автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория деформаций сложных управляемых систем

Р г 6 0„

? - .;

На правах рукописи АЛЕКСАНДРОВ АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

УДК 515.17

ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.01. - управление в технических системах, 01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1997

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Бобылёв,

- член-корреспондент РАН А.А.Болибрух,

Ведущая организация - Московский институт электроники и математики (МИЭМ)

в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 002.G8.03 при Институте проблем управления РАН по адресу: 117806, ГСП-7, Москва, Профсоюзная ул. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН

Автореферат разослан « » 1997 г.

"Учёный секретарь диссертационного совета Д 002.68.03 при Институте проблем управления РАН

к.т.м. С.А.Власов

- доктор физико-математических наук, профессор Г.Н.Химшиашвили'

Защита диссертации состоится

^^ 1997 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что реальные эволюционные процессы описывают, как правило, системы общего положения. Такая система всегда зависит от набора параметров, которые никогда не бывают известны точно. Малое изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения. Ещё Анри Пуанкаре обнаружил, что типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия систем общего положения исчерпываются всего пятью простейшими типами. Среди них - два устойчивых (фокус, узел) и три неустойчивых (седло, фокус, узел). Поэтому, на первый взгляд, более сложные случаи можно не рассматривать.

Однако, если мы изучаем не индивидуальную систему, а систему, зависящую от одного или нескольких параметров, то картина значительно усложняется. Так, рассмотрим пространство всех систем, разделенное на области, образованные системами общего положения. Поверхности раздела отвечают вырожденным системам. При малом изменении параметров вырожденная система становится невырожденной. Однопараметрическое семейство систем изображается кривой, которая может трансверсально пересекать границу раздела разных областей невырожденных систем.

Очевидно, что, хотя при каждом конкретном значении параметра малым шевелением вырожденную систему можно превратить в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметра, поскольку всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу поверхности раздела при близком значении параметра.

Итак, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство, то вырожденные случаи неустранимы. Если се-

мейство однопараметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (заданные одним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем, можно избавиться малым шевелением однопараметрического семейства. Если изучать двухпараметрические семейства, то можно не рассматривать вырожденные системы, образующие множество коразмерности три и т. д. Теперь ясно, что сначала нужно анализировать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, потом - два и т. д. При этом для полного представления о характере поведения вырожденных систем, их исследование должно также включать и описание перестроек, которые происходят при изменении параметра, когда он проходит через вырожденное значение.

Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в реальной системе, то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает.

Для большей наглядности рассмотрим теперь семейство гладких функций / : И" х Я' Е, описывающее некий процесс, происходящий в различных экземплярах И", который управляется посредством функции / и на который оказывают влияние точки и* Нг. Координатное пространство 11" обычно называется пространством внутренних переменных, аИг- пространством внешних пе]>емениых. Такая терминология удобна в тех случаях, когда точки из Г1Г соответствуют точкам физического пространства, как, например, в оптике или биологии. При рассмотрении систем,

где можно что-то изменять и затем наблюдать, что при этом происходит, точки из И" называются управляющими переменными или параметрами, а точки из И" - поведенческими переменными. Соответственно пространство II/ именуется пространством управления, а И" - пространством поведения. В математическом контексте пространство И/ принято называть пространством деформации, а его точки (или их координаты) - параметрами деформации. Целое число г называется размерностью управления, или размерностью деформации.

Пусть подмногообразие М С В." х Г1Г задаётся уравнением

вш=о;

где Л»(я) = }(х, и)," (х, и) Е П" хВ/, а. Ю- обычный дифференциал отображения

fu : Ы" —► Л.

Другими словами, многообразие М - это множество всех критических точек всех потенциалов /„ из нашего семейства /. Обозначим через £ ограничение на М естественной проекции

тг: 1Г х Ыг —»1*7, тг(х, и) = и.

Критическим множеством называется подмножество С С М, состоящее из особых точек отображения £. Другими словами, С состоит из точек, в которых £ особо, т. е. ранг производной меньше, чем г.

Образ критического множества ((С) С Кг называется бифуркационным множеством В-

Нетрудно показать, подсчитав что С есть множество тех точек (х,и) € М, в которых /и(х) имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой геометрическое место

точек, где меняется число и природа критических точек (происходят "скачкообразные" изменения в состоянии управляемой системы); ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. Вот почему в большинстве приложений (например, в задачах устойчивости, оптимизации, при изучении каустик, волновых фронтов и т. п.) так важно изучение свойств бифуркационного множества. Исследования показывают, что бифуркационное множество как многообразие обладает весьма сложной аналитической и алгебро-геометрической структурой. При этом оказывается, что свойства этого многообразия зависят от структуры его подмногообразия особенностей, которое, в свою очередь, также может обладать особенностями и т. д. Это наблюдение естественно подводит к понятию стратификации многообразия, а в самом общем виде изучение бифуркационных множеств сводится к изучению стратифицированных многообразий.

С помощью известной леммы о расщеплении гладкую функцию / можно представить вблизи точки, где она имеет коранг т, в виде

(возможно также с параметрами из 11г для /). При этом переменные ут называются существенными, а ут+1,---,уп ~ несущественными. Конечно, такое представление не единственно. Следует также отметить, что особенности, встречающиеся в г-мерном семействе, будут в основном, даже если отвлечься от регулярных и морсовских точек, коразмерности меньшей, чем г. Тем не менее, всякое г-параметрическое семейство / можно записать вблизи точки, где оно трансверсально пересекает особенность коразмерности и в такой виде, в котором используются лишь V

параметров управления. После такой операции приведения "исчезнувшие" координаты в Rr называют лишними или немыми параметрами управления.

На самом деле, описанные выше понятия относятся к предметам, известным теперь как теория бифуркаций, теория катастроф, или теория особенностей. Начала этой науки восходят к работам А.Пуанкаре (1), а изложенные выше общие соображения применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но и к большей части всего математического анализа. Мощный импульс в развитии этих идей дали работы А.А.Андронова (2), Х.Уитни (3) .и, наконец, Р.Тома, который предложил использовать топологическую теорию динамических систем для моделирования разрывных изменений в явлениях природы. Он же указал на важность в этих рассмотрениях требования структурной устойчивости, или нечувствительности к малым возмущениям. Как оказалось, при определённых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из. семи стандартных форм - элементарных катастроф, или элементарных особенностей. Значительный вклад в развитие теории внесли В.И.Арнольд, Э.Зиман, Дж.Мазер, Дж.Милнор и многие другие математики, а также специалисты, работающие в различных прикладных областях.

