автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Взаимодействие двух частиц, покрытых жидкой оболочкой, в сдвиговом потоке

Введение

1. Математическая модель взаимодействия частиц, покрытых жидкой оболочкой

1.1. Постановка общей задачи

1.2. Метод решения задачи

1.3. Задача о взаимодействии вмороженных"в поток частиц

1.4. Осесимметричная задача для двух частиц

1.5. Асимметричная задача для двух частиц

2. Динамика взаимодействующих частиц

2.1. Определение сил, действующих на две частицы, покрытые жидкой оболочкой

2.2. Скорости частиц в результате гидродинамического взаимодействия

3. Влияние взаимодействия частиц на их осаждение

3.1. Осесимметричная задача об осаждении двух взаимодействующих частиц

3.2. Асимметричная задача осаждения двух взаимодействующих частиц

3.3. Осаждение двух частиц в параболическом потоке 74 Заключение 93 Список использованных источников

Диссертация посвящена исследованию гидродинамического взаимодействия двух частиц, покрытых жидкой оболочкой, в сдвиговом потоке и влиянию этого взаимодействия на движение самих частиц.

Гидродинамическое взаимодействие такого рода частиц возникает в различных прикладных задачах, связанных с технологиями в нефтяной, химической промышленности, в медицинских технологиях, строительстве, гидрометеорологии, охране окружающей среды. Дальнейший прогресс в этих областях существенно сдерживается отсутствием достаточно глубоких представлений о поведении частиц в жидкой оболочке в различных условиях.

При обтекании частицы потоком вязкой жидкости искажается поле скоростей и давления в жидкости, что сказывается на движении соседних частиц. В свою очередь, соседние частицы искажают распределение скорости и давления вокруг выделенной частицы, меняя ее движение. Таким образом, возникает сложная математическая задача, связанная с решением уравнений математической физики с граничными условиями на поверхностях частиц, которые, в свою очередь, меняют положение в пространстве.

Отысканию решения уравнений Стокса в случае движения двух твердых сферических частиц в вязкой среде посвящена обширная литература [1-20]. Решение [21] соответствует медленному вращению частиц вокруг линии центров. Поступательное движение сфер вдоль линии центров рассмотрено в работах [22-24]. Эти решения построены в бисферических координатах и позволяют представить гидродинамические силы в виде бесконечных рядов, для общих членов которых находятся аналитические выражения. В работах [25, 26] развит метод точного решения уравнений Стокса для асимметричного случая, когда твердые сферы движутся поступательно вдоль или вращаются около осей, перпендикулярных линии центров. Здесь также гидродинамические силы представляются бесконечными рядами, но общие члены рядов не могут быть найдены явно, а определяются через решение системы разностных уравнений. Наиболее полный анализ асимметричной задачи, численные результаты и подробная библиография содержатся в работах [27-29]. В силу линейности задачи Стокса результаты [21, 23-29] позволяют рассчитывать взаимодействие двух твердых сфер, движущихся произвольным образом.

Теоретические исследования деформации капель проведено в [30, 31]. В

31] решалась стационарная задача о движении вязкой несжимаемой капли в потоке вязкой несжимаемой жидкости в приближении Озеена методом сращивания асимптотических разложений, получены члены второго порядка. В

32] получено решение этой задачи, включающее в себя члены третьего порядка. Эти выражения справедливы при числах Рейнольдса и Вебера, меньших единицы. Формы капель, полученные в [32], мало отличаются от сферической. Теоретическое описание движения больших капель требует привлечения численных методов, как указано [33]. В работах [34-36] сеточными методами рассчитано движение капель в широком спектре изменения вязкости, числах Вебера и Рейнольдса. Было установлено, что при фиксированных числах Рейнольдса с увеличением числа Вебера поверхность капли деформируется в сфероид, сплющенных в направлении движения. Сравнение расчетов с экспериментальными данными, приведенными в [37], дало хорошее совпадение.

