автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование одномодового поляризующего W-световода

На правах рукописи

КУРБАТОВ Роман Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМОДОВОГО ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО W-СВЕТОВОДА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат Диссертации на соискание учёной степени Кандидата физико-математических наук

Пермь-2004

<15469

На правах рукописи

КУРБАТОВ Роман Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМОДОВОГО ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО W-СВЕТОВОДА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат Диссертации на соискание учёной степени Кандидата физико-математических наук

Пермь-2004

///ж

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Пермского государственного технического университета

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор В. П. Первадчук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Волынцев; доктор физико-математических наук, профессор В. Э. Вильдеман;

Ведущая организация:

Институт Физики Микроструктур РАН, Нижний Новгород

Защита диссертации состоится "16" ноября 2004 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета ДР 212.188.04 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614600, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан " 8 " октября 2004 г.

Учёный секретарь диссерационного совета, доктор технических наук, профессор

А. Н. Аношкин

ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия бурными темпами идут разработки волоконно-оптических датчиков физических величин, таких как датчики угловой скорости вращения объекта (волоконно-оптические гироскопы), датчики температуры, давления. Наряду с этим, такие приборы, как усилители оптических сигналов и квантовые генераторы когерентного излучения (лазеры) также переводят на волоконную элементную базу. Волоконное исполнение основных элементов перечисленных приборов приводит к уменьшению габаритов и стоимости конечных изделий.

Самым распространённым принципом действия волоконных датчиков физических величия является интерферометрический, т. е. основанный на интерференции двух оптических волн. Интерферируют при этом две волны, бегущие по световоду в противоположных направлениях, которые должны иметь одинаковое состояние поляризации. По этой причине поляризатор оптического излучения является неотъемлемым элементом любого такого датчика, а волоконный вариант этого поляризатора легко стыкуется с остальными волоконными компонентами датчика, что резко упрощает технологию изготовления последнего. Кроме того, линейно-поляризованное излучение, зачастую, необходимо и в мощных волоконных лазерах, например при резке металла лазерным пучком.

Создание математической модели волоконного поляризатора необходимо, во-первых, для расчёта его рабочего спектрального диапазона, во-вторых - для обеспечения необходимого коэффициента поляризационной экстинкции и в-третьих - для обеспечения приемлемых потерь излучения с сохраняемым состоянием поляризации.

Цель работы. Целью работы является создание математических моделей и экспериментальное исследование волоконно-оптического поляризатора на основе W-световода PANDA.

Задачи работы.

• создать математические модели распространения фундаментальной моды W-световода в режиме отсечки, описывающие процесс подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации;

- создать математические модели распространения фундаментальной моды W световода в режиме отсутствия отсечки, описывающие механизмы потерь и возможности их подавления для излучения с желательным состоянием поляризации;

- определить параметры профиля показателя преломления W-световода для получения поляризаторов средних (~ 1 м) и малых (~ 50 мм) длин;

- исследовать ограничения поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

- экспериментальная проверка предлагаемых математических моделей.

Методы исследования. Основным методом исследования в данной работе является математическое моделирование. Помимо этого, для проверки достоверности предлагаемых моделей были проведены эксперименты. Распространение излучения в режиме отсечки ведётся в рамках модели супермод W-световода с конечной оболочкой. Математическое моделирование затухания излучения в коротком W-поляризаторе с дополнительным рассеивающим и поглощающим слоем ведётся с точки зрения рассеяния мощности выделенной супермоды в континуум мод излучения, которыми заменяется дискретный набор остальных супермод. Моды излучения специально определяются для случая W-профиля показателя преломления. Под выделенной же супермодой понимается такая, которая возбуждается на входе W-световода гауссовым пучком наиболее эффективно, и которая затухает слабо, так как она достаточно сильно "захватывается" световедущей жилой. Потери основной моды на микроизгибах рассматриваются в рамках модели с безграничной оболочкой, т. е. представлены как взаимодействие фундаментальной моды с континуумом мод излучения. Потери основной моды на стыке

W-световода с обычным двухслойным одномодовым световодом рассматриваются методом нормированного интеграла перекрытия полей их фундаментальных мод. Исследование ограничения на коэффициент поляризационной экстинкции проводится в модели двухслойного световода PANDA с безграничной оболочкой, в рамках которо. вычисляется недиагональная компонента тензора диэлектрической проницаемости, приводящая к искривлению силовых линий каждой из поляризационных мод. Научная новизна работы состоит в следующем:

- в получении аналитических выражений для порогов отсечки фундаментальной и первой высшей мод W-световода для широкого класса W-профилей показателя преломления;

- в применении математической модели супермод изотропных оптических световодов для расчёта поляризующих свойств W-световодов PANDA;

- в создании математической модели короткого поляризатора с дополнительным слоем, рассеивающим и поглощающим оптическое излучение, во внешней оболочке;

- в создании математической модели потерь сохраняемой поляризационной моды W-световода PANDA на микроизгибах;

- в исследованиях фундаментальных пределов поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- созданы математические модели для расчета поведения фундаментальной моды W-световода в режиме отсечки, предложена новая математическая модель, рассматривающая W-световод с дополнительным рассеивающим и поглощающим слоем во внешней оболочке;

- создана модель потерь фундаментальной моды W-световода на микроизгибах его оси;

• разработаны методы расчёта параметров W-поляризаторов PANDA, которые используются в волоконно-оптических гироскопах, а также W-световодов, которые могут использоваться в мощных одномодовых волоконных лазерах для подавления высших мод;

- создан волоконный поляризатор оптического излучения малой длины, а также экспериментально подтверждена возможность применения изотропных математических моделей для теоретического описания анизотропного W-световода PANDA;

Внедрение результатов исследований. Результаты работы внедрены на Пермской научно-производственной приборостроительной компании и использованы при изготовлении опытных партий волоконных поляризаторов ОВ-ПОЗ-1

Достоверность результатов. Результаты математического моделирования W-световодов в рамках предлагаемых моделей подтверждены экспериментально, а также хорошо согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами. На защиту выносятся:

- постановка задачи о создании волоконных поляризаторов оптического излучения.

- математические модели и экспериментальные исследования волоконного световода, поляризующего оптическое излучение, на основе W-световода PANDA с большим линейным двулучепреломлением;

- математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного W-поляризатора PANDA с большим линейным двулучепреломлением, имеющего дополнительный слой во внешней оболочке, рассеивающий и поглощающий излучение;

- математическая модель потерь фундаментальной моды W-световода на микроизгибах его оси, имеющих случайный характер;

- математическая модель фундаментальных ограничений на поляризационные

характеристики поляризующих W-световодов PANDA.

Апробация работы. Основные разделы работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции "Аэрокосмическая техника и высокие технологии-2001" (12-14 апреля, Пермь), на международной конференции (XI Conference on Laser Optics, St. Petersburg, Russia, July, 2003), на научных семинарах кафедры прикладой математики ПГТУ (2004 г.).

Публикации. По материалам выполненных исследований получен один патент, зарегистрирована заявка на патент, и опубликованы 5 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы, содержит 112 страниц без списка литературы и приложения, включая 50 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 103 наименования, из них 10 - на русском языке. В приложении представлена копия акта внедрения результатов, подтверждающих практическую ценность работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении затрагивается круг проблем, касающийся создания линейно поляризованного излучения в интерферометрических датчиках физических величин, а также приводится обзор, возможных способов получения волоконного поляризатора оптического излучения, рассматриваются недостатки и преимущества каждого из них.

Первая глава дает краткое описание общего метода математического моделирования оптических световодов. Вводится скалярное приближение волнового уравнения для слабонаправляющих световодов, которое состоит в том, что излучение в световоде, имеющее два взаимно-ортогональных вектора поляризации приближённо можно описывать раздельно, а также в замене истинных граничных условий для полей приближёнными, требующими непрерывности значений электрического поля и его производной во всём поперечном сечении световода.

