автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчет аэродинамических характеристик решеток произвольных лопастей, колеблющихся в потоке идеальной несжимаемой жидкости

На правше рукописи

Л*

ТОЛСТУХА Александр Сергеевич

РАСЧЁТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЁТОК ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛОПАСТЕЙ, КОЛЕБЛЮЩИХСЯ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 - математическое моделировав не, численные метода! и комплексы программ по физико-математическим наукам

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата, физико-математических наук

Омск - 2006

Р»бота. выполнена на кафедре "Математическое моделирование "а ГОУ ВПО Омском государственном университете им. Ф. М.Достоевского

Научный руководитель: доктор фюико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Защита диссертации состоится 21 декабря 2006 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.03 при Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу 644077 Омск, уя, Нефтезаводская, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М.Достоевского.

Автореферат разослан 20 ноября 2006 г.

Учёный секретарь

Курзин Владимир Борисович.

Юдин Владимир Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцепт

Чёрный Сергей Григорьевич.

Вздутая организация: Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Хрнстиановича СО РАН, г. Новосибирск.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность задачи. Определение нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ) решёток колеблющихся лопастей необходимо для расчёта решёток турбо-мапшн на флаттер, а также для расчёта уровня динамических напряжений в лопастях при их обтекании неравномерным потоком, которые, в свою очередь, определяют ресурс и надёжность турбомашин. В двумерной постановке соответствующей задачи методы ее решения получили хорошее развитие. Ткк, нестационарное обтекание нагруженной решётки колеблющихся профилей произвольной формы моделировалось как зарубежными, так и отечественными исследователями [1]-]3].

В пространственной же постановке эта задача достаточно хорошо изучена лишь для случая колебаний слабонагруженных и тонких лопастей, моделируемых несущими поверхностями. См., например, работы В.П. Рябченко [4], [5].

Цель работы. Диссертационная работа посвящена численному моделированию пространственного обтекания венца колеблющихся лопастей произвольной формы потоком идеальной несжимаемой жидкости с целью определения его нестационарных аэродинамических характеристик.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи использовались методы теории краевых задач, вычислительные методы на основе метода конечных элементов (МКЭ).,

На защиту выносятся:

1) Постановка и метод решения задачи о нестационарном обтекании пространственной решётка колеблющихся лопастей, основанные на сведении краевой задачи для многосвязной решётчатой области к соответствующей краевой задаче для одаосвязной области с нестандартными краевыми условиями.

2) Алгоритм и программа расчёта НАХ решёток произвольных лопастей, совершающих малые по амплитуде колебания по заданной форме и с заданной частотой, со сдвигом фазы между соседними лопастями, в условиях безотрывного обтекания потоком идеал ьноВ жидкости.

Научная новизна работы заключается в

- сведении задачи о течении жидкости через пространственную решётку колеблющихся лопастей к краевой для некоторой ограниченной односвязной области,

- разработке алгоритма решения соответствующей задачи с нестандартными краевыми

условиями, основанного на применении МКЭ я создании комплекса программ расчёта НЛХ решёток лопастей произвольной формы,

- разработке процедуры расчёта интенсивности вихревых пелен, сбегающих с задних кромок лопастей, основанной на применении итерационного процесса при выполнения условия Жуковского-Кутта.

Достоверность полученных результатов обусловлена

- корректной постановкой задача в рамках известных законов гидродинамики,

- сравнением результатов численного расчёта, проведённого с помощью разработанного метода, с результатами, полученными ранее другими авторами.

Практическая ценность работы состоит в универсальности разработанного метода по отношению к геометрии решеток я соответствующей возможности его применения для расчёта НЛХ реальных конструкций решёток турбомашин. Апробация работы. Результаты докладывались н обсуждались

- на XI Всесоюзной конференции "Аэроупругость турбомашин", Ужгород, 15-17 сентября 1987 г.;

- региональной научно-технической конференции "Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем", Калуга, 23*24 октября 1990 г.;

- XIII Всесоюзной конференции "Аэроупругость турбомашин", Севастополь, 31 мая -2 июня 1991 г.;

- седьмом международном симпозиуме по нестационарной аэродинамике, аэроакустике н аэроупругости турбомашин (7(Ь ШЧААЛТ), Фукуока, Япония, 25-29 сентября 1994 г.;

- третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ШРШМ-98), Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.;

- юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций СибНИА, Новосибирск, 15-17 июня 2004 г,;

- одиннадцатом международном симпозиуме по нестационарной аэродинамике, аэроакустике и аэроупругости турбомашин {ШиАААТ-2006), Москва, Россия, 4-8 сентября 2006 г.;

-на семинаре лаборатории аэроупругости Института гидродинамики им. М. А, Лаврентьева СО РАН;

- на совместном семинаре лаборатории математического моделирования в механике омского филиала Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН и кафедры "Ма-

тематическое моделирование" ОмГУ им. Ф.М.Достоевского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Выполнена на 102 страницах машинописного текста, содержит одну таблицу, 13 рисунков. Список цитируемой литературы содержат 75 названий.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлен краткий обзор основных работ по теме.

В первой главе "Постановка задачи нестационарного обтекания решётки лопа-стсй "взложева общая постановка задачи о нестационарной обтекании решётки колеблющихся лопастей идеальной несжимаемой жидкостью и её сведение к краевой задаче в односвяэной области.

В предположении о безотрывном обтекании лопастей при равномерном набегающем потоке в неподвижной системе отсчёта течение идеальной несжимаемой жидкости всюду вне вихревых поверхностей, сбегающих с кромок лопастей, описывается уравнением сохранения количества движения и уравнением неразрывности

где V = V_„ + Vi(x, jr, z, i), v.«, = const - скорость набегающего потока на решётку, Ф — потенциал скорости возмущённой составляющей течения жидкости, (x,jr, z) - tteno-движая декартова система координат, ось х которой направлена вдоль оси решётки,

В цилиндрической системе координат (г,0,аг), жёстко связанной с вращающейся решёткой, относительная скорость движения жидкости равна

где П - вектор угловой скорости вращения решётки, г - радиус-вектор положения движущейся частицы в подвижной системе отсчёта.

5 указанной системе отсчёта уравнения сохранения количества движения и неразрывности преобразуются к виду

dt p divV - 0,

dl

W = V-n xr

дФ W1 - vl P --1--- + —

at 2 д

+ 0 "

F(t), vg - Or,

(1)

ДФ = 0

(2)

В предположении, что лопасти решётки совершают синхронные малые гармонические колебания с постоянным сдвигом фаз ¡i>¡ = 2nkfH между колебаниями соседних лопастей так, что радиус-вектор произвольной точки поверхности колеблющейся лопасти 5п' может быть представлен в виде

rm = г!0' +£f{r{,üy(^+n,4 (п = 0.....ЛГ-1), с « 1 (3)

где г!?' - радиус-вектор соответствующей точки лопасти в среднем её положении f Orf) ~ вектор-функция, определяющая форму колебания лопасти, нормированная как max (|f| /а), а - средняя хорда лопасти.

Искомые функции потенциала скорости и давления в линейном приближении ищутся как

Ф(г) = Ф0(г) + С¥Р(г)е*"', Го(г) + ср(г)еш (4)

Согласно (2)-(4) определение амплитудной функции ¥>(0 потенциала нестационарной составляющей скорости приближённо сводится к решению краевой задачи для уравнения

Др(г) = 0 (5)

в области D (рис.1), ограниченной спинкой Г0 и корытцем 1\ двух соседних лопастей венца турбонашаны, конгруэнтными поверхностями Lo, L\, проходящими через передние кромки этих лопастей, поверхностями контактного разрыва Со, С\ за решёткой, моделирующих вихревые следи, стенками канала Si и £2, а также поверхностями сечений и So,, расположенными перед и за решёткой соответствен во на расстоянии порядка длины хорды лопасти, при следующих граничных условиях:

6

• непротекания лопастей

= + ¿> + (/А^))^ <n = L>

(6)

r<°>) e ГП1 - направление нормали к Г„ в точке «1"', т^ - ортогональные криволинейные координаты поверхностей Г„,

• непротекания стенок канала и проточной части

. ар(гп)

• на бесконечности

10, г„ С S„, (« = 1,2) (7)

= tes.», p(r) = 0, t€S„ (8)

• ofotfujemiotf периодичности

VM-VÍn)«—, ^ = ¿o, na,

но поверхности контактного раармва

рЫ = pír1)e-i"t, г0е£о. rl€£,

(9)

(10)

где согласно (1) и (4),

р{г„) = ги/9(га) + • Vlfi(г„) (И)

Для определения интенсивности разрыва потенциала скорости на поверхности контактного разрыва ставятся дополнительное условие, которое, согласно постулату Жуковского- Чаплыгина и в предположении, что выходные кромки лопастей являются точками возврата, может быть представлено в виде

г— го, гоеГ0 (12)

где и <о) - правая часть выражения (6) для п = 0, Гц - контур задней кромки Г0.

