автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математических моделей электротехнических устройств на основе виртуальных схемных компонентов

На правах рукописи

Максимов Дмитрий Евгеньевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ВИРТУАЛЬНЫХ СХЕМНЫХ КОМПОНЕНТОВ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискйнис ученой степени кандидата технических наук

Саранск, 2003

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем обработки информации и управления Мордовского государственного университета

им. Н. П. Огарева

Научный руководитель - кандидат технических наук,

доцент Ю.Б. Федотов

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Е.М. Гейфман

кандидат физико-математических наук, доцент П.Г. Черников

Ведущая организация - АО «Конвертор»,

г. Саранск

Защита состоится 3 декабря 2003 года в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совете по защите кандидатских диссертаций КМ 212.117.07 при Мордовском государственном университете имени Н. П. Огарева по адресу:

430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан «31» октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Д \ // М.А. Борисов

ту/

2.&ОУ-А

Ф-^чО ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Силовая электроника является одной из наиболее быстро развивающихся отраслей электроники. Ежегодно увеличивается как количество уже работающих устройств силовой электроники (УСЭ) в различных отраслях, так и количество вновь разрабатываемых УСЭ. Возрастают технические требования к УСЭ, усложняются схемы и режимы их работы, изменяется элементная база. При этом проектирование УСЭ должно проводится в возможно более короткие сроки, при более полном и точном учете процессов протекающих в устройстве и в условиях ограничения трудовых и материальных ресурсов.

Ошибки на первых этапах проектирования наиболее дороги и их исправление

требует наибольших временных и материальных затрат. Использование математического моделирования позволяет значительно сократить время проектирования, уменьшить стоимость разработки, повысить качество проектирования, а также провести такие эксперименты, которые или очень дороги или вообще невозможно провести на макетах.

Применение наиболее популярных в настоящее время систем анализа для моделирования УСЭ вызывает ряд затруднений, связанных с особенностями УСЭ:

1) наличие большого числа мощных полупроводниковых приборов, работающих, как правило, в ключевом режиме;

2) большое количество элементов в системе автоматического управления и регулирования, выполняющих функцию управления мощными полупроводниковыми приборами;

3) наличие трансформаторных элементов с большим числом обмоток и разветвленной магнитной системой.

При моделировании схем электроники большая часть времени уходит на:

1) разработку инженером расчетных схем. На этом этапе часто возникает необходимость в так называемых виртуальных компонентах (идеальном трансформаторе, идеальном ключе и др.), которые существенно упрощают постановку задачи и процесс разработки математических моделей;

2) моделирование на ЭВМ, которое включает формирование систем уравнений, описывающих процессы, протекающие в устройстве, и их решение. Сложность задачи формирования и решения уравнений определяется тем, что с точки зрения анализа УСЭ являются непрерывно-дискретными системами.

В связи с вышесказанным, задача включения в состав системы моделирования виртуальных компонентов и разработки эффективных алгоритмов формирования и решения системы дифференциальных уравнений является актуальной.

Цель и задачи диссертационной работы.

Цель работы состоит в разработке эффективных методов моделирования УСЭ, а также математического и программного обеспечения для анализа электромагнитных процессов различных преобразовательных схем на ЭВМ. Это обеспечение должно быть достаточно универсальным, высокоавтоматизированным и экономичным по затратам времени на подготовку и решение задачи на ЭВМ.

Для этого необходимо решение следующих задач:

- разработать структуру физической модели, учитывающую особенности УСЭ, определить состав элементов и форму математического описания ее отдельных частей;

- разработать метод анализа, учитывающий наличие идеальных элементов;

- р.иработать математическую модель схем с идеальными трансформаторами;

- разработать методы и алгоритмы автоматического формирования и решения уравнений, описывающих физическую модель в различных ее состояниях.

Методы исследований.

Разработка математической модели УСЭ основывается на применении ку-сочно-припасовочного метода, который является одним из основных и наиболее приемлемых методов расчета преобразовательных устройств. При разработке алгоритмов автоматического формирования уравнений используются современные матричные методы анализа цепей, теории графов и линейной алгебры. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется численными методами.

Научная новизна работы состоит в разработке методов, алгоритмов и программ .автоматизированного проектирования УСЭ, учитывающих наличие виртуальных и заключается в следующем:

с,. 1 .

1) в качестве физической модели УСЭ предлагается использовать разновидность расщепленной кусочно-линейной системы, в непрерывной подсистеме которой для удобства вычислений функциональные элементы разбиты на две функциональные цепи;

2) разработан алгоритм формирования уравнений систем автоматического управления и регулирования УСЭ, которые при анализе представляются функциональными схемами замещения в форме блок-схем;

3) разработана математическая модель схем с идеальными трансформаторами. Уравнения идеальных трансформаторов рассматриваются в ней как дополнительные структурные уравнения. В результате выполнения алгоритма получается структурная матрица вещественного типа, описывающая структуру цепи, эквивалентную исходной, но не содержащую идеальных трансформаторов.

Практическая значимость результатов исследований.

Разработанная математическая модель составляет основу системы программ ДИФУР. Система ДИФУР предназначена для анализа УСЭ, позволяет отображать различные преобразовательные устройства с различным уровнем идеализации, освобождает пользователя от трудоемких работ, связанных с описанием анализируемых систем в требуемой математической форме, с разработкой программ и их отладкой.

Положения, выносимые на защиту:

- детализированная структура физической модели УСЭ;

- алгоритм формирования уравнений систем автоматического управления и регулирования УСЭ;

- математическая модель электрических схем с идеальными трансформаторами.

Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации: обоснование задач диссертации, математическая модель схем с идеальными трансформаторами разработаны совместно с кандидатом технических наук, доцентом Ю. Б. Федотовым. Алгоритмы формирования уравнений физической модели, разработка программ, проведение расчетов, анализ результатов выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов, представленных в диссертации, подтверждается корректностью выбранного математического аппарата и результатами моделирования многих УСЭ на ЭВМ.

Апробация результатов работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на Ш Всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов (15-16 ноября 2000 г.), г. Таганрог, 2000 г.; на 30-й научной конференции МГУ им. Н. П. Огарева (3-7 декабря 2001 г.) «XXX Огаревские чтения», г. Саранск, 2001 г.; на научных семинарах Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского, г. Саранск, 2003 г.

