автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Упрощенные модели исследования волоконно-оптических линий связи

На правах рукописи

Курикалова Марина Александровна

УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ СВЯЗИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

Федорук Михаил Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ильин Валерий Павлович

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 8 сентября 2004 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6, конференц-

зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительных технологий СО РАН.

Автореферат разослан 5 августа 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических нау

кандидат физико-математических наук, Медведев Сергей Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Шапиро Давид Абрамович

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Оптические коммуникационные системы в последнее время становятся одним из основных средств передачи информации. В качестве бита передаваемой информации в современных оптоволоконных системах используются, так называемые, солитоны с дисперсионным управлением (ДУ-солитоны). Здесь под солитоном подразумевается устойчивое локализованное решение, а не традиционный (фундаментальный) солитон из теории полностью интегрируемых систем. При распространении солито-нов в оптоволоконной линии эффекты нелинейности и хроматической дисперсии уравновешивают друг друга, поэтому такие импульсы хорошо подходят для передачи информации на дальние расстояния. В реальных волоконных линиях при распространении солитонов происходит затухание. Для компенсации потерь внутри линии периодически размещаются оптические усилители, которые восстанавливают амплитуду сигнала. Определенные физические эффекты, например такие как случайные амплитудные и временные сдвиги, приводят к взаимодействию импульсов, распространяющихся в оптоволокне, и таким образом ограничивают применимость солитонных систем. Для уменьшения таких эффектов были предложены дисперсионно-управляемые системы, т.е. линии состоящие из кусков оптоволокна с разными знаками и значениями дисперсии, периодически повторяющиеся внутри оптоволоконной линии. Распространение солитонов в таких линиях описывается обобщенным нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами, которые отражают периодичность конфигурации линии. Описание распространения солитонов в оптических линиях является фундаментальной математической проблемой, и одновременно является ключевым моментом для развитие коммуникационных систем. Для практических приложений важны две основные задачи: развитие новых оптических линий передачи данных, действующих на большие расстояния, и модернизация существующих оптоволоконных сетей. Моделирование процессов в лабораторных условиях для построения оптимальных линий обычно является дорогостоящей задачей. Аналитическое многосо-литонное решение нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами не известно, поэтому теоретическое исследование также невозможно. Следовательно, основным средством исследования подобных задач является математическое моделирование. Однако, использование прямого численного моделирования для практических це-

3

лей в рамках данного уравнения, например для оптимизации оптоволоконных сетей, приводит к значительным вычислительным затратам. Поэтому актуальной является проблема разработки моделей и методов для быстрых расчетов динамики оптических сигналов на больших расстояниях, а также расчетов параметров и характеристик, необходимых для построения оптимальных конфигураций (с точки зрения минимизации коэффициента ошибки) оптоволоконных линий связи.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена диссертационная работа, является разработка упрощенных моделей, позволяющих проводить аналитические и численные исследования эволюции и взаимодействия оптических импульсов в системах с периодически меняющимися коэффициентами дисперсии, затухания/усиления и нелинейности.

Цель исследования

1. Построение и анализ математической модели, описывающей взаимное влияние соседних импульсов, одновременно распространяющихся в оптоволокне в приближении постоянства формы и положения импульсов.

2. Построение и анализ математической модели, описывающей взаимодействие двух импульсов с постоянной формой и переменными положениями центров.

3. Исследование методами численного моделирования областей параметров оптической линии при которых сигнал приобретает параболическую форму. Изучение зависимостей параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного сигнала гауссовой формы.

4. Исследование влияния внешних шумов на распространение солитонов с помощью изучения случайных временных и амплитудных сдвигов.

5. Построение квазилинейной теории для задачи Коши нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами и сравнение с результатами расчетов полученных в рамках прямого численного моделирования данного уравнения.

Научная новизна 1. В работе впервые построена математическая модель, описывающая взаимодействие оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде в предположении изменяющихся амплитуды и фазового множителя импульсов. Получено точное решение предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой. Установлены условия существования периодических решений.

2. Построена приближенная модель для случая импульсов с переменными положением и скоростью, распространяющихся в волоконных световодах. Найдены численные решения полученной системы. Исследовано взаимодействие импульсов на основе предложенной модели. Исследовано влияние начального расстояния между импульсами на взаимодействие сигналов. Найдены два режима эволюции импульсов в зависимости от разности фаз между ними.

3. Исследован процесс генерации параболических импульсов при их распространении в волоконно-оптических усилителях. Для распределенного (рамановского) усиления исследованы области параметров оптической линии и параметров входного сигнала гауссовой формы, при которых передаваемый сигнал приобретает параболическую форму. Вычислена величина относительной ошибки для различных параметров линии и входного сигнала. Установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Показано, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения существенно влияет на величину относительной ошибки. Для сосредоточенного усиления определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами в плоскости параметров входная энергия и длительность входного сигнала.

4. Предложена квазилинейная модель, описывающая процесс взаимодействия последовательности оптических импульсов гауссовой формы. Проведено численное моделирование на основе предложенной квазилинейной модели и выполнено сравнение с численным моделированием, использующим нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Предложена модель, описывающая взаимодействие двух оптических импульсов с переменной амплитудой и фазовым множителем. Найдены точные решения предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой.

2. Построена модель для изучения взаимодействия двух импульсов с изменяющимися положением и скоростью. Показано хорошее согласование с основной моделью, что позволяет использовать ее для численных расчетов вместо нелинейного уравнения Шредингера с периодическими

коэффициентами.

3. Изучены области применимости параболической модели. Для распределенного (рамановского) усиления установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Установлено, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения влияет на величину относительной ошибки пропорционально значениям входной пиковой амплитуды сигнала. Для сосредоточенного усиления в плоскости параметров входная энергия и длительность импульса определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредингера.

4. Предложена квазилинейная модель обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, которая позволяет получить распределение оптического поля в любой точке временного интервала. Показано, что применение полученной модели к моделированию конкретных линий связи позволяет значительно сократить вычислительные затраты благодаря эффективному численному алгоритму. Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения полученных приближенных моделей с результатами прямого численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами выполненного с помощью метода расщепления по физическим процессам. Точные и численные решения в рамках предложенных моделей хорошо согласуются с результатами, полученными с помощью прямого численного моделирования. Теоретическая значимость работы Предложены новые упрощенные модели, описывающие распространение оптических импульсов в нелинейной среде.

Практическая ценность Полученные модели могут быть использованы для анализа свойств оптоволоконных линий связи, для совершенствования параметров существующих линий передачи и конструирования новых волоконно-оптических линий связи.

