автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вероятностные модели и методы анализа режимов функционирования трубопроводных систем



ВАНТЕЕВА Ольга Викторовна

вероятностью: модели и методы анализа режимов функционирования трубопроводных систем

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Специальность 05.13.18. «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

1 7 ФЕ8 2011

Иркутск

2011

4854362

Работа выполнена в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева (ИСЭМ) СО РАН, г. Иркутск.

Ведущая организация -

Научный руководитель -

Официальные оппоненты -

доктор технических наук, профессор Новицкий Николай Николаевич, доктор технических наук, профессор Чупин Виктор Романович; кандидат технических наук Михеев Алексей Валерьевич. ГОУВЭП Дальневосточный государственный университет путей сообщения.

Защита состоится " а " _2011 г. в. /О' ч. на заседании Диссерта-

ционного совета Д 003.017.01 при Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН по адресу: 664033, Иркутск-33, ул. Лермонтова, 130.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 664033, Иркутск-33, ул. Лермонтова, 130, на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан "<х'9 "(суи£т/?Л 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.017.01, доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Трубопроводные системы (TIIC) тепло-, водо-, газоснабжения и другие представляют собой сложные, пространственно распределенные, структурно неоднородные инженерные сооружения, которые играют важную роль в энергетике, промышленности, коммунальной сфере и других отраслях народного хозяйства. Создание, реконструкция и эксплуатация ТПС требуют существенных затрат, а надежность и качество их работы имеют важное экономическое и социальное значение.

При проектировании и эксплуатации ТПС, как правило, применяются детерминированные методы расчета и анализа режимов. В реальных условиях (главным образом в силу стохастического характера потребления целевого продукта) смена режимов работы ТПС во времени представляет собой случайный процесс, отдельные реализации которого практически никогда не повторяются. В связи с этим, с одной стороны, нет никакой гарантии того, что расчетный режим будет в точности соблюдаться на практике, а с другой, - на основе детерминированных расчетов невозможно оценить степень такой гарантии. Соответственно нет возможности оценить степень эффективности, надежности и качества работы системы как в расчетном режиме, так и за период. Особенно остро задача количественной оценки этих показателей встает при обосновании мероприятий по внедрению нового оборудования, технологий, принципов, технических средств и правил управления.

Вопросам расчета и анализа функционирования ТПС различного типа и назначения посвящены многочисленные отечественные и зарубежные работы. В том числе, обобщающие результаты в области детерминированных моделей и методов расчета потокораспределения, отражены в работах В.Я. Хасилева, А.П. Меренко-ва, В.Г. Сидлера, H.H. Новицкого, C.B. Сумарокова, М.Г. Сухарева, Е.Р. Ставров-ского, А.Г. Евдокимова, А.Д. Тевяшева, Н. Cross, L.E. Todini, Z. Giustolisi и др. Вероятностные аспекты анализа функционирования ТПС исследовались в работах А.Г. Евдокимова, А.Д. Тевяшева, С.Н. Карамбирова, H.H. Абрамова, JI.A. Шопен-ского и др. Вместе с тем, проведенный обзор научно-методической литературы в этой области показал отсутствие универсальных и, одновременно, эффективных для практического применения методов вероятностного расчета режимов ТПС.

Этим определяется актуальность комплексного изучения вопросов анализа функционирования ТПС с учетом стохастики потребления целевого продукта, динамики протекающих процессов, различных правил управления режимами. Наибольший эффект от разработки соответствующего методического обеспечения может быть достигнут на межотраслевом уровне вследствие большой степени общности содержательных и математических постановок рассматриваемых задач.

Цель и задачи работы. Разработка математических моделей, методов и алгоритмов вероятностного расчета потокораспределения в гидравлических цепях (ГЦ) с сосредоточенными и переменными параметрами, как основы решения задач анализа функционирования ТПС.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи ис-

следования.

1. Формализация задачи вероятностного описания режимов работы ТПС.

2. Разработка аналитических вероятностных моделей установившегося изотермического потокораспределения для основных случаев задания граничных условий (ГУ).

3. Разработка методики формирования ГУ в вероятностной форме и исследование ее возможностей.

4. Разработка и исследование методов вероятностного расчета гидравлических режимов ТПС.

5. Исследование задач и разработка алгоритмов имитации функционирования ТПС и расчета его показателей на базе вероятностных моделей потокораспределения.

6. Проведение численных экспериментов и апробация разработанных моделей, методов и алгоритмов на условных и реальных примерах систем водоснабжения.

Методическая база: теория гидравлических цепей, теория графов, линейная алгебра, теория матриц, методы теории вероятности, математической статистики и случайных процессов.

Научная новизна. Впервые предпринята попытка комплексного исследования задач вероятностного моделирования режимов ТПС с целью разработки эффективных методов их решения, пригодных для практического применения. При этом получены следующие результаты.

1. Предложена формализация задачи вероятностного расчета режимов функционирования ТПС, а также общая схема ее решения, потенциально обеспечивающие резкое сокращение трудоемкости расчетов по сравнению с традиционными методами имитационного моделирования при сохранении требуемой степени адекватности результатов.

2. Предложена методика формирования ГУ в вероятностной форме, позволяющая получать статистические характеристики нагрузок потребителей (как основного фактора стохастики режимов) в зависимости от априорно известных факторов (типов потребителей, степени их благоустройства и др.), что создает основу для постановки и решения задач априорного вероятностного расчета эффектов от различного рода мероприятий.

3. Впервые разработаны аналитические выражения для ковариационных матриц (КМ) параметров режима для основных случаев задания ГУ, что имеет решающее значение для обеспечения вычислительной эффективности предлагаемой методики моделирования стохастики потокораспределения.

4. Разработан квазидинамический подход к вероятностному моделированию динамики режимов ТПС, а также оригинальный алгоритм, предусматривающий переменный шаг дискретизации по времени. Это дает возможность расчета в вероятностной форме практически любых показателей функционирования ТПС на произвольном отрезке времени, в том числе для систем с запаздыванием внутрен-

них реакций (например, при наличии аккумулирующих емкостей), когда траектог рия режимов зависит не только от возмущающих воздействий в каждый момент времени, но и от их предыстории.

Практическая ценность работы. Разработанное методическое и алгоритмическое обеспечение может быть использовано: 1) в практике проектирования для анализа существующего состояния ТПС (пропускной способности, управляемости, надежности и др.), проведения поверочных расчетов вариантов развития ТПС; 2) при эксплуатации для анализа причин и степени нарушений в режимах, для разработки и обоснования основных эксплуатационных и ремонтно-восстановительных режимов; 3) при диспетчерском управлении, для анализа последствий принимаемых решений по управлению; 4) в исследовательских и обучающих целях.

Применение предложенных методических и алгоритмических разработок обеспечивает: 1) адекватность воспроизведения стохастики процессов функционирования ТПС практически для всех основных случаев возмущающих воздействий (ГУ); 2) вычислительную эффективность решения рассматриваемых задач для ТПС реальной размерности; 3) возможность выполнения как априорного, так и апостериорного вероятностного анализа режимов; 4) получение вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от режима или от динамики режимов (за период); 5) возможность выполнения количественного обоснования мероприятий, связанных с внедрением нового оборудования, изменением правил управления, структуры и параметров ТПС.

Разработанные математические модели и алгоритмы реализованы в виде пакета программ в вычислительной среде Maple и апробированы на ряде реальных и условных примеров.

■ Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях научной молодежи ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1998-2002 г., 2004 г. и 2005 г.), Всероссийском научном семинаре с международным участием «Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики» (Иркутск, 2003 г.), Всероссийских научных семинарах с международным уча1 стием «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004 г.; Санкт-Петербург, 2006 г.; Иркутск, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 13-ти публикациях, в том числе в двух коллективных монографиях, одна статья в рецензируемом журнале рекомендованном ВАК по специальности 05.13.18.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (91 наименование) и приложения (на 22-х страницах). Диссертация изложена на 139 страницах, содержит 34 рисунка, 19 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цель, основные положения и задачи диссертации, актуальность работы, цель исследования, научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

В первой главе, имеющей обзорно-постановочный характер, дается краткая характеристика современных ТПС, сложившейся практики их проектирования, эксплуатации и диспетчерского управления ТПС. Выполнен анализ научно-методических работ в области моделирования и анализа режимов функционирования ТПС, включая вероятностные подходы. Дана содержательная постановка целей и задач исследования.