Далее проводится рассмотрение W-световода типа PANDA, в котором с помощью круговых нагружающих стержней, расположенных по обе стороны световедущей жилы световода, наводится достаточно высокое линейное двулучепреломление. Последнее возникает вследствие того, что упомянутые стержни легированы окисью бора, из-за чего их коэффициент температурного расширения является большим по сравнению с другими материалами световода. В результате после остывания световода от температуры вытяжки (порядка 2000 °С) во всём его поперечном сечении наводится поле механических напряжений, которое, в свою очередь, благодаря фотоупругому эффекту, трансформируется в поле линейного двулучепреломления, приводящее к зависимости профиля показателя преломления световода от состояния поляризации распространяющегося по нему излучения. Далее приводятся графики расщепления W-профиля показателя преломления для двух взаимно-ортогональных поляризационных мод, происходящее вследствие наводимого в поперечном сечении световода линейного двулучепреломления. Показывается, что в интересных с точки зрения практики случаев двулучепреломление приблизительно однородно в той области, в которой заключена фундаментальная мода (световедущая жила и её окресность), и, в то же время, оно приблизительно равно нулю во внешней кварцевой оболочке, что и приводит к возможности существования поляризующего эффекта. Чем больше поляризационное расщепление W-профиля, тем более широкополосным является поляризатор. Поэтому отдель рассматривается вопрос о геометрических параметрах конструкции PANDA с точки зрения наиболее эффективного наведения двулучепреломления в световоде. При этом выводится простое аналитическое выражение, позволяющее рассчитать оптимальные размеры круговых нагружающих стержней PANDA в зависимости от их расположения в поперечном сечении световода:

где а - угол раскрыва кругового нагружающего стержня при наблюдении из центра световедущей жилы световода,, р - радиус световедущей жилы, Д - кратчайшее расстояние от края нагружающего стержня до границы световедущей жилы с внутренней оболочкой, pd - радиус световода. Данное выражение выведено в предположении, что угол а не слишком отличается от 90°, что имеет место в подавляющем большинстве практически интересных случаев.

Также проведено исследование ограничения на поляризационные характеристики W-поляризатора, которые присущи даже идеальной конструкции PANDA, в которой всегда присутствует недиагональная компонента тензора диэлектрической проницаемости, приводящая к неизбежному искривлению силовых линий поля. Из-за этого излучение, распространяющееся по световоду, принципиально не может быть строго линейно поляризованным.

Рассмотрение искривления силовых линий х-моды, нарушающего её строгую линейную поляризацию, ведётся в рамках модели двухслойного световода PANDA, исходя из уравнения

где Еу - у-компоненга х-моды, Ех - х-компонента х-моды, R = г/р И в - полярные координаты в поперечном сечении световода, Uy - параметр у-моды, fyr) - функция у-профиля показателя преломления, В - двулучепреломление в центре световода, V2 -лапласиан, а параметр йо определяется как

Решение данного уравнения проведено методом разложения в ряд по функциям Лагерра-

где £|{А) И - обычный и обобщённый полиномы Лагерра 1-й степени,

соответственно, a d, — Víi+lX'+í). Далее, координата X соответствует координате R следующим образом

Коэффициенты ¿¡, определяются из решения следующего уравнения

На рис. 1 приведён результат численного расчёта мощности ортогональной компоненты поля для световода PANDA с круговыми стержнями. Световод, имеющий ступенчатый профиль показателя преломления, рассчитан на работу в диапазоне 1,55 мкм.

10Iog(/y/>,)

40

1

Bim-4)

10

Рис. 1. Зависимостьу-компонентых-моды световода PANDA со ступенчатым профилем показателя преломления взависимости от величины двулучепреломления.

Это значение является фундаментальным пределом для коэффициента поляризационной экстинкции W-поляризатора PANDA, так как соответствует идеальному случаю, не имеющему никаких дефектов в конструкции. Кроме того, величина этого ограничения не зависит от длины световода. Поэтому оно будет главным механизмом, ограничивающим коэффициент поляризационной экстинкции коротких поляризаторов. Как показывают расчёты, предельное значение коэффициента поляризационной экстинкции излучения, при использовании оптимального значения угла раскрыва нагружающих стержней, увеличивается, если увеличивать диаметр световода. График на рис. 1 соответствует диаметру световода 125 мкм.

Вторая глава рассматривает теорию отсечки мод НЕц И НЕц в зависимости от формы и параметров W-профиля показателя преломления изотропного W-световода. Здесь под модами НЕц И НЕц понимаются две моды низшего порядка - фундаментальная и ближайшая к ней по значению фазовой скорости. В приближении не слишком узкой внутренней оболочки, и безграничной внешней оболочки, для W-световодов со "ступенчатым" профилем показателя преломления, получены простые аналитические выражения для математических порогов отсечки этих мод:

В последнем выражении Л), И2 И П) - показатели преломления световедущей жилы, внутренней оболочки с пониженным показателем преломления и внешней кварцевой оболочки, соответственно.

Наряду со световодами, имеющими "ступенчатый" профиль показателя преломления, рассматриваются световоды с "градиентной" световедущей жилой. Основное внимание уделяется рассмотрению влияния формы профиля показателя преломления световедущей жилы на пороги отсечки мод НЕц и НЕ^\, ввиду того, что это может оказать влияние на рабочий спектральный диапазон световода. Предполагается, что а) "объёмы" профилей (количество примесей, формирующих профиль показателя преломления световедущей жилы) для "ступенчатого'' и "градиентного" световодов

r¿ »1.311+2.827-Ул + 0.152Л -1.112 • 10_JAJ, » 0.333+1.859>/л + 0.078Л - 5.035 • ИГ* Л2,

где

одинаковы • =N¡¡¡1, б) наряду с объёмами профилей, одинаковы их радиальные

моменты второго порядка - Л^^ = N^,1

Здесь />(/■) - профиль показателя преломления световода в предположении, что внутренняя оболочка имеет бесконечную ширину (приближение двухслойного световода). Рассмотрен случай световедущей жилы со степенным профилем показателя преломления. Показано, что в рассмотренных приближениях форма распределения профиля показателя преломления на пороги отсечки мод влияет достаточно слабо, за исключением случаев сильной градиентности этих профилей показателя преломления (профиль четвёртой степени, параболический, линейный).

Также рассмотрен ^'-световод с конечной внешней оболочкой, граничащей с воздухом. Показано, что, в случае не слишком узких внутренних оболочек (интересных с практической точки зрения, о чем мы упомянем ниже), пороги отсечки мод в таких световодах практически не отличаются от таковых для модели с безграничной оболочкой, несмотря на то, что конфигурация самого поля во внешней оболочке претерпевает существенные изменения.

Третья глава содержит описание метода расчёта затухания фундаментальной моды ^'-световода в режиме отсечки. За основу принята модель световода с конечной внешней оболочкой, окружённой поглощающим полимерным покрытием. Рассматривается модель с покрытием, имеющим более низкий показатель преломления, чем у кварца, из которого выполнена внешняя оболочка.

Расчёт коэффициента затухания фундаментальной моды, распространяющейся в режиме отсечки в световоде с конечной оболочкой, ведётся методом супермод, т. е. собственных мод цельного световода:

Здесь Т - радиус внутренней оболочки,

где Р/ - продольная постоянная распространенияу'-Й супермоды (собственное значение), к - волновое число излучения в вакууме, и - показатели преломления

световедущей жилы, внутренней оболочки с пониженным показателем преломления, внешней кварцевой оболочки и полимерного покрытия, соответственно. На практике поглощающее полимерное покрытие имеет больший показатель преломления (1.54), чем у кварца (1.44-1.46), поэтому решение для поля в области этого покрытия должно быть осциллирующим, а не монотонно затухающим. Однако в этом случае возникают сложности, следующие из того, что покрытие, если его считать однородным, с ростом длины волны излучения периодически превращается то в пластину Л/2, то - в пластину М. Это приводит к тому, что излучение периодически то практически полностью выталкивается из покрытия, то эффективно в него проникает, и в итоге спектральная кривая затухания излучения в режиме отсечки становится практически периодической, чередующей глубокие провалы с почти нулевым затуханием, что резко противоречит эксперименту. (На наш взгляд это связано со случайными неоднородностями показателя

преломления покрытая, флуктуациями его геометрических размеров, в результате чего появляется некая усреднённая картина, приводящая к достаточно резкому росту затухания излучения в режиме отсечки, однако эта модель нами не рассматривалась и является предметом будущих исследований). По этой причине мы выбрали альтернативную модель с безграничным поглощающим покрытием, имеющим пониженный показатель преломления.

