автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Разработка эффективных методов кодирования для повышения пропускной способности современных линий волоконно-оптической связи

005002776

На правах рукописи

Скидин Антон Сергеевич

Разработка эффективных методов кодирования для повышения пропускной способности современных линий волоконно-оптической связи

Специальность 05.13.17 - «Теоретические основы информатики»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Красноярск - 2011

005002776

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Федорук Михаил Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Носков Михаил Валериановнч доктор физико-математических наук, профессор Дьячков Аркадий Георгиевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится « 23 » декабря 2011 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.11 при Сибирском федеральном университете по адресу: г. Красноярск, ул. Кирсиского, 26. ауд. УЛК 115.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан « 21 » ноября 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

t

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современный мир немыслим без интенсивного информационного обмена,, поэтому год от года количество передаваемой между абонентами информации растет. Такой рост ставит перед инженерами и исследователями задачу создания всё более эффективных средств передачи данных. В настоящий момент около 70% всего объёма информации передается через волоконно-оптические линии связи. За десятилетия, прошедшие с момента появления оптоволоконных световодов, суммарная длина всех проложенных волоконно-оптических кабелей достигла 1 млрд. км. Если учесть, что современные оптические линии могут иметь суммарную пропускную способность порядка 10 Тбит/с (в экспериментальных же системах достигается значительно большая пропускная способность), то становится очевидным, что волоконно-оптические линии связи на сегодняшний день являются самым эффективным методом передачи данных. Это, несомненно, определяет важность как теоретических, так и прикладных исследований, направленных как на совершенствование существующих линии оптической связи, так и на разработку новых технологий, необходимых для ещё большего увеличения пропускной способности телекоммуникационных каналов.

В отличие от большинства сред передачи информации, оптические волокна обладают рядом свойств, интенсивность проявления которых зависит от параметров оптических сигналов, распространяющихся но линии. Специфика природы сигнала в волоконном световоде начинает проявляться при увеличении мощности передаваемых информационных импульсов. В этом случае на передачу данных начинают оказывать значительное воздействие так называемые нелинейные эффекты. Именно факт зависимости влияния данных эффектов от мощности передаваемого сигнала и отличает их от других, «линейных», эффектов, физическая сторона проявления которых не зависит от энергетических характеристик сигнала в линии. Роль нелинейностей в волоконной оптике неоднозначна. С одной стороны, они ограничивают дальность и скорость передачи информации, с другой же их использование способно напротив улучшить характеристики линий связи. Так, с использованием природы нелинейных эффектов были созданы усилители сигнала, что стало следствием изучения таких эффектов, как эффект рассеяния Манделыптама-Бриллюэна. эффект Рамана и эффект четырёхволнового смешения (FWM — four-wave mixing). В частности, рамаповские усилители способны компенсировать эффекты затухания

оптических импульсов, что говорит об их практической значимости для реальных систем оптоволоконной связи.

Влияние нелинейных эффектов носит не только чисто физический, но и информационный характер. В информационном плане они проявляются зависимостью количества ошибок при передаче информации от вида самой информации — так называемым паттерн-эффектом (patterning effect). Как показали исследования, во многих случаях влияние паттерн-эффекта велико настолько, что пренебрегать им при разработке систем передачи данных нельзя. Особенно он заметен при больших скоростях передачи информации в силу того, что в этом случае на физическом уровне имеет место быть межсимвольное взаимодействие (ISI — inter-symbol interaction), выражающееся во влиянии передачи одного символа на передачу его «соседей», а также ряд других эффектов, таких, как дисперсионное уширение импульса, четырёхволповое взаимодействие, фазовая кросемодуляция. И хотя взаимодействие соседних импульсов несложно объяснить вполне «линейными» соображениями, а именно тем фактом, что с увеличением скорости передачи данных уменьшается длительность импульсов и становится более вероятно их перекрытие, суммарное воздействие других эффектов приводит к нелинейной зависимости информационных свойств канала от рода самой информации, передаваемой ио нему. Наиболее ярко это видно при анализе статистики ошибок, собранной при моделировании процесса передачи данных по оптоволокну, которая свидетельствует о том, какие битовые сочетания являются самыми «неподходящими» для передачи (иными словами, какие сочетания имеют максимальную вероятность быть принятыми с ошибкой).

Такое положение вещей даёт основание полагать, что в нелинейных искажениях заложена информация, которую можно использовать для более эффективной обработки передаваемого сообщения. Так, статистику ошибок по различным передаваемым сигналам можно использовать для того, чтобы преобразовать передаваемые данные определённым образом с целью снижения степени их искажённости при передаче по волокну. Схожую задачу решают не только в оптике, а также в области магнитной записи и в спутниковой связи, однако там, как правило, такие подходы посвящены устранению перекрытия соседних импульсов, а также сохранению синхронизации при обработке большого количества подряд идущих одинаковых по значению символов. Преобразование данных, заключающееся в их модулировании, то есть в представлении их на

информационном уровне символами определённого вида, называется кодированием с ограничениями (или ограниченным кодированием, constrained coding). Применению подходов теории кодирования с целью улучшения характеристик волоконно-оптических каналов и посвящена данная работа.

Цели работы. Разработка и анализ новых методов кодирования информации, направленных на использование нелинейных свойств среды при передаче информации по оптоволоконным каналам связи, для повышения пропускной способности оптических линий. Разработка программного обеспечения, включающего в себя алгоритмы, основанные на построенных методах. Анализ схем взаимодействия предложенных в работе кодов с другими типами помехоустойчивых кодов. Разработка методов оценки энергетической эффективности кодов для каналов передачи информации при наличии в них нелинейных воздействий па сигнал. Оценка эффекта от применения кодов с помощью существующих моделей передачи данных по оптоволоконным линиям связи.

Решаемые задачи.

1. Применение кодирования с ограничениями с целью устранения влияния перекрытия соседних передаваемых символов на частоту ошибок приёма данных. Построение математического аппарата для анализа кодов с ограничениями. Разработка потокового и блочного алгоритма кодирования для небольших длин блоков. Теоретико-информационный анализ блоков триплетного кода. Комбинаторный анализ двоичных слов, содержащих заданное количество определенных подслов. Построение блочного триплетного кода для больших длин блоков с помощью предложенных в работе комбинаторных методов. Обоснование оптимальности данного кода с точки зрения максимальной кодовой скорости.

2. Улучшение качества передачи информации в канале с паттерн-эффектом с помощью адаптивного кодирования. Анализ особенностей подхода. Построение адаптивного кода с блоками малой длины. Анализ ограниченных кодов с помощью графов ограничений. Разработка метода построения адаптивного кода для блоков большой длины с помощью графов. Доказательство оптимальности построенного кода. Анализ производительности алгоритма и требований алгоритма к памяти.

3. Разработка методов нахождения энергетического эффекта от кода в канале связи с нелинейными искажениями сигнала. Нахождение энергетического эффекта от построенных кодов.

4. Исследование возможностей сочетания ограниченных кодов с кодами, корректирующими ошибки. Способы конкатенации кодов, примеры. Определение рабочей области, в которой дополнение помехоустойчивого кода ограниченным кодом даёт лучшие результаты по сравнению с использованием одного помехоустойчивого кода. Анализ результатов применения построенных кодовых схем на практике.

Научная новизна и значимость работы.

1. Получены рекуррентные соотношения, по которым можно определить количество заданных триплетов в произвольном бинарном слове длины п. На основе выведенных соотношений путём нумерации последовательностей построен блочный код для удаления определённого количества паттернов из сообщения; данный код может работать с блоками большой длины и является оптимальным при неограниченном возрастании длины блока.

2. Предложен метод адаптивного кодирования, позволяющий снизить количество ошибок в канале при наличии в нём паттерн-эффекта произвольной природы. Данный метод позволяет с помощью кодов небольшой избыточности (до 10%) существенно снизить количество ошибок в канале с паттерп-эффектом, который может иметь место на практике. Этот факт проверен и отражён в работе, в качестве подтверждения приведён пример.

3. Предложен код, обобщающий метод адаптивного кодирования для больших блоков данных. Код основан на использовании предложенных в работе математических методов нумерации последовательностей. Для данного кода показано, что операции декодера могут быть эффективно распараллелены.

4. Показано, что построенные коды с ограничениями могут эффективно дополнить используемые в оптической связи помехоустойчивые коды, поскольку они, обладая простотой кодирования/декодирования, позволяют снизить нагрузку на корректирующие коды за счёт снижения числа ошибок, причины появления которых обусловлены влиянием нелинсиностей в оптоволокне.

Научная и практическая значимость работы. Проведённая работа по реализации алгоритмов кодирования позволяет их применить в реальных системах связи, в частности при модернизации уже функционирующих линий волоконно-оптической связи, что является практически значимым результатом в силу того, что стоимость прокладкп нового волоконного кабеля многократно превосходит стоимость замены приёмно-передающего

оборудования в ужо проложенной линии.

Методы исследований. При построении и анализе алгоритмов кодирования применялись идеи п методы теории вероятностей, комбинаторики, дискретной математики, теории алгоритмов и теории случайных процессов. Алгоритмы кодирования были реализованы в виде библиотечных процедур для ЭВМ. В ходе выполнения работы также использовалась модель оптоволоконного канала связи, разработанная сотрудниками ИВТ СО РАН. С помощью модели были проведены численные эксперименты, позволившие найти характеристики построенных автором алгоритмов, наблюдаемые при применении алгоритмов на практике.

Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом математическом описании разработанных алгоритмов и на их теоретическом анализе. Обоснованность выводов прикладного характера подтверждается результатами практического применения разработанных алгоритмов.

На защиту выносятся:

1. Рекуррентные соотношения для определения количества слов длины п. содержащих заданное количество триплетов а.

2. Метод определения емкости кода со слабыми ограничениями, основанный на определении матрицы перехода цепи Маркова, вероятностные характеристики которой соответствуют асимптотически оптимальному ограниченному коду.

3. Методы н алгоритмы адаптивного блочного кодирования, ориентированные на улучшение качества передачи информации по каналам связи с паттерн-эффектом.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на конференции ICUMT-2009 (Internationa] Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems. Санкт-Петербург, 12-14 октября 2009 г.), на конференции ACIT-ICT 2010 (The IASTED International Conference on Automation, Control, and Information Technology — Information and Communication Technology, Новосибирск, 15-18 июня 2010 г.), на семинаре ио теории кодирования в Институте математики СО РАН (2008 г.), на IV-м Российском семинаре ио волоконным лазерам (Ульяновск, 19-22 апреля 2010 г.), на П-м Российско-британском семинаре «Потоковая обработка данных и программирование» (12-15 сентября 2011, г. Новосибирск), а также на II 1-й Всероссийской конференции по волоконной оптике (ВКВО-2011, 12-14 октября 2011 г.).

Значительная часть результатов работы была получена при выполнении Государственного контракта №02.740.11.5129 от 9 марта 2010 г. (федеральная целевая программа «Научные н научно-педагогические кадры инновационной России»). В настоящее время продолжение исследований в направлении диссертационной работы поддержано Государственными контрактами №11.519.11.4001 и №11.519.11.4018 (федеральная целевая программа «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы»).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 3 статьи в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание учёной степени кандидата и доктора наук. Также имеются публикации в трудах конференций.

Личный вклад автора. Проведённое в работе исследование является самостоятельным авторским исследованием, в том числе разработка методов и алгоритмов ограниченного и слабоограничепного кодирования, теоретический анализ свойств методов, а также их программная реализация. Для определения характеристик алгоритмов кодирования, предложенных в работе, была использована модель оптической липни связи, которая была разработана сотрудниками ИВТ СО РАН. С помощью данной модели были проведены вычислительные эксперименты, позволившие на практике определить степень эффективности алгоритмов.

Структура диссертации. Данная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 2G рисунков, 15 таблиц, количество источников в библиографическом списке равно 109. Объём диссертации — 131 страница.

Содержание работы

Во введении к диссертации проводится обоснование темы, в ходе которого раскрывается роль оптоволоконных линий связи в современных телекоммуникационных системах, приводится изложение того, как эволюционировал данный вид связи. Отдельно ввиду своей важности рассматривается передача данных по волоконному кабелю с использованием технологии мультиплексирования сигнала по частоте (WDM — wavelength-division multiplexing). Обозначаются перспективы развития волоконно-оптических линий связи за счёт увеличения числа частотных

каналов, а также за счет увеличения скорости передачи в каждом из каналов в отдельности.

Глава 1 посвящена постановке задач, подходы к решению которых разрабатываются в последующих главах. В ней приводятся основные сведения о влиянии нелинейных эффектов на передачу данных по оптоволоконным линиям связи, а также раскрывается суть данного влияния с точки зрения особенностей статистики ошибок в канале связи.

В разделе 1.1 первой главы проводится анализ паттерн-эффекта в оптоволоконных линиях связи как эффекта зависимости частоты появления ошибок при передаче информации от вида передаваемой информации. Проводится анализ влияния нелинейностей в канале на основе уравнения, описывающего распространение импульса но волоконному световоду.

Как известно, распространение оптических импульсов в одномодовом волоконном световоде описывается уравнением

дА г . 1 пд2А ...2. ...

Здесь А — амплитуда огибающей импульса, \А\2 — мощность импульса, Т — время, которое измеряется в системе отсчёта, движущейся с импульсом и его групповой скоростью уд (Т = í — г/уд). Правая часть данного уравнения содержит три слагаемых, которые описывают влияние затухания импульса (-%аА), влияние дисперсии групповых скоростей и влияние

нелинейности (~7|Л|2Л) на распространение импульсов по волоконному световоду. Коэффициенты а, /3 и 7 относятся к затуханию, к дисперсии и к нелинейным эффектам соответственно. Данное уравнение используется для расчета при длительности импульсов более 0.1 пс. При анализе распространения более коротких импульсов следует учитывать дисперсию третьего порядка д'1А/дТкоторая включается в уравнение 1.

Далее в разделе рассматривается качественно нелинейный член в уравнении 1. Величина выражения —7|Л|2Л, очевидно, напрямую зависит от мощности сигнала. Это отличает нелинейность от других факторов, оказывающих воздействие на передачу данных, поскольку только нелинейность при увеличении мощности сигнала усиливает своё влияние на передаваемые импульсы. Складывается следующая ситуация: при небольших значениях мощности импульсы распространяются в линейном режиме под влиянием затухания и хроматической дисперсии, а при увеличении мощности импульса, роль нелинейностей возрастает.

Из нелинейных эффектов в разделе рассматривается влияние

Рисунок 1 — Появление импульса-«призрака» из-за взаимодействия трёх импульсов

четырёхволнового смешения на передачу информации но нескольким частотным каналам. Пусть три волны с частотами /i, /2 и /3 взаимодействуют в нелинейной среде. Тогда нелинейная среда создаст волны с частотами ±/i ± /2 ± /3. Если в линии частоты информационных каналов разделены равными промежутками или количество каналов столь велико, что они находятся по частоте рядом друг с другом, то дополнительные волны, индуцированные нелинейной средой, способны переносить часть энергии с основных частот на дополнительные.

Одной из главных особенностей проявления четырёхволнового смешения является появление в канале так называемых импульсов-«призраков». Пусть в оптоволокне имеется п информационных каналов с частотами /¿. i = 1,п. Для удобства занумеруем данные частоты в порядке их возрастания и ниже будем обозначать их не /¿, а просто г. На. рис. 1 [Kasliyap N. et al. Coding for the Optical Channel: the Ghost-Pulse Constraint // IEEE Trans. Inf. Tli, Vol. 52(1), Pp. G4-77, 200G] показано, каким образом формируется импульс-«призрак» в информационном канале — его появление провоцируется наличием на определённых соседних с ним каналах единичных импульсов, картина суммарного взаимодействия которых и показана на рисунке.

Однако влияние четырёхволнового смешения, как показали наблюдения, распространяется не на всякие рядом стоящие «нули» и «единицы». Как выяснено в ходе экспериментов, если в каналах к, I и т одновременно находятся логические «единицы» (bk = b¡ = bm = 1), то по причине эффекта четырёхволнового смешения наблюдается перенос энергии с данных позиций на позицию к + I — т. Таким образом, если b^+i-m = 0, то есть если фактически импульса, в канале к + I — т в данный момент не было, то он может образоваться из-за переноса энергии, это и будет импульс-«призрак». Несложно показать, например, что битовые сочетания 1101, 1011 и 11011 могут провоцировать появление импульса-«призрака», что может привести к неверной передаче нулевого бита. Разумеется, проявление или непроявление

данного эффекта зависит от многих факторов, в том числе и от того, каким образом передаваемые данные представляются в канале.

Раздел 1.2 содержит описание ранее известных методов борьбы с последствиями проявления нелинейных эффектов. Описана возможность подавления влияния пелинейностей при помощи кодов RLL (run-length limited — коды с ограничением длины серий одинаковых битов), а также с помощью других кодов, изложенных в работах за последние годы. Описаны особенности использования данных кодов, их достоинства и недостатки.

Глава 2 посвящена, теоретическим и практическим аспектам реализации ограниченных кодов, направленных на подавление нелинейных эффектов вообще п паттерн-эффекта в частности.

В разделе 2.1 рассматриваются теоретические основы кодирования и имеющиеся в данной области основные результаты, пересекающиеся с темой работы. Вводятся основные понятия, используемые в дальнейшем. Рассматриваются основные виды ограниченных кодов, в частности коды RLL, нашедшие применение как в магнитной записи, так и в телекоммуникационном оборудовании. Рассматриваются способы представления данных в канале, такие, как NRZ (non-rcturn-to-zcro — без возврата к нулю), NRZI (non-return-to-zero-inverted — без возврата к нулю, с инверсией). Приводятся примеры использования битовой вставки (bit stuffing) с целью ограничить количество подряд идущих сигналов одинакового значения (подобные ограничения предполагает, например, популярный стандарт USB), а также для предотвращения случайного появления управляющих последовательностей в канале (это реализовано, например, в протоколе HDLC, относящемся к канальному уровню сетевой модели OSI).

В разделе 2.2 рассматривается частный случай межсимвольного взаимодействия (ISI), который часто встречается на практике — перекрытие соседних импульсов. В этом случае соседние импульсы сигнала, независимо от типа используемой модуляции, перекрываются между собой, что может негативно повлиять на качество передачи данных. Рассматриваются практические примеры статистики ошибок, показывающие, что триплет 101 во многих случаях является наиболее подверженным ошибочному приёму, когда на приёмном конце из-за перекрытия вместо нулевого бита появляется «единица».

