автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Системное моделирование движения тела в трубчатой направляющей

На правах рукописи

ДАНГБАИ

СИСТЕМНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ТРУБЧАТОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ

Специальность - 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2007

003169698

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель* доктор технический наук, профессор Могильников Николай Викторович

Официальные оппоненты- доктор технических наук, профессор

Дунаев Валерий Александрович, кандидат технических наук Варфоломеев Максим Андреевич

Ведущая организация. ФГУП «ГНПП «Сплав»

Защита состоится 200$_ г. в ^ часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу. 300600, г. Тула, пр Ленина, 92, (9-101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М.Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Во многих отраслях техники существует обширный класс задач, связанный с оценкой стабильности параметров вынужденного или свободного движения тел под действием заданной системы сил Как правило, эксплуатационные требования к изделию накладывают ограничение на значение некоторого основного параметра движения тела, например, скорости поступательного перемещения центра масс, причем учитывается только номинальное значение, характеристики стабильности этого параметра не учитывается

Характерным примером является задача о движении твердого тела в трубчатой направляющей под действием некоторых известных сил - силы тяжести, силы давления газа, реактивной силы и т п Конкреггаой реализацией подобной задачи является движение детали в направляющей загрузочного устройства автоматической машины, движение ракеты в пусковом устройстве, пули в стволе, ударника в канале баллистической установки и т.д При решении данной задачи в качестве основного параметра принимается значение скорости поступательного перемещения тела вдоль оси канала направляющей

Основная задача по определению номинального значения скорости представляет собой достаточно сложную систему взаимосвязанных математических моделей (будем называть их моделями первого уровня), предусматривающих, расчет воспламенения и горения пороховых элементов, их переноса в запоршневом объеме, теплообмена газа со стенками трубы, деформирования элементов ударника в начале движения и т д Решению упомянутых основных задач посвящено большое число работ Серебрякова М Е, Баули-на Н Н, Чернявского М Ю, Пилюгина Н.Н, Иоселевича В А., Бетехти-на С.А, Винницкого А М., Горохова М.С. и др

Помимо решения основных задач, проектирование машины предусматривает решение большого числа смежных задач, одной из которых является определение стабильности значения некоторого параметра в процессе работы машины, например, стабильности кинематических параметров тела в момент выхода из направляющей, характеризуемой законами распределения скорости поступательного перемещения и боковой скорости центра масс, угла и угловой скорости вращения тела относительно центра масс, рассматриваемых как случайные величины Данные параметры во многом определяют надежность и эффективность работы машины и обычно оцениваются экспериментально, на заключительных этапах ее разработки, поскольку теоретическое решение данной задачи достаточно сложное и возможность такого решения появилась только в последнее время в связи с развитием вычислительной техники

Теоретические модели для расчета второстепенных параметров движения тела (будем называть их моделями второго уровня) являются более сложными и громоздкими по отношения к традиционным моделям Такие модели

включают в себя не только уравнения пространственного движения тела в классической форме, но и дополнительные составляющие, определяющие влияние погрешнОостей изготовления - разброса массы, моментов инерции, параметров массовой асимметрии

Присутствие в моделях второго уровня большого числа исходных параметров, которые необходимо определять перед проведением расчетов, значительно затрудняет их использование Особенно это касается параметров, обусловленных погрешностями изготовления элементов изделий, в частности их массовой асимметрии Следует отметить, что известные расчетные зависимости для определения параметров массовой асимметрии тел приводятся в весьма упрощенном виде и не учитывают значительное разнообразие вариантов погрешностей изготовления поверхностей изделий, не позволяют оценить вероятностные характеристики данных параметров, а также особенности технологической реализации процесса изготовления деталей. В результате невозможно решить одну из важнейших задач проектирования - обоснованное назначение допусков на погрешности изготовления исходя из требований обеспечения заданных параметров движения изделий

Выходом из создавшегося положения является на наш взгляд реализация сквозного системного моделирования не только процессов, сопровождающих движение тела, но и процесса формирования реальных параметров тела с использованием данных чертежа. Определение стабильности характеристик движения тела возможно с использованием комплекса моделей процесса в сочетании с методом статистических испытаний Результат этого дает возможность теоретического анализа влияния погрешностей изготовления на стабильность параметров движения тела, а также решение некоторых смежных задач проектирования, связанных с оценкой работоспособности изделий. Все это обусловливает актуальность темы исследований Цель настоящей работы- реализация системного моделирования процесса движения тела в направляющей, обеспечивающего учет влияния основных погрешностей изготовления деталей и элементов на стабильность характеристик движения

Задачами исследования являются

1 Разработка программно-методического обеспечения расчета динамических характеристик тела и параметров его массовой асимметрии с использованием данных конструкторской документации на изделие.

2. Разработка математического и программного обеспечения расчета характеристик движения твердого тела в направляющей, учитывающего основные конструктивные характеристики тела и его технологические несовершенства

3 Исследование влияние на параметры движения конструктивных параметров и погрешностей изготовления тела.

4 Разработка программно-методического обеспечения для расчета стабильности характеристик движения тела при выходе из направляющей

Общая методика исследований

Разрабатываемые в диссертации модели базируется на фундаментальных соотношениях, механики движения твердых тел, теории вероятности и математической статистики, а также на использовании эффективных и апробированных численных методов решения задач механики движения твердых тел

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обусловлена корректностью применения математических методов, а также сравнением результатов моделирования с результатами известных решений

Научная новизна работы заключается в реализации комплексного системного моделирования процесса движения тела в направляющей, обеспечивающего учет влияния основных погрешностей изготовления деталей и элементов на стабильность характеристик движения

Практическая ценность работы Разработанный комплекс математических моделей обеспечивает расчетное определение характеристик стабильности кинематических параметров в момент выхода тела из направляющей, что обеспечивает оценку надежности и эффективности работы машины, и последующее решение задач, связанных с оптимизацией ее параметров

Разработанное программно-методическое обеспечение используется в учебном процессе ТулГУ

Автор защищает

1. Программно-методическое обеспечение расчета вероятностных значений динамических характеристик твердого тела, включающее определение параметров массовой асимметрии по данным конструкторской документации

2. Математическую модель и ее программную реализацию для оценки параметров движения твердого тела, обладающего технологическими несовершенствами, в направляющей.

