автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с помощью рядов Вольтерра

>Г6 од

- 8 ОКТ 1ааь

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СОЛОДУША Светлана Витальевна

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА

05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

' ■ " АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1996

Работа выполнена в Сибирском энергетическом институте СО РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Апарцин А.С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корр. РАТН Воскобойников Ю.Е.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Чистяков В.Ф.

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " 27 " сентября 1996 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 063.32.04 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003, бульвар Гагарина 20, 1-й корпус ИГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (бульвар Гагарина, 24).

Автореферат разослан " " августа 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

■Б. Бельтюков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одним из наиболее универсальных подходов к математическому моделированию нелинейных динамических систем, позволяющих его использование в различных областях естествознания, является представление отклика системы на внешнее воздействие в виде интегростепенного ряда Вольтерра.

Внедрению этого аппарата в практику математического моделирования препятствует нетривиальная проблема восстановления ядер Вольтерра - многомерных переходных характеристик системы.

В технической литературе сравнительно давно обсуждаюся методы решения данной проблемы. Впервые аппарат рядов Вольтерра применил к анализу нелинейных систем Н. Винер (N. Wiener). Им получены эффективные алгоритмы идентификации в случае, когда входной сигнал представим в виде гауссовского белого шума. Позднее Джорджем (D. A. George) было проведено обобщение преобразования Фурье на многомерный случай, что дало возможность выполнять операции над ядрами в частотной области. В настоящее время разработано довольно много способов определения динамических характеристик, хотя их применение на практике чаще всего затруднено чрезвычайно большим объемом вычислений. Поэтому в работах в этом направлении стремятся достичь упрощения методик. Вопросам практического использования рядов Вольтерра для моделирования нелинейных динамических систем посвящены работы К. М. Александровского и А. М. Дейча, Г. Л. Ван-Триса (Н. L. Van-Trees), В. А. Веникова и О. А. Суханова, Н. И. Галина, К. Я. Давиденко, JI. В. Данилова, А. М. Дехгча, В. А. Каминскаса, К. А. Пупкова и В. И. Капалина, О. А. Суханова, Р. Г. Флейка (В. Н. Flaie) и других исследователей.

Неуклонное расширение сферы приложения математических моделей нелинейных процессов и систем стимулирует разработку новых и совершенствование существующих подходов к идентификации ядер Вольтерра. Именно наличие эффективных алгоритмов в сочетании с мощной современной вычислительной техникой делает перспективным применение аппарата рядов Вольтерра во многих областях, включая создание компьютерных тренажеров.

Цель работы. Моделирование нелинейной динамики при векторном

входном возмущении. Развитие и модифицирование метода идентификации во временной области, основанного на использовании тестовых входных сигналов в виде функций Хевисайда с отклоняющимися аргументами, позволяющих свести процедуру идентификации к решению многомерных уравнений Вольтерра I рода. Получение аналитических решений и их сеточных аналогов. Реализация разработанных алгоритмов и тестирование интегральных моделей на примере реального те-плофизического объекта.

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты диссертации являются новыми и имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Решена задача идентификации двумерных и трехмерных несимметричных ядер Вольтерра. Исследованы вопросы существования и единственности решения соответствующих трехмерных интегральных уравнении Вольтерра I рода. Решена задача численной аппроксимации ядер Вольтерра, при этом в качестве базового метода использовалась кубатура средних прямоугольников. Обоснован второй порядок сходимости численного метода. Проведена серия расчетов на PC для модельных примеров, которые подтвердили теоретические оценки асимптотики шага кубатуры и погрешности численного решения как функций меры точности исходных далных, обеспечивающие саморегуляризующее свойство процедуры дискретизации.

Создан программно-вычислительный комплекс (ПВК), использующий эталонную модель элемента теплообменного аппарата (теплообменника). Проведено построение и тестирование интегральных моделей теплообменника. Рассмотрены подходы к уточнению моделирования отклика объекта. На основе реальных данных построена модель теплообменника, входящего в состав экспериментальной установки -высокотемпературного контура (ВТК) Сибирского энергетического института (СЭИ) СО РАН.

Разработанный подход, алгоритмы и ПВК в силу их универсального характера могут быть использованы для математического моделирования самых разнообразных нелинейных систем.

