автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструирование непрерывных сетчатых каркасов технических поверхностей посредством нелинейных отображений

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РФ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫПШЕННОСТИ

На правах рукописи УДК 513.628:533. 6С07)

КОСЯКОВА ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА

КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СЕТЧАТЫХ КАРКАСОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ

Специальность 05.01.01 - Прикладная геометрия и инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе на кафедре прикладной геометрии.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Иванов Г.С.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Обухова В.С.; кандидат технических наук, доцент Говоров Ю. В.

Ведущая организация: указана в решении

специализированного совета

Защита состоится " Г(.Ц. " C}l¿¿jSflJ- 1992г. в час.

на заседании специализированного совета К 063.51.08 при Московском ордена Трудового Красного Знамени технологическом институте пищевой промышленности.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направить по адресу: 125080, Москва А-80, Волоколамское шоссе 11, отдел ученого секретаря.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке МТИПП.

Автореферат разослан "_

/9 " JWJS/U. 1992г.

Ученый секретарь /?

специализированного совета •— И. Н. Акимова

г с——-— •

I ' • .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш исследования. При современном развитии средств обнаружения и поражения летательных аппаратов СЛА) успешное выполнение задания возможно при полете на предельно малых высотах с огибанием и облетом рельефа, препятствий и других опасных зон. Задача облета препятствий на местности по наиболее рациональной траектории решается с использованием автоматической системы выдерживания наивыгоднейшей траектории полета.

Основными задачами исследований с целы) разработки системы, обеспечивающей автоматический облет и огибание препятствий со вписыванием в рельеф местности при полетах ЛА на предельно малых высотах, являются:

- оптимизация алгоритма определения траектории полета ЛА для нескольких параметров ;

- разработка блока управления по траектории полета, обеспечивающего определение точного места ЛА вдоль желательно! траектории полета ;

- объединение и согласование программного блока определения траектории с программным блоком управления по траектории.

Расчет траекторий полета с возможностью облета и обхода препятствий на местности дает возможность ЛА воспользоваться преимуществами маневрирования в плоскости поперечного движения и использовать особенности рельефа местности для оптимальной маскировки с помощью рельефа местности в процессе полета на малых высотах. Алгоритм определения траектории и внедрение соответствующей ему программы представляет проблему, составной частью которой является актуальная задача математического моделирования топографической поверхности.

Как известно, при конструировании различных поверхностей предпочтение отдастся наличию на них сетчатого каркаса плоских кривых. Поскольку определение оптимальной траектории полета ,Л свя^ако с-двихением ЛА в горизонтальной к вертикальной плоскостях, „ - то- цез5в®ообрааво сивьноиекрявлвнные отсеки. подстилаЕЕ^эй поверхности задавать ортогональный сетчатым каркасом из пучков вертикальных сечений и горизонталей, что существенно упростит дальнейшие вычисления, связанные с нахождением оптимальной траектории полета ЛА.

Выаеизлогенное определило цель и основные задачи диссертационной работы.

Цель исследования состоит в разработке методики геометрического конструирования непрерывных сетчатых каркасов технических поверхностей, состоящих из семейств горизонталей и ленкЯ наибольшего наклона, посредством нелинейных отображений.

Для достижения сформулированной дели были поставлены и решены следующие теоретические и прикладные задачи.

1. Обобщить схему метода двух изображений с целью моделирования не только линейных, но и сетчатых каркасов рациональных алгебраических поверхностей..

2. Теоретически обосновать и разработать способ конструирования гладких двумерных обводов, составленных из отсеков рациональных алгебраических поверхностей и заданных составными моделями в виде центральных кремоновых преобразований с общим центром.

3. Разработать коструктивно-прикладные вопросы нелинейных преобразований пространства, расслаивающихся в двух пучках плоскостей, применительно к конструированию сетчатых каркасов двумерных гладких обводов, состоящих из линий наибольшего наклона и горизонталей.

4

4. Разработать методику, схемы и алгоритмы математического моделирования сильноискривленных отсеков подстилащей поверхности применительно к решению задач оптимизации траекторий ЛА при низковысотных полетах. .

Методика выполнения работы. Решение задач, поставленных в диссертационной работе, базируется на методах начертательной, проективной, алгебраической, дифференциальной, вычислительной геометрий.