Раздел 2.2 посвящён построению потокового и блочного кодов, нацеленных на уменьшение до заданного значения количества триплетов

101 в передаваемом по линии сообщении. Рассмотрен метод построения потокового кода, основанный на битовой вставке: вставка дополнительного нулевого бита в триплет 101 происходит в зависимости от номера следования данного триплета в потоке данных. Проанализировано качество кодирования по данному методу. Вычислена избыточность данного кода, а также указано, с какой степенью точности данный код следует условию устранения 101 до заданного значения. Предложены алгоритмы кодирования/декодирования по данному методу и проведено обсуждение их производительности. Также предложен простой табличный потоковый код для удаления 101. Рассмотрены алгоритмы кодирования/декодирования.

Кроме того, в разделе 2.2 проведён комбинаторный анализ последовательностей на предмет содержания в них паттерна 101 в заданном количестве. Выведено рекуррентное соотношение, позволяющее найти по длине последовательности т количество таковых которое содержит

ровно к триплетов 101. А именно, справедлива

Теорема 1.

Gm,k = 2Gm_ij/t — Gm-2,k + Gm-3,к + Gm-2,k—l — Gm-3,k-l, (2)

с начальными условиями: G^ß = 7,0зд = = 0 при к > 1; G^o =

12,G4,i = 4,G4,fc = 0 при к > 1; G5,o = 21,G5,i = 10,G5,2 = l,G5,fc = 0 при к> 2.

Также доказывается теорема о том, что Gm^ = 0(тк(т) при m —» оо, где £ и 1.7549, а log2 £ — ёмкость кода, удаляющего полностью триплет 101 из блока данных. Особое внимание уделено возможности построения длинных блочных кодов, контролирующих перекрытие импульсов. Построение ведётся на основе выведенного рекуррентного соотношения 2. Построенный «длинный» блочный код позволяет устранить «краевые» эффекты — возникновение па границе блоков данных запрещаемых битовых сочетаний, которые снижают общую эффективность кодирования. Построение таких кодов невозможно с использованием таблиц кодовых слов ввиду их большого объёма. Приведён алгоритм кодирования, а также указаны ресурсы, потребляемые данным алгоритмом, в зависимости от размера блока данных и в зависимости от степени удаления 101. Так, сложность алгоритма по времени Т = O(mlogm), а размер требуемой памяти пропорционален квадрату m и линеен относительно к, S = 0(гп2к).

Рисунок 2 — Графики зависимости избыточности от параметра £

Для длинного блочного кода приведен расчёт вероятностен появления каждого триплета в закодированном сообщении. Данный результат впоследствии используется при нахождении ёмкости ограниченного кода (code capacity), то есть максимальной кодовой скорости, которой возможно достичь, применяя ограниченное кодирование для гибкого удаления триплета 101. В известных работах ёмкость кода находится только для предельного случая, когда удаляются все триплеты 101; в данной же работе показано, что удаление части триплетов 101 возможно с гораздо меньшей избыточностью, чем того требует полное удаление триплета.

На рис. 2 показаны результаты аналитических расчётов зависимости избыточности кода от степени удаления триплета 101 для всех кодов, рассмотренных выше, — как потоковых, так и блочных. Необходимо отметить, что код, построенный с помощью теоретических методов, связанных с нумерацией длинных последовательностей, уже при размере блока в 128 битов даёт заметный выигрыш но сравнению с блочными кодами малой длины и по сравнению с потоковым кодом. Наличие же эффективных алгоритмов кодирования/декодирования такого кода делает его потенциально применимым для подавления паттерн-эффекта на практике.

В разделе 2.3 представлено обобщение теоретического анализа для

Таблица 1 — Триплетиые рекуррентные соотношения Ga(m,k)

Триплет, а Рекуррентное соотношение Ga(m, к) (т >3, к > 0)

000 111 Ga(m, к) = Ga(m - 1 ,к) + Ga(m -2,к)+ Gn(m - 3, к)+ Ga(m - 1, к - 1) - Ga(m -2,к-1)~ Ga(m - 3, к - 1)

101 010 Gn{m, к) = 2 Ga{m -1, к)- Ga{m -2 ,к) + Ga{m - 3, к)+ Ga(m - 2, к - 1) - Ga{m -3,к-1)

100 001 110 011 Ga(m, к) = 2G„(m -1,к)- Ga(m -3,k) + Ga(m - 3, к - 1)

кодов, способных контролировать любые триплеты в сообщении. Дап ответ на. вопрос, в каком случае комбинаторные свойства кодовых слов, содержащих заданное количество триплетов, совпадают для различных триплетов.

Обозначим за Ga(m,fc) количество последовательностей длины гтг. содержащих не более к триплетов а, а за Gva{m,k) — количество таких же последовательностей, начинающихся на последовательность р. Кроме того, будем обозначать за а инверсию триплета а и обозначим за а триплет, полученный при записи триплета а в обратном порядке следования битов. Такую же запись будем применять при обозначении соответствующих операций над произвольной битовой строкой. Так, 001 = 100. а 110 = 001. В разделе доказываются теоремы о том, что Ga(m,k) = Ga(m,k) и Ga(m,k) = G^(m,k). Таким образом, чтобы найти величины Gn(m,k) для любого триплета, достаточно рассмотреть триплеты 111, 100 и 101 (случай с триплетом 101 рассмотрен в разделе 2.2), поскольку остальные пять триплетов получаются из данных с помощью операций инверсии и переворота битов, каждая из которых в отдельности, равно как и их суперпозиция, не меняет величин Ga(m, к). В работе выводятся рекуррентные соотношения для Ga{m, к), результаты сведены в таблицу 1.

Также в разделе 2.3 приведён, подобно разделу 2.2, расчет ёмкости кода, удаляющего триплет до заданного уровня. Для этого используется методика, предложенная в работе и основанная на, том факте, что всякую статистику выходного битового потока можно представить в виде потока, порождённого некоторым марковским источником. При применении методики сперва определяются статистические закономерности в оптимальном блочном коде большой длины, затем на основании найденных соотношений находятся так называемые параметры асимметрии £, — значения, по которым можно

Таблица 2 — Параметры асимметрии переходов марковской цепи для различных триплетов

Триплет Вектор параметров асимметрии переходов

ООО 111 7Uf \ _ f ( t2+it+7 i t+3 i t2+4t+7 -i t+з -Л t = £3

101 010 i?m- tíi i (2-2'+5 11 i í2-2t+5 i\ t = Eo

100 001 110 011 7(t) = t( 1,-1,^,-1,1,-1,^,-1) t =

Рисунок 3 — Кривые избыточности для различных триплетов

определить матрицу перехода марковской цени для двоичных триплетов, реализующей статистику оптимального блочного кода, путём использования следующих уравнений: Рх1хзх^хгхг\а = (1 -гх)/2, РХ1Х2Хз^Х2Хз\1 = (1 + £х)/2, где х = х\ • 4 + х2 • 2 + Значения параметров асимметрии приведены в таблице 2. График, изображающий кривые избыточности для различных триплетов, показан на рисунке 3. Показано, что скорость блочного кода, построенного на основе рекуррентных соотношений, в предельном случае достигает ёмкости кода, то есть код является асимптотически оптимальным.

В разделе 2.4 идёт дальнейшее обобщение ограниченных блочных кодов, направленных на устранение паттерн-эффекта. В данном разделе строится код, учитывающий сложную статистику ошибок в канале и

позволяющий для данной статистики найти оптимальное множество кодовых слов, которые допустимо использовать при передаче сообщения. Необходимость подхода обусловлена тем, что аналитическим путём решить задачу уменьшения в количестве до заданного уровня нескольких триплетов одновременно на данный момент не представляется возможным. Сам по себе код, описание технических аспектов которого ведётся в данном разделе, представляет собой табличный блочный код. для работы которого для каждого возможного двоичного слова длины п рассчитывается вероятность того, что данное слово будет передано без ошибок. Затем строится таблица, в которой кодовые слова ранжируются в порядке возрастания вероятности передачи нх с ошибкой. Таким образом, в начале таблицы идут самые «хорошие» кодовые слова, а в конце — самые «плохие», передача которых по каналу идёт с максимальным количеством ошибок. Управляя избыточностью кода (или кодовой скоростью), можно найти оптимальное сочетание параметров, которое позволит максимально эффективно использовать данный метод кодирования. Таким образом, данный код является по определению адаптивным, поскольку при необходимости он способен к перенастройке с учетом изменившихся условии передачи информации.

Раздел 2.5 завершает часть работы, посвящённую техническим элементам построения кодов и анализу их свойств. В разделе строится адаптивный блочный код с большой длиной блока, построение ведётся методом нумерации возможных последовательностей, содержащих только разрешённые подпоследовательности внутри себя. Данный код является обобщением введённого в предыдущем разделе адаптивного блочного кода, работающего с помощью таблицы кодовых слов. Устанавливается условие, которому должно удовлетворять множество удаляемых последовательностей, чтобы код существовал. Теперь таблица кодовых слов служит лишь вспомогательным элементом, на основе которого с учётом аналитических соотношений возможно построение длинных кодовых слов. Показано, что данный код достигает в рамках введённых кодовых ограничений своей собственной ёмкости при бесконечном возрастании длины блока. Установлено, что объём потребляемой памяти М в битах не превосходит величины

м < д"1с^2д-(т-п)(т-п+1) 2

где д — размер алфавита входного сообщения (в разделе рассматриваются не только двоичные сообщения, но и общий случай входного алфавита произвольной мощности), т — размер выходного блока данных, п —

Рисунок 4 — Эффективность блочного кода, удаляющего триплет 101

размер каждой из подпоследовательностей, делящихся на разрешённые и запрещённые. Завершается раздел обозначением возможности снижения потребления памяти путём использования приближённых значений используемых в алгоритме величин вместо точных.