Доклады, публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на втором Советско-китайском семинаре (SEI - EPRI, Иркутск, 1992 г.), на I и II Сибирских конференциях по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1994,1996 г.г.), на Всерос-

опиской научно-технической конференции "Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири" (Иркутск,

1994 г.), на Всероссийской конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (Екатеринбург,

1995 г.), на X Международной Байкальской школе-семинаре по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1995 г.), на конференции молодых ученых СЭИ СО РАН (Иркутск, 1992, 1994, 1995 г.г.).

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.;

Структура и объем работы. Диссертация объемом 153 страницы машинописного текста состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст иллюстрирован 14 таблицами и 44 рисунками. Список литературы включает 71 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной тематики, приводятся основные результаты работы.

Тема диссертации - построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с неизвестной структурой в виде конечного отрезка интегрального ряда Вольтерра.

Предположим, что т имеет физический смысл времени, входной сигнал х(т) есть вектор-функция, состоящая из к > 2 компонент Х{(г), г — 1,к , отклик у{т)— скалярная (что не уменьшает общности) функция времени, непрерывно зависящая от х(т) и, кроме того, система стационарна в том смысле, что ее динамические характеристики не меняются за исследуемый промежуток времени т £ [0,Т]. Тогда математическая модель системы типа "вход - выход" может быть представлена отрезком интегростепенного ряда Вольтерра

уИ=Е Е л,...ф). г е [о,г],

я=1 1<11<...»■„<*

7 т п

/«1....л(т) = /•••/1> •■•*«) П - (1)

о о /,=1

причем ядра Вольтерра отражающие чувствительность систе-

мы к изменению компонент ... ,Х{п(т) вектора х(т), симметрич-

ны лишь по тем переменным, которые соответствуют совпадающим индексам.

Первая глава посвящена проблеме восстановления многомерных ядер Вольтерра являющихся решениями специальных уравне-

ний Вольтерра I рода, допускающих явные формулы обращения.

В разделе 1.1 дан обзор литературы.

В разделе 1.2 описана основная идея получения линейных многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода, к решению которых сводится задача идентификации ядер Вольтерра. Данный метод основывается на использовании тестовых возмущений в виде специальных комбинаций функций Хевпсайда с отклоняющимся аргументом.

Автор подхода - А. С. Апарцин. Им, в частности, показано, что в случае скалярного возмущения задача восстановления симметричных п—мерных ядер = Кп с помощью (п — 1)—параметрического

семейства тестовых сигналов

Х«,.^., (т) = е(т) + 2 £ (-1)4е(т - £ + (-1)"'^(т - £ к=1 ¿=1 ¿=1

О < т, и, < Т, г = 1,;г — 1, п > 2, е(г) - функция Хевисайда, сводится к решению линейных многомерных уравнений Вольтерра I рода

4-1 I

уМКя= £ (-1)" = п> 2, (2)

имеющих явные формулы обращения.

В (2) символ [...] в верхнем пределе суммирования означает целую часть числа, /„ = /^...¿„(л^ь... ,и„), а Дп =

ГТ ГТ [Т-Ш1-----и„_2 /-Г-И!-----и„-2 . .

= / •■•/ •••/ ■■•/ ЛП(«Ь. . . , 5п)с?5г • — —-----

чраз ¿п_1раз

Г П_1 1

г,ыь... ,а>п_1 еД„= г, ..., ы„_1 /0 < £ ш* < г < Т; о;* > 0 .

1 ¿=1 ; Для произвольного га > 3 формула обращения (2) носит рекуррентный характер:

Кп{т, т-ши...,т -и 1-----(¿„-О = £>п/„(г, и<1,...,

где

Г + д

д

—Ри п = 3, 4, ...

3

Результаты, приведенные в данном разделе, существенно опираются на свойство симметрии ядер Вольтерра по всем аргументам, которое, в свою очередь, является следствием предположения о том, что входной сигнал есть скалярная функция времени.

Ситуация усложняется, если х(т) — вектор-функция, что имеет место во многих приложениях. В этом случае ядра Вольтерра, отражающие чувствительность системы к совместному изменению двух и более компонент, уже не обязаны быть симметричными, поэтому описанная выше методика нуждается в модификации. Обобщение на векторный случай проведено в следующих разделах главы I.

