автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Концентрационная конвекция в процессе обратного осмоса при ламинарном течении в плоских каналах

На правах рукописи Кириченко Николай Борисович

Концентрационная конвекция в процессе обратного осмоса при ламинарном течении в плоских каналах

05.17.08 - Процессы и аппараты химической технологии

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -2006

Работа выполнена в Российском Химико-Технологическом Университете имени Д. И. Менделеева

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент Брыков Валерий Павлович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор Кулов Николай Николаевич кандидат технических наук, профессор Горбатюк Виктор Иванович

Ведущая организация: ЗАО «Владипор», г. Владимир

Защита состоится_на

заседании диссертационного совета Д 212.204.03 в РХТУ им. Д. И. Менделеева (125047 Москва, Миусская пл., д. 9) в_.

С диссертацией можно ознакомиться в Научно-информационном центре РХТУ имени Д.И. Менделеева.

Автореферат диссертации разослан_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.204.03, кандидат технических наук

А. В. Женса

ЛЛЗв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Процессы очистки и разделения составляют одну из основ современной химической, пищевой и фармакологической промышленности. Как известно, мембранные методы обладают рядом преимуществ (в первую очередь экологического и технологического характера) по сравнению с традиционными методами очистки и разделения, несколько уступая последним по энергетическим характеристикам.

В настоящее время развитие баромембранной технологии приняло особенно динамичный характер, благодаря разработке новых высокопроизводительных и высокоселективных «нанофильтрационных» мембран.

Вместе с тем известно, что увеличение производительности мембран ведёт к резкому росту внешнедиффузионного сопротивления массопереносу, которое принято называть "концентрационной поляризацией" (КП). КП ухудшает качество получаемых продуктов разделения, снижет производительность мембранных аппаратов и повышает затраты на получение единицы продукта.

Особенностью традиционно используемого вьшужденноконвективного режима разделения при ламинарном течении разделяемого раствора является закономерный рост величины КП по длине напорного канала.

Альтернативой вынужденноконвективному режиму разделения в баромембранных процессах может служить до сих пор теоретически не изученный режим разделения при смешанноконвекгивном течении, возникающий в результате потери концентрационной устойчивости ламинарного течения в напорном канале мембранного модуля под действием Архимедовой силы. Известно, что смешанноконвективный режим приводит к интенсификации массообмена и снижению негативного влияния КП, поэтому изучение условий его возникновения и последующее внедрение данного режима в практику позволит повысить эффективность и конкурентоспособность мембранных методов разделения.

Предмет исследования

В работе проводилось экспериментальное и теоретическое исследование явления потери концентрационной устойчивости при проведении процесса обратного осмоса.

Эксперимент по определению критического числа потери устойчивости был проведен в условиях одномерного нестационарного процесса обратноосмотического разделения разбавленного водного раствора соли (NaCI). Цель работы

Теоретическое и экспериментальное изучение явления потери концентрационно-гравитационной устойчивости в процессе обратного осмоса и прогноз массообменных характеристик работы обратноосмотических мембранных модулей в смешанноконвективном режиме течения. Научная новизна

1) Методом численного обращения преобразования Лапласа получено численно-аналитическое решение задачи о стационарном профиле концентраций в окрестности плоской селективно-проницаемой стенки при наличии продольного течения.

2) Методом Галеркина решена задача о концентрационно-гравитационной устойчивости горизонтального диффузионного пограничного слоя с экспоненциальным распределением концентрации при наличии отсоса через стенку с получением зависимости критического числа Рэлея от числа Шмидта и селективности мембраны (Rae = f(Sc,cp)).

3) Теоретически полученное критическое число Рэлея подверглось проверке (для частного случая Sc , <р —»1) в серии опытов с использованием двух независимых экспериментальных методов - метода лазерной интерферометрии и метода поточной ионометрии концентрации проникающего потока. Теоретическая значимость

Доказано существование естественной конвекции вблизи плоской обратноосмотической мембраны при концентрациях разделяемого раствора,

типичных для практических приложений процесса обратного осмоса.

Получены уравнения возмущений и амплитудные уравнения для анализа устойчивости концентрационных пограничных слоев (при наличии постоянной в пределах слоя скорости отсоса) и линейного распределения концентрации.

Разработан математический аппарат численного решения задачи устойчивости концентрационных (температурных) пограничных слоев с экспоненциальным распределением концентрации (температуры).

Предложен алгоритм численного обращения преобразования Лапласа. Практическая ценность

Разработан метод расчета параметров точки потери концентрационно-гравитационной устойчивости в плоскокамерных баромембранных аппаратах.

Сделан прогноз параметров смешанноконвектнвного режима массообмена в каналах обратноосмотаческих модулей.

Получены уточненные (по сравнению с известными) соотношения для изменения концентрационной поляризации и профиля концентраций по длине напорного канала обратноосмотаческих мембранных модулей. Апробация

Основные результаты диссертационной работы доложены и обсувдены на:

- заседаниях кафедры процессов и аппаратов химической технологии РХТУ им. Д. И. Менделеева;

- десятой Международной конференции молодых ученых и специалистов по химии и химической технологии МКХТ -1996 г., г. Москва;

- десятой Всероссийской конференции по моделированию тепловых и массообменных процессов, декабрь 1999 г., г. Казань;

- коллоквиуме на кафедре теоретических основ химической технологии ИОНХ им. Н.С. Курнакова Российской академии наук (состоялся 11.01.2006г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и списка литературы. Основной материал изложен на 207 страницах набранного на компьютере текста, содержит 39 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава диссертации посвящена рассмотрению состояния исследований в области массообмена вблизи селективно-проницаемых поверхностей, методам решения задачи устойчивости и моделированию естественноконвективных течений.

Отмечено, что работы по исследованию концентрационно-конвективной устойчивости баромембранных процессов в литературе не описаны.

Во второй главе рассматривалась несопряженная задача о массообмене вблизи плоской селективно-проницаемой стенки (см. рис. 1), решение которой применимо и к массообмену в каналах плоскокамерных баромембранных модулей.

Рис. 1. Схема распределения скоростей и концентраций при двумерном массообмене вблизи плоской селективно-проницаемой поверхности.

