автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математического обеспечения графических баз данных. Геометрический подход

На правах рукописи

са^'у

Самарина Ольга Владимировна

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ИНВАРИАНТОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003456908

Ханты-Мансийск 2008

003456908

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО "Югорского государственного университета".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Славский Виктор Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Родионов Евгений Дмитриевич; доктор физико-математических наук, профессор Никоноров Юрий Геннадьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Кемеровский государственный

Защита состоится 25 декабря 2008 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина,

университет1

61.

Автореферат разослан 24 ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м н , профессор

С.А Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования и состояние проблемы. Интенсивный прогресс в области цифровой обработки изображений резко расширил возможности получения, обработки, хранения и представления графической информации. Однако при этом обозначились и новые вопросы, проблемы. К числу таких проблем относится разработка новых эффективных математических методов работы с изображениями. С одной стороны, на сегодняшний день существует множество алгоритмов их обработки. С другой стороны, большая информационная емкость изображений существенно ограничива.-ет пользователя в выборе методики обработки и дает повод к поиску более эффективных и быстрых способов обработки и анализа графической информации. В качестве важного стимула к разработке новых методик обработки изображений необходимо отметить постоянное совершенствование компьютерной техники и развитие математического аппарата.

Большое внимание разработке новых эффективных методов обработки изображений уделено в работах отечественных и зарубежных ученых, таких как Л.П. Ярославский, В.Н. Дементьев, И.С Грузман, A.A. Спектор, B.C. Киричук, В.П. Косых, Г.И. Перетягин, У. Прэтт, Э. Айфичер, Р. Гон-салес, Р. Вудс, Т. Acharya, К. Ray, R. Baidock, J. Graham.

Одним из наиболее перспективных направлений в области обработки гра.-фической информации является нахождение геометрических характеристик изображений, в том числе инвариантов изображения относительно различных групп преобразований. Инварианты играют важную роль в чистой и прикладной математике и являются наиболее естественными характеристиками изображения. Их можно использовать в самых различных прикладных задачах: в задачах распознавания, отыскания снимка по образцу, в задачах фотограмметрии, задачах привязки изображений, цифровой обработке многоканальных космических снимков.

Проблема привязки и совмещения изображений заключается в установ-чентш соответствия между точками двух или более изображений. Данная

задача является фундаментальной проблемой компьютерного видения, поскольку необходимость совмещения изображений возникает при решении таких задач, как выявление изменений в серии изображений, анализ движения, объединение информации от различных сенсоров, стереозрение и текстурный анализ. Подобные проблемы, в свою очередь, возникают в биомедицинских приложениях, при решении задач фотограмметрии и в зрении роботов, при дистанционном сборе данных.

Многоканальные космические и радиолокационные снимки, содержащие раздельные изображения в различных участках спектра, произвели настоящую революцию в области дистанционного зондирования Земли. Послужили толчком к развитию геоинформационных систем и разработке новых математических методик работы с графической информацией, в том числе с использованием инвариантов.

Перечисленные выше проблемы, а также необходимость их решения определили важную практическую значимость и актульность построения новых геометрических методов обработки изображений и выбор темы настоящего исследования.

Целью исследования является разработка новых эффективных математических методов работы с изображениями, применение которых качественно повышает возможности работы с графической информацией.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- определение свойств и характеристик изображений, инвариантных относительно определенной группы преобразований;

- анализ инвариантов изображения:

- разработка методики текстурного анализа изображений на основе инвариантов Д1М предварительной обработки изображений;

• построение корректных схем квантизации функции изображения на дискретный растр:

- разработка механизма определения точек для привязки изобрахсений;

- создание программного обеспечения для анализа и синтеза изображений;

- экспериментальное апробирование разработанных средств и методов для оценки их эффективности и возможностей использования при решении прикладных задач.

Объектом исследования являются изображения различных типов, их свойства н характеристики, процессы квантования и дискретизации изображений, математические методы обработки графической информации.

Предметом исследования являются математические методы анализа, синтеза графических изображений, текстурный анализ изображений, операторы квантизации функций изображений на дискретную сетку и программные средства обработки графической информации.

Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследования осуществлялось на основе комплексного использования системного анализа, информационных технологий, аналитических и геометрических методов исследования, основанных на теории инвариантов, аппарата вейвлет-анализа в цифровой обработке изображений, методов математической статистики, экспериментальных исследований разработанных алгоритмов и методик.

Основные положения, выносимые на защиту:

- конструкция инвариантов второго порядка для одноканального изображения относительно определенной группы преобразований;

- инварианты первого порядка для трехканальных изображений относительно различных групп преобразований;

- методика текстурного алализа изображений на основе инвариантов для предварительной обработки изображений,

- программное обеспечение для ннаигзн и синтеза изображений.

Научная новизна полученных результатов определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для работы с изображениями и получены следующие результаты:

1. Разработана конструкция инвариантов второго порядка для одноканаль-ного изображения относительно группы гомотетий и калибровки каналов.

2. Впервые определено семейство инвариантов первого порядка для трехканальных изображений относительно группы гомотетий и калибровки каналов.

3. Построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений относительно проективной группы и калибровки каналов.

4. Предложена методика текстурного анализа изображений, основанная на использовании инвариантов.

5. Построен программный комплекс для привязки и совмещения однока-нальных и трехканальных изображений, основанный на использовании инвариантов и вейвлет разложения.

Практическая значимость. Предложенный в работе геометрический подход нахождения универсальных характеристик изображения может быть использован при построении математического аппарата обработки графической информации.

Разработанные методы н алгоритмы могут быть применены для создания автоматизированных систем распознавания изображений, отыскания снимка в графических базах по образцу, цифровой обработке многоканальных космических снимков.

Полученные теоретические и практические результаты, а также разрабо-таное программное обеспечение, могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов по цифровой обработке изображений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских и международных научно-технических конференциях: VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2005, г. Кемерово; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2006, г. Красноярск; VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2007, г. Новосибирск; региональных конференциях по математике "МАК - 2005", "МАК - 2006", "МАК - 2007', г. Барнаул; X научно-практической конференции "Пути реализации нефтегазового и рудного потенциала Ханты-Мансийского автономного округа-Югры", 2006, г. Ханты-Мансийск; VI межрегиональной конференции "Информационные технологии и решения для "Электронной России", 2007, г. Ханты-Мансийск; Международной конференции "Геометрия в Астрахани 2007", г. Астрахань; II Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и производстве", 2008, г. Орел; IV научно-практической конференции ''Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования'', 2008, г. Ханты-Мансийск; IV Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий", 2008, г. Сочи.