Личный вклад Результаты аналитических исследований и численных экспериментов, включенные в диссертацию, получены автором лично. Апробация работы Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах под руководством академика Ю. И. Шокина и д.ф.-м.н. В. М. Ковени (Институт вычислительных технологий СО РАН), д.ф.-м.н. А. М. Блохина(Институт математики СО РАН). Резуль-

таты диссертации докладывались на Международных научных студенческих конференциях (апрель 2002, 2003, г. Новосибирск) и Международной конференции по вычислительной математике (г. Новосибирск, 21-25 июня, 2004 г.).

Публикации Основные результаты опубликованы в б работах, список которых помещен в конце автореферата.

Содержание работы

Во введении содержится обзор работ по теме исследования, обосновывается актуальность и практическая ценность задачи. Формулируется цель работы, дается ее общая характеристика и приводится краткое изложение результатов диссертации.

Первая глава посвящена построению физико-математической модели, описывающей взаимодействие оптических импульсов. Для построения данной модели используется вариационный подход. Распространение импульсов в волоконном световоде описывается нелинейным уравнением Шредингера

где А - комплексная огибающая импульса, коэффициенты ¿{г) и с(г) являются периодическими функциями. Замена А(г,Ь) = е,я°'г'ЛК(.г)^ переводит это уравнение в следующее:

(Уг+{фУи+ф)е-ш°А [\е^АУ\2е<й«Лг] =0, До = Щх), Д = ^

Функция Дп определяется из уравнения <Шо/с1г = й(г) — («¿), До(0) = О,

где есть среднее значение дисперсии

Уравнение (2) получается из вариационного принципа

.дА

+ ^тбг + Ф)И12л = °>

(1)

4-оо / +оо

/+оо

2 дг 2 Ог

<И + Н\ ¿г,

(3)

где гамильтониан системы Н есть функционал от У(г,{):

+ооГ

Решение ищется в виде суммы двух импульсов В первом

параграфе предполагается, что импульсы в новых переменных неподвижны и имеют постоянную ширину и форму

П(*,0 = Ь*(*)Л(0 ехр{»&(*)}, к = 1,2,

(5)

где Уравнения движения

имеют вид

(6)

где Хк зависимые переменные (параметры анзатца), и* функции от х и Н преобразованный гамильтониан. Показано, что матрица Л/у = дм) дш{

———■ — —— невырождена. В этом случае систему (6) можно записать

ОХг дХ]

в гамильтоновском виде

(7)

В переменных

(8)

удалось построить точные решения рассматриваемой системы. Найдены условия существования периодических решений.

Во втором параграфе первой главы рассматриваются импульсы с переменным положением и скоростью

ПОМ) = -Хк(г))ехр{{фк(г,г)}, к = 1,2,

(9)

где - постоянная амплитуда импульсов,

= <Рко(г) + У/ы (•£)(* ~ - разложение фаз. Для численного

решения система приведена к каноническому виду.

ж

20 40

Рис. 1. Зависимость длительности импульсов от дистанции распространеня. Начальное расстояние между импульсами ¿10 (0) = 020 (0) = О, ¿11 - 021 = 0.006

Замена исключающая члены порядка выше первого

5 = 3 + /г (г, Л,5), 5 = 5 + (И)

переводит исходную дифференциальную форму к каноническому виду с точностью до членов порядка Здесь введены следующие обозначения

Уравнения движения примут вид

Проведенное сравнение решений полученной модели и нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами показывает

Рис. 2. Положение точек пиковой амплитуды в зависимости от дистанции распространения.

хорошее согласование результатов. На рис. 1,2 сплошная линия соответствует решению уравнения Шредингера, пунктир - построенной модели.

В главе 2 изучается влияние усилителей на распространение сигнала. Первый параграф посвящен изучению генерации параболических импульсов в усиливающей среде. В данном параграфе уравнение Шре-дингера с периодическими коэффициентами записывается в виде

iAz - íjAtt + ф)\А\2А = iG(z)A,

(16)

где 02 — дисперсия групповых скоростей, fc — —AoD(z)/(27rcj), D(z) — коэффициент дисперсии, c¡ — скорость света, Ао — длина волны, a(z) — коэффициент нелинейности, G(z) — коэффициент усиления (потерь). Решение исходного уравнения ищется в виде A(z,t) = a(z)F(r],í)eiC^t', где f, г] —автомодельные переменные, f = t/r(z),T}z = era2(z).Здесь a(z) описывает зависимость пиковой амплитуды импульса от пройденного расстояния, t(z) — характерная ширина импульса, C(z) — фазовый коэффициент, F(r), Л = BOriyQe1®^^ функция, описывающая эволюцию

. о т> .

формы импульса. Предположим, что с = -—„ у 1, и В — В(£),

12ara т В '

Ф = Ф(7/). Тогда в исходных переменных получим следующую систему уравнений

где го — координата, начиная с которой считаем, что параболическое приближение описывает динамику оптического импульса. На рис.3 показана эволюция формы сигнала под влиянием распределенного усиления.

/

т

Рис. 3. Эволюция формы импульса в усиливающей среде

Проведены расчеты для проверки применимости параболической модели в случае рамановского усиления и для определения областей применимости данной модели для случаев точечного и распределенного усиления. Для количественного сравнения была вычислена величина относительной ошибки. В таблице представлены некоторые результаты расчетов. Из расчетов следует, что наименьшая величина относительной ошибки соответствует областям, близким к нулевому значению фазового коэффициента С. Из расчетов следует, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента.

Величина отн. ошибки Рр А С

0.049 1 (0.36,0.62) (-0.1,0.1)

0.065 1 (0.36,1) (-0.15,0.18)

0.045 1.4 (0.36,0.5) (-0.12,0.21)

0.047 1.4 (0.36,0.7) (-0.14,0.22)

0.048 1.4 (0.36,1) (-0.2,0.25)

0.04 1.6 (0.2,0.25) (-0.05,0.05)

0.053 1.6 (0.2,0.44) (-0.2,0.2)

0.056 1.6 (0.2,1.2) (-0.5,0.5)

Проведены расчеты для системы с постоянным коэффициентом усиления. Из расчетов следует, что величина относительной ошибки имеет минимальное значение если параметры сигнала находятся в следующих диапазонах: Ttwhm € (0.3,0.5) пс, Uo £ (50,90) пДж.

Во втором параграфе изучаются временные и амплитудные случайные сдвиги оптических импульсов под действием шумов усиленной спонтанной эмиссии. С учетом шума нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами примет вид

27TTi

Здесь D{z) = -2nci02/^o - дисперсионный коэффициент, а(г) = —-—

- нелинейный коэффициент. Величину G{z) можно записатьв виде

g(z) = ^ zn < z < zn + lamp

где до и —Г - коэффициенты усиления и потерь соответственно, zn -положение п-го усилителя, Lamp - длина усилителя. Шумовой вклад от усилителей имеет следующую автокорреляционную функцию

Здесь

где п,р - фактор спонтанной эмиссии.