Уравнение конвективной диффузии записывалось в форме:

где Ь = , и - продольная скорость, 1 - нормальная к поверхности мембраны

1%

СВ

дх зг2 гг

0)

координата, Х- продольная (сонаправленная вынужденному потоку) координата, И -коэффициент диффузии и V- скорость отсоса. При решении задачи принималось, что Ь, В, V - константы (в пределах диффузионного пограничного слоя).

При использовании безразмерных переменных с ■■

С-С„

2 V3

2 --, £ = —— X (для

и/У г*2 ^

Э2Ь

и X Ре3 2Ни УН

профиля Пуазейля 6 = 6—, £ =--где Ре =- - число Пекле, Ре =-

^ 3 Н ЗЯ Ре 2> ' ' Д

число Пекле отсоса) уравнение (1) переходит в:

Ъ 1&2

Данное уравнение с граничными условиями: с = 0 при £ = О, с —*0 при г дс

—+Ф(с+1) = 0 при г = 0 (у - селективность мембраны) дг

(4)

(2) (3) (5)

решалось методом преобразования Лапласа относительно переменной £

Аналитически было найдено изображение решения уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям (3), (4), (5) (с*(г,к) *~±с(г,4)):

С*{2,к) = -

ре -.12 г + — К. 4* А 3 1 Ак)

V

V* [й-

(6)

где Кр(х) - функция Махдональда порядка р (одна из Бесселевых функций).

Разработанный автором алгоритм численного обращения преобразования Лапласа позволил получить решение задачи (2)-(5), которое было аппроксимировано при помощи соотношения (7):

ф,4,9) = сЛ4,<р)е-'т еф(0.68^3 г),

_!__при 0.5<<р<1, (7)

* где№ = М™«Г

где сЛ,(р) - безразмерная концентрация на селективно-проницаемой стенке (см. рис. 1), дня которой предложена аппроксимация:

--1.

(В)

Было показано, что аппроксимация (8) лучше описывает имеющиеся экспериментальные данные, чем известное решение Дреснера.

Третья глава была непосредственно посвящена теоретическому исследованию концентрационно-гравитационной устойчивости процесса обратного осмоса при одномерном течении.

Е _-Пер_вой_ _ части _ третьей, _ главы рассматривалась задача об одномерном нестационарном массообмене вблизи плоской селективно-проницаемой стенки, впоследствии использовавшейся для корректной интерпретации данных по изучению момента потери концентрационной устойчивости, получаемых в эксперименте.

Методом преобразования Лапласа решалось уравнение нестационарной диффузии в окрестности селективно-проницаемой стенки в отсутствие продольного течения:

д( дг2 дг с граничными условиями: С = С0 при I = О

С = Со при 2 = Я

"(ЭС^!)^ = Со у _с (0(1_ф)к.

о Э'

Было получено решение (в безразмерных переменных с =

С-С„

(9)

(10)

(И) (12)

г V-.

2 =-, т = (—):

й/У й

с(г, г) = ¡р е 2

2(1-0

, г -ЛЛ ( г Г

2\& 2 2<р

<¡>(1-0

(13)

Распределение концентраций в нестационарном процессе (13) при не слишком малых временах процесса х хорошо аппроксимируется соотношением вида:

c = cw(T)er, (14)

где cw - концентрация на мембране, у - коэффициент подобия (lim у = 1).

Г-МО

Для нестационарной задачи (13) была получена следующая аппроксимация: у(г)*\-е~г' (прих> 0.01). (15)

Для стационарной задачи (7) имеем: у(д 0.55 i03 (при 0.001 <£<10). (16)

Таким образом, при исследовании задачи концентрационно-гравитационной устойчивости в каналах плоских баромембранных модулей, рассматривалось квазюкспоненциальное распределение концентраций вида (14). При этом число Рэлея

записывалось для характерного линейного размера у у в виде: ^aC,cMrDtV)\ {17)

где а = —1 " коэффициент концентрационного расширения, g -

р(С0){дС )СшС)Ттсаи,

ускорение свободного падения, v - коэффициент кинематической вязкости.

Во.. ШЙЕОЙ_ . _4<|сти_ _ третьей, _ главы проведено исследование устойчивости квазиэкспоненциального распределения концентраций вблизи плоской стенки с равномерным отсосом. При этом использовалась полная система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска (был рассмотрен двухмерный случай).

С помощью линейного разложения из системы уравнений Навье-Стокса получили систему уравнений для возмущений:

dU' dV л

-+-= 0

дХ 8Z (18)

dV 1 дР „ (д2У

dt ~ dz р0 ax+\ax3 + dz'

(19)

(20)

& зг зг (.а*-' зг3)

(21)

Система уравнений (28)-(31) решалась методом нормальных мод:

(22)

где У -одна из функций: с, р, V (нормальные моды были составлены так, что амплитуды возмущений у (г) были бы безразмерны); о - инкремент нарастания возмущений.

Была получена система уравнений относительно амплитуд возмущений:

Данные соотношения представляют собой систему дифференциальных уравнений на собственные значения (нелинейную). Из системы уравнений (23X25) при условии с = 0 получили уравнение относительно амплитуды возмущений V: с!6У ¿'у <1*Ъ й2Ъ ¿V __ Л

где а6 = -Бс а5 = (1- Бс) а4 = / + 3 Бс со2 аз = 2 Бс со2-а2 а2 = -3 со4 5с а] = - а4 Б с

ао = й/вс - Бс <02Вле*.

Критическое число Рэлея представляет собой первое (наименьшее) собственное значение данного нелинейного дифференциального уравнения. Уравнение (26) решалось при следующих граничных условиях:

¿с _ , 2 „ , - йгс л -—v+((o1 +о$с)с—~г = 0.

И» //»*

(23)

(24)

(25)

dv

dz

= 0 = 0

r-0

dz dz dz dz

= 0

(28)

(29)

d"v dz"

= 0(Гдеп = 0,1,2...) (30)

Задача на собственные значения (26)-(30) была численно решена методом Галёркина. В качестве базиса для метода Галёркина была избрана система, удовлетворяющая граничным условиям задачи (27)-(30): ИДг) = (1-со80-г))е-''г. (31)

Параметр bj подбирался так, чтобы удовлетворить условию (29). В результате расчетов была получена нейтральная кривая устойчивости - функция Rat = f(Sc, ф, ©), минимум которой по параметру со (находимый по стандартному алгоритму) давал решение задачи - функцию Rae = f(Sc,(p). Результаты расчета данной функции представлены на рис. 2 и в таблице 1.