Публикации. По теме исследования опубликовано 15 печатных работ, в том числе 9 статей в журналах (4 в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и 5 в сборниках работ конференции), 6 тезисов докладов на конференциях.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация содержит введение, 4 гла.вы и заключение, изложенные на 137 стр. машинописного текста. В работу включены 61 рис., 6 табл., список литературы из 112 наименований и два приложения, в которых представлены листинг программных модулей if статистика обработки ичображенпй в программном комплексе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования. Определены объект, предмет и методы исследования. Раскрыты научная новизна и практическая значимость работы. Приведены основные положения, выносимые на защиту. Дан краткий обзор содержания работы.

Первая глава диссертации "Применение теории инвариантов при построении алгоритмов обработки изображений" посвящена элементарному введению в теорию инвариантов. Детально рассмотрена проблемная область исследования - применение теории инвариантов в решении задач обработки и анализа графических изображений. Определено содержание основных используемых понятий. Проведен аналитический обзор существующих методик и алгоритмов обработки одноканальных и трехканальных изображений, основанных на использовании инвариантных характеристик относительно группы преобразований.

Во второй главе "Инварианты одноканального изображения" определена группа инвариантов одноканального изображения относительно группы преобразований, включающей в себя сдвиги, повороты, масштабирования и калибровку.

Одноканальное изображение представимо в виде неотрицательной, дважды непрерывно дифференцируемой функции в некоторой области на плоскости, пусть тейлоровское разложение в начале координат имеет вид:

/(х, у) = а + р,х + му + ^ (бцх2 + 2Ь12ху + Ь21у2) + о (х2 + у2) ,

где

а = /(0,0), Р1 = ^(0,0), р2 = ^(0,0),

д2 { д2 /■ д2 /' ь» = ф 0,0). = 0,0), = ¿¡во).

Предположим, что изображение подверглось преобразованию в (А, р. ф) : /(а., у) - г* / (р" (.г соз{ф) - у ып(ф)), р" (х яш(ф) + у сов{ф))).

т. е. повороту, растяжению. Множитель еЛ можно интерпретировать как фактор поглощения среды, действующий в окрестности исследуемой точки. Нетрудно видеть, что преобразования 0 (А, р, ф) удовлетворяют тождеству

© (Al.Pl, 01) 0 © (^2, Р2, Фт) = 6 (А[ + Л2,Р1 + Р2,ф\ + ф2) и образуют трехмерную коммутативную группу Ли <2. Рассматривая действие группы С на пространстве 2-струй функций 72(Д2,0) (тейлоровских разложений 2 порядка), получим, что группа й действует в пространстве параметров Ь = {а,рьр2,611,622,612} € Я6.

Определение 1. Будем называть функцию / (а,рьр2, 6ц, 622,612), нетождественно равную константе, инвариантом 2-го порядка, если под действием преобразований группы С она не меняется.

Для проведения анализа и обработки изображений предложен следующий набор инвариантов:

1 = Р1 +Рг 1 = 611Р1 + 2612Р1Р2 + 622Р2

1 (622 + 611) а' 2 (6^ + 6^+26^)0 '

-2612Р1Р2 + 6иР? + 622Р1 т „ ~Ь2Г + 6ц622 ■"з =-/.о . ,1 , > .-. Н = I

{Ь\2 + Ь]1 + 2Ь\2)а ' 4 Ь222+Ь2п + 2Ь2п'

. _ [г _ (622 + 6ц) (бпр? + 2612р1р2 + 622Р2) 2 (6^ + ^+26?2)(Р?+Р1) '

г _ ¡3 _ (622 + 6ц) (¿ИР2 - 2612Р1Р2 + 622Р1) 3"/,~ (612 + 621 + 2622)(Р?+Р2) ' В работе проведены экспериментальные исследования представленного набора инвариантов в качестве характеристик изображения.

Необходимо отметить, что в процессе реальной обработки изображение подвергается дискретизатиции. следствием которой является возникновение погрешностей при вычислении инвариантов. Во второй главе подробно рассмотрены процессы дискретизации, квантования изображения. Описана разработанная методика квантизации функции изображения на дискретный растр, выполнена оценки погрешностей, связанных с квантованием функции изображения.

и

В третьей главе "Инварианты трехканалыгаго изображения" предложен набор инвариантов первого порядка для трехканальных изображений относительно движений, масштабирования и калибровки каналов. Дополнительно определяется инвариант первого порядка относительно группы проективных преобразований и калибровки каналов.

Трехканальное изображение представляется тремя неотрицательными функциями в некоторой области на плоскости. Будем предполагать, что функции 2-раза непрерывно дифференцируемы, тогда справедливо разложение Тейлора 2-го порядка с центром в произвольной точке области:

/' (г, у) = а1 + р\х + р\у + (b('2,o)Z2 + 2Ь}1Л)ху + &(U,2)y2) + о(х2 + у2), /2(х, у) = а2 + р\х + ply + ^ (bfmx2 + 2b¡hl]xy + 62аду2) + о (х2 + у2), f(x, у) = а3 + р3* + ply+^ (¿>?2,о)Х2 + Щи)ху + ¿¡о,2)У2) + о (х2 + у2). Пусть i(x,y) = [f1(x,y),f2{x,y)J3{x,y)]l имеем:

a=f(0,0), Pl-g<0,0), р2 = |^(0,0). Предположим, что снимок подвергся преобразованию 0 (А, р, ф) : f(x, у) eAf (е"(хссхз(ф) - узш(ф)), е" (xsin(<j>) + j/cos(</>))).

Здесь коэффициент ер соответствует гомотетии изображения, угол ф - повороту, а коэффициенты ел = [eA|,eAí,eAl] - калибровке 1, 2 и 3 каналов соответственно. Множители еЛ' можно интерпретировать как факторы поглощения среды, действующие в окрестности исследуемой точки и соответствующие частотному диапазону данного канала.. Пусть Л = [Aj, Ад, Аз] -соответствующий вектор. Нетрудно видеть, что преобразования 0 (А, р. ф) удовлетворяют тождеству

© (Ai, pi, фх) о 6 (A2,p2,<¡>2) = в (Ai + А2. pi 4- Р1,Ф\ + фг),

и образуют пятимерную коммутативную группу Ли G. Рассматривая действие группы G на пространство Jj¡ = ./'(Я2,/?3) А--струй функций (тей-лоропских разложений к-го порядка), получим, что группа G действует в

И!

пространстве размерности п(к, 3) = Здесь к - порядок тейлоров-

ского разложения, а 3 - число каналов.

Определение 2. Будем называть числовую функцию / : ^ —* Я. нетождественно равную константе, инвариантом А>го порядка, если под действием преобразований группы й она не меняется.