В настоящей диссертации эти исследования продолжены в нескольких напраалениях. Основный объект изучения - широкий и

'POINCARÉ H. Sur Its propriétés des fonctions définies par ¡es equations aux différences partielles. In: Œuvres de Henri Poincaré, t. I, Paris: Gauthier-Villars, 1951.

2андронов A.A. Математические проблемы теории автоколебаний.. Собр. соч. М.: 1956, с. 85-124.

3 Whitney H. On singularities of mappings of euclidean spaces I. Mappings oj the Plane into the Plane. - Ann. Math. 62 (1955), p. 374-410.

важный класс сложных систем, заданных алгебраическими, аналитическими или дифференциальными уравнениями (системами уравнений). В работе исследованы квазиоднородные полные пересечения положительной размерности с изолированными особенностями, гиперповерхности с неизолированными особенностями, реализующие бифуркационные множества и-дискриминанты, а также нульмерные многообразия - кратные точки. Изучаются системы дифференциальных уравнений, описывающие связность Гаусса-Манина, ассоциированную с версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей Ам, ц > 2, и с главными деформациями пространственных кривых - полных пересечений // > 5. В частности, найдены точные решения этих систем, которые удаётся выразить в терминах обобщённых гипергеометрических функций Поххаммера.

Цель работы - развитие теории деформаций квазиоднородных полных пересечений положительной размерности с изолированными особенностями, гиперповерхностей с неизолированными особенностями, нелриведёниых нульмерных многообразий - кратных точек, разработка методов вычисления инвариантов перечисленных объектов, а также описание систем дифференциальных уравнений, реализующих связность Гаусса-Манина, ассоциированную с деформациями простых особенностей, вычисление и исследование их точных решений.

Научная новизна. Вычислены ряды Пуанкаре для групп ло-

кальных когомологий модулей голоморфных дифференциальных форм на градуированном полном пересечении. Получена формула для вычисления размерностей пространств когомологий биду-альных пучков регулярных голоморфных форм на квазигладком полном пересечении. Вычислены ряды Пуанкаре для групп рас-

ширений модулей голоморфных дифференциальных форм, групп касательной когомологии, пространств модулей деформаций квазиоднородных полных пересечений и другие основные конструктивные объекты теории деформаций. В частности, получена целая серия полиномов Пуанкаре, значения которых в единице даюг явные выражения для важнейших топологических и аналитических инвариантов ростка изолированной особенности квазиоднородного полного пересечения положительной размерности - чисел Милвора и Тюриной. Исследованы отображение вычета и фундаментальная двойственность в локальной и касательной ко-гомологиях. Описана структура модуля векторных полей на полных пересечениях положительной размерности с изолированными особенностями. Исследована структура Ходжа квазиоднородных полных пересечений. Разработана теория особенностей Саито, т.е. ростков гиперповерхностей Б таких, что мероморфные дифференциальные формы и векторные поля с логарифмическими полюсами вдоль V порождают свободные модули над структурным пучком объемлющего гладкого многообразия М. При дополнительном предположении квазиоднородносги вычислены ряды Пуанкаре для модулей абсолютных и относительных регулярных (го: ломорфных) дифференциальных форм на I), а также ряды Пуанкаре групп локальных когомологий, носители которых сосредоточены в геометрическом месте особых точек гиперповерхности £>. Описана локальная двойственность для гиперповерхностей с неизолированными особенностями. Вычислены ряды Пуанкаре для модулей мероморфных дифференциальных форм и векторных полей логарифмичных вдоль дискриминантов, ассоциированных с минимальными версальными деформациями квазиоднородных полных пересечений с изолированными особенностями. Далее,

дано новое описание модуля вертикальных векторных полей на пространстве деформации минимальной версальной деформации таких ростков. В частности, доказало, что существует естественный изоморфизм между этим модулем и модулем тривиальных векторных полей. Приведены результаты вычисления Ь-функций для дискриминантов, ассоциированных с нереальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей Аз, А*, и простых краевых особенностей Описывается оригинальный метод для вычисления чисел Милнора ростков Саито в терминах групп гомологий алгебры Ли логарифмических векторных полей Оегл/(к^ П) с коэффициентами в модуле Щ^1 голоморфных дифференциальных форм старшего веса на объемлющем пространстве М. Исследованы касательная когомология и теория деформаций неприведённых нульмерных особенностей. Так, описаны алгебры Ли дифференцирований (векторных полей) и пространства инфинитезимальных деформаций 1-го порядка нульмерных полных пересечений. Исследована фундаментальная двойственность и деформации локальных аналитических артиновых алгебр. Обнаружена каноническая двойственность модулей касательной гомологии и когомологии одинаковой размерности для произвольных артиновых алгебр, а также "перекрёстная" двойственность в касательной гомологии и когомологии размерности О и 1 для градиентных артиновых алгебр. Исследованы системы дифференциальных уравнений, реализующих связность Гаусса-Манина, ассоциированную с минимальными версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей Ац > 2, и с главными деформациями полных пересечений р. > 5. Найдены их точные решеетя, которые явно выражаются через обобщённые гипергеометрические функции Поххаммера. Получено

естественное описание класса обобщённых систем Пикара-Фукса в многомерном случае.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут найти применение в математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории деформаций комплексно-аналитических пространств, в теории управления и оптимизации, в теории экстремальных задач, в теории катастроф и в теории особенностей. Ряд авторов - Г. Мюллер, Я. Стивене, Т. Уолл, Б. Мартин, Т. Зи-берт, К. Бенке, Я. Кристофферсен, А. Каршпарьян, Д. Сирсма, Г. Пфистер, Г. Щёнеманн, Ш. Йокура, С. Стинбринк, В. Куликов, А. Закария, С. Танабэ, X. Хойзер и др. уже использовали результаты данной диссертации в своих работах.

Рекомендуется использовать результаты диссертации в исследованиях, проводимых в Математическом институте им. В.А. Сте-клова РАН, в МГУ им. М.В. Ломоносова, в Институте проблем управления РАН, в Московском институте электроники и математики (МИЭМ), в Институте системных исследований РАН.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на совместном заседании Московского математического общества и семинара им. И. Г. Петровского, на семинарах по теории комплексных пространств под рук. В. П. Паламодова в МГУ им. М.В. Ломоносова, на международном семинаре по коммутативной алгебре и алгебраической геометрии под рук. Э, Кунца и X. Настольда в Институте математических исследований г. Обервольфаха, на семинарах по теории алгебраических многообразий под рук. С. Кляймана в Массачусетском технологическом институте, по теории особенностей под рук. А. Иарробино в Северовосточном университете г. Бостона, по теории нульмерных особенностей под рук.