Проведенный анализ показывает наличие явного противоречия между стохастическим характером реальных режимов функционирования ТПС и преобладанием детерминированных подходов к их расчету при проектировании, эксплуатации и диспетчерском управлении. Имеющиеся вероятностные подходы, в основном, находятся еще на стадии своего формирования и в большей степени ориентированы на решение задач оперативного управления ТПС. Даже для систем, оснащенных информационно-измерительными системами, полученная информация; позволяет выполнять вероятностный анализ ретроспективы функционирования ТПС, а также строить прогнозы проявлений внешней среды на относительно небольшой интервал упреждения, сопоставимый с интервалом дискретизации процессов оперативного управления. Этот подход, однако, не применим (либо слабо регламентирован) для вероятностного анализа вариантов организации функционирования ТПС за счет изменения топологии, структуры ТПС, степени оснащенности средствами локальной автоматики, централизованного управления и других факторов.

Этим определяется актуальность разработки общего подхода, математических моделей и методов вероятностного расчета потокораспределения для решения задач как апостериорного, так и априорного анализа функционирования ТПС.

Предметом исследования в работе являются задачи вероятностного моделирования установившихся гидравлических режимов ТПС. Объектом исследований - ГЦ с сосредоточенными и переменными параметрами, обеспечивающие возможность описания режимов ТПС произвольной структуры и конфигурации, при фиксированных и нефиксированных нагрузках, различных ГУ. Основным объектом апробации были выбраны водоснабжающие системы, для которых характерны эффекты зависимости режимов от стохастики внешних воздействий, а при наличии аккумулирующих емкостей - запаздывания внутренних реакций.

Во второй главе излагаются: постановка задачи вероятностного расчета режимов работы ТПС и суть методического подхода к ее решению; вероятностные модели возмущающих воздействий; вывод аналитических выражений для КМ при различных вариантах ГУ.

Постановка задачи вероятностного расчета потокораспределения и общая схема ее решения. Вероятностное описание отдельно взятого режима исчер-

пывается функцией плотности распределения вероятностей р(Я,фн), где Я - случайный вектор параметров режима (давлений, расходов и др.); фк - параметры распределения. В большинстве практических случаев может быть принята гипотеза о нормальном распределении Я. Тогда фн ={Л,СД} и вероятностное описание режима сводится к указанию для величины Я значений математического ожидания (МО) (Л) и КМ(С„).

Параметры режима Я должны удовлетворять уравнениям модели потокорас-пределения и(Я) = 0 (где V - нелинейная векторная функция). Эти уравнения вытекают из общих физических законов сохранения и, соответственно, должны выполняться детерминировано. Другими словами, не любое сочетание компонент случайного вектора Я допустимо по физическим соображениям.

Традиционная детерминированная модель установившегося потокораспреде-ления (гидравлического режима) в ТПС как ГЦ с сосредоточенными параметрами может быть представлена в виде

' Ах-0

U{R) = U(XJ) = U{x,Q,P,a)-

\

A P-f{x,á)

= 0. (1)

Здесь: первая подсистема уравнений представляет собой условия материального баланса в узлах ГЦ (уравнения первого закона Кирхгофа); вторая - уравнения вто ■ poro закона Кирхгофа в узловой форме записи; Х- граничные условия; У- неизвестные параметры режима; /(*,а) - и-мерная вектор-функция с элементами /,{х,,а,), состоящая из аналитических выражений для гидравлических характеристик ветвей; а - па -мерный вектор параметров этих характеристик. Например, если f,(xl,ai) = sixi | | -H¡, то а = {.$,,#,}, где xt - расход на i'-й ветви; s, - гидравлическое сопротивление ветви; H¡> 0 - приращение давления в случае активной ветви (например, моделирующей насосную станцию); Н, = 0 в случае пассивной ветви (например, моделирующей трубопроводный участок). Если в (1) все параметры j., H¡t i = 1,п, заданы детерминировано, то Я = (xr,QT,PJ)T.

Таким образом, вероятностная модель установившегося потокораспределения может быть представлена как í/(R) = 0, R~ Nr(R,Ск), где Nr - г -мерное нормальное распределение вероятностей; г - размерность вектора Я.

В случае нормального распределения X, пренебрегая нелинейным искажением распределения [{У(Х),фГ1Х^\ (где У(X) - неявная функция, задаваемая

уравнениями потокораспределения), задача сводится к следующей постановке: дано rpx = {X, Су} и условие U(R) = U(X, У) = 0; требуется определить

Суть методического подхода. Пусть ¿jx=(X -X) - случайное отклонение возможной реализации ГУ от своего МО X. Линеаризуя функцию У(Х) в окре-

стности X, получим 7 » У(Х) + {дУ/дХ)4х, откуда следует, что Е(У) = 7 = У(Х), так как Е(§х) = 0, где Е - операция МО. Таким образом, МО неизвестных параметров режима (7) является функцией уравнений потокораспределения при ГУ X. Соответственно

'X

г X

где С, =£[&#]*£

ЦХ)) дУ

дХ

Са=£

57 дХ

4х

К'эг 1

дУ

\Т

СД7 -СУХ - Е(£х§г)-Е

6У

дХ

=с,

СУ

а

дХ

67 ' ех

(2)

57

Таким образом, общая схема решения задачи вероятностного расчета режима сводится к следующему:

1) получить вектор 7 традиционными методами расчета потокораспределения при заданном X в роли ГУ;

2) определить матрицу Ся, отдельные блоки которой определяются по известной матрице Сх и матрице производных дУ/дХ в точке X.

При этом возникают два основных вопроса: 1) из каких соображений задаются параметры распределения ГУ (рх = {Х,Сх)); 2) каков конечный вид соотношений дня результирующих КМ при различных вариантах разбиения Я на X ч У, поскольку в традиционных методах расчета потокораспределения производные дУ1дХ в явном виде не вычисляются, что составляет самостоятельную задачу.

Моделирование внешних воздействий. С физической точки зрения, моделирование ТПС связано с процедурой «вырезания» объекта моделирования из окружающей среды. При этом параметры, лежащие на границе раздела объекта и внешней среды (одновременно принадлежащие и ТПС и окружающей среде), называются ГУ. Часть этих условий, заданных детерминировано, убираются из аргументов модели и состава X. Оставшаяся часть этих условий рассматривается как возмущающие воздействия, для которых должны быть заданы форма и параметры распределения. Все возмущающие воздействия можно разделить на три класса: 1) по степени контролируемости (контролируемые и неконтролируемые); 2) по степени предсказуемости (случайные и предопределенные); 3) по степени регулярности (непрерывные или эпизодические). Основной целью данной работы является моделирование режимов под воздействием возмущений регулярного характера. Задачи анализа и минимизации последствий возмущений внезапного характера изучаются в теории надежности.

Вероятностный расчет нагрузок потребителей. Основными стохастическими возмущениями регулярного характера являются нагрузки потребителей.

Получение вероятностных моделей потребления целевого продукта представляет собой сложную задачу, для решения которой предлагается (применительно к ВСС) подход априорного формирования таких моделей. Подход базируется на привлечении методов теории массового обслуживания и результатах исследований JI.A. Шопенского, H.H. Абрамова и др., получивших свое отражение в нормативной документации (СНиП «Внутренний водопровод и канализация зданий»). В соответствии с этими результатами вероятность использования водоразборных приборов (phhr) может быть описана «формулами Эрланга», которые дают предельный дискретный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания.

Предлагаемая в диссертации методика расчета МО расходов потребителей (#ср ч) и их дисперсий (сг^) состоит в следующем.

1. Зная общее количество приборов у потребителя N и вероятность их использования phhr, можно вычислить такое т -

({npl)m) / u(«pit)

m! V / / h ml < /

принимает максимальное значение рт=ршх, где т = 0,\,...,М- число одновременно используемых водоразборных приборов; ^^ интенсивность использования водоразборных приборов; И- общее число водоразборных приборов.

2. Определить среднечасовой расход д = тлсрч<70, где - секундный расход воды прибором, л/с; дсрч - можно интерпретировать как МО расхода целевого продукта.

' 3. Аппроксимируя дискретное распределение Эрланга непрерывным нормальным распределением, вычислить эквивалентную дисперсию по формуле

_2 = 1 И .СР

4. Дисперсия среднечасового расхода определится как = д1 ст*. Общая схема получения КМ. Для получения КМ параметров режима СЙ необходимо знание матрицы производных 8У/дХ. Формально эта матрица может быть получена численно на основе правил дифференцирования неявных функций

дГ (диУди „ „ .

как ~ \ чго' однако' связано с трудоемкой процедурой обращения

матрицы большой размерности. Учет специфики моделей потокораспределения позволяет получить более компактные и удобные в использовании аналитические соотношения для дУ/дХ и, в конечном счете, для Ск. Действительно, матрица

производных для системы (1) по вектору Я = (£)Т,хТ,/'Т,аТ)1 имеет вид

3U _ \Ет А 0 j 0

3R 0 /; А1]/:

где Ет - единичная матрица порядка т; f'x - диагональная матрица с элементами 8fi(x:,a,)/dx,; /а' -df(x,a)/8a - в общем случае прямоугольная (пхпа)-матрица производных.