Справедлива теорема:

Теорема 1. Следующие функции являют,ся инвариантами:

РЬ>1 + Р\Р\ , И2(Й)2 + (Р?)2)

и =

]/{(р\)2 + (р\)2)((Р^ + (Р?)2)' (а2)2(([р1)2 + {р{)2)'

(а2)2((р1? + (рЬ2)

г _РгР\ + Р1Р1_ ,

12 = =, 1Ь =

^((Рг)2 + (р!)2)((Рг)2 + (Р?)2) ' (а3)2((^)2 + (Р?)2)'

}, = Р^ + Р?Р? /б = (а3)2((й)2 + (р1)2)

^/((^)2 + (Р?)2)((Р1)2 + (Р?)2)' 6 (-,)9(й)' + (Рг)2)"

Замечание. Наряду с инвариантами Д, /2, /3 будем рассматривать сопряженные к ним инварианты Ь, Н

12 12 Г Р1Р2 ~ Р2Р1 11 =-------------

((Рг)2 + (Р1)2)((Рг)2 + (Р2)2)

т Р1Р2 - Р2Р1 12 =--

((Рг)2 + (р})2)((Рг):! + (Р?)2) /з = Р1Р2 - р1р\

'((Р^)2 + (Р?)2)((К)2 + (Р I)2)

В силу инвариантности относительно калибровки каналов, гомотетии и поворота изображения при вычислении инвариантов можно перейти к "нор-

мированным" функциям /'(х, у), f '(x. у), /3(:с, у) имеющим вид: f\x, у) = 1 + р\х + р\у + о (vV + y2) , }2{х,у) = 1 + р]х + р\у + о (V^ + y2) , (0.0.1)

/3(х, у) = 1 + р\х + р\у + о (у*2 + у2) , где р[ = 1. а р\ = 0. Отсюда получим:

v\ = h Pi = Л \/Ä>

з г 1 з ? 1

Геометрический смысл векторов р1 = (р\,р\), Р2 = (PiiРг). Р3 = (РьРг) заключается в том, что они представляют собой градиенты нормированных функций /1(х, у), f2{x,y), f3[x,y). Треугольник Apip2pi не зависит от ка-

у VP'

1 s'-' \ \

' /Ъ X

р'

Рис. 1: Инвариантный симплекс, отвечающий ИСВ-шображению

либровки каналов и поворотов исходного изображения относительно начала координат. Назовем его инвариантным ЯСВ-симплексом. Координаты вершин треугольника ДР\Р2Рз следующие'

р1 = V/* = (1-0),

Определим попарные векторные произведения векторон р1.р2,р~> - зти произведения будут представлять собой удвоенные площади треугольников,

определенных этими векторами (см. рис. 1):

1 О

1\уЛЛ ЪУ/П Ьу/И Лч/А

523 =

к7П

5з1 =

т 1

= Лл/Л,

7К 1

т 1

1

о )

Определение 3. Определим множество 'особых" точек - Г2 для ИД В-изображения, как "особые" точки суммы нормированных функций 1ЮВ-изобра-жения

Р = /' + /2 + Л

В этих точках сумма градиентов нормированных каналов равняется нулю, что в терминах величин £12, 5гз, Бц означает равенство 512 — 5гз = 5з1.

Приближенное равенство 5п = 5гз = 5з1 можно записать в виде системы неравенств:

5,, 1

512 1

5,2 + 5гз + 5з1 3

5гз 1

5п + 5гз + 5з1 3

5з1 1

512 + 5гз + 531 3

< Е,

(0.0.2)

Обозначим множество точек, удовлетворяющих данной системе за М¿до.

Замечание. При £ < 1/6 множество Л/цШ будет лежать в множестве Моею -области внутри треугольника. Ар\р2рз. На рисунке 2 изображены множества Мйп при е равном 1/12 и 1/6.

Для отсева "особых" точек, используем систему 0.0.2. Будем подбирать е таким образом, чтобы в область М(1Ш С Мшм попадало около 10 наиболее характерных точек. Опытным путем было выяснено, что для удовлетворения этоги условия £ рекомендуется выбирать в пределах £ < 0.05.

1.1

Рис. 2: Множества М^ю ПРИ £ равной 1/12 (слева) и 1/6 (справа)

Проведенные экспериментальные исследования показывают, что множество "особых" точек П является инвариантной характеристикой изображения в целом, его можно использовать в различных задачах обработки и анализа изображений.

При исследовании цифровых многоканальных изображений достаточно часто возникает задача определения характеристик изображения, инвариантных относительно группы проективных преобразований, т.е. преобразований, возникающих в результате различного положения фотокамеры и различной калибровки каналов в момент съемки. В диссертационном исследовании определена новая характеристика изображения - инвариант относительно группы проективных преобразований и калибровки каналов.

Теорема 2. Следующая функция является инвариантом относительно группы проективных преобразований:

а1 Ш-рУ2) аЦрМ-рЖУ (0-°'3)

При построении статистических моделей форм образов в теории распознавания и анализа изображений большую роль играет теория геометрических вероятностей. В третьей главе представлена методика применения геометрического и вероятностного подхода к решению задач распознавания текстуры изображений и выявления на снимках общих областей. Определяется и исследуется коэффициент перекрытия двух выпуклых изображений, вычисляется функция распределения коэффициента перекрытия для изображений.

В четвертой главе "Программный комплекс обработки одноканальных и трехкапальпых изображений" предложена, методика обработки однока.наль-

ных и трехканальных изображений с использованием дифференциальных инвариантов, представленных во второй и третьей главах.

Была поставлена задача нахождения точек на двух изображениях с одинаковыми значениями инвариантов (в диссертации используется термин "особые" точки). При априорной информации, что данные изображения имеют общие точки, "особые" точки можно рассматривать как одинаковые и использовать их в задаче привязки изображений и в других важных задачах. Отметим, что простой перебор попарно двух точек в двух изображениях с вычислительной точки зрения неприемлем, так для двух изображений размера 512 х 512 общий объем перебора составляет 5124 = 68719476736. Поэтому в основу алгоритма был положен принцип пирамидальной обработки изображений.

С помощью вейвлет-разложения (использовался вевлет Хаара) сначала строятся огрубленные версии изображений и для них находятся пары грубых "особых" точек для которых инварианты мало отличаются между собой. Затем берутся более подробные изображения (уровень вейвлет-разложения понижается) и в окрестностях выбранных на предыдущем шаге пар точек ведется поиск пары точек с более близкими значениями инвариантов.

Так как при этом исключается полный перебор пар точек и так как в силу алгоритмов для нахождения вейвлет-разложения не требуется заново строить это разложение в более низком уровне, данная метода оказалась эффективной даже при скромных требованиях на ЭВМ.

Выбор вейвлета Хаара основан на его простоте и том, что инварианты (комбинации первых производных) легко выражаются через коэффициенты вейвлет-разложения.

В конечном итоге, после анализа изображений, программа либо сообщает, что похожих (''особых") пар точек нет, либо выдает такие пары точек. В последнем случае за оператором остается окончательный выбор пар одинаковых точек для привязки изображений. Таким образом, данная программа позволяет в почуаптоматическом режиме осуществлять привязку двух гпоб-

раже.ний, исследовать семейство изображений на предмет поиска изображений с общими точками.

