автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Визуализация и анимация выходных данных математических моделей водных экологических систем

Введение

Актуальность работы.

Состояние проблемы.•

Цель диссертационной работы.

Научная новизна.

Практическая значимость.

Содержание работы.

1 Основные понятия и обзор методов визуализации

1.1 Основные понятия для векторных полей.

1.1.1 Векторное поле.

1.1.2 Интегральные кривые.

1.1.3 Другие кривые и поверхности.

12 Обзор методов визуализации скалярных полей.

1.2.1 Цветовое кодирование скалярных данных

1.2.2 Изолинии и изоповерхности.

1.2.3 Объемный рендеринг.

1.3 Обзор методов визуализации векторных полей.

1.3.1 Локальные методы.

1.3.2 Глобальные методы . •.

1.3.3 Текстурные методы.

1.3.4 Нестационарные векторные поля.

2 Визуализация двумерных полей

2.1 Построение линий тока.

2.1.1 Численное интегрирование.

2.1.2 Представление данных.

2.1.3 Алгоритм интегрирования с произвольной границей области.

2.2 Метод анимации потока с помощью карты движения

2.2.1 Покрытие карты движения линиями тока

2.2.2 Кодирование движения в линии тока.

2.3 Сравнение метода анимации с помощью карты движения с методом интегральной свертки.

2.3.1 Сущность Метода интегральной свертки.

2.3.2 Сравнение производительности двух методов

2.4 Кодирование цветом третьей компоненты векторного поля

2.4.1 Цветовое кодирование угла.

2.4.2 Наложение цветовой окраски на текстурную анимацию.

2.4.3 Выбор палитры цветов.

2.5 Описание программного пакета визуализации.

2.5.1 Программный интерфейс.

2.5.2 Программа построения стрелочных диаграмм

2.5.3 Программа построения отдельных линий тока

2.5.4 Программа анимации течения с помощью карты движения.

2.5.5 Программа визуализации скалярных полей

3 Визуализация трехмерных векторных полей

3.1 Построение поверхностей тока.

3.1.1 Алгоритм наступающего фронта.

3.1.2 Выбор затравочной линии.

3.2 Интегрирование линий тока на поверхностях, заданных триангуляцией.

3.3 Наложение текстурной окраски.

Актуальность работы

Развитие вычислительной техники подтолкнуло разработку и дало возможность эффективной реализации многих видов математических моделей природных экологических систем. Так например, в 70-ые годы была создана имитационная модель Азовского моря [15]. Она позволяла определять рыбопродуктивность, значение солености, изменение биохимического состава воды и ее загрязнение, однако не давала информации о гидрюдинамических параметрах. Позднее была разработана двумерная математическая модель гидродинамики Азовского моря, основанная на уравнениях "мелкой воды" {18}, позволявшая проводить расчет течений и перепадов уровня. В настоящее время существует трехмерная математическая модель Азовского моря [23], разработанная в Южно-Российском региональном центре информатизации высшей школы (ЮГИНФО).

В области построения и использования моделей водных бассейнов ученые столкнулись с проблемой визуализации данных, полученных с помощью этих моделей. Обычно выходные данные моделей водных экологических систем представляют собой большие массивы, содержапще информацию о векторном поле скоростей течений, о скалярных полях таких, как распределение температур и концентраций примесей. Для анализа этих данных необходимо привлечение методов эффективной обработки и визуализации данных о скалярных и векторных полях.

Здесь на первых этапах развития математических моделей долгое время использовались такие методы двумерной визуализации, как метод построения изолиний для показа скалярных полей, и метод построения векторных диаграмм для передачи вида векторных полей течений. Увеличение вычислительных мощностей способствовало разработке новых методов визуализации.

Главные трудности разработки этих методов связаны не столько с технической сложностью , сколько со сложностью визуального восприятия человеком характеристик поля. Так, например, поле распределения температур визуально воспринимается по-другому, чем поле концентраций примесей. Для температурного поля удобно использовать окраску областей высоких температур с помощью теплых цветовых тонов (красный), а области низких температур окрашивать холодными тонами (синий). При визуализации распространения примесей в водном бассейне лучше подходит метод построения изоповерхностей, а также весьма важным является использование анимации. Визуализация векторных полей скоростей течения ставит еще больше проблем. Нетривиальной является задача об одновременной передаче информации о величине и направлении векторного поля. В связи с этим методы визуализации векторных полей отличаются большим многообразием и различными подходами к решению этой проблемы.