В разделе 1.3 данный подход развит для восстановления несимметричного двумерного ядра К и- Объектом исследования служит равенство

¡п(т) = /У Ки^из^х^т - 81)х2(т - г 6 [О,Г], (3)

соответствующее ¿] =1, ¿2 = 2 в (1). Рассмотрены различные способы задания тестовых сигналов.

Способ А состоит в выборе двух серий однопараметрических тестовых возмущений

О < т, ш1 < Г,

последовательная подстановка которых в (3) приводит к двумерным интегральным уравнениям Вольтерра I рода

т т

О О

т, Ui € Д2 = {г, U! /О < ÜJI < т < т},

(1) (1) (2) (2) где / (•) — /12 (') I f (') = / 12 (') - известные отклики системы на тестовые сигналы. Решение этих уравнений определяются следующими явными формулами

(1) (1) Ка(т-Ы 1,7) = - f;ui (т-.ыО- (r,Wl)

Vr,u>i е Аг,

(2) (2) К12(т,т-^) = - (т,ил)- (r,Wl).

Способ В основан на использовании однопараметрическпх тестовых возмущений иного вида:

= е(г) - <г ~ \ х1т{т) = Ф), \

х2т(т)=е(т) ) ' = е(т) - е(т - wi) J '

О < Т, Ы! < Т,

при этом Ки является решением парного двумерного интегрального уравнения Вольтерра I рода

/{ / Kl2(si,s2)dsljds2 = f (r,ui) ,

О T-u,

т, wi € Д2, (4)

Т Г (2) j У K12(sus2)ds1]jds2 ~f (r,Wi) ,

T-ui\ О

допускающего формулы обращения

(1) (1) Ки{т-шит) =flx (t,wl)+ (t,wi)

Vr,wi£ Д2,

(2) (2) *12(т,Г - Wl) (Г,Ш1)+ (r,Wl).

В разделах 1.4, 1.5 методика идентификации обобщена для трехмерных несимметричных ядер Вольтерра. Объект изучения данных разделов - равенство

lo L lo Kiihi3(s8з)н(т - S1 )a;i2(r - s2)zi3(r- s3)dsids2dss =

= khh(r), r e[Q,T\,

вытекающее из (1) при п = 3.

При этом рассмотрено отдельно два случая:

1) ядро Вольтерра полностью несимметрично;

2) ядро Вольтерра симметрично по двум аргументам.

В разделе 1.4 решена задача восстановления полностью несимметричной функции К из (для определенности ¿1 = 1, ¿2 = 2, ¿3 = 3). Область определения К\2з Г2 = |<>'ь я2, яз /0 < л-2, < состоит из шести подобластей, пронумерованных, например, в следующем порядке:

[«Ь «2, «3 / о < 53 < »2 < < г};

«1, 52, «3 /о <S2<S3<S1< т}; «1, «2, «3 / о < «3 < в! < 52 < г};

«1,«2,8З / о < < Эз < ¿2 < г}; '1,82, 33 / 0 < < «1 <53<т};

,«1,52,53 /о < 5! < 82 < < т}.

Для нахождения искомой функции в каждой подобласти Ор, р = 1,6 использовался свой набор тестовых возмущений. Как и в двумерном случае, было рассмотрено два способа задания тестовых сигналов.

Способ А. Для определения несимметричного ядра Вольтерра, например, в первой подобласти П1 = «2, 5з 0 < 53 < 82 < «1 < т|, вводится следующее двухпараметрическое семейство сигналов:

Г21 = П2 = Пз = П4 =

П5 = Па =

= е(т) - е(г - с^), ,иДг) = е(т ~ "О ~ е(т -иц- ш2),

(5)

о < Г , , < т, так что ядро К123 в подобласти 01 определяется решением трехмерного интегрального уравнения Вольтерра I рода

JrT—U\—U>2 ГТ—Ш1 ГТ (1)

' ¿¿з / ¿Я2 / ^123(^1,82,53)^1 =/ (7-, (6)

(1) , ч (О

где о>1, Ш2, г 6 Дз, а правая часть / {■) = f ¡23 (") образована из откликов динамической системы на возмущения вида (5). Переставляя

компоненты входного вектора х — (ж^, жз) в левой части (5), получим дополнительно р серий (р = 2,6) тестовых возмущений, с помощью которых задача идентификации Кш в подобласти 0.р может быть сведена к решению интегральных уравнений, аналогичных уравнению (6),

(р) ч (р) , с правыми частями / (•) = / 123 (•).

