автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и программное обеспечение для решения контактных задач

На правах рукописи

Фан Ван Туан

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О

Иркутск-2012

005042387

Диссертация выполнена на кафедре «Информатики и кибернетики» ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Репецкий Олег Владимирович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информатики и кибернетики ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права»

Блудов Василий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права»

Рыжиков Игорь Николаевич, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет».

ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет им. Академика М.Ф. Решетнева»

Защита состоится «22» мая 2012 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.070.07 при Байкальском государственном университете экономики и права по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Карла. Маркса, д. 24, корп. 9, зал заседаний ученого совета БГУЭП.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права» по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, БГУЭП, корпус 2, аудитория 101.

Объявление о защите и автореферат размещены на сайте ВАК Минобрнауки РФ (www.vak.ed.gov) «20» апреля 2012 г. и на официальном сайте Байкальского государственного университета экономики и права (www.isea.ru) «20» апреля 2012 г.

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, БГУЭП, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.070.07.

Автореферат разослан «20» апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент СРЛ*^/ Т.И.Ведерникова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Известно, что проблема математического моделирования контактного взаимодействия принадлежит к числу актуальных областей современного машиностроения. Построение аналитического решения для контактных задач (КТЗ) сопрягается с серьезными математическими трудностями. Аналитически были решены лишь отдельные частные задачи контакта тел правильной геометрической формы друг с другом или полупространством, причем такие задачи часто основываются на серьезных допущениях. В последние годы метод конечных элементов (МКЭ) использовался как эффективный метод при исследовании контактных задач. Преимущество МКЭ в сравнении с другими методами заключается в том, что он позволяет решить КТЗ по обобщенным подходам и может быть применён для многих других видов контактных задач. Важной проблемой при применении МКЭ для решения КТЗ являются большие вычислительные затраты. Однако каждая конкретная контактная задача имеет свои характерные особенности. Если умело использовать это при решении КТЗ, то получим точное решение задачи и уменьшим вычислительные затраты.

В машиностроении существует особый класс контакта тел: скользящий контакт с сухим трением, или колебания механических систем с фрикционными демпферами. Типовым примером этого класса является контакт между полками и фрикционными демпферами (ФД) лопаток газотурбинных двигателей (ГТД). ФД устанавливаются на лопатку, чтобы уйти от опасных вибраций, которые смогут привести к резонансным явлениям и разрушению ГТД. При исследовании колебаний лопаток с ФД требуется решить КТЗ, для которой необходим особый подход, позволяющий существенно уменьшить затраты времени.

Таким образом, исследование и развитие методики решения статических и динамических КТЗ на основе МКЭ, а также разработка математических алгоритмов, численных методов и программ расчета, которые позволяют точнее решить КТЗ с одновременным уменьшением временных затрат, являются актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы является численное исследование и развитие методик решения контактных задач на основе МКЭ; разработка эффективных алгоритмов, численных методов и программ расчета для решения контактных задач при существенном уменьшении вычислительных затрат; решение практических контактных задач, например, статической и динамической контактной задачи механических систем с фрикционными демпферами.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) исследование природы контакта с сухим трением между механическими деталями. Обоснование выбора численных методов решения контактных задач;

2) анализ основ теории метода конечных элементов, построение моделей конечных элементов для разных конструкций;

3) разработка методики на основе МКЭ для решения статических контактных задач с разными постановками задачи: линейным, физически нелинейным, геометрически нелинейным, конструктивно нелинейным;

4) разработка методики для определения колебаний механических систем с фрикционными демпферами при учете контактного взаимодействия, например лопаток газотурбинных двигателей, с одновременным уменьшением вычислительных затрат;

5) развитие эффективных численных методов, алгоритмов и их реализация в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента статических

контактных задач и колебаний механических систем с фрикционными демпферами на стадии проектирования.

Методы исследования. Для решения рассматриваемых задач применен МКЭ. В диссертационной работе также использованы теория механики деформируемого твердого тела, теория колебаний, теория трения и контакта и др. Применен набор математического аппарата теории матриц, решения алгебраической системы уравнений, численного интегрирования.

При построении контактных конечных элементов использовано понятие третьего тела со своими особенными характеристиками. При решении статических контактных задач (СКТЗ) применены методы: дополнительных нагрузок, переменной жесткости, начальных напряжений, начальных деформаций и метод Ньютона - Рафсона.

Динамические характеристики механических систем с ФД смоделированы с использованием стандартного фрикционного демпферного элемента (ФДЭ). Применены два метода решения нелинейных дифференциальных уравнений, изображающих колебания систем с ФД: метод прямого численного интегрирования - Ньюмарка (ПЧИ-Ньюмарк) и метод гармонического баланса во временной области (ГБВО).

Для проведения численного эксперимента разработан комплекс программ РОАБТи, созданный на алгоритмическом языке МАТЬАВ.

Достоверность результатов. Достоверность полученных численных результатов подтверждена сравнением с данными других авторов, с результатами аналитических решений и экспериментальных исследований.

Научная новизна заключается в следующем:

1) развита и реализована в виде комплекса проблемно-ориентированных программ эффективная уточненная методика решения статических контактных задач на основе метода конечных элементов в разных постановках: линейная, физически нелинейная, геометрически нелинейная, конструктивно нелинейная задачи;

2) модифицирован численный метод, реализованный в виде комплекса программ для решения системы динамических уравнений механических систем с фрикционными демпферами,- метод гармонического баланса во временной области, апробированный на примере колебаний лопаток газотурбинных двигателей;

3) выполнены расчеты статических и динамических контактных задач для реальных систем. Предложена схема проектирования фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей с учетом решения контактных задач. Сформулированы рекомендации для проектирования фланцевых соединений нефтяных электропогружных насосов и фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей.

Практическая значимость диссертации заключается в разработке и реализации в виде комплекса программ численных методик для решения статических контактных задач механических конструкций и определения колебаний механических систем с фрикционными демпферами. Методы, методики и реализующие их алгоритмы и программы, представленные в диссертации, могут использоваться при проектировании механических конструкций с контактным взаимодействием. Результаты, полученные в работе, использовались при выполнении НИР в Иркутском научно-исследовательском и конструкторском институте химического и нефтяного машиностроения ОАО «Иркутск НИИ ХимМаш», г. Иркутск.

