автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов

На правах рукописи

та р< Р" ГЗ

□ОЗОВ2685

Попонин Владимир Сергеевич

РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ ВЫСОКОТОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА БАЗЕ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2007

003062685

Работа выполнена в Томском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Бубенчиков Алексей Михайлович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент

Фирсов Дмитрий Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шрагер Геннадий Рафаилович, доктор физико-математических наук, профессор

Бородин Александр Иванович

Ведущая организация: Кемеровский государственный

университет

Защита диссертации состоится 17 мая 2007 г в Ю30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267 08 при Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36, корпус 2, ауд 102

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просьба высылать по адресу. 634050, г. Томск, пр Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета.

Автореферат разослан 30 марта 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 267 08 доктор технических наук, профессор

А В Скворцов

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении Появление персональных компьютеров на рубеже 70 -80-х годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров - позволяет успешно решать задачи моделирования сложных физических систем В связи с этим, разработка новых математических алгоритмов является важной и актуальной задачей

Применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для задач динамики жидкости и газа, что позволило получить решения для круга задач, считавшихся ранее неразрешимыми Связано это с тем, что такие особенности уравнений гидродинамики, как нелинейность, высокий порядок и возникновение разрывных решений, делают вычислительный метод наиболее предпочтительным и эффективным методом исследования

В 60 - 70-х годах 20-го века наиболее широкое распространение получили методы конечных разностей Связано это было с тем, что достаточно правдоподобные аппроксимации данных дифференциальных уравнений можно было получить с небольшими затратами вычислительных ресурсов Но круг задач, решаемых с помощью этого метода, был не широк и ограничивался интегрированием дифференциальных уравнений в областях простой формы Для областей сложной геометрической формы приходилось находить преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в стандартную или каноническую Недостаток такого подхода очевиден -это отсутствие универсальных алгоритмов преобразования координат и, как следствие, наличие задач, для которых такой подход не применим Основные принципы метода конечных разностей подробно изложены в работах К Флетчера, А А Самарского, С К Годунова, Г И Марчука, А И Толстых

Вышеупомянутые недостатки метода конечных разностей привели к разработке новых, более универсальных алгоритмов Особенно широкое распространение получили методы конечных элементов и методы контрольных объемов Метод конечных элементов широко освещен в работах О С Зинкевича, К Моргана, А Дэвиса, Г Вира и др Метод контрольных объемов подробно описан в работах М Пил-лера, М Хаббарда, Ж Вонга, С Патанкара Данные методы позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях, форма

которых далека от канонической Недостатком метода конечных элементов является отсутствие консервативности, что может привести к нефизическим решениям Напротив, метод контрольного объема обладает свойством консервативности, что делает данный метод более предпочтительным Однако, и метод конечных элементов, и метод контрольных объемов обладают существенным недостатком - низким порядком точности, что может оказаться критичным при решении ряда практических задач, например, задач газовой динамики в ракетостроении

В связи со всем вышесказанным, особенно актуальным является разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих решать задачи на неструктурированных сетках с высоким порядком аппроксимации

Впервые высокоточные методы были разработаны на рубеже 80-х годов 20-го века, но, в силу достаточно низкой производительности компьютерной техники того времени, не получили широкого распространения

К высокоточным методам относится спектральный метод Фундаментальный вклад в развитие этого метода внесли К Флетчер, С Орзаг, Д Готтлиб, Р. Пейретта, Р Вильяме Однако использование глобального спектрального метода ограничено областями простой геометрической формы, что существенно сужает его применимость к реальным физическим процессам По указанной причине глобальный спектральный метод не получил широкого распространения

Метод спектральных элементов основан на тех же принципах, что и глобальный спектральный метод Основное отличие метода спектральных элементов состоит в том, что интегрирование ведется по части пространства независимых переменных, которую отождествляют с конечным элементом

Целью исследования является построение математического аппарата, позволяющего получать решения высокого порядка точности в областях сложной геометрии для плоских задач динамики вязкой жидкости

Основные задачи исследования состоят в следующем

1 Обобщить метод спектральных элементов и расширить область его использования в реальных инженерных и физических задачах

2 Разработать алгоритм решения плоских линейных краевых задач на основе обобщенного метода спектральных элементов

3 Разработать алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости на основе обобщенного метода спектральных элементов

Научная новизна работы определяется следующими положениями

1 Разработан обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана, позволяющий повысить точность и качество решений плоских линейных и нелинейных задач динамики вязкой жидкости по сравнению с аналогами

2 На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских линейных краевых задач

3 На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости

4 Предложен способ решения системы линейных алгебраических уравнений, позволяющий существенно сократить время расчета за счет подбора предобуславливающей матрицы

Основные положения, выносимые на защиту

1 Обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана

2 Алгоритм решения плоских линейных краевых задач обобщенным методом спектральных элементов

3 Алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости обобщенным методом спектральных элементов

4 Способ решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации уравнений Навье-Стокса обобщенным методом спектральных элементов

5 Результаты моделирования течения вязкой жидкости в прямоугольной каверне, в канале за уступом, а также результаты моделирования течения Коважного

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также обеспечивается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов

Теоретическая значимость Разработанный обобщенный метод спектральных элементов открывает широкий спектр возможностей применения высокоточных вычислений в различных областях науки и техники, в частности, в исследовании турбулентных течений Кроме того, задача обобщения вышеупомянутого метода на случай трех независимых переменных выглядит вполне разрешимой

Практическая значимость Метод спектральных элементов позволяет получать решения плоских задач динамики вязкой жидкости с высоким порядком точности на грубых неструктурированных сетках Данный метод позволяет очень точно аппроксимировать решения в областях с большими градиентами, что, в свою очередь, позволяет учитывать тонкие физические эффекты и моделировать истинное поведение решения Метод спектральных элементов, в отличие от метода конечных разностей, может быть использован для решения задач в областях сложной формы, и, в отличие от метода конечных элементов и контрольных объемов, имеет экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения к точному Решения, полученные с использованием метода спектральных элементов, служат для тестирования алгоритмов локальной аппроксимации, а также могут иметь самостоятельное значение для разработки высокоточных приборов и систем