о (3) (р)

Обозначим через Сд3 класс функций / (•), определенных на Дз = |г, Ы1, и>2 I 0 < + и/г < т < Т ; > о| и удовлетво-

ряющих следующим условиям:

(р)д(р)

* Д г III

(р)

(р)

(V)

Т) V_ /•"' I _ с Г1

} }тш5 Jтu-^шъ ' Julшl ^ ^Дз >

(Р) _ (р)

/ |ш2 = 0= 0 1 / М2=Г—0)1 =

О Ут,и>: 6 Дз, р — 1,6;

(р)

/ |и1=0= 0 !

(Р)

/ С

"21 „= 0 е А3, р= 1,6;

(р) |

1 1^2=0

(?) | (Р+1) |

Х>з / = 2>з / „

(О, (з),

/ 0,

=У 1а;1=и

Уге[0,Т], р = 1,5;

£ Д3, р = 1,3,5; (2), (5),

1о>1=и 1и»1 =и

(4), (6),

03 / = п

\/г, е Дз-

(р) с (3) _

Теорема 1.4.1. Если / (•) 6Сд , р = 1,6 , то решения трехмерных интегральных уравнении типа (6) существуют в классе Сцр и определяют единственную в классе Са функцию

Кт\т,т -шьт -uix -lo2) = -Т>3 f (r,u)bw2),

(2)

Кт(т,г-ui-ш2,т-lui) =-V3 f

(3)

Кт{т- vi,r, т - u>i -ui2) = -Т>з f {т,иьш2),

W

Km(r- u>i -u>2, r,r-wi) = -Z>3 / (r,wbw2),

(5)

1<т(т- ш\,т - - uî,t) = -î>3 / (r,cji,w2),

(6)

Кт{т- uji -w2,t- wbr) = -Z>3 / (r,wi,w2) Vr, wi, Ш2 € A3.

Способ В. Если компоненты вектора х(т) выбрать следующим образом:

г1т(г) — е(г)>

Xîui(r) = e(r) - e(r - Wl), , (7)

.„,(1") = е(г) - 2е(т - wi) + е(г - - ш2) _

о < Г , 0/1, ш2 <Т,

то задача идентификации трехмерного несимметричного ядра Воль-терра в подобласти Г2; сводится к решению уравнения Вольтерра I рода

/ ¿S3 / ds2 [ S2, S3)(f.Si —

/г—ui| Уг-ш i JO

гт—uii tT гт

~ Jr-ut-v, dS3 Jr-Ui dS2Jo =/ (г,ШЬШ2),

(1) ч (1)

где / (•) = / J23 (■) — отклик системы на (7). В оставшихся подобластях

функция Ivi23 находится из аналогичных уравнений, совокупность которых можно трактовать, по аналогии с парным уравнением, как "трехфакториальное" или "шестерное" уравнение, поскольку каждое уравнение содержит интегрирование искомой функции по всей области О.

Исследован вопрос о существовании решения этого уравнения в классе непрерывных на А функций.

Основная задача раздела 1.5 - восстановить частично симметричную функцию К\1ч (для определенности взято = г2 = 1, г3 = 2). В этом случае область определения О естественно разбить на три подобласти:

= (о < 53 < «2 < «1 < Ти 0 < 53 < «1 < «2 < т};

= (о < «1 < 52 < 53 < т и О < «2 < «1 < 53 < т}; Пз = (о < < 5з < 52 < т и О < 52 < вЗ < «1 < Т}.

Способ А. Для решения задачи идентификации в каждой из Пр, р = 1,3, введены наборы тестовых сигналов:

(8)

(9) (10)

= х2„г.Ы1 = е(т - - е(т - - ш2), 1 ^ =е(г)-е(г-ач) /'

= е(г - ш\)

0<т, ш2<Т, с помощью которых вводятся в рассмотрение уравнения вида

гт—лг [Т

/ д.зъ\ ¿.в2 =/ (л^ь^г), (11)

ГТ ЛТ—1ь>1 [Т—Ы1

Г (т—ц\—Ш2 ^»зС'Ь вз)<*»1 =У (^Ь^), (13)

г, Ш1, (¿2 € Аз ,

(р) (?)

