автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления

кандидата физико-математических наук
Грязина, Елена Николаевна
город
Москва
год
2007
специальность ВАК РФ
05.13.01
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления»

Автореферат диссертации по теме "Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем управления им В А Трапезникова

УДК 517 711 3 На правах рукописи

ГРЯЗИНА Елена Николаевна

РАЗВИТИЕ МЕТОДА О-РАЗБИЕНИЯ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05 13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

□ОЗ176440

003176440

Работа выполнена в Институте проблем управления им В А Трапезникова Российской академии наук

Научный руководитель

доктор технических наук Б.Т. Поляк

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Э.М. Солнечный, доктор физико-математических наук Ю.П. Николаев

Ведущая организация

Нижегородский Государственный Университет (ННГУ)

Защита диссертации состоится & 2007 г в часов на за-

седании диссертационного Совета Д 002 226 02 при Институте проблем управления им В А Трапезникова РАН но адресу 117997 Москва, ул Профсоюзная 65, ИПУ РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН

Автореферат разослан ^ С^-Я&РА 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 002 226 02 кандидат технических наук

В Н Лебедев

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена исследованию структуры области устойчивости в пространстве параметров непрерывных и дискре'шых линейных систем управления

Актуальность темы. Вопросы устойчивости систем являются центральными в теории автоматического управления Методы выделения области устойчивости в пространстве параметров системы восходят к работам И А Вышнеградского конца XIX века и представляются в достаточно законченном виде в технике D-разбиения, разработанного Ю И Неймарком в конце 40-х годов XX века Аналогичные идеи можно найти в работах А А Андронова и А Г Майера, А А Соколова, R А Frazer и W J Duncan, D Mitrovic, D Siljak, S H Lehnigk Параметрами D-разбиения могут быть коэффициенты регулятора или неопределенности системы, поэтому важными областями применения этого метода являются синтез регуляторов низкого порядка и задачи робастного анализа и синтеза Помимо областей устойчивости D-разбиение выделяет все области с одинаковым количеством устойчивых корней В некоторых ситуациях области с немаксимальным количеством устойчивых корней тоже представляют интерес Например, при построении диаграмм Найквиста для систем с неопределенностью нужно гарантировать одинаковое количество устойчивых полюсов для всех рассматриваемых систем

В начале 90-х годов XX века с возникновением интереса к управлению в условиях неопределенности (робастному управлению) Ю И Ней-марк1 указал на связь D-разбиения с робастностью Это направление оказалось весьма плодотворным D-разбиение получило новое описание в ряде зарубежных монографий (J Ackermann, D Kaesbauer, S Р Bhatta-charryya), было вновь переоткрыто в работах D Atherton, а также широко использовалось для решения многих задач (Я 3 Цыпкин, Б Т Поляк, О Н Киселев, Ю П Николаев, S М Bozorg, М Т Но, А В Ozguler, К Saadaoui, R Tempo) Постепенно стало ясно, что возможности метода D-разбиения простираются далеко за пределы исходной области его применения В связи с этим возникает необходимость более глубокого исследования его структуры, геометрических и топологических свойств Несмотря на то, что к настоящему времени для проверки робастной устойчивости и нахождения радиуса устойчивости аффинных семейств полиномов уже предложены алгебраические и графические критерии,

1Неймарк Ю И Робастная устойчивость и D-разбиение // Автоматика и Телемеханика, 1992, ЛЧ 7, 10-18

в ряде задач их проверка сталкивается с серьезными вычислительными трудностями, в то время как идея /^-разбиения позволяет построить новые эффективные методы решения таких задач Поскольку техника -О-разбиения позволяет выделить всю область устойчивости, это дает возможность проводить прямую оптимизацию по параметрам регулятора

Неисследованный потенциал метода £>-разбиения для решения широкого спектра прикладных задач теории управления обосновывает актуальность диссертационной работы

Цель работы. Целыо диссертационной работы является исследование структуры области устойчивости в пространстве параметров линейных непрерывных и дискретных систем управления, а именно

• Рассмотрение полиномиальных семейств, для которых можно явно построить область устойчивости в многомерном пространстве, получение выражения для радиуса устойчивости

• Распространение техники £>-разбиения на специальные классы систем с матричными передаточными функциями

• Получение оценок количества областей £>-разбиения для всех рассматриваемых случаев

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры и теории функций комплексного переменного, алгебраической геометрии и комбинаторного анализа, теории управления

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты

• Оценки максимального количества областей £>-разбиения для полиномов с одним и двумя линейно входящими параметрами, для поликомов с аффинной неопределенностью специального вида и произвольным числом параметров, а также для однопараметриче-ского аффинного семейства матриц

• Явное решение задачи нахождения радиуса робастной устойчивости полиномиальных семейств специального вида с произвольным числом параметров для различной нормы неопределенности

• Построение £)-разбиения для специальных классов систем с матричными передаточными функциями и двумя параметрами

Практическая значимость. Полученные результаты дают общее представление о сложности структуры области устойчивости и могут быть использованы в задаче синтеза регуляторов низкого порядка и фиксированной структуры

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях

6-ой конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2004),

8-ом Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» памяти Е С Пятницкого (Москва, 2004),

10-й Международной олимпиаде по автоматическому управлению, ВОАС'04 (Санкт-Петербург, 2004),

Европейской летней школе «Оптимизация и исследование данных», EURO Summer Institute (Анкара, Турция, 2004),

47-ой научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2004),

10-ом Всемирном конгрессе IFAC (Прага, Чехия, 2005),

7-ой всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005),

44-ой конференции по управлению и принятию решений и европейской конференции по управлению, IEEE CDC-ECC'05 (Севилья, Испания, 2005),

37-ой региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2006),

9-ой международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007),

а также на научных семинарах под руководством проф Б Т Поляка (ИПУ РАН), проф ЮИ Неймарка (ННГУ), проф П Колланери (Политехнический Университет г Милана), проф Р Темпо (Политехнический Университет г Турина)

Работа над диссертацией входила также в состав проектов РФФИ №05-01-00114 и №05-08-01177 и международного Российско-Итальянского проекта

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи [1-4] в ведущих научных журналах и девять работ в сборниках трудов международных конференций [5-13].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (101 источник), а также содержит 18 рисунков Общий объем диссертации составляет 82 страницы

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, приведено краткое описание глав

Первая глава посвящена развитию классического метода £>-разбие-ния2 для исследования устойчивости одномерных линейных систем, заданных передаточной функцией, в пространстве параметров Суждение об асимптотической устойчивости таких систем выносится на основании расположения корней характеристического полинома (знаменателя передаточной функции) Результаты первой главы дают оценки числа областей с постоянным количеством устойчивых корней полинома в случае одного вещественного или комплексного параметра и двух вещественных параметров

Пусть параметры линейно входят характеристический полином некоторой линейной системы, таким образом получается аффинное семейство

V

1=1

где аг(я), г = 0,1,. , и заданные полиномы степени не выше тг, не имеющие общих чисто мнимых или нулевых корней Основным инструментом описания областей в пространстве параметров, в которых этот полином имеет заданное количество корней в некоторой области С, является метод .О-разбисния Неймарка Для непрерывных систем областью С является левая комплексная полуплоскость, для дискретных — внутренность единичного круга, в общем случае допустимо рассмотрение произвольной области

Сначала рассматривается однопараметрическое семейство с вещественным параметром

= а0(й) + каг(з), /с € К (1)

2Неймарк Ю И Устойчивость линеаризованных систем ЛКВВИА, 1949

Значения к, при которых происходит переход корней из одной полуплоскости в другую, согласно методу £)-разбиения, определяются выражением

к{ш) = -^Н, Ъп{к(ш)) = 0, ш е (-оо, оо)

Справедлива следующая теорема

Теорема 1 Для семейства (1) вещественная ось может быть разбита на тп < п + 2 интервалов (—00,^1), (йь/гг), ,{кт- 1,+оо) точками —оо < к\ < ¿2 < < кт-1 < +оо так, что на каждом интервале кг < к < кг+1 полином ао (в)+ /001(5) имеет постоянное количество устойчивых корней Рг Более того, количество интервалов устойчивости (т е интервалов (&г, /гг+1) с г/, = п) не превышает +1 ([а] — максимальное целое число, меньшее, либо равное а)

На основании этой теоремы строится алгоритм нахождения кг и рг для каждого интервала

Алгоритм.

