автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретические основы конструктивного моделирования непрерывных функций на базе дельта-последовательностей

Р Г Б ОД

2 5 нол ^

на правах рукописи УДК 517.518.8; 519. 673

ОСИПОВ ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ

теоретические основы конструктивного моделирования

непрерывных функций на базе дельта — последовательностей

Специальность 05.13.18 — Теоретические основы математического моделирования, чнсленные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск 1996 г.

Рйоота выполнена в Красноярской Государственной Академии Цветная Мэта.ллов и Золота

Официальные оппоненги: - Доктор физико-математических

наук, профессор Полоаинкин Б.И. - Доктор физико-математических наук, профессор Федотов А.Н.

1 - Доктор технических наук, профессор Кочегуров В.А.

Ведущая организация; Томский Государственный Университет^ г. Томск.

Защита состоится " 20 " деко^РЯ 1996 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 064.54.01 но защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Красноярском государственном технической университете: (660074, г.Красноярск, ул. Корейского, 26),

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим Еисла-гь по адресу; 660049, г. Красноярск, 49, ул. Ленина 70, Ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан " " ^ёка&ря 19Э6 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н,, профессор

В.Н. Тимофеев

ОСвдя характеристика работы

Актуальность проблемы. Математическое моделирование - это математическое описание разнообразных объективно суиествугщих реальностей: .-юлений и систем различной природы, процессов и сигналов, многообразиях зависимостей и причинно-следственных связей.

Применение математических методой - нотного инструмента познания H исследования, п ра ообраэных отрасля:'. знаний il сферах человеческой деятельности становится поз-моэтшм линь при предварительном создании математических моделей изучаемых явлений. Сурков развитие' вычислительной техники существенно стимулирует этот процесс.

Математическое моделирование становится, по суиест-ву, uarneftnioft часты» современной! прикладной математики и но только прикладной. Классы и тими математических «одолей, ксгк математически» объекты, сами становятся предметами 7'еоретпчоски« исследонатй! в различных разделах на— тематики, разппвач и обогащая ик ковини илелип и направлениями.

Яркой ш:люстрацнсЯ этому может слушпь творил приближения функций или конструктивная теория функций (по терминологии акад. С. II. Еернатвйнп) - раздел математики, изучат™!!й методу построения (конструирования) и свойства гидтсматическин моделей, приближает:»« в тон или ином скисла фушгт'п различных классов и iîmswwix сравнительно простуо' аналитическую структуру.

Des началось с фундаментальных работ видагашхся ученых: К. Вейерштрасса, доказавшего принципиальную возможнее"'!, сколь ' угедко точного гтрдб.шясення всякой непрерывней функции подкненамл (cvenennvmi пли тригонометрическими -в' перпсудгтеексм случае); П. Л. Чебьмева, создавшего основы теории нанлутнФо приСлпуения Функций и акаа. С. II. CepwjTCiitia, получтгаегр ряд оснспопсшагаггпп.ч результатом, пазвояиввмч говорить о ¡юном разделе математики - к он-, структчшю': теории функций.

Лольшсч"! пкл4л о становление п разпитио это:": теории бил сделан рядом известны';-: зарубежных ученых: бзлле-Нуссйн, Д. Джексон, Тавр, Г.- Согё, А. Зигмунд, Р. Эдварс и др. it отечествешшх математиков: Л.Н. Колмогоров, С.!-'.. Никольский, в .J1. Гончаров, H.H. Лузин,' И.П. Натансон, /¡.К. Ахиезер, Н.ГГ. Корнейчук, D.M. Тихосироп, С.П. ртеч-кин, Ю.Н. Субботин, П.Л. Ульянов, И.Я.Ви.ленкин п'многими другими.'

К серодинс XX века • классически* этлп разплтил -он-структиинсй теории функций постепенно сменился. Hopt.o.1 'эта-

«ом. Он характеризуется как углублением основ обшей теории арислдлешхя функций с использованием идей и методе в функционального анализа, вызванном, в частности, потребностями вычислительной математики и многочисленными приложениями, так и разработкой новых направлений в самой теории.

Отметим такие направления как: поперечники функциональных классов (Л. 11, Колмогоров, В.М. Тихомиров); теория куСатуршдх формул (C.JI. Соболев); экстремальные проблемы теории приблюкания (В.И. Тихомиров, Н.П. Корнейчук); теория рядов по системам функций Хаара и Уолта (и, вообще, пр ¡.гультипликативкыы системам) (П.Л. Ульянов, Н.я. Вилен-кил и др.)

Наконец, важным и весьма перспективным направлением современной конструктивной теории функций является теория онлайновых моделей аппроксимации функциональных классов (впервые системно разрабатывались .группой американских математиков во главе с И, Пёнбвргрм). Значительный вклад в теорию спЛайн-приближений и их многочисленных приложений снесли отечественные математики Н.П. Корнейчук, С.Б. Стечюш, Ю.Н. Субботин; группа сибирских математиков, возглавляемая академиками Г.И. Марчук, С.Л. Соболевым, H.H. Яиенко.

Появление теории обобщенных функций, существенно обогатившей класскческус теорию и играющую важнейшую роль в математической (и теоретической) физике и многочисленных физико-технических приложениях, не могло остаться "незамеченной" и в.теории приближения функций.

Уникальные свойство обобщенных функций, - существенно расширяющий возможности классического математического анализа, создавали предпосылки для неизбежного возникновения нового плодотворного научного направления а конструктивной теории функций, основанного на системном использовании свойств обобщенных функций не только при доказательстве теоретических приложений« но и для конструирования математических моделей, приближающих в той или ином смысле классц функций, л также построения соответствующей теории таких моделей.

Вся проблематика такого род« не только назрела, но и становится весьма актуальной для широких исследований.

Диссертационная работа, невидимому, является первой работой, в которой сделана попытка системного использования обобщенных функций для конструирования моделей непрерывных (и более гладких) функций и теоретического исследования свойств этих моделей.

Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ моделирования гладких функций одного переменного, системно использусдеро особые последователь-

поста функций {й-послояопагелыюсти) , сходящиеся и т-рчстнон сикеле к сингулярной обоецемноГ| функмпи (S-

цель достигается ppneiew ряда ксмплекстг.< ксря;:1-ч»;еких задач и ироОл'-м.

I. С познипИ теории оС>оО¡пенни* фул.чиш": рвзрпОотинч оснегк •t'ccpinr приОл'^яггаим молелен и форго с^ррточтгм оперпто-f,nr> с б-яярз»я1 (первого порядка) .'ппэлпчимх "-".tion к

.-yiACCGi! .

потребовало рыпадиа слекуютмх чпстимх про- ПолроСкого исследования различны:; спсЯстп раа::осС~ раэннл i>-noc-4(snop.;»': йлышете "t как дш>роксимэтлянш: слипа« в cr.cptoviwfl аяг<-гг<> ойойисшшх функтл, сср^зуг«:'^:; класс экг !:!'г-<лг!!тног.тн и опррдчлчгкпх свойствп с: ерточ-¡;ux с Z ->:::■- .

- :'■■■,'м:'чм; t;f*:c:j 1::"Г'-:грп.с: {с-. г-ртспп!':) пмгрг'тс-роп с п ра^Л!'.'-::-1!,'1- нкь" про-С'грамстплк, гак Г!Г!п;'Л>;: ¡!р:!0л;:г':-ы:т. U члс'Пч.-.О'Г:!, c!i;>iic'-i! сперточн!::; опер<'.™гро:> с t'KKiivcc'^tr'.iT VJ VopM'.' ('XHc-iii:.:.;) liiira!!1.::";!''^ no coOcTinm-i&ct ! таких о.чера тиров» a такто свсР.сто ooniui-

rp-rj'x при itc1: ff '¡l^i^^nuij:: ~fi :> фор;,—; тригомс-

c;:n : су:::: ::rjii't?яр;: !';".'/-

i r: мс-л ¡'пэг-ч^ч!'/ X-:"■„•:-rv.-/:; (>.-

УСНО и j .