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на 4 конференциях, в том числе на двух международных, одной всероссийской, а также на 100-м юбилейном семинаре «Численные методы решения задач механики сплошной среды» в г Кемерово Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 7 работах, в том числе в 2-х журналах из списка ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы Объем диссертации - 115 с , в том числе 107 с основного текста с рисунками Список цитируемой литературы содержит 92 названия

Краткое содержание работы

Во введении дается характеристика глобального спектрального метода и конечно-элементного спектрального метода Указывается их место в системе современных численных методов Подчеркивается, что основным достоинством спектрального метода является сочетание использования грубых неструктурированных сеток с возможностью построения высокоточных решений Здесь же, во введении, формулируются цели и задачи исследования и формулируются положения, выносимые на защиту

В первой главе на базе деления на локальные и глобальные методы кратко рассмотрено все множество сеточных методов, используемых в современной вычислительной математике Отмечаются общие для всех методов особенности расчетов

1 Видоизмененная постановка дифференциальной задачи, называемая слабой формой исходной постановки, является более

удобной при создании рабочего алгоритма, реализующего решение стационарных задач 2 На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием конечно-разностного представления, даже если оставшаяся дифференциальная часть исходной постановки реализуется в рамках иного подхода

В заключение всего отмечается, что реальный эффект повышения точности расчетов достигается за счет комбинации идей конечно-элементного разбиения области интегрирования и спектрального разложения искомой функции (уже на конечном элементе)

Во второй главе излагается метод спектральных элементов для одномерных линейных краевых задач математической физики

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

определенное на отрезке [-1,1] с граничными условиями вида

Спектральный метод использует приближенное решение в той же форме, что и традиционные методы взвешенных невязок Как и в традиционном методе Галеркина, аппроксимирующие и весовые функции отличны от нуля во всей вычислительной области В этом отношении спектральный метод является глобальным методом Наиболее существенное отличие спектрального метода от традиционных подходов, связанных с применением метода взвешенных невязок, состоит в том, что указанный метод использует в качестве аппроксимирующих и весовых функций ортогональные функции, являющиеся собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля, сформулированной на отрезке ¿2 = [—1,1]

В общем случае, решением данной задачи являются полиномы Якоби Так как полиномы Якоби взаимно ортогональны на интервале [-1,1], можно показать, что

(1)

Ю(-1) = й0) = 0

\ZueU 1,т||г/-Р>|| = 0

Здесь ь — точное решение исходной дифференциальной задачи,

N

= Более того, если искомое решение «является т раз не-

1=0

прерывно дифференцируемым, то ошибка аппроксимации будет следующей

Таким образом, используя спектральное разложение, для достаточно гладких функций можно получить экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения к точному В этом и состоит основное преимущество спектрального метода очень точные приближения могут быть получены при небольшом числе слагаемых, причем ошибка аппроксимации будет уменьшаться экспоненциально с ростом N В настоящей работе в качестве базисных функций использовались интерполяционные многочлены, представляющие собой комбинации полиномов Лежандра и их производных и получившие название полиномов Гаусса - Лежандра - Лобатто

С(х\ =_—_*^ (2)

где ¿>, - символ Кронекера, х/ - точки Лежандра-Гаусса-Лобатто

Недостатком спектрального метода является то, что высокоточные решения получаются при выборе системы специальных функций, теряющих линейную независимость в областях нестандартной формы Поэтому приходится осуществлять преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в отрезок, квадрат или куб Естественно, что для областей сложной формы поиск таких преобразований координат, которые бы существенным образом не усложняли дифференциальный оператор, является непростой задачей Недостаток спектрального метода можно нивелировать, если строить решение не во всей расчетной области, а на отдельном элементе сетки, накрывающем исходную область

Уравнение (1) в слабой постановке можно переписать следующим образом

- <7 (*)«(*)<& = - |у [х)/{х)сЬс

-1 -I

Воспользовавшись интерполяционными формулами (2), а также используя квадратурные формулы Гаусса, уравнение (3) можно свести к системе линейных алгебраических уравнений на нахождение неизвестных значений искомой функции в узлах сетки

Пусть коэффициенты, входящие в (1), имеют вид

р{х)~ 1,д,(л:) = 1,/(л) = -|4х2ед:2ч+ех2"1+1| На рис 1 представлена зависимость порядка относительной погрешности расчетов при фиксированной степени полинома N = Ъ от числа конечных элементов, а на рис 2 - относительная погрешность расчетов при фиксированном числе конечных элементов (5 элементов) от степени полинома Как видно из рис 1 и рис 2, скорость сходимости по степени полинома является экспоненциальной и уровень машинной точности достигается при малой степени полинома, в то же время при увеличении числа конечных элементов погрешность аппроксимации также уменьшается, но скорость сходимости ниже, чем скорость сходимости по степени полинома

Рис 1 Зависимость порядка относительной погрешности численного интегрирования уравнения (1) при фиксированной степени полинома от числа конечных элементов

Рис 2 Зависимость порядка относительной погрешности вычислений при фиксированном числе конечных эае-ментов (5 эпементов) от степени полинома

Далее, в этой же главе приводится алгоритм расчета плоского уравнения Пуассона методом спектральных элементов Спектральный метод обобщается на случай двух и более измерений путем использования в качестве базисных функций скалярного произведения соответствующих одномерных базисных функций Рассмотрим уравнение Пуассона = /(*),* е О,

иеа = <р(х)

Рассмотрим также проблему построения решения (4) в слабой постановке

- = \fvdV (5)

п п

Применим к левой части уравнения (5) формулу Грина

-\V1uvdV^-\VuVvdV-^v^rdS^ \fvdV. (6)

П П XI £2

Воспользовавшись интерполяционными формулами Гаусса-Лежандра-Лобатго, квадратурными формулами Гаусса, произведя преобразования координат, переводящие исходные элементы к каноническому виду, получим систему линейных алгебраических уравнений на нахождение неизвестных величин

Для оценки точности построенной аппроксимации численно проинтегрировали уравнение Пуассона

У2м = 2е(х^) (7)

с аналитическим решением 14(х,у) = е<-'*^ в области, представляющей прямоугольник £2 = [-1,1]х[-1,1] Для оценки влияния на точность решения числа элементов и степени базисных функций были проведены расчеты для степеней базисных функций от 2 до 13 и различного числа элементов На рис 3 представлена зависимость порядка относительной погрешности расчетов при фиксированной степени полинома (N=3) от числа конечных элементов и относительная погрешность вычислений, полученная при фиксированном числе конечных элементов (число элементов равно 18), в зависимости от степени полинома