Рис. 2. Зависимость критического числа Рэлея для экспоненциального распределения концентрации от числа Шмидта (при <р—*1).

ф Rae

Sc=0.8 Sc=8 Sc=800

0.0 49.269 90.217 94.006

0.2 50.493 92.325 96.958

0.4 51.957 94.691 99.908

0.6 53.655 97.317 102.86

0.8 55.574 100.20 105.81

1.0 57.697 103.31 108.76

Таблица 1. Критическое число Рэлея для экспоненциального распределения концентрации в мембранном канале.

Значения функции Яа^ = ^Бс.ср) были аппроксимированы функцией: ЯасСЗс.ф) = 92.44 (1 + 0.159<р){1 -Л(&сш)}ош, (32)

где Л - гиперболический тангенс

В четвертой главе описаны теоретические основы экспериментального изучения пороговой концентрации потери устойчивости, произведен выбор объекта и методов исследования, приведено теоретическое обоснование параметров эксперимента.

Эксперимент был посвящен изучению процесса потери концентрационно-гравитационной устойчивости в условиях одномерного нестационарного процесса обратноосмотического разделения разбавленного водного раствора соли (ЫаС1) с получением критических чисел Рэлея.

Лабораторная установка состояла из технологической части (рис. 3), оптической части (интерферометр ИАБ-451) и схемы для измерения концентрации проникающего раствора методом поточной ионометрии.

Рис. 3. Технологическая схема экспериментальной установки

1 - баллон со сжатым азотом, 2 - балотый редуктор, 3 - манометр, 4 - буферная ёмкость с рабочим раствором, 5 - игольчатый вентиль, б - экспериментальная ячейка для проведения процесса одномерного нестационарного массообмена, 7 - мерная ёмкость, 8 - рабочий мембранный электрод (измерение концентрации Ыа+}, 9 - мембранный электрод сравнения проточный

Методика проведения эксперимента была следующей.

После продолжительного пребывания под атмосферным давлением

экспериментальной ячейки, заполненной рабочим раствором, в ней в течение одной-

двух секунд создавалось повышенное давление. Процесс изменения интерференционной картины непрерывно снимался на видеокамеру.

Одновременно с помощью ионометрического датчика с выходом на самописец регистрировалась концентрация проникающего раствора. С помощью мерной ёмкости и секундомера регистрировалась производительность мембраны в данном эксперименте и затем из указанной величины, с использованием данных о площади мембраны, можно было рассчитать скорость отсоса.

При проведении процесса обратного осмоса в непроточной ячейке (нестационарный процесс) концентрация пермеата, измеряемая ионометрическим датчиком представляет собой кривую с насыщением, причем при отсутствии влияния естественной конвекции на процесс, данная кривая - гладкая; особенности на выходной кривой свидетельствуют о смене механизма массообмена, вызванного влиянием естественной конвекции.

На рис. 5 представлены типичные непосредственные результаты эксперимента.

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-!

О 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 1, с

Рис. 5. Типичная выходная кривая ионометрического датчика) и соответствующие интерферограммы надмембранного пространства

Из данных, представленных на рис. 5 следует, что в эксперименте наблюдалось две характерные точки, свидетельствующие об изменении механизма массообмена - с! (вызвана вихреобразованием на краях объекта) и с2 - связана с образованием микроконвективных структур во всем примембранном пространстве.

Для определения концентрации в критической точке с2 было предложено соотношение, основанный на характеристике иономегрического датчика:

(Ос2+1=((Ос1+1)^> (33)

где (Су)с1 - концентрация на селективно-проницаемой поверхности в момент, соответствующий началу конвекции на краях объекта (таким образом, точка с1 служила в качестве опорной).

В пятой главе были приведены экспериментальные результаты (см. таблицу 3):

№эксп ЫаО/НзО, С0 = 0.25 г/л, Б = 1.483-10" м/с, \ = 0.90-10* ^/с, <р = 0.979

ДР, МПа ШШШ&ш ИЙмН м/с и с 7с! (Су,)с1 мм ¿Ем мм (С*)с2 Иа'с! Ка'й

1 1.20 0.23 150 0.071 0.084 26 136 0.523 13.0 81.4

2 1.15 0.290 225 0.107 0.131 50 100 0.28 35.4 75.5

3 1.15 0.372 225 0.135 0.359 36 155 2.75 43.8

4 1.31 0.978 105 0.074 0.321 24 130 3.52 22.3 244

5 1.37 лУммр 2.83 68 0.454 0.86 52 142 4.41 18.7 97.8

6 1.46 3.87 45 0.490 0.98 31 112 10.8 10.8 №

7 1.31 5.08 45 0.587 1.40 44 152 19.5 11.7 162

8 1.44 ДО) 7.01 60 0.756 2.68 42 90 15.3 18.1 104

9 1.83 '¡¡ЯШ* 6.98 45 0.704 2.16 46 122 20.2 12.0 112

10 1.90 ■щ 10.3 90 0.921 6.70 68 96 16.9 25.7 64.6

И 2.16 18.88 30 0.831 3.77 48 120 48.7 10.6 78.0

12 2.17 15.21 37.5 0.973 11.9 44 88 166 5.4 69.5

13 3.00 53.0 37.5 1 37 44 105 5906 1.35 214

Таблица 2. Результаты экспериментального исследования конвекции

Среднее число Рэлея, измеренное в экспериментах составило 126, что превышает теоретический результат (при избранных условиях теоретическое число Рэлея составляет 108) на 19%.

Шестая глава была посвящена предсказанию положения критической точки в плоскокамерном баромембранном аппарате.

На материале работ по экспериментальному изучению мембранного газоразделения в смешанно-конвективном режиме было показано, что в тех случаях, когда имела место потеря устойчивости сформировавшегося погранслоя (что в большей степени характерно для жидкофазных мембранных процессов), экспериментальные данные хорошо описываются соотношением вида (17).