- ¡■'■.".с.ч(:ГО>>й1. - ci>c;:crrj t.-r'fj'l' | ;<ш"\ .i-rcn, си: coC.-r, u":"-* ; cvjpr'j'.M.jx оч.'р.,'героп с t;"p . с ■.ipcuijii !i,< ноли d npH;;.i:->-jxii:;>:i Х-ио;;е;:"::. pro rp'.-.r.M'j :: ос::;" и".':!!.."! и v-;>iг-'.гип'.см тап:к коры'.';':

J!.v:' Л, ;r'!iKT^p';i гри-

к».им'-'i 1 г : С'j'lif;uио:i:ij:а!5 » prispa^oTrn Tvcp'ri:-oc;.o- nf.oTo Я'уг.-н.тигэннсго .'jf:"-'!-'!: ccu'Ji'i: тоорш-t i>r>r;»G!:H j, .-о .нггор-л* i'.'^c;; о::«"'1 '¿'j":ur г.риЗлг мололо:"! .< c:;:>p'ro'iHLi:;

оператор».» с Г>-ялр;::-'.м аксокик порядко», учитмвавздя .¡ш-Гференапальнис спойся >м приОлитг»:.:ых функции. Как 4<jct(iui> случаи изгони ¡.¡зхехн a pofii-i тригонометрических и чсСшевских л-сумм наилу-пиего при&лнг»ния, по-P"Tj3sewie сверточньал! олератергк.в! с пиро-гяеншда! 5-ядроси иысоьих порядков. 3. Pd-jpaC-oTsiiN основы теории инГ('рпо;:;м:;юнних МОД1 ей, иЬсальэуюанх -б-элененгы н poj;!! интсп-аслииионних. элементов im смегпих сетках, уэли которых .'чггь нули cooc*:i;oh-iu-ix функций сьерточних операторов с ."-¡и-риоянческиг-ы 5-

ядрами из класса аппроксимативных единиц сворточной ал-гейры. Исследованы свойства таких моделей как в форме кьапратуркик О-сушл, так и в форме квадратурных Х-сумм. Последние, как и обычные Я-суаам, являются экстремалями квадратичных функционалов, 150 приобретают характер сглиетвавчих сплайнов, если, интерполяционные данш.и» о-приближаемой функции заданы с г.огрз-пс.стьс. . 'Разработаны начала теории разнообразных интерполяционных сплайаовых моделей на основ.; б-эж.'ментов (В-сллзйков) из класса финитных рекуррентных дифферении-.ально-раэностных (РДР) • б-последователыюстей различных обобщенных степеней. Рсас-н ряд анизмгпчссгшс методологических задач по представления сллййновш: моделей I! их .производных п различных формах.

Научная новизна работы. РаэрьОотанн уеорйтпческие положения, совокупность которых мо;»но квалифицировать как новое научное достижение и теории моделирования непрерывных функциональных связей (и конструктивной теории функций) .

Это достижение снизано с осоьыи подходов в конструировании при&юзимсынх моделей, исасльзускии различные свойства, представления и теории ¿-последовательностей, образующих класс эквивалентности в смысле сходимости' к одной и той сингулярной обиС-даднсй функции - 5-

функции.

Удалось построить основы о"эдй, конструктивной и оригинальной теории, охватывающей; с единой 'точки зрения, как некоторые классические частные результаты, развивая и углубляй их, так и приСлижаицие модели новых видоь и типов.

В частности, - это конструктивная теория особо точных приближающих моделей, учитывающих -характеристики гладкости приближаемых функций к построенных на основе введенных автором Б-последовательностей высоких порядков. Возникают модели в форме приближающих сверточних операторов с б-ядрами высоких порядков и связанные сними полиномиальные модели в форме тригонометрических и чебышевских Я-сумм, высокой точности (наилучшего приближения). Этот класс приближающих моделей в теории приближения ранее не рассматривался.

Предлагается перспективный подход (и основы соответ-ствуидей теории) в построении приближающих моделей как актреыалей, доставляющие минимум некоторым симлиаивш (параметрическим) квадратичным функционалам. Возникают эффективные и аналитические • модели класса Х-

полиномиальных, содержащим множество и квадратурнт У-сум и.

Так, »¡¿бор срлаживашдвго функционала с параметрическим членом п иил«? интегрируемого кнадрпта пторой производной на мкотесгве квадратур»«« Х-сумм приводит к моделям с порядком приближения лишь в "1п п" рая хуто порчп«1* лрибнпжешт кубическими сплайновнми подолими, Ог.нако та гие молели обладают огромной аналитичностью - гчгаш-".! качеством в различных приложениях.

I' раш.г>к предлпго'.-того полхода и разработанной теории находятся и интерполяционные модели сплаЙнспого г;:>къ определенные на скехных. равномерно распределенных сст?;ах. Сплойнсьые модили к их производима при таком подход« имеют "неклпссичсск.чи", но опннакотгй !М1Д. В частности, получено л.ч Поччч .н=алитическое представления п ^ог''"' тригономотричпепи;; суг.и с 1 юдулпро ваиш пч I коэффнцнеитйхк.

''''^"^'Г''--!^^—111!!!^^'!:' «»клсянвиной работ;? опрея«,т-«»?-с! ||р>ин!иеиисм прадлагоишх моделей по псок т:х пркгото-нип.ч, н которых исг.опьэуе'/си технология прнй.гигчичнх првдст'ачюннГ: фу;!. .ш:о!!ал!-.(!'!:: сичзсП.

Г{ел»*сог!'г>ляпо кх грнгеиетк! а злдппях теории СИГНй-

лог: .

С'» л;.-/!.ч"1Г|1е;-ил"! подход, его идсПко-юоротпчесхкт ос:::'; п -..он.-р -'¡!?.::->т и«!1 о прт'-Ге-• м"тод;!?т; й!':'П"|'-" и ыгшс".. математики. Зти е;>>(г*.;: им?пт раинооС'-

1Ч"'а.и с" ('' 1 и '■■' . Уна^птегыгл- част1. из ни»: лр^;:-

<':то,гг с."""; ¡¡ген;4 — лыть и описать, что гл-

: > пчел!1-!'» Отмсти«, нр)^;": ы:>:Го, ^опогл.ч'';-

стгЛ' и'инмтп!•■", (коте/"'к-=к

•;7гч.1:Р1', ДСГ! сй-,СдаКТСЧ- II* Рг.-Мч!:; ЧИСЛО |;ср<>!«?1НШЧ| V ■;.п 1;-. ' 1-г.-- 'чи п 'ЧЩ.г-гг :).'н:!'.<'н7л*41г, !1.1 оснопо '-.от^'р',:; ечт -I". ;> »■:'.'; к'-Г; (проекит.'Шгл'О '"угол

¡:г V, .ч ч->тп1'. ч тич-_ ::'. :о!: '¡ ¡пг.уи и тл'х.'НГ-юскпх пхн.'ю-

-;■>>, >'., к,и: метод клиент::'. аломгмтсГ).

■ . :и<: Iг;о» стмно 1«,чтг;-

''О;:,'!:;:?-'"''' п '' : Iп - ск;: ; сл. С','.-*ССТиун "

,-г::.'И ■.•.':■■}'.•.<: ■■•г.н< ¡'рлдлл га'-поП тио ¡»'Н с оснопа^г и схемл!,':; р<>«лизс,цик >.!•'! еа:ого »¡ри6Л1«:еш«о - онллитичдекого шгопя ропонна лпио[':н:.!,-: ли^сроншгалмям уразлеиий >! исслслояа-т:.'1 лттЯнк» (иостаянонар!««) упроиллсм^х динамичоспич систеи.

Метол рачрооогон анторои и нпэпин потопом изобра-?г.1гст1>; прктсрои. [По раилкчиыи аспектам применения птого ы^тояй к настоящему времени заиипдоко Ь кандидатских лпе-ссртааип!.

НаиСолг'е четко эта связь проявляется на заключительном мтзпо схемы рцализчиии мотоал и состоит » восста-

доъл-ипп искомых функций но их изображавшим векторам, Приалара«х:в нодали эффективно решают эту (обратную) калачу. Сказывается, г.росчраисива различных (в зависимости от ьиграыюго базиса) изоСра*ажаих векторов одной и той же функции изоморфны пространствам соответствующих и различных яриОяижаюяик моделей, поэтому восстановление функции наиболее точно ыдшлцяетсч <> фор:.-^ тамг/ из О'.-ах моделей, которые ииеют наивольиу«э иозпотлую точность приближения .

'Гак, реализация метода в тригонометрическом базисе прпьодиг к использовании моделей трнгоноьм-гричйсцпу. /.-суии ВЫСОКОЙ точности; базис И ЬИДи- ПСЛШ.СПО» Ч^си^ев 51 -к чеоыаевским Х-суиыам ьисоксН точности.

Реализация в фориз точечных изображениях векторов на равномерно расг.ронвленаих св-хках, ассоциируется с рьгпнч-НЫ!Я1 онлайновыми моделями пли квадратурными Я-суммами.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из впед&нпд, 5-ти глав основного текста, заключения и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объе*! диссертации составляет 427 стр. м'аиинописного текста.