Результаты работы внедрены в АО «Конвертор» (г. Саранск).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 77 работ отечественных и зарубежных авторов, одного приложения. Работа изложена на 175 листах машинописного текста, содержит 24 рисунка и 5 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость, перечислены положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертации.

В первой главе диссертации производится обзор существующих систем анализа электронных устройств, обзор элементов электрических цепей, которые используются для разработки физических моделей УСЭ, разрабатывается физическая модель УСЭ, учитывающая наличие идеальных ключей и идеальных трансформаторов.

Существующие системы анализа не полностью учитывают особенности УСЭ и недостаточно эффективны для широкого использования в практике проектирова-

ния. При моделировании УСЭ в наиболее популярных системах анализа были выявлены следующие особенности: в таких системах как OrCAD, Micro-Cap, Electronics Workbench, Circuit Maker, MatLab сложно моделировать схемы с большим числом силовых полупроводниковых приборов и замкнутыми системами автоматического управления и регулирования, а также многообмоточные трансформаторы с разветвленной магнитной системой.

Для разработки физической модели таких сложных систем, как УСЭ, используются следующие элементы:

- стандартные, к которым относятся источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность и источник тока. Стандартные элементы являются идеальными моделями реальных элементов;

- виртуальные, состоящие из идеального ключа, идеального трансформатора и гиратора. Виртуальные элементы делают удобной разработку математических моделей и позволяют расширить их возможности.

Возможности систем анализа определяются применяемой в них физической моделью. Физическая модель является промежуточным звеном между реальным объектом и математической моделью. В качестве физической модели УСЭ используется разновидность кусочно-линейной расщепленной системы (рисунок 1), в которой структурно выделены кусочно-линейная цепь, описываемая непрерывным вектором переменных состояния, дискретная подсистема, описываемая дискретным вектором состояния, а также блок компараторов, осуществляющий связь между кусочно-линейной цепью и дискретной подсистемой. Функциональные элементы для удобства вычислений разделены на две функциональные цепи. Первая определяет значения источников, а вторая служит для отображения систем автоматического управления и регулирования преобразователей.

В состав непрерывной подсистемы входят:

1) произвольная электрическая цепь, составленная из резисторов, индуктив-ностей, конденсаторов, источников напряжения и тока, и виртуальных элементов: идеальных трансформаторов, идеальных ключей и датчиков тока и напряжения;

2) произвольная функциональная цепь, составленная из функциональных преобразователей и формирователей сигналов (сумматор, интегратор, апериодиче-

7

-е

Электрическая цепь __Т

До с ю

.¿«ЗС

1,4 эй

ФЦ2 % </////////4

КОМП 1о , АВТ

Рисунок 1 Структурная схема физической модели

ское звено, формирователь постоянного или синусоидального сигнала и др.) и идеальных ключей.

Дискретная подсистема содержит:

1) функциональные элементы для отображения реальных комбинационных логических схем и конечных автоматов, входящих в состав системы управления преобразователем (элементы типа "И", "ИЛИ", "НЕ", триггеры, счетчики и др.);

2) условные автоматы, управляющие переключением ключей и кусочно-линейных двух и многополюсников.

Во второй главе рассматриваются варианты представления трансформаторов электрическими эквивалентными схемами, которые включают идеальные трансформаторы, индуктивности и резисторы, и способы определения параметров модели трансформатора, разрабатывается математическая модель схем с идеальными трансформаторами.

При разработке физической модели трансформаторов и реакторов с учетом их нелинейности (насыщение, гистерезис) и влияния ее на электромагнитные процессы в преобразователе, целесообразно отображать их с уровня магнитной цепи.

При определении структуры и параметров элементов модели трансформаторов применяется комбинированный путь. На основе рассмотрения картины магнитного поля производится выбор упрощенной схемы магнитной цепи, а определение параметров ветвей - по измеренным или рассчитанным внешним характеристикам трансформатора и дополнительным априорным данным.

Разработчики, особенно на ранних стадиях анализа, часто нуждаются в модели идеального трансформатора (ИТ). Использование ИТ позволяет представить трансформаторы только электрической схемой замещения, которая состоит из ИТ, обеспечивающих согласование и потенциальную развязку обмото; • ч других ветвей (сопротивлений, индуктивностей, ключей), учитывающих основные характеристики трансформатора. Разработан метод анализа электрических цепей с ИТ, использующий свойство ортогональности уравнений для токов и напряжений обмоток многообмоточного ИТ с разветвленной магнитной системой. Это свойство позволяет рассматривать уравнения ИТ не как уравнения ветвей, а как дополнительные структурные уравнения.

Разработан алгоритм исключения ИТ. На первом этапе сортируются полная матрица контуров электрической цепи Вэ = [II Тэ] на субблоки, соответствующие \т-ветвям (обмотки трансформатора) и а-ветвям (остальные ветви цепи), и полная' матрица контуров схемы замещения трансформатора Вт = [II Тт] на субблоки, соответствующие w-вeтвям и Ь„-ветвям:

В, = [в1 в^], Вт=|в1 в1].

На следующем этапе формируется общая система уравнений электрической цепи и схемы замещения трансформатора:

В* о в, О в„ в.

и

а

X

.V

= 0.

Далее с помощью метода Гаусса исключаются идеальные трансформаторы. В ре-

зультате получается матрица вида:

В субблоке В^ = [В* В*] «'-ветви (обмотки) исключены.

На последнем этапе, после выделения в матрице В'01 с помощью метода Гаусса линейно-независимых строк и линейно-независимых столбцов, формируется матрица вида:

матрицы цепи без ИТ.В результате выполнения этого алгоритма получается структурная матрица цепи минимального размера. Эта матрица эквивалентна исходной, но не содержит ИТ. Алгоритм всегда позволяет производить эквивалентное исключение уравнений ИТ.

В третьей главе на основе физической модели разрабатываются алгоритмы формирования уравнений электрической и функциональной цепи, алгоритмы решения уравнений, описывающих цепь как на межкоммутационном интервале, так и в точке переключения идеальных ключей.