Основные параметры, определяющие случайные временной и амплитудный сдвиги это дисперсия центрального времени импульса и дисперсия энергии импульса. Используя решения уравнений для центрального времени импульса, центральной частоты и числа фотонов в импульсе, учитывающих действие шума, и пренебрегая шумовым вкладом, определяющим поправки решений полученных уравнений второго и более высоких порядков, вычисляется дисперсия центрального времени им-

пульса а? = (ф - (*р)2 =А + В + С, где

•¿л

•СО

где «р = и = /^Н'Л, д -Г(НОвае ^ОЛР' для которого

центральная частота равна нулю. ^

В системе с периодически расположенными усилителями дисперсия энергии фотонов примет вид

Данная модель имеет преимущество в смысле уменьшения вычислительных затрат и одновременно имеет ограничения по ее применимости. Результаты вычислений показывают, что использование данной модели для расчетов временных и амплитудных сдвигов зависит от величины так называемой "силы карты". Для двухступенчатой периодической секции "силу карты" можно охарактеризовать параметром 5, определяемым следующим образом

где До - несущая длина волны, Ь\,Ь2 - длины составляющих кусков, - соответствующие коэффициенты дисперсии, Т - длительность импульса. Сильными называются карты, для которых параметр 5 > 1. Слабые - карты с параметром 5 < 1.

Р2 = Щ~~(ехр{2д0Ьатр) - 1)

,2

5 =

2тгс,Т2

Расчеты показали, что для сильных карт применение упрощенной модели для вычисления случайных отклонений импульса дает значительную ошибку по временному сдвигу по сравнению с результатами, полученными с помощью численного решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами. Для слабых карт расчеты показывают хорошее согласование результатов.

В третьей главе предложена квазилинейная модель нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, записанного в виде:

,0А . „

+ Ф)^ + o{z)\A?A = iG(z)A,

(22)

где - комплексная огибающая электромагнитного поля и периодические коэффициенты описывают дисперсию, нелинейность и усиление (поте_ри). Начальные условия для данного уравнения имеют вид Л(£, 0) = Ло(0- Без ограничения общности предположим, что период изменения всех коэффициентов в уравнении (22) равен единице и Для исключения линейной части уравнения выполним следующее преобразование

(23)

где g(z) = /q G(s)ds, R(z) = fg(d(s) — {d))ds. Уравнение для X принимает форму

Xt = tc(z)e-v>(*'A

(24)

где c(z) = a(z)e2s^\ p(z) = R(z) + (d)z, Д = Предполагается, что c(z) ~ e 1. Для практических приложений представляет интерес нахождение решения в точках zn = п после п периодов. Предполагается, что периодический член R{z) значительно превышает линейный член (d)z в выражении для функции p{z). Тогда решение после п периодов можно записать в виде , где поправка к начальному

решению на одном периоде дается выражением

Для получения решения в исходных переменных необходимо применить преобразование обратное к (23). Для проверки достоверности модели проведены сравнения полученных результатов с результатами прямого численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами. Для количественного сравнения определены следующие характеристики. Средне-квадратичное отклонение мощности последовательности импульсов определено как ар, = [{&Р2) —

(йР])2]*, где 5Р) - разность между начальным и конечным значениями мощности, з = 0,1. Средне-квадратичное отклонение центрального времени последовательности импульсов определено как = [{6Т?) — (¿Т,-)2]!, где 6Т], — стандартное средне-квадратичное отклонение нулевого или единичного бита соответственно вычисленное вдоль одного битового интервала Тв- Результаты сравнения показаны на рис.4,5. Здесь сплошная линия — результат численного решения уравнения Шредин-гера с периодическими коэффициентами, пунктирная линия—результат, полученный в рамках квзилинейной теории.

Рис. 4. Средне-квадратичное отклонение центрального времени для единиц в зависимости от средней

дисперсии после 10 периодических секций . Начальная пиковая мощность 1.0 мВт

Рис. 5. Средне-квадратичное отклонение центрального

времени для нулей в зависимости от средней дисперсии после 10 секций. Начальная пиковая мощность 1.0 мВт

Отдельно рассмотрен случай начальных данных в виде бесконечной

последовательности гауссовых импульсов. Проведены оценки числа взаимодействующих импульсов. Полученные оценки дают представление о минимальном количестве соседних импульсов, которые могут влиять на решение в заданной точке.

Основные результаты исследований, представленных в диссертации, состоят в следующем:

1. Предложен аналитический метод изучения взаимодействия оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде. Основываясь на вариационном подходе, получена система дифференциальных уравнений, предполагающая изменение амплитуды и фазы импульсов. Получены аналитические решения данной системы уравнений. Найдены условия периодичности полученных решений. В данной модели учитывались члены, содержащие разность фаз взаимодействующих импульсов. Полученные формулы могут быть использованы для гамильтоновских систем с произвольным гамильтонианом. Для данной модели обнаружены два режима распространения двух соседних импульсов в зависимости от начальных значений разности фаз. Первый режим характеризуется периодическим слиянием их в один импульс и последующим расщеплением на два импульса. Второй режим соответствует четкому разделению импульсов на протяжении всей длины периодической секции оптоволокна.

2. Предложена физико-математическая модель взаимодействия оптических импульсов, с изменяющимися положением и скоростью. Численно найдено периодическое решение полученной системы уравнений. Данная система сохраняет величину которая является аппроксимацией интеграла импульса исходного уравнения. Результаты расчетов основных характеристик сигнала, полученные на основе этой модели, находятся в хорошем согласии с результатами, полученными на основе численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, являющегося классической моделью для описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Также как и для случая импульсов с изменяющимися амплитудой и фазой для полученной модели реализуются два режима распространения в зависимости от начальных условий. Принципиальную роль в формировании такого механизма играет значение фазового коэффициента на входе оптической линии.

3. Исследован процесс генерации параболических импульсов при их прохождении в усиливающей среде. Проведены сравнения величины от-

носительной ошибки между решениями в параболическом приближении и решением в рамках уравнения Шредингера для различных параметров оптической линии. Установлены области параметров начального импульса для которых величина относительной ошибки минимальна. Создан программный пакет, позволяющий определять области параметров оптоволоконного усилителя, необходимых для генерации параболических импульсов. Изучены зависимости параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного сигнала гауссовой формы. Обнаружены следующие особенности и закономерности процесса образования импульсов параболической формы в усиливающей среде:

а) установлено, что в предположении малости линейного дисперсионного члена по сравнению с нелинейным членом автомодельные решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму не только для эрбиевых усилителей, но и для распределенного типа усиления.

б) обнаружено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента.

в) при фиксированной ширине импульса с ростом пиковой амплитуды наблюдается увеличение интервала допустимых значений фазового коэффициента при котором параболическая модель хорошо описывает эволюцию сигнала в оптическом усилителе.

г) определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредингера в плоскости параметров входная энергия и длительность сигнала.

