автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретические основы формирования моделей динамики механических систем с переменной кинематической структурой

Пермский государственный университет

На правах рукописи

БЯЧКОВ Андреи Борисович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Суслонов В.М.

Пермь - 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................ 4

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ ...................................14

1.1. Постановка задачи моделирования механических систем с переменной кинематической структурой ........... 14

1.2. Обзор исследований по моде^Щованию Динамики систем с переменной кинематической структурой ........... 19

1.3. Проблема преобразования моделей при изменении кинематической структуры ....................... 31

2. УРАВНЕНИЯ МАДЖИ В КВАЗИКООРДИНАТАХ.......35

2.1. Проблема учета связей. Уравнения Маджи....................35

2.2. Метод избыточных координат ..................................46

2.3. Уравнения Маджи в квазикоординатах .......................48

2.4. Пример. Преобразование моделей движения диска по горизонтальной плоскости в зависимости от условий контакта . 58

3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАДЖИ В КВАЗИКООРДИНАТАХ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ............................77

3.1. Постановка задачи........................ 77

3.2. Модели кинематики и динамики абсолютно твердого тела . 82

3.3. Кинематика пары смежных тел с одним соединением .... 94

3.4. Построение системы независимых вариаций для пары тел . 100

3.5. Кинематика систем твердых тел со структурой дерева . . . 109

3.6. Агрегация моделей динамики подсистем ...........114

3.7. Пример. Агрегация моделей динамики трех тел.......125

3.8. Преобразование моделей динамики при изменении моделей соединений.............................139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................145

ЛИТЕРАТУРА ..............................148

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.............................163

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.............................182

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Создание современных технических комплексов с повышенными показателями качества функционирования связано с необходимостью проведения широкого круга экспериментальных и исследовательских работ. Усложнение и увеличение стоимости технических проектов выдвигает на первый план методы математического моделирования [6, 12, 68, 107, 115, 124], которые позволяют до создания реальной конструкции путем проведения серии численных экспериментов прогнозировать ее функциональные возможности, решать задачи выбора оптимальной структуры и стратегии управления проектируемого объекта. Широкое использование математического моделирования в качестве этапа проектных работ служит эффективным средством повышения качества новых изделий, сокращения временных и материальных затрат на разработку новых образцов техники.

Быстрое развитие вычислительной техники и программных средств позволило резко повысить уровень реализации методов математического моделирования, особенно в части, касающейся алгоритмизации построения математических моделей, планирования, обработки и представления результатов численных экспериментов. С развитием языков высокого уровня появилась также возможность применять ЭВМ непосредственно на этапе формирования моделей, ставить задачу автоматизации всех этапов математического моделирования [6, 7, 35, 107, 124].

Наиболее обоснованным подходом к вопросу построения математических моделей технических систем является использование объективных физических законов и согласованных с ними принципов общей механики. При этом моделируемый объект формализуется как механическая система с использованием "стандартных" моделей механики (система материальных точек, абсолютное твердое тело, деформируемое твердое тело,

сплошная среда и т.д.), а математическое моделирование осуществляется при этом с привлечением принципов и уравнений теоретической механики и заключается в построении основных соотношений кинематики, выводе уравнений движения систем твердых тел, подчиненных идеальным, голономным, неголономным, стационарным или нестационарным связям.

Современная методика математического моделирования, учитывая требования оптимизации затрат на разработку и использование математических моделей с одной стороны и необходимости учета многочисленных факторов функционирования исследуемой системы с другой стороны, предусматривает применение иерархического подхода при моделировании сложных технических систем [45, 62, 87, 88, 89, 107, 124].

Модели, построенные на принципах общей механики, в случае, когда расчетная схема объекта моделирования представима в виде связки твердых тел, занимает в таких иерархических структурах моделей важное место [30, 33, 62, 74]. В свою очередь, указанный уровень моделирования также может содержать целый комплекс моделей различного назначения. Особенно, при математическом моделировании систем с переменной структурой [39, 40, 55, 69, 70, 122, 123], когда в процессе функционирования происходит отделение от моделируемого объекта или присоединение к нему подсистем, изменение условий взаимодействия с внешней средой, изменение природы взаимосвязей между частями системы. В этом случае получаемые модели могут отличаться не только по количественным параметрам (число координат, число степеней свободы), но и качественно (типом координат и налагаемых связей, формализмом вывода уравнений, способами учета связей и т.д.). Это обстоятельство приводит к необходимости повторять каждый раз все этапы моделирования в условиях смены методики конструирования модели.

Известно [34, 62, 73], что получение полных уравнений движения с учетом даже сравнительно небольшого числа степеней свободы, простых схем взаимодействия между телами системы является сложной задачей.

