автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Разработка методов увеличения размерности зашумленных изображений

яз чьзпназпгъъьрь иаадзьъ ичтьиьизь ьъьприиэьмизь ьа

иазпиивизииъ Т1РПР1.Ь1ГЪЬРЬ ьъизьзпгс

'ПЬтрпщшО ЦрйЬй итрЬ0[1

иаицпэаио 'пизмьръьпь зцФимиът-взиъ иьоизииъ иьотъьгь иси^пш

Ь. 13.05 'Яш2Цпг\шЦшО тЬ^йЬЦии]^ и (ЗшрЬйштМшЦшй бЬргщйЬр^ 1^ршптр.|П1.0|] q|^mшL|шй ЬЬиищптт^гиОйЬргшГ йшиОшсфтгир^йр

qfllnnLpJnlDQhp[^ рЬ^йшйпф ^(илш1|ш0 шиш[1бш0}1 ЬицдйшО

иьпиичьр ь пиша- 2000

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РА

Петросян Армен Суренович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ УВЕЛИЧЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ ЗАПГУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

по специальности Е-. 13.05 О'ъ, /Ь. -

Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях"

Ереван - 2000

UinbGuitunurupjujQ pbduiG hmummini(h[ t QfimnLpjnLGGhpfi UqqiujJiG Uljujrihü|iiuj[i hG$npdiumtiljiujfi U шфлпйштшдйшй ujpnp|bi3Gbpfi (lGumtimrummi]

QfimiuljuiG qbl)iuiliup'

'nu^uinütuljuiG [|Gqq|iduj[ijnuübp'

Unuijuiinujp ljuiqi]uiljbpu)nipjni.G'

$fiq-üujp. qtirn. qnliuinp 4. Q. UujpnLtuuiQjujü

$fiq-dujp. qfiin. qnl|uinp Я. P. JiupujGgjtuG inbfu. qfim. pbljGuiöni, ш. q. ui. LniL|fiü (tuUh, ni^pmjiGm)

Suji5u|bpbf) inb|uGn|nqfiiuliU]G hunJtu|uiupiuG (3>[iG|UiGri|iut)

i4m2imqmGnipjniGß IjuijiuGiuinL t 2000p. hni|Jiu|i 21 -fiG ö. 11-[iG p. 037 "Ifuiph-l)|ipbnübin|iljm L fiG4>npi5uiui}il|Uj" diuuGujq|iirttutjuiG funphpqji GJuimniii qUU hUTlh-mü: RmugbG' 375014 p. bpLiuG. 'П.иЬЦш^ фт1.1: UmbGiufununipjiuG[] l)UJpb|Ji t öuiGnpiuGuii |iGum|iinntm|i qpiuquipuiGruil:

UbqüuiqtipG шпшефид t' 21.06.2000p.

UiuuGujqtimiuliiuG funphpqfi qliuipujpinnLriujp rnGrn. qfim. pbljGujöni., uiiluiq q.m.

• -и

.b.UbLßnGjiuü

Тема диссертации утверждена в Институте проблем информатики и автоматизации HAH РА

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ-мат. наук Саруханян А. Г.

доктор физ-мат. наук Маранджян Г. Б.

кандидат технических наук, с. н. с. Лукин В. В. (ХАИ, Украина)

Технологичский Университет г. Тампере (Финляндия)

Защита состоится 21 июля 2000 г. в 11:00 часов на заседании Специализированного Совета 037 "Математическая кибернетика и информатика" по адресу: 375014, г. Ереван, ул. П.Севака 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПИА НАН РА.

Автореферат разослан 21.06.2000 г.

Ученый секретарь спец. совета, кандидат эк. наук, ст. науч. сотр.

А. Е. МРЛХОНЯН

A-W- П/Л, ///Г. f)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из актуальных задач цифровой обработки изображений является задача увеличения физических размеров изображения с сохранением его качественных признаков. Реальные малоразмерные изображения почти всегда встречаются в зашумленном виде, и задача увеличения сопряжена также с фильтрацией изображения. Задача увеличения изображения с устранением шума возникает при идентификации неразборчивых подписей на банковских чеках и на других документах, а также при идентификации и распознавании следов пальцев на различных предметах.

Увеличение размерности изображений является обратной задачей сжатия изображений. В обоих случаях требуется применение ортогональных преобразований.