Ф. Ореккиа в Университете прикладной математики г. Неаполя, на коллоквиуме по комплексному анализу под рук. X. Бегера в Свободном университете г. Берлина, на семинаре по теории динамических систем в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН под рук. Д.В. Аносова.

Кроме того, результаты диссертации в качестве докладов или лекций были представлены на ряде научных конференций и симпозиумах, в их числе: Международная конференция по математическому анализу и механике сплошной среды, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.Мусхелишвили (Тбилиси, 1991); Международная конференция по теории ёлгебр, колец и модулей, посвящённая памяти А.И.Ширшова (Новосибирск, 1991);. Международный симпозиум по комплексному анализу и теории обобщённых функций (Варна, 1991); Международная конференция по алгебраической геометрии (Ля Рабида, 1992); Международные конференции по комплексно-аналитическим методам в теории динамических систем и по топологии (Рио де Жа-нейро, 1992); Международный семинар по аналитическим методам в теории эргодических систем (Монтевидео, 1992); Международные конференции по нульмерным схемам (Равелло, 1992) и по теории динамических систем (Порту, 1992); Международная конференция по комплексному анализу и его приложениям (Гонконг, 1993); Международная конференция "Математика, компьютер, управление и инвестиции" (Москва, 1993); Международная конференция по алгебраической геометрии в честь 65-летня Ф.Хирцебруха (Бар-И лав, 1993); Международный геометрический коллоквиум (Москва, 1993); Международная конференция по расширениям алгебр и модулей (Праха, 1993); Международные конференции по вычислениям в теории особенно-

стей (Коттбус, ФРГ, 1994, 1996); Международные Мемориальные чтения, посвященные памяти Дж.Барретта (Ноксвил, США, 1994); Международная конференция по коммутативной алгебре (Оснабрюк, Фешта, ФРГ, 1994); Международные конференции по геометрии стран акватории Тихого океана (Сингапур, 1994) и по теории особенностей (Бухарест. 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 статьях (в том числе 4 статьи в соавторстве), список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разбитых на 34 параграфа. Каждая глава снабжена кратким введением, где даётся сжатый обзор известных результатов и работ, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов. В список литературы включено 207 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуждаются главные идеи и наиболее важные работы и результаты, относящиеся ко всему кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации. Изложены основные результаты диссертации и её структура.

Один из наиболее естественных подходов к задаче описания и классификации объектов заданного типа был хорошо известен математикам XIX века. Б.Риман был одним из первых, кто заметил и использовал следующее соображение, которое, по-существу, и стало отправным моментом в развитии теории деформаций: если данный (вообще говоря, абстрактный) объект можно включить в

некое "непрерывное" семейство и затем определить, каким образом близкие объекты семейства связаны между собой, тогда многие свойства изучаемого объекта становятся более понятными и поддаются точному описанию. В частности, Риман обнаружил, что классы изоморфных гладких кривых рода д > 0 образуют непрерывное, почти всюду аналитическое, комплексное семейство. Комплексная размерность семейства, названная Риманом "числом модулей", вычисляется с помощью теоремы Римана-Роха; оно равно 1 для д = 1 и 3^ — 3 для д > 1.

Вскоре, однако, выяснилось, что полную теорию деформаций нельзя построить без использования инфинитезимальных методов. Одним из первых это понял О.Тейхмюллер, которому удалось отождествить множество инфинитезимальных деформаций римановой поверхности с пространством квадратичных дифференциалов. В дальнейшем многие учёные исследовали деформации произвольных алгебраических и аналитических многообразий, алгебр, модулей и других абстрактных объектов. При этом исследователи столкнулись с новым явлением, которого не было при изучении римановых поверхностей - "препятствиями". Таким образом и возникла проблема описания пространства препятствий. Решение этой задачи даёт возможность построить все деформации заданного объекта и описать его многие фундаментальные свойства. Наконец, анализ этой проблематики ведёт к далеко идущим обобщениям, которые непосредственно связаны и адекватно формулируются в рамках общей теории касательной когомологии - одного из основных инструментов при изучении деформаций.

Значительный прогресс в развитии теории многообразий произвольной размерности связан с именем Ф.Хпрцебруха. который

в 1954 г. на Амстердамском математическом Конгрессе представил доказательство обобщённой теоремы Римана-Роха. Он также рассмотрел несколько приложений этой теоремы к задаче вычисления целочисленных инвариантов неособого многообразия -пересечения нескольких гиперплоскостей в комплексном проективном пространстве. Одно из наиболее содержательных - это вычисление ^-характеристики

Xv(Y,V) = £ (-l)'dimc#4W(b,'))2/p р,ч>о

для голоморфного линейного расслоения L" над Y, v 6 Z, где L - одномерное расслоение, соответствующее гиперплоског му сечению. Используя теоремы об обращении в нуль некоторых групп когомодогий, легко найти также и размерности пространств H4{Y, fty). Позднее, с помощью техники теории изолированных особенностей, И.Наруки (4) вычислил все размерности dime H"(Y,npy(L^)).

Конечно, сразу же возникла задача обобщения этих результатов на случай многообразий с особенностями в связи с различными вопросами теории. Так, при решении многих проблем для квазиоднородных полных пересечений во взвешенном проективном пространстве, часто оказывается полезной информация о группах когомологий Я'(У, fiy(i/)w), где Q,y(i')w - скрученные бидуальные пучки регулярных (голоморфных) р-форм де Рама-Пфаффа (или, эквивалентно, пучков р-форм Зарисского) на квазигладком многообразии Y = Proj А. Здесь пучок fiy(v) соответствует А-модулю ily с градуировкой, сдвинутой влево на v € Z. Например, чтобы определить числа Ходжа-Стинбринка изолиро-

4NARUKI I. Some remarks on isolated singularities and their application to algebraic ma ¡folds. - Publ. RIMS. Kyoto Univ. 13 (1977), во. 1, p.' 17-46:

ванной особенности квазиоднородного полного пересечения, необходимо уметь вычислять размерности пространств Hq(Y,QPy^). Для У - взвешенного Проективного пространства - размерности групп к-огомологий H4(Y\ ßy-(V)w) были вычислены в 1976 г. в лекциях И.Долгачёва (5). В это же время Г.Хамм (®) получил формулы, выражающие эти размерности в терминах типа квазиоднородности такого многообразия. Некоторое время спустя в работе (7) были вычислены важные целочисленные инварианты квазиоднородных изолированных особенностей полных пересечений положительной размерности, такие как числа Милно-ра и Тюриной. Более точно, в этой работе были выписаны полиномы Пуанкаре для кручения модулей голоморфных форм. В 1981 году Г.Фленнер (8) вычислил знакопеременные суммы Z)g>o(—1)' dimc-i^'fy« Î2k(i/)vv)' Р О, в терминах типа квазиоднородности Y.