В разделе 3 идёт речь о разработке методов оценки эффективности кодов в оптических каналах связи, а также о результатах, полученных в ходе применения построенных в предыдущих разделах кодовых схем на практике. Здесь наглядно представлены показатели эффективности, имевшие место быть в ходе проведения численных экспериментов с кодами. Кроме того, проведён анализ возможности дополнения помехоустойчивых кодов кодами с ограничениями, а также рассмотрен вопрос о том, в каких случаях такое дополнение будет эффективным.

Раздел 3.1 является прологом к анализу кодов, поскольку он посвящен разработке методов оценки эффективности кодовых конструкций в условиях наличия нелинейных возмущений в канале связи. Приведено два подхода к анализу эффективности кодов, на основе которых была получена оценка возможной выгоды от применения ограниченных кодов, построенных в разделе 2. Сначала рассматривается частный случай, когда вектор ошибок равен С} = q ■ (1,1,1,1,1, М, 1,1) (этот случай соответствует случаю перекрытия соседних импульсов в канале). Для различных М определена эффективность блочного кода, который уменьшает количество триплетов 101. Кривые эффективности показаны па рисунке 4. Они построены для

Таблица 3 — Статистика ошибок по каналам передачи данных

Триплет Канал 1 Канал 2 Канал 3 Капал 4 Канал 5

000 0 2 4 2 6

001 1216 1353 1471 1559 1604

010 7081 7154 7783 8299 8470

011 111 123 181 190 192

100 1064 1250 1286 1422 1464

101 7650 8029 8590 9298 9354

110 94 122 134 145 168

111 42 53 70 60 93

блочного кода с длиной блока 128 бит. Эффективность кода при М = 10 составляет от 0.3 дБ до 0.5 дБ в зависимости от исходного значения q — вероятности ошибок в любом триплете, кроме 101. Эффективность порядка 0.5 дБ возможна для канала с частотой блочных ошибок BLER = 0.3, что соответствует BER = 2.7 • 10~3; эти условия находятся в области практического применения.

Такой же анализ проведён и для адаптивного кода. Он, в силу своей ориентации исключительно на вид паттерн-эффекта, по оценкам даёт выгоду порядка нескольких децибел, при этом в разделе обсуждены границы применимости подобных оценок и условия, при которых возможно их получить.

В раздело 3.2 идёт речь непосредственно о результатах применения построенных ранее алгоритмов. С учетом статистики ошибок, данной в таблице 3, построен код для уменьшения числа ошибок. Результаты его применения показаны на рис. 5. Здесь р — отношение количества ошибок в закодированном сигнале к количеству ошибок в сигнале исходном. Так, можно видеть, что адаптивный код даже с небольшой длиной блока в 16 битов и с избыточностью 10% снижает количество ошибок в два раза в условиях общей -частоты ошибок (BER — bit error rate) порядка 10~2. Такой результат даст основание считать применение такого кода целесообразным, поскольку в волоконно-оптических линиях с частотным разделением каналов при плотном использовании допустимых частот уровень «сырого» BER может иметь такой же порядок, как и тот, что рассмотрен в примере.

Рассмотрен и более сложный случай паттерн-эффекта, с детализацией

0 б 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Избыточность кода, %

Рисунок 5 — Отношение вероятности появления ошибок в исходном сообщении к вероятности появления ошибок в закодированном сообщении

не по триплетам, а по квинтуплетам (пятёркам последовательных битов). Зависимость значения частоты ошибок от избыточности кода показана для разных численных экспериментов на рис. 6.

В разделе 3.3 ведётся обсуждение вопроса о том, какие корректирующие коды и почему целесообразно использовать в оптоволоконных линиях связи. Данное обсуждение предваряется кратким описанием основных помехоустойчивых кодов и их свойств, после чего анализируются стандарты, действующие на данный момент в области оптических телекоммуникаций. Так, в ноябре 2009 года Международный телекоммуникационный союз (ITU — International Telecommunication Union) издал стандарт на оптоволоконную связь G.709, в котором в качестве корректирующего кода указан код Рида-Соломона. Поскольку и прежде код Рида-Соломона играл существенную роль в волоконно-оптической связи, то его сущность и возможности изложены подробно.

Также в данном разделе приведены варианты сочетания ограниченных кодов с корректирующими кодами, обсуждены достоинства и недостатки различных методов сочетания. В разделе проводится анализ характеристик стандартных корректирующих кодов и по итогам анализа выводится условие, при котором имеет смысл использовать ограниченные коды совместно с корректирующими. В частности, их можно применять на больших частотах ошибок, если они способны снизить эти частоты до значений, при которых начинают эффективно работать корректирующие коды. В разделе также

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Избыточность R, %

Рисунок 0 — Зависимость между частотой ошибок и избыточностью 16-ти и 24-битного блочного кода

излагаются методы сочетания корректирующего и ограниченного кодов, способные компенсировать такой недостаток ограниченных кодов, как распространение ошибок по блоку данных.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Построены быстродействующие и высокоэффективные ограниченные коды, имеющие низкую избыточность и позволяющие снизить количество ошибок в оптических каналах связи, а. также проведён комбинаторный анализ последовательностей, содержащих заданное количество определённых подпоследовательностей, который был использован для построения кодов.

Проведён теоретический анализ кодов, который позволил выявить вероятностные свойства закодированных блоков данных, а также определить, насколько возможна реализация предложенных алгоритмов с помощью современных средств электропики.

Предложены методы оценки энергетической эффективности кодов в условиях наличия в канале нелинейных искажений.

Определена область эффективности построенных ограниченных кодов. Это позволило найти условия, в которых при совместном использовании ограниченного и корректирующего кодов коррекция ошибок может происходить в условиях большей частоты ошибок ВЕЯ, при которой

без ограниченных кодов схема не способна обеспечить требуемое качество обработки принятого сообщения.

Опубликованные но теме диссертации работы из списка ВАК.

1. A. Shafarenko, A. Skidin, S.К. Turitsyn. Weakly-constrained codes for suppression of patterning effects in digital communications // IEEE Transactions on Communications, Vol. 58(10), Pp. 2845-2854, 2010.

2. A. Skidin, A. Redyuk. 0. Shtyrina, M. Fedoruk, A. Shafarenko. The analysis of the error statistics in a 5x40 Gbit/s fibre link with hybrid amplification // Optics Communications, Vol. 284(19), Pp. 4695-4698, September 2011.

3. A.C. Скидин, M.П. Федорук, А.В. Шафаренко, С.К. Турпцып. Преодоление паттерн-эффекта в оптоволоконных линиях связи с помощью адаптивного блочного кодирования // Дискретный анализ и исследование операций, том 17, № 4, стр. 67-83. 2010.

Публикации в трудах конференций

1. A. Shafarenko, M. Fedoruk, A. Skidin, S. Turitsyn. Efficient Weakly-Constrained codes for mitigation of patterning effects in digital communications // International Conference on Ultra Modern Telecommunications (ICUMT-2009), October 12-14, St.Petersburg, Russia, 6 Pp, 2010.

2. Скидин A.C., Федорук M.П., Штырина О.В., Редюк А.А., Турицын C.JL, Шафаренко А.В. Паттерн-эффект как результат действия нелинейных явлений в волоконных световодах и его подавление с помощью кодов с ограничениями // Материалы российского семинара по волоконным лазерам, 19-22 апреля 2010 г., Ульяновск. - С. 70-71.

3. Skidin A., Fedoruk M., Redyuk A., Shtyrina О., Shafarenko A., Turitsyn S.К. Suppression of Patterning Effects in Digital Communications by an Adaptive Constrained Coding // ACIT - Information and Communication Technology (ACIT-ICT 2010), June 15-18, Novosibirsk, Russia - P.182-185.

4. Скидин A.C., Федорук M.П., Шафаренко А.В. Применение специальных методов кодирования информации при передаче данных по волоконно-оптическим линиям связи / Фотон-Экспресс, том 6(94) (но материалам Ш-й Всероссийской конференции по волоконной оптике), стр. 120-121, октябрь 2011.

Автореферат:

Формат 60x84/8. Объем 1,0 усл. псч. л. Подписано к печати I6.li.20iJ Тираж 70 экз. Заказ № 1173.

Отпечатано ЗАО РИЦ « Прайс-курьер» ул. Кутателадзе, 4г, т. 330-7202

Введение.

Глава 1 Теоретико-информационный аспект проявления нелинейных эффектов в волоконно-оптических линиях связи.

1.1 Паттерн-эффект: его виды и причины появления.

1.2 Методы снижения влияния нелинейностей в канале.

Глава 2 Кодирование с ограничениями для подавления паттернэффекта

2.1 Теоретические основы.

2.2 Уменьшение степени перекрываемости соседних импульсов в канале с помощью триплетных ограниченных кодов

2.3 Аналитическое построение триплетных ограниченных кодов в общем случае.

2.4 Адаптивное кодирование для подавления паттерн-эффекта в общем случае.

2.5 Построение блочных адаптивных кодов с блоками большой длины.

Глава 3 Оценка результатов применения предложенных методов кодирования

3.1 Энергетическая эффективность кодов.

3.2 Результаты практического применения ограниченных кодов

3.3 Сочетаемость ограниченных кодов с кодами, корректирующими ошибки.