Каждая из супермод W-световода возбуждается входным пучком с амплитудой

jjm'rdrjlEfrydr

и имеет коэффициент затухания

где Е(г) - поле входного пучка, - часть мощности _/-Й супермоды, распространяющаяся в области полимерного покрытия, - коэффициент материального поглощения в полимерном покрытии. В результате, мощность излучения на выходе световода вычисляется как

(L - длина световода), откуда и вычисляется искомый коэффициент затухания. На рис. 2 показан типичный пример спектральной кривой затухания излучения за порогом отсечки фундаментальной моды в W-световодс PANDA.

X (мкм)

Рис. 2. Спектральнаязависимость коэффициентазатухания излучения фундаментальноймоды врежиме отсечки.

Данная модель применена для теоретического описания ситуации, при которой такое затухание является наиболее эффективным. Показано, что для этого необходима как можно более узкая внутренняя оболочка, которая не препятствовала бы проникновению излучения во внешнюю оболочку, то есть - взаимодействию с полимерным покрытием.

Далее в этой же главе предложена новая модель короткого отрезка волоконного поляризатора, выполненного на основе отрезка W-световода PANDA с дополнительным слоем во внешней оболочке, рассеивающим излучение. К обоим торцам данного

световода привариваются отрезки одномодовых двухслойных PM-волокон PANDA. Это позволяет поглотить рассеянное дополнительным слоем W-световода излучение с нежелательным состоянием поляризации при длинах волн, превышающих порог отсечки фундаментальной поляризационной моды с этим состоянием поляризации.

Предложеная модель поляризатора с рассеивающим слоем рассматривает два варианта пространственного расположения рассеивающих центров в поперечном сечении слоя: равномерное распределение и абсолютно не коррелирующие между собой положения. Предполагается, что корреляционная функция для продольной плотности центров задаётся в виде дельта-функции Дирака. Далее, рассматривается рассеяние супермоды, которая эффективно возбуждается на входе волокна квазигауссовым пучком (далее мы будем называть её выделенной супермодой), причём, вместо дискретного набора остальных супермод, рассматривается континуум мод излучения. В качестве мод излучения взят следующий набор мод:

где поля (/^(г,^), и относятся, соответственно, к световедущей

жиле, внутренней и внешней оболочкам. Функция У/ - функция Бесселя, К/ и // модифицированные функции Бесселя и Я/ - функция Ганкеля 1-го порядка. Постоянные Вь С/ и О/ определяются из непрерывности полей и их производных во всём сечении световода (приближение слабонаправляющих световодов). Параметры и, ¡Р и 1/г определены следующим образом:

"-Ш1*- ^-¡^Ш-

Введение континуума радиационных мод призвано упростить вычисления, так как в этом случае, при рассмотрении строгой картины с дискретным набором супермод, при каждой длине волны излучения, следует решать характеристическое уравнение для каждой отдельной супермоды, что достаточно сложно.

Коэффициент у затухания мощности выделенной супермоды в рамках принятых моделей распределения рассеивающих центров определяется из выражений

Г 2

и-

]r2drE¡(r)-\E,(Q,rf,

где 6п - эффективная разность показателей преломления отдельного рассеивающего центра, С, - скалярная величина, характеризующая среднюю плотность рассеивающих центров в дополнительном слое, г1 и й ■ внутренний и внешний радиусы дополнительного слоя. Смысл остальных величин пояснён выше. Параметр 12 изменяется в пределах 0 < 0/р < кпу. Таким образом, несмотря на отсутствие прямого материального поглощения в дополнительном слое, выделенная супермода теряет мощность, отдавая её модам излучения. В реальности, вместо мод излучения имеет место дискретный набор

супермод, которые практически не возбуждаются на входе, и которые поглощаются полимерным покрытием последующего одномодового РМ-световода. Именно это позволяет с помощью рассеивающего слоя (а также с помощью полимерного покрытия последующего РМ-световода) получить поляризующий эффект, когда выделенная супермода имеет нежелательное состояние поляризации, а фундаментальная мода с ортогональным состоянием поляризации не находится в режиме отсечки. На рис. 3 изображены графики, иллюстрирующие более простую первую модель равномерного поперечного расположения рассеивающих центров.

Рис. 3. Спектральныезависимости коэффициентазатухания излучения в W-световоде с дополнительным слоем в оболочке. Сплошнаялиния -рассеяние в слое с показателем преломления, равным таковому для кварца, штриховаялиния -рассеяние в слое, показатель преломления которого превышает таковой для кварцана0.0005, пунктир - последний случай плюсматериальноепоглощение в дополнительном слое.

Как покажет экспериментальное исследование короткого W-поляризатора с дополнительным слоем, спектральная кривая затухания фундаментальной моды с у-поляризацией очень хорошо соответствует теоретическим расчётам.

Для создания короткого поляризатора следует выбирать достаточно узкую внутреннюю оболочку: при стандартных значениях MFD она должна быть в 2.4 раза шире световедущей жилы. Меньшие значения ширины внутренней оболочки приведут к большим потерям на стыке W-световода с отрезками двухслойных РМ-волокон.

Далее проводится рассмотрение некоторых механизмов пассивных потерь фундаментальной моды W-световода, распространяющейся до своего порога отсечки. Это необходимо для моделирования поведения проводимой поляризационной моды в W-поляризаторе. Рассматриваются два механизма: потери мощности моды на случайных микроизгибах оси световода, и потери на стыке со стандартным двухслойным световодом. За основу принята модель с безграничной.

Причиной потерь на микроизгибах оси W-световода является взаимодействие фундаментальной моды с континуумом мод излучения, определённым выше. Рассмотрение взаимодействия с данными модами излучения приводит к следующему уравнению для амплитуды фундаментальной моды: ^

где

у=4*У р2 *"|р ¿е |С|(е)|2|^с«{(р-р1(е))-»}

есть коэффициент затухания основной моды, а величина

53 _4*У р2 ^ |С|(0р^ш{(Р-Р!(0)-ц}

является поправкой к её фазовой скорости. Здесь

лг=, с,(0=сч(0=у^Е^-Е^г), Р(0=^4г-(е/р)2.о<е/р<ьз.

Далее, угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю световодов с одинаковыми геометрическими параметрами, одинаковым профилем показателя преломления, но с различными случайными микроизгибами оси (которые, однако, описываются одной и той же пространственной корреляционной функцией), а М(г) -локальный случайный радиус микроизгибов оси световода. На рис. 4 изображена спектральная зависимость коэффициента затухания

а (дБ/м) Р = 2 р=18 <<р* 2 2 i. •

15

Рис. 4. Коэффициентзатухания фундаментальноймодынамикроизгибах. Порог отсечкиэтоймодыравен 1.8мкм.

Исследование коэффициента у/2 приводит к тому, что задолго до порога отсечки фундаментальной моды мы можем получить ев достаточно большие потери (несколько десятков дБ/м!), что сужает спектральное окно однополяризационного режима W-поляризатора..Для снижения этого эффекта внутреннюю оболочку следует выбирать достаточно широкой. Эта тенденция является обратной той, которая была выявлена в главе 2. Поэтому для ширины внутренней оболочки W-поляризатора существует некое оптимальное значение, которого и следует придерживаться при практической реализации этого поляризатора. .Для поляризаторов со стандартным значением MFD внутренняя оболочка должна быть шире световедущей жилы в 2.5-3 раза.

Далее, методом нормированного интеграла перекрытия, были исследованы потери на стыке W-световода со стандартным двухслойным световодом, имеющим точно такие же параметры световедущей жилы. Было показано, что, во избежание роста этих потерь задолго до порога отсечки моды и в этом случае следует выбирать внутреннюю оболочку достаточной ширины.

