автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория и методы адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с применением искусственных нейронных сетей

Ткжин Иван Юрьевич

На правах рукописи

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург - 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" имени В.И. Ульянова (Ленина)

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Терехов В. А.

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Нечаев Ю. И.,

заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Колесников А. А.,

заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Тимофеев А. В.

Ведущая организация - Институт проблем управления (ИПУ), г. Москва

Защита диссертации состоится " 2006 г. в ' часов

на заседании диссертационного совета Д. 212. 238. 07 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

Автореферат разослан /" ¡МЯ-р^Ъ. 20р6

г.

С диссертацией можно ознакомиться с библиотеке университета.

Ученый секретарь диссертационного совета

Яшин А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность темы диссертации. С момента публикации первых работ по адаптивному управлению в середине 20-го века до настоящего времени системы с адаптацией эволюционировали от сравнительно простых экстремальных систем стабилизации до систем с адаптивными регуляторами, размерность дифференциальных уравнений которых существенно превосходит порядок математических моделей объектов. В большинстве практических приложений теория адаптивных систем управления и идентификации, как совокупность общесистемных положений и методов, используется для решения стандартных задач регулирования объектов, описываемых линеаризованными моделями, существенно реже - нелинейными и, как правило, устойчивыми по Ляпунову. Однако потенциальная роль этой теории представляется значительно шире и глубже.

Так, например, в естественных науках, таких, как физика, химия или биология, понимание механизмов и самих принципов адаптации, "приспособления" на сегодняшний день является одной из наиболее актуальных проблем (Sontag Е.). Именно в этих областях знаний использование системных принципов и результатов теории управления вообще и теории адаптивных систем, в частности, оказывается наиболее перспективно для анализа явлений, не поддающихся анализу на языке "родной", науки1. Не менее важной сферой использования методов и теории адаптивных систем являются задачи проектирования новых сложных технических объектов и технологических процессов, где изменения собственных свойств и свойств внешней среды, как правило, оказываются неконтролируемыми и зачастую неизбежными, а математические модели процессов не до конца изученными и определенными.

Тем не менее, несмотря на объективное появление новых актуальных научных и технических задач, требующих системных решений в адаптивных постановках, применение классических методов теории адаптивного управления для их решения оказывается затруднительным или малоэффективным [17, 18, 19, 20]. Причиной тому является то, что условия применимости классических методов в рамках существующей теории требуют точного знания уравнений математической модели объекта, линейности по неизвестным параметрам, устойчивости по Ляпунову целевых движений и, более того, известности функции Ляпунова со знакоопре-деленной производной по времени для целевых движений (Sastry S., Narendra К., Annaswamy A., Kokotovich Р., Ljung L., Eykhoíf Р., Bastin G., Gevers M., Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л.). Каждое из этих требований в отдельности ограничивает роль существующей теории адаптивных систем в приложениях к актуальным техническим и научным проблемам; в совокупности

'Хорошими примерами успешного применения методов теории управления в конкретных областях науки является применение кибернетических методов в физике (Фрадков А. Л.), а также серия работ по монотонным системам управления (Angelí D., Sontag Е.), объясняющие и предсказывающие эффекты мультистабильности в метаболических сетях.

они образуют "стандартный" подход, эффективность которого даже при. решении типовых задач управления реальными техническими объектами оказывается ограниченной.

В диссертационной работе поставлена и решается актуальная научная проблема адаптации в открытых управляемых системах со сложной динамикой поведения, существенно расширяющая сферу применения принципов адаптивного управления в различных областях науки и техники.

Целью диссертационной работы является построение теории и методов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с потенциально неустойчивой по Ляпунову, неравновесной целевой динамикой; при невозможности явного задания целевых множеств; при неполноте информации о математических моделях объекта; с использованием моделей неопределенностей, максимально адекватных физической сущности процессов и явлений в самом объекте; с возможностью последующей реализации механизмов управления в типовых и однородных структурах типа искусственных нейронных сетей прямого действия.

Задачи исследования. Для достижения поставленных целей в работе решены следующие задачи:

1) Разработка и обоснование математического аппарата, позволяющего анализировать реализуемость, полноту и ограниченность состояния объектов и их соединений на основе моделей в виде отображений "вход-выход" и "вход-состояние" в предположении, что эти отображения известны лишь с точностью до мажорирующих. Результатом использования этого аппарата анализа должны быть формулировки желаемых принципов макроорганизации адаптивных систем и целевых ограничений, реализация которых не требует a priori устойчивости по Ляпунову целевых движений, знания целевых множеств в явном виде, а также полной определенности математической модели управляемого объекта.

2) Разработка и обоснование метода реализации полученных принципов и целевых ограничений для классов моделей нелинейных динамических объектов в виде частично известных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Результатом применения этого метода при решении задач синтеза систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами является комплекс методов решений типовых задач адаптивного управления. Для возможности использования в процессе управления адекватных, нелинейных физических моделей, методы должны допускать нелинейную параметризацию моделей неопределенности в широком и практически значимом классе функций.

3) Разработка подхода к синтезу типовых структур адаптивных систем управления на основе искусственных нейронных сетей, включая решения задачи выбора подходящей архитектуры сетей и разработки методов настройки параметров полученного класса регуляторов.

Объектом исследования являются нелинейные динамические системы и их соединения, представимые в виде локально ограниченных отображений, систем

дифференциальных уравнений; системы аппроксимации функций с настраиваемым базисом.

Предметом исследования являются свойства реализуемости, полноты, ограниченности состояния адаптивных систем управления, условия достижения целевых множеств и их окрестностей, законы адаптивного управления, процедуры оценки неизвестных параметров нелинейных отображений, качество переходных процессов при условии неполноты информации об объекте и в условиях параметрических, сигнальных и функциональных возмущений.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались математический аппарат и методы функционального анализа, теории нелинейной динамики, теории аппроксимации функций, теории систем, линейной алгебры и анализа, программные пакеты системы МАТЬАВ 7.1.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов их соединений в терминах отображений "вход-выход" и "вход-состояние".

2) Принципы макроорганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами.

3) Метод синтеза законов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами на основе виртуального алгоритма адаптации.

4) Метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления нелинейными динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций, удовлетворяющих условию Липшица по неизвестному параметру.

5) Комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления: задачи прямого адаптивного управления, задачи адаптивного регулирования к инвариантным множествам, децентрализованное адаптивное управление, адаптивное управление с идентификацией параметров неопределенности.

6) Подход к реализации алгоритмов адаптивного управления нелинейными объектами с применением многослойных нейронных сетей в качестве универсального устройства однородной и типовой структуры.

7) Метод оценки оптимальных параметров базиса для класса систем аппроксимирующих функций с нелинейно параметризованными базисными функциями в многослойных нейросетях.

Новые научные результаты работы включают в себя:

1) Математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов и их соединений в терминах свойств эмпирически проверяемых отображений "вход-выход" и "вход-состояние" позволяет формулировать условия реализуемости, полноты, ограниченности состояния и достижения целевых множеств для систем, состоящих из последовательных, параллельных и замкнутых соединений нелинейных объектов в условиях неопределенности информации о математических моделях объекта. В отличие от известных методов класс допустимых моделей объектов расширен до локально-ограниченных операторов в функциональных про-

странствах, известных с точностью до оценок норм мажорирующих отображений.^

2) Принципы макроорганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами формулируются в терминах свойств систем как отображений в функциональных пространствах и позволяют гарантировать' желаемое поведение объекта при возможном сохранении его исходных и потенциально полезных нелинейных особенностей типа мета- и мультистабильности, неустойчивости по Ляпунову, бифуркаций, неравновесности, перемежаемости. Предложенные принципы н ограничения в отличие от известных не требуют вычисления функций Ляпунова для целевых движений расширенной системы и допускают неопределенность модели объекта с точностью до динамики макропеременных.

3) Метод синтеза законов адаптивного управления на основе виртуального алгоритма адаптации, отличается от известных возможностью систематически синтезировать классы законов и алгоритмов адаптивного управления, реализующие желаемые принципы макрорганизации и целевые ограничения в виде ограничений на свойства регулятора в функциональных нормированных пространствах для нелинейных динамических объектов с моделями в классе нелинейных дифференциальных уравнений.

4) Метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления нелинейными динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций, удовлетворяющих условию Липшица по неизвестному параметру отличается от известных тем, что условия его применимости не требуют линейной параметризации неопределенности, точного знания целевой динамики объекта, приведения уравнений модели объекта к каноническим формам адаптивного наблюдателя, мажорирования неопределенности отрицательными обратными связями с высокими коэффициентами контурного усиления.

5) Комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления, отличающихся от известных тем, что условия их применимости не требуют знания функций Ляпунова целевых движений, допускают нелинейную параметризацию моделей неопределенности, неполноту информации о целевых множествах.

6) Подход к реализации алгоритмов адаптивного управления нелинейными объектами с применением многослойных нейронных сетей, позволяет, в отличие от известных, реализовывать алгоритмы адаптивного управления в классе моделей неопределенности без привлечения рекуррентных обратных связей в структуре сети и настройки параметров базисных функций в реальном времени, что снимает, во-первых, проблемы устойчивости в задаче реализации нейроконтрол-леров и, во-вторых, снижает требования к вычислительной мощности аппаратной реализации таких систем.

7) Метод настройки базиса класса систем аппроксимирующих функций с нелинейно параметризованными базисными функциями в многослойных нейро-сетях, позволяет в отличие от известных методов глобальной оптимизации га-

рантированно и эффективно (в вычислительном плане) оценивать оптимальные, параметры базиса с помощью стандартных, в т.ч. градиентных, методов теории адаптивного управления.

Практическая ценность работы состоит р возможности решения актуальных задач анализа, синтеза и идентификации физических явлений в условиях неопределенности (например, таких как идентификация изменения свойств клеточных мембран и ионных токов под действием токсинов при условии измерений лишь мембранного потенциала), задач синтеза технических систем управления в условиях неопределенности и при условии нелинейной параметризации моделей, задач анализа и синтеза систем адаптивной обработки информации и распознавания с нелинейно параметризованными фильтрами и мультистабильной целевой динамикой для поиска альтернатив.

Внедрение и реализация результатов работы. Теоретические положения диссертационной работы и результаты решения типовых задач адаптивного управления использованы в разработке систем управления экстремальным разгоном и торможением автомобиля в результате совместных плановых работ с исследовательскими лабораториями компании Форд и Тойота (НИР ГЗП/АПУ-69, номер гос. per. 0120 0104989), в разработке систем идентификации тонических токов клеточных мембран совместно с Нижегородским Государственным Университетом, в разработке систем обработки изображений со сканирующего лазерного микроскопа совместно с Институтом Мозга, РИКЕН, г. Вако, Япония. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

Основные результаты работы получены и использованы в двух программах и пяти грантах Минобразования РФ, выполненных в период с 1997 по 2006 гг.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу были представлены на Всероссийской научно-технической конференции "Нейрокомпьютеры и их применение". Москва, 16-18 февраля 2000 (НКП-2000); II научно-технической конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 28-30 марта 2000 г. Санкт-Петербург. СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор"; Всероссийской научной конференции "Управление и информационные технологии", Санкт-Петербург, 2003 г.; международных конференциях и симпозиумах: 2-й международной конференции по управлению колебаниями и хаосом, июль 2000 г., г. Санкт-Петербург (2nd Int. Conf. "Control of Oscillations and Chaos". July 5-7, St. Petersburg, Russia, 2000 ); 5-м симпозиуме ИФАК "Нелинейные системы управления", г. Санкт-Петербург, 2001 г. (5th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems"(NOLCOS'01), St.-Petersburg, Russia, July 4-6, 2001); 2-й международной конференции по нейронным сетям и искусственному интеллекту, г. Минск, Беларусь, 2001 г. (2th Int. Conf. on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI'2001), Minsk); 6-ой Европейской конференции по управлению, 2003 г., в г. Кембридж, Великобритания (6-th European Control Conference, ECC'2003); симпозиуме ИФАК по адаптивным и обучающимся системам в управлении и об-

работке сигналов, 2004,' Йокогама, Япония (IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, ALCOSP'2004); 6-м симпозиуме ИФАК по нелинейным системам, г. Штуттгарт, Германия, 2004 (6-th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems); IEEE конференциях по принятию решений и управлении, Сидней, Австралия, 2000 г., Невада, США, 2002 г. (39-th, 41-st IEEE Conferences on Decisions and Control); IEEE конференции по нейронным сетям, Гаваи, США, 2002 г. (IEEE Joint Conference on Neural Networks); Американской конференции по управлению, Портланд, США, 2005 г. (American Control Conference, АСС'2005) ; 16-ом конгрессе ИФАК по автоматическому управлению, г. Прага, Чехия, 2005 (16-th IFAC World Congress on Automatic Control). Результаты работы докладывались и обсуждались на городском семинаре по информационным системам, Санкт-Петербург, 2005, на семинарах Университетов Ньюкастла (University of New Castle upon the Тупе) и Сандерланда (University of Sunderland), Великобритания, 2005, а также на семинарах Технического Университета г. Эйндховена (Eindhoven Technical University), Нидерланды, 2005.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 научных работ, из них -3 монографии, 19 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций, 25 работ - в материалах Всероссийских и международных научных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка используемой литературы из 342 наименований и 3-х приложений. Основная часть работы изложена на 262 страницах машинописного текста. Работа содержит 46 рисунков и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся научные результаты, выносимые на защиту и дается оценка их новизны, а также приводится краткое содержательное описание работы по разделам.

В первом разделе рассматриваются и анализируются задачи управления нелинейными динамическими объектами в условиях неопределенности в контексте существующих логических и математических постановок задач адаптивного управления. Приведенный анализ выявляет группы проблем, ограничивающих широкое применение существующих теорий для решения актуальных задач управления. В частности, это 1) неоднозначность самого понятия адаптивности; 2) узость класса допустимых целей адаптации; 3) проблемы качества адаптивных систем; 4) ограниченность классов допустимых моделей неопределенности и объектов; 5) проблемы эффективной реализации адаптивных регуляторов.

На основе выявленных недостатков делается вывод о необходимости новой постановки задачи, позволяющей получать решения актуальных проблем управ-

Таблица. 1.1. Характеристики постановки задачи, предлагаемой в работе

Характеристика Предлагаемая постановка Стандартные постановки

Адаптация Асимптотическая компенсация влияния неопределенности с точностью до заданного функционального пространства Сигнально-параметрическая

Цели управления Достижение желаемых динамических состояний, в т. ч. неравновесных и неустойчивых по Ляпунову движений Стабилизация по Ляпунову расширенной системы, отслеживание эталонных (известных) траекторий

Целевые функции Макропеременные, знание функций Ляпунова не требуется В классе функций Ляпунова

Качество Задается постановкой задачи в зависимости от физических свойств объекта Устойчивость по Ляпунову и ограниченность траекторий

Модели объектов Дифференциальные уравнения, отображения "вход-выход" Дифференциальные уравнения (известные)

Адекватность моделей Сильная. Используются исходно нелинейные модели адекватные физической сущности самих объектов. Слабая, модели упрощенные, "удобные" для используемых методов синтеза

Реализация алгоритмов управления Алгоритмы адаптации -для классов нелинейностей; реализация законов управления - на типовых элементах. Каждой задаче соответствует уникальное решение.

ления физическими объектами и процессами в условиях неопределенности. Отличительные черты такой постановки приведены в таблице.

В соответствии с этими требованиями в разделе формулируется содержательная цель диссертации, как создание теории и методов адаптивного управления нелинейными объектами в условиях неопределенности, с неустойчивыми по Ляпунову целевыми движениями, на основе качественной'2 информации о поведении системы с последующей реализацией полученных алгоритмов управления в типовых нелинейных регуляторах.

Согласно принципу последовательного раскрытия неопределенности (Вавилов А. А., Имаев Д. X., Фомин Б. Ф.), формулируется последовательность задач, решение которых неизбежно влечет достижение поставленной цели:

1) Задачи поиска желаемых принципов построения систем управления неопределенными объектами с использованием минимально необходимой информации об объекте в виде свойств "вход-выход" и "вход-состояние", гарантирующйх реализуемость, полноту и ограниченность состояний системы при сохранении, если

'гК информации качественного характера в работе относятся макропеременные (Колесников А. А.), возможность (но не точное знание) описания объекта дифференциальными уравнениями, оценки отображений "вход-выход" в заданных функциональных пространствах и т. д.

Уровни описания объекта

Оценки отображений вход-выход, вход-состояние» макропеременные

Классы моделей неопределенности, модели объекта с точностью до уравнений динамики макропеременных

Математический аппарат, методы анализа и синтеза

Специфические нелинейности объекта, специфические модели неопределенности

Операторный анализ и синтез нелинейных систем (в т.ч. неустойчивых) _Раздел 2_.

Комплекс методов адаптивного управления, реализующих заданные принципы и ограничения _Раздел 3_

Комплекс методов синтеза архитектур и алгоритмов обучения нейронных сетей _Раздел 4_

Результат использования

ринципы синтеза и целевые ограничения.

Законы адаптивного управления

Типовые адаптивные контроллеры

шые\

Решения типовых задач адаптивного управления нелинейными объектами Раздел 5

Рис. 1.1. Содержание теории и методов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с применением нейронных сетей

это необходимо, естественных нелинейных эффектов объекта, включая мульти- и метастабильностъ, неустойчивость по Ляпунову, неравновесность, бифуркации.

2) Задачи реализации сформулированных принципов для систем с неустойчивой целевой динамикой, с неопределенностями в целевых функционалах, неявно заданными целевыми множествами, с нелинейной параметризацией неопределенности и немажорирующим (недоминирующим) управлением.

3) Задачи реализации полученных законов адаптивного управления при условии недоступности физической модели неопределенности [20, 17, 4, 18, 19, 21].

Диаграмма, иллюстрирующая содержательную постановку задачи диссертации как совокупности требующих решения проблем в зависимости от уровней описания объекта, необходимых методов анализа и синтеза, их взаимодействия представлена на рис. 1.1. Формальные постановки, математический аппарат и методы решения этих проблем составляют содержание следующих разделов работы.

Во втором разделе вводится описание динамических систем в терминах отображений в функциональных пространствах. Так, в частности, системой, 5, заданной на множестве входов и, воздействий среды состояний X и выходов У, в разделе называется совокупность отображений

&Г : {и(1),е(()}СИх£н{х(()}а; (2.1)

Пт - {и и),е(е),х(0} С Ы х е х А" н-, (у(1)} су, Т = С Т*. (2.2)

Отображение 5г в (2.1) определяет взаимодействие "вход - состояние", а отображение Нт в (2.2) формализует взаимодействие "вход, состояние - выход". Пред-

полагается, что множества.Л", U и У - пространства функций Cx[tü,T\ С L^[t.0.T], £u[to,r] С и Су[to,Т] С Z,jJ[i0,T], q, р, к е К>! соответственно, множество

£ задается линейным нормированным пространством Се с нормой ||-||£,- Интервал Т определения функций u(i), x(t), y(i) задает интервал существования объекта.

Для анализа свойств систем (2.1), (2.2) при возможной неопределенности отображений Sriu,e), Wr(u, е) необходимо иметь информацию качественного характера о свойствах преобразования и(4), е в х(<) и у(г) под действием операторов ,S7-(u,e), Wt-(u, е). С этой целью вводится характеристика системы, с одной стороны, учитывающая качественную связь функциональных норм Си и Сх, Су под действием операторов (2.1), (2.2), а, с другой стороны, эмпирически проверяемая на практике. Эта дополнительная характеристика - коэффициенты 7s,c., 7я,£„ передаточного отображения из Си в Сх (Си в Су):

IWt)ll£.,[t0,ri<7s.£.(el||u(t)l|£m,Itll,31;r); .

1|у(«)к„[10,т) < 7H,C,(e, iluWUc.^^r), где функции 7s,£»(e, liu(i)||,cUi|t0iTj,r), 7н,£„(е, ||u(i)||£iii|i0ir|,T) локально ограниченные по всем аргументам и не убывающие по ||u(i)||£„,[f0;r]-

К числу значимых характеристик "вход - выход" и "вход - состояние" систем в работе также относятся понятия реализуемости и полноты: система S называется

1) реализуемой, если для любых и е Си, ее £ существует Г(и, е) > to:

ll*Wlloo,[to,T] < °0> Hy(i)||oo,{io.rl <

где Т = [to,T] - интервал реализуемости системы при u е Си, е € £;

2) реализуемой с передаточным отображением по норме || ■ ]| £„, если для каждого е е £ существует такое число Т(е) > to, что в системе S на интервале Т = [г0, Т] определены коэффициенты 7sj00 и 7я,со соответствующих передаточных отображений:

Нх(г)11сзо,[(о,Г1 5: 7S,oo(e, l|u(i)ll£„,[io,r]>^')i (2 4)

lly(i)lloo,[i„,n < 7н,оо(е, ||u(t)B£.,|toiJ1,D.

3) полной, если она реализуема на (полу) бесконечном интервале времени Т;

4) полной с передаточным отображением по норме || ■ |]£„, если она полна и существуют такие fS,oo и 7я,оо. что неравенства (2.4) выполнены для всех Т > to-

Для постановки задачи отыскания принципов макроорганизации систем, допускающих неустойчивость, неравновесность, мульти- и метастабильность целевых движений в разделе проводится анализ свойств отображений (2.1) - (2.3) устойчивых, систем. Показывается, что наиболее распространенные определения устойчивости - устойчивость инвариантных множеств по Ляпунову (Ляпунов А. М., Демидович Б. П., La Salle J.), устойчивость решений системы по Ляпунову, устойчивость от входа к состоянию, от входа к выходу и от выхода к состоянию, и наконец, устойчивость систем, заданных оператором (Zames G., Sontag Е.) - эквивалентны свойству непрерывности некоторого функционального отобра-

жения, заданного над специфически определенными функциями входа, областью определения, и выхода, областью значений (теоремы 2.1 - 2.3).

На основе проведенного анализа делается вывод том, что для отыскания принципов макроорганизации систем с неопределенностью и потенциально неустойчивой целевой динамикой объектом исследования должны являться отображения (2.1) - (2.3), непрерывность которых не предполагается a priori. В частности, локально-ограниченые отображения. Предметом исследования оказываются свойства реализуемости, полноты, ограниченности состояния и выхода соединений систем, а также асимптотические свойства систем. Формально цели исследования раздела формулируются в виде набора задач.