Апробация работы. Диссертация прошла апробацию на конференциях и семинарах кафедры «Мехатроника» Иркутского государственного технического университета, кафедры «Информатика и кибернетика» Байкальского государственного уни-

верситета экономики и права, на конференции «Иркутского филиала Московского государственного технического университета гражданской авиации».

Сведения о публикациях. По теме диссертации опубликованы 11 научных работ, из них 7 статьей в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 176 наименований. Общий объем диссертации составляет 181 страница, включая 95 рисунков и 12 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определены объект и предмет исследования, формулируются цель работы, задачи и методы их решения, приводится научная новизна работы и излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе представлен обзор контакта между телами, сил сухого трения и методов решения контактных задач в машиностроении.

Фрикционный контакт представляет некое физическое тело, имеющее малую толщину, наделенное особыми свойствами. В отличие от двух исходных тел, его образовавших, будем называть фрикционный контакт третьим телом. Особенностью этого третьего тела является то, что при скольжении непрерывно происходит разрушение и формирование элементов, его образующих. Сила, затрачиваемая на разрушение при скольжении, равна силе трения. Ее отношение к нормальной нагрузке называется коэффициентом трения скольжения. Существует влияние температуры, контактного давления и относительной скорости скольжения на коэффициент трения.

Характерной особенностью КТЗ является то, что в математическом плане они в основном являются задачами со смешанными граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным уравнениям, требующим развития специфических методов решения. Для решения этой задачи можно использовать такие методы, как: метод вариационных неравенств, асимптотические методы, метод парных уравнений, метод ортогональных функций, метод Я - функции, метод граничных элементов, метод конечных элементов. Исследования показали, что применение численных методов (таких, как МКЭ) к решению контактных задач существенно расширило их спектр. Благодаря индифферентности методов к описанию геометрии объектов и условий нагружения появилась возможность решения реальных, практически важных задач для контактных взаимодействий, разнообразных узлов трения деталей машин.

Во второй главе обосновывается выбор основных теорий МКЭ, которые будут применены при решении КТЗ. Основные теории МКЭ, представленные в этой главе, включают: обзор методов конечных элементов; основные уравнения МКЭ для линейных задач; описания нескольких видов конечных элементов; физически и геометрически нелинейные задачи и методы их решения.

Теория МКЭ развивалась в течение последних 50-ти лет, когда было опубликовано большое количество литературы с разными задачами и видами конечных элементов. Соответственно характеристике каждой задачи выбран и согласованный анализ. В диссертации использованы все виды анализа (линейный, физически, геометрически и конструктивно нелинейный), представленные в этой главе.

В третьей главе представлено построение модели МКЭ для решения КТЗ. Соответственно понятию третьего тела считаем, что между контактирующими телами существует тело, сформированное поверхностными слоями контактирующих тел. Размер (толщина) этого тела обусловлена толщиной поверхностных слоев, опреде-

ленных волнистостью, шероховатостью и глубиной упрочненного слоя. Часто это значение достигает нескольких десятков микрометров. Механические характеристики материала третьего тела, как правило, определяются экспериментами. Рис. 1 представляет компоненты тензора напряженного состояния третьего тела.

зона-

а б

Рис. 1. Компоненты тензора напряженного состояния третьего тела (а- нормальное напряжение ау, ах; б- касательное напряжение тч, (сила трения); (1)-реальная кривая - нелинейная; (2) - идеальная кривая - линейная).

Матрица жесткости контактных элементов определяется выражением

[к.]=\[в][о\г[в\1У, (1)

Уг

где [£>]ат - матрица упругости материала третьего тела; [В] - матрица соотношения между перемещениями и деформациями.

В зависимости от перемещения, существуют три состояния контактных элементов: "закрытие и сцепление", "закрытие и скольжение" и "открытие".

В состоянии "закрытие и сцепление" матрица [Щлт определяется соответственно зоне предварительного смещения, при "закрытии и скольжении" - соответственно зоне скольжения, а при "открытии" матрица [Щлтравна нулю.

Построены три вида контактных конечных элементов: контактный элемент вида "узел-узел", двухмерный четырехугольный контактный элемент, осесимметричный четырехугольный контактный элемент.

В этой главе проанализировано и доказано, что существуют особенности и трудности при решении контактных задач методом конечных элементов: высокий уровень разбиения сетки конечных элементов и, следовательно, большое количество вычислений; наличие контактных элементов приводит к изменению глобальных матриц [К\, [Л/], [С]. Также часто имеет место физическая и геометрическая нелинейность. Поэтому необходимо создать собственные алгоритмы при программировании решения КТЗ МКЭ.

Рассмотрим статическое уравнение МКЭ

№ЬИ = 0. (2)

где [К\- глобальная матрица жесткости, {<5}- глобальная матрица перемещений, {/*}-глобальная матрица внешней силы.

Для контактных задач глобальная матрица жесткости [К\ изменяется по нагрузке и перемещениям, поэтому контактная задача всегда является нелинейной задачей. Основными причинами нелинейности являются следующие:

- при контакте, как правило, размеры зоны контакта зависят от нагрузки, следовательно, количество контактных элементов, вступающих в контактное состояние, ме-

няется. Это явление называется смешанными граничными условиями или нелинейностью структуры;

- для контактных элементов значение матрицы материала третьего тела [Щет в выражении (1) зависит от деформации (рис. 1, кривые (2))

[0]ат= [П(£,у)]кТ, (3)

и имеет место физически нелинейная задача;

- явления больших перемещений и деформаций часто встречается в КТЗ. Причиной этих явлений является то, что наблюдается местная концентрация напряжений и деформаций в месте контакта, особенно в угловых зонах тел. При этом матрица [5] в выражении (1) изменяется по перемещениям - геометрически нелинейная задача

[В]= [В№ (4)

При решении КТЗ МКЭ необходимо разбить тело на конечные элементы с высоким уровнем или с малым размером элементов в зоне контакта, потому что контакт тел происходит только в очень тонком поверхностном слое (несколько десятков мкм). Также в ряде задач ширина контакта очень мала. Эта проблема приводит к появлению значительного количества узлов или степеней свободы задачи, а следовательно, к повышению вычислительных затрат. Практика вычисления доказала, что количество элементов КТЗ во много раз больше, чем в обычной задаче.