1 Найти (например, с помощью таблицы Рауса) число устойчивых корней полинома аДв), это число обозначим 1^0

2 Решить полиномиальное уравнение 1т к(]и) — 0 на интервале 0 < и < оо (в силу симметрии 1т к^ш) = 1т k(—JOJ)) Обозначить полученные решения 0 = и>о < < и>2 < < и>т> т < п — 1 и вычислить иг = 11е г = 0, ,т, ит+г = — Яц/а" (отношение старших коэффициентов)

3 Упорядочить величины иг, г = 0, ,т + 1 и переобозначить их через к\ < < кт+2 так, что к3 = и1ё

4 Числа у3 вычисляются следующим образом и3+\ =

= ^О^О, если ф О В противном случае и>1з

кратный корень уравнения, полученного на шаге 2 Если — корень четной кратности, то = если нечетной, то <р — наименьшая производная не равная нулю

Для однопараметрического семейства с комплексным параметром

я(й, к) = а0(й) + ка^в), к е С, (2)

где а0(й), 01(5) — по-прежнему заданные полиномы с вещественными коэффициентами степеней т и п (п > т) соответственно, справедлива следующая оценка областей £>-разбиения

Теорема 2 -D-разбиение полиномиального семейства (2) по комплексному параметру к содержит не более чем (п — I)2 + 2 областей

Доказательство основано на анализе топологических свойства алгебраических кривых, задающих .D-разбиение, основным аппаратом послужат методы алгебраической геометрии (формула Эйлера и теоремы Везу)

Примером достижимости такой оценки является дискретный полином a(z, к) = zn+kzn~1+a, к € С Параметрическая кривая D-разбиения по параметру к получается из уравнения а{езш,к) = 0 и состоит из (п —1)2 + 1 областей при |а| > 1 и из 2-х областей при |а| < l/(n— 1) Параметрическая кривая D-разбиения называется гипотрохоидой и представлена на рис 1, здесь и далее цифрами обозначено число устойчивых корней в каждой области Подсчет точек самопересечения дает результат п(п — 2), поскольку все самопересечения простые, число областей составляет п(п - 2) + 2 = (п --1)2 + 1

Рис 1 Максимальное (слева) и минимальное (справа) число областей .О-разбиения по одному комплексному параметру

Рассматривается .0-разбиение плоскости вещественных параметров к = {к1,къ} € К2 для семейства полиномов произвольной степени

а(в, к) = а0(й) + кха\(в) 4- &2а2(й). (3)

Это классический случай применения £>-разбиения, представленный в основополагающей работе Неймарка В этом случае основное уравнение -О-разбиения разрешимо относительно параметров и при каждом

шёК (при условии Д^О) дает

I Л1 ь

«1 = к2

А2 ' А '

где

аоС?ш)

. ^

и2 У2

А1 =

и0 и2

а^и) = их + ]шУг,

Д2 =

а2(зи)

и0

V!

и2+]шУ2,

[/г, Уг — полиномы с вещественными коэффициентами относительно ш2 При А ф 0 вышеописанные формулы задают параметрическую кривую /¡1(01), к2[и)), шёН Эта кривая симметрична по и кг(—и) = кг(и), г = 1,2, поэтому достаточно рассмотреть интервал ш 6 (0,оо) При двух значениях ш уравнение -О-разбиения описывает прямые и> = О, Ь\ + кга1 + к2а° = 0, и ш = оо, Ь2 + к^а™ + к2а% = 0, где а° — свободный коэффициент полинома аДя), а а" — его коэффициент при старшей степени п

Картина £>-разбиения приобретает некоторые особенности, если А = О, но Ах Ф 0 или Д2 ф 0, а также в случае А = Д1 = А2 = О

Теорема 3 Число N областей Д-разбиения полиномиального семейства (3) плоскости параметров {кг,к2} не превосходит N < 2п(п —1) + 3 В случае двух параметров -О-разбиение может иметь сложную и разнообразную структуру Рассмотрим полином вида (3), где 00(5) = (1 + з2)(2 + з2) (8 + в2) + 1055, 01 (я) = 3(1 + 52)(3 + 32){5 + 52)(7 + 52), = 5(2 + в2)(4 + я2)(6 + й2)(8 + я2) В этом случае Д-разбиение состоит из шести ортогональных прямых кг = 7, кг — —1, кг = —35/3, к2 — 7, к2 = —1, к2 = —35/3 и представлено на рис 2

Вопрос о количестве односвязных компонент области устойчивости на плоскости двух параметров остается открытым Однако известно, что число таких компонент может достигать п — 1 для полинома степени п

Рассмотрим дискретный полином3 а(г, к) — гп + кг

„п—1

аг"

+ к2,

1 < а < п/(п — 2) Структура всех областей Г>-разбиения представлена на рис 3 при п — Ъ (слева) и при п = 6 (справа), а = 1,05 в обоих случаях, областям устойчивости соответствует внутренность петель, образованных кривой £)-разбиения

3Николаев Ю П К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 2002, Л" 7, С 44-54

Рис 2 £)-разбиение, состоящее из ортогональных прямых

Во второй главе рассматриваются семейства полиномов специального вида с произвольным числом параметров, которые можно трактовать как параметры регулятора специального вида (в частности, коэффициенты кг,к,1 ПИД-регулятора), либо как специфическую аффинную неопределенность Для непрерывных систем рассматриваются семейства вида

a(s,k) = a0(s) +f(s)J2kat(s2), к = {ки ,kv}eW,

(4)

1=1

где аг(в), г = 0,1, V, f(s) — полиномы с вещественными коэффициентами, с1ед(ао) = тг0, &#(/) = щ, шах{йед(/) + с1ед(аг), гг0} = п

г

Для дискретных систем

a(z,k) = a0(z) + f(z)^2klal{z), к = {ки ,kv] eRv,

(5)

i=i

где полиномы deg(ao) = п0, deg(f) = nj, аг(г), г = 1,2, .,v одновременно симметричные или антисимметричные как полиномы степени п < щ — щ (полином a¡(z) называется симметричным полиномом степени п, если аг(z) = znal(z~1) и антисимметричным, если at(z) = —znal(z~1)) (например, полином zs + z является симметричным полиномом 4-ой степени)

Второй раздел посвящен робастной устойчивости рассматриваемых семейств В такой постановке подразумевается, что полином a(s, 0) =

Рис 3 £>-разбиение с несвязной областью устойчивости

ао(й) устойчив, требуется описать все значения параметров, при которых эта устойчивость сохраняется, и найти радиус устойчивости