3 Математическую модель и программу расчета характеристик стабильности параметров движения в момент выхода твердого тела из направляющей, основанную на статистическом моделировании процесса движения с использованием разработанного программного обеспечения.

Апробация работы

Основные результаты исследований докладывались и обсуждались, на региональных научно-технических конференциях «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов», Тула, 2005-2006 г. и «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов», 2005-2007 г, на ежегодных научно-технических конференциях ТулГУ, 2005-2007 г

Публикации По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов Объем диссертации составляет

/б>/ с. , включая^^рисунков, 4 таблицы и список литературы из ^^наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе рассматриваются вопросы учета в моделях движения тел погрешностей изготовления их деталей и элементов Показано, что в большинстве случаев учет погрешностей изготовления можно свести к учету изменения динамических характеристик тела - массы, положения центра масс, моментов инерции, а также, учету интегральных характеристик массовой асимметрии - составляющим эксцентриситета центра масс и центробежным моментам инерции тела, которые можно определить через измеряемые характеристики массовой асимметрии - дисбалансы. В свою очередь динамические характеристики тела и дисбалансы можно определить по данным конструкторской документации на изделие

Для определения дисбалансов по данным чертежа изделия удобно использовать общую зависимость, использующую значение геометрических параметров деталей изделия и значения погрешностей положения отдельных поверхностей, устанавливаемых чертежом на деталь и изделие

п лкр,(2р-3)"УхК! ,

°рУ = X---£ \ гц (х)с>у(х)(х-х2-р)с1х,

М х2 1=\ХН!

где

Ору - составляющая дисбалансов по оси ОУ в плоскости

приведения с номером р (р=1,2), п - число деталей, т] - число поверхностей ^ой детали;

к - коэффициент, равный к = -1 для наружной поверхности и

к = 1 для внутренней, р1 - плотность материала з-ой детали,

гц{х) - функция, описывающая изменение радиуса элементарной поверхности;

суц{х) - функция, описывающая смещение оси элементарной поверхности в плоскости ОХУ, XI,Х2 - координаты плоскостей приведения дисбалансов,

координаты начала и конца 1-ой поверхности вращения,

число поверхностей ,]-ой детали

Дисбалансы в плоскостях приведения определятся как

Dp^yjDly+D2^,

а углы ориентации дисбалансов aj и а 2 - с помощью соотношений

aj = *Jarcsm(D[z /£\), a2 =A/arcsin(i)2Z/Z>2). Для упрощения вычислений дисбалансов, были введены допущения о линейном изменении геометрических параметров поверхностей и их смещений по длине, что позволило вычислить подынтегральное выражение, представив его в виде полинома четвертой степени и свести вычисления к суммированию отдельных значений, вычисленных по алгебраическим соотношениям, что существенно ускорило процесс вычисления, сократив время счета задачи статистического моделирования параметров

Для расчета динамических характеристик изделия использовались известные зависимости, приведенные в литературе. В качестве типовых поверхностей рассматривались поверхности образованная вращением дуги окружности и коническая

Была разработана программа расчета названных характеристик Результатами расчета, помимо параметров неуравновешенности -Di, Di, ai, а-2 - дисбалансов изделия и углов их ориентации, являлись и динамические характеристики твердого тела т - масса изделия, Jxx - момент инерция относительно продольной оси, lyy = Izz~ моменты инерции относительно экваториальной оси, Ixy = Irx,, ¡yz - Izr„ Ixr ~ hx - центробежные моменты инерции и Хс - координата центра масс.

Во втором разделе работы рассматривается построение комплекса математических моделей, обеспечивающих расчет параметров движения тела в направляющей Разрабатывается математическая модель движения твердого тела, учитывающая параметры его массовой асимметрии. К основным допущениям, принятым при построении математической модели, описывающей движение твердого тела, можно отнести следующее.

Рассматривается тело с двумя опорными элементами, ограниченное цилиндрическими поверхностями составляющих его деталей и элементов, номинально соосными с осью опорных элементов Предполагается что, параметры давления газа и параметры движения направляющей известны из решения задач моделирования первого уровня

Считается, что по трубчатой направляющей движется цилиндрическое тело, имеющее две опорные поверхности - ведущий поясок (ВП) и центрирующее утолщение (ЦУ) Ведущий поясок сопрягается с трубой без зазора, то есть его центр перемещается вдоль оси трубы. Будем называть центр ВП полюсом (точка В), относительно которого происходит вращательное движение цилиндра В зоне центрирующего пояска имеется зазор

А между поверхностью пояска и внутренней поверхностью трубы Этот зазор может изменяться по длине трубы по известному закону

В зоне центрирующего пояска возможно ударное взаимодействие цилиндра с направляющей, причем удар будем считать абсолютно неупругим

Углы, характеризующие положение оси трубчатой направляющей, а также углы экваториального поворота цилиндра являются малыми величинами.

Кривизна оси жесткой трубчатой направляющей является известной величиной, заданной функцией, характеризующей смещения ее точек в различных сечениях по длине в вертикальных и боковых плоскостях.

Для вывода уравнений движения использовались следующие системы координат (рис. 1):

Рис 1 Системы координат

О0Х0У02й - инерциальная, точка О0 лежит на пересечении оси канала трубы с экваториальной плоскостью изделии, проходящей через точ-

ку В (полюс) в момент начала движения, ось О0Х0 направлена вдоль трубчатой напраатяющей и проходит через центр его выходного сечения,

ШТ01о^о ~ подвижная, параллельная инерциальной, точка О лежит на пересечении оси канала трубы с экваториальной плоскостью цилиндра, проходящей через его характерные точки (точку С - центр масс цилиндра, сечения поверхностей базирования - точки В и А)\

0Х\У\2\ - подвижная, связанная с трубчатой направляющей, ось ОХ1 направлена по касательной к изогнутой оси канала трубы;

ВХо^о^о - подвижная, связанная с цилиндром, ее оси параллельны осям системы ОХ01о^0> точка В (полюс) - центр сечения ведущего пояска, ВХУ2 - подвижная система координат, оси которой жестко связаны с цилиндром причем ось ВХ проходит через точку А - центр экваториального сечения верхнего центрирующего пояска;

ВАТ'2' - полусвязанная система координат, не участвующая в аксиальном вращении (повороте на угол <р)

Движение тела происходит под действием силы давления газа, силы тяжести и реакций взаимодействия с трубчатой направляющей Схема сил приведена на рис.2.