В главе описаны основные программно-технологические решения, созданные в рамках диссертационного исследования. Приведено подробное описание разработанного программного комплекса - методов, моделей и алгоритмов обработки и анализа графических изображений.

Результаты данной главы имеют экспериментальный характер и предназначены для иллюстрации потенциальных возможностей использования инвариантных характеристик относительно групп преобразований для обработки изображений.

В приложении 1 представлен листинг программных модулей, разработанных в системе МаШЬ.

В приложении 2 представлена статистика обработки одноканальных и трехканальных изображений в программном комплексе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В ходе проведенного исследования решены поставленные задачи и достигнуты следующие результаты:

- разработана конструкция из четырех инвариантов второго порядка для одноканального изображения относительно группы гомотетий и калибровки каналов;

- определено семейство инвариантов первого порядка для трехканальных изображений относительно группы гомотетий и калибровки каналов:

- построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений относительно проективной группы и калибровки каналов;

- разработан метод текстурного анализа для трехканальных изображений, основанный на использовании множества "особых" тЪчек Г2 для И.СВ-изображения.

ю

- в системе MATLAB построен программный комплекс для обработки од-ноканальных и трехканальных изображений, решающий задачи выделения точек для привязки изображений и совмещения изображений по заданным точкам.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ •

1. Батгауэр, О.В. Инвариантный вейвлет-дескриптор для формирования запроса изображений / О. В. Батгауэр // VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. - Кемерово, 2005.

2. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О. В. Батгауэр, В.В. Славский // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. Красноярск, 2006.

3. Батгауэр, О.В. Вейвлет-дескриптор изображения инвариантный относительно движений и растяжений // О.В. Батгауэр, В.В. Славский // МАК-2006 : материалы девятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 42-44.

4. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Новые материалы и технологии в машиностроении : сборник тезисов всероссийской научно -технической конференции. - Рубцовск, 2006. - С. 7-8.

5. Батгауэр, О.В. Локальные инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Математическое образование на Алтае : тезисы региональной конференции. - Барнаул : Изд-во БГПУ, 2006. - С. 50 -51.

6. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений // О.В. Батгнучр. В.В. С'лавский , / МЛК-2007 . материалы

■Жирным шрифтом иыдингпы i-тнтьи н изднинях. рекоыендоинппых ВАК РФ

десятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 35-36.

7. Самарина, О.В. Групповой подход к изучению и обработке зрительных образов / О. В. Самарина // VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. - Новосибирск, 2007. - С. 106.

8. Самарина, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Вестник СамГУ. - 2007. - № 9/1. - С. 128-137.

9. Самарина, О.В. Применение инвариантов при сопоставлении и привязке изображений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Геометрия в Астрахани-2007 : тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти и в связи с 85-летием Г.Ф.Кушнера. - Астрахань, 2007. - С. 54-56.

10. Самарина, О.В. Инварианты многоканального изображения / О.В. Самарина, В.В. Славский // Известия ОрелГТУ, серия : фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологий: информационные системы и технологии. - Орел, 2007. - №4-2/268(535). - С. 47-56.

11. Самарина, О.В. Использование инвариантов при поиске соответствия изображений /' О.В. Самарина // Вестник Югорского государственного университета. - Ханты-Мансийск, 2008. Выпуск 1(8). - С. 110-113.

12. Самарина, О.В. Геометрический подход к решению задач распознавания текстуры изображений / О.В. Самарина // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий : материалы четвертой всероссийской научно-практической конференции. -Сочи, 2008. - С. 137-138.

13. Самарина., О.В. Новый методологический подход к цифровой обработке изображений, основанный на теории геометрических

1S

инвариантов / О.В. Самарина // Информационные технологии в науке, образовании и производстве : материалы третьей международной научно-технической конференции. - Орел, 2008 - №1-2/269(544). - С. 195-199.

14. Самарина, О.В. Применение инвариантов при цифровой обработке данных дистанционного зондирования Земли / О.В. Самарина // Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования : материалы четвертой научно-практической конференции. -Ханты-Мансийск, 2008. С. 161 163.

15. Самарина, О.В. Инварианты одноканального изображения / О.В. Самарина // Вестник НГУ, серия : информационные технологии. - Новосибирск, 2008. - Том 6, выпуск №1. - С. 69-79.

П)

Подписано в печать 21.11.2008 Формат 60 х 80/16 Офсетная печать Усл. печ. л. 1,25

Заказ 672 Тираж 100 экз.

Редакциопио-издательский центр ЮГУ 628012, Хялты-Мапсийский автономный округ - Югра г. Ханты-Мансийск, ул Чехова 16

Введение ; '

1 Применение теории инвариантов при построении алгоритмов обработки изображений

2 Инварианты одноканального изображения

2.1 Группа 51 преобразований изображений.

2.2 Случай непрерывного изображения

2.3 Случай дискретного изображения.

2.3.1 Квантование изображения.

2.3.2 Оценки погрешностей, связанных с квантованием

2.4 Статистика распределения инвариантов Зч, </з.

2.5 Совместное распределение Зч, с/з.

3 Инварианты трехканального изображения

3.1 Группа 5з преобразований изображений.

3.1.1 Инварианты трехканального изображения

3.1.2 Инвариантный 1ЮВ-симплекс

3.1.3 Дискретное представление инвариантов изображения

3.1.4 Поведение дискретных инвариантов при повороте изображения

3.1.5 Оценка параметра е для КСВ-симплекса.

3.2 Проективная группа Рз преобразований изображения.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Проективный инвариант трехканальных изображений

3.2.3 Статистика распределения проективного инварианта . . 73 3.3 Геометрический подход к решению задач распознавания текстуры изображений

3.3.1 Коэффициент перекрытия изображений.

3.3.2 Функция распределения коэффициента перекрытия для двух изображений.

3.3.3 Численные эксперименты.

4 Программный комплекс обработки одноканальных и трехка-нальных изображений

4.1 Среда разработки программного комплекса - MATLAB.

4.2 Элементы функциональной структуры программного комплекса

4.3 Методика обработки изображений в программном комплексе

4.3.1 Предварительная обработка изображений.

4.3.2 Вейвлет-разложение.

4.3.3 Вычисление инвариантов.

4.3.4 Совмещение и привязка изображений.

4.4 Описание интерфейса программного комплекса.

4.4.1 Структура основного меню системы.

4.4.2 Структура меню системы в части работы с одноканаль-ными и трехканальными изображениями.

4.4.3 Результаты.

Актуальность исследования и состояние проблемы. Интенсивный прогресс в области цифровой обработки изображений резко расширил возможности получения, обработки, хранения и представления графической информации. Однако при этом обозначились и новые вопросы, проблемы. К числу таких проблем относится разработка новых эффективных математических методов работы с изображениями. С одной стороны, на сегодняшний день существует множество алгоритмов их обработки. С другой стороны, большая информационная емкость изображений существенно ограничивает пользователя в выборе методики обработки и дает повод к поиску более эффективных и быстрых способов обработки и анализа графической информации. В качестве важного стимула к разработке новых методик обработки изображений необходимо отметить постоянное совершенствование компьютерной техники и развитие математического аппарата.