Проблема смешанного граничного условия или нелинейности структуры решена разбиением нагрузки на поднагрузки, и задача будет решаться по каждым этим под-нагрузкам. После каждого шага (соответственно каждой поднагрузке) необходимо пересчитать матрицы [А] и эти результаты используются в следующем шаге. Последние результаты получены методом дополнительных нагрузок. Физически нелинейная задача решена методом начальных напряжений или начальных деформаций. Геометрически нелинейная задача решена методом переменной жесткости.

Для уменьшения количества степеней свободы была использована сетка разбиения с разными уровнями измельчения между зоной контакта и зоной основных тел.

Для уменьшения затрат памяти компьютера необходимо уделять особое внимание использованию переменных и сохранению данных. Разбиение и нумерация сетки узлов имеют важное значение. Если рационально нумеровать узлы, то ширина ленты данных глобальных матриц [К] значительно уменьшается.

Необходимо после каждой поднагрузки снова считать глобальные матрицы [К]. Для этого требуется вновь вычислять матрицы [А'е] всех элементов конструкции, что приводит к дополнительным вычислительным затратам. Эту проблему можно решить посредством разделения матриц на две части

[К\= [АО] +[К2], (5)

где [А;] — постоянная часть; [ЛУ - переменная часть. Таким образом, приходится вычислять только переменную часть.

На основе вышеприведенных анализов автор создал алгоритмы и собственную программу (РОАЭТи^а^с) для решения КТЗ.

Тестирование программы проведено расчетами типичных контактных задач, которые имеют аналитические решения: КТЗ между сферой и жестким полупространством, КТЗ о вдавливании цилиндрического штампа в упругий цилиндр, КТЗ между упругими цилиндрами, КТЗ между полками и круглыми ФД лопаток ГТД. Далее выполнен расчет двух промышленных КТЗ: контакта между полками и ФД лопаток ГТД и контакта во фланцевых соединениях электропогружных нефтяных насосов.

В табл. 1 представлено сравнение результатов решения КТЗ между полками и круг-

лыми ФД лопаток ГТД двумя методами. Основные параметры этой задачи имеют вид: £;=2,1х10п Н/м2(материал ФД); £2=2,01х10п Н/м2(материал полки); у,=0,3; \>2=0,33; радиус ФД /?=7х10"3 м; длина ФД / = 0,05 м; плотность материала ФД р= 7700 кг/м3; угловая скорость двигателя со = 115 рад/с; расстояние до оси ротора к = 0,245 м; наклонный угол ФД а = 30°. Модель конечных элементов для этой задачи состоит из достаточно большого количества степеней свободы (рис. 2): 2469 узлов, 2370 элементов, 50 контактных элементов. В зоне контакта размеры элементов около 0,2х10"5м, количество поднагрузок равно 16. Это средний уровень степени разбиения сетки конечных элементов и нагрузки, погрешность этого примера достигает 7 %. Чтобы получить лучшие результаты, необходимо разбивать модель на более мелкие конечные элементы и увеличить количество поднагрузок.

Таблица 1

С равнение результатов двух методов

Аналитический метод МКЭ (РЭАОП^аИс) Погрешность %

Размер контактной зоны, м 1,1472x10"5 ~1,1х10"3 (5 элементов) -4,12

стх.тах, МПа 85 87 -2,35

<гу.тах, МПа 100 107 -7

■Сху.тах, МПа 20 21 -5

Здесь: ахтах- максимальное значение нормального напряжения по направлению ОХ, МПа; сту,тах- максимальное значение нормального напряжения по направлению ОУ, МПа; -Сху.тах- максимальное значение касательного напряжения, МПа.

х 10-' « 10

Рис. 2. Нормальное напряжение сту, ах (МПа) в задаче контакта между полками и

круглыми ФД лопатки газотурбинных двигателей Результаты показали, что размер зоны контакта между круглыми ФД и полками очень мал (а = 1,1472x10"5 м) и можно считать, что это точечный контакт, а распределение контактного давления в зоне контакта между трапециевидными ФД и полками является разным для каждого узла, и эти результаты будут использованы далее в задаче проектирования ФД. Расчет контакта во фланцевых соединениях электропогружных насосов изображает его контактное напряженно-деформированное состояние, что является основой оценки прочности и возможности работы ФС. В данном случае значение суммарного напряжения значительно меньше предела прочности материала ФС. Иногда существует зона контакта, в котором контактное давление равно нулю,

что является ошибкой проектирования, и её необходимо исправить.

Метод, рассмотренный в этой главе, может использоваться для решения статических и динамических контактных задач (ДКТЗ). Однако существует особенность характеристик ДКТЗ в сравнении со статическими КТЗ, а следовательно, разнятся и методы их решения. В этой связи методы решения ДКТЗ представлены в следующей главе.

В четвертой главе представлены исследования в области ДКТЗ, в том числе уделяется внимание задаче колебаний механических систем с ФД.

На основе решения статических КТЗ, представленных в третьей главе, построены алгоритмы, обеспечивающие решение ДКТЗ в обобщенном случае методом ПЧИ-Ньюмарка. Этот обобщенный подход может быть использован во всех ДКТЗ, однако мы проанализировали и доказали, что данный подход связан с очень высокими вычислительными затратами и часто возникающей расходимостью. Поэтому при исследовании колебаний систем с ФД на основе исследований предыдущих авторов мы построили и развили стандартный ФДЭ. Такой элемент был использован, чтобы моделировать действие ФД на систему. Рис. 3 показывает схему построения ФДЭ, а рис. 4 изображает характеристики перемещения ФДЭ в одном периоде внешней силы.

-ЛЛ/W^ г т_ щ X

2 л

f

а

при

сцеплении Z

т\

;ионныи элемент

(зона контакта)

при/ ¡скольжений

а. система пружинного ¡- ___„ ______ „ ^гт^

VJ о. схема расчета с ФДЭ1

маятника 1

-lz—j

Рис. 3. Схема построения ФДЭ

Рис. 4. Соотношение г, х, t для одного периода te [0,Т]

Здесь Fд = цР и Кд - два параметра ФДЭ, изображающие силу трения при скольжении и жесткость пружины ФДЭ, г — перемещение ФДЭ, /л - коэффициент трения, а сила трения определена выражением/^, = Kjf.

