автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задача оптимального управления материальными ресурсами

На правах рукописи

НАЗАНЯН ГАЙ К АРТАВАЗДОВИЧ

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ РЕСУРСАМИ

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Московском Физико-Техническом Институте (Государственный Университет) и в Вычислительном Центре им. А. А. Дородницына РАН.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

Дикусар В. В.

доктор педагогических наук, доцент

Шомполов И. Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Абрамов А. П. Мартынов В. В.

Ведущая организация:

Центральный Экономико-Математический Институт РАН

Защита диссертации состоится 02 ноября 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.002.017.03 при Вычислительном Центре им. А. А. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан "_" "_" 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Мухин А. В.

0,009-Ч

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства детерминируемого управляемого объекта. Существуют различные методы решения подобных задач: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариаций фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены только по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Это связано со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Принцип максимума приводит исходную постановку задачи к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, вместе с которыми должны удовлетворяться дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решения в каждой расчетной точке задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций.

В последние десятилетия, научно-технический прогресс (инновации) окончательно утвердился в качестве важнейшего фактора экономического развития, основы конкурентоспособности фирм, отраслей, национальных экономик. Эффективность функционирования механизма технологического развития в рыночной экономике во многом зависит от состояния и перспектив развития производственных мощностей. Именно поэтому в настоящее время стала актуальной проблема обновления активной части основных фондов, качественного изменения технологического уровня производства и повышения ее эффективности. Модели, описывающие эти процессы, имеют приложения на различных уровнях управления экономикой. Однако возможность практического применения таких моделей сдерживается недостаточным развитием анализа их качественных свойств, прикладной интерпретации, а также теорией и численных методов решения, возникающих в этом случае математических задач управления. В указанном направлении рассматривается одна задача оптимального управления об оптимальном замещении фондов в однопродуктовом производстве с быстрыми темпами обновления технологий. Наличие фазовых и смешанных ограничений в формулировке задачи повышает сложность задачи и повышает ее актуальность.

Цель работы. Рассмотреть известные подходы к решению задач оптимального управления общего вида. В рамках схемы Дубовицкого-Милютина сформулировать и качественно и численно решить задачу оптимального управления о замене производственных фондов на базе модели Л.В. Канторовича. На основе полученных результатов предложить качественно новую модель производства с высокими темпами обновления технологии. Провести качественный и количественный анализ новой задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Привести пример задачи обновления производственных фондов вместе с численными расчетами по ней.

Методы исследования. В работе используется математический аппарат теории оптимального управления, аппарат численных методов решения задача оптимального управление, качественные методы теории дифференциальных уравнений, а также программный комплекс "Баланс-2".

Научная новизна. Разработана методика качественного и численного анализа заданного касса задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе моделей производства с быстрыми темпами обновления технологий. На основе оценки результатов решения задачи предложена новая модель, приводящая к более корректной задаче оптимального управления.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность. Результаты работы могут использоваться для решения задач возникающих при планировании обновления основных фондов на высокотехнологичном производстве.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в МФТИ, ИСА РАН, ИЛУ РАН, ЦЭМИ РАН, ИММ РАН, а также на научной конференции Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XГV,.

Личный вклад. В совместных работах [2], [4] автору принадлежит 80% результатов. Лично автором сформулирована задача оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе моделей Л. В. Канторовича, Л. А. Бекларяна и С. В. Борисовой. Проведен качественный и количественный анализ задачи оптимального управления на основании принципа максимума Дубовицкого-Милютина, а также работ В. В. Дикусара. Разработан алгоритм численного решения задач рассматриваемого типа. Автором предложена новая модель производства с быстрыми темпами обновления технологий.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и библиографического списка, содержит 34 рисунка. Общий объем работы составляет 142 страницы. Библиографический список включает S3 наименований.

Содержание работы

Во введении дается представление о понятии научно-технического прогресса. Излагаются вопросы, которые рассматривает новая экономическая наука, называемая инновационной экономикой. Вводится понятие продуктовой платформы. Приводится типология динамики нововведений, которые можно разделить на революционные и эволюционные нововведения. Именно нововведения последнего, эволюционного, типа рассматриваются в настоящей работе. При эволюционном НТП предполагается, что инновационный процесс проходит непрерывно и не имеет скачков.

Указываются основные типы функций, выражающие эффект научно-технического прогресса на производство при рассмотрении производственных функций. Наиболее распространенными функциями, описывающими такого рода динамику, являются так называемые $-образные кривые. На $-образных кривых вначале происходит экспоненциальный рост - производная растет, а затем кривая теряет темпы роста -производная убывает (см. рисунок).

Замечается о важности принятия решения своевременного перехода на новую технологию.

Приводится одна из основных проблем, возникающих при планировании инновационного производства - моделирование и оптимизация сроков функционирования производственных мощностей.