Большое внимание разработке новых эффективных методов обработки изображений уделено в работах отечественных и зарубежных ученых, таких как Л.П. Ярославский, В.Н. Дементьев, И.С Грузман, A.A. Спектор, B.C. Киричук, В.П. Косых, Г.И. Перетягин, У. Прэтт, Э. Айфичер, Р. Гонса-лес, Р. Вудс, Т. Acharya, К. Ray, R. Baidock, J. Graham.

Одним из наиболее перспективных направлений в области обработки графической информации является нахождение геометрических характеристик изображений, в том числе инвариантов изображения относительно различных групп преобразований. Инварианты играют важную роль в чистой и прикладной математике и являются наиболее естественными характеристиками изображения. Их можно использовать в самых различных прикладных задачах: в задачах распознавания, отыскания снимка по образцу, в задачах фотограмметрии, задачах привязки изображений, цифровой обработке многоканальных космических снимков.

Проблема привязки и совмещения изображений заключается в установлении соответствия между точками двух или более изображений. Данная задача является фундаментальной проблемой компьютерного видения, поскольку необходимость совмещения изображений возникает при решении таких задач, как выявление изменений в серии изображений, анализ движения, объединение информации от различных сенсоров, стереозрение и текстурный анализ. Подобные проблемы, в свою очередь, возникают в биомедицинских приложениях, при решении задач фотограмметрии и в зрении роботов, при дистанционном сборе данных.

Многоканальные космические и радиолокационные снимки, содержащие раздельные изображения в различных участках спектра, произвели настоящую революцию в области дистанциоиного зондирования Земли. Послужили толчком к развитию геоинформационных систем и разработке новых математических методик работы с графической информацией, в том числе с использованием инвариантов.

Перечисленные выше проблемы, а также необходимость их решения определили важную практическую значимость и актульность построения новых геометрических методов обработки изображений и выбор темы настоящего исследования.

Целью исследования является разработка новых эффективных математических методов работы с изображениями, применение которых качественно повышает возможности работы с графической информацией.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- определение свойств и характеристик изображений, инвариантных относительно определенной группы преобразований;

- анализ инвариантов изображения;

- разработка методики текстурного анализа изображений на основе инвариантов для предварительной обработки изображений;

- построение корректных схем квантизации функции изображения на дискретный растр;

- разработка механизма определения точек для привязки изображений;

- создание программного обеспечения для анализа и синтеза изображений;

- экспериментальное апробирование разработанных средств и методов для оценки их эффективности и возможностей использования при решении прикладных задач.

Объектом исследования являются изображения различных типов, их свойства и характеристики, процессы квантования и дискретизации изображений, математические методы обработки графической информации.

Предметом исследования являются математические методы анализа, синтеза графических изображений, текстурный анализ изображений, операторы квантизации функций изображений на дискретную сетку и программные средства обработки графической информации.

Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследования осуществлялось на основе комплексного использования системного анализа, информационных технологий, аналитических и геометрических методов исследования, основанных на теории инвариантов, аппарата вейвлет-анализа в цифровой обработке изображений, методов математической статистики, экспериментальных исследований разработанных алгоритмов и методик.

Основные положения, выносимые на защиту:

- конструкция инвариантов второго порядка для одноканального изображения относительно определенной группы преобразований;

- инварианты первого порядка для трехканальных изображений относительно различных групп преобразований;

- методика текстурного анализа изображений на основе инвариантов для предварительной обработки изображений;

- программное обеспечение для анализа и синтеза изображений.

Научная новизна полученных результатов определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для работы с изображениями и получены следующие результаты:

1. Разработана конструкция инвариантов второго порядка для одиоканаль-ного изображения относительно группы гомотетий и калибровки каналов.

2. Впервые определено семейство инвариантов первого порядка для трехканальных изображений относительно группы гомотетий и калибровки каналов.

3. Построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений относительно проективной группы и калибровки каналов.

4. Предложена методика текстурного анализа изображений, основанная на использовании инвариантов.

5. Построен программный комплекс для привязки и совмещения однока-нальных и трехканальных изображений, основанный на использовании инвариантов и вейвлет разложения.

Практическая значимость. Предложенный в работе геометрический подход нахождения универсальных характеристик изображения может быть использован при построении математического аппарата обработки графической информации.

Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для создания автоматизированных систем распознавания изображений, отыскания снимка в графических базах по образцу, цифровой обработке многоканальных космических снимков.

Полученные теоретические и практические результаты, а также раз-работаное программное обеспечение, могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов по цифровой обработке изображений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских и международных научно-технических конференциях: VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2005, г. Кемерово; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2006, г. Красноярск; VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2007, г. Новосибирск; региональных конференциях по математике "МАК - 2005", "МАК - 2006", "МАК - 2007", г. Барнаул; X научно-практической конференции "Пути реализации нефтегазового и рудного потенциала Ханты-Мансийского автономного округа-Югры", 2006, г. Ханты-Мансийск; VI межрегиональной конференции "Информационные технологии и решения для "Электронной России", 2007, г. Ханты-Мансийск; Международной конференции "Геометрия в Астрахани 2007", г. Астрахань; III Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и производстве", 2008, г. Орел; IV научно-практической конференции "Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования", 2008, г. Ханты-Мансийск; IV Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий", 2008, г. Сочи.

Публикации. По теме исследования опубликовано 15 печатных работ, в том числе 9 статей в журналах (4 в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и 5 в сборниках работ конференции), 6 тезисов докладов на конференциях.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 137 стр. машинописного текста. В работу включены 61 рис., 6 табл., список литературы из 112 наименований и два приложения, в которых представлены листинг программных модулей и статистика обработки изображений в программном комплексе.

Заключение

В ходе проведенного исследования решены поставленные задачи и достигнуты следующие результаты:

- разработана конструкция из четырех инвариантов второго порядка для одноканального изображения относительно группы гомотетий и калибровки каналов;

- определено семейство инвариантов первого порядка для трехканальных изображений относительно группы гомотетий и калибровки каналов;

- построен инвариант первого порядка для трехканальных изображений относительно проективной группы и калибровки каналов;

- разработан метод текстурного анализа для трехканальных изображений, основанный на использовании множества "особых" точек - Q для RGB изображения.

- в системе MATLAB построен программный комплекс для обработки од-ноканальных и трехканальных изображений, решающий задачи выделения точек для привязки изображений и совмещения изображений по заданным точкам.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Основные положения диссертации освещены в следующих публикациях:

1. Батгауэр, О.В. Инвариантный вейвлет-дескриптор для формирования запроса изображений / О. В. Батгауэр //VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. - Кемерово, 2005.

2. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О. В. Батгауэр, В.В. Славский // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. - Красноярск, 2006.

3. Батгауэр, О.В. Вейвлет-дескриптор изображения инвариантный относительно движений и растяжений // О.В. Батгауэр, В.В. Славский // МАК-2006 : материалы девятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 42-44.

4. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Новые материалы и технологии в машиностроении : сборник тезисов всероссийской научно -технической конференции. - Рубцовск, 2006. - С. 7-8.

5. Батгауэр, О.В. Локальные инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Батгауэр, В.В. Славский // Математическое образование на Алтае : тезисы региональной конференции. - Барнаул : Изд-во БГПУ, 2006. - С. 50-51.

6. Батгауэр, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений // О.В. Батгауэр, В.В. Славский // МАК-2007 : материалы десятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 35-36.

7. Самарина, O.B. Групповой подход к изучению и обработке зрительных образов / О. В. Самарина // VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : материалы конференции. - Новосибирск, 2007. - С. 106.

8. Самарина, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Вестник СамГУ. - 2007. -№ 9/1. - С. 128-137.

9. Самарина, О.В. Применение инвариантов при сопоставлении и привязке изображений / О.В. Самарина, В.В. Славский // Геометрия в Астрахани-2007 : тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти и в связи с 85-летием Г.Ф.Кушпера. - Астрахань, 2007. - С. 54 56.

10. Самарина, О.В. Инварианты многоканального изображения / О.В. Самарина, В.В. Славский // Известия ОрелГТУ, серия : фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологий: информационные системы и технологии. - Орел, 2007. - №4-2/268(535). - С. 47-56.

11. Самарина, О.В. Использование инвариантов при поиске соответствия изображений / О.В. Самарина // Вестник Югорского государственного университета. - Ханты-Мансийск, 2008. - Выпуск 1(8). - С. 110-113.

12. Самарина, О.В. Геометрический подход к решению задач распознавания текстуры изображений / О.В. Самарина // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий : материалы четвертой всероссийской научно-практической конференции. - Сочи, 2008. - С. 137-138.

13. Самарина, О.В. Новый методологический подход к цифровой обработке изображений, основанный на теории геометрических инвариантов / О.В. Самарина // Информационные технологии в науке, образовании и производстве : материалы третьей международной научно-технической конференции. - Орел, 2008. - №1-2/269(544). - С. 195-199.

14. Самарина, О.В. Применение инвариантов при цифровой обработке данных дистанционного зондирования Земли / О.В. Самарина // Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования : материалы четвертой научно-практической конференции. - Ханты-Мансийск, 2008. - С. 161-163.

15. Самарина, О.В. Инварианты одноканального изображения / О.В. Самарина // Вестник НГУ, серия : информационные технологии. - Новосибирск, 2008. - Том 6, выпуск №1. - С. 69-79.

1. Айфичер, Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход (2-е издание) / Э. Айфичер, Б. Джервис. - М. : Вильяме, 2004. - 992 с.

2. Аксенов, О.Ю. Этапы совмещения изображений / О.Ю. Аксенов //Проблемные вопросы сбора, обработки, передачи и защиты информации в сложных радиотехнических системах : материалы конференции. Пушкин, 2005. - С. 43-52.

3. Анисимов, Б.В. Распознавание и цифровая обработка изображений / Б.В. Анисимов, В.Д. Курганов, В.К. Злобин. М. : Высшая школа, 1983.- 293 с.

4. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. - №11.- С. 1145-1170.

5. Батуашвили, И.Ш. Системы поиска изображений / И.Ш. Батуашвили, И.В. Сафонов // Научная сессия МИФИ-2005. М. : МИФИ, 2005. -Т. 12. С. 22-23.

6. Битюцкий, О.И. Поиск и локализация реперных фрагментов при совмещении повторных снимков / О.И. Битюцкий, Г.И. Перетягин // Автометрия. 1988. - №3.

7. Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Р. Блейхут. М. : Мир, 1989. - 448 с.

8. Бутаков, Е.А. Обработка изображений на ЭВМ / Е.А. Бутаков, В.И. Островский, И.Л. Фадеев. М. : Радио и связь, 1987. - 240 с.

9. Гильберт, Д. Основания геометрии / Д. Гильберт; пер. с нем. под ред. А.В.Васильева. JI. : Сеятель, 1923. - 152 с.

10. Глумов, Н.И. Метод отбора информативных признаков на цифровых изображениях / Н.И. Глумов, Е.В. Мясников. М. : Институт обработки изображений РАН, 2005. - 4 с.

11. Гольденберг, JI.M. Цифровая обработка сигналов : учебное пособие для вузов / J1.M. Гольденберг, Б.Д. Матюшкии, М.Н. Поляк. М. : Радио и связь, 1990. - 256 с.

12. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс. -М. : Техносфера, 2005. 1072 с.

13. Горбунов, Б.А. Распознавание изображений в дистанционном зондировании / Б.А. Горбунов, В.Н. Дементьев, В.П. Пяткин // Автоматизированная обработка изображений природных комплексов Сибири. Новосибирск : Наука, 1988.

14. Грузман, И.С. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учебное пособие для вузов / И.С. Грузман и др.]. Новосибирск : НГТУ, 2000. - 352 с.

15. Давыдов, A.B. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции / A.B. Давыдов. Екатеринбург : УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. Фонд электронных документов, 2006. - 303 с.

16. Давыдов, A.B. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции / A.B. Давыдов. Екатеринбург : УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики, 2007. - 201 с.

17. Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро. М. : Мир, 1988. - 488 с.

18. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

19. Дремин, И.JI. Вейвлеты и их использование / И.Л. Дремин и др.] Успехи физических наук. 2001. - Т. 171. - №5. - С. 465-501.

20. Дуда, Р. Распознавание образов и анализ сцен / Р. Дуда, П. Харт. М. : Мир, 1976. - 506 с.

21. Дьяконов, В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник / В. Дьяконов, И. Абраменкова. СПб. : Питер, 2002.- 608 с.

22. Дьяконов, В.П. Matlab 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения / В.П. Дьяконов. М. : Солон-Пресс, 2004. - 768 с.

23. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. М. : Солон-Пресс, 2002. - 448 с.

24. Кашкин, В.Б. Дистанционное зондирование Земли из космоса. Цифровая обработка изображений : учебное пособие / В.Б. Кашкин, А.И. Сухинин.- М. : Логос, 2001. 264 с.

25. Кетков, Ю. Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц- СПб. : БХВ-Петербург, 2005.- 752 с.

26. Киричук, B.C. Об установлении сходства фрагментов с эталоном /

27. B.C. Киричук, Г.И. Перетягин // Автометрия. 1986. - №4. С. 83-87.

28. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. М.-Л., ГОНТИ, 1939. - 400 с.