Наряду с чисто расчетными или чисто экспериментальными работами имеются работы, в которых часть характеристик капли берется из эксперимента. В [38, 39] приведен расчет формы капли, движущейся в воздухе под действием силы тяжести. При этом в [39] не была учтена циркуляция внутри капли. При использовании результатов работы [40] о напряжениях для жидкой сферы в воздухе, в работе [38] были получены формы капель различных объемов. Наряду со стационарным движением в ряде работ изучалось и нестационарное движение. Так, в работе [41] рассмотрено движение капли, выведенной из состояния покоя силой тяжести, в предположении, что капля сферическая и число Рейнольдса меньше единицы.

Полученное решение на бесконечности совпадает с решением стационарной задачи.

В работе [37] показано, что при больших числах Рейнольдса и Вебера начинается неустойчивое движение капель. Неустойчивость движения капли проявляется, с одной стороны, в колебаниях капли как целого, с другой стороны, в развивающихся колебаниях ее поверхности. Поэтому обычно рассматривают одновременно устойчивость капли и ее колебания. В [33] сказано, что сравнение коэффициентов сопротивления капли и твердой сферы показывает, что коэффициент сопротивления капли при докритических режимах движения меньше, чем коэффициент сопротивления эквивалентной твердой сферы, так как внутри капли развивается циркуляционное течение, приводящее к уменьшению касательных напряжений на поверхности. Из-за этого скорости падения капель гораздо больше, чем у твердых шаров.

Задача теоретического определения формы отдельной капли, находящейся в сдвиговом потоке несжимаемой жидкости, очень сложна. Как указано в [33], обычно рассматривают случай малой деформации первоначально сферической капли или же используют теорию тонких тел. При рассмотрении случая малой деформации сферической капли в [42] показано, что капля в первом приближении принимает форму эллипсоида. Это явление в [42] исследовано и экспериментально. Оказалось, что теоретический расчет согласуется с экспериментом лишь при малом уровне сдвига потока. Обнаружилось, что структура разрушения капель зависит от типа сдвигового потока и отношения вязкости капли к вязкости окружающей жидкости. В работе [42] показано, как функция, определяющая форму капли, раскладывается по степеням малого параметра. Решение искалось в виде полинома первой степени от малого параметра.

В работе [43] приведен численный расчет формы капли в осесимметричном сдвиговом потоке невязкой несжимаемой жидкости. Форма капли зависит от одного безразмерного параметра, связанного с числом Вебера.

Вычислено максимальное число Вебера, выше которого нет устойчивого решения. В ряде работ рассматриваются капли в двумерных течениях.

В настоящее время большое внимание уделяется изучению "капсулы", то есть частицы, состоящей из упругой оболочки, внутри которой находится ньютонова жидкость. "Капсула" примечательна тем, что ее упругие свойства сводятся только к упругим свойствам тонкой внешней оболочки. Такой математической моделью можно воспользоваться для описания деформации эритроцитов в крови и эмульсий, стабилизированных поверхностной полимеризацией. Ранее подобные частицы описывали как упругие твердые тела или как жидкие капли. Такие модели, как отмечено в работе [33], хуже, чем модель "капсулы", отражали реальные свойства этих частиц.

В работе [44] проанализированы деформации маленькой капсулы в произвольном сдвиговом потоке вязкой жидкости. Капсула деформируется за счет сил, действующих на нее со стороны внешней жидкости, и упругих сил оболочки самой капсулы. Форма капсулы, полученная в ходе расчета, мало отличается от сферической.

Для двух жидких сфер известно точное решение [45-47] осесимметричной задачи, когда частицы движутся вдоль линии центров. В работе [48] строится точное решение для асимметричного случая, когда капли имеют скорости, перпендикулярные линии центров. Представлены численные результаты по расчету гидродинамических сил. В силу линейности задачи предлагаемое в [48] решение вместе с результатами [45, 47] позволяет рассчитывать взаимодействие произвольно движущихся капель.

В работе [49] в стоксовом приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух сферических капель в вязкой среде. Строится асимптотическое решение задачи, применимое при малой величине зазора между поверхностями сфер.