При цифровой обработке изображений каждый элемент изображения квантуется при помощи фиксированного, но достаточно большого количество уровней, выражаемых соответствующим числом битов, после чего изображение запоминается или передается в цифровом виде.

Для повышения качества полученного изображения необходимо применение тех или иных методов фильтрации. Поэтому вопросы оптимального выбора ортогонального преобразования и применяемого метода фильтрации изображений имеют существенное значение для упомянутых выше практических приложений. Эти вопросы являются основными в настоящей работе.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка конструктивных методов увеличения и фильтрации зашум-ленных изображений с использованием различных типов известных ортогональных матриц, а также взвешенных и легкообратимых матриц.

При этом решаются следующие задачи:

- разработка метода фильтрации, основанного на локальном преобразовании;

- разработка различных методов увеличения изображений;

- синтез взвешенных преобразований;

- разработка алгоритмов быстрых преобразований для синтезированных взвешенных преобразований.

Объектом исследования являются локальные и многозначные фильтры, а также взвешенные матрицы.

Методы исследования. Математической основой исследований

Начальная фильтрация

1 X Ортогональное Пороговое Обратное

преобразование сжатие преобразование

X Начальная X' Увеличение У Повторная

фильтрация фильтрация

Рис. 1: Общая схема увеличения изображения

явились теория матриц и методы фильтрации аддитивного гауссовского шума.

Научная новизна. Разработан метод фильтрации и одновременного увеличения зашумленного изображения, а также синтезирован класс взвешенных легкообратимых матриц Адамара, которые можно применить в прикладных задачах обработки сигналов и изображений. Разработаны быстрые алгоритмы этих преобразований.

Общая схема применяемого метода увеличения и фильтрации изображения дана на рисунке 1, где X - зашумленное изображение. Фильтрация зашумленного изображения производится перед увеличением изображения и после него. После начальной фильтрации получается изображение Х\ а результатом увеличения является изображение У, размеры которого в 2, 4 и т.д. раз превышают начальное изображение.

Практическая значимость работы. Результаты работы были апробированы в задачах сжатия, восстановления, увеличения и снятия шума с изображений. Составлены программы разработанных алгоритмов. С использованием пакета программ Ма^аЬ проведены экспериментальные исследования, показывающие правомерность использования разработанных новых алгоритмов в задачах сжатия, увеличения и фильтрации цифровых изображений.

На защиту выносятся:

- метод фильтрации и увеличения, основанный на локальном преобразовании;

- взвешенные, параметрические легкообратимые и ортогональные

преобразования Адамара;

- быстрые алгоритмы для этих преобразований.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на общих семинарах ИПИА HAH РА, на второй международной конференции по компьютерной науке и информационным технологиям (Ереван, CSIT'99), на второй международной конференции "Цифровая обра-ботока сигналов и ее применение" (Москва, DSPA'99), на международной Сибирской конференции по исследованию операций (Новосибирск, 1998), на семинаре Международного центра обработки сигналов (Тампере, Финландия, 1998).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 научных статей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и предложений, списка использованной литературы из 65 наименований, приложения и содержит 13 таблиц и 33 рисунка. Объем работы без списка использованной литературы и приложения -111 страниц компютерного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и основные задачи диссертации, указаны объекты и методы исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость проведенных исследований.

Первая глава носит обзорный характер и посвящена анализу известных методов кодирования цифровых изображений посредством преобразований.

В этой главе обсуждается метод квантования и факторы, влияющие на эффективность кодирования посредством ортогональных преобразований. Обсуждаются четыре фактора влияния, а именно: тип преобразования; стратегия квантования; размер и форма фрагмента изображения. Рассматриваются методы зонального и порогового кодирования. Анализируются основные форматы файлов представления цифровых изображений. Приводятся алгоритмы быстрых преобразований Уолша-Адамара и косинусного преобразования.

Вторая глава посвящена методам фильтрации и увеличения зашум-ленных изображений. В начале обсуждаются принципы зашумления изображений, в частности, способ получения гауссовского аддитивного

шума.

Во втором параграфе этой главы рассматриваются стандартные методы фильтрации, такие как винеровские и медианные фильтры.

В третьем параграфе рассматривается фильтрация и увеличение изображений на основе локальных преобразований, как метод фильтрации зашумлениых изображений. Показано, что его можно модернизировать н применять при увеличении размерности изображений с одновременной фильтрацией. Суть метода заключается в следующем.