Границы областей с заданным количеством устойчивых и неустойчивых корней определяются методом £)-разбиения Для рассматриваемого семейства (4) они являются гиперплоскостями и описываются системой уравнений

ВДаоСН) + М/СИ) кгаг{-ш2) = О, 1=1

V

Ьп(аоСН) + М/СИ) X] = О, и/ е [о,оо]

1=1

При определенных и эта система может быть явно разрешена относительно к при произвольном и

В общем случае область устойчивости может не быть связной и при исследовании робастной устойчивости необходимо выделить ту се компоненту, которая содержит номинальный полином

Теорема 4 Компонента области устойчивости семейства (4), содержащая номинальный устойчивый полином ао(з), описывается системой линейных относительно параметров неравенств

^п(р(шг)) р(ш») + 1/Оал)!2 У> 0, г = 0,1 ,то,

3 = 1

где р(ш) = Ке(аоОш)) • + 1т(а0(.?ш)) аш,- корни

полинома Ке(аоО^)) 1т(/(^а;)) - Ке(/(^а>)) 1т(ао(.7ш)) = О Для дискретного случая справедлив аналогичный результат Теорема 5 Компонента области устойчивости семейства (5), содержащая номинальный устойчивый полином а0(г), описывается системой неравенств

81^(11еаЬ(е,п')) ^Ие аЬ(е,п') + ¿^Яе а,(е»п')| > 0, » = 0,1, .,?п, где аЬ(г) = а0(г)(/8"га(г) - /"»"Ч*)), «".(*) = <*) /(*)0ГутМ -

= Ш^ + г"»/^-1]],

= - (г-1)],

симметричная и антисимметричная компоненты полинома /(г), Пг 6 [0,7г) корни уравнения о^ут{е1Пг) = 0, если все полиномы аг(г) симметричные, и корни уравнения а^"1^0*) = 0, если все аг(г) антисимметричные полиномами одинаковой степени п

Пусть в исходном аффинном семействе (4) или (5), которое заведомо устойчиво при к = 0, параметры могут произвольно изменяться, оставаясь ограниченными в некоторой взвешенной р-нормс

|[*С<7, (6)

где а = {оц, ,а„}, аг > 0 — некоторые веса, \\к\\® = ^У^ |аг/сг|р^

Зададимся вопросом о радиусе устойчивости, те требуется найти максимальное 7* такое, что семейство (4) (или (5)) при ограничении (б) устойчиво для всех 7 < 7*

Границами областей с одинаковым количеством устойчивых корней являются гиперплоскости, поэтому компонента области устойчивости, содержащая номинальный полином ао, является выпуклым многогранником.

Теорема 6 Радиус устойчивости аффинных семейств (4) (или (5)) при ограничении (6) определяется выражением

7* = тш - ^

где Фа + (к,рг) = 0, г — 0, ,ш — гиперплоскости, определяющие границы областей £>-разбиения

В третьем разделе мы отказываемся от требования, чтобы степени при параметрах были не больше степени ао(в) (в этом случае устойчивость ао(з) не обязательно влечет за собой устойчивость а(з, 0)) и рассматриваем более подробно структуру области устойчивости непрерывного полиномиального семейства (4) По-прежнему области с постоянным количеством устойчивых корней разделены гиперплоскостями, а каждая компонента в свою очередь представляет собой решение линейной относительно параметров системы неравенств

& + >0' £.€{-1,1}, г = 0,1, ,т,

(7)

где р(ш) = В&(а0(]ш)) КеЦ^ш)) + 1т(ао0ш)) аш,- корни

полинома Ее(аоО^)) Ьп(/0ш)) ~ 1т(а00о;))

Таким образом, любая область с постоянным числом устойчивых корней в данном случае есть объединение выпуклых многогранников Рассмотрим алгебраический способ выделения из многочисленного семейства возможных систем неравенств (7) тех, которые описывают компоненты области устойчивости, т е 0(п) Этот способ годится также и для описания всех компонент любой области Б{1)

Пусть некоторая область задается в пространстве параметров системой линейных неравенств (7) при фиксированном наборе {£г}, г = 0,1, ,т Поскольку границы области удовлетворяют уравнению И-разбиения (по построению), то внутри области полином а(в,/г) имеет всюду одинаковое число устойчивых и неустойчивых корней Тогда его сигнатура (ст(а) — I —г, где I и г число корней полинома, расположенных соответственно в открытой левой и правой комплексной полуплоскости) в этой области4

а(а)

do-26+ + (—l)m-12£m-l +

+(—l)m£m) (—l)m_1sign[Im a(joo)], если n четное,

(lo-2|i+_ + ч +(-l)ra_12^m_1) (—l)m_1sign[Im a(joo)], если n нечетное

4Ho M T , Datta A , Bhattacharyya S P An elementary derivation of the Routh-Hurwits Criterion IEEE Transactions on Automatic Control 1998 T 43,J\'«3,C 405-409

Однако поскольку областей с одной и той же сигнатурой может быть несколько (как правило, так и бывает для а < dega), это означает, что одну и ту же сигнатуру можно получить разными наборами знаков в системе неравенств Этот набор определяется параметрами (,ив общем случае количество таких наборов (а следовательно, систем неравенств) можно оценить из комбинаторных соображений

Теорема 7. Пусть число различных вещественных неотрицательных корней нечетной кратности мнимой части a*(jw) = a(juj)f(—ju!) равно m, deg(a) — п, deg(f) — щ Тогда число систем линейных неравенств, описывающих в случае разрешимости область D(l), равно

<£-1 + 2СЙ_! + С^-х, где б1,а,з = ^ n + щ

четное и

nbi , nb2 х, m-l-(er d+{-l,l})/2 .

Cn-i + тп_1' гДе oi,2 = -*—2 —если п + п 1 нечетное

d = (-l)TO_1sign[Im a*(joo)], а = а (а*) = 21 - п - 1\ + г^ — сигнатура полинома (i*(s, к), если bt нецелое или отрицательное, то считаем =

О

Следствие. Если в семействе (4) f(s) = 1, тогда т = и число систем линейных неравенств, определяющих в случае разрешимости область устойчивости равно единице В этом случае область устойчивости — выпуклый многогранник

Отметим, что число систем линейных неравенств, определяющих в случае разрешимости области D(l), не зависит от числа параметров, а зависит лишь от степеней полиномов и от расположения корней f(s)

Рассмотрим полином a(s,k) = 0,01 + f(s)(ko + kis2 +L2S4), где f(s) — устойчивый полином, причем f(jtj) = Тт( 1 — и2) + jwTm-i(l — ш2), где Tm(t) = cos(m arccos t) - полиномы Чебышева Мнимая часть f(jco) имеет т различных простых положительных корней, deg(/) = 2т, deg(a) = 2т + 4, и существует С™^ -I- С™^"1"1 наборов {£}, каждый из которых определяет систему неравенств, описывающих компоненту области устойчивости

При т = 4 число допустимых наборов{£} равно 4, решение неравенств при всех таких {£} оказывается непустым и изображено на рис 4

Третья глава содержит обобщение метода D-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями Рассматривается задача стабилизации непрерывных и дискретных линейных систем

х = Ах + Ви, у = Сх, xn+i — Ахп + Вип, у = Схп, и = Ку, К € X

Рис. 4: Несвязная область устойчивости в трехмерном пространстве параметров.

