автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах

На правах рукописи

Комарчук Сергей Анатольевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОДСИСТЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ В ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.11 - Математическое и программное

обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Юрасов Владислав Георгиевич Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Барабанов Владимир Федорович; кандидат технических наук Белоцерковский Владимир Юрьевич

Ведущая организация Воронежская государственная

технологическая академия

Защита диссертации состоится «5» февраля 2004 г. в 10е2 - часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан декабря 2003г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время отчетливо видна тенденция увеличения роли информационных технологий в различных областях. Расширение сферы применения ЭВМ, рост числа пользователей повлекли за собой неизбежный рост объема обрабатываемой информации. Актуальным становится вопрос о способах и средствах хранения постоянно увеличивающегося объема данных.

Экстенсивный путь решения данной проблемы заключается в увеличении количества средств хранения информации или в увеличении емкости каждого такого средства. Современные технологии пока вполне удовлетворяют этим запросам, однако определенный предел в данном пути все же существует. Работа с большими объемами данных предъявляет повышенные требования и к вычислительной подсистеме компьютера.

Другой путь решения поставленной проблемы концептуализируется не на средствах хранения информации, а на способе ее представления в памяти ЭВМ. Следуя этому пути, мы сможем сэкономить физическую память, машинное время и, как следствие, получить экономический эффект.

Одной из множества областей информационных технологий, имеющих дело с большими объемами информации, являются геоинформационные системы. Из требований, предъявляемых к современным геоинформационным системам, следует выделить необходимость ввода, обработки, хранения и анализа больших объемов пространственных данных. Чем подробнее мы хотим представить некоторую местность, тем большее количество информации нам необходимо сохранить.

По способу представления пространственных данных в машинной памяти различают растровые и векторные геоинформационные системы. Анализ существующих в настоящее время геоинформационных систем показал, что большинство из них используют растровую модель данных. Ее главным достоинством является простота. По сравнению с ней более сложная векторная модель требует меньшего объема машинной памяти, увеличивает скорость работы, а также обеспечивает большую точность представления пространственных данных. Таким образом, ее использование является более перспективным.

Большое значение в векторных геоинформационных системах имеет подсистема представления пространственных объектов. Естественным способом является рассмотрение таких объектов в виде функций из некоторого класса. Тогда задача представления пространственных объектов в векторных геоинформационных системах сводится к задаче сохранения в памяти ЭВМ функций определенного класса. Ее решение можно осуществить путем разложения заданной функции по некоторому базису и сохранения коэффициентов разложения в машинной памяти. Здесь очень важно выбрать нужный базис функций и

¿ОС. НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА

2004-4 25429

определить алгоритм разложения и восстановления функций, обеспечивающий необходимую точность и скорость.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания такой новой технологии для разработки подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, чтобы обеспечивалась высокая скорость работы подсистемы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой 12.11 "Перспективные информационные технологии в высшей школе" в рамках одного из основных направлений Воронежского государственного технического университета "Проблемно-ориентированные системы управления".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, обеспечивающего увеличение производительности подсистемы, а также позволяющего сократить объем используемой машинной памяти.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

произвести системный анализ способов представления пространственных данных в геоинформационных системах;

разработать критерий оценки скорости сходимости системы многочленов, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем;

проанализировать возможные типы разложения функций заданного класса на основе теории информации и теории всплесков, скорость выполнения разложения, а также объем полученной в результате разложения информации;

обосновать использование всплесковых базисов для разложения функций, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем;

разработать алгоритм быстрого разложения функций заданного класса по всплесковым базисам;

разработать подсистему представления пространственных данных в геоинформационных системах.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы системного анализа, элементы теории информации и теории множеств, методы теории всплесков, основные положения теории вероятности и функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

алгоритм быстрого разложения функций из пространства Ь2(Я) по всплесковым базисам, обеспечивающий более высокую, по сравнению с классическим разложением Фурье, скорость разложения, за счет того, что значительно

упрощена процедура вычисления коэффициентов разложения на каждом шаге;

} ---- -

способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения функций из пространства ¿¡(Щ по всплесковому базису, позволяющий до начала работы алгоритма оценить время, затрачиваемое на разложение, вне зависимости от используемого базиса;

процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля;

способ представления энтропии конечных схем, отличающийся алгебраическим представлением, интерпретирующим энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

Практическая значимость и результаты внедрения. На основании разработанного в диссертационной работе алгоритма создан программный комплекс, реализующий разложение функций из пространства Ь2(Я) по всплесковому базису Хаара и наглядно демонстрирующий работу алгоритма, что позволяет применять программный комплекс в учебном процессе.

Основные теоретические и практические результаты работы в виде алгоритмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропромпроект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской конференции "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2001), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2002), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 8 печатных работах. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: в [1] применение квадратурных формул в представлении энтропии конечных схем, в [2] анализ возможности решения полученной системы уравнений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 147 страницах машинописного текста, списка литературы из 124 наименований, приложения, содержит 22 рисунка, 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость полученных результатов, изложено краткое содержание глав диссертации.

Первая глава посвящена системному анализу способов представления пространственных данных в геоинформационных системах. Рассматриваются две модели данных: растровая и векторная, их преимущества и недостатки по сравнению друг с другом. В ходе анализа существующих в настоящее время геоинформационных систем выявлено, что системы, использующие векторную модель представления данных, менее распространены из-за своей сложности, однако являются более перспективными.