Наиболее традиционным и простым способом визуализации векторных полей является метод построения двумерных стрелочных диаграмм (arrow plots). Преимущества стрелочных диаграмм - простота применения, легкость интерпретации, высокая скорость вычислений. С другой стороны, при наложении стрелок друг на друга изображение становится трудным для восприятия. Кроме того, стрелочные диаграммы имеют грубое пространственное разрешение, то есть не позволяют передавать мелкие детали векторного поля. Еще одним недостатком стрелочных диаграмм являются структуры, связанные с регулярным выстраиванием стрелок, которые отвлекают от визуального восприятия структуры самого векторного поля. Метод построения линий тока позволяет избавиться от этих недостатков. Линиями тока называются кривые, являющиеся касательными в каждой своей точке к векторам поля. Эти линии показывают топологию векторного поля. Однако они показывают информацию только о направлении, но не величине течения.

При использовании линий тока для визуализации трехмерного векторного поля возникает та же проблема, что и со стрелками. Наложение линий друг на друга не дает возможности хорошо передать структуру трехмерного поля. Для решения данной проблемы используют методы построения поверхностей тока. Поверхности тока хорошо передают глобальную топологию векторного поля. Однако для передачи локального направления и величины поля необходимо привлечение дополнительных методов.

Использование текстурных методов совместно с анимацией текстур и методами построения поверхностей тока позволяет создавать качественную визуализацию трехмерных векторных полей. Такая визуализация лучше всего подходит для показа поля скоростей течений в водных бассейнах, имитируя изображение слоев в потоке, внутри которых происходит движение большого числа равномерно распределенных частиц. Однако такой подход требует больших вычислительных затрат. Кроме того, для детального анализа структуры трехмерного векторного поля необходимо построение нескольких поверхностей тока. По этой причине является актуальной задача разработки новых методов качественной визуализации векторных полей с низкими вычислительными затратами, которые возможно будет использовать в программных пакетах, работающих в интерактивном режиме.

Состояние проблемы в последние годы активно развиваются текстурные методы визуализации векторных полей, особенно метод интегральной свертки (line integral convolution), предложеный В. Cabrai и L. Leedora в 1993 для визуализации двумерных полей [33]. Идея данного метода заключается в плотном покрытии области изображения множеством линий тока и вычислении направленной текстурной окраски каждой линии. Интенсивность текстуры получается в результате вычисления для каждого пикселя на линии тока интегральной свертки вдоль этой линии интенсивно-стей входного изображения (обычно белого шума) вместе с некоторой функцией-фильтром. Однако метод интегральной свертки хотя и позволяет получать высококачественные изображения двумерных течений, но отличается большими вычислительными затратами.

В 1995 группой берлинских ученых был разработан более быстрый алгоритм интегральной свертки [101]. Его идея заключается в использовании когерентности интенсивностей в соседних пикселях на линии тока. Интегральная свертка вычисляется в одной точке. Поскольку в соседних точках на линии значения свертки будут близки, то их можно получать через функцию обновления с помош;ью небольшого числа арифметических операций. В 1996 той же группой ученых был предложен эффективный метод наложения текстур, полученных с помош;ью алгоритма интегральной свертки, на произвольную поверхность тока [28]. Однако, по-прежнему задача об эффективности вычислений текстурной окраски линий тока в данных методах остается важной. Особенно сложность вычислений проявляется при построении анимации, поскольку в данном методе каждый кадр анимации рассчитывается отдельно.

В 1997 был предложен интересный текстурный метод визуализации двумерных течений с помощью оригинальной структуры данных, называемой картой движения [68]. Данный метод позволяет получать двумерные изображения течений, хотя и не настолько качественные, как в случае интегральной свертки, но с гораздо меньшими вычислительными затратами. Текстурная окраска пикселей на линии тока вычисляется непосредственно из значений величины векторного поля. Кроме того, данный метод построения карты движения порождает анимационную последовательность через вычисление текстурного покрытия линий тока только для одного кадра анимации. Остальные кадры получаются с помош;ью простого циклического сдвига в таблице цветов, что делает данный метод еще более эффективным.

Важно отметить, что пространственное разрешение данного метода также, как и в методе интегральной свертки, ограничивается только размерами пикселя. Поэтому качество передачи информации о векторном поле остается высоким. Описанный метод был разработан для визуализации двумерных векторных полей, что является некоторым недостатком. Преимущества метода построения карты движения делают его предпочтительным выбором при визуализации течений в интерактивном режиме. Возникает идея использования данного метода при визуализации трехмерных полей. В данной работе исследуется возможность расширения метода анимации с помощью карты движения на трехмерный случай.

