автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Создание информационной системы контроля и прогнозирования сохраняемости объектов со структурной неоднородностью

На правах рукописи

ДВОиоэч

БЕЛЯЕВ Константин Петрович у

СОЗДАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОМ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОХРАНЯЕМОСТИ ОБЪЕКТОВ СО СТРУКТУРНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

Специальность 05.13.01 — «Системный анализ, управление и обработка информации (информационные и технические системы)»

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

,1 6 ИЮН 2011

Краснодар-2011

4850594

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Ключко Владимир Игнатьевич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Плахотнюк Александр Николаевич;

доктор технических наук, профессор Локтионова Оксана Геннадьевна;

доктор технических наук, профессор Крупенин Александр Владимирович.

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится «29» июня 2011 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.100.04 в Кубанском государственном технологическом университете по адресу: 350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2, ауд. Г-251

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кубанского государственного технологического университета.

Автореферат разослан « 29 » мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. техн. наук, доцент

А.В. Власенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важной проблемой технологического развития современного общества является практика использования и внедрения ресурсосберегающих технологий. Большее значение получают технологии создания новых материалов, обладающих направленными свойствами и особенностями. Кроме человеческого фактора, который сопутствует происхождению повреждений и катастроф различного масштаба в технических системах, имеется фактор недостаточного анализа, отсутствия информации о ресурсе, прогноза состояния технических компонентов механизмов или деталей, которые должны обладать основными свойствами надежности. Для некоторых элементов сложных систем справедливо проводить исследования индивидуально, оставляя осредненный анализ из-за его ограниченности и неточности. Происходит пересмотр установившихся теорий и создание новых подходов к поставленным задачам. Характерные примеры таких представлений имеют место в классических теориях прочности и разрушений, в которых основой являются однопараметрические критерии разрушения (Ki; d, COD, J-интеграл). Такой подход оправдал себя для хорошо изученных материалов и простых условий нагружения на уровнях макро-масштаба. Развитие новых представлений в исследованиях связано с появлением новых материалов и технологий их изготовления. Основой новых представлений о прочности является концепция системного подхода, которая была предложена академиком С.Н. Паниным в физической мезомеханике. Ее дальнейшее развитие получено в работах С.Г. Псахье, О.Б. Наймарка, Г.И. Шемякина, и др., которое послужила развитию физики, механики, медицины, биологии. Такой подход получил применение в связи с использованием наноматериалов и нанотехнологий.

Изучением аспектов этой проблемы явился масштабный фактор поведения свойств объектов. Механические характеристики разрушения на разных масштабных уровнях ведут себя различно и не являются константами материалов, а зависят от многих факторов. Экспериментальные исследования по разрушению, проведенные на моделях меньшего масштаба, не соответствуют таким же моделям большего или еще меньшего масштаба с соблюдением пропорциональной геометрии. Понимание многомасштабных факторов эффектов разрушения произошло благодаря появлению новых экспериментальных методик, позволивших получить новые знания о поведении объектов. Построение моделей, включающих иерархию масштабных уровней в

рамках сплошной среды, является новой и актуальной задачей системного анализа, механики, физики. Отсутствие цельной модели, охватывающей различные уровни самоорганизации, является актуальной задачей системного анализа и его приложений.

В работе настоящего исследования развиваются прогнозируемые модели деградации на одномасштабном уровне с помощью функции распределения изменения потенциальной энергии ресурса для одного объекта и построения функции распределения для к-объектов для представительного измерения. На основе системного подхода строится многомасштабная иерархическая дискретная система появления, перехода и исчезновения ресурса с помощью анализа потока. Выводится уравнение самоорганизации для объектов в виде дискретного и непрерывного состояния. Проводится исследование уравнения дискретного прогнозирования в рамках положительности стохастической матрицы переходов на различные уровни.

Анализ указывает на параллельность описания процессов эволюции неравновесной системы изменения ресурса для аналогичных задач биологических и экономических систем. Важным преимуществом в исследовании неравновесной системы этим методом является полученная информация о эволюции количества изменения ресурса на каждом масштабном уровне. Идентификация объектов и их мониторинг на каждом масштабном уровне является сложным, многогранным процессом, необходимым для безаварийного состояния системы.

Информация о поведении объектов на разных масштабных уровнях является важной для оценки надежности, долговечности и эксплуатационной способности конструкции, а также при конструировании новых материалов с использованием современных технологий. На данный момент практически отсутствуют системы поддержки принятия решения (С ППР) для информационного обеспечения и предложения по оптимальному подбору материалов, имеющих дефекты, их контролю и прогнозированию.

Целью настоящей работы является развитие подхода к моделированию:

- идентификации, прогнозирования и управления энергетическим ресурсом объектов как синергетической системы;

- обеспечение надежного контроля и диагностики при создании объектов со структурной неоднородностью.

Объектом исследования выступают неоднородные структуры, находящиеся на разных масштабных уровнях, связанные между собой ресурсом сохраняемости при установившихся внутренних и внешних условиях.

Предметом исследования являются следующие задачи:

1. Разработка статистической модели изменения ресурса на разных масштабных уровнях изменяемости при установившихся условиях.

2. Создание феноменологической модели изменения ресурса на основе экспериментальных данных деформирования и деградации некоторых наноматериалов.

3. Построение математической модели синергетической системы и исследование ее в условиях масштабного фактора сохраняемости.

4. Проведение анализа и контроля некоторых неоднородных объектов и разработка математического метода решения задач со смешанными граничными условиями.

5. Определение оптимального множества состояний системы, в условиях установившихся условий путем управления физическими и геометрическими параметрами сопряженных элементов.

6. Разработка новой методики и программного обеспечения для прогнозирования остаточного ресурса объекта и его изменения, на основе колличественого критерия сохраняемости на разных масштабных уровнях

7. Сравнение результатов решений, выполненных различными методами.

Практическая значимость. Результаты работы имеют практическое значение для идентификации инородных тел и их контроля на границе. Предложенные теоретические модели положены в основу разработки программного обеспечения. Результаты, полученные в работе, имеют непосредственное отношение к проблеме определения ресурса неравновесной синергетической системы на разных масштабных уровнях при установившихся внешних условиях. Созданная информационная система позволяет оценивать запас ресурса с учетом изменений свойств объекта в процессе эксплуатации. Модифицированный метод разделения переменных существенно уменьшает вычислительные затраты при решении смешанных граничных задач. Кроме того, этот метод решения можно использовать в учебном процессе на спецкурсах.

На защиту выносятся следующие положения:

- анализ современного представления о изменении ресурса системы (материала, изделий);

- критерий предотвращения деградации на одномасштабном уровне в зависимости от вероятности количества используемого ресурса, построенный на ряде гипотез;

- исследование синергетических связанных систем в масштабном факторе сохраняемости;

- оптимальное множество структур сохранения объекта при возможных изменениях;

- метод сшивания геометрической сингулярности;

- исследование синергетической системы в структурных образованиях при установившихся условиях;

- сравнение результатов используемого метода решения с другим методом решения;

- исследование управления сохраняемости и достижимости системы, при установившихся условиях;

- идентификация интерфейса объекта и прогнозирование его ресурса;

- эффекты возрастания, убывания исследуемых параметров с межфазными неоднородностями при гармонических колебаниях.

Научная новизна работы заключается в разработке нового представления о эволюции синергетической системы, связанной вероятностным изменением ресурса на разных масштабных уровнях, которые позволили:

- предложить понятие масштабной сохраняемости - нового свойства состояния системы, обеспечивающего устойчивость функционирования системы в условиях установившихся воздействий в процессе эволюции;

- построить математическую модель связанной иерархически синергетической системы в дискретной и непрерывной области наблюдения;

- обобщить результаты традиционной теории прогнозирования разрушения и идентификации дефектов;

- модифицировать математический метод решения смешанных граничных задач с помощью сшивания неоднородностей на границе;

- прогнозировать рабочий ресурс объекта при установившихся условиях по вероятностному изменению его количества на каждом масштабном уровне;

- находить соотношения между физико-механическими параметрами для оптимальной работы склеенных материалов при наличии неоднородности на границе фаз;

- использовать оптический и акустический индентор для оценки ресурса объектов и создать автоматизированную систему контроля и анализа изделий.

Практическая реализация работы. Предложенные в диссертации результаты использованы на предприятиях ОАО КБ «Селена» г. Краснодар; ЗАО «ШИП 11-й» (машиностроительный завод) г. Москва; ООО «Транссервис» г. Новороссийск; в системах компьютерного моделирования интерфейсного анализа изделий.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается

- выбором методики исследования на основе анализа полученных ранее известных результатов;

- применением апробированного математического аппарата при построении аналитических и численных решений;

- проведение сравнения с помощью переходов к известным решениям задач;

- сопоставлением полученных решений с результатами, полученными на практике.

Апробация работы. Материалы работы докладывались на семинаре «Молодых ученых» института механики (Киев, октябрь 1984-85), кафедре теории упругости Ленинградского Государственного университета (Ленинград, 1985), республиканской научно-технической конференции «Электромагнитной совместимости» (Виница, 1987), региональной конференции «Волны в сплошных средах» (Краснодар, 1990), городской научно-практической конференции (Таганрог-Туапсе, 2002), Всероссийской научно-практической конференции «Образование в XXI Веке: Проблемы, перспективы» (Ростов-Туапсе, 2003), научно-практической конференции «Computational Mechanics in Materials» (Ростов-Туапсе, 2004), городской научно-практической конференция «Особенности решения задач приоритетных национальных проектов в Туапсинском регионе» (Туапсе, 2006), XV международной конференции "Высокие технологии в биологии, медицине и геоэкологии " (Новороссийск, 2007.), XVI международной конференции "Лазерные технологии в биологии, медицине и геоэкологии " (Новороссийск, 2008.), XVII международной конференции "Лазерные технологии в биологии, медицине и геоэкологии " (Новороссийск, 2009.), XVIII международной конференции "Лазерные технологии в биологии, медицине и геоэкологии " (Новороссийск, 2010.)

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы,

содержит 15 рисунков, 2 таблицы, библиографический список из 176 наименований - всего 232 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе настоящего исследования проводится анализ существующих методик и математических методов определения сохранения неоднородных объектов, предложена прогнозируемая модель сохранения системы на одномасштабном уровне с помощью функции распределения изменения потенциальной энергии для одного ресурса и построения функции распределения для К-ресурсов, для представительного объема. На основе системного подхода строится многомасштабная, иерархическая дискретная система появления, перехода и исчезновения ресурса с помощью анализа потоков ресурсов. Выводится уравнение самоорганизации для ресурсов в виде дискретного и непрерывного состояния. Проводится исследование уравнения дискретного прогнозирования в рамках положительности стохастической матрицы переходов на различные уровни.

Система состоит из структур, которые находятся во взаимосвязи друг с другом; являются нелинейными; подвержены внутренним и внешним колебаниям; могут стать нестабильными; в них происходят качественные изменения и обнаруживаются эмерджентные новые качества; возникают пространственные, временные, функциональные структуры, которые могут быть упорядоченными или хаотическими. Для них рассмотрен случай систематизации.

Решаются следующие задачи:

1. Разработана статистическая модель накопления ресурсов на разных масштабных уровнях сохраняемости при установившимся воздействии.

Для исследования изменений потенциальной энергии неравновесной системы - ди, рассмотрим совокупность N локальных ресурсов, идентичных на данном структурном уровне действующих в течение определенного времени I. Допустим, что ожидаемое число ресурсов под действием внешних или внутренних условий изменили свое состояние за малое время Л, и их количество составило |лск. Тогда общее число ожидаемых ресурсов составит (чЫ = п.

Примем такие гипотезы:

1) Изменения ресурсов в двух непересекающихся интервалах времени являются независимыми;

2) Число изменившихся ресурсов за интервал (t|, t2) зависит только от его продолжительности;

3) Повторные изменения ресурсов на малом промежутке времени исключены.

Тогда процесс изменения количества ресурсов будет Пуассоновским. Это соответствует экспериментальным работам в этой области. И вероятность изменения К ресурсов в течении определенного времени dt = 1 равна

(1.1)

к к\

Если S(x) - функция распределения изменения потенциальной энергии для одного ресурса, то математическое ожидание есть

JxrfS(x) = m (1.2)

о

Общее возможное изменение энергии п - ресурсов составит A(Jn = nm. Если рассмотреть случай К-изменений ресурсов за определенный промежуток

времени dt = 1, то можно найти функцию распределения изменения

потенциальной энергии для К-ресурсов. Путем использования гипотез и составления к-й свертки для S(x), имеем

sk{x) = ]sk-,(x~z)ds(z). (1.3)

о

Умножая эти величины на соответствующие вероятности и суммируя, получим функцию распределения потенциальной энергии К-ресурсов

F(x,n) = £ —~Sk(x). (1.4)

о к\

2. Определена феноменологическая модель накопления ресурса в виде дефектов на основе экспериментальных данных деформирования и разрушения некоторых наноматериалов. Численные величины, используемые здесь, таковы: 1 - S(x)=0.003exp(-0,0002x)+0.330exp(-0,005x)+0.667exp(-0.015x); (1.5) среднее о,=1,25 47*102; ц2=1,6659*105; цз=2,2024*Ю';

р,=1,0492*10'; 02=4,О815*1О2; ц4=4,3891*Ю13; р2=1,5816*103 коэффициент вариации = 3,2530. Такой вид S(x) соответствует реальным условиям, ее

средняя величина около 125,00 Кдж/см2 соответствует требованиям, поступившим на начало использования материала, а коэффициент вариации также типичен для практики.

3. Создана математическая модель синергетической системы объектов и исследована в условиях масштабного фактора сохраняемости при установившихся условиях. Уравнения такой модели могут быть кратко записаны в матричной форме, как

n(t + Т) = n(t){P + r(c - w)} = n(t)Q, (1.6)

где n(t) матрица начального числа объектов, n(t + Т) - ожидаемое число за период Т.

Матрица вероятностей переходов, управляющая перемещениями в системе обозначена через Р = {pjj}, вектор вероятностей исчезновения w = (W|, w2, .... wk) , количеством вновь появившихся, определяемым

вектором о, вектором г = (ri, г2,...... rk), определяющим распределение

появившихся объектов по классам с ограничением £ n= 1.

Таким образом, если параметры модели известны, то ресурс следующего периода (т. е. t+T) может быть найден по ресурсу текущего периода (t) путем простого перемножения матриц. Прогноз на следующий период, M(n(t + Т)), может быть затем использован в качестве основания для прогноза еще на один период вперед, если взять

M(n(t + 2Т)) = М( n(t + T))Q, (1.7)

(мы не можем писать n(t + Т) в правой части, так как эта величина не известна за период Т; поэтому используем ожидаемую величину. Матрица Q относится к особому классу матриц, называемых стохастическими, и представляет все возможные переходы от одного уровня объектов к другому.

В случае непрерывного наблюдения, когда моменты времени

приближаются друг к другу, в пределе мы можем получить непрерывные

дифференциальные уравнения прогнозирования изменения количества ресурса

на каждом масштабном уровне в таком виде;

dn At) , х к к

^ = (//,-*.,>ДО +2^(0- I МО- (1.8)

«« /=1 1=1.

4. На основе колличественого критерия разработана новая методика и программное обеспечение для прогнозирования остаточного ресурса материала и его сохраняемости в шестой главе.

Во второй главе получены результаты для оптимального управления синергетическими системами, частными случаями для которых являются структурные разномасштабные системы объектов. Доказывается теорема «О структурной устойчивости синергетических систем связанных иерархически по любому векторному параметру». Из этой теоремы следует возможность управления в области сохраняемости, на каждом структурном уровне, и управление достижимости к любой точки из области сохраняемости.

Определение. Областью сохраняемости какого-либо векторного параметра х в синергетической системе будем называть полное векторное пространство вектора х, удовлетворяющее уравнению х = хО, где -стохастическая матрица изменения векторного параметра.