Информационной и теоретической базой явились работы:

- в области геометрического моделирования технических поверхностей: К. И. Валькова, И. С. Джапаридзе, Г. С. Иванова, В.Е. Михайленко, B.C. Обуховой, А.Л. Подгорного, H.H. Рыжова, 3.А. Скопеца, A.M. Тевлина, С.А. Фролова, Н. Ф. Четверухкна, В. И. Якунина и их учеников;

- в области прикладной геодезии: A.C. Васмута, Б.К. Малязско-го, Б. С. Хейфица, Е. Е. Ширяева, М. В. Шульмина и др. ;

- в области планирования и управления полетом: В.Н. Букова, М. Г. Котика, В. В. Филиппова;

- в области математического обеспечения систем автоматизированного проектирования и технологической подготовки производства: В. А. Бусыгина, А. Г. Горелика, Д. М. Зозулевича, В. Е. Михайленко, K.M. Наджарова, У.Ньюмена, B.C. Полозова, К.А. Сазонова, Р. Спрулла, А. Д. Тузова, В. И. Якунина и др..

Научную новизну выполненного исследования составляют :

1) исследование конструктивно - прикладных свойств квадратичного бирационального преобразования, представленного произведением трех центральных квадратичных неинволюционных соответствий ;

2) схема моделирования непрерывных сетчатых каркасов плоских кривых высших порядков, принадлежащих рациональным алгебраическим

5

поверхностям ;

3) конструирование сетчатых каркасов двумерных гладких обводов, составленных из отсеков рациональных алгебраических поверхностей и заданных составными моделями в виде центральных кремоновых преобразований с общим центром ;

4) конструирование сетчатого каркаса рациональных алгебраических поверхностей посредством преобразований пространства, расслаивающихся в двух пучках плоскостей на центральные кремоновы инволюции, и на его основе - подход к составлению гладких двумерных обводов, несущих два семейства плоских кривых линий ;

53 способ конструирования посредством нелинейных преобразований вертикальных сечений отсеков подстилающей поверхности как гладких одномерных обводов, составленных из дуг моноидальных кривых третьего порядка ;

6) методика математического моделирования фрагментов подстилающей поверхности, реализующая способ конструирования последних в виде двумерных гладких обводов, составленных из отсеков рациональных алгебраических поверхностей и несущих сетчатый каркас из вертикальных сечений (линий наибольшего наклона) и горизонталей.

Практическая значимость выполненного исследования заключается в разработке математической модели и реализующих ее алгоритмов и программ конструирования непрерывных сетчатых каркасов фрагментов подстилающей поверхности в рамках разработки системы, обеспечивающей автоматический облет и огибание препятствий со вписыванием в рельеф местности при полетах ЛА на низких высотах.

В частности, решены следующие задачи, имеющие значение для автоматизированного проектировования отсеков технических поверхностей :

1) в рамках разрабатываемой системы классифицированы

естественные и искусственные препятствия и предложена схема построения линейных каркасов из вертикальных сечений их поверхностей ;

2) разработаны методика, алгоритмы и программы автоматизированного конструирования вертикальных сечений сильно-искривленных отсеков подстилающей поверхности;

3) разработаны алгоритмы и программы автоматизированного конструирования непрерывного сетчатого каркаса отсека подстилающей поверхности, 'ориентированные на выполнение последующих расчетов по оптимальному трассированию

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены

1) на аспирантских семинарах кафедры Прикладной геометрии МАИ в 1989 - 1992 г. г. ;

2) на Всесоюзной научно - методической конференции в г.Иошкар - Ола в 1990 г.

33 на семинаре "Кибернетика графики" в г. Москве в 1992 г.

Публикации. По теме -диссертации опубликовано 5 научных работ, в которых отражены теоретические и прикладные результаты исследований, выполненных в диссертационной работе. Материалы исследований включены в технический отчет по х/д НИР МАИ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 140 наименований, приложений и содержит 135 страниц машинописного текста, 61 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш исследования, сформулирована цель и основные задачи исследования, научная

7

новизна и практическая значимость работы, приведены сведения о структуре и объеме работы.

В первой главе рассматриваются вопросы конструирования, исследования и отображения на плоскость рациональных алгебраических поверхностей, несущих сетчатый каркас плоских кривых линий.