Актуальность темы. Двести лет назад Натан Ротшильд сказал мудрую фразу: «Кто владеет информацией, тот владеет миром». И хотя век, в который жил банкир, нельзя назвать информационным в современном смысле этого слова, выдвинутый им тезис в эпоху информационной революции превратился в аксиому, став истиной, не требующей доказательств. Как известно, информационная революция характеризуется прежде всего облегчением доступа к информации всех тех, кто в ней нуждается. Именно эта характеристика информационной революции вот уже который год предъявляет всё большие требования к телекоммуникационному оборудованию, позволяя удовлетворять растущие потребности в информационных ресурсах, возникающие как со стороны правительственных учреждений и крупных корпораций, так и со стороны частных лиц. Например, если сравнительно недавно всемирная сеть Интернет содержала главным образом текстовую информацию, то в настоящее время просмотр телепрограмм или любимых фильмов посредством Всемирной паутины является обычным делом.

Разумеется, подобные запросы общества, нацеленные на обеспечение доступа ко всё большему объёму информации, постоянно стимулируют разработчиков телекоммуникационных систем на перманентное развитие технологий передачи данных. Как известно, самой совершенной физической средой для передачи информации на данный момент являются волоконные световоды. Они начали применяться для передачи видеоизображений на расстоянии ещё в 1950-х годах и имели на тот момент огромные по современным меркам потери — порядка 1000 дБ/км, однако в течение следующих двадцати лет потери удалось уменьшить до 20 дБ/км, а к началу 1980-х годов появились волоконные световоды с малыми потерями около 0,2 дБ/км. Этот показатель существенно уменьшить крайне тяжело, поскольку он ограничен фундаментальным рэлеевским рассеянием света. Ряд других достоинств волоконно-оптического материала, таких, как нечувствительность линии к электрическим помехам, малый вес, высокая надёжность, а также возможность прокладки кабеля на самых разных участках, дополняют информационный эффект от его применения сугубо техническими преимуществами.

В настоящее время высокая пропускная способность волоконнооптических линий достигается путём использования технологии мультиплексирования сигнала с разделением по длине волны (WDM — wavelength-division multiplexing). Весь передаваемый сигнал разделяется на несколько информационных каналов, отличающихся частотой волны, на которой происходит передача. Информация по каждому из каналов передаётся параллельно, в силу чего суммарная пропускная способность прямо пропорциональна количеству каналов передачи информации. Однако возможности использования такой технологии ограничиваются тем фактом, что частотный диапазон, в котором оптическое волокно имеет низкое затухание, невелик по своему размаху. Как правило, обычный волоконный световод имеет три так называемых трансмиссионных окна или окна прозрачности: первое в диапазоне 800-1000 нм, второе от 1270 до 1350 нм, и третье — от 1540 до 1600 нм. При этом совершенствование технологии очистки кварцевого стекла от примесей привело к созданию волокон, имеющих малые потери во всей области длин волн от 1280 до 1650 нм. Учитывая полученные результаты, были введены обозначения различных трансмиссионных окон: С — третье (Conventional — стандартный), L — четвёртое (Long wavelength — длинноволновой, в диапазоне от 1565 до 1625 нм) и U — пятое (Ultra-long wavelength, сверхдлинноволновой диапазон, от 1625 до 1675 нм) (подробно физические особенности поведения оптического сигнала в волокне изложены в [3]). При этом наиболее интенсивно используется третье трансмиссионное окно, что обусловлено двумя причинами. Во-первых, на длине волны в 1550 нм наблюдается минимум затухания сигнала, а во-вторых — в диапазоне третьего окна прозрачности находится рабочий диапазон волоконно-оптических эрбиевых усилителей (EDFA — erbium doped fiber amplifier). При этом в настоящее время имеется значительный интерес к использованию диапазонов с большей длиной волны.

За десятилетия, прошедшие с момента появления оптоволокна, суммарная длина всех проложенных волоконно-оптических кабелей достигла 1 млрд. км. Что касается достигнутой к настоящему моменту пропускной способности оптических каналов, то она составляет на магистральном уровне порядка нескольких Тбит/с, а на расстояния в 500 км сигнал может быть передан на скоростях 30 Тбит/с (см. [6, 7, 8]). С учётом того, что в экспериментальных системах уже сегодня скорость передачи данных достигает 100 Тбит/с, можно сделать вывод, что оптоволокно в настоящий момент является наиболее эффективной средой передачи информации. Это обстоятельство вкупе с потенциалом роста эффективности волоконно-оптических линий определяет важность как теоретических, так и прикладных исследований, направленных как на совершенствование существующих линий волоконно-оптической связи, так и на разработку новых технологий, необходимых для ещё большего увеличения пропускной способности телекоммуникационных каналов.

Факторов, влияющих на характеристики линии связи, очень много: это и физическая структура линии, определяемая используемым для коммуникации оборудованием, и информационная составляющая, которая включает в себя выбор способа передачи цифровой информации в канал и её приёма с учётом влияния совокупности физических воздействий на сигнал, что необходимо для обеспечения помехоустойчивости передаваемой информации. При этом нельзя не отметить тот факт, что в настоящее время имеет место тенденция к более эффективному использованию возможностей каналов связи. Для волоконно-оптических линий, работающих в режиме частотного разделения каналов, это выражается как в увеличении количества частотных каналов в линии, так и в увеличении скорости передачи информации по каждому из каналов в отдельности. Также, помимо физических решений, существуют иные способы увеличить фактически передаваемый по линии объём данных; этого можно достичь за счёт уплотнения данных в рамках одного символьного интервала, что достигается, например, применением недвоичных форматов модуляции [9]-[14]. Следует заметить, однако, что всякое уплотнение информации в волоконно-оптическом кабеле при неизменных физических характеристиках последнего влечёт за собой отрицательные последствия, из которых особо следует выделить усиление в канале нелинейных эффектов.

В отличие от большинства сред передачи информации, оптические волокна обладают рядом свойств, интенсивность проявления которых зависит от интенсивности использования волокна. Специфика природы сигнала в волоконном световоде начинает проявляться при увеличении мощности передаваемых информационных импульсов. В этом случае на передачу данных начинают оказывать значительное воздействие так называемые нелинейные эффекты. Именно факт зависимости влияния данных эффектов от мощности передаваемого сигнала и отличает их от других, «линейных», эффектов. Роль нелинейностей в волоконной оптике неоднозначна. С одной стороны, они ограничивают дальность и скорость передачи информации, с другой же их использование способно напротив улучшить характеристики линий связи. Так, с использованием природы нелинейных эффектов были созданы усилители сигнала, что стало следствием изучения таких эффектов, как эффект рассеяния Манделыптама-Бриллюэна, эффект Рамана и эффект четырёхволнового смешения (FWM — four-wave mixing) [15]-[22]. В частности, рамановские усилители годятся для усиления пикосекундных импульсов, что говорит об их практической значимости для реальных систем оптоволоконной связи.

Влияние нелинейных эффектов носит не только чисто физический, но и информационный характер. В информационном плане они проявляются зависимостью количества ошибок при передаче информации от вида самой информации — так называемым паттерн-эффектом (patterning effect). Как показали исследования [23, 24], во многих случаях влияние паттерн-эффекта велико настолько, что пренебрегать им при разработке систем передачи данных нельзя. Особенно он заметен при больших скоростях передачи информации в силу того, что в этом случае на физическом уровне наблюдается межсимвольное взаимодействие (ISI — inter-symbol interaction), выражающееся во влиянии передачи одного символа на передачу его «соседей», а также ряд других эффектов, таких, как дисперсионное уширение импульса, четырёхвол-новое взаимодействие, фазовая кроссмодуляция. И хотя взаимодействие соседних импульсов несложно объяснить вполне «линейными» соображениями, а именно тем фактом, что с увеличением скорости передачи данных уменьшается длительность импульсов и становится более вероятно их перекрытие, суммарное воздействие других эффектов приводит к нелинейной зависимости информационных свойств канала от рода самой информации, передаваемой по нему. Наиболее ярко это видно при анализе статистики ошибок, собранной при моделировании процесса передачи данных по оптоволокну [23, 24], которая свидетельствует о том, какие битовые сочетания являются самыми «неподходящими» для передачи (иными словами, данные сочетания имеют максимальную вероятность быть принятыми с ошибкой).

Уже сейчас нелинейности в канале оказывают существенное воздействие на свойства линии связи и, очевидно, что ввиду постоянного уплотнения информации в волокне влияние нелинейных эффектов в будущем может поставить ещё более серьёзные препятствия на пути роста пропускной способности оптоволоконных линий, ввиду того, что уплотнение сигнала является одной из причин усиления влияния нелинейностей. Именно поэтому их отрицательное действие на передаваемый сигнал необходимо по возможности подавлять на физическом уровне. Для этой цели могут быть использованы как физические, так и информационные методы. Так, специальные устройства могут предотвращать перекрытие соседних импульсов в определённом диапазоне частот передачи данных. В более общем случае межсимвольное взаимодействие (181) может быть частично подавлено с помощью использования специальных форматов модуляции данных [25, 26].

Однако физические методы не всегда могут эффективно предотвращать влияние на сигнал нелинейных взаимодействий, поэтому в ряде случаев целесообразно решать проблему информационными методами. Для этого стоит заметить, что нелинейные искажения могут дать дополнительную информацию для принимающей стороны, в самом простом случае в виде статистики ошибок по различным передаваемым сигналам. Такую информацию можно использовать для того, чтобы преобразовать передаваемые данные определённым образом с целью снижения степени их искажённости при передаче по волокну. Схожую задачу решают не только в оптике, она имеет приложения в магнитной записи и в спутниковой связи, однако в этих областях, как правило, такие подходы посвящены устранению перекрытия соседних импульсов, а также сохранению синхронизации при обработке большого количества символов в один приём. Преобразование данных, заключающееся в их модулировании, то есть в представлении их на информационном уровне символами определённого вида, называется кодированием с ограничениями (или ограниченным кодированием). Применению подходов теории кодирования для улучшения характеристик волоконно-оптических каналов и посвящена данная работа.