Полученная система уравнений предусматривает два варианта движения - движение с контактом ЦУ и без контакта Движение без контакта ЦУ предусматривает решение уравнений для угловых скоростей и углов тангажа, рыскания и крена

■У

Рис 2. Схема сил, действующих на тело

1 f -) Л/ к

= q> = (% + ■$¥) + -—VxyV + lXZ$-hr-V2 )]-, txx Jxx

1 i "> My

<oy =V = -—{IyX<p + IyZ($-2W)-lxz[(<p-S4/)2-S^-IxxSv}--^',

lyy lyy

{I2X(<p-2diy)+IZY(y+29<p)+IYX{{<p-&vjl'

lyy lyy

ц/ = а>у, ф = сох,

p _ c\ ~hc2 Fb--л~'

F2Z ~

1-/2

c2 ~ fjc\ . .2 ' 1-/2

F2 ~\F2y +F2z ; у2 = arctg(F2y / F2z); CJ = 0.pS - mgcos^o

MX=M X(p2) + M X(G) + w лг(0 •

mX(F2) = -^'•[/г + /2 SU1 /2О9-0) + fi cos/2 (У - »

M x(G) = mg{Ay sin cos #0 + azcos9»cos0o),

MX(q} = m VBX [-Дcos p + 5 sin <z>) + Az(> cos p)],

My = My(i-2) + Afr(G) + MY(Q):

-/2sinrj], A/j.(G) = - mg(Az cos tp +Ays in £>) sin <90, My(Q) = m[b y/VBX + b VBZ - (Ay sm <p + Az cos /p)VBx 1 >

MZ = MZ(F2) + MZ(G) + MZ(Q)'

Mz{f2T~ FiAh (V-^b/2 cos/2 ], My(G) = - mg(Az sin <p sin 0O - Ду cos cp sin 0Q + b cos 0O ), MY{q) = m[by/VBX -bVBY + (Дусозр- Azsxnqj)VBX] Для случая движения с контактом ЦУ, использование уравнения свя-

зи

позволяет исключить одну переменную и сводит решение к расчету скоростей со у, а)х и углов у, (р прецессии и крена, и определению реакции ЦУ

Г

ах =ф = {31</ + 9\1/) +

й)у =У\ = ввт/^ +Ч/со£^1 -

}хх 1ХК

í *\ г

Му) [.

- — со^,- А^ —

А,—

П =сог ''В,

Г1

А 2

Особ/! -Ч'зт/] +

(

№ л/Г

'п •'ГГ)

3УГ

эт/! -

М,

А

гг

СОБу!

Р2у-

2

2г

с\ ~ /гс2. р _ с2~/гс1. г _ /Р2 , д.

-2 ' ^2г--—' 2 "V :

1-/2 1-/2 /2 = агс1ап(/г

С\=в pS — mgc,oъ9S) -тУду — ^ соб^ + зт^}, С2 -/[^соб/,,

1гг

А2 = {/гг (р - 25^) ++2,9(3)+- %)2

1уу

мх +МХ(р2) +мх(0) + МХ{в),

-[(а + дхсо5/, мп/,) -г/, соб/,]^-^)};

^Х(^) = _/Г2г[/2 + /2 72+ /2 сое<У~40], МХ(1Э) = т£-(дузт<рсоз(?о + аг собесов

= ^вх [-Ау( v соэ ф + 3ъ\пф) + бш р - 3 соэ $?)], Му В,+Л/у,

А = г/[(3-в)-[г/х вту, -(А + аХят^ +/,' соб^)];

МГ =Му(рг) + Му{в) +Му(ду

Му(С) = - Дг сое <р + Ау бш <р) эт в0;

Му(д) = т[Ъ ч/7вх +ЬУВ2-(Ауытр + Аг соя <р)7вх ],

М2 =Р1В2+М*2,

в2 = -{г/\ (v - у) + [(¿> + а)(с05/1 - x бю/,)-/-/, собх,]},

Л/г =мг(р2) +м2{0) +мг(д)1

Му(о Агвт^зт^о - Дусо$1р5т#0 + 6соз0о),

= -Ь^зг + (АУсоб(3 - Агбшр)Квлг],

Л =

^ -В] В-у л

„ „ А 5 = 0+—сову,,

ш А .

Полученные уравнения обеспечивают решение задачи движения несимметричного цилиндра в криволинейной трубчатой направляющей и определение кинематических параметров движения в момент выхода

Массовая асимметрия тела учтена в приведенных уравнениях значениями центробежных моментов инерции ¡ху^хг^уг и смещениями центра масс изделия Ау, Ах, определяемыми значениями дисбалансов в опорных поверхностях изделия.

Возможная непрямолинейность трубчатой направляющей учитывается в параметрах переносного движения, входящих в приведенные уравнения- 0,4,6,Т.

В третьем разделе работы рассматриваются особенности программной реализации разработанной математической модели, приведены примеры расчета влияния на параметры движения некоторых конструктивных элементов и погрешностей изготовления, в том числе связанных с массовой асимметрией

В третьем разделе работы рассматриваются особенности программной реализации разработанной математической модели Решение дифференциальных уравнений проводилось с использованием метода Рунге-Кута четвертого порядка. Окна ввода информации в программу приведено на рис 3

Моден» расчета движения цилиндра в направляющей и статистичнскиго не...

0.12

¡0.06

0.12

0.0015

Масса цилиндра - ш, кг

Диамггр цилищра - d. м

Момент иннерции относительно продольном оси- С. кгмЛ2

Момент иннерции относительно экваториальной оси • А. кгм^ Расстояние от центра масс до вериного ЦЫ- а. м

Рассто»»» от центра масс до ВП -Ь. м

Дисбаланс на ВП. - D2, к™

Угол между дисбалансами -alfa. град

Дисбаланс на верхнем ЦЫ • D1, кгм J0.0C2

Угол начальной ориентации дисбаланс 01 - ПО. град

Число точек измерения . непрямоланейности - ni, зазора DeHafs) ■ п2 и давления р(х) - пЗ по длине трубы