На основе анализа существующих способов моделирования алгебраических поверхностей посредством нелинейных отображений, которые позволяют конструировать поверхность с кратной прямой 1, несущей на себе в плоскостях К«^) линейный каркас плоских алгебраических кривых любого порядка, а также, исходя из поставленной задачи исследования, предложен подход с целью конструирования поверхностей, несущих сетчатые каркасы плоских кривых с наперед заданными характеристиками. С этой целью рассмотрены вопросы, связанные с моделированием поверхностей, с заданным сетчатым каркасом, на картинной плоскости в виде центральных, бира-циональных точечных соответствий С прямая задача), а также конструирования поверхностей по их заданным моделям в виде цикла из трех центральных креыоновых преобразований Собратная задача). Идея получения такого каркаса основана на моделировании поверхности ф" путем отображения на плоскость посредством трех различных прсецирозаниД, что равносильно замене двухкартинного чертежа трехкартинным и приводит к так называемому циклу (произведению) трех бирациональных преобразований - моделям поверхности на

плоскости П, рассматриваемой как три совмещенных поля проекций.

Преследуя цель построения модели в виде взаимно однозначного соответствия, на выбор аппарата проецирования накладываются определенные ограничения, с тем чтобы через любую точку поверхности преходила единственная проецирующая линия.

Для иллюстрации возможности такого моделирования рассмотрено

отображение линейчатой квадрики ф2 посредством трех стереографических проецирований. Предложенная конструкция проецирования устанавливает между полями проекций П, П; П, П; П, П точек поверхности ф2 центральные квадратичные преобразования Т2(А ~ а ), т2(Л ~ А), тг {X ~ А) с центрами в точках к,« Уш р,, г%ш У^. Эти точки принадлежат одной прямой , являющейся линией пересечения плоскости 9 (в, 8 ,8) с плоскостью проекций Срис. 1).

Рис. 1

Фундаментальная система данного цикла Спроизведения) из трех квадратичных преобразований включает в свой состав кроме центров каждого из трех преобразований также г- точки, которые

9

являются точками пересечения инвариантной кривой йг со следами касательных плоскостей к Ф? проведенных в центрах проецирования в, В , 8 ,в каждом из трех полей проекций. Соответствия, устанавливаемые между проекциями точки А на плоскости изображения при данном аппарате проецирования, являются неинволюционными.

Полученные квадратичные преобразования попарно имеют по две общие к -точки в промежуточных полях, что позволяет любое из преобразований представить композицией двух других: т2- Т2Т2, Гш Т2Тг. Взаимное расположение фундаментальных точек данных квадратичных преобразований дает возможность их представить как одно квадратичное преобразование 3Т2 цикла три, в котором произвольная точка плоскости в результате последовательно выполненных трех преобразований соответствует сама себе .

Формулы преобразования Т2 можно представить в виде:

' _ (1 - х)(х„- и2» К2) + (1 ♦ \)л/кУ* у^В*-.»2!. * " х (1 - Шх'Т-у2 - ЕХ) ♦ (1 ♦ ЬЦгеНТТК2г-5гГ-

' „ <1 - х)(х„- в!> к2) ♦ (1 ♦ Х)л/«У» у^вЧд*)-. у " у (1 - 1)(х2Гу2 - сх) + (1 + \IVй Тй ^"в 1

Формулы преобразований Т2 , Т2 аналогичны приведенным выше.

Получение сетчатого каркаса кривых поверхности ф" выполняется путем отображения на пространство точек плоскости П, рассматриваемой как три совмещенных поля проекций, посредством трех различных проецирований При задании аппарата отображения необходимо обеспечить, чтобы проецирующие прямые попарно пересекались в одной точке, принадлежащей конструируемой поверхности фп, несущей сетчатый каркас, а не двум или трем конкурирующим поверхностям с линейными каркасами кривых.

В частности, по предлагаемой методике можно конструировать рациональные алгебраические поверхности , несущие сетчатые каркасы 10

парабол высших порядков. В этом смысле выполненные в этой главе исследования позволяют рассчитывать на получение метода моделирования технических поверхностей, обобщающего известные способы, такие как способы Кунса, бикубических сплайнов и др. Возможности предлагаемого способа показаны на примерах моделирования рациональных поверхностей, несущих каркасы парабол второй и третьей степеней.

Во второй главе представлен материал, посвященный конструированию гладких двумерных обводов.

В первой части данного раздела рассматривается круг вопросов, связанный с моделированием двух и более поверхностей, что необходимо для разработки теоретических основ практических способов конструирования гладких двумерных обводов. При этом в отличие от первой главы рассматриваются лишь двухпартийные чертежи, поскольку в предыдущей было выяснено, что трехкартишше чертежи, представляемые в виде преобразования цикла 3 , фактически состоят из совокупности трех двухкартинных чертежей.