Глава I настоящей диссертации развивает эти исследования для квазиоднородных полных пересечений положительной размерности с изолированными особенностями в нескольких направлениях.

Пусть А - локальное коммутативное кольцо с полем вычетов С. Напомним, что рядом Пуанкаре Z-градуированного Л-модул я M с конечномерными компонентами M„t v G Z, называется фор-

5D0LCaÖHEV I. Weighted projective varieties. Lecture Notes in Math. 956, Springer-Verlag, 1982, p. 34-71.

6Xamm Г.А. Pod Xf квазьоднородных полных пересечений. - Фуикц. анализ и его прилож. 11 (1977), вып. 1. с. 87-88.

rgreuel g.-m., Hamm h.a. Invarianten quajisihomogener vollständiger Durchschnitte - Invent. Math. 49 (1978), p. 67-86.

eflenner h. Divisorenklassengrxtppen (¡uasikomogener Singularitäten. - J. mue und angew. Math. 328 (1Э81), p. 12S-160.

мальный рад Р(М\ t) •= E^eZ dime Mv • t"- Если эта сумма конечна, то Р(М; t) называется полиномом Пуанкаре. Росток аналитической функции д, заданной на Ст, называется квазиоднородным типа (d;wi,... ,wm) 6 Zm+1, если после некоторой би-голоморфной замены переменных д можно представить в виде С-линейной комбинации мономов г\ii,...,im > 0, таких, что tjtüi + ... + imwm = d. Росток комплексного пространства X С (С™, о) называется квазиоднородным типа (d;w) =-(di,..., <4; Wi, • ■ • i к-'m), если определяющий его идеал I порождается к функциями типов (di;w{,... ,wm),..., (dk]ivi,... ,wm). В первой главе изучаются ростки полных пересечений с изолированной особенностью, т.е. ростки X такие, что dime X = т — к и X \ {о} не имеет особых точек.

Теорема 1.5.1. Пусть А = 0(c,o)/I ~ дуальная локальная аналитическая алгебра ростка X типа (d;w), ш С А - максимальный идеал, соответствующий отмененной точке {о} 6.Х, Р(А;х) = П(1 - 2а')/П(1 - xWi) - ряд Пуанкаре алгебры А, с = dj — IZiLiWi и п > 1. Тогда для q = 1,...,п имеются следующие тождества для полиномов Пуанкаре:

ц-п^+«>-■ П ^ п Й^I,

где Q7a - А-модулъ голоморфных дифференциальных q-форм на ростке X, а ) - функтор локальных когомологий с носи-

телями, сосредоточенными в отмеченной точке ростка изолированной особенности X.

Теорема 1.-5Л. В обозначениях предыдущей теоремы имеются такие тождества для рядов Пуанкаре:

1)Р(Н^{А); х) = • Р(А; х~1) для n > 1-,

2)Р(&2,(П});*) =

(Е **** - Е ' Р(А; х-1) + Р(Н£1{П\); х) = (-1 )»-1+хе-Р(А;х-1)+ ■ + vest^rn+\l + «)-'Р(Л;+ ^ дошп>1; .

3)P(flb(í4í);x) = -Р^"1) res^ + +

+ (-1 r2P(H^+\QpA-ly, х) + (-1)г-*Р(Н£'(П>Л);х)

= res<=0*~n+pl П {n + tX'l П КР<п.

11 (1 - x~w') Ll (1 +tx~d>y

Первое приложение этих теорем - формула для вычисления размерностей групп когомологий H9(Y, ííf-(f)w) скрученных бн-дуальных пучков регулярных голоморфных форм на квазигладком полном пересечении Y.

Теорема 1.6.3. В обозначениях Теоремы 1.5.1 пусть Y = Proj А - квазигладкое полное пересечение размерности п > 2, и ЬР Ч -символ Кронекера. Тогда справедливы следующие тождества для рядов Пуанкаре:

1) Для 0 < g < тг - 1 и р + q = п - 1

-6РЯ + £ dime H"(Y, = *);

VíZ

2) Для 9 = n- l«l<p<n-l

-¿„-i + E dimc Hn-\YWD*V =

^eZ

(-1 Г^та-'ГО); X) +*СР(Л; зГ >es ^ +

= + Р{А. x-1)res <=оГп+Р(1 + гугШ + f

и <?ля р = О

£ dime iT"1^, <^(1/))«" = хсР(А; х"1); 3) Для g = 0 uO<p< n-2

-<5P,o + £ dimc tf^ns^rv =

(-.ГЧЧ.;^«.-'-'^,)-'!^,

W <?АЯ p = n — 1

£ dime #9 (У, fly"1 ("ГО*" = X~CP{A\ x).

Затем разбираются дальнейшие приложения Теоремы 1.5.1 и. Теоремы 1.5.4 к задачам вычисления групп расширений, групп касательной когомологни, пространств модулей деформаций квазиоднородных полных пересечений с изолированными особенностями положительной размерности и других основных конструктивных объектов теории деформаций. Для конкретных вычислений соответствующие формулы удобно представлять, используя следующие обозначения.

Пусть W\(yi,... ,ут), А > 0, - элементарные симметрические полиномы от уь..., ут с весами А определяемые из тождества

Ш1 + »0 = £ Wa(j/i, • • •, J/m)C\

i=l А=0

и Д\(уь... ,у к), А > 0, - симметрические полиномы от У\, у к степени А определяемые из тождества

П(1 + УзО~Х = Е(-1)АРл(Уь... ,УкКХ.

}=х а=0

Положим 0х,к{уи...,ук) = (-1)хУ1---укБх(уи...,ук), где Х>0,о = 1 и /?до = 0 для А > 0. Наконец, упорядочим индексы квазиоднородности особенности X по величине: — ... = ¿¡^ < ¿к1 +1 = ... - ¿к2 < 4а+1 = ... = <1кг^ < 4г_,+1 = ... = так что кг = к, ко = 0 и = кр — Аг^-х — 1 для р = 1,..., г. Следствие 1.7.2. В условиях Теоремы 1.5.1 существуют следующие тождества для д = 1,.. ,,п :

Р(ЕхЬ\(&л,А):х) =

• Е Е ~ * -1 + М Л + х

/х^-г^ а'»' - х""" ^ 1вя ) х

п / -1 " х**'-' -1 х**1 -1 хЛк - 1 \

- Х-1''"" Х-Ч - XV ' - '"" - / ' где через ^ = р!/д!(р — ?)! обозначены обычные биноминальные коэффициенты.