Как видно из рис 3, скорость сходимости по степени полинома является экспоненциальной, и уровень машинной точности достигается при малой степени полинома, в то время как при увеличении числа конечных элементов погрешность также уменьшается, но скорость сходимости ниже, чем соответствующая скорость сходимости, обусловленная увеличением степени полинома

10ОЕЧЗЗ 'tote-04

110«-06 0«£-07

к

"lO«-Ot gitwE IO

s

Q1 ОСЕ II 10-1E 12

1» 1009

Число мкмектсв

i10' z

11°"* ©

с

% 105

w

о

° 10' io 1

полунамек

Рис 3 Зависимость порядка относительной погрешности расчетов от степени полинома и числа спектральных элементов а) при фиксированной степени починома Л* = 3 от числа конечных элементов, б) при фиксированном числе элементов от степени полиномов (18 элементов)

Необходимо отметить, что, как при росте степени полинома, так и при росте числа элементов, матрица системы линейных уравнений становится плохо обусловленной, поэтому надлежащий выбор метода решения системы линейных уравнений позволяет ускорить итерационный процесс сходимости В данной работе использовался метод GMR.ES с предобуславливателем в виде неполного 1И_!(0) разложения исходной матрицы системы Результаты сравнения числа итераций, необходимых для сходимости метода, представлены в табл 1 Из этой таблицы видно, что удачный подбор численного метода решения системы линейных уравнений позволяет существенно ускорить расчеты

Таблица 1 Сравнение числа итераций при решении системы линейных уравнений, полученной при интегрировании уравнения (7), методами Гаусса-Зейделя и GMR.ES + 1Ш(0)____

Степень полинома Число итераций (метод Гаусса-Зейделя) Число итераций (GMRES + ILU(0))

2 174 28

3 650 54

4 900 86

5 2000 120

6 3780 140

7 6470 180

9 15600 260

11 28300 441

13 41000 511

В третьей главе представлены результаты решения автомодельных МГД-задач методом конечных разностей и методом спектральных элементов В данной главе представлено численное решение новой задачи о магнитно-гидродинамическом течении вязкой жидкости в канале, имеющем вид рельсовой камеры Было проанализировано влияние чисел Гартмана и углового размера окон проводимости на индуцированные электрические поля и поля скорости жидкости

Неосесимметричное течение электропроводящей жидкости на участке стабилизированного движения в канале круглого поперечного сечения, находящемся в однородном по длине канала электромагнитном поле описывается следующими безразмерными уравнениями

Здесь и, В - продольные компоненты векторов скорости и магнитной индукции, На- число Гартмана ,Д - плоский оператор Лапласа, записанный в полярных координатах, р'г- перепад давления,

приходящийся на единицу длины, На = В0К^а/¡л - число Гартмана, В0 - величина магнитной индукции внешнего однородного магнитного поля, Я — радиус канала, а,ц — проводимость и вязкость жидкости соответственно

Уравнение импульсов (8) интегрируется с использованием условия прилипания жидкости на стенке канала (7|г=0, где Г = Г,иГ2иГ3иГ4, а уравнение индукции (9) с условиями, характе-

дВ

ризующими проводящие свойства стенок = -81г21 = О Здесь

ГрГ3 — проводящие участки стенки канала, Г2,Г4 - участки изоляции

Первоначально было рассмотрено течение проводящей жидкости в канале с не проводящими стенками и рассчитано сопротивление магнитно-гидродинамического потока для круглой трубы при различных числах Гартмана Применив метод конечных разностей для интегрирования уравнений (8) - (9), были получены расчеты, хорошо согласующиеся с данными опытов Дж Гартмана Наряду с этим было произведено тестирование на режиме течения не проводящей среды и получен параболоид Пуазейля При течении проводящей жидкости в канале с изолированными стенкам возникает структура поперечных токов, причем, у стенок канала траектории зарядов загущены (эффект

Д£ = со5<9

дЦ БшвдЦ 8г г дд

(9)

Дж Гартмана для контуров тока) Расчеты показывают, что движением жидкости индуцируется такое электромагнитное поле, которое препятствует перемещению жидкости в направлении среднего потока Далее было рассмотрено течение электропроводящей жидкости в канале с однородными неидеальными стенками В таком случае граничные условия заменяются наследующие

Здесь <р- - параметр проводимости стенки, ст,,<т2 — соответст-

СГ|П

венно проводимости жидкости и стенки, Я - радиус трубы, 5 — толщина стенки канала На рис 4 приведены обобщающие данные по величине А//^ (здесь Л коэффициент трения, Л„=64/Ле) в зависимости от безразмерных параметров <р и На Как видно из рисунка, потери на трение увеличиваются с ростом каждого из указанных параметров Рис 4 обобщает данные по сопротивлению электропроводящей жидкости для трубы, находящейся в поперечном однородном магнитном поле

Было также рассмотрено стационарное, стабилизированное по длине канала течение вязкой электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения, которое также подвергается воздействию поперечного однородного магнитного поля Уравнения МГД-течения в этом случае можно записать следующим образом

На

Рис 4 Закон сопротивления для проводящей жидкости в груба в поперечном ма-гитиоч поте

СГ,<5

ЛВ+На~=6. ду

(И)

Интегрирование уравнений (10) - (11) проводили методом спектральных элементов. Исходя из результатов тестирования и характера распределения искомой функции, данные вычислений пс МГД потоку следует признать высокоточными. Анализируя результаты расчетов, мы наблюдаем, что с ростом параметра На все более ярко проявляется эффект Гартмана для контуров тока, состоящий в сближении траекторий заряженных частиц у поверхностей, расположенных перпендикулярно вектору напряженности внешнего магнитного поля. Видно также, что при заданной величине безразмерного градиента давления и с ростом числа На , поверхность скоростей становится все более заполненной и наблюдается существенное уменьшение расхода электропроводящей жидкости через поперечное сечение прямоугольного канала.

Рис 5. Поверхность скорости и ииолинни магнитного напряжения при На = 7

В четвертой главе излагаются основы применения метода спектральных элементов к нелинейным задачам динамики вязкой жидкости, формулируемым на базе плоских уравнений На в ье-Стоке а.