где / (•) =/ иг (') ~ соответствующие комбинации из откликов системы на первую (8), вторую (9) и третью (10) серии входных сигналов.

*(3) (Р) _

Обозначим через Сд3 класс функций / (•), р = 1,3 , определенных

на Дз и удовлетворяющих следующим условиям:

(р)

/ (•) € СДз; (1)| (3), (О, (2),

А =/1 п'-Ч =0Уг,^еД3;

(1) , (2) , (3) .

4 =0.4 =0, /:2и=о Ут е [0,Г];

1Ы1=0 |Ы2 = 0 ' 1о/2=0

(1), (2), (3),

- Х>3 / 11=0 - V:, / Ц=о.= Т>3 / и.о. Уг € [0,Т] ;

I и,2 —О Iи>2 —О 1(^2=0

(1), (3),

"А / / „ Чт,ил €Д3;

(2), (3).

Т>ъ }\ п Ут,ш2 £ А3 .

1и> 1=0 1^1=0

(р) *(3) _

Теорема 1.5.1. Пусть / (•) £ Сд3, р = 1,3. Если в классе

Спр , р = 1,6 существуют решения интегральных уравнений (11) -

(13) соответственно, то они единственны и определяют непрерывную

на О функцию

1 (!)

Кт{т,т - шиг-=/ (т,^ьи>2),

1 (2)

Км(т -Ш1,т - - ш2,т) = -2)3 / (г,^х,ш2),

1 (3)

Кш(т,г - -ы2,г - и) = —Х>з / (г.^ь^г)

\/т, € Дз-

Способ В. Выделим три набора тестовых сигналов:

(г) = (г) = е(т) - е(т -

хз„и„г{т) = е(г) - 2е(т - + Кт ~ ] '

хК1,«2(т) = = е(т) - 2е(т - Ш1) + е(г - ^ - ы2),

^О) = е(т)

= = е(г) - е(г - Ш! - ы2), 1

Яз^.^О") = е(т) ~ 2е(г ~ + е(г - <^1 - ш2) ) ' О < Т , , Ш2 < Г, позволяющих свести задачу идентификации Л*112 к решению уравнений следующего вида:

/ [ (¿в2 [ Кт(з1,в2,зз)<1б1-

¿Т—<л>1 Jr—U^ ¿Т—и 1

- Г Г ¿«2 Г = } {т,и 1,Ш2), (14)

¿Т—и>1—и? 2 ¿Т—и>1 «/?—¿V1!

/>з Г ¿«2/Г А'п2(«1,52,в3)йв1-

-Ш1

-2 f ds3 [ ds2 Г Ul JCii2(si,S2,s3)dsi+

JV JT—U) 1 JT—Ui—Ш 2

/"Г /"Г — U>1 fT—L) 1 (2)

+ ds3 ds2 K112{si,s2,sz)dsi =f {т,шиш2), (15)

J{j Jr—Ul 1—U2 Jr—U>l—Ul2

ГТ—Ы1 FT ГТ

~ dsz ds2 Km(suS2,S3)dsi+

JT—U\—U 2 « T—u^i—Jr—Ш] —U>2

гт rf tr (3)

+ / dsz ds2 Ku2{suS2,s3)ds1=f(T,wuu>2), (16)

Jr—Ul\ Jr—WI—W 2 JT—LJ 1~U>2

T, U>1, U>2 € Дз-

Единственность решения уравнений (14) - (16) в классе непрерывных на il функций в виде

1 (!)

А'т(т,г- wbr- Ш! -и>2) = -Т>3 f (т,шиш2),

1 (2)

Кп2(т-Ш1,т - и 1 - w2lr) = -2>3 / (г,^,^),

1 (3)

- и>1 -и2,г - Wi) = f (т,иъш2)

Vr, Ш1, ш2 е Дз

обеспечивается условиями, аналогичными приведенным в теореме 1.5.1.

Вторая глава посвящена решению задачи численной аппроксимации многомерных ядер Вояьтерра.