В области визуализации скалярных полей на сегодняшний день существуют три основных направления: кодирование цветом скалярных данных, изображение изоповерхностей и изолиний, а также объемный рендеринг. Метод кодирования цветом является одним из наиболее популярных методов. Однако, качество результатов визуализации в этом методе сильно зависит от выбора палитры цветов. Задача разработки палитры, наилучшим образом передающей распределение скалярных данных, является актуальной.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является создание алгоритмического и программного обеспечения, предоставляющего пользователю набор функций, позволяющих создавать в интерактивном режиме различные виды визуализации скалярных и векторных полей. В работе основное внимание уделяется визуализации векторных полей, не изменяющихся во времени.

Необходимо отметить, что в силу субъективности восприятия итоговых результатов визуализации скалярных и векторных полей не представляется возможным создание некоторого универсального метода визуализации данных. Кроме того при проведении анализа выходных данных математической модели часто необходимо осуществить быструю грубую визуальную оценку для проверки корректности результатов. В этом случае качественные методы с большими вычислительными затратами оказываются неэффективными. В данной работе преследовалась цель разработки программного обеспечения, позволяющего использовать как простые методы для быстрой оценки результатов, так и сложные методы построения качественной визуализации.

Также при разработке алгоритмического и программного обеспечения использовались три основных критерия эффективности методов визуализации. Во-первых, рассматривалась точность методов, то есть способность алгоритмов верно передавать информацию о поле. Во многих методах визуализации ради увеличения скорости вычислений жертвуют точностью, что может привести к неправильной интерпретации исходных данных. Для достижения высокой точности в данной работе, например, при создании линий тока используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Во-вторых, рассматривалась производительность методов. Для создания интерактивного программного обеспечения необходима разработка высокопроизводительных методов, то есть методов с небольшими вычислительными затратами на получения изображения или анимационной последовательности. С этой целью в данной работе предложена идея расширения эффективного метода анимации потока с помош;ью карты движения на трехмерный случай, для изображения векторного поля посредством поверхностей тока. В-третьих, принималась во внимание легкость интерпретации результатов визуализации. Многие разработанные ранее методы требуют от пользователя при анализе данных дополнительных усилий и пространственного воображения, что сильно снижает эффективность их использования.

Научная новизна в работе рассматривается задача использования текстурного метода визуализации векторных полей с построением карты движения в случае произвольной формы области определения поля. При рассмотрении данной задачи появилась проблема построения линий тока с учетом произвольности границ области. Проблема возникла при построении визуализации двумерных срезов трехмерного поля скоростей течений в водных бассейнах. Граница области в данном случае определяется формой дна водного бассейна. Для решения проблемы предложен метод интегрирования линий тока на областях с произвольной границей.

При визуализации двумерных срезов трехмерного векторного поля предложен метод передачи третьей компоненты векторного поля с помо-ш;ью локальной окраски области цветом, соответствуюп1,им углу между вектором поля в данной области и плоскостью сечения. Этот метод значительно облегчает интерпретацию структуры трехмерного векторного поля по изображениям двумерных сечений.

Для устранения искажений при визуализации скалярных данных методом цветового кодирования предлагается оптимизированная палитра с равномерным распределением цветов.

Проведено сравнение метода с построением карты движения с наиболее популярным среди текстурных методов, методом интегральной свертки. Сравнение доказывает преимущество в производительности метода с построением карты движения.

В работе предлагается способ расширения метода с построением карты движения на трехмерный случай через наложение текстур, полученных с помощью карты движения, на поверхность тока. Такое расширение дает выигрыш в производительности вычислений результатов визуализации по сравнению с ранее разработанным методом интегральной свертки на поверхностях тока.

Практическая значимость

Разработанные алгоритмы и программные средства имеют очевидную практическую значимость. Полученное программное обеспечение было внедрено в ЮГИНФО, и активно используется для анализа выходных данных математической модели бассейна Азовского моря, разработанной в ЮГИНФО. Важно отметить, что разработанное программное обеспечение не привязано к системе бассейна Азовского моря, и может быть применено для анализа любых других данных о трехмерных скалярных и векторных полях.

Содержание работы

Работа состоит из трех глав и заключения. В первой главе приводятся основные понятия для векторного поля, а также осуществляется обзор методов визуализации скалярных и векторных полей. В обзоре рассматривается оценка эффективности методов в смысле производительности вычислений, точности передачи информации и легкости восприятия данных.