Далее излагается один из способов учета влияния научно-технического прогресса на эффективность производства - это ввод функции, выражающей динамику инноваций, в производственную функцию. Приводятся основные гипотезы при таком подходе к учету научно-технического прогресса. Вводятся понятия экзогенного и эндогенного, а также овеществленного и автономного научно-технического прогресса.

0 12 3 4 I

В диссертации рассматривается динамическая модель производства, действующая в рамках гипотезы об экзогенном и овеществленном научно-техническом прогрессе.

Экзогенность означает, что динамика НТП задается (прогнозируется) изначально и никак не связана с динамикой экономических показателей.

Концепция овеществленного НТП, базируется на гипотезе о том, что с течением времени растет эффективность лишь вновь вводимых основных фондов. Продуктивность же уже действующих основных фондов остается неизменной или падает в течение всего периода их функционирования. Фондам каждого возраста соответствует своя производственная функция, а общий выпуск равен сумме выпусков на фондах всех возрастов, функционирующих в данный момент времени.

Далее формулируются основные известные модели, учитывающие влияние НТП при использовании динамических двухфакторных производственных функций ¥(К,Ь,(), где К@) - объем основных фондов, - объем трудовых фондов.

Вводится гипотеза о свободном перераспределении и гипотеза о фиксированных пропорциях. Гипотеза о свободном перераспределении состоит в том, что в каждый момент времени рабочая сила может свободно перемещаться между фондами различных возрастов, и в каждый момент времени она распределяется таким образом, чтобы при заданном объеме и возрастной структуре основных фондов обеспечить максимальный выпуск продукции. Гипотеза о фиксированных пропорциях предполагает, что замещение между применяемыми трудовыми и капитальными ресурсами возможно лишь в момент ввода в действие новых основных фондов

В рамках гипотезы о свободном перераспределении приводится известная модель производства, в которой продуктивность действующих основных фондов падает в течение всего периода их функционирования. При этом производственная функция имеет следующий вид

и выражает часть дохода, произведенного в момент t на фондах, введенных в эксплуатацию в момент т . Тогда общих доход на момент времени t будет следующим

Возникающая при этом задача максимизации прибыли имеет вид

max f F(K(l, T\L(t, z), z)dx

где значения K(t, г) и L( t) предполагаются известными. Распределение же общего объема рабочей силы L(t, Т) необходимо найти.

В рамках гипотезы о фиксированных пропорциях, когда эффективность производственных фондов не изменяется с течением времени и фонды на протяжении всего рабочего периода сохраняют одинаковую продуктивность, дается определение модели Л.В. Канторовича. Здесь вводится функция, характеризующая срок службы основных фондов m(t). При этом доход на момент времени t выражается через следующую функцию

Р( 0= fF(X(î)Mr),r)dT,

где и интенсивности (скорости) изменения соответственно объемов основных фондов и объемов трудовых ресурсов.

Далее приводится модель производства Л. А. Бекларян и С. В. Борисовой с экзогенным и овеществленным научно-техническим прогрессом, основанную на гипотезе о фиксированных пропорциях и являющуюся расширением модели Л.В. Канторовича. В новой модели, кроме времени функционирования старых фондов, также учитывается время необходимое для освоения вводимых фондов. При этом вводится дополнительная функция , характеризующая политику ввода в производство новых фондов. По сути, величина ( t- ( t)) - есть время необходимое на ввод новых фондов. Здесь, доход в каждый момент времени / вычисляется уже по формуле

причем количество трудовых ресурсов делится на две части

Д0 = 4«)+£,(0

где La - называются активными трудовыми ресурсами, a Lr - пассивными. Имеют место следующие равенства, называемые уравнениями баланса трудовых ресурсов

1^^=4(0, j

Количество активных и пассивных трудовых ресурсов заданы изначально.

5

В рамках моделей Канторовича и Бекларяна-Борисовой возможна формулировка задачи оптимизации, где в качестве критерия оптимальности используется так называемый "принцип дифференциальной оптимизации". Суть принципа состоит в оптимизации скорости изменения критерия в каждый момент времени. Таким образом, требуется найти такие функции m(t), a(t), которые были бы решением

следующей задачи оптимизации

( пи P'(t) = FCrfa(O), <p{a(t)\a{t))a\t) - F(*(m(/)),^')W')K(0

ç(a(t))a'(0-ç(m(t)W(t) = L:(t) <p{t)-V{a(i))a'(t) = L'f(l) 0 < a'(l), 0 < m'(t) < M, 0< «KO

Затем формулируется задача оптимизации, которая, в отличие от задачи Л. А. Бекларяна и С. В. Борисовой, является задачей оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями с интегральным критерием оптимальности

(1.1)

(1.2)

где !,(/), *2(0. *з(0» ХЛ0 - фазовые переменные; и{(1), и2(*), «3(<) - управления; х\, X}, Х°, е, Т, М, %{(), Д(1), £„(')> ¿„(0> - изначально заданные числа и

функции.