Четвёртая Глава содержит описание методик практической реализации и экспериментальных исследований W-поляризаторов PANDA. Глава содержит подробное описание технологии получения W-световодов PANDA с большим линейным

X (мкм)

двулучепреломлением. Параметры W-световода, которые измерялись экспериментально, следующие: модовое двулучепреломление, длины волн отсечки поляризационных мод, спектральные зависимости их коэффициентов затухания в режиме отсечки и MFD -эффективный диаметр фундаментальной моды.

Измерение модового двулучепреломления проводилось известным методом биений поляризационных мод в исследуемом световоде, к торцам которого приваривались два поляризатора. Углы между осью пропускания каждого из поляризаторов и главными осями двулучепреломления исследуемого световода равны 45° (рис. 5)

Рис. 5. Схемаэкспериментальнойустановки для измерениялинейного двулучепреломления световодаPANDA.

В спектре выходного излучения при этом наблюдаются чередующиеся махсимумы и минимумы мощности, и по расстоянию между соседними максимумами можно определить искомое двулучепреломление по формуле

В--

где В - само двулучепреломление, Л, и Л^ - длины волн, соответствующие соседним максимумам (или минимумам) в спектре выходного излучения, - длина исследуемого световода.

Длины волн отсечки поляризационных мод измерялись с помощью источника белого света, переключателей поляризации и спектроанализатора (рис. 6).

Рис. б. Схема измерения положения спектрального окна однополяризационного режима поляризующего W-световода.

Переключатели поляризаций - это устройства, которые из неполяризованного излучения позволяют получить два линейных, взаимно-ортогональных состояния поляризации излучения, которые можно вводить в световод как вместе, так и по отдельности. Спектроанализатор отображает на своём экране спектральную мощность излучения, т. е. его интенсивность в зависимости от длины волны излучения. С помощью этой же установки измеряется и спектральная зависимость коэффициента затухания

фундаментальной моды в режиме отсечки. Измерение величины коэффициента поляризационной экстинкции W-световода PANDA производится таким же образом, но вместо источника белого света в качестве излучателя используется широкополосный (до 100 нм) суперлюминесцентный волоконный источник, обладающий достаточно большой мощностью. Последняя необходима для того, чтобы интенсивность подавляемой поляризационной компоненты всё ещё была достаточно заметной для того, чтобы её можно было измерить.

Получено экспериментальное подтверждение теоретической модели для короткого W-поляризатора, имеющего дополнительный поглощающий/рассеивающий слой во внешней оболочке (рис. 7). Кривая для подавляемой поляризационной моды соответствует теоретической кривой на рис. 3, изображённой пунктирной линией (эта кривая соответствует модели рассеивающего и поглощающего слоя). Как нетрудно убедиться, сходство является достаточно хорошим.

Рис. 7. Спектральные характеристики W-поляризатора PANDA длиной 50мм. внешняя оболочка поляризатора окружена волноведущим/поглощающим слоем, который легирован итербием Показатель преломления слоя превышает показатель преломления кварца на величину 5x10a. По горизонтальной оси откладывается длина волны излучения, по вертикальной - интенсивность сигнала.

Измерение эффективного модового диаметра проводилось известным методом углового сканирования поля этой моды в дальней зоне.

Далее, проводится сопоставление экспериментальных данных с теоретическими моделями, разработанными для изотропных световодов. Показано, что эти модели достаточно хорошо описывают случай анизотропного W-световода PANDA, имеющего в поперечном сечении два "провала" в профиле показателя преломления из-за пониженного показателя преломления нагружающих стержней.

Основные результаты работы

1. Получены аналитические выражения для расчета порогов отсечки фундаментальной и первой высшей мод W-световода. Рассмотрено влияние формы распределения профиля показателя преломления световедущей жилы на эти пороги отсечки, а также влияние со стороны границы внешней кварцевой оболочки световода с воздухом.

2. Поставлена и решена задача о расчете параметров профиля показателя преломления W-световода PANDA для эффективного подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации.

3 Поставлена и решена задача о расчёте параметров профиля показателя преломления W-световода PANDA с точки зрения малости потерь излучения с желательным состоянием поляризации Рассмотрены два механизма потерь потери на микроизгибах оси световода и потери на стыке со стандартным двухслойным одномодовым световодом

4 Предложена новая математическая модель W-поляризатора, имеющего дополнительный слой во внешней оболочке, рассеивающий и поглощающий излучение На основе такого световода с дополнительным слоем получен короткий (~ 50 мм) волоконный поляризатор оптического излучения

5 Проанализирован один из основных механизмов, принципиально ограничивающий величину коэффициента поляризационной экстинкции W-поляризаторов PANDA Этот механизм приводит к искривлению силовых линий поля фундаментальной моды с желательным состоянием поляризации, из за чего коэффициент поляризационной экстинкции W-световода PANDA имеет фундаментальный верхний предел

6 Проведено экспериментальное обоснование возможности применения изотропных математических моделей для W-световодов при описания W-световодов PANDA, имеющих ярко выраженный азимутально несимметричный в поперечном сечении профиль показателя преломления

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1 Курбатов А М, Курбатов Р А Одномодовый однополяризационный световод // Патент № 2223522, приоритет 13 07 2001 г, заявка№ 2001119331, положительное решение от 07 10 2003 г

2 Курбатов А М, Курбатов Р А Поляризующий одномодовый световод с малыми изгибными потерями // Заявка № 2003127934, приоритет от 16 09 2003 г

3 Курбатов А М, Курбатов Р А, Первадчук В П Спектральный диапазон работы W-световода с анизотропной сердцевиной в качестве поляризатора оптического излучения // Всероссийская научно-техническая конференция "Аэрокосмическая техника и высокие технологии-2001", 12-14 апреля, Пермь, с 166

4 Андреев А Г, Ермаков В С, Курбатов А М, Курбатов Р А , Первадчук В П Двухжильный одномодовый световод, сохраняющий поляризацию излучения // Всероссийская научно техническая конференция "Аэрокосмическая техника и высокие технологии-2001", 12-14 апреля, Пермь, с 28

5 V Р Gapontsev, A M Kurbatov, R A Kurbatov A broadband single polarization optical waveguide // XI Conference on Laser Optics, St Petersburg, Russia, July, 2003

6AM Курбатов, Р А Курбатов, В П Первадчук Математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного поляризатора оптического излучения // Вестник ПГТУ Математика и прикладная математика, 2004, стр 14-22

7 РА Курбатов Потери фундаментальной моды W-световода на микроизгибах // Вестник ПГТУ Математика и прикладная математика, 2004, стр 23-31

КУРБАТОВ Роман Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМОДОВОГО ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО W-СВЕТОВОДА.

Автореферат

Ответственный за выпуск Р. А. Курбатов

Сдано в печать 14.09.2004 Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1 Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 1291

Ротапринт ПГТУ

ÎÎ889J

f

РНБ Русский фонд

2005-4 15469

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. W-световод PANDA с большим линейным двулучепреломлением

1.1. Общий метод математического моделирования оптических световодов

1.2. Линейное двулучепреломление в волоконных световодах PANDA

1.3. Фундаментальный предел поляризационных свойств световода PANDA

ГЛАВА II. Отсечка фундаментальной моды W-световода

2.1. Фундаментальная мода W-световода со "ступенчатым" профилем показателя преломления

2.2. Влияние формы профиля показателя преломления световедущей жилы на порог отсечки фундаментальной моды

2.3. Влияние конечных размеров W-световода на порог отсечки фундаментальной моды

ГЛАВА Ш. Фундаментальная мода W-световода

3.1. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Модель с безграничной внешней оболочкой

3.2. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Учёт конечных размеров оболочки W-световода. Модель связанных мод

3.3. Фундаментальная мода W-световода в режиме отсечки. Модель супермод

3.4. Моды излучения W-световода

3.5. Общее математическое описание короткого отрезка W-световода с дополнительным слоем во внешней оболочке, рассеивающим излучение

3.6. Модели распределения рассеивающих центров в дополнительном слое

3.7. Распространение фундаментальной моды W-световода в отсутствие отсечки

3.8. Потери основной моды W-световода на микроизгибах

3.9. Потери на стыке W-световода со стандартным одномодовым световодом

ГЛАВА IV. Экспериментальные исследования поляризующих W-световодов

PANDA с высоким двулучепреломлением

1.1. Технология получения световодов PANDA с высоким двулучепреломлением

1.2. Измерение основных параметров световодов PANDA • 89 Заключение 113 Библиографический список 116 Приложение

В последние десятилетия были предприняты большие усилия для создания специального вида одномодовых световодов, которые проводили только одно состояние поляризации фундаментальной моды. Подобного рода световоды крайне необходимы как в когерентных линиях оптической связи [1], так и во всевозможных датчиках физических величин, имеющих интерферометрический принцип действия [2]-[5].