В работе [50] в рамках квазистационарных уравнений Стокса рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых, свободных от внешних сил жидких сферических частиц в линейном поле течения произвольного вида. Представлены численные результаты по расчету относительной скорости частиц и интенсивности силовых диполей на сферах. Получены дальние и ближние асимптотические разложения соответствующих гидродинамических функций, с использованием метода многократных отражений.

Осесимметричная задача о медленном движении двух сферических капель в вязкой среде решена в работе [45]. Решение [45] обобщает результаты исследований [24, 51-53]. Гидродинамические силы представлены в [45] бесконечными рядами. Эти ряды медленно сходятся и практически непригодны для численного счета, если зазор между поверхностями сфер мал. В работе [54] в стоксовом приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух жидких сфер в вязкой среде. При малой величине зазора между поверхностями сфер строится асимптотическое решение. Рассмотрен также случай, когда одна из сфер является твердой. В [54] строится асимптотическое решение, применимое также в случае жидких сфер, расположенных одна внутри другой, что представляет интерес, например, при изучении движения капли, содержащей газовый пузырь. Найденное в [54] решение существенно отличается от известного асимптотического решения [23] для твердых сфер.

Медленное движение двух соприкасающихся жидких сфер вдоль их линии центров рассмотрено в работе [55].

Гидродинамическое взаимодействие двух медленно испаряющихся частиц изучено в работе [56].

Влияние гидродинамического взаимодействия на коагуляцию (коалесценцию) двух капель описано в [57, 58]. Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции приведен в [59].

Влияние взаимодействия частиц на реологические свойства (вязкость суспензии) дисперсных сред, содержащих твердые или жидки частицы, изучалось в работах [60-82].

В монографии [83] предлагается метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии нескольких сферических частиц, помещенных в жидкость, скорость которой на бесконечности представляется в виде полнома произвольной степени по координатам. Процедура метода существенно отличается от известных в литературе.

В силу линейности уравнений и граничных условий для скорости на поверхностях частиц (условия прилипания), решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в [83] представляется в виде суммы решений двух задач: задачи о взаимодействии двух вмороженных в жидкость частицах и задачи о взаимодействии двух частиц, движущихся в покоящейся на бесконечности жидкости. В первой задаче рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух сферических частиц, движущихся с локальной линейной и угловой скоростью, и жидкости, скорость которой на бесконечности есть полином произвольной степени по координатам. В случае двух частиц одинакового радиуса, граничные условия и, следовательно, решение задачи для скорости, удовлетворяют симметричному или антисимметричному преобразованию. С учетом типа преобразования, которому должно удовлетворять решение, выражение для скорости можно записать в виде суммы комбинаций частных производных от двух функций, обратных, соответственно, расстояниям от произвольной точки в жидкости до центра одной из двух сфер. Выражения для скорости и давления содержат тензорные коэффициенты, которые можно представить в виде комбинации тензоров, данных в условиях задачи, и содержащих неизвестные скалярные функции. Неизвестные скалярные функции представляются в виде ряда по малому параметру: размер частицы, деленный на расстояние между сферами. Используя граничное условие для скорости на поверхностях сфер, можно получить значения коэффициентов в разложениях скалярных функций. Для случая двух сфер одинакового радиуса достаточно воспользоваться граничным условием для одной из сфер. Вычисления можно проделать с любой точностью относительно малого параметра. Во второй задаче рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух сфер, движущихся с относительными линейными и угловыми скоростями в жидкости, покоящейся на бесконечности. Решение второй задачи методом отражения известно. В книге [83] представлено решение задачи методом, использованным для задачи о взаимодействии двух вмороженных'в жидкость частиц.

Метод, предложенный для решения задачи о гидродинамическом взаимодействии твердых частиц, справедлив и для случая взаимодействия жидких частиц. В [83] рассмотрено взаимодействие двух жидких деформируемых частиц в линейном течении. Результаты монографии [83] позволяют найти форму поверхности в результате взаимодействия частиц, как с основным потоком, так и друг с другом.

Изложенный в монографии [83] метод позволяет получить аналитическое решение задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в вязкой несжимаемой жидкости и вычислить силы и моменты, действующие на частицы по стороны жидкости.