Задача 2.1. Анализ реализуемости и полноты соединений. Система S:

ST: Сих£ ~ Сх С L'bfaT], НТ : Си х £ х Сх ~ Су С L^[t0,T] является (последовательным, параллельным, замкнутым3) соединением подсистем Si и 52:

ShT ■■ Си, х I ► СХ1 С 1£>[г0,Г];

«1,Т : U, х £х х £ц - Су, С 1&,[*о,Т];

Н2,т ■■ Си, х £2 х ciSJto.T],

Требуется:

1) найти условия, при которых соединение S реализуемо;

2) найти условия, при которых соединение S полно.

Задача 2.2. Анализ локальной ограниченности оператора соединений. Задана полная система S (2.5). Требуется:

1) сформулировать условия (свойства систем Si и 5г), гарантирующие локальную ограниченность операторов "вход - состояние" и "вход - выход" системы S для всех u е Сп',

2) найти коэффициенты ■), 1н,сх(~> ■) передаточных отображений "вход - состояние" и "вход - выход":

II*« llc„[t0,n S 7SX, (е, l|u(t) -Г); ||у(01|£„[1„,Л — (е, || u(t) ||£.,[to,rl. Т).

Задача 2.3. Анализ асимптотического поведения систем. Задана полная система 5 (2.5) с локально ограниченными операторами "вход - состояние" и "вход - выход". Найти предельные (при t —> оо) оценки областей принадлежности состояния х(£) и выхода у(t). Кроме того, определить оценки Нтт-оо 11х(011с,,[г,оо].

Итт—юс

lly(i)ll{:v,[T,oo] как функции от е е £, u е Си.

В разделе показывается, что для последовательного и параллельного соединения систем Si, S2 с локально-ограниченными операторами решение задач 2.1,

(2.6) (2.7)

3Понятия последовательное, параллельное и замкнутое соединение используются в их общепринятом смысле

2.2, сводится к анализу реализуемости и полноты подсистем S¡ и (теорема 2.4). Для анализа реализуемости и полноты замкнутых соединений систем с локально-ограниченными операторами вводятся дополнительные понятия и ограничения. В частности, вводится отображение

■ф: - (2.8) где Сф[1о,Т\ - линейное нормированное пространство с нормой || ■ Ц^.^,7-]. а £ф - линейное пространство. Отображение (2.8) определяется как мажорирующее состояние x(t) и выход y(f) по норме ¡| ■ |[£# при условии, что существуют функции HS,оо : £ х —> R+ и цн,оо : £ х R+ —» R+ такие, что

¡Mí)lú[WT] ^^(e.llV'WO.e^)!!^,,^); (2.9)

[|y«)IU,[t„,T]<fH,oO(e)||^(x(t),e^)||jC,iIt0iT¡). (2.10)

Для мажорирующих отображений (2.8) с учетом (2.1) определяется оператор 7Y(u,e,e,í,) : Cu[t0,7х £ х £ф jC,¡,[í0, Г]; ^(u.e.e^,) = t/>(Sr(u,e), е^,). В дальнейшем рассматриваются системы, удовлетворяющие предположению.

Предположение 2.1. Для любого е е £ найдется функция u*(e, t) и подпространство C¡[tQ,T\ С £„[í0,r] такие, что для операторов Яг(и*(е, t) + S(t), е, е^); Sr(u*(e, t) +'í(¿), е), HT(u'(e, ¿) + S(t), e,5r(u*(e, t) + ¿(i),e)) определены коэффициенты yp,c*> 7#•,£„ передаточных отображений C.¡\t(¡. 7'] >->

Сф^о.Т], £¿[í0,T] '——* £j,[ío,T];

ll^(í)ll^,I«„,rj <7^(e,e^1||á{i)||£í,[Í0lri,r);

llyWll^o.r) < 7H-xM ||á(i)||£í,(ÍOir),r). Предположение 2.1 означает, что для любого возмущающего воздействия е среды £ в пространстве входов £„[ío,T] можно выделить элемент u*(e,í) и непустое подпространство £j[io,T] С Cu[ta,T\ такие, что управления u(t) = u*(e,t) + <5(í) "регулируют" выход y(í) и функцию V>(t) по нормам Иу^И^.г], 1М*)||,с<„[(о,:г] в силу неравенств (2.11). Другими словами, предположение 2.1 постулирует саму возможность функционального управления состоянием x(t) и выходом y(t) посредством управляющих сигналов S(t) из Cs\tü,T) при условии сохранения реализуемости системы 5. Условия реализуемости, полноты и ограниченности состояния замкнутых систем даются следующей теоремой.

Теорема 2.5. Теорема о существовании малого контурного усиления.

Пусть система Si, заданная (2.6) на Т = [¿o,T¡, удовлетворяет условиям:

1) для системы S\ существуют мажорирующее отображение %¡>(x.\(t),e^) и функция u*(ei,í) б £u¡ío,T], удовлетворяющие предположению 2.1.

Рассмотрим систему Si, заданную операторами (2.7). Положим, что

2) система S'¿ реализуема (полна) с заданными передаточными отображениями по норме || ■ Hc^.ito.rj;

3) коэффициент iii2,Ci передаточного отображения Cy¡[t0,T] >-» £¿[ío,T] существует и глобально ограничен по норме IMIt (ю,т1» т- е. существует (непрерывная) функция 7¿/¡ Cí(c2, Г) : f2 х К+ —> R+ такая, что неравенство

7íh,c,(e2,||yi(í)llcvl.|t„,n.r)<7w2xí(e2,r), (2.12)

выполнено для всех yi(¿) б jCjJío.Z'].

Тогда замкнутое соединение систем S\, S¡ реализуемо (полно) для всех u(t); u(i) = u*(ej,í)+á(¿), í(t) e Cs\t0lT\. При этом, если функции tp,cA:). thixA') ограничены no T:

sup 7P,£<(ei,ev,,d,r) = Д^еье^,, d), sup c (e2,T) = Дс(ег), T>i0 ' T>t0

mo xi(i), yi(t) ограничены, и как следствие, справедливы следующие оценки: llxiWllw.ltoTl ¿ P-Sb«.(ei, Др(еье^, Дс(е2) + ЦОДИ^.^т]));

00,[10;Г\ ^ У-Hi,со (el, Др(е1,е^,, Дс(в2) + НОДНад^т]))-

В отличие от теорем о малом контурном усилении (Zames G., Jiang Z.-P., Teel A. R., Praly L.), теорема 2.5 не требует точного знания коэффициентов 71 и 72 операторов "вход-выход" "Hi и Hi для того, чтобы сделать вывод о реализуемости, полноте и ограниченности состояний и выходов в замкнутом контуре. Вместо этого требуется лишь существование ограниченного по ||yi(t)||£uii¡ÍOiT| коэффициента передаточного отображения (2.12).

Результаты анализа соединений систем с локально ограниченными операторами используются в разделе для постановки и решения задачи функционального синтеза адаптивного регулятора. Вводится описание регулятора как системы Sc'-Sc,T- CVr{t0,T\ х€су* <CXc[ío,T]; nCiT : Су„[10,Т] x £c ^ Cyc{t0)T] С Cu[t0,T], которая по измерениям выходов yp(t) € £yi,[ío,T] объекта Sp вырабатывает оценки Уc(í) € Cu[to,T) С Cu{ta,T\ функций u*(ep,Xp(í), t) е U'.

"Идеальное" управление u*(ep,x(í),í) е W*. обеспечивающее достижение цели4, в общем случае зависит от состояния xp(t) объекта и воздействий среды t¡p е £р. Следовательно естественным образом возникают задачи восстановления значимой для управления информации о состоянии xp(t) и о воздействиях среды ер. В соответствии с этим вводится в рассмотрение система наблюдения Sa:

система адаптации Sa:

[ío.rle^Jío.T] х £а<-> Cx„lt0,Tl, Па,т■ Cy^Tl^Cy^TlxSa^Cy^T];

'Минимально допустимой целью управления будем считать ограниченность состояния хр(() и выхода уг(Ь) объекта 5,, .

и функции

и„ : £р х £„„[¿0,21 х К+ — £„[<о,Т1,

"о : '-У* [4о,Т] х £„„[<О,Т) х К+ —> Л,['о.Т],

где у0(1) - это оценка информации о состоянии хр((.) при воздействиях среды ер по измерениям ур(0. а уа(4) - оценка информации о воздействии среды ер по измерениям ур(^ с использованием оценок у0(4)- При этом функция и0(ер,у„(4),4) является оценкой управления и,(ер,хр(^,4) по измерениям ур(£) при условии, что ер известно. Функция иа(уа(4), у0(4), г) в свою очередь является оценкой функции и0(ер,у0(1),1) по измерениям ур(£), у0(4). Таким образом, опосредованно через функцию и0(ер, ус(<), Ь) и отображения (2.13), (2.14), функция ца(уа(г),у0(г),<) является оценкой функции и*(ер,Хр((),4) по измерениям ур((). В этой связи будем полагать, что функция иа(уа(г),у0(£),г) является выходом ус(г) регулятора <5>с.

В соответствии с введенными обозначениями, задача функционального синтеза адаптивного регулятора формулируется следующим образом.

Задача 2.4. Задача функционального синтеза адаптивного регулятора. Для класса реализуемых (полных) объектов 5р найти функции и,(е1)1хр(4),() и определить классы систем 5„, (2.13), (2.14) такие, что для всех ер е £р-.

1) замыкание 5* системы 5Р с регулятором 50, 50 реализуемо (полно);

2) состояние хр(Ч) и выход ур(4) объекта 5р и регулятора ограничены;

3) оценки верхних границ ошибок восстановления значимой информации о состоянии и среде Зх, Зс

Зх[к,Т] = ||и*(ер,хр(г),4) - и0(ер,у0(«),<)|!£4![г(),т|; ^

= ПиЛер.уЛО.О - ив(ув(0,Уо(0.«)11£<.[«о,л и норм ||хр(0Нс,„,[(„,г]. 1|Ур(')1|£„р,[(„,г] могут быть получены как функции ер, е„, еа. Условия разрешимости этой задачи в разделе формулируются в теореме 2.6.

Теорема 2.6. Рассмотрим систему 5Р и положим, что

1) существует управление такое, что управляемая система <5Р удовлетворяет предположению 2.1;

2) существуют реализуемые (полные) системы 50 (2.13) и 5а (2.14), заданные операторами 50,т. Но,т и 5о,т< На,т соответственно;

3) нормы Зх\(о>Т} и ^[¿о, Т], определенные выражениями (2.15), ограничены

Зх < Дл. Л < Д./„-Тогда замкнутое соединение системы 5Р с регулятором 5С.'

<5с,т(УР, е„ ® е„) = 5а,г(уР, М0,г(уР, е„), е„) © 5„(ур, е„), ■Нс,т(Ур,еоФеа) = и0(И(,(ур,Н0(ур,е0),еа),'Н0(ур,е0),4) реализуемо (полно) для всех 6(1) 6 £¿[¿0,7]. Яри этом, если функция 1р,сф() ограничена по Т: 5ирт>(0 = Др(ер,еф!<1), то хр(4) ограничено:

Цхр(4)11«.,|1о,т] < АУ„,оо(ер. Др(ер,е^, ДЛ + ДЛ + ||ОДНс,,|10,я))-

В дополнение к условиям разрешимости задачи синтеза адаптивного управления на принципиальном уровне, теорема 2.6 формулирует принцип разделения в задаче синтеза управления в условиях неопределенности. В частности, этим принципом обосновывается возможность сведения решения задачи управления в условиях неопределенности к решению совокупности независимых подзадач:

1) синтеза управления u*(ep,xp(i),t), при наличии достоверной информации о состоянии хр и среде ер, трансформирующего объект Sv в систему, удовлетворяющую предположению 2.1;

2) синтеза системы наблюдения (наблюдателя) S0 состояния xp(i) по выходу yp(t), гарантирующей ограниченность нормы Jx[to,T\ для всех u* € U* при условии, что воздействия среды ер измеряются;

3) синтеза системы адаптации Sa к неконтролируемым возмущениям среды ер, гарантирующей ограниченность нормы Je\to,T\ для всех у„ е СУо.

Дополнительная информация о возможности описания замкнутой системы автономными дифференциальными уравнениями с локально Липшицевыми правыми частями позволяет, на основе результатов Биркгофа, получить оценки предельных множеств системы.

Отдельно в разделе рассматривается класс систем, характеристики "вход -выход" которых не обладают свойством равномерной по времени Т локальной ограниченности. В общем случае эта ситуация возникает в системах, где фазовый поток глобально не обладает свойством сжатия. Объекты подобного рода возникают в задачах синхронизации (Bischi G.-I., Stefanini L., Gardini, Ott E., Sommerer J.), задачах глобальной оптимизации (Horst R., Pardalos Р.); задачах идентификации и адаптации при наличии нелинейной параметризации [46]; проблемах маневрирования, навигации (Suemitsu Y., Nara S.) и принятия решений в интеллектуальных системах (van Leeuwen С., Raffone А., Brinkers М.).

Рассматриваются системы, представимые в виде замкнутого соединения равномерно-притягивающей относительно компактного множества Л, устойчивой подсистемы Sa с поисковой, в общем случае неустойчивой, частью Sw:

где /3(-,-) £ ICC, с > 0, 7о е /С«,^, j е £оо,е5, в предположении, что определены функции 7o,i : R+ —» R+ и 70,2 : К+ —» справедлива оценка то(а • Ь) < 7o,i(a) ■ 7о,2(Ь), а,6 e Е+. Для анализа подобных систем и их асимптотики по отношению к, вообще говоря, неустойчивым по Ляпунову инвариантным множествам, в работе используется понятие слабой аттрактивности (Milnor J., Ruelle, D.).

5Функция 7 € К о 7(0) = 0 и 7 монотонно возрастает, 7 е 1Соо,с ** 7 € /С в области положительных аргументов и неограниченно возрастает, /Э(а, Ь) e К.С /3(-,Ь) е К. и /?(а,-) монотонно убывает, ||х||^ = infq€j4{||x — q||}.

Sa ■ WOIU <0(I|X(ÎO)IU ,t~to)+ c|№(i))lloo,[to,i]>

sw : ['ъ(Ыт)\\А)с1т <h(z(to)) - k(z{t)) < [ 7o(||x(r)[U)dr. Jto Jto

to

(2.16)

Прежде всего формулируются условия существования точки xo®z0 такой, что ее ш-предельное множество и>(хо © zo) = uix(x0 © z0) Ф шг(хо © z0) ограничено в следующем смысле Цшх(хо Ф zo)||^ < оо, |Л(шг(хо © zo))| < оо. Затем показывается, что множество всех таких точек имеет ненулевой объем в К" х R"'. С этой целью вводятся три последовательности S = {crj}g0, 5 = Т = удовлетво-

ряющие следующим предположениям.

Предположение 2.2. Последовательность S монотонно, убывает и: {ovJSLo : lim «Тп = 0, сто = 1.

п—>оа

Предположение 2.3. Для заданных последовательностей S, Т и функции /?(•,•) € КС в (2.16) выполняются следующие неравенства: /3(-, 71) <&/?(•, 0), VTi>n.

Последовательность S разбивает интервал [0, /i(z0)], h(z0) > 0 в объединение сжимающихся интервалов //¡: [0, A(zo)] = Ug0#j, Щ = (очЛ(го),оч+1Л(го)]. а последовательности Ни Т определяют степень (j е Н сжатия фазового потока подсистемы Sa. В дополнение, вводятся системы функций Ф; и Т

/ </>j(s) = Ф]-1 t> p+jiti-j • ß{s,0))\ „. Г Vj(s) =4>j-iopvJ(s), l<j<i " l ¿oM =ß{3,0); - " \ uo« =/9(5,0),

где функции p^j, p„j e К удовлетворяют неравенству: ф^\(а + Ь) < рф^(а) + ф]-х о pVlj(b). При этом предполагается выполнение следующего ограничения.

Предположение 2.4. Последовательности

■ ^n'-AidlxolU), о-п1 • ^XVi(cl/!Oz°M<7"-i)j . " = 0.....ОО

ограничены сверху, т. е. существуют функции Bi(||xo||), Вг(1М2о)|, с): ^^^(llxoiy^ßidlxolU); ^'-^¿^МЛЫК-О^ <В2(|Л(го)|,с), n = 0,...,oo.

Условия возникновения слабых областей захвата даются теоремой 2.7 о малом контурном усилении для неравномерной сходимости.

Теорема 2.7. Рассмотрим замкнутое соединение (2.16) и предположим, что существуют последовательности S, 3 и Т, удовлетворяющие предположениям 2.2-2.4. В дополнение положим, что выполнены следующие условия:

1) существует положительное число До > 0 такое, что

>A„Vi = 0.1,...,oo;

П 70,1 (<т>)

2) множество Q-, всех точек хо, zo,' удовлетворяющих неравенству

70,2(ßl(||x0lU) + В2(№о)|,с) + ф(г0)|) < Л(г0)Д0

не пусто;

Рис. 2.1. Возникновение слабого притягивающего по Милнору множества П«,. Панель а - целевое инвариантное множество, панель Ь - возникновение слабой области захвата (теорема 2.7), панель с - трансформация слабой области захвата в область притяжения слабого притягивающего в множества fi«, (леммы 2.2, 2.3, следствие 2.2)

3) частичные суммы элементов последовательности X расходятся:

оо

Х> = оо. 1=0

Тогда для всех хо, zq 6 ГЦ состояние x(í,zo) © z(t, zo) системы (2.16) асимпто- • тически стремится к множеству

Па = {х е X, Z € Z\ ||х||^ < с • k(x0), z : h{x) е [0, /i(z0)]}.

В разделе показано (следствие 2.3), что для систем Sa с сепарабельной динамикой

l|x(t)IU ^ ll*(<o)IU-A(t-io) + c- ||M<t,zo))l¡oo,[to,í). и систем Sw: |7o(s)| ¿ Dyfl' И- условия возникновения области захвата, согласно теореме 2.7, редуцируются к условиям разрешимости неравенства

о. „ „c/V1 ( d "iV1""1 _^_

^ 7'0-V' \к-ш)) « ÄWlIxolU + AW-c-l^zoiKl+i^J+clMzo)! для некоторых произвольных d. < 1, к > 1. В частности, доказывается, что решения этого неравенства (если существуют) содержатся в области захвата целевого множества и в этом смысле являются ее оценкой.

Далее анализируются условия трансформации области захвата в область притяжения слабого Милноровского аттрактора. С этой целью вводится понятие статической характеристики "вход - состояние". Так, в частности, для системы Sa определена статическая характеристика "вход - состояние", х : R —> R+, по норме ||х||д, если для любой константы й„ выполняется предельное соотношение: V ««(i) € U* : lim ua{t) = üa =¡. lira ||x(t)¡|^ 6 x(ña). (2.17)

t—»oo t—*oo

Доказывается, что расположение притягивающих множеств системы полностью определяется нулями статической характеристики системы Sa. Формулировки этого свойства с учетом вариаций определения статических характеристик даются в леммах 2.2, 2.3 и следствии 2.2. Диаграмма, иллюстрирующая последовательность условий влекущих возникновение притягивающих множеств соединения (2.16) приведена на рис. 2.1.

Основные выводы по разделу, кратко, состоят в следующем. В разделе установлено, что поиск принципов макроорганизации систем с неопределенностью и неустойчивостью по Ляпунову целевой динамики требует описания и анализа систем, отображения "вход - выход" и "вход - состояние" которых не являются а priori непрерывными. С учетом этого формулируются задачи анализа соединений систем в классе локально-ограниченных операторов с использованием информации качественного характера о самой системе. Результатом анализа-являются целевые ограничения и желаемые свойства макроорганизации адаптивных систем. Для объектов с локально-ограниченными операторами эти свойства эквивалентны ограниченности по норме ошибок восстановления значимой для управления информации о состоянии объекта и среде (теоремы 2.5, 2.6). Отдельно рассмотрен класс систем с неравномерно локально-ограниченными операторами. В разделе показано, что для таких систем целевые ограничения могут быть сформулированы в терминах условий возникновения областей захвата и притягивающего множества в пространстве состояний (теорема 2.7). Это составляет второй, исследованный в работе принцип желаемой макроорганизации адаптивных систем.

В третьем разделе даются постановки и решения задач адаптивного управления нелинейными объектами в условиях неопределенности. Рассматриваются классы объектов управления, допускающие описание системами уравнений вида:

f Xl = fl(Х, t) + gl(x, t)li, /о ,>

X x2 = f2(x,0,t) + g2(x,i)u, • '

где Xj = (хц....,!!,)3, 6 R», X2 = (»21, -•■ ,X2p)T € Rp, X = (®u,... ,Xlq,X2i,...,X2p)T G R"; 0 s f!j £ M"1 - вектор неизвестных параметров, fi^ - замкнуто и ограничено, и б К - управляющий вход, х - вектор состояния. Функции

fj : Г ХЙ+-1 R«, f2 : R" х Rd х R+ -» Rp, gi : Rn x R+ R", g2 : PxRt-t Rp в модели (3.1) предполагаются локально ограничеными по х и глобально ограниченными по t. При этом их зависимость от времени ограничивается стандартными условиями существования решений системы (3.1).

В соответствии с аргументацией предыдущего раздела, а также в силу результатов работ (Малинецкий Г. Г., Колесников А. А.), [34, 33, 13], поведение сложных систем уместно рассматривать в терминах мажорирующих состояние отображений, естественный выбор которых, как правило, определяется самой задачей (Колесников А. А.), [35], С этой целью вводится в рассмотрение функция V>: R" х R+ —» R, \р е С1, удовлетворяющая следующему предположению

Предположение 3.1. Для функции ip(x,t) £ С1 справедлива оценка:

1|х(«11оо1|...п<7(хо.в.11^(*(0.011ов,|.вд1)> (32>

где -у (хо,9, ||^(х('),4)11оо,[(о,т|) ~ локально ограниченная неотрицательная функция своих аргументов.