При моделировании двух поверхностей е"1, «пг одним и тем же аппаратом отображения важно выяснить как влияет выбор аппарата проецирования, взаимное расположение данных поверхностей на характеристики их моделей, в качестве которых мы принимаем центральные кремоновы преобразования с общим центром. Полученное изображение должно быть обратимым: пара известных проекций А(, Л( восстанавливает пологение оригинала А(в пространстве, что возможно в случае пересечения проецирующей линией поверхности и плоскости изображения каждую в единственной свободной точке.

При центральном проецировании алгебраическая поверхность п-го порядка моделируется на плоскости П = П центральным бира-циональным преобразованием п-го порядка, если центры 8, о связок проецирующих прямых являются (п - 13 - кратными точками

поверхности. Поэтому при получении модели двух поверхностей Е"1, ф"2 при таком отображении центры проецирования 8, 8 должны являться (х^- 1) - кратными точками поверхности Еп1 и (п2- 1) кратными точками поверхности ф"2 . Эти точки должны принадлежать линии пересечения поверхностей порядка п1п2, являясь на ней (п1п2-1) - кратными.

Очевидно, что свойства моделируемых поверхностей и их непрерывных моделей, заданных на плоскости проекций, взаимозависимы. Они зависят также от их взаимного положения в пространстве (пересечения, касания определённого порядка гладкости) и выбранного аппарата проецирования. Изучение этой взаимосвязи представляет важную компоненту в задачах конструирования отсека одной поверхности или двумерного обвода, удовлетворяющих ряду наперед заданных условий позиционного, метрического и дифференциального характера. Поэтому целью одного из разделов данной работы явилось исследование влияния взаимного положения двух поверхностей е"1 , фп2 из рассматриваемого множества, имеющих общие точки 8, 8 , на взаимосвязь свойств и характеристик их моделей т , Тп2 . Другими словами, выясняется как моделируются на чертеже линия пересечения, касания, соприкосновения различных порядков данных поверхностей. Это необходимо для решения обратной задачи, когда нужно прогнозировать взаимное положение двух и более поверхностей уже на стадии задания их моделей, то есть при решении прикладных задач, связанных с конструированием гладких составных поверхностей.

Предлагаемый подход к решению задачи конструирования поверхностей, рассмотренный в первой главе, позволяет моделировать гладкие двумерные обводы. Для этого на плоскости изображения выбирается несколько центральных преобразований, центры и инвариантные кривые которых имеют строго определенное 12

Ф : - 4xJ- хуг- lBzx2+ 48хг- 16xzz+ 96xz - 128x > 0 5 : - 2x3- 4хуг- 18zx2+ 48xz- 16xz2+ 96xz - 128x = 0

Рлс. 2

взаимное положение. Заданные преобразования принимаются за составную модель конструируемого двумерного обвода. Проецированием соответственных точек и линий модели получается конструируемая поверхность, состоящая из двух и более отсеков, как двумерный массив точек или непрерывный каркас линий Срис. 2).

В этой главе рассмотрены примеры конструирования двумерных обводов, их линейных и сетчатых каркасов по заданным составным моделям в виде центральных кремоновых инволюций с общим центром, инвариантные кривые которых представляют гладкие одномерные обводы. Показана методика вывода уравнений составляющих.

С целью конструирования технических поверхностей, несущих сетчатые каркасы плоских кривых, в работе представлены разработки, направленные на получение таких технических форм с помощью бирациональных преобразований пространства, расслаивающихся в двух различных пучках плоскостей на центральные инволюционные преобразования. Решение сформулированной задачи выполняется модификацией известного аппарата кремонового преобразования пространства, расслаивающегося в пучке плоскостей на центральные бирациональные преобразования.

Инволюционное преобразование пространства, расслаивающееся в двух различных пучках плоскостей, более общо по сравнению с наиболее простыми преобразованиями пространства - центральными. Если у последних порядок п преобразования равен порядку и инвариантной поверхности, то здесь п « в + 1. Кроме того,

центральные преобразования содержат связку слабоинвариантных плоскостей, предлагаемые - лишь два пучка плоскостей с осями 1 и а (рис. 3).