Уравнения, описывающие двумерные стационарные несжимаемые ламинарные течения имеют вид:

с

Здесь Яе = - число Рейнольдса, (У, - характерная скорость и

характерный линейный размер соответственно, и- кинематическая вязкость, м=(и,,м2) - векторная функция, представляющая скорость жидкости в плоском сечении, р— скалярная функция давления жидкости

Для численного решения уравнений (12) применили метод установления совместно с методом проекций Суть метода проекций состоит в следующем

1 На первом этапе находим промежуточное значение для скорости из уравнения

—7г&й=(и" Ч)и" - Чр" (13)

МЯе

1 На втором этапе производим расчет давления по формуле

У5р"+1= — V« Дг

3 На третьем этапе производим расчет скорости для временного слоя и + 1

,,»* 1 _ „п

а_

М г

Шаги 1-3 выполняются до установления решения

Рассмотрим проблему построения решения уравнения (13) в слабой постановке

\jvdV (14)

п Д' Кеп п

Здесь / = г/"Уи", и— одна из компонент скорости Ко второму

слагаемому из левой части уравнения (14) применим формулу Грина

1 \VilVvdV <15

Яе

дй

Тогда формулу (14) можно переписать следующим образом

Поскольку цель исследования - получить метод, позволяющий аппроксимировать решение с высоким порядком точности, то и интегралы, входящие в последнюю формулу, необходимо также вычислить с высоким порядком точности Для этого будем использовать квадратурные формулы Гаусса В случае задачи с размерностью т интерполяционная формула (2) может быть рассмотрена в виде прямого произведения одномерных базисных функций

N т

й(лс) = £ lln ,PmUCP,M

На элементе рассмотрим тестовые функции, имеющие следующий вид

т (=1

Подставив интерполяционные формулы в (15), применив теорему Гаусса, а также выполнив преобразования координат, переводящие элементы, на которые разбита область интегрирования, к каноническому виду, получим необходимые уравнения на нахождение неизвестных величин в узлах сетки Действуя аналогичным образом, можно получить аппроксимации для уравнений, решаемых на втором и третьем этапе метода проекций

Для тестирования алгоритма были произведены сопоставления результатов с известным аналитическим решением Рассмотрим течение Коважного, которое определяется точным решением плоских стационарных уравнений Навье-Стокса и имеет следующий вид и(х, >') = 1- еЫх) cos(2xy),

v(x, у) = - е~Лх sin(2 к у), 2 я

Параметр Л, в свою очередь, определяется следующим соотно-

1 |Ле2 , г Re шением Л = +4я- - —

Численное решение было найдено в области прямоугольной формы [—0,5,1]х[—0,5,1,5] Граничные условия задавали согласно аналитическим формулам Расчеты велись для числа Рейнольдса, равного 40, на сетке, состоящей из 36 конечных элементов На рис 6 представлены относительные погрешности расчетов для компонент скоростей, давления, а также невязка уравнения неразрывности

Далее, были произведены расчеты течения в плоской каверне. Двумерная область, представляющая собой полость квадратной формы с длиной грани, равной 1, показана на рис 7 Нижняя и боковые грани являются твердыми стенками, верхняя грань является подвижной границей, перемещающейся с постоянной скоростью Граничные условия для данной задачи задавались следующим образом

и-0 на твердых неподвижных стенках, к, = ],и2 = 0 на подвижной стенке, 0 дп

На рис 7 приведены линии тока для чисел Рейнольдса 400 и 1000 Результаты расчетов можно сравнить с данными работ М Жан-ка, Д С Бона, Д К Фирсова На рис 8 представлены профили продольной компоненты скорости на вертикальной линии х = 0 при Re = 1000

g 1 00Е-01 | 1 OOE-OZ 1 1 00Е-03 -I 1 ООЕ-М ¡j 1 ООЕ-05

х 1 006-06

5 1 ООЕ-07 I 1 ООЕ-08 9 1 00Е 09

Степень полинома

Рис 6 Относительные погрешности расчетов для компонент скоростей, датения, и невязка для уравнения неразрывности

Де = 400 Ке = 1000

Рис 7 Линии тока в каверне при Ле = 400и Л? = 1000

Был также произведен расчет стационарного течения за уступом (см рис 9) На входе течение считается установившимся, поэтому первая компонента скорости имеет параболический профиль, а вторая компонента скорости тождественно равна нулю Граничные условия

др

для давления на входе определяются соотношением = где а

дп

некоторая положительная константа На выходе течение также считается установившимся Линии тока, для числа Рейнольдса 75 представлены на рис 9

Рис 8 Сравнение расчета двумерного распределения первой компоненты скорости при Не = 1000, выполненного с помощью метода спектральных элементов, с расчетом работы К Флетчера

Рис 9 Распределение линий тока при Ие = 75

В заключении диссертации приводятся основные выводы, состоящие в следующем В настоящей работе предложена, обоснована и опробована вычислительная технология высокоточных расчетов, используемая для решения линейных и нелинейных эллиптических задач, которая базируется на применении грубых неструктурированных сеток, дроблении треугольных элементов, построении отображений четырехугольников на единичный квадрат и спектральном разложении искомого решения в канонической области Разработан обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана, а также предложен способ решения систем линейных алгебраических уравнений, что позволило существенно ускорить время расчетов Спектральный метод конечных элементов, лежащий в основе предложенной технологии, показал экспоненциальную сходимость на известных точных решениях, а также возможность достижения заданной величины точности (до уровня машинной) во всех рассмотренных в работе случаях посредством увеличения количества элементов и степени аппроксимирующего полинома Для тестирования алго-

ритма были проведены расчеты течений в каверне при различных числах Рейнольдса, был также произведен расчет потока за уступом Результаты, полученные с помощью метода спектральных элементов, хорошо согласуются с экспериментальными данными, а также с результатами расчетов других авторов Метод является технологичным и допускает обобщения на случаи пространственных областей изменения независимых переменных.