В разделе 2.1 рассматривается специфика вольтерровых интегральных уравнений I рода, обосновывается выбор устойчивого метода приближенного решения, основанного на саморегуляризующем свойстве процедуры дискретизации.

В разделе 2.2 получена разностная аппроксимация двумерных несимметричных ядер Вольтерра. Рассматривается разностный аналог парного уравнения: (4) вида

(1)

t=i-j+lm=l 2 2

i i , (2) _ _

Л2£ £ Kl> г =fitj, i = l,N,j = \,i-l-,

/=lm=:-j+l 2 2

(17)

т{ = ih, т{_i = (i - -)h, wi,. = jh, i = 1,N, j = 1 Nh = T.

Здесь ¡.т_1 - сеточная аппроксимация Л'^^ь 52) в точке

/ \ (0 (2) (1) (2)

[О - - 5)^}' а /¡,5' /<о ~ значения /, / в точке (¿Л,;'Л).

СЛАУ (17) допускает явные формулы обращения, аналогичные случаю симметричного ядра для всех узлов двумерной сетки вне главной диагонали:

Ю 1 : =

(1) /у ¿0 — 1 (1) — /1-1,^—1 (1) + /1-10-2

к2

(2) (2) _ /¡0-1 (2) ~ / 1-1о-1 (2) + /¿- 1о-2

Ъ2

, г" = 2, Ж, ¿ = 2,1 ;

'»-Ь'-Я-*

В то же время в узлах главной диагонали

(1) (2)

КН 1 / < 1 + ¿ =

' 2'' 2 Ь1

, г = 2,#, ] =2,1 .

(18)

Нестандартный четырехточечный шаблон (18) использует значения (1) (2) (1) (2) как /, так и / (при и^ = т / (г, г) =/ (т, г) Ут £ [0,Т]).

о (4)

Обозначим через Сд2 класс четырежды непрерывно дифференциру-

(р) /

емых функций / (•), р = 1,2, определенных на Д2 и удовлетворяющих условиям

ь (р) / (г,^)

= 0 Ут€ [0,Г], ¿-1,3.

дтк 1ш1=о Доказана следующая

(1) (2)

Теорема 2.2.1. Пусть функции / (■), / (■) обладают свойствами (1) (2) г , /к=о=/и=0=о Уте [0,Г);

(1) (2) г(1) (1) / г(2) (2) 1

/' «1=0 Ы] =г \ + Т • Ли»!

0(4)

и, сверх того, принадлежат Сд2. Тогда метод кубатур, основанный на формуле средних прямоугольников, имеет второй порядок сходимости.

Построены примеры, на которых показано, что метод средних прямоугольников порождает саморегуляризующий алгоритм, именно:

если Ь(6) 'Х ¿1,

(С/, — се точный аналог С[о,т])-

В разделах 2.3, 2.4 аналогичные результаты получены при разностной аппроксимации трехмерных несимметричных и частично симметричных ядер Вольтерра. Все разделы главы II снабжены иллюстративными расчетами на ЭВМ.

Третья глава диссертационной работы посвящена применению разработанного подхода для моделирования теплофизических процессов.

В разделе 3.1 рассмотрены некоторые способы разделения отклика у (г) на составляющие /11,....¡„ при векторном входном сигнале х(т). Для проверки эффективности предложенной методики идентификации ядер Вольтерра были проведены численные эксперименты с использованием эталонной математической модели.

Постановка задачи и результаты тестовых расчетов приводятся в разделе 3.2. Эталоном послужила модель теплообменника с независимым подводом тепла, представленная в виде объекта с сосредоточенными параметрами, который описывает алгебро-дифферснциальная система:

Д£(го-гвх.о)+£(Дг-ЛгвО+Св^ = АаН(в0-Ь)+аН(М-Ы), (19)

от

д<? - = ДаЯ(#о - к) + аН(А9 - ДО, (20)

аг

Дг = свД*+(|^ Ар.