Исходными для получения математической модели являются уравнения двух типов:

1) Уравнения элементов электрической цепи, которые подразделяются на два вида:

а) уравнения элементов стандартного набора: источника напряжения (Е), емкости (С), резистора (II), индуктивности (Ь), источника тока (I);

б) уравнения виртуальных (структурных) компонентов:

= [вЛ1 Вл,],

где ВЛ1- неособенный квадратный субблок.

Матрица Т = [В^,хВ(Л2] является субблоком «контуры х ветви дерева» контурной

«

х

- идеальный ключ

и2 = 0, если ключ замкнут \г = 0, если ключ разомкну

2) Структурные уравнения электрической цепи:

а) [I: = 0 или Г =ТМХ (закон Кирхгофа для токов);

б) [т : Ж 3* = ® или и* (закон Кирхгофа для напряжений);

где Т - фундаментальная матрица контуров (ФМК);

Т'- транспонированная ФМК. Верхними индексами X обозначены величины, относящиеся к множеству хорд, верхними индексами Б - величины, относящиеся к дереву цепи. Элементами структурной матрицы Т на первом этапе являются целые числа: 0,1,-1.

Для получения уравнений модели необходимо располагать описанием структуры полной цепи. Такое описание можно получить, упорядочивая ФМК полной цепи в соответствии со следующим приоритетом ветвей:

Пг>ПЕ>Пс>Пя>Пь>П,>П„ (1)

где Пг - приоритет ветви, тип которой указывается нижним индексом.

Субблок «контуры-ветви дерева» (Т) ФМК, соответствующий обрамляющему приоритету (упорядоченная ФМК контуров), имеет нижний треугольный вид:

Г Е° с0 1° р- -

2« Т

Е* т т Е,Е

С* Т с,г т *г С.С

к" т Т„, т и.с т

т 1..г Т,8 т т т

^ Т ¡л т .1,1! т т 1.» т и- т

РХ т - р'г Р.Е Р,с * р." т лгх т т Р'Р_

(2)

После формирования упорядоченной ФМК осуществляется исключение идеальных трансформаторов. Идеальный трансформатор является структурным элементом, не потребляющим энергии, и его уравнения исключаются на этапе подготовки и в формировании уравнений модели не участвуют. В связи с тем, что коэффициенты трансформации являются вещественными числами, полученная после работы алгоритма структурная матрица, в отличие от исходной, является вещественной.

Далее исключаются идеальные ключи. В результате формируется частная эквивалентная схема, получаемая из исходной удалением ветвей, соответствующих

и

разомкнутым ключам, и объединением вершин, связанных замкнутыми ключами. Затем удаляются избыточные источники тока, вошедшие в дерево, и избыточные источники напряжения, вошедшие в хорды. В результате получается сгруктурная матрица минимального размера (выделенный субблок в (2)).

Таким образом, для того, чтобы располагать описанием структуры полной цепи и эквивалентной цепи достаточно при каждом переключении приводить ФМК полной цепи в соответствие с обрамляющим приоритетом (1).

Для описания процессов, протекающих в УСЭ, используется система обыкновенных дифференциальных уравнений:

£ сИ

= А(5)- " |х + В(8)- 'л"

.»с. x. ."е.

(3)

где

вектор источников, включающии токи источников тока, вошедших в

хорды, и напряжения источников напряжения, вошедших в дерево. В качестве переменных состояния используются переменные 1* и и". Следовательно, для получения такой математической модели в уравнениях элементов стандартного набора нужно исключить все токи и напряжения кроме переменных состояния (¡*, и"). При этом токи ветвей дерева и напряжения ветвей хорд вычисляются следующим образом:

Г = Т' -Г их =-Т и"

Х-Р /-!',/-!' /-Р ' /-!' /-[',/-1' /-Г

Переменные идеальных ключей находятся из уравнения:

"«Г л\ = С(8)- 'К "Л" п

.»с. ."е.

где А, В, С и О - матрицы коэффициентов, значения которых зависят от состояния ключей е.

Матрицы коэффициентов определяются следующим образом:

А =

с ♦ т* • рх

^с и.с х кс

в =

-я"• (т;,„-т;,• с„• т„„• к"'• т|к) -с, • (тЬЕ-т,„ и"• т^„• в,,• ткЕ)' Сс • (т,1 с - т* с • с„ • тв к • № • т;,)

-ос-т,;,.ск-тв,Е

с=

-ш - а -т • р"

Ь 1,1 р,к вь ~ Аг1 "^^кг-Р^+Т^

_ ш • а -т . р" - т _ уу . л +Т' -Р"

трц-рщ • Вц+тр, • к" • т;„ ■ с, ■ т„ тре -\у(:-в2,,+т,;у-р^ +т;,г - в, г - т;г • с„ • т„.Р.

где W1 =ТР,-Ь°.Т^, \\;.=т;,г-сх-тгг;

с„ = (к»+ТК11 • И" , с. = (ь* + т, , • и- ■ т;, у, сс = (с- + т',с • с".т^У;

Р'х „л X В" т1 р1 __г X 1>х__Г1 . Т и°.Т"

в. - V« К 11.К' Гвс- '».с» Гю - "и 1К,В К ч*

Р|0 _о11 АГ' О.Т1 1>х ^ 1>п _ т>п . X1 1>х Х)1' _011 . (ГТ1 . т>х ^

ш. \ ь.в к,к в| /» ги--к в,в не ' гн1-к \ в,в

Для обработки блока компараторов и автоматов используется метод поэлементной обработки, применяемый в системе ЭЛТРАН.

Для непрерывной функциональной цепи предлагается способ формирования системы дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений в явном виде:

<кч

(4)

где q - вектор выходных переменных интеграторов,

у - вектор входных переменных функциональной цепи, х - вектор выходных переменных функциональной цепи, А', В', С', О' - матрицы коэффициентов.

На первом этапе из исходного описания функциональной цепи производится формирование промежуточной матрицы коэффициентов вида:

V.

К К

где у - вектор остальных алгебраических переменных.

Каждый столбец и строка матрицы Е соответствует одной переменной функциональной цени.