Для получения поляризующего эффекта в волоконных световодах было реализовано множество схем. Одной из них является шлифовка оболочки обычного одномодового световода почти до световедущей жилы, и приведение сошлифованной плоской грани световода в контакт с двулучепреломляющим кристаллом [6]. Другим способом является нанесение на сошлифованную грань световода слоя металла [7].

В 1983 году была предложена математическая модель принципиально однополяризационного световода, имеющего большое двулучепреломление [8]-[10]. Однако такого рода однополяризационные световоды действуют в области очень малых нормализованных частот. Поэтому здесь неизбежны большие потери на микро- и макроизгибах [11]- [13]. В них сообщалось о световодах bow-tie, в которых действительно был обнаружен однополяризационный режим, но на длинах волн излучения,, гораздо меньших предсказанных согласно модели, предложенной в [8]-[10]. Это смещение окна однополяризационного режима было связано с потерями на микроизгибах. В тех же работах [11]-[13] было предложено использовать обычные анизотропные световоды, намотанные в кольца. Механизм, ответственный в данном случае за поляризующий эффект, подробно описан в работе [14]. В работе [15] сообщается ещё об одном способе получения волоконного поляризатора на основе биконической перетяжки световода с высоким двулучепреломлением. Механизм взаимодействия локальных мод перетянутых световодов, на котором основано действие такого поляризатора, подробно описан в работах [16]-[22].

Существует ещё один способ реализации поляризующего волокна, основанный на использовании анизотропного световода с W-профилем показателя преломления [23]-[26]. В данном случае поляризующий эффект существует, даже если этот световод не подвергать изгибу. В работе [23] был получен однополяризационный световод на основе W-световода с эллиптической нагружающей оболочкой. Ширина спектрального окна однополяризационного режима такого световода составила не более 5%. В работе [24] сообщается о коротком (48 мм) отрезке световода, с коэффициентом поляризационной экстинкции 39 дБ в видимом диапазоне излучения. Ширина полосы этого поляризатора составила приблизительно 30 нм (620-650 нм), а вносимые потери - 1 дБ. Этого недостаточно для того, чтобы наладить массовое производство таких поляризаторов. Отметим, что с тех пор других сообщений о коротких, полностью волоконных поляризаторах, насколько мы знаем, не было.

В работе [26], наряду с результатами измерений, была представлена упрощённая математическая модель W-световода с эллиптической нагружающей оболочкой. Данная модель касалась лишь того, чтобы обеспечить отсечку одной из поляризационных мод при конечной длине волны излучения, в отсутствие таковой отсечки у другой поляризационной моды. В то же время не были рассмотрены собственно процессы затухания излучения в режиме отсечки. Далее, было дано лишь качественное объяснение тому факту, что сохраняемая поляризационная мода также начинала испытывать резко растущие с длиной волны потери, похожие на потери в режиме отсечки.

Настоящая работа посвящена математическому моделированию и экспериментальному исследованию поляризующего W-световода PANDA. Оптимальной конструкцией с точки зрения максимального двулучепреломления является конструкция bow-tie [28], однако, во-первых, она превосходит конструкцию PANDA с этой точки зрения совсем ненамного, а во-вторых, она достаточно сложна в изготовлении.

Насколько нам известно, в литературе было лишь одно сообщение о попытке получения поляризующего W-световода PANDA [25]. В данном случае за основу принято волокно с широкой внутренней (60 мкм) и внешней (155 мкм) оболочками, при диаметре световедущей жилы порядка 5 мкм. В боросиликатные нагружающие стержни добавляли германий, в результате чего они имели показатель преломления, равный показателю преломления кварца, из которого состояла внешняя оболочка. Стержни были расположены достаточно близко к световедущей жиле и именно они использовались в качестве внешней оболочки, ' в которую туннелирует излучение, когда оно распространяется в режиме отсечки. В результате был получен поляризующий эффект, однако в очень узкой полосе: потери отсекаемой поляризационной моды с увеличением длины волны излучения нарастали недостаточно резко, а потери проводимой моды достигали ощутимой величины, когда коэффициент экстинкции отсекаемой моды едва достигал 20 дБ. Поэтому использовать такое волокно в качестве широкополосного поляризатора не представляется возможным.

В работе [29] описан широкополосный W-световод PANDA, которому посвящена настоящая диссертация. Относительная ширина полосы этого световода составляет более 10%. Поляризующий эффект обеспечивается тем, что защитно-упрочняющее покрытие, наносимое на световод, поглощает излучение с нежелательным состоянием поляризации, выходящее во внешнюю оболочку в режиме отсечки. В работе [29] также сообщается о коротком (порядка 50 мм) поляризаторе на основе W-световода PANDA, имеющем во внешней оболочке дополнительный рассеивающий и поглощающий слой, благодаря которому излучение, выходящее во внешнюю оболочку в режиме отсечки, эффективно поглощается. Из всех работ, предлагающих вводить эффективное поглощение внутрь световода для получения поляризующего эффекта, нам известна только теоретическая работа [31], в которой автор, на основе стандартного двухслойного световода, предлагает . получить поляризующий световод, используя в качестве области "осаждения" излучения с нежелательным состоянием поляризации нагружающие стержни конструкции PANDA.

В связи с вышеизложенным можно утверждать, что цельной модели волоконного поляризатора оптического излучения на основе анизотропного W-световода не существует. Между тем крайне необходимым является создание математических моделей процессов затухания излучения в W-световоде в режиме отсечки, моделей потерь мощности фундаментальной моды в отсутствие отсечки, а также рассмотреть механизмы, принципиально ограничивающие коэффициент поляризационной экстинкции поляризованного излучения, созданного рассматриваемым W-поляризатором. Необходимость в таких моделях обусловлена тем, что крайне важным является возможность предсказания положения рабочего спектрального диапазона поляризатора, а также возможность подбора параметров профиля показателя преломления световода для его наибольшего затухания подавляемой поляризационной моды при малых потерях сохраняемой.

Задачи, которые ставятся и решаются в настоящей диссертации, следующие:

- Получить простые аналитические зависимости порогов отсечки основной и первой высшей мод W-световода;

- создать математические модели распространения фундаментальной моды W-световода в режиме отсечки, описывающие процесс подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации;

- создать математические модели распространения фундаментальной моды W-световода в режиме отсутствия отсечки, описывающие механизмы потерь и возможности их подавления для излучения с желательным состоянием поляризации;

- определить параметры профиля показателя преломления W-световода для получения поляризаторов средних (~ 1 м) и малых (~ 50 мм) длин;

- исследовать ограничения поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

- экспериментальная проверка предлагаемых математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- в получении простых аналитических выражений для порогов отсечки фундаментальной и первой высшей мод W-световода для широкого класса W-профилей показателя преломления;

- в применении математической модели супермод изотропных оптических световодов для расчёта поляризующих свойств W-световодов PANDA;

- в создании математической модели короткого поляризатора с дополнительным слоем, рассеивающим и поглощающим оптическое излучение, во внешней оболочке;

- в создании математической модели потерь сохраняемой поляризационной моды W-световода PANDA на микроизгибах;

- в исследованиях фундаментальных пределов поляризационных характеристик W-световодов PANDA;

Таким образом, на защиту выносятся:

- постановка задачи о создании волоконных поляризаторов оптического излучения.