д) установлено, что в области малых значений входной пиковой амплитуды сигнала при фиксированной ширине импульса величина относительной ошибки минимальна в случае наименьшего отклонение фазового коэффициента от нулевого значения.

4. Выполнено численное моделирование упрощенной, системы уравнений гидродинамического типа, описывающей влияние шумов усиленной спонтанной эмиссии, на эволюцию оптического сигнала. Проведено сравнение между решениями в данном приближении и решением нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами. Создан программный пакет, позволяющий определять эволюцию дисперсии центрального времени и дисперсию пиковой амплитуды импульса. Обнаружены следующие особенности процесса влияния усиливающих устройств на последовательность оптических импульсов:

а) для любого вида карты(как для слабых, так и для сильных) дисперсия амплитуды, полученная методом линеаризации вблизи детерминистского решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами при отсутствии шума с учетом статистических свойств шума, достаточно хорошо согласуется с определением дисперсии амплитуды, получаемой статистической обработкой данных решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами.

б) точность вычисления стандартного отклонения центрального времени импульса зависит от величины отношения переменной и постоянной части дисперсии. В случае малой вариации переменной части дисперсии исследуемый метод дает лучшее совпадение результатов с основной моделью, чем в случае сильных изменений дисперсии. Таким образом, численные эксперименты показывают ограничение применения данного метода для расчетов стандартных отклонений центрального положения по величине так называемой "силы карты".

5. Предложена квазилинейная модель для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, описывающая динамику последовательности оптических импульсов Полученная модель позволяет вычислять распределение оптического поля в любой точке временного интервала. Эффективный численный алгоритм, основанный на быстром преобразовании Фурье, дает значительный выигрыш во времени и позволяет вычислять распределение оптического поля последовательности импульсов в любой точке дистанции распространения, кратной периоду. Создан программный пакет, позволяющий определять дисперсию центрального времени и дисперсию энергии последовательности оптических импульсов, влияющих на вероятность принятия ошибочной информации. Результаты расчетов в рамках предложенной квазилинейной теории находятся в хорошем согласии с данными прямого численного моделирования.

Автор выражает искреннюю признательность своим научным руководителям за постоянное внимание и чуткое научное руководство.

Список работ по теме диссертации

1. Курикалова М.А., Медведев СБ. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза// Вестник НГУ. -2003. -Т.З. -Вып.2. -С.37-54.

2. Курикалова М.А., Медведев СБ., Федорук М.П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических

импульсов в волоконных линиях связи// Вычислительные технологии. -2003. -Т.8. -Спец.вып. -С.77-85.

3. Курикалова М.А., Медведев СБ. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и скорость // Вестник НГУ. -2004. -Т.4. -Вып.1. -С.30-46.

4. Курикалова М.А., Нурсеитов Д.Б., Федорук М.П. Численное моделирование генерации параболических импульсов в усиливающей среде// Вычислительные технологии. -2004. -Т.9. -Вып.З -С.50-57.

5. Курикалова М.А. Конечномерная модель взаимодействия двух импульсов в оптоволоконных линиях связи// Сборник трудов Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". (15-19 апреля 2002г., Новосибирск, Россия) -2002. -Новосибирск: Математика -С. 165-166.

6. Курикалова М.А., Медведев СБ., Федорук М.П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера для волоконно-оптических линий связи с периодическими параметрами // Сборник трудов международной конференции по вычислительной математике МКВМ - 2004.(21-25 июня 2004г., Академгородок, Новосибирск, Россия) . -С.537-543.

Курикалова Марина Александровна

УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ СВЯЗИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 29.07.2004 г. Формат 60x84 1/16. Офсетная печать. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз.

Заказ № 363

Лицензия ЛР № 021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

-149 88

Введение

1 Взаимодействие импульсов

1.1 Импульсы с переменной фазой и энергией.

1.1.1 Одиночный импульс.

1.1.2 Два импульса.

1.1.3 Преобразование скобки Пуассона.

1.1.4 Гамильтониан.

1.1.5 Физическая модель.

1.1.6 Точное решение.

1.1.7 Результаты сравнения.

1.1.8 Приближенные решения.

Распространение света в оптических волокнах происходит благодаря явлению полного внутреннего отражения. Первые стеклянные волокна без оболочки [1] были изготовлены в 20-х годах нашего столетия, однако, развитие волоконной оптики начинается только в 50-е годы, когда использование оболочечного слоя [2] привело к значительному улучшению характеристик световодов. Изобретение лазеров решило проблему когерентных оптических источников. Одновременное наличие сосредоточенных источников света и оптических световодов с низким уровнем потерь способствовало широкому применению волоконно-оптических линий связи.

Применение оптической коммуникации возможно в любой области, которая требует передачу информации из одного места в другое. В последнее время оптические коммуникационные системы становятся одним из основных средств передачи информации. В качестве бита передаваемой информации в современных оптоволоконных системах используются, так называемые, солитоны с дисперсионным управлением (ДУ-солитоны). Здесь под со-лИтоном подразумевается устойчивое локализованное решение, а не традиционный (фундаментальный) солитоп из теории иолпостыо интегрируемых систем. При распространении солитопов в оптоволоконной линии эффекты нелинейности и хроматической дисперсии уравновешивают друг друга, поэтому такие импульсы хорошо подходят для передачи информации падальние расстояния. Актуальность

В реальных волоконных линиях при распространении солитопов происходит затухание. Для компенсации потерь внутри линии периодически размещаются оптические усилители, которые восстанавливают амплитуду сигнала. Определенные физические эффекты, например такие как случайные амплитудные и временные сдвиги, приводят к взаимодействию импульсов, распространяющихся в оптоволокне, и таким образом ограничивают применимость солитонных систем. Для уменьшения таких эффектов были предложены дисперсиопно-управляемые системы, т.е. линии состоящие из кусков оптоволокна с разными знаками и значениями дисперсии, периодически повторяющиеся внутри оптоволоконной линии. Распространение солитопов в таких линиях описывается обобщенным нелинейным уравнением Шредин-гера с периодическими коэффициентами, которые отражают периодичность конфигурации линии. Описание распространения солитопов в оптических линиях является фундаментальной математической 'проблемой, и одновременно является ключевым моментом для развитие коммуникационных систем. Для практических приложений важны две основные задачи: развитие новых оптических линий передачи данных, действующих на большие расстояния, и модернизация существующих оптоволоконных сетей. Моделирование процессов в лабораторных условиях для построения оптимальных линий обычно является дорогостоящей задачей. Аналитическое многосолитоипое решение нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами не известно, поэтому теоретическое исследование также невозможно. Следовательно, основным средством исследования подобных задач является математическое моделирование. Однако, использование; прямого численного моделирования для практических целей и рамках данного уравнения, например для оптимизации оптоволоконных сетей, приводит к значительным вычислительным затратам. Поэтому актуальной является проблема разработки моделей и методов для быстрых расчетов динамики оптических сигналов на больших расстояниях, а также расчетов параметров и характеристик, необходимых для построения оптимальных конфигураций (с точки зрения минимизации коэффициента ошибки) оптоволоконных линий связи.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена диссертационная работа, является разработка упрощенных моделей, позволяющих проводить аналитические и численные исследования эволюции и взаимодействия оптических импульсов в системах с периодически меняющимися коэффициентами дисперсии,затухания/усиления и нелинейности. Цель исследования

1. Построение и анализ математической модели, описывающей взаимное влияние соседних импульсов, одновременно распространяющихся в оптоволокне в приближении постоянства формы и положения-импульсов.