Проиллюстрируем процесс получения д¥/дХ и С„ для случая, когда X = Q, Y = (х\РтУ, Рт = const, а = const. Линеаризованная модель потокораспределения (1) в точке МО (jf) дает следующие соотношения между случайными отклонениями параметров режима: = где £Q, £,Р - отклонения расходов на ветвях, узловых расходов, узловых давлений от своего МО.

Из второго соотношения получим £ = (fx)~[AT^p , а с учетом первого -¿¡Р =М~1£0, где М =A{fx)'АТ - симметричная невырожденная матрица Максвелла,.

Таким образом, имеем следующую явную зависимость случайных отклонений в искомых параметрах режима от случайных отклонений в ГУ

(ЛГА'М 1

лг

Соответственно получим аналитическое выражение для

КМ параметров режима в функции С„:

Ч cqp с cQM-'A{fxr с„м-'

с, с* = (/;)-' atm-'cq (/;)-' a'm-^m-'aw' (/;)-' atm-'cqm-1

cpq С* ср_ лгс0 m-'^m-'aifx' Л/"1 с0м~1

где Сд - известная КМ узловых расходов; Ср - КМ узловых давлений; Сх - КМ расходов на ветвях; = С]0 - КМ узловых расходов и расходов на ветвях' Сгд = СдР - КМ узловых давлений и расходов; СРх = С]р - КМ узловых давлений расходов на ветвях.

Таким образом, показано, как зная Сд, можно вычислить Сд. Никаких особых требований на матрицу Сд не налагается, хотя в практических расчетах она обычно полагается диагональной из соображений статистической независимости нагрузок потребителей. То есть cov(QJдля у =/, соу(().,(21) = 0 для

Ковариационные матрицы для общего случаяХ = (01,Рх,се]г)Т (рис. 1), когда в каждом узле может быть задан либо расход, либо давление, а каждая ветвь характеризуется векторным иа/ -мерным параметром (например, а,={з1,Н1),

па1= 2) гидравлических характеристик, задаваемым полностью или частично в вероятностной форме.

► реальный участок; — фиктивная ветвь, моделирующая нефиксированный отбор

у потребителя; .....-фЗ'"*■ фиктивная ветвь, моделирующая резервуар; — * фиктивная

ветвь, моделирующая насосную станцию; (¿У*узел с заданным узловым отбором; узел с заданным давлением.

Так сопротивления фиктивных ветвей, моделирующих потребителей с нефиксированными нагрузками определяются по формуле

(3)

где р - требуемое манометрическое давление у потребителя, при котором он получает требуемый расход, численно равный его МО . Поскольку ] - константа, не зависящая от режима, то случайные колебания зависят только от случайных колебаний Qj. Линеаризуя (3) в точке получим

£, =-2(р /¡2])^-, откуда дисперсия сопротивления этой ветви определится как

(4)

Для фиктивной ветви, моделирующей резервуар, применяется следующее замыкающее соотношение /1{х1,а1) = зрс1-Н(, где #/- приращение давления, имеющее дисперсию с2н/.

Разобьем множество узлов расчетной схемы на подмножества узлов с заданными расходами и давлениями {J Р), а множество ветвей на подмножества

ветвей с гидравлическими характеристиками, заданными в вероятностной форме и детерминировано (10). Опуская выводы, приведем конечные выражения

для КМ неизвестных параметров режима в общем случае задания ГУ: КМ неизвестных узловых давлений

СРГ-Ь\_4РГ, ^¿QV

дхv

dav

бРу

дРу

дРг

8QX) dgx-0X{eQx) +архс,х{др

дРу

дРу

КМ расходов на ветвях с детерминировано заданными характеристиками

vr _ /, NT

дРу ~Р\дРу J

дхп

охр

дРу

-рх

fop у8Рх

КМ расходов на ветвях с вероятностно заданными характеристиками

С* - ~ Сру

дРу

дху кдРу

дху ' дРу

-РХ

чТ

dxv

дРу

dxv 8ау

C„v

f л, ^ дху

удссу

' л- Ч^-1 х КМ неизвестных узловых расходов

С<2У = -АроС^Ари + АруСхуАру,

где Адо - (т0 х п0)-мерная матрица с элементами ар, у 6 ^, / 6 /0; Аду - (ту хи,,)-мерная матрица инциденций с элементами ар, ] е JQ,; е ; Аро -(тг хп0)-мерная матрица инциденций с элементами а^, jeJP, / е /„; Ару -(т,, хи,,)-мерная матрица инциденций с элементами ар, je.Jp, ' е /,;

dxD J dfx

dPY { dxD j

ydxv j

V1

лт

лео> dav

OfxD

dPX \dxDj

dxy

5Py

QfxV_ ydx,. j

4-1

T Sxy

Qy' dPx-[sxv)

Лру,

- матрицы частных производных соответствующих сочетаний

дху

дау

dfxD dfxv dfxv

параметров, которые неявно зависят только от трех матриц: , и ,

8х0 дху дау

структура которых определяется видом характеристик ветвей, причем первые две из них диагональные и, следовательно, легко обратимы.

Таким образом, с помощью приведенных соотношений можно последовательно вычислить КМ всех параметров режима, зная КМ матрицы: CqX - заданных узловых расходов размерами mQy.m(j\ СРХ - заданных узловых давлений размерами (mfx«f); СаУ - заданных в вероятностной форме гидравлических характеристик ветвей размерами (паУ хпаУ).

Вывод КМ для моделей ГЦ с сосредоточенными и нефиксированными нагрузками представлен в диссертации.

Третья глава посвящена вероятностному моделированию динамики режимов функционирования ТПС во времени.

Потенциально, для имитации режимов функционирования ТПС с учетом случайных факторов можно использовать метод Монте-Карло, что, однако, требует чрезмерных вычислительных затрат вследствие большой размерности и нелинейности моделей ТПС. В данной работе для имитационного моделирования (ИМ) ТПС во времени и расчета вероятностных характеристик показателей их функционирования предлагается использовать введенные выше аналитические вероятностные модели в общем процессе воспроизведения динамики режимов ТПС, что позволяет резко сократить время счета.

Изменение режимов во времени Л(/), 0</ ¿Т представляет собой случайный процесс, который порождается динамикой ГУ Х(1),0 </<Г, включая случайные процессы потребления целевого продукта. На рис. 2 приведены реальные графики распределения во времени частот реализации двух параметров режима (узлового расхода (рис. 2а) и узлового давления (рис. 26)), первый из которых может рассматриваться как возмущение, а второй как реакция.

а)

б)

Время, ч.

Частота,

Частота,

Расход, л/ч

Давление, м

Рис. 2. Изменение частот распределения параметров режима в течение суток. а) для узлового расхода; б) для узлового давления.

Выполненный анализ обоих процессов показал, что: 1) распределение частот в любом сечении обоих процессов вполне удовлетворительно аппроксимируется нормальным распределением; 2) дисперсия каждого процесса практически не меняется во времени; 3) МО того и другого процессов меняется в течение суток (рис. За); 4) автокорреляционная функция достаточно быстро стабилизируется на нулевом значении (рис. 36).

Непостоянство во времени МО подобных процессов не является препятствием к их рассмотрению как стационарных, поскольку для центрированного процесса X(t) = X{t)-X{t),0<t<T, имеем £[Х(/)] = 0 = const, а КМ для X{t) и X(t) совпадают. Учетом корреляции между режимами по времени можно пренебречь на скользящем интервале, совпадающем с интервалом затухания корреляционных функций.

как случайного процесса.

а) динамика математического ожидания;

б) график автокорреляционной функции.

Принимая на основании проведенных исследований гипотезу гауссовскоги стационарного процесса R(t), 0 < t < Т, его вероятностная модель описывается совместной функцией нормального распределения с параметрами Л = [Л(0)т,Л(1)т,...,Л(Г)Т]т, CR=E[4RfR\

Таким образом, задача вероятностного расчета динамики режимов сводится к определению {R(t),Cp} по заданным параметрам {^(/),СЛ.}, где Х(0 = [ЛГ(0)ТД(1)Т.....X(Jf]\ Сх= const, t-\,...,T, Г-расчетный период.

Моделирование динамики возмущающих воздействий.

1. Нагрузки потребителей (жилые дома, предприятия, учреждения) моделируются в виде непрерывных графиков g,(0> ' = построенных по методике JI.A. Шопенского, а дисперсии каждого потребителя принимаются постоянными за расчетный период. Для моделей с нефиксированными нагрузками строятся графики J(t), / = !,...,Т и определяются дисперсии J(t) с использованием формул (3;,

2. Наличие резервуаров связано с привлечением дополнительного динамического соотношения PJk = PJi^+(At/FJ)QkJ, где At - продолжительность А:-го режима; Fj - площадь зеркала жидкости в резервуаре; j - индекс узла, моделирующего резервуар. Обозначим: Hfk = Pjk_t - фиктивное приращение давления на i -й фиктивной ветви, моделирующей аккумулирующую емкость в j -м узле (случайная величина); st-AtlFj - фиктивное, детерминированное сопротивление этой ветви. КМ вектора ///, используемая на k-и шаге расчета, определяется как

Сн, (Л) = Cpy(tk_t),

где СД,(ГАЧ) - блок КМ вычисленных на предыдущем шаге давлений в узлах с аккумулирующими емкостями.