При этом оказалось, что потеря устойчивости наступает при постоянном, не зависящем от критерия Рейнольдса, числе Рэлея, приблизительно в 2+4 раза превышающего число Рэлея, рассчитанное по соотношению (32).

В главе был также сделан прогноз массообменных характеристик смешанно-конвективного режима на основе аналогии с мембранным газоразделением. Для закритической концентрации ("(0,-с") была получена следующая зависимость:

при Рву»1 и 4 -»<», (34)

где в - коэффициент деления потока {в=).

Pcv

Из (34) имеем следующее соотношение для средней концентрации пермеата в плоском канале с односторонним расположением мембраны: {г i . !130.0(1-6j/Pe,2)"'

¿,.c(35)

Tan

причем при 4с > 4пих (отсутствие критической точки в канале) в формуле следует принять 4пих (обозначение введено для полной длины канала). На основе расчетов по соотношению (35) сделан вывод о существенном

прогнозируемом улучшении коэффициента очистки = и коэффициента

С

извлечения к, = в^- при переходе к смешанно-конвективному режиму течения при ср

условии достижения высоких значений коэффициента деления потока в в баромембранном модуле (см. рис. 6).

Коч

~МИВ ,СКР

ВКР

%1 01 04

Рис. 6. Зависимость коэффициента очистки и коэффициента извлечения от коэффициента деления потоков в плоскокамерном обратноосмотическом мембранном модуле для канала, в котором реализуется смешанно-конвективный режим (СКР) течения в сравнении со случаем разделения в вынужденно-конвективном (ВКР) режиме и моделью идеального вытеснения (МИВ) (система ШО -Н20, Со = 0.2 %иасс, <р = 0.8, Ре„ = 27, & = 20 (при этом 6С = 0.16)).

Отмечено, что использование больших коэффициентов деления потоков в снижает текущие затраты на проведение процесса. Таким образом, проведение баромембранных процессов в смешанно-конвективном режиме (при условии его достижимости по технологическим соображениям) должно способствовать повышению их экономической эффективности при одновременном улучшении

качества получаемого продукта.

ВЫВОДЫ

В работе с помощью двух независимых экспериментальных методов (метод лазерной интерферометрии, использовавшийся для визуализации распределения концентраций над мембраной и метод поточной ионометрии, использовавшийся для измерения нестационарной концентрации пермеата) на материале исследования нестационарного процесса при одномерном течении вблизи плоской обратноосмотической мембраны было подтверждено теоретически предсказанное автором значение критерия концентрационной устойчивости - числа Рэлея (Rae' = 100 при Sc-»-).

В процессе теоретического исследования, дополнительно к основной цели данной работы, было получено решение следующих задач:

1. Методом численного обращения преобразования Лапласа получено численно-аналитическое решение задачи о развитии диффузионного пограничного слоя в плоском мембранном канале, причем для решения разработан оригинальный алгоритм численного обращения преобразования Лапласа.

2. С использованием аппарата преобразований Лапласа получено аналитическое решение задачи о нестационарном массообмене вблизи мембраны.

3. Разработан математический аппарат численного решения задачи устойчивости концентрационных (температурных) пограничных слоев с экспоненциальным распределением концентрации.

4. Предсказаны параметры потери устойчивости и массообменные характеристики смешанно-конвективного режима течения в плоскокамерных обратноосмотических мембранных модулях при проточной схеме разделения.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Кириченко Н. Б. Естественная конвекция в горизонтальной непроточной обратноосмотической ячейке // ТОХТ, 2005, т. 39, № 3, С. 1-9.

2. Кириченко Н. Б. Стационарный массообмен при продольном обтекании плоской селективно-проницаемой стенки // ТОХТ, 2004, т. 38, № 4, С. 341-345.

3. Кириченко Н. Б. Анализ концентрационной устойчивости течения при одномерном стационарном массообмене в канале с селективно-проницаемой стенкой // Рук. деп. в ВИНИТИ № 1296-В-2003 от 07.07.2003 - 19 с.

4. Кириченко Н. Б. Аналитическое решение дифференциального уравнения одномерного нестационарного массообмена в канале с селективно-проницаемой стенкой. // Рук. деп. в ВИНИТИ № 1295-В-2003 от 07.07.2003 - 19 с.

5. Кириченко Н. Б. Анализ концентрационной устойчивости течения при одномерном стационарном массообмене в канале с селективно-проницаемой стенкой. // Тез. докл. X Всерос. конф. по моделированию тепловых и массообменных процессов, Казань, 1999, С. 34-35.

6. Кириченко Н. Б. Расчёт и анализ процесса разделения растворов сильных электролитов в плоскокамерном обратноосмотическом мембранном модуле в условиях смешанно-конвективного режима течения // Тез. докл. X Межд. конф. молодых учёных и специалистов в области химии и химической технологии «МКХТ-96», М., 1996,-С. 134.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 30.01.06 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1 Печать авторефератов (095) 730-47-74,778-45-60

изб

в

Введение.стр.

Глава 1. Анализ решений задачи устойчивости в тепло-и массообмене.стр.

1.1 Описание основного стационарного течения в задачах конвективного тепло-и массообмена.стр.

1.2 Теоретическое описание массообмена в баромембранных процессах.стр.

1.3 Решение задачи устойчивости в процессах тепло- и массообмена.стр.

1.4 Массообмен в смешанноконвективном режиме.стр.

1.5 Выводы. Цель работы.стр.

Глава 2. Теоретическое исследование стационарного массообмена при наличии вынужденноконвективного продольного течения.стр.

2.1 Упрощение уравнений Навье - Стокса для рассматриваемой задачи.стр.

2.2 Решение уравнения стационарной диффузии операционным методом.стр.

2.3 Расчет профиля концентраций методом численного обращения преобразования Лапласа.стр.

2.4 Обобщение полученных соотношений.стр.

2.5 Выводы.стр.

Глава 3. Теоретическое исследование концентрационной устойчивости при одномерном нестационарном массообмене в окрестности селективно-проницаемой стенки.стр.

3.1 Решение уравнения нестационарной одномерной диффузии в примембранном пространстве операционным методом.стр.