Автор использовал ФДЭ для моделирования действия ФД на лопатки газотурбинных двигателей. Тогда контакт между ФД и полкой моделировался несколькими ФДЭ. Рис. 5 изображает модель лопатки с ФДЭ. При этом динамическое уравнение лопаток имеет вид

[М]р| + [C]j<5j- + [*]{*} + {/„„} = {F(0}, (6)

где [Л/], [С], |Х] - обобщённые матрицы масс, вязкого демпфирования и жесткости лопатки; jjj, j<5j, |<5>|- обобщённые векторы узловых ускорений, скоростей и перемещений узлов лопатки; {F(t)} - обобщённый вектор внешней динамической нагрузки; {fmp} - обобщённый вектор силы трения, обусловленной действием ФДЭ.

При использовании ФДЭ задача определения колебаний новой модели связана с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений (6). Для этой задачи были применены два метода: метод ПЧИ-Ньюмарка и ГБВО. Здесь важной частью диссертации является развитие метода ГБВО, который обеспечивает быстрое решение системы (6) и, следовательно, уменьшает время расчета. Кроме того, совместное использование двух методов помогает всегда получать точные результаты и обеспечивать сходимость задачи с разными входными условиями.

Математическая основа метода ГБВО определяется следующими положениями.

Предлагается внешнюю силу, смещения степеней свободы и силу трения представить в виде:

И')} = со*{даЛ) + Г"-' 8іп(<7«/)]|, (7)

{£} = {¿ІЛС'У СОБ(поя) + X'/ 5Іп(п®о]|, (В) {.Л,,} = {£ [Кі С08(иа*) + Зіп(«й/)]}, (9)

Рис. 5. Модель лопаток с ФДЭ

где у" - степень свободы, q - гармоника внешней динамической нагрузки, (¿н - количество гармоник внешней силы, Л^ - количество гар-

моник смещения маятника (всегда Л/, > <2ь), п - гармоника перемещения; Xе/, X*, , - коэффициенты гармоник. Подставляя (7, 8, 9) в уравнение (6) и используя принцип гармонического баланса, получим уравнения коэффициентов гармоник , Здесь

являются неизвестными значениями, и коэффициенты гармоник силы трения зависят от них. Для получения выражения (7, 9) необходимо выполнить

разложение функции в ряд Фурье. При этом применены алгоритмы быстрого преобразования функции в ряд Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования функции в ряд Фурье (ОБПФ).

Ввод исходных данных {Х}0

да* ¡ОБПФ! {¿¡т Определение

{Лр} = {/ф(<5)}={Лр(Г,)}

("конец |

Рис. 6. Блок-схема определения колебаний системы методом ГБВО (§ - вычисленный шаг, время). Наконец, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений с Л'д(2Ыи+1) неизвестными значениями X1;/', Х^', где - количество ФДЭ в модели

№}+{*-,}=И. (ю)

где [п]- матрица, сформированная матрицами [АГ|, [М\, [С], {А'}- матрица коэффициентов гармоник неизвестных Xе/, матрица коэффициентов гармоник силы трения ,, {т^}- матрица коэффициентов гармоник внешней силы Р^'' .

Система данных уравнений является независимой и может быть решена методом Ньютона. Чтобы не вычислять матрицу Якоби вновь в данном случае будем использовать модифицированный метод Ньютона или метод Бройдена. На рис. 6 приведена блок-схема алгоритма определения колебаний системы методом ГБВО.

При применении метода ГБВО часто сталкиваются с проблемой расходимости задачи. В диссертации мы построили два алгоритма, которые хорошо обеспечивают сходимость задачи (алгоритм "выбора начальных приближений" рис. 7, и алгоритм "ступеньки"). Данные алгоритмы характеризуются следующими пунктами: 1) применение метода ПЧИ-Ньюмарка для определения амплитуды колебаний на первой частоте; 2) начальные приближения коэффициентов гармоник следующей частоты определяются коэффициентами гармоник предыдущей

Амплитуды

Ньюмарк

->

сот1„ ^ Часготы Одж«

Рис.7. Алгоритм "выбора начальных приближений"

частоты; 3) на каждой частоте коэффициенты гармоник поочередно определены от самых низших до самых высших.

„„__/МТГИГОТД Ы „ _МЫТНЗДИРтр (Н_

15-гар

СПЛНЦМЕРцгХ

Рис. 8. Результаты определения колебаний системы маятники-пружины

методом ГБВО

В рамках диссертационной работы на основе МКЭ, использования ФДЭ и методов ПЧИ-Ньюмарка, ГБВО создан комплекс программ, обеспечивающий определение колебаний механических систем с ФД. Тестирование разработанных программ вы-

полнено при расчете системы пружинного маятника с 4-мя степенями свободы. Несколько результатов показано на рис. 8, 9.

При исследовании колебаний этой системы получаем следующие выводы:

- результаты расчетов двух методов почти совпадают, что подтверждает точность метода ГБВО и программы, созданной в рамках диссертационного исследования;

- характеристики сходимости задачи являются разными для разных зон частоты внешней силы. Существуют зоны частоты внешней силы, в которых сходимость методов или невысокая, или высокая. В свою очередь, эта характеристика также разнится для каждого из двух методов (ПЧИ-Ньюмарка и ГБВО);

- в зоне низких частот внешней силы, например при ш < 100 рад/с (рис. 9), сходимость метода ПЧИ-Ньюмарка низкая. Чтобы обеспечить сходимость, необходимо уменьшать Лг, например до Аг=Т/1500. Однако при использовании ГБВО сходимость задачи в данных зонах была очень хорошая. Поэтому для этих зон больше подходит применение в программе ГБВО. Аналогично при применении ГБВО для зон резонанса (в узкой зоне) наблюдается расходимость, поэтому в данном случае необходимо применить метод ПЧИ-Ньюмарка;

1- ПЧИ-Ньюмарк с А1=Т/100;

2- ПЧИ-Ньюмарк с

А1=Т/20;