В качестве основного преимущества растровой модели представления пространственной информации выделена гораздо более простая структура данных по сравнению с векторной моделью. Как следствие, растровая модель имеет более простые методы для анализа данных. Из основных недостатков растровой модели как наиболее существенные отмечены требование больших объемов памяти в ЭВМ и ограничение точности представления географических сущностей.

Векторная модель данных реализует современный объектно-ориентированный подход. В соответствии с ним все пространственные объекты входят в классификационные системы, которые отражают определенные структурно-логические отношения между объектами различных предметных областей. Группировка объектов разных классов для разных целей (хранения, отображения или анализа) производится более сложным способом, однако, использование объектно-ориентированного подхода ведёт к более эффективным моделям данных в геоинформационных системах при решении сложных задач.

Показана возможность представления криволинейных объектов векторных геоинформационных систем в виде функций определенного класса. Тогда некоторая функция, представляющая криволинейный объект, может быть разложена по заданному базису, а коэффициенты разложения могут быть сохранены в памяти ЭВМ. Разработана система управления процессом представления криволинейных объектов геоинформационных систем (рис.1), где объектом управления является процесс представления криволинейных объектов, входным параметром - функция, представляющая криволинейный объект, выходным параметром - коэффициенты разложения, а управляющим параметром -базис разложения. В случае если аппроксимация представляющей некоторый объект функции произошла с недостаточно малой погрешностью, производится выбор другого базиса разложения.

функция, представ-

Рис.1. Система управления процессом представления криволинейных объектов геоинформационных систем

Исходя из возможности представления криволинейных объектов векторных геоинформационных систем в виде функций определенного класса, сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе рассматривается разложение функций, представляющих криволинейные объекты векторных геоинформационных систем, в ряды по системе многочленов с вещественными корнями. Важным критерием оценки разложения является скорость его сходимости. Анализируется возможность оценки скорости сходимости системы многочленов с вещественными корнями к различным заданным функциям.

Пусть имеется система многочленов с вещественными корнями {#„ (.г)}*.,. Положим Bn(x)=Q(x), B„_i(x)=P(x).

Рассматривается соотношение

CD

х\ ы Q (a,) х,-а,

где R(x) = ^^ является некоторой рациональной функцией, Р(х) и 0(х) являются приведенными полиномами, степень Р(х) меньше степени Q(x), множество {а/)ы - простые корни Q(x). Числа j^r^J должны быть соизмеримы над полем рациональных чисел.

Установлена связь соотношения (1) с формулой Шеннона для энтропии конечных схем:

Н(р,.рг, , р„) = р, 1о8 Р, (2)

1-1

Можно представить (2) в следующем виде:

12

Н(р,,р2....,р„) = (3)

х.-а, Р(а,) —

при этом р,--= , 1 = 1,Я (4)

х2-а, 0*(а,)

и должны соблюдаться следующие условия:

Р-Ш-- <5>

Предлагается использовать соотношение (3) в качестве критерия скорости сходимости рядов по системе многочленов с вещественными корнями. Для этого необходимо определить, существуют ли подынтегральные функции и пределы интегрирования, для которых выполняются условия (5).

Для случая п=2 возможность применения соотношения (3) в качестве критерия скорости сходимости была доказана ранее, более того были получены формулы, связывающие между собой пределы интегрирования и значения корней и полюсов функции Н(х) = ОО-,

Для случая п=3 функция Д(дг) рассматривается в следующем виде:

Тогда система уравнений (4) приобретает следующий вид: 'х,-/?, _(/?,-о,)(/?,-а,)

дг,-/?, (ß-ß:Xß,-y)

x2-ß, (ß2-ßt)(ß2-r) х,-у _ (r-o,)(r-öj)

(7)

[x2-r (r-ß,Hr-ßi)

Рассматриваются требования, которые необходимо наложить на распределение нулей и полюсов функции R(x), а также пределов интегрирования, для выполнения условий (5). Суммируя правые части уравнений (7), получаем следующее:

(Д-д,)(Д-аа) ; (Д-д,ХД-аг) , (уа.Ху-а,) =

(Д-АХД-у) (Д-ДХД-у) (у-ДХу-Д) = (Д -д,ХД -а2ХД ~У)-(А ~ Д.ХА ~ДгХД -уЖу-а.Ху-^ХД ~ А) = (Д-АХА-уХА-у)

= (Д2 - Д(а, + а,) + а,а2)(Д ~У) + (А' ~ Д(". + а,) + <*,Д,ХУ - Д) |

(Д-ДХД-УХД-У) | (г2 - у(а, + а3) + а,а,ХД-А) ^

(Д-АХД-уХД-у) _ Д2Д - ДД(а, +а;) + а№/?, - Д 2у + Ду(д, + а,)- а,а;у - ДА' + Д Д(аг, + а,) - а,а,Д |

(Д-ДХД-уХД-у)

ДV - Дг(Я| + + а,а,у + Ду~ - Ду(а, + »;) + Д ~ А>У2 + Аг(а, + а») - а,а,Д =

(Д-ДХД-УХД-У) _ А2 А - Д V - ДА2 + Д2у + Ду2 - Ду2 Г(А - А) + ДД( Д - А) - у(Д - Д КД + Д) _

(А - АХД -УХА -г) (Д-ДХД-гХА.-г)

. (А - АХУ(У - А) + Д(А - Г) (Д - А XА - УХ А - г) _, (А - АХА - у)(А - г) (А - АХ А - уХА - г)

Таким образом, установлено, что сумма правых частей уравнений (7) равна единице независимо от значений Д/, 02,У,<Х1 и а> Отсюда следует

2>,-1 (8)

ы

Следовательно, второе из двух условий (5) всегда выполнено. Для выполнения первого из условий (5), решается следующая система неравенств:

(А -д,ХД-«,)^0

(Д-ДХД-у) (Д-а,Х

(Д-ДХД-У) 1 ;

_(у-а,Ху-аг)>0

Ку-ДХу-Д)

Для определенности было положено, что , /?/< Д>< у и а2> аТогда система неравенств (9) сводится к следующей системе неравенств: í(A-a,XA-a,)2:0 |(Д-а,)(Д-«,)«= О 1(у-а,Ху-аг)>0

Решением первого из уравнений системы (9) является a¡ < а2 <Д или Д <a¡<a2, второго - а, <Д <сь, третьего а, <а?<у или у< а, <а2. Было найдено общее решение всех уравнений

Д<а,<Д<а2<У (Ю)

При таком взаимном распределении параметров будет соблюдаться первое из условий (5). Таким образом, в итоге удовлетворены оба условия (5).

Это позволяет сделать вывод о том, что при п~3 выражение (3) можно применять в качестве критерия скорости сходимости рядов по системе многочленов с вещественными корнями для л(л)= ———-————, налагая при

(х-р^х-р^х-у)

этом условие (10).

Показано, что применение выражения (3) в качестве критерия скорости сходимости возможно при п=4. Высказана гипотеза о возможности использования данного выражения для любых и при определенных условиях.

Третья глава посвящена разложению функций, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем по базисным функциям вспле-сковых систем. Иначе такой процесс называют сглаживанием. Предлагается использовать для представления криволинейных объектов функции из пространства L2(R).

Говорят, что функция fit) принадлежит пространству L2(R), если выполняется условие

]1/(0|2Л<оо.

-зо

Функции такого класса представляют большой интерес в силу того, что являются моделями реальных физических сигналов. Основная особенность функций из L2(R) - это то, что все они являются ограниченными по мощности.

Рассматривается широкий класс функций, называемых всплесками. В общем виде, всплеском принято называть определенную на числовой оси функцию у/, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. В качестве области применения всплесков отмечена возможность построения на их основе базиса в L2(R).

В качестве примера всплескового базиса рассмотрена система всплесков Хаара цР(1):

[ 1,

[О в остальных случаях

Всплески Хаара строятся на основании масштабирующей функции Хаара <pH(t)=Kin ii(t) Эта функция равна единице на отрезке [0,1] и равна нулю на всей остальной оси. Если определить

W,^[V"ji(t)~2>n¥"(2't-k)[tZ (11)

то, объединяя все ортонормированные базисы в W„ мы получим ортонормиро-ванный базис в ¿'(Я): . Тогда любую функцию из Lr(R) можно разло-

жить в ряд по всплесковым функциям системы Хаара

/=(12)

¡ь/. кг7.

где у"к определяются из (11).

Таким образом, задача разложения функции из пространства сводится к нахождению коэффициентов разложения в (12).

Отмечаются преимущества разложения (12) по сравнению с классическим рядом Фурье. Это локализованность и масштабирование, которые являются характерными для всех всплесковых разложений.

Предложен алгоритм разложения некоторой функции из пространства ¿2('Я) по базисным функциям определенной всплесковой системы Алгоритм отличается от, например, разложения Фурье скоростью вычисления, т.к. количество вычисляемых на каждом шаге коэффициентов разложения уменьшается в два раза по сравнению с предыдущим шагом. При необходимости вычисления большого количества коэффициентов, а это дает затем высокую точность восстановления исходной функции, время работы алгоритма существенно сокращается.

Для заданной функции рассчитывается исходная информация по следующей формуле:

где^М-г"2^'/-*), (14)

<р(1) - масштабирующая функция всплесковой системы.

Для решения задачи равномерного сглаживания функций необходимо применение гладких всплесковых функций, например, всплесков Новикова И.Я., построенных на основе многочленов Бернштейна.

Переход от слоя у = 0 к слою у = -1 осуществляется следующим образом:

!ч!

Аналогично выполняется переход от слоя у к у-1:

= (15)

при этом нужно предварительно вычислить {(/.?>,,►)} по следующей формуле

(16)

Итак, начиная с можно вычислить п0 (I5) и

{(/>«> по (16). Затем мы можем применить (15) и (16) снова и получить и используя {(/>_„)}1>г. Таким образом, на каждом ша-

ге вычисляются не только всплесковые коэффициентыу'-го слоя, но и вспомога-

тельные коэффициенты которые потребуются для нахождения

всплесковых коэффициентов в (/ - 1)-м слое.

Таким образом, формулы (15), (16) задают преобразование коэффициентов при переходе от ортонормированного базиса \рак к ортонормированному базису кД.гиКД.г'

(17)

I*/. /«/

После выполнения конечного числа шагов процесс прекращается, что означает, что исходная информация преобразована в

<Г',<Г1,...,<ГЛ и в виде ](/>-,*)},,, И т.е. получены все

коэффициенты разложения заданной функции.

Структура разработанного алгоритма представлена на рис.2. Приведены уточненные для системы Хаара формулы (17). Если исходная информация состояла из чисел {*"},,„ , то на первом шаге вычисляется ' вспомогательных чисел ^Г');.,, ''={'м и 2^"' коэффициентов

^Хл -^к^Угк-Ак*^1^- На каждом следующем шаге количество вспомогательных чисел и коэффициентов уменьшается в два раза, причем приведенные для первого шага формулы действительны и для последующих. Таким образом, вспомогательные числа и коэффициенты на каждом шаге вычисляется по формуле

Получена формула для количества операций во всем алгоритме разложения. Оно равно 2-2"({+7 + ---)= 2-2". Для более сложных всплесковых базисов вычисления вспомогательных чисел и коэффициентов требуют более чем два предыдущих числа, но если на каждом шаге используются К предыдущих чисел, то общее число операций равно 2 КМ (КМ - умножений, КМ - сложений).