Функция i>(x,t) мажорирует состояние системы (3.1) и поэтому близость к

множеству

"о = {x(i) € Rn|^(x(í),í) = 0} (3.3)

служит естественной оценкой качества поведения системы с неопределенностью. Кроме того, в отличие от общепринятых постановок, класс допустимых целевых множеств, удовлетворяющих предположению 3.1, оказывается существенно шире в силу отсутствия изначальной привязки к методу функций Ляпунова6. Рассматривается изменение i/>(х, t) вдоль решений системы (3.1):

Ф = £f(x,o,t) V>(x,t) + bg(x,t)^(x,0« + (3.4)

Классом допустимых управлений выбирается класс функций U*, такой что управления и SU* переводят систему (3.4) к виду

= /(xi, í) - /(х, d, t) - i) (3.5)

где / : Rn x Rd x R+ R, уз : R x R™ x М+ -+ R, е : R+ -» R - некоторые локально ограниченные по х, -ф, ш, в, в и глобально ограниченные по t функции. Для широкого класса систем (3.1), для которых существует (Lg(x()V>(x,t))_1, это обеспечивается выбором:

и(х, Ô,ы, t) = (¿g(x,()V(x. «)Г1 - - • (3 б)

g(x, t) = gl(x, í) © g2(x, t), f (x, в, t) = fi(x, í) Ф f2(x, в, t). Уравнения (3.5) при этом имеют смысл желаемой модели по ошибке.

Как вытекает из анализа существующих постановок задач адаптивного управления, приведенного в разделе 1, стандартным требованием является глобальная асимптотическая устойчивость по Ляпунову целевых движений, то есть системы (3.5) при в = в. В работах (Чижевский В. Н., Hindmarsh J., Raffone A., van Leeuwen С., Arecchi F. Т.), однако, показано, что это не всегда адекватно естественному целевому поведению сложных систем. С другой стороны, подавляющее большинство реальных процессов обладает свойством пассивности и диссипации энергии: конечная энергия на входе системы производит конечные отклонения по состоянию. В качестве энергии сигналов принято использовать их Li\ta,T\ нормы. "Входом" является сумма /(x(t),0,t) - /(x(t),é(í),¡) +e(í). Следовательно, устойчивость целевых движений естественно заменить более общим предположением:

Предположение 3.2. Рассмотрим систему:

^ = -¥>«>, и>, 0-к(0. (3.7)

где Ç : R+ —» M, а функция <p(ip,u>,t) идентична правой части (3.5) при в = в, e(t) = 0. Тогда, для любого ui е Г!ы для системы (3.7) определено отображение "вход-состояние" Lj[ío,oo] >-► ¿^[ío.oo] по входу Ç(t). Другими словами, существует функция 700,2-'

1И011оо,[(о,3'| S 700,2(^0,", llí(í)ll2,[io,rl). V <(f) 6 L\[t0,T\.

6Функции не обязательно должны быть знакоопределены по х.

Целевая динамика, удовлетворяющая предположению 3.2, в отличие от общепринятых ограничений может иметь неустойчивые по Ляпунову положения равновесия, орбиты и, в частности, быть хаотической (Guckenheimer J., Holmes P.)7.

Модели неопределенности /(х, 0, t) изначально ограничены лишь классом непрерывных функций. В разделе, однако, формулируется также и особый класс нели-нейностей, который содержит, с одной стороны, разумно широкий диапазон практически значимых физических эффектов, а, с другой стороны, существенно упрощает отыскание решений задачи адаптивного управления.

Предположение 3.3. Для заданной функции /(х, 0,t) в (3.5) существует такая функция а(х, i) : I" х R+ —> Rd, a(x,t) € С1, положительное число D > 0, что справедливы неравенства

(/(х, в, t) - /(х, 0, t))(a(x, t)T{0 - в)) > 0; |/(х, в, t) - /(х, в, t)| < Л |«(х, t)T{0 - в)\.

Физический смысл ограничений в предположении 3.3 состоит в том, что они позволяют оценивать нелинейно параметризованные и в общем случае неизвестные разности Дх,0, t) — /(х, 0,t) посредством линейно параметризованных функционалов Z>a(x,i)T(<? — в) с известными a(x, i). Примеры таких нелинейностей и соответствующие функции a(x, t) приведены в таблице 3.1.

В разделе показывается, что для задач, где требуется точная оценка значения неизвестных 0 полезно иметь оценки разности |/(x,0,i) — /(x,0,t)| снизу. Такая возможность определяется предположением 3.4.

Предположение 3.4. Для заданной функции f(x.,0,t) в (3.5) и функции oc(x,t), удовлетворяющих предположению 3.3, существует такое положительное число D\ > 0, что выполнено неравенство

|/(хД t) - /(х, 0, t)| > £>iHx,t)T(0 - в)|. В задачах оценки параметров эффективность алгоритмов оценивания часто зависит и от того, насколько "хороша" сама нелинейность /(х, в, t) и насколько предсказуем отклик системы (3.7) на ее малые и локальные измерения. Естественной мерой предсказуемости функций являются свойства локальной ограниченности и С^-гладкости. В работе качество функций f(x.,0,t) и 1р{ф,и>,{) характеризуется с помощью следующего набора свойств:

Д 1. Функция f(x,0,t) локально ограничена по х, в равномерно по t. Д 2. Функция f(x,0J) е С1, и производная ¿>/{х, 0, t)/dt локально ограничена по х, в равномерно по t.

Д 3. Для заданных ограниченных UT с Rn, U$ с Rd существует такое число Du„ue > 0, что для всех х е Ux и 0,0 е Ug выполняется предположение 3.4, причем D\ - DUl}Ua.

Д 4. Функции ip{ip,w,t) локально ограничены по ф, и> равномерно по t.

'Речь, безусловно, идет не об одномерных уравнениях (3.7), а о системе в целом, макропеременные которой удовлетворяют ограничению (3.7).

Таблица. 3.1. Примеры моделей нелинейных физических процессов

Физический смысл Математическая модель неопределенности /(х,0, t) Области допустимых параметров oi(x, i)

Трение "залипания" (Armstrong-Helouvry В.) 0OÍ-*!«! = e-*J«l+4<>o) х = (zi,x2) Д« > во, S1>0 х 6 К3

Трение между шиной и дорожным полотном (Canudas de Wit С.) Ksign(s2) j'Jpg O = в ^íC + (fs ~ Mc)e~ « ^ X= (X1,X2,X3) Fn,cra,ns, V-c > 0 - параметры PS> PC Дв > в > 0 > 0 х3 е (0,1)

Сила давления гидравлической эмульсии в демпферах подвески (Hitching К.) ¿(o+tf.íjí) X = (X],X2,X3) K0, Ap, P0, L > 0 - параметры Дв > в > 0 х3 > 0 Ар(х 1 - х2)

Нелинейности в модели Монода роста микроорганизмов (Boskovic J.) 11 *2 »IIS x = (xltx2) Дв > 00,01 > о Х],х2 > 0 XlX2(l,Xl)r xJx2(l,x2):r

фокальные возмущения в системах обработки визуальной информации (Lee Н.-С.) in t'-'cl+lí-jcl Eij-ie « r-ijit) rjj:R+-t K+, t,j',n e N ¿eje 6 N, 1 < ¿c, je < n Да > в > 0 lki¿(i)ll < Дг 1

С учетом рассмотренных ограничений на класс допустимых объектов, а также с учетом сформулированных в разд. 2 целевых ограничений в разделе формулируются обобщенные8 и частные9 задачи адаптивного управления. Задача 3,1. Для системы (3.1), (3.6), удовлетворяющей предположениям 3.13.3 и, возможно, 3.4, требуется найти закон адаптивного управления вида

ё = ё(х,г), (3.8)

обеспечивающий:

1) полноту замкнутой системы;

'Совокупность'требований самого общего характера, таких, как ограниченность состояний замкнутой системы, принадлежность ошибок к определенным функциональным пространствам, выполнение предельных целевых соотношений.

'Зависящие от дальнейшей спецификации желаемых свойств замкнутой системы.

2) ограниченность по, норме в I^io.oo] сигнала /(x(t),0,i) — /(x,0(t),t): /(x(t),0,t) - /(x,0(t),t) € 4[«о,оо], ||/(x(«),0,i) - /<x.e{i).i)lk[i..»| < 00 <3-9)

для любых xo € R" и б e ft«;

3) асимптотическую компенсацию влияния неопределенности модели на целевую динамику:

lim /(x(i), 0,t) — /(х, e(t),t) — 0. (3.10)

t—4M

Решение задачи 3.1, свойство (3.9), гарантирует ограниченность решений без требования устойчивости целевой динамики по Ляпунову и позволяет оценить близость к целевому множеству (3.3) при доступности оценок верхней границы нормы l|/(x(t),e, t)—Дх,ö(t),i)[|2,[to,ooi- Выполнение (3.10), в свою очередь, гарантирует точную асимптотическую компенсацию влияния моделируемых возмущений.

Факт разрешимости задачи 3.1 мотивирует вопрос об асимптотическом поведении состояния замкнутой системы. В частности, проблему перемещения состояния системы не просто в окрестность множества (3.3), а, в пределе, на желаемое инвариантное множество. Формально это составляет задачу 3i2.

Задача 3.2. Пусть задана система (3.1) и По - ее нетривиальное инвариантное множество при 0 = 0 (не совпадает с пространством R"). Требуется найти закон управления

u = u(x,0,t), e = e(x,i). (3.11)

гарантирующий, что состояние x(i) системы (3.1) с управлением (3.11) асимптотически приближается к множеству По для любых 0 €

Задачи 3.1 и 3.2 в своей постановке в явном виде не предполагают ни возможности декомпозиции системы (3.1) на совокупность взаимодействующих подсистем ни, наоборот, возможность объединения автономно управляемых систем в единое целое. С другой стороны, принципиальная возможность разделения задачи адаптивного регулирования сложной системой на совокупность подзадач меньшей размерности позволила бы существенно упростить процедуры синтеза и анализа. Таким образом, имеет смысл задача 3.3.

Задача 3.3. Рассмотрим соединение пары (не обязательно идентичных) систем Si и S2 вида (3.1), (3.6) с алгоритмами адаптивного управления (3.8), гарантирующими решение задачи 3.1 для каждой из подсистем:

1. НаЙТИ УСЛОВИЯ, При КОТОрЫХ ДЛЯ ЛЮбЫХ 01 6 fitfii 02 6

1.1) соединение систем (3.8) полно;

1.2) состояние расширенной системы ограничено;

1.3) для каждой из подсистем выполняется соотношение (3.10). Рассмотрим соединение пары систем Si и V2, где V2 - полная система.

2. Найти условия, при которых

2.1) соединение систем полно;

2.2) состояние расширенной системы ограничено для любых 0 е Qg.

3. Найти условия разрешимости задач 1 и 2 для совокупности произвольного конечного числа подсистем в соединении.

В дополнение формулируются задачи управления, требующие оценки неизвестных параметров нелинейных моделей динамических систем.

Задача 3.4. Для системы (3.1), (3.6), удовлетворяющей предположениям 3.13.3 и 3.4, найти закон адаптивного управления вида (3.8), обеспечивающий:

1) полноту замкнутой системы;

2) выполнение предельного соотношения . ., .

11т 0(0 = 0 (3.12)

*оо ,

для любых хо е К" и 9 е П«. Кроме того, желательной является возможность оценить скорость сходимости оценок 0 к б.

Частные решения задачи 3.4 могут быть интерпретированы как алгоритмы адаптивного управления бифуркациями в тех случаях, когда выполнение равенства в = 0 влечет качественные изменения динамики системы. Допустимость нелинейной параметризации моделей автоматически отличает эту постановку от известных постановок задач адаптивного управления бифуркациями (Могеаи I,., во^ад Е!, Ефимов Д. В., Фрадков А. Л.).

Отдельно рассматривается вопрос о возможности получения асимптотических оценок параметров в для более широкого класса моделей неопределенностей, не ограниченных условиями предположений 3.3, 3.4. Ценой за подобное расширение может быть невозможность выполнения предельного соотношения (3.12) для всех хо е Е" и в е П«, Этот вопрос в диссертации выносится в отдельную задачу 3.5.

Задач'а 3.5. Для системы (3.1) определить управление и, алгоритм (3.8) и области Пх, П^ С Пв начальных условий таких, что состояние системы (3.1) ограничено и предельное соотношение (3.12) выполняется для всех хо 6 П^, О е Щ'.

Для решения поставленных задач в разделе предложен и обоснован новый метод синтеза адаптивных регуляторов - метод виртуального алгоритма адаптации. Суть метода состоит в том, что на первом этапе синтеза выбор алгоритмов адаптации проводится, исходя из предположений о доступности максимально полной информации об объекте, включая производные по времени состояния и неизвестные параметры. Обобщенная запись таких алгоритмов определяется в виде

Ь = '. (3.13)

Алгоритмы типа, (3.13) называются в работе виртуальными в силу их физической нереализуемосхи в форме (3.13) с учетом фактических ограничений задачи.

После того, как искомый класс законов адаптации (3.13), гарантирующий ре* шение исходной задачи установлен, решается задача реализации этих законов уже с учетом ограничений на недоступность сигналов ¿,х, 0 для непосредственного измерения. Для реализации законов (3.13) в форме, не требующей фактического

измерения сигналов ф,х,0, используется интегро-дифференциальная запись системы (3.13) или алгоритмы в конечной форме (Фрадков А. Л.), [24, 37]: в = г(0Р(х, <) + 0/(г)), г е г""1, г > о

(3.14)

Класс рассматриваемых виртуальных алгоритмов адаптации для решения задач 3.1-3.5 ограничивается следующим образом:

¿ = + "><)М*.+ вЛ)(0-Ь), ГеЕ^, Г>0, (3.15)

где 2(х,0,4) :Г хМ^хИ+ч К"**"*, <3(-) е С0. Этот выбор обусловлен, во-первых, тем, что фазовый поток, формируемый такими системами, потенциально инвариантен вдоль уравнений целевой динамики, при условии, что 2 = 0 или 0 — 0. Во-вторых, работоспособность алгоритмов (3.15), (3.13) в системах с нелинейно параметризованными /(х,0,1) и их робасткость доказывается в [6, 37, 29].

Для реализации алгоритмов (3.15) в интегро-дифференциальной или конечной форме (3.14) используется следующая система уравнений:

ё(х,4) = Г(ёр(х,<) + ШУ, 0р(х^)=-ф(х,1)а(х,Ц-Щх,1),

; „ (3.16)

Функция Щх,0,и(х,0,г),г): К" х Е4 х К х К+ -» К*1 в (3.16) задается в виде: ■ к(х,и(х,ё,г),г) = д^(х,г)/дг --Ф{х,г){да{х,г)/д^ - (^(х.^^аСх,^ - £Г1Ф(х,()) - (^(х,0Х-81а(х,г) - ¿е1ф(х,г))и(х,0, о, а функции Ф(х,4) : К" х —> К^, Ф(х, <) б С1 удовлетворяет предположению 3.5.

Предположение 3.5. Существует такая функция Ф(х,г), что для всех хе!" выполняется следующее равенство10:

(3.18)

ох2 ох 2

Свойства системы (3.1) с регулятором основного контура (3.6) и алгоритмом адаптации (3.16), (3.17), формулируются в теореме 3.1.

Теорема 3.1. Рассмотрим замкнутую систему (3.1), (3.5), (3.16), (3.17) и положим, что выполнены предположения 3.3, 3.4 и 3.5. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Пусть для заданных начальных условий х(<о), ¿/(¿о) и значений вектора 0 интервал [¿о, Г*] является (максимальным) интервалом времени, на котором определены решения замкнутой системы (3.1), (3.5), (3.16), (3.17). Тогда

||/(х(0,е,Ч -/МО.вф.ада.ьдч < В}{0,Ц,Г,\\ет2Мо.т-})\ ^((Мо.Г.ИОНг^д..]) - (§11* - $(4о)||Ь.) + §-Ш 112,Ко,г-];

- в{оц£- < ||др0) - ви?.. + щЫт^.т-у

10В работе рассматривается и более общий случай, когда правые части (3.18) не равны нулю.

В дополнение, если выполнены предположения 3.1 и 3.2, то

2) <Ях(4), 4) б со). *(«) е и

1Мх(«М)|| 7оо,2 (^(х0,40),ь.>, 0/(0, «о, Г, !|.?(<)[.12,[(0,ос!) + 1!е(0||2,|«о,оо]) !

3) кроме того, если выполняются свойства Д1, Д4 и для системы (3.7) определено передаточное отображение ¿|[^,оо] >-» ¿¿[40,оо], р > 1 по входу ((г) и выходу ф, то

б £2[*а. оо] П £.^[г0,оо1 => Шп^х^), 4) = 0.

Если, в дополнение, выполняется свойство Д2 и функции си(х, г), дф(х, ь)/дг локально ограничены по х равномерно по Ь, то

4) справедливо следующее предельное соотношение:

ит/(х(О,М)-/(х(О,0М,О = О. I—»оо

Теорема 3.1 формулирует достаточные условия разрешимости задачи 3.1. При этом дополнительным техническим условием является новое предположение 3.5, которое связывает возможность синтеза алгоритма адаптации в классе (3.15) со свойствами функций а(х,4). Эти функции, в свою очередь, зависят от свойств нелинейности /(х,£>,4).

В достаточно общем случае, когда а(х, 4) € С2, необходимые и достаточные условия существования функции Ф(х,4) вытекают из известной леммы Пуанкаре:

Так, например, если да(х 1 ©х2,4)/3хг = 0, то предположение 3.5 выполняется для произвольных ^(х,4) € С1. Если ^(х,4), а(х,4) зависят от единственного компонента вектора хг, например.ж2ь к € {0.....р}, то условие (3.19) также всегда

выполняется. Функция Ф(х, 4) в этом случае может быть вычислена аналитически:

В общем случае, когда <Нт{х2} > 1, проблема отыскания функции Ф(х, 4), удовлетворяющей условию (3.18) предположения 3.5 решается с помощью специальной процедуры вложения, предложенной и обоснованной автором в работах [38, 36] для классов систем. Идея, лежащая в основе этой процедуры, состоит во введении вспомогательной системы

¿ = ^(х,£,{), £еЕг, ^ = (3.20)

такой, что

/(х(4), в; 4) - /(х! (г) © Ьс(4) © х^(4), 6», 4) е Ь\ [40, оо],

причем сНт{Ь?} + сНт{х2} = р. Таким образом, уравнения модели по ошибке (3.5) принимают следующий вид:

ф = /(Х1 © ® х^, в, 4) - Дх1 © ф х'2, в, 4) -_<р(ф,ш, 4) + £¿(4), где £{(<) € ¿2^0.00] и с)1т{х2} = р — Н < р. В принципе, размерность вектора х^

таким офразом может быть уменьшена до единицы или нуля. Как только .это свойство выполнится, автоматически выполнится и условие (3.19), что влечет выполнение предположения 3.5.

, В разделе приводятся решения задачи вложения для широкого класса объектов (3.1), модель неопределенности f2(x,0,t) которых удовлетворяет ограничению

I|f2(x,0,i)|| <nrA/(V,t), где t) - вектор параметров, а Д/(x,t) — локально ограниченная по х функция (теоремы 3.2, 3.3). В дополнение, дается конструктивное доказательство построения вложения (3.2'0)) для систем (3.1) в ни>,чнетреуголь,чой форме (теорема 3.4). Эти результаты технически и практически дают основание считать алгоритмы (3.16), (3.17) приемлемым решением задачи 3.1 д.пя широкого класса систем (3.1).

Решения частных задач 3.2 и 3.3 в разделе основаны на использовании основной теоремы 3.1, а также теорем о вложение 3.2 - 3.4 J44, 38, 36]. Для решения задачи 3.2 строятся вложение (3.20) и управление и, не привносящие в систему иных инвариантных множеств, кроме уже имеющихся целевых По. Результат сформулирован в следствии 3.2 и теоремах 3.5, 3.6 и доказан с привлечением принципа инвариантности Ла -Салля.

Задача 3.3 решена для двух классов систем. П'ериый класс - эти системы вида f XI = fi(x) + gi(x)u;

\ х2 =f2(x,0)+z(x,q(i),i) + g2(x)t'., }ч(«о)==хо, где сигналы q(t) порождаются системой дифференциальных уравнений:

q = f„(x, q', i), q(to) = qo £

которая является полной на t е [io,oo) для всех х(г) е L£,[io,oo). Сигналы q(t) здесь играют роль немоделируемой динамики. Второй класс систем -• системы децентрализованного адаптивного управления, задается уравнениями

5 . / =fiW + g1(x)uI, _ Г у! =q1(>')+ Му)ъу,

1 ' I *2 = f2(x, вх) + 7j,(y, i) + S2(x)uXl ' y ' 1 У2 = q2(y, Qy) + 7x(x, t) + z2(y)uy, где функции ~/y : R™» xR+ -» Rn, 7JT: Rn- xR+ R"» задают .непрерывные, нел! шейные, нестационарные и в общем случае неизвестные связи меж'ду системами' Sx, их € R, иу e R - управляющие входы. Дл.ч решения задачи ^-3 в дополне.чие к. теореме 3.1 привлекаются теоремы о малом контурном усилении (Jiang Z.-P.). Результаты формулируются в теоремах 3.7 - 3.9.

Для решения задачи 3.4 используются понятил предельной невырюжденност и сигнала (Sastry S., Bodson М.): функция С : R+ -4 К1* предельно неоырожденна существуют такие числа 6 > 0 и L > 0, что для всех .t е М+ справедливо неравенство

/t+L

C{rK(r)Tdr > SI

и равномерной предельной невырожденности (Pantele.v F.., /-oria A., Teel А.).