Считаем, что вектор х нормирован так Х| + х2 +,...+ х„ = 1, где п -размерность векторного пространства.

Теорема 1. Для любой синергетической системы, иерархически связанной по какому либо векторному параметру х, имеющему стохастическую матрицу перехода 0 = (Р^), существует область сохраняемости векторного параметра, удовлетворяющая неравенству х > х(2 в банаховом пространстве.

Качественное изучение изменения ресурса системы можно получить, исследуя множество изменений в пространстве параметров, характеризующих связанность между собой, разнородных объектов.

Критическое значение возникает тогда, когда Кь Кц, Кш - коэффициенты интенсивности в трехмерном пространстве достигают порогового значения Р; предела устойчивости ресурса. Рассмотрим функцию управления на примере в зависимости от параметров двух упруго сцепленных изотропных материалов с модулями упругости, на границе которых имеется трещина. Согласно теореме Тома [9] рассмотрим функцию управления в виде:

УММ1(к) = к3 + ^2 + М1к,

тогда

дУ у дгУ

— = 3/с +2/Л + //, = 0,~ = 6к + 2/и = 0, (2.1)

дк дк

где к заменяет любой из коэффициентов К|,Кц, Кш, /л, Ц1 - модули упругости соответствующих материалов.

Получим зависимость // от /// для сдвиговой деформации которая дает зависимость между модулями упругости и положением

равновесия дефекта при

Л. < ум

Для плоской деформации соответственно

\2

1

2ц

1-

"I

(2.2)

(2.3)

где V и VI коэффициенты Пуассона в соответствующих материалах.

Используя критерий разрушения в условиях маломасштабной текучести, получим

г(0.0.К///)=8>'з-(-

1

к,„= О,

(2.4)

1 1

— + —

М

К

iii

отсюда = Аналогично получим

где уз - критерий локального разрушения.

1-у

2//, 2ц

и

= 0,

(2.5)

или

Г,- =

1 — V, 1-ИЛГ,- „ у.

-+-| — , где К^ - соответствует К| и Кц, а у1 -уьуг-

16

М

Данные результаты подтверждаются опытными и феноменологическими соотношениями [9]. На практике выбор клея и подбор материалов определяются по упругим характеристикам и физическим параметрам, которые должны быть близки между собой.

В третьей главе диссертации рассматриваются решения парных рядовых и интегральных уравнений, которые получаются в результате решения смешанных задач. Вводится неизвестная функция, позволяющая находить решения на продолжении длины неоднородности на границе. Толщиной неоднородности пренебрегаем. Чтобы ограничить количество неизвестных коэффициентов и не проводить регуляризацию бесконечной системы уравнений, которая получается в результате удовлетворения граничным условиям, выделяется возмущенная часть в виде ограниченного ряда, содержащая сингулярность и дающая точное решение при неограниченном его увеличении. В решении задачи о гармоническом нагружении фронта трещины авторами Нивват М.А., Ри [10] было предложено «сшивать»

геометрическую сингулярность методом Швингера при исследовании

напряженного состояния и определения коэффициента интенсивности напряжения (КИН). При помощи данного метода Партон В.З. и Перлин П.И. [8] исследовали плоскую задачу в случае наличия жесткого кругового включения с трещиной на границе при действии динамической нагрузки. Дальнейшее развитие данного метода было продолжено в работах (1, 2) (раб. ав-ра), где исследовалось взаимодействие установившейся нагрузки с упругими цилиндрическими слоистыми, включениями с дефектами на границе фаз. Решения одного типа парных рядовых уравнений приводятся в работе [8], которые решаются с помощью преобразование Швингера [1]: cosx = b + bl cos£; cos? = b + b{ cosf,

где 6 = ^(cos£-l),6, =^(cos<? + l). (3.1)

Тогда при изменении*,/ £[0,/] переменные £ и С, будут принимать значения в пределах от 0 до п.

В настоящей работе были исследованы двойные тригонометрические ряды, которые позволили найти решение смешанных граничных задач на неоднородностях. Для сшивания геометрической сингулярности используем преобразование Швингера в случае несимметричного взаимодействия:

sin / = bt^ + sm ^ + с, где c = sin(i)-Zw, (3.2)

a b, b1 - такие же, как в (3.1).

Применим к парным интегральным уравнениям преобразования Швингера:

со

¡t]A(/i)s'm(rix)d>j = q(x) ,0<х<£;

0 (3.3)

00

j А(/])cos(i]x)di] = 0J<x<k, о

где а(ч)~ неизвестные, которые требуется определить.

Введем функцию h(x), которая является неизвестной на участке границы (,<х<71 и удовлетворяет условию Дирихле:

со

h{x) = J t]A(ij) s\n(i]x)d ij, ¡>< x <7i.

0

Отсюда имеем:

2 ' 2 "

A(t]) = —¡q{t)sin(nt)dt + — ¡!i(t)sm(nt)dt. (3.4)

Wo П n,

Используя равенство:

-= Г J-A-idr] + J-A-=_

o 7 2 o r¡ o 7/ 2

/г С .

получим: jh(t)dt = -jq(t)dt. (3.5)

/ o

Для его решения используем метод рассмотренный выше. Уравнение (3.5) запишем в таком виде:

" ilt ж dt

JAMÍAÉ = -/?(/«))-£</£. (3.6)

О «Í О «S

dt м

Подставив в (3.1) разложения вида: h(t(^))— = Y.am cos(m ~ получим

J( Z a,„ cos(m -1 )C)dC = + (3.7)

0 m=1 ^ 0 "S

í/í со

представим правую часть в виде <?(/(£))— = cos(m^), найдем ai = - Qo/2,

^ »1=1

(!„,= (m - l)Qm при (m = 2,3,.....).

В результате имеем:

¿ m=l

f COS(l) —¿V

"l J.

(3.8)

л/соэ ^ — сое/

По аналогии рассматриваются другие случаи.

Проведенный анализ задач, решенных с геометрическими сингулярностями и неоднородностями, позволяет установить, что искомые решения можно представить в виде V = V* +у/ для установившегося процесса, где V* - составляющая искомого решения V, представляющая возмущенную часть и заключающая в себе особенность поля; Ч' - некоторая гладкая функция, коэффициенты разложения по собственным функциям которой убывают достаточно быстро с ростом номера. Поэтому коэффициенты разложения функции V определяются скоростью убывания возмущенной части. При этом важным является корректный выбор неизвестной функции и правильная интерпретация ее параметров и констант.

В четвертой главе проведено исследование плоских задач взаимодействия гармонических волн в среде, представляющей упругое

сцепление двух полупространств, на границе которых имеются дефекты, применяется метод решения парных рядовых и интегральных уравнений, рассмотренный в третьей главе. Используется волновой подход к решению задач, который позволяет проводить исследования дефектов на разных масштабах в зависимости от длины волны. Сначала решаются задачи для волн расширения и сдвига взаимодействующих симметрично относительно дефекта, затем рассматриваются случай взаимодействия с дефектом под углом, случай волны сдвига - антиплоская деформация (плоская акустическая задача). Решается задача с периодическими трещинами, расположенными на границе упругих полупространств под действием гармонической нагрузки и под действием гармонической волны сдвига. Найденные неизвестные коэффициенты позволяют определять интегральные сечения рассеяния и идентифицировать дефекты для различных случаев падения волн. Приводятся численные расчеты, их анализ и сравнение с полученными ранее результатами. В простейшем приближении модель представляет распространение волн в среде из 2-х неограниченных однородностей, упруго сцепленных, граница которых проходит по оси ОХ на одном из участков имеется трещина. Дефект расположен, как на рис. I. В первом параграфе рассмотрено падение плоской волны расширения по отношению к фронту дефекта симметрично. В этом случае падающую, отраженную и преломленную волну можно представить в виде, соответственно

и + =А о е"-=ТеКкуН°'\и * =ре*»>, (4.1)

где знак «+» в степени означает падающую волну, «-» - отраженную волну, Т и Р - коэффициенты отраженной и преломленной волны. Такие волны для установившегося процесса удовлетворяют уравнениям Гельмгольца в каждом

полупространстве: (Д+А2)(/=0, в одном полупространстве и (А+к[2)1/ =0, во втором, где Л — оператор Лапласа, к и к| - волновые числа в соответствующих средах. На границе разрыва следует поставить условия непрерывности поля при условии упругого соединения границы за исключением дефекта, имеем:

С?+1Г =и*,<7++ст~=сг,\х\>е,у=0. (4.2)

На границе с дефектом получим:

<т++<т~=0, сг* = 0,| х¡<=0. (4.3)

При этом рассматривается установившийся процесс возмущений. Считаем, что берега дефекта гладко контактируют между собой, это не

нлпрнжомин от отнтлшмя

0,2 0,4 0,6 0.0 1,0

Рисунок 1 - Общий вид дефекта Рисунок 2 - Напряжение на

конце дефекта

нарушает формализма исследования. Шириной дефекта пренебрегаем. Во всех задачах в дальнейшем будем использовать эти допущения. Коэффициенты Т и Р формируют пространство дифракционного возмущения. Введем полярную систему координат (г,0), где полярная ось совпадает с осью ОУ, а начало координат находится на середине дефекта. В полярной системе координат для дефекта |г|<С, 0С[0,я] и полупространств волны падения, отражения и преломления представятся в виде

и + = Л ое-'* С08( в\и ~ = Те'кг с°5< в\и ' = Ре"'*"'0051 , (4.4)

где временной множитель е'"" опускаем, т.к. рассматриваем установившийся процесс. Граничные условия представятся так:

'О,И</,0 = О /)(г),/<|г|<л-,0 = О ,

[о,и</,е = о

|/г(г),/ <\г\< л,9 = 0 '

где Ь(г)-неизвестное напряжение в окрестности конца дефекта. Используя методику решения, рассмотренную в предыдущей главе, и разлагая функции в ряды Фурье, получим решение для функции Ь(г) в виде

= . (4.6)

I (\-кг)ът(лк1)е,кг +(\-кх2)$т{лк)е~'кг

Коэффициенты Т и Р находим в таком виде:

¡.1кгА0ечкг

- цхЦРс

■ ¡Ж Те =

(4.5)

р= ^'т^т. (4.7)

вт^ЯК,) I 51П(АГЛ-) (//Л) .Ч1П(ЯЛ)/

Аналогично решаются задачи для одной компоненты смещения поперечного и продольного сдвига. На рис. 2 приведены расчеты зависимости напряжения на конце дефекта от длины дефекта С к числу ж, при изменении отношения частоты падающей волны к ее скорости ю/с1.

Используя интегральное сечение рассеяния, в работе предлагается метод определения наличия неоднородности на границе контакта упругих сред. Граничные условия на бесконечности требуют, чтобы выполнялось ефг

IV = /(0)-=,гсо, где /(¡7) - амплитуда рассеяния, или фактор углового 4Рг

распределения. Полное сечение рассеяния находится интегрированием функции Г(0) и определяется таким интегралом:

о

/•/т л/а* -л г/, ¿т(1к) (1 -к2)'1 . , , „ , .. Жг

™ / О = г = К4, ^ -+М^щ

Коэффициенты а„ для упругого полупространства без трещины определяются из равенства (4.5) при условии, когда С = 0, в этом случае Ь = 0, а Ь| = 1, следовательно

а„, ='"6И>('" = 1.2,3,.....).

Беря отношение сечений рассеяния двух полупространств с трещиной и без дефекта, получим так называемую оценку наличия дефекта на включении

0 = А (4.8)

*2

где - сечение рассеяния с дефекта, в нашем случае будет таким:

+ + ?|е'№(вН) I2 (4.9)

яп(як) (рк) ып(як) о

Р2 - сечение рассеяния включения без дефекта запишется так:

Рг=\\Ш2М = \г. V!] ,^2^|(а2)[2]2[|е'^(го5(ЙН) \Чв. (4.10)

Г- п ^Г(СО5(0Н) 12-

о ' (М)2 зш(я£)

Подставим Р, и Р2 в (4.8), имеем

D = -^ = [l + A0

sin(/Ä)(//A)2 (аф + 2a2b,) 2

2 a-y

(4.11)

'2 d-k1) -«2 Из этого соотношения видно, что коэффициент D не зависит от угла рассеяния 0, а зависит лишь от параметров отражающей среды и длины неоднородности. На рис.3 приведены результаты расчета коэффициента D для трех типов сцепления границы при постоянном волновом числе и изменении длины дефекта (I- жесткое сцепление; Ii-однородные материалы; III -упругое

сцепление разнородных материалов) G = — = 20, — = 2.

/< Р

Более сложные задачи получаются при падении волн не симметрично относительно дефекта. В данном случае наблюдается трансформация волн и решение не будет регулярным по собственным значениям и функциям. Рассмотрена задача для дефекта на границе двух полупространств в постановке антиплоской деформации, где отлична от нуля только одна компонента смещения - w, которая удовлетворяет одному уравнению Гельмгольца в каждом из полупространств. Используя методику решения, рассмотренную в предыдущей главе, и разлагая функции в интеграл Фурье, получим неизвестные коэффициенты для идентификации дефекта.

D

1.0

Рисунок 3 - Сечения рассеяния

Рисунок 4 - Волна под углом к дефекту

В следующем параграфе решается плоская задача взаимодействия упругой волны расширения, взаимодействующей с дефектом под углом . При таком падении волны из одной упругой среды в другую и при наличии туннельного дефекта на границе возникают отраженные волны сдвига и расширения.

Плоская волна расширения движется в обратном направлении оси ОУ и образует угол 1>| с осью ОХ (рис. 4), ее потенциал имеет вид [4]

Ф+=А(1е . (4.16)

Компоненты смещения -и, V удовлетворят одному уравнению Гельмгольца в каждом из полупространств. На границе разрыва следует выполнить условие непрерывности поля для упругого соединения границы за исключением дефекта. Имеем:

и* +и~ =1/* ,сх+ + = сг*,1 <\х\< я,у = 0, (4.17)

сг+ + а' = 0,ст* = 0,| л: |< /, у = 0.

В результате несимметричного взаимодействия с границей и дефектом возникают плоские поперечные волны по обе стороны полупространств, поэтому имеем на границе

К~ = V*= г*,/ <| -с|< я,у = 0,

• (4.18)

т~ — 0,г =0, \х\<1, у = 0.

Потенциалы отраженных волн расширения и сдвига представим в виде интегралов Фурье

Ф'(х,у) = Асоф/х)^/, ,у>0; т о

У'{х>У) = "4-1 япО/к)^, ^> 0; (4.19) лРг 0

Потенциалы преломленных волн расширения и сдвига представим в интегральном виде:

= со^пх^г], у < 0;

ЯР\ о

Ч'\х,у) = ~]В2{71У~'Ау ЯП(щЩ, у < 0; (4.20)

Фг о

р\ =7//2-«2/, / = 1,2.

На границе при у = 0, получим следующее интегральное уравнение

/С,(*)%*)<&:=,- (| /1(Аг,х)^х+| /2(к1х)с1х) + а0 соъв е~'Ьхств^ (4.21) / 2 о /

где обозначено

<?,(*)= J(/,(2x)-/2(2jc))<fc, y = 0; № = -y

/ «i

[1-ГА1-

o/W о / (7)

sin(ipc), г», ч 7 sinto x) .

о т

Используя сшивание геометрической сингулярности (см. гл. 2) и

dx 00

представляя функцию Ь(х) в виде /?(х(<^))— = Ха„, со5(от -1)^ + Ьт ,

т=1

получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов ага, Ьт. Функция Ь(х) в общем случае не является ни четной, ни нечетной функцией. Ее решение представится так:

Л(0 =

V2sin(i/2)

■JcosC-cost

О

- у + Е >nQmT,t

»1=1

cos(f)-b\ fsm(t)-bn

bl J '" 4 b]

(4.22)

В следующем параграфе исследуется взаимодействие крутильной волны с дефектом в виде диска (рис.5), причем волна падает так, что имеет место лишь угловое перемещение. Стоячая волна задается формулой üД^z) = K(r)Sin(¿k)íГ'v^

где V(r) - радиальное перемещение, 0 - угол кручения.