Возможности полученных преобразований в части конструирования поверхностей значительно шире. Действительно, в центральных преобразованиях гомолоид Ф - образ некоторой плоскости Ф, 14

Рис. 3

пересекается всеми плоскостями связки расслоения по моноидальным кривым порядка п , где п - порядок преобразования I . В предлагаемых же преобразованиях свойства гомолоида значительно расширены: он пересекается плоскостями о( пучка (1) по моноидальным кривым V -го порядка с вершиной , принадлежащей прямой з , а плоскостями р пучка в - по моноидальным кривым порядка а - V + 2 с вершиной , принадлежащей прямой 1. То есть гомолоид является рациональной алгебраической поверхностью Ф порядка в + 1 с двумя кратными прямыми 1ив: 1 на » (я - V ♦ 11-кратна , прямая в - (V - 1) -кратна . В случае же центральных преобразований гомолоид имеет лишь одну особенность: (п — 1) -кратную точку - центр преобразования .

Из чисел п, я, у, характеризующих рассматриваемое преобразо-

15

вание, число V является независимым, что дает достаточную возможность варьирования характеристиками конструируемой поверхности .

Используемое кремоново преобразование I имеет г-систему, состоящую из прямой 1, кривой я" - носителей центров Г1 инволюций 1у и некоторой кривой г* - носителей простых Р -точек инволюции . В частных случаях к -система преобразования может распадаться в различных комбинациях. Тогда гомолоиды, будучи инцидентными ¥ -системе , могут иметь касание определенного порядка гладкости в г -точке или по г -кривой . Эти свойства фундаментальной системы позволяют использовать преобразование I для конструирования

двумерных обводов. Изученные бирациональные преобразования пространства используются в следующей главе для конструирования отсеков подстилающей поверхности.

В третьей главе рассматриваются вопросы математического моделирования фрагментов подстилающей поверхности, что является составной задачей в создании автоматической системы, обеспечивающей облет и огибание препятствий со вписыванием ЛА в рельеф местности при полете на предельно малых высотах.

На основе проведенного анализа существующих моделей топографической поверхности, сделан вывод о том, что наиболее приемлемым представляется локальная аппроксимация элементов рельефа и искусственных сооружений с обоснованным выбором аппроксимирующих функций, позволяющих качественно аппроксимировать указанные объекты и учитывающих специфику решаемых задач с построенными моделями.

Для математического представления гладких участков топографической поверхности и соответственных им отсеков подстилающей поверхности поверхность ячейки координатной сетки описывается линейной аппроксимацией сторон четырехугольника и линейной 16

интерполяцией поля рельефа (рис. 4) в пределах ячейки. Значения высот z^ [xtT>, ytT>] рельефа в прогнозируемых координатах х<т), у(т) описываются согласно выражения:

ur. , 1 - и X Hz-Hi . . Н3-Н1 , H<-H3-Hz-Hi . . "» [V 1 - Н1 + ТПГ + Т7Т~ + -LU - ЫГ Lzi '

где :

tlx, Мi - шаг дискретности записи карты ;

н,. н2, нз, н4 - высота точек в узлах координатной сетки ;

= *, - »xiiJx iZ. = 2i - • ■хГ -ТГГ • "n" TFT ■

Таким образом, слабопересеченная часть топографической поверхности заменяется обводом нулевого порядка гладкости, состоящим из отсеков гиперболических параболоидов.

Основное внимание в этой главе уделено разработке единого способа моделирования отсеков подстилающей поверхности, "накрывающих" естественные и искусственные препятствия (лесной массив, отдельные холмы, здания, заводские трубы и т.п.) и несущих на себе семейство однотипных кривых. При выборе специальных аппроксимирующих функций, описывающих сильнопересеченные участки топографической поверхности, учитывалась схема работы автоматической системы выдерживания наивыгоднейшей траектории полета при облете препятствий.

Предъявляемым требованиям к аппроксимирующим функциям, описывающим фрагменты подстилающей поверхности, наиболее полно соответствуют дробно-рациональные функции, графиками которых являются моноидальные кривые и поверхности с несобственной вершиной.

Сечения отсеков аппроксимирующих поверхностей должны относиться к многообразию кривых корреляционного типа. Анализ типовых корреляционных функций показывает, что они могут быть

описаны кривыми третьего порядка, относящимися к гиперболизмам конических сечений. Конструировать подобные кривые, аппроксимирующие вертикальные сечения Св ряде случаев они являются линиями наибольшего наклона) отсеков подстилающей поверхности, удобно посредством кубических преобразований 1э с несобственным центром . При этом указанные сечения я' представляются в виде гладкого обвода, составленного из дуг кривых третьего порядка с несобственной изолированной точкой.