Хорошо известно, что пространство Г1 (Л) инфинитезималь-ных деформаций 1-го порядка ростка изолированной особенности изоморфно А), в то время как для п-мерного квазиоднородного полного пересечения конечномерные пространства А) изоморфны для всех д = 1.... ,п. Таким образом формулы Следствия 1.7.2 дают целую серию полиномов Пуанкаре. Их значения при х = 1 дают, вообще говоря, п ;различных выражений для чисел Мнлнора и Тюрипой /!(Л) = г(.4) = (Шис Т}{Л).

В частности, полагая q = 1, получаем гипотетическую формулу О-В! Ляшко (9).

Ещё одно приложение связано с проблемой описания структуры модуля векторных полей на квазиоднородном полном пересечении с изолированными особенностями.

Теорема 1.8.2 В условиях и обозначениях Теоремы 1.5.1 пусть Бег(Л) = Нотд(Ад,А) - модуль векторных полей на ростке п-мерндй изолированной особенности полного пересечения. Тогда ряд Пуанкаре для Der(yl) имеет вид:

P(Der(A); х) = Р(А; х) -Ь

т к

xc{(-l)n'l + vest=0t-n+\i + О-1 П^.

¿=1 ;=i

где с = E*=i di ~ ZZi wh G{t,x,a) = (1 + te")/( 1 - xa).

В заключение первой главы исследуется структура Ходжа в локальной когомологии градуированного полного пересечения.

Глава II посвящена исследованию гиперповерхностей с неизолированными особенностями. При этом наибольшее внимание уделяется случаю, когда коразмерность множества особых точек равна единице. Гиперповерхности такого типа естественно возникают при конструкции версальных деформаций особенностей функций и многообразий - это дискриминантное или бифуркационное множества.

В §2 приводятся основные обозначения, определения и результаты теории дифференциальных форм с логарифмическими полюсами вдоль приведенной гиперповерхности и теории логариф-

®ARNOLD V. On some problems in singularity theory. In: Geometry arid Analysis: papers dedicated to the memory of V'.K.Patodi. Bombay. 1981, p. 1-9.

мических векторных полей на комплексном аналитическом многообразии. Напомним, что мероморфная дифференциальная q-форма и/ с полюсами вдоль гиперповерхности D, заданной уравнением Л = 0 на гладком многообразии M, называется логарифмической, или логарифмичной вдоль D, если hu> и hdoi - голоморфны. Все такие формы порождают Од^-модуль fi(log D). Отметим, что понятие логарифмической формы появилось в работах К.Саито (10), (н). Если ^^(logX)) - свободный Од/-модуль, то росток гиперповерхности D называется особенностью Саито.

Следующие утверждения - наиболее важные для понимания многих необычных свойств гиперповерхностей с неизолированными особенностями.

Утверждение 2.2.1. Пусть h(z) = h(z0,.-.., zn) - росток аналитической функции без кратных множителей на гладком многообразии M размерности n-f 1 > 1 tt D С M - росток гиперповерхности, заданный уравнением h(z) = 0. Тогда для любого q > 1 существует естественный изоморфизм Ом-модулей

dh Л n^^log D) = (lit П {{dh/h) Aiî^1).

Предложение 2.2.3. В тех же обозначениях для q = 0,1,...,п+1 существуют точные последовательности Ом-модулей

0 —> ߣ7ft • n^Oog D) ^ WM/h . —> ill —» о, 0 —» Ü"M/dh Л íi^logD) ПЬ —t 0.

0 —♦ (llf + (dh/h) Л fi«;1 —♦ Ü4M(log D) Tors Q"d о,

10SaiTO К. On the uniformization of complements of discriminant loci. In: Hyperfunctions and Linear partial differential equations, RIMS Kokyuroku 287 (1977), p. 117-137.

"Saito K. Theory of logarithmic differential forms. - J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, ser. IA, 27 (1980), no. 2, p. 265-291.

где Tors ffD - подмодуль кручения Оо-модуля fi1D, а через Adh, ■h обозначены гомоморфизмы внешнего и обычного умножения соответственно.

При дополнительном предположении о квазиоднородности вычислены ряды Пуанкаре для модулей регулярных (голоморфных) дифференциал&ных форм на особенностях Саито, а также ряды Пуанкаре для группы локальных когомологий с носителями в геометрическом месте особых точек гиперповерхности D. Предложение 2.3.2. Пусть D С М - произвольная п-мерная квазиоднородная особенность Саито, заданная полиномом h(z) степени d € Z, deg z,-= w,-, i = 0,...,n, vj = w о...wn. Далее, пусть ... - любой однородный базис свободного Ом-модуля Derjw(log D) (который Ом-двойственен к (log-D)), так что deg= Vj е Z, j =0,1 ,...,п, v0 = 0. Тогда для q — 1,..., п + 1 имеются следующие формулы для рядов Пуанкаре:

Р(ПЧВ; x) = U(l-xWi)-lx res t^{xd+w ■ Гп+Ч~3 ■ П(1 + txVi) + Г«"1 • (1 - xd - txd) ■ П(1 -f ix*')}.

P(Torsfib; х) = П(1-хи")"1х

P(dQ%; .x) = (-l)i+1

где через П обозначается произведение по t от нуля до п.

Этот результат помогает полностью описать векторные поля на дискриминантах версальпых деформаций тгяазяоднородных изолированных особенностей гиперповерхностей и полных пересечений.

Следствие 2.3.5. При условиях и в обозначениях Предложения 2.3.2 пусть Dei(D) = Homc?ü(ii]3, Od) - Öd-модуль голоморфных векторных полей на D. Тогда

P(Der(D); х) = { £ - £ /П(1 - xWi).

j=О »'=0 ' '

Четвёртый параграф посвящен обобщению метода локальной двойственности, введённому А.Гротендиком (12), на случай ростка многообразия, имеющего в качестве множества особых точек росток. Коэна-Маколея. :

Теорема 2.4.1. Пусть X - росток Коэна-Маколея размерности п > 1, Z С X - подросток Коэна-Маколея чистой размерности d > 1. Тогда для всех i = 0,существуют 7-функториальные изоморфизмы в категории когерентных öz-модулей:

Ext^Fz, ¿г) = ЯотТ(Нр(П Щ~,с)>

где fz — ? ®oz Öz, Оz ~ пополнение О г по радикалу г = Пт,-, т, - максимальные идеалы дуальной к ростку Z полулокальной аналитической алгебры, так *lmo — w®oz Oz, и - дуализирующий модуль Гротендика ростка X, H*z(—) - функтор локальных когомологий с носителями в Zred, - модуль мероморфных

дифференциальных (п - d)-форм наТ/С, а Т - поле представителей ростка Z.

