автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синергетический синтез систем управления гидролитосферными процессами

На правах рукописи

АТРОЩЕНКО Олег Игоревич

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ГБДРОЛИТОСФЕРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации» (вычислительная техника и информатика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□03460831

Пятигорск - 2008

003460831

Работа выполнена на кафедре «Управления и информатики в технических системах» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пятигорский государственный технологический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

И.М. Першин

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор A.A. Колесников;

кандидат технических наук, доцент А.Б. Чернышев

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Южно-Российский

государственный технический университет» (НПИ), г. Новочеркасск

Защита состоится 26 февраля 2009 г. в 14 час. 20 мин, на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 в Технологическом институте федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ) по адресу: 347928, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул.. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «19» января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Гидролитосфера - это твердая оболочка земли вместе с заключенными с ней водами, одна из основных оболочек биосферы. Крайне неблагоприятная ситуация сложилась с интенсивной добычей минеральных ресурсов - основной причиной антропогенного воздействия на гидролитосферу, принимающего в настоящее время угрожающие масштабы. Основным итогом природопользования является истощение водных ресурсов, поэтому одной из первоочередных задач является рациональное использование минеральных ресурсов и управление ими.

Основным негативным воздействием условий разработки месторождений является истощение эксплуатационных запасов в виду чрезмерных водоотбо-ров, существенно превышающих объемы природного фильтрационного питания горизонтов. Дисбаланс выражается в том, что в процессе эксплуатации происходит систематическое снижение динамических уровней и осложняются как условия разработки месторождения, так и общая экологическая ситуация в районе. При падении уровня давления до некоторого критического, происходит разрушение пласта (обрушение кровли), что приводит к изменению гидродинамики района. Гидролитосферные процессы должны рассматриваться как объекты управления.

Важной проблемой теории управления является управление объектами с распределенными параметрами, которым и является водоносный горизонт. Указанный распределенный объект управления является многомерным, многосвязным.

Гидролитосферные процессы связаны с рассмотрением двух аспектов: совершенствованием методов построения математических моделей и разработкой математических методов синтеза законов управления.

На сегодняшний день методика синтеза законов управления в аналитическом виде методом АКАР («аналитическое конструирование агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям») разработана для сосредоточенных объектов. Адаптация указанной методики синтеза на объекты управления с распределенными параметрами является актуальной задачей.

В работе предложена методика синергетического синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, обеспечивающих минимальное понижение уровня водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан», что также имеет важное экономическое значение, так как экономика Кавказских минеральных вод базируется на использовании гидроминеральных ресурсов.

Существуют следующие методы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, частотный метод синтеза, параметрический синтез регулятора, при котором задается структура регулятора, а параметры подбираются в процессе экспериментальных исследований, метод конечномерной аппроксимации, метод модального управления. Для сосредоточенных многосвязных не-

линейных систем применяется метод АКАР синергетической теории управления, разработанный проф. A.A. Колесниковым.

Цели работы и основные задачи исследования. Целью диссертационной работы является аналитическое конструирование законов управления уровнем водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач:

• разработать математическую модель рассматриваемого гидролитосфер-ного процесса (доопределить параметры кху!, F , входящие в модель);

• перейти от модели объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных к дискретной форме записи, с получением базовых моделей в форме Коши;

• физически обосновать и математически представить системы внешних и «внутренних» инвариантных многообразий, согласно методу АКАР и поставленной цели управления;

• аналитически синтезировать законы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, обеспечивающих минимальное понижение уровня в наблюдательных скважинах для трех видов базовых моделей;

• осуществить анализ замкнутой системы: построить переходные процессы переменных состояния, фазовые траектории и пересечение внешних инвариантных многообразий в трехмерном фазовом пространстве, графики изменения управляющих воздействий; определить дебиты эксплуатационных скважин.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались: теория дифференциальных уравнений, теория систем автоматического управления, метод АКАР синергетической теории управления, метод конечномерной аппроксимации для объекта с распределенными параметрами.

Аналитический синтез законов управления и исследование динамических свойств синтезированных замкнутых систем управления проведено в пакете прикладных программ Maple 10.

Обоснованность научных положений и достоверность результатов исследований подтверждается согласованностью результатов теоретических исследований и компьютерного моделирования полученных замкнутых систем управления.

Научная новизна результатов диссертации заключается в том, что адаптированы принципы и метод АКАР к новому классу задач - задачам управления гидролитосферными процессами. Рассмотренный класс задач характеризуется следующими отличительными особенностями:

• высокой мерностью фазового пространства;

• большой инерционностью рассматриваемых гидролитосферных процессов;

• нелинейностью протекающих процессов.

Получены и выносятся на защиту следующие научные результаты:

1) математические модели гидролитосферных процессов рассматриваемого месторождения;

2) дискретная математическая модель, корректно отражающая исходную модель объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных;

3) математическое представление инвариантных многообразий, что позволило обоснованно сформулировать задачу управления;

4) предложенная методика адаптации синергетического метода синтеза, позволяющая в аналитическом виде определить законы управления объектом с распределенными параметрами.

Практическая ценность работы. В работе рассматривается решение важной хозяйственной задачи - управление параметрами водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, что является важным с точки зрения сохранения природного месторождения минеральных вод. Методика синтеза, рассмотренная в работе, может быть использована для решения аналогичных задач в других регионах.

Реализация результатов работы. Полученные в диссертации научные и прикладные результаты нашли применение в исследованиях, проводимых на кафедре Управления и информатики в технических системах Пятигорского государственного технологического университета (ПГТУ).

Публикации и апробация работы. Материалы диссертационного исследования опубликованы в девяти научных работах, в том числе в трех изданиях, включенных в перечень ведущих рецензируемых изданий, утвержденных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (105 наименований), четырех приложений. Материал диссертации изложен на 142 страницах, содержит 25 рисунков, 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обоснована актуальность проблемы, поставлены цели и задачи исследования, выделены объект и предмет исследования, приведены методы исследования, научная новизна, практическая ценность работы и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе приведен обзор существующих на сегодняшний день методов синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР); параметрический синтез регуляторов; конечномерная аппроксимация систем с распределенными параметрами и решение задачи синтеза регуляторов методами, используемыми в сосредоточенных системах; метод модального управления; частотный метод синтеза.

Приведены два подхода к решению задач управления гидролитосферны-ми процессами: методы решения, используемые в сосредоточенных системах и методы решения, используемые в системах управления с распределенными параметрами.

Даны основные положения синергетической теории управления и метода АКАР, разработанные проф. Колесниковым A.A.: сформулирована нелинейная проблема АКАР, введены понятия «принцип динамического расширения-

сжатия фазового объема», «принцип эквивалентности в системах управления» [4, 8].

Во второй главе даны общие сведения и административное положение Кисловодского месторождения углекислых минеральных вод «Нарзан», которое дифференцировано на пять участков. Приведена схематическая карта месторождения. Описан титоно-валанжинский водоносный комплекс, приведены основные гидрогеологические особенности титоно-валанжинского комплекса. Приведены виды опытно-фильтрационных работ.

Объектом управления выбран валанжинский водоносный горизонт Центрального участка Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан», на котором добыча минеральной воды осуществляется пятью эксплуатационными скважинами, а измерение уровня понижения давления с помощью пяти наблюдательных скважин (рис. 1).