Основные опубликованные работы

1 Бубенчиков А М, Клевцова А В , Попонин В С Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке в скрещенном электромагнитном поле // Математическое моделирование, 2005, том 17, №5, с 3 - 9

2 Бубенчиков А М , Попонин В С, Колесникова А В Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками И Вычислительные технологии, 2006, т 11, №1, с 26 -34

3 Попонин В С Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов Н Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» — Москва, 2007, с 75

4 Бубенчиков А М, Попонин В С., Фирсов Д К. Расчет неизотермического течения вязкой жидкости в каналах сложного профиля поперечного сечения // Международная конференция по математике и механике - Томск, 2003, с 153 — 165

5 Попонин В С Метод спектральных элементов для расчета стационарных уравнений Навье-Стокса // Материалы 9-й Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные тенологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» -Гомель ГГУим Ф Скорины, 2006, с 127-128

6 Бубенчиков А М , Попонин В С Спектральный метод решения плоских краевых задач // Вестник Томского государственного университета Бюллетень оперативной научной информации «Вычислительная гидромеханика», 2006, № 81, с 21 - 37

7 Попонин В С , Фирсов Д К Вычислительная технология построения высокоточных решений краевых задач математической физики П V Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых -Томск ТПУ, 2007, с 33-35

цо

Тираж 100 Заказ 436 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г Томск, пр Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1 Обзор основных вычислительных приемов, применяемых при решении задач динамики вязкой жидкости.

1.2 Метод взвешанных невязок.

1.3 Численное интегрирование.

1.4 Спектральный метод.

1.5 Обзор основных алгоритмов, применяемых для решения вязких несжимаемых течений.

1.6 Выводы.

ГЛАВА 2. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

2.1 Метод спектральных элементов для одномерных линейных краевых задач математической физики.

2.1.1 Основные определения метода спектральных элементов.

2.1.2 Алгоритм расчета одномерной задачи методом спектральных элементов.

2.1.3 Преобразования координат.

2.1.4 Сшивка решения на гранях элементов.

2.1.5 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2.1.6 Результаты расчетов.

2.2 Метод спектральных элементов для двумерных линейных краевых задач математической физики.

2.2.1 Алгоритм расчета уравнения Пуассона методом спектральных элементов.

2.2.2 Метод аппроксимации граничных условий Дирихле и Неймана.

2.2.3 Преобразования координат.

2.2.4 Результаты расчетов.

2.3 Выводы.

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

3.1 Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке с частично проводящими стенками.

3.1.1 Математическая постановка задачи.

3.1.2 Численный расчет течения вязкой проводящей жидкости.

3.1.3 Результаты расчетов.

3.2 Течение электропроводящей жидкости в канале с однородными неидеальными стенками.

3.3 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения.

3.3.1 Математическая постановка задачи.

3.3.2 Результаты расчетов.

3.4 Выводы. элементов.

4.4 Результаты расчетов.

4.4.1 Сопоставление результатов с известным аналитическим решением.

4.4.2 Расчет течения в плоской каверне.

4.4.3 Стационарное течение за уступом.

4.5 Выводы.

Актуальность проблемы

Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении. Появление персональных компьютеров на рубеже 70-80 годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей. Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров -позволяет успешно решать задачи моделирования сложных физических процессов. В связи с этим, разработка новых математических алгоритмов является важной и актуальной задачей.

Применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для задач динамики жидкости и газа, что позволило получить решения для круга задач, считавшихся ранее неразрешимыми. Связано это с тем, что такие особенности уравнений гидродинамики, как нелинейность, высокий порядок и возникновение разрывных решений, делают вычислительный метод наиболее предпочтительным и эффективным методом исследования.

В 60 - 70х годах 20го века наиболее широкое распространение получили методы конечных разностей [92],[85],[71],[81],[89]. Связано это было с тем, что достаточно правдоподобные аппроксимации данных дифференциальных уравнений можно было получить с небольшими затратами вычислительных ресурсов. Но круг задач, решаемых с помощью этого метода, был не широк и ограничивался интегрированием дифференциальных уравнений в областях простой формы. Для областей сложной геометрической формы приходилось находить преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в область стандартную или каноническую. Недостаток такого подхода очевиден - это отсутствие универсальных алгоритмов преобразования координат, и, как следствие, - наличие задач, для которых такой подход не применим.

Вышеупомянутые недостатки метода конечных разностей привели к разработке новых, более универсальных алгоритмов. Особенно широкое распространение получили методы конечных элементов [59],[83],[4] и методы контрольных объемов [36],[21],[25],[75]. Данные методы позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях, форма которых далека от канонической. Недостатком метода конечных элементов является отсутствие консервативности, что может привести к нефизическим решениям. Напротив, метод контрольного объема обладает свойством консервативности, что делает данный метод более предпочтительным. Однако, и метод конечных элементов, и метод контрольных объемов обладают существенным недостатком - низким порядком точности, что может оказаться критичным при решении ряда практических задач, например, задач газовой динамики для сопел управления.

В связи со всем вышесказанным, особенно актуальным является разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих решать задачи на неструктурированных сетках с высоким порядком аппроксимации.

Два фундаментальных качества производимых вычислений составляют доктрину всей вычислительной математики - это точность и быстродействие расчетов. Если быстродействие может быть увеличено, в том числе, и за счет технических решений, таких как, например, использование многопроцессорной техники или увеличение скоростей обменных процессов в компьютере, то точность повышается, главным образом, за счет применения математических решений. Высокоточные методы были разработаны впервые в конце 70-х начале 80-х годов 20го века, но, в силу достаточно низкой производительности компьютерной техники, не получили широкого распространения.

К высокоточным методам относится спектральный метод [3],[10],[33]. Принцип, лежащий в основе всех сеточных методов, заключается в сведении исходных дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений, которые могут быть решены известными методами [76],[75]. Однако, в спектральных методах [92], [5], [53] процедура, реализующая этот принцип, аналогична используемой в аналитических методах решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В этом случае решение ищется путём разложения в ряд по некоторой системе ортогональных функций, называемых базисными функциями. Имея представления искомых функций в спектральном пространстве, то есть определив их в виде разложения по базисным функциям, в глобальном спектральном методе строится система интегральных соотношений, получающихся умножением исходных или преобразованных дифференциальных уравнений на тестовую функцию и далее проводится интегрирование по всей области.

Использование глобального спектрального метода ограничено областями простой геометрической формы, что существенно сужает его применимость к реальным физическим процессам. В том числе для надёжного описания физического процесса требуется плотная сетка, покрывающая расчётную область, что приводит к использованию большого числа базисных функций для разложения решения. По причине ограниченных возможностей ЭВМ, использование расширенного набора базисных функций, не даёт повышения качества результатов и во многих случаях, наоборот, приводит хотя и к незначительной, но все же потере точности решений [5],[28]. По указанным выше причинам глобальный спектральный метод не получил широкого распространения.