29. Колесник, В.Д. Курс теории информации / В.Д. Колесник, Г.Ш. Пол-тырев. М. : Наука, 1982. - 416 с.

30. Котельников, В.А., О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи (Приложение) / В.А. Котельников // УФН, 2006, 176 (7),1. C. 762-770.

31. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов / А. Лукин. М. : МГУ, Лаборатория компьютерной графики и мультимедиа, 2002. - 44 с.

32. Лурье, И.К. Компьютерный практикум по цифровой обработке изображений и созданию ГИС. Дистанционное зондирование и географические информационные системы / И.К Лурье и др.]. М. : Научный мир, 2004. - 148 с.

33. Лурье, И.К. Теория и практика цифровой обработки изображений / И.К. Лурье, А.Г. Косиков. М. : Научный мир, 2003. - 168 с.

34. Марр, Д. Зрение: информационный подход к изучению представления и обработки зрительных образов / Д. Марр. М. : Радио и связь, 1987.- 400 с.

35. Неймарк, Ю.И. Многомерная геометрия и распознавание образов / Ю.И. Неймарк // Соросовский образовательный журнал. 1996. - №7.- С. 119-123.

36. Никитин, A.A. Теоретические основы обработки геофизической информации : учебник для вузов / A.A. Никитин. М. : Недра, 1986. - 342 с.

37. Новиков, Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов : учебное пособие / Л.В. Новиков. СПб. : ИАнП РАН, 1999. - 153 с.

38. Оппенгейм, A.B. Цифровая обработка сигналов / A.B. Оппенгейм, Р.В. Шафер. М. : Связь, 1979. - 416 с.

39. Петухов, А.П. Введение в теорию базисов всплесков / А.П. Петухов. -СПб. : Изд. СПбГТУ, 1999. 132 с.

40. Потапов, А. Проблема совмещения изображений Электронный ресурс] / А. Потапов. Электрон, текстовые дан. - Режим доступа: http : //www. aicommunity. org/articles-list. php свободный.

41. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений /У. Прэтт; под ред. Д.С. Лебедева. М. : Мир, 1982. — 620 с.

42. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Ра-бинер, Б. Гоулд. М. : Мир, 1978. - 848 с.

43. Сантало, Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности / Л. Сантало; пер. с англ. М. : Наука, 1983. - 358 с.

44. Сато, Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство / Ю. Сато; пер. с яп. под ред. Есифуми Амэмия. М. : Издательский дом "Додэка-XXI", 2002. - 175 с.

45. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. СПб. : Питер, 2003. - 608 с.

46. Сидоренко, A.B. Метод субпиксельной привязки космических снимков / A.B. Сидоренко, С.А. Смирнов // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса : сборник тезисов IV всероссийской открытой конференции. М. : ИКИ РАН, 2006. - С. 41.

47. Сойфер, В.А. Компьютерная обработка изображений / В.А. Сойфер // Соросовский образовательный журнал. 1996. - №2. - С. 118-124.

48. Сойфер, В.А. Компьютерная обработка изображений / В.А. Сойфер // Соросовский образовательный журнал. 1996. - №3. - С. 110-121.

49. Сойфер, В.А. Методы компьютерной обработки изображений (2-е изд.) / В.А. Сойфер. Физматлит, 2003. - 784 с.

50. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения / Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин; пер. с анг. Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 272 с.

51. Ту, Д. Принципы распознавания образов / Д. Ту, Р. Гонсалес. М. : Мир, 1978. - 411 с.

52. Файн, B.C. Опознавание изображений / B.C. Файн. М. : Наука, 1970.- 299 с.

53. Хуанг, Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т.С. Хуанг и др.]; под ред. Т.С. Хуанга: пер. с англ. М. : Радио и связь, 1984. - 224 с.

54. Ярославский, Л.П. Введение в цифровую обработку изображений / Л.П. Ярославский. М. : Советское радио, 1979. - 312 с.

55. Abo-Zaid A. About moment normalization and complex moment descriptors / A. Abo-Zaid, O. Hilton, E. Home // Proc. 4th International Conf. on Pattern Recognition. 1988. - P. 399-407.

56. Acharya T. Image Processing: Principles and Applications / T. Acharya, A.K. Ray. A J.Wiley and sons publication, 2005. - 449 p.

57. Arbter K. Application of affine-invariant Fourier descriptors to recognition of 3-D objects / K. Arbter ect.] // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell.- 1990. №12. - P. 640-647.

58. Aubert G. Mathematical Problems in Image Processing Partial Differential Equations and the Calculus of Variations. Second Edition / G. Aubert, P. Kornprobst. Springer Science+Business Media LLC, 2006. - 397 p.

59. Baldock R. Image Processing and Analysis A Practical Approach / R. Baldock, J. Graham. Oxford; Oxford University Press, 2000. - 301 p.

60. Bauckhage C. Evaluation of keypoint detectors / C. Bauckhage, C. Schmid.- Research report: INRIA, 1996. 57 p.

61. Belongie S. Shape matching and object recognition using shapecontexts / S. Belongie, J. Malik, J. Puzicha // IEEE PAMI, 2002. №24. - P. 509-522.

62. Birchfield S. An introduction to Projective Geometry (for computer vision) / S. Birchfield. 1998. - 22 p.

63. Bow S.T. Pattern Recognition and Image Preprocessing. Second Edition, Revised and Expanded / S.T. Bow. Marcel Dekker Inc., 2002. - 719 p.

64. Bruckstein A.M. Invariant signatures for planar shape recognition under partial occlusion / A.M. Bruckstein ect.] // Proceedings of the 11th International Conference on Pattern Recognition, The Hague, The Netherlands. 1992. - P. 108-112.

65. Florack L.M.J. General intensity transformations and differential invariants. / L.M.J. Florack, B.M.H. Romeny, J.J. Koenderink, M.A. Viergever //Journal of Mathematical Imaging and Vision. 1994.- №4. P. 171-187.

66. Florack L.M.J. Scale and the differential structure of images / L.M.J. Florack et al] // Image and Vision Computing. 1992. - № 10.- P. 376-388.

67. Flusser J. Pattern recognition by affine moment invariants / J. Flusser, T. Suk // Pattern Recognition. 1993. - №26. - P. 167-174.

68. Flusser J. Projective moment invariants / J. Flusser , T. Suk // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. 2004. - № 10. -P. 1364-1367.

69. Forsyth D. Invariant descriptors for 3-D object recognition and pose / D. Forsyth ect.] // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1987. - №10.- P. 971-991.

70. Gilíes A. Mathematical Problems in Image Processing. Partial Differential Equations and the Calculus of Variations / A. Gilíes, P. Kornprobst. -Springer Science + Business Media, LLC, 2006. 397 p.

71. Gouet V. Stereo Matching of Color Images using Differential Invariants / V. Gouet, P. Montesinos, D. Pele // Proceedings of the International Conference on Image Processing. 1998. - P. 152-156.