Реальные дисперсные системы являются очень сложными объектами, содержащими, как правило, как твердые, так и жидкие частицы. Поэтому, представляет интерес моделирования поведения сложных частиц: твердые тела, покрытые оболочкой жидкости. Примерами таких сред могут служить цементный раствор и коллоидные частицы, покрытые стабилизационным слоем поверхностно-активного вещества.

В первом разделе диссертационной работы описана математическая модель взаимодействия двух твердых частиц, покрытых жидкой оболочкой, в сдвиговом потоке вязкой несжимаемой жидкости, скорость которой на бесконечности есть линейная функция координат. Методом, описанным в книге [83] решены три задачи [84]. Задачи решаются методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра берется отношение радиуса жидкой сферической оболочки к расстоянию между частицами.

Первая задача - твердые частицы, покрытые жидкой оболочкой, и вморожены в жидкость, то есть скорости частиц равны нулю, при этом частицы помещены в линейный поток жидкости. Первая задача решена с точностью до слагаемых третьего порядка в разложении по малому параметру. Вторая задача - внешний поток отсутствует, то есть скорость жидкости на бесконечности равна нулю, а частицы движутся со своими скоростями вдоль линии, соединяющей их центры (осесимметричная задача). Вторая задача решена с точностью до слагаемых второго порядка в разложении по малому параметру. Третья задача — внешний поток отсутствует, частицы движутся со своими скоростями перпендикулярно линии, соединяющей их центры (асимметричная задача). Третья задача решена с точностью до слагаемых первого порядка в разложении по малому параметру.

Для каждой из этих трех задач можно рассмотреть два предельных случая. Первый случай получается при равенстве нулю радиуса твердой частицы. При этом, полученные в диссертационной работе результаты, совпадают с полученными в [48-50, 54, 83, 85, 86] решениями задачи о взаимодействии двух жидких сферических частиц, находящихся в линейном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Второй предельный случай - случай очень большой вязкости жидкости в слое, окружающем твердое ядро. В этом случае получаем выражения для сил и скоростей, действующих на две твердые частицы в сдвиговом потоке вязкой жидкости, приведенные в [21, 87-94].

Заключение

В диссертационной работе получена математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц, покрытых жидкой оболочкой, в сдвиговом потоке вязкой несжимаемой жидкости. На основе полученной математической модели решены: задача о взаимодействии «вмороженных» в поток частиц, осесимметричная и асимметричная задачи движения двух частиц. В рамках математической модели получены выражения для сил, действующих на частицы, и скоростей частиц, приобретаемых ими в результате гидродинамического взаимодействия. Изучено влияние гидродинамического взаимодействия на осаждение частиц в линейном и параболическом потоке. Показано, что гидродинамическое взаимодействие может служить причиной образования структур в дисперсных системах.

Задачи решены методом разложения по малому параметру. Точность вычисления может быть увеличена по алгоритму, указанному в работе.

Полученные результаты могут быть использованы при моделировании движения частиц в дисперсных системах, используемых в различных технологических процессах, например, в процессе приготовления цементного раствора.

1. Adler P.M. Influnce of colloidal forces on a closely-fitting sphere in a fluid-filled tube //Phys. Chem.Hydrod. 1983. - V.4. - № 1. - P. 1-10.

2. Bartok W. Partical motions in sheared suspensions. V. Rigid Rods and Collision Doublets of Spheres / Mason S.G. // J. Colloid Sci. 1957. - V.12. - P.243-262.

3. Bartok W. Partical motions in sheared suspensions. VII. Internal Circulation in Fluid Droplets / Mason S.G. // J. Colloid Sci. 1958. - V. 13. - P.293-307.

4. Bartok W. The behaviour of suspended particales in laminar shear / Mason S.G. // Rheology of disperse systems. Pergamon Press. - 1959. - P. 16-48.

5. Cooley M.D.A. On the slow rotation of a sphere about diameter parallel to a nearly plane wall / O'Neill M.E. // J. Inst. Math, and Appl. 1968. - V. 4. - P. 163.

