автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Моделирование и идентификация нелинейных электрических цепей на основе функциональных рядов для исследования и проектирования сложных радиоэлектронных устройств

ВВЕЩЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ

НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

1.1. Роль моделирования и идентификации в современной электротехнике и электронике.

1.2. Методы решения задач моделирования и идентификации нелинейных цепей

1.3. Основные свойства рядов Пикара и вытекающие из них задачи исследования

1.4« Выводы.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ВОЛЬТЕРРА-ЯИКАРА, ^

ИХ ОСОБЕННОСТИ И ПРИМЕНЕНИЕ.

2.1. О функциональных рядах Вольтерра

2.2. Ряды Вольтерра-Дикара.

2.3. Основные особенности рядов Пикара.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ ВП-РЯДОВ.

3.1. Математические модели на основе

ВП-рядов.

3.2. Моделирование типовых структур нелинейных цепей

3.3. Модели нелинейных цепей сложной структуры

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ВП-РЯДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ.

4.1» Особенности задач идентификации на основе ВП-рядов

4.2, Проблема разрешимости задач идентификации.

4.3» Методика идентификации на основе

ВП-рядов

4.3.1. Цепи с одним нелинейным элементом.

4.3.2. Цепи с двумя и более нелинейными элементами.

4.4, Выводы.

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ТРАКТОВ

СТУДИЙНОЙ РАДИОВЕЩАТЕЛЬНОЙ АППАРАТУРЫ.

5.1. Постановка задачи исследования и выбор первоначальной модели

5.2. Описание методики тестирования, идентификации и проверки адекватности модели

5.3. Описание алгоритмов анализа акустической системы с помощью построенных моделей

5.4. Выводы

Одной из важнейших задач, поставленных в текущей пятилетке, является дальнейшее ускорение технического прогресса. Для решения этой задачи важную роль играет развитие таких отраслей тех« ники, как электроника, автоматика, измерительная техника и других, Элементы, устройства и приборы, используемые и разрабатываемые в этих отраслях техники постоянно обновляются и усложняются. Это, в свою очередь, требует постоянного усовершенствования методов и средств их исследования, расчета и проектирования.

Одним из перспективных направлений в исследовании сложных электронных и электрических схем является макромоделирование, то есть такое математическое описание объекта, которое связывает между собой только входные и выходные переменные. Этот под^-ход во многих случаях является почти единственным решением проблемы исследования сложных объектов. Действительно, если объект описывается системой уравнений, содержащей тысячу или более уравнений, то эти уравнения часто приносят мало пользы, так как их решение на ЭВМ встречает ряд серьезных трудностей ч- плохая обусловленность, и связанная с этим недостоверность результатов расчета, большие затраты памяти и машинного времени и т.д. Выходом из положения является разработка макромодельного описания, содержащего зависимость только между небольшим числом входных и выходных переменных. Такой подход широко применяется при исследовании и проектировании интегральных схем, где при огромном числе компонентов схемы имеется небольшое число входных и выходных выводов./2,3,4,9,41,77/.

Для нелинейных цепей и систем даже небольшое число уравнений - 10-20 может служить серьезным препятствием для их исследавания на ЭВМ, ввиду жесткости систем, и сложности процессов, протекающих в них. Поэтому подход, связанный с применением упрощенных макромодедей, оказывается весьма перспективным.

Еще более актуальной является задача макромоделирования для таких объектов, элементов и устройств, которые вообще не описаны системой уравнений или имеется их неполное описание. Здесь создание макромодели является иногда единственным подходом к исследованию объекта. Примерами таких объектов могут служить акустические тракты радиовещательной аппаратуры, антенны в гидролокации, новые элементы радиоэлектроники, свойства которых еще недостаточно изучены, любые нелинейные устройства, внутренность которых недоступна и единственной возможностью их изучения является подача некоторых воздействий на вход и измерение откликов на выходе. Построение макромодедей на основе таких опытов называется идентификацией объекта.