Кроме того, для учета специфики нелинейной параметризации неопределенности по аналогии с (Cao С., Annaswamy A., Kojic А.) вводится понятие нелинейной предельной невырожденности:

функция /(x(í), 0,t) : Kn х Kd x R+ —> К нелинейно предельно невырождена по параметрам в е Q$ С Rd, если существует такое число L > 0 и функция в ■ R+ —»R+, ре К.Г)С°, что для всех t € R+, 61,82 6 йв выполняется неравенство:

3 t' е [t,t + L\ : |/(x(£'),0,,í') -/(x({'),02,Ol > eíll^i - *ill). (3.21)

Условия разрешимости задачи 3.4 приводятся в теореме 3.10. Теорема 3.10. Пусть система (ЗА), (3.5), (3.16), (3.17) удовлетворяет предположениям 3.1-3.3 и e{t) = 0. Пусть, в дополнение, выполняется предположение 3.5. Тогда x(f) 6 LJJto.oo], Ó(t) е ¿¿,[ío,oo]. Более того, если функции а(х, t) локально ограничены по х равномерно по t и выполнена хотя бы одна из следующих альтернатив:

1) функция a(x(¿),í) предельно невырождена и выполняется свойство ДЗ;

2) функция /(x(í), <М) нелинейно предельно невырождена (выполняется условие (3.21)) и удовлетворяет условиям Д1, Д2; функция <р(ф, ш, t) удовлетворяет условию Д4; функция дф(х, t)/dt локально ограничена по х равномерно по t, то имеет место предельное соотношение:

lim é(x(í),t) = в.

t—»00

Если выполнена альтернатива 1), оценки é(x(t),t) сходятся к в экспоненциально быстро. Кроме того, если функции a(x(t), t) равномерно предельно невырождены и выполняется предположение 3.4, то оценки сходятся равномерно11.

Для решения задачи 3.5 используется идея создания Ми^норовских аттракторов в пространстве состояния системы, в частности, применяются результаты теоремы 2.7 и следствий 2.2 - 2.3. Рассматриваются классы систем, которые могут быть преобразованы к следующему виду:

X = fo(x,í) + fт). в) -в) + е(0. (3.22)

где e(í) е Z.£[t0,oo], НеМЩ^] < Д£ - внешнее возмущение известной амплитуды Д£, а х е R™. Функции £ : R+ —♦ R4 - некоторые функции времени, которые, включают доступные для измерения функции состояния. Предполагается, что функция f(£(í),6) локально ограничена по 9 равномерно по l|f(í(<).0) - f(í(t).£>)ll á Dj\\e-e\\ + Д/ и значение параметров Af, D¡ е R+ известно. Функции fo(0 в (3.22) удовлетворяют следующему условию.

Предположение 3.6. Система

x = f0(x,t) + u(£)

полна, и, кроме того, для всех u(í): ИифИ«,,^] < Д„ + НиоМИ^,,^], Д„ € R+ существуют ограниченное множество Л, с > 0 и функция А : R+ —> ®+, удо-

"Скорость равномерной экспоненциальной сходимости оценивается и приводится в разд. 3.

, елетворяющие неравенству12:

ИхЮУ^, £ Я* - *»> + с1|ио(т)11оо,|«о,ф

где /З(-) : К+ —» Е+, Нт(_00/3(<) = 0 строго убывающая непрерывная функция.

Вводится вспомогательная система

А = 5(А), А(40) = А0 е ПЛ С К\ (3.23)

где ПА С К" ограничена и 5(А) локально Липшицева. Более того, Предположение 3.7. Система (3.23) устойчива по Пуассону в Пд:

V А' е ПА, 4' 6 Е+ => 34" > 4' : ||А(4", А') - А'|| < е, где е € М>о произвольно мало. Более того, траектория А(£, Ац) плотна в

УА'еПд, ееК>0=»Э4еН+: || А' - А(4, А0)|| < е. Предположения 3.6, 3.7 позволяют сформулировать следующий результат.

Следствие 3.3. Рассмотрим систему (3.22) и положим, что выполнены следующие условия

1) векторное поле ^(х,г) в (3.22) удовлетворяет Предположению 3.6;

2) существует и известна система (3.23), удовлетворяющая Предположению 3.7;

3) существует локально Липшицева функция

V : КА - К" : ||Ч(А') - 7,(А")|| < Д,||А' - А"|| такая, что множество г)(П\) плотно в О-в!

4) для системы (3.22) определена статическая характеристика по норме

1Иид(М). м = 2Д/ + А£ + г

относительно входа в, где 5 > 0 - некоторая (сколь угодно малая) константа. Рассмотрим следующее соединение систем: (3.22), (3.23):

X = Ь(х,«) + ГКИ',в)-£(«*), д) + е(«);- 0 = т,(А); А = 7 ||х(0П^,м, 5(А), (3.24)

где 7 > 0 удовлетворяет неравенству

для некоторых <1 е (0,1), к е (1,оо). Тогда для А(4о) = А0, некоторого 0' е Пв и всех х(4о) = хо 6 Е" справедливы следующие предельные соотношения: Шп ||х(01ил(д„ = 0, ЬпвЩ = в' € О,-

Дополнительно, факт нелинейной предельной невырожденности функции Г(£(4),0) позволяет определить области сходимости оценок 0(4).

Суммируя содержание раздела, следует отметить следующее. На основе полученных в разд. 2 принципов желаемой организации адаптивных систем дается

''^Символом А& обозначено множество А вместе с его Д-окрестностью.

новая постановка задачи адаптивного управления. Ее отличие от. известных заключается в использовании мажорирующих состояние, а не неопределенность отображений, целевой динамики в отличие от обычных целевых функционалов, допустимость нелинейной в т. ч. невыпуклой параметризации модели.

Для решения этой задачи введен и обоснован метод виртуального алгоритма адаптации. С использованием этого метода решаются общая и частные задачи адаптивного управления: регулирования к инвариантным множествам, адаптивного управления взаимосвязанными нелинейными системами, параметрической идентификации в замкнутом контуре систем с нелинейной параметризацией.

Задача управления и идентификации в системах с нелинейной параметризацией общего вида решается с привлечением второго принципа макроорганизации, полученного в разделе 2. Обеспечивается возникновение в расширенном пространстве состояний слабого аттрактора Милноровского типа. При этом гарантируется попадание изображающей точки в область притяжения аттрактора из заданной области начальных условий,

В четвертом разделе рассматривается задача адаптивного управления объектами, математическая модель неопределенности в которых представлена набором эмпирических данных. Анализ условий принципиальной возможности решения задач регулирования по выходу13 (Conant R. С., Ashby W. R., Francis В. А., Wonham W. М., Byrnes С. I., Priscoli F. D., Isidori A., Kang W.) показывает, однако, необходимость модели неопределенности для решения задачи адаптивного регулирования. Решение этого противоречия состоит в использовании моделей неопределенности, способных реализовать возмущения широкого класса, в частности, непрерывные функции f(x,9,t), f(£,0) состояния и параметров.

В качестве естественных механизмов воспроизведения непрерывных отображений выбираются универсальные аппроксиматоры функций многих переменных

(Cheney Е. W.), стандартная форма которых имеет вид ф(х,в) : «{

ф(х,в) = £ci&(x,0), a eR, fi: Rn х Rd —< К, (4.1)

¡=i

где х 6 М" - вектор измеряемого состояния объекта, в е - вектор известных, но недоступных для непосредственного измерения величин, &(х, в) - базисные функции. Анализ результатов о скорости сходимости аппроксимационного ряда в системах с ненастраиваемым базисом (Barron A. R.) приводит к выводу о неадекватности использования таких систем для приближения зависимостей с числом аргументов более 2, что оказывается запретительным результатом в контексте большинства задач адаптивного управления.

В качестве альтернативы рассматриваются системы аппроксимации функций

|33адача адаптивного управления может трактоваться как задача управления по выходу уже в силу того обстоятельства, что возмущение предполагается недоступным для непосредственного измерения.

а Ь с

Рис. 4.1. Типовые способы включения регрессора (4.2) в контур управления. Символами V, Л обозначены объект управления и алгоритм настройки базисных функций.

Рис. 4.2. Структура предлагаемого нейросетевого адаптивного регулятора, с настраиваемым базисом: "е

0(х, в) = ^cdTjfwf (хе в) + bi), а 6 R, bi е R, Wj е R"4"', ^ : R" х Rd —» R. (4.2) ¡=1

Для систем с настраиваемым базисом (4.2), лемма Джонса (Jones L. К.) гарантирует инкрементальную оценку скорости сходимости аппроксимационного ряда:

||f(x,e)-<«x,0)|ßn<O(l/n{) (4.3)

при условии, что система функций <т,(-) плотна в £,1|+''(0) и функции <г4(-) ограничены по норме в ,Z/2+<'(fi). Это с учетом работы (Hornik К.), где показано, что регрессоры вида (4.2) плотны в пространстве С(Г2) С £5+<1(П) при условии, что <г<(-) ограничены, непрерывны и не являются постоянными, дает основание выбрать модели неопределенности в виде настраиваемых регрессоров (4.2) с однородными функциями активации <Tj( ) = о-(-) - нейронных сетей прямого распространения.

В разделе дается анализ свойств нейросетевых систем в зависимости от способа включения модели (4.2) в контур адаптивного управления: с обучением в режиме off-line (рис. 4.1, а) [11, 5, 10, 39); с обучением в режиме off-line и рекуррентными обратными связями (рис. 4.1, Ь) [32, 27); нейросетевое управление с обучением в режиме on-line (рис. 4.1, с) [1, 8, 7, 9, 2, 5, 26, 11, 3, 16]. Показывается, что существующие схемы управления оказываются либо квазиадаптивными с настройкой вне темпа процессов управления, либо, будучи по сути адаптивными, недостаточно обоснованными из-за сложностей анализа качества, устойчивости, работоспособности и достижения целей управления.

Для устранения этих недостатков в разделе вводится альтернативное соединение (см. рис. 4.2), где роль регрессора (4.2) сводится к аппроксимации модели влияния неопределенности (dil>(x,t)/dx) f(x,в,t) = ¡^(х,г) на целевые дви-

жения в функции управления (3.6), а алгоритмы настройки в выбираются согласно теоремам 3.1-3.10 и следствию 3.3. Достоинством такой структуры является то, что она не требует подстройки базиса в режиме on-line, при этом свойство адаптивности обеспечивается за счет изменения вектора Ö(t) согласно алгоритмам, обоснованным в разд. 3. В силу того, что полученные алгоритмы адаптации не зависят от вида конкретной нелинейности из допустимого класса (см. теоремы 3.1-3.10) и в принципе допускают робастные реализации (например, с помощью стандартных способов регуляризации - зоны нечувствительности, шунтирование, управляемое отключение [30]), достаточно хорошая аппроксимация нелинейных характеристик объекта обеспечивает достижение цели управления.

При аппроксимации эмпирических зависимостей желательно обеспечить сохранение физически значимых свойств самих процессов. Так, от модели упругого взаимодействия естественно ожидать, что сила упругости ко-монотонна отклонению. Кроме того, для ряда алгоритмов раздела 3 требуется выполнение условий 3.3, 3.4, которые локально эквивалентны строгой монотонности /(х, 0,t) по а(х, t)T6. В разделе показывается возможность нейросетевой ко-монотонной аппроксимации и приводятся оценки сходимости ряда в зависимости от свойств функции /(x,0,t). Эти результаты формулируются в теореме 4.L

Задача оценки оптимальных параметров базиса регрессора ограничивается функциями

y(t) = £й/(<М + bi), Kent + h) = (l + е-(<"'+Ь))-1, (4-4)

i=l

где /(■) : Ii Ii - сигмоидные. a n,а,,Ьг и а — параметры. Требуется найти такие n,ai,bi и ен, что для некоторого е, заданной g(t) € С[0,Г] и для всех t е (0,Т) выполняется неравенство: |g(t) — j/(t)l £ £-

Автором анализируются существующие решения этой задачи как в рамках общей задачи глобальной оптимизации (Kirkpatrick S., Gelatt С., Vecchi М. Р., Hansen Е., Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э.), так и локальных градиентных схем [12, 22, 28, 40, 23]. В силу того, что простые в реализации методы локальной оптимизации не гарантируют получения оптимальных оценок в силу невыпуклости функции по параметрам, а методы глобальной оптимизации оказываются вычислительно трудоемкими, ставится задача поиска альтернативных решений исходной задачи.

В качестве альтернативы используются идеи эквивалентных преобразований проблем нелинейной оптимизации в задачи оценки параметров систем дифференциальных уравнений (Ampazis N.. Perntonis S. J., Taylor J. G.), [14, 15, 26, 25, 47]. Формальная постановка задачи дается следующим образом:

1) найти преобразование исходного нелинейно параметризованного отображе-

ния (4.4) в систему нелинейных дифференциальных уравнений вида:

x = ¿€i,i(xta + ¿6¿WA. !/(*) = Стх, (4.5)

¡=1 i=l

где х е Я", а = (а,.....ап)Г,/3 = (ft,... ,рп)т е Я", функции ÍM : Я" — Я",

Í2,< : -» Л" непрерывны и С б Я"14;

2) для класса систем (4.5) найти процедуры оценки параметров а, 0.

Решение задачи 1) приводится в классе логистических дифференциальных уравнений:

ii = QiXi(l - ftxi); ••• = ■■•; i„ = а„2„(1 - /ЗпХ„); t/(x) = Crx, хДО) = Д;, (4.6) где х = (ii,...,х„)т е Я" - вектор состояния, q¿ € Я - параметры системы (4.6), у - функция выхода или измерения состояния, С = (ci.-.-.c,,)7 6 Я™ - вектор пара-• метров функции у, x¡(0) е Я - начальные условия. В частности, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между параметрами a¡, /3¡, c¡ и начальными условиями x¡(0) = Aj уравнений (4.6) и параметрами a¡,6j и c¡ суперпозиции (4.4). Таким образом, задача поиска нелинейных параметров статического отображения (4.4) сводится к задаче поиска линейных параметров системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.6). •

Решение задачи 2) в работе сводится к построению адаптивного наблюдателя для системы (4.6), позволяющего оценивать параметры a¿, ft, c¿, а также степень качества самой оценки. Конкретные уравнения наблюдателя и область сходимости оценок параметров а, /? формулируются в теореме 4.3.

В пятом разделе приводятся примеры использования теоретических положений диссертационной работы для решения прикладных задач управления и идентификации, имеющих общие особенности: недостаток измерительной информации об объекте, нелинейно параметризованные модели неопределенности и нелинейность естественных для системы режимов функционирования.

В параграфе 5.1 рассматривается задача управления динамикой автомобиля в . режиме разгона / торможения. Для эффективного торможения требуется удержание проскальзывания в окрестности значений, соответствующих максимальному коэффициенту сцепления. Сложность задачи заключается в том, что физически обоснованная и экспериментально проверенная модель коэффициента сцепления (Deur J., Canudas de Wit С.) оказывается нелинейной функцией по параметру, задающему тип покрытия. На основе результатов разд. 3 синтезируется закон адаптивного управления проскальзыванием и доказывается экспоненциальная сходимость оценок параметра покрытия к действительным значениям в области допустимых состояний системы. Это позволяет использовать полученные оценки для вычисления оптимального проскальзывания в темпе управления [45]. Приводится синтез нейросетевого регулятора, где коэффициент сцепления аппроксимируется

"Отметим, что размерность векторов а и /3 не обязательно должна совпадать с размерностью векторов а и Ь соответственно.

двухслойной сетью и доказывается работоспособность такой системы. Демонстрируется эффективность полученного управления в сравнение с применяемым типовым регулятором.

В параграфе 5.2 рассматривается задача идентификации моделей электрической активности клеток по измерениям мембранного потенциала. Проблема состоит в том, что уже минимальные типовые модели мембранного потенциала (Hindmarsh J., Rose R. А.) не приводятся к форме адаптивного наблюдателя. Проводится анализ минимальной типовой модели (Hindmarsh J., Rose R. А.) и с использованием экспериментально полученных данных показывается возможность ее редукции к системе меньшей размерности с нелинейной параметризаций неопределенности, удовлетворяющей условиям применимости следствия 3.3. С использованием этого результата для редуцированной системы строится наблюдатель состояния и параметров и доказывается его работоспособность. Эффективность процедуры оценки подтверждается вычислительными и натурными экспериментами.

В параграфе 5.3 рассматривается задача адаптивного сравнения шаблонов в системах обработки визуальной информации. Обосновывается решение этой задачи на основе временного представления информации (см. также Optical L. М., Richmond В. J., McClurkin J. W., Hopfield J. J.). Показано, что идеальная система обработки визуальной информации должна быть неустойчивой и мультиста-бильной - с целью обеспечения высокой чувствительности к малым изменениям объекта, а с другой стороны, должна обеспечивать инвариантность сравнения к типовым пространственным возмущениям.

Для настройки системы в критические режимы анализируются области устойчивой синхронизации детекторов совпадений [42, 43, 31, 41]. Требования инвариантности к возмущениям - фокальным и интенсивности - приводит к необхдимо-сти использования настраиваемых нелинейно параметризованных фильтров (Lee Н.-С.). Синтезируются и исследуются альтернативные процедуры настройки параметров этих фильтров. Демонстрируется возможность использования системы в актуальной задаче отслеживания морфологических изменений дендритных спай-нов по измерениям с фотонного микроскопа, что подтверждается результатами тестирования на реальных данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации приводится теоретическое обобщение и решение крупной научной проблемы, заключающейся в разработке й исследовании концептуальных, математических и методических положений, в совокупности составляющих теорию и методы адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с применением искусственных нейронных сетей. Полученные результаты являются теоретической базой для решения актуальных проблем адаптивного управления с гарантированным качеством объектами с неустойчивой целевой динамикой,

нелинейной параметризацией и неполнотой информации о математической модели процессов, для идентификации при недостатке измерительной информации, системного анализа и обработки экспериментальных данных. В их числе:

1) Разработан математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов их соединений в терминах свойств эмпирически проверяемых отображений "вход-выход" и "вход-состояние", позволяющий формулировать условия реализуемости, полноты, ограниченности состояния и достижения целевых множеств для систем, состоящих из последовательных, параллельных и замкнутых соединений нелинейных объектов в условиях неопределенности информации о математических моделях объекта. .

2) Сформулированы принципы макробрганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами в терминах их свойств "вход-выход" и "вход-состояние". Предложенные принципы и ограничения не требуют вычисления функций Ляпунова для целевых движений расширенной системы и допускают неопределенность модели объекта с точностью до динамики макропеременных.

3) Разработан метод синтеза законов адаптивного управления на основе виртуального алгоритма адаптации, позволяющий систематически синтезировать классы законов и алгоритмов адаптивного управления, реализующие желаемые принципы макрорганизации и целевые ограничения.

4) Разработан метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций Липшицевых по неизвестным параметрам функции. Метод не требует точного знания целевой динамики объекта, приведения уравнений модели объекта к каноническим формам адаптивного наблюдателя и демпфирования неопределенности отрицательными обратными связями с высокими коэффициентами контурного усиления.

5) Получен комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления, не требующий знания функций Ляпунова для целевых движений и допускающий нелинейную параметризацию в классе монотонных по заданному функционалу моделей неопределенности, а также неполноту информации о целевых множествах.

6) Предложен и обоснован подход к реализации алгоритмов адаптивного управления с применением многослойных нейронных сетей, снимающий, во-первых, проблему устойчивости в задаче построения нейроконтроллеров и, во-вторых, снижает требования к вычислительной мощности аппаратной реализации таких систем.

7) Разработан метод настройки нелинейно параметризованных базисов класса систем аппроксимирующих функций, позволяющий оценивать оптимальные параметры базиса с помощью стандартных, в т.ч. градиентных методов теории адаптивного управления.

Основные публикации по теме диссертации

1. Алгоритмы управления и обучения в интеллектуальных системах с многослойными нейронными сетями / В. А. Терехов, В. Б. Яковлев, Д. В. Ефимов, И. Ю. Тюкин // Труды 2-го международного симпозиума INTELS'96. — Т. 1. — С-Пб.: 1996. — С. 1014.

2. Ефимов Д. В., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Синергетический подход к синтезу систем управления с использованием многослойных нейронных сетей // Известия СП6ГЭТУ *ЛЭТИ»,- 1998,- № 520,- С. 3-25.

3. Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Алгоритмы настройки многослойных нейросетей в системах управления // Труды 2-й конференции «Навигация и управление движением». - С-Пб., СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор»: 2000,- С. 121-130.

4. Захаренкова Т. А., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Алгоритмы обучения многослойных нейронных сетей в задачах управления // Нейрокомпьютеры и их применение (НКП)-2000. - Т. 2. - М.: 2000. - 16-18 февраля.

5. Нейросетевые системы управления / В. А. Терехов, Д. В. Ефимов, И. Ю. Тюкин, В. А. Антонов. — С-Пб.: Санкт-Петербургский Государственный Университет, 1999.- 266 с.

6. Прохоров Д. В., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Об условиях применимости алгоритмов адаптивного управления в невыпуклых задачах // Автоматика и Телемаханика. — 2002,-№ 2,-С. 101-118.

7. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Адаптивная система управления с нейронной сетью // Известия СП6ГЭТУ *ЛЭТИ». — 1996. — № 490. — С. 32-35.

8. Терехов В. А., Ефимов Д. В.. Тюкин И. Ю. Адаптивные системы управления с использованием многослойных нейронных сетей (МНС) // Известия СПбГЭТУ *ЛЭТИ». - 1996. - № 498. - С. 36-56.

9. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Структурный синтез адаптивных систем управления с многослойными нейронными сетями // Известия СПбГЭТУ *ЛЭТИ>. - 1997. - № 510. - С. 3-13.

10. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Синергетический синтез нейросетевых регуляторов // В кн. «Современная прикладная теория управления: Новые классы регуляторов технических систем. Часть III» / Под ред. А. А. Красовского. — Колл. авт. Таганрог: Изд.-во ТРТУ, 2000. — С. 539-588.

11. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления // Нейрокомпьютеры и их применение / Под ред. В. И. Галушкина. — М.: ИПРЖР, 2002.- Т. 8.-480 с.

12. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Адаптивный алгоритм обучения многослойных нейронных сетей // Труды международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети». — С-Пб.: 1998. — С. 62-64.

13. Терехов В. А., Тюкин И. Ю, Адаптивное управление на многообразиях // Труды 6-го международного симпозиума (SPAS'99).- Т. 2,— С-Пб.: 1999. — С. 157-160.

14. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения многослойной нейронной сети. Часть I // Автоматика и Телемеханика. — 1999. — № 10, —С. 145-161.

15. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения многослойной нейронной сети. Часть II // Автоматика и Телемеханика. — 1999. — № П.- С. Д36-144.

16. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления: проблемы теории и практики // Труды 2-й конференции «Навигация и управление движением». — С-Пб., СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор»: 2000,- С. 97-121.

17. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Адаптивные системы управления: проблемы и тенденции И Сб. докл. Всеросс. науч. конф. «Управление и информационные технологии (УИТ'2003)», Санкт-Петербург. - Т. 1. - М.: ИСПО - Сервис, 2003. — С. 145-154.

18. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Эволюция и проблемы теории адаптивных систем управления. Часть I // Мехатроника, автоматизация, управление, — 2003,— № 6. — С. 9-18.

19. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Эволюция и проблемы' теории адаптивных систем управления. Часть II // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2003. — № 7. - С. 3-9.

20. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Эволюция проблемы адаптивного управления // Сер. «Информатика, управление и компьютерные технологии» / Известия СПбГЭТУ *ЛЭТИ- 2003. - № 1,- С. 121-144.

21. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Синтез адаптивных нейросетевых регуляторов нелинейных динамических объектов // В сб. «Стохастическая оптимизация в информатике» / Под ред. О. Н. Граничина. — Санкт-Петербургский Государственный Университет. 2005. — С. 222-256.

22. Терехов В. А., Яковлев В. Б., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения многослойных нейронных сетей методом функций Ляпунова // Труды 3-го международного симпозиума INTELS'98. — Псков: 1998. — С. 145-147.

23. Тюкин И. Ю. Устойчивость алгоритма обучения многослойных нейронных сетей прямого действия // Сер. *Управление, информатика и вычислительная техника» /Научно-технический сборник ТЭТУ. — 1998. — № 1. — С. 12-25.

24. Тюкин И. Ю. Алгоритмы адаптации в конечной форме для нелинейных динамических объектов // Автоматика и Телемаханика. — 2003,— Т. 64, № 6.— С. 114140.

25.. Тюкин И. Ю. Оценка параметров суперпозиции сигмоидных функций с помощью эквивалентных систем дифференциальных уравнений // Сб. докл. Всеросс. науч. конф. «Управление и информационные технологии (УИТ'2003)», Санкт-Петербург. — Т. 1. - М.: ИСПО - Сервис, 2003. - С. 274-278.

26. Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Устойчивость по Ляпунову процессов обучения многослойной нейронной сети в динамических системах управления // Сер. «Приборостроение* /Известия ВУЗов. — 1999. — № 9. — С. 9-17.

27. Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Нейросетевое решение задачи адаптивного управления для класса нелинейных динамических объектов с невыпуклой параметризацией // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2004,— № 7-8,— С. 4-16.

28. Dynamic algorithms of multilayered neural networks training in generalized training plant / D. V. Efimov, T. A. Zakharenkova, V. Terekhov, I. Y. Tyukin // Proc. of Int. ConF. on Artifical Neural Networks (ICANN'99). — Brest, Belarus: 1999. — Pp. 93-101.

29.' Efimov D. V., Tyukin I. Direct robust adaptive nonlinear control with derivatives estimation (рус. пер. - Прямое робастное адаптивное нелинейное управление с оцениванием производных) // Proc. of the 16-th IFAC World Congress. — Prague, Czech Republic, 2005. — 4 - 8 July.

30. On a problem of time-varying learning rate influence on the adaptive system dynamics / J. Y. Tyukin, C. van Leeuwen, D. Prokhorov, V. Terekhov // Proc. of 41st IEEE Conf. on Decision and Control. - Vol. 4. — Nevada, USA: 2002. - December. - Pp. 4718-4721.

31. Oud W., Tyukin I. Sufficient conditions for synchronization in an ensemble of Hind-marsh and Rose neurons: passivity-based approach (рус. пер. - Достаточные условия синхронизации в ансамбле моделей нейронов Хиндмарша-Роуза: подход пассивных систем) // Proc. of the 6-th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. — Shtut-gart, Germany: 2004. — 1 - 3 September.

32. Prokhorov D., Feltlkamp L., Tyukin I. Adaptive behavior with fixed weights in recurrent neural networks (рус. пер. - Адаптивное поведение рекуррентных нейронных сетей с фиксированными весами) // Proc. of IEEE Int. Joint Conf. on Neural Networks. — Hawaii, USA, 2002. - May. - Vol. 3.- Pp. 2018-2022.

33. Terekhov V. A., Tyukin I. Y. Adaptive control on manifolds in chaotical and oscillation systems // Proc. of 2nd Int. ConF. on Control of Oscillations and Chaos. — Vol. 1 — St-Petersburg. Russia: 2000.— Pp. 187-189.

34. Terekhov V. A., Tyukin /. Y., Prokhorov D. V. Adaptive control on manifolds using RBF neural networks Ц Proc. of 39-th IEEE Conf. on Decision and Control. — Vol. 4. — Sydney, Australia: 2000. - December. - Pp. 3831-3836.

35. Terekhov V. A., Tyukin I. Y., Prokhorov D. V. To a problem of aggregated macrovariables choice in aggregated controller analytical design framework // Proc. of 5-th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. — Saint-Petersburg, Russia: 2001. —July.

36. Tyukin I. Y., Prokhorov D. V. van Leeuwen C. Adaptive algorithms in finite form for nonconvex parameterized systems with low-triangular structure (рус. пер. - Алгоритмы в конечной форме для невыпукло параметризованных систем с нижне-треугольной структурой) Ц Proc. of IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 2004). — Yokohama, Japan: 2004.— 29 - 31 August.

37. Tyukin I. Y., Prokhorov D. V., Terekhov V. A. Adaptive control with nonconvex parameterization (рус. пер. - Адаптивное управление с нелинейной параметризацией) // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — Vol. 48, no. 4. — Pp. 554-567.

38. Tyukin I. Y., Prokhorov D. V., van Leeuwen C. Finite-form realization of the adaptive algorithms (рус. пер. - Реализация в конечной форме алгоритмов адаптации) // Proc. of 7-th European Control Conf. (ECC 2003). — University of Cambridge, UK: 2003. -1 - 4 September.

39. Tyukin I. Y., Terekhov V. A., Tyukina T. A. A modification of back propagation algorithm for a class of nonlinear dynamical plants // Proc. of 2-nd Int. Conf. on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI-2001). — Minsk, Belorussia: 2001,— September. — Pp. 40-44.

40. Tyukin /. Y„ Tyukina T. A. Penalty function approach to a training of neural networks in control systems // Proc. of 2-nd Int. Conf. on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI-2001). — Minsk, Belorussia: 2001. — September. — Pp. 56-59.

41. Tyukin I. Y., van Leeuwen C. Some problems related to the choice of coupling in a system of coupled maps // Proc. of 6th Int. Conf. on Knowledge-Based Intelligent Information and Engineering Systems.— Vol. 2,— Podere d'Ombriano, Crema. Italy:

2002.-September. - Pp. 917-921.

42. Tyukin I. Y.. van Leeuwen C. On the choice of coupling in a system of coupled maps: Structure implies features // Proc. of Physics and Control Conf. (PhysCon 2003). — Saint-Petersburg, Russia: 2003. - 20-22 August. - Pp. 555-562.

43. Tyukin I. Y.. van Leeuwen C. Pattern-dependent synchronization in a system of coupled maps 11 Proc. of Symposium on Nonlinear Science and Apllications (SNSA 2003). — Shanghai, China: 2003. — 9 - 13 November.

44. Tyukin I., Efimov D„ van Leeuwen C. Adaptive regulation to invariant sets (рус. пер. -Адаптивное регулирование к инвариантным множествам) // Proc. of the 16-th IFAC World Congress. — Prague, Czech Republic, 2005. — 4 - 8 July.

45. Tyukin I., Prokhorov D., van Leeuwen C. A new method for adaptive brake control (рус. пер. - Новый метод адаптивного управления торможением) // Proc. of Amer. Contr. Conf. — Portland, Oregon, 2005.— 8 - 10 June. — Pp. 2194-2199.

46. Tyukin /., van Leeuwen C. Adaptation and nonlinear parameterization: Nonlinear dynamics prospective (рус. пер. - Адаптация и нелинейная параметризация: возможности нелинейной динамики) // Proc. of the 16-th IFAC World Congress. — Prague, Czech Republic: 2005. - 4 - 8 July.

47. Tyukin [.. van Leeuwen C., Prokhorov D. Parameter estimation of sigmoid superpositions: Dynamical system approach (рус. пер. - Оценка параметров суперпозиций сигмоидных функций: подход динамических систем) // Neural Computation.—

2003. - Vol. 15, no. 10. - Pp. 2419-2455.

Подписано в печать 15.03.06. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 10.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

Основные обозначения и сокращения

Введение

1. Проблемы адаптации в управляемых нелинейных детерминированных системах

1.1 Логические постановки проблемы адаптивного управления.

1.1.1 Поисковый принцип адаптации и экстремальные системы.

1.1.2 Беспоисковый принцип адаптации.

1.2 Математические постановки задачи адаптивного управления

1.3 Методы синтеза адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами.

1.3.1 Системы с линейной и выпуклой параметризацией.

1.3.2 Системы с невыпуклой параметризацией.

1.3.3 Метод аналитического синтеза агрегированных адаптивных регуляторов и принцип инвариантного погружения.

1.4 Проблемы адаптивного управления нелинейными объектами.

1.5 Новый подход к решению проблемы адаптации в нелинейных системах и постановка задач диссертации.

2. Функциональный анализ динамических систем

2.1 Операторное описание динамических систем.

2.2 Свойства операторов устойчивых систем.

2.3 Постановка задачи функционального анализа и регулирования неравновесных, открытых и неустойчивых систем.

2.4 Анализ и синтез систем с локально ограниченными операторами.

2.4.1 Анализ реализуемости соединений систем с локально ограниченными операторами

2.4.2 Задача функционального синтеза адаптивного регулятора. Принцип

разделения.

2.5 Анализ асимптотического поведения систем с локально ограниченными операторами

2.6 Анализ асимптотического поведения неустойчивых систем.

2.6.1 Теорема о малом контурном усилении для неравномерной сходимости

2.6.2 Характеризация притягивающего множества по Милнору.

2.6.3 Системы с сепарабельной динамикой.

2.7 Выводы по разделу

3. Задачи адаптивного управления для некоторых классов математических моделей объектов и внешней среды

3.1 Постановка задачи адаптивного управления в условиях функциональной неопределенности и нелинейной параметризации

3.2 Синтез прямого адаптивного управления нелинейными динамическими объектами

3.2.1 Метод виртуального алгоритма адаптации. Достаточные условия реализуемости

3.2.2 Задача вложения. Достаточные условия разрешимости.

3.2.3 Задача прямого адаптивного управления классом объектов с моделями в нижнетреугольной форме.

3.3 Задача адаптивного регулирования к инвариантным множествам.

3.3.1 Объекты с параметрической неопределенностью и нелинейной параметризацией

3.3.2 Объекты с сигнальными возмущениями и линейной параметризацией

3.4 Задача адаптивного управления взаимосвязанными нелинейными системами

3.4.1 Системы с немоделируемой динамикой.

3.4.2 Функциональная нормализация немоделируемых возмущений

3.4.3 Децентрализованное адаптивное управление.

3.5 Задача параметрической идентификации объектов с нелинейно параметризованными моделями одного класса.

3.6 Задача недоминирующего управления объектами с нелинейной параметризацией общего вида.

3.7 Выводы по разделу

4. Применение искусственных нейронных сетей в задачах адаптивного управления

4.1 Задача адаптивного управления объектами с неопределенной физической моделью возмущений.

4.2 Задача ко-монотонной нейросетевой аппроксимации функций.

4.3 Задача синтеза алгоритмов настройки параметров.

4.3.1 Формальная постановка задачи

4.3.2 Аппроксимация функций с помощью логистических уравнений

4.3.3 Синтез алгоритмов оценки параметров систем логистических уравнений

4.4 Выводы по разделу

5. Решения прикладных задач адаптивного управления и идентификации нелинейных динамических систем

5.1 Задача управления динамикой автомобиля в режиме разгона / торможения в условиях неопределенности качества дорожного покрытия.

5.1.1 Система прямого адаптивного управления.

5.1.2 Результаты моделирования.

5.2 Задача идентификации моделей электрической активности клеток нервной системы по измерениям мембранного потенциала.

5.2.1 Формальная постановка задачи

5.2.2 Анализ модели.

5.2.3 Синтез алгоритма идентификации.

5.3 Задача адаптивного сравнения шаблонов в системах обработки визуальной информации.

5.3.1 Постановка задачи.

5.3.2 Условия синхронизации осцилляторов-детекторов совпадений

5.3.3 Синтез подсистемы адаптивной фильтрации оптических возмущений

5.3.4 Результаты экспериментальной апробации системы.

5.4 Выводы по разделу

С момента публикации первых работ по адаптивным системам в первой половине 20 века до настоящего дня приспосабливающиеся системы или системы с адаптацией эволюционировали от сравнительно простых экстремальных систем управления линейными объектами до адаптивных регуляторов линейных объектов, порядок математической модели которых существенно превосходит порядок математической модели объекта. В подавляющем большинстве практических приложений теория адаптивных систем управления и идентификации, как совокупность общесистемных положений и методов, используется для решения стандартных задач регулирования хорошо изученных и исследованных, зачастую устойчивых по Ляпунову объектов. Однако потенциальная роль этих теорий, по меньшей мере на этапе их возникновения, представлялась значительно шире.

В естественных науках, таких, как физика, химия или биология, понимание механизмов и самих принципов адаптации, "приспособления" на сегодняшний день является одной из наиболее актуальных проблем [299]. Именно в этих областях знаний применение методов адаптации и управления наиболее перспективно для анализа явлений, не поддающихся анализу на языке "родной" науки. Хорошим примером может служить применение кибернетических методов в физике [85]. Не менее актуален адаптивный подход при проектировании систем управления функционально сложными техническими объектами и технологическими процессами в условиях неконтролируемых изменений собственных свойств и свойств внешней среды. В то же время применение "классических" методов оказывается в значительной мере затруднительным или малоэффективным [67, 68, 69]. Причиной тому является то, что условия применимости классических методов в рамках существующей теории требуют точного знания уравнений математической модели объекта, линейности по неизвестным параметрам, устойчивости по Ляпунову целевых движений и, более того, известности функции Ляпунова (зачастую со знакоопределенной производной по времени) для целевых движений [291, 253, 218, 231, 156, 186, 38]. Каждое из этих требований в отдельности ограничивает роль существующей теории адаптивных систем в приложении к актуальным проблемам естественных наук; в совокупности они представляют собой "стандартный" подход, который оказывается ограниченным даже для решения типовых задач управления техническими объектами.

Таким образом, тема диссертационной работы - разработка теории и методов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с применением искусственных нейронных сетей в развитие известных "стандартных" методов теории адаптивных систем является актуальной.

Основные цели работы

Целью диссертационной работы является построение теории и методов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами:

- с потенциально неустойчивой по Ляпунову и неравновесной целевой динамикой;

- при условии потенциальной невозможности задания целевых множеств в явном виде;

- с использованием минимальной, качественной информации об объекте, а также в условиях недоступности информации о точных математических моделях объекта;

- с использованием моделей неопределенностей, максимально адекватных физической сущности процессов и явлений в самом объекте;

- с возможностью реализации механизмов управления в типовых и однородных структурах типа искусственных нейронных сетей прямого действия.

Необходимыми компонентами такой теории адаптивного управления являются: 1) аппарат анализа свойств нелинейных систем, который не требует точного знания математических моделей исследуемых объектов и не зависит от того, устойчив ли объект по Ляпунову; 2) принципы и методы адаптации к неконтролируемым, неизмеряемым возмущениям и неопределенностям среды и модели объекта, использующие лишь их общесистемные, фундаментальные свойства; 3) поиск, анализ и синтез структур реализации алгоритмов нелинейного управления, адаптации и идентификации. В соответствии с этим, для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:

1) Разработка и обоснование математического аппарата, позволяющего анализировать реализуемость, полноту и ограниченность состояния объектов и их соединений на основе моделей в виде отображений "вход-выход" и "вход-состояние" в предположении, что эти отображения известны лишь с точностью до мажорирующих. Результатом использования этого аппарата анализа должны быть формулировки желаемых принципов макроорганизации адаптивных систем и целевых ограничений, реализация которых не требует a priori устойчивости по Ляпунову целевых движений, знания целевых множеств в явном виде, а также полной определенности математической модели управляемого объекта.

2) Разработка и обоснование метода реализации полученных принципов и целевых ограничений для классов моделей нелинейных динамических объектов в виде частично известных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Результатом применения этого метода при решении задач синтеза систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами является комплекс методов решений типовых задач адаптивного управления. Для возможности использования в процессе управления адекватных, нелинейных физических моделей, методы должны допускать нелинейную параметризацию моделей неопределенности в широком и практически значимом классе функций.

3) Разработка подхода к синтезу типовых структур адаптивных систем управления на основе искусственных нейронных сетей, включая решения задачи выбора подходящей архитектуры сетей и разработки методов настройки параметров полученного класса регуляторов.

Объектами исследования в работе являются нелинейные динамические системы и их соединения, представимые в виде локально ограниченных отображений, систем дифференциальных уравнений, системы аппроксимации функций с настраиваемым базисом.

Предмет исследования - свойства реализуемости, полноты, ограниченности состояния адаптивных систем управления, условия достижения целевых множеств и их окрестностей, законы адаптивного управления, процедуры оценки неизвестных параметров нелинейных отображений, качество переходных процессов при условии неполноты информации об объекте и в условиях параметрических, сигнальных и функциональных возмущений.

Основные положения, выносимые на защиту

Результатами, выносимыми на защиту являются:

1) Математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов их соединений в терминах отображений "вход-выход" и "вход-состояние".

2) Принципы макроорганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами.

3) Метод синтеза законов адаптивного управления нелинейными динамическими объектами на основе виртуального алгоритма адаптации.

4) Метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления нелинейными динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций, удовлетворяющих условию Липшица по неизвестному параметру.

5) Комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления: задачи прямого адаптивного управления, задачи адаптивного регулирования к инвариантным множествам, децентрализованное адаптивное управление, адаптивное управление с идентификацией параметров неопределенности.

6) Подход к реализации алгоритмов адаптивного управления нелинейными объектами с применением многослойных нейронных сетей в качестве универсального устройства однородной и типовой структуры.

7) Метод оценки оптимальных параметров базиса для класса систем аппроксимирующих функций с нелинейно параметризованными базисными функциями в многослойных нейросетях.

Научная новизна и практическая ценность работы

Новые научные результаты работы состоит в следующем:

1) Математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов их соединений в терминах свойств эмпирически проверяемых отображений "вход-выход" и "вход-состояние" позволяет формулировать условия реализуемости, полноты, ограниченности состояния и достижения целевых множеств для систем, состоящих из последовательных, параллельных и замкнутых соединений нелинейных объектов в условиях неопределенности информации о математических моделях объекта. В отличие от известных методов класс допустимых моделей объектов расширен до локально-ограниченных операторов в функциональных пространствах, известных с точностью до оценок норм их мажорирующих отображений.

2) Принципы макроорганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами формулируются в терминах свойств систем как отображений в функциональных пространствах и позволяют гарантировать желаемое поведение объекта при возможном сохранении его исходных и потенциально полезных нелинейных особенностей типа мета- и мультистабильности, неустойчивости по Ляпунову, бифуркаций, неравновесности, перемежаемости. Предложенные принципы и ограничения в отличие от известных не требуют вычисления функций Ляпунова для целевых движений расширенной системы и допускают неопределенность модели объекта с точностью до динамики макропеременных.

3) Метод синтеза законов адаптивного управления на основе виртуального алгоритма адаптации, отличается от известных возможностью систематически синтезировать классы законов и алгоритмов адаптивного управления, реализующие желаемые принципы макрорганизации и целевые ограничения в виде ограничений на свойства регулятора в функциональных нормированных пространствах для нелинейных динамических объектов с моделями в классе нелинейных дифференциальных уравнений.

4) Метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления нелинейными динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций, удовлетворяющих условию Липшица по неизвестному параметру отличается от известных тем, что условия его применимости не требуют линейной параметризации неопределенности, точного знания целевой динамики объекта, приведения уравнений модели объекта к каноническим формам адаптивного наблюдателя, мажорирования неопределенности отрицательными обратными связями с высокими коэффициентами контурного усиления.

5) Комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления, отличающихся от известных тем, что условия их применимости не требуют знания функций Ляпунова для целевых движений, допускают нелинейную параметризацию моделей неопределенности, а также неполноту информации о целевых множествах;

6) Подход к реализации алгоритмов адаптивного управления нелинейными объектами с применением многослойных нейронных сетей, позволяет, в отличие от известных, ре-ализовывать алгоритмы адаптивного управления в классе моделей неопределенности без привлечения рекуррентных обратных связей в структуре сети и настройки параметров базисных функций в реальном времени, что снимает, во-первых, проблемы устойчивости в задаче реализации нейроконтроллеров и, во-вторых, снижает требования к вычислительной мощности аппаратной реализации таких систем

7) Метод настройки базиса класса систем аппроксимирующих функций с нелинейно параметризованными базисными функциями в многослойных нейросетях, позволяет в отличие от известных методов глобальной оптимизации гарантированно и эффективно (в вычислительном плане) оценивать оптимальные параметры базиса с помощью стандартных в т.ч. градиентных методов теории адаптивного управления.