о

Для расчёта нестационарных аэродинамических характеристик определяется амплитудная функция нестационарной составляющей гидродинамического давления, действующего па лопасти в их мгновенном положении, выражение для которой, согласно (1), приводятся к виду

р(г) = -р + W(| ■ + • (Г ■ - П2г/Г), г € (13)

где ф(г) - решение поставленное выше краевой задачи, \Уо - стационарная составляющая скорости течения.

Гидродинамические реакции лопастей, возникающие при их колебаниях удобно представить в виде обобщённых гидродинамических сил в форме

где ш^у }} ~ собственная частота и собственная форма колебаний лопасти по У-оЙ моде, индекс к определяет величину сдвига фаз между колебаниями соседних лопастей. □ качестве нестационарных гидродинамических характеристик рассматриваются коэффициенты обобщённых сил

От

= <15>

где Э - площадь лопасти.

Следует отметить, что в условие (6) и в выражение (13) входит величина стационарной составляющей скорости течения, а условие (10) ставится на поверхностях контактного разрыва, которые располагаются вдоль поверхностей тока стационарного течения, их положение заранее неизвестно.

Во второй главе диссертации рассматрена, согласно сё названию, "Задача стационарного обтекания пространственной решётка". Она сведена к определению функции потенциала скорости Фо, удовлетворяющей уравнению Лапласа

- (* = 0.....ЛГ - 1; з - 1,2,...)

(14)

А

ЛФо = 0

(16)

в области П (рис.1) при следующих граничных условиях: • непротекания

^^ «-[(Пхг)-. геГо.Г,,.?!.^

(17)

где V — направление нормали к соответству ющим поверхностям и точке г. • на бесконечности

УФ0 = V-« -(Пхг), г € 5-,

(18)

* на поверхности контактного разрыва

Фо(го) = Ф0(Г|) + Сг>(ч, О, Г„ € С„, (п = 0,1)

(10)

^г = = "[(п * г)" ' г-6 ^ <п = ^ <2°>

где функция С0(л, £) определяет скачок потенциала скорости на поверхности контактного разрыва, моделирующей вихревую пелену, г) - естественная координата задней кромки Г0, через которую проходит поверхность Сц, а координата £ является естественной координатой линии тока, проходящей через Г0 в точке Г).

С учётом того, что интенсивность завихренности жидкой частицы вдоль линии тока остаётся постоянной, функция Со(»/, £) определяется с помощью решения задачи Коша на поверхности, проходящей через Го при дополнительном условии Жуковского- Чаплыгина вида

У-Д,, г г0, Го £ Го (21)

Решение сформулированной краевой задачи осуществляется итерационным методом. На шаге инициализации функция Са{*1> О задаётся произвольно и (произвольно) выбирается положение поверхности С\. Поверхность £3 при этом задаётся поворотом Сг на угол а вокруг оси венца. На очередном шаге итерационного процесса текущее приближение Ф(г) используется для коррекции Са{т), £), выполнения условия Жуковского-Кутта на задней кромке и изменения границ области А, таким образом, чтобы они являлись поверхностями контактного разрыва, т.е. на них выполнялось условие (20).

На шаге итерационного процесса задача решается приближённо методом конечных элементов. О разбивается на элементы - тетраэдры, вершины тетраэдров называются узлами разбиения. Следуя методу конечных элементов, с каждым узлом разбиения г( связывается базисная кусоч но-ланейная функция К (г). На каждом тетраэдре Ц(г) определяется как линейная функция, причем

Эта функция финитна, носителем ее является объединение тетраэдров с вершиной Г(,

Потенциал ищем в виде

N (=1

где <ро! - узловые значения потенциала на разбиении Л. Относительно узловых значений строится система линейных алгебраических уравнений.