-83.1.1 Формулировка задачи. Описание стационарного состояния.стр.

3.1.2 Решение уравнения одномерного нестационарного массообмена.стр.

3.1.3 Анализ решения уравнения нестационарного массообмена.стр.

3.1.4 Описание задачи устойчивости в случае квазиэкспоненциального профиля концентраций.стр.

3.2 Математическое исследование задачи концентрационной устойчивости в плоском мембранном канале.стр.

3.2.1 Формулировка задачи.стр.

3.2.2 Разработка уравнений для анализа устойчивости.стр.

3.2.3 Алгоритм численного решения задачи устойчивости.стр.

3.2.4 Анализ случая Pev—>0.стр.

3.2.5 Численные результаты. Примеры расчета.стр.

3.3 Выводы.стр.

Глава 4. Экспериментальное исследование концентрационной устойчивости процесса обратного осмоса.стр.

4.1 Выбор объектов и методов исследования.стр.

4.2 Лабораторная установка для исследования одномерного нестационарного массообмена.стр.

4.2.1 Установка для поточного измерения концентрации проникающего раствора (ионометр с самописцем).стр.

4.2.2 Установка для визуализации распределения концентрации раствора над мембраной лазерный интерферометр) и узел фиксации интерферограмм.стр.

4.2.3 Установка для исследования процесса обратного осмоса в статических условиях (технологическая часть).стр.

4.3 Подготовка и проведение эксперимента.стр.

4.4 Методика обработки опытных данных.стр.

-94.5 Оценка погрешности расчетов и измерений.стр.

Глава 5. Результаты экспериментального исследования устойчивости и их сравнение с теоретическим исследованием той же задачи.стр.

5.1 Предварительные эксперименты. Коррекция методики обработки экспериментальных данных с учетом осложняющих эффектов.стр.

5.2 Основные экспериментальные результаты и их сравнение с теоретическим предсказанием.стр.

5.3 Выводы.стр.

Глава 6. Прогноз эффективности использования смешанноконвективного режима массообмена в проточных плоскокамерных баромембранных аппаратах.стр.

6.1 Обобщение теоретических результатов анализа устойчивости и их сравнение с экспериментальными результатами работ по изучению смешанноконвективного режима в процессе мембранного газоразделения.стр.

6.2 Предсказание массообменных характеристик проточных установок обратного осмоса в смешанноконвективном режиме.стр.

6.3 Прогноз влияния конвективной неустойчивости на экономическую эффективность процесса обратного осмоса.стр.

6.4 Выводы.стр.

Основные результаты работы.стр.

Процессы очистки и разделения составляют одну из основ современной химической, пищевой и фармакологической промышленности. Мембранная технология активно развивается и к настоящему времени заняла прочное место в ряду методов проведения данных процессов. Мембранный метод очистки и разделения благодаря своим преимуществам перед прочими методами вытесняет последние из их традиционных сфер применения. В качестве общеизвестных примеров такого вытеснения можно указать следующие: замена вакуум - выпарных установок на электродиализные и обратноосмотические при получении питьевой воды из морских и солоноватых вод; замена ионообменных установок получения глубоко деионизированной воды на обратноосмотические с ионообменной доочисткой; замена дистилляторов на обратноосмотические установки при получении деионизированной и апирогенной воды в пищевой и фармацевтической промышленности; замена испарения под вакуумом ультрафильтрационными установками при концентрировании соков; внедрение мембранных систем очистки при получении бытовой питьевой воды и умягченной воды для производства водки, пива и безалкогольных напитков вместо традиционно используемых систем с очисткой на активированном угле и сульфоугле.

В настоящее время развитие мембранной технологии приняло особенно динамичный характер, благодаря разработке новых высокопроизводительных композитных мембран, например мембран типа ОПМН (НПО "Полимерсинтез", г. Владимир), которые иногда называют "нанофильтрационными". На самом деле мембраны типа ОПМН легко модифицируются в заводских условиях как для процессов ультра- и нанофильтрации так и для процесса обратного осмоса. Естественно, что с нанесением каждого последующего слоя полимера на композитную мембрану типа ОПМН вместе с появлением селективных свойств по отношению к частицам всё меньших размеров, наблюдается и снижение производительности мембраны. Однако указанное снижение происходит всего лишь в 2 - 4 раза при переходе в ряду: ультрафильтрация - нанофильтрация - обратный осмос, что нельзя не признать выдающимся достижением.

Среди факторов, имеющих наибольшее значение для внедрения мембранных методов в промышленность следует особо отметить увеличение значимости затрат на энергоресурсы при проектировании технологических схем в связи с общемировым подорожанием энергии.

Как известно, мембранные методы очистки и разделения почти всегда требуют гораздо меньших затрат энергии по сравнению с традиционными методами при получении продукта заданного качества. Чем большее значение при проектировании имеет энергоресурсосбережение, тем более конкурентоспособны мембранные методы. Для снижения удельных и капитальных затрат на мембранную установку первостепенное значение имеет повышение удельной производительности мембран при сохранении высокой селективности и приемлемой цены.

Однако именно увеличение производительности мембран при заданном уровне селективности ведёт к резкому (практически экспоненциальному) росту внешнедиффузионного сопротивления массопереносу, которое в мембранной литературе принято называть "концентрационной поляризацией" [1]. Явление концентрационной поляризации всегда приводит к снижению эффективности мембранного аппарата по крайней мере в двух отношениях: а) снижается эффективность разделения, т. е. увеличивается средняя концентрация пермеата б) снижается производительность мембранного аппарата - т. е. количество пермеата с единицы объёма аппарата. Кроме того, увеличение концентрации растворённых веществ может привести к осадкообразованию на мембране и снижению её характеристик и срока службы.

Концентрационная поляризация, как известно, приводит к снижению наблюдаемой селективности и уменьшению производительности процесса мембранного разделения. Общим местом в работах по мембранной тематике является утверждение о невозможности исключения влияния концентрационной поляризации на процесс мембранного разделения. В указанных работах можно встретить мнение, что "история развития мембранных методов есть история борьбы с концентрационной поляризацией" [1]. Также обычно утверждается, что из всех методов, предназначенных для снижения концентрационной поляризации до приемлемого уровня, самыми используемыми на практике становятся такие методы, которые не требуют существенных затрат и просты в реализации.