6. Cox R.G. Partical motions in sheared suspensions. XXV. Stremlines around Cylinders and Spheres Zia I.Y.Z., Mason S.G. // J.Colloid Int. Sci. 1968. - V. 27. -№ 1. - P. 7-18.

7. Darabaner C.L. Partical motions in sheared suspensions. XXII. Interaction of Rigid Spheres (Experimental) / Mason S.G. // Rheologica Acta. 1957. - № 6. - P. 273-284.

8. Guobiao Mo A method for computing Stokes flow interacting among spherical objects and its application to suspensions of drops and porous particles / Sangani A.S. //J. Phys. Fluids. 1994. - V. 6. - P. 1637-1652.

9. Hocking L.M. The effect of slip on the motion of a sphere close to a wall and of two adjacent spheres // J. Engng Math. 1973. - V.7. - № 3. - P. 207-221.

10. Kynch G.L. The slow motion of two or more spheres through a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1959. - V. 5. - P. 193-208.

11. Lin C J. Slow motion of two spheres in a shear field / Lee K.J., Sather N.F. // J. Fluid Mech. 1970. - V. 43. - P. 35-47.

12. Nir A. On the creeping motion of two arbitrary sized touching spheres in a linear shear field / Acrivos A. // J. Fluid Mech. - 1973. - V. 59. - Pt. 2. - P. 209-223.

13. Okagawa A. Particale behaviour in shear and electrical fields. VI. The microrheology of rigid spheres / Cox R.G., Mason S.G. // J. Colloid Int. Sci. 1974.- V. 47. № 2. - P. 536-568.

14. Okagawa A. Particale behaviour in shear and electrical fields. VII. Orientation distributions of cylinders. / Mason S.G. // J. Colloid Int. Sci. 1974. - V. 47. - № 2. - P. 568-595.

15. Reed L.D. Particle interactions in viscous flow at small values of Knudsen number / Morrison F.A, Jr. // J. Aerosol. Sci. 1974. - V. 5. - № 2. - P. 175-189.

16. Wacholder E. The hydrodynamic interaction of two unequal spheres moving under gravity through quiescent fluid / Sather N.F. // J. Fluid Mech. 1974.-V. 65.-P. 417-437.

17. Wakiya S. // Nigata Univ., Coll. Eng. Res. Report. 1957. - № 6. - Mar. 30.

18. Wakiya S. Particale motions in sheared suspensions. XXII. Interaction of Rigid spheres (Theoretical) / Darabaner C.L., Mason S.G. II Rheologica Acta. -1957. № 6. - P. 264-273.

19. Wakiya S. Slow motion in shear flow of a doublet of two spheres in contact // Journal of Phys. Soc. of Japan. 1971. - V. 31. - № 5. - P. 1581-1587.

20. Yoon B.J. A boundary collocation method for the motion of two spheroids in Stokes flow: hydrodinamic and colloidal interactions / Kim S. // Int. J. Multiphase flow. 1990. - V. 16. - № 4. - P. 639-649.

21. Jeffery G.B. On the steady rotation of a solid of revolution in a viscous fluid // Proc. London Math. Soc. Ser.2. 1915. - V.14. - № 1242. - P.327-338.

22. Cooley M.D.A. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approach of sphere to a plane wall or stationary sphere / O'Neill M.E. // Mathematika. 1969. - V. 16. - P. 37-49.

23. Cooley M.D.A. On the slow motion of two spheres in contact along their line of centres through a viscous fluid / O'Neill M.E. II Proc. Cambridge Philos. Soc.- 1969. V. 66. - № 2. - P. 407-415.

24. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous fluid / Jeffery G.B. // Proc. Roy. Soc. A. 1926.-V. 111. - № 757. - P. 110-116.

25. Dean W.R. A slow motion of viscous liquid caused by the rotation of a solid sphere / O'Neill M.E. // Mathematika. 1963. - V. 10. - Pt. 1. - № 19. - P. 1324.

26. O'Neill M.E. A slow motion of viscous liquid caused by a slow moving sphere // Mathematika. 1964. - V. 11. - Pt. 1. - № 21. - P. 67-74.