В частности, для дискриминанта D версальной деформации простой особенности Az эта двойственность приводит к таким соотношениям для рядов Пуанкаре:

"grothendieck а. Local Cohomology. Lecture Notes in Math. 41, SpringerVerlag, 1967.

Р(TorsfiJ,; x) = xl0-(l+x+x3+x4 + x7)/(l-x2) := P(x)/(l-x2), Р(Гг(0); ¡r) = г"12 • P(Qh; х) := ВД/(1 - х2), P(Qfc; х) = (1 + х3 +■ х4 + х6 + х7)/( 1 - х2),

где Qh — 0D/Jac{h) - локальная алгебра модулей ростка D.

В следующем параграфе даётся краткий обзор теории регулярных мероморфных дифференциальных форм в смысле (13) в специальном случае ростков полных пересечений.

Получена содержательная интерпретация аналога классического вычета Пуанкаре для произвольной приведённой гиперповерхности. Напомним, что для неособых гиперповерхностей D С M вычет Пуанкаре индуцирует следующую точную последовательность:

О —► йчм -—► iî^(logZ?) Пд"1 -—* 0, q>l.

Оказывается, опираясь на теорию логарифмических форм, можно определить аналог вычета Пуанкаре для произвольной гиперповерхности и построить похожую точную последовательность.

Теорема 2.5.5. Пусть D С M - приведённая гиперповерхность. Тогда существует точная последовательность комплексов Од/* модулей

О — П*м —> Ü-M(logD) о/Б"1 —» О, индуцирующая естественный изоморфизм

"BaRLET D. Le faisceau fur -an espace analytique X de dimension pure. Lecture Notes in Math. 670. Springer-Verlag, 1078, p. 187-204.

для всех q > 1, где через и}) обозначен комплекс регулярных ме-роморфных форм.

Среди прочего получено также полное описание модулей u4D регулярных мероморфных g-форм на ростке гиперповерхности D, множество особых точек которой имеет коразмерность равную единице. Более того, для квазиоднородных особенностей Саито выписаны явные формулы для рядов Пуанкаре модулей <jj4d. Теорема 2.5.4. Пусть D С M - n-мерная квазиоднородная особенность Саито как в Предложении 2.3.2. Тогда для q = 1,..., п + 1 имеем следующие формулы для рядов Пуанкаре:

Р(иУ; х) = P(res. Q^logD); х) = гез1=0{хш-<< • Г"4»"2 • П(1 + ii"1) - Г"~1 ■ П(1 + ^)}/П(1 - xWi).

В §6 вычислены ряды Пуанкаре для модулей логарифмичных вдоль дискриминантов дифференциальных форм и векторных полей, ассоциированных с минимальными версальными деформациями ростков квазиоднородных изолированных особенностей полных пересечений.

Предложение 2.6.4. Пусть D С M - n-мерная квазиоднородная особенность Саито как в Предложении 2.3.2. Тогда

P(Der„(IogD); х) = Д f^fÎ; х (-1)""'+

где с = £ dj — X) wi-

Далее, с помощью свойств касательной когомологии, получено описание модуля вертикальных векторных полей на пространстве деформации минимальной версальной деформации таких ростков. В частности, доказано, что существует изоморфизм между

этим модулем и модулем тривиальных векторных полей. В конце приводятся результаты вычислений на компьютере нильбазиса модуля логарифмических векторных полей вдоль дискриминанта, ассоциированного с минимальной версальной деформацией простых полных пересечений - особенностей пространственных кривых. Точнее, исследованы два ростка 5б и 5в из списка (14).

В следующем параграфе кратко описаны результаты компьютерного вычисления b-функций для дискриминантов, ассоциированных с версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей D\ и простых краевых особенцостей Bs, Z?4. В §8 описывается оригинальный метод для вычисления чисел Милнора с помощью групп гомологий алгебры Ли логарифмических векторных полей Der^ (log D) с коэффициентами в модуле Q'^1 голоморфных дифференциальных форм старшего веса на объемлющем пространстве М.

Наконец, в заключительном параграфе второй главы получена характеризация особенностей Саито, т. е. ростков гиперповерхностей D таких, что логарифмичные вдоль D дифференциальные формы и векторные поля порождают свободные Од/-модули. Теорема 2.9.5. В обозначениях Утверждения 2.2.1 пусть Z — Sing D ф 0 - подросток D, заданный идеалом Якоби Jac(h) — £,(dh/dzi) • О о функции h, codim (Z,D) = 1. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)2?- особенность Саито;

2) Z С D ~ детерминантный росток;

3) Z - росток Коэна-Макался.

14GirsTl М. Svr le.s stngulariic> isolrm d'intersection• completes quasi-humngines. - Ann. In3l. Fourirr 27 (1977;, по. 3, p. 1G3 - 192.

В Главе III разрабатывается теория деформаций нульмерных особенностей, или кратных точек, и она посвящена систематическому изучению касательной когомологии нульмерных особенностей, или, другими словами, аналитической структуры кратных точек.

Сразу же подчеркнём одно важное обстоятельство. Теория нульмерных особенностей существенно отличается от теории особенностей положительной размерности, или, в более широком смысле, от теории приведённых (без нильпотентов в структурном пучке) многообразий. Отчасти это объясняется тем, что локальная алгебра (структурный пучок) кратной точки не' приведена и полностью состоит нз нилъпотентных элементов. Напротив, для изолированных особенностей положительной размерности структурная алгебра либо вовсе не содержит нильпотентных элементов, либо их относительно немного (например, для особенностей кривых с вложенными компонентами). Последнее обстоятельство играет ключевую роль в доказательстве значительной части результатов для соответствующей теории деформаций, поскольку в таких случаях удается интерпретировать касательную когомо-логию с помощью локальных^когомологий, модулей расширений комплекса де Рама и т. п. Однако, в нульмерном случае все такого рода объекты, равно как и большинство из известных аналитических, алгебраических и геометрических конструкций становятся тривиальными. Поэтому зачастую приходится либо возвращаться к исходным определениям и понятиям теории, либо искать какие-то нестандартные идеи и соображения. Например, очевидно, что любая нульмерная особенность является одновременно и компактнгш комплексным пространством. Это простое соображение приводит к открытию красивой двойственности в ка-

сательной когомологии.