Если подставить выражение стоячей волны в уравнение Гельмгольца в полярной системе координат получим уравнение Бесселя d2V . 1 dV . ,,2 1

где

Решением этого уравнения будут К(г)= + где ./|(/И,)/|(>)-

функции Бесселя и Неймана. Чтобы решение было корректным, в начале координат необходимо положить В^ 0. Полагая А, = 2У0 /(Яа), получим для р > 9 перемещения и напряжение в падающей волне. Для получения перемещения и Рисунок 5 Дискообразная трещина и волна напрЯЖения отраженной волны

оо

используем преобразование Ханкеля, получим 1/д(г,г)=\

о

00

для напряжения соответственно Од.

о

к - р1 . На границе с дефектом выполняются такие условия

а+ + сг" = 0, г < а, г = 0; и = 0,г> а, г = 0. В результате подстановки в граничные условия значений перемещения и напряжений, получаем такие парные уравнения:

| = г > а,г = 0;

0 . (4.23)

/'? = сг0У, (>),г <а, 2 = 0.

о

Система уравнений (4.23) далее сводится к интегральному уравнению

Ж 00 к

1(Е«тсо5(т-1К)С,(Яг(^))^ = С0(7 (4-24)

О "1=1 о

где а,,, находятся из системы уравнений.

Рисунок 6 - Изменение напряжения Рисунок7 - Изменение напряжения приХ. = 0 при\ = р

Численные результаты расчетов для динамической интенсивности напряжения даны на рис. 6-7. Коэффициент Кщ с дефектом и без дефекта отличается от состояния поведения Кш в условиях плоской деформации (рис. 2). Из рисунков (6-7) видно, что К зависит от X. В низкочастотной области динамические эффекты незначительны, однако с ростом частоты крутильной волны при Ра = 3,1-3,2 достигает максимального значения. Пунктиром показаны графики кривых, взятых из [4].

В пятой главе рассмотрены задачи установившегося взаимодействия матрицы с цилиндрическими включениями жестко и упруго сцепленными за исключением одного и двух участков дефектов на границе. Для моделирования такого процесса в изотропных средах с дефектом на границе фаз использовались волны расширения, сдвига на плоскости. Вначале решается задача для жесткого кругового включения со смешанными граничными условиями, где еще раз демонстрируется предложенный метод решения. Затем решается задача для цилиндра, упруго связанного со средой, за исключением участка дефекта. Рассматривается случай антиплоской деформации и плоской деформации. Решается задача для цилиндрического включения, упруго связанного со средой, за исключением участка двух дефектов. Исследование решения демонстрирует связь и предельные переходы для получения результатов с одним дефектом и полного отслоения. Результаты решения сравниваются с полученными ранее автором и другими авторами.

Приведем решение задачи 1-го параграфа.

На бесконечности отраженные волны должны удовлетворять условию излучеиия. Поэтому относительно оси X (рис.9) поле отраженных волн расширения ищем в виде потенциалов:

Ф" =1 Л ""У r)cosnft у/ - =1 В ^Ш^тпв. (5.1)

На границе должны выполняться условия: W* +W~ = №',г = а,0е(а1,2л:-а1), cr+ + cr~ = ег\г = я, 06 (а, ,2л--а,), а*+сг = 0,r = a,0&\-ax,a{\ a = Q,r = a,0&[-a},a{\

Постоянные А„ и В„ вычисляются из граничных условий (5.2)

Вп =[ ifiU0f"] eos (9)eilhCos0 cos,{n0)d9 + /}2U0](al - asm2 9)el/hcos0 cos(n0)de ]/[G„],

a 0

A„ = + -asín2 e)eip"Cm0 eos(n0)d9,

f\ /l a

где ■

q = rn П H„(pg) /7 | n H„{pa) Hn(Pa) nHn(J3a) ^ \ „

" 72 «ада/"72 a ¿ KiM K(M aH'^pá) a

Далее производим сшивание переменных, используя классические тождества, в результате находим А„ и В„

Bn=[~ißV*fx{ S'„ + S„.x ß2U0(al +ai)(e"^-S„_2)]^-

2 G„

JI J\ 1

(5.4)

S„_, = sin (b/fo)I(-l)"0„_,(b>);

m=I

= /cos(/,/?a) i (-1)" C(./;„+1 (/)'/i«)+(ft'/fc)).

»i-i

Для статического случая, получим

gq = lim [<x(/fa6>)] = G^rtgial2) i/0(a' +-),

/)я->о 2

где G = pi/(,i, r = a, a' = ^ + , 2/'

1рр>|иня wo уытт цихкндр«: Ia- t.O, Ц

2.6

Uz. пну/ \l-2y/

к г

1.0

Рисунок дефекта

Результаты расчетов представим в виде графиков (рис. 8):

Расчеты проводились при разных значениях волновых чисел (I - ßa = 1.0, II - ßa = 0.1, III - ßa = = 2.0, IV - ßa = 3.0) и при изменении длины дефекта. В этом случае наблюдаются наличия шах, min, при различных значениях волновых чисел.

В следующем параграфе решается задача для установившегося процесса в матрице с цилиндрическим включением с 2-мя дефектами, расположенными по контуру контакта. В цилиндрической системе координат включение в форме кругового цилиндра Ze(-o>,ac), сцепленного упруго по контуру г = а, в е (от,, ;r-a2)u(/r + a2> 2л-а{), Z е (-оо,оо), где участок г = а, 0б[-й1,а1]и[1-й2,^ + а2] имеет два дефекта (рис. 10). Для упрощения расчетов дефекты располагаем симметрично относительно фронта падающей волны.

Г w w Напряжение на конце

В условиях антиплоской деформации единственная отличная от нуля компонента смещения и, = iv удовлетворяет в случае установившейся нагрузки волновому уравнению в цилиндрической системе координат:

(Л + /?,2)(Г*= 0, г < а.

(5.5)

У

——

/§§1§| ¡¡¡ИД

-------

Рисунок 9 - Вид включения с одним Рисунок 10 - Вид включения с 2-мя дефектом дефектами

На границе включения со средой под действием волны должны выполняться следующие условия:

+ \у = IV', г = а, в б (а,, я - «,)и (я + а2,2;г-а,), сг+ +сг~ = <х*, г = а, в е (а1,я-а1)и(я + а2,2я-а1), а+ +а~ = 0,г = а,в е[- а,,а|]и[л- - а2,я + а2\ (5.6)

а = 0, г = а, в е [- а1, а1 ]и \ж - а2,к + а2 ].

На бесконечности падающая и отраженная волны должны удовлетворять условию излучения и условию Майкснера на ребре. Поэтому, учитывая симметрию поставленной задачи, решения первого уравнения (5.5) будем разыскивать в виде

л=0

со эп в,

где

- чо^)(МГ

1, и = 0 2(- /)",« = 1,2, ...со"

Решение второго уравнения (5.5) должно удовлетворять условию ограниченности в начале координат, поэтому имеем

(5.7)

я=0 К \Р\а)

где /,,, Н „ - соответственно функции Бесселя и Ханкеля 1-го рода. В представлениях (5.7-5.8) опущен временной множитель exp(-icot).

В результате, найдем неизвестную функцию напряжения на участке, где отсутствуют дефекты

Ilai , Ч j2s\n{e/2) V2cos(¿?/2) »

(cosa, -COS0)/2 (eosа2 + COS0)/2 т=1 Подставляя (5.7-5.9) в (5.6), а также используя свойство ортогональности функций, получаем систему конечных алгебраических уравнений относительно неизвестных а,,,:

Ь)пат +- I a D „, = [Рт - вт) + C0Sm. (5.10)

Полное сечение рассеяния находится интегрированием функции

¿Pr

W = /(0)-==,/--»со, и определится в виде:

= , (5.11)

о n=oH„(/3a)H„(fia)

где * - знак сопряжения, Ап - неизвестные, которые определяются из решения задачи.

Следующие параграфы посвящены применению рассмотренного выше метода к решению задач ряда периодических цилиндрических включений с дефектами.

При решении задач для многосвязных областей используем теоремы сложения для цилиндрических функций. Этим методом в работе[5] решаются задачи дифракции электромагнитных волн на двух телах. Решение для отраженного поля записываем в виде:

¥--ЪЫК)НЛРгк)еш0К. (5.12)

к п

Решение для поля во включениях запишем такими выражениями:

Фк (5.13)

п п

Рассмотрим бесконечное упругое тело, имеющее бесконечный ряд одинаковых цилиндрических включений радиусом гк = а, центры которых

лежат на одной прямой, края соседних включений не соприкасаются, расстояние между центрами включений равны д. Каждое включение имеет упругий контакт со связующими (средой), за исключением участка дефекта.

Падающая волна сдвига распространяется под углом <? к линии центров

(рис. 11).

/ * \ Ом \ а\ о. \ / «\ О* \

V 0*. у V *( .—-"Я & у ц* вС \/

х,*

Рисунок 11 - Бесконечный ряд включений В случае отсутствия дефектов, имеем задачу как в [4]. С каждым включением свяжем цилиндрическую систему координат так, чтобы координатная поверхность гк = а совпала с поверхностью включения.

Для отраженного поля в связующем материале необходимо решить волновое уравнение

(Д+ = 0,|гк| >- а. (5.14)

Для поля во включениях

(Д + Д2)Ж = 0,|^|ча. (5.15)

На каждом контуре включения должны выполняться следующие условия: ■И* + И* = , гк = я,,вк е (а,2ж - а),

ак+стк =°>гк =а'вк е[-а,а} о-к =0,гк = <г,0к е[-а,а] Отраженную волну будем искать в виде

к п иЛРа) где Нп - функция Ханкеля. (5.17)

Решение уравнения (5.5) представим так:

(5.16)

IV = !"^гГк)е-'^ (5.18)

1п(Р\а)

Вследствие периодичности включений коэффициенты а^ и Ь(пК) запишутся такими выражениями:

а[к) = ,Ъ\К) = В„е'кгст$, (5.19)

где А„ и Вп- постоянные неизвестные коэффициенты.

Доопределяем уравнение (5.16) при гк = а,0к е (а,/г] таким выражением:

„ОТ СО ( \

м «=о о V р )

Находим неизвестные Ап и подставляем их в граничные условия, получим конечную систему уравнений относительно неизвестных постоянных коэффициентов а,-, которые получаются при разложении неизвестной функции /?(/) в ряд Фурье

Лг+1 1 Г р 1

уЬтат + х 0С;О;т =-ЦА + ИМ0*0+ ¿о Сой,, +

м а (5.20)

+ -0„,) + ЛРСт,(/'=1)2,...), (т = 1,2,...Л' +1)

а

В статическом случае при ¡¡а —> 0, легко определить, что —> 0, и система (5.20) принимает вид как в параграфе 2, следовательно, в статике КИН будет таким же, как и для одного включения. Из системы (5.20) получим систему уравнений, когда дефекты отсутствуют. Для этого в интегральном уравнении нижний предел интегрирования положим « = 0, тогда система уравнений примет такой вид

+11«, = +<Со) + 2~1(г,„ -вт)+Л^С,„,

// у=1 а а

(5.21

Г 0, т 1

(Р =1,2,. ..),(т = 1,2, ...ЛГ + 1),г1и=|

[1,ш = 1 ,

где коэффициенты полинома Чебышева определяются так: с,- = ^

Когда включения полностью отслаиваются, получаем систему уравнений для отверстий, как в работе [5]. Численные результаты для интегрального сечения рассеяния в зависимости от изменения волнового числа для различных длин перемычки: 1. 8 = Ьа, 2. 3 = 4а, 3.5 = 3я приведены на рисунке 12 расположения трещин в «светлой» зоне.

В следующем параграфе рассматривается задача аналогичная предыдущей. Дефекты расположены симметрично относительно падающей волны, рис. 13. Полагаем, что величина нагрузки на границе всех включений одинакова, но сдвинута по фазе на величину |. На границе падающих, отраженных и преломленных волн должны выполняться условия (5.16). Отраженное поле в связующем имеет вид (5.17), а поля во включениях представлены в виде (5.18).

-в»

Рисунок 12 - Сравнение напряжений

X? х;

Рисунок 13 - Бесконечный ряд включений с нагрузкой сдвинутой по фазе

Определяя напряжение через смещение (5.17) и (5.18) и подставляя в условия (5.16), приходим к системе алгебраических уравнений относительно неизвест-ных постоянных А„, В„.

Доопределяем парные уравнения таким выражением

-±и{ек)-и>.о 1>„Н)" гп(МсыпОк -

/7=0

V р

М /1=0

при вк 6 (а, ж).

Решая уравнения по аналогии с уравнениями предыдущей задачи, находим функцию Ь{0К).

Следующей решается задача для двоякопериодической среды с цилиндрическими включениями, и на каждом из них имеется дефект.

Решения волновых уравнений при условии идеального контакта между компонентами и идеальном расположении дефектов для антиплоской деформации строятся в локальных цилиндрических координатах 0,г (рис. 14).

В этом случае общее поле в отдельной ячейке состоит из падающего и отраженного, причем первое слагается из полей, отраженных от всех волокон, за исключением рассматриваемого, а второе должно

удовлетворять условиям излучения. Поле перемещений и напряжений между компонентами в каждой ячейке должно удовлетворять условиям сопряжения

Ке + КпЛ^те^АпА^-а)'

^е+Чпе^тЛе^Ае^Ьг-О),

Рисунок 14 - Двоякопериоди-ческие включения

(5.22)

Для связующего в отдельной ячейке дифрагированное поле ищем в таком представлении:

'С= Е

(5.23)

/„(АО " я„(/Ь)

где индексом те - обозначается номер ячейки, в которой рассматривается поле; V"" - параметры, характеризующие изменение поля между ячейками. Каждая ячейка материала содержит цилиндрическое включение, и координаты центра т(-го волокна определяются формулой [2] V™' = (т + 1Ье'а), где Ь > 1: а -угол решетки.

Поле внутри каждого волокна определяем следующим рядом:

IV =УУ"'

"те ¿-¿и

Ш Я

1„т

(5.24)

где обозначено

Д"

, У />_■> П У Г, НИ ГШ П / п N

Определяя напряжение через перемещения (5.23-24) и подставляя в граничные условия (5.22), учитывая условие симметричного взаимодействия падающего поля с дефектом и используя теоремы сложения для цилиндрических функций в каждой ячейке, имеем парные уравнения.

Дополним парные уравнения неизвестной функцией касательного напряжения на границе контакта между компонентами в виде

--Wne)-b'n(ßa)APnS ™*пвш.

М п=0

Далее, разлагая левые части этих уравнений в ряды Фурье и интегрируя, найдем неизвестные V™' = (т + Ebe'a). Используя их в граничном условии (5.22), получим сингулярное интегральное уравнение. При его решении используем такие же преобразования, как в предыдущих случаях, в результате получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных.

При распространении волн в материале с повреждениями и дефектами, происходит их рассеяние, трансформация и поглощение. Поврежденные фрагменты в материалах и изделиях отражают и рассеивают волны совершенно иначе. Сравнивая сечения рассеяния на разных частотах их соизмеримости с дефектами можно определять количественную характеристику наличия дефектов.

Для сравнения метода, используемого в данной работе, выбрана задача о продольном сдвиге периодической среды, ослабленной дефектами на включении. Решение этой задачи методом аналитического продолжения (сшивания) представлено в работе [2].

При отсутствии фрикционных связей и налегания берегов разреза друг на друга на границе каждого волокна, имеем граничные условия

а) <*+па = К = U~, те(, ;<т+ = = 0,г е 10,

- .о (5.26)

б) а = а-.