Таким образом, проблема моделирования и идентификации является весьма актуальной. В настоящее время интенсивно разрабатываются общие и частные подхода для ее решения. Среди общих подходов одним из наиболее перспективных является применение функциональных рядов/12,17,18,42,56,72,91,95,96,98,99,НЗ,П9,120, 104/. Их преимущество заключается в том, что они обладают широкой универсальностью. Они одинаково применимы к электронным схемам, электротехническим, акустическим, химическим, биологическим и другим объектам. Второе их преимущество - они требуют минимума первоначальной информации об объекте. Нужно только знать заранее, что объект обладает в некотором смысле свойством непрерывности и свойством отсутствия самовозбуждения.

Третье преимущество - наличие хорошо разработанных теоретических основ и алгоритмов идентификации/18,29,55,60,66,94,103, Ш/.Тем не менее, пока применение функциональных рядов сдерживается рядом серьезных недостатков. Во-первых, функциональные ряды применимы для идентификации слабонелинейных объектов. Во-вторых, основная задача идентификации - получение ядер Вольтер-ра при ее практической реализации наталкивается на столь серьезные вычислительные трудности, что даже расчет ядер второго порядка занимает много часов машинного времени. Третий недостаток -не всегда удается применить для идентификации те классы тесто«* вых сигналов, которые наиболее удобны для исследователя.

В последние годы выяснилось, что многие из указанных недостатков преодолимы, если воспользоваться модифицированным представлением функциональных рядов Вольтерра, а именно, рядами Воль-терра-Пикара /26,27,25,28/. Такие ряды вообще не требуют вычисления ядер Вольтерра, позволяют работать с тестовыми сигналами самого различного вида и, что очень важно, позволяют после идентификации восстановить уравнения объекта, описывающие любой его режим, а не только сдабонелинейный.

Платой за такие преимущества рядов Вольтерра-Пикара является требование увеличения априорной информации. Предполагается, что для объекта известна общая структура его схемы замещения. Она должна представлять собой линейный многополюсник, нагруженный на некоторых выводах на нелинейные элементы. Однако, на этом априорная информация исчерпывается, так как параметры линейного многополюсника и характеристики нелинейных элементов считаются заранее неизвестными.

Указанное требование не является сколь-нибудь ограничительным, так как подавляющее большинство устройств и элементов электропики и электротехники допускают представление в виде схемы замещения, содержащей линейные многополюсники и нелинейные элементы,

В соответствии со сказанным, цель диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

Разработка методов построения математических макромоделей и идентификации нелинейных электрических цепей на основе аппарата функциональных рядов Вольтерра-Пикара.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработка методов построения макромоделей нелинейных цепей в виде отрезков функциональных рядов Вольтерра-Пикара на основе а) Преобразований нелинейных цепей. б) Использования уравнений узловых напряжений и контурных токов. в) Представления нелинейных цепей в виде многополюсников.

2. Сравнительная оценка различных видов моделей - явных, неявных, полуявных.

3. Исследование проблемы разрешимости задач идентификации нелинейных цепей.

4. Разработка методики идентификации нелинейных цепей на основе применения функциональных рядов Вольтерра-Пикара.

5. Создание соответствующего матобеспечения.

6. Построение конкретных моделей, описывающих акустические тракты радиовещательной аппаратуры.

Диссертационная работа содержит страниц машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Обоснована целесообразность и эффективность применения функциональных рядов Вольтерра-Пикара для моделирования и идентификации нелинейных цепей.

2. Дано общее доказательство тождественности рядов Вольтер-ра и рядов, полученных с помощью итераций Пикара.

3. Дан способ определения ядер Вольтерра во временной области на основе рядов Вольтерра-Пикара.

4. Разработаны методы построения моделей нелинейных цепей на основе рядов Вольтерра-Пикара - первый - основанный на представлении цепи в виде линейного многополюсника, нагруженного на нелинейные элементы; второй, основанный на сворачивании лестничных схем и третий, основанный на методе узловых напряжений.

5. Обоснована целесообразность применения трех типов моделей - явных, неявных и попуявных. Разработана методика построения полуявных моделей для некоторых классов схем.