Пусть А = - /{'-мерный входной вектор, представляющий

входной сигнал, искаженный гауссовским аддитивным шумом (нормально распределенным, с мат. ожиданием 0 и с диссперсией 1). Рассмотрим окно Аг-мерпой величины. Образуем матрицу Р размерности (К — N + 1) х N следующим образом: первая строка матрицы Р образуется первыми N элементами вектора А. Сдвигая АГ-мерное окно на один элемент вправо, определим вторую строку матрицы Р, содержащую со второго до N + 1 элементы входного вектора. Полученные окна ставятся друг под другом. Повторяя описанную процедуру в К — N +1 раз находим искомую матрицу.

На рис. 2 приведено в графическом виде процесс построения матрицы Р при N - 4.

Таким образом, строки матрицы Р представляют собой всевозможные N окна входного вектора А, построенные методом скользящего окна. Матрицу Р можно записать в форме: Рт = (Р\Рг ■ ■ ■ Рк-лчО) гДе вектор-столбец, представляющий г-ое окно вектора А, а Т - знак транспонирования. Очевидно, что каждый элемент ап вектора А существует в N окнах (не считая краевые п элементы).

Результат классической линейной пли нелинейной фильтрации (например медианный или осредшпощий фильтры) будет сигнал, полученный с помощью некоторого фильтрующего оператора на строках матрицы Р (медианный или осредняющий).

Опишем метод фильтрации, основанный на локальном преобразовании:

а) Проведя некоторое преобразование II (например преобразование Лдамара пли косинусное преобразование) по строкам матрицы Р, находим спектр строк этой матрицы. Обозначим полученную матрицу Ра,

Ри = РН.

б) Применяя некоторый пороговый оператор на спектральной матрице Рц получаем матрицу Р'и.

С

01 02

а з

а 4

• •

а/с

а 1

о-г

аз

05

аг

«з

Й4

Й5

«6

а3 . • ®4

й4 . • 05

аг,

а6

а7

Начало

Об

а7

«8

•— а! _ -•— -•— .''аз ——• /а\

•

а\ • •'аз

•

аз .-'а! _ •'"а5 , /в?

а* _ Уа1

• . •

4 а6 а| а8

Конец

Рис. 2: Метод фильтрации, основанный на локальном преобразовании с окном N=4.

Рн(и) =

О

\Рн(г,Л\ < г

Рн(},з) |Рн{Ш > ¿,

где £ - величина порога.

в) Проведя обратное преобразование Ннад каждой из строк матрицы Р'н, получаем матрицу Рр = Р*нН~1.

После шага в), в полученной матрице Рр получаются п различных значений для каждого элемента а„, как показано на рис. 2. (не считая краевые элементы). В действительности, для получения лучшего результата при краевых элементах, входной вектор удлиняется, добавляя по обеим краям п элементов с величиной, равной среднему значению элементов всего вектора.

Чтобы получить конечный вектор, отфильтрованный от шума, для каждого элемента берется среднее арифметическое или медианное значение из полученных п значений.

В таблице 1 приведены несколько результатов подавления шума с изображения "Lena.bmp" размером 128 х 128. Подсчитаны 4 типа ошибок между оригинальным и исследуемым изображением. Из таблицы

видно, что предложенная процедура фильтрации, основанная на локальном преобразовании (далее ФОЛП), лучше, чем стандартные медианные или внперовские фильтры.

Таблица 1

Тип фильтрации MSE МАЕ PSNR MaxDif

ФОЛП с осреднением 137.50 8.53 26.75 77.00

ФОЛП с мед. фильтром 136.55 8.44 26.78 77.00

Винеровская 189.13 10.33 25.36 79.00

Медианная 265.64 11.94 23.89 161.00

где

Ii m

Е E^Ü-4)2 Е Е \xij -MSE = ^^-, МАЕ = ^^-

PSNR = I0lg(2552/mse), MaxDif = щах\Xij - x'i}]

<j

где 77i п n размеры изображения (по вертикали и по горизонтали), а г и х' элементы оригинального и конечного (полученного после вычислений п преобразований) изображений соответственно.

На рисунке 3 представлены визуальные разультаты фильтраций, приведенные в таблице 1.

Для изображений необходимо применить двумерный вариант выше описанного алгоритма.