В связи с этим, разработка машинно-ориентированных методов создания математических моделей систем тел, а также соответствующего алгоритмического и программного обеспечения, является одной из наиболее важных проблем, лежащей на стыке теории математического моделирования и общей механики.

Значительный вклад в разработку новых, ориентированных на применение ЭВМ методов формирования моделей механики систем твердых тел, исследования динамики систем с переменной кинематической структурой внесли: Е.А. Арайс, В.М. Дмитриев [6, 7], A.B. Банщиков, JI.A. Бурлакова, В .Д. Иртегов, М.В. Почтаренко [11, 13, 102, 103, 104], В.В. Величенко [27, 28], А.Ф. Верещагин, Б.П. Попов [29,101], Й. Виттен-бург [30], М.К. Вукобратович [32, 33, 34], A.C. Галиуллин, Р.Г. Мухарля-мов [36, 37], Ф.М. Диментберг, Е.И. Воробьев [31, 47, 48, 86], В.Ф. Журавлев [54, 55], В.В. Козлов [59], В.А. Коноплев [61] -[67], JI.K. Лилов [74, 75, 76], М.З. Литвин-Седой [78], А.И. Лурье [80], В.В. Маланин [137, 138, 139], А.П. Маркеев [82, 83], Д.Ю. Погорелов [51, 52, 53], H.H. Поля-хов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков [99, 100], Ф.Л. Черноусько [1, 120, 121], H.A. Фуфаев [55, 93], П.В. Харламов [118], T.R. Kane, D.A. Levinson [136], R.L. Huston, F.M.L. Amirouche [2, 3, 133], E.J. Haug, P.E. Nikravesh [9, 81, 94, 119, 135, 146, 147], W.O. Schiehlen [143, 144], A.A. Shabana [69, 70, 122, 123, 125, 126, 127] и ряд других авторов.

На основании сказанного выше, можно сделать вывод, что исследования в области теоретических основ моделирования систем твердых тел и, в первую очередь, с переменной структурой, не утратили своей актуальности, а в связи с задачами автоматизации процесса формирования моделей круг проблем расширяется, затрагивая вопросы смежных разделов теории моделирования.

Цель работы заключается в разработке эффективных и универсальных методов создания математических моделей динамических объектов с расчетной схемой в виде систем твердых тел, позволяющих в

рамках единого формализма формировать различные модели сложных технических систем при изменении кинематической структуры, отличающиеся по составу координат и форме записи уравнений кинематики и динамики, ориентированных на применение ЭВМ в задачах конструирования математических моделей в виде, удобном для их качественного и численного исследования.

Методы исследования. Работа выполнена с использованием общих положений теории математического моделирования, принципов системного подхода. В качестве основного аппарата исследования использованы методы аналитической механики (кинематики и динамики твердого тела, динамики голономных и неголономных механических систем), матрично-геометрические методы в механике.

С учетом ориентации предлагаемых методик на применение ЭВМ (в том числе систем аналитических вычислений) основные соотношения представлены в матричной форме записи и их преобразования проведены на основе средств матричной алгебры. Практическая часть работы (примеры, иллюстрирующие особенности предлагаемых подходов) выполнена целиком в системе аналитических и численных вычислений ''Ма^етайса".

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и двух приложений. Диссертация содержит 162 листа машинописного текста, список литературы из 147 наименований, 13 рисунков.

Краткое содержание работы и основные результаты.

Во введении обоснована актуальность задачи развития теоретических основ математического моделирования механических систем, в том числе с переменной кинематической структурой, сформулированы цели диссертационной работы. Отмечена научная новизна разработанных методов, их практическая ценность.

В первом разделе рассмотрена постановка задачи моделирования

механических систем с переменной кинематической структурой. Вводится понятие кинематической структуры механической системы. В предположении, что сформированы необходимые модели динамики системы при фиксированной кинематической структуре, ставится задача формирования моделей системы при изменении параметров кинематической структуры: изменения числа подсистем, мгновенного наложения, снятия или изменения связей с элементами внешней среды или между подсистемами.

В разделе представлен обзор исследований по моделированию динамики механических систем с переменной кинематической структурой. Особое внимание уделяется моделированию систем с расчетной схемой в виде связки твердых тел. Рассмотрены основные этапы решения задачи моделирования систем твердых тел, в соответствии с выделенными этапами моделирования дан обзор методов построения моделей кинематики и динамики систем твердых тел.

На основании сравнительного анализа существующих методик сформулирована проблема преобразования моделей при изменении кинематической структуры объекта моделирования без использования множителей Лагранжа, излагается концепция подхода к решению задачи вывода уравнений движения систем твердых тел с переменной структурой, представленного в данной работе.

Во втором разделе рассматриваются теоретические основы решения задачи построения и преобразования моделей динамики систем с переменной кинематической структурой.