Практическая ценность работы состоит в возможности решения актуальных задач анализа (идентификации) физических явлений в условиях неопределенности (например, таких, как идентификация изменения свойств клеточных мембран и ионных токов под действием токсинов при условии измерений лишь мембранного потенциала), задач синтеза технических систем управления в условиях неопределенности и при условии нелинейной параметризации моделей, задач анализа и синтеза систем адаптивной обработки информации и распознавания с нелинейно параметризованными фильтрами и мультистабильной целевой динамикой для поиска альтернатив.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертационную работу были представлены на Всероссийской научно-технической конференции "Нейрокомпьютеры и их применение". Москва, 16-18 февраля 2000 (НКП-2000); II научно-технической конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 28-30 марта 2000 г. Санкт-Петербург. СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор"; Всероссийской научной конференции "Управление и информационные технологии", Санкт-Петербург, 2003 г.; международных конференциях и симпозиумах: 2-й международной конференции по управлению колебаниями и хаосом, июль 2000 г., г. Санкт-Петербург (2nd Int. Conf. "Control of Oscillations and Chaos". July 5-7, St. Petersburg, Russia, 2000 ); 5-м симпозиуме ИФАК "Нелинейные системы управления", г. Санкт-Петербург, 2001 г. (5th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems"(NOLCOS'01), St.-Petersburg, Russia, July 4-6, 2001); 2-й международной конференции по нейронным сетям и искусственному интеллекту, г. Минск, Беларусь, 2001 г. (2th Int. Conf. on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI'2001), Minsk); 6-ой Европейской конференции по управлению, 2003 г., в г. Кембридж, Великобритания (6-th European Control Conference, ECC'2003); симпозиуме ИФАК по адаптивным и обучающимся системам в управлении и обработке сигналов, 2004, Йокогама, Япония (IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, ALCOSP'2004); 6-м симпозиуме ИФАК по нелинейным системам, г. Штуттгарт, Германия, 2004 (6-th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems); IEEE конференциях по принятию решений и управлении, Сидней, Австралия, 2000 г., Невада, США, 2002 г. (39-th, 41-st IEEE Conferences on Decisions and Control); IEEE конференции по нейронным сетям, Гаваи, США, 2002 г. (IEEE Joint Conference on Neural Networks); Американской конференции по управлению, Портланд, США, 2005 г. (American Control Conference, АСС'2005)1; 16-ом конгрессе ИФАК по автоматическому управлению, г. Прага, Чехия, 2005 (16-th IFAC World Congress on Automatic Control).

Кроме того, результаты работы докладывались и обсуждались на городском семинаре по информационным системам, Санкт-Петербург, 2005, на регулярных семинарах Университетов Ньюкастла (University of New Castle upon the Tyne) и Сандерланда (University of Sunderland), Великобритания, 2005, а также на семинарах Технического Университета г. Эйндховена (Eindhoven Technical University), Нидерланды, 2005.

Представленные результаты по приложению излагаемого в диссертации метода к задачам экстремального торможения удостоена премии за лучшую работу в секции по приложениям в автомобилестроении.

Основное содержание работы опубликовано в 47 научных статьях в реферируемых научных изданиях и монографиях.

Работа выполнялась в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" имени В. И. Ульянова (Ленина) на кафедре автоматики и процессов управления факультета компьютерных технологий и информатики (ФКТИ). Часть работы была инициирована экспериментальными исследованиями в Институте Физики и Химии, Институте Мозга (RIKEN Brain Science Institute), г. Вако, Япония.

Структура диссертации

В первом разделе дается обзор существующих подходов к решению задач адаптивного управления нелинейными динамическими объектами и формулируются основные проблемы, возникающие в стандартных постановках [82, 84, 253, 218] и производится постановка задачи работы. К числу проблем существующих методов в работе относятся: неоднозначность самого понятия адаптивной системы, качества управления, ограничнность классов целей управления2 и моделей неопределенности, требования точной информации о модели объекта (т. е. знание дифференциальных уравнений) и отсутствие типовых средств реализации в общем случае нелинейных законов управления. На основе проведенного анализа дается постановка задачи диссертаций.

Во втором разделе вводится описание нелинейных систем с использованием лишь качественной информации и свойствах "вход-состояние" и "вход-выход", вводится математический аппарат анализа соединений динамических систем с локально ограниченными по состоянию и неограниченными по свободной переменной (времени) операторами. Ставится и решается задача функционального синтеза адаптивных систем и обосновывается принцип разделения - возможность независимого решения задач функционального синтеза обратной связи, алгоритма адаптации и наблюдателя. При этом желаемые фактические взаимодействия между этими подсистемами формулируются в виде принадлежности соответствующих выходов к заданным функциональным пространствам.

В третьем разделе работы, с учетом результатов предыдущего раздела, дается новая постановка задачи адаптивного управления нелинейными объектами в условиях неопределенности математической модели объекта, возможной неустойчивости по Ляпунову целе

2К числу наиболее существенных ограничений стоит отнести ограничения на устойчивость по Ляпунову целевых движений в системе и необходимость точной спецификации целевого множества. Последнее требование в условиях неопределенности модели приводит либо к необходимости предварительной идентификации объекта, что противоречит самой сути большинства методов прямого адаптивного управления, либо к искусственному, силовому введению в систему движений, не свойственных самому объекту вой динамики, нелинейной параметризации и частичной неопределенности целевых функционалов. Общая задача адаптивного управления ставится как задача регулирования влияния неопределенности в заданное функциональное пространство, что позволяет избежать использования аппарата функций Ляпунова и, как следствие, потенциальных ограничений этого метода при решении задач синтеза. В рамках общей постановки задачи приводятся частные постановки задач адаптивного регулирования к инвариантным множествам, управления соединением взаимосвязанных систем и идентификации. Для решения совокупности этих задачи в работе вводится и обосновывается метод виртуального алгоритма адаптации, приводятся условия применимости этого метода для классов моделей объектов в рамках поставленных задач.

В четвертом разделе ставится задача построения адаптивных регуляторов с применением нейронных сетей в качестве настраиваемых моделей неопределенности. Вводится и обосновывается архитектура таких сетей, а также приводятся оценки скоростей сходимости аппроксимационного ряда в выбранном базисе функций. Для настройки функционального и в общем случае нелинейно параметризованного базиса вводится метод, основанный на представлении базисных функций линейной комбинацией решений нелинейных дифференциальных уравнений с линейными параметрами. Приводятся условия сходимости параметров базиса в окрестность оптимальных значений для заданной аппроксимируемой функции.

В пятом разделе приводятся решения прикладных задач управления и идентификации, решения которых в рамках стандартных постановок либо не известны, либо затруднительны в силу ограничений самой задачи. В частности, рассматриваются и решаются задачи оптимального экстренного торможения в условиях неопределенности свойств дорожного покрытия, задача идентификации динамики класса клеток (биологических нейронов) головного мозга животных, задача синтез адаптивной системы обработки визуальной информации, включая проблемы распознавания линейно несепарабельных и перекрывающихся объектов.

В шестом разделе излагаются основные научные результаты диссертации.

В приложениях приводятся доказательства лемм и теорем, сформулированных во втором, третьем и четвертом разделах диссертации.

Список цитируемых источников включает научную библиографию по теме диссертации, в том числе, опубликованные автором лично и в соавторстве, в значительной степени отражающие вклад автора в научные результаты диссертации.

5.4. Выводы по разделу 5

В разделе рассмотрены вопросы прикладного применения теоретических положений диссертационной работы на примере решений типовых задач в различных предметных областях: в автомобилестроении, в экспериментальной биофизике и в области систем технического зрения.

1) Разработаны законы адаптивного управления управления динамикой колеса в режиме разгона/торможения в условиях неопределенности свойств дорожного покрытия. Предложенные законы управления обеспечивают выполнение маневра при одновременном выводе параметров движения системы в область, гарантирующую максимальные значения коэффициента сцепления. Особенностью введенных схем управления являются, во-первых, отсутствие скользящих режимов, что позволяет избежать чрезмерного износа исполнительных механизмов; во-вторых, простота схем настройки системы, что открывает возможность реализации самого алгоритма настройки с использованием стандартных средств, например, таких, как ПИ-регулиторы; в-третьих, независимость алгоритмов настройки параметров от конкретного вида используемых нелинейных моделей трения при условии, что они остаются монотонными по параметру качества дорожного полотна.

2) Разработаны алгоритмы идентификации моделей электрической активности клеток нервной системы в условиях неопределенности физических моделей процесса и неполноты измеряемой информации о состоянии объекта. Введенные алгоритмы идентификации позволяют оценивать состояние и параметры моделей по измерениям мембранного потенциала клетки в ответ на электрическую стимуляцию, т. е. по измерениям "вход - выход". Особенностью предложенных алгоритмов является, во-первых, их применимость к процессам, математические модели которых не приводятся к каноническим формам адаптивного наблюдателя; во-вторых, эти алгоритмы допускают возможность нелинейной параметризации модели по части параметров. В-третьих, в отличие от известных минимаксных алгоритмов [129] они не требуют дополнительных внешних воздействий на наблюдаемый объект, что позволяет оставаться в рамках существующих протоколов экспериментов.

3) Разработана система адаптивного сравнения шаблонов для автоматической обработки и распознавания визуальной информации об объекте в условиях возмущений среды (освещенность, прозрачность) и неопределенности информации об объекте (фокальные возмущения как следствие физического перемещения объекта). Система сравнения шаблонов построена на основе временного кодирования и временной обработки информации об объекте, что является эффективным с позиции использования вычислительного ресурса. Кроме того, этот способ обработки информации позволяет проводить сравнение непосредственно в темпе сканирования информации об объекта. Особенностью системы является, с одной стороны, возможность использования моделей пространственных возмущений, приводящих к нелинейно параметризованным моделям фильтров, что позволяет обеспечить инвариантность распознавания к широкому спектру типовых моделируемых возмущений с восстановлением информации о параметрах возмущения. С другой стороны, использование хаотических осцилляторов в качестве детекторов совпадений позволяет гибко регулировать чувствительность системы (вплоть до сверхчувствительности) к малым немоделируемым возмущениям.

6. Заключение

В работе предложена теория и методы адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с применением искусственных нейронных сетей. В отличие от известных результатов в области сфера применимости теоретических положений работы наряду со стандартными содержит объекты с неустойчивой целевой динамикой, нелинейной параметризацией и неполнотой информации о математической модели процессов. Как иллюстрируется примерами, рассмотренными в работе, эти отличия позволяют использовать результаты диссертационного исследования для решения актуальных проблем эффективного адаптивного управления, системного анализа и обработки информации. Содержание предложенной теории и методов кратко может быть охарактеризовано следующей совокупностью основных выводов и результатов:

1) Разработан математический аппарат анализа нелинейных динамических объектов их соединений в терминах свойств эмпирически проверяемых отображений "вход-выход" и "вход-состояние", позволяющий формулировать условия реализуемости, полноты, ограниченности состояния и достижения целевых множеств для систем, состоящих из последовательных, параллельных и замкнутых соединений нелинейных объектов в условиях неопределенности информации о математических моделях объекта.

2) Сформулированы и обоснованы принципы макроорганизации и целевые ограничения для систем адаптивного управления нелинейными динамическими объектами в терминах свойств систем как отображений в функциональных пространствах. Это позволяет гарантировать желаемое поведение объекта при возможном сохранении его исходных и потенциально полезных нелинейных особенностей типа мета- и мульти-стабильности, неустойчивости по Ляпунову, бифуркаций, неравновесности, перемежаемости. Предложенные принципы и ограничения не требуют вычисления функций Ляпунова для целевых движений расширенной системы и допускают неопределенность модели объекта с точностью до динамики макропеременных.

3) Разработан метод синтеза законов адаптивного управления на основе виртуального алгоритма адаптации, позволяющий систематически синтезировать классы законов и алгоритмов адаптивного управления, реализующие желаемые принципы макрорганизации и целевые ограничения в виде ограничений на свойства регулятора в функциональных нормированных пространствах для нелинейных динамических объектов с моделями в классе нелинейных дифференциальных уравнений.

4) Разработан метод синтеза адаптивных недоминирующих законов управления нелинейными динамическими объектами с моделями неопределенности в классе функций, удовлетворяющих условию Липшица по неизвестному параметру. Метод не требует точного знания целевой динамики объекта, приведения уравнений модели объекта к каноническим формам адаптивного наблюдателя и дэмпфирования (мажорирования) неопределенности отрицательными обратными связями с высокими коэффициентами контурного усиления.

5) Получен комплекс методов решения типовых задачах адаптивного управления, не требующий знания функций Ляпунова для целевых движений и допускающий нелинейную параметризацию в классе монотонных по заданному функционалу моделей неопределенности, а также неполноту информации о целевых множествах;

6) Предложен подход к реализации алгоритмов адаптивного управления нелинейными объектами с применением многослойных нейронных сетей, позволяющий реализовывать алгоритмы адаптивного управления в классе моделей неопределенности без привлечения рекуррентных обратных связей в структуре сети и настройки параметров базисных функций в реальном времени, что снимает, во-первых, проблемы устойчивости в задаче реализации нейроконтроллеров и, во-вторых, снижает требования к вычислительной мощности аппаратной реализации таких систем

7) Введен и обоснован метод настройки базиса класса систем аппроксимирующих функций с нелинейно параметризованными базисными функциями в многослойных нейро-сетях, позволяющий гарантированно и эффективно (в вычислительном плане) оценивать оптимальные параметры базиса с помощью стандартных в т.ч. градиентных методов теории адаптивного управления.

1. Алгоритмы управления и обучения в интеллектуальных системах с многослойными нейронными сетями / В. А. Терехов, В. Б. Яковлев, Д. В. Ефимов, И. Ю. Тюкин // Труды 2-го международного симпозиума INTELS'96.— Т. 1,— Санкт-Петербург: 1996,- С. 10-14.

2. Аналитические самонастраивающиеся системы автоматического управления / Под ред. А. А. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1965. — 356 с.

3. Арнольд В. И. Теория катастроф, — М.: Наука, 1990. — 128 с.

4. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.

5. Бехтерева Н. П., Бундзен П. В., Гоголицин Ю. Л. Мозговые коды психической деятельности. — Л.: Наука, 1985.

6. Вавилов А. А., Имаев Д. X. Эволюционный синтез систем управления. — Л.: Ленинградский ордена Ленина Электротехнический Институт, 1983. — 80 с.

7. Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов,— М.: Наука, 1974.- 416 с.

8. Воронов А. А., Рутковский В. Ю. Современное состояние и перспективы развития адаптивных систем // Сб. ВК-59 «Вопросы кибернетики: проблемы теории и практики адаптивного управления», — М.: Изд-во АН СССР, 1985, — С. 5-48.

9. Воротников В. И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 3. — С. 3-62.

10. Гибсон Д. И. Системы самооптимизации или самонастраивающиеся системы автоматического регулирования // Тр. 1-го межд. конгресса ИФАК «Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем», — Т. 2,— М.: Изд.-во АН СССР, 1961,- С. 745-763.

11. Демидович Б. П. Лекции по теории устойчивости, — М.: Наука, 1967.

12. Дрейпер Ч. С., Ли И. Т. Автоматическая оптимизация управляемых систем / Под ред. Б. Н. Петрова. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 240 с.

13. Дружинина М. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и Телемеханика. — 1996. — № 2. С. 3-33.

14. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. — М.: Мир, 1976. — 512 с.

15. Ефимов Д. В., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Синергетический подход к синтезу систем управления с использованием многослойных нейронных сетей // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 1998. - № 520. - С. 3-25.

16. Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Алгоритмы настройки многослойных нейросетей в системах управления // Труды 2-й конференции «Навигация и управление движением». — Санкт-Петербург, СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор»: 2000. С. 121-130.

17. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем / Под ред. Г. С. Поспелова. — М.: Наука, 1970. 704 с.

18. Захаренкова Т. А., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Алгоритмы обучения многослойных нейронных сетей в задачах управления // Нейрокомпьютеры и их применение (НКП)-2000. Т. 2. - Москва: 2000. - 16-18 февраля.

19. Ивахненко А. Г. Задачи экстремального регулирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1956. — № 10. — С. 41-56.

20. Ивахненко А. Кибернетические системы с комбинированным управлением. — Киев: Техника, 1966. — 512 с.

21. Казакевич В. В. Способ автоматического регулирования различных процессов по максимуму или по минимуму. Авт. св. № 66335 от 25.11.1943 // Бюлл. изобретений. 1946. - № 10.

22. Казакевич В. В. Системы экстремального регулирования и некоторые способы улучшения их качества и устойчивости // Автоматическое управление и вычислительная техника. — М.: Машгиз, 1958. — С. 66-96.

23. Казаков Ю. М., Евланов JI. Г. О теории самонастраивающихся систем с поиском градиента методом вспомогательного оператора // Тр. П-го межд. конгресса ИФАК. — Т. 3. М.: Наука, 1965. - С. 252-262.

24. Квакернаак X. О допустимом адаптивном управлении // Тр. Н-го межд. симпозиума ИФАК по самонастраивающимся системам. — М.: Наука, 1969. — С. 17-22.

25. Козлов Ю. М., Юсупов Р. М. Беспоисковые самонастраивающиеся системы, — М.: Наука, 1969. 455 с.

26. Колесников А. А. Синергетическая Теория Управления,— М.; Энергоатомиздат, 1994. 260 с.

27. Колесников А. А. Основы Синергетической Теории Управления,— М.: ИСПО-Сервис, 2000. 260 с.

28. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

29. Красовский А. А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. — М.: Физ-матгиз, 1963. — 468 с.

30. Красовский А. А. Оптимизационный подход в теории управления. Часть I // Современная прикладная теория управления / Под ред. А. А. Колесникова. — Таганрог: ТРТУ, 2000. 400 с.

31. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. — М.: Наука, 1977. — 272 с.

32. Кухтенко В. И. Динамика самонастраивающихся систем со стабилизацией частотных характеристик. — М.: Машиностроение, 1970. — 232 с.

33. Леонов Г. А. Проблема Броккета в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. — 2001. — Т. 13, № 4. — С. 134-155.

34. Леонов Г. А. Стабилизационная проблема Броккета // Автоматика и Телемеханика. 2001. - № 5,- С. 190-193.

35. Ли Я.-Ц., Ван дер Вальде У. И. Теория нелинейных самонастраивающихся систем // Тр. 1-го межд. конгресса ИФАК «Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем». Т. 2. - М.: Изд.-во АН СССР, 1961. - С. 726-744.

36. Марголис М., Леондес К. Т. О теории самонастраивающейся системы регулирования; метод обучающейся модели // Тр. 1-го межд. конгресса ИФАК «Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем», — Т. 2,— М.: Изд.-во АН СССР, 1961,- С. 683-698.

37. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами // Анализ и синтез нелинейных систем. СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

38. Нейросетевые системы управления / В. А. Терехов, Д. В. Ефимов, И. Ю. Тю-кин, В. А. Антонов, — С-Пб.: Санкт-Петербургский Государственный Университет, 1999. 266 с.

39. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие // Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения / Под ред. И. М. Макарова. — М.: Наука, 2002. 478 с.

40. Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение, сборник статей. Часть 1 // Фракталы, хаос, вероятность / Под ред. Г. Г. Малинецкого. — М.: Радиотехника, 2006,— 120 с.

41. Новые классы регуляторов технических систем. Часть III // Современная прикладная теория управления / Под ред. А. А. Красовского. — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. — 559 с.

42. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Наука, 1965.

43. Прикладной интервальный анализ / Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтер; Под ред. Б. Т. Поляка. — М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 468 с.

44. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления / Б. Н. Петров, В. Ю. Рутковский, И. Н. Крутова, С. Д. Земляков. — М.: Машиностроение, 1972. — 260 с.

45. Прохоров Д. В., Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Об условиях применимости алгоритмов адаптивного управления в невыпуклых задачах // Автоматика и Телемаханика. — 2002. № 2. - С. 101-108.

46. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. — М.: Наука, 1976. — 478 с.

47. Путов В. В. Методы построения адаптивных систем управления нелинейными нестационарными динамическими объектами с функционально-параметрической неопределенностью // Дисс. на соискание уч. степени д-ра техн. наук, — СПб.: СПбГЭТУ, 1993. 603 с.

48. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных, — М.: Наука, 1987.

49. Сар ид ис Д. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. — М.: Наука, 1980.- 400 с.

50. Синергетика: процессы самоорганизации и управления / А. А. Колесников, Г. Е. Веселое, А. Н. Попов и др.; Под ред. А. А. Колесникова. — Таганрог: ТРТУ, 2004,— 360 с.

51. Синергетический подход в теории управления. Часть II // Современная прикладная теория управления / Под ред. А. А. Красовского. — Таганрог: ТРТУ, 2000. — 559 с.

52. Срагович В. Г. Теория адаптивных систем. — М.: Наука, 1981. — 384 с.

53. Терехов В. А., Антонов В. И., Тюкин И. Ю. Адаптивное управление в технических системах, — Санкт-Петербургский Государственный Университет, 2001,— 262 с.

54. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Адаптивная система управления с нейронной сетью // Известия Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета "ЛЭТИ". 1996. - № 490. - С. 32-35.

55. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Адаптивные системы управления с использованием многослойных нейронных сетей (МНС) // Известия

56. Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета "ЛЭТИ". 1996. - № 498. - С. 36-56.

57. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Искусственные нейронные сети и их применение в системах автоматического управления. — ИПЦ Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета, 1997. — 64 с.

58. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Структурный синтез адаптивных систем управления с многослойными нейронными сетями // Известия Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета "ЛЭТИ". 1997. - № 510. - С. 3-13.

59. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления // Нейрокомпьютеры и их применение / Под ред. В. И, Галушкина, — М.: ИПРЖР, 2002. Т. 8. - 480 с.

60. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления. Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Высшая Школа, 2002. — 182 с.

61. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Адаптивный алгоритм обучения многослойных нейронных сетей // Труды международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети». — Санкт-Петербург: 1998. — С. 62-64.

62. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Адаптивное управление на многообразиях // Труды 6-го международного симпозиума (SPAS'99). Т. 2. - С-Пб.: 1999. - С. 157-160.

63. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения нейронных сетей. Часть I // Автоматика и Телемеханика. — 1999.— Т. 60, № 10. — С. 145-161.

64. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения нейронных сетей. Часть II // Автоматика и Телемеханика. — 1999. — Т. 60, № 11. — С. 136-144.

65. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Нейросетевые системы управления: проблемы теории и практики // Труды 2-й конференции «Навигация и управление движением»,— Санкт-Петербург, СПб. ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор»: 2000. С. 97-121.

66. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Синергетический синтез нейросетевых систем управления // Современная прикладная теория управления. Часть III / Под ред. К. А. А. — Москва: Интеграция, 2000.

67. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Адаптивные системы управления: проблемы и тенденции // Труды всероссийской конференции «Управление и информационные технологии». — Т. 1. — Санкт-Петербург: ИСПО Сервис, 2003. — С. 145-154.

68. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Эволюция и проблемы теории адаптивных систем управления. Часть I // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2003. — № 6. — С. 9-18.

69. Терехов В. А., Тюкин И. Ю. Эволюция и проблемы теории адаптивных систем управления. Часть II // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2003. — № 7. — С. 3-9.