4 2 G

где т = аёв — координаты точки на границе; величины, относящиеся к волокну имеют индекс а, к матрице - без индекса; знаки «+» и «-» указывают, что предельное значение определяется вдоль положительного и отрицательного направлений нормали; индекс- п определяет граничное значение напряжений с нормалью. Условие периодичности требует а (х+Ш)=а (х), где хию-

соответственно координаты текущей точки и вектор периода структуры. Если волокна одинаковы и их центры расположены в узлах двоякопериодической сетки, то условия (5.26) дополняются требованием инвариантности состояния отдельной ячейки к операциям поворотной и трансляционной симметрии [2].

Направление осей и расположение начала координат определяем на рис. 14. В полярной системе координат (г,0) запишем уравнения состояния всей среды и краевые условия отдельных ячеек:

У2г,=0,а1(.=С^ . (5.27)

дг год

Краевые условия

,иа=и , гб<, ;\в\<в0,а?г =0,а1г =0,г е (0;г = а;в0 <^в\<л. (5.28) Методом разделения переменных решение представится в таком виде:

СО _

. V4 / / > ¡пО , а -¡п0\

"а="0 + ЬР (Рпе +РпС )>

"=[ (5.29)

и =ип+Чре<°+дре"° + X р" {Чпё"а +-Чпе-М),

л=1

где р = г/а; а - радиус волокна; и0, ию - несущественные постоянные жесткого

смещения компонентов; д=а---известное напряжение, получим

2С

| (Р/^е^О, ¿И^* (5-30)

/И

Это функциональное уравнение продолжим по границе неизвестным напряжением Ь(9) при |9| <0О, как это делалось в предыдущих задачах: . „ _ [О, г = а, ва<\9\<л,

лпо . г> 1

I (Рпе"" + Рпе-"'»)= .... ... . (5.31)

«=1 г = а, \9\<в0.

Из первого уравнения, производя сшивание, будем иметь

ЛЙ ш 1 ¿//9

Л(0(О)57 = 1«и С08(|Я - (?+?)=- I едо) ^ • (5.32) с/^ ш=1 2л- 0 ^

00

Представляем я + д = Ьп соз( п -1)4", отсюда

Я=1

2

а, =2яг 6,,«2 = ;г 62,...а„, = — л Ьт,

т

где Ьга - коэффициенты разложения известных значений, заданных в формуле

(5.26 б). Подставляя первое равенство (5.31) в (5.30) и производя сшивание, используя ортогональность, имеем

рп «,„С -'¿«„о рп «,„С +it «mQ;

^ т~\ т=1 m-l w=l

(5.33)

где С"га - коэффициенты полинома Чебышева.

Полученные результаты в данном представлении можно сравнить с результатами из [2] произведя вычисления. Для этого зададим значение

ей

= £ £>„со8(/г- 1)£ и вычислим коэффициенты Ь„.

п=I

Численные расчеты сравнения интенсивности касательных напряжений.

Найдем интенсивность касательных напряжений у концов трещины в предыдущей задаче, решенной по методу аналитического продолжения

функции на разрезе. Имеем [2] аХп =2Ся1шр,,(г)е"']. Найдем первый член

разложения согласно [2]

сожг8ш$)/2) ят«со$(?0/2)

Т\п

2 Ga 2 4i

((T\a)e'a =(<Т|2-/сГ|3), G/G„= 15, ( = 0.5( упаковка волокон), р = 1, получим график на рис. 5.8.

Рисунок 15 - Результаты методом Рисунок 16 - Результаты методом аналитического продолжения сшивания

Вычислим интенсивность касательных напряжений по методу сшивания геометрической сингулярности, имеем <т,(| -Юа для нашего случая

значение д+д ={а1я)е'п =2О(г^2я^/^(0о/2)ем. Найдем интенсивность касательных

напряжений, используя формулу

ег,„ = 20а 1т [\\т(Щ0^0йЬЩ с где

л/2я|'пСб'/2)

-созв

" 2л

X -ЬтС'т

»1=1 т

в пределе получим

аг1я = 2Св1т [\\тфл(9-в011(в)) с' = 2Са ат(а) Спа.

о-*о0 ,„=1 т

Или,

как "2л

и в предыдущем случае, вычислим

отношение

—Сг Для вычислений взяли всего два члена ряда

«и т

С,1 = (соя 0 0+1)/2; С\ ■

(соя в —1)/2, на рисунке 16 представлены результаты,

которые показывают близкие и характерные значения с кривой рис. 15. Сравнивая результаты расчетов на графиках 15 и 16 можно отметить, что методы показывают близкие значения.

В шестой главе предлагается решение проблемы обеспечения надежности функционирования технических изделий на всех этапах жизненного цикла. Она требует комплексного подхода, который может быть реализован при организации контроля за объектом и создания информационной системы.

Предлагаемая акустическая методика построения аппаратуры неразрушающего тест-контроля основана на способе введения диагностического сигнала в исследуемую среду и упрощение конструкции прибора [6].

Функциональная схема прибора тест-контроля на основе акустического метода представлена на рис.17. На схеме стрелкой ^

указывается место предмета подключения для диагностического сигнала в предмет. Зондирующий импульс акустических колебаний вводится в исследуемый объект с помощью механического воздействия диагностическим

стержнем на исследуемый

Рисунок 17- Функциональная схема акустического объект. При этом частота дефектоскопа

В

акустического зондирующего сигнала будет совпадать с частотой акустических колебании, распространяющихся в объекте. В точках А и В находятся пьезоэлектрические датчики-преобразователи. Сигналы с пьезоэлектрических датчиков поступают на фильтры Ф. усиливаются, усилителями У. и далее следуют на входы дифференциального усилителя и индикатора, который сигнализирует о наличии или отсутствии дефекта материала. Были проведены испытания макета прибора в лабораторных условиях. Исследовались несколько сваренных, упруго склеенных разных материалов, имеющих различную величину дефектов между пластинами и не имеющих дефекта между собой, при этом визуально определить целостность (сварки, склейки) пластин было невозможно.

Результаты исследований показали, что спектр сигналов без разрывов и с дефектом пластин имеет максимумы на различных частотах. Следовательно, спектр акустического сигнала, распространяющегося в объекте, при наличии разрыва сдвигается в низкочастотную область по сравнению со спектром объекта без дефекта в зависимости от длины и ширины разрыва. При этом амплитуда сигнала с разрывом объекта уменьшается в 1.5-2 раза. По результатам испытаний вероятность правильного обнаружения разрыва соединения составляет 95% при большой величине разрыва и порядка 80% при минимальной величине разрыва. Улучшение чувствительности измерительного образца обеспечивает повышение вероятности правильного обнаружения, однако при этом возрастает вероятность ложного обнаружения.

Предлагается новый метод прогнозирования и контроля с возможностью цифровой обработки, согласно развиваемой в предыдущих главах теории и практики, методика которого зависит от количества дефектов на каждом масштабном уровне, и для технического его воплощения предлагается использование лазерного индентора для подсчета количества дефектов на представительной интерфейсной площадке испытуемого образца. Линейчатые структуры могут быть локально прямолинейными, и представлены в виде полос различной толщины и профиля. И, как показывает большинство экспериментальных методик, изменения и эволюция, происходящая в объеме структуры, проявляется в изменении интерфейса поверхности образца в виде различных по величине дефектов. Эти области нумеруются последовательностью чисел с одновременным подсчетом площади дефекта и его координат. Особенностью данного алгоритма и программы является возможность создания БД и ее использования в результате сравнения

интерфейсов. Интервалы дискретизации для представительной области можно выбирать плавающими для ускорения работы программы и в зависимости от размеров дефектов. Полученные данные используются для расчета прогнозирования остаточных ресурсов, предлагается оценка остаточного ресурса материала (в %) и использование векторного соотношения:

где »„ - вектор текущего значения количества дефектов на каждом масштабном уровне; />ЦСХ- исходное значение вектора количества дефектов на

соответственных уровнях материала детали; I - единичный вектор,;? - вектор характеризующий предельное состояние материалов, при котором дальнейшая эксплуатация изделия связана с повышенным риском.

В приложении представлены исследования по двойным тригонометрическим рядам и несобственным интегралам, которые используются при решении изложенных задач.

Основные результаты и выводы, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1. Разработан метод прогнозирования сохраняемости объектов, работающих при установившихся условиях. На основе этого метода создана компьютерная программа для формирования базы данных объектов, автоматизированной оценки выработанного и остаточного ресурса, принятию решения по кинетике изменения масштабного вектора количественной оценки дефектов.

2. Предложены две методики испытаний оценки поверхностного слоя исследуемого образца по количественному вектору дефектов, определяемых по представительному интерфейсу. Для подсчета количества дефектов на представительной площадке используется оптический лазерный индентор.

3. Построена феноменологическая модель изменения ресурса по экспериментальным данным на примере одного наноматериапа, позволяющая прогнозировать количество образующихся дефектов.

4. Предложено ввести в процедуру диагностирования внутреннего состояния материалов и деталей ультразвуковой мониторинг за состоянием

(

5=100 /-

\

*

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

дефектов, находящихся на разных масштабных уровнях, и по его изменению прогнозировать остаточный ресурс материалов, с целью повышения надежности эксплуатации технических систем.

5. На основе теоретического анализа установлена закономерность уменьшения внутренней энергии А и в неравновесной системе на одном масштабном уровне в зависимости от количества ресурса. Предложена энергетическая концепция сохраняемости и повреждаемости материалов и деталей, состояние которых интегрально описывается одним параметром -вектором количества дефектов на разных масштабных уровнях.

6. Рассмотрены теоретические аспекты отнесения системы структурных дефектов к сннергетическим системам, рассмотрена математическая модель для реализации синергетического подхода. Определена сущность принципов синергетики применительно к системе структурных дефектов.

7. В работе развит метод решения парных рядовых и интегральных уравнений к решению задач идентификации неоднородностей и их анализу, который имеет преимущества по сравнению с другими методами, т.к. позволяет одновременно получать решения с дефектами и без них. Метод позволяет получать решение для смешанных граничных задач с классическими граничными условиями с заданной точностью, как метод Фурье.

8. Использование дифракционного подхода позволяет идентифицировать и контролировать дефекты любого масштабного уровня при изменении длины волны соизмеримой с длиной дефекта.

9. Сравнение численных результатов методов «сшивания геометрической сингулярности» с «аналитическим продолжением решений в области разреза», рассмотренных в пятой главе, показали достоверность их применения в смешанных краевых задачах. Метод, сшивания геометрической сингулярности, предложенный и разработанный в данной работе, более прост, и его точность зависит от найденных коэффициентов в рядах разложения Фурье. Метод «аналитического продолжения....» более сложен, но позволяет получить решения в замкнутом виде.

10. Показана возможность оптимального подбора системы неоднородностей, находящихся в условиях неоднородного контакта. В данных условиях незначительное изменение внутреннего или внешнего состояния системы может приводить к скачкообразному изменению ресурса, который является «аккумулятором». Полученный результат является общим для широкого класса реальных объектов, «работающих» в естественных условиях.

11. Результаты проведенных в работе исследований внедрены на промышленных предприятиях при использовании в системе автоматизированного контроля качества изделий. Применение разработанной методики идентификации и прогнозирования позволило достичь оперативного контроля качества изделий, что увеличило долю достоверного анализа с 0.3 до 0.7 и уменьшило время затрат на идентификацию объектов.

Цитируемая литера туря:

[1] Ваганов Р.Б. Основы теории дифракции [Текст] / Р.Б. Ваганов, Б.З. Кацеленбаум. - М.: Наука, 1982. - 272 с.

[2] Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов [Текст] / Г. А. Ванин.-Киев: Наук. Думка,1985.-304 с.

[3] Гузь А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах [Текст] / Гузь А.Н., Головчан В.Т. - Киев: Наук. Думка, 1972.-253 с.

[4] Гузь А.Н. Дифракция упругих волн [Текст] / А.Н. Гузь, З.Д. Кубенко, М.А. Черевко. - Киев: Наук. Думка, 1978.-308 с.

[5] Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на 2-х телах [Текст] / Е.А. Иванов. - Минск: Наука и техника, 1968. - 583 с.

[6] Каневский И.Н. Неразрушающие методы контроля [Текст] / И.Н. Каневский, E.H. Сальников. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2007.-243 с.

[7] Ковачич Л. Склеивание металлов и пластмасс: [Текст] / Л. Ковачич. Пер. со словац. / Под ред. A.C. Фрейдина. - М.: Химия, 1985. - 240 е., ил.

[8] Партон В.З. Методы математической теории упругости [Текст] / В.З. Партон, П.И. Перлин. - М.: Наука, 1981.-688 с.

[9] Chillingworth D.R. Elementary Catastrophe Theory. Bull. Inst. Math. Appl, 11.-155 p.

[10] Hussain M.A., Pu S.L. Dynamic stress intensity factors for an bounded plate having collinearcracks. Eng. Fract. Mech., 1972,4.-№4.- p. 14-23.

Основное содержание работы изложено в 27 публикациях.

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, и рецензируемых научных журналах

1. Беляев К.П. Дифракция упругих волн на неоднородностях с трещинами на границе [Текст] / К.П. Беляев // Монография. - М.: Спутник+, 2009,- 142 с.

2. Беляев К,П. Взаимодействие волны сдвига с упругим цилиндрическим полым включением с трещиной по контуру контакта [Текст] / К.П. Беляев // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1984. - № Ю. - С. 17-19.

3. Беляев К.П. Взаимодействие упругой волны сдвига со слоистым упругим цилиндрическим включением с трещиной по контуру включения [Текст] / К.П. Беляев// Прикладная механика. - 1985.-№ 7. - С. 112-116.

4. Беляев К.П. Определение интегрального сечения рассеяния упругого цилиндрического включения с различными расположениями трещин на границе фаз [Текст] / К.П. Беляев, A.C. Жагров // Дефектоскопия. - 1988. -№3.- С. 90-91.

5. Беляев К.П. Управление равновесием и устойчивостью трещин находящихся на границе разнородных материалов в условиях упругой склейки [Текст] / К.П. Беляев // Естественные и технические науки. - 2008. - № 6. -С. 57-58.

6. Беляев К.П. Дифракция упругой волны сдвига на цилиндрическом включении с 2-мя трещинами, расположенными на границе фаз [Текст] / К.П. Беляев //Технология Машиностроения. - 2009. - № 3. - С. 33-36.

7. Беляев К.П. Особенности дифракции волн сдвига в композитах волокнистого строения [Текст] / К.П. Беляев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука. Образование. - СПб.: СПбГПУ.- 2009.-№ 1(74).-С. 76-82.

8. Беляев К.П. Решение парных интегральных уравнений в задачах дифракции волн [Текст] / К.П. Беляев // Сб-к. Лазеры, измерения, информация. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. - 2009. - Т. 3. - С. 199-204.

9. Беляев К.П. Идентификация несовершенств на границе полупространств с упругим контактом [Текст] / К.П. Беляев // Естественные и технические науки, - 2010. - № 5(49). - С. 45-49.

10. Беляев К.П. Критерий устойчивости материала на одномасштабном уровне в зависимости от количества дефектов [Текст] / К.П. Беляев // Сб-к. Лазеры, измерения, информация. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. - 2010. -Т. 3.- С. 262-267.

Подписано в печать 28.04.2011. Печать трафаретная. Формат 60x84 1/16. Усл. псч. л. 2,25. Тираж 100 экз. Заказ № 489. ООО «Издательский Дом-Юг» 350072, г. Краснодар, ул. Московская 2, корп. «В», оф. В-120 тел. 8-918-41-50-571

e-inail: olfomenko@yandex.ru Сайт: http://id-yug.narod2.ru

Введение

Глава 1. Системный подход при исследовании дефектов в масштабном факторе сохраняемости материалов.

1.1 Современные представления о разрушении и прочности твердых тел.„

1.2 Архитектура изменения структуры несовершенств в материалах.

1.3 Используемые математические модели при исследовании разрушения материалов.

1.4 Основные допущения и ограничения в рассматриваемых моделях.

1.5 Классическое статистическое описание масштабного фактора.

1.6 Критерий устойчивости материала на одномасшгабном уровне в зависимости от количества дефектов.