Во втором параграфе третьей главы даётся краткое введение в теорию касательного комплекса аналитических алгебр (15) с приложением к теории деформаций нульмерных особенностей. Исследована структура нульмерной касательной когомологии Т°(Х) кратной точки X, являющейся квазиоднородным полным пересечением, а также касательной гомологии Т\(Х) для произвольных нульмерных особенностей. Напомним, что для приведённого полного пересечения эта гомология всегда тривиальна. Нульмерное полное пересечение, по-видимому, простейший случай, когда это не так. Затем показано, что в общем случае модуль первой касательной гомологии Ti(X) изоморфен фактору примитивного идеала по квадрату идеала, задающего особенность.

В четвертом и пятом параграфах исследуется фундаментальная двойственность в касательной когомологии и деформации локальных аналитических артиновых алгебр. Описана каноническая двойственность модулей касательной гомологии и когомологии одинаковой размерности для произвольных нульмерных особенностей и для нульмерных ростков Горенштейна. Предложение 3.5.1. Предположим, что-Х - нульмерный росток Горенштейна, т. е. дуальная локальная алгебра А является аналитической алгеброй Горенштейна. Тогда для всех i > О существуют канонические невырожденные спаривания конечномерных С-векторных пространств

Ti(X) х Г(Х) —♦ С.

В частности, dime Т{(Х) — dime Т'(Х) для всех i > 0.

15Паламодов В.П. Когомология аналитических алгебр. Труды Моск. матем. общества 44 (1982), 3-61.

В качестве одного из красивых приложений этой теории - в случае градиентных особенностей - построены "перекрёстные" невырожденные спаривания:

ТорОхГЧ*)—>С,

Ti(X) х Т°(Х) —► С.

Затем получена оценка на размерность первой группы гомо-логий комплекса Кошуля, порождённого произвольной последовательностью функций, определяющей нульмерный идеал, с коэффициентами в горенштейновом артиновом кольце. . Предложение 3.6.1. Пусть Н - регулярное локальное кольцо и А - локальная артпинова С-алгебра, дуальная ростку нульмерной особенности Гсренштпейна такая, что А ~ Н/1. Обозначим через f = (/1,...,fi) систему образующих идеала I, а через K.(f) -комплекс Кошуля,, ассоциированный с f. Тогда

dime #i(K.(f)) < I • dime А.

При этом равенство достигается в случаях t ~ 1,2.

Опираясь на эту оценку, мы устанавливаем некоторые, полезные числовые свойства для размерностей модуля векторных полей и модуля инфинитезимальных деформаций 1-го порядка нульмерных полных пересечений и соотношения между ними.

В восьмом и девятом параграфах обсуждаются некоторые приложения для квазиоднородных нульмерных ростков.

Наконец, в заключение третьей главы излагается конструкция, которая связывает с каждой нульмерной особенностью некоторое множество дифференциальных 1-форм. Во многих важных случаях первые, интегралы этих форм дают полезную информа-

дию о строении примитивного идеала. Отметим, что с этой точки зрения многие примеры из известного справочника (16) можно связать с классами нульмерных полных пересечений.

Глава IV посвящена исследованию связности Гаусса-Манина для изолированных особенностей. Напомним, что в одной из самых известных своих работ Э.Брискорн (17) доказал, что связность. для однопараметрической главной деформации изолированной особенности гиперповерхности представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярными особенностями. В частности, из этого результата также следует, что после мероморфной замены переменных такая система сводится к уравнениям, коэффициенты которых могут иметь полюса не выше первого порядка. Изучение такого вида систем было продолжено в работах Г.-М.Грёля, К.Саито, А.Н.Варченко, М. Ноу ми и других.

В качестве иллюстрации всего круга вопросов, затронутых в данной главе, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

(гг - 1 /4)и" + (a+ß + 1 )zu' + aßu = 0,

известное под названием классического уравнения Лежандра. Это уравнение - частный случай гипергеометрического уравнения

z(l — z)u" + [7 — (а + /? +1)2] u' — aßu — 0,

решения которого - гипергеометрические функции Гаусса <xß *(<* + l)ß(ß+n:2. <*(<* + !)(.<*+ 2)ß{ß + l)(ß +2) 3 1 * 7 1-27(7 + 1) 1-2.37(7 + l)(7 + 2)

"Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. т. I. М. : ГРФМЛ, 1971.

17brieskorn Е. Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen. - Manuscripta Math. 2 (1970), p. 103-161.

Несложное вычисление показывает, что уравнение Лежандра описывает связность Гаусса-Манина для особенности >43.

Основная цель последней главы - исследовать системы дифференциальных уравнений, реализующих связность Гаусса-Манина, ассоциированную с минимальными версальными деформациями простых особенностей гиперповерхностей А^, /л > 2, и с главными деформациями полных пересечений ц > 5.

В третьем параграфе подробно разбирается случай А^. Обозначим через Г(г,з) = + в^г1'''1 +... + вх-г + з0 = О версаль-ную деформацию простой особенности гиперповерхности А Предоюжение 4.312. Интегралы периодов ...

в = (й0, • • •, ассоциированные с версалъной деформацией А^, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

где К(«) = (Ко(з),. -., Я"м_1(.5))г - матрица-столбец, а матрица -.., ^-1) имеет вид

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 ,0 0 0 0

3^-2 2- 0 0 : :'

3 2•Ззй_1 0 : :

(ц - 1)82 2{р. - 2>3 3(р - 3)в4 • • • (ц- О О

так что ее элементы задаются соотношениями:

(г + ««.г = (»' - ¿+2) 3 < » < ц, 1 < 1 < ц - 2.

Матрица 5 имеет также следующее представление:

Э = во- ¡(1,, + С(аГ)

с полиномиальной матрицей С{з'), У = ($1,... ,5^,-1), - единичная матрица порядка ц и

ц+1 ц+1

Заметим, что основная формула Предложения 4.3.2 похожа на выражение (2.1) из работы (18),которое было получено с помощью иснользовани: пециальной системы плоских координат. Теорема 4.3.3. Решения системы Предложения 4.3.2 можно представить в следующем виде:

К(*0, з') = (1(1, + Е П П -3 ■ ^ + ПО)(-^)')К(0, в'),

*>0 К■ у=о

где Д„(а') = с^^О,«')! и £(«') Д„ ■ 5-1(0,5') для / =

(«ь ...,в/1_1).

Детальный анализ этого представления показывает, что решения системы Предложения 4.3.2 явно выражаются через обобщённые гипергеометрические функции Поххаммера (19), которые после подходящей замены переменных можно записать в таком виде:

Л_1(аь.. „а,; А,.. = Е т + ¿) ■ ■. + Ц Т

где Г(/3) - классическая гамма-функция.