Здесь т - время (с), V - расход вещества (кг/с); С} ~ ц-1 - полная тепловая нагрузка (кВт), (? = д ■ I - полная масса (кг), Н = Н-1 - полная поверхность теплообмена (м2), I - длина рассматриваемого участка, г - энтальпия (кДж/кг) - термодинамическая функция, зависящая от давления и температуры, температура потока вещества и стенки (К), с - удельная теплоемкость (кДж/кг- К), р - давление (Н/м2), а - коэффициент теплоотдачи (кВт/м2 -К), А - приращение, например,

Т>(т) = T>o + AV(r),a(r) = ао+Да(г); индексами "о" обозначены параметры начального стационарного режима, например, га = г(Ар, Ai)|r=o, "вх" - значение на входе, "в" -вещество потока, "м" - материал стенки.

Начальные условия:

Д£(т)|т=о'= 0, Ai(r)|r=0 = 0, А0(т)|г=о = 0.

Будем рассматривать изменение Дг(т) при произвольных законах возмущений AV(r), AQ(t), Агт(т), Ар(т). При допущении, что а — const • V, получено точное аналитическое решение поставленной задачи. 1 Если принять, что Дгвх(г) = 0 и Ар(т) = 0, то Дг(т) при совместном возмущении ДТ>(т) и AQ(t) описывается зависимостью

(2!)

Здесь si и s2 ~ корни характеристического уравнения для системы (19), (20).

Формула (21) применялась для получения необходимого набора откликов на систему тестовых сигналов. Затем по разностным аналогам явных формул обращения осуществлялось построение искомых ядер квадратичного отрезка ряда Вольтерра

2/квадрМ = /0Т K{{s)AV{T - s)ds + JJ K2{s)AQ(t - s)ds+

+ /0Г ds2£кп(ви s2)AV(t - Sl)AV(T - 32)ial+ (22)

+ Jo ds2 Jo I<2^Sb S2)AQ(r - Sl)AQ(r - S2)dSl+

+ J* ds2 jt Kv2(sh s2)AV(t - Sl)Aq(t - s2)dsx , r e [0,t].

По модели (22) проводился расчет динамических процессов для произвольных входных воздействий АТ>(т) и AQ(t), а соотношение (21) использовалось в качестве эталона для оценки точности модели.

На рис. 1 показан пример расчета переходного процесса при совместных возмущениях расхода теплоносителя и тепловой нагрузки.

1Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1989. - N 1. - С. 150-156.

Квадратичная модель дает существенное уточнение переходного процесса в сравнении с линейной.

О.0962

о ■=■' -вэ. А -178 -267 -39« N Г 1/"

О....... ' 'т'

к - 1 , , ,4

О 1 2 34 5 в 7 8 9 Г 1С

-56.9 Т

Рис. 1

Динамика энтальпии теплоносителя при совместных возмущениях расхода ДХ>(г) и теплоподвода Лф(т) на интервале [1,10] с;

1 - квадратичная модель, 2 - эталонная модель, 3 - линейная модель;

Vо = 0,16кг/с, Оо = ШкВт.

В следующем разделе 3.3 описаны некоторые модификации алгоритма построения отклика укв^р{т). С целью повышения точности моделирования нелинейной динамики теплообменника с двумя входами применены два подхода. Первый способ предполагает наличие нескольких моделей типа (22), ядра которых настроены на различный диапазон возмущений входного сигнала. Второй подход основан на введении вспомогательных стационарных значений <д*0 я состоит в использовании интегральных моделей, отвечающих одному и тому же (небольшому) уровню возмущений. Результаты применения обоих способов иллюстрируются на типичных примерах.

В раздел 3.4 помещены результаты моделирования реального тепло-физического объекта - теплообменника, входящего в состав ВТК СЭИ СО РАН. При этом использовались результаты реальных физических экспериментов, проведенных в лаборатории динамики парогенериру-ющих систем СЭИ под руководством Э.А. Таирова. В качестве входных возмущений рассматривались изменения расхода и теплоподвода,

а выходным параметром динамического объекта являлось изменение температуры воды на выходе теплообменника.

Рис. 2

Динамика температуры воды на выходе теплообменника при совместных возмущениях

расхода (кг/кДж) и теплового потока(кВт);------квадратичная модель,

--экспериментальные измерения, - • - ■ —---линейная часть модели (22).

На рис. 2 представлены результаты применения линейной и квадратичной интегральных моделей при возмущениях А1>(т) и Д<3(т), достигающих 25 % от стационарных значений. Видно, что учет квадратичных и билинейной составляющих ряда Вольтерра позволил существенно повысить точность моделирования динамики температуры на выходе теплообменника.