1.7 Анализ полученной модели, эмерджентное свойство материала.

1.8 Прогнозирование на нано уровне, численный пример.

1.9 Системная постановка задачи, структурообразование.

1.10 Допущения относительно развития структур.

1.11 Основное уравнение самоорганизации.

1.12 Прогнозирование в масштабном факторе.

1.13 Выводы по первой главе.

Глава 2. Управление структурной устойчивостью в рамках ограничений

2.1 Сипергетический подход к исследованию структурной устойчивости системы.

2.2 Теорема о сохраняемое ги параметрических связей синергетических систем.

2.3 Управление: сохраняемость структурной устойчивости.

2.4 Управление: достижимость структурного состояния.

2.5 Случай запаздывания и случай Максвелла.

2.6 Критерий устойчивости системы на одномасштабном уровне в зависимости от количества используемого ресурса.

2.7 Управление подбором упругих параметров материалов для устойчивости трещин, находящихся на границе, в условиях упругой склейки.

2.8 Выводы по 2-й главе.

Глава 3. Основные положения , упрощения, ограничения и метод решения рассматриваемых задач с дефектами

3.1 Обзор по межфазным несовершенствам в статических и динамических задачах.

3.2 Основные допущения в рассматриваемых задачах.

3.3 Сингулярные физические поля и математическая модель разреза.

3.4 Коэффициенты интенсивности напряжений и критерии разрушения тел с разрезами.

3.5 Основные уравнения и граничные условия для распространения волн в сплошной среде.

3.6 Особые точки поля.

3.7 Отражение и преломление плоских упругих волн.

3.8 Постановка задач дифракции упругих волн.

3.8.1 Метод «сшивания» геометрической сингулярности при решении парных рядовых уравнений.

3.8.2 Метод «сшивания» геометрической сингулярности при решении парных интегральных уравнений.

3.8.3 Аналитическое продолжение комбинации вспомогательных функций в интервале разреза.

3.9 Представление решений методом разделения переменных в цилиндрической системе координат.

3.10 Выводы по 3-й главе.

Глава 4. Установившиеся взаимодействия упругих полупространств с несовершенным контактом на границе.

4.1 Ряд периодических дефектов на границе упруго сцепленных разнородных материалов, нагруженных гармонической нагрузкой.

4.2 Взаимодействие плоской волны расширения с дефектами на границе полупространств.

4.2.1 Симметричное взаимодействие.

4.2.2 Нахождение КИН.

4.2.3 Идентификация дефектов на границе разделов полупространств.

4.3 Взаимодействие плоской волны сдвига с дефектами на границе полупространств (антиплоская деформация).

4.4 Несимметричное взаимодействие упругой волны сдвига с дефектом на границе полупространств.

4.5 Взаимодействие крутильной волны с трещиной в виде диска.

4.6 Выводы по 4-й главе.

Глава 5. Взаимодействие установившейся нагрузки с цилиндрическими включениями с несовершенной структурой контакта матрицы и волокна.

5.1 Симметричное взаимодействие упругой волны расширения с жестким цилиндрическим включением с несовершенным контактом.

5.2 Взаимодействие упругой волны сдвига с упругим цилиндрическим включением с трещиной по контуру контакта.

5.3 Взаимодействие продольной упругой волны сдвига с упругим цилиндрическим включением с трещиной в теневой зоне по контуру контакта.

5.4 Взаимодействие волны сдвига с двумя симметричными трещинами, находящимися на границе среды и цилиндра.

5.4.1 Нахождение статического КИН.

5.4.2 Случай отсутствия несовершенного контакта и случаи полного отслоения включения.

5.4.3 Идентификация дефектов на границе разделов включения и матрицы.

5.5 Двумерные и одномерные задачи дифракции упругих волн, упругие волны.

5.6 Метод учета взаимодействия многих тел, метод последовательной регуляризации.

5.7 Продольный сдвиг в двоякопериодической системе одинаковых по величине и ориентации межфазных трещин в волокнистых материалах.

5.8.1 Взаимодействие матрицы с рядом упругих цилиндрических включений с трещинами по контуру контактов (случай установившегося возмущения и падения волны к линии центров).

5.8.2 Взаимодействие матрицы с рядом упругих цилиндрических включений с трещинами на границе контактов вдоль линии центров при действии установившихся возмущений.

5.9.1 Установившаяся нагрузка на двоякопериодических цилиндрических включениях с несовершенной структурой контакта волокна и матрицы.

5.9.2 Взаимодействие упругой волны сдвига с двоякопериодическими цилиндрическими включениями с несовершенной структурой контакта волокон и матрицы.

5.10 Выводы по 5-й главе.

Глава 6. Методы и приборы информационной системы контроля в однородных и неоднородных средах.

6.1 Информационные системы мониторинга материалов и деталей.

6.2 Ультразвуковые методы учета дефектов и прогнозирование деградации объектов.

6.3 Векторный метод прогнозирования остаточных ресурсов объектов.

6.4 Алгоритм и программа обработки информационных потоков по количеству дефектов на разных масштабных уровнях.

6.5 Предлагаемые приборы идентификации и прогнозирования сохраняемости объектов.

6.6 Выводы по 6-й главе.

В общем случае, разрушение материалов является процессом сложным: многостадийным, статистическим и многомасштабным. Механика разрушения не учитывает эти особенности, считает обычно элементарный акт разрушения - зарождение микротрещины или потерю устойчивости макротрещины - детерминированным, происходящим при достижении какой-либо величины критического значения. На этом основаны механические критерии разрушения.

Физика прочности и пластичности трактует "разрушение" как кинетический процесс, связанный с преодолением системой кинетических барьеров. Поскольку термофлуктуационное преодоление барьеров носит вероятностный характер, то условия перехода системы в новое состояние (например, с микро-трещиной) можно рассчитывать лишь в среднем. Поэтому статистический разброс в ходе процесса разрушения связан не только с разбросом структурных характеристик образца или их серии, но и со статистическими закономерностями различных флуктуаций. В общем случае, при описании и для правильного понимания кинетики процесса разрушения, необходимо совместное рассмотрение явлений, происходящих на разных масштабных уровнях: атомных, дислокационных, субструктурных и структурных.

Таким образом, современное состояние теоретических основ разрушения материалов при различных воздействиях не позволяет последовательно оценить степень их гговрежденности в любой точке деформируемого тела. Такое состояние расчетных методов технологических процессов создания деталей при оценке поврежденности заготовки обусловливает тот факт, что на практике разработка технологии осуществляется на основе РТМ (расчетно- технологических методов), методических указаний, квалификации и опыта разработчика. При необходимости разработки технологии изготовления детали нового типа или другой ее конфигурации неизбежно потребуются производственные испытания, а в некоторых случаях и длительные дорогостоящие лабораторные экспериментальные исследования. Однако затраченные средства и время не всегда приводят к достижению поставленной цели. Но, даже получив удовлетворительный результат, нельзя сказать, что к производству этой детали принят лучший вариант. Это связано с ограниченными возможностями проверки большого количества вариантов как в производственных, так и в лабораторных условиях. Даже применение современных компьютерных программ для математического моделирования технологических процессов не позволяет достоверно оценить поврежденность полученной детали в случае многопереходных технологий обработки деталей, для которых характерны различные процессы деформации и сложное нагружение.

В конечном счете, отсутствие корректных методов расчета отрицательно сказывается на сроках технологической подготовки производства, освоении новых материалов и изделий, качестве производимой продукции и эффективном использовании материалов и энергии. Поэтому проблема дальнейшего совершенствования теоретических основ математического моделирования многопереходных процессов создания материалов и предметов из них, их эксплуатации, включающей такой вопрос, как деформируемость материалов без разрушения, является весьма актуальной.

Перспективным направлением ее решения является использование достижений различных физических теорий описания разрушений, то есть использование и развитие системного подхода в многосложном процессе повреждаемости материалов, в которых существует синергетическая система дефектов на каждом масштабном уровне, и некоторые дефекты переходят самосогласованно на другой уровень.

В этой связи в данной работе, с целью повышения точности расчета надежности эксплуатации материалов и их разрушения при математическом моделировании масштабных факторов сохраняемости и последовательного учета истории нагружения, а также для идентификации по количеству дефектов на предмет прочности деталей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработана физико-статистическая модель накопления дефектов на разных масштабных уровнях повреждаемости при установившейся и статической нагрузке.

2. Определена оптимальная феноменологическая модель накопления дефектов на основе экспериментальных данных деформирования и разрушения некоторых наноматериалов.

3. Создана математическая модель иерархически связанных синергетических систем и исследована в условиях масштабного фактора сохраняемости системы при статическом и установившимся воздействии на нее.

4. Проведен анализ и исследование различных систем трещин на границе разнородных материалов, разработан математический метод решения задач со смешанными условиями на границе фаз.

5. Найдено оптимальное множество состояний систем дефекюв, находящихся на границах фаз, в условиях установившейся нагрузки путем управления физическими и геометрическими параметрами сопряженных элементов.

6. На основе колличественого критерия прочности разработана новая методика и программное обеспечение для прогнозирования остаточного ресурса материала и его повреждаемости.

Компонентами хрупких материалов или сред могут быть и пластичные включения. Это тем более справедливо для так называемых «интерфейсных» материалов и сред, в которых локализация деформаций происходит преимущественно на границах раздела структурных элементов.

Характерными примерами таких материалов могут служить нанокристаллические структурные материалы.

В диссертации разрабатывается новая методика прогнозирования и управления разрушением материалов при статической и установившейся нагрузке. С использованием математической модели иерархически связанных синергетических систем трещин на каждом масштабном уровне, строятся уравнения состояния ансамбля трещин. По сохраняемому множеству дефектов при установившейся интенсивности появления дефектов вычисляется прогнозированное множество в процентном соотношении от первоначального количества. Приводится анализ и обзор современного состояния математических методов механики разрушения и прочности. Решаются задачи дифракции упругих волн на классических неоднородностях с трещинами, расположенными на границе фаз. Приведен обзор исследований по межфазным трещинам в статике и динамике. Рассмотрены вопросы моделирования и анализа особенностей физического поля на концах трещины. Решается задача оптимального управления системами трещин и подбора материалов, упруго сцепленных между собой, с присутствующей на границе трещиной. Предлагается использование -интегрального сечения рассеяния волн для обнаружения дефектов. Приведены численные исследования влияния масштабных факторов на достижение прочностных свойств материалов с дефектами.

В первой главе проводится обзор современных представлений о разрушении материалов в механике и физике прочности на различных уровнях масштабного фактора. Проводится анализ современных математических методов, связанных с методологией теоретического решения поставленных задач для твердых сред с имеющимися дефектами на интерфейсах и внутри материала. Представлена архитектура масштабных факторов физико-механического поведения дефектов, в рамках которого моделируемая среда представляется в виде масштабов и рассмотренных в них дефектов. Приведены основные положения и допущения при оценке прочности материалов на разных масштабах в однородных и неоднородных средах. Разрабатывается критерий прочности в одно масштабной структуре материала в зависимости от количества дефектов. С учетом синергетических свойств различных масштабных уровней системы моделируется деградация системы в целом. На примере определяется оптимальное множество дефектов системы, за пределами которых происходит потеря физико-механических свойств материала как единого целого и фрагментация материала.

Приводятся известные статистические методы прогнозирования прочности материалов. На основе построенной модели прогнозирования и экспериментальных данных выводится феноменологическая связь функции , распределения потенциальной энергии разрушения в зависимости от потоков дефектов на наноуровне исследуемого материала.

Во второй главе используются выведенные выше уравнения для изучения закономерностей управления ансамблями трещин в пространствах сохраняемости исследуемых материалов. Доказывается теорема о сохраняемости иерархически связанных по какому-либо параметру г синергетических систем. Находится область сохраняемости для управления количеством дефектов на разных уровнях масштабных факторов. Определяется критерий сохраняемое ги ресурса для любой системы удовлетворяющей гипотезам элементарного случайного потока требований изменения ресурса. Рассматривается управление: сохраняемости, достижимости в масштабном факторе систем трещин. Находится оптимальное множество физико-механических параметров взаимодействующих разнородных элементов с трещинами на границах фаз в условиях упругой склейки.

В третьей главе рассматриваются решения парных рядовых и ин тегральных уравнений. Изложен разрабатываемый метод, используемый в данной работе для решения смешанных краевых задач, который основывается на разделении переменных. Если граничные условия являются смешанными, в ходе решения получаются парные рядовые или интегральные уравнения. Для решения этих уравнений вводится неизвестная функция, которая позволяет находить решения на продолжении длины неоднородности. Чтобы ограничить количество неизвестных коэффициентов и не проводить регуляризацию бесконечной спсгемы уравнений, которая получается в результате удовлетворения граничным условиям, выделяется возмущенная часть в виде ограниченного ряда, содержащая сингулярность и дающая точное решение при неограниченном его увеличении. В решении задачи о гармоническом нагружении фронта трещины авторами НшБат М.А., Ри 8.Ь.[156] было предложено «сшивать» геометрическую сингулярность методом Швингера при исследовании напряженного состояния и определения коэффициента интенсивности напряжения (КИН). При помощи данного метода Партоном В.З. и Кудрявцевым Б.А.[100] исследовалась плоская задача в случае наличия жесткого кругового включения с трещиной на границе при действии динамической нагрузки. Дальнейшее развитие данного метода было продолжено в работе [14], где исследовалось падение волны сдвига на упругие цилиндрические слоистые, полые включения с симмефичной трещиной по отношению к падающей волне сдвига. В данной главе приводится усовершенствованный метод для решения граничных задач рядового и интегрального преобразования Фурье.

В четвертой главе проведено решение плоских задач дифракции установившихся волн в среде, представляющей упругое сцепление двух полупространств, на границе которых имеются трещины, методом решения парных рядовых и интегральных уравнений, рассмотренным в третьей главе. Рассмотрен случай симметричного падения волн расширения и сдвига (плоская акустическая задача), случай взаимодействия с трещиной под углом, случай дифракции волны сдвига- антиплоская деформация. Решается задача с периодическими трещинами, расположенными на границе упругих полупространств, под действием гармонической нагрузки и под действием установившегося взаимодействия сопряженных сред. Получены коэффициенты интенсивности напряжений для различных случаев падения волн. Приводятся численные результаты расчетов, проводится' их анализ и сравнение с полученными ранее и расчетами других авторов. В простейшем приближении модель представляет распространение волн в среде из 2-х неограниченных однородностей, упруго сцепленных, граница которых проходит по оси ОХ, на одном из участков имеется одна или ряд трещин.

Используется понятие интегрального сечения рассеяния, которое является более общей характеристикой отраженных волн, предлагается метод идентификации наличия неоднородности на границе контакта упругих сред. Найденное решение обладает такой общностью, что методику решения можно применять для определения сечений рассеяния любого типа включений. Интегральные сечения рассеяния для дефектов можно использовать в качестве мониторинга за наблюдением развития дефектов различных материалов. Решается задача для дефекта в виде диска.

В пятой главе рассмотрены задачи дифракции на жестких и упругих цилиндрических включениях с одной и двумя трещинами на границе со средой. Для моделирования дифракции в изотропных средах с трещиной на границе фаз использовались волны расширения, сдвига на плоскости. Рассматривается случай плоской деформации несимметричногоО взаимодействия с дефектом. Полученные результаты сравниваются с полученными ранее автором и другими авторами. Так же предложена методика идентификации наличия трещин на включениях. Рассмотренный выше метод применяется к решению задач для изучения закономерностей расчетов напряженно деформированного состояния на границе ряда периодических цилиндрических включений с трещинами и без них. При решении задач для многосвязных областей связываем с каждой граничной поверхностью «местную» систему координаг так, чтобы граничная поверхность совпала с одной из координатных поверхностей. В каждой координатной системе представляем решение исходных уравнений в виде ряда с разделенными переменными, в который входят неизвестные постоянные. Решение для всей области, занимаемой телом, получается как сумма решений для отдельных односвязных областей. Используя теоремы сложения для цилиндрических функций, решение для всего тела записываем в каждой системе координат в виде ряда этой же системы координат. Затем, удовлетворяя граничным условиям на каждой области, получаем в итоге бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных. Этим методом в работе[65] решаются задачи дифракции электромагнитных волн на двух телах.