Рассто»»« соответственно места -к1,к2,хЗ-мм

Не(ря«л»«йность по длине оси OY-dtaY.mm

Нелрямопмйвсп! по длине оси 02-dUZ.nm

-10

КоэФ<Сициеит трения скольжения' между трубой и ВП-f2

¡0.27

0.27

Коэффициент трения скольжения между трубой и верхнего ЦУ -11

Угол начальной ориентации изделия отн-но горизонтального ¡35 направления - МаО, грае

Шаг нареза трубы - е!а

раГ

Тип трубы |"нарезная" _£]

Шаг интегрирования ■ h ¡0.005

Twi зазора цилкдра итрубы|Неизменяемый • ¡05

Зазор Oeta [неизменяемость]

nflflflSi Длина трубы-».м 4

I35 Вычслегмв] Закончить [ N варианта) 1100

Рис. 3, Ото ввода информации в программу расчета параметров движения цилиндра в трубчатой направляющей

В качестве исходных параметров используются:

- геометрические и инерциальные характеристики изделия, заданные чертежом шш рассчитанные ранее программой расчета, разработанной в разделе 1;

- эксплуатационные параметры - изменение зазора, непрямолинейность трубы и изменения давления по длине трубы.

В качестве результатов получаем изменения кинематических параметров движения цилиндра в любой момент времени и в момент выхода из трубы, а также изменение реакций взаимодействия изделия с трубой.

Рассмотрены некоторые особенности движения изделия, имеющего аксиальный поворот в процессе движения за счет винтового паза на трубчатой направляющей.

Расчеты, приведенные для различных значений параметров массовой асимметрии и прямолинейной трубы, показывают, что, нарушение контакта ЦУ происходит крайне редко. Результаты расчетов, приведенные на рис. 4 , показывают, что изменение угла и скорости прецессии в процессе

движении с контактом ЦУ носит колебательный характер, причем колебания происходят относительно угла и угловой скорости аксиального вращения изделия

ФД, рад

/ К

2

/ 7 \1

/

X, м

X, м

Рис 4 Изменение угла и угловой скорости прецессии (2) и аксиального вращения (1) изделия в процессе движения по трубе

Рис. 5 Изменение реакции верхнего ЦУ при различных значениях параметров неуравновешенности и зазора О! =0,00248 кг*м, 1,2 -02=0,00089 кг*м, 3,4 - 02=0, 1,3-А =0,25мм, 2,4 = А =0,45 мм

Изменение реакций на центрирующих элементах изделия носит также колебательный характер, а их амплитудные значения зависят от величины зазора и массовой асимметрии изделия (рис 5)

Проведено тестирование разработанной программы, сравнением полученных значений кинематических параметров движения цилиндра и максимальных значений реакции взаимодействия со значениями полученными для случая прямолинейной неподвижной трубы с использованием известного программного комплекса RIGID, показавшее удовлетворительное их совпадение

В четвертом разделе рассматривается комплексное моделирование процесса движения с учетом вероятностных характеристик погрешностей изготовления поверхностей деталей и элементов тела

Моделирование процесса движения цилиндра реализовывалось в два этапа На первом проводилось статистическое моделирование динамических характеристик твердого тела и параметров его массовой асимметрии, на втором проводилось моделирование статистических характеристик параметров движения с использованием полученных значений распределений динамических характеристик и массовой асимметрии

Для расчета первого этапа использовалось доработанное программное обеспечение, реализующее расчет динамических характеристик, массовой асимметрии тела вероятностных характеристик указанных параметров методом Монте-Карло по дополнительно вводимым в программу допускам на погрешности линейных и диаметральных размеров и погрешности положения поверхностей, задаваемые чертежом Окно ввода программы приведено на рис. 6.

Полученные результаты обрабатывались с использованием методов математической статистики Для каждого параметра определись оценки математического ожидания X}, среднего квадратичного отклонения S,, и далее определялось соответствие выбранного теоретического закона эмпирическому распределению. Для оценки соответствия использовался критерий согласия Пирсона Р(% ) В качестве теоретических законов использовались: для параметров т,^,/^,/zz - нормальный закон, для D\,Di -закон Максвелла и нормальный

Результаты расчетов приведены в таблице 1 Анализ полученных результатов показывает, что значения параметров т,Хс,,lzx достаточно хорошо согласуются с законом Гаусса как качественно (рис 7), так и количественно, поскольку вероятность критерия для этих параметров

Р(Х2)>0,05

Несколько сложнее обстоит дело с распределением дисбалансов D\,D2- Для них, как для существенно положительной величины, определяемой погрешностями положения поверхностей вращения следовало

бы ожидать соответствия распределения закону Максвелла. Однако результат расчетов показывает, что закон Максвелла больше подходит для дисбаланса П\, для £>2 лучше использовать усеченный закон Гаусса.

Диаметр, мм 100

Число ¡¡злое изделия • п |3 Расстояние от начала —"

Расстояние от начала [250"" отрасчетадо ВП.Х2, тт I -¡■ыйазел-----------------

Удельная плотность - гащ. птапп-Число плоскостей - тф ! Далее Назад

Вычисление п еармаита

Параметры Ьой плоскости кто узла -

ОЦтт) йг(тт) Н(тт) ХЦтт) г(тт)р.2) «Цтт] ег(тт) КсхСЫ) Ыой ; Веркнее |13.88'

13.8

(14.12 ¡1012[

1483.88 ¡0 1*90.12 [О*

Далее

Назад

Рис. 6. Окно ввода параметров для статистического моделирования динамических характеристик и параметров неуравновешенности тела

________Таблица 1

Фактор 5/ Закон распределения х2 к Их2)

т 13.554 0.014 Гаусса 13.127 16 0.6195

Хс 155.46 0.14 Гаусса 12.235 15 0.5875

^хх 0.02112 0.00024 Гаусса 14.046 10 0.1736

0.27232 0.00036 Гаусса 17.539 16 0.354

А 0.00107 0.00112 Максвелла 20.296 9 0.0172

Гаусса 45.124 9 0.0004

02 0.00095 0.00041 Гаусса 9.568 14 0.6952

Максвелла 34.567 14 0.0339

Рис 7. Плотность вероятности распределения массы (слева) и координаты центра масс (справа)

Для расчета вероятных характеристик параметров движения цилиндра в момент выхода из направляющих использовался доработанный программный комплекс расчета параметров движения цилиндра в трубчатой направляющей Доработка заключалась в добавлении блока статистического моделирования динамических характеристик и параметров массовой асимметрии тела в соответствии с полученными выше законами распределения.