70. Терехов В. А., Яковлев В. В., Тюкин И. Ю. Исследование устойчивости процессов обучения многослойных нейронных сетей методом функций Ляпунова // Труды 3-го международного симпозиума INTELS'98. — Псков: 1998. — С. 145-147.

71. Тимофеев А. В. Адаптивные робототехнические комплексы. — Машиностроение, 1988. 332 с.

72. Траксел Д. Самонастраивающиеся системы (обзорный доклад) // Тр. П-го межд. конгресса ИФАК «Дискретные и самонастраивающеся системы», — М,: Наука, 1965. — С. 240-251.

73. Тюкин И. Ю. Устойчивость алгоритма обучения многослойных нейронных сетей прямого действия // Сер. «Управление, информатика и вычислительная техника» / Научно-технический сборник ТЭТУ. — 1998. — № 1.

74. Тюкин И. Ю. Устойчивость по Ляпунову процессов обучения многослойной нейронной сети в динамических системах управления // Сер. «Приборостроение» / Известия ВУЗов. 1999. - № 9.

75. Тюкин И. Ю. Алгоритмический синтез нейросетевых систем управления нелинейными динамическими объектами в условиях неопределенности // Дисс. на соискание уч. степени к-та техн. наук. — СПб.: СПбГЭТУ, 2001. — 272 с.

76. Тюкин И. Ю. Алгоритмы адаптации в конечной форме для нелинейных динамических объектов // Автоматика и Телемаханика. — 2003. — Т. 64, № 6. — С. 951-974.

77. Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Нейросетевое решение задачи адаптивного управления для класса нелинейных динамических объектов с невыпуклой параметризацией // Нейрокомпьютеры и их применение. — 2004. — № 7-8.

78. Фельдбаум А. А. Вычислительные устройства в автоматических системах,— М.: Физматгиз, 1959. — 800 с.

79. Фельдбаум А. А. Проблемы самоприспосабливающихся (адаптивных) систем // Тр, 1-й межд. сесоюз. конф. по самонастраивающимся системам. — М.: Наука, 1965.

80. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

81. Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента и ее применение в адаптивном управлении // Автоматика и Телемеханика. — 1979. — Т. 40, № 9. — С. 90-101.

82. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. — М.: Наука, 1990.- 286 с.

83. Фрадков А. Л. О применении кибернетических методов в физике // Успехи Физических Наук. 2005. - Т. 175, № 2. - С. 113-138.

84. Фу К. С. Класс самообучающихся систем автоматического регулирования, основанный на использовании теории статистических решений // Тр. П-го межд. симпозиума ИФАК по самонастраивающимся системам. — М.: Наука, 1969. — С. 7-15.

85. Хлебцевич Ю. С. Электрический регулятор экономичности, авт. заявка № 231496 от 4.04.1940. авт. св. СССР № 170566 // Бюлл. изобретений. 1965. - № 9.

86. Цыпкин. Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М.: Наука, 1968. 400 с.

87. Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука, 1970. — 252 с.

88. Цыпкин Я. 3. Информационная теория идентификации. — М.: Наука, Физматлит, 1995. 336 с.

89. Якубович В. А. К теории адаптивных систем // ДАН СССР. 1968. - Т. 182, № 3. -С. 518-521.

90. ABS control using optimum search via sliding modes / S. Drakunov, U. Ozguner, P. Dix, B. Ashrafi // IEEE Trans, on Control Systems Technology. — 1995. — no. 3. — Pp. 79-85.

91. Adaptive Control Systems / Ed. by E. Mishkin, L. B. J. Braun. — N.-Y Toronto -London: McGraw-Hill Book Co. Inc., 1961.

92. Amari S., Nakahara H. Difficulty of singularity in population coding // Neural Computation. 2005. - Vol. 17. - Pp. 839-858.

93. Ampazis N., Perntonis S. J., Taylor J. G. A dynamical model for the analysis and acceleration of learning in feedforward networks // Neural Networks. — 2001. — Vol. 14. — Pp. 1075-1088.

94. Annaswamy A. M., Skantze F. P., Loh A.-P. Adaptive control of continuous time systems with convex/concave parametrization // Automatica. — 1998. — Vol. 34, no. 1. — Pp. 33-49.

95. Arcak M., Angeli D., Sontag E. A unifying intergal ISS framework for stability of nonlinear cascades // SI AM J. Contr. and Optim. 2002. - Vol. 40. - Pp. 1888-1904.

96. Arecchi F. T. Chaotic neuron dynamics, synchronization and feature binding // Physica A. 2004. - Vol. 338. - Pp. 218-237.

97. Arimoto S., Kawamura S., Miyazaki F. Bettering operation of robots by learning // J. Robotic Syst. 1984. - Vol. 1, no. 2. - Pp. 123-124.

98. Arimoto S., Kawamura S., Miyazaki F. Realization of robot motion based on a learning method // IEEE Trans. Man. Cybern. 1988. - Vol. 18, no. 1. - Pp. 126-134.

99. Armstrong-Helouvry В. Control of Machines with Friction. — Kluwer, 1991.

100. Armstrong-Helouvry B. Stick silp and control in low-speed motion // IEEE Trans, on Automatic Control. 1993. - Vol. 38, no. 10. - Pp. 1483-1496.

101. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Diff. Equat. — 1978. Vol. 27. - Pp. 172-189.

102. Aseltine J. A., Mancini A. R., Sarture C. W. A survey of adaptive control systems // IRE Trans, on Automatic Control. 1958. - Vol. AC-6, no. 12. - Pp. 102-108.

103. AstolfiA., Ortega R. Immension and invariance: A new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2003. — Vol. 48, no. 4. Pp. 590-605.

104. Astrom K. J., Wittenmark B. Adaptive Control (2nd ed.). — Reading, MA: Addison-Wesley, 1961.

105. Auditory sensitivity provided by self-tuned critical oscillations of hair cells / S. Ca-malet, T. Duke, F. Julicher, J. Prost // Proceedings of National Academy of Science. — 2000. Vol. 97, no. 7. - Pp. 3183-3188.

106. Bachmayer R., Whitcomb L. L., Grosenbaugh M. A. An accurate four-quadrant nonlinear dynamical model for marine thrusters: Theory and experimental validation // IEEE Journal of Oceanic Engineering. — 2000. — Vol. 25, no. 1. — Pp. 146-159.

107. Bak P., Pakzusci M. Complexity, contingency and criticality // Proc. National Academy of Science. 1995. - Vol. 92. - Pp. 6689-6696.

108. Bak P., Sneppen K. Punctuated equilibrium and criticality in a simple model of evolution // Physical Review Letters. 1993. - Vol. 71, no. 24. - Pp. 4083-4086.

109. Barabanov N. E., Prokhorov D. V. A new method for stability analysis of nonlinear discrete-time systems // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2003.— Vol. 48, no. 12. Pp. 2250-2255.

110. Barron A. R. Universal approximation bounds for superposition of a sigmoidal function // IEEE Trans, on Information Theory. — 1993. — Vol. 39, no. 3. — Pp. 930-945.

111. Bastin G., Gevers M. Stable adaptive observers for nonlinear time-varying systems // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1988. — Vol. 33, no. 7. — Pp. 650-658.

112. Beatson R. К., Leviatan D. On comonotone appoximation // Canad. Math. Bull.— 1983. Vol. 26, no. 2. - Pp. 220-225.

113. Beggs J. M., Plenz D. Neuronal avalanches in neocortical circuits // J. Neurosci. — 2003. Vol. 22, no. 35. - Pp. 11167-11177.

114. Bellman R. Adaptive Control Processes A Guided Tour. — Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1961.

115. Bellman R., Kalaba R. Dynamic programming and adaptive control processes: Mathematical foundations // IRE Trans, on Automatic Control. — 1960. — Vol. AC-5. — Pp. 5-10.

116. Bellman R., Kalaba R. Dynamic Programming and Modern Control Theory. — N.-Y.: Academic Press, 1965.

117. Birkhoff G. D. Dynamical Systems. — Providence, American Mathematical Society Colloquium Publications, volume IX, 1927.

118. Bischi G.-I., Stefanini L., Gardini L. Synchronization, intermittency and critical curves in a duopoly game // Mathematics and Computers in Simulation. — 1998. — Vol. 44. — Pp. 559-585.

119. Blondel V., Gevers M. Simultaneous stabilizability of three linear systems is rationally undecidable // Mathematics of Control, Signals and Systems. — 1993. — Vol. 6. — Pp. 135-145.

120. Boskovic J. Stable adaptive control of a class of first-order nonlinearly parameterized plants // IEEE Trans, on Automatic Control. 1995. - Vol. 40, no. 2. - Pp. 347-350.

121. Brenner N., Bialek W., de Ruyter van Steveninck R. Adaptive rescaling maximizes information transmission // Neuron. — 2000. — Vol. 26, no. 3. — Pp. 695-702.

122. Brockett R. W. A stabilization problem // V.D. Blondel, E.D. Sontag, M. Vadyasagar, .C. Willems editors, Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory, Communications and Control Engineering, chapter 16. — 1998. — Pp. 75-78.

123. Buonomano D. V., Merzenich M. Neural network model of temporal code generation and position-invariant pattern recognition // Neural Computation. — 1999. — Vol. 11. — Pp. 103-116.

124. Byrnes С. I., Isidori A. Limit sets, zero dynamics, and internal models in the problem of nonlinear output regulation // IEEE Trans, on Automat. Contr. — 2003. — Vol. 48, no. 10,- Pp. 1712-1723.

125. Canudas de Wit C., Tsiotras P. Dynamic tire models for vehicle traction control // Proceedings of the 38th IEEE Control and Decision Conference. — 1999.

126. Canudas de Wit C., Tsiotras P. Dynamic tire models for vehicle traction control // Proceedings of the 38th IEEE Control and Decision Conference. — 1999.

127. Cao C., Annaswamy A., Kojic A. Parameter convergence in nonlinearly parametrized systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 2003. - Vol. 48, no. 3. - Pp. 397-411.

128. Carr С. E., Friedman M. A. Evolution of time coding systems // Neural Computation. — 1999,- Vol. 11.- Pp. 1-20.

129. Carr J. Applications of the Center Manifold Theory. — Springer-Verlag, 1981.

130. Chadderton P., Margrie T. W., Haussler M. Integration of quanta in cerenellar granule cells during sensory processing // Nature. — 2004. — Vol. 428. — Pp. 856-859.

131. Cheney E. W. Introduction to Approximation Theory. — McGraw-Hill Book Company, 1966.

132. Chizhevsky V. N. Coexisting attractors in a C02 laser with modulated losses // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 2000. - Vol. 2. - Pp. 711-717.

133. Chizhevsky V. N. Multistability in dynamical systems induced by weak periodic perturbations // Physical Review E. 2001. - Vol. 64, no. 3. - Pp. 036223-036226.

134. Chizhevsky V. N., Corbalan R. Phase scaling properties of perturbation-induced multi-stability in a driven nonlinear system // Physical Review E. — 2002. — Vol. 66, no. 1. — Pp. 016201-016205.

135. Conant R. C., Ashby W. R. Every good regulator of a system must be a model of that system // Int. J. Syst. Sci. 1970. - Vol. 1. - Pp. 89-98.

136. Concurrent processing and complexity ot temporally encoded neuronal messages in visual perception / J. W. McClurkin, L. M. Optican, B. J. Richmond, T. J. Gawne // Science. 1991. - Vol. 253. - Pp. 675-677.

137. Costic В. Т., de Queiroz M. S., Dawson D. M. A new learning control approach to the active magnetic bearing benchmark system. — 2000.

138. Criticality and scaling in evolutionary ecology / R. V. Sole, S. C. Manrubia, M. Benton et al. // TREE. 1999. - Vol. 14, no. 4. - Pp. 156-160.

139. Cybenko G. Approximation by superpositions of a sigmoidal function //Math, of Control, Signals and Systems. 1989. - Vol. 2. - Pp. 303-314.

140. Dayan P., Abbott L. Theoretical Neuroscience: Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems. — MIT Press, 2001.

141. Design issues in adaptive control / R. H. Middleton, G. C. Goodwin, D. J. Hill, D. Q. Mayne // IEEE Trans, on Automatic Control. 1988. - Vol. 33, no. 1. - Pp. 5058.

142. Deur J., Asgari J., Hrovat D. Modeling and analysis of longitudinal tire dynamics // Tech. Report SRR-2000-0145, Ford Research Laboratory. 2000.

143. Didinsky G., Pan Z., Basar T. Parameter identification for uncertain plants using hoc methods // Automatica. 1995. - Vol. 31. - Pp. 1227-1250.

144. Dierckx P. Curve and surface fitting with splines. — 1995. — 285 pp.

145. Ding Z. Adaptive control of triangular systems with nonlinear parameterization // IEEE Trans. Automatic Control. 2001. - Vol. 46, no. 12. - Pp. 1963-1968.

146. Ditchburn R. W., L. G. B. Vision with a stabilized retinal image // Nature. — 1952. — Vol. 170, no. 4314,- Pp. 36-37.

147. Dynamics of low-pressure and high-pressure fuel cell air supply systems / S. Gelfi, A. G. Stefanopoulou, J. T. Pukrushpan, H. Peng // Proceedings of the American Control and Conference. — 2003.

148. EcclesJ. C. The Neurophysiological Basis of Mind. The Principles of Neurophysiology. — Clarendon, 1953.

149. Egmont-Petersen M., de Ridder D., Handels H. Image processing with neural net-works-a review // Pattern Recognition. 2002. - Vol. 35, no. 10. - Pp. 2279-2301.

150. Essential nonlinearities in hearing / V. M. Eguiluz, M. Ospeck, Y. Choe et al. // Physical Review Letters. 2000. - Vol. 84, no. 22. - Pp. 5232-5235.

151. Evolution as a self-organized critical phenomenon / K. Sneppen, P. Bak, H. Flyvbjerg, M. H. Jensen // Proc. National Academy of Science. — 1995. — Vol. 92. — Pp. 52095213.

152. Experimental evidence of subharmonic bifurcations, multistability, and turbulence in a q-switched gas laser / F. T. Arecchi, R. Meucci, G. Puccioni, J. Tredicce // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 49, no. 17. - Pp. 1217-1220.

153. Eykhoff P. System Identification. Parameter and State Estimation. — Univ. of Techn. Eindhoven, 1975.

154. Florentin J. J. Optimal probing, adaptive control of a simple bayesian system // J. Electronics Contr. — 1962. — no. 13. — P. 165.

155. Fradkov A. L. Integro-differentiating velocity gradient algorithms // Sov. Phys. Dokl. — 1986,- Vol. 31, no. 2,- Pp. 97-98.

156. Francis B. A., Wonham W. M. The internal model principle of control theory // Auto-matica. 1976. - Vol. 12. - Pp. 457-465.

157. Fredenhagen S., Oberle H. J., Opfer G. On the construction of optimal monotone cubic spline interpolations //Journal of Approximation Theory. — 1999. — Vol. 96. — Pp. 182— 200.

158. French M. An analytical comparison between the nonsingular quadratic performance of robust and adaptive backstepping designs // IEEE Trans, on Automatic Control.— 2002. Vol. 47, no. 4. - Pp. 670-675.

159. French M., Szepesvari C., Rogers E. Uncertainty, performance, and model dependency in approximate adaptive nonlinear control // IEEE Trans, on Automatic Control.— 2000. Vol. 45, no. 2. - Pp. 353-358.

160. Fritsch F. N., Carlson R. E. Monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - Vol. 17, no. 2. - Pp. 238-246.

161. Funahashi К.-I. On the approximate realizations of continuous mapping by neuarl networks // Neural Networks. 1989. - no. 2. - Pp. 183-192.

162. Fu K. S. Syntactic Pattern Recognition and Applications. — Prentice-Hall, 1982.

163. Gain-scheduled wheel slip control in automotive brake systems / T. Johansen, I. Petersen, J. Kalkkuhl, J. Ludemann // IEEE Trans, on Control Systems Technology. — 2003,- no. 6,- Pp. 799-811.

164. Gauthier D. J., С. B. J. Intermittent loss of synchronization in coupled chaotic oscillators: Toward a new criterion for high-quality synchronization // Physical Review Letters. — 1996. Vol. 77, no. 9. - Pp. 1751-1754.

165. Ghosh В. K., Byrnes С. I. Simultaneous stabilizator! and simultaneous pole-placement by nonswitching dynamic compensation // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1983. — Vol. 28, no. 6,- Pp. 735-741.

166. A global optimum approach for one-layer neural networks / E. Castillo, 0. Fontenla-Romero, B. Guijarro-Berdinas, A. Alonsa-Betanzos // Neural Computation. — 2002. — Vol. 14. Pp. 1429-1449.

167. Grune L., Sontag E., Wirth F. R. Asymptotic stability equals exponential stability, and ISS equals finite energy gain if you twist your eyes // Systems к Control Letters. — 1999. - Vol. 38. - Pp. 127-134.

168. Guay M., Dochain D., Perrier M. Adaptive extremum seeking control of continuous stirred tank bioreactors with unknown growth kinetics // Automatica. — 2004,— Vol. 40, no. 5. Pp. 881-888.

169. Guckenheimer ., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. — Springer, 2002.

170. Gustaffson F. Slip-based tire-road friction estimation // Automatica. — 1997. — Vol. 33, no. 6,- Pp. 1087-1099.

171. Handbook of Global Optimization / Ed. by R. Horst, P. Pardalos. — Kluwer, Dordrecht, 1995.

172. Hansel D., Sompolinsky H. Synchronization and computation in a chaotic neural network // Physical Review Letters. 1992. - Vol. 68. - Pp. 718-721.

173. Hansen E. Global Optimization Uzing Interval Analysis. — Marcel Dekker, 1992.

174. Haykin S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation. — Prentice Hall, 1999.

175. Hindmarsh J. L., Rose R. M. A model of the nerve impulse using two first-order differential equations // Nature. 1982. - Vol. 269. - Pp. 162-164.

176. Hindmarsh J., Rose R. A model of neuronal bursting using 3 coupled 1st order differential-equations // Proc. R. Soc. Lond. 1984. - Vol. В 221, no. 1222. - Pp. 87102.

177. Hodgkin A. L., Huxley A. F. Quantitative description of ion currents and its applications to conduction and excitation in nerve membranes // J. Physiol. (Lond.). — 1952. — Vol. 117,- Pp. 500-544.

178. Hopfield J. J. Pattern recognition computation using action potential timing for stimulus representation // Nature. — 1995. — no. 376. — Pp. 33-36.

179. Hornik K. Universal approximation of an unknown function and its derivatives using multilayer neural networks // Neural Networks. — 1991. — no. 4. — Pp. 251-257.

180. Hornik K. Degree of approximation results for feedforward networks approximating unknown mappings and their derivatives // Neural Computation. — 1994. — no. 6. — Pp. 1262-1275.

181. Hornik K., Stinchcombe K., White H. Universal approximation of an unknown function and its derivatives using multilayer neural networks // Neural Networks. — 1990. — no. 3. Pp. 551-560.

182. Human perceptual thresholds of friction in haptic interfaces / D. Lawrence, L. Pao, A. Dougherty et al. // Proc. ASME Dynamic Systems and Control Division, ASME Int. Mech. Engr. Cong, к Expo, Anaheim, CA. 1998. - Pp. 287-294.

183. Identification of linearly overparametrized nonlinear systems / G. Bastin, R. Bitmead, G. Campion, M. Gevers // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1992,— Vol. 37, no. 7. Pp. 1073-1078.

184. Ilchman A. Universal adaptive stabilization of nonlinear systems // Dynamics and Control. 1997. - no. 7. - Pp. 199-213.

185. Iliev G. L. Exact estimates for partially monotone approximation // Analysis Mathe-matica. 1978. - Vol. 4. - Pp. 181-197.

186. Isidori A. Nonlinear control systems: An Introduction. — Second edition. — Springer-Verlag, 1989.

187. Iterative feedback tuning: Theory and applications / H. Hjalmarsson, M. Gevers, M. Gunnarsson, 0. Lequin // IEEE Control Systems. — 1998. — no. August. — Pp. 2641.

188. Izhikevich E. M. Which model to use for cortical spiking neurons? // IEEE Transactions on Neural Networks. 2004. - Vol. 15. - Pp. 1063-1070.

189. Jain A. K., Duin R. P. W., Mao J. Statistical pattern recognition: A review // IEEE Trans, on Pattern Analysis and Machine Inteligence. — 2000,— Vol. 22, no. 1,— Pp. 4-37.

190. Jiang Z.-P., Teel A. R., Praly L. Small-gain theorems for ISS systems and applications // Math. Control Signals Systems. 1994. - no. 7. - Pp. 95-120.

191. Jingang Y., Alvares L., Horowitz R. Adaptive emergency braking control with underestimation of friction coefficient // IEEE Trans, on Control Systems Technology. — 2002. — Vol. 10, no. 3,- Pp. 381-392.

192. Jones L. K. A simple lemma on greedy approximation in Hilbert sapce and convergence rates for projection pursuit regression and neural network training // The Annals of Statistics. 1992. - Vol. 20, no. 1. - Pp. 608-613.

193. Julicher F., Andor D., Duke T. Physical basis of two-tone interference in hearing // Proceedings of National Academy of Science. — 2001, — Vol. 98, no. 16. — Pp. 90809085.

194. Kammler D. W. Approximation with sums of exponentials in Lp0, oc) // Journal of Approximation Theory. 1976. - Vol. 16. - Pp. 384-408.

195. Kaneko К. Clustering, coding, switching hierarchical ordering and control in a network of chaotic elements // Physica D. 1990. - Vol. 41. - Pp. 137-172.

196. Kaneko K. Relevance of dynamic clustering to biological networks // Physica D.— 1994. Vol. 75. - Pp. 137-172.

197. Kaneko K., Tsuda I. Complex Systems: Chaos and Beyond. — Springer, 2000.

198. Kaneko K„ Tsuda I. Chaotic itinerancy // Chaos. 2003. - Vol. 13, no. 3. - Pp. 926936.

199. Kanellakopoulos I., Kokotovic P. V., Morse A. S. Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems // IEEE Trans, on Automatic Control.— 1991,- Vol. 36,- Pp. 1241-1253.

200. Karsenti L., Lamnabhi-Lagarrige F., Bastin G. Adaptive control of nonlinear systems with nonlinear parameterization // System and Control Letters. — 1996. — Vol. 27. — Pp. 87-97.