Наб людате льные

Эксплуа тащ юнныс скважины

скважины

Водоносный горизонт

Рис. 1. Объект управления - валанжинский водоносный горизонт

Конструктивные параметры распределенного объекта управления следующие [7]: мощность валанжинского водоносного горизонта составляет ZL = 100 м, длина центрального участка составляет X, = 1100 м, ширина участка Yl =300 м. Глубина эксплуатационных скважин составляет 150 м, а наблюдательных скважин составляет 130 м [б, 9].

Граничные условия имеют вид [2, 6]:

dS(x = 0,y,z,i) _ q dS(x = XL,y,z,t)

dx dx

S(x,y = YL,z,t) = 0; (2)

dS(x,y = 0,z,t)

dy

= 0; (3)

dz dz

Граничное условие (2) первого рода, по ходу течения водоносного горизонта (постоянное, установившееся значение функции 5 на границе). Мощность поступающего потока в граничные точки извне такова, что понижение уровня во внутренних точках не влияет на понижение уровня на границе [7].

Граничные условия (1), (3), (4) второго рода означают, что понижение уровня 5 на границе равно понижению уровня в точке, находящейся рядом с границей, так как водоносный горизонт изолирован от соседних [7].

Регулирование уровня водоносного горизонта связано с тем, что именно этот параметр оценивается как один из основных при изучении гидролитосфер-ных процессов, т.к., при достижении уровнем некоторого критического значения происходит «обрушение кровли», пласт разрушается.

Постановка задачи следующая: имеется пять эксплуатационных и пять наблюдательных скважин, требуется синтезировать законы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах в аналитическом виде методом АКАР, обеспечивающих заданное (минимальное) понижение уровня водоносного горизонта в наблюдательных скважинах [3].

Третья глава. Водоносный горизонт - это объект с распределенными параметрами. Поведение такого объекта существенно зависит не только от времени, но и от пространственных координат.

Математическая модель, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров эксплуатационных и наблюдательных скважин определяется сложным дифференциальным уравнением в частных производных, при этом параметры, входящие в модель, зависят от пространственных координат (коэффициент фильтрации и скорость движения водоносного горизонта) [3, 8]

П

д2Б

- ¿У -

+ ,У,2), (5)

' ах

где 5 - понижение уровня водоносного горизонта в м;

5(0 - дебит (водозабор из эксплуатационных скважин), физический смысл которого, управляющее воздействие на объект управления; в эксплуатационных скважинах 6(х,у,г) = 1, в наблюдательных скважинах 5(х,_у,2) = 0 в м; т] = 0.000009 1/м - коэффициент упругоемкости коллектора, определяется свойствами самой воды, принят постоянным [9];

кх — коэффициент фильтрации по пространственным координатам, количественно характеризуют водопроницаемость горных пород в м/сут [9]; Рху1— скорость движения водоносного горизонта в м/сут.

Получены три вида математических моделей объекта управления в форме Коши:

1. линейная пространственно-инвариантном модель: коэффициент фильтрации по пространственным координатам к и скорость движения водоносного горизонта у! приняты постоянными величинами и независящими от пространственных координат: к «0.05 м/сут, Рхуг «1.4 м/сут;

2. линейная пространственно-неинвариантном модель: коэффициент фильтрации кхуг и скорость движения водоносного горизонта Рхуг зависят от

пространственных координат (пространственная неинвариантность): /<¡=1.3, ^ =1.4, ^ =1.5, ^ =1.6, =1.6, =1.5, ^ =1.4, =1.3 м/сут; к, =0.05, к2 = 0.06, к, =0.06, к, =0.07, к, =0.01, ¿6=0.08, А:, =0.08, £„=0.09,

Л, =0.09, кю =0.1, Аи=0.1, кп = 0.09, кп =0.09, *,4=0.08, А15=0.08, к16 =0.07, к17 = 0.07, кп =0.06, к„ = 0.06, кх =0.05 м/сут;

3. нелинейная пространственно-неинвариантном модель: коэффициент фильтрации кх зависит от пространственных координат. Скорость движения

водоносного горизонта ^ у 2 является нелинейной величиной - сезонные колебания скорости связаны с уровнем понижения давления в пласте следующей нелинейной зависимостью: г = Бт(5 ).

Взаимосвязь управляющего воздействия 5(?) = и. и дебита эксплуатационных скважин определяется соотношением [8]:

и, =

0.183-Й

к-т

\ ( /

X I*

У 1 V

2.25-а

^2-(1 + 1-78-М'/ц*)), " (6)

где: и, - понижение уровня в /-той эксплуатационной скважине в м; Ц - дебит в /-той эксплуатационной скважине в м3/сут; /? = 100 м - расстояние от центра скважин до точки, где определяется понижение уровня вм;/ - время от начала возмущения скважины в сут; Ь = 0.00005 сут"' - параметр перетекания относительно водоупорного пласта, залегающего в кровле и подошве; ц' = 0.00005 -упругая водоотдача водоносного горизонта; т = 100 м - эффективная мощность водоносного горизонта в м; к-т - водопроводимость пласта в м2/сут; а' -пъезопроводность водоносного горизонта в м2 /сут - это величина, определяемая как упругими свойствами воды, так и литологическими особенностями во-довмещающих отложений, связана с упругоемкостью и коэффициентом фильт-. к

рации соотношением: а = —.

П

Для получения дискретной модели исследуемая область фильтрации разбивается равномерной сеткой на элементарные сопряженные блоки с шагом по пространственным координатам Ах, Ау, Лг (метод конечномерной аппроксимации) и все физические характеристики объекта в пределах выделенного блока, относят к его центру тяжести (узловой точке). После замены дифференциалов дискретными значениями по пространственным координатам и введением прямоугольной сетки, получим дискретную модель объекта управления [5]:

П

1 ,

Ах2

х К*

25, + 5( у+| к

А/

(7)

■и*

Аг1

' и*

Ах

Параметры дискретизации выберем следующими:

1. Число точек дискретизации по осям х, у, г. / = 1,7 ; } = 1,4 ; к = 1,4 [5].

2. Наблюдательные скважины расположены в точках: 5. 5622. Эксплуатационные скважины расположены в точках: 5.

9 <ч

2,2,2' "з.г.г ' '-'4,2,2'

с

2.3,3' '-'3,3,3»

^4.3.3' ^5.3.3' ^6,

3. Определим шаги дискретизации Дх, Ау, Аг по осям прямоугольной сетки, исходя из соотношений:

. 1юо . г, зоо ... г, юо

Ах = —- =-= 183.3, Ау =—— =-= 100, Дг =—— =-= 33.3. (8)

1-1 6 у-1 3 ¿-13

Дискретная схема объекта управления представлена на рис. 2.

1 2 3 4 5 6 7 Хь '

У,. 4

--ж

-X

водоносный горизонт

Рис. 2. Схема дискретизации объекта управления

Дискретную модель (7) запишем для каждой внутренней точки объекта управления [3, 8]:

1

^2.2.2 - к к

т] Ах

~ $2,2.2 + ^3.2.2 1 , $2.2,2 + ^2.3.2

' У. К. ; Г

Л/

1 . ~ ^2,2,2 + ^2.2.3 с- (^>3.2,2

--Г, .. ,. -

+ — х к П

Аг

Ах

$3.2.2 - Х к, ] к

1 , ^2.2.2 ^-$3.2.2 + ^4,2.2 . 1

Дх2

П Ау'

($4.2.2 ~ $3,2.2) .