2. Построение и анализ математической модели, описывающей взаимодействие двух импульсов с постоянной формой и переменными положениями центров.

3. Исследование методами численного моделирования областей параметров оптической линии при которых сигнал приобретает параболическую форму. Изучение зависимостей параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного сигнала гауссовой формы.

4. Исследование влияния внешних шумов, на распространение солитопов с помощью изучения случайных временных и амплитудных сдвигов.

5. Построение квазилинейной теории для задачи Котпи нелинейного уравпения Шредиигера с периодическими коэффициентами и сравнение с результатами расчетов полученных в рамках прямого численного моделирования данного уравнения.

Структура и общая характеристика диссертации

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию различных моделей описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Особое внимание уделяется сопоставлению полученных теоретических результатов с результатами численного эксперимента. Численное моделирование проводилось J3 рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредиигера. В главе 1 предложена модель, описывающая взаимодействие импульсов. Для построения модели используется вариационный подход. Получены динамические уравнения на параметры импульсов. Выполнение законов сохранения позволило упростить исходную систему. В предположении постоянства ширины и формы сигнала найдено точное решение полученной системы. Проведено сравнение теоретической модели с результатами численного моделирования. Во втором параграфе первой главы также используется вариационный подход для исследования взаимодействия импульсов. Однако, теперь предполагается, что положение центра каждого из импульсов меняется с течением времени. В аппроксимации бесконечномерной системы учитывается дополнительный член в разложении фазы по сравнению с предыдущим параграфом. В главе 2 изучается влияние усилителей на эволюцию оптического сигнала. Первый параграф рассматривает процесс образования импульсов параболической формы при их прохождении в усиливающей среде. Приведены результаты численного моделирования динамики оптических сигналов в усилителях различных типов, и установлены области характерных параметров входного сигнала и усиливающей среды, при которых обобщенное нелинейное уравнения Шредингера имеет автомодельные решения в виде импульсов параболической формы. Во втором параграфе второй глав!л для анализа качества передачи сигнала в оптоволоконной линии используется метод линеаризации исходного нелинейного уравнения Шредингера вблизи произвольного, численно-определенного решения в отсутствии шума. Используя статистические свойства шума, получены уравнения для дисперсии центрального времени импульса и дисперсии энергии. Для оценки областей применимости метода линеаризации результаты вычисления временных и амплитудных флуктуации, полученных этим методом, сравниваются с результатами вычисления тех же параметров, полученных с помощью метода расщепления для решения исходного уравнения Шредингера с моделью Монте-Карло для генерации шума.

В главе 3 построена модель, описывающая процесс возмущения исходного распределения поля под влиянием четырехволнового взаимодействия. Получено уравнение, позволяющее вычислять распределение оптического поля в любой точке временного интервала. Предложен эффективный численный алгоритм для вычисления возмущений ноля, основанный на быстром преобразовании Фурье. Получены оценки минимального числа соседних импульсов, которые влияют на решение в заданной точке для широкого ряда параметров волоконно-оптической линии связи. Проведены сравнения с численным решением уравнения Шредингера. Для сравнения вычислены отклонения центрального времени импульса и пиковой мощности для различных параметров лииии.

Научная новизна

1. В работе впервые построена математическая модель, описывающая взаимодействие оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде в предположении изменяющихся амплитуды и фазового множителя импульсов. Получено точное решение предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой. Установлены условия существования периодических решений.

2. Построена приближенная модель для случая импульсов с переменными положением и скоростью, распространяющихся в волоконных световодах. Найдены численные решения полученной системы. Исследовано взаимодействие импульсов на основе предложенной модели. Исследовано влияние начального расстояния между импульсами па взаимодействие сигналов. Найдены два режима эволюции импульсов в зависимости от разности фаз между ними.

3. Исследован процесс генерации параболических импульсов при их распространении в волоконно-оптических усилителях. Для распределенного (рама-новского) усиления исследованы области параметров оптической линии и параметров входного сигнала гауссовой формы, при которых передаваемый сигнал приобретает параболическую форму. Вычислена величина относительной ошибки для различных параметров линии и входного сигнала. Установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Показано, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения существенно влияет па величину относительной ошибки. Для сосредоточенного усиления определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредипгера с периодическими коэффициентами в плоскости параметров входная энергия и длительность входного сигнала.

4. Предложена квазилинейная модель, описывающая процесс взаимодействия последовательности оптических импульсов гауссовой формы. Проведено численное моделирование на основе предложенной квазилинейной модели и выполнено сравнение с численным моделированием, использующим нелинейное уравнение Шредипгера с периодическими коэффициентами. Основные положения, выносимые на защиту

1. Предложена модель, описывающая взаимодействие двух оптических импульсов с переменной амплитудой и фазовым множителем. Найдены точные решения предложенной системы уравнений для начальных импульсов с одинаковой формой и амплитудой.

2. Построена модель для изучения взаимодействия двух импульсов с изменяющимися положением и скоростью. Показано хорошее согласование с основной моделью, что позволяет использовать ее для численных расчетов вместо нелинейного уравнения Шредипгера с периодическими коэффициентами.

3. Изучены области применимости параболической модели. Для распределенного (рамаповского) усиления установлено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. Установлено, что при фиксированной ширине импульса отклонение фазового коэффициента от нулевого значения влияет на величину относительной ошибки пропорционально значениям входной пиковой амплитуды сигнала. Для сосредоточенного усиления в плоскости параметров входная энергия и длительность импульса определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредипгера.

4. Предложена квазилинейная модель обобщенного нелинейного уравнения

Шредингера с периодическими коэффициентами, которая позволяет получить распределение оптического поля в любой точке временного интервала. Показано, что применение полученной модели к моделированию конкретных линий связи позволяет значительно сократить вычислительные затраты благодаря эффективному численному алгоритму.

Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения полученных приближенных моделей с результатами прямого численного моделирования нелинейного уравнения Шредингера, выполненного с помощью метода расщепления но физическим процессам. Решения, полученные в рамках предложенных моделей, хорошо согласуются с результатами, найденными с помощью прямого численного моделирования. Теоретическая значимость работы

Предложены упрощенные модели, описывающие различные процессы, происходящие при распространении световых импульсов в нелинейной среде. Практическая ценность

Полученные модели могут быть использованы для анализа качества передачи информации с помощью оптических импульсов, для совершенствования параметров существующих линий передачи и конструирования новых линий связи.