В шестой главе предложена векторная методика прогнозирования остаточных ресурсов материалов и деталей. Анализируется современное состояние информационных систем мониторинга и прогнозирования прочности материалов с дефектами. Предлагается разработанная автором автоматизированная система обработки информации по прогнозированию и ведению контроля за изменениями, происходящими в материале, с использованием предварительных знаний о состоянии объектов.

Предлагается рассчитывать ресурс и деградацию материала, детали в процентном содержании в зависимости от количества дефектов в виде вектора сохраняемости.

Следует отметить, что важным преимуществом дифракционного подхода является возможность при исследовании задач изменять длину волны соизмеримой с пространственными свойствами среды, что является принципиальным при изучении процессов обнаружения дефектов. Указанные особенности определяют актуальность применения и развития методов данного подхода для идентификации и исследования систем неоднородностей.

вывод.

§2. Формулы интегрального преобразования Фурье[63].

2а °гСоз(77 х) л- < +т]

2. |е т соз(/7 х)с/х = 7

2 2 а + 77

3. $\п(Т] ху1х

202 +772)'

4. е =---г-£/?;

2 2 л- У а + г]

5. Связь между коэффициентами ряда Фурье. а„(/) = ~ |/(х)соз(« х>& = п

К (/) = - ]/(*) sin(u x)dx = Z^MJ.

71 П

Дискретное преобразование Фурье [63]

Интегральное преобразование Фурье имеет вид:

СО со = {Ял) e^'drj ; /(;/)= \ f(x) e,2*x"dx. /1/

00 —СО

Для равноудаленных точек выборок, получим дискретное преобразование хи=х0+тг/к, и = 0,1,.2Л/-1, тд +М/7, А:=0Л.Ж-1; ЭТИ преобразования запишутся в виде [63]

2ЛМ = Аг^Л/Д) е~,ЪсXnTlkdrj ,п=0, 1,.Ж-1, /2/

А:=0 2/V-1 Ат;£/(*„) 1,.2N—X. /3/ о

Замена бесконечных интегралов /1/ конечной суммой с равномерными выборками приводит к функции /(*„), имеющей период (1/Ах), осуществляющей смещение по частоте функции и изменение пиков функции по фазе.

§3. Доказательство и вывод формул .

1. Вывод формулы (3). у. sin (nt) ■ sin (их) 2 In 6 + V sm(ni3) и ¿i n

Используем формулу (10), получим y cosCw) =ln(2sin(£) = Iln |cosx -1|, (3.1) n 2 2 используя формулу cos(n(x + t)) = cos(nx)cos(nt) - sin(ra)sin(«r), получим из (3.1) cos(/?(л" -/)) ^ cos(nx)cos(л/) ^ sin(nx:)sin(;tf) ^ ^

7=1 n n ,¡ = ] H sin(/íx)sin(«/) x^i cos(nx-)cos(/?0 ^ eos(n(.x-t)) / j-= -2,--f- 2¡-5 делая зажну в правой части

1 П и=1 п п=1 п согласно формулам (1) и (1.1), получим

A sin(nx)sin(»/) 1, 1, , 1 (cosx-cost) |п -Ь—¿—Ь—i = ln ¡ eos х — eos 11--ln I cos(¿- -i) - 1— ln[| --- j], n 2 2 2 (cos(x-Z)-l) или через новые перел1енные , имеем

-A sin(rtx-)sin(/2¿1) 1, г, ^(cos ¿r - eos <£") h п ~ ~ 2 1 bz(cos(£ -£)-\)

Здесь мы использовали преобразование Швингера (cosx=b+biCos^, cost=b+biCosQ для вывода равенства, которое легко доказать : cos(x - 0 = 1 + b2 [cos(£ - С) -1], р cos(x +1) = 26, (bx + />(cos ¿г + cos Q + b1 (cos(£ + +1).

2.Вывод формулы (18).

Пусть нам задан несобственный интеграл такого вида:

3.3)

Продифференцируем его по t, а затем проинтегрируем по частям со ^ аО

ТО, ЧТО получится q't(x,f) = - Je~'" COS(77 x)dl] = — jV'" sin(x7])dr) , используя

0 "V 0 формулу (3) §2, получим' t 00 t q'(x,t) = — je~'" sin(xy)dTj = —2-> проинтегрируем последнее равенство x 0 2(t + x ) no t, имеем q(x.t) = - f , 1 ndt = -ln(i2 + дг) + C(x). (3.4)

2 J r + rj~ 4

Найдем С(х), для этого продифференцируем (3.3) по х с учетом (3.4), получим со —^—— + С'х(х). = - IV"7 зт(77 х)йг1, отсюда, получим, используя 2(х +/ ) I формулу (3) § 2

ОД = — 1п(/2 + х2) -—агсМ--~) + С, 2 Ъ Г где С=0.

Таким образом мы доказали, следующее равенство: д(х,0 = = — 1п(/2 + х2)- — агс%(-у (3.5)

Т] 2 2t !

Используя это равенство и сделав замену в нем 1 =р1, где \- мнимая единица, получим из (3.5): хМ = \^(ЛР) -= ^^ с!Л + Л о о П о V

Заменив в правой части (3.5) 1:, имеем

1р) = —1- 1п(х2 -р2) + ~ягс/&(—). (3.6)

2 2 р р

Выделяя в последнем равенстве мнимую и действительную часть, запишем соз(т]р)сов{?; х) -1, , . ч х. .р + х.

I-1п(х-р-)+ 1П|±:-(3.7)

0 Л 2 2р р-х

3.8)

1 г, ' г 2

3. Вывод формулы (7).

Пусть нам задан несобственный интеграл такого вида: = И (3.9) о

Продифференцируем его по х , а затем проинтегрируем то, что получится по частям, о / °° получим д'х(х,0 = |е~"' со&(т} хуЛг) - — ¡е '" з\п{х?/)с/т], используя формулу (3) о х о

§2, получим 00 / = — (V'" = —-5-, проинтегрируем последнее равенство о (г + х ) по 1, имеем = ^ 1 = ~\п(г + х2) + С(х). (3.10)

Найдем С(х), для этого продифференцируем (3.3) по х с учетом (3.4), получим со (х,0 = —2—2— + Сх(х)- = - \е~'п , отсюда, получим, используя

2(х + / ) ^ формулу (3) § 2

С(х) = у 1п(Г2 + х2) - у агсХё^) + С, г 8111(778Ш(?7 х) }со$г/(х + 0 X . . Г + х 1 2 2

I-¿>7=1-^-^/77- —1п|--|+-1п|х2 - Г I

77 о 2Г Г-х 2

§4. Численные вычисления несобственных и сингулярных интегралов.

СО

Г СОБСЖ

Используем [94], ] ах—та-с, где с=0.5772.(постоянная о а

Эйлера).

Несобственный интеграл, представленный ниже в соответствии с принципом предельного поглощения [50], необходимо представить в следующем виде [7]:

Г ЛХО&Ж °г XCOS(Ж 1 , -шЬш? , ■ К labrp / • х -Ъ -Ю х"+Ь1 2 где Ei и Ег — интегральные показательные функции [67],

Ь£ =~1л[ь2 -/£• ,£>0,а>0,КеЬ£ >0. Несобственный интеграл вида со со

Г ХБШЩ: , Г Х81П£Ж

-=- ах= 11Ш —--, /2/

I х -Ь —/0 х2+ъу найдем для вещественной части в замкнутом виде. Пусть задан несобственный интеграл г созагсоясяс аа—С продифференцируем его по х и возьмем о а обратное преобразование Фурье, будем иметь оо со оо | со$&)ът((лх)е-ахс1ас1х=~^ С(х, 1)еах<1х используя обратное о о преобразование из [53] для функции оо со f -ахй - Х f XS11k7X J П -ах

J cosЩе da-— получим J ~ 2 dx——e , по аналогии

0 x ~ra 0 x +a ¿ имеем оо оо . i r xsincpc , t. г xsinae 1 , [fjhr~i , . ~ .„in . . I44 J 2 ,, ,A dx= hmJ =~(eiabE2(-iad)+e "%(-iad>). /3/ x -b~-1O x +b; 2

§ 5. Вычисление коэффициентов полинома Чебышева.

При замене переменных (см.гл.1), имеем cosx = Ъ + Ъх cos £; cosí = b + bx cos /1/ где 6 = ^(cos^-l),¿1 =^-(cos^ + l).

Для выражения тригонометрических функций через новые переменные используются следующие формулы [64,73,75]

Н-1 п+1 eos п х(£)п = cos(&—.; eos п t(Q )C, /2/ k= 1 k=1 и+1 n+1 sin и x(£)„ = £ q? sin ^ sin /7 - ]T Ck sink£, /3/ k=1 /Ы где CnK- коэффициенты полинома Чебышева, которые найдутся такими зависимостями

С! = 6; СХ2=Ь}; С2 = 26 +(б,)2 -1; С22 = 466, ;С32 = (6,)2;

С? = 463 - 36 + 6(6, )2 6; С3 = 36,3 +12626, - 36,; С3 = 6(6, у 6; С3 = (6, )л:

С,4 = 864 - 862 + 3(6, )4 - 4(6, )2 + 32(6)2 (6, )2 + 1; С24 = 866, (462 + 3(6, )2 - 2); С4 = 4(6,)2(862 +(6,)2 -1);С44 = 86(6,)3;С4 = (6,)4.

§ 6. Метод стационарной фазы [50].

Очень часто при вычислениях несобственных интегралов используется метод стационарной фазы, который может служить хорошей аппроксимацией.

Если изменение фазы во времени а(1;)=ф(1)-со1 (1) вызывает очень быстрые изменения функции ехрОа!;), тогда, для данной частоты та основной вклад в интеграл со

Зц ; (2) дает значение 1Р где фаза стационарна.

00

Поэтому имеем соотношение = а>р - со (¿р)-<у0. Вблизи значений 1р

1 я 2 можно получить )= . Подставляя это в интеграл со I „ 2 г?, Л 1ар(гр) Г г/ Ч -'-^'г^-'г) ,

2), получим е ] 1\П) е ~ аП • При этом, если огибающая со

Дд) изменяется медленнее, чем экспонента, то можно записать

1 , , . -) со 1

Заменяя переменные в виде = c/p(tp)(t-tp)~, ^^ ^'У, и у,

-00 V •

Г ix у 1 т/4 77/ \ ч iar(tp) учитывая, что J е ау —е , получим "^'V~ ^'¿/(i у р е

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании представленной и разработанной информационной системы и решенных смешанных задач установившихся процессов в неоднородных объектах можно сделать следующие выводы:

1. Создана информационная система контроля и прогнозирования ресурсных характеристик однородных и неоднородных объектов, подверженных установившейся и статической нагрузке.

2. Предложены две методики испытаний оценки поверхностного слоя исследуемого образца по количественному соотношению дефектов находящихся на разных масштабных уровнях. Для подсчета количества трещин на представительной площадке можно использовать лазерный индентор.

3. Построена феноменологическая модель разрушения по экспериментальным данным на примере одного наноматериала, позволяющая прогнозировать разрушение с использованием количества образующихся дефектов.

4. Создана компьютерная программа для формирования базы данных. По кинетике изменения масштабного вектора количественной информационной оценки дефектов материалов и автоматизированной оценки выработанного остаточного ресурса.

5. Предложено ввести в процедуру диагностирования фактического состояния объектов идентификацию ультразвукового мониторинга за состоянием дефектов, находящихся на разных масштабных уровнях, и по его изменению прогнозировать остаточный ресурс материалов, с целью повышения надежности эксплуатации технических систем.

6. На основе теоретического анализа установлена закономерность накопления внутренней энергии А и в деформируемом материале на одном-масштабном уровне в зависимости от, количества дефектов. Предложена количественно-энергетическая концепция повреждаемости и сохранения материалов и деталей, состояние которых интегрально описывается одним параметром - накопленным количеством дефектов на разных уровнях.

8. Рассмотрены теоретические аспекты отнесения системы структурных дефектов к синергетическим системам, рассмотрена математическая модель для реализации системно-синергетического подхода. Определена сущность принципов синергетики применительно к системе структурных дефектов.

9. В работе развит метод решения парных рядовых и интегральных уравнений к решению задач дифракции упругих волн на неоднородностях с несовершенным контактом, который имеет преимущества, по сравнению с другими методами, т.к. позволяет одновременно получать решения с дефектами и без них. Метод позволяет получать решение для смешанных граничных задач с классическими областями раздела с заданной точностью, как метод Фурье.

10. Использование дифракционного подхода позволяет идентифицировать дефекты любого масштабного уровня при изменении длины волны, соизмеримой с длиной дефекта.

11. Преобразование Швингера, используемое здесь для «сшивания» геометрической сингулярности, можно применять и для других классических неоднородностей. Для общего случая взаимодействия получаются интегральные уравнения, которые можно решать этим методом, выделяя возмущенные особенности.

12. Решенные здесь задачи дифракции являются общими по отношению к задачам дифракции, когда трещины отсутствуют либо, когда неоднородности отслаиваются. В системах для нахождения неизвестных коэффициентов в задачах с трещинами решения для включений без трещины и полостей цилиндрической формы получаются простым переходом, когда трещина отсутствует или полностью отслаивается.

13. Получаемые предельным переходом аналитические формулы для статического КИН, являются точными в рамках задаваемой математической модели задачи. Динамический КИН легко определяется с помощью численных расчетов на ЭВМ, т.к. алгори гм расчета для всех решаемых здесь задач одинаков.

14. В случае установившегося взаимодействия с одним включением обнаружено повышение динамического КИН по отношению к статическому в 3,5 раза. Динамический КИН сильно отличается от статического и является осциллирующей функцией частоты, упругих характеристик и длины трещины. Можно отметить следующее: а/ изменяя упругие характеристики связующего или включения, или управляя частотой падающей волны, можно управлять КИН при данном установившимся волновом процессе; б/ для цилиндрических включений можно подбирать оптимальный радиус цилиндра, а также расстояние между ними, при соответствующей частоте установившейся нагрузки; в/ в случае упругой склейки можно оптимизировать подбор склеенных материалов или подбор материалов для упругого соединения в других технологических процессах; 1 г/ полученные для данной математической модели решения можно использовать для получения усредненных упругих характеристик материала в целом, которые практически неопределимы.

15. Решения задач дифракции упругих волн в телах с несколькими граничными поверхностями дали возможность на упрощенных моделях задач гл. 5 обнаружить некоторые особенности поведения КИН.

Так, в области некоторых частот имеется диапазон, в котором инерционный эффект для КИН меньше статического. Причем, этим диапазоном можно управлять в определенных пределах с помощью расстояния между включениями.

Для волновых чисел, близких к точкам скольжения, как и для периодических задач без трещин, при определении концентрации напряжений обнаружено значительное увеличение КИН. При этом нужно отметить, что изменение КПП вблизи этих точек зависит от упругих свойств включений.

16. Метод, используемый здесь при решении парных рядовых, интегральных уравнений, позволяет определять сечения рассеяния включений с трещиной и без нее, что дает возможность идентифицировать наличие трещин на включениях. Эту особенность можно использовать в области дефектоскопии, при обнаружении дефектов или использовать их мониторинг.

17. Решенные задачи дифракции упругих волн можно использовать в акустике, электродинамике. Например, в электродинамике, если под трещиной понимать тонкое металлическое покрытие, нанесенное на цилиндрический диэлектрик в однородной среде, или наоборот. Для акустики - различные вибраторы со смешанными граничными условиями.

18. Предложенная методика решения задач для включений с несовершенствами может быть использована для других форм включений, для которых можно применить метод разделения переменных.