3. Внутренние реакции системы без запаздывания (управляющие воздействия) учитываются алгоритмически.

4. Внешние возмущения внезапного характера при необходимости задаются экспертно в виде сценария событий (пожаротушения, аварий и др.) с указанием времени их возникновения, продолжительности и других параметров.

Квазидинамический подход к расчету режимов. Использование «эталонных» моделей нестационарного потокораспределения для моделирования процессов работы ТПС представляется нерациональным, так как время пребывания большинства ТПС в нестационарных режимах пренебрежимо мало по сравнению с общим временем их функционирования, а трудоемкость расчетов (тем более, в вероятностной постановке) многократно возрастает. В качестве оптимального компромисса между точностью расчетов и их трудоемкостью предлагается использовать квазидинамический подход, в соответствии с которым расчетный период (Т) разбивается на промежутки времени (А/), в пределах которых изменение потокораспределения можно считать несущественным, а само потокораспределение - установившимся. Соответствующая модель в общем виде может быть представленно как

А{1)х(0 = <2(1,Р), А{1)1Р\г) = уЦ), ЯО = /(*('),«(0), 1 = 1 ,.,т.

Для систем с запаздыванием внутренних реакций (при наличии аккумулирующих емкостей) очередной режим зависит от предыстории режимов. Основная идея методики расчета динамики режимов таких систем заключается в том, чтобы определять шаг А/ в зависимости от скорости изменения режима. Для проверки ее эффективности были проведены две серии расчетов с постоянным и переменным шагом АI.

Результаты расчетов показывают, что при постоянном Д (точность расчетов тем выше, чем меньше Д/, но одновременно увеличивается количество расчетов (рис. 4а).

N а) N6)

500 ------------------- - ------- 500---------------------

400 \ - --............— ..._.. 400 ...............

100 —

0 0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Д,, ч 0 01 0 2 0 3 0 4 „

Рис. 4 Зависимость количества расчетов от выбора схемы расчетов. а) при постоянном А/; б) при переменном Д/; ТУ-число расчетов; 6Р - порог неразличимости режимов по давлениям.

Применение предложенного алгоритма дробления интервала А1 позволяет резко уменьшить количество расчетов (рис. 46) без потери точности, по сравнению с расчетами динамики режимов при постоянном шаге Д/ (рис. 5).

Рис. 5. Графики изменения уровня воды в резервуаре.

1,2- при переменном Ы (8Р =0,5 и,8Р = 0,3 м); 3 - при постоянном Ы =0,1 ч.

Расчет вероятностных показателей функционирования ТПС.

Предложенный подход для имитации режимов работы ТПС обеспечивает возможность получения вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от параметров режима, по известным формулам теории вероятности. Так, вероятность принадлежности любого подмножества параметров режима заданному диапазону на момент времени 1к определится по формуле

р*=^гыЙ^Н^ (5)

где Лд - «-мерный случайный вектор (подвектор) параметров режима на момент времени гА; Я* - «-мерный вектор МО Кк; См - (их и)-мерная КМ для Як; р„к -вероятность принадлежности Як заданному диапазону [V, у]; V ,у„]т и 2 = [53>-»>£,]Т - векторы верхних и нижних границ исследуемого диапазона, компоненты которых могут принимать бесконечные значения для учета односторонних интервалов или их отсутствия.

Оценка вероятности принадлежности заданному диапазону [уг, V, ] в течение периода Т определится по формуле

Рнт = /= /г, (6)

М / Ы! Ы /

где К - число расчетных режимов за период Г = £ д/4; Д/к - продолжительность

к -го режима.

Формулы (5), (6) можно применять для оценки функционирования системы в целом, ее фрагментов или отдельных элементов в конкретном режиме или за период, например, с точки зрения степени загруженности, дефицита целевого продукта, соблюдения технологических ограничений и т.д.

В четвертой главе рассматриваются прикладные вопросы вероятностного моделирования ТПС. Приведены результаты исследования адекватности разработанных моделей как реальным процессам, так и в сопоставлении с эталонными методами расчета. Дана характеристика программных реализаций и алгоритмов ИМ ТПС и методики их практического применения. Приведены результаты численной апробации разработанных моделей и программ на условных примерах и реальных схемах водоснабжающих систем.

Адекватность разработанных вероятностных моделей исследовалась в двух направлениях: 1) проверка допустимости искажения нормального закона распределения исходных данных вследствие нелинейности моделей потокорас-пределения; 2) анализ законов распределения параметров режима по экспериментальным данным.

Первая задача исследования решалась на основе сопоставления результатов, полученных путем применения аналитических моделей и традиционного метода статистических испытаний (метода Монте-Карло). В связи с этим потребовалось разработать методику и схему вероятностного расчета потокораспределения методом Монте-Карло. Основные выводы по данной задаче представлены в третье главе. Результаты исследования формы распределения узловых давлений и расходов на ветвях (на примере двухконтурной сети с резервуаром, состоящей из шести узлов и восьми участков) при нормальном законе распределения нагрузок у потребителей отражены на рис. 6. Сравнение времени, затрачиваемого на расчет

Р, м (резервуар)

Р, м(1 узел)

X, м3/ч (I ветвь)

Рис. 6. Результаты проверки гипотезы нормальности распределения параметров режима.

-кривая выборочного распределения,

— - - кривая теоретического (норм.) распределения.

методом Монте-Карло (при 1000 реализациях) и аналитическим, приведено в табл. 4. .Сравнение производилась по нескольким схемам. Результаты расчетов показывают, что вычисление аналитическим методом в несколько раз уменьшает время счета по сравнению с методом Монте-Карло при достаточной адекватности получаемых результатов расчетов рис. 7.

Табл.4 Время, затрачиваемое на вероятностный расчет методом Монет-Карло и

аналитическим

Количество узлов и ветвей в схеме Время расчета для метода 'МК/'А

Аналитического (/А) Монте-Карло (iMK )

6 узлов и 8 ветвей 3,2 с 3 мин 56,25

12 узлов и 19 ветвей (рис. 10) 4,8 с 28,5 мин 356,25

12 узлов и 29 ветвей (рис. 10) 16,2с 1,25 ч 277,77

0.008 0С06 0.004 0 002 а: J J D 006" \п 0.005" \ 0.004- ¡П 0аИ \ 0.002..... / f У 5) /\ 0.006 L о.ак J1 0.004 ^ 0.003 \ 0.002 1 0001 в) i L J к

4&) 500 600 7Ö0 ООО 0 403 500 600 700 800 0 4Й15Ü0 ¿Ю 700 800

Рис. 7. Гистограммы распределения давления в резервуаре, совмещенные с кривой нормальной плотности распределения вероятностей: о) 13 ч.; б) 14 ч.; в)15 ч.

Исследование экспериментальных данных проводилось известными методами статистической обработки временных рядов (случайных процессов). Имеются экспериментальные данные по двум типам ГУ: 1) нагрузки потребителей как возмущающие воздействия, анализ которых выполнялся H.H. Абрамовым и подтвердил их подчиненность нормальному закону распределения; 2) узловые давления как характерный параметр, реагирующий на стохастический характер водопотреб-ления.

Для исследования формы распределения давления использовались реальные данные его почасовых измерений в узле примыкания к резервуару «Синюшина гора» г. Иркутска, полученные за 343 суток работы (8232 измерений).

На этих данных исследовались следующие вопросы: 1) является ли данный процесс эргодическим; 2) какому распределению подчиняется данный процесс в любом его сечении; 3) является ли дисперсия данного процесса постоянной на про тяжении расчетного периода. Основные выводы по данной задаче представлены в третьей главе. Характерные гистограммы распределения частот давления на от-

дельные часы суток, совмещение с кривой нормального распределения представлены на рис. 7.

Краткая характеристика программных реализаций. Пакет алгоритмов для ИМ ТПС разработан в вычислительной среде Maple, пакет реализован по блочному принципу, общая схема которого представлена на рис. 8. Достоинствами этого подхода является эффективность реализации и отладки отдельных блоков, а также удобство их применения для решения общих и частных задач ИМ.

Рис. 8. Общая схема имитационного моделирования ТПС.