В четвёртом параграфе изучается случай главных деформаций особенностей пространственных кривых - полных пересечений р. > 5. Затем исследуется вопрос о представимости связности Гаусса-Манина в виде полной дифференциальной системы

"ISHIURA S., NOUMI M. A calculus of the Gauss-Manin system of type At- I. Proc. Japan Acad. Ser. A, Math. Sci. 58 (1982), p. 13-16.

,sLeveLT A.H.M. Sypergeometric functions. - Proc. Konikl., Nederlandse Akad. Wet., Ser. A, Math. Sci. 64 (1961), p. 190-211.

Пикара-Фукса с коэффициентами - мероморфными дифференциальными формами, которые определены на базе деформации и имеют логарифмические полюса вдоль дискриминанта.

В заключение главы обсуждается одна проблема, связанная с обобщением понятия фуксовой системы (20) на случай многих переменных. Пусть и> - логарифмическая дифференциальная форма на ростке особой гиперповерхности D, заданной функцией h(z) без кратных множителей, как в Утверждении 2.2.1. Можно доказать, что форма 1? = h • w, не представимая в виде gdh, где д - . голоморфна, является элементом кручения модуля голоморфных дифференциальных форм на D, т. е. д € Tors Од. Это означает, что существует некоторое целое I > 1 такое, что все элементы т' • 1?, где т = (z0,..., zn) - максимальный идеал в регулярном локальном кольце ü<>+i, делятся на h(z). Анализ полученных в данной главе результатов приводит к заключению, что естественно рассматривать класс обобщённых фуксовых систем

где I = (/ь...,/„)т - вектор-столбец неизвестных функций, m -число образующих модуля Der<>+i (log D) логарифмических форм на гиперповерхности D, € TorsiiJ, и A, Bj - матрицы коэффициентов с голоморфными элементами, удовлетворяющие стандартному условию интегрируемости. Отметим, что в этом классе содержатся многие известные классические фуксовы системы, и его исследование представляется очень интересной и непростой задачей.

20ANOSOV D.V., BOIIBRUCH A.A. The Riemann-Hilbert problem. Aspects of Mathematics: E; v. 22. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1994.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1j александров а.г. Гладкие деформации приведённых кривых. - Математический сборник, 1974, Т. 95, № 4, с. 551-559.

[2] Александров А.Г. О деформациях одномерных особенно. сшей с инвариантами С = 6 + 1. - Успехи математических

наук, 1978, Т. XXXIII, вып. 3, с. 157-158.

[3] александров а.г. О деформациях букетов квазиоднородных одномерных особенностей. - Функциональный анализ и его приложения, 1981, Т. 15, вып. 1, с. 67-68.

[4] александров а.г. Нормальные формы одномерных квазиоднородных полных пересечений. - Математический сборник, 1982, Т. 117(159), X» 1, с. 3-31.

[5] александров а.Г. Двойственность Гротендпка и деформации особенностей. - Успехи математических наук, 1982, Т. XXXVII, вып! 4, с. 95.

[6] Александров А.Г. О комплексе де Рама квазиоднородного полного пересечения. - Функциональный анализ и его приложения, 1983, Т. 17, вып. 1, с. 63-64.

[7] Александров А.Г. Когомология квазиоднородного полного пересечения. - Известия АН СССР, сер. матем., 1985, Т. 49, вып. 3, с. 467-510.

[8] AleksaNDROV A.G. Euler-homogeneous singularities and logarithmic differential forms, Annals of Global Analysis and Geometry, 1986, B. 4, N* 2, s. 225-242.

[9] александров а.г. Числа Милнора неизолированных особенностей Саито. - Функциональный анализ и его приложения, 1987, Т. 21, вып. 1, с. 1-10.

[10] александров а.г. О комплексе де Рама неизолированных особенностей. - Функциональный анализ и его приложения, 1988, Т. 22, вып. 2, с. 59-60.

[11] Александров А.Г. Неизолированные особенности Саито. -Математический сборник, 1988, Т. 137(179), № 4(12), с. 554567.

[12] Aleksandrov A.G. Nonisolated hypersurface singularities. -Advances in Soviet Mathematics, 1990, v. 1, p. 211-246. Amer. Math. Soc., Providence, RI.

[13] Александров А.г. О векторных полях на Полном пересечении. - Функциональный анализ и его приложения, 1991, Т. 25, вып. 4, с. 66-68.

[14] Aleksandrov A.G., Martin В. Derivations and deformations of artinian algebras. - Beiträge zur Algebra und Geometrie, Halle(S), 1992, В. 33, № 1, p. 115-130.

¡15] Aleksandrov A.G., Kistlerov V.L. Computer method in calculating Ь-functions of non-isolated singularities. -Contemporary Math., 1992, v. 131, Pt. 3, p. 319-335.

[16] Aleksandrov A.G.Residuen und Dualität für nichtisolierte Singularitäten. - Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie,. Tagungsbericht Л» 22/1992, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolf ach, Germany, s. 2-3.

[17] Aleksandrov A.G. Vector fields and polynomial systems. In: Comple analysis and its applications, Pitman Research Notes in Math. v. 305, p. 281-291, Longman Scientific h Technical, J.Wiley & Sons, Inc., New York, 1994.

[18] aleksandrov A.G. Duality and De Rham complex on singular varieties. - Contemporary Math., 1994, v. 161, p. 81-93.

[19] aleksandrov a.G. Koszul complex with coefficients in a self-injectivt artinian ring. - Commutative algebra, Vechtaer Universitatschriften, 1994, B. 13, s. 15-19. Verlag Druckerei Runge GmbH, Cloppenburg, Germany.

[20] aleksandrov a.G. Duality, derivations and deformations of zero-dimensional singularities. In: Zero-Dimensional Schemes, p. 11-31. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1994.

[21] aleksandrov a.G. Derivations and deformations of zero. dimensional rings and algebras. In: Zero-Dimensional

Commutative Rings, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 1995, v. 171, p. 81-93, Marcel Dekker, Inc., New York.

[22] aleksandrov a.G. A formula of Hirzebruch and its generalizations. In: Algebraic Geometry, Israel Math. Conference Proc. 1996, v. 9, p. 7-39. Emmy Noether Research Institute for Mathematics, Ваг-Пап, Israel.

[23] ALEKSANDROV A.G., TanabE S. Computing Gauss-Manin systems for complete intersection singularities S^. - Georgian Journal of Math., 1996, v. 3, № 5, p. 401-422.

[24] aleksandrov A.G., Tanabe S. Gauss-Manin connexions, logarithmic forms and hypergeometric functions. In: Geometry from the Pacific Rim, p. 1-22. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1997.