Метод спектральных элементов основан на тех же самых принципах, что и глобальный спектральный метод. Основное отличие метода спектральных элементов состоит в том, что интегрирование ведётся по части пространства независимых переменных, которую отождествляют с конечным элементом. Учитывая свойства базисных функций, удаётся выразить все интегралы через нули и веса наивысших аппроксимирующих полиномов. Таким образом, мы приходим к системе алгебраических уравнений для определения значений искомой функции в узлах сетки, определённой способом построения конечно-элементного разбиения и положением нулей наивысших полиномов на каждом из элементов разбиения. В таком случае для достижения необходимой точности расчётов и плотности сетки, накрывающей расчётную область, нет необходимости использовать излишне большое число базисных функций на каждом из элементов. Весь комплекс этих мер приводит к существенной экономии вычислительных ресурсов без потери спектральной точности и даёт возможность проводить вычисления в геометрически сложных областях реалистичной формы.

Целью исследования является построение математического аппарата, позволяющего получать решения высокого порядка точности в областях сложной геометрии для плоских задач динамики вязкой жидкости.

Основные задачи исследования состоят в следующем:

1. Обобщить метод спектральных элементов и расширить область его использования в реальных инженерных и физических задачах.

2. Разработать алгоритм решения плоских линейных краевых задач на основе обобщенного метода спектральных элементов.

3. Разработать алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости на основе обобщенного метода спектральных элементов.

Научная новизна работы определяется следующими положе-ниями:

1. Разработан обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана, позволяющий повысить точность и качество решений плоских линейных и нелинейных задач динамики вязкой жидкости по сравнению с аналогами.

2. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских линейных краевых задач.

3. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости.

4. Предложен способ решения системы линейных алгебраических уравнений, позволяющий существенно сократить время расчета за счет подбора предобуславливающей матрицы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана.

2. Алгоритм решения плоских линейных краевых задач обобщенным методом спектральных элементов.

3. Алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости обобщенным методом спектральных элементов.

4. Способ решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации уравнений Навье-Стокса обобщенным методом спектральных элементов.

5. Результаты моделирования течения вязкой жидкости в прямоугольной каверне, в канале за уступом, а также результаты моделирования течения Коважного.

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также обеспечивается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Теоретическая значимость. Разработанный обобщенный метод спектральных элементов открывает широкий спектр возможностей применения высокоточных вычислений в различных областях науки и техники, в частности, в исследовании турбулентных течений. Кроме того, задача обобщения вышеупомянутого метода на случай трёх независимых переменных выглядит вполне разрешимой.

Практическая значимость. Метод спектральных элементов позволяет получать решения плоских задач динамики вязкой жидкости с высоким порядком точности на грубых неструктурированных сетках. Данный метод позволяет очень точно аппроксимировать решения в областях с большими градиентами, что, в свою очередь, позволяет учитывать тонкие физические эффекты и моделировать истинное поведение решения. Метод спектральных элементов, в отличие от метода конечных разностей, может быть использован для решения задач в областях сложной формы, и, в отличие от метода конечных элементов и контрольных объемов, имеет экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения к точному. Решения, полученные с использованием метода спектральных элементов, служат для тестирования алгоритмов локальной аппроксимации, а также могут иметь самостоятельное значение для разработки высокоточных приборов и систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на 4 конференциях, в том числе на двух международных, одной всероссийской, а также на 100-м юбилейном семинаре «Численные методы решения задач механики сплошной среды» в г. Кемерово. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 7 работах, в том числе в 2-х журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 115 е., в том числе 107 с. основного текста с рисунками. Список цитируемой литературы содержит 92 названия.

4.5 Выводы

Таким образом, в данной главе задача определения компонент скорости переформулирована для пространства функций Соболева, известный метод проекций применен для случаев спектрального представления искомых функций, отработана технология реализаций граничных условий Дирихле и

Неймана для функции давления. В целом, по результатам работ, выполненных в четвертой главе, сконструирован вычислительный алгоритм, использующий неструктурированные сетки, преобразования координат и спектральные разложения искомых функций, позволяет получать высокоточные решения нелинейных эллиптических задач с нелинейностью типа конвективного члена, характерной для уравнений Навье - Стокса. Такие решения могут иметь самостоятельное значение, если нас интересуют тонкие эффекты, сопровождающие исследуемый процесс или же они могут применяться как тестовые результаты при построении алгоритмов метода конечных разностей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе представлена и реализована идея метода спектральных элементов на примере линейных одномерных и двумерных задач, а также на примере нелинейных плоских задач динамики вязкой жидкости. Метод позволяет использовать грубые неструктурированные сетки и при этом добиваться высокой точности вычислений. В работе описана техника реализации граничных условий Неймана и неоднородных условий Дирихле, заимствованная из метода конечных элементов. Указанная техника опирается на идею подстановки граничных условий в основную интегральную формулу метода спектральных элементов. Это позволяет получить схему согласованного с условиями на границе расчета коэффициентов, получающуюся в результате применения спектрального метода, системы алгебраических уравнений. Показана высокая точность и спектральная сходимость метода при численном решении ряда линейных задач, имеющих аналитическое решение. Для нелинейных процессов динамики вязкой жидкости задача определения компонент скорости переформулирована для пространства функций Соболева, а известный метод проекций модифицирован на случай спектрального представления искомых функций. Отработана также технология реализации граничных условий для функции давления. Метод опробирован на точном решении уравнений Навье-Стокса, полученным Коважным. При этом удалось подтвердить возможноть повышения точности вычислений как за счет увеличения числа элементов разбиения области интегрирования, так и за счет увеличения степени аппроксимирующих полиномов, так и за счет роста количества глобальных итераций, реализующих нелинейность типа конвективного члена.