Результаты моделирования статистических характеристик параметров движения, в качестве которых рассматривались 5 - пространственный угол ориентации 1лавной центральной оси инерции, 5 - пространственная скорость экваториального вращения а Ус - боковая скорость центра масс

Анализ полученных результатов (таблица 2) показывает, что выходные характеристик процесса соответствуют нормальному распределению

Таблица 2

Факторы XI Закон распределения х2 к 'И

6 2.2710 0 0508 Гаусса 19 105 13 0.0950

5 6 6189 0 1619 Гаусса 21 238 15 0.1073

Ус 5 7091 0.1566 Гаусса 23 572 17 0 1194

В качестве иллюстрации возможностей разработанного программного обеспечения проведены расчеты статистических характеристик кинематических параметров движения цилиндра в момент выхода из направляющей при различных значениях точности изготовления изделия

Расчеты показали, что изменение точности изготовления размеров изделия практически не изменяет параметр угла экваториального вращения 8^с Средние значения угловой скорости экваториального вращения

Ьвс и боковой скорости центра масс Уде несколько возрастают, а средние квадратичные отклонения уменьшаются с уменьшением поля допуска,

причем относительные значения также уменьшаются Значения максимальных реакций взаимодействия изделия с трубой изменяются незначительно, в пределах 5 - 8%

Таким образом, чтобы снизить разброс начальных кинематических параметров движения цилиндра на требуемую величину, можно определить соответствующее уменьшение допуска на размеры изделия. Например, уменьшение поля допуска на 25 % уменьшает среднее квадратичное отклонение угловой скорости экваториального вращения на 75 % и боковой скорости центра масс на 20%.

Одновременно с влиянием изменения параметров точности изготовления, используя разработанное программное обеспечение можно оценить влияние на разброс начальных кинематических параметров геометрических характеристик направляющей и изделия, изменение кривизны и зазора по длине направляющей, иными словами любого конструктивного, технологического и эксплуатационного параметра, входящего в перечень исходных данных реализованной системы математических моделей.

В заключении приводятся основные выводы и результаты.

В результате проведенной работы получены следующие основные результаты.

1. Разработано программное обеспечение для определения параметров массовой асимметрии и динамических характеристик изделий, детали которого образованы поверхностями вращения, по данным конструкторской документации на изделие.

2. Разработана математическая модель движения тела в трубчатой направляющей и программа, её реализующая, позволяющие определить параметры движения и реакции взаимодействия опор цилиндрического тела с двумя опорными элементами при движении Полученные уравнения учитывают динамические характеристики тела, включая его массовую асимметрию, а также основные конструктивные характеристики направляющей и её возможные переносные параметры движения.

3 Разработана методика расчета статистических характеристик параметров движения цилиндра в направляющей Основанная на использовании метода статистических испытаний, применительно к решению системы дифференциальных уравнений движения цилиндра в трубе, а также к расчету параметров массовой асимметрии и динамических характеристик тела

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1 Анализ движения неуравновешенного цилиндра в трубе показывает, что это движение носит колебательный характер, причем амплитуда колебаний возрастает по мере увеличения скорости движения.

2 Анализ влияния различных факторов на параметры движения цилиндра в трубе указывает на существенное влияние таких параметров, как

зазора Д, дисбалансов , £>1 Прочие параметры углы ориентации, переменной зазор и т д оказываются в первую очередь на изменении фазовых значений параметров.

3 Статистическое моделирование динамических характеристик и параметров массовой асимметрии тела показано, что масса, моменты инерции и координат центр масс распределены по закону Гаусса Распределение параметров неуравновешенности подчиняется закону Максвелла (дисбаланс £)}) и усеченному закону Гаусса (дисбаланс В2). Параметры законов распределения могут быть определены с использованием метода статистических испытаний и программы расчета вышеназванных характеристик по данным чертежа изделия

4 Разработанная методика расчета статистических характеристик движения цилиндра по направляющей позволяет исследовать влияние на параметры движения параметров точности изготовления, а также конструктивных, технологических и эксплуатационных параметров изделия, входящих в перечень исходных данных реализованной системы математических моделей

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Данг Баи. Учет массовой асимметрии в задачах динамики твердого тела. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. - Тула, 2005. - С. 18-21.

2. Данг Баи. Расчет массовой асимметриин твердого тела. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. - Тула, 2005. - С. 22-26.

3 Данг Баи. Движение твердого тела с малой асимметрией в трубчатой направляющей. // Труды региональной научно-технической конференции "Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов" - Тула, 2006.-С. 177-183.

4. Данг Баи, Могильников Н.В. Расчет параметров двнжения твердого тела с малой асимметрией в трубчатой направляющей. II Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 9. -Тула, 2006.-С. 30-33.

5. Данг Баи, Горбунов В В , Сайкин М Ю Определение законов распределения динамических характеристик тела и параметров массовой асимметрии. // Труды региональной научно-технической конференции "Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов" - Тула, 2007 -С 123-128.

Изд. лиц ЛР № 020300 от 12 02 97 Подписью в печать^ 07 Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсепая. Усд-печ л. 1, / Уч -изд. д О Тираж 1сс экз Заказ С.

Тульский государственный университет 300600, г Тула, пр Ленина, 92 Отпечатано в издательстве ТулГУ 300600, г Тула, ул. 'Болдина, 151

Введение.

1. Учет в моделях движения погрешностей изготовления элементов и массовой асимметрии.

1.1. Учет массовой асимметрии в моделях движения твердого тела

1.2. Расчет параметров массовой асимметрии по данным конструкторской документации.

1.3. Выводы.

2. Модель движения твердого тела в трубчатой направляющей.

2.1. Системы координат.

2.2. Уравнения движения цилиндра.

2.3. Определение сил и моментов.

2.4. Кинематические параметры движения цилиндра в момент выхода из трубы.

2.5. Выводы.

3. Реализация модели движения неуравновешенного цилиндра в трубе

3.1. Особенности численной реализации и программирования.

3.2. Результаты расчета реакций, параметров движения и влияния на них различных факторов.

3.3. Тестирование разработанного программного обеспечения для расчетов параметров движения цилиндра в трубчатой направляющей.

3.4. Выводы.

4. Статистическое моделирование начальных кинематических параметров.

4.1. Оценка параметров и определение законов распределения динамических характеристик и дисбалансов.