Задача с интегральным критерием является обобщением задачи Бекларяна-Борисовой с принципом дифференциальной оптимизации. Их решения совпадают только в случае монотонности функции национального дохода, когда решение, обеспечивающее максимум по производной, также дает максимум и интегральному критерию

В третьей главе приводятся необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума для различных задач оптимального управления: принцип максимума Понтрягина для задачи Понтрягина

TmnJ(p), /> = (х(/Д*(/,),/„,/,)

принцип максимума для задачи Блисса-Больца (Майера)

' fflto/i/'X р = Wo).*с,н.о

принцип максимума в виде схемы Дубовицкого-Милютина для канонической задачи Дубовицкого-Милютина с гладкой зависимостью от времени

Illing), p = (x(t0),x(tM>>,)

* = /(*,»,'), Цр) = 0, <?(р)£0

Даны определения, для понятий, используемых в формулировках принципа максимума.

Рассматриваются алгоритмы решения задач оптимального управления. Результат применения принципа максимума в задаче оптимального управления - это сведение задачи к краевой задаче с последующим численным решением полученной краевой задачи. Приводится общая концепция указанного способа решения для задачи Понтрягина.

*„(Г> = |/0(дс, и, fyk -> max

при помощи нахождения нулей невязок для концевых значений фазовой переменной

Подбор решения осуществляется за счет изменения произвольно заданных начальных значений У((0) = а, для сопряженной переменной , участвующей в формулировке соответствующего принципа максимума. Так как связь между переменными % и а, -неявная, то, каждый раз задавая значения Щ, нужно решать численно задачу Коши порядка 2п, причем на каждом шаге численного интегрирования нужно определять управление и из условия выполнения максимума Понтрягина.

Рассматриваются основные трудности при решении задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями

*о(7>|/о(*.«.0<Й->яшх /ц (г, к, 0 = 0, А, (дг, !/,/)< 0

В отличие от задачи Понтрягина задачи с фазовыми и смешанными ограничениями не имеют общего алгоритма решения. К решению каждой такой задачи нужно подходить отдельно, и находить оригинальные способы и приемы, пригодные для решения данной задачи.

Здесь в функции Гамильтона и, как следствие, в уравнении для сопряженной переменной присутствует мера (множитель Лагранжа), которая может иметь разрывы на рассматриваемом участке времени, что не позволяет проводить прямое сведение задачи оптимального управления к краевой задаче. Разрывы этой меры зависят от геометрии неравенственных фазовых ограничений, а именно, разрывы происходят в точках перехода фазовой переменной на границу ограничения Для определения этих точек нам нужно иметь траектории фазовых переменных, которые, естественно мы не можем иметь.

Далее приводится соответствующий принцип максимума для сформулированной выше задачи о замещении производственных фондов (1.2), которая является регулярной канонической задачей Дубовицкого-Милютина с гладкой зависимостью от времени.

В третьей главе рассматривается упрошенная задача о замещении производственных фондов (1.2) без фазовых и смешанных ограничений, с линейной производственной функцией и с дополнительным ограничением на управление и£ и1°:

хгю = -ех2(0+аьОМУ-а*4(0«2(0

Для численного решения получаемой из принципа максимума краевой задачи предполагается, что управления являются некими постоянными величинами. Далее задача решается численно методом возмущений за три шага. Полученное решение может использоваться как нулевое приближение при численном решении задачи (1.2).

В четвертой главе рассматриваются вопросы существования решения в задаче оптимального управления (1.2) Доказаны два следующих утверждения о связи между управлением ы3(() с остальными управлениями и(), и() Утверждение 1

Управление щ({) в задаче (1.2) можно найти, если известно значение управления

и(). Если х° < 0, то иможно также найти с помощью управления и(). Утверждение 2

1) Если в некоторой точке <е[0,Г] имеет место х4(0<0, то управление и() в этой точке выражается через и():

2) Если в некоторой точке <е[0,Г] имеет место *3(Г)<0, то управление и3(/) в

этой точке выражается через «,(/) или и2(1):

«3(о=1;(о+ш+л«)М') »,(/)=!;»+л«»,»

Далее рассматриваются два частных случая фазовых ограничений

1. х4(1) = х1(0,

Для первого частного случая получаем следующую теорему о существовании тривиального решения Теорема (о существованиирешения)

Если для некоторой точк^О,?-] выполняется условие 1) *,(') = *!(') и не выполняется условие 2) х3(1)?/:, причем Ь'() = 0, то в этой точке решение задачи (1.2) существует и равно:

в

">(')> "г(0> и **(') принимают любые значения

Для второго частого случая фазовых ограничений получены несколько условий существования решений в задаче (1.2) при постоянном управлении и2(^) = С Условие1

Если С = 0, то управление и3 определено на всем интервале /е[0,Т] и равно

Условие 2

Если на всем интервале {е[0,Г] фазовая переменная х$) не меняет знак, то управление и3 однозначно определяется из уравнения и3(/) = 7^(0 + А(/)С Условие 1 и Условие 2 дают необходимые значения участвующих в задаче управлений и проводят ее к решению конкретной краевой задачи.