На втором этапе алгебраические переменные у выражаются через вектор q и V. Здесь используется метод Гаусса. Если алгебраические переменные расположены в порядке прохождения сигнала, и алгебраические кольца запрещены, то субблок Р

имеет нижний треугольный вид, причем главная диагональ является также нулевой. В конце второго этапа все алгебраические переменные v оказываются выраженными через переменные интеграторов q и выходные переменные v.

На третьем этапе производится полное исключение алгебраических переменных, при этом также используется метод Гаусса. После завершения третьего этапа субблоки F являются матрицами коэффициентов системы уравнений (4):

А'= F ; B'=F ; C' = F ; D' = F .

чл ' q.* ' «л *>v

Однородная форма уравнений функциональной и электрической цепи модели УСЭ позволяет объединить их в одну систему.

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (3) на основе метода вариации постоянных имеет вид:

I

x(t) = Ф8 (t) • х0 + J qs ( t - т) • v(x) • dt, (5)

о

где <I>s(t) = eA'-фундаментальное решение соответствующей однородной системы; qs(t) = 0»s(t)-Bs.

Матрицы Ф8 и qs переформировываются каждый раз после изменения состояния ключей s.

Феэмула (5) используется для расчета модели на интервале постоянства состояния .юлупроводниковых приборов. Решение уравнений модели на всем временном интервале определяется с помощью метода припасовывания, когда переменные состояния, вычисленные в конце одного из интервалов, являются начальными условиями для вычисления переменных состояния на следующем интервале.

Для вычисления определенного интеграла в (5) используется метод квадратур в связи с его универсальностью и простотой реализации на ЭВМ. Согласно этому методу определенный интеграл заменяется системой алгебраических уравнений в точках временной сетки. При этом могут использоваться квадратурные формулы различных порядков, позволяющие определять неизвестный вектор переменных состояния в нескольких точках, количество которых определяется порядком квадратурной формулы.

В программах анализа вентильных преобразователей, где в качестве физиче-

ской модели используется кусочно-линейная расщепленная система, в которой компаратор и дискретная подсистема отделены от аналоговой, могут возникнуть особенные состояния, когда в результате переключения тиристоров появляются контуры с бесконечной проводимостью и ненулевым напряжением и сечения с бесконечным сопротивлением и ненулевым током. Конечно, особенные контуры и сечения могут возникать только в достаточно идеализированных моделях, где не учитываются проводимости утечки и остаточные сопротивления замыкания. Однако модели этого класса часто и используются.

Расчет модели в особенных состояниях производится с целью определения нового состояния идеальных ключей и основан на предположении о бесконечно малых, но не нулевых сопротивлении и проводимости ветвей, входящих в особенный контур или сечение, соответственно.

В четвертой главе определяется общая структура программы моделирования, приводится краткое описание системы программ ДИФУР, результаты ее экспериментального исследования и примеры решения некоторых практических задач.

При использовании программы ДИФУР для исследования УСЭ можно выделить следующие этапы: синтез физической модели и составление расчетных схем; подготовка исходного описания модели; выполнение расчетов. Для синтеза физической модели и разработки расчетных схем необходимо определить вид кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов, разработать схемы замещения отдельных элементов, используя для этого набор электрических и функциональных элементов. Составление расчетных схем является творческим этапом и в значительной степени зависит от знаний и опыта пользователя.

Результаты моделирования УСЭ совпадают с экспериментальными данными, что подтверждает правильность работы разработанных алгоритмов.

В заключении перечислены основные практические и теоретические результаты.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработана детализированная физическая модель устройств силовой электроники. Такая структура физической модели учитывает особенности объекта моде-

15

лирования, обладает достаточной общностью, чтобы отображать различные УСЭ и в различных режимах работы.

2. Разработан алгоритм формирования уравнений систем автоматического управления и регулирования УСЭ, который позволяет объединить уравнения функциональной и электрической цепей в одну систему.

3. Разработана математическая модель схем с идеальными трансформаторами, в которой уравнения идеальных трансформаторов рассматриваются как дополнительные структурные уравнения. В результате выполнения алгоритма получается структурная матрица вещественного типа, описывающая структуру цепи, эквивалентную исходной, но не содержащую идеальных трансформаторов.

Приложение содержит исходные тексты разработанных программ.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Максимов Д. Е., Федотов Ю. Б., Федосин С. А. Оболочка системы моделирования устройств преобразовательной техники ЭЛТРАН. III Всероссийская научная конференция молодых ученых и аспирантов. Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения. Тезисы докладов. Таганрог, 2000, с. 126127.

2. Максимов Д. Е., Федотов Ю. Б., Федосин С. А. Анализ цепей с трансформаторами. Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естественные и технические науки). - Саранск: Ковылк. тип., 2001, с.304-307.

3. Максимов Д. Е., Федотов Ю. Б., Федосин С. А. Структура программы моделирования устройств силовой электроники «ДИФУР». Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент (Межвуз. сборник научных трудов). - Саранск: Ковылк. тип., 2002. Вып. П. - с. 146-150.

4. Максимов Д. Е., Федотов Ю. Б., Федосин С. А. Анализ электронных цепей с использованием гираторов. Естественно-технические исследования: теория, методы, практика (Межвуз. сборник научных трудов). - Саранск: Ковылк. тип., 2002. Вып. П.-С.6-11.

5. Максимов Д. Е. Схемы замещения трансформаторов - Саранск: Средне-волжское матем. общество, препринт №54,2003.