Личный вклад

Результаты аналитических исследований и численных экспериментов, включенные в дисертацию, получены автором лично. Апробация работы

Научные результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001, 2002); Международной конференции но вычислительной математике (Новосибирск, 2004); Публикации

Основные результаты диссертации с достаточной полнотой опубликованы в центральных рецензируемых журналах "Вычислительные технологии", "Вестник НГУ", а также трудах международных конференций:

1. Курикалова М.А., Медведев С.Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза// Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. -2003. -Т.З. -Вып.2. -С.37-54.

2. Курикалова М.А., Медведев С.Б., Федору к М.П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи// Вычислительные технологии. -2003. -Т.8. -Спец.вьит. -С.77-85.

3. Курикалова М.А., Медведев С.Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и скорость/'/ Вестник ИГУ. -2004. -Т.4. -Вып.1. -С.30-46.

4. Курикалова М.А., Нурсеитов Д.Б., Федорук М.П. Численное моделирование генерации параболических импульсов в усиливающей среде.// Вычислительные технологии. -2004. -Т.9. -Вып.З -С.50-57.

5. Курикалова М.А. Конечномерная модель взаимодействия двух импульсов в оптоволоконных линиях связи// Сборник трудов Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". (15-19 апреля 2002г., Новосибирск, Россия) -2002. -Новосибирск: Математика -C.165-16G.

6. Курикалова М.А., Медведев С.В., Федорук М.П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера для волоконно-оптических линий связи с периодическими параметрами // Сборник трудов Международной конференции по вычислительной математике МКВМ - 2004.(21-25 июня 2004г., Академгородок, Новосибирск, Россия) . -С.537-543.

Основные результаты исследований, представленных в диссертации, состоят в следующем:

1. Предложен аналитический метод изучения взаимодействия оптических импульсов, распространяющихся в нелинейной среде. Основываясь па вариационном подходе, получена система дифференциальных уравнений, предполагающая изменение амплитуды и фазы импульсов. Получены аналитические решения данной системы уравнений. Найдены условия периодичности полученных решений. В дайной модели учитывались члены, содержащие разность фаз взаимодействующих импульсов. Полученные формулы могут быть использованы для гамильтоиовских систем с произвольным гамильтонианом. Для данной модели обнаружены два режима распространения двух соседних импульсов в зависимости от начальных значений разности фаз. Первый режим характеризуется периодическим слиянием их в один импульс и последующим расщеплением на два импульса. Второй режим соответствует четкому разделению импульсов на протяжении всей длины периодической секции оптоволокна.

2. Предложена физико-математическая модель взаимодействия оптических импульсов, с изменяющимися положением и скоростью. Численно найдено периодическое решение полученной системы уравнений. Данная система сохраняет величину которая является аппроксимацией интеграла импульса исходного уравнения. Результаты расчетов основных характеристик сигнала, полученные на основе этой модели, находятся в хорошем согласии с результатами, полученными па основе численного моделирования нелинейного уравнения Шредингсра с периодическими коэффициентами, являющегося классической моделью для описания распространения оптических импульсов в нелинейной среде. Также как и для случая импульсов с изменяющимися амплитудой и фазой для полученной модели реализуются два режима распространения в зависимости от начальных условий. Принципиальную роль в формировании такого механизма играет значение фазового коэффициента па входе оптической линии.

3. Исследован процесс генерации параболических импульсов при их прохождении в усиливающей среде. Проведены сравнения величины относительной ошибки между решениями в параболическом приближении и решением в рамках уравнения Шредингера для различных параметров оптической линии. Установлены области параметров начального импульса для которых величина относительной ошибки минимальна. Создан программный пакет, позволяющий определять области параметров оптоволоконного усилителя, необходимых для генерации параболических импульсов. Изучены зависимости параметров образующегося асимптотического импульса от параметров входного сигнала гауссовой формы. Обнаружены следующие особенности и закономерности процесса образования импульсов параболической формы в усиливающей среде: а) установлено, что в предположении малости линейного дисперсионного члена по сравнению с нелинейным членом автомодельные решения уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами для импульсов достаточно большой амплитуды имеют параболическую форму не только для эрбиевых усилителей, но и для распределенного типа усиления. б) обнаружено, что увеличение значений мощности накачки приводит к расширению области применимости параболической модели в плоскости пиковой амплитуды и фазового коэффициента. в) при фиксированной ширине импульса с ростом пиковой амплитуды наблюдается увеличение интервала допустимых значений фазового коэффициента при котором параболическая модель хорошо описывает эволюцию сигнала в оптическом усилителе. г) определены области наименьшего отклонения решения в рамках параболической модели от численного решения уравнения Шредипгера в плоскости параметров входная энергия и длительность сигнала. д) установлено, что в области малых значений входной пиковой амплитуды сигнала при фиксированной ширине импульса величина относительной ошибки минимальна в случае наименьшего отклонение фазового коэффициента от нулевого значения.

4. Выполнено численное моделирование упрощенной, системы уравнений гидродинамического типа, описывающей влияние шумов усиленной спонтанной эмиссии, на эволюцию оптического сигнала. Проведено сравнение между решениями в данном приближении и решением нелинейного уравнения Шредипгера с периодическими коэффициентами. Создан программный пакет, позволяющий определять эволюцию дисперсии центрального времени и дисперсию пиковой амплитуды импульса. Обнаружены следующие особенности процесса влияния усиливающих устройств на последовательность оптических импульсов: а) для любого вида карты (как для слабых, так и для сильных) дисперсия амплитуды, полученная методом линеаризации вблизи детерминистского решепия уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами при отсутствии шума с учетом статистических свойств шума, достаточно хорошо согласуется с определением дисперсии амплитуды, получаемой статистической обработкой данных решения уравнения Шредингера с периодическими коэффи циептами. б) точность вычисления стандартного отклонения центрального времени импульса зависит от величины отношения переменной и постоянной части дисперсии. В случае малой вариации переменной части дисперсии исследуемый метод дает лучшее совпадение результатов с основной моделью, чем в случае сильных изменений дисперсии. Таким образом, численные эксперименты показывают ограничение применения данного метода для расчетов стандартных отклонений центрального положения по величине так называемой "силы карты".

5. Предложена квазилинейная модель для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами, описывающая динамику последовательности оптических импульсов Полученная модель позволяет вычислять распределение оптического поля в любой точке; временного интервала. Эффективный численный алгоритм, основанный па быстром преобразовании Фурье, дает значительный выигрыш во времени и позволяет вычислять распределение оптического поля последовательности импульсов в любой точке дистанции распространения, кратной периоду. Создан программный пакет, позволяющий определять дисперсию центрального времени и дисперсию энергии последовательности оптических импульсов, влияющих па вероятность принятия ошибочной информации. Результаты расчетов в рамках предложенной квазилинейной теории находятся в хорошем согласии с данными прямого численного моделирования.