Используя описанные выше Утверждение 1 и Утверждение 2, доказывается Утверждение 3, дающее общий алгоритм и формулу нахождения управления иг(() во втором частном случае и при постоянном управлении и() = С. Утверждение 3

Пусть на всем интервале /е[0,Г] в задаче (1.2) имеет место х() = I, Ь'() = Q, Х4(/)#Х3(/) и управление и2 линейно и0) = С, О<С<,М. Тогда управление и3

однозначно

определяется

последовательности

И*(0-СА(»4(-Х,(0)) + Щ(...хМ), да =

Также дается оценка для постоянной величины С , при выполнении

которой обеспечивается соответствие решения оставшемуся во втором частном случае

фазовому ограничению х4(*) <

Таким образом, дается общая методика численного решения задачи (1.2) в случае

х3(^)=, и(р) которая состоит в следующем. Подставляя различные значения и2 = С,

10

находим соответствующие им управления . Затем, решая каждый раз систему

дифференциальных уравнений задачи (аналитически или численно), можно найти значения фазовых переменных *,(<), Хг(0, *4(0, соответствующие управлению и2 = С. Перебирая различные значения С, необходимо выбрать такое постоянное управление иг = С, которому соответствует максимальное значения функционала Х^Т) -> шах . Чем

больше значений С будет рассмотрено, тем точнее будет решение.

Далее приводится конкретный численный пример задачи оптимального управления в случае х.0) = ^ постоянном управлении и2@) = С для производственной функции Кобба-Дугласа

0,0=АШН'К'С). о < ^ < 1

Задача решается при условии , где - экзогенно заданная функция,

отражающая темпы роста основных фондов. Однако из-за специфических свойств функции Кобба-Дугласа мы не получаем решения в случае щ(!) > . Более того мы получаем противоречие, находя некое частное решение при невозможности решения общей задачи, что говорит об ограниченном потенциале производственной функции Кобба-Дугласа и/ или возможно о некорректно поставленной модели.

Затем рассматривает задача (1.2) в частном случае х() = ¡и при линейном

с

управлении . Здесь, как и в случае с постоянным управлением и условии

, мы сталкиваемся с трудностями при численном решении задачи. В пятой главе на основе результатов предыдущей главьг делается предположение о некорректной постановке модели и соответственно задачи с интегральным критерием оптимальности.

Делается попытка упрощения задачи путем замены некоторых переменных участвующих в сложных зависимостях. В частности упрощаются смешанные ограничения, в которых вместо сложных функций и3(х3(() и и3(х4(0) подставляется расширенная функцию , которая задается экзогенно. Тогда получаем следующие зависимости

д(/)И,(о-д(<к«=т из(/)-д(/)И,(/)=/,;(/).

После замены ограничений задача становится "рентабельной", однако по-прежнему не дает искомого результата. Применение принципа максимума также не дает хорошего результата

Затем последовательно обосновывается решение о вводе некоторых изменений в модель производства и формулировке новой модели.

Обозначим наиболее важные различия новой модели от моделей Канторовича и Бекларяна-Борисовой. Объемы пассивных и активных трудовых ресурсов L(t) = x(t), L (t) = х,(*)> здесь, в отличие от модели Бекларяна-Борисовой, не задаются экзогенно, а являются неизвестными функциями, которые необходимо найти. В то же время функция интенсивности ввода рабочих д>(1), которая фигурировала в предыдущей задаче как управление , предполагается экзогенно заданной функцией. Вместо

уравнений баланса трудовых ресурсов вводится следующее выражение

=щ+/.: ко) - aV) (/>«)+к (« («с»))

Также вместо ограничения a(t)£t (ct(t) = Х}(i)), вводится новое фазовое ограничение

a(t)it-A,

где А > 0 заданное минимальное время, необходимое для ввода новых основных фондов. Такое предположение, по мнению автора, лучше отражает суть новой функции

После некоторых обозначений, на основе новой модели определяется задача оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями:

МО = О+«4 (*«(')) - «. (0(<КМ0) - «4 (*3 (*4 (0)))

г,(0) = 0, х,(0) = х>, хг(0) = х°, х„(0) = д£, *5(0) = *J, х((0) = х! OZuJt), Они^О^М, a;*u3(t);ia;, а\ iut(t)<a*„ /е[0,Г] (1.3)

(14)

где Ж,(0, Х2(0, х3(0, х4(0. х5(0> *б(0 - фазовые переменные; «,(/), иг(0, Н3(0, и4(0

управления; (КОД *(0> (¡>(0, А, М, ао;, а*4, х\, х4°, дс°, х°

изначально заданные функции и числа.

Формулируется соответствующий принцип максимума задачи (1.3), которая является задаче оптимального управления с гладкой зависимостью от времени, регулярными ограничениями и свободным правым концом.