27. Davis M.H. The slow translation and rotation of two unequal spheres in a viscous fluid // Chem. Engng Sci. 1969. - V.24. - № 12. - P. 1769-1776.

28. Grace J.R. Shapes and velocities of single drops and bubbles moving freely through immiscible liquids / Wairegi Т., Nguyen Т.Н. // Trans. Inst. Chem. Eng. -1976. 54.-№3.-P. 167-173.

29. Taylor T.D. On the deformation and drag of a falling viscous drop at low Reynolds number / Acrivos A. // J. Fluid Mech. 1964. 18. - № 3. - P. 466-476.

30. Brignell A.S. The deformation of liquid drop at small Reynolds number. // J. Mech. and Appl. Math. 1973. 26. - № 1. - P.99-107.

31. Гонор A.JI. Динамика капли. / Ривкинд В.Я. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. 1982. - Т. 17. - С.86-159.

32. Ривкинд В.Я. Исследование задачи о стационарном движении капли в потоке вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1976. 227. - № 5. -С.1071-1074.

33. Ривкинд В.Я. Стационарное движение слабо деформируемой капли в потоке вязкой жидкости // Зап.науч.семинаров. Ленингр.отд. Мат.ин-та АН СССР. 1977. 69. -С. 157-170.

34. Ривкинд В.Я. Стационарное движение вязкой капли с учетом ее деформации // Зап.науч.семинаров. Ленингр.отд. Мат.ин-та АН СССР. 1979. 84. - С.220-242.

35. Winnikov S. Droplet motion in purified system / Chao B.T. // Phys. Fluids. 1966. 9. - № 1. - P. 50-61.

36. Pruppacher H.R. The shape's calculations of the drops moving under forces of gravity / Pitter P.L. // J. Atmosph. Sci. 1972. 29. - № 3. - P. 728-740.

37. Savic P. Circulation and distortion of liquid drops falling through a viscous medium // Rept MT-22. Div. Mech. Eng. Nat. Res. Couns, Canada, Ottawa. - 1953.

38. LeClair B.P. A theoretical and experimental study of the internal circulation in water drops falling at terminal velocity in air / Hamielec A.E., Pruppacher H.R., Halls W.D. // J. Atmos. Sci. 1972. 29. - № 4. - P. 728-740.

39. Sy F. A transient creeping flow around fluid spheres / Lightfood E.N. // AIChE Journal. 1971. 17.-№ l.-P. 177-181.

40. Taylor G.I. The formation of emulsions in definable fields of flow // Proc. Roy. Soc. London. 1934. A 146. - № 858. - P. 501-523.

41. Miksis M. Axisymmetric bubble or drop in a uniform flow / Vanden-Broeck J. M., Keller J.B. // J. Fluid Mech. 1981. 108. - № 1. - P. 89-100.

42. Barthes-Biesel D. Deformation and burst of a liquid droplet freely suspended in a linear shear field / Acrivos A. // J. Fluid Mech. 1973. 61. - № 1. - P. 1-21.

43. Haber S. On the low Reynolds number motion of two droplets / Hetsroni G, Solan A. // Int. J. Multiphase Flow. 1973. - V. 1. - № 1. - P. 57-71.

44. Hetsroni G. Low Reynolds number motion of two drops submerged in an unbounded arbitrary velocity field / Haber S. II Internat. J. Multiphase Flow. 1978. -V. 4.-№ l.-P. 1-17.

45. Rushton E. The slow unsteady settling of two fluid spheres along their line of centres / Davies G.A. // Appl. Sci. Res. 1973. - V.28. - № 1/2. - P. 37-61.

46. Зинченко А.З. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде // Прикладная математика и механика. 1980. - Т.44. - Вып.1. -С.49-59.

47. Зинченко А.З. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения // Прикладная математика и механика. 1981. - Вып.4. - С.759-763.

48. Зинченко А.З. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения // Прикладная математика и механика. -1983. Т.47. - Вып.1. - С.56-63.