3,2,2 ' 3,3,2

А21

Ах

о _ 1 , $3,2.2 ~ 2$Л,2,2 + $5.2.2 , ~ ¿>4,2,2 + ^4.3.2 ,

"-Ь •> •> — —х л, . 1 ; I х л,,. - Н

4,2,2 — "лУ,*

$5,2.2 - — Х

Ал:2 т] ш Ау2

1 , ~ $4.2.2 +$а.2.3 г- ($5,2,2 ~ $4,2.2)

г) Дг Ах

1 . . I. $4,2,2 ~~ 2$5,2,2 + $6,2,2 +]_х/с ~ ^5.2,2 + ^5.3,2

Дх

4У

+ ~ $$,2,2 + $5,2,3 р ($6,2,2 ~ $5,2,2 ) .

'.У.*

А*1

Дх

5, „ = Iх ,. +1 х "

Ах

Л

А/

+ 2.х£ _$2,3,3 ^

Дг2

ш

Ах

с ~ 2-^,-и +^4.3.3 . 1 .. ,. ^3.2.3 ~ ^^3.3.3 ,

+ 1хк. ,, ^ -Еп -к2;

Т) 'уЛ Аг2 Ах

п _1 , ^З.З.З ~ ^4,3.3 + ^5.3.3 . ^4.2.3 ~ ^Д.З.З ,

4,3,3 - _ Х К1,1,к + ~Х КШ +

г} Ах т] Ау

, 1 ¡. ^4,3.2 ~ ^4.3.3 р (^5.3.3 ~ ^4,3,3) ,

% Аг2 Ах

С _ ^ ~ Ь М ~ ^^5.3.3 + ^6.3.3 ,1г. ^5.2.3 ~ 2^5,3,3 ,

•Чз.з - — х кил-—2 + — х -71 +

т] Ах 77 Ау

,1л. ^5.3.2 ~ ^5.3.3 Г (^б.з.з "^5,3.3)

Г) Аг Ах

С ^.3.3 ~ ^6.3.3 1 . ^6.2.3 - 2^6,3.3

~ х 71 + х 71 +

г] Ах т] Ау

1 , ^6.3.2 ~ ^б.З.З Г (^7,3.3 ~ ^6.3.3)

л 2 ¡-J.lt л 5 '

Т1 Аг Ах

После получения дискретной модели, вводим следующие переменных состояния и обозначения [2]: 52 2 2 =х,, 53 2 2 =х2, БА22=х}, 3522=х,, 56 2 2 =х5;

^2.У.2~Х6' "^3.3.2 = ' ^4,3,2 = ■"•8 ' ^5.3,2 ~ Х9 > ^6,3,2 — ' ^2,2,3 1 ' "^З.г.З ~ '

^.г.З —-*|3> ^5,2,3 — ^14' ^6,2,3 — ^2,3,3 ~Х16' ^3,3,3 — ' ^4,3,3 — *18> ^5,3,3 ~ Х19 '

5,, з = х20; с/, =—Ц-, с!г -—(I, =—, получим систему обыкновенных г) Ах т|Ау т]Дг

дифференциальных уравнений в форме Коши [9]:

(х -х)

' = + киАхг - К.Аг^ + к>Лх6 ~ к,Лх> + киАхи - 2 ^ ' ;

=К/Ах1 ~ 2ки.Ах 2 + киАх з - + к>Ах1 ~ киАхг + К,Ахп -

(х3-х2).

-Ъ'—ьГ'

Х3 = К/А^2 - + - ^2*3 + ^.М^А - ¿3*3 + */.,У¿3*,3 -

_ (*4-*3).

АХ '

Х* ~ хз ~ + " + к1] кс12х, - А, у 4с/3х4 + к..кс12хн -

Ах '

^ = -киАл + А.^о'.х, + - 1ки^2х6 -кш^х6 + к, м^х16 - ;

_Р (*8-*7).

ш Ах '

=к,.1Ал - 2к„Ал + к, Ал + - 2к,.,Ах» ~К,АХ. +к,Аль ~

_ /г (*9 ~ *8 ) ■ Лх '

К = К,-Ал - 2к,,Ал+К, Ал+К АIх* - 2к>,Ал - К, Ал+к. Ал* ~

_ р .

Ах '

*ю = К, Ал - К, Ал+к,, Агхь - ЩАло - к,.,Агхю+к, А л«; (9) хи = ~к/А>х\I +КАл-киАгхи +к„А2х1ь+к,,Ал -К,Ал -

_ С (Х12 .

'■'■к Ах '

Х12 ~ к,.,Л ¿л - 2К,Ал+КАлз - +к,Агх,1 + к. Ал - киАлг -

— [Г " ^12) .

Ах '

хп=к;Ал -^„Ал+к.Ал - КАл,+КА2хи+к,Ал - к/Ал, -

_ р 0*14 ~ ■

ш Ах '

хы=к,Алг-2к1Ал+к1Ал-К,А2хп+к,,А2х^ +к^Ал~к,Азхн -

_ /Г (х15 ~ х|4)

'■'■к Ах '

Х\5 =к1,/АЛ ~к,.,\1^2Хи +киАгХ20 + кК1Агхь ~киАуХн>

= -к,Ал+к,Ал-, + к,.,Ал< -2КА**«.+к,Ал - К,, Ал, -

Ах

х„ :,6 -2к.)Мс1{х„ + к11к<11х18 +к11Мс1гхп -2к1Пйгх„ -к11Яс1гх„ -

_Р 0*48 ~*п) .

Ах 2'

= к/Ал - 2КАл^+К Ал+к,,А2хп - 2к,А2х »+к,,Ал - К,Ал» -

(*19 _

Ах

■Из;

*»=К я - 2к,Ал+К.¡Ал,+КА2хн - 2к,,Ах^+к<Ал - К Ал* -

с- (Х20 ~ Х\ч) ,, .

--""

Х20 = к/.М^Ля ~ кч,к ^\Хт + киА2ХЧ ~ 2к,.1.к ^2Хт + к1.]А->Х 10 _ киАъХ20 ~ М5 "

Четвертая глава посвящена аналитическому синтезу законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах Центрального участка Кисловодского месторождения минеральных вод для трех видов базовых моделей объекта управления на основе метода АКАР.

Основным методом сннергетической теории управления, позволяющего определить структуру закона управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость замкнутой системы, является метод АКАР, применяется для синтеза законов управления объектами высокой размерности. Метод АКАР основан на введении агрегированной макропеременной (инвариантного многообразия).

Необходимо синтезировать законы управления и,,..,и5 уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, обеспечивающих заданное (минимальное) понижение уровня водоносного горизонта х°,...,х50 в точках расположения наблюдательных скважин х,,...,х5, методом АКАР.

Согласно поставленной цели и методу АКАР, структура инвариантных многообразий определяется необходимостью выполнения следующих инвариантов [3,4]:

х, -х® =0, х2 -х° =0, х, -х3 =0, х4-х° =0, х5 -х5° =0, (10)

где х,°,...,х50 = 1 м - заданные (постоянные) значения переменных состояния.