72. Guichard F. Image Analysis and P.D.E.'s / F. Guichard F., J.M. Morel. -ECCV, 2000. 345 p.

73. Harris C. A combined corner and edge detector / C. Harris, M. Stephens // In Proceedings of the 4th Alvey Vision Conference. 1988. P. 147-151.

74. Hartley R.I. Multiple View Geometry in Computer Vision / R.I. Hartley, A. Zisserman. Cambridge University Press, 2000. 672 p.

75. Hartley R.I. Projective Reconstruction and Invariants from Multiple Images / R.I. Hartley // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1994. - №10.- P. 1036-1041.

76. Hilbert D. Theory of Algebraic Invariants / D. Hilbert. Cambridge; New York: Cambridge Univ. Press, 1993. - 205 p.

77. Hu M.K. Pattern recognition by moment invariants / M.K. Hu //IRE Transaction on Information Theory. 1962. - P. 179-187.

78. Lin C.C. Classification of partial 2-D shapes using Fourier descriptors / C.C. Lin, R. Chellapa // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1987.- №9. P. 686-690.

79. Linnainmaa S. Pose determination for a three-dimensional object using triangle pairs / S. Linnainmaa, D. Harwood, L.S. Davis // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1988. - №5. - P. 634-647.

80. Maitra S. Moment invariants / S. Maitra // Proc. of IEEE, 1979. №67(4).- P. 697-699.

81. Meer P. Point/line correspondence under 2D projective transformation / P. Meer, I. Weiss // Proceedings of the 11th International Conference on Pattern Recognition, The Hague, The Netherlands. 1992. - P. 399-402.

82. Montesinos P. Differential Invariants for Color Images / P. Montesinos, V. Gouet, R. Deriche // Proceedings of 14th International Conference on Pattern Recognition. 1998. - P. 838-840.

83. Montesinos P. Matching color uncalibrated images using differential invariants / P. Montesinos et al] // Image and Vision Computing. 2000. - №18(9). - P. 659-671.

84. Mostafavi H. Image correlation with geometric distortion / H. Moustafavi, F.W. Smith // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1978. P. 487-500.

85. Mundy J.L. Geometric Invariance in Computer Vision / J.L. Mundy MIT Press, Combridge, 1992. - 560 p.

86. Mundy J.L. Object Recognition in the Geometric Era: a Retrospective / J.L. Mundy, ect.] Toward Category-Level Object Recognition, LNCS 4170, 2006. - P. 3-28.

87. Nishihara K. Prism : a practical real-time imaging stereo matcher / K. Nishihara. Massachusetts Institute of Technology, 1983. - 30 p.

88. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry / P.G. Oliver. Cambridge University Press, 1995. 525 p.

89. Qin L. Image Matching Based on A Local Invariant Descriptor / L. Qin, W. Gao / IEEE Image Processing. 2005. - P. 377-380.

90. Qin L. Local invariant descriptor for image matching / L. Qin, W. Zeng, W. Gao. ICASSP, 2005. - P. 1025-1028.

91. Qiu P. Image Processing and Jump Regression Analysis / P. Qiu. A John Wiley and Sons, Inc. publication, 2005. - 326 p.

92. Quan L. Invariants of 6 points from 3 uncalibrated images / L. Quan // In Computer Vision ECCV'94, Volume II, LNCS-Series Vol. 801, SpringerVerlag, 1994. - P. 459-470.

93. Ravela S. Retrieving Images by Similarity of Visual Appearance / S. Ravela, R. Manmatha // Proc. IEEE Content-Based Access of Image and Video Libraries, 1997. 67-74 p.

94. Reiss T.H. Object recognition using algebraic and differential invariants / T.H. Reiss // Signal Process. 1993. - № 32. - P. 367-395.

95. Reiss T.H. Recognition planar objects using invariant image features / T.H. Reiss. Berlin: Lecture Notes in Computer Science, 1993. - 676 p.

96. Rothwell C.A. Canonical frames for planar object recognition / C.A. Rothwell ect.] // Proceedings of the Second ECCV, Springer, Berlin.- 1992. P. 757-772.

97. Saiful I. Matching interest points of an object / I. Saiful // IEEE Image processing, 2005. P. 373-376.

98. Schmid C. Appariement d'images par invariants locaux de niveaux de gris -Application a l'indexation d'une base d'objets / C. Schmid. PhD thesis, INPG Grenoble, France, 1996. - 137 p.

99. Schmid C. Local grayvalue invariants for image retrieval / C. Schmid, R. Mohr // IEEE PAMI. 1997. - №19. - P. 530-534.

100. Serra J. Image analysis and mathematical morphology / J. Serra. London : Academic press INC LTD, 1982. - 621 p.

101. Shalkoff R.J. Digital image processing and computer vision. / R.J. Shalkoff.- A J.Wiley and sons publication, 1999. 489 p.

102. Suk T. Combined blur and affine moment invariants and their use in pattern recognition / T. Suk, J. Flusser // Pattern Recognition. 2003. - №36. -P. 2895-2907.

103. Umeyama S. Parameterized Point Pattern Matching and Its Application to Recognition of Object Families / S. Umeyama // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. 1993. - №2. - P. 136-144.

104. Voss K. Adaptive Models and Invariants for 2-D Images / K. Voss, H. Susse.- Aachen, Shaker Verlag, 1995. 148 p.

105. Walker K.N. Locating Salient Facial Features Using Image Invariants / K.N. Walker, T.F. Cootes, C.J. Taylor //In 3rd International Conference on Automatic Face and Gesture Recognition. 1998. - P. 242-247.

106. Weiss I. Differential invariants without derivatives / I. Weiss // Proceedings of the 11th International Conference on Pattern Recognition, The Hague, The Netherlands. 1992, - P. 394-398.

107. Weiss I. Projective invariants of shapes / I. Weiss // Proceedings of the Image Understanding Workshop, Cambridge, MA, USA. 1988. - P. 11251134.

108. Weiss I. Recognizing Articulated Objects Using a Region-Based Invariant Transform / I. Weiss, M. Ray // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 2005. № 10. - P. 1660-1665.

109. Woods J.W. Two-Dimensional digital signal processing / J.W. Woods. -Berlin, 1981. 275 p.

110. Young I. T. Fundamentals of Image Processing / I.T. Young, J.J. Gerbrands, L.J. Van Vliet. The Netherlands at the Delft University of Technology, 1998. - 113 p.

111. Yu L. Direct Computation of Diffential Invariants of Image Contours from Shading / L. Yu, C.R. Dyer // IEEE. 1998. - P. 251-255.

112. Zhang Z. A robust technique for matching two uncalibrated images through the recovery of the unknown epipolar geometry / Z. Zhang, R. Deriche, O. Faugeras, Q.T. Luong // AI Journal. 1994. - № 78. - P. 87-119.