Во второй главе идет речь о визуализации двумерных векторных полей. В начале дается описание численного метода интегрирования линий тока. Далее рассматриваются детали предлагаемого алгоритма интегрирования линий на области с произвольной границей. Затем следует описание текстурного метода анимации потока с помощью карты движения. Также проводится сравнение производительности этого метода с методом интегральной свертки. Кроме того, в данной главе описывается способ передачи информации о третьей компоненте поля при визуализации двумерных срезов трехмерного векторного поля. Предлагается использование оптимизированной палитры цветов для кодирования цветом скалярных данных. Дается описание разработанного программного пакета визуализации двумерных срезов трехмерных скалярных и векторных полей.

В третьей главе рассматривается визуализация трехмерных векторных полей с помощью поверхностей тока и их текстурной окраски методом построения карты движения. Приводится алгоритм построения поверхностей тока. Описывается интегрирование линий тока на поверхностях, заданных треугольной сеткой. А также показывается способ наложения текстурной окраски на построенные поверхности.

В заключении формулируются основные результаты исследования.

Заключение в настоящей диссертационной работе предложено алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющее создавать эффективную визуализацию скалярных и векторных полей.

Для визуализации векторных полей (в частности полей скоростей течений в водных бассейнах) был разработан программный пакет, состоящий из трех программ, использующих методы построения стрелочных диаграмм, интегрирования отдельных линий тока и создания анимации потока с помощью карты движения. Применение простых методов визуализации (построение векторных диаграмм и отдельных линий тока) удобно для быстрого получения визуализации векторного поля с грубым пространственным разрешением, например, при проверки корректности выходных данных при разработке программной реализации математической модели, либо при поиске необходимого файла с данными.

Для создания качественной визуализации двумерных срезов трехмерного векторного поля было предложено использовать текстурный метод визуализации, а именно метод анимации потока с помощью карты движения. Причины выбора данного метода для его реализации в программном пакете заключаются в способности текстурных методов хорошо передавать как глобальную, так и локальную информацию о векторном поле. Кроме того построение карты движения не требует больших вычислительных затрат на создание анимации, что позволяет эффективно использовать этот метод для интерактивной визуализации.

При реализации этого метода для визуализации двумерных срезов поля скоростей течений в водных бассейнах была рассмотрена и решена задача построения линий тока до границ произвольной области задания поля.

Предложен и реализован в разработанном программном пакете метод передачи информации о третьей компоненте векторного поля для двумерных срезов поля. Метод заключается в цветовом кодировании значений угла между векторами поля и нормалью к плоскости среза с помощью оптимизированной палитры цветов. Показан способ совмещения данного метода с текстурным методом визуализации. Применение данного метода кодирования третьей компоненты поля в программном пакете визуализации облегчает пользователю интерпретацию трехмерной структуры поля по изображениям трех перпендикулярных сечений.

Показана эффективность (в смысле вычислительных затрат) применения метода с построением карты движения по сравнению с наиболее распространенным (в области текстурных методов) методом интегральной свертки.

Предложен алгоритм визуализации трехмерного векторного поля с помощью поверхностей тока и текстурной окраски этих поверхностей методом построения карты движения. Идея алгоритма заключается в построении поверхностей тока и плотном их покрытии линиями тока. Такой подход был предложен в методе интегральной свертки на поверхностях тока. Однако в данном алгоритме предлагается для текстурной окраски линий использовать не интегральную свертку, а построение карты движения. Разработанный алгоритм позволяет создавать анимацию трехмерного векторного поля с низкими вычислительными затратами.

Для визуализации двумерных срезов трехмерных скалярных полей был использован метод цветового кодирования. Для улучшения визуальной передачи структуры скалярного поля этим методом была разработана оптимизированная палитра цветов вида (синий-голубой-зеленый-желтый-красный) . Использование предложенной палитры позволяет более детально передавать информацию о скалярном поле, чем при использовании стандартной "линейной" палитры, по причине более равномерного распределения цветов в палитре. Диапазоны оттенков опорных цветов (синего, голубого, зеленого, желтого и красного) имеют примерно одинаковую ширину, в отличие от стандартной палитры, в которой диапазоны желтых и голубых оттенков в несколько раз меньше красных, зеленых и синих, а также зеленый диапазон имеет наибольшую ширину. Кроме того, в предложенной оптимизированной палитре увеличен вклад синей ЕОВ-компоненты в левой части диапазона зеленых оттенков и вклад красной компоненты в правой части этого диапазона. Такой подход позволяет лучше различать цвета из правой и левой части, что позволяет избежать неоднозначности в интерпретации распределения данных при визуализации.

В заключении перечислим основные результаты диссертационной работы:

• Разработан программный пакет визуализации скалярных и векторных полей с использованием методов построения векторных диаграмм, линий тока, текстурного метода анимации потока с по-мош;ью карты движения, а также метода цветового кодирования скалярных данных.