На основе анализа полученного принципа максимума предлагаются два возможных подхода к решению задачи (1 3), которые выводят смешанные ограничения

|и3 (0 = (9(0+и4 (*,(/)) - и, (ф (х3(0) - и4 (х3 (*4(0)))

из задачи (1 3)

При первом подходе рассматривается задача без смешанных ограничений У = дг,(Г)->тах

х,(0 = *2(0

(15)(0=«,(0 х4(0=«2(0 х4(0<*3(0 х3(0^'-А

х,(0) = 0, х2(0)=х2°, *3(О)=*30, х4(0) = х4° 0^и,(0, 0йи2(1)йМ, /6[0,7"]

Затем найденное решение подставляется в уравнения смешанных ограничений

|"з(0 = НО+«4 (х4(0) - щ «(<? Ыо) - «4 (*, (х4(0)))

и находятся управления и3(^), и4(г) Подставив найденные значения управлений в дифференциальные уравнения

Гх,(0=и3(0 1А(0=»«(0

с начальными условиями х5(0) = х°, х6(0) = х°, находятся фазовые переменные х5(?),

(16)

х6(^).

Это означает, что при первом подходе величины х,(() = х(() =

определяются после решения задачи и никак не влияют на процесс поиска решения.

13

При втором подходе наличие смешанных ограничений учитывается уже непосредственно при решении задачи следующим образом. Вместо принципа максимума (вернее вместо нахождения максимума функции Понтрягина) решается система

и находятся (если конечно решение существует) любые управления и1(/), и2($, и3@) и и4((). Затем можно найти решение задачи (1.5), которое уже учитывает наличие смешанных ограничений (1.6).

Далее приводится формулировка принципа максимума для задачи с фазовыми ограничениями (1.5).

Для проверки поученных результатов рассматривается пример некого производства в отрасли машиностроения и металлообработки, в котором темпы роста основных фондов, трудовых ресурсов и технологическая кривая совпадают с теми же параметрами всей отрасли в целом. Данные о темпах роста основных фондов, трудовых ресурсов и виде технологической кривой получены с помощью регрессии из официальных статистических источников. При этом, из-за ограничений модели, вместо реального отрицательного значения темпов роста объемов трудовых ресурсов, мы взяли некое положительное значение, в предположении, что в отдельно взятом успешно развивающемся производстве может наблюдаться рост трудовых ресурсов при их одновременном спаде по отрасли.

Таким образом, рассматривается среднестатистическое производство в отрасли машиностроения и металлообработки. При этом начальные данные задаются нами.

Для производственной функции Кобба-Дугласа получаются следующие данные

Далее решается задача без фазовых ограничений и с дополнительным ограничением на управление :

(1.8)

Формулируется принцип максимума Понтрягина. На основе анализа функций переключений соответствующих управлений в принципе максимума, получаются четыре возможных решения задачи (1.8). После сравнения максимальных значений функционалов, полученных для каждого решения, находим искомое решение задачи

2

+ 250^,м'06+2а1'У01'-<Г01' + 468.8822668а; +1)

х2(0 = 25е02ч*м,"-°0'-25^"-°06 +0.1«-*" *3 (/)=</-0.3 *4(0 = -2

«2(0 = о

где значение функционала для каждого а* вычисляется из следующей формулы

*,(4) =

250е("ц'46 -154.5810841а,+ -158.1505914

2а; -1

где имеет место ограничение

Полученное решение говорит о том, что при данных темпах роста технологи, основных фондов и объемов трудовых ресурсов на данном промежутке времени и т.д (1.7) оптимальной политикой производства является простое наращивание основных фондов или другим словами фонды не успевают стареть в экономическом смысле слова. Время необходимое для ввода новых фондов нужно увеличивать с максимально возможной скоростью. А максимальная прибыль х1(4) неограниченно растет вместе с

ростом максимально возможной скорости изменения времени, необходимого на ввод новых фондов, т.е. а+.

Из последнего утверждения следует, что, если, вдруг удаться ввести новую технологию почти моментально (с бесконечной скоростью), то прибыли тоже приблизятся к бесконечности, что, конечно же, неверно, так как рост прибыли ограничен заданным ростом основных фондов %(1) и зависит от них. Это несоответствие возникло из-за экзогенности нашей модели: задается изначально и явно (как отдельная переменная) никак не влияет на решение задачи При рассмотрении экзогенной модели вышеизложенная проблема решается при определении конкретного значения а1+. Постоянная а+, которая находится из условия соответствия технологическим и организационным ограничениям производства, должна выбираться максимально точно, так как от точности выбора а+ зависит точность оценки будущей прибыли х1 (4). Этот вопрос решается при рассмотрении эндогенной задачи, постановка которой дается ниже

В конце главы приводится сформулированный ранее принцип максимума для задачи с фазовыми ограничениями, с подставленными значениями вышеописанного примера (1.7).

В приложении формулируется задача оптимального управления на основе одной из возможной эндогенной модели производства с быстрыми темпами обновления технологий.