уС'Сзос^

Подписано в печать 24.10.03. Объем 1,00 п. л. Тираж 100 Заказ № 1713. Типография Издательства Мордовского университета 430000, Саранск, ул. Советская, 24

»

V

iSo^o

Р 1 80 80

Введение

Глава 1. Физическая модель устройств силовой электроники

1.1. Обзор систем моделирования устройств силовой электроники

1.2. Стандартные элементы электрических схем

1.3. Виртуальные схемные компоненты

1.4. Кусочно-линейная расщепленная система как модель устройств силовой электроники

1.5. Выводы

Глава 2. Анализ цепей с идеальными трансформаторами

2.1. Построение схемы замещения трансформатора

2.2. Определение параметров модели трансформатора

2.3. Исключение уравнений идеальных трансформаторов

2.4. Выводы

Глава 3. Формирование и решение уравнений модели

3.1. Формирование уравнений электрической цепи

3.2. Алгоритм формирования уравнений функциональной цепи

3.3. Решение дифференциальных и алгебраических уравнений

3.4. Выводы

Глава 4. Система программ «ДИФУР»

4.1. Структура программы моделирования

4.2. Определение момента переключений

4.3. Краткое описание системы «ДИФУР»

4.4. Тестовые примеры

4.5. Выводы

Силовая электроника является одной из наиболее быстро развивающихся отраслей электроники. Ежегодно увеличивается как количество уже работающих устройств силовой электроники (УСЭ) в различных отраслях, так и количество вновь разрабатываемых УСЭ. Возрастают технические требования к УСЭ, усложняются схемы и режимы их работы, изменяется элементная база. При этом проектирование УСЭ должно проводится в возможно более короткие сроки, при более полном и точном учете процессов протекающих в устройстве и в условиях ограничения трудовых и материальных ресурсов.

Автоматизация проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ оказывает большое влияние на улучшение качественных показателей разрабатываемых устройств, сокращение сроков и уменьшение материальных затрат на проектирование. Основной эффект от автоматизации получается не в автоматическом или автоматизированном получении чертежей с помощью плоттеров, а в ускорении цикла проектирования, замене дорогостоящих макетных или натурных экспериментов вычислительными, а также в получении изделий более высокого качества.

В ходе разработки, для выбора оптимального или рационального варианта, этапы структурного и схемотехнического проектирования выполняются неоднократно, с различной степенью их детальной проработки и определяют большинство эксплуатационных характеристик разрабатываемых устройств.

Ошибки на первых этапах проектирования наиболее дороги, и их исправление требует наибольших временных и материальных затрат. Использование математического моделирования позволяет значительно сократить время проектирования, уменьшить стоимость разработки, повысить качество проектирования, а также провести такие эксперименты, которые или очень дороги или вообще невозможно провести на макетах.

Цель настоящей работы состоит в разработке эффективных методов моделирования УСЭ, а также математического и программного обеспечения для анализа электромагнитных процессов различных преобразовательных схем на ЭВМ. Это обеспечение должно быть:

- достаточно универсальным, чтобы пользователь имел возможность произвести анализ различных УСЭ и в различных режимах их работы;

- высокоавтоматизированным, позволяющим освободить пользователя от трудоемких действий по описанию преобразователя в требуемой математической форме, с разработкой алгоритмов, программ и их отладкой;

- экономичным по затратам времени на подготовку и решение задачи на ЭВМ.

Актуальность. В настоящее время для моделирования электронных устройств применяются такие универсальные системы анализа как PSpice, OrCAD, Micro-Cap, Electronics Workbench, Circuit Maker, DesignLab, PSIM, MatLab, ЭЛТРАН, ПАКЛС, ЦУМПУ и другие [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Применение этих систем для моделирования УСЭ вызывает ряд затруднений, связанных с особенностями УСЭ [14]:

1) наличие большого числа мощных полупроводниковых приборов, работающих, как правило, в ключевом режиме;

2) большое количество элементов в системе автоматического управления и регулирования, выполняющих функцию управления мощными полупроводниковыми приборами;

3) наличие трансформаторных элементов с большим числом обмоток и разветвленной магнитной системой.

Поэтому эти системы недостаточно эффективны для широкого использования в практике проектирования: в них сложно моделировать схемы с большим числом силовых полупроводниковых приборов и замкнутыми системами автоматического управления и регулирования, а также многообмоточные трансформаторы с разветвленной магнитной системой [14].

При моделировании схем электроники большая часть времени уходит на:

1) разработку инженером расчетных схем. На этом этапе часто возникает не-^ обходимость в так называемых виртуальных компонентах (идеальном трансформаторе, идеальном ключе и др.), которые существенно упрощают постановку задачи и процесс разработки математических моделей; 4

2) моделирование на ЭВМ, которое включает формирование систем уравнений, описывающих процессы, протекающие в устройстве, и их решение. Сложность задачи формирования и решения уравнений определяется тем, что с точки зрения анализа УСЭ являются непрерывно-дискретными системами. Силовая часть на интервалах постоянства состояния полупроводниковых приборов и трансформаторных элементов относится к непрерывным системам, а система управления воздействует на силовую цепь только в дискретные моменты времени и ближе к дискретной.

В связи с вышесказанным, задача включения в состав системы моделирования виртуальных компонентов и разработки эффективных алгоритмов формирования и решения системы дифференциальных уравнений является актуальной.

Постановка задачи. При разработке алгоритмов и программного обеспечения для анализа УСЭ необходимо решить следующие задачи:

1) определить структуру физической модели реального объекта, учитывающую особенности УСЭ, определить состав элементов и форму математического описания ее отдельных частей. От вида физической модели в значительной степени зависит математическое описание и структура программы анализа. Для того чтобы программное обеспечение было простым, экономичным и в то же время достаточно универсальным необходимо, чтобы соответствующая ему физическая модель реального объекта была по возможности простой и достаточно общей, чтобы отражать преобразователи с различным уровнем идеализации и в различных режимах их работы;

2) разработать математическую модель, учитывающую наличие идеальных элементов;

3) необходимо разработать или выбрать методы и алгоритмы автоматического формирования и решения уравнений на ЭВМ, описывающих физическую модель в различных ее состояниях. Эти методы должны обеспечивать требуемую точность вычислений и быть приемлемыми по затратам машинного времени и памяти;

4) система анализа УСЭ, кроме расчета модели на межкоммутационном интервале, должна содержать расчет модели в моменты изменения состояния кусочно-линейных элементов. Эти алгоритмы должны вычислять с необходимой точностью 5 правую границу линейного интервала, определять состояние кусочно-линейных элементов на новом интервале;

5) математическое и программное обеспечение, предназначенное для анализа УСЭ, должно включать средства для отображения трансформаторных элементов. Поэтому необходимо выбрать или разработать математическую модель и программы для анализа схем с трансформаторными элементами.

Методы исследований.