Говоря о точности приближения полученного разложения к исходной функции отмечено, что наивысшая точность достигается при максимально возможном к. В приложениях же, очевидно, необходимо искать баланс между скоростью и точностью.

Рис. 2. Структурная схема алгоритма разложения функций из пространства Ь2(Я)

Четвертая глава посвящена разработке подсистемы представления пространственных данных, реализующей разработанный алгоритм разложения и восстановления функций из пространства L2(R). В качестве среды разработки была использована среда Microsoft Windows, которая является одной из самых распространенных операционных систем в настоящее время. В качестве средства разработки были использованы средства Borland Delphi, предоставляющие широкий набор инструментов для проектирования и реализующие объектный подход к программированию.

Программный комплекс имеет модульную структуру. В нем выделяются следующие модули:

1) модуль вычисления исходной информации;

2) модуль вычисления функции скалярного произведения;

3) модуль вычисления коэффициентов разложения

4) модуль вычисления вспомогательных коэффициентов У*;

5) модуль вычисления коэффициентов А* и g*.

Структура программного комплекса приведена на рис. 3.

Модуль вычисления функции скалярного произведения

Рис. 3. Структура программного комплекса

Отмечается важность, которую имеет подсистема представления пространственных данных в общей структуре геоинформационной системы. Она занимает место между подсистемой растрово-векторного преобразования и подсистемой взаимодействия с базами данных (рис. 4). Получая в качестве исходной информации некоторую аналитическую функцию, подсистема представления пространственных данных посредством алгоритма производит ее разложение по заданному всплесковому базису. Полученные в результате раз-

ложения коэффициенты являются выходной информацией подсистемы. Их значения поступают в подсистему взаимодействия с базами данных и сохраняются в памяти.

Подсистема ввода информации

Подсистема обработки и анализа информации

Подсистема обработки изображений

Подсистема ввода пространственных данных

Подсистема ввода атрибутивных данных

Подсистема растрово-векторного преобразования

Подсистема представления пространственных данных

Подсистема взаимодействия с БД

Подсистема редактирования карт

Подсистема редактирования атрибутивных данных

Подсистема построения проекций

Подсистема редактирования слоев

Подсистема классификации объектов

Подсистема взаимодействия с базами знаний

Подсистема вывода информации

Подсистема вывода на дисплей

Подсистема вывода на печатающие устройства

Рис. 4. Место подсистемы представления пространственных данных в общей структуре геоинформационной системы

В качестве примера найдено разложение функции = по вспле-

сковому базису Хаара. Данная функция принадлежит пространству ¿¡(¡1), и, следовательно, применение к ней разработанного алгоритма возможно.

Для быстроты сходимости алгоритма значение параметра к было взято равным 4. Была определена исходная информация:

1/2 О "

А

2 '■■

-л* +' о ' + '

* = 1 </>„., >= (IЛ =агс1я(!)\^ 0,3;

+ * I' +'

к = 2 </,Л-2 >= ч/Г^(о|32«0,2 -

-со 2

* = з </>„,>= ]тЧ с - = ГтЧ ^ )| > 0,02.

+1 +1 1

Затем был выполнен переход к слою у'=-/ и вычислены коэффициенты и . Предварительно были посчитаны коэффициенты й/.д и (к=0,1,..,3; 1=0,1,..,3). Например, для к=0:

/ = 0 ёо = А, =< <р,<рКХ >= (2/ - 1)<Л = /Лл =72/

1/2

и 1/2

I = 1 (рхй >= - (1)42<рн (20Ж = - |л/2^ = - л/2/

о

оо

/ = 2 ёг = =< 9>, а>= (2( + 1)А =0;

90

/ = 3 Вз = -А_2=-«р,<ри_г>= 1<р" ЦуЛср" (2/ + 2)Л =0.

-ао

Были получены следующие значения коэффициентов разложения и вспомогательных коэффициентов:

= ^* 0,8 - ^* о,3 « 0,35, с/,"1 = '* 0,2 - Ц-" 0,02 «0,13, =</;' = 0; я^1 = — *0,8 + — »0,3«0,78, 5."'= —»0,2 + —«0,02*0,16, 5-'=*:'=0.

" 2 2 2 2 '.2з

Аналогично были вычислены коэффициенты второго слоя (/=-2).

л/2 л/2

¿„2 =^у*0,78-^*0,16«0,44, =0, (¿-2=^'2=0;

л/2 л/2

*„2 = * 0,78 + у- * 0,16 « 0,66, .5"'- = = = о.

Перейдя к третьему слою и положив у=-3 были получены коэффициенты третьего слоя:

¿О3 = ^*0.66 « 0,47, 1 = = с1= 0;

л/2

°'66 я0'47' = = V3 = 0.

Таким образом, был достигнут конец алгоритма, т.к. {с// }Ье2 = {.5/ }ке2 Общее количество выполненных операций равно 8. Первоначальная функция /(<) = ,1 ^ была представлена в следующем виде:

/(') = £2>4У,» =0,47^,„ + 0,44^_2 О + 0,35^, 0 + 0,13^,, =

/ *

= 0,11у/н ф) + 0,22у/н ф> + 0,85,/" ф) + 0,09у/И ф -1) В заключении приводятся основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе системного анализа современных способов представления пространственной информации в геоинформационных системах выявлена необходимость разработки новых технологий проектирования подсистемы представления пространственных данных.