На защиту выносятся все основные научая«: результаты, полученные автором.

Главное защищаемое положение состоит в следующем.

- Работа разиивает научное направление в конструктивном моделировании непрерывных Функций и приближенных методах анализа, основанное на системном использовании разнообразных свойств и различных видов ¿¡-элементов дьк п-ых членов особой последовательности четных функций (5-последователыюсти), образующих класс эквивалентности в сыисле сходимости к одной и той же сингулярной обобщенной ФУНКЦИИ - 6-Функции.

Солее развернуто: на защиту выносятся»следующие отдельные и в значительней степени, оригинальные результаты разработанных теоретических основ, имеющие и самостоятельное значение.

1. Основы теории сверточнцх операторов с 6-яярами (первого порядка) различных видов и типов, как приближающих моделей непрерывных функций, построенной с использованием идеологии теории обобщенных функций.

2. Элементы общей теории моделей с форме тригонометрических Х-сумм, возникающие как приближающие сверточные операторы с вырожденными ¿-ядрами в виде билинейных разложений по собственным функциям таких операторов, а также как экстремали одного класса квадратичных (сглаживающих) функционалов.

Ч. Осмоли теории введенных автором й-последователы<ос'гей внсоких порядков и ассоциированных с ними молодей и ;оры.-> св'-рточнш операторов с б-чпрам» из таги* после-ловатплыюстг.л, обладающих с icokoA точностью прнблн:»е-нин благодари особой сх»ио их образовании, учитипакеюЯ дпМоренцпалыоле свойства приближаемся функции, 1. Яффиктигт/й погод построении приОлптапких моделей ни-сок(.П точности, основанниП на использовании f>-послйдоп.м-с-льностей! высоких порядков. Попели имепт Jop-r.fu тригонометрических и чоОыягевских л-cyfi (Л-полимсмэл) вк-оких порядков и являются Лолиномямм ная-лучиох'о лриОлт;еш!ч и классическом сннсле. 'з. Осисии теории интерполяционных иолелеЛ на равномерно распределении* и ортогональных се:ка>: п фор!'.о кр.пдра-•гурпих иррдставленпГ! сверточнчх операторов с З-явракч (РНТврпочниюНИИХ -Q-C>7.?4) , '3 гак*« я формя квадратурннч Х-сугч.

Последние, как и обичнио X-cyw.t, являются экстремя-л-''нн одного класс» кнаврагичних сгдл>ипавяи:; «|унг.шюн>»~ до». Такси попася позволяет получить и высокоточшл» »¡опели.

Решение задачи построения »юдолей п форме квадратур-пи:; >.~сумя, Sit сглззгивакзпх сплайнов', при погрешности 11Н99рНОЛ«Ш1ЭНЮ4Х ЛМШЧХ I! ДЛЯ Праг ТИЧССКИ 1!и>ГНМХ част-них случае в сглолтияавдих функционалов. Иетолопогнчесг'п"' о снопы использовании ¿-элементов одного класса яд л построения моделей онлайнового типа на рлгчюмерна распределенных и cmoyhmx сотках.

Ррслстлплйиия для сплаПнових моколеП оеобаенной стсп»ш» три в форме разложения по собстгениим функция:: cnjh-.i'*!u-.!'!jx сперчторов-вроокторов и в форме григои«»»?-рпческих с мэдурпрсванньми коэффициентами.

Апребаипч работ»

Сснегикс результат:: проводим»« исследований нного-Kp'iTiio яо'лаиыяались автором на научно-технических е<*мп-нарзх рида Красноярских вузов: Красноярской а-зроксо/.ч-ческой Лкаденпл. Красноярской государственно'! Академии IW от них ыагоппоп к золота, Красноярском государственной техническом университете. Кроме того, по некоторьм ндеям прсделанной работы, связанным с дпскретшд.1 (в частности, с интерполящгонньэ*) моделированием Дункан!', из Lj под научим: руководством соискателя выполнено и зашяаено пять кандидатских диссертация.

По теме диссертации опубликовано две нйучних монографии обаим объеном около 40 п.л.

l-одаржаниэ диссертации.

üo введении обосновывается актуальность работи. Дана общая- характеристика теоретически;: основ ноделироь-!МТ непрерывных функций с помощьи двльта-иослилопательм.-'ч-* различного рода, а так же описание технологии ре "чы основных задач и проблем этой теории. -Доведен краткий анализ полученных результатов. Указ.-.".а их практическая значимость, перспективы использования и развитии.

D первой главе с позиций теория обобщенных функций рассмотрены разнообразные свойства б-последовательностей - главного объекта, лежащего в осноие предлагаемого подхода и соответствующей теории конструктивного моделирования непрерывных функций.

Множество(¡-периодических) б-последовательностей

Ибц(гЛ) образуют класс эквивалентности в смысла (слабой) сходимости на С (-1,1) к одной и той же сингулярной обобщенной функции вида (2-периодичсекой) б-функции 6/0.

Последняя вводится как фиксированный элемент функционалов на С (-1,1) со свойством :

j^r^r^r^Q); еСС-1,1) .

-i -i

Рассматривается группа теореы, устанавливавши» условия того, что последовательность {в,,<т) I нормировании* и четных (2-периодической) функций различного типа былг (2-периодической) 5-последовательностью. Все они, в конечном итоге, вытекает из общей теории о слабой сходимости последовательности

к единичной функции Хэеисайда ft ír)-l (г) .Основное услови этого - принадлежность последовательности lh,(T)) про страиству V(-l,l) функций ограниченной вариации, которо есть пространство, сопряженное с С(-1,1);

бГ(Ч1)=>|/5,1 =Кг/Цг) » = M^ro» Vn, "(-uf .¡<¡T

I

означает абсолютную интегрируемость б-по'следовательности Это является и обязательным условием для построения раз личных операторов р&вноиерного приближения на основе <5 последовательностей.

В пространстве 1.x (-1,1) 2- периодических функци определена операция свертки, как бинарная ( коимута тивная) операция, относительно которой становится ал

и

г--: ."■реи. Рассмотрены основные свойс,;>а свертки. Преобразования ']^ypь(^ , такж- определенное на L,(-l,l), реализует 7\it.:c-.?fopVir<.M сг.ррточноП алгебр» нп алгебру аналитических фуНКШ'П с аСИМПТОТИЧвСКИМ нулем. При этом гомоморфизма ciu-ртка переходит в обычное умножение. Сверточная алгябра I.., (-1,1) ио лм£<!т, однако, единичного элеизита. Он возникнет в Вялее широкой сверточной алгебре, чем алгобра Тл. Доло п тон, что пространство Li (-1Л) является подпространством пространства V(-l,l) обобщенных (2-• I'--риодических) Функций, которое б шю ввалено как пространство функционалов, сопряженных пространству С(-1,1). Дополнение к пространству Ьi , т.е. Фактор-пространство

I/'

у у , содарти? сингулярны« oBot .ц^ынт. функции типа' <4*! vm-imii.

Спвраинч свертки, как бинарная операция, определена на '-сс-п пространства V(-l, 1) , ncavctiy BOSWftrapT friw ямрехля (грерточнав алгебра Vi~l,l) с охшницеЛ.

Голь сдтнщн н 3Tcii алгебре игра от я-^ункцня, т.к. *

Сворточнал ал:ч-0р-:\ Li (-1,1) есть подалгебра в алгебру \'<-1,3) , Нслкоку элементу »jig V ito-eno поставить в остнмксгго»? преобразовании Фурьо Ф(м) п ссчеяв равенства и'кхитчюл-ж (ревеисгаа Пярсеюаля):

(^»¿(«(«Ир)) V^cq-i.l),

i.e. пространство фурьв-изееретшшй элементов иг V i—1, II rnu. "n-fiiiMCTO« v<?k re у ах пространство bjC* (-■»,'»} сОоО-

L-.О'гсть, о'геьидмс, алгебра с (обычной) единицей н.эгг'-'Р; H i-, алгебра V (-1,1). Веля {6„itH ость збсо-Штко «штагрируеиая - ?.-. перис&ическая последовательность•„ т.е. 5*(г)еЬг '{-1,1} V л < ю, ;о схо;.»!М.)СТь последозательностл сверток

^ ,V = С» У <?сС (-1,1!

по г.регла?,' означает елаОуа сходимость (5-п"'м:пдсв.1тельностсГ; (5 „1г/>и называете« аппроксимативной единицей в V ( - 1, П .