Все разделы главы III имеют обширный иллюстративный материал. Глава IV состоит из двух разделов, которые характеризуют программное обеспечение, созданное для решения задачи построения интегральных моделей теплообменника,

Реализация алгоритма построения интегральных моделей теплообменника основана ыа функционально- модульном принципе и выполнена в системе программирования Borland С++ версия 3.2. В разделе 4.1 проведено описание модулей ПВК "Динамика". Работа с ПВК проходит в диалоговом режиме. В разделе 4.2 содержится практическое руководство для пользователя.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Выведены и исследованы двух- и трехмерные уравнения Вольтер-ра I рода, к которым сводится задача идентификации несимметричных ядер Вольтерра в случае специальных тестовых возмущений.

2. Получены разностные аналоги явных формул обращения этих интегральных уравнений. Обоснован второй порядок сходимости метода кубатур, использующего формулу средних прямоугольников. Исследована устойчивость численного решения к погрешностям вычислений. Проведены расчеты на PC для модельных примеров, иллюстрирующие саморегуляризующее свойство процедуры дискретизации.

3. Разработанная методика идентификации применена для моделирования нелинейной динамики теплообменника в случае скалярного и векторного входных возмущений. С целью построения и тестирования интегральных моделей разработан программно-вычислительный комплекс "Динамика", использующий эталонную модель теплообменника. Рассмотрены два подхода по повышению точности моделирования отклика объекта. Построена квадратичная модель теплообменника, входящего в состав высокотемпературного контура СЭИ СО РАН.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Apartsyn A.S., Solodusha S.V., Tairov E.A. Mathematical modeling of transients in thermal power installations of power plants on the based of the functional Volterra series //Second SEI - EPRI Joint seminar on methods for solving the problems on energy, power systems development and control. - Irkutsk, Russia, 1992. - p. 115-123.

2. Солодуша C.B. О численном решении одного класса линейных двумерных уравнений Вольтерра I рода //Межвуз. сб. "Приближенные

методы решения операторных уравнений". - Иркутск: Изд-во ИГПИ, 1992. - с. 114-124.

3. Солодуша C.B. Математическое моделирование динамических систем с помощью рядов Вольтерра и его приложения в некоторых задачах теплофизики //Труды XXIII конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. - Иркутск, 1992. - Деп. ВИНИТИ 30.08.94, № 612-В93, с. 88-93.

4. Апарцин A.C., Таиров Э.А., Солодуша C.B., Худяков Д.В. Применение интегростепенных рядов Вольтерра к моделированию динамики теплообменников //Изв. РАН, Энергетика, 1994. - № 3, с. 138-145.

5. Солодуша C.B. Численные методы идентификации несимметричных ядер Вольтерра и их приложения в теплоэнергетике //Труды XXIV конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. - Иркутск, 1994. - Деп. ВИНИТИ 30.08.94, № 2129-В94, с. 76-91.

6. Солодуша C.B. Численное решение трехмерных интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающих при моделировании динамических систем //Тез. Всеросс. научно-технич. конф. "Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири" - Иркутск: Изд-во СЭИ СО РАН, 1994. - ч.1, с. 90-91.

7. Солодуша C.B. Математические модели нелинейной динамики, основанные на рядах Вольтерра //Тез. Всеросс. конф. "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова. - Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1995.- с. 116.

8. Солодуша C.B. Теоретические и прикладные аспекты моделирования нелинейной динамики рядами Вольтерра //Труды XXV конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. - Иркутск, 1995. - Деп. ВИНИТИ 27.07.95, № 2262-В95, с. 141-166.

9. Солодуша C.B., Апарцин A.C., Таиров Э.А. Моделирование нелинейных динамических систем рядами Вольтерра с приложением к теплофизическим объектам //Тез. X Международной Байкальской школы-семинара по методам оптимизации и их приложениям. - Иркутск: Изд-во СЭИ СО РАН, 1995. - с. 274-275.

10. Солодуша C.B. Синтез квадратичных моделей стационарной динамической системы, основанных на аппарате функциональных рядов Вольтерра //Тез. II Сиб. конгресса по прикладной и индустриальной

математике (ИНПРИМ) - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. -

с. 14.