Отсек ф1 подстилающей поверхности получаем как однопараметрическое множество линий Срис. 5), сечений

отсека Ф1 пучком плоскостей с вертикальной осью 1 , проходящей через "вершину" аппроксимирующего фрагмента, если его длина и ширина сопоставимы, или несобственной осью, то есть пучком параллельных плоскостей, в случае протяженных фрагментов типа линий электропередач.

Теоретические разработки, выполненные в данном разделе диссертационной работы, реализованы в виде блок-схем, алгоритмов и программ, входными данными при этом являются тактико-технические характеристики самолета, выходными - коэффициенты уравнений составляющих линий, описывающих вертикальные сечения подстилающей поверхности; графическое изображение кривой или их семейств.

Универсальность моделирования различных фрагментов местности, уменьшение кусочности математической модели отсека подстилающей поверхности, расположенного над сильнопересеченным участком топографической поверхности, являются отличительными особенностями представленного решения инженерной задачи данной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Реферируемая диссертационная работа посвящена разработке

методики геометрического конструирования непрерывных сетчатых каркасов технических поверхностей, состоящих из семейств горизонталей и линий наибольшего наклона, посредством нелинейных отображений. В теоретической части работы для решения поставленных задач, вытекающих из сформулированной цели исследования, были рассмотрены вопросы конструирования алгебраических поверхностей, несущих сетчатые каркасы кривых, отвечающих ряду наперед заданных условий. Получены следующие теоретические результаты.

1. Предложены методики решения прямой и обратной задач моделирования поверхности, то есть конструирования поверхности и ее непрерывного сетчатого каркаса плоских кривых заданного вида, моделью которой является квадратичное преобразование цикла три.

2. Разработана схема конструирования двумерных обводов, их линейных и сетчатых каркасов по заданным составным моделям в виде центральных кремоиовых инволюций с общим центром, инвариантные кривые которых представляют собой гладкие одномерные обводы.

3. Разработаны конструктивно - прикладные вопросы нелинейных преобразований пространства, расслаивающихся в двух пучках плоскостей, с целью моделирования технических форм, несущих сетчатый каркас плоских кривых.

4. Исследованы вопросы конструирования алгебраических кривых и поверхностей типа моноидов с целью аппроксимации их отсеками сложных геометрических форм, а также в целях использования их в качестве геометрических моделей фрагментов подстилающей поверхности.

Проведенные теоретические исследования явились основой для разработки некоторых вопросов методики автоматизированного конструирования отсеков поверхностей и дали возможность получить следующие практические результаты.

1. Алгоритм конструирования вертикального сечения, в

частности, линий наибольшего наклона отсеков подстилающей поверхности, квазизквндистантных сильноискривленным фрагментам топографической поверхности.

2. Методика и алгоритмы построения сетчатых каркасов фрагментов подстилаюаей поверхности, состоящих из лнвнй наибольшего наклона и горизонталей.

3. Отдельные подпрограмм модуля автоматизированного проектирования подстилающей поверхности.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих научных работах:

1. Иванов Г. С. , Косякова Е. Ю. , Юмагужина А. М. Теоретические и прикладные аспекты моделирования поверхностей // Тезисы докл. межзонального научно - метод. совещания - семинара преподавателей Волго - Вятской, Поволжской и Центрально -Черноземной зон: Актуальные вопросы начертательной геометрии и инженерной графики. - Иошкар - Ола: МПИ, 1990. - С.16-17.

2. Иванов Г.С., Косякова Е. Ю. Бирациональные преобразования пространства, расслаивающиеся в двух пучках плоскостей на центральные инволюции. Деп. в ВИНИТИ, N 2372-В 92. - М., 1992. - 8с.

3. Иванов Г. С., Косякова Е. Ю. , Юмагужина А. М. Некоторые актуальные задачи моделирования поверхностей в начертательной геометрии // Интеграция обучения и научных исследований в начертательной геометрии и инженерной графике. Йошкар-Ола: МПИ, 1991. - С.45-50.

4. Косякова Е. Ю. , Умбетов Н. С. Геометрические аспекты моделирования отдельных фрагментов подстилающей поверхности. Деп. в ВИНИТИ, N 2373-В 92. - М. , 1992. - 8с.

5. Косякова Е. Ю. Моделирование взаимного положения двух квадрик на двухкартинном чертеже // Тематический сборник научных

21

трудов МАИ. М.: МАИ, 1992, Св печати). 6. Косякова Е. Ю. Математическое моделирование фрагментов подстилающей поверхности // Глава технического отчета по теме N 50520-03030/778. - М.: МАИ, 1991. С.68-81.