2. Показана возможность представления криволинейных объектов векторных геоинформационных систем в виде функций определенного класса.

3. Разработан алгоритм быстрого разложения функций из пространства Ь2(Я) по всплесковым базисам, позволяющий использовать любой всплесковый базис для решения задачи представления криволинейных объектов геоинформационных систем.

4. Разработан способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения по всплесковому базису, позволяющий оценить скорость разложения.

5. Разработана процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства ¿¿(Ту по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля.

6. Предложен способ представления энтропии конечных схем, интерпретирующий энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

7. Предложен критерий для оценки скорости сходимости рядов по системе многочленов с вещественными корнями к некоторой функции, представляющей криволинейный объект геоинформационных систем.

8. Основные теоретические и практические результаты работы в виде ал-

горитмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропромпро-ект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. Использование квадратурных формул для вычисления энтропии конечных схем // Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах: Тр. Всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2002. 15 с.

2. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2001. 4.1. С. 56-58.

3. Комарчук С.А. Использование всплесков для решения задачи разложения и восстановления функций // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 2003. С. 54-58.

4. Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 2002. С. 165-174.

5. Комарчук С.А. Об общем методе решения интегральных уравнений // Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах: Тр. Всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2003. С. 37-39.

6. Комарчук С.А. Общий метод решения интегральных уравнений Фред-гольма второго рода // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 2003. С.70 -78.

7. Комарчук С.А. Ортонормальные разложения сигналов и гауссов шум // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 2002. С. 201-208.

8. Комарчук С.А. Применение геоинформационных систем в современных областях науки и промышленности // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 2003. С.24

ЛР № 066815 от 25.08.99. Подписано в печать Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл.печл. 1,0. Тираж экз. Заказ

ъ

Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский пр., 14

РНБ Русский фонд

2004-4 25429

Введение.

1 Системный анализ способов представления пространственных данных в геоинформационных системах.!.

1.1 Понятие о геоинформационных системах, области их применения и решаемые ими задачи.

1.2 Организация представления пространственных данных в геоинформационных системах.

1.3 Цель и задачи исследования.

2 Разработка критерия скорости сходимости системы многочленов, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем.

2.1 Исследование метода приближенного вычисления интегралов при помощи квадратурных формул.

2.2 Представление энтропии конечных схем интегралами от рациональных функций.

Выводы второй главы.

3 Разработка алгоритма разложения функций из пространства L.2(R) по базисным функциям всплесковых систем.

3.1 Анализ способов построения всплесковых рядов.

3.2 Система Хаара как всплесковый базис для разложения функций из пространства/^^.

3.3 Применение кратномасштабного анализа в L2(R) для разработки алгоритма разложения и восстановления функций.

Выводы третьей главы.

4 Разработка подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах.

4.1 Место и роль подсистемы представления пространственных данных в общей структуре геоинформационной системы.

4.2 Описание архитектуры программного комплекса.

4.3 Примеры расчетов коэффициентов разложения.

4.3.1 Расчет коэффициентов разложения для функции

4.3.2 Расчет коэффициентов разложения составной функции.

Выводы четвертой главы.

Актуальность темы. В настоящее время отчетливо видна тенденция увеличения роли информационных технологий в различных областях. Расширение сферы применения ЭВМ, рост числа пользователей повлекли за собой неизбежный рост объема обрабатываемой информации. Актуальным становится вопрос о способах и средствах хранения постоянно увеличивающегося объема данных.

Экстенсивный путь решения данной проблемы заключается в увеличении количества средств хранения информации или в увеличении емкости каждого такого средства. Современные технологии пока вполне удовлетворяют этим запросам, однако определенный предел в данном пути все же существует. Работа с большими объемами данных предъявляет повышенные требования и к вычислительной подсистеме компьютера.

Другой путь решения поставленной проблемы концептуализируется не на средствах хранения информации, а на способе ее представления в памяти ЭВМ. Следуя этому пути, мы сможем сэкономить физическую память, машинное время и, как следствие, получить экономический эффект.

Одной из множества областей информационных технологий, имеющих дело с большими объемами информации, являются геоинформационные системы. Из требований, предъявляемых к современным геоинформационным системам, следует выделить необходимость ввода, обработки, хранения и анализа больших объемов пространственных данных. Чем подробнее мы хотим представить некоторую местность, тем большее количество информации нам необходимо сохранить.

По способу представления пространственных данных в машинной памяти различают растровые и векторные геоинформационные системы. Анализ существующих в настоящее время геоинформационных систем показал, что большинство из них используют растровую модель данных. Ее главным достоинством является простота. По сравнению с ней более сложная векторная модель требует меньшего объема машинной памяти, увеличивает скорость работы, а также обеспечивает большую точность представления пространственных данных. Таким образом, ее использование является более перспективным.