19. В рамках решения уравнения Гельмгольца для установившихся процессов при распространении гармонических волн предложенный метод ч решения смешанных задач теории дифракции можно использовать и для неустановившихся процессов. Модель решения позволяет проводить оценки интенсивности напряжения, напряженно- деформируемого состояния на границах включений и вблизи их.

20. Развит формализм метода решения парных и интегральных уравнений, объединяющий возможности использования метода Фурье для смешанных задач с единых позиций на внешние гармонические воздействия для сред с учетом явления дифракции. Показано, что данный формализм, адаптированный для описания упруго, жестко сцепленных изотропных сред, применим для широкого класса задач.

21. Сравнение численных результатов методов «сшивания геометрической сингулярности» с «аналитическим продолжением решений в области разреза», рассмотренных в пятой главе, показало возможность их применения в смешанных краевых задачах. Метод сшивания геометрической сингулярности, предложенный н разработанный в данной работе, более прост, и его точность зависит от найденных коэффициентов в рядах разложения Фурье. Метод «аналитического продолжения.» более сложен, но позволяет получить решения в замкнутом виде.

22. Доказаны соотношения для оптимального подбора параметров упругих материалов и сред, находящихся в условиях упругой склейки. В условиях упругой склейки незначительное изменение напряженного состояния может приводить к скачкообразному движению трещины, которая является «аккумулятором» упругой энергии. Полученный результат является общим для широкого класса реальных материалов и сред, «работающих» в естественных условиях.

23. Полученные результаты позволили получить представление о влиянии изменения количественного масштабного вектора состояния дефектов на разных уровнях на качественное состояние материала. Введены новые понятия для структурной устойчивости материалов: пространство масштабной сохраняемости; достижение точек структурной устойчивости.

24. Система дефектов состоит из одинаковых по названию, но разных по воздействию на материал, которые находятся во взаимосвязи друг с другом; являются нелинейными; подвержены внутренним и внешним колебаниям; могут стать нестабильными; в них происходят качественные изменения и обнаруживаются эмерджентные новые качества; возникают пространственные, временные, функциональные структуры, которые могут быть упорядоченными или хаотическими. Для них рассмотрен случай систематизации.

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы/ А.П Александров.-М.: Высш. шк., 1989.-283 с.

2. Алешин Н.П., Разработка критериев оценки типов дефектов сварных соединений тонкостенных труб волнами Лэмба./Н.П. Алешин, A.A. Дерябин// Сварка и диагностика. 2007,№4.с.24-28.

3. Алифанов О.И. Идентификация физических свойств высокопористых волокнистых материалов методом статистического моделирования/ О.И. Алифанов., В.В. Черепанов . // Вестник МАИ, № 5,2008. с. 15.

4. Бабич В.М. Математические методы в теории упругих волн/.В.М. Бабич, И.А. Молотков.// В кн.: Механика деформируемого твердого тела.-М.: ВИНИТИ, 1977, т. 10, с. 5-62.

5. Баранов В.А Приборы и методы контроля веществ, материалов и изделий//В.А. Баранов / Естественные и технические науки, № 5, 2010, с.386-391.

6. Баранов В. А.Универсальный оптический метод контроля динамических дисперсных потоков/ В.А. Баранов // Естественные и технические науки, № 5, 2010, с.392-399.

7. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении, /Г.И. Баренблатт / ЖМИ, 1961, №4, с. 65-70.

8. Бардзокас Д.И., Математическое моделирование в задачах механики связанных полей/ Д.И. Бардзокас, А.И. Зобнин., H.A. Сенник, М.П. Филыитинский /- М.: КомКнигаД-Пт.2005- 376 с.

9. Беляев К.П. Взаимодействие волны сдвига с цилиндрическим упругим включением с трещиной по контуру включения/ К.П. Беляев // Киев, 1983,13 с. Рукопись предет. Киев.инж.-строит, ин-том. Деп. в УкрНИИНТИ 15марта 1983 г., № 202 УК-Д83.

10. Беляев К.П. Криволинейная трещина на жестком цилиндрическом включении загруженная гармоническим давлением/ К.П. Беляев // Киев,1983. 7с. Рукопись предст. Запорож. индустр. ин-том. Деп. в УкрНИИНТИ 20 июня 1983 г., Р 452 УК-Д83.

11. Беляев К.П. Взаимодействие SH -волны с рядом упругих цилиндрических включений с трещинами по контуру контактов/ К.П. Беляев // Киев,1984.- 4 с. Рукопись предст. Киев.инж.-строит., ин-том. Деп. в ВИНИТИ июня 1984 г.,

12. Беляев К.П. Взаимодействие волны сдвига с упругим цилиндрическим полым включением с трещиной по контуру контакта/ К.П. Беляев //Киев, Докл. АН УССР сер. А, 1984, №10, с. 17-19.

13. Беляев К.П. Дифракция упругой волны сдвига на симметричных неоднородностях/ Автореф. канд. физ.-мат.наук, Киев. 1985 г.

14. Беляев К.П. Взаимодействие волны сдвига с цилиндрическим упругим включением с трещиной на границе контакта/ К.П. Беляев // ПМ. 1985. с.23-27.

15. Беляев К.П. Определение интегрального сечения рассеяния упругого цилиндрического включения с различными расположениями трещин на границе фаз/ К.П. Беляев // Дефектоскопия № 3, 1988 г.с.90-91.

16. Беляев К.П. Дифракция упругих волн в слоистой среде с трещинами на границе фаз./ К.П. Беляев //Секция- Динамические задачи механики сплошной среды.(Доклады региональной конференции).Краснодар.-1990 г.,с.15-16.

17. Беляев К.П. Решение дифракционных задач со смешанными граничными условиями/ К.П. Беляев //.- Экология, экономика, техника, образование-2002: Труды II городской научно-практической конференции. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.,с.26-27.

18. Беляев К.П. Разрушение и определение коэффициентов разрушения для криволинейных трещин/ К.П. Беляев //. Труды 3-й городской научно-практической конференции. Туапсе- Таганрог. 2003. с.64-65.

19. Беляев К.П. Решение динамических задач со смешанными граничными условиями/ / К.П. Беляев / Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Туапсе- Ростов-НУД. 2003. с.30-31

20. Беляев К.П. Дифракция электромагнитной волны на металлическом цилиндре с диэлектрической полосой/ К.П. Беляев // Труды XV международной конференции. Новороссийск. 2007.

21. Беляев К.П. Определение сечения рассеяния металлического цилиндра с диэлектрической полосой расположенной по всей длине цилиндра/ К.П. Беляев // Труды XVI международной конференции. Новороссийск. 2008.

22. Беляев К.П. Управлением устойчивостью и равновесием трещин в условиях упругой склейки/ / К.П. Беляев / Естественно- технические науки, 2008.33-34 с.

23. Беляев К.П. Взаимодействие волны сдвига с двумя симметричными трещинами, расположенными на границе цилиндра и среды/ К.П. Беляев // Технология машиностроение № 3, 2009 с. 34-37.

24. Беляев К.П. Дифракция электромагнитной волны на металлическом цилиндре с диэлектрической полосой/. К.П. Беляев// Труды XVII международной конференции. Новороссийск. 2009.

25. Беляев К.П. Дифракция упругих волн на неоднородностях с трещинами на границе/ К.П. Беляев.- Монография. М.: Спутник+,2009.-149 с.

26. Беляев К.П. Дифракция упругой волны сдвига на двоякопериодических цилиндрических включениях с трещинами на границе контактов/ К.П. Беляев // Вестник Сан.ПГПУ, серия «Физ-мат» № 1.2009. с21-28.

27. Беляев К.П. Решение парных интегральных уравнений в задачах дифракции волн/ К.П. Беляев// Сб-к. Лазеры, измерения, информация. 2009. Т.З. СПб. Изд-во Политехи, ун-та. с. 199-204.

28. Беляев К.П. Дифракция электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре с тонкой металлической полосой на границе/ К.П. Беляев //Труды XVIII международной конференции. Новороссийск. 2010.

29. Беляев К.П. Идентификация несовершенств па границе полупространств с упругим контактом/ К.П. Беляев // Естественные и технические науки. №5(49), 2010. с. 45-49.

30. Беляев К.П. Критерий устойчивости материала на одномасштабном уровне в зависимости от количества дефектов/К.П. Беляев//Сб-к.Лазеры, измерения, информация. СПб. Изд-во Политехн.ун-та.2010.Т.З.с.262-267с.

31. Буйло С.И. Физико-механические и статистические аспекты акустико-эмиссионной диагностики предразрушающего состояния/ Автор, дис. док.физ.-мат. наук. Р-н/ Д. 2009. 32 с.

32. Бриллюэн Л., Распространение волн в периодических структурах/Л. Бриллюэн, М. Народи М. М.: ИЛ, 1959,- 252 с.

33. Ваганов Р.Б., Основы теории дифракции/ Р.Б.Ваганов., Б.З. Кацеленбаум.- М.: Наука, 1982.- 272 с.

34. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов/ Г.А.

35. Ванин Киев: Наук. Думка, 1985.-304 с.

36. Ванин Г.А. Локальные разрушения в волокнистых средах/Г.А. Ванин // Механика композиционных материалов, 1982, №4, с, 618-625.

37. Ванин Г.А. Упругие волны в армированных материалах/ Г.А. Ванин // В сб.: Композиционные материалы волокнистого строения, гл. 7, Киев: Наук, думка, 1970, с. 37-52.

38. Ванин Г.А. Взаимодействие трещин в волокнистых средах/ Г.А. Ванин// В кн: Разрушение композиционных материалов. Рига: Зинатне, 1979, с. 38-45.

39. Ванько В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управление/ В.И.Ванько.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001.-488 с.

40. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций/Г.Н. Ватсон.-М.: ИЛ, 1952,798 с.

41. Вахонина Л.В. Взаимодействие гармонических осесимметричных волн с тонким круглым абсолютно жестким отслоившимся включением/ Л.В. Вахонина, В.Г. Попов.// Изв. РАН. МТТ. 2009. № 2. С. 150-159.

42. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов/ В.И. Владимиров. М.: Металлургия, 1984. - 280 с.

43. Вопилкин А.Х. Теоретическое исследование ультразвукового спектрального метода определения характера дефектов/ А.Х. Вопилкин, H.H. Ермолов, В.Г. Стасев // Дефектоскопия, 1977, № 6, с. 75-84.

44. Головчан В. Т. Дифракция волны сдвига на бесконечном ряде цилиндрических полостей/ В.Т. Головчан// ПМ, 1971, 7, вып.З, с. 41-46.

45. Головчан В.Т., Гузь А.Н. О решении двумерных периодических и двоякопериодических задач теории установившихся колебаний упругих и вязкоупругих тел/ В.Т. Головчан, А.Н. Гузь// 11ММ, 33, 4, 1969, с. 640-649.

46. Голубев A.C. Отражение плоских волн от цилиндрического дефекта/

47. A.C. Голубев//Акуст. Жур, 1961, 7, вып.2, с. 174-180

48. Гольдштейн Р.В. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами/ Р.В. Гольдштейн.,М.Н. Перельмутер // Изв. РАН. МТТ. -2001. — № Г.-с. 94-112.

49. Гольдштейн Р.В. Влияние дислокаций на критерий роста трещин на границе соединения деформируемых материалов/ Р.В. Гольдштейн, М.Е. Сарычев // МТТ № 1,2006, с.125-135.

50. Гольдштейн Р.В. Моделирование трещи ностойкости композиционных материалов/ Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер// Вычислительная механика сплошных сред. — 2009. Т. 2, № 2. — С. 22-39

51. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/И.С. Градштейн, И.М.Рыжик // Изд. 5-е, стереотип. М.: Наука, 1971.- 1108 с.

52. Гирлицкий Д.В. Об упругом равновесии неоднородной пластинки с разрезами/Д.Б. Гирлицкий// ПМ. -1966. -2.№ 5.-С.12-18.

53. Горшков А.Г. Волны в сплошных средах/А.Г. Горшков М.: Наука, 2003,- 320 с.

54. Гринченко В.Г. Гармонические колебания и волны в упругих телах/

55. B.Г. Гринченко, В.В. Мелешко Киев: Наук, думка, 1981. - 283 с.

56. Гринченко В.Т. Электроупругость/В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульга.- Киев.: Н.Д. -1989. 280с.

57. Грешников В.А. Акустическая эмиссия. Применение для испытаний материалов и изделий/В.А. Грешников, Ю.В. Дробот. М.: Из-во стандартов, 1976.-272 с.

58. Глушков E.B. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами/Н.В. Глушкова, М.Б. Голуб //Акустический журнал.2006.Т.52. Вып.З.С.314-325.

59. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах/А.Н. Гузь, В.Т. Головчан Киев: Наук, думка, 1972,- 253 с.

60. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн/Э.Д. Кубенко, М.А. Черев ко. -Киев: Наук, думка, 1978.- 308 с.

61. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках/А.Н. Гузь, В.В. Зозуля Киев: Наук, думка,-1993.-267 с.

62. Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. Пер. с франц./Под ред. В.В. Леманова/Э. Дьелесан, . Д. Руайе -М.: Наука, 1982,- 424 с.

63. Евдокимова О.В. К теории блочных и нано структур//О.В. Евдокимова, В.А. Бабешко О.М., Бабешко / Вестник СамГУ- Ест.науч.серия. 2007. №4 (54).

64. Ермолов H.H. Теория и практика ультразвукового контроля/Н.Н.Ермолов М.: Машиностроение, 1981.- 240 с.

65. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). Часть 1,11/А.В. Ефимов,.Ю.Г. Золотарев, В.М. Терпигорева.-М.: Высш. Школа, 1980.- 295с.,ил.

66. Ибатуллин И.Д. Новые методы и приборы для экспрессной оценки энергетических параметров усталостной поврежденности и разрушения поверхностных слоев/Автор, дис. док.физ.-мат.наук. Тольятти. 2010. 34 с.

67. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на 2-х телах. Минск: Наука и техника, 1968.- 583 с.

68. Игнатович С.Р. Статистическая модель повреждаемости при множественном разрушении // Проблемы прочности. 1996. - N 1. - С. 74-81.

69. Игнатович С.Р. и др. Моделирование объединения рассеянных поверхностных трещин. Имитационная модель множественного разрушения // Пробл. прочности. 2005. N 1. С. 108-117.

70. Ильина И.И. Частично отслоившееся тонкое жесткое включение между разными упругими материалами при наличии трения в зоне контакта/ И.И. Ильина, В.В. Сильвестров/./ Вестник СамГУ Естественнонаучная серия, №4 (54) 2007 с.209-224.

71. Инденбом В.Л. Долговечность материала под нагрузкой и накопление повреждений /В.Л. Инденбом, А.Н. Орлов // Физика металлов и металловедение. 1977. - Т. 43. - Вып. 3. - С. 469-492.

72. Исакович М.А. Общая акустика.- М.: Наука, 1972.- 496 с.

73. Исраилов М.Ш. Общий метод решения задач дифракции упругих волн на деформируемых препятствиях//Докл. АН СССР, 1983, 268, № 5, с. 1082-1086.

74. Карлышков C.B. Численное моделирование деформа-ций и разрушения на наноуровне/С.В. Карлышков, А.С.Кравчук.// Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия, №4 (54) 2007 с.209-224.

75. Каневский И,Ii. E.H. Неразрушающие методы контроля/И.Н. Каневкий, E.H. Сальников Владивосток.: Изд-во ДВГТУ, 2007. 243 с.

76. Каминский А,А, О начальном развитии зоны предразрушения вблизи конца трещины, выходящей на границу раздела различных сред/ A.A. Каминский,Л.А. Кипнис, И.В. Дудик // ПМ.-2004.-40 № 2.- С.74-81.

77. Качанов Л.М. Основы механики разрушений/ Л.М.Качанов. М.: Наука, 1974.-312 с.

78. Кинг Р. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн/Р. Кинг, У, Тай-Цзунь. Пер. с англ./Под ред. Э.Л. Бурштейна,- М.: ИЛ, 1962. -190 с.