Необходимо отметить, что важным фактором, обеспечивающим рост экономической эффективности какого-либо мембранного процесса является повышение плотности упаковки в мембранном модуле. Поэтому из всех возможных методов снижения концентрационной поляризации обычно находят применение те из них, которые не вступают в противоречие с данным фактором.

Из-за вышеуказанного обстоятельства, в промышленности получили распространение только немногие из возможных методов снижения величины концентрационной поляризации, а именно: использование турбулизирующей сетки (поскольку по технологии изготовления мембранных модулей всё равно необходима сетка-сепаратор, то появляется очевидная возможность создать сетку со структурой, обеспечивающей турбулизацию раствора в напорном канале); повышение скорости течения разделяемого раствора в напорном канале, в том числе за счет рециркуляции (так как затраты на прокачивание раствора обычно малы по сравнению с затратами на продавливание раствора сквозь мембрану (см. анализ в разделе 6.3 данной работы), экономически выгодно поддерживать высокую (но, как правило, ламинарную) скорость течения в напорном канале); применение коротких и узких каналов (существенно не увеличивая стоимость установки укоротить можно лишь рулонные модули, но применение узких каналов встречается повсеместно и, как уже было сказано, вытекает из чисто экономических соображений; нижний предел высоты напорного канала ограничивают из стремления исключить сплошную забивку канала и его зарастание).

Однако все вышеперечисленные методы снижения величины концентрационной поляризации отличаются низкой эффективностью. Например, использование турбулизирующей сетки, в силу малой высоты мембранного канала, возможно только при значительной поверхности контакта элементов сетки с мембраной, что приводит к существованию значительных застойных зон, в которых массообмен значительно ухудшен.

Повышение скорости течения, согласно простейшим расчётам, которые можно провести на основании плёночной модели (1.7) - (1.8), довольно слабо влияет на величину концентрационной поляризации; вместе с тем увеличение скорости сопряжено с повышенными затратами энергии; также при высокой скорости в напорном канале возможна деформация мембраны взвешенными частицами и её порча.

Произвольное укорочение мембранного канала неосуществимо, поскольку при этом возникнут сложности с герметизацией мембранного пакета и системой отвода пермеата. В конечном счёте, укорочение приведёт к тому, что на единицу объёма аппарата будет приходиться всё меньше рабочей поверхности мембраны, т. к. часть её будет занята клеением краёв, прокладками, штуцерами и т. д.

В настоящей работе будут разработаны теоретические основы метода снижения концентрационной поляризации в баромембранных процессах, основанного на явлении естественной конвекции. Данный метод не требует каких-либо изменений в существующих типах мембранных модулей, не предполагает увеличения эксплуатационных затрат и не требует установки дополнительных механизмов. На основании теоретических и экспериментальных исследований процесса возникновения естественной конвекции в плоских мембранных каналах будет показано, что режим естественной конвекции должен возникать в большинстве имеющихся типов мембранных модулей. Для возникновения данного режима необходимо сочетание трёх условий: высокой (>5 г/л) концентрации исходного раствора, определённой ориентации модуля относительно поверхности Земли и низкой скорости течения раствора в напорном канале.

Доказательство существования естественной конвекции при проведении баромембранных процессов позволяет существенно дополнить их теоретическое описание и по-новому взглянуть на экспериментальные работы, данные которых противоречили традиционным представлениям о массообмене в мембранных каналах (например, когда производительность мембраны увеличивалась вдоль по потоку или наблюдалось различие в составе пермеата с верхней и нижней мембраны).

Основные результаты работы

В работе с помощью двух независимых экспериментальных методов (метод лазерной интерферометрии, использовавшийся для визуализации распределения концентраций над мембраной и метод поточной ионометрии, использовавшийся для измерения нестационарной концентрации пермеата) на материале исследования нестационарного процесса при одномерном течении вблизи плоской обратноосмотической мембраны было подтверждено теоретически предсказанное значения критерия концентрационной устойчивости - числа Рэлея. В процессе эксперимента:

1. Доказано (записано на видеопленку) существование естественной конвекции вблизи плоской обратноосмотической мембраны при чрезвычайно малых концентрациях разделяемого раствора.

2. Подтверждено экспериментальным путем теоретическое число (модифицированное число Рэлея) потери устойчивости в каналах плоских обратноосмотических модулей Rac4 ~ 100.

3. Доказана обоснованность применения гипотезы квазистационарного процесса и метода нормальных мод при анализе устойчивости нестационарного распределения концентраций.

В процессе теоретического исследования, дополнительно к основной цели данной работы, было получено решение следующих задач:

1. Методом численного обращения преобразования Лапласа получено численно-аналитическое решение задачи о развитии диффузионного пограничного слоя в плоском мембранном канале, причем для решения разработан оригинальный алгоритм численного обращения преобразования Лапласа, позволяющий рассчитывать функцию-оригинал на всей числовой оси (в отличие от известных алгоритмов, связанных с разложением в ряд в окрестности какой-либо точки, чаще всего 0 или со).

2. С использованием аппарата преобразований Лапласа получено аналитическое решение задачи о нестационарном массообмене вблизи мембраны.

3. Методом Галёркина решена задача о концентрационно-гравитационной устойчивости горизонтального диффузионного пограничного слоя с экспоненциальным распределением концентрации. При решении данной задачи разработан математический аппарат численного решения задачи устойчивости концентрационных (температурных) пограничных слоев с произвольным распределением концентрации (единственное ограничение - данное распределение должно в пределе Z—>оо переходить в экспоненциальное). В процессе решения получены уравнения возмущений и амплитудные уравнения для анализа устойчивости концентрационных пограничных слоев (при наличии постоянной в пределах слоя скорости отсоса).

4. Аналитическим методом решена задача об устойчивости примембранного слоя жидкости с линейным распределением концентрации. В процессе решения получены уравнения возмущений и амплитудные уравнения для анализа устойчивости линейного распределения концентрации.