Необходимо отметить, что имеется спектр возможностей для обобщения предложенной технологии на случаи нелинейностей типа переменности теплофизических свойств и типа источникого члена. Наряду с этим хотелось бы добавить, что на взгляд автора, задача обобщения представленной в работе технологии на случай трех независимых переменных выглядит вполне разрешимой. При этом, весь опыт, накопленный по триангуляции пространственных областей, без особенных затруднений может быть использован в технологии метода спектральных элементов. Для этого достаточно каждый из конечных элементов, имеющих вид тетраэдра, разбить на шестигранники способом, аналогичным разбиению треугольников на четырехугольники. Не возникает принципиальных трудностей при построении отображений элементарных шестигранников на единичный куб, а также при построениисистемы ортогональных на единичном кубе аппроксимирующих полиномов.

В заключение автор хотел бы выразить глубочайшую благодарность своему научному руководителю профессору Бубенчикову Алексею Михайловичу за помощь, терпение и постоянное внимание, оказываемые при выполнении работы. Автор выражает признательность научному консультанту доценту Фирсову Дмитрию Константиновичу за полезные советы, замечания и конструктивную критику, а также выражает благодарность своим друзьям и коллегам по работе - Руденко Олегу Викторовичу, Тюлькину Евгению Степановичу, Жукову Андрею Петровичу за неоценимую помощь в освоении программирования и численных методов, а также всем сотрудникам кафедры теоретической механики за оказанную поддержу. Автор особенно благодарен профессору Афанасьеву Константину Евгеньевичу за ценные замечания и указание недостатков в работе.

1. Andersen J. Computational Fluid Dynamics, New York, 1996, 563p.

2. Armaly B, Durst F, Pereira F., Schonung B. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow II J. Fluid Mech. 1983, V. 127, № 473.

3. Bailey, F.R. // Overview of NASA's Numerical Aerodynamic Simulation Program. Vol. 1, p.21-32.

4. Baker A. Finite Element Computational Fluid Mechanics // Hemisphere Publishing Corporation, 1983, p.510.

5. Boyd J. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Second Edition, University of Michigan, 2000.

6. Canuto C, Hussaini M, Quarteroni A, Zang A. Spectral Methods in Fluid Dynamics // Springer Verlag, Berlin, 1988.

7. Demaret P., Deville M. Chebyshev pseudospectral solution of the stokes equations using finite element preconditioning // J. Computational Physics, 83, 1989, p. 463-484.

8. Deville M., Fischer P., E. Mund. High-order methods for incompressible fluid flow. Cambridge University Press, 2002.

9. Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods. Cambridge University Press, 1996.

10. Fournier A. Spectral Element Method Parti: Numerical algorithm. // Annual Conf. CMD, Canada, 6,2000.

11. Fox R., McDonald A. Introduction to fluid mechanics. John Wiley & Sons, Inc, fourth edition, 1994.

12. Freund R.W., Golub G.H., Naehtigal N.M. QMR: a quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems //Numer. math., 60, 1991, pp. 315 339.

13. Funaro D. Polynomial approximation of differential equations. Lecture notes in physics. New York, Springer-Verlag, 1992.

14. Funaro D., Heinrichs W. Some results about the pseudospectral approximation of one dimensional forth-order problems //Numer. Math., 58, 1990, pp. 399-418.

15. Hartman J., Lazarus F. Hg. DynamicsII. Det. Kgl. Danare. Vidensrab. Selsra // Math.-fys. Medd., 1937. Bd.15, №7.

16. Heinrich W. A spectral multigrid methods for the stokes problem in streamfiinction formulation // Comput. Phys., 102,1992, pp. 310 318.

17. Heinrich W. Spectral collocation schemes on the unit disk // Comput. Phys., 199, 2004, pp. 66 86.

18. Heinrich W. Spectral shemes on triangular elements. // J Comp. Physics, 1998.

19. Heinrich W. Stabilization techniques for spectral methods // Sei. Comput., 6, 1991.

20. Helenbrook B. A Two-Fluid Spectral Element Method. Department of Mechanical and aeronautical engineering, 1999.

21. Hubbard M. Multidimensional Slope Limiters for MUSCL-Type Finite Volume Schemes on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, 1999, V.l 55, P.54-74.

22. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts. // Fluid Mech. 1965, V. 21, part 4, p. 577-590.

23. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.// Bull. Sei. and Engng Res. Lab. Waseda Univ., 1963, v. 22, p. 1-9.

24. Jan Jin. Attractiors and error estimates for diskretization of incompressible Navier-Stokes equations // SIAM. J. Numer. Anal. 1996. V. 33. № 4 P. 1451-1472.

25. Ji-Wen Wang, Ru-Xu Liu. A comparative study of finite volume methods on unstructured meshes for simulation of 2D shallow water wave problems // Mathematics and Computers in Simulations. 2000. V.53. P.171-184.

26. Junk M, Rao S. A new discrete velocity method for Navier-Stokes Equations. // Journal of computational physics 155, p. 178-198,1999.

27. Kim J., Choi H. Distributed forsing of flow over a circular cylinder // Physics of Fluids, 17,2005.

28. Lee I. An 0(n log n) solution algorithm for spectral element methods, 2003.

29. Low M., Perktold K., Raunig R. Hemodynamics in rigid and distensible saccular aneurysm: A numerical study of pulsate flow characteristics // Biorheology. 1993. V.30. P. 287-298.

30. Ollivier-Gooch C, Altena M. A high-order-Accurate Unstructured Mesh Finite-Volume Scheme for the Advection-Diffusion Equation // Journal of Computational Physics, 2002, V. 181, P. 729-752.

31. Orszag S. Spectral methods for problems in complex geometries // Comput. Phys.,37,1980, pp. 70-92.

32. Ozawa S. Numerical studies of steady flow in a two-dimensional square cavity at high Reynolds numbers // J. Phys. Soc. Jpn 1975, V 38, p.889.

33. Pasquetti R. Spectral Element Methods on triangles and quadliterals: comparisons and applications. Universite de Nice, 2001.

34. Peyret R. Spectral methods for incompressible viscous flow //Appl. Math. Sci., 2002.

35. Phyllips T. Multidomain collocation methods for the stream functionformulation of the Navier-Stokes equations // Sci. Comput., 16, 1995, pp. 773 797.

36. Piller M, Stalio E. Finite-volume compact schemes on staggered grids // Journal of Computational Physics, 2004, V. 197(1), P.299-340.

37. Piquet J., Vasseur X. Multigrid Preconditioned Krylov Subspace Method for Three-dimensional Numerical Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations //Numerical Algorithms. V. 17. 1998. № 1,2. P. 1-32.