Цели работы. Разработка и анализ новых методов кодирования информации, направленных на использование нелинейных свойств среды при передаче информации по оптоволоконным каналам связи, для повышения пропускной способности оптических линий. Разработка программного обеспечения, включающего в себя алгоритмы, основанные на построенных методах. Анализ схем взаимодействия предложенных в работе кодов с другими типами помехоустойчивых кодов. Разработка методов оценки энергетической эффективности кодов для каналов передачи информации при наличии в них нелинейных воздействий на сигнал. Оценка эффекта от применения кодов с помощью существующих моделей передачи данных по оптоволоконным линиям связи.

Решаемые задачи.

1. Применение кодирования с ограничениями с целью устранения влияния перекрытия соседних передаваемых символов на частоту ошибок приёма данных. Построение математического аппарата для анализа кодов с ограничениями. Разработка потокового и блочного алгоритма кодирования для небольших длин блоков. Теоретико-информационный анализ блоков трип летного кода. Комбинаторный анализ двоичных слов, содержащих заданное количество определённых подслов. Построение блочного триплетного кода для больших длин блоков с помощью предложенных в работе комбинаторных методов. Обоснование оптимальности данного кода с точки зрения максимальной кодовой скорости.

2. Улучшение качества передачи информации в канале с паттерн-эффектом с помощью адаптивного кодирования. Анализ особенностей подхода. Построение адаптивного кода с блоками малой длины. Анализ ограниченных кодов с помощью графов ограничений. Разработка метода построения адаптивного кода для блоков большой длины с помощью графов. Доказательство оптимальности построенного кода. Анализ производительности алгоритма и требований алгоритма к памяти.

3. Разработка методов нахождения энергетического эффекта от кода в канале связи с нелинейными искажениями сигнала. Нахождение энергетического эффекта от построенных кодов.

4. Исследование возможностей сочетания ограниченных кодов с кодами, корректирующими ошибки. Способы конкатенации кодов, примеры. Определение рабочей области, в которой дополнение помехоустойчивого кода ограниченным кодом даёт лучшие результаты по сравнению с использованием одного помехоустойчивого кода. Анализ результатов применения построенных кодовых схем на практике.

Научная новизна и значимость работы.

1. Получены рекуррентные соотношения, по которым можно определить количество заданных триплетов в произвольном бинарном слове длины п. На основе выведенных соотношений путём нумерации последовательностей построен блочный код для удаления определённого количества паттернов из сообщения; данный код может работать с блоками большой длины и является оптимальным при неограниченном возрастании длины блока.

2. Предложен метод адаптивного кодирования, позволяющий снизить количество ошибок в канале при наличии в нём паттерн-эффекта произвольной природы. Данный метод позволяет с помощью кодов небольшой избыточности (до 10%) существенно снизить количество ошибок в канале с паттерн-эффектом, который может иметь место на практике. Этот факт проверен и отражён в работе, в качестве подтверждения приведён пример.

3. Предложен код, обобщающий метод адаптивного кодирования для больших блоков данных. Код основан на использовании предложенных в работе математических методов нумерации последовательностей. Для данного кода показано, что операции декодера могут быть эффективно распараллелены.

4. Показано, что построенные коды с ограничениями могут эффективно дополнить используемые в связи помехоустойчивые коды, поскольку они, обладая простотой кодирования/декодирования, позволяют снизить нагрузку на корректирующие коды за счёт снижения числа ошибок, причины появления которых обусловлены влиянием нелинейностей в оптоволокне.

Научная и практическая значимость работы. Проведённая работа по реализации алгоритмов кодирования позволяет их применить в реальных системах связи, в частности при модернизации уже функционирующих линий волоконно-оптической связи, что является практически значимым результатом в силу того, что стоимость прокладки нового волоконного кабеля многократно превосходит стоимость замены приёмно-передающего оборудования в уже проложенной линии.

Методы исследований. При построении и анализе алгоритмов кодирования применялись идеи и методы теории вероятностей, комбинаторики, дискретной математики, теории алгоритмов и теории случайных процессов.

Алгоритмы кодирования были реализованы в виде библиотечных процедур для ЭВМ. В ходе выполнения работы также использовалась модель оптоволоконного канала связи, разработанная сотрудниками ИВТ СО РАН. С помощью модели были проведены численные эксперименты, позволившие найти характеристики построенных автором алгоритмов, наблюдаемые при применении алгоритмов на практике.

Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом математическом описании разработанных алгоритмов и на их теоретическом анализе. Обоснованность выводов прикладного характера подтверждается результатами практического применения разработанных алгоритмов.

На защиту выносятся:

1. Рекуррентные соотношения для определения количества слов длины п, содержащих заданное количество триплетов а.

2. Метод определения ёмкости кода со слабыми ограничениями, основанный на определении матрицы перехода цепи Маркова, вероятностные характеристики которой соответствуют асимптотически оптимальному ограниченному коду.

3. Методы и алгоритмы адаптивного блочного кодирования, ориентированные на улучшение качества передачи информации по каналам связи с паттерн-эффектом.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на конференции ICUMT-2009 (International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems, Санкт-Петербург, 12-14 октября 2009 г.), на конференции ACIT-ICT 2010 (The IASTED International Conference on Automation, Control, and Information Technology — Information and Communication Technology, Новосибирск, 15-18 июня 2010 г.), на семинаре по теории кодирования в Институте математики СО РАН (2008 г.), на IV-m Российском семинаре по волоконным лазерам (Ульяновск, 19-22 апреля 2010 г.), на П-м Российско-британском семинаре «Потоковая обработка данных и программирование» (12-15 сентября 2011, г. Новосибирск), а также на II 1-й Всероссийской конференции по волоконной оптике (ВКВО-2011, 12-14 октября 2011 Г.).

Личный вклад автора. Проведённое в работе исследование является самостоятельным авторским исследованием, в том числе разработка методов и алгоритмов ограниченного и слабоограниченного кодирования, теоретический анализ свойств методов, а также их программная реализация. В ходе выполнения работы использовалась модель оптоволоконного канала связи, разработанная сотрудниками ИВТ СО РАН. С помощью модели были проведены численные эксперименты, позволившие найти характеристики построенных автором алгоритмов, наблюдаемые при применении алгоритмов на практике.

Структура диссертации. Данная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 26 рисунков, 15 таблиц, количество источников в библиографическом списке равно 109. Объём диссертации — 131 страницы. Проведённое в работе исследование является самостоятельным авторским исследованием.

Заключение

В работе были построены и проанализированы ограниченные коды, направленные на улучшение качества передачи информации по нелинейному волоконно-оптическому каналу. Было показано, что использование построенных кодов с ограничениями позволяет снизить частоту ошибок при передаче сообщения, что сделает сообщение значительно более стойким к нелинейно-стям в линии связи, проявляемым в виде паттерн-эффекта. Был разработан математический аппарат для анализа слабоограниченных кодов. Построенная общая концепция слабоограниченного блочного кода способна описать любой блочный код с заданным характером ограничений, а также дать формальные методы для расчета его вероятностных и энтропийных характеристик. Приведённая схема анализа асимптотических свойств кодов со слабыми ограничениями может быть использована для нахождения кодовой ёмкости для кодов в случае различных ограничичительных условий.

Снижение частоты ошибок при передаче сообщения позволяет говорить о потенциальной сочетаемости построенных кодов со кодами, корректирующими ошибки. Особенно целесообразно такое сочетание в случаях, когда схема коррекции ошибок работает на грани своих возможностей, поскольку тогда предложенный способ кодирования позволит существенно усилить возможности коррекции, так как большинство корректирующих кодов имеют свойство размножать ошибки в случаях, когда их становится больше некоторого порогового значения.

Как известно, ухудшение качества в любой цифровой системе связи носит пороговый характер, то есть при падении отношения сигнал/шум до определённого уровня качество работы системы может скачкообразно измениться от очень хорошего до очень плохого. При таких обстоятельствах совместное применение ограниченных кодов, предложенных в работе, с кодами, корректирующими ошибки, даёт системе больший запас по возможным величинам негативных воздействий. Как было показано, этот запас для различных кодов и различных каналов составляет от 0.5 дБ до 2 дБ в практической области применения.

1. Скидин А.С., Федорук М.П., Шафаренко А.В., Турицын С.К. Преодоление паттерн-эффекта в оптоволоконных линиях связи с помощью адаптивного блочного кодирования // Дискретный анализ и исследование операций. — Том 17(4), стр. 67-83, 2010.

2. Рябко Б.Я. Быстрая нумерация комбинаторных объектов // Дискретная математика. — Том 10(2), стр. 101-119, 1998.

3. Листвин А.В., Листвин В.Н., Швырков Д.В. Оптические волокна для линий связи. М.: ЛЕСАРарт, 2003, 288 стр.

4. Shafarenko A., Skidin A., Turitsyn S. Weakly-constrained codes for suppression of patterning effects in digital communications // IEEE Transactions on Communications, Vol.58(10), Pp. 2845-2854, 2010.