• Пакет используется в ЮГИНФО РГУ для анализа выходных данных системы математического моделирования бассейна Азовского моря.

• Предложен и реализован в программном пакете метод цветового кодирования третьей компоненты векторного поля при визуализации двумерных срезов трехмерного векторного поля.

Решена задача построения линий тока для областей определения векторного поля с произвольной границей.

Предложен алгоритм визуализации трехмерного векторного поля с использованием анимации с помош;ью поверхностей тока и их текстурной окраски, а также показано преимуш;ество данного алгоритма по сравнения с методом интегральной свертки на поверхностях тока.

Предложена и реализована в программном пакете оптимизированная палитра цветов, устраняющая искажения при цветовом кодировании скалярных данных.

1. Аксенов А., Дядькин А., Селъвачев А., Похилко В., Клименко С. Визуальный анализ движения жидкости в системе FlowVision // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

2. Аниканов A.A., Николаев И.А., Крицкий СП. Методы визуализации векторных полей // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. V Межд. конф. Ростов н/Д, 12-14 окт. 1999. Т. 2, Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ. 2000. С. 6-10.

3. Аниканов A.A. Визуализация векторных полей с использованием текстурной анимации // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №4. С. 5-9.

4. Аниканов A.A., Крицкий С. П., Савченко В.А. Использование карты движения при визуализации течений с помощью поверхностей тока // Труды IX Всероссийской Школы-Семинара "Современныепроблемы Математического Моделирования", Дюрсо, 2001. С. 2532.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: Наука, 1987.

6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., 1991.

7. Врилл М., Хаген X., Родриан Х.-К., Дьячин В., Клименко C.B. Использование техники стримбол для визуализации течений // Программирование, № 5, 1995. С. 63-73.

8. Брилл М., Хаген X., Родриан Х.-К., Веймер X., Дьячин В., Клименко C.B. Неявные методы визуализации потока жидкости // Программирование, № 5, 1995. С. 74-79.

9. Буланов СВ., Ечкина Е.Ю., Иновенков И.Н., Леоненко A.B. Анимация перезамыкания магнитных силовых полей в двумерных конфигурациях // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

10. Гудзовский А., Клименко С. Визуализация свободно конвективных течений в полости // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

11. Дядъкин А., Гудзовский А. Методы визуализации трехмерных данных на декартовых локально измельченных сетках // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

12. Жданов Ю.А., Ворович И.И., Горстко А.В., и др. Имитационная модель экосистемы Азовского моря. Разработка и использование // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1981, № 2, С.7-13.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. Москва: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

14. Казаков М. Интерактивная визуализация изоповерхностей для динамически изменяющихся скалярных полей // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

15. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы // Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 9, С.3-20.

16. Новиков СП., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

17. Перебин A.B. Построение изолиний с автоматическим масштабированием // Вычислительные методы и программирование. 2001. т. 2. С. 22-32.

18. Сельвачев А., Аксенов А., Клименко С. Анимационная визуализация трехмерных векторных полей // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

19. Цыганков М. Иерархическая дискретная трассировка лучей в ок-тантных деревьях // Материалы 8-й международной конференции "Компьютерная Графика и Визуализация", Графикон-98, 1998.

20. Чикин А.Л. Трехмерная математическая модель гидродинамики Азовского моря // Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности: Тр. Всерос. конф. Ростов н/Д, 2000. С. 222-229.

21. Шикин Е.В., Вересков A.B. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения. —М.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1995.

22. Artzy Е., Frieder G., Herman G. The theory, design, implementation, and evaluation of a three-dimensional surface detection algorithm // Computer Graphics and Image Procesing, 15:1-24, January 1981.

23. Bancroft G.V., Merritt F.J., Plessel T. C, Kelaita F.G., McCabe R.K., Globus A. FAST: A multiprocessed environment for visualization of computational fluid dynamics // In Proc. of Visualization 90, 1990. P. 14-27.

24. Banks D., Singer B.A. A Predictor-Corrector Technique for Visualizing Unsteady Flow // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 1(2): 151-163, June 1995.

25. Batike H., Stalling D., Hege H.-C. Fast line integral convolution for arbitrary surfaces in 3d // Visualization and Mathematics. Springer-Verlag. Heidelberg, 1997. P. 181-195.

26. BeckerB. G., LaneD.A., MaxN.L. Unsteady flow volumes //In IEEE Visualization '95, 1995.

27. Bergman L., Rogowitz B., Treinish L. A rule-based tool for assisting colormap selection // Visualization'95 Proceedings, October 1995. P. 118-125.