В слабой интегральной форме уравнение (16) можно записать в виде

Ф<г). (УФ(г) • п)Ц(г) аз (23)

D НО

Подставим (22) в (23), получим н

i"1 D BD

ИЛИ

oy ■Pos -

С учётом сказанного можно записать:

тэ1 уег где

Рут = ^(^у(г) ■ Ш4(г))<*Г = - УИИ УЫТ

т

- вклад в элемент матрицы ву тетраэдра разбиения Т. Вклад тетраэдра в симметричный относительно диагонали элемент матрицы а^ по величине совпадает с зцт, что обеспечивает симметрии¡юсть матрицы. Уо1т - объём Т.

Для удовлетворения условию периодичности полученная система редуцируется отождествлением соответствующих узлов на периодических границах. При этом в некоторых уравнениях редуцированной системы появляется правая часть, зависящая от дискретного представления С0(г!,().

Матрица таким образом построенной системы линейных алгебраических уравнений оказывается вырожденной. Это связано с тем, что краевая задача относительно потенциала скорости есть задача Неймана, для которой лотенцил определён с точностью до константы. Решение находится итерационным методом в подпространстве, ортгональ-ном собственному вектору, отвечающему нулевому собственному числу.

Коррекция С(ц производится по уравнению / \

Е

ТЭ1,

У! fojShj + X} vmtjm

= J({П x г) • n)Vjl(r)d5

Рис. 2: Решётка винтовых лопастей.

для узлов на задней кромке t¡ С С\П IV Правая часть уравнения пропорциональна перетеканию через границу, что позволяет скорректировать значения Си. Подобным образом возможность определения величии перетекания в узлах на пелене за кромкой дозволяет скорректировать положение пелены.

В качестве примера рассмотрим несжимаемое течение через пространственный осевой венец, лопасти которого представляют части винтовых поверхностей таких, что течение со скоростью и = Uo + w х г через венец является однородным, u« направлен вдоль оси венца. Лопасть представляет собой прямоугольник {r0 < г < ri, —ф.+ an < О < ф + ап} в координатах (г, ff), где 0 - угол в тангенциальном направления, в - утл между соседними лопастями, п - порядковый номер лопасти. Вдоль оси венца лопасть

О

ограничена координатами х = - (rj — r0) dgß. Мы брали ф = 0,19035, ß = jt/6, r0 = 1, = 2, число лопастей - N = 8, 12, 16, При этом густота на среднем радиусе составляла т = 1,0,1,5, 2.0. На рнс. 2 приведены результаты расчётов по методу конечных элементов в сравнении с результатами работы В.П. Рябченко, в которой применён метод дискретных вихрей. Здесь для расчётов угол атаки задавался равным тг/6 на среднем радиусе. На рис. 3 представлены распределения скоростей вдоль корды для разных радиусов по высоте (скорости на задней кромке убывают с ростом радиуса).

Рассмотрим течение в решётке телесных профилей. На рис. 4 приведены распределения скоростей на лопасти при стационарном обтекании неподвижного осевого венца. Количество лопастей N = 8, Относительная толщина профиля Т ** 0.1 от величины

хорды. Густота решётки на среднем радиусе т — I. Высота лопастей равна величине

хорды. Угол установки р ~ 60". (I) - скорости на втулке, (2) - яа среднем радиусе, (3)'- на внешнем обводе. Для сравнения точками показано распределение скоростей в плоской решётке. Как видно из рисунка, имеет место неравномерность распределения поля стационарного течения по высоте лопасти,

В этой главе рассмотрены также вопросы сходимости последовательности приближённых решений, полученных на последовательности конечноэлементных сеток.

В третьей главе "Определение нестационарной составляющей течения"рассмотрено течение жидкости через решётку колеблющихся лопастей в постановке, изложенной в первой главе. Приведены примеры расчёта нестационарных характеристик решёток.

Одна из трудностей решения этой задачи лежит в определения влияния вихревого следа на нестационарные составляющие параметров течения. Амплитудная функция интенсивности разрыва потенциала нестационарной составляющей скорости течения £). как и в задаче о стационарном обтекании решётки, определяется на вихревой пелене в естественной системе координат (т?, {). В линейном приближении из уравнения

Рис. 4: Распределение скоростей на поверхности лопасти кольцевой (14 = 8) решетки телесных (Т = 10%^ профилей (липни). Точками - скорости на поверхности профиля плосков решётки.