Пусть А = (a(i,j)} - матрица изображения размером т х п, г — 1,..., ?7г , j = 1,..., п. В этом случае рассмотрим окно размером N х N, причем оно должно скользить уже по двум направлениям, и в итоге получится либо четырехмерная матрица данных, либо, если эти окна поставить последовательно друг за другом, удлиненная матрица размерности N(m - N + 1) х N(n - Ar + 1).

Так как при реализации приведенного алгоритма в двумерном случае получаются N2 количество значений для каждого элемента, то можно не только устранить шум, взяв среднюю арифметическую величину этих значений, по и осуществить увеличение изображения, взяв несколько значений (причем размер увеличения может быть до N2 раз). Например, при увеличении в 2 раза нужно взять 4 значения. Как самый грубый вариант, можно разделить матрицу элементов N х N на нужное количество частей и взять для каждой части его среднеарифметическую величину.

S

Рис. 3: а) оригин.шыюп изображение: "Ьена.Ьшр". в) изображение, зашумленное аддитивным гауссовским белым шумом, в) результат фильтрации, основанный на лок;и1ыюм преобразовании с осреднением, г) результат ФОЛП с медианным фильтром, д) результат винеровкой фильтрации, с) результат медианной фильтрации.

В верхней левой части воздействие элементов, находящихся в этой стороне, будет больше, и каждое полученное значение будет ближе к этой стороне изображения. Но и в этом случае могут возникнуть так называемые рамки. Если взять отдельные части перекрывающимися фрагментами, то эти рамки не будут столь видны и изменения интенсивности цвета изображения будут гладкими. Очевидно, что такое увеличение можно произвести в 3, 4 и более раз, разделив матрицу на нужное количество фрагментов.

В таблице 2 приведены результаты увеличения изображения "Lena.bmp" размером 128 х 128 в 2 раза двумя способами (перекрывающимися фрагментами и без них). Для способа с перекрывающимися фрагментами рассматриваются два ортогональных преобразования -косинусное (ДКП) и Уолша-Адамара (ПУА).

Таблица 2

Способ увеличения МБЕ МАЕ РБЖ МахБ^

ФОЛП с перекр. и с ДКП 226.90 10.34 24.57 134.00

ФОЛП без перекр. и с ДКП 249.89 11.03 24.15 141.00

ФОЛП с перекр. и с ПУЛ 229.16 10.38 24.53 136.00

Линейная интерполяция 517.98 17.40 20.99 124.00

Далее, в четвертом параграфе этой главы рассматривается метод увеличения изображений с помощью многозначной фильтрации (МФ) 1 с сочетанием с разработанным выше методом ФОЛГГ для увеличения зашумленного изображения.

В таблице 3 приведены несколько примеров увеличения изображения "lena.bmp" размером 128 X 128, с сочетанием методов ФОЛП и МФ.

Таблица 3

Способ увеличения MSE МАЕ PSNR MaxDif

ФОЛП с перекр. и с ДКП 226.90 10.34 24.57 134.00

Увеличение МФ 416.07 15.24 21.94 156.00

МФ после сн. шума ФОЛП-ом 213.70 10.01 24.83 136.00

Лин. инт. после ФОЛП-а 247.34 10.55 24.20 124.00

Из результатов, приведенных в таблице 3 следует, что применение многозначной фильтрации совместно с методом ФОЛП, улучшает окончательный результат. На рисунке 4 представлены визуальные разуль-таты, приведенные в таблице 3.

Третья глава работы посвящена исследованию взвешенных матриц Адамара типа Сильвестра, его быстрых алгоритмов и а-преобразований. Эти преобразования используются в задаче увеличения размерности зашумленного изображения методом фильтрации, основанной на локальном преобразовании, описанной в предыдущей главе. Взвешенные преобразования также применяются для сжатия и восстановления (с потерями) изображений.

Пусть Нх= ^ ^ ^. Очевидно, что матрица

Нм=Нк®Нъ А = 1,2,—

является матрицей Адамара типа Сильвестра порядка 2к+1, где 0 знак кронекерского умножения.

Из матрицы Сильвестра четвертого порядка Нг синтезируем следующую матрицу:

W2 =

1 1 1 1

1 —X X -1

1 X — X -1

1 -1 -1 1

lI. Abenberg, N. Aizenberg, J. Astola and K. Egiazarian, Solution of the Super-Resolution Probien Trough Extrapolation of the Orthogonal Spectra Using Multi-Valued Neural Technique, EUSIPCO'98, Islanc of Eodoa, Greece, 8-11 Sept. 1998, vol. 3, pp. 1761-1764.