5. A. Skidin, A. Redyuk, O. Shtyrina, M. Fedoruk, A. Shafarenko. The analysis of the error statistics in a 5x40 Gbit/s fibre link with hybrid amplification // Optics Communications, Vol. 284(19), Pp. 4695-4698, September 2011.

6. Ни H., Palushani E., Galili M., Mulvad H., Clausen A., Oxenlowe L., Jeppesen P. 640 Gbit/s and 1.28 Tbit/s polarisation insensitive all optical wavelength conversion // Optics Express, Vol. 18, 2010. — Pp. 9961-9966.

7. Al-Khateeb K., Akhter F., Islam Md. R. Impact of Fiber Optic Dispersion on the Performance of OFDM-QAM System // International Conference on121

8. Computer and Communication Engineering (ICCCE), Kuala Lumpur, 5 p., 2010.

9. Schmidt-Langhorst C., Ludwig R., Molle L., Gross D., Freund R., Schubert C. Terabit/s Single-Carrier Transmission Systems Based on Coherent TimeDivision Demultiplexing // OFC/NFOEC, 3 p., 2010.

10. Selmi M., Gosset C., Noelle M., Ciblat R, Jaouen Y. Block-wise Digital Signal Processing for PolMux QAM/PSK Optical Coherent Systems // IEEE Journal of Lightwave Technology, 2011.

11. Shi Q. Performance Limits on M-QAM Transmission in Hybrid Multichannel AM/QAM Fiber Optic Systems // IEEE Photonics Technology Letters, Vol.5(12), Pp. 1452-1455, 1993.

12. Shi Q. Error Performance of OFDM-QAM in Subcarrier Multiplexed FiberOptic Transmission // IEEE Photonics Technology Letters, Vol.9(6), Pp. 845-847, 1997.

13. Zsigmond S., Furukawa, H. Investigation of Spectral Efficient Modulation Formats for 400 Gbit/s/port Optical Packet Switched System // OFC/NFOEC, 5 p., 2010.

14. Ahn Y., Yahng J., Sohn J., Kim D. Transition from excitonic resonance to frequency mixing (2cui — C02) in the femtosecond nondegenerate four-wave mixing // Quantum Electronics and Laser Science Conference (QELS), Pp. 91-92, 1999.

15. Fevrier H., Chbat M. Raman amplification technology for bandwidth extension // Lasers and Electro-Optics Society (LEOS), Vol.1, Pp. 344345, 2001.

16. Rauf S., Tataronis J. Four Wave Mixing of Finite Amplitude Alfven Waves // IEEE International Conference on Plasma Science, Pp. 197-198, 1995.

17. Inoue K. Polarization Effect on Four-Wave Mixing Efficiency in a SingleMode Fiber // IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol.28(4), Pp. 883894, 1992.

18. Fuochi M., Selleri S., Cucinotta A., Vincetti L. Study of Raman Amplification Properties in Triangular Photonic Crystal Fibers // Journal of Lightwave Technology, Vol.21(10), Pp. 2247-2254, 2003.

19. Namiki S., Seo K., Tsukiji N., Shikii S. Challenges of Raman Amplification // Proceedings of the IEEE, Vol.94(5), Pp. 1024-1035, 2006.

20. Shapiro E.G., Fedoruk M.P., Turitsyn S.K. Direct modelling of error statistics at 40 Gbit/s rate in SMF/DCF link with strong bit overlapping // Electronics Letters, Vol. 40(22), 2004. Pp. 1436-1437.

21. Kikuchi N., Sekine K., Sasaki S. Proposal of Inter-Symbol Interference (ISI) Suppression Technique for Optical Multilevel Signal Generation // European Conference on Optical Communications, 24-28 Sept. 2006. — Pp. 1-2.

22. Kikuchi N. Intersymbol Interference (ISI) Suppression Technique for Optical Binary and Multilevel Signal Generation // Journal of Lightwave Technology, Vol. 25(8), 2007. Pp. 2060-2068.

23. A.Shafarenko, S.K.Turitsyn, K.S. Turitsyn. Skewed Coding for Suppression of Pattern-Dependent Errors // Proceedings of ECOC'05, Glasgow, 2005, Vol. 2, Pp. 193-194.

24. Vasic B., Rao V., Djordjevich I., Kostuk R., Gabitov I. Ghost-pulse reduction in 40-Gb/s systems using line coding // IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 16(7), 2004. Pp. 1784-1786.

25. Ellis A.D., Zhao J., Cotter D. Approaching the Non-Linear Shannon Limit // Journal of Lightwave Technology, Vol. 28(4), 2010. — Pp. 423-433.

26. Shafarenko A., Turitsyn K.S., Turitsyn S.K. Information-Theory Analysis of Skewed Coding for Suppression of Pattern-Dependent Errors in Digital Communications // IEEE Transactions on Communications, Vol. 55(2), 2007. Pp. 237-241.

27. Berrou C., Glavieux A., Thitimajshima P. Near Shannon limit error-correcting coding and decoding // IEEE International Conference on Communications, ICC 93, Geneva, Vol. 2, 1993 — Pp. 1064-1070.

28. IEEE Std 802.16-2009 // Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2009 — 2004 pp.

29. Berrou C. Error-correction coding method with at least two systematic convolutional codings in parallel, corresponding iterative decoding method, decoding module and decoder //US Patent 5,446,747, 1992.

30. Berrou C., Adde P. Method for a maximum likelihood decoding of a convolutional code with decision weighting, and corresponding decoder // US Patent 5,406,570, 1992.

31. Gallager Robert G. Low-density parity-check codes // The MIT Press, 1963 112 pp.

32. MacKay D., Neal R. Good codes based on very sparse matrices // Cryptography and Coding, 5th IMA Conference, Berlin, Springer-Verlag, 1995.

33. MacKay D. Good error correcting codes based on very sparse matrices // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 45(3), 1999. — Pp. 399-431.

34. Alon N., Luby M. A linear time erasure-resilient code with nearly optimal recovery // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 42(11), 1996.124- Pp. 1732-1736.

35. Byers J., Luby M., Mitzenmacher M., Rege A. A digital fountain approach to reliable distribution of bulk data // ACM SIGCOMM computer communication review, Vol. 28(4), 1998.

36. Djordjevic I., Sankaranarayanan S., Vasic B. Irregular Low-Density Parity-Check Codes for Long-Haul Optical Communications / Photonics Technology Letters. 2004, vol. 16, 1. — p.338-340.

37. Rao V. S., Djordjevic I. B., Vasic B. A Rate 2/3 Modulation Code for Suppression of Intrachannel Nonlinear Effects in High-Speed Optical Transmission / IEE Proc. Optoelectronics. — 2005, 7 p.

38. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics // New York: Academic Press, 2001. 467 pp.

39. Barbero A., Rosnes E., Yang G., Ytrehus O. Constrained Codes for Passive RFID Communication // Information Theory and Applications Workshop (ITA). 2011, 6 p.

40. Jamieson C., Nikolaidis I., Fair I. Improved Algorithm for Constructing Constrained Codes with State-Independent Decoding / / IEEE Communications Letters, Vol. 15(3), pp. 272-274, 2011.

41. Cheng L., Ferreira H., Broere I. Moment Balancing Templates for (d,k) Constrained Codes // International Symposium on Information Theory (ISIT), USA, Pp. 1218-1222, 2010.

42. Bocherer G., Mathar R., Da Rocha V.C., Pimentel C. On the Capacity of Constrained Systems // Conference on Services Computing, USA, 6 p., 2010.

43. Kurmaev O. Constant-Weight and Constant-Charge Binary Run-Length Limited Codes // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 57(7), Pp. 4497-4515, 2011.

44. Wong C., Wong T., Shea J. Secret-Sharing LDPC Codes for the BPSK-constrained Gaussian Wiretap Channel // IEEE Transactions on1251.formation Forensics and Security, Vol. 6(3), Pp. 551-564, 2011.

45. Vinck A., Mengi A. Constrained Coded Modulation in the Time Domain // IEEE 19th Signal Processing and Communications Applications Conference (SUI), 3 pp., 2011.

46. Louidor E. The Tradeoff Function for a Class of RLL(d, k) Constraints // International Symposium on Information Theory (ISIT), USA, Pp. 1213— 1227, 2010.

47. Chen H., Chou H., Lin M., Lee S. Capacity Approaching Run-Length-Limited Codes for Multilevel Recording Systems // IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 46(1), Pp. 95-104, 2010.

48. Sharov A., Roth R. Two-Dimensional Constrained Coding Based on Tiling // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 56(4), Pp. 1800-1807, 2010.

49. Zhang L., Kschischang F. Design of Multi-Edge-Type LDPC Codes for High-Order Coded Modulation // 12th Canadian Workshop on Information Theory (CWIT), Pp. 5-8, 2011.

50. Desbruslais S., Savory S. Optimizing the FEC Overhead in a 100 GbE PDM-QPSK Digital Coherent Transmission System // Journal of Lightwave Technology, Vol. 29(8), Pp. 1118-1126, 2011.

51. K.A.S. Immink. A Practical Method for Approaching the Channel Capacity of Constrained Channels // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 43(5), Pp. 1389-1399, 1997.

52. Kashyap N., Siegel P.H., Vardy A. Coding for the Optical Channel: the Ghost-Pulse Constraint // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52(1), Pp. 64-77, 2006.

53. Pechenkin V., Kschischang F. Ghost Pulse Suppression in Quasi-Linear Optical Data Transmission Systems via Constrained Coding // 23rd Biennial Symposium on Communications, Pp. 88-91, 2006.