4.2. Результаты статистической обработки.

4.3. Моделирование случайных значений кинематических параметров движения в момент выхода цилиндра из трубы

4.4. Выводы.

Во многих отраслях техники существует обширный класс задач, связанный с оценкой стабильности параметров вынужденного или свободного движения тел под действием заданной системы сил. Как правило, эксплуатационные требования к изделию накладывают ограничение на значение некоторого основного параметра движения тела, например, скорости поступательного перемещения центра масс. При исследованиях обычно ограничиваются расчетным определением с использованием моделей различной сложности номинального значения этого параметра. Характеристики стабильности этого параметра, а также характеристики остальных второстепенных параметров движения, номинальное значение которых считается равным нулю, не учитывается.

Характерным примером является задача о движении твердого тела в трубчатой направляющей под действием некоторых известных сил - силы тяжести, силы давления газа, реактивной силы и т.п. Конкретной реализацией подобной задачи является движение детали в направляющей загрузочного устройства автоматической машины, движение ракеты в пусковом устройстве, пули в стволе, ударника в канале баллистической установки и т.д. При решении данной задачи в качестве основного параметра принимается значение скорости поступательного перемещения тела вдоль оси канала направляющей и в момент выхода из него. Эта задача считается основной, и в большинстве случаев ограничиваются только ее решением.

К второстепенным задачам относят задачи определения характеристик стабильности скорости в момент выхода тела из направляющей (вероятного отклонения, дисперсии), а также оценки остальных кинематических параметров движения тела в момент выхода из направляющей - нормальные к оси направляющей компоненты скорости поступательного перемещения тела, углы и угловые скорости вращения тела относительно центра масс. Как правило, указанные параметры движения, имеют номинальное значение равное нулю (за исключением случая, когда телу придают вращение относительно продольной оси за счет нарезов на его поверхности), а интерес представляют оценки предельных значений указанных параметров движения, их дисперсии, среднего квадратичного или вероятного отклонения.

Зачастую основная задача по определению номинального значения скорости представляет собой достаточно сложную систему взаимосвязанных задач. Например, расчет скорости движения ударника в канале баллистической установки может включать в себя задачи воспламенения и горения пороховых элементов, их переноса в запорном объеме, теплообмена газа со стенками трубы, волнового течения газа в запорном объеме, деформирования элементов ударника в начале движения. Несмотря на возможные упрощения математических моделей, их решение требует значительных затрат на программирование и реализацию вычислительных процедур.

Решению упомянутых основных задач посвящено большое число работ. Решению так называемой основной задачи внутренней баллистики, которая определяет силовое воздействие на метаемые тела, продукты горения твердых топлив и скорость поступательного перемещения твердого тела посвящены работы Баулина Н.Н., Бетехтина С.А., Виницкого A.M., Горохова М.С., Иоселевича В.А., Кэрта Б.Э., Пилюгина Н.Н., Серебрякова М.Е., Чернявского С.Ю. и др.

Так в работе [34] рассматриваются основные соотношения для расчета горения твердых топлив, уравнения термодинамики, движения твердого тела, обеспечивающие определение начальной скорости тела и силового воздействия газа на него при разгоне.

Влияние трения перемещающегося тела на параметры движения рассматривается в работе [6], теплообмена в работе [2]. Решение задачи с учетом течения газа в канале рассмотрено в работе [8], а в работах [3, 25, 27,

35] приводятся численные методы решения упомянутых задач и их программная реализация. Данный весьма краткий обзор показывает, что проблему решения основной задачи внутренней баллистики в значительной степени можно считать исчерпанной.

Еще более сложными представляется решение задач по определению второстепенных параметров движения. Как правило, при исследованиях ограничиваются эмпирическими оценками этих параметров [22, 23]. Возможность проведение теоретических расчетов появилась лишь в последнее время в связи с развитием вычислительной техники. Теоретические модели для расчета второстепенных параметров движения тела (для краткости мы будем называть их моделями второго уровня), как правило, являются более сложными и громоздкими по отношению к традиционным моделям. Такие модели включают не только уравнения движения тела, но и уравнения движения машины и направляющей [21, 26, 31, 35]. Кроме того, уравнения движения тела должны включать не только уравнения пространственного его движения в классической форме [22, 23], но и дополнительные составляющие, определяющие влияние погрешностей изготовления - разброса массы, моментов инерции, параметры массовой асимметрии. Примеры подобных моделей приведены в работах [21, 32, 31, 35].

Например, в работе [26] рассматриваются вопросы формирования поперечных возмущений ударника, метаемого из ствола легкогазовой пушки (ЛГП). Подобные установки используются для исследования прочности материалов и конструкций при высокоскоростном нагружении. Для исследования динамики поперечного движения метаемого объекта в упомянутой работе была разработана методика, учитывающая начальные неровности оси канала ствола, обусловленные технологией его изготовления и естественным прогибом, колебания ствола, вызванные продольными ускорениями элементов ЛГП и реакцией опор метаемого тела, положения центра масс метаемого тела и жесткости его опор.

В работе [21] рассматривается динамика движения реактивного снаряда в пусковой установке. Рассматривается влияние на параметры поперечного движения и угловые возмущения движения отдельных элементов установки, а также усилий взаимодействия движущегося объекта с направляющей.

В работах [31, 35] рассматриваются вопросы расчета параметров движения твердого тела, обладающего массовой асимметрией, в канале трубчатой направляющей. Аналогичные вопросы рассматриваются в работе [32] применительно к телу, совершающему при движении упругие из-гибные колебания.

Модели второго уровня используются для определения усилий взаимодействия тела с направляющей, а также для расчета разброса начальных кинематических параметров движения тела в момент выхода из направляющей и играют значительную роль в решении вопросов оптимального проектирования изделий. Естественно, что модели второго уровня включают в себя в качестве подсистемы и модели первого уровня (иногда в упрощенном виде).

Необходимость использования в моделях второго уровня большого числа исходных параметров, которые необходимо определять перед проведением расчетов, значительно затрудняет их использование. Особенно это касается параметров, обусловленных погрешностями изготовления элементов изделий, в частности их массовой асимметрии.