6. Дана постановка проблемы разрешимости задачи идентификации нелинейных цепей. Приведены примеры неразрешимых задач.

7. Сформулированы две теоремы об эквивалентных преобразованиях цепей с нелинейными резисторами, являющиеся существенным этапом при идентификации.

8. Разработана методика идентификации нелинейных цепей на основе функциональных рядов Вольтерра-Пикара.

9. Построены модели акустических трактов студийной радиовещательной аппаратуры. Разработаны алгоритмы и программы расчета нелинейных цепей по построенным моделям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александрова М.Г., Белянин А.Н. и др. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ. /Под ред. Л.В .Дани лова и Е.С.Филиппова. - М.: Радио и связь, 1983 , 344 с.

2. Алексеенко А.Г., Зуев Б.И. и др. Макромоделирование аналоговых интегральных микросхем. М.: Радио и связь, 1983, 248 с.

3. Алексеенко А.Г. Основы микросхемотехники. 2 издание. М.: Сов.радио, 1977, 215 с.

4. Анисимов Б.В,, Белов Б.И., Коренков И .П. Машинный расчет элементов ЭВМ. М.: Высшая школа, 1976, 336 с.

5. Арбузников В.А., Будельман. К вопросу о синтезе нелинейных систем. Электронное моделирование, 1982, й 5, с.80-83.

6. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергоиздат, 1982, 392 с.

7. Башарин A.B. Динамика нелинейных электромеханических систем с упругими связями. I.: Учебное пособие ЛЗТЙ, 1983, 81 с.

8. Бедросян, Райе. Свойство выходного сигнала систем, описываемых рядами Вольтерра при подаче на вход гармонических колебаний и гаусова шуна. ТШЭР, 1971, В 12, с.58-82.

9. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств. /Под ред.З.М.Бененсона. М.: Радио и связь, 1981 - 272 с.

10. Бельмас A.C. Вопросы синтеза нелинейных АБС-схем. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. Л.: ЛЗТИ, 1983, 161 с.

11. Богданович Б.М. Основы теории и расчета малосигнальных электронных усилителей с контролируемыми нелинейными искажениями. Минск: Высшая школа, 1974, с.284.

12. Богданович Б.М. Нелинейные искажения в приемно-усилительных устройствах. М.: Связь, 1980, с.279.

13. Боде Г. Теория цепей и проектирование усидителей с обратной связью. М.: Изд.Иностранной литературы, 1948 , 641 с.

14. Бороненко Т.А., Шеслер A.A. Моделирование и идентификация некоторых классов нелинейных цепей. В кн. П Всесоюзная научно-техническая конференция по проблемам нелинейной электротехники. Тезисы доклада. ч.1. - Шацк, 1984, с.191-199.

15. Многомерные системы. /Под ред.Н.И.Боуза. ТИИЭР, 1979, т.65, В 6.

16. Вуссганг Эрман Грейан. Анализ нелинейных систем при воздействии нескольких входных сигналов. ТИИЭР, 1974, т.62, J6 8, с.56-82.

17. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. Пер.с английского /Под ред.А.Ю.Ильинского. М.: Мир, 1964. 165 с.

18. Винер И. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. -М. ИЛ, 1961,159 с.

19. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-ренциадышх уравнений. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. - М.: Наука, 1982, 303 с.

20. Гребенщиков Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 432 с.

21. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979, 303 с.

22. Данилов Л.В. О синтезе нелинейных электронных схем. Электронное моделирование, J6 3, 1981, с.29-31.

23. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными -элементами.- М.: Связь, 1974.

24. Данилов Л.В., Шее л ер A.A. Идентификация нелинейных электрических цепей на основе рядов Вольтерра-Пикара. Докд.на 29 Международном научном коллоквиуме по теоретической электротехнике, Ильменау, ГДР, 1984.

25. Данилов Л.В., Конник С.И., Шеслер A.A. Применение рядов Вольтерра-Пикара для анализа, синтеза и идентификации нелинейных цепей. Электронное моделирование, 1984, J6 4, с.26-32.

26. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектовтМ:1979,240с.

27. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Сов.радио, 1965, с.

28. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: ИЛ, 1974 - 464 с.

29. Егоров Е.А., Зайцев А.Н., Кабанов Д.А. Модели нелинейных радиотехнических цепей на классе подигармонических сигналов.- Метрология, 1982, В 4, с.53-59.

30. Егоров Е.А., Лабутин С.А. Расщепление класса сигналов с помощью линейной задержки. Электронное моделирование, 1984, В 4, C.II3-II6.

31. Егоров Е.А., Лабутин С.А., Ланнэ A.A. Расщепление сигналов с нелинейно входящими параметрами в задачах синтеза нелинейных систем. Теоретическая электротехника, 1982, вып.33, с.79-88.

32. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, ГРМШ, СМБ, 1968.

33. Заде Л, Дезоер И. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.- 704 с.

34. Зевеке Г.В., Ионкин H.A., Нетушид A.B. Основы теории цепей.- М.: Энергия, 1975 750 с.

35. Идентификация магнитных элементов. Автоматика и вычислительная техника. /Под ред.Балащова Е.П. Л.: Энергия, 1980. -124 с.

36. Идентификация и оптимизация нелинейных стахостических систем.- М.: Энергия, 1976, 440 с.

37. Ионкин H.A. и др. Основы инженерной электрофизики. ч.П. Основы анализа и синтеза электронных цепей. М.: Высшая школа, 1972, 634 с.

38. Ильин В.Н. Проблемы макромоделирования. В кн.: Автоматизация проектирования в радиоэлектронике и вычислительной технике.- М.: Знание, 1981, с.23-30.

39. Кабанов Д.А. функциональные устройства с распределенными параметрами. М.: Сов.радио, 1979 - 335 с.

40. Кальман Р., Фа л б П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971 - 400 с.

41. Канторович Л.В. Приближенное решение функциональных уравнений.- УМН, 1956, II вып.6, с.99-116.

42. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959, - 632 с.

43. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез. М.: Связь, 1973 -368 о.

44. Киншт Н.В., Герасимова Г.Н., Кац,М.А. Диагностика электрических цепей. М.: Энергоиздат, 1983, 192 с.

45. Колмогоров А.И., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976, 544 с.

46. Конник С.Й. Моделирование передаточных свойств нелинейных цепей с помощью ряда Вольтерра-Текара. Л.: ДЭТИ, 5 с. (рукопись деп.в Информэлектро, Л 37, ЭТ-Д84).

47. Конник С.Й. Синтез нелинейных корректирующих цепей на основе функциональных рядов Вольтерра-Пикара. Диссерт.на соиск.уче-ной степени к.т.н., Ленинград: Электротехнический ин-т, 1984, 205 с.

48. Красносельский М.А., Вайненко Г.Н. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969 , 495 с.

49. Крылов В.В., Херманис Э.Х. Модели систем обработки сигналов. -Рига: Зинатне, 1981, 212 с.

50. Ку Й.Х., Вольф A.A. Применение функционалов Вольтерра-Винера для анализа нелинейных систем. В кн.: Техническая кбиернети-ка за рубежом. - М.: Машиностроение, 1968, с.145-165.

51. Ланнэ A.A. Синтез нелинейных систем. Электронное моделирование, 1980, J& I, с.60-68.

52. Ланнэ A.A., Даугавет H.A. Построение операторов в задачах оптимального синтеза преобразователей гармонических сигналов. -Электронное моделирование, 1982, № 3, с.25-32.

53. Куликовский Р. Оптимальные и адаптивные процессы в системахавтоматического регулирования. М.: Наука, ГРМП, 1967 , 380 с.

54. Люстерник A.A., .Соболев В.Н. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 425 с.

55. Макаренко Султанов A.C., Иванов М.А. Определение ядер Вольтерра многомерных нелинейных радиоэлектронных цепей с помощью нелинейных входных сигналов". Радиотехника, вып.50, Высшая школа, 1979, с.52-58.

56. Мармарелис П., Мармарелис В. Анализ физиологических систем: Метод белого шума /Пер с англ.Е.А.Умрюхина. М.: Мир, 1981. с.480.