Реализованные программы позволяют рассчитывать: установившееся потоко-распределение в ГЦ (гидравлический режим); нагрузки потребителей в зависимости от численности населения, количества санитарно-технических приборов и благоустройства зданий; нагрузки обобщенных потребителей при различной степени благоустройства зданий в зависимости от численности населения, количества санитарно-технических приборов; индивидуальные графики водопотребления для каждого типа здания (потребителя); статистические характеристики (МО и КМ) ГУ; КМ искомых параметров режима для любого типа задания ГУ; вероятностный расчет потокораспределения ТПС аналитическим методом; вероятностный расчет потокораспределения ТПС методом Монте-Карло; вероятностные расчеты динамики режимов ТПС обоими методами.

Предложена методика практического применения разработанных моделей, методов и алгоритмов, которая регламентирует процесс проведения расчетов для реальных объектов.

Примеры практической апробации. Выполнены расчеты, иллюстрирующие применение методов, моделей и алгоритмов на восьми условных и реальных примерах.

Первый и второй примеры иллюстрируют получение статистических параметров процесса водопотребления для реального жилого здания и обобщенного потребителя. На следующих четырех примерах показаны получение вероятностных показателей установившегося потокораспределения в ГЦ: 1) с сосредоточенными нагрузками; 2) с нефиксированными нагрузками; 3) с сосредоточенными и с нефиксированными нагрузками при наличии в схеме резервуара; 4) расчет вероятностных показателей работы ТПС в целом. Седьмой пример иллюстрирует вероятностный расчет динамики режимов в ГЦ с сосредоточенными нагрузками при наличии резервуаров. Восьмой пример это апробация предложенных методов на реальной сета м-на Солнечный г. Иркутск, который иллюстрирует полный расчет от вычисления нагрузок у потребителей до получения показателей эффективности работы ТПС.

В приложении помещены: исходная информация для вычисления стохастических характеристик водопотребления в реальной водопроводной сети м-на Сол нечный г. Иркутска; исходная информация и результаты вероятностного расчета потокораспределения для этой сети.

. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Сложившаяся практика анализа и обоснования режимов работы ТПС при их проектировании, эксплуатации и диспетчерском управлении обладает низкой степенью адекватности реальным процессам функционирования ТПС, главным образом в отношении учета вероятностного характера внешних возмущений в сочетании с запаздыванием внутренних реакций системы, что может приводить к потере оптимальности и даже допустимости принимаемых решений. В научно-методической литературе также наибольшее развитие получил детерминированный подход в этой области.

Это объясняется, с одной стороны, сложностью и трудоемкостью решения задач вероятностного анализа с помощью общих подходов (например, ИМ), а с другой, трудностями информационного обеспечения этих задач в реальных условиях. В данной работе впервые предпринята попытка комплексного исследования задач вероятностного моделирования режимов ТПС с целью разработки эффективных методов их решения, пригодных для практического применения. При этом были получены следующие основные результаты.

1. Предложены формализация задачи вероятностного анализа потокораспределения, а также общая схема ее решения. Показано, что при вполне приемлемых допущениях решение задачи может быть сведено к двухэтапной процедуре

расчета потокораспределения и расчета КМ параметров режима. Это обеспечивает не только резкое сокращение трудоемкости по сравнению с традиционными методами ИМ, но и принципиальную разрешимость задачи для ТПС реальной размерности.

2. Разработаны аналитические соотношения для КМ параметров режимов для основных случаев задания ГУ (при фиксированных и нефиксированных нагрузках, задании граничных давлений в более чем одном узле, детерминированных и случайных параметрах элементов). Полученные соотношения обеспечивают возможность эффективной алгоритмизации задач вероятностного анализа и сокращения времени их решения.

3. На примере систем водоснабжения предложена методика априорного расчета статистических характеристик водопотребления как основного возмущающего фактора. Предложенный подход позволяет решить проблему информационной обеспеченности задач вероятностного анализа последствий планируемых мероприятий по энерго-, ресурсосбережению и др.

4. Разработан квазидинамический подход к вероятностному моделированию динамики режимов ТПС, а также оригинальный алгоритм, предусматривающий переменный шаг дискретизации по времени. Данный подход обеспечивает: 1) возможность вероятностного анализа функционирования ТПС в том числе с запаздыванием внутренних реакций (при наличии аккумулирующих емкостей); 2) рациональное сочетание точности расчетов и их трудоемкости; 3) возможность получения вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от параметров режима.

5. Выполнен комплекс исследований адекватности основных положений и допущений, положенных в основу предлагаемых моделей, подходов и методов. Эти исследования показали: 1) согласованность допущения о нормальном распределении параметров режима с экспериментальными данными; 2) удовлетворительную точность расчета параметров этого распределения на основе предложенных аналитических моделей по сравнению с «эталонным» методом статистических испытаний; 3) правомерность рассмотрения динамики вектора параметров режима как стационарного гауссовского процесса; 4) адекватность применения квазидинамического подхода с переменным шагом для вероятностного моделирования динамики режимов.

6. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в виде пакета программ на языке вычислительной среды Maple, который позволяет решать задачи: расчета установившегося потокораспределения (гидравлического режима); расчета статистические характеристик и графиков водопотребления для реальных и обоб' щенных потребителей систем водоснабжения; расчета КМ параметров режима для основных типов ГУ; вероятностного расчета потокораспределения аналитическим методом и методом Монте-Карло; имитации динамики гидравлических режимов ТПС обоими методами; расчета вероятностных показателей функционирования ТПС в точке и за период.

9. Работоспособность разработанных программных реализаций и предложенной методики их практического применения проверенны на ряде условных и реальных примеров ТПС. В том числе показана высокая вычислительная эффективность предложенных методов и алгоритмов, выражающаяся в сокращении общего времени счета во многие сотни раз по сравнению со стандартными методами ИМ.

Основное содержание работы опубликовано в следующих работах:

1. Вантеева О.В. Модели функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Вып. 28. - С. 23-32.

2. Вантеева О.В. Методика квазидинамического имитационного моделирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - Вып. 29. -С. 9-15.-249 с.

3. Вантеева О.В. Моделирование водопотребления в задачах имитации функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2000. -Вып. 30- С.10-18.-328 с.

4. Вантеева О.В. Моделирование возмущений в задачах имитации функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. - Вып. 31 .-С. 21-29.-264 с.

5. Вантеева О.В. Исследование задач и разработка методов вероятностного моделирования потокораспределения в гидравлических цепях // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2002. - Вып. 32. - С. 8-17. - 308 с.

6. Вантеева О.В. Вероятностное моделирование трубопроводных систем с учетом аккумулирующих емкостей // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004. - Вып. 34 .-С. 23 -33.-214 с.

7. Новицкий H.H., Вантеева О.В. Оценка эффективности управления пото-кораспределением в трубопроводных сетях на основе вероятностного моделирования. // Проблемы обеспечения надежности систем энергетики и методы их решения. Сб. статей в 2-х книгах. Книга 1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - С. 167-180.

8. Вантеева О.В. Вероятностное описание процессов водопотребления в системах тепло- и водоснабжения // Моделирование технических и природных систем: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, Байкал, 2-8 июля 2005 г. Том 5: Иркутск, ИСЭМ СО РАН. -2005. -С. 57-65.- 244 с.

9. Вантеева О.В. Вероятностное моделирование установившегося потоко-

распределения в гидравлических цепях для произвольного состава граничных условий // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - Вып. 35. - С.40-48. -254 с.

10. Новицкий Н.Н., Алексеев А.В., Вантеева О.В., Гребнева О.А., Токарев В.В., Епифанов С.П., Шалагинова З.И. Проблемы технологического управления в трубопроводных системах энергетики и актуальные направления развития научно-методической базы для их решения // "Энергетика России в XXI веке: развитие, функционирование, управление": Материалы Всероссийской конференции 12-15 сентября 2005 г. [Электронный ресурс]; Институт систем энергетики им. JI.A. Ме-лентьева СО РАН. / - Иркутск: 1 электрон, опт. диск (CD-ROM): цв. ; 12 см. -Систем, требования: ПК с процессором Pentium3; Microsoft Windows 98 или выше; 2-скоростной дисковод CD-ROM; 256 цв. SVGA дисплей; Acrobat reader 6.0 и выше. - Загл. с экрана. 8с.

П. Вантеева О.В., Новицкий Н.Н. Вероятностное моделирование установившегося потокораспределения в гидравлических цепях с нефиксированными нагрузками // Трубопроводные системы энергетики. Методы математического модь лирования и оптимизации: Сб. науч. тр. - Новосибирск: Наука, 2007. - С. 7-18 .-

12. Вантеева О.В. Методика вероятностного моделирования гидравлических режимов ТПС / В.К. Аверьянов, H.H. Новицкий, М.К. Сухарев и др. // Трубопроводные системы энергетики. Развитие теории и методов математического моделирования и оптимизации. - Новосибирск: Наука, 2008. - Гл. 1. - С. 34-44.

13. Новицкий H.H., Вантеева О.В. Задачи и методы вероятностного моделирования гидравлических режимов трубопроводных систем // Научно-технические ведомости СПбГТУ.-2008.-№1.--С. 68-75.