- математические модели и экспериментальные исследования волоконного световода, поляризующего оптическое излучение, на основе W-световода PANDA с большим линейным двулучепреломлением;

- математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного W-поляризатора PANDA с большим линейным двулучепреломлением, имеющего дополнительный слой во внешней оболочке, рассеивающий и поглощающий излучение;

- математическая модель потерь фундаментальной моды W-световода на микроизгибах его оси, имеющих случайный характер;

- математическая модель фундаментальных ограничений на поляризационные характеристики поляризующих W-световодов PANDA.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена созданию математических моделей волоконного поляризатора оптического излучения на основе W-световода PANDA с большим линейным двулучепреломлением. Данная работа также включает в себя экспериментальную проверку предложенных математических моделей. Основные результаты работы следующие:

1. Получено простое явное выражение для оптимального размера нагружающих -боросиликатных стержней в световоде PANDA с точки зрения максимальной величины наводимого ими двулучепреломления. Проведено математическое моделирование фундаментального механизма, принципиально ограничивающего коэффициент поляризационной экстинкции излучения в световоде PANDA — механизма искривления силовых линий электрического поля сохраняемой поляризационной моды, имеющего места из-за наличия недиагональной компоненты тензора диэлектрической проницаемости в конструкции PANDA. Данный механизм является главным ограничителем в случае короткого поляризатора. Он имеет место даже в световодах PANDA, обладающих идеальными свойствами - зеркальной симметрией расположения стержней относительно световедущей жилы при их одинаковых размерах. Установлено, что коэффициент поляризационной экстинкции ограничен на уровне от 40 до 60 дБ при изменении величины двулучепреломления от 110~* до 10-Ю"4.

2. Получены простые аналитические соотношения для порогов отсечки основной и первой высшей мод W-световода. Исследована зависимость этих величин для основной моды от формы профиля показателя преломления световедущей жилы. Показано, что в случае градиентных профилей, если эта градиентность не слишком сильна, порог отсечки можно вычислять, пользуясь известной теорией эквивалентных ступенчатых световодов, для которых получены простые аналитические выражения. Также рассматривается модель W-световода с конечной оболочкой, вычисляется порог отсечки основной моды в этой модели. При этом показано, что в практически интересных случаях граница внешней оболочки с воздухом практически никак не влияет на порог отсечки основной моды W-световода.

3. Рассмотрены процессы распространения фундаментальной моды W-световода вдоль его оси. Для моделирования распространения излучения в режиме отсечки применяется модель супермод - мод цельного W-световода с конечной внешней оболочкой, возбуждаемых входным квази-гауссовым пучком. Эта модель применяется для расчёта параметров световода, необходимых для обеспечения наиболее эффективного подавления излучения с нежелательным состоянием поляризации в W-световоде PANDA. Показано, что для этого следует выбрать внутреннюю оболочку W-световода достаточно узкой.

4. Введено определение континуума мод излучения W-световода с безграничной оболочкой, являющихся суперпозицией мод свободного пространства и полей рассеяния, описывающих искажения этих мод изменениями показателя преломления в световедущей жиле и внутренней оболочке на фоне показателя преломления кварца, к которому приравнивается показатель преломления упомянутого свободного пространства.

5. Предложен новый W-поляризатор малой длины, имеющий дополнительный слой во внешней оболочке, поглощающий и рассеивающий излучение, а также предложена новая математическая модель этого поляризатора. При этом та супермода, которая наиболее эффективно возбуждается входным пучком ("выделенная" супермода) рассматривается в модели световода с конечной оболочкой, а дискретный набор остальных супермод заменяется континуумом мод излучения, введённых выше, и с которыми "выделенная" супермода взаимодействует на рассеивающих центрах дополнительного слоя.

6. Рассмотрены основные механизмы потерь фундаментальной моды W-световода в режиме отсутствия отсечки: потери на микроизгибах оси световода и потери на стыке со стандартным двухслойным одномодовым световодом. В этом случае рассматривается световод с безграничной внешней оболочкой, а потери основной моды на микроизгибах обусловлены взаимодействием с континуумом мод излучения, вводимых выше. Потери на стыке с двухслойным световодом рассчитываются методом нормированного интеграла перекрытия полей фундаментальных мод стыкуемых световодов.

7. Четвёртая глава, содержащая описание технологии изготовления световодов PANDA и описание методик исследования W-поляризаторов, показывает адекватность применения развиваемых в первых трёх главах изотропных математических моделей к случаю W-световода PANDA с азимутальной асимметрией в профиле показателя преломления, вносимой боросиликатными нагружающими стержнями, имеющими пониженный показатель преломления.

Предлагаемые изотропные модели достаточно хорошо согласуются с экспериментом, а также позволяют осуществлять подбор параметров W-поляризатора, обеспечивающих его наиболее эффективное действие. Однако актуальным и открытым остаётся вопрос о том, как на характеристиках этого поляризатора сказывается тот факт, что боросиликатные стержни, имеющие пониженный показатель преломления, лишают профиль показателя преломления всего световода азимутальной симметрии. Далее, на практике показатель преломления защитно-упрочняющего покрытия превышает таковой для кварца, поэтому открытым остаётся и вопрос о создании математической модели для этого случая. Ещё одной существенной проблемой является математическое моделирование потерь в W-поляризаторе на его изгибах, т. е. когда он намотан в кольца определённого диаметра. Все эти вопросы являются предметом для исследований в ближайшем будущем и являются логическим продолжением настоящей работы.

1. Y. Yamamoto, and Т. Kimura, "Coherent Optical Fiber Transmission Systems", IEEE J. Quant. Electron., vol. QE-17, № 6, pp. 919-934,1981.

2. R. Ulrich, "Fiber-optic rotation sensing with low drift", Opt. Lett., vol. 5, № 5, pp. 173-175, 1980.

3. E. C. Kintner, "Polarization control in optical-fiber gyroscopes", Opt. Lett., vol. 6, № 3, pp. 154-156,1981.

4. W. K. Bums, R. P. Moeller, C. A. Villaruel, and M. Abebe, "Fiber-optic gyroscope with polarization-holding fiber", Opt. Lett., vol. 8, № 10, pp. 540-542,1983.

5. I. P. Kaminow, "Polarization in Optical Fibers", IEEE Journal of Quant. EL, vol. QE-17, № l,pp. 15-22, 1981.

6. R. A. Bergh, H. C. Lefevre, and H. J. Shaw, "Single-mode fiber-optic polarizer". Opt. Lett., Nov. № 11, pp. 479-481, 1980.

7. T. Hosaka, K. Okamoto and J. Noda, "Single-Mode Fiber-Type Polarizer". IEEE Quantum Electron. QE-18, pp. 1569-1572,1982.

8. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "New single-mode, single-polarisation optical fibre", El. Lett., 19, pp. 185-186, 1983.

9. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "Single-mode, single-polarization fibers made of birefringent material", J. Opt Soc Am., vol. 73, № 9, pp. 1165-1174, 1983.

10. A. W. Snyder, and F. Ruhl, "Utrahigh Birefringent Optical Fibers", IEEE J. Quant. Electron., vol. QE-20, № 1, pp. 80-85, 1984.

11. M. P. Vamham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Single-Polarization Operation of Highly Birefringent Bow-Tie Optical Fibers" El. Lett. 19, pp. 246-247, 1983.

12. M. P. Vamham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Bend Behaviour of Polarising Optical Fibers" El. Lett. 19, pp. 679-680,1983.

13. M. P. Varnham, D. N. Payne, R. D. Birch and E. J. Tarbox, "Coiled-birefringent-fiber polarizers" Opt. Lett., Vol. 9, № 7, pp. 306-308,1984.

14. K. Okamoto, "Single-polarization operation in highly birefringent optical fibers" Applied Optics, vol. 23, № 15, pp. 2638-2641, 1984.