Разработка математической модели УСЭ основывается на применении ку-сочно-припасовочного метода, который является одним из основных и наиболее приемлемых методов расчета преобразовательных устройств. При разработке алгоритмов автоматического формирования уравнений используются современные матричные методы анализа цепей, теории графов и линейной алгебры. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется численными методами. Программа анализа для расчета УСЭ написана на алгоритмическом языке Pascal в среде визуального программирования Delphi.

Научная новизна. При разработке математического и программного обеспечения используется расщепленная кусочно-линейная система (KJIP-система) [20], содержащая аналоговую подсистему, дискретную подсистему и блок преобразования «аналог-код». Аналоговая подсистема является кусочно-линейной системой, процессы в которой описываются вектором непрерывных переменных состояния. В ее состав входят: произвольная электрическая цепь, составленная из резисторов, ин-дуктивностей, конденсаторов, трансформаторов, источников тока и напряжения, и виртуальных элементов: идеальных трансформаторов, идеальных ключей и датчиков тока и напряжения; произвольная функциональная цепь, составленная из функциональных элементов и идеальных ключей.

В данной работе разработана детализированная структура физической модели, учитывающая особенности УСЭ. В ней, по сравнению с ранее использовавшейся KJIP-системой, функциональные элементы разбиты на две функциональные цепи. Первая определяет значения источников тока и напряжения, а вторая является обрабатывающей функциональной цепью и служит в основном для отображения систем 6 автоматического управления и регулирования преобразователей.

Определено, что структура программы, рассчитанной на представление произвольных преобразователей, физической моделью которых является КЛР-система, состоит из трех вложенных друг в друга циклов: расчета модели на межкоммутационных интервалах, расчета модели в особенных состояниях и расчета индуцированных переключений.

Предложен алгоритм формирования уравнений систем автоматического управления и регулирования УСЭ, которые при анализе представляются функциональными схемами замещения в форме блок-схем. Система дифференциальных уравнений и алгебраические уравнения для непрерывной функциональной цепи формируются в явном виде, что позволяет использовать для их решения стандартные численные методы и программы.

Предложена математическая модель схем с идеальными трансформаторами. Уравнения идеальных трансформаторов рассматриваются в ней как дополнительные структурные уравнения. В результате выполнения алгоритма получается структурная матрица вещественного типа, описывающая структуру цепи, эквивалентной исходной, но не содержащей идеальных трансформаторов.

Практическая ценность. Разработанная в данной работе математическая модель составляют основу системы программ ДИФУР. Система ДИФУР предназначена для анализа УСЭ, позволяет отображать различные преобразовательные устройства с различным уровнем идеализации, освобождает пользователя от трудоемких работ, связанных с описанием анализируемых систем в требуемой математической форме, с разработкой программ и их отладкой.

Основные результаты работы, которые выносятся на защиту, посвящены разработке методов, алгоритмов и программ для анализа преобразовательных устройств и состоят в следующем:

1) в качестве физической модели УСЭ предлагается использовать расщепленную кусочно-линейную систему, в которой функциональные элементы разделены на две функциональные цепи. Такая структура физической модели учитывает особенности УСЭ, позволяет эффективно использовать описание объекта моделирования 7 дифференциальными уравнениями, обладает достаточной общностью, чтобы отображать различные УСЭ и в различных режимах их работы. Физическая модель служит основой для разработки математического описания и программного обеспечения;

2) предлагается алгоритм формирования уравнений функциональной цепи. Система дифференциальных уравнений и алгебраические уравнения для непрерывной функциональной цепи формируются в явном виде. Однородная форма уравнений функциональной и электрической цепей модели УСЭ позволяет объединить их в одну систему и решать совместно.

3) разработана математическая модель схем с идеальными трансформаторами, позволяющая получить структурную матрицу цепи без идеальных трансформаторов;

4) результаты опытной эксплуатации системы программ ДИФУР полностью подтвердили теоретические выводы, изложенные в работе. Система позволяет отображать различные УСЭ (выпрямители, инверторы, преобразователи частоты и т.д.) в различных режимах их работы. Использование эффективных методов формирования и решения уравнений, автоматизация процесса обработки результатов счета позволяет значительно сократить время на подготовку и решение задачи, упрощает анализ результатов моделирования.

В ходе опытной эксплуатации и использования системы ДИФУР для решения прикладных задач проведена проверка правильности функционирования системы и оценка точности на тестовых примерах, выполнен анализ затрат машинного времени.

Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации: обоснование задач диссертации, математическая модель схем с идеальными трансформаторами разработаны совместно с кандидатом технических наук, доцентом Ю. Б. Федотовым. Алгоритмы формирования уравнений физической модели, разработка программ, проведение расчетов, анализ результатов выполнены автором самостоятельно.

Внедрение результатов работы. Основные методы и алгоритмы, разработанные в данной работе, используются в системе программ ДИФУР, которая предназна8 чена в первую очередь для анализа УСЭ, и разрабатывалась на кафедре автоматизированных систем обработки информации и управления Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева. Система программ ДИФУР внедрена в АО «Конвертор» (г. Саранск).

Основные положения обсуждались на следующих конференциях:

1) III Всероссийская научная конференция молодых ученых и аспирантов. «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения». Таганрог, 2000.

2) 30-я научная конференция «XXX Огаревские чтения». Саранск, 2001.

3) Научные семинары Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского. Саранск, 2003.

По основным результатам диссертации опубликовано 5 печатных работ [15, 16, 17,18,19].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. В первой главе производится обзор существующих систем анализа УСЭ, обзор элементов электрических цепей, которые используются для разработки физических моделей УСЭ, разрабатывается физическая модель УСЭ, учитывающая наличие идеальных ключей и идеальных трансформаторов. Во второй главе работы рассмотрены варианты представления трансформаторов электрическими эквивалентными схемами, которые включают идеальные трансформаторы, индуктивности и резисторы, и способы определения параметров модели трансформатора, разрабатывается математическая модель схем с идеальными трансформаторами. В третьей главе на основе физической модели разрабатываются алгоритмы формирования уравнений электрической и функциональной цепи, алгоритмы решения уравнений, описывающих цепь как на межкоммутационном интервале, так и в точке переключения идеальных ключей. В четвертой главе определяется общая структура программы моделирования, приводится краткое описание системы программ ДИФУР, результаты ее экспериментального исследования и примеры решения некоторых практических задач. В приложении приводятся коды основных программ системы ДИФУР.