3- ПЧИ-Ньюмарк с Д1=Т/700;

4- ГБВО с 5-ю гармониками

'о 50 100 150 200 250

Частоты (рад/с)

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

- на рис. 8. видно, что виды линий силы трения и смещения ФДЭ при ИС- ) пользовании разных количеств гармоник разные, но перемещение и скорость маятника почти полностью совпадают. Это явление можно объяснить следующим образом: хотя виды линий силы трения разнятся, но работы сил трения в каждом периоде (интегрирование этих линий) являются приблизительно равными. Поэтому если не требуется высокой точности задачи, то нет необходимости использовать высокие гармоники. Анализ спектров амплитуд силы трения (рис.10) показал, что для достаточного приближения необходимо выбрать до 3-5 гармоник (получаемые результаты полностью совпадают с результатами мето-

:! Зоны с плохМ ! ! :: _ _____ „1 >------- \4 11 "ЇГ -------2

ГБВО -----4

Г- -..Л

г • ----- : 1 Зоны с ПЛОХОЙ |

сходимостьй по | ПЧИ-Ньюмарку J

і...... -Л...... ! 1 т-Ч-^----------—н------г**

к —:-;—— - —1

я ' ' ' ' 'А

м 0 ,1 "

п у

л Ї

и

ір -80

У

д

ы

-160

Рис.10. Спектр амплитуд силы трения

да ПЧИ-Ньюмарка).

Практическая работа, выполненная в этой главе, касается проектирования фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей. Для решения этой проблемы автор диссертации построил схему этапов и соответствующих задач, которые необходимо выполнить при проектировании ФД. Эта схема имеет дополнения в сравнении со схемами других авторов, а именно: учет влияния температуры, силы сжатия Р, формы ФД, распределения контактного давления на колебания лопатки. Она обеспечивает получение более точных решений расчета колебаний лопаток с ФД и приводит к лучшему варианту проектирования ФД. При построении модели лопатки были использованы разные конечные элементы: двухмерный четырехугольный элемент, трёхмерные изопараметрические шестигранники, оболочечные элементы.

Численные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, и численные результаты, полученные в университете г. Ганновер, ФРГ (L. Panning), показаны на рис. 11. Тестируемая модель построена на основе трёхмерных конечных элементов с 390 узлами, 184 элементами, амплитуды внешних сил Fox= Foy =0,5 Н в середине лопатки. Сравнение результатов говорит о хорошем совпадении между этими данными. Погрешность не превышает 7%. Эти линии также являются основой выбора оптимизационного значения массы ФД. Мы видим, что для этой системы оптимизационное значение т = 40,0 г (тогда амплитуды колебаний являются минимальными).

а- численные результаты L. Panning б- численные результаты автора Рис.11. Сравнение численных результатов При проектировании ФД можно использовать несколько видов форм ФД. Для каждой фигуры ФД его контакт с полкой является разным и, следовательно, его действие на колебание лопатки тоже неодинаково. Поэтому проектирование ФД всегда сочетается с исследованием влияния фигуры ФД на колебания лопатки. Рис.12 показывает результаты диссертационного исследования при определении колебаний лопатки для двух типовых вариантов формы ФД: круглого и трапециевидного (амплитуда внешней силы F0=5 Н в середине лопатки, сила сжатия Р=20 Н). Эти результаты показывают, что возможность устранения колебаний не только зависит от вида ФД, но также и от частоты внешней силы. Например, для этого случая круглый ФД лучше устранит колебания, чем трапециевидный ФД, при со < 600 рад/с и хуже при <в > 600 рад/с.

Рассмотрено влияние температуры двигателя на работу ФД. На основе экспериментальных результатов исследования предыдущих авторов о влиянии температуры на коэффициент трения материала выполнен расчет колебаний лопатки с разными значениями температуры двигателя. Полученные результаты показаны на рис. 13 (амплитуды внешней силы F0 = 5 Н, силы сжатия Р = 20 Н, круглый ФД, диапазон

Таблица 2

Время вычисления (с)

Далее рассмотрено влияние распределения контактного давления в зоне контакта между ФД и полкой на колебания. Рис. 14. иллюстрирует АЧХ колебаний вершины лопатки для двух вариантов построения ФДЭ: при отсутствии влияния распределения контактного давления в зоне контакта (линия 3) и при учете его влияния (линия 2, /V = 5 Н, Р = 40 Н, трапециевидный ФД). При учете распределения контактного давления амплитуды колебаний изменяются, и это изменение также зависит от частоты возбужденной силы. Например, для рассмот-

Метод ГБВО Метод ПЧИ (Ньюмарка)

1 гармоника 35,11 (9%) 389,70 (100%)

5 гармоник 49,32 (12,7%)

10 гармоник 56,98 (14,6%)

20 гармоник 79,65 (20,4%)

температуры [100 - 800 °С]). Видно, что в диапазоне температуры [100 - 800 °С] амплитуды колебаний лопаток значительно изменяются (до 1,5 раз).__________

Рис. 12. АЧХ колебаний вершины лопатки с двумя формами ФД

600 650

Частоты (рад/с)

б- сФД

Частоты (рад/с)

Рис. 13. АЧХ колебаний лопатки с разными значениями температуры двигателя

Частоты (рад/с)

Рис. 14. АЧХ колебаний лопатки (1-без ФД; 2 - с учетом распределения нормального давления, 3 - без учета его влияния)

-1

>іі ФД

круглый ФД

600

Частоты (рад/с)

а- без ФД

иного случая в диапазоне со< 625 рад/с при учете распределения контактного дав-[ения амплитуды колебаний меньше, чем при отсутствии его влияния, но приблизительно равные в диапазоне со>625 рад/с.

Табл. 2 представляет сравнение времени вычисления при определении колебаний юпатки для двух методов: ПЧИ-Ньюмарка и ГБВО. Результаты показывают, что ис-юльзование метода ГБВО позволяет быстрее анализировать колебания системы в устойчивом режиме, чем ПЧИ-Ньюмарк в 4-8 раз (5 гармоник).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Развита методика, созданы алгоритмы, численные методы и программы для ре-цения статических контактных задач на основе метода конечных элементов. Они по-!воляют решить статические контактные задачи в разных постановках задачи: ли-шйную, физически нелинейную, геометрически нелинейную, конструктивно нели-гейную.