28. BUnn J. A Generalization of Algebraic Surface Drawing // ACM Transactions on Graphics. 1982. v. l. № 3. P. 235-256.

29. Bryson S., Levitt C. The virtual windtunnel: An environment for the exploration of three-dimensional unsteady flows //In Visualization '91, 1991. P. 17-24.

30. Gabral B., Leedom L. C. Imaging vector fields using line integral convolution // Computer Graphics (SIGGRAPH'93 Proceedings). 1993. Aug. Vol. 27. P. 263-272.

31. Gabral B., Leedom L. C. Highly parallel vector visualization using line integral convolution / /In Seventh SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing. Feb 1995. P. 802-807.

32. Cai W., HengP.-A. Principal stream surfaces // IEEE Visualization '97. Phoenbc, AZ, USA. 1997. P. 75-80.

33. CatmullE. Computer Display of Curved Surfaces // Proc. IEEE Conf. Comput. Graphics Pattern Recognition Data Struct., May 1975, P. 11.

34. Chen L.-S., Herman G.T., Reynolds A., Udupa J.K. Surface shading in a cuberille environment // IEEE Computer Graphics and Applications, 5(12).-33-43, December 1985.

35. Christiansen H.N., Sederberg T.W. Conversion of complex contour line definitions into polygonal element mosaics // Computer Graphics (ACM Siggraph Proceedings), 12(3):187-192, August 1978.

36. Cook L.T., Dwyer S.J., Batnitzky S., Lee K.R. A three-dimensional display system for diagnostic imaging applications // IEEE Computer Graphics ans Applications, 3(5):13-19, August 1983.

37. Crawfis R., Max N. Direct volume visualization of three-dimensional vector fields // WS '92. Proceedings of the 1992 Workshop on Volume Visualization, October 19-20, Boston, MA, USA. ACM Press, 1992. P. 55-60.

38. Crawfis R., Max N. Texture splats for 3D scalar and vector field visualization // Proceedings of the Visualization '93 Conference, San Jose, CA, October 1993. P. 261-267.

39. DarmofalD., Haimes R Visualization of 3-d vector fields: Variations on a stream // In AIAA Paper 92-0074, Reno, Nevada, Jan 1992.

40. DeufihardP., Bornemann F. Numerische Mathematik II: Integration gewohnlicher Differentialgleichungen. Verlag de Gruyter, Berlin, New York, 1994.

41. Dovey D. Vector plots for irregular grids // IEEE Computer Society. Visualization'95. 1995. P. 248-253.

42. Drebin R.A., Carpenter L., Hanrahan P. Volume Rendering // Computer Graphics, 22(4):65-74, August 1988.

43. Farrel E.J., Zappulla R., Yang W.C. Color 3D Imaging of Normal and Pathologic Intracranial Structures // IEEE Computer Graphics and Applications, 4(9):5-17, September 1984.

44. Foley J., van Dam A., Feiner S., Hughes J. Computer Graphics — Principles and Practice {Second Edition). Addison-Wesley Systems Programming Series, 1990.

45. Forssell L.K. Visualizing flow over curvilinear grid surfaces using line integral convolution // IEEE Computer Society. Visualization'94. 1994. P. 240-247.

46. ForssellL.K., Cohen S.D. Using Line Integral Convolution for Flow Visualiza-tion: Curvilinear Grids, Variable-Speed Animation, and Unsteady Flows // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 1(2): 133-141, June 1995.

47. Frieder G., Gordon D., Remolds R.A. Back-to-Front Display of Voxel-Based Objects // IEEE Computer Graphics and Applications, 5(l):52-60, January 1985.

48. Friihauf T. Raycasting vector fields //In IEEE Visualization'96. IEEE, October 1996.

49. Fuchs H., Kedem Z.M., Uselton S.P. Optimal surface reconstruction from planar contours // Communications of the ACM, 10:693-702, October 1977.

50. Globus A., Levit C, Lasinski T. A tool for visualizing the topology of three-dimensional vector fields // Visualization'91. 1991. P. 33-40.

51. Gordon D., Reynolds R.A. Image space shading of 3-dimensional objects // Computer Graphics and Image Processing, 29(3):361-376, March 1985.

52. Haimes R. pv3: A distributed system for large-scale unsteady cfd visualization // In AIAA Paper 94-0321, 1994.

53. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations, v. l Nonstiff Problems. 1987. (Русский перевод: Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: — М.: Мир, 1990.)

54. Hege H.-C, Hollerer T., StallingD. Volume rendering: Mathematical models and algorithmic aspects // Technical Report TR-93-07, Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin (ZIB), May 1994.

55. Helman J., Hesselink L. Representation and display of vector field topology in fluid flow data sets // Computer, 22(8):27-36, August 1989.