В новой модели темпы роста производственных фондов задаются эндогенно

х(')=гП0

где коэффициент , или в дифференциальной форме

¿(0 = г (Ж «), Ф, (0), *3«) и, (0 - ^ Ы*4 (0), Ф. (0), *4 (')) «, (')]

Полученная задача выглядит следующим образом

где выступает уже в качестве управления.

Рассмотрение этой модели является предметом дальнейших исследований.

Также в приложении приводится простейший алгоритм получения дискретного решения на основе полученного решения непрерывной задачи. Такое решение может потребоваться в малоразмерных экономических системах, а также при рассмотрении относительно коротких периодов времени, где фонды могут вводиться дискретно. Таким образом, рассмотренные модели и методы решения задач оптимального управления могут применяться не только на производстве с большими объемами основных и трудовых фондов, но и на малых производствах с быстрыми темпами обновления технологий.

Заключение

1. Сформулирована задача оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями, являющаяся обобщениям оптимизационных задач основанных на моделях Л. В. Канторовича, Л. А. Бекларяна и С. В. Борисовой.

2. Разработаны методы приближенного и точного решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на примере задачи о замене производственных фондов.

3. Получены численные решения задачи оптимального при некоторых частных значениях фазовых ограничений.

4. Разработан алгоритм нахождения приближенного решения задачи при условии постоянства одного из управлений и частного значения одного из фазовых ограничений.

5. На основе решения задачи оптимального управления проведен анализ и корректировка существующих моделей однопродуктового производства с быстрыми темпами обновления технологий.

6. Предложена новая модель производства, учитывающая опыт решения задач оптимального управления, основанных на модели Л. В. Канторовича.

7. Получена общая методика решения новой задачи оптимального управления с применением принципа максимума, приводящая решение задачи с фазовыми и смешанными ограничениями к решению задачи оптимального управления с фазовыми и без смешанных ограничений.

8. Проведены численные расчеты на примере производства из отрасли машиностроения и металлообработки.

Список публикаций

1. Назанян Г. А. Вопросы существования решения в задаче о замещении фондов. -М: МФТИ, 2004.-7 с.

2. Назанян Г. А. Дикусар В. В. Задача о замещении фондов- первое приближение. -М.: МФТИ, 2004. - 8 с.

3. Назанян Г. А. Модель взаимодействия инвестора и региона в случае неполной информации и ограниченном уровне совокупных отчислений // Современные методы краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XIV. - Воронеж: ВГУ, 2003. - сс. 94-95.

4. Назанян Г. А. Кошька М. Задачи оптимального управления материальными ресурсами. -М.: МФТИ, 2004 г. -100 с.

Принято к исполнению 29/09/2004 Заказ № 345

Исполнено 30/09/2004 Тираж 100 экз _Усл печ л-1_

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)747-64-70 (095)318-40-68 www autoreferal ru

# 1 8586

РНБ Русский фонд

2005-4 16906

Введение.- 4

Глава 1. Формулировка задачи.- 5

Инновационная экономика.- 5

Типология динамики нововведений.- 8

Динамические модели инноваций.- 10

Задачи обновления производственных фондов.- 17

Научно-технический прогресс в производственных функциях.- 18

Динамическая модель производства.- 22

Модель Канторовича.- 26

Модель Бекларяна-Борисовой.- 29

Постановка задачи.- 30

Глава 2. Необходимые условия максимума в задачах оптимального управления, - 35

Задача Понтрягина.- 35

Задача Блисса-Больца.- 37

Каноническая задача Дубовицкого-Милютина.- 39

Алгоритм решения задач оптимального управления.- 46

Задача Понтрягина.- 46

Задача со смешанными ограничениями.- 48

Принцип максимума в задаче о замещении производственных фондов.- 50

Глава 3. Первое приближение. .- 53

Шаг 0.;.;.-53

Шаг 1.-59

Шаг 2.-63

Глава 4. Вопросы существования решения.- 66

Связи между управлениями.- 66

Существование решения.- 68

Пример приближенного решения задачи при постоянном управлении и2.- 73

Численное решение задачи при условии м3(0 £ х(0.- 76

Численное решение задачи при условии и3(/) > .- 80

-ф Пример приближенного решения задачи при линейном управлении и2.- 84

Глава 5. Новая модель.- 86

Корректировка задачи.- 86

Принцип максимума Понтрягина.- 90

Обсуждение модели.- 92

Новая модель.- 94

Принцип максимума для новой модели.- 98

Принцип максимума в задаче без смешанных ограничений.- 104

Пример производства.- 106

Задача без ограничений на фазовые переменные.- 106

Решение примера.-113

Принцип максимума в задаче с фазовыми ограничениями.- 130

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства детерминируемого управляемого объекта.Существуют различные методы решения подобных задач: прямые методы; метод вариаций фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены только по мере накопления опыта решения конкретньк задач оптимального управления. Это связано со сложной формулировкой принципа максимума для задач 01ггимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Принцип максимума приводит исходную постановку задачи к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, вместе с которыми должны удовлетворяться дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решения в каждой расчетной точке задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Разработка методов решения и преодоления такого рода проблем для определенного (нового) класса задач оптимального управления является важным дополнением в общую теорию оптимального управления. - 4

1. Канторович Л. В., Жиянов В. И. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая структуры фондов при наличии технического прогресса //Док. АН СССР, 1973. -Т. 211 -№ 6.