Автор выражает искреннюю признательность своим научным руководителям за постоянное внимание и чуткое научное руководство.

Заключение

1. J.L.BMRD British Patent, 285, 738 (1927)

2. N.S.Kapany J. Opt. Soc. Am. 49, 779 (1959)

3. A.Hasegawa, F.Tappert Appl. Pliys. Lett., 23, 142 (1973)

4. L.F.Mollenauer, R.H.Stolen, J.P.Gordon Phys. Rev. Lett., 45,1095 (1980)

5. Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevskii L.P., The Theory of Solitons. The Inverse Transform Method, Nauka, Moscow, 1980.

6. С. Г. Михлин, Вариационные методы ы математической физике, М., Наука, 1970.

7. М. Struwe, Variational methods. Application to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

8. К. Ректорис, Вариационные методы в математической физике и технике, М., Мир, 1985.

9. К. Флетчер, Численные методы на основе метода Галеркина, М., Мир, 1988.

10. Ю. Н. Демков, Вариационные принципы в теории столкновений, М., ГИФМЛ, 1958.

11. С. Энштейн, Вариационный метод и квантовой химии, М., Мир, 1977.

12. D. Anderson, Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers, Phys. Rev. A 27 (1983) 3135.

13. E. A. Kuznetsov, A. V. Mikhailov, I. A. Shimokhin, Nonlinear interaction of solitons and radiation, Physica D 87(1995) 201.

14. S. K. Turitsyn, I. Gabitov, E. W. Laedke, V. K. Mezentsev, S. L. Musher, E.G. Shapiro, T. Schafer, К. H. Spatschek, Variational approach to optical propagation in dispersion compensated transmission systems, Opt. Comm., 151(1998), 117.

15. S. K. Turitsyn, T. Schafer, К. H. Spatschek, V. K. Mezentsev, Path-averaged chirped optical soliton in dispersion-managed fiber communication lines, Opt. Comm. 163, 122 (1999).

16. Г. П. Агравал, Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1989.

17. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, М., Наука, 1989.

18. П. К. Рашевский, Геометрическая теория уравнений с частными производными, М., Гостехиздат, 1947.

19. A. Hasegawa, Y. Kodaina, Solitons in optical communications, Oxford, Claredon Press, 1995.

20. H. Sugahara, II. Kato, T. Inoue, A. Maruta, Y. Kodaina, Optimal dispersion management, for a wavelength division multiplexed optical soliton transmission system, J. Lightwave Tech., 17 (9), 1999.

21. Dcsurvire E., Erbium-doped fiber amplifiers. New York: Jonn Willey

22. Dianov Е.М., Raman fiber amplifiers// In: Topical meeting 011 optical amplifiers and applications. ThAI, Nara, June 9-11, 1999.

23. V.I. Krnglov, A.C. Peacock, J.M. Dudley and J.D. Harvey, Opt. Lett. 25, 1753 (2000).

24. M.E. Fermann, V.I. Kruglov, B.C. Thomson, J.M. Dudley and J.D. Harvey, Phys. Rev. Lett. 84, G010 (2000).

25. Boscolo S., Turitsyn S., Novokshenov V., Nijliof J. Self-Similar Parabolic Optical Solitary Waves // Theoretical and Mathematical Physics. 2002. 133. P. 1G45-1G54.

26. J.P.Gordon, H.A.Haus Random walk of coherently amplified solitons in optical fiber transmission Opt. Lett., vol.11, p.665-667 (1986)

27. H.A.Hans Quantum noise in solitonlike repeater system J. Opt. Soc., Arrier. B, vol.8, p.1122-1126 (1991)

28. N.J.Smith, W.Forysiak, N.J.Doran Reduced Gordon-Hans jitter clue to enhanced power solitons in strongly dispersion managed system Electron. Lett., vol. 32, pp.2085-2086 (1996)

29. S.K.Turitsyn Theory of average pulse propogation in higli-bit-rate optical transmission system with strong dispersion JETP Lett., vol. 65, pp. 845-850 (1997)

30. D. Marcuse Derivation of analitical expressions for the bit-error probability in lightwave systems with optical amplifiers J. Lightwave Technol., vol. 8, pp. 1816-1823 (1990)

31. P.A. Hnmblet, M. Azizoglu On the bit error rate of lightwave systems with optical amplifiers J. Lightwave Technol., vol. 9, pp. 1576-1582 (1991)

32. A. Mecozzi Long distance transmission at zero dispersion; combined effect of the Kerr nonlinearity and the noise of the in-line amplifiers J. Opt. Soc. Airier. В., vol. 12, pp. 462-469 (1994)

33. R. Hui, M. O'Sullivan, A. Robinson, M.Taylor Modulation instability and its impact in rrmltispan optical amplified IMMD systems: Theory and experiments

34. J. Lightwave Technol., vol. 15, pp. 1071-1082 (1997)

35. Thiab R.Talia and Mark J. Ablowitz, "Analitical and Numerical Aspects of Certain, Nonlinear Evolution Equations", pp. 203-230, Academic Press, New York, 1984.

36. G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press, Boston, 2001.

37. P.V. Mamyshev, N.A. Mainysheva, Optics Lett., 24, 1454 (1999).

38. M. J. Ablowitz and T. Hirooka, Optics Lett., 25, 1750 (2000).

39. M. J. Ablowitz and T. Hirooka, Optics Lett., 26, 1846 (2001).

40. S. Kumar, J. C. Mauro, S. Raghavan and D. Q. Chowdhury, IEEE journal of selected topics in quantum electronics, 8, 3 (2002).

41. M. J. Ablowitz and T. Hirooka, Optics Lett., 27, 203 (2002).

42. S. B. Medvedev and S. K. Turitsyn, ЛЕТР Lett. 69, 499 (1999).

43. I. Gabitov and S. K. Turitsyn, Opt. Lett. 21, 327 (1996).

44. D. J. Каир, Т. I. Lakoda, Variational method: How it can generate false instabilities, J. Math. Phys., 37(7), 1996.

45. A. V. Mikhailov, Variotionalism and einpirio-criticism. (Exact and variational approaches to fibre optics equations), "Optical solitons: Theoretical Challenges and Industrial Perspectives", New York, Springer-Verlag, 1999.

46. G.I. Barernblatt, Scaling, Self-Similarity and Intermediate Asyinpt.otics (Cambridge University Press, Cambridge, 1996).

47. Турицын С.К. "Теория распространения импульсов в высокочастотных оптоволоконных системах с сильной дисперсией", JETP стр. 845-850, 1997.

48. Гради Бум. "Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С+-т-"Бипом. 1997.