Большое значение в векторных геоинформационных системах имеет подсистема представления пространственных объектов. Естественным способом является рассмотрение таких объектов в виде функций из некоторого класса. Тогда задача представления пространственных объектов в векторных геоинформационных системах сводится к задаче сохранения в памяти ЭВМ функций определенного класса. Ее решение можно осуществить путем разложения заданной функции по некоторому базису и сохранения коэффициентов разложения в машинной памяти. Здесь очень важно выбрать нужный базис функций и определить алгоритм разложения и восстановления функций, обеспечивающий необходимую точность и скорость.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания такой новой технологии для разработки подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, чтобы обеспечивалась высокая скорость работы подсистемы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой 12.11 "Перспективные информационные технологии в высшей школе" в рамках одного из основных направлений Воронежского государственного технического университета "Проблемно-ориентированные системы управления".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, обеспечивающего увеличение производительности подсистемы, а также позволяющего сократить объем используемой машинной памяти.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: произвести системный анализ способов представления пространственных данных в геоинформационных системах; разработать критерий оценки скорости сходимости системы многочленов, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем; проанализировать возможные типы разложения функций заданного класса на основе теории информации и теории всплесков, скорость выполнения разложения, а также объем полученной в результате разложения информации; обосновать использование всплесковых базисов для разложения функций, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем; разработать алгоритм быстрого разложения функций заданного класса по всплесковым базисам; разработать подсистему представления пространственных данных в геоинформационных системах.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы системного анализа, элементы теории информации и теории множеств, методы теории всплесков, основные положения теории вероятности и функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной: алгоритм быстрого разложения функций из пространства L2(R) по всплесковым базисам, обеспечивающий более высокую, по сравнению с классическим разложением Фурье, скорость разложения, за счет того, что значительно упрощена процедура вычисления коэффициентов разложения на каждом шаге; способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения функций из пространства L.2(R) по всплесковому базису, позволяющий до начала работы алгоритма оценить время, затрачиваемое на разложение, вне зависимости от используемого базиса; процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства L,2(R) по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля; способ представления энтропии конечных схем, отличающийся алгебраическим представлением, интерпретирующим энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

Практическая значимость и результаты внедрения. На основании разработанного в диссертационной работе алгоритма создан программный комплекс, реализующий разложение функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара и наглядно демонстрирующий работу алгоритма, что позволяет применять программный комплекс в учебном процессе.

Основные теоретические и практические результаты работы в виде алгоритмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропромпроект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской конференции "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2001), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2002), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 8 печатных работах. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: в [1] применение квадратурных формул в представлении энтропии конечных схем, в [2] анализ возможности решения полученной системы уравнений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 147 страницах машинописного текста, списка литературы из 124 наименований, приложения, содержит 22 рисунка, 4 табли

ВЫВОДЫ ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЫ

1. В качестве примера работы алгоритма разложения и восстановле1 ния функций из пространства L2(R) найдено разложение функции /(/) = и сложной составной функции /(/) = tz+1

--З)2, 0</<2 2

V/+14, 2 </ <3 по всплесковому базису

-+3,8, 3</<4 /

Хаара.

2. Разработана подсистема представления пространственных данных геоинформационных систем, реализующая разработанный в третьей главе алгоритм разложения и восстановления функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара.

3. Разработанная подсистема представления пространственных данных геоинформационных систем обеспечивает высокую скорость работы и позволяет абстрагироваться от способа получения функции, описывающей пространственный объект.

4. На основе подсистемы представления пространственных данных разработан программный комплекс, реализующий определенные функции и пользовательский интерфейс, что позволяет использовать его в учебном процессе для понимания способов представления информации в ЭВМ.

5. С помощью разработанного программного комплекса вычислены вспомогательные коэффициенты /;*и в диапазоне к от -8 до 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по разработке математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в ГИС были получены следующие результаты.

1. На основе системного анализа современных способов представления пространственной информации в геоинформационных системах выявлена необходимость разработки новых технологий проектирования подсистемы представления пространственных данных.

2. Показана возможность представления криволинейных объектов векторных геоинформационных систем в виде функций определенного класса.

3. Разработан алгоритм быстрого разложения функций из пространства L2(R) по всплесковым базисам, позволяющий использовать любой всплеско-вый базис для решения задачи представления криволинейных объектов геоинформационных систем.

4. Разработан способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения по всплесковому базису, позволяющий оценить скорость разложения.

5. Разработана процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля.

6. Предложен способ представления энтропии конечных схем, интерпретирующий энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

7. Предложен критерий для оценки скорости сходимости рядов по системе многочленов с вещественными корнями к некоторой функции, представляющей криволинейный объект геоинформационных систем.

8. Основные теоретические и практические результаты работы в виде алгоритмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропром-проект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

1. Арутюнян Ф. Г. О рядах по системе Хаара // Докл. АН Арм. ССР. 1966, т. 42, №3, с. 134—140.

2. Агранович Ю.Я. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций // Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2000.-с.122-118.

3. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. Использование квадратурных формул для вычисления энтропии конечных схем // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах". Воронеж: ВГТУ, 2002. 15с.

4. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуальные информационные системы". Воронеж: ВГТУ, 2001. ч.1.-с. 56-58.

5. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ,1963.

6. Арутюнян Ф. Г. Представление измеримых функций почти всюду сходящимися рядами // Мат. соарн. 1973, т. 90, № 3, с. 483-520.

7. Арутюнян Ф.Г. О базисах пространств L1 (О, 1) и С (0, 1) II Мат. заметки. 1972, т. 11, № 3, с. 241—249.

8. Арутюнян Ф.Г. Представление функций кратными рядами // Докл. АН Арм. ССР. 1977, т. 64, № 2, с. 72—76.

9. Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН. 1994. № 1891. 56с.

10. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. т. 166, № 11. с.1145-1170.

11. Барии Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961.

12. Бердышев В. И., Петрак JI. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999.

13. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости // Докл. РАН. 1992. Т. 323. №4. С. 615-618.

14. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина—Трибеля // Доклады РАН. 1995. Т. 340. № 5. С. 583-586.

15. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина—Трибеля // Труды МИ-РАН. 1995. Т. 210. С. 5-30.

16. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Безусловные базисы в пространствах функций анизотропной гладкости // Труды МИР АН. 1993. Т. 204. С. 3551.

17. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Доклады РАН. 1992. Т. 326. № 6. С.935-938.

18. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Матем.заметки. 1994. Т. 55. № 3. С. 312.

19. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Образы всплесков при действии операторов свертки // Матем.заметки. 1994. Т. 55. № 5. С. 13-24.

20. Берлянт A.M. Геоизображения и геоиконика. М.: Знание, 1990.

21. Берлянт A.M., Тикунов B.C. Геоинформационные системы. М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1994.

22. Бочкарев С. В. Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ор-тонормированным системам // Успехи мат. наук. 1972, т. 27, № 2, с. 53—76.

23. Бочкарев С. В. Метод усреднений в теории ортогональный рядов и некоторые вопросы теории базисов//Труды МИАН. 1978, т. 146, с. 1—87.

24. Бочкарев С. В. О коэффициентах рядов Фурье по системе Хаара // Мат. сборн. 1969, т. 80, № 1, с. 97—116.

25. Вайдьянатхан П. П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией. Методический обзор // ТИИ-ЭР. 1990. №3. С. 77-120.

26. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. Физматгиз, 1958.

27. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. / Пер. с англ.; Под ред. Пинскера М.С. и Цыбакова Б.С. М.: Советское радио, 1974.

28. Геоинформационные системы с дистанционным потоком информации. Географическое управление народным хозяйством: Сб.ст. / МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Изд-во МГУ, 1990.

29. Головань С. В. О безусловной и абсолютной сходимости рядов по системам всплесков // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 1996. № 2. С. 8992.

30. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара // Сб. «Итоги науки. Математический анализ. 1970».— М., 1971, с. 109—146.

31. Голубов Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1964, т. 28, № 6, с. 1271—1296.

32. Гюнтер Н.М. Основы математической физики. Ленинград: Центральная типография НАРКОМВОЕНМОРА, 1931. ч.2. - 176с.

33. Дай М. Нормированные линейные пространства. — М.: ИЛ, 1961.

34. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977.

35. Желудев В. А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Докл. РАН. 1994. № 1.С. 9-13.

36. Завадский В. Л. Нелинейная аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвле-тов. Препринт ИМ АНБ. Минск. 1997. № 15(538). С. 13.

37. Завадский В. Л., Блинова Е. И. Непараметрическое оценивание над 1Р эллипсоидами в 1г// Вести НАНБ. 1998. № 2.

38. Казарян К. С. О некоторых вопросах теории ортогональных рядов // Мат. сборн. 1982, т. 119, № 2, с. 278—294.

39. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. — М.: Физ-матгиз, 1958.

40. Кашин B.C. Общие ортонормированные системы и некоторые вопросы теории приближений // Мат. Заметки. 1979, т. 26, № 2, с. 299—315.

41. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.

42. Кирушев В. А. Быстрый алгоритм сжатия изображений // Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. 1997. № 1. С. 4-10.

43. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972.

44. Комарчук С.А. Использование всплесков для решения задачи разложения и восстановления функций // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003. С.54 -58.

45. Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2002.-С. 165-174.

46. Комарчук С.А. Об общем методе решения интегральных уравнений // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах". Воронеж: ВГТУ, 2003. с.37-39.

47. Комарчук С.А. Общий метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003.-С. 70-78.

48. Комарчук С.А. Ортонормальные разложения сигналов и гауссов шум // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2002. с. 201-208.

49. Комарчук С.А. Применение геоинформационных систем в современных областях науки и промышленности // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003.-С. 24-29.

50. Коновалова Н.В., Капралов Е.Г. Введение в ГИС. М.: Изд-во "Библион", 1997.

51. Кошкарев А.В., Тикунов B.C. Геоинформатика. М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1993.

52. Кравченко В. Ф., Рвачев В. A. "Wavelet"-CHCTeMbi и их применение в обработке сигналов//Зарубежная радиоэлектроника. 1996. № 4. С. 3-20.

53. Кравченко В. Ф., Рвачев В. А., Пустовойт В. И. Ортонормирован-ные системы типа "wavelet" на основе атомарных функций // Докл. РАН. 1996. № 1.С. 16-18.

54. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука,1967.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

56. Лузин Н.Н. Sur une propriete des fonctions a carre sommable // Bull. Calcutta Math. Soc. 1930. T. 20. C. 139-154.

57. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // ДАН. 1993.Т. 332. № 1.С. 15-17.

58. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Докл. АН. 1993. Т. 332. №1. С. 15-17.

59. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Известия РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 3. С. 88-102.

60. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина—Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. №. 1. С. 111-157.

61. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. Вып. 2. С. 27-37.

62. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Хааровские спектры дискретных сверток // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 954-960.

63. Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлет-ное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи инф. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

64. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Алгоритм Кули—Тьюки и дискретное преобразование Хаара // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№ 15). С. 31-34.

65. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Новый подход к алгоритму Кули—Тьюки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 3 (№ 15). С. 57-60.

66. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 1 (№ 1). С. 16-21.

67. Машарский С. М. Свертка и корреляция дискретных сигналов в базисах Хаара—Крестенсона // Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. 2000. №. 4. С. 31-40.

68. Меньшов Д.Е. Суммирование рядов по ортогональным функциям линейными методами // Изв. АН СССР (сер. матем.). 1937, с. 203—230.

69. Мушегян Г. М. О коэффициентах всюду сходящихся рядов по некоторым переставленным ортонормированным системам // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1978, т. 42, с. 807—832.