259 с.

Заказ №211. Тираж 110 экз. Отпечатано в ИСЭМ СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 130

Введение.

1. Краткая характеристика современных проблем и методов анализа функционирования трубопроводных систем и постановка вопросов.

1.1 . Краткая характеристика современных трубопроводных систем, особенностей и проблем их функционирования.

1.2.Задачи анализа режимов трубопроводных систем и существующая практика их решения.

1.3. Обзор литературы по вопросам моделирования и анализа режимов работы ТПС.

1.4. Исходные положения и постановка задач исследования.

2. Вероятностные,модели и методы расчета установившегося потокораспределения в трубопроводных системах.

2.1. Постановка задачи вероятностного расчета потокораспределения и общая схема ее решения.

2.2. Моделирование внешних воздействий.

2.3.Особенности моделирования гидравлических режимов и аналитические соотношения для ковариационных матриц.

3. Имитационное моделирование функционирования трубопроводных систем на основе вероятностных моделей потокораспределения.

3.1. Цели и задачи имитационного моделирования.

3.2. Вероятностные модели динамики потокораспределения.

3.3.Квазидинамический подход к моделированию динамики режимов работы ТПС.

3.3.1. Модели динамики возмущающих воздействий.

3.3.2. Квазидинамические модели потокораспределения.

3.4. Расчет показателей функционирования ТПС на основе вероятностного моделирования режимов.

4. Численное исследование и апробация разработанных моделей и алгоритмов.

4.1.Исследование адекватности разработанных вероятностных моделей.

4.2.Алгоритмизация процессов имитационного моделирования.

4.3.Примеры практической апробации.

Актуальность темы. Трубопроводные системы (ТПС) тепло-, водо-, газоснабжения и другие представляют собой сложные, пространственно распределенные, структурно неоднородные инженерные сооружения, которые играют важную роль в энергетике, промышленности, коммунальной сфере и других отраслях народного хозяйства. Создание, реконструкция и эксплуатация ТПС требуют существенных затрат, а надежность и качество их работы имеют важное экономическое и социальное значение.

Проектирование ТПС и разработка схем их эксплуатации, как правило, ведутся на один, так называемый «расчетный» режим максимальной нагрузки, что вытекает из требования гарантированного снабжения потребителей в любых условиях. В сочетании с низкой управляемостью и слабой адаптивностью ТПС к меняющимся условиям эксплуатации это ведет к завышению вложений в развитие и затрат на эксплуатацию.

В реальности (главным образом, в силу стохастического характера потребления целевого продукта) смена режимов работы ТПС во времени представляет собой случайный процесс, отдельные реализации которого практически никогда не повторяются. В связи с этим, с одной стороны, нет никакой гарантии того, что расчетный режим будет в точности соблюдаться на практике, а с другой, -на основе детерминированных расчетов невозможно оценить степень такой гарантии. Соответственно нет возможности оценить степень эффективности, надежности и качества работы системы, как в расчетном режиме, так и за период. Особенно остро задача количественной оценки этих показателей встает при обосновании мероприятий по внедрению нового оборудования, технологий, принципов, технических средств и правил управления.

Вопросам расчета и анализа режимов работы ТПС различного типа и назначения посвящены многочисленные отечественные и зарубежные работы, что свидетельствует об их актуальности и сложности. Вместе с тем, проведенный обзор научно-методической литературы в этой области, показал практическое отсутствие работ, посвященных комплексному изучению вопросов вероятностного анализа и оценки эффективности работы ТПС. Имеющиеся подходы в основном предполагают привлечение детерминированных моделей и методов, либо не позволяют решать практические задачи для ТПС реальной размерности.

Этим определяется актуальность разработки, развития и применения эффективных методов вероятностного анализа режимов функционирования ТПС с учетом стохастики потребления целевого продукта, динамики протекающих процессов, различных правил управления режимами. Наибольший эффект.-от разработки соответствующего методического обеспечения может быть достигнут на межотраслевом уровне, вследствие большой степени общности содержательных и математических постановок задач анализа функционирования ТПС. В принципе, это может быть обеспеченно на базе сформулированного и развиваемого в ИСЭМ СО РАН научного направления — теории гидравлических цепей, с учетом накопленного здесь опыта в области математического моделирования, анализа и синтеза трубопроводных и гидравлических систем.

Цель и задачи работы. Разработка математических моделей, методов и алгоритмов вероятностного расчета потокораспределения в гидравлических цепях (ГЦ) с сосредоточенными и переменными параметрами, как основы решения задач анализа функционирования ТПС.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи исследования.

1. Формализация задачи вероятностного описания режимов работы ТПС.

2. Разработка аналитических вероятностных моделей установившегося изотермического потокораспределения для основных случаев задания граничных условий (ГУ).

3. Разработка методики формирования ГУ в вероятностной форме и исследование ее возможностей.

4. Разработка и исследование методов вероятностного расчета гидравлических режимов ТПС.

5. Исследование задач и разработка алгоритмов имитации функционирования ТПС и расчета его показателей на базе вероятностных моделей пото-кораспределения.

6. Проведение численных экспериментов и апробация разработанных моделей, методов и алгоритмов на условных и реальных примерах систем водоснабжения.

Методическая база. В качестве использованной методической базы следует выделить теорию гидравлических цепей [1], как межотраслевую научно-техническую дисциплину, обеспечивающую единый аппарат для описания и расчета .ТПС различного типа и назначения. Для решения отдельных вопросов используются: теория графов, методы теории вероятности, математической статистики и случайных процессов, линейная алгебра, теория матриц.

Научная новизна. Впервые предпринята попытка комплексного исследования задач вероятностного моделирования режимов ТПС с целью разработки эффективных методов их решения, пригодных для практического применения. При этом получены следующие результаты.

1. Предложена формализация задачи вероятностного расчета режимов функционирования ТПС, а также общая схема ее решения, потенциально обеспечивающие резкое сокращение трудоемкости расчетов по сравнению с традиционными методами имитационного моделирования при сохранении требуемой степени адекватности результатов.

2. Предложена методика формирования ГУ в вероятностной форме, позволяющая получать статистические характеристики нагрузок потребителей (как основного фактора стохастики режимов) в зависимости от априорно известных факторов (типа потребителя, степени его благоустройства и др.), что создает основу для постановки и решения задач априорного вероятностного расчета эффектов от различного рода мероприятий.

3. Впервые разработаны аналитические выражения для ковариационных матриц (КМ) параметров режима для основных случаев задания ГУ, что имеет решающее значение для обеспечения вычислительной эффективности предлагаемой методики моделирования стохастики потокораспределения.

4. Разработан квазидинамический подход к вероятностному моделированию динамики режимов ТПС, а также оригинальный алгоритм, предусматривающий переменный шаг дискретизации по времени. Это дает возможность расчета в вероятностной форме практически любых показателей функционирования ТПС на произвольном отрезке времени, в том числе для систем с запаздыванием внутренних реакций (например, при наличии аккумулирующих емкостей), когда траектория режимов зависит не только от возмущающих воздействий в каждый момент времени, но и от их предыстории.

Практическая ценность работы. Разработанное методическое и алгоритмическое обеспечение может быть использовано:

1) в практике проектирования для анализа существующего состояния ТПС (пропускной способности, управляемости, надежности и др.)> проведения поверочных расчетов вариантов развития ТПС;

2) при эксплуатации для анализа причин и степени нарушений в режимах, для разработки и обоснования основных эксплуатационных и ремонтно-восстановительных режимов;

3) при диспетчерском управлении, для анализа последствий принимаемых решений по управлению;

4) в исследовательских и обучающих целях.

Применение предложенных методических и алгоритмических разработок обеспечивает:

1) адекватность воспроизведения стохастики процессов функционирования ТПС практически для всех основных случаев возмущающих воздействий (ГУ);

2) вычислительную эффективность решения рассматриваемых задач для ТПС реальной размерности;

3) возможность выполнения как априорного, так и апостериорного вероятностного анализа режимов;

4) получение вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от режима или от динамики режимов (за период);

5) возможность выполнения количественного обоснования мероприятий, связанных с внедрением нового оборудования, изменением правил управления, структуры и параметров ТПС.

Разработанные математические модели и алгоритмы реализованы в виде отдельных программ в вычислительной среде Maple и апробированы на ряде реальных и условных примеров.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: конференциях научной молодежи ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 19982002 г., 2004 г. и 2005 г.); Всероссийском научном семинаре с международным участием «Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики» (Иркутск, 2003 г.); Всероссийских научных семинарах с международным участием «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004 г.; Санкт-Петербург, 2006 г.; Иркутск, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 14-ти публикациях [2-15], в том числе в двух коллективных монографиях, и одна статья опубликована в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК по специальности 05.13.18.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (91 наименование) и приложения (на 24-х страницах). Диссертация изложена на 139 страницах, содержит 34 рисунка, 19 таблиц и приложения (из трех таблиц).