49. Э.Гамма, Р.Хелм, Р.Джоисон, Дж.Влиссидес "Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования."СПб Питер, 2001.

50. F. Merlaud and S. K. Turitsyn, "lntra-cliaimcl four wave mixing and Ghost pulses generation: time domain approach", Proc. ECOC2000, (Munchen, Germany, 2000), 3, 35.

51. J.tyndall Proc. Roy. Inst., 1, 446 (1854)

52. N.S.kapany Fiber optics: principles and applications Academic, New York (1967)

53. R.H.Stolen, E.P.Ippen, A.R.Tynes Appl. Phys. Lett., 20, 62 (1972)

54. E.P.Ippen, R.II.Stolen Appl. Phys. Lett., 21, 539 (1972)

55. R.G.Smith Appl. Opt. 11, 2489 (1972)

56. R.H.stolen, A.ashkin Appl. Phys. Lett., 21, 294 (1973)

57. R.H.Stolen, J.E.B.jokiiolm, A.Ashkin Appl. Phys. Lett., 24,308 (1974)

58. R.H.Stolen, C.Lin Phys. Rev., A17, 1448 (1978)

59. R.R.Alfano, Ed., Supercontinuum Laser Source , (Shpringcr-Vcrlag, New York, 1989).

60. M.Morioka, M.Mori, S.Kawanishi and M.Saruwatari, IEEE Photon. Technol. Lett. 6,365 (1994).

61. M.Morioka, K.Uchuyaina, S.Kawanishi, S.Suzuki and M.Saruwatari, Electron. Lett. 31,1064 (1995).

62. M.Morioka, K.Okamoto, M.Ishiiki and M.Saruwatari, Electron. Lett. 32,836 (1997).

63. S.Kawanishi, H.Takara, K.Uchuyaina, I.Shake, O.Kamatani and H.Takahashi, Electron. Lett. 33,1716 (1997).

64. M.Mori, II.Takara, S.Kawanishi, M.Saruwatari and M.Morioka, Electron. Lett. 33,1806 (1997).

65. G8. Y.Takushima, F.Futami and K.Kikuclii, IEEE Photon. Technol. Lett. 10,1560 (1998).

66. Y.Takushima and K.Kikuclii, IEEE Photon. Technol. Lett. 11,324 (1999).

67. P.V.Mainyshev and S.V.Chcmikov, Opt. Lett. 15,1076 (1990).

68. S.V.Chernikov and P.V.Marnyshev, J. Opt. Soc. Am. D 8,1633 (1991).

69. M.Schubert and B.Wiiheimi, Nonlinear Optics and Quantum Electronis (Wiley, New York, 1986), Chap.l.

70. K.J.Blow and D.Wood, IEEE J. Quantum Electron. 25,2665 (1989).

71. R.H.Stolen, J.P.Gordon, W.J.Toinlinson and H.A.Haus, J. Opt. Soc. Am. D 6,1159 (1989).

72. E.Bourkoff, W.Zhao, R.I.Joseph and D.N.Christodoulides, Opt. Lett. 12,272 (1987).

73. A.K.Atieh, P.Myslinski, J.Chrostowski and P.Galko, J. Lightwave Technol. 17,216 (1999).

74. V.E.Zakharov and A.B.Shabat, Sov. Phys. JETP 34,62 (1972).

75. R.H.Hardin and F.D.Tappert, SI AM Rev. Chronicle 15,423 (1973).

76. R.A.Fisher and W.K.Bischel, Appl. Phys. Lett. 23,661 (1973). SO] J.W.Cooley and J.W.Tukey, Math. Curnput. 19,297 (1965). [81] T.R.Taha and M.J.Ablowitz, J. Comput. Phys. 55,203 (1984).

77. V. I. Petviashvili, Fiz. Plaz. 2, 4G9 (197G) Sov. J. Plasma Phys., 2, 257 (1976)].83. 1S.B.medvedev, S.K.turitsyn Ilamiltonian averaging and integrability in nonlinear systems with periogically varying dispersion JETP Lett., 7, 69 (1999)

78. S.K.Turitsyn, E.G. Shapiro and V.K.Mezentsev Optical fiber technology, invited paper 4,384 (1998)

79. I.Gabitov and S.K.Turitsyn Opt. Lett., 21, 327 (1996)

80. I.Gabitov, E.G. Shapiro and S.K.Turitsyn Opt. Commun., 134, 317 (1996)

81. S.K.Turitsyn, E.G.Turitsyna, S.B.Medvedev, M.P.Fedoruk Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic Ilamiltonian system. Phys. Rev., 3, 61 (1999)

82. S.K.Turitsyn, M.P.Fedoruk, A.I.Gornakova Reduced-power optical solitons in fiber lines with short-scale dispersion, management Opt. Lett., 13, 24 (1999)

83. L. F. Mollenauer, S. G. Evangelides Jr., and II. A. Haus, IEEE J. Lightwave Tech. 9, 194 (1991).

84. N. Smith, F. M. Knox, N. J. Doran, К. J. Blow, and I. Bennion, Electron. Letters 32, 55 (1995).

85. A. H. Liang, H. Toda, and A. Hascgawa, Opt. Lett. 24, 799 (1999).

86. A. Hasegawa and Y. Kodama, Opt. Lett. 15, 1443 (1990); Phys. Rev. Lett. 66, 161 (1991).

87. К. J. Blow and N. J. Doran, IEEE Photon. Teclmol. Lett. 3, 369 (1991).

88. J. II. B. Nijhof, N. J. Doran, W. Forysiak, and F. M. Knox, Electron. Lett. 33, 1726 (1997).

89. T. S. Yang and W. L. Katli, Opt. Lett. 22, 985 (1997).

90. S. B. Mcdvcdov, E. G. Shapiro, M. P. Fcdoruk, and E. G. Turitsyna, Zli. Eksp. Teor. Fiz. 121, 1040 (2002) JETP 94, 892 (2002)].

91. M. Suzuki, L. Morita, N. Edagawa, S. Yamamoto, II. Taga, and S. Akiba, Electron. Lett. 31, 2027 (1995).

92. O. Audouin, E. Pallise, E. Desurvire, IEEE Photon. Tcchnol. Lett. 10, 828 (1998).

93. M. Matsumoto, O. Leclerc, Electron. Lett. 38, 576 (2002).

94. D. Rouvillain, P. Brindel, L. Pierre, O. Leclerc, II. Choumane, G. Aubin, and J.L. Oudar, Electron. Lett. 38, N.19 (2002).

95. N.J. Smith, N.J. Doran, F.M. Knox, and W. Forysiak, Opt. Lett. 21, 19811996).

96. A. Ilasegawa, Y. Kodama, and A. Maruta, Opt. Fiber Technol. 3, 1971997).

97. E.G. Shapiro, M.P. Fedoruk and S.K. Turitsyn, Electron. Letters 37, 19 (2001).