2. Канторович Л. В., Жиянов В. И., Хованский А. Г. Принцип дифференциальной оптимизации в применении к однопродуктовой динамической модели экономики // Сибирский мат. журнал, 1978 Т. XIX - № 5.

3. Бекларян Л. А. , Борисова С. В. Об одной динамической модели замещения производственных мощностей // Экономика и мат. методы, 2002-Т. 38 — № 3.

4. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

5. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. -М.: "ФИЗТЕХ-ПЛИГРАФ", 2001. 142 с.

6. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: "НАУКА И ТЕХНИКА», 1986.

7. Макаров В. Л., Христолюбова Н. Е., Яковенко Е. Г. Справочник экономического инструментария. М.: ЗАО "Издательство экономика", 2003. - 515с.

8. Пелих А. С., Терехов Л. Л., Кизилов А. Н. Методы анализа планирования и управления. РГЭА: Ростов н/Д, 1991. - 264 с.

9. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984. — 296 с.

10. Орехов Н. А., Левин А. Т., Горбунов Е. А. Математические методы и модели в экономике. 2003.П.Глушков В. М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей. // Управляющие машины системы 1977 - № 2.

11. Бурда М., Виплош Ч. Макроэкономика. СПб.: Судостроение, 1998. - 544 с.

12. Иванилов Ю. П., Положишников В. Б., Рассадин В. Н. Производственная народнохозяйственная функция. М.: ВЦ АН СССР, 1983. - 44 с.

13. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. — М.: Наука, 1984.-392 с.

14. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979.-304 с.

15. Паппэ Я. Ш. Малоразмерные макроэкономические модели экономического роста и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1992. - 187 с.

16. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1969. 384 с.

17. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. -480 с.

18. Чернавский Д. С., Старков НИ., Щербаков А. В. Базовая динамическая модель экономики России. М: ФИАН, 2001. - 28 с.

19. Дынкин А. А и др. Инновационная экономика. М.: Наука, 2004. - 352 с.

20. Багриновкий К. А., Бендиков М. А., Хрустал ев Е. Ю. Механизмы технологического развития экономики России: Макроэкономические и мезоэкономические аспекты. -М.: Наука, 2003. 376 с.

21. Российский статистический ежегодник 2003,25. "Александр Жуков подвел итоги российской экономики". Ежедневная газета "Коммерсант" от 6 августа 2004, № 143.

22. Медынский В. Г. Инновационный менеджмент. М.: ИНФРА-М, 2004. - 295 с.

23. Нижегородцев P.M. Информация как фактор производства и эволюционные основы экономического роста. М.: ИЛУ РАН, 2001.

24. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. М.: Прогресс, 1970. -305 с.

25. Фостер Р. Обновление производства: атакующие выигрывают. М.: Прогресс, 1987.-272 с.

26. Саркисян С. А., Акопов П. Л., Мельникова Г. В. Научно- техническое прогнозирование и целевое планирование в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1987. 304 с.

27. Чистяков А. Д., Чистяков И. Д. Прогнозирование параметров технологического оборудования. Ростов н/Д: Издательский ценггр ДГТУ, 1003. — 113с.

28. Суворов НВ. Макроэкономическое моделирование технологических изменений (теоретические, прикладные и инструментальные вопросы): Препринт Р2/2002/04. -М.: ГУ ВШЭ, 2002.-80 с.

29. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума. // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. - сс. 6 - 47.

30. Дикусар В. В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. Долгопрудный: ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ, 2001.-56 с.

31. Посган М. Я. Обобщенная логистическая функция: ее свойства и оценка параметров//Экономика и мат. методы, 1993. Т. 29. Вып. 2.

32. Нижегородцев Р. М. Теоретические основы информационной экономики. -Владикавказ: Проект-Пресс, 1998.

33. Маевский В. И. Эволюция "экономических популяций" и макроэкономика // Экономическая теория на пороге XXI века. Под ред. Осипова Щ. М., Пуляева В. Т. СПб.: Петрополис, 1996.

34. Тодойсичук А. В. Основы управления инновационнойдеятельностью в организации. Учебное пособие. М.: Российская академия естественных наук. Отделение исследования циклов и прогнозирования, 1999. - 156 с.

35. Мартино Дж. Технологическое прогнозирование. — М.: Прогресс, 1997.

36. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М: Едиториал УРСС, 2002. - 320 с.

37. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с,

38. Баркалов Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во Московского Университета, 1981. - 128 с.

39. Клейнер Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. 239 с.