(

\

Рис. 4: Увеличение: а) методом ФОЛП, б) многозначной фильтрацией, п) многозначной фильтрацией, после снятия шума методом ФОЛП, г) методом линейной интерполяции.

где х некоторый коэффициент. Заметим, что при х = 1 матрица И^ совпадает с матрицей Сильвестра порядка Л.

С другой стороны, матрица И'о получается при помощи умножения элементов внутренней двумерной подматрицы матрицы Н-2 на коэффициент х. Поэтому в дальнейшем такие матрицы называются взвешенными матрицами Лдамара.

Можно проверить, что следующая матрица является обратной мат-

рицей т.е.

иг1 = —

4х

х -1 1 -X

X 1 -1 -X

X —X — X X

Отметим, что обратная матрица И^-1, в свою очередь, определяется путем умножения на х всех элементов матрицы Н2, расположенных вне внутренней двумерной подматрицы матрицы Сильвестра Н2 с последующим умножением на коэффициент

Показано, что кронекеровское произведение взвешенных и обычных матриц Сильвестра также является взвешенной матрицей Сильвестра, а именно И^ = \Vk-i ® Н\.

Аналогичным образом вводится также класс комплексных взвешенных преобразований.

Из вышеполученных взвешенных легкообратимых матриц синтезируются ортогональные матрицы следующим образом:

\¥2 г2 г2 -иъ

К+з = У3®НП) п > 1

У3У3т=(4 + 4х*)1е, УПУ1={А + 1Х2)2П1„ п> 3, * = 2».

Эти матрицы применялись в задачах сжатия, фильтрации и увеличения изображений. Полученные результаты приведены в таблице 4.

Далее рассматриваются а-преобразования. Пусть Вп- ортонормаль-ная матрица порядка тг, т.е. ВпВ*п = 1п, где Б*-комплексно-сопряженна> транспонированная матрица Вп. Если Вп - действительная матрица, тс Б* = Т - знак транспонирования. Матрица а-преобразования определяется формулой

Ап(а) = аВп + (1 - а)ВпДп, где 0<а<1,а.К„- зеркально-отраженная матрица 1п.

Показано, что обратная матрица Ап(а) имеет вид:

Сп{а) =

а

гв: -

2а- 1

Используя вместо Вп классические ортогональные матрицы, таки< как матрицы Адамара, Фурье или косинусное, можно синтезироват] частные случаи этого класса легкообратимых преобразований.

а- и взвешенные легкообратимые преобразования применялись так-ке в задачах увеличения и фильтрации зашумленного изображения.

В таблице 4 приведены некоторые результаты при сжатии изобра-кения "lena.bmp" классическими, взвешенными и а-преобразованиями } 16 раз, а также результаты фильтрации этими преобразованиями.

Таблица 4

Способ сжатия МБЕ МАЕ РБ№

Преобр. Адамара 173.43 9.09 25.74 119.00

Взвешенное (коэф. 1.2) 175.26 9.13 25.69 116.00

Взвеш. орт. Ад. (коэф. 35) 169.12 8.99 25.85 116.00

а-преобр. (коэф. 0.05) 174.35 9.12 25.72 124.00

Косинусное преобр. 111.51 7.26 27.66 101.00

Взвеш. орт. кос. (коэф. 35) 114.92 7.39 27.53 93.00

Тип преобр. при ФОЛП МБЕ МАЕ РБ^ МахБ1Г

Преобр. Адамара 143.80 8.69 26.55 87.00

Взвешенное (коэф. 1.2) 145.19 8.74 26.51 88.00

а-преобр. (коэф. 0.05) 143.80 8.71 26.55 87.00

Основные результаты работы:

1. Предложены способы увеличения и фильтрации зашумленныых изображений, которые дают лучшие результаты, чем ряд известных классических методов фильтрации и увеличения.

2. Найден класс взвешенных легкообратимых преобразований;

3. Разработаны быстрые алгоритмы этих преобразований;

4. Экспериментально подтверждена эффективность использования ззвешенного преобразования в задачах увеличения, сжатия и восстановления (с потерями) цифровых изображений.

Перечень публикаций по теме диссертации

[1] Дарбинян Д.Р. Бадеян А.Ф. Петросян А.С. Саруханян А.Г. Система сжатия видеоинформации посредством ортогональных преобразований. Международная Сибирская конференция по исследованию операций (SCOE-98), Новосибирск, 22-27 июня, 1998.