На первом этапе декомпозиции, согласно методу АКАР, исходя из поставленной цели (10) и исходных уравнений объекта (9), вводим параллельную совокупность внешних инвариантных многообразий следующего вида [4]

V, =*16 +Ф|> =*п +Ф2,

Уз=*,8+<Рз, =*19+Ф4' У5=*20+Ф5. (П)

ср,,...,Ф5 — неизвестные «внутренние» управления, которые необходимо доопределить в процессе синтеза.

Инвариантные многообразия (11) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР [8]:

7>3+у3=0, Г4у4+у4 = 0, Г5у5+у5 = 0. (12)

При попадании изображающей точки на пересечение совокупности внешних инвариантных многообразий (11), согласно принципу «расширения-сжатия фазового пространства», происходит декомпозиция исходной системы (9) и динамика системы будет описываться декомпозированной системой дифференциальных уравнений (13)

— х )

К = ^(-¿Л, + ;

(х — X )

*2, = Км (¿Лг ~ + - + ¿3*7, - ¿Лу + ^ " I

(х — X )

(х — X )

*4„ = к,,м - + ¿Л, - с12х^ + с/2х9г - ¿ЪХЧ + йгх^) - Е 4у ;

Х5у = Кц. (¿Л¥ - 4*5, - ¿2*5, + 4*10, - ¿3*5» + = К* (- 4*6, + ¿л, + ¿2х„ - 2</,*6, - ¿3*6,+¿,Ф,)- Х1\ *6'|,;

-*7У .

д Ах '

*8у = кЛ^п + ¿лУ+- мл, - ¿л,+4<р,)- х';уДх'Уй¥; (13)

=киМ*ч _2</1*9Т + 4*.От -2</л¥ -с/3д:9у +</3ф4)-^ V = - + ¿лУ - 24*,0у - ^.оу + 4Ф5);

*п, = 4*4, + 4*.2, - ¿2*11, + ¿2<Р. + - 4*„у)" ^

Ах

X — X

*,2У = - + 4*13, - 4*12, + 4Ч>2 + 4*2, - 4*12,)- д^

*13, = (4*12, - 24*,3, + 4*14, - 4*13, + 4фз + 4*3, - 4*13, *,4, = ЬЫМХ\3У "24*М, + 4*15, "4*14, + 4Ф4 + 4*4,

*|4, *13, .

.3,/ 'и, ^

Ах '

*,5, = к>,/,МХ"Ч ~ 4*15, - 4*15, + 4ф5 + 4*5, - 4*15, )" На втором этапе декомпозиции параллельно вводится первая совокупность «внутренних» инвариантных многообразий \|/6 = 0, = 0, = 0, у, = 0, \|/10 = 0, согласно числу каналов «внутренних» управлений

Уб = *6+*П+Фб> = *7+*|2+Ф7> \|/8=х8+*13+ф8,х|/9=х,+дс14+ф9, \|/10=л:,0+х15+ф|0, (14)

Ф6,...,Ф10 - неизвестные «внутренние» управления, которые необходимо доопределить в процессе синтеза.

Инвариантные многообразия (14) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР (15) [1]

+ 0, Г7ф7(/) + у,=0, ШО + У* =0, + =0, ВД1О(0 + У„=0. (15)

На пересечении первой совокупности «внутренних» инвариантных многообразий (14) декомпозированная система имеет вид [1]:

*„ = К,Л- 4*,, + 4*2, - 4*„ -с1}хы - с/2ф6)- Г,, Х21 = к,,.МХ1, ~24*2, +4*3, "4*2, "Чфт

*2, *|, .

1 Ах

*3, *2,

* Ах

*з, =к,,.Мх2,-24*з, + 4*4, - 4*з, "4ф8 (16)

*«, = к,,МХ}, ~24*4, + 4*5, "4*4, ~4ф, ~4*4,)-^

*5, *4,

Ах

*5, = к>Аа1ХЧ ~ 4*5, - 4*5, - 4фк, "4*5,)-

На третьем этапе декомпозиции, для поиска «внутренних» управлений Ф6,...,Ф,0, параллельно вводится группа финишных инвариантных многообразий (17), которые задаются исходя из постановки цели управления (10) [2]:

vj/,3 = х3-х° =0, у14 =х4-х° =0, V|/15 = X;-х°5 =0. (17)

Инвариантные многообразия (17) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР (18)

w„+v„=0, ЗД4+ум=0, 7;5у15 + у15=0. (18)

Для определения законов управления и1,...,и5 необходимо производить указанную процедуру синтеза в обратном порядке [1].

На первом этапе синтеза подставим многообразия (17) и правые части системы дифференциальных уравнений (16) в систему уравнений АКАР (18), определим совокупность «внутренних» управлений ф6,...,ф10.

На втором этапе синтеза найденные «внутренние» управления ф6,...,ф]0, правые части системы (13) и многообразия (14) подставим в систему уравнений АКАР (15), которую решаем относительно «внутренних» управлений ф,,...,ф5.

На третьем этапе синтеза, найденные «внутренние» управления Ф,,...,Ф5, правые части исходной системы (9) и многообразия (11) подставляем в систему уравнений АКАР (12), откуда находим неизвестные внешние управления m,,...,i/5, которые необходимо подставить в исходную модель объекта управления. Получим математическую модель замкнутой системы управления.

Моделирование математических моделей замкнутых систем управления проводилось в пакете прикладных программ Maple 10.

На рис. 3-6 представлены результаты моделирования замкнутой линейной пространственно-инвариантной модели системы управления. На рис. 3 представлены переходные процессы - стабилизация состояний хп...,х5 в наблюдательных скважинах к установившемуся значению (10) [4]. На рис. 4 изображено изменение (стабилизация) во времени управляющих воздействий и,,...,и5 в точках расположения эксплуатационных скважин. На рис. 5 показано пересечение внешних инвариантных многообразий у, = 0, \|/2 = 0 в трехмерном фазовом пространстве xt-x2-x3 и движение фазовых траекторий, которые стартуют из произвольных начальных условий, под действием управлений попадают на пересечение многообразий [2]. На рис. 6 изображены переходные процессы деби-тов (водозаборов) каждой эксплуатационной скважины [4].

X -05-

0.0 2.5 5 0 7.5 10 0 ...................

Рис. 3. Переходной процесс переменных состояния

Рис. 4. Управляющие воздействия

01.02.03.04.05

О

О | I I I I | I < ' ' I ' ' ' ' I > ' < > I

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Рис. 5. Пересечение ИМ, движение ФТ Рис. 6. Дебит эксплуатационных скважин

Результаты моделирования замкнутой линейной пространственно-неинвариантной модели системы управления приведены на рис. 7-10

X -0 5

Рис. 7. Переходной процесс переменных состояния

Рис. 8. Управляющие воздействия

01.02.03,04, С6

Рис. 9. Пересечение ИМ, движение ФТ

Рис. 10. Дебит эксплуатационных скважин

Результаты моделирования нелинейной пространственно-неинвариантной модели системы управления приведены на рис. 11-14

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

X -0.5-

-0.75

Рис. 11. Переходной процесс переменных состояния

Рис. 12. Управляющие воздействия

01,02,03,04,05

25-

и I | м ' I ' м ч н и | I I I I | I I М| 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0

Рис. 13. Пересечение ИМ, движение ФТ

Рис. 14. Дебит эксплуатационных скважин

Таким образом, исходя из результатов моделирования, можно сделать вывод: наиболее близкой к рассматриваемому гидролитосферному процессу является нелинейная пространственно-неинвариантная модель. Для того чтобы понизить уровень водоносного горизонта в наблюдательных скважинах на I м (рис. 11), необходимо добывать из эксплуатационных скважин 2-6 м3/сут -рис. 14 и понизить уровень водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах на 0.5 - 2 м (рис. 12).