15. F. De Fornel., M. P. Vamham, D. N. Payne, "Finite cladding effects in highly birefringent fibre taper-polarisers", El. Lett., vol. 20, № 10, pp. 398-399,1984.

16. A. W. Snyder, "Coupling of modes on a tapered dielectric cylinder", IEEE Trans., MTT-18, pp. 383-392,1970.

17. A. W. Snyder, "Coupled-mode theory for optical fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 62, pp. 1267-1277,1972.

18. W. J. Stewart, and J. D. Love, "Design limitation on tapers and couplers in single mode fibers", PROC. of Int. Conf. on Int. Opt. And Opt Comm., Venetia, Oct., pp. 559-562, 1985.

19. J. D. Love, and W. M. Henry, "Quantifying loss minimisation in single-mode fibre tapers", El. Lett., vol. 22, № 17, pp. 912-914,1986.

20. R. J. Black, J. Bures, J. Lapierre, "Finite-cladding fibres: HE и and local-normal-mode coupling evolution", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 330-336, 1991.

21. J. D. Love, W. M. Henry, W. J. Stewart, R. J. Black, S. Lacroix, F. Gonthier, 'Tapered single-mode fibres and devices. Part 1: Adiabaticity criteria", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 343-354, 1991.

22. R. J. Black, S. Lacroix, F. Gonthier, J. D. Love, 'Tapered single-mode fibres and devices. Part 2: Experimental and theoretical quantification", IEE PROCEEDINGS-J, Vol. 138, № 5, pp. 355-364,1991.

23. J. R. Simpson, R. H. Stolen, F. M. Sears, W. Pleibel and J. B. Mac-Chesney, "A Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-1, pp. 370-373, 1983.

24. R H. Stolen, W. Pleibel, J. R. Simpson, W. A. Reed, and G. Mitchell. "Short W-tunneling fibre polarizers" El. Lett. Vol. 24, pp. 524-525,1988.

25. K. Tajima, M. Ohashi, and Y. Sasaki, "A New Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-7,pp. 1499-1502,1989.

26. M. J. Messerly, J. R. Onstott, and R. C. Mikkelson. "A Broad-Band Single-Polarization Optical Fiber". J. Lightwave Technol. LT-9, pp. 817-820,1991.

27. A. M. Курбатов. "Одномодовый однополяризационный световод для поляризационного модового фильтра" Патент РФ № 2040493, заявка № 4529325 от 9.04.1990.

28. М. P. Varnham, D. N. Payne, A. J. Barlow and R. D. Birch, "Analytic Solution for the Birefringence Produced by Thermal Stress in Polarization-Maintaining Optical Fibers" Journal of Lightwave Technol., vol. LT-1, № 2, pp. 332-339, 1983.

29. A. M. Курбатов, P. А. Курбатов. "Одномодовый однополяризационный световод", Патент РФ № 2223522, заявка № 2001119331, положительное решение от 7.10.03.

30. А. М. Курбатов, "Способ получения одномодового волоконного световода", Патент № 2043313, Заявка № 3151759 от 25.07.1986.

31. Kin Seng Chiang, "Stress-Induced Birefringence Fibers Designed for Single-Polarization Single-Mode Operation", Journal of Lightwave Technol., vol. 7, № 2, pp. 436-441,1989.

32. A. W. Snyder and F. Ruhl, "Single-mode, single-polarization fibers made of birefringent material", J. Opt. Soc. Am., vol. 73, № 9, pp. 1165-1174, 1983.

33. A. W. Snyder, J. D. Love, and R. A. Sammut, "Green's-function methods for perturbed optical fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 72, № 9, pp.1131-1135, 1982.

34. R. A. Sammut, C. D. Hussey, J. D. Love and A. W. Snyder, "Modal Analysis of polarization effects in weakly-guiding fibres", IEE PROC., Vol. 128, Pt. H, № 4, pp. 173-187, 1981.

35. F. F. Ruhl and A. W. Snyder, "Anisotropic Fibers Studied by the Green's Function Method", J. Lightwave Technol. LT-2, № 3, pp. 284-291, 1984.

36. C. Vassallo, "A direct analysis of the dispersion equation in birefringent optical fibres", Opt. Quant. El., 16, pp. 427-433,1984.

37. J. D. Love, C. D. Hussey, A. W. Snyder and R. A. Sammut, "Polarization corrections to mode propagation on weakly guiding fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 72, № 12, pp. 1583-1591,1982.

38. K. Takada, K. Okamoto, and J. Noda, "Polarization mode coupling with a broadband source in birefringent polarization-maintaining fibers", J. Opt. Soc. Am., vol. 2, № 5, pp. 753-758,1985.

39. D. Marcuse, "Coupled-mode theory for anisotropic optical waveguides", Bell. Syst. Techn. J, vol. 54, pp. 985-995, 1975.

40. S. C. Rashleigh, "Origins and Control of Polarization Effects in Single-Mode Fibers", J. Lightwave Technol., vol. LT-1, № 2, 1983.41Л. P. Kaminow and V. Ramaswamy, "Single-polarization optical fibres: Slab model", Appl. Phys. Lett., pp. 268-270,1979.

41. P. L. Chu and R. A. Sammut "Analytical Method for Calculation of Stresses and Material Birefringence in Polarization-Maintaining Optical Fiber" J. Lightwave Technol. LT-2, pp. 650-662,1984.

42. Kun-Hsieh Tsai, Kyung-Suk Kim, and T. F. Morse, "General Solutions for Stress-Induced Polarization in Optical Fibers", J. Lightwave Technol. LT-9, pp. 7-17,1991.

43. K. Okamoto, M. P. Varnham, and D. N. Payne, "Polarization-Maintaining Optical Fibers with Low Dispersion over a Wide Spectral Range", Appl. Opt., 22, p. 2370, 1983.

44. К- Okamoto, Т. Hosaka, and Т. Edahiro, "Stress Analysis of Optical Fibers by a

45. Finite Element Method", IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-17, № 10, pp. 2123" 2129,1981.

46. M. P. Varnham, D. N. Payne, J. D. Love, "Fundamental limits to the transmission of linearly polarized light by birefiingent optical fibers", El. Lett., vol. 20, pp. 55-56, 1984.

47. C. Vassallo, "Increase of the Minor Field Component in Stress-Induced Birefringent . Fibers, due to Nonuniformity of Stress", J. Lightwave Technol., LT-5, № 1, pp. 2428, 1987.

48. J. P. Meunier, J. Pigeon, and J. N. Massot, "A general approach to-the numerical determination of modal propagation constants and field distributions of optical fibers", Opt. Quant. Electron., vol. 13, pp. 71-83, 1981.

49. O. Georg, "Use of the orthogonal system of Laguerre-Gaussian functions in the theory of circularly symmetric optical waveguides", Appl. Opt., vol. 21, pp. 141-146, 1982.

50. S. Kawakami and S. Nishida, "Characteristics of a Doubly Clad Optical Fiber with a Low-Index Inner Cladding" IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-10, № 12, pp. 879887, 1974.

51. M. Monerie, "Propagation in Doubly Clad Single-Mode Fibers", IEEE Journal of Quant. El., vol. QE-18, № 4, pp. 535-542, 1974.

52. H. D. Rudolph and E. G. Neumann, "Approximations for the eigenvalues of the fundamental mode of a step index glass fiber waveguide", Nachrihctentech. Z., 29, pp. 328-329, 1976.

53. M. Monerie, "Fundamental-mode cutoff in depressed inner cladding fibres", El. Lett., vol. 18, № 5, pp. 642-644,1982.

54. A. W. Snyder and R. A. Sammut, "Fundamental (HEU) modes of graded optical fibers" J. Opt. Soc. A., vol. 69, № 12, pp.1663-1671, 1979.

55. P. L. Francois, M. J. Adams, R. J. Mansfield, R. D. Birch, E. J. Tarbox, "Equivalent step-index profile for graded W-fibres: application to TEm mode cutoff', Opt. And Quant. Electr. 14, pp. 483-499,1982.

56. С. D. Hussey and С. Pask, "Characterization and design of single-mode optical fibres", Opt. And Quant. Electr. 14, pp. 347-358, 1982.

57. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь, Гл. 14, 1987.

58. J. D. Love and С. D. Hussey, "Variational approximations for modes of weakly guiding fibers", Opt. Quant. EL, 16,1984.

59. A. Sharma, S. I. Hosain and A. K. Ghatak, "The fundamental mode of graded-index fibres: simple and accurate variational methods", Opt. Quant. El., 14, pp. 7-15, 1982.

60. P. K. Mishra, S. I. Hosain, I. G. Goyal and A. Sharma, "Scalar variational analysis of single mode, graded core, W-type fibres", Opt. Quant. El., 16, pp. 287-296,1984.

61. Mu-Shiang Wu, Mei-Hua Lee, and Woo-Hu Tsai, "Variational Analysis of Single-Mode Graded-Core W-Fibers", Journal of Lightwave Technology, vol. 14, № 1, 1996.

62. R. A. Sammut, A. K. Ghatak, "Perturbation theory of optical fibres with power-law core profile", Opt. Quant. El., 10, pp. 475-482,1978.

63. K. Okamoto and T. Okoshi, "Vectorial wave analysis of inhomogeneous optical fibers using finite element method", IEEE Trans. Microwave Theory Tech. MTT-26, №2, pp. 109-114,1978.

64. T. Tanaka and Y. Suematsu, "An exact analysis of cylindrical fiber with index distribution by matrix method and it's application to focusing fiber", Trans. Inst. Electronics Comm Eng. Jpn., Sect. E E59, № 11, pp. 1-8,1976.

65. W. A. Gambling, H. Matsumura, "Propagation in radially-inhomogeneous single-mode fibre", Opt. Quant. El., 10, pp. 31-40,1978.

66. A. Safaai-Jazi, and G. L. Yip, "Cutoff conditions in three layer cylindrical dielectric waveguides", IEEE Trans., MTT-26, pp. 898-903, 1978.

67. R. J. Black, and R. Bourbonnais, "Core-mode cutoff for finite-cladding lightguides", IEE PROCEEDINGS, Vol. 133, Pt. J, № 6, pp. 377-384,1986.

68. S. Kawakami and S. Nishida, "Perturbation theory of a doubly-clad optical fibre with low inner index cladding", IEEE J. Quant Electron, QE-11, pp. 130-138,1974.

69. L. G. Cohen, D. Marcuse and W. L. Mammel, "Radiating Leaky-Mode Losses in Single-Mode Lightguides with Depressed-Index Claddings", IEEE J. Quant. Electron, QE-18, pp. 1467-1472,1982.

70. P. Sansonetti, F. Alard, C. Vassallo, R. Kammere, P. L. Francois, M. Monerie, "Evidence of fundamental mode cutoff in depressed inner cladding single-mode fibres", El. Lett., Vol. 18, № 23 pp. 989-990,1982.

71. P. L. Francois and C. Vassallo, "Finite cladding effects in W fibers: a new interpretation of leaky modes", Appl. Opt., Vol. 22, № 19, pp. 3109-3120, 1983.

72. A. Tomita and D. Marcuse, "Mode Coupling Loss in Single-Mode Fibers with Depressed Inner Cladding", Journal of Lightwave Technology, vol. 1, № 3, pp. 449452, 1983.

73. W. M. Henry, J. D. Love and G. D. Peng, "Anomalous loss in depressed-cladding and W-fibres", Opt. Quant. El., 25, pp. 409-416,1993.

74. J. A. Besley and J. D. Love, "Supermode analysis of fibre transmission", EEE Proc.-Optoelectron., Vol. 144, № 6, pp. 411-419,1997.

75. A. W. Snyder, "Continuous modes of a circular dielectric rod'V IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT-19, pp. 720-727,1971.

76. A. W. Snyder, and R. A. Sammut, "Radiation modes of optical waveguides", El. Lett., v. 15, pp. 4-5,1979.

77. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь. Гл. 25,1987.

78. R. A. Sammut, "Orthogonality and normalization of radiation modes in dielectric waveguides", Journal of Optical Society of America, v. 72, pp. 1335-1337, 1982.

79. W. A. Gambling, H. Matsumura, С. M. Ragdale, "Curvature and Microbending losses in single-mode optical fibres", Opt. Quant. El., 11, pp. 43-59,1979.

80. А. Снайдер, Дж. Лав, "Теория оптических волноводов", Москва, Радио и связь, Гл. 33, 1987.

81. К. Petermann, "Microbending loss in monomode fibers", El. Lett., vol. 12, pp. 107108,1976.

82. В. M. Файн, Я. И. Ханин, "Квантовая радиофизика", Москва, Сов. Радио, гл. П-VIII, 1965.

83. М. Лэкс, "Флуктуации и когерентные явления", М.: Мир, 1974.

84. Л. Мандель, Э. Вольф, "Оптическая когерентность и квантовая оптика", Москва, Физматлит, Гл. 17,2000.

85. М. О. Скалли-, М. С. Зубайри, "Квантовая оптика", Москва. Физматлит, 2003.

86. Р. А. Курбатов, "Потери фундаментальной моды W-световода на микроизгибах", Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, 2004, стр. 14-22.

87. R. Olshansky, "Mode coupling effect in graded-index optical fibers", Appl. Opt., vol. 935-937, 1975.

88. К. Petermann, "Fundamental mode microbending loss in graded-index and W fibres", Opt. Quant. El., 9, pp. 167-175, 1977.

89. D. Marcuse, "Loss analysis of single-mode fiber splices", Bell. Syst. Tech. J., vol. 56, pp. 703-718,1977.

90. D. Marcuse, "Gaussian approximation of the fundamental modes of graded index fibers", J. Opt Soc. Am., Vol. 68, № 1, pp. 103-109,1978.

91. M. Artiglia, G. Coppa, P. Di Vita, M. Potenza, and A. Sharma, "Mode Field Diameter Measurements in Single-Mode Optical Fibers", Journal of Lightwave Technol., vol. 7, №8, pp. 1139-1152, 1989.

92. K. Petermann, "Constraints for fundamental-mode spot size for broad-band dispersion-compensated single-mode fibres", El. Lett., vol. 19, pp. 712-714,1983.

93. M. G. Blankenship, D. B. Keck, "Method of fabricating a polarization retaining single-mode optical waveguide", U. S. Patent № 4,395,270, July 26, 1983.

94. R. D. Birch, D. N. Payne, M. P. Varnham, "Fabrication of polarization-maintaining fibres using gas-phase etching", El. Lett., vol. 18, № 24, pp. 1036-1038, 1982.

95. T. Hosaka, K. Okamoto, T. Miya, Y. Sasaki, and T. Edahiro, "Low-loss single-polarization fibers with asymmetrical strain birefringence", El. Lett., vol. 17, № 15, pp. 530-531, 1981.

96. T. Katsuyama, H. Matsumura, T. Suganuma, "Low-loss single-polarisation fibres", El. Lett., vol. 17, № 13, pp. 473-474 1981.

97. Y. Sasaki, "Long-Length Low-Loss Polarization-Maintaining Fibers", J. Lightwave Technol., LT-5, № 9, pp. 1139-1146,1987.

98. J. Noda, K. Okamoto, and Y. Sasaki, "Polarization-Maintaining Fibers and Their Applications", J. Lightwave Technol., LT-4, № 8, pp. 1071-1089,1986.

99. A. M. Курбатов, P. А. Курбатов, В. П. Первадчук. "Математическая модель и экспериментальные исследования короткого волоконного поляризатора оптического излучения", Вестник ill "1'У. Математика и прикладная математика, 2004, стр. 14-22.

100. W. Freude and A. Sharma, "Refractive-index profile and modal dispersion prediction for a single-mode optical waveguide from its far-radiation pattern", J. Lightwave Technol., v. LT-3, № 3, pp. 628-634,1985.

101. K. Hotate and T. Okoshi, "Measurement of refractive-index profile and transmission characteristics of a single-mode optical fiber from its exit-radiation pattern", Appl. Opt., v. 18, № 19, pp. 3265-3271,1979.