38. Press W, Vetterling W. Numerical Receipes in C++. Cambridge University Press, 2002.

39. Priymak V., Miyazakiy T. Accurate Navier-Stokes investigation of transitional and turbulent flows in a circular pipe // Comput. Phys., 142, 1998, pp. 370-411.

40. Raspo I. A direct spectral domain decomposition method for the computation of rotating flows in a t-shape geometry // Computers and Fluids, 32, pp. 431 -456,203.

41. Rhie C, Chow W. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation //AlAA Journal. 1983. V. 21. № 11. P. 1525-1532.

42. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2000.

43. Saad Y. Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems // Math. Comp., 37,1981, pp. 105 126.

44. Saad Y., Schultz A. GMRES: a general minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // Sci. and Statist. Computations, 7,1986, pp. 856 -869.

45. Schultz W., Lee N., Boyd P. Chebyshev pseudospectral method of viscous flows with corner singularities // Sci. Comput., 4, 1989.

46. Shen Jie. On new pseudocompressibility method for the incompressible Navier-Stokes equations //Appl. Numer. Math. 1996. V. 21. № 1. P. 71-90.

47. Shen J. A new fast chebyshev-fourier algorithm for poisson-type equations inpolar geometries // Appl. Numer. Math., 33,2000, pp. 183 190.

48. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. // Proc. Cambrige. Philos.Soc., 1953, v. 49, № 1, p. 136-144.

49. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. // J. Fluid Mech., 1956, v.l, part 6, p. 644-666.

50. Shewchuk J. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation // Computational Geometry, 2002, V.22, P. 21-74.

51. Torres D., Coutsias E. Pseudospectral solution of the two-dimensional navier-stokes equations in a disk// Sci. Comput, 21, 1999, pp. 378-403.

52. Trujillo J., Karniadakis G. A penalty method for the vorticity-velocity formulation // Comput. Phys., 149,1999, pp. 32 58.53. van de Vosse F. Spectral Element Methods: theory and application, 1999.

53. Wan D, Patnaik V, Wei W. Discrete Singular Convolution-Finite Subdomain Method for the Solution of Incompressible Viscous Flows // Journal of Computational Physics 2002, V. 180, p. 229-255.

54. Wang Z. Spectral (finite) volume method for conservation laws on unstructered grids // Comp. Phys., 178, 2002, pp. 210 251.

55. Wright J, Smith R. An Edge-Based Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on Polygonal Meshes // Journal of Computational Physics, 2001, V. 169, P. 24-43.

56. Xua C., Pasquetti. On the efficiency of semi-implicit and semi-lagrangian spectral methods for the calculation of incompressible flows // Numer. Meth. Fluids, 35, pp. 319-340, 2001.

57. Yin Z. A new parallel strategy for two dimensional incompressible flow simulations using pseudospectral methods // Comput. Phys., 210 : 325 341,2005.

58. Zienkiewicz O.C. The finite Element Method: Fluid Dynamics, Oxford, 2000.

59. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Поионин B.C. Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке в скрещенном электромагнитном поле // Математическое моделирование, 2005, том 17, №5, с. 3 9.

60. Бубенчиков А. М., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение проводящей жидкости в тонких трубках в поперечном магнитном поле // Математическое моделирование, 2003, т. 15, номер 9, с. 75-87.

61. Бубенчиков А. М., Ливаев Р. 3. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. 2001, №4, с. 32-35.

62. Бубенчиков А. М., Попонин В. С. Метод граничных элементов для решения задач динамики вязкой жидкости в каналах // Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003, 145- 153.

63. Бубенчиков A.M., Попонин B.C. Спектральный метод решения плоских краевых задач // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации «Вычислительная гидромеханика», 2006, №81, с. 21 -37.

64. Бубенчиков A.M., Попонин B.C., Колесникова A.B. Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками // Вычислительные технологии, 2006, т. 11, №1, с. 26 34.

65. Бубенчиков A.M., Попонин B.C., Фирсов Д.К. Расчет неизотермического течения вязкой жидкости в каналах сложного профиля поперечного сечения// Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003, с. 153 -165.

66. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Численное исследование вихревых структур в прямоугольной каверне // Вычислительная гидродинамика. Томск, 1999, с. 8-14.

67. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К., Котовщикова М.А. Численное решение плоских задач динамики вязкой жидкости методом контрольных объемов на треугольных сетках. //Математическое моделирование. 2007, т. 19, № 4

68. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитодинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970.

69. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400с.

70. Елизарова Т. Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Подходы, основанные на системах квазидинамических уравнений // М.: Физический факультет МГУ, 2005.

71. Елизарова Т. Г., Серегин В.В. Аппроксимация квазидинамических уравнений на треугольных сетках // Вестник Московского Университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2005. № 4, с. 15-18.

72. Икрамов X. Д. Разреженные матрицы // Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 20, 1982, с. 179 260.

73. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Издательство Института Математики, 2000-345с.

74. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, 1995.

75. Ильин В. П. Численный анализ. Часть 1. Новосибирск, 2004.

76. Kapo К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.607 с.

77. Куликовский А.Г. О модельных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. «Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, №2, с.3-10.

78. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 740с.

79. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

80. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152с.

81. Полежаев В.И., Простомолотов А.К., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики и тепломассообмена. Технологические приложения. //Численные методы и приложения: Труды международной конференции. София. 1989 С. 375-384.

82. Попонин B.C., Фирсов Д.К. Вычислительная технология построения высокоточных решений краевых задач математической физики // V Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск: ТПУ, 2007.

83. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552с.

84. Симуни Л.М. Численное решение задач теплообмена при неизотермическом течении вязкой жидкости в плоской трубе // Инженерно-физич. журнал, 1966. Т. 10, №1, с. 89-91.

85. Тананаев A.B. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979,428 с.

86. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир.1981.

87. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применения в задачах аэрогидродинамики, М. 1986 г.

88. Фирсов Д.К. Расчет течения несжимаемой жидкости на неортогональной неразнесенной сетке // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Т. II. С. 156-160.

89. Фирсов Д.К., Бубенчиков A.M. Алгоритм расчета течений ньютоновской жидкости в естественных переменных в неортогональной системе координат на неразнесенной сетке. Библиогр. 11 назв. Деп. в ВИНИТИ 27.12.00 №3285-В00.

90. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991.