Получена структурная схема системы управления уровнем водоносного горизонта в точках расположения эксплуатационных скважин (рис. 15).

Рис. 15. Структурная схема системы управления

Входным воздействием на систему управления является желаемое понижение уровня водоносного горизонта в точках расположения наблюдательных скважин (х°,...,х°).

Входным воздействием в регулятор является рассогласование между входным воздействием и текущим понижением уровня, измеренного в

точках расположения наблюдательных скважин $,„„с (хр...,х5):

= - 5,тис. (19)

На выходе регулятора получим управляющие воздействия ц - понижение уровня водоносного горизонта в точках расположения эксплуатационных скважин - л'16,.,.,дг20. Согласно (6) производится пересчет текущего уровня понижения водоносного горизонта в точках расположения эксплуатационных скважин и, в дебит ()., который и является входным воздействием на объект управления. Изменяя расход, управляем понижением уровня в эксплуатационных скважинах, исходя из поставленной цели (10).

Функцией выхода системы управления служит текущее понижение уровня водоносного горизонта в наблюдательных скважинах $тис. Информацию о текущем состоянии Зтшс получаем с помощью датчика понижения уровня.

В заключении к диссертации приводится перечень основных научных и прикладных результатов, полученных в процессе разработки математических

моделей и синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах методом АКАР.

В приложениях приведен листинг программ, написанных в пакете прикладных программ Maple 10 и акт внедрения результатов диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрена методика адаптации метода АКАР к новому классу задач - задачам управления гидролитосферными процессами, позволяющая получить алгоритмы (законы) управления в аналитическом виде распределенным объектом управления.

Результаты диссертации состоят в следующем:

- получена дискретная модель объекта управления;

- разработана математическая модель, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров эксплуатационных и наблюдательных скважин. Указанная модель в форме Коши представлена в трех видах:

1. коэффициенты фильтрации и скорость водоносного горизонта являются постоянными величинами - линейная пространственно-инвариантная модель;

2. коэффициенты фильтрации и скорость движения водоносного горизонта зависят от пространственных координат - линейная пространственно-неинвариантная модель;

3. коэффициенты фильтрации являются функциями пространственных координат, а скорость движения водоносного горизонта является нелинейной величиной - нелинейная пространственно-неинвариантная модель;

- математически представлены и физически обоснованы группы внешних и «внутренних» инвариантных многообразий в соответствии с технологической задачей управления и метода АКАР;

- аналитически синтезированы законы управления для рассматриваемых трех видов математических моделей объекта управления;

- осуществлен анализ работы замкнутой системы управления с помощью моделирования в пакете программ Maple;

- распространен синергетический подход в теории управления на распределенные объекты управления.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Атрощенко, О.И. Задача стабилизации гидролитосферных процессов методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов / О.И. Атрощенко // Журнал «Мехатроника, автоматизация, управление». - 2008. - № 12.-С. 37-41.

2. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез управлений для нелинейного объекта управления / О.И. Атрощенко // Вестник Донского государственного технического университета. - 2008. Т.8. № 3(38). - С.245-251.

3. Атрощенко, О.И. Синтез системы управления дебитом водозаборных скважин минеральной воды / О.И. Атрощенко // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. - 2008. Выпуск 3. - С.90-94.

17

Публикации:

4. Атрощенко, О.И. Основные положения синергетического подхода. Постановка нелинейной проблемы аналитического конструирования агрегированных регуляторов / О.И. Атрощенко // Сборник научных трудов СевероКавказского государственного технического университета - 2008. - № 4. -С.16-19.

5. Атрощенко, О.И. Приведение математической модели распределенного объекта к форме Коши с использованием метода дискретизации по пространственным координатам / О.И. Атрощенко, И.Н. Атрощенко // Межвузовский научный сборник «Управление и информационные технологии». - 2007. - С.58-63.

6. Атрощенко, О.И. Проблемы синергетического метода синтеза для систем с распределенными параметрами / О.И. Атрощенко // Межвузовский научный сборник «Управление и информационные технологии». - 2006. - С.3-8.

7. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез закцна управления для объекта с распределенными параметрами / О.И. Атрощенко // Межвузовский научный сборник «Управление и информационные технологии». - 2007. - С.3-18.

8. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез системы управления дебитом водозаборных скважин методом АКАР / О.И. Атрощенко // Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета. - 2008. - № 2(15). - С.53-57.

9. Атрощенко, О.И. Синтез управления методом АКАР для объекта с распределенными параметрами (система управления водозаборными скважинами) / О.И. Атрощенко /7 Сборник научных трудов Северо-Кавказского государственного технического университета. - 2008. - № 4. - С. 10-16.

В совместной работе [5] автору принадлежит построение дискретной мо-

Подписано в печать 24.12.2008 г. Формат 60 х 84/14. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 70 экз. Зак. № 290.

«Оперативная полиграфия». Индивидуальный предприниматель Марнат И.М., ИНН 262803259262, 357700, Ставропольский край, г. Кисловодск, ул. Тельмана, 8

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МЕТОДОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ.

1.1. Состояние проблемы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами.

1.2. Подходы к решению задач управления гидролитосферными процессами.

1.3. Основные положения синергетической теории управления.

1.3.1. Постановка нелинейной проблемы аналитического конструирования агрегированных регуляторов.

1.3.2. Принцип динамического расширения — сжатия фазового объема.

1.3.3. Принцип эквивалентности в системах управления.

Актуальность проблемы. Гидролитосфера — это твердая оболочка земли вместе с заключенными с ней водами, одна из основных оболочек биосферы, от сохранения которой во многом зависят все живые существа. Крайне неблагоприятная ситуация сложилась с интенсивной добычей минеральных ресурсов — основной причиной антропогенного воздействия на гидролитосферу, принимающего в настоящее время угрожающие масштабы. Дефицит водных ресурсов питьевого качества приобретает сегодня масштабы глобальной экологической катастрофы. Основным итогом природопользования является истощение водных ресурсов, поэтому одной из первоочередных задач является рациональное и экологически безопасное использование природных ресурсов и управление ими [39].

Интенсивное использование минеральных ресурсов - воздействие на гидролитосферу довольно часто приводит к развитию негативных неуправляемых процессов. Учитывая сложившуюся экологическую ситуацию в зоне гидролитосферы, актуальность этого направления сложно переоценить, и дальнейшее развитие его является важной хозяйственной задачей. Гидролитосферные процессы должны рассматриваться как объекты управления [39].

Важной проблемой теории управления является управление объектами и системами с распределенными параметрами, которым и является водоносный горизонт. Указанный распределенный объект управления является многомерным, многосвязным.

Гидролитосферные процессы связаны с рассмотрением двух аспектов: совершенствованием методов построения математических моделей и разработкой математических методов синтеза законов управления.