где A G Rnxn, В £ Епхг, С G E"ixn вещественные матрицы, а X — класс вещественных или комплексных матриц размером г у. т. Требуется описать области в пространстве параметров D(l) = {К 6 X : А + ВКС имеет I устойчивых обственных значений}, I = 0,...,п. При этом D(n) является множеством стабилизирующих матриц D. Основное требование: связность К, т.е. если Ко £ X, К i g X, то существует такая непрерывная параметризация K(t), что K(t) € X, 0 < t < 1, К(0) = Ко,К(1)=К1.

Введем матричную передаточную функцию:

M (s) = С (А - si)'1 В

в непрерывном случае и M(z) = С (A- zI)~^B в дискретном случае, где переменные s и г используются для различения этих случаев.

Метод £>-разбиения основан на следующей теореме.

Теорема 8 Уравнение

det(7 + М(jlü)K) = 0, —оо < ш < 4-ое (8)

или

det(7 + М{езш)К) = 0, 0 < и < 2тг (9)

определяет D-разбиение для класса X, т е если Q С X связное множество и det(7 + M(jlo)K) ф 0, -оо < ш < +оо, УК S Q (непрерывный случай) или det{I + М(е]и)К) Ф О, 0 < и < 2л-, УК G Q (дискретный случай), то матрица замкнутой системы А + В КС имеет одно и то же число устойчивых собственных значений для всех матриц К из Q

Уравнения (8-9) определяют D-разбиение в неявном виде Отметим, что система уравнений (8-9) является общей формулировкой метода D-разбиения и включает в себя классический случай его применения для систем с одним входом или одним выходом, который был подробно рассмотрен в первых двух главах В третьей главе со второго по пятый разделы рассмотрены следующие классы X

К = kl, к £ Ж или к е С, m — r, К 6 К2х2,

для которых модифицированная техника D-разбиения позволяет выделить области с постоянным количеством устойчивых собственных значений, и уравнение границы областей D-разбиения выписывается явно

• К — kl

В терминах /i-анализа5 это соответствует матрице возмущения, состоящей из одного комплексного блока, к € С или к £ К, I — единичная матрица размерности n х п Тогда матрица замкнутой системы приобретает вид А + кВС, и задача состоит в описании областей D(l) = {к G С А + kF имеет I устойчивых собственных значений}, где F — ВС При этом основное уравнение D-разбиения (8) (или (9) для дискретного случая) приобретает вид

det (J + kM(jw)) = 0, -оо < и < +оо или

det(7 + кМ{е]Ш)) = 0, 0 < и < 2тг

5Zhou К , Doyle J С , Glover К Robust and optimal control Upper Saddle River, NJ Prentice Hall, 1996

Решение такого уравнения распадается на несколько уравнении 1 + к\г(и>) = 0, г = 1, те граница £>-разбиения состоит из п ветвей

= --1Т> »== 1, ,п,

где \(и>) — собственные значения матрицы М[уи) (или М(езш)) Плаче, параметрическая граница £>-разбиения к(ш) состоит из обобщенных собственных значений пары матриц А — ]и1 и —Р

к(и) = elg(A-JíJ^,-F),

те таких значений к, что существует вектор х £ К™ [А—]ш1)х = —кРх В случае вещественного к из образовавшейся картины Д-разбиения следует принять в рассмотрение только пересечение с вещественной осью Теорема 9 Для вещественного к число интервалов с одинаковым количеством устойчивых собственных значений матрицы А + кВС не превосходит п(п + 1) + 1

Достижимость такой оценки удается продемонстрировать при п —

2,3

а п = 2, А =

" 0 0,9 " ,в = " 0 -1 "

0,9 0 1 1

С = I Для таких матриц

-О-разбиепие дает N = 7 интервалов с постоянным количеством устойчивых собственных значений по параметру к € Я, 3 из них являются интервалами устойчивости

Ь п = г, А -

0,95 0 0

0 0,6 -0,95

В =

0 0 -0,22 О -0,3 0 0,4 0 0

С =

I На рис о представлено .0-разбиение, состоящее из 3-х ветвей (параметрических кривых, соответствующих различным обобщенным собственным значениями) В пересечении с вещественной осью к образуется 13 интервалов с постоянным количеством устойчивых собственных значений, 5 из которых соответствуют интервалам устойчивости матрицы А + кВ

С третьего по пятый разделы рассматриваются системы с двумя входами и выходами Передаточная функция представляет собой матрицу

7711 7712

размерности 2x2 М = жит 4 параметра К =

ТПз 7714

, матрица К в общем случае содер-, и основное уравнение .О-разбиеиия (8)

гезКк)

Рис. 5: Достижимость оценки теоремы 9 при п — 3

приобретает вид:

О = с!е1;(7 + МК) = 1 + ^ + ¿еЬМАеЬК.

(10)

г=\

Изучены случаи, допускающие графическое представление результатов £>-разбиения, для этого число параметров ограничено двумя. При этом существует несколько типов матрицы К, при которых это возможно.

" кг 0 1 0 к2\

В терминологии ¿¿-анализа такая структура матрицы К соответствует двум скалярным вещественным блокам. Уравнение (10) принимает вид 0 = 1 + к\ТП1 + к2т,4 + кхк?,{т1тА — т2т^)- Обозначим пц = щ 4г = 1, ...,4 и выпишем отдельно вещественную и мнимую часть:

К =

1 + к\иг + к2и^ + ак\к2 = 0, к-^Уг + к2У4 + /Зкхк2 = 0,

(П)

где а = и 1114 — г; 11)4 — и2щ + у2у3, ¡3 = щу^ + — и2ь3 — у2щ. Таким образом, получается система двух квадратных относительно параметров кг уравнений, величины щ, иг, а, /3 зависят от и>.

к =

±&1 к2 кг

В терминологии //-анализа это вещественный 2x2 аналог комплексному скалярному блоку (числа к\±]к2 являются собственными значениями матрицы К) В этому случае уравнение (10) приобретает вид

0 = 1 + ki(m\ + ГП4) — k2(rri2 — "1з) + + к\)(т\т$ а система (11)

т2т3),

1 ± кг(щ ± гц) =F k2(u2 -

и3) ± a{kl + к\) = О, -v3)±p(k¡ + k¡) = 0,

где иг(ш), а(и>), /3(ш) определяются так же? как и в предыдущем

случае

.О-разбиепие состоит из параметрической кривой к\(и), /^(ш), ш ф 0 и кривой второго порядка (окружности), соответствующей ш = 0

1 + к\(и\(0) ± и4(0)) т к2ЫЩ ~ и3(0)) ± а(0)(к2г + Щ) = 0

Наглядное представление области устойчивости дает представление о робастных свойствах системы Например, при поиске радиуса устойчивости системы6 при п = 4, т = г_= 2. 79

л-

167 33,5

0,0346 0,5297 0,0077 0,0668 0,0535 0,6711 0,3834 0,4175 раметров (кх, к2) при заданном типе матрицы возмущения

—кх к2 к2 к\

ных компонент параметрической кривой (жирная линия) и окружности (тонкая линия), соответствующей ш = 0 Из рисунка видно, что по многим направлениям допустимы возмущения, существенно превышающие по норме 0,5141 (радиус устойчивости), при которых устойчивость сохраняется

20 -30 -20 " 0,219 0,9346 '

12 17 13 ,в = 0,047 0,3835

40 -60 -38 0,6789 0,5194

9 -14,5 -11 0,6793 0,831

К =

.D-разбиение плоскости па-

представлено на Рис 6, оно состоит из двух несвяз-

6Qiu L , Bernhardsson В , Rantzer А , Davison Е J , Young Р М , Doyle Л С A formula for computation of the real stability radius, Automático,, 1995, 31, No 6, 879-890 (c 889, Пример 2)

Рис. 6: .О-разбиение по элементам матрицы К.