Основные выводы и результаты

Сложившаяся практика анализа и обоснования режимов работы ТПС при их проектировании, эксплуатации и диспетчерском управлении обладает низкой степенью адекватности реальным процессам функционирования ТПС, главным образом в отношении учета вероятностного характера внешних возмущений в сочетании с запаздыванием внутренних реакций системы, что может приводить к потере оптимальности и даже допустимости принимаемых решений. В научно-методической литературе также наибольшее развитие получил детерминированный подход в этой области.

Это объясняется, с одной стороны, сложностью и трудоемкостью решения задач вероятностного анализа с помощью общих подходов (например, имитационного моделирования), а с другой, трудностями информационного обеспечения этих задач в реальных условиях. В данной работе впервые предпринята попытка комплексного исследования задач вероятностного моделирования режимов ТПС с целью разработки эффективных методов их решения, пригодных для практического применения. При этом были получены следующие основные результаты.

1. Предложены формализация задачи вероятностного анализа потокорас-пределения, а также общая схема ее решения. Показано, что при вполне приемлемых допущениях решение задачи может быть сведено к двухэтапной процедуре расчета потокораспределения и расчета ковариационных матриц параметров режима. Это обеспечивает не только резкое сокращение трудоемкости по сравнению с традиционными методами имитационного моделирования, но и принципиальную разрешимость задачи для ТПС реальной размерности.

2. Дана содержательная классификация основных возмущающих воздействий, выступающих в роли граничных условий в задачах вероятностного моде-„ лирования режимов ТПС. На примере систем водоснабжения предложена мето

127 дика априорного расчета статистических характеристик водопотребления как основного возмущающего фактора. Предложенный подход позволяет решить , проблему информационной обеспеченности задач вероятностного анализа последствий планируемых мероприятий по энерго-, ресурсосбережению и др.

3. Разработаны аналитические соотношения для ковариационных матриц параметров режимов для основных случаев задания граничных условий (при фиксированных и нефиксированных нагрузках, задании граничных давлений в более чем одном узле, детерминированных и случайных параметрах элементов). Полученные соотношения обеспечивают возможность эффективной алгоритмизации задач вероятностного анализа и сокращения времени их решения.

4. Разработан квазидииамический подход к вероятностному моделированию динамики режимов ТПС, а также оригинальный алгоритм, предусматривающий переменный шаг дискретизации по времени. Данный подход обеспечивает: 1) возможность вероятностного анализа функционирования ТПС в том числе с запаздыванием внутренних реакций (при наличии аккумулирующих емкостей); 2) рациональное сочетание точности расчетов и их трудоемкости; 3) возможность получения вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от параметров режима.

5. Выполнен комплекс исследований адекватности основных положений и допущений, положенных в основу предлагаемых моделей, подходов и методов. Эти исследования показали: 1) согласованность допущения о нормальном распределении параметров режима с экспериментальными данными; 2) удовлетворительную точность расчета параметров этого распределения на основе предложенных аналитических моделей по сравнению с «эталонным» методом статистических испытаний; 3) правомерность рассмотрения динамики вектора параметров режима как стационарного гауссовского процесса; 4) адекватность применения квазидинамического подхода с переменным шагом для вероятностного моделирования динамики режимов. ;,

6. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в виде пакета программ на языке вычислительной среды Мар1е, который позволяет решать задачи: расчета установившегося потокораспределения (гидравлического режима); расчета статистические характеристик и графиков водопотребления для реальных и обобщенных потребителей систем водоснабжения; расчета ковариационных матриц параметров режима для основных типов граничных условий; вероятностного расчета потокораспределения аналитическим методом и методом Монте-Карло; имитации динамики гидравлических режимов ТПС обоими методами; расчета вероятностных показателей функционирования ТПС в точке и за период.

7. Работоспособность разработанных программных реализаций и предложенной методики их практического применения проверенны на целом ряде условных и реальных примеров ТПС. В том числе показана высокая вычислительная эффективность предложенных методов и алгоритмов, выражающаяся в сокращении общего времени сета во многие сотни раз по сравнению со стандартными методами имитационного моделирования.

1. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985. -280 с.

2. Вантеева О.В. Модели функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. Вып.28 . - С. 23-33. 269 с.

3. Вантеева О.В. Методика квазидинамического имитационного моделирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. Вып. 29. -С. 9-15.249 с.

4. Вантеева О.В. Моделирование водопотребления в задачах имитации функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2000. -Вып.30 . С. 10-18. 328 с.

5. Вантеева О.В. Моделирование возмущений в задачах имитации функционирования водоснабжающих систем // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -Вып.31 : С. 21-29. 264 с.

6. Вантеева О.В. Исследование задач и разработка методов вероятностного моделирования потокораспределения в гидравлических цепях // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. -Иркутск:

7. ИСЭМ СО РАН, 2002. Вып. 32. - С. 8-17. 308 с.

8. Вантеева О.В. Вероятностное моделирование трубопроводных систем с учетом аккумулирующих емкостей // Системные исследования в энергетике: Труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004. - Вып.34 . -С. 23 -33.214с.

9. Новицкий H.H., Вантеева О.В. Задачи и методы вероятностного моделирования гидравлических режимов трубопроводных систем // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2008. -№1. - С. 68-75.

10. Новицкий H.H., Вантеева О.В . Моделирование стохастики потокораспреде-ления в гидравлических цепях // Известия РАН. Энергетика. приято в печать.

11. Исаев В.Н., Хургин Р.Ю. Трубопроводные коммунальные системы. http:www.abok.ru/for sper/articles.php?nid=3298&version-print

12. Наладка и интенсификация работы городских систем подачи и распределения воды / Кожинов И.В., Колесов В.В., Майзельс М.П., Эгильский И.С. / М.: Стройиздат, 1978.

13. Кожинов И.В. Добровольский Р.Г. Устранение потерь воды при эксплуатации систем водоснабжения. -2-е изд., перераб. И доп. М.: Стройиздат, 1988.348. е.: ил.

14. Эгильсий И.С. Автоматизированные системы управления технологическими процессами подачи и распределения воды. Л.: //Изв. вузов. Энергетика.-198,4.-№12,- С. 97-102.

15. Водоснабжение. Проектирование систем и сооружений: В 3-х т. Т.З. Системы распределения и подачи воды / Научно-методическое руководство и общая редакция д.т.н., проф. Журбы М.Г. Вологда-Москва: ВоГТУ, 2001. - 188 с.

16. Внутренний водопровод и канализация зданий (СНиП 2.04.01-85*) М.: ЦИТП Госстрой России, 2004.-58 с.

17. Меренков А.П., Светлов К.С., Сидлер В.Г., Хасилев В .Я. «Математический расходомер» и его применение в тепловых сетях // Теплоэнергетика, 1971, №Л 1, С. 70-71.

18. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей./ Хасилев В.Я., Меренков А.П., Кагонович Б.М., и др.; Под общ. ред. Хасилева В.Я. и Меренкова А.П.-М.: Энергия, 1978. 176 е., ил.

19. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт 1964. №1. - С. 69-88.

20. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей. Автореферат диссертации д-ра техн. наук.- Новосибирск: Секция техн. наук Объединенного ученого совета СО АН СССР. 1966. 98 с.

21. Меренков А.П. Дифференциация методов расчета гидравлических сетей// Вычислительная математика и математическая физика.- 1973.-№5.-С.1237-1248.

22. Меренков А.П. Математические модели и методы для анализа и оптимального проектирования трубопроводных систем.: Автореф. . д-ра ф.-м. Наук.-Новосибирск, 1974.-34 с.

23. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, во до-, нефте-, газоснабжения. / Меренков А.П., Сеннова Е.В., Сумароков В.Г., Новицкий H.H., Стеников В.А., Чупин В.Р.-Новосибирск: ВО «Наука», Сибирская издательская фирма, 1992.-406 с.

24. Андрияшев М.М Гидравлические расчеты водоводов и водопроводных сетей. М.: Стройиздат, 1964. - 107 с.

25. Андрияшев М.М. Техника расчета водопроводной сети. М.: Сов. Законодательство, 1932.-62 с.

26. Лобачев В.Г. Вопросы рационализации расчетов водопроводных сетей. М.: ОНТИ, 1936.-148 с.

27. Лобачев В.Г. Новый метод увязки колец при расчете водопроводных сетей. Сан. техника.-1934.-№2.-С. 8-12.

28. Cross H. Analysis of From in Networks of Conduits or Conductors. Urbana, Mi-noit, 1936, November, Bull, №286, 29p.

29. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей / Б.M. Каганович, А.П. Меренков, O.A. Балышев. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН, 1997.-120 с.

30. Каганович Б.М. и др. Расчет сложных тепловых сетей // Водоснабжение и санитарная техника.- 1974. -№4.-С. 18-19.