57. Матханов П.Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1976 208 с.

58. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. М.: Высшая школа, 1977 272 с.

59. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М.: Высшая школа, 1981 - 333 с.

60. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1966, 350 с.

61. Никодаенко В.Н., Парасочкин В.А., Самков ЕЛ. Модели интегральной схемы в статическом режиме. Изв.ВУЗов СССР. Сер. радиоэлектроника, 1979, й 6, с.51-54.

62. Осовский Л.М. Теоретические основы моделирования, анализа, идентификации и самонастройки динамических систем в частотной области. Изд.Воронежского университета, 1972, 204 с.

63. Павленко В.Д. Некоторые вопросы исследования динамики нелинейных систем во временной области, на основе интегростепен-ных рядов. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1974 (Препринт, Л 74-6).

64. Парасочкин В.А. Идентификация и синтез нелинейных цепей на основе пространственно-временного управления функциональных генераторов. Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника, 1983, 26, Ш 7, с.43-46.

65. Попков Ю.С. Статические модели нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, » 10, 1967, с.21-25.

66. Портер У. Обзор теории полиномиальных систем. ТИИЭР, 1976, т.64, » X, с.П-43.

67. Пупков К.А., Кападин В.И., Ющенко A.C. функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976, 448 с.

68. Пупков К.А., Шлыкова М.А. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982, 150 с.

69. Сверкунов Ю.Д. К измерению многомерных передаточных функций нелинейных систем. Радиотехника, 1980, т.35, В 2, с.36-39.

70. Сверкунов Ю.Д., Исаев А.Е. Об одном методе идентификации нелинейных инерционных систем. Электронное моделирование. - Киев: 1983, В 5, с.33-37.

71. Сверкунов Ю.Д. Идентификация и контроль качества.нелинейных элементов радиоэлектр.систем. М.: Энергия, 1975 - 97 с.

72. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976, 608 с.

73. Смышдява Л.Г. Преобразование Лапласа функций многих переменных. Л.: Из д. Ленинградского университета, 1981, 143 с.

74. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Мир, 1973, 336 с.

75. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. М.: Мир, 1982, 512 с.

76. Треногин В.Н. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 495 с.

77. Чуа Л.О., Пен-Мен Лин. Машинный анализ электронных схем. Пер. с английского. М.: Энергия, 1980, 640 с.

78. Шакиров М.А. Преобразования и диакоптика электронных цепей.- Л.: Ленинградский университет, 1980, 196 с.

79. Шеслер A.A. Модели нелинейных электронных цепей на классе гармонических сигналов. Рукопись деп.ВИНИТИ.

80. Шетсен М. Моделирование нелинейных систем на основе теории

81. Винера. ТИИЭР, 1981, В 12, с.44-62.

82. Шетсен М. Синтез нелинейных систем в одном специальном случае. Пер .с английского. — Техническая кибернетика за рубежом. /Под ред.В.В.Солодовникова. М.: Машиностроение, 1968,с.216-230.

83. Хлыпадо Е.Н. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах. М.: Энергия, 1973, 450 с.

84. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975 - 683 с.

85. Современные методы идентификации систем. /Под ред.П.Эйкхоффа. (Пер.с английского /Под ред.Я.З.Цыпкина). М.: Мир, 1983. -397 с.

86. Billings S.A. Identification of nonlinear systems a syrvey, Proc.Ittst.Eiec.Eng.^ Vol. 127» part D, no.6, p.272-285 nov.

87. ELllings S.A., Fachouri S.Y. Identification: of factorable Volterra systems.- Proc. IEEE, 1979* 126» Ы 10, p. 10l8-102if.

88. Christensem G.S. On, the convergence of Volterra series.- IEEE Trans on automatic control, 1968» V.13» Ы 6, p. 736-737.