70. Новиков И. Я. Онделетты И. Мейера — оптимальный базис в С(0,1) // Матем.заметки. 1992. Т. 52. № 5. С. 88-92.

71. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. т.З, № 4. с.999-1028.

72. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. т.53, вып.6. с.54-128.

73. Новиков JI. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборостроение. 1999. Т. 9. № 2.

74. Новиков JI. В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. Т. 10. № 3. С. 57-64.

75. Олевский А. М. Об одной ортонормальной системе // Мат. сборн.,1966. т. 71, №3, с. 297—336.

76. Олевский А. М. Ряды Фурье и функции Лебега // Усп. мат. наук,1967. т. 22, № 2, с. 237—239.

77. Олевский A.M. О продолжении последовательности функций до полной ортонормированной системы //Мат. заметки. 1969, т. 6, с. 737-747.

78. Петухов А. П. Кратномасштабный анализ и всплеск-разложения пространств периодических распределений // Доклады РАН. 1997. Т. 356. № 2. С.303-306.

79. Петухов А. П. Периодические всплески // Математический сборник. 1997. Т. 188. № 10. С. 69-94.

80. Петухов А. П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и Анализ. 1996. Т. 8. № 3. С. 151-183.

81. Погосян Н.Б. Об одном свойстве полных ортонормированных систем // Мат. заметки. 1975, т. 17, № 5, с. 681— 690.

82. Погосян Н.Б. Представление измеримых функций базисами Lp (0, 1) (р>2) II Докл. АН АрмССР. 1976, т. 63, № 4, с. 205-209.

83. Погосян Н.Б. Представление измеримых функций ортогональными рядами // Мат. сборн. 1975, т. 98, №1, с. 102— 112.

84. Полна Г., Cere Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: Наука,1978.

85. Скопина М. А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки. 1996. Т. 59. № 5. С. 780-783.

86. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. т.4, ч.1.336с.

87. Смирнов Н. С., Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. ОНТИ, 1936.

88. Справочная математическая библиотека: Функциональный анализ./ Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964.

89. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. М.: Мир, 1965.

90. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1956, т. 20, с. 385—412.

91. Талалян А. А. О сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1956, т. 110, с. 515-516.

92. Талалян А. А. Представление измеримых функций рядами // Усп. мат. наук. 1960, т. 15, № 5, с. 77—141.

93. Тикунов С.В. Географические информационные системы: сущность, структура, перспективы // Итоги науки и техники, сер. Картография. -М.: ВИНИТИ, 1991.- с. 6-80.

94. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Мат.сборн. 1964, т. 63, №3, с. 356—391.

95. Ульянов П.Л. О некоторых свойствах рядов по системе Хаара // Мат. заметки. 1967, т. 1,№ 1, с. 17—23.

96. Халилов 3. И. Основы функционального анализа. Баку, 1949.

97. Харатишвили Н. Н. Пирамидальное кодирование. М.: Мысль, 1997.160с.

98. Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии. М.: Финансы и статистика, 1998. - 288с.

99. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Физмат-гиз, 1956.

100. Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part П: QFT connection // Commun. Math. Phys. 1988. V. 114. P. 93-102.

101. Boor C. de, DeVore R., Ron A. On the construction of multivariate (pre)wavelets // Constructive Approximation. 1993. V. 9. №2-3. P. 123-166.

102. Calderon A. P. Commutators of singular integral operators // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.1965. V. 53. P. 1092-1099.

103. Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Studia Math. 1964. V. 24. P. 113-190.

104. Chui O.K. An Introduction to Wavelets. New York: Academic Press,1992.

105. Coifman R.R., Weiss G. Extentions of Hardy spaces and their use in analysis // Bull. Amer, Math. Soc. 1977. V. 83. P. 569-645.

106. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Commun. Pure Appl. Math. 1988. V. 46. P. 909-996.

107. Daubechies I. Ten lectures on wavelets // CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. V. 61. Philadelphia: SIAM, 1992.

108. Fefferman C., Stein E.M. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. V. 129. P. 137-193.

109. Gabor D. Theory of communication // J. Inst. Electr. Engrg. (London). 1946. V. 93. P. 429-457.

110. Grochenig K. Analyse multiechelle et bases d'ondelettes // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 1987. V. 305, P. 13-17.

111. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723736.

112. Haar A. Zur theorie der orthogonalen fiinctionensysteme // Math. Ann. 1910. V. 69. P. 331-371.

113. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionen-systeme // Math. Annalen. 1910, Bd. 69, S. 331—371.

114. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Comm. Pure Appl. Math. 1961, v. 14, p. 415—426.

115. Lemarie P.G. Ondelettes a localisation cxponentielle // J. Math. PuresAppl. 1988. V. 67. №3. P. 227-236.

116. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 315. P. 69-88.

117. Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'oper-ateurs // Semin. Bourbaki. 1985-86. №662.

118. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Paris: Hermann, 1990.

119. Mintzer F. Filters for distortion-free two-band multirate filter banks // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1985. V. 33. P. 626-630.

120. Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Parts А, В // Quart. Appl. Math. 1946. V. 4. P. 45-99, 112-141.

121. Smith M.J.T., Barnwell T.P. Exact reconstruction techniques for tree-structured subband coders // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1986. V. 34. P. 434-441.

122. Stromberg J. O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces // Conf. in honor of A. Zyg-mund, Vol. II. Belmont, CA: Wadsworth, 1983. P. 475-493.

123. Vetterli M. Filter banks allowing perfect reconstruction // Signal Process. 1986. V. 10. P. 219-244.

124. Whittaker J.T. Interpolatory function theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1935.