2. Предложена конечноэлементная модель для расчета колебаний механических :истем с фрикционными демпферами в упрощенном виде. Этот подход позволяет оп->еделить колебания системы при значительном уменьшении времени вычислений.

3. Модифицированы и использованы два метода при решении динамических сравнений механических систем с фрикционными демпферами: метод прямого чис-юнного интегрирования - Ньюмарка и метод гармонического баланса во временной )бласти (развит в диссертации), что обеспечивает точность решения, сходимость за-щчи и уменьшение вычислительных затрат. При применении метода гармонического >аланса во временной области время вычислений уменьшается в 4-8 раз.

4. Выполнены расчеты статических и динамических контактных задач для реаль-шх систем. Предложена схема проектирования фрикционных демпферов лопаток ■азотурбинных двигателей с учетом решения контактных задач. Сформулированы >екомендации для проектирования фланцевых соединений электропогружных нефтяных насосов и фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей.

5. Результаты расчета колебаний лопаток показывают, что температура в двигате-1е, сила сжатия, форма фрикционных демпферов, распределение контактного давле-тя оказывают значительно влияние на колебания лопаток турбомашин. Так, для ис-;ледования материала в диапазоне температур [100-800 °С] амплитуды колебаний гопаток значительно изменяются (до 1,5 раз). Возможность устранения вредных ко-гебаний зависит не только от формы фрикционных демпферов, но и от частоты внешней силы. При учете распределения контактного давления амплитуды колебаний изменяются, и это изменение также зависит от частоты возбуждающей силы. Поэтому при проектировании фрикционных демпферов необходимо учитывать все вышеперечисленные факторы.

6. Анализ прочностных характеристик фланцевого соединения электропогружных насосов при постоянных нагрузках показывал, что значение суммарного напряжения значительно меньше предела прочности материала фланцевого соединения. Но иногда существует зона контакта, в котором контактное давление равно нулю, и это явление необходимо устранять.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ:

1. Фан Ван Туан. Проблема исследования прочностных характеристик и разработки конструкции фланцевого соединения электропогружных насосов с повышенной надежностью/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// Вестник ИрГТУ. -2010.-№2.-С. 214

-217 (0,25/0,13).

2. Фан Ван Туан. Построение математической модели для анализа влияния фрикционных демферов на колебания лопаток газотурбинных двигателей/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// Известия ИГЭА. - 2011. -№ 1. - С. 200-205 (0,38/0,19).

3.Фан Ван Туан. Исследование скользящего контакта между полками лопатки и круглыми фрикционными демпферами газотурбинных двигателей./ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// Известия ИГЭА. - 2011. - № 5. - С. 176 - 180 (0,31/0,15).

4. Фан Ван Туан. Математическая модель пружинного маятника с сухим трением/ Фан Ван Туан//Известия вузов Северо- Кавказский регион-2011.-№4.- С.76-80 (0,31).

5. Фан Ван Туан. Использование метода гармонического баланса во временной области для исследования колебаний систем со многими степенями свободы и сухим трением/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// Вестник ВСГТУ. - 2011. - № 2. - С. 53 - 60 (0,5/0,25).

6. Фан Ван Туан. О проблеме построения математических моделей для оптимизации параметров фрикционных демпферов на примере лопаток газотурбинных двигателей/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// «Вестник СибГАУ». - 2011. - № 4. - С. 79 - 84 (0,38/0,19).

7. Фан Ван Туан. Исследование контакта между полками лопатки и трапециевидными фрикционными демпферами газотурбинных двигателей/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан// Вестник ИрГСХА. - 2012. -№ 2. - С. 97 - 104 (0,5/0,25).

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ:

8. Фан Ван Туан. Программа для исследования статических контактных между полками лопатки и фрикционными демпферами газотурбинных двигателей (РОАБТІМЗШіс)/ Фан Ван Туан, О. В. Репецкий, С. А. Тимошин// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2012613072 от 29 марта 2012 г./ Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.-2012 (2/1).

9. Фан Ван Туан. Программа для оптимизации фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей (РОАОТи_УіЬгаІіоп)/ Фан Ван Туан, О. В. Репецкий, С. А. Тимошин// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2012613071 от 29 марта 2012 гУ Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - 2012 (2/1).

Статьи в других изданиях:

10. Фан Ван Туан. Разработка математических моделей для расчетов прочностных характеристик фланцевых соединений при постоянных нагрузках/ О. В. Репецкий, Фан Ван Туан//Вестник стипендиатов ДААД.-2010. -№ 1(7). - С. 57 - 63 (0,44/0,22).

11. Фан Ван Туан. Исследование колебаний лопаток газотурбинных двигателей с фрикционными демпферами/ Фан Ван Туан П Материал заочной интернет-конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития гражданской авиации - 2012»,- Изд-во ИФ МГТУ ГА,- Иркутск. - март 2012.- С. 19 - 25 (0,38).

Подписано в печать 17.04.2012. Формат 60 х 90 1/16.

Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1.

Тираж 100 экз. Заказ 89. Отпечатано в ТЦ «Рублев» г. Иркутск, ул. Чехова, 19

61 12-5/2750

ФГБОУ ВПО «Байкальский государственный университет экономики и права»

На правах рукописи

Фан Ван Туан

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор О. В. Репецкий

Иркутск -2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ..........................................................................................................2

СПИСОК СОКРАЩЕНИИ.....................................................................................6

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................7

ГЛАВА I. ОБЗОР ТРЕНИЯ И КОНТАКТА.......................................................15

1.1. Касание двух твердых тел...............................................................................15

1.2. Силы трения.....................................................................................................18

1.3. Контактная задача в технике..........................................................................23

1.4. Выводы.............................................................................................................34

ГЛАВА И. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ......................36

2.1. Обзор методов конечных элементов.............................................................36

2.2. Основные уравнения МКЭ для линейных задач..........................................36

2.3. Несколько видов конечных элементов..........................................................40

2.3.1. Двухмерные четырехугольные элементы...............................................40

2.3.2. Осесимметричные четырехугольные элементы.....................................41

2.3.3. Трёхмерные изопараметрические шестигранные элементы.................43

2.3.4. Модель МКЭ на основе теории пластин и оболочек.............................44