89. Chuia L.O. An. algorithm for the sinusoidal inpyt/stady state response behavior of nonlinear systems ovev aset of friguensiea and amplitudes.- J. Franklini Inst.r 197*ь V.298, p. 101-122f

90. Choa L.O. Devise Modeling via basic nonlinear circuit elements.-IEEE Trans on circuits and systems, 1980, V.CAS-27, A/11»p--101 if—1. ЮН

91. Chua L.O. „ Shilling R.J» Au algorithm for modeling the step.-IEEE Transactions on circuits and systems, Vol CAS-21, // 3*p. ^17-1*23.

92. Chua L.O. Modeling to three terminal devices. A black and box approach.— IEEE Trans, on circuits' and systems, 1972» Vol-CT-19, A/11, p.555-562.

93. Conf. on circuit theory and design, 1978, Vol.II, Guest Lectures, f/ if.-a, p. 65-172.

94. Chua L.O. Uniguenes of a basic nonlinear structure.- IEEE Trans, an circuits and systems, 1983, Vol.CAS-30, A/ 9,, p. 1 M*2-1508.

95. Elmer G.Gilbert. Functional expansions for the respouse of. nonlinear differential systems.— IEEE Trans, of automatic control, Vol.AC-22„// 6, Dec. 1977.

96. Flake R.Hi. Volterra series repsentation of nonlinear systems. Pt.2.- AIEE Trans., 1963, Vol.AI-81, M 6if,, p.330.

97. Frensh A.S., Butz E.G, Measuring the Wieneg Rernels of a nonlinear systems usind the flast fourier transport algorithm.— IEEE J.Contr. Vol.17, no.3* p.529-539* Mar.1973.

98. Harper T.R., Rugh W.J. Structural featureas of factorable Volterra systems.- IEEE Trans.on automatic control, 1976* AC-21, H 6, p»822-832.

99. Ky Y.E.,. Su C.C. Volterra functional analysis of nonlinear timevaring systems.-J.Franklin Inst., 1967, Vol.284, M 6, p.34

100. Ky Y.E. Theory of nonlinear systems.- J.Franklin Inst., 1983,.3l5r V U p.1-26.

101. Ky I.E., Wolf A,A, Volterra-Winier functionals for the analysis of nonlinear systems:.- J.Franklin Inst., 1966, Vol. 281, p.9.

102. Lam K. dm the separablity of maltivariable polynomials.— Proceedings of the IEEE, 1975* Vol.63, M 4, p-718.

103. Leo B.J., Schaefer B.J. Volterra series; and Picard iteration for nonlinear circuits and. systems, Vol,25, y 9»1978,p.789-793.

104. Rise S.O. Volterra systems, with more then one input part -distortion in a freguence converter.- Bell syst. Tehn.J., 1973, Vol.52, /V 8, p. 1255.

105. Sam K., Chanmugam, Lac M. Analysis and synthesis of a class on nonlinear systems.-IEEE Trans on circuits and.systems. Vol.CAS-23*J/1, Jan.;1978.

106. Schetsen M. A theory of nonlinear systems identification.-Inst.J.Contr. Vol.20, no 4, p.577-592, Oct.1974.

107. Schetzen M- Synthesis of a class of nonlinear systems.-Imternat. J.Electronics, 1966, Vol.18,N 5, p.113.

108. Schetzen M. The Volterra and Wiener theories of non linear systems. Few York: Wily, 1980.

109. Shanmugam KJ3., Lam M. Analysis and-synthesis of a class of nonlinear systems.— IEEE Trans.on circuits and systems, 1976, Vol.CAS-23, p.17-25.

110. Simpson R.Y., Power H.M. Correction technigues for the identification of nonlinear systems.- Ueasurcwent and control,1972,,1. Vol.3* tf 8, p.316.

111. Tratt G.W., Christensem G.S.- On the unguermess of the Vol-terra series.- IEEE Trans., VAC-14» ** 6, 1969,p.739-?6o.

112. Vanecek A. A, simple decomposition of a nonlinear Volterrasystems.- Internat, J.Control,» 1972» Vol.1^p.1197. 126. Van Harten J,. The description of nonlinear systems, thesis, E.E.Dept„ Univ.of Technology, Eindhoven, netherlands, 1966.