочек. / Ракетная техника и космонавтика /русск. перев./. 1965. №6.

120. Черников С.К. Численное моделирование при проектировании и доводке несущих систем мобильных машин. Труды 17 Международной конференции ш теории сбшочжишнсгин.Т2,КГУ, Казань, 1996. -с.207-212

121. Черников С.К. К исследованию флаттера произвольных четырехугольных плоских панелей с прямолинейными кромками. Актуальные проблемы механики оболочек. МЕЖвуктшйсборЕквсКЩКшнь^ 1985,-с. 132-135.

122. Шалабанов А.К. Теоретик© экспериментальные методы исследования свободных колебаний пластин и пологих оболочек различных форм. - Диссертация на соиск. уч. степени канд. физ. - мат. наук. Казань, 1972-132с.

123. Шалабанов А.К., Кузнецов Ю.М. Исследование высокочастотных колебаний прямоугольных анизотропных пластин методом «перемещающейся опоры». В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 15.- Казань: изд-во Казанского ун-та, 1980, с. 50-57.

124. Шалабанов А.К. Способ измерения форм колебаний твердых деформируемых тел. Авторское свид. № 654860, опубл. в БИ, №12,1979.

125. Almroth В.О, Holmes А.М. Snells with cutunti experiment and analisis. -Proc. 3rd. Can. Congr. Appl. Mech. Calgary, 1971, p. 245-246.

126. Andersen B.W. Vibration of triangular cantilever plates by Ihe Ritz method. -JAM, 1954. №4. p. 71-93.

127. Bassily S.F., Dickinson S.M. On Ihe use of beam functions for problems of plates in volleying brie edges. / Francs ASME, 1975, E 42, № 4, p. 858-864.

128. Canpen D.H., Van, Hucting J. Free vibration of finite cylindrical ohells by the variational method. //3rd dut. conf. stuct. Mech. Redct. Technol. London. 1975. Vol 2. PartF. Amsterdam c.a., 1975,78/4, p. 1-13.

129. Durasula S.O., Burbure R.N., Srinivasans S. Natural frequencies of vibrations of isotropic flat plates. J. "Indian Insf, ReptNAE 19, 1968, p. 39-42.

130. Kurata M., Tanihira Т., Kobayshi H. Bending analysis of L-shape plate. Mem. Fac. Eng. Osaka City Univ., 1974, 215 p.

131. Leissa Arthur W. Free vibrations of elastic plates "A I AA Paper", № 24, 1969, -p. 28-35.

132. Madok N. R., Plumblee H.E., King W.W. Frequency analyze of a cylindrically curved panel with clamped and elastic boundaries. J Sound and vibr., 12, 1970, -p.3-9.

133. Nagaya Kosuke. Vibration of a plate of arfibrary shape with free and simply supported mixed edges. // J. Aconst. Soc. Fmer., 1983. 73,№3, p. 844-850.