Показано, что в основе решения проблемы формирования моделей динамики механических систем и их преобразования при изменении кинематической структуры лежит задача учета дополнительно наложенных связей. Представлены основные способы учета связей в механике с использованием независимых и зависимых координат. Особое внимание уделяется классическим уравнениям Маджи и связанному с ними способу учета связей в вариациях.

Обсуждается идея использования при моделировании механических систем избыточных координат. Показано, что применение методов и уравнений неголономной динамики в задачах моделирования движения голономных систем приводит к уравнениям в избыточных координатах.

Обосновывается преимущество записи уравнений динамики ситемы тел в неголономных координатах.

Как результат применения указанных подходов записаны уравнения динамики, которые можно классифицировать как уравнения Маджи в квазикоординатах. Уравнения носят универсальный характер и применимы для решения задач моделирования широкого класса механических объектов.

Предложен практический способ построения системы независимых вариаций, который также представляет возможность вычисления обобщенных реакций наложенных связей.

Методика построения математических моделей систем с применением уравнений Маджи в квазикоординатах проиллюстрирована решением классической задачи механики "построение уравнений движения жесткого диска по горизонтальной плоскости". Исходя из базовой модели "Уравнения динамики свободного диска в однородном поле тяжести в квазискоростях", путем преобразования, на основе применения уравнений Маджи в квазикоординатах, получен ряд моделей движения однородного кругового диска по горизонтальной плоскости при различных предположениях относительно взаимодействия диска с плоскостью в точке контакта.

В третьем разделе диссертационной работы рассмотрены вопросы применения уравнений Маджи в квазикоординатах в задачах формирования и преобразования моделей динамики систем твердых тел.

Предложено обобщение уравнений Маджи в квазикоординатах для составных систем (систем состоящих из подсистем).

Поскольку в основе метода декомпозиции сложных механических

систем на подсистемы лежат классические модели абсолютно твердого тела, приведены основные уравнения кинематики и динамики абсолютно твердого тела в квазискоростях. Показано, что уравнения динамики твердого тела при наличии связей могут быть построены также путем применения уравнений Маджи в квазикоординатах.

Для решения задачи формирования моделей кинематики систем твердых тел и построения системы независимых вариаций введены основные кинематические соотношения для пары двух смежных тел, взаимное движение которых стеснено одним соединением. Рассмотрены варианты выбора независимых кинематических характеристик для пары тел в абсолютных координатах тел и относительных координатах соединения.

Полученные кинематические соотношения распространены на случай системы тел со структурой дерева и системы тел общего вида. В качестве основы для построения системы новых независимых кинематических характеристик приняты уравнения, связывающие квазискорости подсистем со скоростями относительных движений в соединениях. Указаны два способа задания новых кинематических характеристик: путем выделения в системе линейных алгебраических уравнений, связывающих квазискорости подсистем и скорости относительных движений, базисного минора, либо при помощи расширенния вектора новых кинематических характеристик функциями связей.

Показано, что в задаче моделирования процессов объединения подсистем, единая модель системы может быть получена путем агрегации моделей подсистем. В качестве основного инструмента такой процедуры агрегации используются уравнения Маджи для составных систем.

Рассмотрен пример формирования модели динамики системы трех абсолютно твердых тел, которые после фазы раздельного движения объединяются в единую систему "тело на двух опорах" с замкнутым кинематическим контуром. Модель динамики системы получена путем агрегации моделей подсистем в раздельном движении на основе применения

уравнений Маджи. Решена задача выбора независимых кинематических характеристик так, чтобы уравнения динамики не содержали особенностей в области рабочих значений координат тел системы. Показано, что уравнения динамики, записанные в избыточных квазискоростях имеют более простую структуру, попытка исключения избыточных квазискоростей, переход к новым квазискоростям, а тем более к обобщенным координатам приводит к существенному усложнению уравнений, упрощение которых затруднено на современном этапе развития вычислительной техники.

Рассмотрена задача о преобразовании моделей динамики при изменении кинематических условий соединений между подсистемами и с элементами внешней среды, которая решена также путем учета дополнительных связей в вариациях с применением уравнений Маджи. Для системы трех тел путем соответствующих преобразований построены уравнения движения при условии, что меняются условия контакта одного из тел с элементами внешней среды, при этом система становится неголономной.

В заключении приведены основные результаты работы, обсуждаются преимущества предложенных методов формирования моделей механических систем, особенности их практического применения.

В приложениях представлены выкладки по примерам рассмотренным в диссертационной работе, выполненные в системе символьных и численных вычислений " МаЛета^са".

Научная новизна. В диссертационной работе предложена методика формирования и преобразования моделей динамики механических систем при изменении кинематической структуры.

Принципиальное отличие предлагаемой методики от существующих заключается в том, что задача преобразования моделей при изменении кин