На сегодняшний день методика синтеза законов управления в аналитическом виде методом АКАР («аналитическое конструирование агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям») для объектов с распределенными параметрами не разработана. Адаптация методики синтеза законов управления методом АКАР сосредоточенных систем на объекты управления с распределенными параметрами является актуальной задачей.

В работе предложена методика синергетического синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах Центрального участка Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан», что также имеет важное экономическое значение, так как экономика Кавказских минеральных вод базируется на использовании гидроминеральных ресурсов.

Существуют следующие методы синтеза регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, частотный метод синтеза, параметрический синтез регулятора, при котором задается структура регулятора, а параметры подбираются в процессе экспериментальных исследований, метод модального управления и для сосредоточенных многосвязных нелинейных систем применяется метод АКАР синергетической теории управления, разработанный проф. A.A. Колесниковым.

Цели работы и основные задачи исследования. Целью диссертационной работы является аналитическое конструирование законов управления уровнем водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач:

• разработать математическую модель рассматриваемого водоносного горизонта (доопределить параметры, входящие в модель kxyz, Fx} z);

• перейти от модели объекта управления в форме дифференциального уравнения в частных производных к дискретной форме записи, с получением базовых моделей в форме Коши;

• физически обосновать и сформировать системы внешних и «внутренних» инвариантных многообразий, согласно методу АКАР и поставленной задаче управления;

• аналитически синтезировать законы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах для трех видов базовых моделей, обеспечивающих минимальное понижение уровня в наблюдательных скважинах;

• осуществить анализ замкнутой системы: построить переходные процессы переменных состояния; построить фазовые траектории и пересечение внешних инвариантных многообразий в фазовом пространстве; построить графики изменения управляющих воздействий; определить дебиты эксплуатационных скважин.

Объектом исследования выбран валанжинский водоносный горизонт на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».

Предметом исследования выбраны эксплуатационные и наблюдательные скважины валанжинского водоносного горизонта на Центральном участке Кисловодского месторождения минеральных вод «Нарзан».

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались: теория дифференциальных уравнений, теория систем автоматического управления, метод АКАР синергетической теории управления, теория систем с распределенными параметрами, методы синтеза систем с распределенными параметрами, метод конечномерной аппроксимации.

Аналитический синтез законов управления и исследование динамических свойств синтезированных замкнутых систем управления осуществлялись в пакете прикладных программ Maple 10.

Обоснованность научных положений и достоверность результатов исследований подтверждается согласованностью результатов теоретических исследований и компьютерного моделирования полученных замкнутых систем управления.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (105 наименований), четырех при

Основные результаты работы заключаются в следующем:

• приведены конструктивные параметры и математически представлены граничные условия объекта управления;

• сформулирована задача синтеза законов управления методом АКАР на физическом уровне;

• приведена математическая модель, описывающая взаимосвязь гидродинамических параметров водоносного горизонта в эксплуатационных и наблюдательных скважинах в форме дифференциального уравнения в частных производных;

• приведено соотношение, определяющее взаимосвязь понижения уровня водоносного горизонта и дебита эксплуатационных скважин;

• получена система конечно-разностных уравнений, в которой дифференциалы представлены в дискретной форме и произведен переход к системе дифференциальных уравнений в форме Коши с помощью введения переменных состояния;

• получены три вида базовых моделей системы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах: линейная пространственно-инвариантная, линейная пространственно-неинвариантная, нелинейная пространственно-неинвариантная;

• синтезированные системы обладают свойством асимптотической устойчивости относительно вводимых инвариантных многообразий;

• для указанных моделей параллельно введены группа внешних и две группы «внутренних» инвариантных многообразий, отражающих желаемые состояния - стабилизация уровня водоносного горизонта в наблюдательных скважинах к постоянному значению;

• разработана методика синергетического синтеза законов управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах, обеспечивающая заданный уровень понижения в наблюдательных скважинах для объекта с распределенными параметрами;

• аналитически синтезированы законы управления уровнем водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах Центрального участка Кисловодско-го месторождения методом АКАР для рассматриваемых трех видов математических моделей;

• в пакете прикладных программ Maple 10 осуществлен анализ моделей замкнутых систем управления: получены графики переходных процессов по каждой наблюдательной скважине, показаны графики изменения управляющих воздействий в эксплуатационных скважинах, стабилизирующихся к установившемуся значению. Изображены фазовые траектории, которые стартуют из произвольных начальных условий и попадают на пересечение внешних инвариантных многообразий. Получены численные значения дебитов для эксплуатационных скважин.

• распространен синергетический подход в теории управления на распределенные объекты управления.

Основные публикации автора отражены в [1-9].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Атрощенко, О.И. Задача стабилизации гидролитосферных процессов методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов / О.И. Атрощенко // Журнал «Мехатроника, автоматизация, управление». 2008. - № 12.-С. 37-41.

2. Атрощенко, О.И. Проблемы синергетического метода синтеза для систем с распределенными параметрами / О.И. Атрощенко // Межвузовский научный сборник «Управление и информационные технологии». 2006. - С.3-8.

3. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез закона управления для объекта с распределенными параметрами / О.И. Атрощенко // Межвузовский научный сборник «Управление и информационные технологии». 2007. — С.3-18.

4. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез системы управления дебитом водозаборных скважин методом АКАР / О.И. Атрощенко // Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета. 2008. - № 2(15). — С.53-57.

5. Атрощенко, О.И. Синергетический синтез управлений для нелинейного объекта управления / О.И. Атрощенко // Вестник Донского государственного технического университета. 2008. Т.8. № 3(38). - С.245-251.

6. Атрощенко, О.И. Синтез системы управления дебитом водозаборных скважин минеральной воды / О.И. Атрощенко // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. — 2008. Выпуск 3. — С.90-94.

7. Бегимов, И. Моделирование сложных распределенных систем на основе структурной теории. Ч. I. / И. Бегимов, А.Г. Бутковский, В.Я. Рожанский //Автоматика и телемеханика. -1981.-№ 11.-С. 168-181.

8. Бегимов, И. Моделирование сложных распределенных систем на основе структурной теории. Ч. II / И. Бегимов, А.Г. Бутковский, В.Я. Рожанский // Автоматика и телемеханика. 1981. - № 12. - С.138-153.

9. Бегимов, И. Структурное представление физически неоднородных систем / И. Бегимов, А.Г. Бутковский, В.Я. Рожанский // Автоматика и телемеханика. 1981. -№ 9. - С.25-35.

10. Бутковский, А.Г. Структурная теория распределенных систем / А.Г. Бутковский. — М.: Наука, 1977. 320 с.

11. Бутковский, А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) / А.Г. Бутковский // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 11.— С.16-85.

12. Бутковский, А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1979. - 224 с.

13. Бутковский, А.Г. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский, JI.M. Пустыльников. М.: Наука, 1980.-383 с.

14. Веселов, Г.Е. Иерархическое управление многосвязными динамическими системами: синергетический подход / Г.Е. Веселов. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

15. Воронов, A.A. Основы теории автоматического управления. Особыелинейные и нелинейные системы / A.A. Воронов. — М.: Энергия, 1981. — 303 с.

16. Гайдук, А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы / А.Р. Гайдук. — 2-е издание переработанное — М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература», 2004.