В большинстве известных работ учет массовой асимметрии тела сводится к учету смещения его центра масс относительно некоторой базовой оси изделия [9, 26]. Иногда этот учет производится в более полном виде, как параметров смещения центра масс тела и компонентов центробежных моментов инерции тела, заданных в системе координат, связанной с некоторой базовой осью тела [35]. Во всех случаях определение параметров массовой асимметрии представляет собой отдельную задачу, которая может быть решена либо их измерением, либо расчетом [12, 13, 36].

Следует отметить, что известные расчетные зависимости для определения параметров массовой асимметрии тел приводятся в весьма упрощенном виде и не учитывают значительное разнообразие вариантов погрешностей изготовления поверхностей изделий [12, 13]. Известные расчетные зависимости не позволяют оценить вероятностные характеристики параметров массовой асимметрии - математическое ожидание, дисперсию, а также особенности технологической реализации процесса изготовления деталей. В результате невозможно решить одну из важнейших задач проектирования - обоснованное назначение допусков на погрешности изготовления - линейные и диаметральные размеры, погрешности положения формы и т.д. исходя из требований обеспечения заданных параметров движения изделий.

Выходом из создавшегося положения является на наш взгляд реализация сквозного системного моделирования не только процессов, сопровождающих движение тела, но и процесса формирования реальных параметров тела с использованием данных чертежа и допусков на размеры элементов деталей и поверхностей изделия и их взаимное положение. Определение стабильности характеристик движения тела возможно с использованием комплекса моделей процесса (в том числе модели расчета реальных параметров тела) в сочетании с методом статистических испытаний. Результатом подобного комплексного подхода к решению задачи расчета параметров движения тела будет обеспечение возможности теоретического анализа влияния погрешностей изготовления тела на стабильность характеристик его движения, а также решение некоторых смежных задач проектирования, связанных с оценкой работоспособности изделий (определение поперечных усилий и перегрузок, износ направляющей и т.п.).

Таким образом, можно сформулировать цель диссертационной работы: реализация системного моделирования процесса движения тела в направляющей, обеспечивающего учет влияния основных погрешностей изготовления деталей и элементов на стабильность характеристик движения.

В соответствии с целью формулируются следующие задачи исследования:

1. Разработка программно-методического обеспечения расчета динамических характеристик тела и параметров его массовой асимметрии с использованием данных конструкторской документации на изделие.

2. Разработка математического и программного обеспечения расчета характеристик движения твердого тела в направляющей, учитывающего основные конструктивные характеристики тела и его технологические несовершенства.

3. Исследование влияние на параметры движения конструктивных параметров и погрешностей изготовления тела.

4. Разработка программно-методического обеспечения для расчета стабильности характеристик движения тела при выходе из направляющей.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

В первом разделе рассматриваются вопросы учета в моделях движения тел погрешностей изготовления их деталей и элементов. Показано, что в большинстве случаев учет погрешностей изготовления можно свести к учету изменения динамических характеристик тела - массы, положения центра масс, моментов инерции, а также, учету интегральных характеристик массовой асимметрии - составляющим эксцентриситета центра масс и центробежным моментам инерции тела, которые можно определить через измеряемые характеристики массовой асимметрии - дисбалансы. В свою очередь динамические характеристики тела и дисбалансы можно определить по данным конструкторской документации на изделие.

Приводятся основные соотношения для расчета параметров массовой асимметрии тела, ограниченного поверхностями вращения. Разрабатывается программное обеспечение для расчета параметров массовой асимметрии тела по данным конструкторской документации на изделие.

Во втором разделе работы рассматривается комплекс математических моделей, обеспечивающих расчет параметров движения тела в направляющей. Разрабатывается математическая модель движения твердого тела, учитывающая параметры его массовой асимметрии. Рассматривается тело с двумя опорными элементами, ограниченное цилиндрическими поверхностями составляющих его деталей и элементов, номинально соосны-ми с осью опорных элементов. Предполагается что, параметры давления газа и параметры движения направляющей известны из решения задач моделирования первого уровня.

В третьем разделе работы рассматриваются особенности программной реализации разработанной математической модели, приведены примеры расчета влияния на параметры движения некоторых конструктивных элементов и погрешностей изготовления, в том числе связанных с массовой асимметрией. Показано, что параметры массовой асимметрии определяющим образом влияют на параметры поперечного движения тела в направляющей и начальные кинематические параметры его движения в момент выхода - углы, угловые скорости и боковые скорости центра масс. Кроме того, данные параметры в значительной степени определяют силовое взаимодействие опорных элементов изделия с направляющей.

В четвертом разделе рассматривается комплексное моделирование процесса движения с учетом вероятностных характеристик погрешностей изготовления поверхностей деталей и элементов тела. В основу расчета положено использование метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) для определения случайных реализаций процесса формирования динамических характеристик и параметров массовой асимметрии тел.

Аналогичный подход используется при определении оценки стабильности характеристик движения - математического ожидания и дисперсии начальных кинематических параметров в момент выхода тела из направляющей. Приведены результаты расчета на данные параметры допусков на параметры точности изготовления линейных и диаметральных размеров и взаимное положение поверхностей и деталей изделия.

В заключении приводятся основные выводы и результаты.

Научная новизна работы заключается в реализации комплексного системного моделирования процесса движения тела в направляющей, обеспечивающего учет влияния основных погрешностей изготовления деталей и элементов на стабильность характеристик движения.

Автор защищает:

1. Программно-методическое обеспечение расчета вероятностных значений динамических характеристик твердого тела, включающее определение параметров массовой асимметрии по данным конструкторской документации.

2. Математическую модель и ее программную реализацию для оценки параметров движения твердого тела, обладающего технологическими несовершенствами в направляющей.

3. Методику расчета характеристик стабильности параметров движения в момент выхода твердого тела из направляющей, основанную на статистическом моделировании процесса движения с использованием разработанного программного обеспечения.

Результаты работы докладывались на двух региональных научно - технических конференциях. По результатам работы опубликованы 4 стати.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы получены следующие основные результаты.

1. Разработано программное обеспечение для определения параметров массовой асимметрии и динамических характеристик изделий, детали которого образованы поверхностями вращения, по данным конструкторской документации на изделие.

2. Разработана математическая модель движения тела в трубчатой направляющей и программа, её реализующая, позволяющие определить параметры движения и реакции взаимодействия опор цилиндрического тела с двумя опорными элементами при движении. Полученные уравнения учитывают динамические характеристики тела, включая его массовую асимметрию, а также основные конструктивные характеристики направляющей и её возможные переносные параметры движения.