Доказано , что если {S„ <*r> I -аппроксимативная единиц?», то ">0 v-4'iеС. а так те

Ц/4^,-^ —-»О V/ е /г Таким образом, и утом случае, I

свертки У</>еС. цогут рассматриваться

-I

в роли операторов (моделей) равномерного приближения непрерывных функций.

Далее, в работе рассматривается важное свойство последовательностей ( аппроксимативных единиц) - свойство положительной определенности.

Всякая обобщенная функция VI -1,1) называется

положительно определенной, если выполняется условие неотрицательности функционала; ( )-(у/) >0 V ч>еС(-1,1)

I

, причем /~<р*Ф"• есть четная функция из

-I

С(-1,1), а ее преобразование Фурье Ф[/) - так же четная и неотрицательная функция на реей вещественной оси.

Всякая положительно определенная (регулярная) функция обладает свойством: 1) представима в виде (обратного) преобразования 4урье, причем пряыое преобразование Ф(у)Ь0, (теорема Бохнера) / 2) «¡/(г;- Непрерывная и четная функция, ицегаая максимум при г-0.

Ответим, что положительно определенная (регулярная)

функция нз С(-],1).

Оказывается, ¿-функция- так же положительно определенная (но сингулярная) функция из У(-1,1), т.к. (/Л* Д0)>0. Все указанные свойства сохраняются и для функции, за исключением непрерывности.

Естественно допустить свойство положительной определенности и для элементов абсолютно интегрируемых 6-лоследовательностей (аппроксимативных единиц) и выделить, таким образом, класс положительно определенных <5-последовательностей. Бее ¿-элементы 6„(т) из этого класса при V п < ж: четные к непрерывные функции с глобальным положительным максимумом при т-0 и, в соответствии с теоремой Боннер», имеют неотрицательные преобразования Фурье.

Иэ положительной определенности <У-элемента б„ (т) следует существование интервала (-ап/«„) с глобальным максимумом Ь„(0), но обе стороны от которого Ъ„(г) монотонно усылает. При п-*» интервал |-а„,а„) стягивается в точку, а Ьп(0) стремится к бесконечности. Если элемент еще

и неотрицательная функция, то интервал (-а„,а„) может быть эффективно оценен :

„чЛ --;

2

В соответствии с теоремой Вохнера имеет место своеобразная инверсия свойств положительной определенности и неотрицательности ¿-элементов и их г- ^образований Фурье, Положительно определенные (^-элементы имеют неотрицательные преобразования Фурье и, наоборот , неотрицательные элементы имеют положительно определенные преобразования Фурье. Последние - четные непрерывные функции на Д С глобальным максимумом в начале координат и интервалом монотонного усыпания от максимума! который с ростом п неограниченно расширяется.

вводится обширное множество (класс) <?-послсдо-вательностеГС неотрицательного типа, в которое, как подмножество, входит класс неотрицательна* <С-послйДО-вательностеП. Преобразования 1'урьв <$(&„/х) <У-элеивнто£» неотрицательного типа являются функциями положительно определенного типа. Определяющим условием для этого класса

I

служит неравенство "Ф^оО) ■ |г3<У„(г)</г20 Ул, причем ра-

-I

венство достигаете* лишь пр!( п.-*".

Условие, п суиности, означает, что ¿-элементы неотрицательного типа с ростом п все более ведут себя как »«отрицательные функции, о Ф(8г/х; - как положительно, определенные функции. Доказано, что если <5„<гН - неотрицательного типа, то величина максимума ¿-элемента возрастает с ростом п> по линейному закону, а асимптотика

имеет порядок , на превы-

(

швквиЛ Изучены основные свойства сверточных опера-

торов с ¿-ядрами

■ I

Зсякач ¿-последовательность {Ьп(')) порождает после, • >ва-тол1.честь (А^^гЛ свергочних операторов, которые, при выполнении определенных условиЛ, могут рассматриваться о Г(>"» прнвмгглгхвнх моделей е' различных функциональных класса*. Свойства этих операторов, естественно, определя-

ится свойством их $-яяер , как , элементов последовательностей. Основные свойства :

1) ^ т.е. С-норма операторов

совпадает с Ь-нормоЙ ¿-элементов и если (6„) - аппроксимативная единица сверточнсй влгеОры V<-1,V), то

М1с= М,, ^ <00 и последовательность норм операторов

оказывается равномерно ограниченной, т.е. они - непрерывные операторы.

Доказано/ что " <от = ') Уп<с°'

следовательно, сверточные операторы А„ отоОражаит 2-пepиoдfrчecкиe функции из (15р£со) в 2-пери-

одические функции из С, т.о. обладают и сглаживагдим действием

2) Из четности ¿-элеыонтоп , как разностных ядер интегральных операторов, вытекает их симметричность и самосопряженность операторов.

3) Операторы А* на просто непрерывны^ а являются вполне непрерывными или компактный» операторами (¥п<°с) . Доказано,:

а) Если [Ь„(г>) - апяркедмагианая единица из класса положительно определенных , то Л*:С-»С Уп<» и являются вполне непрерывными. Если же (5„) - произвольная аппроксимативная единица, то операторы Л,:1Р-*Ц> (15р£«>) и так же вполне непрерывные при Уп<».

0) При тех хе условиях компактное множество В(С,С),

в которое переводится единичный шар 2 5 сверточными операторами А* гС-кС состоит из функдай 'Класса

ЫрДсС (сглаживающее действие I).

4) Сверточный оператор А„ будучи вполне непрерывный при \Л»<«° и самосопряженным имеет счетное множество вещественных собственных значений л',"' (к~0,1,...) конечной кратности и соответствующее кновдетво собственных функций и»<*Мк"0,1, ,..), образующее ортогональный Саэис в

Ы-1,1);

Доказано, что Л, с ядром неотрицательного типа

I

имеет собственные Значения

$ . = ¡ЩОякЫт

(к=0,1,.. .), причем для первых п собственный значений вм-полняется услойив:

Я (/„ » {Сп^'Ы'ш} • • •'

^сть собственные функции такого оператора. Сформулированы полученные реэул ;ати. Во второй главе рдссматривпртся оснопы теории спер-точных операторов с вырожденными <5-ядрамл,( как прпближап-1ЧИХ моделей непрерывных 2-периодических функций.'

Вырождении» ядра 3{$п;х) возникают г, результате разложения 5-ядер сверточных операторов Л„ по п первил ссб-

стпопти функциям и имеют вид сумм г) — + У/*, Со<клт с

2 м

коэф^иннпнтгпз«, являгатмися соВстяетяяди значениями скер-точного оператора А„ с «У-ядро» неотрицательного типе! и, олнопремгшю, коэффициентами Сурьо 2-период1»чеекого а-эдс!.'?!!та &„(г) т.е. вырождекнь!<э ядро 5(Л;г) есть л-су!-!мч Фурье 2-псриодического сТ-ялра.

Замена г-яяра оператора Л» на пирежденнное ядро Я(Л,тЛ зкм'иалентно ортогональному проектированию 2-иериол1)Ч»сксЙ функции Л,,/—Лп (/;т) на пространство тригонометрических п-су-<:.!, осуаестоляемое проектом Р„.

Последний реализуется сверткой с ядром Дирихле »„(г.): ■ ■

I

>".■■v = ».*«'.*/■- №. н».гад: г г'/)/(-'/у'/=

-I

Е^Л^СЫхт = Г с С.

Таким образом, свергочнкй оператор Б (Л,/г) с вцрож-леннкм ядроч И{<\;т), как форма приСлижаюаей модели 2-периояической Функции /еС , тлеет вил тригонометрической п-су1п-} с коэффициентам <гурьс этой функции и Х-множи-телтя:1. Зто ->Л-сукми 2-периодическоЛ функции /сС.

Пияснено, что для равномерной сходимости последовательности сверточцы*. операторов (Б (А.//гД .с вь-рохде! гая» ядрам« . (5(&/гМ (т. с'. ?.-су:---м функции /) по сСЙГОЙ 2-иерно-дической функции /еС, ' необходимо и достаточно иы-

Полн'енно двук условийг'^.'.г}^ ^50 .. V« и

—■ >1 Ук<п, что эквивалентно требованию к последовательности г) | вырождении* ядер бить аппроксимативной единицей. Это требование аналитически не конструктивно, Обнаружены чисто коэффициентные условия того, что последовательность (3(й,/г)) окажется аппроксимативной единицей. Доказано, что если ^.-коэффициенты

вырожденных ядер 3(<5„/ т): а) положительны и монотонно убывают!

>0, причем лЛ—>1 V* < п I б) образуют ограниченные последовательности

; (к-МО); то

(5(А>;тЛ есть положительно определенная аппроксимативная единица. Условие О) не является необходимым. Оно вытекает из тождественных представлений сумм 5(Д,/ т) в виде разложений по ядрам Дирихле и Фейера.