17. Гайдук, А.Р. Основы теории систем автоматического управления / А.Р. Гайдук. М.: УмиИЦ «Учебная литература», 2005.

18. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании: Учебный курс / В. Говорухин, Б. Цибулин. СПб.: Питер, 2001.

19. Гультяев, A.K. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows. / A.K. Гультяев СПб.: Корона принт, 2001.

20. Дегтярев, Г.Л. К задаче оптимальной фильтрации линейных систем с распределенными параметрами / Г.Л. Дектярев // Оптимизация процессов в авиационной технике: Межвуз. сб. — Казань, — 1976. — С.6-9.

21. Дегтярев, Г.Л. Оценивание состояния поля методом наименьших квадратов / Г.Л. Дектярев // Изв. Вузов. Авиационная техника. 1978. - Вып. 44. - С.55-60.

22. Дубенко, Т.И. Фильтр Калмана для случайных полей / Т.И. Дубенко // Автоматика и телемеханика. 1972. - № 12. - С.37-40

23. Дьяконов, В. MAPLE 7: Учебный курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер,2002.

24. Евсеенко, Т.П. Приближенное решение задачи оптимального управления процессами теплопроводности / Т.П. Евсеенко // Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами: Науч. сб. / Илим. — 1975. С.34-39.

25. Евсеенко, Т.П. Приближенное решение задач оптимального.управления разностным методом / Т.П. Евсеенко // Оптимизация процессов в системах с распределенными параметрами: Науч. сб. / Илим. 1973. - С.85-90.

26. Евсеенко, Т.П. Приближенное решение задач оптимального управления методом прямых / Т.П. Евсеенко // Приближенное решение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами: Науч. сб. /1. Илим. — 1976. — С.33-38.

27. Егоров, А.И. Метод Беллмана в задачах управления системами с распределенными параметрами / А.И. Егоров, Г.С. Бачой // Прикладная математика и программирование: Науч. сб. / Штиинца. 1974. — Вып. 12. - С.33-39.

28. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. М.: Наука. — 1978. - 463 с.

29. Егоров, А.И. О решении одной задачи синтеза оптимального управления процессом теплопроводности / А.И. Егоров, Г.С. Бачой // Прикладная математика и программирование: Науч. сб. / Штиинца. 1975. - Вып. I. - С.20-25.

30. Калман, P.E. Об общей теории систем управления / P.E. Калман // Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем: Тр. I. Международ. Конгресса ИФАК / Изд-во АН СССР. 1961. - С.521-547.

31. Колесников, A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления / A.A. Колесников. М.: Энергоатомиздат, 1987.

32. Колесников, A.A. Прикладная синергетика: основы системного синтеза / A.A. Колесников. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007.

33. Колесников, A.A. Синергетическая теория управления / A.A. Колесников. -ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994.

34. Колесников, A.A. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами / A.A. Колесников, Г.Е. Веселов, А.Н. Попов, Ал.А. Колесников, A.A. Кузьменко. -М.: Фирма «Испо-Сервис», 2000.

35. Кубышкин, В.А. Задачи управления подвижными источниками тепла / В.А. Кубышкин, В.И. Финягина // Автоматика и телемеханика. 1989. - № 11. - С.36-47.

36. Малков, A.B. Синтез распределенных регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами / A.B. Малков, И.М. Першин. — М.: Научный мир, 2007.

37. Микеладзе, Ш.Е. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными / Ш.Е. Микеладзе. М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 108 с.

38. Мироненко, В.А. Основы гидрогеомеханики / В.А. Мироненко, В.М. Шестаков. -М.: Недра, 1974.

39. Михайлов, JI.E. Гидрогеология / Л.Е. Михайлов. JL: Гидрометеоиз-дат, 1985.

40. Михайлов, B.C. Теория управления / B.C. Михайлов. К.: Выща школа. Головное изд-во, 1988.

41. Олейников, В.А. Оптимальное управление техническими процессами в нефтяной и газовой промышленности / В.А. Олейников. Л.: Недра, 1982. -216 с.

42. Павлов, Е.Г. Построение управления оболочкой в задаче синтеза оптимального управления гидромагнитным процессом / Е.Г. Павлов // Тр. КАИ. -1971. Вып. 135. - С.232-240

43. Павлов, Е.Г. Синтез оптимального управления некоторым гидромагнитным процессом / Е.Г. Павлов // Изв. Вузов. Авиационная техника. — 1971. -№ 3. С.44-52.

44. Пагута, М.Т. Система управления редактором / М.Т. Палагута // Тр. семинара «Распределенные системы управления в сплошных средах» // Изд. Ин-та кибернетики АН УССР. 1974. - С.50-56.

45. Першин, И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами / И.М. Першин. Пятигорск: Рекламно-информационное агентство на КМВ, 2007.

46. Першин, И.М. Синтез систем с распределенными параметрами / И.М. Першин. Пятигорск: Изд-во «РИО КМВ», 2002.

47. Першин, И.М. Синтез распределенных систем управления / И.М. Першин // Теоретические и прикладные проблемы создания систем управлениятехнологическими процессами: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. совещания. — 1990. С.139-140.

48. Першин, И.М. Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами / И.М. Першин // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. 1984. - С. 150-154.

49. Першин, И.М. Разработка математической модели энергоблока / И.М. Першин, C.B. Зайцев, А.Ю. Саркисов // Управление в социальных, экономических и технических системах. Труды межреспубликанской конференции КУАООП РФ. 2000.

50. Понтрягин, JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI.C. Понтрягин. — М.: изд-во «Наука», 1974.

51. Понтрягин, JI.C. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций / JI.C. Понтрягин // Изв. АН. СССР. Математика. 1942. - Т.6, № 3. -С.115-134.

52. Пустыльников, JI.M. Нелинейная проблема моментов в задачах подвижного управления: В кн.: Управление распределенными системами с подвижным воздействием / JI.M. Пустыльников - М.: Наука. - 1979. - С. 17-28.

53. Пустыльников, JI.M. Основные интегральные уравнения в задачах подвижного управления / JI.M. Пустыльников // ДАН СССР. 1979. - Т.247, № 2. - С.21-24.

54. Рапопорт, Э.Я. Альтернативный метод в прикладных задачах оптимизации / Э.Я. Рапопорт. М.: «Наука», 2000. - 336 с.

55. Рапопорт, Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами / Э.Я. Рапопорт. — М.: Высш. шк., 2005.

56. Рапопорт, Э.Я. Оптимизация пространственного управления подвижными объектами индукционного нагрева / Э.Я. Рапопорт // Автоматика и механика. 1983. -№ 1. - С.11-14.

57. Самойленко, A.M. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, Перестюк H.A. Учеб. пособие. 2-е изд., пе-рераб. - М.: Высшая школа, 1989.

58. Самойленко, Ю.И. Реализация распределенной обратной связи при электромагнитном управлении / Ю.И. Самойленко // Методы оптимизации автоматических систем. Науч. сб. - 1972. — С.82-89.

59. Сдвижков, O.A. Математика на компьютере: Maple 8 / O.A. Сдвижков. -М.: СОЛОН-пресс, 2003.

60. Синергетика: процессы самоорганизации и управления. Учебное пособие / под общей редакцией A.A. Колесникова. В 2-х частях. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2004. Ч. I.