3. Разработана методика расчета статистических характеристик параметров движения цилиндра в направляющей. Основанная на использовании метода статистических испытаний, применительно к решению системы дифференциальных уравнений движения цилиндра в трубе, а также к расчету параметров массовой асимметрии и динамических характеристик тела.

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Анализ движения неуравновешенного цилиндра в трубе показывает, что это движение носит колебательный характер, причем амплитуда колебаний возрастает по мере увеличения скорости движения.

2. Анализ влияния различных факторов на параметры движения цилиндра в трубе указывает на существенное влияние таких параметров, как зазора А, дисбалансов £>,, D2. Прочие параметры углы ориентации, переменной зазор и т.д. оказываются в первую очередь на изменении фазовых значений параметров.

3. Статистическое моделирование динамических характеристик и параметров массовой асимметрии тела показано, что масса, моменты инерции и координат центр масс распределены по закону Гаусса. Распределение параметров неуравновешенности подчиняется закону Максвелла (дисбаланс £),) и усеченному закону Гаусса (дисбаланс D2). Параметры законов распределения могут быть определены с использованием метода статистических испытаний и программы расчета вышеназванных характеристик по данным чертежа изделия.

4. Разработанная методика расчета статистических характеристик движения цилиндра по направляющей позволяет исследовать влияние на параметры движения параметров точности изготовления, а также конструктивных, технологических и эксплуатационных параметров изделия, входящих в перечень исходных данных реализованной системы математических моделей.

1. Абгарян К. А, Рапопорт И.М. Динамика ракет. - М.: Машиностроение, 1969. - 378 с.

2. Алдошин Г.Т., Кэрт Б.Э. Разностный метод решения сопряженной задачи теплообмена при расчете динамики газового привода. // В кн.: Пневматика и гидравлика, вып. 7. М.: Машиностроение, 1979.

3. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1,2. М.: Мир, 1990. - 728 с.

4. Балакин В.А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения. М.: Машиностроение, 1980. - 136 с.

5. Златин Н.А., Красильщиков А.П., Мишин Г.И., Попов Н.Н. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. М.: Наука, 1974. - 352 с.

6. Баулин Н.Н., Иоселевич В.А., Пилюгин Н.Н., Чернявский С.Ю. Влияние трения метаемого поршня на внутреннюю баллистику одноступенчатой установки. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1978, №3. - С. 76-83.

7. Бутенин Н.В, Лунц Я.Л, Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, Т.2. Динамика. М.: Наука, 1979. - 544 с.

8. Газодинамические основы внутренней баллистики. / С.А. Бетехтин, A.M. Виницкий, М.С. Горохов и др. М.: Гос. издат. оборонной промышленности, 1957.

9. Гантмахер Ф.Р, Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет. М.: Гос. изд. физ-мат. л-ры, 1959. 412 с.

10. Горбунов В.В., Кудряшов A.M. Расчет параметров силового взаимодействия пули с каналом нарезного ствола. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. Тула, 2000. Вып.2.- С. 12-15.

11. Горбунов В.В, Могильников С.Н. Программный комплекс для моделирования околодульных процессов. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. Тула, 2000. Вып.З.- С. 101-113.

12. ГОСТ 19534-74. Балансировка вращающихся тел. Термины. М.: Госстандарт, 1974.

13. ГОСТ 26061-76. Система классов точности балансировки. М.: Госстандарт, 1976.

14. Данг Баи. Учет массовой асимметрии в задачах динамики твердого тела. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. Тула, 2005. - С. 18-21.

15. Данг Баи. Расчет массовой асимметриии твердого тела. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 8. Тула,2005. С. 22-26.

16. Данг Баи. Движение твердого тела с малой асимметрией в трубчатой направляющей. // Труды региональной научно-технической конференции "Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов". Тула, 2006. - С. 177-183.

17. Данг Баи, Могильников Н.В. Расчет параметров движения твердого тела с малой асимметрией в трубчатой направляющей. // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып. 9. Тула,2006. С. 30-33.

18. Девис Д., Фоллин Дж., Блитцер JI. Внешняя баллистика ракет. -М.: Изд-во Минобороны СССР. 1961. - 520 с.

19. Дегтярев Ю.И. Системный анализ и исследование операций. -М.: Высшая школа, 1996. 336 с.

20. Дмитриев В.Ф., Романовцев Б.М., Устинов JI.A. Динамика старта реактивных систем залпового огня. Тула, ТулГУ, 2002. - 168 с.

21. Дмитриевский А.А. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1972.-584 с.

22. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика: Учебник для студентов втузов. М.: Машиностроение, 1991. — 640 с.

23. Злобин С.Ф., Могильников Н.В., Судаков С.П. Свободное движение тела, совершающего упругие изгибные колебания. // Дифференц. уравнения и прикл. задачи. Тула, ТулГУ, 1997. - С. 100-104.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978 - 512 с.

25. Камчатный В.Г. Динамика поперечного движения метаемого объекта. Сб. материалов III научн. конф. Волжского регионального центра РАРАН. Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004. - Т. 1. - С. 227 - 235.

26. Кэрт Б.Э. Пакет прикладных программ машинного анализа тепломеханических систем "МАТМЕХ". // В кн.: Материалы докладов Всероссийской научно-практической конференции "Первые Окуневские чтения". С.-Петербург, 1997. - С. 102-105.

27. Мамонтов М.А., Юрманова Н.П., Шепетовский А.Я. Теория тепловых двигателей. Внутренняя баллистика. Тула, ТПИ, 1975. - 235 с.

28. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло). / Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М. и др. М.: Физматгиз, 1962. -331с.

29. Методика статистической обработки эмпирических данных. -М.: гос. изд. стандартов, 1963.

30. Пилюгин Н.Н., Чернявский С.Ю. Расчет газодинамических параметров двухступенчатой легкогазовой установки с деформируемым поршнем. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1976, №1. - С. 6975.

31. Серебряков М.Е. Внутренняя баллистика ствольных систем и пороховых ракет. М.: Оборонгиз, 1962. - 703 с.

32. Уравновешивание роторов и механизмов // Сб. статей под ред. В.А. Щепетильникова М.: Машиностроение, 1978. - 320с.

33. Фаворин М.В. Моменты инерции тела. Справочник. Под ред. М.М. Гернета. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1977.