56. Helman J., Hesselink L. Visualizing vector field topology in fluid flows // IEEE Computer Graphics and Applications, ll{3):36-46, May 1991.

57. Herman G.T., Liu H.K. Three-dimensional display of human organs from computer tomography // Computer Graphics and Image Processing, 9(1), 1979.

58. Hultquist J.P.M. Interactive Numerical Flow Visualization Using Stream Surfaces // Computing Systems in Engineering, l(2-4):349-353, 1990.

59. Interrante V.L., Grosch C. Strategies for Effectively VisuaUzing 3D Flow with Volume LIC // Proceedings of Visualization '97, P. 421-424

60. Interrante V.L., Grosch C. Recent Advances in Visualizing 3D Flow with Lie // NASA/CR-1998-208437 ICASE Report No. 98-26, July 1998, P. 17.

61. Jobard B., Lefer W. Creating evenly-spaced streamlines of arbitrary density // Visualization in Scientific Computing. Springer Wien, 1997.

62. JobardB., Lefer W. The Motion Map: efficient computation of steady flow animation // IEEE Visuahzation '97. Phoenix, Arizona, USA. 1997. P. 323-328.

63. Levoy M. Display of Surfaces from Volume Data // IEEE Computer Graphics and Applications, 8(5):29-37, May 1988.

64. Ldffelmann H., Mroz L., Grdller E., Purgathofer W. Stream arrows: enhancing the use of stream surfaces for the visualization of dynamical systems // The Visual Computer, ISSN 0178-2789. 1997. 13(8):359-369.

65. Lorensen W.E., Cline H.E. Marching cubes: a high resolution 3D surface construction algorithm // SIGGRAPH '87 Conference Proceedings (Anaheim, CA, July 27-31, 1987). Computer Graphics, Volume 21, Number 4, July 1987. P. 163-170.

66. Lorenson W. Marching through the visible man // Visualization'95 Proceedings, October 1995. P. 368-373.

67. Ma K.-L., Cohen M.F., Painter J.S. Volume seeds: a volume exploration technique / / The Journal of VisuaUzation and Computer Animation, 2(4): 135-140, October—December 1991.

68. Ma K.-L., Smith P.J. Virtual smoke: An interactive 3d flow visualization technique //In Visualization '92, October 1992. P. 46-53.

69. Mao X., Kikukawa M., Fujita N., Imamiya A. Line integral convolution for arbitrary 3d surfaces through solid texturing //In Proc. Eighth Eurographics Workshop on Visualization in Scientific Computing, 1997.

70. Max N., Becker B., Crawfis R Flow volumes for interactive vector field visualization // Proceedings of the Visualization '93 Conference, San Jose, CA, October 1993. P 19-24.

71. Max N., Crawfis R., Grant C. Visualizing 3D velocity fields near contour surfaces // Proceedings of the Conference on Visualization, Los Alamitos, CA, USA, October 1994. P. 248-256.

72. Munsell A.H. A Color Notation, 9th ed., Munsell Color Company, Baltimore, 1941.

73. Natarajan B.K. On generating topologically consistent isosurfaces from uniform samples // Technical Report HPL-91-76, Hewlett-Packard, June 1991.

74. Nielson G.M., Hamaan B. The asymptotic decider: Resolving the ambiguity of marching cubes // Visualization '91 Proceedings, October 1991. P. 83-91.

75. Reeves W.T., Blau R. Approximate and probabilistic algorithms for shading and rendering structured particle systems // Computer Graphics (SIG-GRAPH '85 Proceedings), vol. 19, July 1985. P. 313322.

76. Rheingans P., Tebbs B. A Tool for Dynamic Exploration of Color Mappings // Computer Graphics, 24, n.2, 1990. P. 145-146.

77. Rogers D. Procedural Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill, 1985. (Русский перевод: Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989.)

78. Rogowitz В.Е., Rabenhorst D.A. CRAFT: A Tool for Customizing Color and Font Selections Guided by Perceptual Rules / / Proceedings of the IS&T and SID Color Imaging Conference, November, 1993.

79. Rogowitz B.E., Treinish L.A. An Architecture for Perceptual Rule-Based Visualization // Proceedings of the IEEE VisuaUzation 1993 Conference, October 1993. P. 236-243.

80. Rogowitz B.E., Treinish L.A. Data Structures and Perceptual Structures // Proceedings of the SPIE Symposium, 1913, Human Vision, Visual Processing and Digital Display IV, February 1993. P. 600-612.