49. Bart Е. The slow unsteady settling of a fluid sphere toward a flat fluid interface // Chem. Engng Sci. 1968. - V.23. - № 3. - P. 193-210.

50. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane wall // Chem. Engng Sci. 1961. - V. 16. - № 3/4. - P. 242-251.

51. Wacholder E. Slow motion of a fluid sphere in the vicinity of another sphere or a plane boundary / Weihs D. // Chem. Engng Sci. 1972. - V. 27. - № 10.-P. 1817-1828.

52. Зинченко А.З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса // Прикладная математика и механика. 1978. -Вып.5. - С.955-959.

53. Reed L.D. The slow motion of two touching fluid spheres along their line of centers / Morrison F.A., Jr. // Int J. Multiphase Flow. 1974. - V. 1. - № 4. -P. 573-584.

54. Oguz H.N. The hydrodynamic interaction of two slowly evaporating spheres / Prosperetti A., Antonelli D. // Phys. Fluids A. 1989. - V. 1. - № 10. - P. 1656-1665.

55. Wang H. The collision rate of small drops in linear flow fields / Zinchenko A.Z., Davis R.H. // J. Fluid Mech. 1994. - V. 265. - P. 161-188.

56. Zinchenko A.Z. Gravity-induced coalescence of drops at arbitrary Peclet numbers / Davis R.H. // J. Fluid Mech. 1994. - V. 280. - P. 119-148.

57. Зинченко А.З. Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции // Прикладная математика и механика. 1982. - Т.46. - Вып.1. - С.72-82.

58. Acrivos A. The rheological properties of suspensions of rigid particles / Jeffrey D.J. // AIChE Journal. 1976. - V.22. - № 3. - P. 417-432.

59. Batchelor G.K. The stress system in a suspension of force free particles // J. Fluid Mech. 1970. - V.41. - Part 2. - P. 545-570.

60. Batchelor G.K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / Green J.T. // J. Fluid Mech. 1972. - V.56. - Part 3. -P.401-427.

61. Batchelor G.K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction // J. Fluid Mech. 1976. - V.74. - Part 1. - P. 1-29.

62. Batchelor G.K. The effect of brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles // J. Fluid Mech. 1977. - V.83. - Part 1. - P.97-117.

63. Batchelor G.K. Diffusion in a dilute polydisperse system of interacting spheres//J. Fluid Mech. 1983. - V.131. -P.155-175.

64. Bird R.B. Kinetic theory and rheology of dumbbel suspensions with brownian motion / Warner H.R., Jr., Evans D.C. // Adv. Polymer Sci. 1971. - V.8. -P.l-90.

65. Brady J.F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation / Bossis G // J. Fluid Mech. 1985. - Vol.155. -P.105-129.

66. Brenner H. Rheology of Dilute Suspension of dipolar sperical particles in an external field // J. Colloid Interface Sci. 1970. - V. 32. - № 1. - P. 141-156.

67. Brenner H. On the Stokes resistance of multiparticle systems in a linear shear field / Neill M.E. // Chem. Engng Sci. 1972. - Vol. 27. - P.1421.

68. Brenner H. Suspension rheology II Progressiv heat and mass transfer. -Pergamon Press. 1972. - V. 5.

69. Casson N. A flow equation for pigment-oil suspensions of the printing ink type // Rheology of disperse systems. Pergamon Press. 1959. - P. 84-103.

70. Chan D. Rheology of suspensions of spherical particles in Newtonian and non-Newtonian fluid / Powell R.L. // J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1984. - V. 15.-P. 165-179.

71. Chang C. Dynamic simulation of bimodal suspensions of hydrodinamically interacting spherical particles / Powell R. // J. Fluid Mech. 1992. - V. 253. - P. 1-25.

72. Chang C. The rheology of bimodal hand-spheres dispersions / Powell R. // Phys. Fluids. 1994. - V. 6. - P. 1628-1636.

73. Cindino B. On the non-Newtonian behaviour of suspensions /Nicodemo L., Masi P. //Rheologica Acta. 1987. - V. 26. - P. 100-101.