5. Показано, что для корректного решения четырех вышеперечисленных задач совершенно необходим учет скорости отсоса вблизи мембранной поверхности и специфических граничных условий на мембране.

6. На основе вновь полученного и имеющегося в работах по мембранному газоразделению экспериментального материала предсказаны параметры (концентрация, скорость отсоса, средняя продольная скорость течения) потери устойчивости в плоскокамерных обратноосмотических мембранных модулях при обычной (с протоком) схеме разделения и массообменные характеристики смешанноконвективного режима течения. Показана достижимость режима разделения при смешанной конвекции в каналах плоскокамерных модулей.

7. Разработана методика технико-экономического анализа обратноосмотических мембранных аппаратов, работающих в смешанноконвективном и вынужденноконвективном режимах течения.

1. Дытнерский Ю. И. Обратный осмос и ультрафильтрация, М., Химия, 1978. -352 с.

2. Шервуд Т., Пигфорд Р.,Уилки Ч. Массопередача, М., Химия, 1982. 695 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, М., Наука, 1974. 712 с.

4. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена, М., Госэнергоиздат, 1961.-679 с.

5. Кем В. А. Массопередача в плоских каналах с селективно-проницаемыми стенками применительно к процессам газоразделения. Дисс. канд. тех. наук, М., МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1989. 222 с.

6. Кастро А. X. X. Массообмен при обтекании проницаемого горизонтального цилиндра. Дисс канд. тех. наук, М., МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1992. 189 с.

7. Калика Г. 3. Массообмен в каналах с селективнопроницаемыми стенками в условиях концентрационной неустойчивости (применительно к процессам мембранного газоразделения). Дисс. канд. тех. наук, М., МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1993. 210 с.

8. Sourirajan S. Reverse Osmosis, London, Logos, 1970. 578 p.

9. Дытнерский Ю. И. Баромембранные процессы. Теория и расчет, М., Химия, 1986.-271 с.

10. Тарарышкин М. В. Внешний массоперенос в процессе обратного осмоса при ламинарном течении в плоских каналах. Дисс. канд. тех. наук, М., 1995. 151 с.

11. Berman A. S. Laminar Flow in Channels with Porous Walls// J. Appl. Phys. 1953, v. 24, №9, p. 1232-1235

12. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник, M., Энергия, 1971. С. 210

13. Bhattacharyga D. and oth., Prediction of Concentration Polarization.// J. of Membrane Science, 1990, v. 48, № 2-3, p. 231-262

14. Sherwood Т.К., Brian P. L. Т., Fisher R. E., Dresner L. Salt Concentration at the Phase Boundaries in Desalination by Reverse Osmosis// Ind. Eng. Chem. Fund., 1965, v. 4, №2, p. 113-118

15. Principles of Desalination. Ed. By K.S. Spegler, New York, Academic Press,1966.-566 p.

16. Brian P. L. T. Concentration Polarization in Reverse Osmosis.// Ind. Eng. Chem. Fund., 1965, v. 4, №4, p. 439-445

17. Shah Y. Mass Transport in Reverse Osmosis in Base of Variable Diffusivity// Int. J. Heat and Mass Transfer, 1971, v. 14, № 7, p. 921-930

18. Gill W. N., Tien C., Zeh D. Concentration Polarization Effects in a Reverse Osmosis System// Ind. Eng. Chem. Fund., 1965, v. 4, № 4, p. 433-439

19. Srinivasan S., Tien C. Simultaneous Development of Velocity and Concentration Profiles in Reverse Osmosis Systems// Chem. Eng. Science, 1967, v. 22, № 3, p. 417 -433

20. Kimura S., Sourirajan S.// Amer. Interface of Chem. Eng. J., 1967, v. 19, № 13, p. 497 502

21. Kimura S., Sourirajan S.// Ind. Eng. Chem. Pr. Des. and Develop., 1968, v. 7, № 1, p. 41 -48

22. Kimura S., Sourirajan S.// Ind. Eng. Chem. Pr. Des. and Develop., 1968, v. 7, № 4, p. 539

23. Matsura Т., Baxler A. G., Sourirajan S.// Ind. Eng. Chem. Pr. Des. and Develop., 1977, v. 16, № l,p. 82-89

24. Поляков С. В., Волгин В. Д., Максимов Е. Д., Синяк Ю. Е. Расчет концентрационной поляризации в аппаратах обратного осмоса с плоскокамерными фильтрующими элементами // Химия и технология воды, 1982, т. 4, № 3, С. 299 303

25. Рид Т., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей, JL, Химия, 1982. 592 с.

26. Strathmann Н., Keilin В. Control of Concentation Polarization in Reverse Osmosis Desalination of Water// Desalination, 1969, v. 6, № 2, p. 179-201

27. Дмитриев E. А. Исследование явления концентрационной поляризации и его учет в процессах разделения растворов обратным осмосом. Дисс. канд. тех. наук, М., МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1980. 179 с.

28. Gilron J., Hasson D. Analysis of Laminar Flow Precipitation Fouling on Reverse

29. Osmosis Membranes// Desalination, 1973, v. 12, № 2, p. 127 129

30. Ramanandha K., Gill W. NM Amer. Interface of Chem. Eng. J., 1969, v. 19, №15, p. 872-874

31. Sloan E. D., Harshman R. CM Amer. Interface of Chem. Eng. J., 1973, v. 19, №3, p. 618-623

32. Jonsson A. R., Acrivos A. Concentration Polarization in Reverse Osmosis under Natural Convection // Ind. Eng. Chem. Fund., 1969, v. 8, № 2, p. 359

33. Jonsson A. R., Acrivos A. Experimental Investigation of Polarization Effect in Reverse Osmosis // Amer. Interface of Chem. Eng. J., 1974, v. 20, № 5, p. 966-974

34. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. Дисс. докт. мат. наук, Харьков, 1892

35. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, М., Наука, 1972. 392 с.

36. Platten J.-K. Convection in Liquids. Bruxelles, 1977. 697 p.

37. Le Gal P., Croquette V. Appearance of a square pattern in a Rayleigh-Benard experiment // Phys. Fluids, 1988, № 31 (11), p. 3440 3442

38. Норден П. А. Экспериментальное исследование условий возникновения конвекции в горизонтальных жидкостных слоях. Автореф. дисс. канд. тех. наук, Казань, КХТИ им. С. М. Кирова, 1969. 18 с.

39. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций (2-е издание), М., УРСС, 2003. 280 с.

40. Busse F. Н., Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys., 1978, № 41 (12), p. 1929 1967

41. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа, М., Наука, 1967-489 с.

42. Platten J.-K. These de doctrat. Chimie Physique, Bruxelles, Universite de Bruxelles, 1970.-493 p.

43. Петухов Б. С., Поляков А. Ф. Теплообмен при смешанной турбулентной конвекции, М., Наука, 1986. 192 с.

44. Шварцблат Д. Л. Стационарные конвективные движения в плоскомгоризонтальном слое жидкости с проницаемыми границами. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5

45. Шварцблат Д.Л., Численное исследование стационарного конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости. В Сб.: Гидродинамика (вып. 3). Издательство Пермского Государственного Университета, 2001

46. Костырев К. Г. Концентрационная конвекция в растворах сильных электролитов. Дисс. канд. физ.-мат. наук, Пермь, Издательство Пермского Государственного Университета, 1992. 158 с.

47. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И., Рабовский В. Б. Об устойчивости течения жидкости в плоском канале с равномерным вдувом или отсосом через проницаемые стенки // Инж.-физ. журнал, 1981, т. 41, № 3. С. 436 - 440

48. Непомнящий А. А. Расчет коэффициентов в амплитудном уравнении для вторичных течений, С. 3 8 // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи, Свердловск, изд. УНЦ АН СССР, 1981. - 96 с.

49. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6, Гидродинамика, М., Наука, 1986 (3-е изд.). 736 с.

50. Eckhaus W. Studies in Non-Linear Stability Theory. In: Springer Tracts in Natural Philosofy, v. 6, Berlin, Springer, 1965

51. Palm E. On the tendency towards hexagonal cells in steady convection // J. Fluid Mech., 1960, v. 8, № 2, p. 183 192

52. Oliver D. S., Booker J. R., Planform of convection with strongly temperature-dependent viscosity, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1983, v. 27, № 1-2, p. 73 85

53. Scanlon J. W., Segel L. A. Finite amplitude cellular convection induced by surface tension // J. Fluid Mech., 1967, v. 30, № 1, p. 149 162

54. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature (Part 1. Theory; Part 2. Experimental test of the theory) // J. Fluid Mech., v. 33, № 3, pp. 445-455, 457 463

55. Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M. Устойчивость конвективных течений, М., Наука, 1989.-318 с.

56. Newell А. С., Whitehead J. A. Finite bandwidth, finite amplitude convection, J.-206

57. Fluid Mech., 1969, v. 38, № 2, p. 279 303

58. Swift J., Hohenberg P. C. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability // Phys. Rev., 1977, v. A15, № 1, p. 319 328

59. Jones W. P., Launder В. E. // Int. J. Heat Mass Transfer, 1972, v. 15, № 193

60. Whitehead J. A., Chen M. M. Thermal instability and convection of a thin fluid layer bounded by a stably stratified region // J. Fluid Mech., v. 40, № 3, 1970, p. 549 -576

61. Пасконов В. M., Полежаев В. И., Чудов JI. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена, М., Наука, 1984. 285 с.

62. Clever R. М., Busse F. Н. Nonlinear oscillatory convection // j. Fluid Mech., v. 176, 1987.-p. 403-417

63. Келлер Д., Фридман А. Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости // Методы расчета турбулентных течений. Пер. с англ. под ред. А.Д. Хонькина, М., Мир, 1984. 366 с.

64. Непомнящий А. А. Расчет коэффициентов в амплитудном уравнении для вторичных течений, С. 3 9 // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи (Сборник статей), Свердловск, УНЦ АН СССР, 1981. - 96 с.

65. Getling А. V. Evolution of two-dimensional disturbances in the Rayleigh -Benard problem and their preffered wavenumbers // J. Fluid Mech., 1983, v. 130, p. 165-186

66. Дзюбенко В. Г., Бон А. И., Кадыкова Н. Е. Обратноосмотические мембраны среднего давления. Тез. докл. Всес. конф. Мембранные методы разделения смесей. Черкассы, 23 27 декабря 1991, С. 62 - 63

67. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Факториал, 1997. 304 с.

68. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (т. 1 Гипергеометрические функции, Функции Лежандра), М., Наука, 1973. 296 с.

69. Лыков А. В. Теория теплопроводности, М., Высшая школа, 1967. 599 с.

70. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функции комплексного переменного, М., Наука, 1999.-417 с.-20769. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., Физматгиз, 1961. 341 с.

71. Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению, М., Гостехиздат, 1951. 255 с.

72. Крылов В. И., Шульгина JI. Т. Справочная книга по численному интегрированию, М., Наука, 1966. 514 с.

73. Jonsson A. R. Experimental Investigation of Polarization Effect in Reverse Osmosis. // AIChE J., 1974, v. 20 №5, p. 966 974

74. Себиси Т., Бредшоу П. Конвективный теплообмен, М., Мир, 1987. 590 с.

75. Федоренко Р. П. Вычислительная физика, М., Изд. МФТИ, 1999. 512 с.

76. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений (3-е издание), М., Гостехиздат, 1951. 805 с.

77. Макаров Е.Д. Инженерне расчеты в MathCAD. Учебный курс, СПб., Издательский дом «Питер», 2005. 448 с.

78. Хауф В., Григуль У. Оптические методы в теплопередаче, пер. с англ. под ред. проф. Лихушина В.Я., М., Мир, 1973. 240 с.

79. Петров Ф.А. Голографическая интерференция, М., Химия, 1990. 442 с.

80. Сенявин М. М. Ионный обмен в технологии и анализе неорганических веществ, М., Химия, 1980. 358 с.

81. Иоффе Б. В. Рефрактометрические методы химии (2-е издание), Л., Химия, 1974.-400 с.

82. Дытнерский Ю.И., Брыков В. П., Каграманов Г. Г. Мембранное разделение газов, М., Химия, 1991. 344 с.

83. Aluminium Dusseldorf J., 2005, № 6, p. 22