Из множества всех 2-периодических 5-лоследо-вательностей выделим подмножество таких, соответствующие последовательности сумм Фурье которых образуют множество 5» абсолютно интегрируемых 5-последовательностей, т.е.

<3<А/гЛ«3|, ^ и А? ■■ — >1 М<п,

Это множество аппроксимативных единиц, имеющих вид сумм Фурье. Сверточные операторы (3(Л,/г;} преобразуют множество 5» в множество 8»,(/> всех последовательностей Х-сумм, равномерно сходящихся к/еС ,т.е.

ЖД/) ад! /еС.

Множество для всякого фиксированного /«С об-

разует класс эквивалентности в указанном омысле и может быть названо* множеством реализаций Х-метода суммирования рядов Фурье, а так же множеством равномерно приближающих моделей в форма Х-сумм.

Отдельные реализации определяются выбором соответствующей 8-посяедовательности, что определяет выбор X-множителей. В входят хорошо известные частные реали-

зации Х-метода суммирования, ставшие классическими (Фейера, Валле-Пуссена, Веркштейна-Рагозинсткого и др.). В работе подробно изучен вопрос о порядке сходимости сверточных операторов (А„/> и Х-сумм (Б (А,, /) ) к гладким 2-периодическим функциям из С.

Доказано, что если (4„) - произвольная аппроксимативна« единица неотрицательного типа, то для сверточных операторов А„/ - 5„*f асимптотически справедлива опенка

/ее

а о о) есть модуль непрерывности функции /еС. Для Х-сумм 5[Ап/:г)е Эх{УУ оценка сохраняется:

Если ./(г) 1, то * М,^

и асимптотические оценки получают вид:

Наконец, если

и О-Л"1) .

Доказано так же, что порядок приближения сверточки-ми операторами с б-ядрами неотрицательного типа (включая

X-суммы) не может превышать даже для весьма глад-

ких функций, имеющих ограниченные не только вторые, но и последующие производные.

Далее, рассматривается некоторые 6-последователь-ности и соответствующие реализации \-cywu, а так же влияние алгебраических структур Х-коэффициентов, как функций Мк, п| двух дискретных переменных к и п, на их асимптотические свойства, от которых зависит свойства сумм (3(Д,/г))б34 и приближающих моделей а форме Х-суым

Установлено, что четная аналитическая функция Хи>

26 (-ас/ас) со свойствами I г к»; Л(г)-

И свойствами неотрицательности и монотонного убывания

м.

et

Mz)20; Z—геНЛ]; в рациональных

*~П ^ ®>'»~) (№>1,2,...) Порождает величины

(А=0,1,...(п-1)), способными бить \-коэффициен-

таьш для некоторого подмножества сумм (S (<Я,/г\)) из S». Это - подмножество 2-периодических 6-послеловательностей с рациональным законом образования коэффициентов Фурье

^ = Л(к,п) = iQ = = jtfB(r)i Ыстк V1;,m

Доказано, что при выполнении дополнительного условия <^J=/l(/) = 0 0 = последовательность (S(i„; х)\ будет полотательно определенной аппроксимативной единицей неотрицательного типа, если 1йшг(1—Д"')* 0 .

ГГ-К*

Рассмотрены "классические" б-последоиотельности (й-ядра) с финитным спектром, когда ^ =0 VI; >п и соотиет-ствуюаде л-суымы как приближающие модели. Это - ядра и суммы фенера, Вало-Пусена, ПернзтоИна-Рагозинского и некоторые ' обобщения этих ядер. Подробно исследован!» свойства атих частных о-гюследогительностей и Х-сумм с точки зрения построенной теории. Получены сценки порядка приближения функций из С(-1,1) различной степени гладкости.

Подробно изучены так зеге некоторые ¡¡.•пнптн-,:."; и неотрицательные б-последовательностп и ссотнетствугиш« X-сукмц. Это 5-элементи прямоугольного, трс-угг>;?> ного, а гакке колоколообразного ыша, введенный автсрсм. Бс« счг:; имеют рациональный закон образования л-i -оэф^иииентои с выполнение« всех условий, оОоспечиггиеалх нрииндложиость су.'.ги J) шюкестьу За,- а Л-су;.:и_- шсжестну S>.{/)■ По-

лучена оценки порядка приближении.

Рассмотрены б-последоватсльностМ пуассоиовского типа, Х-коо4'»::«ие1:тм которых итмт показательно - стеленную

Люстру пупу А1 -

.роиаиил.

"Ф

соог'еетствукщио варианты . Х-суи-

и

Оказывается, приближающие модели в форме Х-сумм, так же как и обычные суммы Фурье, обладают экстремальным свойством, доставляя минимум некоторому составному квадратичному (параметрическому) функционалу вида

= ' гяв И'»)- некоторая параметриче-

ская ноль-последовательность, а Ь некоторый дифференциальный оператор в I;,

Выбор последнего и определяет разнообразие вариантов Х-суимироваиия с Х-коэффициентами = ^(Д,.^) , обладающими всеми необходимыми свойствами лишь при определенной структуре ноль-последовательности (Р„), зависящей от вида оператора Ь,

г-1'

Подробно рассмотрены два частных случал (]т 11

• Для первого из них суммы (Э {¿„;т>) еБя.(/У. принадлежат неотрицательному типу и порядок приближения Х-суммами

этого вида любых функций из С(-1,1) иа превышает' .

Для второго частного случая ситуация иная. Порядок приближения соответствующими Х-сумыаии (определяемый порядком стремления к нули последовательности оказы-

вается существенно выше и равен —для

У/- е<"(-1,1):|/'"| <. М2.

Сформулированы основные результаты, полученные в настоящей главе.

В третьей главе рассматриваются элементы теории особо точных приближающих моделей, построенных на основе введенных 5-последовательностей высоких порядков.

Вводится последовательность |И„) сверточных операторов вида N„7= Мл(/;г;=> 1-А„Г=15-<\)»/вС, где элемент некоторой б-последовательности (аппроксимативной единицы). Рассматриваются различные свойства этих операторов, названных аннулирующими, т.к. равномерно

^=-»0,- /ее.

Это линейные, непрерывные операторы, причем

И-! *

Введем степени аннулирующего оператора, полагая

^»/-(Я-О,)1*1*/ (у=1.2..:.), где означает г-кратную

свертку

(6-0,) *...*(&Ц,). Оператори (И*) - аннулирующие операторы и-го порядка.

Скорость аннулирования (порядок-) возрастает с ростом порядка и, поскольку

{лфМ"**Х-гч^ГКЛ^М^Г (»'=

1 1/1.-1

Доказано, что для функций с ограниченной и-ой производной порядок аннулирования имеет оценку:

Введены последовательности (А*) операторов :*-го порядка (»'¿11, определенные через аннулирующие оператори того лее порядка следующш образом: где Е - то-

ждественный оператор. Это- линейные сверточные операторы, действующий по формуле:

•'с/=4-(Лг) =(/< - м'у=[<4^ '')•/г-:;}/(,/V/,;.

/еС

Доказано, что возникаетдан послсдоиательность (Й/КгЛ • ядер (пП) есть й-

последовательность и-го порядка, причем, если исходная б-последооательность (('»„(г)) (воэникаюшая как частный случай при и=1) есть аппроксимативная единице, то н при любых И>1 ( ^ V; г Л окажется аппроксимативной единицей г-го порядка.' Некоторые свойства исходной (2-1.еснодпчес»ч.!Ч( последоватольности (¿¡.(гЛ" 11%(1:т11 и состветстнугчцей последовательности преобразований Фурье (О (<V.* 11 переносятся и на (2-периоди-ческио) 6-послсдовптельности {¿ьО^г)} порядка и, соответственно, на их преобразования Фурье

Доказано ,что если 16) - неотрицательного типа, то - четная аналитическая функция на К. Лри х-0 онч имеет ыаксиыуы и интервал |Чг„..х,^ моно-

тонного убынания, причем Ф 1);х) А<;(-х„,х„) И

функция ' имеет в т. нощ. крат-

ности 2V () .

Если ' - положительно определенная 6-последо-вателыюсть, то и {¡>,,(у)} так же будет положительно определенной при Порядок приближения сверточними операторами а!,'* определяется их порядком , выбор которого связан с диМереициальниии свойствами (степенью гладкости) приближаемой функции/(г,)<? С (-1,1).