79. Кипнис Л.А. Краевая трещина на границе различных сред/ Л.А. Кипнис // ПМ.- 1978.-42,- С.350-354.

80. Колмогоров В.JI. Механика обработки металлов давлением/В.Л. Колмогоров М.: Металлургия, 1986. - 688 с.

81. Кудрявцев Б.А. Дуальные тригонометрические ряды в задачах о щелях и штампах/ Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон// ПММ, 1969, т.ЗЗ, № 5, с.844-850.

82. Кудрявцев Б.А., Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная тоннельная трещина на межфазной границе с проводником/ /Б.А. Кудрявцев, В.З.Партон, В.И. ,Ракитин // Г1ММ.- 1975.39. С.149-159.

83. Купрадзе В.Д. Основные задачи теории дифракции /установившиеся процессы/В.Д. Купрадзе- Л.-М.: ОНТИ, 1935.- 159 с.

84. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости/В. Д. Купрадзе- И.: Физ- матгиз, 1963,-162 с.

85. Кузнецов Б.Л. Введение в экономическую синергетику/Б.Л. Кузнецов, Наб.Челны: Изд-во КамПИ, 1999. — 326 с.

86. Левченко В.В. Дифракция волн на композите на слоисто-периодическом наполнителе. Мат-лы докл. Регион. Конференции. Часть 1.Краснодар. 1990. с. 105-106.

87. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации: Пер. с анг.- М.: Мир, 1980.- 608 е.,ил.

88. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. М.: ОНТИ, 1935,- 643 с.

89. Мартыненко М.А. Решение парных уравнений по полиномам Лежандра первого порядка/М.А. Мартыненко // Мат. физика, 1979, №26, с. 106-109.

90. May, Менте. Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической поверхности разрыва от плоской гармонической волны сдвига/ May, Менте // ПМ, 1963, № 4, с. 135-140. Из-во "Мир".

91. Михок Г. Выборочный метод и статистическое оценивание/Г. Михок, В. Урсяну М,: Финансы и статистика, 1982,- 245 е., ил.

92. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теориР! трещин/Н.Ф. Морозов М.: Наука.- 1984.- 256 с.

93. Морозов Н.Ф. Катастрофическое слияние нанотрещин в хрупких нанокристаллических материалах/ И.В. Овидько ,Ю.В. Петров , А.Г. Шейнерман// ДАН 406, 4, 480-2 (2006).

94. Морозов Н.Ф. Зарождение и слияние нанотрещин при зернограничном скольжении в нанокристаллических твердых телах/И.В. Овидько ,Ю.В. Петров , А.Г. Шейнерман// Materials Physics and Mechanics 8 (2009) 1-7.

95. Морс Ф.М. Методы теоретической физики/ Г. Фейшбах, .В 2-х тт. М.: ИЛ, 1958.-930 с, т.2.

96. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамбля дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения/ О.Б. Наймарк//Физическая мезомеханика. 2003. Т.6. с.45-72.

97. Осипов Е.А. Сумматорные и интегральные уравнения периодических задач дифракции упругих волн на дефектах в слоистых средах/Н.Б .Плещинский// Известия Вузов, Матем-ка. 2008. № 9, с.76-82.

98. Острык В.И. Трещина на линии раздела полу-плоскостей из разных материалов/В.И. Острык, А.Ф. Улитко// Мат. Методы и физ. мех. поля.-2000.- 43 №2.- С.

99. Острык В.И. Круговая межфазная трещина при условии фрикционного контакта/В.И. Острык, ,А.Ф. Улитко// Мат. Методы и физ.-мех. поля.- 2004.- 47 №1.- С. 84-94.

100. Партон В.З. Динамическая задача механики разрушения для плоскости с включением/ Б.А. Кудрявцев В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций.- М.: Наука, 1974,- 416 с. .

101. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения/Е.М. Морозов М.: Наука, 1974,- 420 с.

102. Партон В.З. Методы математической теории упругости/ ГТ.И. Перлин М.: Наука, 1981.- 688 с.

103. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел/Б.А. Кудрявцев М.: Наука.- 1988.-470 с.

104. Панин В.Е. Структурные уровни пластического деформирования и разрушения/Ю.В. Гриняев Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1990, 255с.

105. Пантелеев И. А. Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий/ Авто реф. соиск. канд. физ.-мат. наук. Пермь.2010.- 16с.

106. Петрашень Г.Н. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах/Г.Н. Петрашень J1.: Наука, 1982.- 288 с.

107. Попов В.Г. Решение задачи о гармоническом колебании четверти плоскости методом разрывных решений/ Мат-лы докл. Регион. Конференции. Часть 1.Краснодар. 1990. с. 132-133.

108. Попов Г.Я. . Межфазные туннельные трещины в составном анизотропном пространстве/ А.Ф. Кривой //ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 520-532.

109. Потапов А.Н. Контроль качества и прогнозирование надежности конструкций из композиционных материал ов/Ф. П. Пеккер -JT.: Машиностроение, 1980,-261 с.

110. Райе Дж. Плоские задачи о трещинах, расположенных па границе раздела двух различных сред/Г.Си // Тр. Амер.о-ва инж.-механиков. Прикл.механика.- 1965.-32.№2.-С.186-192.

111. Рабинский JI. Н. Нестационарные задачи дифракции акустических волн на деформируемых криволинейных препятствиях/Автореф. дис. док. физ.-мат. наук., Москва, 2007. 28с.

112. Регель В.Р., Кинетическая природа прочности твердых тел/А.И. Слуцкер , Э.Е. Томашевский.-М.: Наука, 1974.- 510 с.

113. Романова В. А. Моделирование процессов деформации и разрушения в трехмерных структурно-неоднородных материалах/ Автореф. дис. док. физ.-мат.наук, Томск. 2008 г.

114. Романовский Ю.М., Васильев В.А., Яхно В.Г. Автоволновые процессы.- М.: Наука, 1987,- 240 с.

115. Садриев Д.С. Методологические основы управления грузовым автотранспортным комплексом/Дис. д-ра экон. наук, СПб.: ГИЭЛ, 2000.

116. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами.-Киев: Наук, думка, Т981.-323 с.

117. Селезов Н.Т., Яковлев В.В. Дифракция воли на симметричных неоднородностях,- Киев: Наук, думка, 1978.-148 с.

118. Семенов A.C. Дифракция поперечных волн движущимся разрезом, расположенным на границе двух различных упругих полуплоскостей/ Семенова Т.А. // Мат. Докл. Рог конф. Динамические задачи механики сплошной среды. г.Краснодар. 1990.- С. 150-151.

119. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения/Т. Миеси, X. Мацусита// Пер. с японск.- М.: Мир, 1986.-334 е., ил.

120. Скапретта Е. Плоская задача о распространении наклонно падающих продольных волн в упругих средах с периодической системой трещин/ В. Тибукко // МТТ,№ 2,2006, с. 15-26.

121. Соболев С.Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний/С. Л. Соболев// В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.- Л.-М.: ОНТИ, 1937, с. 468-617.

122. Солнцев С.С. Разрушение стекла/Е.М. Морозов М.: Машиностроение, 1978.- 152 с.

123. Сысоев O.E. Мониторинг изменения структуры материалов при циклических нагружениях по сигналам акустической эмиссии/ O.E. Сысоев// Научно-техн. Вед. СП6ГПУ,№ 1(74) 2009, с.83-89.

124. Усов A.A., Распространение упругих волн в композиционных материалах/ А.Г. Фокин.,Т.Д. Шермергор// В сб. научных трудов по проблемам микроэлектроники, физ.-мат. сер. вып. 3, МИЭТ, М., 1969. с. 17-25.

125. Уткин A.C. Быстрое разрушение хрупких сред./Автореф. дис. док. Физ.-мат. наук. С.-П.-2007. 32с.

126. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики.- JI.-M.: Наука, 1977,- 220 с.

127. Ушаков В.М. Отражение и транс-формация линейно-поляризованных сдвиговых волн на дефектах/ В.Г. Щербинский , А.Х. Вопилкин //Дефектоскопия, 1983, № 9, с. 17-23.

128. Филиппов А.Ф. Некоторые задачи дифракции плоских упругих волн/А.Ф. Филиппов//ПММ, т.20, 6, 1956, с. 861-873.

129. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа/Г.М. Фихтенгольц -т.П.М.: Наука, 1968.-464 с. с ил.

130. Хёнл X. Теория дифракции: Пер. с нем. /Под ред. Г.Д. Малюжица/ А. Мауэ „К. Вестпфаль М.: Мир, 1964. 428 с.

131. Чаки Ф. Современная теория управления/Ф. Чаки- М.: Изд-во «Мир», 1975.-424с.

132. Черевко М.А. О методе многократных отражений теории дифрак-ции/М.А. Черевко// Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, W 9, с. 814-817.

133. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения/ Г.П. Черепанов -М.: Наука, 1974.- 640 с.

134. Черепанов Г.П. Механика разрушения/ Черепанов Г.П., Ершов Л.П.-М.: Машиностроение, 1977.- 224 с.

135. Швингер Ю. Неоднородности в волноводах/Ю. Швингер /Зарубежная радиоэлектроника.З: Пер. с англ./Под ред. П.Ш. Фридберга.-М.: Советское радио, 1970.- 104 с.

136. Шейнерман А.Г. Дислокационные модели релаксации напряжений и разрушения в наноструктурных и пористых твердых телах/Автореф. дис. док. физ.-мат. наук. СП6.-2008 г. 34с.

137. Шестопалов В.П. Дифракция волн на решетках/В.П. Шестопалов Литвиненко Л.Н., Масалов С.Л., Сологуб З.Г. Харьков: Изд-во Харьков, унта, 1973.- 287 с.

138. Щербинский В.Г. Экспериментальное исследование отражения поляризованных, сдвиговых волн от моделей дефектов./ Щербинский В.Г., Ушаков В.М., Шмелев Н.Г.// Дефектоскопия, 1981, №7, с. I09-TT2.

139. Щербинский В.Г. Ультразвуковой контроль сварных соединений/В.Г. Щербинский, .Н.П. Алешин -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000.-496 с.

140. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами// Тр. Амер. О-ва инж.-механиков. ПМ- 1965. — 32.№ 2. -С. 169-177.

141. Яворская И.М. Дифракция плоских стационарных упругих волн на гладких выпуклых цилиндрах/ Яворская // ПММ, 1965, т.29, 3, е. 493-508.

142. Ямщиков B.C. Об отражении продольных и поперечных волн от цилиндрической полости в пол у пространстве/В. С. Ямщиков В.Н.Данилов // Дефектоскопия, 1984, 4, с. 3-IL

143. Янке Е. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) Ф. Эмде , Ф. Леш, пер. изд., М.: Наука, 1977 334с.

144. Barber J.R., Comninou М. The Penny-Shaped interface crack with Heat Flow. Part 2: Imperfect Contact // Journal of Applied Mechanics.-1983.- 50.- P. 770 -776.

145. Beom H.G.,Atluri S.N. Near-tip fields and intensity factors for interfacial cracks in dissimilar anisotropic piezoelectric media//Int.J.Fracture. — 1996. -75.- P. 163-183.

146. Broch L.M., Achenbach J.D. Jnt. J. Solids Struct., 9, 53, 1973.

147. Chillingworth D.R. Elementary Catastrophe theory. Bull.Inst. Math.Appl.,11. 155.

148. Chow J.S. Scattering of elastic waves in an inhomogeneous solid// J. Acoust. Soc. Amer., 1974, 56 № 4, p. 1049-1051.

149. Clements D.I. A crack between dissimilar anisotropic media// Int.J.Engng. Sci.- 1971 .-9.-P.257-265.

150. Clements D.L. A thermoelastic problem for a crack between dissimilar anisotropic media //Int. J. Solids Structures. 1983. - 19. - P. 121 - 130.

151. Comninou M. The interface crack // Journal of Applied Mechanics. -1977.-44. P. 631 -636.

152. Comninou M. The interface crack in shear field // ASME Journal of Applied Mechanics. 1978. - 45. - P. 287 - 290.

153. Comninou M., Dundurs J. Partial closure of cracks at the. interface between a layer and half-space // Engen. Fracture Mech. 1983. 18. - P. 315 - 323.

154. Comninou M., Dundurs J., Barber J.R. Planar Hertz contact with heat conduction // Journal of Applied Mechanics. 1981. - 48. - P. 549 - 554.

155. Ghoniem N.M. et al.J Multiscale modelling of nanomechanics and micromechanics: an over-view // Phil. Magazine. 2003. - Vol. 83. - No. 31-34.-P. 3475-3528.

156. Gurtman G.A. Review of techniques used to analyze stress wave propagation in composites; systems, science and software / California, 1969.

157. Hong C.C., Stern M. The commutation of stress intensity factor in dissimilar materials// J. Elasticity, 1978,1.V.8, № 1, p.21-34.

158. Hussain M.A., Pu S.L. Dynamic stress intensity factors for an bounded plate having collinear cracks//Eng. Fract. Mech., 1972, 4, № 4, p.14-23.

159. Jain D.L., Kanwal R.P. Diffraction of elastic waves by two complanar Griffith crack in an infinite elastic medium// Int. J. Solids and Struct., 1972, 8, № 7, p. 961-975.

160. Keer L.M., Luong W.S. Diffraction of waves and stress intensity factors in a cracked layered composite// J. Acoust. Soc. Amer., 1974, 56 № 6, p.152-159.

161. Kinslow R. Stress waves in multiple laminates. TTV-ES-70-1, Tennessee Technol. Univ., Cookeville, Tennessee, 1970.

162. Loboda V.V. The quasi-invariant in the theory of interface crack // Eng. Fracture Mech. 1993. - 44. - P. 573 - 580.

163. Lowengrub M. A pair of cracks at the interface of two bonded dissimilar elastic half planes// Int. J.Eng.Sci.- 13, № 7/8. P. 731-741.

164. Maue A. Diffraction of elastic waves and dinamic stress concentration. N . Y., Crane, Russak, 1973, 694 p.

165. Miklowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. North-Holland, Publ. Co., 1978, 618 p.

166. Mohamed Azezul Islam. Scattering of Electromagnetic waves by a Composite Cylinder// J. Math. Phys., 5, 550, 1964. ' "

167. Pao Y.H., Mow C.C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentration. New York, Crane, Russak, 1973, 694 p.

168. Peck J.C. in "Dynamics of composite materials". (Lee E.M., ed.), New York, Amer, Soc. Mech. Eng.,1972,p.8-34.

169. Simonov I.V. An interface crack in an inhomogeneous stress field // Int. J. of Fracture. 1990. - 46. - P. 223 - 235.

170. Sih G.G., Loeber J.F. Wave propagation in an elastic solid with a line of discontinuity or finite crack// Quart. Appl. Math. 1969, 27, № 2, p. 193-213.

171. Sosa H. Plane problems in piezoelectric media with defects // Int. J. Solids Structures. 1991. - 28. - P. 491 - 505.

172. Shah R.C. Omarter of semicircular cracks originating at interference sit fasteners. 1986, 8, p. 21-NN.

173. Sommerfeld A. Vavlesungen uber theoretishe physic. Bd.4 (optik) Wiesbaden, 1950.- 446.

174. Tranter C.J. Dual trigonometrically series. Proc. Of the Glasgow math. Association, 1959, vol.4, pt.2, p.49.

175. Wake W. Adhesion and polymers. In: Aspects of Adhesion 7, London, 1973.

176. Williams M.I. The stres around a fault or cracks in dissimilar media// Bulletin the Seismological Society of America.- 1959/ 49/ -P. 179-183.

177. Wood R.W. Anomalous diffraction darting// Phys. Rev., 1935, № 48, p.928-933.

178. Zinai Shi, Masayasu Ohtu. Numerical Analysis of Multiple Cracks in Concrete Using the Discrete Approach// J.of Structural Engineering. Vol. 127, № 9,2001.-pp. 1085-1091. ;