31. Новицкий H.H. Оценивание параметров гидравлических цепей. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН. 1998. - 214 с.

32. Морев A.A., Новицкий H.H. Комплекс программ для гидравлического расчета и исследования особенностей функционирования систем многониточных нефтепроводов // Транспорт и хранение нефти и нефтепродуктов. 1981. - №8. -С. 18-20.

33. Новицкий H.H., Токарев В.В. Релейная методика расчета потокораспределе-ния в гидравлических цепях с регулируемыми параметрами // Известия АН. Энергетика 2001. №2. - С. 88-98.

34. Морев A.A., Сидлер В.Г., Новицкий H.H. Системная идентификация многониточных нефтепроводов // Транспорт и хранение нефти и нефтепродуктов. -1982.-№11.-С. 6-7.

35. Сеннова Е.В., Сидлер В.Г. Математическое моделирование и оптимизация ' развивающихся теплоснабжающих систем. Новосибирск. Наука, 1987. -221 с.

36. Сидлер В.Г., Сумароков C.B., Чупин В.Р, Баринова С.Ю., Шлафман В.В. Расчет после аварийных гидравлических режимов. Водоснабжение и санитарная техника. 1989.-№2.-С. 4-5.

37. Сидлер В.Г. О статистическом подходе к эквивалентированию трубопроводных сетей/ В кн.: Вопросы оценивания и идентификации в энергетических системах. Иркутск: СЭИ СО РАН, 1974.-С. 173-178.

38. Абрамов H.H. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. -М.: Стройиздат, 1972. -288 с.

39. Абрамов H.H. Расчет водопроводных сетей. -М.: Стройиздат,- 1976.-303 с.- 46. Абрамов H.H. Надежность систем водоснабжения. — М.: Стройиздат, 1979. -231 с.

40. Евдокимов А.Г. Минимизация функций и ее приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. -Харьков: Вища шк., 1985.288 с.

41. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д. Оперативное управление потокораспределе-нием в инженерных сетях. -Харьков: Вища шк., 1980.-144 с.

42. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. -М: Стройиздат, 1990.-368 с.

43. Сумароков C.B. Математическое моделирование систем водоснабжения. Новосибирск: Наука, 1983.-167 с.

44. Сухарев М.Г., Ставровский Е.Р. Оптимизация систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. -М.: Недра, 1975.-277 с.

45. Сухарев М.Г., Ставровский Е.Р. Расчеты систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. М.: Недра, 1971.-206 с.

46. Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии / Атавин A.A., Карасевич A.M., Сухарев М.Г. и др. М.:ГУП Издательство «Нефть и газ» РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2000. - 320 с.

47. Карамбиров С.Н. Математическое моделирование систем подачи и распределения воды в условиях многорежимности и неопреденности. Монография.-М:МГУП, 2004,- 197 с.

48. Карамбиров С.Н. Совершенствование методов расчета систем подачи и распределения воды в условиях многорежимности и неполной исходной информации Автореф. дис. . канд. техн. наук. - М: 2005.- 46 с.

49. Шопенский Л.А. Исследования режимов работы водопроводов жилых зданий: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 1968.

50. Шопенский Л.А., Юрьева И.П. Построение расчетных графиков водопо-требления // Санитарная техника. Сб. науч. тр. М.: НИИ санитарной техники, 1970. Вып. 34. С. 27—32.

51. Шопенский Л.А., Кожинова А.Л. Совершенствование норм водопотребле-ния для жилых здания // Водоснабжение и санитарная техника. 1985. № 11. С. 25-27.

52. Шопенский Л.А. Аналитическое описание режимов водопотребления и построения расчетных графиков. Сб. научных трудов. Вып. I. М.: ОНТИ ЦНИИЭП инженерного оборудования, 1975.

53. Ноймеге Ф. Исследование режимов водопотребления жилых объектов для выявления действительной неравномерности водопотребления, расчета и обоснования надежности водообеспечения потребителей: Автореф. дис. . канд. техн. наук. М.: МИСИ, 1972. - 26 с.

54. Вероятностные модели режимов электроэнергетических систем/ Гамм А.З.Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993.-133 с.

55. Гамм А.З., Крумм Л.А. Методы оптимизации режима сложных электроэнергетических систем при случайном характере исходной информации // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. -№1. С.49-59.

56. Гамм А.З., Курбацкий В.Г. Вероятностные методы расчета режимов электроэнергетических систем. Братск: Брат, индустр. ин-т, 1990. 90 с.

57. Надежность и эффективность функционирования больших транснациональных ЭЭС. Методы анализа: Европейское измерение. / Кучеров Ю.Н., Кучерова О.М., Капойн Л., Руденко Ю.Н. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996.-380 с.

58. Todini, Е. Un metodo del gradiente per la verifica delle reti idrauliche. Bollettino degli Ingegneri della. Toscana. 1979. - V 11. P. 11-14.

59. Todini E., Pilati S. A gradient algorithm for the analysis of pipe networks. // B. Coulbeck and C.H. Orr (eds). L.: John Wiley & Sons, - 1988. - P. 1-20.

60. Todini, E. A unifying view on the different looped pipe network analysis algorithms. In powell R. and Hindi K.S. (eds). Computing and Control for the water Industry. Research Studies Press Ltd. 1999. - P. 63-80.

61. Giustolisi O., Kapelan Z., Savic D. "Extended period simulation analysis considering valve shutdowns". J. of water resources planning and management. 2008. 134(6), 527-537.

62. Giustolisi, O., "New Tools for More Realistic Network Simulation and Reliability Assessments", Proc. of WEX Workshop, Marbella, Spain. 2008. (CD-ROM).71. http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet/EN2manual.PDF. L.A. Rossman Epanet 2. Users Manual.

63. Шалагинова З.И. Разработка и применение методов расчета теплогидравли-ческих режимов в системах теплоснабжения с многоступенчатым регулированием. Дисс. Канд. Техн. Наук. — Иркутск, 1995.

64. Шалагинова З.И. Разработка и применение методов расчета теплогидравли-ческих режимов для задач эксплуатации теплоснабжающих систем // Международная научно-практическая конференция «Человек. Среда. Вселенная», том 1, Иркутск, 1997.- 198 с.

65. Громов Б.Н. Переходные гидравлические процессы в тепловых водяных сетях // Тр. ВТИ. 1974. Вып.6. теплофикация и централизованное теплоснабжение. - С. 155-184.

66. Сарданашвили С.А. Расчетные методы и алгоритмы (трубопроводный транспорт газа). М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. - 577 с. , ;

67. Тарасевич В.В. Численный метод решения задач о неустановившимся движении жидкости в сложной системе трубопроводов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1970. - Вып. 5. - С. 72-78.

68. Тарасевич В.В. Использование явно-неявной схемы для расчета нестационарных течений жидкости в напорных гидравлических система // Всесоюз. симп. «Численные методы в гидравлике» (Телави, Груз. ССР, 14-18 апреля 1980). JL: ВНИИГ, 1980.

69. Малевская М.Б., Чупин В.Р. Уменьшение последствий от аварийных ситуаций в водопроводных сетях // Водоснабжение и санитарная техника. 1994.-№4.

70. Методы управления физико-техническими системами энергетики в новых условиях / Н.И. Воропай, H.H. Новицкий, Е.В. Сеннова и др. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 1995 - 335с.

71. Цой С., Рязанцев Г.К. Принцип минимума и оптимальная политика управления вентиляционными и гидравлическими сетями. Алма-Ата: Наука, 1968, 258

72. Павленко И. В. Имитационное моделирование сложных трубопроводных систем для анализа их структурных свойств: Автореф. дис. . канд. техн. наук. /Гос. ин-т точной механики и оптики. СПб, 1995.-20с.

73. Панов М.Я., Квасов И.С. Моделирование потокораспределения в трубопроводных системах на основе вариационного принципа//Изв. АН. России. Сер. Энергетика и транспорт, т.38.-1992.-№6-С. 111-115.

74. Панов М.Я., Квасов И.С., Круглякова В.М. Математическое моделирование потокораспределения в гидравлических системах с переменной структурой // Изв. Вузов. Строительство.-1996.-№6.-С.95-98.

75. Панов М.Я., Курганов A.M. Многоконтурные гидравлические сети. Теория и методы расчета. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1989.-188 с.

76. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973 - 311 с.

77. Кулик Ю.В. Гидравлический расчет трубопроводных систем с вероятностным потокораспределением. M.: //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1991. -№3. -С. 158-167.

78. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

79. Водоснабжение. Наружные сети и сооружения. (СНиП 2.04.02-84) / Госстрой СССР. М.: Стройиздат, 1985. - 131 с.

80. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 2001.- 575 с.

81. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. -Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., стер. - М.: Высш. Шк., 2000. - 366 с.