201. Khalil H. Nonlinear Systems (3d edition). Prentice Hall, 2002.

202. Kiencke U. Realtime estimation of adhersion characteristics between tire and road // Proceedings of IFAC World Congress. — 1993. — Vol. 1.

203. Kirkpatrick S., Gelatt C., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing // Science. 1983. - Vol. 220. - Pp. 671-680.

204. Kitching K., Cole D., Cebon D. Performance of a semi-active damper for heavy vehicles // ASME Journal of Dynamic Systems Measurement and Control. — 2000. — Vol. 122, no. 3. Pp. 498-506.

205. Koch C. Biophysics of Computation. Information Processing in Signle Neurons. — Oxford University Press, 2002.

206. Kojic A., Annaswamy A. Adaptive Control of Nonlinearly Parameterized Systems with a Triangular Structure // Automatica. 2002. - Vol. 38, no. 1. - Pp. 115-123.

207. Kopotun K., Shardin A. On fc-monotone approximation by free knot splines 11 SIAM J. Math. Anal. 2003. - Vol. 34, no. 4. - Pp. 901-924.

208. Kreisselmeier G. Adaptive obsevers with exponential rate of convergence // IEEE Trans. Automatic Control. 1977. - Vol. AC-22. - Pp. 2-8.

209. Krener A. J., Kang W., Chang D. E. Control bifurcations // IEEE Trans, on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, no. 8. - Pp. 1231-1246.

210. Krichman M., Sontag E., Wang Y. Input-output-to-state-stability 11 S1AM J. Control and Optimization. 2001. - Vol. 39. - Pp. 1874-1928.

211. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. Adaptive nonlinear control without over-parametrization // Systems and Control Letters. — 1992. — Vol. 19. — Pp. 177-185.

212. Krstic M., Kanellakopoulos /., Kokotovic P. Nonlinear design of adaptive controllers for linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1994,— Vol. 39, no. 4.— Pp. 738-752.

213. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. — Wiley and Sons Inc., 1995.

214. Krstic M., Kokotovic P. Transient-performance improvement with new class of adaptive controllers // Systems and Control Letters. — 1993. — Vol. 21. — Pp. 451-461.

215. Krstic M., Kokotovic P. Adaptive nonlinear output-feedback schemes with marino-tomei controller 11 IEEE Trans, on Automatic Control. — 1996. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 274280.

216. Krstic M., Wang H.-H. Stability of extremum seeking feedback for general nonlinear dynamic systems // Automatica. — 2000. — Vol. 36, — Pp. 595-601.

217. LaSalle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov's direct method with applications. — Academic Press, 1961.

218. La Salle J. P. Stability theory and invariance principles // Dynamical Systems, An International Symposium / Ed. by J. H. L. Cesari, J. L. Salle. — Vol. 1.— 1976. — Pp. 211-222.

219. Lee H.-C. Review of image-blur models in a photographic system using the principles of optics // Optical Engineering. 1990. - Vol. 29, no. 5. - Pp. 405-421.

220. Lee R. C. Optimal estimation, identification and control. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1964.

221. Lee T.-H., Narendra К. S. Robust adaptive control of discrete-time systems using persistent excitation // Automation. 1988. - Vol. 24, no. 6. - Pp. 781-788.

222. Leonov G. The Brockett stabilization problem // Int. Conf. of Oscill. and Chaos. — 2000. Pp. 38-39.

223. Liew A. W.-C., Yan H., Yang M. Pattern recognition techniques for the emerging field of bioinformatics: A review // Pattern Recognition. — 2005,— Vol. 38, no. 11. — Pp. 2055-2073.

224. Lin W., Qian C. Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: A nonsmooth feedback framework // IEEE Trans. Automatic Control. — 2002. — Vol. 47, no. 5. — Pp. 757-773.

225. Lin W., Qian C. Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: The smooth feedback case // IEEE Trans. Automatic Control. — 2002. — Vol. 47, no. 8. — Pp. 12491266.

226. Ljung L. System Identification: Theory for the User. — Prentice-Hall, 1999.

227. Loh A.-P., Annaswamy A., Skantze F. Adaptation in the presence of general nonlinear parameterization: An error model approach // IEEE Trans, on Automatic Control.— 1999. Vol. 44, no. 9. - Pp. 1634-1652.

228. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. — 1963,- Vol. 20,- Pp. 130-141.

229. Loria A., Paneteley E., Nijmeijer H. A remark on passivity-based and discontonuous control of uncertain nonlinear systems // Automatica. — 2001. — Vol. 37. — Pp. 14811487.

230. Loria A., Panteley E. Uniform exponential stability of linear time-varying systems: revisited // Systems and Control Letters. — 2003. — Vol. 47, no. 1. — Pp. 13-24.

231. LoJ. T. Minimization through convexitizaton in training neural networks // Proceedings of IEEE International Joint Conference on Neural Networks IJCNN'2002. 2002.

232. Luenberger D. Introduction to Dynamic Systems. Theory, Models and Applications. — Wiley, 1979.

233. Maldonado 0., Markus M., Hess В. Coexistence of three attractors and hysteresis jumps in a chaotic spinning top 11 Phys. Lett. A. 1990. - Vol. 144. - Pp. 153-158.

234. Marino R. Adaptive observers for single output nonlinear systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1990. - Vol. 35, no. 9. - Pp. 1054-1058.

235. Marino R., Tomei P. Global adaptive output-feedback control of nonlinear systems, part I: Linear parameterization // IEEE Trans. Automatic Control. — 1993. — Vol. 38, no. 1,- Pp. 17-32.

236. Martensson B. The order of any stabilizing regulator is sufficient a priori information for adaptive stabilization // Systems and Control Letters. — 1985. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 87-91.

237. Martensson В., Polderman J. Correction and simplification to "the order of any stabilizing regulator is sufficient a priori information for adaptive stabilization" // Systems and Control Letters. 1993. - Vol. 20, no. 6. - Pp. 465-470.

238. Martinez-Conde S., Macknik S. L., Hubel D. H. The role of fixational eye movements in visual perception // Nature Reviews. Neuroscience. — 2004. — Vol. 5, no. 3. — Pp. 229240.

239. Milnor J. On the concept of attractor // Commun. Math. Phys. — 1985,— Vol. 99,— Pp. 177-195.

240. Mitchell S. J., Silver R. A. Shunting inhibition modulates neuronal gain during synaptic excitation // Neuron. 2003. - Vol. 38. - Pp. 433-445.

241. Moreau L., Aeyels D. Stabilization by means of periodic output feedback // 38-th IEEE Conferense on Decision and Control. — 1999. — Pp. 108-109.

242. Moreau L., Sontag E. Balancing at the boarder of instability // Physical Review E. — 2003. Vol. 68. - Pp. 020901 (1-4).

243. Moreau L., Sontag E., Arcak M. Feedback tuning of bifurcations // Systems and Control Letters. 2003. - Vol. 50. - Pp. 229-239.

244. Morgan A. P., Narendra K. S. On the stability of nonautonomous differential equations x = A + В(t).x with skew symmetric matrix B(£) // SIAM J. Control and Optimization. 1992. - Vol. 37, no. 9. - Pp. 1343-1354.

245. Morosanov I. S. Method of extremum seeking control // Automation and Remote Control. 1957. - Vol. 18. - Pp. 1077-1092.

246. Morse A. S., Mayne D. Q., Goodwin G. C. Applications of hysteresis switching in parameter adaptive control // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1988. — Vol. 37, no. 9. Pp. 1343-1354.

247. Multiple model approaches to modelling and control, taylor and francis, london / Ed. by R. Murray-Smith, T. A. Johansen.— London: Taylor and Francis, 1997.

248. Narendra K. S., Annaswamy A. M. Stable Adaptive systems. — Prentice-Hall, 1989.

249. Narendra K. S., Balakrishnan J. Improving transient response of adaptive control systems using multiple models and switching // IEEE Trans, on Automatic Control.— 1994.- Vol. 39, no. 9,- Pp. 1861-1866.

250. Narendra K. S., Balakrishnan J. Adaptive control using multiple models // IEEE Trans, on Automatic Control. 1997. - Vol. 42, no. 2. - Pp. 171-187.

251. A nested Matrosov theorem and persistency of excitation for uniform convergence in stable nonautonomous systems / A. Loria, E. Panteley, D. Popovic, A. Teel // IEEE Trans, on Automatic Control. — 2005. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 183-198.

252. A new adaptive learning rule / W. Messner, R. Horowitz, W.-W. Kao, M. Bolas // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1991. — Vol. 36, no. 2. — Pp. 188-197.

253. Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. — Springer-Verlag, 1990.

254. Nikiforov V. O. Adaptive nonlinear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European J. Control. 1998. - Vol. 4. - Pp. 132-139.

255. Nonlinear control of a benchmark beam balance experiment using variable hyperbolic boas / J. Ghosh, D. Mukherjee, M. Baloh, B. Paden // Proceedings of the American Control and Conference. 2000. - Pp. 2149-2153.

256. Optical L. M., Richmond B. J. Temporal encoding of two-dimensional patterns by single units in primate temporal cortex. Ill information theoretic analysis // Journal of Neurophysiology. 1987. - Vol. 57, no. 1. - Pp. 162-178.

257. Ortega R., Astolfi A., Barabanov N. E. Nonlinear PI Control of Uncertain Systems: an Alternative to Parameter Adaptation // Systems and Control Letters. — 2002. — Vol. 47. Pp. 259-278.

258. Ostrovskii I. I. Extremum regulation // Automation and Remote Control. — 1957. — Vol. 18. Pp. 900-907.

259. Ott E., Sommerer J. Blowout bifurcations: the occurence of riddled basins // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 188, no. 1. - Pp. 39-47.

260. Oud W., Tyukin I. Sufficient conditions for synchronization in an ensemble of Hindmarsh and Rose neurons: passivity-based approach // Proc. of the 6-th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. — Shtutgart, Germany: 2004. — 1 3 September.

261. Pacejka H., Bakker E. The magic formula tyre model. — 1993. — Supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 21.

262. Panteley E., Loria A., Teel A. Relaxed persistency of excitation for uniform asymptotic stability // IEEE Trans, on Automatic Control. 2001. - Vol. 46, no. 12. - Pp. 18741886.

263. Panteley E., Ortega R., Moya P. Overcoming the detectability obstacle in certainty equivalence adaptive control // Automatica. — 2002. — Vol. 32. — Pp. 1125-1132.

264. A parametric learning control method with application for robot manipulators / A. Oler-ro, J. Gonzales-Jimenes, J. M. Vincente, A. Corral // Proceedings of IEEE International Conference on System Engineering. — 1990,— Pp. 164-167.

265. Pavlov A. Convergent dynamics, a tribute to Boris Pavlovich Demidovich // Systems and Control Letters. 2004. - Vol. 52. - Pp. 257-261.

266. Pavlov A. The Output Regulation Problem: a Convergent Dynamics Approach. — PhD. Dissertation, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 2004. — 192 pp.

267. Perceptual switching, eye-movements, and the bus-paradox / J. Ito, A. Nikolaev, M. Luman et al. // Perception. 2003. - Vol. 32. - Pp. 681-698.

268. Pervozvanskii A. A. Continuous extremum control systems in the presence of random noise // Automation and Remote Control. — 1960. — Vol. 21. — Pp. 673-677.

269. Peterson К. S., Stefanopoulou A. G. Extremum seeking control for soft landing of an electromechanical valve actuator // Automatica. — 2004. — Vol. 40, no. 6. — Pp. 1063— 1069.

270. Peterson K. S., Stefanopoulou A. G. Extremum seeking control for soft landing of an electromechanical valve actuator // Automatica. — 2004. — Vol. 40. — Pp. 1063-1069.

271. Phan M. Q., Frueh J. A. Iterative learning control: Analysis, design, integration, and applications // In System Identification and Learning Control, Chapter 15. — 1998. — Pp. 285-306.

272. Pogromsky A. Y. Passivity based design of synchronizing systems // Int. J. of Bifurc. and Chaos. 1998. - Vol. 8, no. 2. - Pp. 295-319.

273. Pogromsky A. Y., Nijmeijer H. Cooperative oscillatory behaviour of mutually coupled dynamical systems // Int. J. of Bifurc. and Chaos. — 2001. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 152— 162.

274. Pogromsky A. Y., Santoboni G., Nijmeijer H. An ultimate bound on the trajectories of the Lorenz system and its applications // Nonlinearity. — 2003. — Vol. 16, no. 5. — Pp. 1597-1605.

275. Polderman J. W., Pait F. M. Editorial to the special issue on adaptive control // Systems and Control Letters. — 2003. — Pp. 1-3.

276. Poliakov A. M., Ushakov V. V. Role of temporal parameters of the interspike interval in temperature coding // Fiziol. Zh. SSSR Im. I. M. Sechenoua. — 1983. — Vol. 69, no. 8,- Pp. 1108-1120.

277. Pomet J.-B. Remarks on sufficient information for adaptive nonlinear regulation // Proceedings of the 31-st IEEE Control and Decision Conference. — 1992. — Pp. 1737-1739.

278. Prokhorou D., Feldkamp L., Tyukin I. Adaptive behavior with fixed weights in recurrent neural networks // Proceedings of IEEE International Joint Conference on Neural Networks. Hawaii, USA, 2002. - May. - Vol. 3. - Pp. 2018-2022.

279. Puetter R. C., Gosnell T. R., Yahil A. Digital image reconstruction: deblurring and denoising // Annual Rev. Astron. Astrophys. 2005. - Vol. 43. - Pp. 139-194.

280. Qu R., Sarfraz M. Efficient method for curve interpolation with monotonicity preservation and shape control // Neural, Parallel к Scientific Computations. — 1997. — Vol. 5. Pp. 275-288.

281. Raffone A., van Leeuwen C. Dynamic synchronization and chaos in an associative neural network with multiple active memories // Chaos. — 2003. — Vol. 13, no. 3. — Pp. 10901104.

282. Rates of convex approximation in non-Hilbert spaces / M. J. Donahue, L. Gurvits, C. Darken, E. Sontag // Contructive Approximation.— 1997,— Vol. 13, no. 2.— Pp. 187-220.

283. Ray L. R. Nonlinear tire force estimation and road friction identification: Simulation and experiments // Automatica. 1997. - Vol. 33, no. 10. - Pp. 1819-1833.

284. Robotic needle insertion: Effects of friction and needle geometry / M. D. OLeary, C. Si-mone, T. Washio et al. // Proceedings of the 2003 IEEE International Conference on Robotics and Automation. — 2003.

285. Sastry S. Nonlinear Systems: Analysis, Stability and Control. — Springer, 1999.

286. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergense, and Robustness. — Prentice Hall, 1989.

287. Schumaker L. On shape preserving quadratic spline interpolation // SIAM J. Numer. Anal;. 1983. - Vol. 20, no. 4. - Pp. 854-864.

288. Self-organized criticality and synchronization in a lattice model of integrate-and-fire oscillators / A. Corral, C. J. Perez, A. DHaz-Guilera, A. Arenas // Physical Review Letters. 1995. - Vol. 74. - Pp. 118-121.

289. Seo W., Lee I. S. Model reference parametric learning cointrol of uncertain lti systems // Proceedings of Iterative Learning Control Workshop and Roundtable. — 1998. — Pp. 164— 167.

290. Separation principles for input-output and integral-input-to-state-stability / D. Angeli, B. Ingalls, E. Sontag, Y. Wang // SIAM J. Control and Optimization.- 2004,-Vol. 43. Pp. 256-276.

291. Sherrington С. S. Integrative Action of the Nervous System. — Charles Scribner's Sons, 1906.

292. Shevchuk I. A. Approximation of monotone functions by monotone polynomials // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1993. - Vol. 76, no. 1. - Pp. 51-64.

293. Simultaneous stabilization of three or more plants: Conditions on the positive real axis do not suffice / V. Blondel, M. Gevers, M. Mortini et al. // SIAM J. Control and Optimization. 1994. - Vol. 32, no. 2. - Pp. 572-590.

294. Sontag E. Some new directions in control theory inspired by systems biology // Systems Biology. 2004. - Vol. 1, no. 1. - Pp. 9-18.

295. Sontag E., Wang Y. New characterizations of input-to-state stability 11 IEEE Trans, on Automatic Control. 1996. - Vol. 41, no. 9. - Pp. 1283-1294.

296. Stationary and nonstationary learning characteristics of the 1ms adaptive filter / B. Widrow, J. M. McCool, M. G. Larimore, C. R. Jonson // Proc. IEEE. — 1976. — Vol. 64, no. 8,- Pp. 1151-1162.

297. Sternby J. Extremum control systems: An area for adaptive control? // Preprints of Jont American Control Conference. — San-Francisco, CA: 1980.

298. Stigter J. D., Keesman K. J. Optimal parametric sensitivity control of a fed-batch reactor // Automatica. 2004. - Vol. 40. - Pp. 1459-1464.

299. Stotsky A. Lyapunov design for convergence rate improvement in adaptive control // International Journal of Control. — 1993. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 501-504.

300. Strogatz S. Nonlinear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. — Perseus Publishing, 2000.

301. Structurally stable output regulation of nonlinear systems / С. I. Byrnes, F. D. Priscoli, A. Isidori, W. Kang // Automatica. 1997. - Vol. 33. - Pp. 369-385.

302. Suemitsu Y., Nara S. A solution for two-dimensional mazes with use of chaotic dynamics in a recurrent neural network model // Neural Computation. — 2004,— Vol. 16,— Pp. 1943-1957.

303. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical systems and turbulence. Lecture Notes in Mathematics / Ed. by D. A. Rang, L. S. Young. — Vol. 898. — Berlin: Springer-Verlag, 1981.- Pp. 366-381.

304. Terekhov V. A., Tyukin I. Y., Prokhorov D. V. Adaptive control on manifolds using RBF neural networks // Proc. of 39-th IEEE Conference on Decision and Control.— Vol. 4. Sydney, Australia: 2000. - December. - Pp. 3831-3836.

305. Tonically active GABAa receptors: Modulating gain and maintining the tone / A. Se-myanov, M. C. Walker, D. M. Kullmann, A. Silver // Trends in Neuroscience. — 2004. — Vol. 27, no. 5. Pp. 262-269.

306. Той J. T. Modern Control Theory. N.-Y.: McGraw-Hill Book Co., Inc., 1964. - 343 pp.

307. Transverse laser patterns. II. variational principle for pattern selection, spatial multi-stability, and laser hydrodynamics / M. Brambilla, L. A. Lugiato, V. Penna et al. // Physical Review A. 1991. - Vol. 43, no. 9. - Pp. 5114-5120.

308. Tsien H. S. Engineering Cybernetics. — McGraw Hill, 1954. — 289 pp.

309. Tsiotras P., Canudas de Wit C. On the optimal braking of wheeled vechivles 11 Proceedings of the American Control Conference. — 2000,— Pp. 569-573.

310. Tyukin I. Y., Prokhorov D. V., Terekhov V. A. Adaptive control with nonconvex parameterization // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2003,— Vol. 48, no. 4.— Pp. 554-567.

311. Tyukin I. Y., Prokhorov D. V., van Leeuwen C. Finite-form realization of the adaptive algorithms // Proc. of 7-th European Control Conference (ECC 2003). — University of Cambridge, UK: 2003. 1 - 4 September.

312. Tyukin I., Efimov D., van Leeuwen C. Adaptive regulation to invariant sets // Proc. of the 16-th IFAC World Congress. Prague, Czech Republic, 2005.-4 - 8 July.

313. Tyukin I., van Leeuwen C. Adaptation and nonlinear parameterization: Nonlinear dynamics prospective // Proceedings of the 16-th IFAC World Congress. — Prague, Czech Republic: 2005.-4 8 July.

314. Tyukin I., van Leeuwen C., Prokhorov D. Parameter estimation of sigmoid superpositions: Dynamical system approach // Neural Computation. — 2003. — Vol. 15, no. 10. — Pp. 2419-2455.

315. Victor J. D. Temporal aspekts of neural coding in the retina and lateral geniculate // Network: Comput. Neural Syst. 1999. - Vol. 10. - Pp. R1-R66.

316. Vijaya Kumar В. V. К., Mahalanobis A., Juday R. D. Correlation Pattern Recognition. — Cambridge University Press, 2005.

317. Vorotnikov V. Partial Stability and Control. — Birkhauser, 1998.

318. Walter E., Prozanto L. Identification of Parametric Models. — Springer-Verlag, 1997.

319. Webster M., Georgeson M., S.M. W. Neural adjustment to image blur // Nature Neu-roscience. 2002. - Vol. 5, no. 9. - Pp. 839-840.

320. Weigel R., Jackson E. Experimental implementation of migrations in multiple-attractor systems // Int. J. Bifurc. Chaos Appl. Sci. Eng. 1998. - Vol. 8, no. 1. - Pp. 173-178.

321. Wei K. The solution of a transcendental problem and its application in simultaneous stabilization problem // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1992. — Vol. 37, no. 9. — Pp. 1305-1315.

322. Wheel slip control using gain-scheduled LQ LPV/LMI analysis and experimental results / I. Petersen, T. Johansen, J. Kalkkuhl, J. Ludemann // Proceedings of IEE European Control Conference, Cambridge, UK, September 1-4. — 2003.

323. Wittenmark В., Urquhart A. Adaptive extremal control // Proc. of 34-th IEEE Conference on Decision and Control. — New Orleans, LA: 1995. — Pp. 1639-1644.

324. Wyss R., Konig P., Verschure P. F. M. J. Invariant representations of visual patterns in a temporal population code // Proceedings of National Academy of Science. — 2003. — Vol. 100. Pp. 324-329.

325. Xu Z.-B., Cao F.-L. Simultaneous /^-approximation order for neural networks // Neural Networks. — 2005. — P. in press.

326. Zadeh L. A. On the definition of adaptivity // Proc. IEEE. 1963. - Vol. 51. - Pp. 469470.

327. Zames G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems, part i: Conditions derived using concepts of loop gain, conicity, and passivity // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. - Vol. AC-11, no. 2. - Pp. 228-238.

328. Zhou S. P. On comonotone appoximation by polynomials in Lp space // Analysis.— 1993,- Vol. 13,- Pp. 363-376.