4.5 Выводы

Наиболее простой и надежный алгоритм определения границы межкоммутационного интервала получается, если для уточнения момента коммутации и вычисления переменных в этой точке использовать один и тот же полином, построенный на ранее рассчитанных точках. Для уточнения точки переключения используется итерационный метод, а вычисления переменных модели в этой точке выполняются с помощью прямой интерполяции. Этот алгоритм:

- контролирует погрешность определения моментов переключения;

- позволяет создавать процедуру обработки переключений независимой от процедуры счета;

- не требует дополнительного выполнения процедуры счета.

Результаты опытной эксплуатации системы программ ДИФУР позволяют сделать следующие выводы:

- физическая модель является достаточно общей, позволяет отображать различные УСЭ в различных режимах работы, с различным уровнем их идеализации;

- включение в состав системы ДИФУР обслуживающих блоков «ВВОД» и «АНАЛИЗ» упрощает процесс ввода исходных данных и обработки результатов расчетов, позволяет пользоваться системой инженеру-разработчику УСЭ, не знакомому с программированием и вычислительной математикой;

- сравнение результатов расчета тестовых примеров с точными, аналитическими результатами подтверждает вывод об устойчивости и приемлемой точности использующихся в системе численных методов;

- возможны многочисленные усовершенствования системы как в части повышения ее возможностей, уменьшения затрат машинного времени и памяти, так и в части улучшения сервиса. Однако опытная эксплуатация показала, что заложенные в основу системы методы и алгоритмы позволяют и в настоящее время достаточно эффективно использовать ее при анализе УСЭ.

1. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных устройств Des-ignLab 8.0.-М.: СОЛОН, 1999.

2. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования и проектирования печатных плат DesignCenter (PSpice). М.: СК Пресс, 1996. - 272с., ил.

3. Разевиг В. Д. Применение программ P-CAD и PSpice для схемотехнического моделирования на ПЭВМ: В 4-х выпусках. М.: Радио и связь, 1992.

4. Разевиг В. Д. Система схемотехнического проектирования MICRO-CAP V. М., 1997, изд. «Солон». - 273с.

5. Разевиг В. Д. Система проектирования цифровых устройств OrCAD. М.: Солон-Р, 2000. - 160с.

6. Гаврилов Л. Н. Системы автоматизированного проектирования (САПР) аналоговых и аналого-цифровых устройств. Электронные компоненты, №3, 2000. С.61-66; Электронные компоненты, №4, 2000. С.70-74; Электронные компоненты, №5, 2000. С.11-13.

7. Колпаков А. И. PSIM программа анализа силовых преобразовательных устройств и систем. Электронные компоненты, №6,2003. С.77-82.

8. PSIM Simulation software for power electronics and electrical systems. PCIM Europe 2003 - materials of an International Exhibition & Conference.

9. Архангельский А. Я. PSpice и DesignCenter. 4. 1 и 2. M.: МИФИ, 1996.

10. Ю.Колпаков А. И. PSpice для чайников или революция Педерсона. Электронныекомпоненты, №4, 1999. С.70; Электронные компоненты, 1999, №5. С.64; Электронные компоненты, 2000, №1. С.65.

11. Электротехника и электроника. Практикум на Electronics Workbench/ Под. ред. Панфилова Д. И. Ч. 1 и 2. М.: Додэка, 1999.

12. Потапов Ю. В. Российский рынок САПР печатных плат. Электронные компоненты, №5, 2001. С.58-60.

13. Мустафа Г. М., Шаранов И. М., Тингаев В. Н. Система программ для моделирования устройств преобразовательной техники. Электротехника, 1978, №6. С.6-10.117

14. Федотов Ю. Б. Проблемы моделирования устройств силовой электроники. Электроника и информационные технологии 2002: Сборник научных трудов. - Саранск: СВМО, 2002. С.133-142.

15. Максимов Д. Е., Федосин С. А., Федотов Ю. Б. Анализ цепей с трансформаторами. Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естественные и технические науки). Саранск: Ковылк. тип., 2001. С.304-307.

16. Максимов Д. Е., Федосин С. А., Федотов Ю. Б. Анализ электронных цепей с использованием гираторов. Естественно-технические исследования: теория, методы, практика (Межвуз. сборник научных трудов). Саранск: Ковылк. тип., 2002. Вып. II. С.6-11.

17. Максимов Д. Е. Схемы замещения трансформаторов Саранск: Средневолжское матем. общество, препринт №54, 2003. - 16с.

18. Мустафа Г. М., Шаранов И. М. Расщепленная кусочно-линейная система как модель устройств преобразовательной техники. В кн. «Электронные цепи, передача и обработка информации». Сборник научных трудов. Киев, «Наукова думка», 1979. С. 193-209.

19. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988. - 560с., ил.

20. Федосин С. А., Нестеров С. А. Моделирование электронных схем на персональном компьютере. Учеб. пособие. Саранск: Изд-во Мордов. Ун-та, 1993. 160с.

21. Сигорский В. П. Математический аппарат инженера. Киев, «Техника», 1975. -768с.

22. Мустафа Г. М. Матрицы цепей с трансформаторами и алгебраизация методов их анализа. Электричество, №1, 1984. С.32-40.

23. Чуа JI. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. Пер. с англ.-М.: Энергия, 1980. 640с.

24. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. М, НИЛ, 1963.

25. Руденко В. С., Жуйков В. Я., Коротеев И. Е. Расчет устройств преобразовательной техники. Киев: Техника, 1980. 136с.

26. Костенко М. П., Нейман Л. Р., Блавдзевич Г. Н. Электромагнитные процессы в системах с мощными выпрямительными установками. Издательство АН СССР, 1946.-108с.

27. Каганов И. Л. Электронные и ионные преобразователи. Т.1, Госэнергоиздат, 1950. 528с.

28. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1969. 576с.