74. Goldsmith H.L. The microrheology of dispersions / Mason S.G. // Rheology. 1979. - V. 5. - P. 85.

75. Goren S.L. The normal force exerted by creeping flow on a small sphere touching a plane // J. Fluid Mech. 1970. - V. 41. - Pt. 3. - P. 619-625.

76. Hinch E.J. The primary electroviscous effect in a suspension of spheres with thin double layers / Sherwood J.D. // J. Fluid Mech. 1983. - V. 132. - P. 337-347.

77. Sasmi Selim M. Brownian diffusion of hard spheres at finite concentrations / Al-Naafa M.A., Jones M.C. // AIChE J. 1993. - V. 39. - № 1. - P. 3-16.

78. Van De Ven T.G. The microrheology of colloidal dispersions: IV. Pairs of inyeracting spheres in shear flow /Mason S.G. // J. Colloid Interface Sci. 1976. - V. 57.-P. 505-516.

79. Van De Ven T.G. The microrheology of colloidal dispersions: V. Primary and secondary doublets of spheres in shear flow / Mason S.G. // J. Colloid Interface Sci. 1976.-V. 57.-P. 517-534.

80. Van De Ven T.G. Interactions between colloidal particles in simple shear flow//Adv. Colloid Interface Sci. 1982. - V. 17. - P. 105-127.

81. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии. Казань: Казанское математическое общество. - 1998. - 135 с.

82. Петухова O.A. Математическая модель взаимодействия частиц, покрытых жидкой оболочкой // Саранск: Средневолжское матем.общество. -2002. Препринт № 46. - 35 с.

83. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие двух капель в вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск.1996.-С.91.

84. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие и деформация капель // Инженерно-физический журнал. 2001. - Т.74. - № 3. - С. 155-160.

85. Мартынов С.И. Martynov S.I. The hydrodinamic interaction of two spherical particles in viscous fluid // 7th Israeli-Norwegian Symposium «Fluid Mechanics of Heterogeneous Systems». Trondheim, Norway. - 1994. - P.67-69.

86. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск. - 1996. - С.92.

87. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости // Математическое моделирование.1997. Т.9. - № 10.-С.16.

88. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц в вязкой жидкости // Тезисы докладов школы «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. - 1998. - С. 172.

89. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скоростей // Тезисы докладов 3-й Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск. - 1998. - С. 152.

90. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц // Известия АН, Механика жидкости и газа. 1998. - № 2. - С. 112-119.

91. Happel G., Brenner Н. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир. - 1971. - 631 с.

92. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute dispersion of spheres // J. Fluid Mech. 1972. - V.52. - Part 2. - P.245.

93. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory // J. Fluid Mech. 1982. - Y.l 19. - P.379-408.

94. Batchelor G.K. Sedimentation in a delute polydisperse system of Interacting spheres. Part 2. Numerical results / Wen C.S. // J. Fluid Mech. 1982. - V.124. -P.495-528.

95. Brady J.F. The sedimentation rate of disordered suspensions / Durlofsky L.J. // Phus. Fluid. 1988. - Vol. 31. - P. 717-727.

96. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости // Изв. РАН, МЖГ. 2000. - № 1. - С.84-91.

97. Hetsroni G. The flow fields in and around a droplet moving axially within in tube / Haber S., Wacholder A. // J. Fluid Mech. 1970. - V. 41. - P. 689-705.

98. Ландау Л.Д. Механика сплошных сред./ Лифшиц Е.М. М.: Наука. -1988. - 734 с.

99. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие двух капель, содержащих твердые частицы / Петухова О.А. // Саранск: Труды Средневолжского матем. общества. 2002. - Т.3-4. - № 1. - С.246-249.

100. Петухова О.А. Обтекание линейным потоком двух капель, содержащих твердые частицы // Вестник Мордовского университета. -Саранск. 2002. - № 1-2. - С.122-125.

101. Мартынов С.И. Влияние магнитного поля на движение частиц в потоке с параболическим профилем скорости / Петухова О.А. // Труды 10-й Международной конференции по магнитным жидкостям. Плес. - 2002.- С.24?-250.