Выводы и заключение.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту.

1. Получены оценки максимального количества областей £>-разбиения для полиномов с одним и двумя линейно входящими параметрами, для полиномов с аффинной неопределенностью специального вида и произвольным числом параметров, а также для однопараметрического аффинного семейства матриц.

2. Для полиномиальных семейств специального вида приведено явное выражение для радиуса робастной устойчивости при различной норме неопределенности и дано описание области устойчивости с помощью систем линейных относительно параметров неравенств. Для таких семейств представлено явное описание области устойчивости в многомерном (а не только двумерном) пространстве параметров.

3. Произведено обобщение метода Г>-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями. Выделено несколько классов матриц, содержащих параметры, для которых уравнение Д-разбиения допускает аналитическое решение.

Проведенное исследование показывает, что потенциальные возможности идеи Г>-разбиения не ограничиваются исходной областью приме-

нения этой техники для полиномов, а допускают распространение на новые классы задач Полученные результаты представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1 Грязина Е Н К теории £>-разбиения. // Автоматика и Телемеханика, 2004, №12, С 15-28

2 Грязина Е Н , Поляк Б Т Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автоматика и Телемеханика - 2007, №12

3 Gryazina Е N , Polyalc В Т Stability regions m the parameter space ^-decomposition revisited // Automatica — 2006 — V 42, № 1 — С 13-26

4 E N Gryazina, The geometry and number of the root invariant regions for linear systems // European Journal of Operational Research, — 2007 - V 181, № 3 - С 1166-1173

5 Gryazma E N On the root invariant regions structure for linear systems Proc of the 10th Baltic Olympiad on Automatic Control, Saint-Peterburg, 2004, С 216-220

6 Поляк Б T, Грязина Е Н Геометрия D-разбиения, VIII Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» памяти Е С Пятницкого, Москва, 2004, С 150-151

7 Грязина Е Н 2?-разбиение для матриц Труды XLVII научной конференции МФТИ, часть III, 2004, С 139-141

8 Грязина Е Н О структуре области устойчивости линейных систем, сборник материалов VI конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2005, С 208-214

9 Gryazina Е N , Polyak В Т On the root invariant regions structure for linear systems Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic

10 Грязина E H , Поляк Б T, Развитие метода D-разбиения, Труды VII всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 19-22 сентября, 2005, С 279-281

11 Polyak В T , Gryazma Е N Geometry of the stability domain m the parameter space D-decomposition technique, Proc of the 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference ECC, Seville, Spain, 2005, С 6510-6515

12 Грязина E H Многомерная область устойчивости для полиномов специального вида, Труды 37 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 20 января - 3 февраля, 2006, С 181-185

13 Поляк Б Т , Грязина Е Н Новые аспекты D-разбиения, Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня, 2007 Т 1 Пленарные доклады, С 141-158

Личным вкладом соискателя в совместных публикациях в рецензируемых журналах [2, 3] является доказательство утверждений, в публикациях [6, 9, 10, 11, 13] разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов Научному руководителю д т н проф Поляку Б Т принадлежат общая идея работы и предварительные формулировки теорем

Подписало к печати 23 10 07 Заказ 989 Тирая1100 экз

Отпечатано на ротапринте Института проблем управления РАН 117997 Москва, ул Профсоюзная 65

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Грязина, Елена Николаевна

Обозначения

Введение

1 Классическая задача £>-разбиения

1.1 Введение.И

1.2 Один вещественный параметр.

1.3 Один комплексный параметр.

1.4 Два вещественных параметра.

Введение 2007 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Грязина, Елена Николаевна

Вопросы устойчивости систем являются центральными в теории автоматического управления. История становления и развития этой проблематики не оставила равнодушным пи одного исследователя в этой области, перечислим лишь некоторые очерки, посвященные истории вопроса [2,17,35].

Начало систематических исследований вопросов устойчивости было заложено в работах Максвелла и Вышнеградского [83], которые посвящены линейным системам, чьи характеристические уравнения имеют третью степень. В работе И.А. Вышнеградского [99] в завершенной форме сформулированы условия устойчивости таких полиномов, их называют условиями Вышнеградского. Естественным развитием этих работ стала задача о нахождении условий устойчивости полиномов произвольной степени, поставленная Максвеллом [83] в конце XIX столетия. Оказывается, эта задача была на тот момент фактически решена Ш. Эр-митом [71], однако, его результаты не были доведены до практически удобных алгоритмов или формул и остались неизвестными специалистам, работающим в прикладных областях. Удобный алгоритм, позволяющий для произвольного полинома определить за конечное число простых арифметических действий, является ли полином устойчивым, был предложен Е. Раусом [89]. Чуть позже, опираясь на работу Эр-мита, А. Гурвиц [75] дал независимое от Рауса второе решение этой задачи в виде некоторых неравенств. Это решение получило всеобщую известность, а условия, найденные Гурвицем, называют теперь условиями Рауса-Гурвица. Более того, полиномы с корнями в левой комплексной плоскости иногда называют гурвицевыми. Позднее А. Льенару и М. Шипару [81] удалось примерно вдвое уменьшить число неравенств в критерии Гурвица. В дальнейшем условия Гурвица в той или иной форме неоднократно исследовались и переоткрывались. Например, широко известный амплитудно-фазовый критерий А.В. Михайлова [20] является геометрическим представлением результатов Эрмита.

Нужно сказать, что уже Раус (и все последующие математики, занимавшиеся устойчивостью полиномов) решали на самом деле более общую задачу: найти критерии того, что полином имеет заданное число корней внутри замкнутого контура. Критерий Найквиста [85] возник совершенно на другой основе, в связи с исследованием устойчивости работы различных электрических контуров, содержащих электронные усилители с обратной связью.

Развитие идеи Вышнеградского описывать область устойчивости в пространстве параметров системы было предпринято в работах А.А. Андронова и А.Г. Майера [3], А.А. Соколова [38], Р.А. Фрейзера и В.Д. Дункана [64], Д. Митровича [84], Д. Шильяка [91-93], С. Лехника [80]. Фундаментальная серия работ Ю.И. Неймарка [21-23] с одной стороны, является геометрической трактовкой частотных критериев Найквиста-Михайлова, с другой стороны, метод D-разбиения пространства параметров линейных систем дает новую технику решения не только задачи устойчивости, но и многих других задач анализа и синтеза, в том числе в робастной постановке.

Неоднократно отмечалось [2], что D-разбиение представляет собой контурное отображение границы заданного контура в плоскости корней характеристического полинома в пространство параметров системы, линейно входящих в этот полином. Несмотря на то, что при формулировке метода D-разбиения размерность пространства параметров никак не оговаривается (единственными предположениями является линейная зависимость от параметров и связность контура в плоскости корней), широкое применение метод нашел лишь в случае одного или двух параметров. Принципиальной трудностью применения D-разбиения для систем из многих звеньев служит тот факт, что параметрами реальной системы, как правило, служат величины, характеризующие ее элементы (постоянные времени, коэффициенты усиления и т.д.), и коэффициенты характеристического полинома являются сложной нелинейной функцией этих параметров. Тот же эффект присутствует при рассмотрении систем с матричными передаточными функциями, поскольку детерминант является нелинейной функцией от элементов матрицы.