29. Шаранов И. М. Моделирование устройств преобразовательной техники на ЦВМ. Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук НИИ завода «Электровыпрямитель», 1981. 229с. с ил.

30. Мустафа Г. М. Анализ по частям электрических цепей с идеальными ключами. Электричество, 1980, №11. С.39-44.

31. Сешу С., Рид М. Б. Линейные графы и электрические цепи. «Высшая школа», 1971.-448с.

32. Лейтес Л. В., Пинцов А. М. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов. М., «Энергия», 1974. 192с.

33. Мустафа Г. М. Матрицы для описания топологии трансформаторов. Электричество, №10, 1977. С.34-39.

34. Лейтес Л. В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов. М., Энергия, 1981.-392с.

35. Мустафа Г. М., Шаранов И. М. Представление трансформаторов в программе анализа тиристорных преобразователей. ЭП «Преобразовательная техника»,1191977, №2.

36. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М., Наука, 1969.

37. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем. Изд. 2-е, перераб. и дополнен. М., «Сов. радио», 1976. 608с. с ил.

38. Анисимов Б. В., Белов Б. И., Норенков И. П. Машинный расчет элементов ЭВМ. М., «Высшая школа», 1976. 336с. с ил.

39. Сигорский В. П., Шеин А. Б. Методы формирования уравнений состояния электрических и электронных цепей на основе теории графов: Учебное пособие. -Новосибирск: Изд-во ССМ, 1997. 224с.

40. Максимович Н. Г., Матвейчук Я. Н., Шемуратов Ф. А. Приложение теории графов к формированию модели электронной схемы с многополюсниками. Электронное моделирование, 1981, №1. С.27-32.

41. Стахив П. Г. К вопросу о формировании уравнений состояния электрических цепей с многополюсниками. Электронное моделирование, 1983, №3. С.42-45.

42. Бренин Ф. Методы анализа цепей с помощью вычислительной техники. ТИИЭР, т.55, №11, 1967.

43. Скипина Л. Н. Разработка компьютерных средств анализа устройств силовой электроники. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук ОАО «Чебоксарский приборостроительный завод Элара», 1999. 26с.

44. Калахан Д. А. Методы машинного расчета электронных схем. Пер. с англ. М., «Мир», 1970. 344с.

45. Конев Ф. Б., Ярлыкова Н. Е. Методы численного решения систем дифференциальных уравнений в цифровых моделях вентильных преобразователей. ТС-5. Преобразовательная техника. Обзорная информация. Информэлектро, 1978. -40с.

46. Белов Г. А., Шеин А. Б. Численное решение уравнений состояния электротехнических и электронных систем. Вестник Чувашского ун-та, №1, 1997. С. 116-121.

47. Демирчян К. С., Ракитский Ю. В., Бутырин П. А., Карташев Е. В., Коровкин Н. В. Проблемы численного моделирования процессов в электрических цепях. Изв. АН СССР - Энергетика и транспорт, 1982, №2. С.94-114.

48. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208с.

49. Калахан Д. А. Численное решение систем линейных уравнений с сильно различающимися постоянными времени. ТИИЭР, 1967, №11.

50. Davison Е. J. The algorithm for the computer simulation of very large dynamic systems. "Automatica", 1973, v. 9, N6. P.665-675, (Э.И., сер.САУ, 1974, вып.17, реф. 129).

51. Shieh L. S., Paskus G. F., Willias D. R. Periodic and cut-off responses for state-space equations. "Ind. J. contr.", 1972, v.16, N2. P.369-377. (Э.И., сер.САУ, 1972, вып.42, реф.230).

52. Ронто H. И. Конструктивная формула вычисления фундаментальной матрицы на основе Т-преобразования. Электронное моделирование, 1982, №4. С.3-6.

53. Пухов Г. Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев, Наукова думка, 1980. 420с.

54. Дж. X. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970.

55. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Изд. Третье. М., Наука, 1967. 576с.

56. CofFetti A., Petrecca G., Savini A. A digital simulation of converter circuits. "Contr. Power. Electron, and Elec. Drives. Proc 2-nd IFAC Symp., Dusseldorf, 1977", Oxford, e. a., 1978. P.17-21.

57. Конев Ф. Б. Моделирование вентильных преобразователей на вычислительныхмашинах. М.: Информэлектро, 1976. - 84с.

58. Михалевич Г. А., Шевердина 3. Н. Алгоритмы машинного анализа вентильных цепей с использованием методов численного интегрирования явного и неявного типов. В кн.: Проблемы преобразовательной техники, ч.1. - Киев: ИЭД АН УССР, 1979. С.191-194.

59. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами на ЭВМ. Киев, Наукова думка, 1978. 292с.

60. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М., Наука, 1971.

61. Верлань А. Ф. Методы интегральных уравнений в задаче описания и расчета электрических цепей. Электронное моделирование, 1983, №5. С.8-12.

62. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967.

63. Мочульский Ю. С., Синицкий А. А. О погрешности численных методов при расчете электрических цепей. Электричество, №10, 1974. С.73-77.

64. Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. Пер. с англ. М., «Мир», 1977. 580с.

65. Хемминг Р. Численные методы. М., Наука, 1972. 400с.

66. Бахвалов Н. С. Численные методы. М., Наука, 1973. 632с.

67. Мустафа Г. М., Шаранов И. М. Математическое моделирование тиристорных преобразователей. Электричество, №1, 1978, №1. С.40-45.122

68. Конев Ф. Б., Троицкая Г. А., Попова Е. П. Комплекс программ для расчета электромагнитных процессов в автономных инверторах на ЦВМ серии «Мир». Электротехническая промышленность. Сер. Преобразовательная техника. Вып. 6(47), 1973. С. 19-21.

69. Федотов Ю. Б., Шаранов И. М. Алгоритм обработки переключений в программе моделирования преобразователей на ЦВМ. Электротехническая промышленность. Сер. Преобразовательная техника. Вып. 7(165), 1984. С.5-6.

70. Федотов Ю. Б., Шаранов И. М., Мустафа Г. М. Обработка результатов моделирования при анализе стабилизированного инвертора. Электротехническая промышленность. Сер. Преобразовательная техника. Вып. 4(132), 1981. С.3-6.