Доказано, что если |/^(г)|:£.Л/ ге[-1,1], а исходная й-

последовательность (4) неотрицательного типа, то для производных функции Дт) порядка (*ч/) имеем :

Сглаживающее действие сверточних операторов А^" (»£1) оказывается более ярко выраженным.

Доказано, в частности, что, если исходная Й-после-довательность (&) положительно определенная, то А1/': МС"( -1,1) —»С(-1,1) Упсоо, т.е. множество функций с ограниченной у-ой производной оператором А¡^ при конечных п преобразуется в множество Функций с (И-/) непрерывными производными. На основе 2-периодических в-последова-тельностей и-го порядка (1£1) могут Сыть образо-

ваны приближающие модели высокой точности в формн Х-сумм того же порядка . Они могут бить введены по той же Формальной схеме, что и ранее рассмотренные простые суммы, являющиеся частным случаем при ,

Всякому 2-лериодическоыу 8-элемеиту Зь(у,т) номера и и порядка ставится в соответствие его частичная сумма

Доказано, что если последовательность (при

и*1) есть положительно определенная аппроксимативная единица, то и последовательность с у им (а {4Т,(Ч-) ;т!) при Г--1

-I

Судет таковой. Указаны различные свойства Х-коэффш;нчнто» ((*')) порядка у>1, аналогичное а^ковыи для простых X-коэффициентоь {$} В частности, установлен порядок

асимптотического приближения 1-^(1)——"->0. Он равен

Алпроксимс.-^вние единицы (й(А;г,П 1*-го порядка, как 5-ядра сверточнкх операторов, порождает Х-сумиы пор.чдк;>

янлшцнеся лриблиазгеапш моделями аыпокоп точности кег и «слоям в 4 орме сверточных операторов л'„"/.

Докатано, независимо от предьшуячго, что Х-с:ум><^ оорядкл И>1 речлизуют особул схему гюполт.атн, учнти-вактую дифференциальные сиойотоа прмОлпгашоЛ 2-г(«р.чг-д1!',;ес;:ох! фуш.-шш, причем порядок ири&вижсиии совпадает с. такоеш дк« сверточиих ои<:я&торо» с б-ядршг! пир: дка у (при тех ».е условия:;) и является кзксютлмш юавтом. Таким обра-««, Х-суиу.* г-го порядка есть (тригонометрические) Г.ОЛИИО!«-! ичнпучпого крполктвкич и,-гаасс!меско»!у определения. Огякжшч« гесрич кйр? конструктивный алгоритм лостросш'ч тгпк нолииоион.

Зеьюисй псрегет'шого х^Созтст Х-су»ми 5 чет-

ких функций /еС прсо&рзъуг/гс* в г.л:ч."¡¡оич'-с";:! к&жиючы виде частичных сумм лслжюшк ЧсЗмвер* I рол«» л нро-полуток 10,11, Длч г прг:;Й_г>г:;у"тс)' н I-!-!)

ДЛЯ иере2.<!.-Н!1С)'! *,

Возниквкт >.-су;"ги

С теми же (косинусными).. коэффициента!»! Фурье /сС, ксторгК» оказьшаотся (алгебраическими) полиномами' наилучшего приближения для функций /^-«гсО-Ю^ .iet-l.ll. имесйие ограниченную и-ю производную. ■ I '

В форма выводов сформулированы основное результаты, полученные в зтсй глачо .

В чеавартоА главе__расоиатривп/н» см элемеич'ы теории

.фости'лшх ¡.•пторполяшюшшх приближающих моделей, построенных па осно.-:е 2-периодических б-элеминтов и возникавши? кеч-.- гвалратурниа представления на смежных 'сетках интегралов свертки - приближающих сиерточних операторов с 3-нлраьи!.

Вводятся н тагже лсследуртся , как приближающие модели, квадратурных X-cyt.ii.iu, свойства которых оказываются во многом аналог'ичними свойствам \-cytai (V порядка) . Вариационный подход в построении моделей такого рода позволяет получить высокоточные интерполяционные аналитические конструкции, мало уступающие по точности еллайновдш представлениям.

Рассматриваются также сглаживающие сплайновые модели в форма квадратурных Х-суим, возникающие как решение некорректно поставленной задачи по восстановлению 2-периодической функции по приближению заданным интерполяционным данным.

В начале главы вводятся и рассматриваются свойства

тригонометрических функций /являющихся, в частности, собственными функциями сверточного оператора А„ с 6-ядром . Сетки. названы смежными. Они равномерно распределены на (0,1] и ортогональны, о чем приводятся соответстьугацие доказательства. Сетки зеркально распространяются на ¡-1,0). Возникают равномерно распределенные 2п-сетки (г/"') >0,1, .. . (п-1),п и и/'"") >0, 1, .. . (п-1) ,п,п-И и квадратурные значения интеграла на этих сетках:

нулями

I

Проверяется ортогональность этих сеток.

Вводятся квадратурно-енерточные операторы 'Q., (г,'"') и Quit,"'*11) на смежных сетках, ставящие в соответствие

сверточному оператору Л„/ с б-яяром его квадратурные значения на указанных сетках:

I

"/» -<ч-1) I V-' . И,

' Г ■<--!>

Получаем интерполяционные Q-суммн, которые могут рассматриваться в роли прн0.шегл««пих мпдолей fee. доклзч-но, чго если lit) - аппроксиматнипая единица, л

| Т-г'"') | и | ('.'"") | - последовательность огранп-

„ \ I п v > ,

Ч01ШЫХ функции ДЛЯ VI, то ЭТО - интерполяшганнчч •ЗЛ'Ч'С'!-ты, оОраэумцие на ¡-1,1) линейно независимые актами.

Далее рассматриваются вопроси равномерной cxorjivoc-ги Q-сумм к V feC. Свойство в-псогздо»»т«пы«лст1» !•>'.< t) I (аппроксимативной единицы) о сразо пивать интерполяшюннич О-сумчы равномерного приближения названо -свойством ГИГ! (ранномерного интерполяционного приПлияения) .

Доказана группа теорем, устанлвливзтазач выполнение оглсл.мшх услопин существования свойства РИЛ у 5-иоследо-нательпустей различных типов.

Печка я неотрицательная 6 -поспаду нательное! ь I '.! оо Л1ДПЭТ СВОЙСТВОМ PiIII, если ВЫ1ТОЛНЯЯТСЯ условия

I

litn jt£,iM = ii:ri jtv,{r}( \b{t'2fi±m).Tah -0 V {,,, «О, ?....) (••-- 1,2,...), причем A,--il,

Шшолнение этих услорий означает, i> частности, что ичот-рпцательная 6-иослеяонат»>льноегь г>с*д:щ.»»т • си..-, -три : асимптотического ра-зОиения единицы. Гасог.ютрин ркг. •-."«••;-ствчй, касалхя/хся выполнения этих условчл кял кснкр'.-т::;.;< законов образования Х.-ко'.»Ф ¡пциептов .

Для прои-.шсГльних аппроксимативных единиц усл.-ч>ичг.'п РИГ? являются кроме указанных условий еще и ограниченность последовательности норм- квадрптурио-сперточных опг-рато-ров, построенных на основе таких 5-последовлтелыгостги.

Рассмотрены различные конкретные 5-послецовагель-ности, оОлаламцие (и неоОлалаклчпо) свойством РКП.

Найдены оценки порядка приближения. О-суммами. дня функций.из С(-3,1) различной гладкости.

И! угорис; л пнштшя О-сум^а рдныомррно го приближения, осрыатпыллл ?-п^риодкческио ».унхаии иогут бить

р-сзпотены и риян Фурье, част нчние л--суммы которих о»лича-г.-.'сл от рапеи россиотрс::!!!;* б-суни (Гл.2) только тс», что ь исноль^у>-тс.« киаяр.«"/рние ;:ооф ¡ятионти Фурьо па

с!'.ягни>; сетках. Уто кнапратурш.'о Х-сумим. Они ь-орут служить нрнОлпжгпхгпми подг-г. для /..-Г, осуиестмяч сг.;!л:"и-ьаиы 0-суым по 1'отоду наименьших кяадратоь (при этом проявляется свсПсгер ортогональности смегнах сеток), поэтому ик мохио нлзвьть и сумиаыи интерполяционного егла-яивашго. Т»ы» подели ;.:о:сно рассматривать и как квадратурные значения (ид сыем-ък сетках) спорт-очных опердтороп с 8-яд-рани .ч .¡>орые ' п-сумы Фурье 3 (д.,;О с X-г:оэф^1»циентамя (Гл.2) и вопрос о сходимости квадратурных >.-суич (и порядке приближения шш) сводится к ранее рассмотрению.! коэффициентшш условиям того, что (3 (<?„; г,)} есть аппроксимативная единица. Доказана соотиетстоувдая теорема.