В западной литературе метод D-разбиения, к сожалению, не получил в свое время широкого распространения. Случай одного параметра анализировался с помощью метода корневого годографа [61], идея отображения различных контуров (не только мнимой оси) в плоскости корней в пространство параметров получило развитие в работе [84], частный случай нелинейно входящих в характеристический полином параметров описан в методе параметрической плоскости [91-93]. Наиболее последовательно метод D-разбиения описан в работах Ю. Акер-мана [45,46], независимо от Неймарка значительно позже аналогичный метод был предложен Д. Атертоном [95,96]. Исследование многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома дискретных систем произвольного порядка приведено в работе [62], описание области устойчивости в многомерном пространстве для непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов специального вида принадлежит [59,60].

-разбиение дает наглядное представление области устойчивости в пространстве параметров, и уже для двух параметров структура разбиения плоскости имеет весьма причудливый вид. В монографии [37] при описании критерия Найквиста показано, что наличие самопересечений годографа Найквиста существенным образом влияет на суждение об асимптотической устойчивости замкнутой системы. В работе [45] впервые отмечено, что на плоскости двух параметров область устойчивости может быть несвязной, т.е. иметь несколько компонент. Позднее в работе Николаева [28] приводится пример, где число устойчивых компонент на плоскости двух коэффициентов полинома произвольной степени на один меньше степени полинома. Исследованию многомерной области устойчивости линейных систем управления посвящена серия работ [27,29,30]. Несмотря на описание особенностей области устойчивости [16], исследование картины областей с постоянным количеством устойчивых корней проводится в настоящей работе впервые. При анализе структуры D-разбиения затрагиваются топологические свойства алгебраических кривых, которые восходят к 16-ой проблеме Гильберта [5] о топологии алгебраических кривых и поверхностей.

В начале 90-х годов XX века с возникновением интереса к управлению в условиях неопределенности (робастному управлению) Ю.И. Ней-марк указал на связь ^-разбиения с робастностью [25]. Это направление оказалось весьма плодотворным. Впервые простейшая задача о робаст-ной устойчивости полинома при интервальной неопределенности коэффициентов рассмотрена С. Фаедо [63]. позднее B.JI. Харитонов сформулировал элегантный критерий решения этой задачи [40]. Это направление оказалось весьма плодотворным. Существенный вклад в исследование робастности линейных систем управления сделал Я.З. Цып-кин [42-44,97,98], методы анализа и синтеза систем управления при наличии неопределенности содержатся в монографиях [32,51,78].

В недавнее время наряду с новой техникой исследования робастно-сти, оказались весьма плодотворными классические идеи D-разбиения. Теперь в роли параметров выступают неопределенные параметры системы или матрица обратной связи по выходу. В ряде случаев приходится иметь дело не с одной системой, а с целым семейством. В случае, когда параметры трактуются как возмущения номинальной системы, норма возмущающей матрицы, содержащей параметры, несет информацию о радиусе устойчивости. Формула для комплексного радиуса устойчивости матриц получена в работе [72]; для вещественного радиуса устойчивости в течение долгого времени существовали лишь оценки снизу, эта проблема разрешена в знаменитой статье шести авторов [88]. Метод D-разбиения в этой задаче предоставляет гораздо больше информации, чем это нужно непосредственно для нахождения радиуса устойчивости, и дает возможность оптимизировать дополнительные критерии качества системы. Связи /i-анализа [101] с устойчивостью неопределенных полиномов посвящена статья [56].

При обобщении идеи D-разбиения на системы с матричными передаточными функциями оказалось, что рассматриваемая система предстает в виде так называемой М — Д-конфигурации — общей схемы анализа задач с неопределенностью, получившей широкое распространение в современных исследованиях. Согласно методологии /i-анализа [101], неопределенные параметры собраны в матрицу Д, по параметрам которой и производится D-разбиение. Для некоторых классов структуры этой матрицы D-разбиение будет описано в третьей главе диссертационной работы.

Другой классической областью применения D-разбиения является синтез регуляторов низкого порядка. Особенно эффективно его применение для задачи синтеза регуляторов заданной структуры, т.е. когда порядок регулятора фиксирован, свобода остается лишь в выборе параметров регулятора. Для наглядного представления результатов обычно предполагается, что имеется лишь два настраиваемых параметра регулятора, что позволяет широко использовать графические методы. Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению области в пространстве параметров такой, что соответствующие регуляторы стабилизируют заданную систему. Недавний всплеск интереса к простым по своей структуре регуляторам, работа которых основана на понятных физических принципах, отражен в работах [13,47, 53,55, 57, 65, 73, 76,

77,86,90,94]. Поскольку техника D-разбиения позволяет выделить всю область устойчивости, это дает возможность проводить прямую оптимизацию по параметрам регулятора, что успешно продемонстрировано в работе [13].

Построение и анализ области устойчивости продолжает оставаться одним из эффективных методов проектирования систем управления, так как обеспечивает разработчика наиболее полной и наглядной информацией о допустимой зоне изменения параметров регулятора в условиях, когда требования к системе могут существенно изменяться в процессе разработки. Неисследованный потенциал метода D-разбиения для решения широкого спектра прикладных задач теории управления обосновывает актуальность диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование структуры области устойчивости в пространстве параметров линейных непрерывных и дискретных систем управления. В рамках такого исследования получены оценки количества областей D-разбиения для ряда широкораспространенных случаев, рассмотрены полиномиальные семейства, для которых можно явно построить область устойчивости в многомерном пространстве, и получено выражение для радиуса устойчивости. Кроме того, техника .D-разбиения распространена на специальные классы систем с матричными передаточными функциями.

Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых посвящена самостоятельной научной проблематике, главы связаны одинаковой методологией. Первая глава развивает классический метод D-разбиения для характеристических полиномов с линейно входящими параметрами, рассмотрены случаи, когда число параметров не превышает двух, и области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома можно изобразить графически. Во второй главе исследуются системы с аффинной неопределенностью специального вида, для которых предлагается простой способ выделения области устойчивости и нахождения радиуса устойчивости для различной нормы неопределенности для непрерывных и дискретных систем. Третья глава посвящена обобщению метода D-разбиеиия на случай систем с матричными передаточными функциями. В заключительной части диссертации кратко представлены основные полученные результаты, выносимые на защиту, и список литературы, который дает довольно полное представление о текущем состоянии проблемы.

Все полученные и представленные здесь результаты опубликованы в ряде ведущих отечественных [6,11] и западных [68,69] научных журналах, а также в трудах международных конференций [7-10,33,34,66,67, 87], обсуждались на различных научных семинарах как у нас в стране, так и за рубежом.

Заключение диссертация на тему "Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления"

Выводы

Данная диссертационная работа посвящена вопросам построения областей в пространстве параметров с заданным количеством устойчивых собственных значений передаточной матрицы (для одномерных систем — корней характеристического полинома) непрерывных и дискретных линейных систем управления. Основным инструментом анализа является техника D-разбиения. Интерес к области устойчивости в пространстве параметров тесно связан с проблемой робастной устойчивости и представляются естественными во многих практических задачах.