61. Синергетика: процессы самоорганизации и управления. Учебное пособие / под общей редакцией A.A. Колесникова. В 2-х частях. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2004. Ч. II.

62. Синергетика и проблемы теории управления / под общей ред. A.A. Колесникова. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

63. Сиразетдинов, Т.К. К аналитическому конструированию регуляторов в процессах с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов // Автоматика и телемеханика. 1965. - № 9. - С.81-89.

64. Сиразетдинов, Т.К. Метод динамического программирования в системах с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов // Тр. V Международного симпозиума по автоматическому управлению в пространстве. 1975. -Т.2. - С.436-438.

65. Сиразетдинов, Т.К. Об аналитическом конструировании регуляторов в процессах с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов // Труды ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1968. - Т. XXVII. Вып. 5. С. 15-19.

66. Сиразетдинов, Т.К. Оптимальное регулирование температуры твердого тела / Т.К. Сиразетдинов // Оптимальные системы автоматического управления: Науч. сб. 1967. - С.39-51.

67. Сиразетдинов, Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов. М.: Наука, 1977. - 479 с.

68. Сиразетдинов, Т.К. Синтез систем с распределенными параметрами при неполном измерении / Т.К. Сиразетдинов // Изв. Вузов. Авиационная техника. 1971. - № 3. - С.37-43.

69. Сиразетдинов, Т.К. Оптимальное управление шнуром проводящей жидкости с полным током / Т.К. Сиразетдинов, Е.Г. Павлов, И.Г. Ультриванов // Изв. Вузов. Авиационная техника. 1974. - № 2. - С.32-38.

70. Современная прикладная теория управления: Оптимизационный подход в теории управления / под ред. A.A. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. I.

71. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / под ред. A.A. Колесникова. — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II.

72. Современная прикладная теория управления: Новые классы регуляторов технических систем / под ред. A.A. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. III.

73. Справочник по теории автоматического управления / под ред. A.A. Красовского. — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1987.

74. Тосики, К. Преобразование систем с распределенными параметрами / К. Тосики // Оптимальные системы, статистические методы: Науч. сб. — 1971. -С.32-41.

75. Ультриванов, И.П. Распределенное управление жидким проводником в магнитном поле / И.П. Ультриванов // Изв. вузов. Авиационная техника. -1973. — № 2. — С.135-140.

76. Чубаров, Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия / Е.П. Чубаров. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 289 с.

77. Чубаров, Е.П., Управление формой источника при сушке движущегося слоя В кн.: Управление распределенными системами с подвижным воздействием /Е.П. Чубаров, С.Н. Бузурнюк. - Куйбышев: КАИ, 1983. - С.165-166.

78. Шенфельд, Г.Б. О задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов для уравнений параболического типа / Г.Б. Шенфельд // Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами: Науч. сб. 1975. - С.3-9.

79. Янке, П. Специальные функции / П. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М.: Наука, 1968. - 344 с.

80. Eljai, A. Sensors and observers in distributed parameter systems / A. Eljai, M. Amouroux // Int. J. Control. 1988. V.47. No.l. - P.333-347.

81. Fiagbedzi, Y.A. A Pi-controller for distributed delay systems / Y.A. Fiag-bedzi, A.E. Pearson // Automatica. 1988. - V. 24, No.4, - P.517-529.

82. Foias, C. Optimal sensitivity theory for multivariate distributed plants / C. Foias, A. Tannenbaum // Int. J. Control. 1988. V.47, No. 4. -P.985-992.

83. Gibson, J.S. Approximation of Discrete-time LOG Compensators for distributed systems with boundary Input and unbounded measurement / J.S. Gibson, I.G. Rosen // Automatica. 1988. - V. 24, No.4, - P.517-529.

84. Khargonckar, P.P. Robust stabilization of distributed systems / P.P. Khar-gonckar, K. Poolla// Automatica. 1986. V. 22, No.l, - P.77-84.

85. Kubrusly, C.S., Sensors and controllers location in distributed systems. A surveys / C.S. Kubrusly, H. Malebranche //Automatica. - 1985. V.21, No.2., - P.l 17128.

86. Lee, K.S. Discrete-time modelling of distributed parameter systems for state estimator design / K.S. Lee, K.S. Chang // Int. J. Control. 1988. V.48, No.3. -P.929-948.

87. Macfarlane, A.G. The generalized Nyquist stability criterion and multivariable root loci / A.G. Macfarlane, I. Postlethwalte // Int. J. Control. 1977. - V.25, No.l. -P.81-127.

88. Martin, C.E. On an optimal scanning control problem in a one-dimensional space / C.E. Martin // IEEE Trans. On Autom. Contr. 1977. V.25, No. 4. - P. 667669.

89. Meditch, I.S. On state estimation for distributed parameter systems / I.S. Meditch //1. Franklin Inst. 1970. V. 290, No. 1. - P.49-59.

90. Munack, A., Thoma M. Coordination Methods to Parameter Identification Problems in Interconnected Distributed Parameter Systems / A. Munack, M. Thoma // Automatica. 1986. V. 22., No. 1. - P. 111-116.

91. Pasca, L.A. On the design of Distributed Organisational structures / L.A. Pasca, A.H. Levis, V.Y.-Y. Jin // Automatica. 1988. - V. 24, No. 1. - P.81-86.

92. Pramod, P. Robust stabilization of distributed systems / P. Pramod, R. Khargonecar, K. Poolla // Automatica. 1986. - V.22., No. 1. - P.77-84.

93. Sakava, Loshiyuki. Optimal filtering in linear distributed parameter systems / Loshiyuki Sakava // Int. J. Control. - 1972.-V. 16, No. 1.-P.l 15-127.

94. Snawn, E., Distributed actuator control design for flexible beams / E. Snawn, E. Burke, J.E. Hubbarg // Automatica. 1988. - V.2, No. 5. - P.919-927.

95. Sunanara, Y. A method for parameter estamation of a class of non-linear distributed systems under noisy observations / Y. Sunanara, S. Aihara, F. Kojima // Automatica. 1986. - V. 22, No. 6. - P.727-732.

96. Tzafes, S.G. Bayesian approach to distributed—parameter filtering and smoothing / S.G. Tzafes // Int. J. Control. 1972. - V. 15, No. 2. - P.273-295.

97. Tzafistas, S.G. On optimum distributed—parameter Filtering and fixed-— interval smocolored noise / S.G. Tzafistas // IEEE Trans. Aut Control. 1972. - V. 17, No. 4. - P.443-458.

98. Venot, A. A Distribution free criterion for «Robust Identification with Applications in systems Modelling and Image Processing» / A. Venot, L. Pronrato, E. Walter, J.F. Lebrucnec // Automatica. - 1986. V. 22, No. 1, - P. 105-109.

99. Wertz, V, Demeuse P. Application of clarke gauthrop type controllers for the bottom temperature of a class furnace / V. Wertz, P. Demeuse // Automatica. -1987. - V. 23, No. 2. - P.215-224.

100. William By Porter, A. Sensitivity problems in distributive systems / A. William By Porter // Int. J. Control. 1976. - V. 5., - P. 159-177.

101. Yu. Taimas K., Seinfeld lohn H. Observability and optimal measurement location in linear distributed parameter systems / Yu. Taimas K., H. Seinfeld lohn // Int. J. Control. 1973. - V. 18, No. 4. - P.785-799.