[2] Darbinyan D.R. Petrosyan A.S. Sarukhanyan H.G. Fast Algorithms of the Block-Diagonal Orthogonal Transforms, Digital Signal Processing and its Applications (DSPA'98), June 30 - July 3, 1998, Moscow, vol. 3-Е, pp. 137-141.

[3] Petrosyan A.S. Egiazaryan K.O. Super-Resolution from Noisy Image, Computer Science and Information Technologies (CSIT'99), August 17-22, 1999, Yerevan, Armenia, pp. 278-282.

[4] Петросян А.С. Одно решение проблемы увеличения зашумленного изображения, 2-я Международная Конференция и Выставка, Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA'99), 21-24 сентября 1999, Москва, Россия, том 2, ст. 296-301.

[5] Sarukhanyan H.G. Petrosyan A.S. Darbinyan D.R. On about a Class of Easily Invertible Matirces, Computer Science and Information Technologies (CSIT'99), August 17-22,1999, Yerevan, Armenia, pp. 235237.

[6] Петросян А. С., Сжатие, фильтрация и увеличние изображений с использованием взвешенных матриц Адамара, Препринт No 2000/1. ИПИА, Ереван, Армения, 14 стр.

Utii|iniiituq|ip

UpdbG UiupbGfi 'HbuipnujiuG

UqJlinmilLud ujtuuiljbpQbpli ¿ivifimljUjOnL pjutG tibduigtiuuQ JbpnrjObpli fyujiimd

Noised images superresolution methods development

UtnbGiufununLpjnLQnLii ruurui]Qiuufipi|nLCi bO Lnljuj^ dlituifinftinLpjiuQ ijpiu h|ii5QilLud 4»hLLnPujghUJJhi pLuqdtupdbp $fi[inpujg|iiuj|i U i5b6iugi5uuQ, fiG^uqbu GuiU ^2ni{Lu6 oppnqnGui[ liiuinpfigObpnil 6UujLjin|iinLpjnL0Qbp|i IjLunnLgiliiuG CSbpnriQbpQ:

UmbOujfijnunLpjuuQ h|ii5QujljUiQ GujiuiniuljG fc ujr\i3ljnmilujd tqiuinl|bpObp|i i5b6tugi5tuG L $[i|uipiughujj|i fuGqpji |ipiuqnp6nn5p oqiniuqnp6b|nil qtuGiuqiuG in|iu||i huijinQ|i oppnqnQtu[ tituuiptigGbpQ, fiQ^iqbu GujL l|2ni|iu6 U hb2ui 2P2b[fi i5tuinp|ig0bp[!:

Uiniugi^iud Gnp U h|ii5Giul|UjG tupqjruDgObpD hujiiiunnmuj^ti 2ujptuqpilnn5 bG umnpU.

- quiQilujd bG qiuniujuiG iuqi5riLl| mGbgnq ujLuinl|bpGfcp|i $}iiunpuug|iuij[i U dbduigCiuuG bquuGuul|Gbp, npnGg iuqujininujgi[iu6 bG l|nGl|pbin Gbq [uGqp|i htuduip L gnLjg bG miu[|iu iuilb[h |.uji| tupqjnLG^Gbp, eiuG ihimpuJQhwjh ^ CibduigtiiuG huijinDfi qiuuiul^ujG dbpnqGbpc;

- qinGi[iu6 t ^nijiud "imrjiuiiiupfi dtuinp|igGbp|i qiuu U i52uuLj4uj6 bG GpmGg IjLuiniupdiuG tupiuq aiLqnpfipi5Gbp;

- ijinpabph i3[i2ngni( hiuuinuuiniliud t iunuj2iupl|i[iu6 Ij2ni|iju6 diumpfigGbpli, |iG^iqbu GiuU Giuful||iGnn5 qinGi[uj6 hb2Ui 2P2bih 6UiutJinfijnLpjniGGbp|i IjfipiimbiJinipjnLGp uirp]l|ninL[uj6 u|iuinljbpGbp|i $fi[mpiug|iLuj[i L CibdiugtiiuG (uGqfipGbpnLd:

Onp6Giul|LuG tupqjnLG^Gbpi] uintugiliud bG Matlab Ijhpu-intuljiuG 6puuqpbp|i ijiujpbpfi djigngnij;

Armen S. Petrosyan