Представленные в диссертационной работе результаты позволяют распространить широко известную технику D-разбиения на случай многомерных систем специального вида и модифицировать ее для систем с матричными передаточными функциями. Для этих случаев, как и для классического D-разбиения для полиномов, приводятся оценки количества областей с постоянным количеством устойчивых корней.

В контексте задачи классического D-разбиения и новых областей его применения сформулируем основные новые результаты, полученные автором и описанные в трех главах настоящей работы и выносимые на защиту.

• Подробно изучены геометрические свойства D-разбиения для полиномов, число параметров которых не превосходит двух. При этом области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома можно изобразить графически.

• Предложен эффективный алгоритм выделения интервалов устойчивости по одному параметру.

• Приведены оценки сверху общего количества областей, на которые разбивается плоскость параметров для полиномов с одним и двумя линейно входящими параметрами. При получении оценок использован аппарат алгебраической геометрии (формулы Эйлера и теоремы Везу).

• Описаны семейства полиномов, для которых удается построить явно область устойчивости в многомерном (а не только двумерном) пространстве параметров. В непрерывном случае параметры должны входить в аффинное семейство с полиномами содержащими только четные или нечетные степени. В дискретном случае параметры должны присутствовать при симметричных или антисимметричных полиномах одной и той же степени.

• Для семейств полиномов специального вида дано описание области устойчивости с помощью систем линейных относительно параметров неравенств и приведено явное выражение для радиуса робастной устойчивости при различной норме неопределенности.

• В случае несвязной области устойчивости предлагается аналитический способ выбора компоненты, содержащей заданный устойчивый номинальный полином.

• Приведены оценки количества систем неравенств, описывающих в случае разрешимости компоненты области устойчивости.

• Предложено обобщение метода D-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями. Условие изменения числа устойчивых собственных значений матрицы, зависящей от параметров, формулируется через вырождение некоторой новой матрицы.

• Выделено несколько классов матриц, содержащих параметры, для которых уравнение D-разбиение допускает аналитическое решение. При этом если число параметров не превосходит двух, результат может быть представлен графически.

• Проведен анализ получившейся картины D-разбиения и сделаны некоторые оценки числа областей с заданным количеством устойчивых собственных значений. Результаты справедливы как для непрерывных так и для дискретных систем.

Проведенное исследование показывает, что потенциальные возможности идеи D-разбиения не ограничиваются исходной областью применения этой техники для полиномов, а простираются далеко за ее пределы. Полученные результаты представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

3.8 Заключение

В третьей главе приведено обобщение метода D-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями. Для этого условие изменения числа устойчивых собственных значений матрицы, зависящей от параметров, формулируется через вырождение некоторой новой матрицы. Этот результат созвучен основной теореме о D-разбиении, показывающей, когда происходит смена числа устойчивых корней полинома. Рассматриваемая система должна быть представлена в виде так называемой М — А-конфигурации — общей схемы анализа задач с неопределенностью, получившей широкое распространение в современных исследованиях. Такое представление подразумевает, что все параметры содержатся в отдельной матрице, через которую номинальная матрица замыкается в цепи обратной связи.

В данной главе выделено несколько классов матриц, содержащих параметры, для которых уравнение D-разбиение допускает аналитическое решение. При этом, если число параметров не превосходит двух, результат может быть представлен графически. Проведен анализ получившейся картины D-разбиения, и сделаны некоторые оценки числа областей с заданным количеством устойчивых собственных значений. D-разбиение несет в себе много дополнительной информации, использование которой ведет к более эффективному решению задач синтеза регуляторов и исследованию робастных свойств систем. Результаты справедливы как для непрерывных так и для дискретных систем.

Библиография Грязина, Елена Николаевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1958.

2. Айзерман М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования в управлении // Автоматика и телемеханика, 1993, JY5 7, С. 6-18.

3. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и Телемеханика, 1946, № 7, С. 95106.

4. Воронов А.А. Элементы теории автоматического регулирования. М.: Изд-во министерства обороны СССР, 1954.

5. Гильберт Д. Избранные труды. Т.1,2. М.: "Факториал", 1998.

6. Грязина Е.Н. К теории D-разбиения. //Автоматика и Телемеханика, 2004, № 12, С. 15-28.

7. Грязина Е.Н. D-разбиение для матриц. Труды XLVII научной конференции МФТИ, часть III, 2004, С. 139-141.

8. Грязина Е.Н. О структуре области устойчивости линейных систем, сборник материалов VI конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2005, С. 208-214.

9. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Развитие метода D-разбиения, Труды VII всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 19-22 сентября, 2005, С. 279281.

10. Грязина Е.Н. Многомерная область устойчивости для полиномов специального вида, Труды 37 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 20 января 3 февраля, 2006, С. 181-185.

11. И. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автоматика и Телемеханика. 2007, № 12, С. 38-52.

12. Джури Э.И. Робастность дискретных систем. // Автоматика и Телемеханика, 1990, № 5, С. 3-28.

13. Киселев О. Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию #оо и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика, 1999, № 3, С. 119-130.

14. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

16. Левантовский Л.В. Особенности границы области устойчивости // Функциональный анализ и его прилоэюения, 1982, Т. 16, № 1, С. 44-48.

17. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи)/ Ред. и ком-мент. А.А. Андронова, И.Н. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.

18. Мееров М.В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. М.: Наука, 1986.

19. Михайлов А.В. Гармонический метод в теории регулирования // Автоматика и телемеханика, 1938, № 3, С. 27-38.

20. Неймарк Ю.И. К задаче распределения корней полиномов // Доклады АН СССР, 1947, LVIII, № 3, С. 357-360.

21. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста // Доклады АН СССР, 1948, L, № 9, С. 1503-1506.

22. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. ЛКВВИА, 1949.

23. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

24. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // Автоматика и Телемеханика, 1992, № 7, С. 10-18.

25. Несенчук А.А. Анализ и синтез робастпых динамических систем на основе корневого подхода. Минск: ОИПИ НАН Беларуси, 2005. 234 с.

26. Николаев Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 2001, № 11, С. 109-120.

27. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 2002, № 7, С. 44-54.

28. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // Автоматика и телемеханика, 2004, № 12, С. 49-61.

29. Николаев Ю.П. Построение и стратификация областей устойчивости линейных динамических систем с ПИД-регулятором // Автоматика и телемеханика, 2007, № 8, С. 180-190.

30. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастиой устойчивости и апериодичности линейных систем. // Автоматика и Телемеханика, 1990, К0- 9, С. 45-54.

31. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002, 304 с.

32. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н. Геометрия D-разбиения, VIII Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» памяти Е.С. Пятницкого, Москва, 2004, С. 150-151.

33. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н. Новые аспекты D-разбиения, Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня, 2007, Т. 1: Пленарные доклады, С. 141-158.

34. Постников М.М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981; УР-СС, 2004.

35. Римский Г.В. Основы общей теории корневых траекторий систем автоматического управления. Минск: Наука и техника, 1972. 328 с.

36. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978, 552 с.

37. Соколов А.А. Критерий устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами и его приложения // Инженерный сборник под ред. Н.А. Талицких — Москва-Ленинград: Изд-во Академии наук СССР, 1946. Т. II, вып. 2, С. 3-26.

38. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.: Наука, 1972. 448 с.

39. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1978, Т.1, вып.11, С. 2086-2088.

40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

41. Цыпкин Я.З. Робастность в системах управления и обработки данных // Автоматика и телемеханика, 1990, № 1, С. 165-169.

42. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастпая устойчивость линейных дискретных систем // Доклады АН СССР, 1991, Т. 316, № 4, С. 842846.

43. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивости линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Техническая кибернетика, Т. 32, М.: ВИНИТИ, 1991, С. 3-31.

44. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems // IEEE Transactions on Automatic Control, V. AC-25, No. 6, 1980, C. 1058-1072.

45. Ackermann J. Robust Control: the Parameter Space Approach. London: Springer, 2002.

46. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space.// Automatica, 2003, 39, C. 937-943.

47. Arnold's problems (под редакцией В.И. Арнольда.) Springer, 2004.

48. Bartlett А.С., Hollot C.V., Lin Н. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges. // Mat. Contr. Sig. Syst., 1988, 1, C. 61-71.

49. Barinish В., Polyak B.T. The volumetric singular value and robustness of feedback control systems, Proceedings of the 32nd CDC, 1993, San Antonio, TX, C. 521-523.

50. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

51. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

52. Bhattacharyya S.P., Tantaris R.N., Keel L.H. Stabilization of discrete-time systems by first-order controllers, //IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48, No. 5, C. 858-861.

53. Bistritz Y. Zero location with respect to the unit circle of discrete time linear system polynomials // Proceedings IEEE, V. 72, C. 1131-1142, 1984.

54. Bozorg M. Robust performance of control systems containing parameter uncertainty / / Proceedings of European Control Conference, 2007, C. 2748-2754.

55. Chen J., Fan M.K.H., Nett, C.N. Structural singular value and stability of uncertain polynomials, II: a missing link. // System and Control Letters, 1994, 23, No.2, C. 97-109.

56. Datta A., Ho M.-T., Bhattacharyya S.P. Structure and Synthesis of PID Controllers. Springer, New York, 2000.

57. Dabbene F., Polyak В., Tempo R. On the Complete Instability of Interval Polynomials // System and Control Letters, 2007. C. 431438.

58. Delansky, J.F., Bose, N.K. Real and complex polynomial stability and stability domain construction via network realizability theory. // International Journal of Control, 1988, T. 48, № 3, C. 1343-1349.

59. Delansky, J.F., Bose, N.K. Schur stability and stability domain construction. // International Journal of Control, 1989, T. 49, № 4, C. 1175-1183.

60. Evans W.R. Control System Dynamics, McGraw-Hill, 1954.

61. Fam А.Т., Medich J.S. A canonical parameter space for linear system design // IEEE Transactions on Automatic Control, 1978, V. AC-23, № 3, C. 454-458.

62. Faedo S. Un nuova problerna di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat., 1953, V. 7, No. 1-2, C. 53-63.

63. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions, // Proceedings Royal Society Ser. A, 1929, 124, C. 642-654.

64. Fujisaki Y., Oishi Y., Tempo R. A mixed probabilistic/deterministic approach to fixed order H^ controller design. Proceedings of the 45th CDC, 2006. C. 3554-3559.

65. Gryazina E.N. On the root invariant regions structure for linear systems. Proceedings of the 10th Baltic Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, 2004, C. 216-220.

66. Gryazina E.N., Polyak B.T. On the root invariant regions structure for linear systems. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

67. Gryazina E.N., Polyak B.T. Stability regions in the parameter space: ^-decomposition revisited. // Automatica, 2006, T. 42, No. 1, C. 1326.

68. Gryazina E.N., The geometry and number of the root invariant regions for linear systems. // European Journal of Operational Research, 2007, T. 181, No. 3, C. 1166-1173.

69. Hamann J.C., Barmish B.R. Convexity of frequency response arcs associated with a stable polynomial, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, 38, No.6, C. 904-915.

70. Hermite С. Sur la nombre des racines d'une equation algebrique comprise entre des limites donnees // Journal Reine Angevandte Mathematik, 1852, V. 52, C. 39-51.

71. Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation, // System and Control Letters, 1986, 8, C. 105-113.

72. Ho M.-T., Datta A., Bhattacharyya S.P. A new approach to feedback stabilization. Proceedings of the 35th CDC, 1996, C. 4643-4648.

73. Но M.T., Datta A., Bhattacharyya S.P. An elementary derivation of the Routh-Hurwits Criterion. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. T. 43, № 3, C. 405-409.

74. Hurwitz A. Uber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt // Mathematische Annalen, 1895, V. XLVI. C. 273-284.

75. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. PID controller synthesis free of analytical models. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

76. Kiani F., Bozorg M. Design of digital PID controllers using the parameter space approach, // International Journal of Control, 2006, T. 79, № 6, C. 624-629.

77. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer, 1995.

78. Kraus F.J., Anderson B.D.O., Mansour M. Robust Schur polynomial stability and Kharitonov's theorem // International Journal of Control, 1988, V. 45, No. 5, C. 1213-1225.

79. Lehnigk S. H. Stability Theorems for Linear Motions with an Introduction to Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

80. Lienard A., Chipart M. Sur la signe de la partie reelle des racines d'une equation algebrique // Journal Math. Pures Appl, 1914, V. 10, C. 291-346.

81. Lin, H., Hollot, C.V. Results on positive pairs of polynomials and their application to the construction of the stability domains. // International Journal of Control, 1987, T. 45, № 3, C. 153.

82. Maxwell J.С. On governors // Proceedings of Royal Society, 1868, № 100, C. 270-283.

83. Mitrovic D. Graphical analysis and synthesis of feedback control systems. I Theory and analysis, II - Synthesis, III - Sampled-data feedback control systems, // AIEE Transactions (Application and Industry), 1958-59, 77, C. 476-496.

84. Nyquist H. Regeneration theory. // Bell. System Techn. Journal, 1932, V. 11, C. 126-127.

85. Ozguler А. В., Kocan, A.A. An analytic determination of stabilizing feedback gains, Report, Institut fur Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1994.

86. Polyak B.T., Gryazina E.N Geometry of the stability domain in the parameter space: D-decomposition technique, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference ECC, Seville, Spain, 2005, C. 6510-6515.

87. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula for computation of the real stability radius, // Automatica, 1995, 31, No.6, C. 879-890.

88. Routh E. Advanced part of the dynamics of the system of rigid bodies. London, 1877.

89. Saadaoui K., Ozguler A.B. A new method for the computation of all stabilizing controllers of a given order, // International Journal of Control, 2005, 78, No.l, C. 14-28.

90. Siljak D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane. I Linear continuous systems, II - Sampled-data systems, // AIEE Transactions (Application and Industry), 1964, 83, C. 449-466.

91. Siljak D. Generalization of the parameter plane method, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, AC-11, No. 1, C. 63-70.

92. Siljak D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York: Wiley, 1969.

93. Soylemez M.T., Munro N., Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers. // Automatica, 39, 2003, C. 121-126.

94. Tan N., Kaya I., Yeroglu C., Atherton D. Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus. // Energy conversion and management, 2006, V. 47, № 18-19, C. 3045-3058.

95. Tan N., Kaya I., Atherton D. A graphical method for computation of all stabilizing PI controllers. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

96. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. Frequency domain criteria for /p-robust stability of continuous linear systems, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, 36, No. 12, C. 1464-1469.

97. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. High-gain robust control // European Journal of Control, 1999, V. 5, No. 1, C. 3-9.

98. Vishnegradsky I. Sur la theorie generale des regulateurs, // Compt. Rend. Acad. Sci, 1876, 83, C. 318-321.

99. Walker R.J. Algebraic curves. Princeton, New Jersey, 1950.

100. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.