Квадратурные Х-суиаш, также как оСычные \-суммы ¡1''' 'порядка), обладают экстремальном свойством. Они яъдянтсл решением (прагма нетодом в классе тригонометрически:; сумм) вариационной задачи по определению минимука некоторого параметрического квадратурного функционала, содержащего оператор из

Выбор отого оператора1определяет вид и свойства X-множнтелеЯ и порядок сходимости Х-сумм. Рассмотрены подробно два практически важных частник случая, когда выбранный оператор имеет простейший вид производных первого и второго порядков. Во втором случае возникает высокоточная модель, мало уступающая интерполяционным кубическим сплайнам па точности, но более аналитичная. Если интерполяционные данные заданы с погрешностью, то. вариационная задача приобретает.характер задачи по определенно сглаживающих сплайнов в форие квадратурных Х-сумм, что предполагает установление связи (в виде оценки) параметра функционала с погрешностью интерполяционных данных.

Все это выполнено до конца для двух указанных частных случаев ¡выбора оператора.

Вместе с тем, в такой постановке - это некорректно поставленная задача о восстановлении приближенно заданной функции, решаемая методом регуляризации.

Н пятой главе в рамках принятого подхода, рассмотрены методологические основы построения интерполяционных сплаГпюсих моделей на введенных сыйжннх сетках {г/"1) и

и ,'■■'».

Эти модели представляют собой результат интерпопп-ционного проектирования 2-периодических функции из C(-l,¡) на пространство лилейных коыбннзцнГ. интерполкпг•

I |

онных- элементов ( гГ') I и * ) 1' 410 означает

другой , более эффе-кггшный вариант выбора коэффициентов этих линейных комбинаций гю сравнении с вариантом, возникающим в интерполчииошшх Q-cywt«x.

Рассмотрены различие aiiammwcniK» челокты реали-защш этой идеи па осмосе фшштииг. и неотрицательных С-лоследопателыюстей из. особого класса , так называем, рекуррентных »и£фрро!ч»'->лыю- р запоет них (ГДР) 6-иоснсдоиагелыюстей ! Л''"|1'>';т) í (пппргмесимагмыюг рдитчг) обсеченной степени S-0,1,2,,.. и аофгкга rf-0,1,... . Эти параметр,» связан:; с r.T.^'.'tocT'.i >< '.гчтертч---

лзл:и фннптности б-элеыонтсв {<1?,''{*•'«■) ! coormrcrttvtno кч-терполишонных элементов -- tj"j{ r¡

Г-Г)} к ¡«-П-^-'Г)) ' i«a»>«»s№te'v OasKwre.«! сшмОнс-

;•;.'.'!:! элементеми (й-сплайнам:!) iv> опрí^'i'í/'c.и:¡:i:ui

ла c;¡::>T.>r,'. сетка"/. (т,!'!) г: í í,"'').

¡!го;;;;тс.'; ЛИ не::!!'" го ■мн- - l : > s - П~спл::;:ч онрс.Ч''-депч!!" о уолчх сспогнн:: cero;:, г iCno'í'J"£f-*ri -'у" с.

i-1,.4, П ЛСИОЯЧКГОЛК.ъ»: 'гг: -.;.=■ ::р'<\"-".>:''>г.

этого про.'.'.>*.уи:л, В них рленол:-.:'.." оси cu"'-:;: р;:':

и-с!1.ча;!нсл-., которио íüioí. ;1 ненул. .'¡:.v.-.-í!:.,í: I■ ■ i, 1 J . Р. силу г-порполичиостн i: I--cnj'":--. >

уда( "т.п прчсС'рйгокгт'- . :<:< р¡ :г-w: ь

лортпи-чсскио) cnjiaíiii-jr'MO íopí'..': i i: ! 1 neji"., онр- г.оп-• >'■:--■ толы,о '¡-i oci г: ?::~сьтги>. ' '! ' '! ^ ,• -

ci:V''' .

L';: y,"L'Süo L-идг с:: ' ■: пг -

>:!-.Г: Сгк-нсньк ou'^in'o:::;-. гч-геро" /i. f! / ¡i"M¡ П и И рода), ссстаелеглы.-. íi■ '.i|'.,,''.rrif¿,y !¡p.i'v.,\v; И" сс-.гг-петет1.угяу1>: ri-c.'i.4üí:-,'or.. i! г.- !:о.чаоч< н. ¡ ni'.4»,i-i -

ш:х 2п-пйктсрах р"'1 п Ь''':

В силу 1'ДР-с1-ойстьа B-cruiai'iHOLi, очено просто осу-иостиляется операция диф^еропцяронаннл этих сапайнокмх форм:

^ф-А г) - (/.;.{>••!• г). А'")--{/> (л~1;г)дГ')•

Научены ссойстьа ъозпнкдоцих матриц диф.£ьрсниироза-iiiin PL п О,, (2л:<?п) (I и IX род:0 и, в частности, получена диагонально ьздсбное uptoi'paaoiiunv.e их, осуадгстгвлйьмо« ортогоналпними матрица;.;'.!, столСии которых есть точечные изображающие вектора тригонометрических функций, определении*; иа оснсши^х сотках,

J

Таким образом, osier,атор дифференцирования —- осуществляет отображение сплайнозого пространства одного рода степени 3 яа онлайновое пространство другого рода степени S-1.

При зтох.1 г.ооффпцп^нтпие векторы преобразуются с по-нэцью матриц дифферзнцироьания .

Интерполяционное проектирование 2-перпопических функций из с'"*'" (-1,1) на сплапновые пространства I и II рода порождает ( интерполяционные) привлигакт^« сплзйповив матрицы Я(5), структура которых зависит от обойденной степени s2d. Это - симметричные ¡¡ер^рогг.таихгз м.этрнща теллицева типа . Изучен механизм их образов анты при лг>г;нх sid и основные свойства. Подробно рассмотрена еаясЯновая матрица В(3) обоСщонной стег!епи (s-З), возникавшая в обобщенных кубических "сплайнових моделях. Полностью решена проблема собственных значений такой матрицы и найдено диагонально подобное преобразование, осуществляемое теми sec- матрицами, что п преобразование матриц дифференцирования D) и Da. Это позволило найти представление онлайновых моделей lull рода обобщенной степени три в форме разложений по онлайновым приближения!.! тригонометрических функций той же степени с квадратурными коэффициентами Фурье приближаемой 2-периодической функции f(r) еС>а"',' < — 3 , 3 ) а качестве коэффициентов этих разложений. Найдены подобные представления и для первых двух производных этих онлайновых иоделей.

Оказалось возможным принципиально иное представление кубических сплайнових моделей нулевого дефекта, значительно более аналитичное, т.к. око не содержит каких-либо финитных элементов. 5ти представления (ь своей главной части) имеет вял тригонометрических сум« с квадратурными коэффициентами Фурье приближаемой 2-периодической функции f(i}£С'" (-1,1), но модулированпимн бистро сходящимися лакунзрниш! рядами *3>урье.

Получены подобные представления и для парных дпу:< производных. С качестве примера рассмотрели еводешег. приближающие сплаиновые модели для тринонометричосг и 1 функций СоБклг л Б1пк,тг, (гг=1,2, 3,, о&лв/имчгзж зпачиголь-ной колебательностью на [-1,3]. Расчеты показывают высокую эффективность введенных иодел'.-й.

В заключении с1-ору.улчрованы оаиг.нгк» результаты исследований по всей проделанной работе. Проведено их обсуждение, сделаны комментарии , доказан:: во?: южные направления .практического ислаяьэовмют. Отпечена перспективы ДпЛьноЛпего развития предлагаемого пэд.чслг> и нлг.рач-ления дальн-пшнх: теоретических ириг-ладн'-дч исслудопониЛ.

Основ; »зй тучные рс-зультат лчсс^рт^шонмоч улОот» состоит в следую:цо>:.