81. Rosenfeld A., Как A. Digital Picture Processing. Academic Press, San Diego, 1982.

82. Rumpf M., Happe R.-T. Characterizing gobal features of simulation data by selected local icons //In Virtual Environments and Scientific Visualization'96, 1996.

83. Sabella P. A Rendering Algorithm for Visualizing 3D Scalar Fields // Computer Graphics, 22(4):51-58, August 1988.

84. Scheuermann G., Hagen H., Kruger H., Menzel M., Rockwood A. Visualization of higher order singularities in vector fields //In IEEE Visualization '97, October 1997.

85. Schlusselberg D.S., Smith K., Woodward D.J. Three- Dimensional Display of Medical Image Volumes // Proceedings of NCGA"86 Conference,III, May 1986. P. 114-123.

86. Schroeder W., Volpe C.R., Lorensen W.E. The stream polygon: A technique for 3D vector field visualization. //In Visualization '91. 1991. P. 126-132.

87. Shampine L.F. Interpolation for runge-kutta methods // SI AM J. Numer. Anal., 22(5): 1014-1027, 1985.

88. Shen H.-W., Johnson C.R., Ma K.-L. Visualizing vector fields using line integral convolution and dye advection //In 1996 Volume Visualization Symposium, IEEE, October 1996. ISBN 0-89791-741-3. P. 63-70.

89. Shoup R. Color table animation // Computer Graphics. 1979.13:8-13.

90. Siclari M., Mandel M.J., Scuderi A. Flow Visualization Research at Grumman's Computational Aerodynamics Laboratory, 1989.

91. Sobol I.M. On the distribution of points in a cube and the approximate evaluation of integrals // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 7(4):86-112, 1967.

92. Stalling D., Hege H.-C. Fast and resolution independent line integral convolution // SIGGRAPH'95 Conference Proceedings. 1995. P. 249256.

93. StallingD., Zockler M., HegeH.-C. Fast Display of Illuminated Field Lines // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 3(2): 118-128, April 1997.

94. Stalling D. Fast Texture-based Algorithms for Vector Field Visualization // Ph.D. thesis, der Freien Universitat Berlin. December 1998. Berlin.

95. StolkJ., van WijkJ.J. Surface-Particles for 3D Flow Visualization // Advances in Scientific Visuahzation, Springer Verlag. 1992. P. 119-130.

96. Teitzel C, Grosso R., Ertl T. Line integral convolution on triangulated surfaces // WSCG '97, The Fifth International Conference in Central Europe on Computer Graphics and Visualization '97, vol. 3, Plzen, Czech Republic, February 1997. P. 572-581.

97. Theisel H. Vector Field Curvature and Applications. PhD thesis, Universitat Rostock, Fakultat der Ingineurwissenschaften, Nov 1995.

98. Tufte E. The Visual Display of Quantitative Information // Graphics Press, 1983.

99. Turk G., Banks D. Image-Guided Streamline Placement // Computer Graphics, SIGGRAPH 96 Conference Proceedings. 1996. P. 453-460.

100. Tuy H.K., Tuy L. T. Direct 2-D Display of 3-D Objects // Computer Graphics and Applications, 4(10):29-33, November 1984.

101. Upson C,. Keeler M. V-buflfer — visible volume rendering // Computer Graphics, 22(4):59-64, 1988.

102. Uselton S.P. Volume rendering for computational fluid dynamics: Initial results // Technical Report RNR-91-026, NAS Applied Research Branch (RNR), 1991.

103. Volpe G., MelnikR.E. The design oftransonic airfoils by a well-posed inverse method // Proceedings, International Conference on Inverse Design Concepts in Engineering Sciences, October 1984.

104. Watt A.J Watt M. Advanced Animation and Rendering Techniques — Theory and Practice. Addison-Wesley, 1992.

105. Wilhelms J., van Gelder A. Octrees for faster isosurface generation extended abstract //In Computer Graphics (San Diego Workshop oh Volume Visualization), v. 24, November 1990. P. 57-62.

106. Wilhelms J., van Gelder A. Topological Considerations in Isosurface Generation // Computer Graphics, Vol. 24, No. 5, 1990. P. 79-86.

107. Wright T., Humbrecht J. Isosurf — an algorithm for plotting iso-valued surfaces of a function of three variables // Computer Graphics (ACM Siggraph Proceedings) 13(2):182-189, August 1979.

108. Wyvill G., McPheeters C., Wyvill B. Data structure for soft objects // The Visual Computer. 1986. № 2. P. 227-234.

109. Yih C.-S. Fluid Mechanism. McGraw-Hill, New York, 1969.

110. Zdckler M., StallingD., HegeH.-C. Parallel line integral convolution // Parallel Computing, 23(7):975-989, July 1997.