2.4. Физически нелинейные задачи и методы их решения................................46

2.4.1. Метод переменной жесткости..................................................................47

2.4.2. Метод начальных напряжений.................................................................47

2.4.3. Метод начальных деформаций.................................................................49

2.4.4. Метод Ньютона - Рафсона........................................................................49

2.5. Геометрически нелинейные задачи и методы их решения.........................51

2.6. Выводы.............................................................................................................53

ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ..........................................................54

3.1. Постановка задачи...........................................................................................54

3.2. Определение механических характеристик материалов третьего тела.....56

3.2.1. Теоретический подход...............................................................................57

3.2.2. Экспериментальный подход.....................................................................58

3.3. Построение контактных конечных элементов.............................................61

3.3.1. Контактный элемент вида "узел-узел"....................................................61

3.3.2. Двухмерный четырехугольный контактный элемент............................63

3.3.3. Осесимметричный четырехугольный контактный элемент..................64

3.4. Особенности и трудности при решении контактных задач методом конечных элементов..............................................................................................65

3.5. Разработка программы для решения статических контактных задач на основе МКЭ............................................................................................................68

3.5.1. Основные алгоритмы, структура программы.........................................68

3.5.2. Тестирование программы..........................................................................76

3.5.2.1. Задача контакта между сферой и жестким полупространством.. 76

3.5.2.2. Задача контакта между упругими цилиндрами...............................79

3.5.2.3. Задача контакта вдавливания цилиндрического штампа...............80

3.5.3. Расчет скользящего контакта между круглыми фрикционными демпферами и полками лопаток газотурбинных двигателей.......................85

3.5.3.1. Аналитический подход.......................................................................86

3.5.3.2. Численный подход на основе МКЭ..................................................92

3.5.4. Контактная задача между трапециевидными фрикционными демпферами и полками лопаток газотурбинных двигателей........................94

3.5.5. Контактная задача для фланцевых соединений электропогружных насосов................................................................................................................96

3.6. Рекомендации при проектировании фланцевых соединений электропогружных насосов..................................................................................99

3.7. Выводы...........................................................................................................102

ГЛАВА IV. РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ НА ОСНОВЕ МКЭ.......................................................................................................ЮЗ

4.1. Постановка задачи.........................................................................................103

4.2. Обобщённый подход для решения динамических контактных задач.....103

4.3. Отдельная динамическая контактная задача - колебания систем с фрикционными демпферами..............................................................................109

4.4. Построение стандартного фрикционного демпферного элемента...........110

4.5. Традиционные методы решения уравнений колебаний систем с сухим трением.................................................................................................................113

4.5.1. Метод прямого интегрирования.............................................................113

4.5.2. Метод гармонического баланса..............................................................114

4.6. Развитие метода гармонического баланса во временной области для исследования колебаний систем с сухим трением..........................................115

4.6.1. Система с одной степенью свободы......................................................116

4.6.2. Система с несколькими степенями свободы.........................................123

4.6.3. Построение алгоритмов, обеспечивающих сходимость метода.........129

4.6.4. Проблема быстрого преобразования функции в ряд Фурье................135

4.7. Разработка программы для определения колебаний систем с фрикционными демпферами..............................................................................137

4.7.1. Основные алгоритмы, структура программы.......................................138

4.7.2. О комплексе программы FDADTU........................................................138

4.7.3. Тестирование программы........................................................................140

4.8. Исследование колебаний лопаток газотурбинных двигателей с фрикционными демпферами..............................................................................145

4.8.1. Модель конечных элементов лопатки...................................................146

4.8.2. Моделирование взаимодействия фрикционных демпферов на лопатках ............................................................................................................................147

4.8.3. Результаты вычислительного эксперимента.........................................150

4.8.4. Влияние распределения контактного давления в зоне контакта........150

4.8.5. Влияние температуры..............................................................................152

4.8.6. Влияние силы сжатия..............................................................................154

4.8.7. Проблема нелинейности жесткости фрикционных демпферных элементов..........................................................................................................155

4.8.8. Влияние формы фрикционных демпферов...........................................156

4.8.9. К проблеме проектирования фрикционных демпферов......................157

4.9. Выводы...........................................................................................................161

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................163

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................165

мкэ

ктз

ктэ

НДС СЛАУ

дктз сктз

ФД ФДЭ

снд

ФС

сис.з гтд

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

- метод конечных элементов

- контактная задача

- контактный элемент

- напряженно-деформированное состояние

- система линейных арифметических уравнений

- динамическая контактная задача

- статическая контактная задача

- фрикционный демпфер

- фрикционный демпферный элемент

- соотношение между напряжениями и деформациями

- фланцевые соединения

- система, включающая тело А - тело Б - третье тело

- газотурбинный двигатель

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Известно, что проблема математического моделирования контактного взаимодействия принадлежит к числу актуальных областей современного машиностроения. Построение аналитического решения для контактных задач (КТЗ) сопрягается с серьезными математическими трудностями. Аналитически были решены лишь отдельные частные задачи контакта тел правильной геометрической формы друг с другом или полупространством, причем такие задачи часто основываются на серьезных допущениях. В последние годы метод конечных элементов (МКЭ) использовался как эффективный метод при исследовании контактных задач. Преимущество МКЭ в сравнении с другими методами заключается в том, что он позволяет решить КТЗ по обобщенным подходам и может быть применён для многих других видов контактных задач. Важной проблемой при применении МКЭ для решения КТЗ являются большие вычислительные затраты. Однако каждая конкретная контактная задача имеет свои характерные особенности. Если умело использовать это при решении КТЗ, то получим точное решение задачи и уменьшим вычислительные затраты.

В машиностроении существует особый класс контакта тел: скользящий контакт с сухим трением, или колебания механических систем с фрикционными демпферами. Типовым примером этого является контакт между полками и фрикционными демпферами (ФД) лопаток газотурбинных двигателей (ГТД). ФД устанавливаются на лопатку, чтобы уйти от опасных вибраций, которые смогут привести к резонансным явлениям и разрушению ГТД. При исследовании колебаний лопаток с ФД требуется решить КТЗ, для которой необходим особый подход, позволяющий существенно уменьшить затраты времени.