т^оротичвскис ОСНОВ!/ иосого конструп-тизнзго подхода в построен!« разичсСрлш'.кс нриОлнжег.'ЛК моч-'-дей неп.рсрншг,г.ч '¿ункциП, осноявннуго >'.": исгтояьуо- мпм

различии:; сьойстг иосл^доп-ттелчнс^'тс:"; ос с '■',;:,-. 6у|:::ч;:": иосле!1овательиоств!И , сод^зувдие клссс задш'.млентне; и стреле Сяя&ой с;:оли'-'осп1 Си» рлкогеро.ч жрупестве 4ун«ш<?|) к о\ио:1 теп обоС:::о!!!'о?! сшт^гр:;';!! <!•.■,'Нкц;::!, я-ии.'-сае^оп О-^нъц^е;:. Ноглиэтесуя аО:;о.::"/7'¡-о пзгогрнруи:':-:: 2-п-рподичес.-сд;; ¿^-послсдонатольи о-^те;: !Л'., (г.! ,!, с.'Г'дсч- сдод:;-

с»: :-'. о-^'уикцп;: 1:3 ;<_".:;•> о Г -:;р1 -^с-!<; уц;о\:г гз

С("1,П, '.'-'розугп ¡.-дасс а - гг:;:.'<:::х п г.:

точке.! оСсйдопн:'/. ¡о р:'о.::::';:с: ¡1 ;1 ■ •-•>•

И, г. соогдотстду;'Г:з':>; пг о:.>с:.::.

(Д.'/) (сгс-рточки/. оперотоко» с с-/:.) о-го: '!-"'. от.то по.'.'■'.'.5-•>".'~тг;.О о:\чалах)Г сдойстио1.'. рс^го^оо^ого ::р::-."<'!:: = ':■:: ? о ксяксп функции /С г) <.С (-1, I) Н П :'\М с:-': 1С." ■ "•'и • " с С;" ■'. ' у-ут класс мости .

Это ГЛиС'.: ирг:, аз^аюи^к ноглчг'н • <>'Г'.- сг--; ■ г V "г ■ :

операторов гц/'м1?.!"'/'•- :(-1,1) .

ТооротичеСг".:': пгг-'д.'длчид'.л р.д: о; ■;•'■"'.:"•" ¡¿одолей ото го класса п доугнх класс:"-, с";?;.. <:••> г'-":--точными полосе ям:!, и с гстаилкяг, и осно'ч;:.со;.".'-а>:лг

диссерт.-щки. Естественно, свойства таких модедо:: опр"Л'.>-янйтся спойстзаг.;; аппроксимат.шю <:г«ишц !.'• -смгеи^нтов) -на зеноце которых и конструируются приОлижаидпо модели. Поэтому исследование сиопсти б-последоиатспьноствП различных типов в работе уделено Сольасч »шк-ипич.

Свергочпые операторы (А./} /сС с б-ндрл*;; из класса аппроксимативных единиц порождают разпичнь:а прпбянтлюано ИХ КОНСТРУКЦИИ, способные ■ выступать »: Г''.>л:1 КрИОЛ)Г«ЛСТ»!}{ моделей и саких функций иа С{-1,И~ Так, снерточми« оп«-

раторы с вирожденныыи 5-ядрами (3 (Д,/т)) в форме конечных разложений 5-ядер по собственним функциям порождаю!' модели (Э {Лп//т)) в форме тригонометрических Х-сумм. Основной допрос теории таких сумм - способность вцрождешшх ядер (ЗСА/гЛ Сын, 5-ядрами (аппроксимативными единицами). Найдены чисто коэффициентные условия, достаточные для этого. Подробно изучены и другие, аспекты этой теми. Выяснилось, в частности, что найденные коэффициентные признаки определяют подмножество (3(£„/тЛ положительно определенный 5-последовательностей из класса неотрицательного типа и, следовательно, порядок приближения X.-сумм а ми (как и любыми сверточньми операторами с 5-ядрами неотрицатель-

Ситуация, однако, меняется коренным образом, если ^-модели строить как решения вариационной задачи (прямым методом 5 классе тригонометрических сумм) по определению экстремалей, доставляющих минимум некоторым квадратичным параметрическим функционала«, содержащим дифференциальный оператор, ВыОор последнего определяет вид и свойства возникающей Х.-модели. При такой, Солее общем, подходе окааа-

»

лось возможным конструировать Х-модели высокой точности приОлижения. С точки зрения прежнего подхода, Зто означает существование и появление способа фактического построения, вырожденных 5-ядер, не относящихся к классу неотрицательного типа.

; Следующий этап работы связен с построением и тео-

ретическим обоснованием моделей наилучшего приближения как в форма сверточных операторов с особыми б-ядрами так и а форме Х-сумм высоких порядков.

Также модели строятся на основе введенных в работе {-последовательностей 44,К) высоких порядков и>1 ( аппроксимативных единиц порядков (»£1)). Изучены их свойства. Рассмотрены сверточные операторы с

8-ядрами порядка и>1 в роли приближающих моделей гладких функций с ограниченной и-ой производной, порядок прийли-

го порядка порождает модели в форме А.-суьам к-го порядка, имеющими тот же порядок приближения. Это " тригонометрические полиномы наилучшего приближения в классическом смысле.

ного типа) не моиет превышать •

кения такими моделями равен

Преобразованием независимого переменного Л-сумма >л-го порядка по косинусам преобразуются в чебыаевские >.--суммы того «о порядка, яяляясь алгебраическими полинома»--1 наилучшего приближения. Таким образом, в работе предлагается новый весьма конструктивный и теоретически обоснованный метод построения приближавших модулей функции с ограниченной 1"~ой производной в форме полиномов наилуч-□ого приближения.

Б работе введенч и излагаются интерполяционные мололи равномерного 'приближеиип, сконструированные нг основе б-элементов и ассоциированные с двумя (смежными) сетками (г,1"1: Со5япг/"'=0)1 и Н/"1': 51 пял(./г|=0}, узл> которых располагаются на [-1,11- ' Это - . рашшмерн'. распределенные и оргогонилыте сг тки. Первое из нти> свсйстп естественно присолит к питерполяциотад! о-суммам. В диссертации подробно рассмотрена теория таких, моделей. Оказалось однако, что такие модели, в обком случае, мало эффективны как аппарат приближения.

Ситуация, однако, кореннии образом меняется, если использовать п другое свойство сеток - свойство ортогональности, что означает сгламшанис интерполяционных данных по методу наименьших квадратов и возникновение при-Олиташвзж моделей в форме тригонометрически!: }.-суии с квадратурниш коэффициентами Оурье ирибягсгйеиой функции /с С из «кбрйнних сетках. Это - кродратуриыо л-су?::-.::,!. Они, как и сЭичицв к-сут::.:, оОг.ап^хгг экстремали шг 5 свойством. Этот Вйр'.кауо.чиьа! подкоп сист. в сказывает си ^/^ектииш.-н при построении вцескоточних интерполаи.ионгых доделен о форие квадратурных Х-су;.?.!. В работе изучен и практически ватный случай, когда кнтерпрляштшж ллсиь* глдсны с погрешностью. Вариационна подход г. это:; случаи «рииодгл к ст'лаживаизм сглаЯнок!^.? «ояеляк в фэрмо кгпгрзт\-рииг X-суг-ы, которые одновременно явдяктс* реоешму« (методом регуляризашш) некорректно постаялеп!::;:': '..дич:! о гоелвя-нолш! лриЗлняинно заданно.'! функции. I; принятого

подхода оказалось иозмоун!»:-! построить, и б^лон э^^окти.внпн интерполяционные модели сплайнсього тинт, возникахчцмо в результате (Интерпол яд: ¡си; ново) г.роектнроионил приближаемой функции /ее 'на миожвсава т.п. онлайновых форм I и II рода.

Реаекы различные задачи, возникатие при таком моделировании. В частности, подробно рассмотрены задачи, связанные с построением различных £орм спяаГшогшх моделой обобщенной степени три, ранее неизвестных. Они аналитически более удобны для разнообразны* приложений.

Таким образом, полученные в работе результаты обладают новизной, нмйвт научную ценность и могут претендо-иать, по нарюиу мнению, на роль нового научного направление в теории приближают,их моделей непрерывных функций, ииекяцего перспектива и в других разделах прикладной и ны-ч и с и 1 т е л ь > i о й ма т е ма ?i ikii .

Публикации.

Материалы диссертации и основные результата работы опубликованы в монографии:

D.M.Осипов. Обобщенные функции в теории приближения. Издательство Новосибирского университета, Новосибирск, 1992 г. <18 п.л.}

Некоторые идеи теории, представляемой в диссертационной работе, и результаты прикладного характера содержания в ранее изданной монографии :

В.М. Осипов. Основы метода изображающих нектаров. Издательство Томского университета, Томск, 1983 г.(21,6 п.л.)

Вопросы сплайноиого моделирования кратко изложены в статье: В.Я. Осиное. Конструирование еллайноаых модалий непрерывных сигналов на основе одного класса обобщенных В-сплайноъ . Информатика и системы управлении. Сборник научных трудов Красноярского государственного ¡технического университета. Красноярск,,1905.

!