40. Тренев В. Н., Ириков В. А., Ильдеменов С. В., Леонтьев С. В., Балашов В. Г. Реформирование и реструктуризация предприятий. Методика и опыт. — М.: Издательство ПРИОР, 1998. 320 с.

41. Балашов В. Г. Модели и методы принятия выгодных финансовых решений. М.: Издательство физико-математической литературы, 2003. - 408 с.

42. Кучин Б. Л., Якушева Е. В. Управление развитием экономических систем: технических прогресс, устойчивость. -М.: Экономика, 1990. 157 с.

43. Воронкова О. В., Иванилов Ю. П., Колдаева Н. Т. Некоторые вопросы теории и использования производственных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1988. - 67 с.

44. Шпилько Г. А Теории и методы регулирования капиталистической экономики. -М.: Издательство "Мысль", 1975. 192 с.

45. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1998. -574 с.

46. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -264 с.

47. Интрилигатор М. Математические метод оптимизации и экономическая теория. — М.: Айрис-пресс, 2002. 576 с.

48. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

49. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910 с.

50. Вэриан X. Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. -М.: ЮНИТИ, 1997.-767 с.

51. Дорбнуш Р., Фишер С. Макроэкономика. М.: Изд-во МГУ: ИНФРА-М, 1997. -784 с.

52. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: МЦНМО, 2001. - 128 с.

53. Лившиц И. Л. Оптимальная инвестиционная и дивидендная полигика предприятия. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математической наук. -М.: МФТИ, 2003.-90 с.

54. Харлампиева А. С. Социально-экономические проблемы ускорения научно-технического прогресса в условиях переходной экономики. Автореферат диссертации на соискание степени кандидата экономических наук. СПб.: СПбГУ, 2003, 22 с.

55. Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. -240 с.

56. Баранов Д. А. Сроки обновления основных производственных фондов. М.: Наука, 1977.-216 с.

57. Лотош Я. Н. Шапиро Л. Д. Моделирование процесса воспроизводства основных производственных фондов. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1982. - 120 с.

58. Малыгин А. А. Оптимизация воспроизводства основных фондов // Экономическая газета 1987 - № 2.

59. Лутков В. И., Ховансков В. А. Структурное моделирование машиностроительного комплекса. //Научно-технический прогресс в машинстроении, Вып. 31, 1991. сс. 77-108.

60. Сахал Д. Технический прогресс: концепции, модели, оценка. М.: Финансы и статистика, 1985. - 368 с.

61. Косенкова Р. А. Инновационные модели экономики. Волгоград: Волг.ГТУ, 2000. -352 с.

62. Силкина Г. Ю. Модели стратегического планирования динамики инновационных процессов. Н. Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т, 2000. - 182 с.

63. Васильков Э. В., Василькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 2002. - 256 с.

64. Арнольд В. И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. М.: МЦНМО, 2000.-32 с.

65. Закон Российской Федерации "Об авторском праве и смежных правах". М.: Ось-89, 2003.-48 с.

66. Кузин Ф. А. Кандидатская диссертация. Методика написания, правила оформления и порядок защиты: Практическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. М.: Ось-89,2003. - 224 с.

67. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 632 с.

68. Пирумов У. Г. Численные методы. М.: Дрофа, 2003. - 224 с.

69. Васильевская И. В. Инновационный менеджмент. М.: Издательство РИОР, 2004. -80 с.

70. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

71. Дьяконов В. Mathematica 4: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001. 656 с.

72. Экономико-математический энциклопедический словарь. М: Большая Российская энциклопедия: Издательский Дом "ИНФРА-М", 2003. - 688 с.

73. Дикусар В. В., Синягин С. Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом. М.: ВЦ РАН, 2000. - 48 с.

74. Дикусар В. В., Милютин А. А Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. -144 с,

75. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. Долгопрудный.: МФТИ (ГУ), 2001. - 157 с.

76. Абрамов А. П., Бессонов В. А., Никифоров Л. Г., Свириденко К. С. Исследование динамики макроэкономических показателей методом производственных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1987. - 64 с.

77. Гоберман В. А, Гоберман Л. А Основы производственного менеджмента. М.: Юристь, 2002. - 336 с.

78. Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. М.: Прогресс, 1993 - 488 с.

79. Зайцев В. Ф., Полянин А Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

80. Зелики на Л.Ф. Многомерный синтез и теоремы о магистрали в задачах оптимального управления. // Вероятностные проблемы управления в экономике. -М.: Наука, 1977.-сс. 33-114.

81. Зеликин М. И. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики. Тбилиси, 2004. - 237 с.

82. Назанян Г. А. Вопросы существования решения в задаче о замещении фондов. // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. г. Долгопрудный: МФТИ, 2004. - сс. 36-44.

83. Назанян Г. А. Дикусар В. В. Задача о замещении фондов: первое приближение. // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. г. Долгопрудный: МФТИ, 2004. - сс. 17-27

84. Назанян Г. А. Кошька М. Задачи оптимального управления материальными ресурсами. // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 2004 г. - 100 с.