Таким образом, исследование и развитие методики решения статических и динамических КТЗ на основе МКЭ, а также разработка математических алгоритмов, численных методов и программ расчета, которые позволяют точнее решить КТЗ с одновременным уменьшением временных затрат, является

актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы является численное исследование и развитие методик решения контактных задач на основе МКЭ; разработка эффективных алгоритмов, численных методов и программ расчета для решения контактных задач при существенном уменьшении вычислительных затрат; решение практических контактных задач, например, статической и динамической контактной задачи механических систем с фрикционными демпферами.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) исследование природы контакта с сухим трением между механическими деталями. Обоснование выбора численных методов решения контактных задач;

2) анализ основ теории метода конечных элементов, построение моделей конечных элементов для разных конструкций;

3) разработка методики на основе МКЭ для решения статических контактных задач с разными постановками задачи: линейным, физически нелинейным, геометрически нелинейным, конструктивно нелинейным;

4) разработка методики для определения колебаний механических систем с фрикционными демпферами при учете контактного взаимодействия, например лопаток газотурбинных двигателей, с одновременным уменьшением вычислительных затрат;

5) развитие эффективных численных методов и алгоритмов и их реализация в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента статических контактных задач и колебаний механических систем с фрикционными демпферами на стадии проектирования.

Методы исследования. Для решения рассматриваемых задач применен МКЭ. В диссертационной работе также использованы теория механики деформируемого твердого тела, теория колебаний, теория трения и контакта и др. Применен набор математического аппарата теории матриц, решения

алгебраической системы уравнений, численного интегрирования.

При построении контактных конечных элементов использовано понятие третьего тела со своими особенными характеристиками. При решении статических контактных задач (СКТЗ) применены методы: дополнительных нагрузок, переменной жесткости, начальных напряжений, начальных деформаций и метод Ньютона - Рафсона.

Динамические характеристики механических систем с ФД смоделированы с использованием стандартного фрикционного демпферного элемента (ФДЭ). Применены два метода решения нелинейных дифференциальных уравнений, изображающих колебания систем с ФД: метод прямого численного интегрирования - Ньюмарка (ПЧИ-Ньюмарк) и метод гармонического баланса во временной области (ГБВО).

Для проведения численного эксперимента разработан комплекс программ FDADTU (Friction damper design of turbine engine), созданный на алгоритмическом языке MATLAB.

Достоверность результатов. Достоверность полученных численных результатов подтверждена сравнением с данными других авторов, с результатами аналитических решений и экспериментальных исследований.

Научная новизна заключается в следующем:

1) развита и реализована в виде комплекса проблемно-ориентированных программ эффективная уточненная методика решения статических контактных задач на основе метода конечных элементов в разных постановках: линейная, физически нелинейная, геометрически нелинейная, конструктивно нелинейная задачи;

2) модифицирован численный метод, реализованный в виде комплекса программ для решения системы динамических уравнений механических систем с фрикционными демпферами,- метод гармонического баланса во временной области, апробированный на примере колебаний лопаток газотурбинных двигателей;

3) выполнены расчеты статических и динамических контактных задач для

реальных систем. Предложена схема проектирования фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей с учетом решения контактных задач. Сформулированы рекомендации для проектирования фланцевых соединений нефтяных электропогружных насосов и фрикционных демпферов лопаток газотурбинных двигателей.

Практическая значимость диссертации заключается в разработке и реализации в виде комплекса программ численных методик для решения статических контактных задач механических конструкций и определения колебаний механических систем с фрикционными демпферами. Методы, методики и реализующие их алгоритмы и программы, представленные в диссертации, могут использоваться при проектировании механических конструкций с контактным взаимодействием. Результаты, полученные в работе, использовались при выполнении НИР в Иркутском научно-исследовательском и конструкторском институте химического и нефтяного машиностроения ОАО «Иркутск НИИ ХимМаш», г. Иркутск.

Апробация работы. Диссертация прошла апробацию на конференциях и семинарах кафедры «Мехатроника» Иркутского государственного технического университета, кафедры «Информатика и кибернетика» Байкальского государственного университета экономики и права, на конференции «Иркутского филиала Московского государственного технического университета гражданской авиации».

Сведения о публикациях. По теме диссертации опубликованы 11 научных работ, из них 7 статьей в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 176 наименований. Общий объем диссертации составляет 181 страница, включая 95 рисунков и 12 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определяются объект и предмет исследования, формулируются цель работы, задачи и методы их решения; приводится научная

новизна работы и излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе представлен обзор контакта между телами, сил сухого трения и методов решения контактных задач в машиностроении.

Фрикционный контакт представляет некое физическое тело, имеющее малую толщину, наделенное особыми свойствами. В отличие от двух исходных тел, его образовавших, будем называть фрикционный контакт третьим телом. Особенностью этого третьего тела является то, что при скольжении непрерывно происходит разрушение и формирование элементов, его образующих. Сила, затрачиваемая на разрушение при скольжении, равна силе трения. Ее отношение к нормальной нагрузке называется коэффициентом трения скольжения. Существует влияние температуры, контактного давления и относительной скорости скольжения на коэффициент трения.

Начало исследованию КТЗ положила работа Г. Герца [1]. Теория контактного взаимодействия продолжает и в настоящее время интенсивно развиваться. Характерной особенностью КТЗ является то, что в математическом плане они в основном являются задачами со смешанными граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным уравнениям, требующим развития специфических методов решения. Для решения этой задачи можно использовать такие методы, как: асимптотические методы, метод вариационных неравенств, метод парных уравнений, метод ортогональных функций, метод граничных элементов, метод граничных интегральных уравнений. Но эти методы применяются только для некоторых частных случаев.

Развитием математических подходов в решении КТЗ занимались такие учёные, как: В. М. Александров, И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, С. Г. Михлина, JI. А. Галина, И. Я. Штаерман, В. J1. Рвачева, К. Каттанео, Н. Губера,

A. Синьорин, И. И. Ворович, В. А. Бабешко, Г. Я. Попова, В. JI. Рвачева и др. Применение МКЭ для решения КТЗ анализировали следующие авторы: Зенкевич О., А. Г. Кузьменко, Э. В. Рыжо