54. Tian X., Wang Y., Su Y. Ghost-pulse suppression in phase-modulated RZ formats using data-pattern-assisted phase modulator // The 18th Annual Meeting of the IEEE Lasers and Electro-Optics Society, Pp. 61-62, 2005.

55. Alic N., Fainman Y. Data-dependent phase coding for suppression of ghost pulses in optical fibers // IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 16(4), Pp. 1212-1214, 2004.

56. Kanaev A., Luther G., Kovanis V., Bickham S., Conradi J. Ghost-pulse generation suppression in phase-modulated 40-Gb/s RZ transmission // Journal of Lightwave Technology, Vol. 21(6), Pp. 1486-1489, 2003.

57. Liu X., Wei X., Gnauck A.H., Xu C., Wickham L.K. Suppression of intrachannel four-wave-mixing induced ghost pulses in high-speed transmissions by phase inversion between adjacent marker blocks // Optics Letters, Vol. 27(13), Pp. 1177-1179, 2002.

58. Mamyshev P.V., Mamysheva N.A. Pulse-overlapped dispersion-managed data transmission and intrachannel four-wave mixing // Optics Letters, Vol. 24(21), Pp. 1454-1456, 1999.

59. Zweck J., Menyuk C.R. Analysis of four-wave mixing between pulses in highdata-rate quasi-linear subchannel-multiplexed systems // Optics Letters, Vol. 27(14), Pp. 1235-1237, 2002.

60. Essiambre R.-J., Mikkelsen B., Raybon G. Intra-channel cross-phase modulation and four-wave mixing in high-speed TDM systems // Electronics Letters, Vol. 35(18), Pp. 1576-1578, 1999.

61. Shake I., Takara H., Mori K., Kawanishi S., Yamabayashi Y. Influence of inter-bit four-wave mixing in optical TDM transmission // Electronics Letters, Vol. 34(16), Pp. 1600-1601, 1998.

62. Swenson N.L., Cioffi J.M. Sliding-block line codes to increase dispersion-limited distance of optical fiber channels // IEEE Journal of Selected Areas in Communications, Vol. 13(3), Pp. 485-498, 1995.

63. Immink K.A.S. Weakly constrained codes // Electronics Letters, Vol. 33(23), Pp. 1943-1944, 1997.

64. Immink K.A.S., Van Wijngaarden A. Simple high-rate constrained codes // Electronics Letters, Vol. 32(20), P. 1877, 1996.

65. Jin M., Immink K.A.S., Farhang-Boroujeny B. Design techniques for weakly constrained codes // IEEE Transactions on Communications, Vol. 51(5), Pp. 709-714, 2003.

66. Djordjevic I.B., Chilappagari S.K., Vasic B. Suppression of intrachannel nonlinear effects using pseudoternary constrained codes // Journal of Lightwave Technology, Vol. 24(2), Pp. 769-774, 2006.

67. Cover T.M. Enumerative source encoding // IEEE Transactions on information theory, Vol.IT-19(l), Pp. 73-77, 1973.

68. Guibas L.J., Odlyzko A.M. Periods in strings // Journal of Combinatorial Theory (A), Vol.30, Pp. 19-42, 1981.

69. Guibas L.J., Odlyzko A.M. String overlaps, pattern matching and nontransitive games // Journal of Combinatorial Theory (A), Vol.30, Pp. 183-208, 1981.

70. Goulden I.P., Jackson D.M. Combinatorial Enumeration // John Wiley & Sons, New York, Pp. 608, 1983.

71. Chilappagari S.K., Sankaranarayanan S., Vasic B. Error floors of LDPC codes on the binary symmetric channel // IEEE International Conference on Communications, Pp. 1089-1094, Istanbul, 2006.

72. Xinde H., Vijaya Kumar B.V.K., Zongwang Li, Barndt R. // Error floor estimation of long LDPC codes on partial response channels, Global Telecommunications Conference (GLOBECOM), Pp. 259-264, Washington DC, 2007.

73. Dolecek L., Lee P., Zhang Z., Anantharam V., Nikolic B., Wainwright M. Predicting error floors of structured LDPC codes: deterministic bounds and estimates // IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol. 27(6), Pp. 908-917, 2009.

74. Zhong H., Zhang T., Haratsch E. High-rate quasi-cyclic LDPC codes for magnetic recording channel with low error floor // IEEE International Symposium on Circuits and Systems, 4 pp., 2006.

75. Richardson T. Error floors of LDPC codes // Proc. 41st Allerton Conf. Comm., Control, and Comput., Monticello, IL, 2003.

76. Tao T., Jones C., Villasenor J., Wesel R. Construction of irregular LDPC codes with low error floors // IEEE International Conference on Communications, Vol.5, Pp. 3125-3129, 2003.

77. Asvadi R., Banihashemi A., Ahmadian-Attari M. Lowering the Error Floor of LDPC Codes Using Cyclic Liftings // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 57(4), Pp. 2213-2224, 2011.

78. Weng W., Ramamoorthy A., Wesel R. Lowering the error floors of irregular high-rate LDPC codes by graph conditioning // IEEE Vehicular Technology Conference VTC2004-Fall., Vol. 4, Pp. 2549-2553, 2004.

79. Fan J., Lei Poo T., Marcus B. Constraint gain // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 50(9), Pp. 1989-2001, 2004.

80. Djordjevic I., Vasic B. Constrained coding techniques for the suppression of intrachannel nonlinear effects in high-speed optical transmission // Journal of Lightwave Technology, Vol.24(l), Pp. 411-419, 2006.

81. Han Y., Ryan W. Concatenating a structured LDPC code and a constrained code to preserve soft-decoding, structure, and burst correction // IEEE Transactions on Magnetics, Vol.42(10), Pp. 2558-2560, 2006.

82. Fan J., Cioffi J. Constrained coding technique for soft iterative decoders // Global Telecommunications Conference (Globecom'99), Pp. 723-727, 1999.

83. Heine J., Behera M. Aspects of signal-dependent noise characterization // Journal of Optical Society of America, Vol.23(4), Pp. 806-815, 2006.

84. Moon J., Park J. Pattern-dependent noise prediction in signal-dependent noise // IEEE Journal of Selected Areas in Communications, Vol. 19(4), Pp. 730-743, 2001.

85. Khan M., Cowley W. Signal dependent Gaussian noise model for FSO communications // Australian Communications Theory Workshop, Pp. 142-147, 2011.

86. Zhang Z., Duman T., Kurtas E. Intersymbol interference channels with signal-dependent non-Gaussian noise: estimation of achievable information rates // IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 42(5), Pp. 1629-1631, 2006.

87. Runsheng H., Nazari N. An analytical approach for performance evaluation of partial response systems in the presence of signal-dependent medium noise // Global Telecommunications Conference 1999 (GLOBECOM'99), Vol. IB, Pp. 939-943, 1999.

88. Vasic B., Pedagani K. Run-length limited low-density parity check codes based on deliberate error insertion // IEEE Transactions on Magnetics, Vol.40(3), Pp. 1738-1743, 2004.

89. Djordjevic I., Vasic B. MacNeish-Mann theorem based iteratively decodable codes for optical communication systems // IEEE Communications Letters, Vol.8(8), Pp. 538-540, 2004.

90. ITU G.975.1. Forward error correction for high bit-rate DWDM submarine systems // International Telecommunication Union, 2004.

91. ITU G.709. Interfaces for the Optical Transport Network (OTN) // International Telecommunication Union, 2009.

92. Reed I., Solomon G. Polynomial Codes over Certain Finite Fields // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 8(2), Pp. 300304, 1960.

93. Berlekamp E. Nonbinary BCH decoding // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 14(2), p. 242, 1968.y

94. Massey J. Shift-register synthesis and BCH decoding // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-15(1), Pp. 122-127, 1969.

95. Reeds J., Sloane N. Shift-Register Synthesis (Modulo n) // SIAM Journal on Computing, Vol. 14(3), Pp. 505-513, 1985.

96. Chien R. Cyclic Decoding Procedures for the Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Codes // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-10(4), Pp. 357-363, 1964.

97. Forney D. Concatenated Codes // MIT Press, Cambridge, 116 Pp., 1966.

98. Li X., Sun W., Yand Y., Zhang Z. Enumeration and construction of all binary duadic codes // IEEE International Symposium on Information Theory, p. 113, 2000.

99. Mow W. Enumeration techniques for best N-phase codes // Electronics Letters, Vol. 29(10), Pp. 907-908, 1993.

100. Srinivasa S., McLaughlin S., Enumeration algorithms for constructing ((¿i, oo, d,2, oo) run length limited arrays: capacity estimates and coding schemes // IEEE Information Theory Workshop, Pp. 141-146, 2004.

101. Xiao H., Banihashemi A. Error Rate Estimation of Finite-Length Low-Density Parity-Check Codes on Binary Symmetric Channels Using Cycle Enumeration // IEEE International Symposium on Information Theory, Pp. 1551-1555, 2007.

102. Ordentlich E., Roth R. Two-dimensional weight-constrained codes through enumeration bounds // IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 46(4), Pp. 1292-1301, 2000.

103. Gadamsetti B., Singh A. Current Sensing Completion Detection for high speed and area efficient arithmetic // IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems, Pp. 240-243, 2010.

104. Bartlett V., Grass E. Completion-detection technique for dynamic logic // Electronics Letters, Vol. 33(22), Pp. 1850-1852, 1997.