(11) найдём

СШ) =

о

Из этого выражения следует, что функция С'{*/>£) в любой точке вихревой пелены определяется её значением С{¡7) в окрестности задней кромки лопасти. Значение же С(?;) находится из (12) путём итерационной процедуры решения задачи в целом.

Численное решение ищем в ограниченной области, содержащей межлопаточный капая и часть исходной области перед решёткой и за ней. Ограниченная расчётная область, для которой сохраним обозначение О, разбивается на элементы - тетраэдры. Вершины тетраэдров образуют узлы разбиения пронумерованные числами I £ {1,

Потенциал ищем в виде

N

Ф) =

(=1

где <р1 - значении потенциала в узлах разбиения. Линейные фи нити ые функции ИМ определены ранее.

Домножая уравнение (5) на базисные функции, интегрируя по области и применяя формулу Гаусса-Острогр адского получим систему линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов

к

= 1 = 1.....N (25)

ац-ы = (26)

о &а Пусть узлы с номерами I = 1,___, Л^ расположены на периодических границах Ь\ и

Си соответствующие им узлы с номерами I = Л^ + 1,..., N2 расположены на ¿а и С%.

р = N1 = N2 — N1 - количество узлов на периодической границе. Произведём редукцию

системы (25), основываясь на граничных условиях. Строка системы при < I < N2

примет вид

лг, N д?!

£ + £ ^Ц-рле"1 + аЫ - С^.^е'" (27)

а при Л^а <1 < N

«а дг Л',

2 П^-рС'* + <Р}Щ = ^ + <28)

3-Ы1 +1 .1=1

Матрица полученной таким образом редуцированной системы является эрмитовой. В самом деле, заметим, что мяимая часть в коэффициент« системы ненулевая, когда один из номеров соответствует узлу, расположенному иа периодической границе и Си а другой - непериодическому узлу такому, что носители соответствующих базисных функций пересекаются. То есть, если в (27) щ-р^ ^ О (О < I — р < N1, 3 > N1), то ау = 0 в силу виррЦ(г) П яиррУДг) 0 и коэффициент при щ равен а^р^е'". Симметричный относительно главной диагонали коэффициент системы в (28) равен Так как а,-^ = а^ для любых 1,3 в силу (26), соответственные коэффициенты взаимно сопряжены.

От эрмитовой системы перейдем к вещественной. От системы вида

Лг = Ъ

порядка N — N1 к блочной порядка — N1)

(-г)М-С)

где г « гя-Мг/, Ь — Ь^-МЬ/, А *= Н+гС. Матрица системы (29) является симметричной, положительно определенной (при /1^0) матрицей.

КтС£

к

Рис. 5: Результаты расчёта МКЭ коэффициента С" (точки) в сравнении с результатами АРНП. Пространственная решетка пластин, крутильные колебания, 0 = 0°,

г=1, /Х=1Г.

На основе предложенного выше метода решения поставленной задачи бил разработан алгоритм и составлен а программа расчёта НАХ решёток. На примерах расчёта ПАХ достаточно простых моделей решёток, результаты которых представлены на рис. 5-7, была проведена оптимизация параметров численного алгоритма и его тестирование, а на примере, приведённом на рис. 8, проведена апробация метода расчёта НАХ реальных конструкций решёток.

Основная сложность численной реализации решения нестационарной задачи - удовлетворение условию на задней кромке. По существу, это точечное условие. Так как в условии участвует градиент функции, точное его вычисление требует измельчения сетки. Это, в свою очередь, ухудшает обусловленность матрицы системы.

Выбор параметров расчётной сетки был проведён на пример« расчёта НАХ пространственной прямой решётки пластин, совершающих крутильные колебания вокруг осей, проходящих через центры хорд пластин, со сдвигом фаз между колебаниями соседних пластин ¡л = зг. Расчёт был проведён для решётки с углом выноса р « Г>°, густотой т = 1, обтекаемой под нулевым углом атаки. На рис. 5 представлены результаты расчёта зависимостей соответствующих коэффициентов сил С™, действующих на пластины от числа Струхаля А. Сравнение результатов расчёта с данными АРНП |6| (табл. 3, стр. 67) для плоских решеток пластин показали удовлетворительное их соответствие. Некоторое отклонение рассчитанной величины Пе. при малых значениях

Таблица 1.

Зависимость относительной ошибки расчёта от параметров разбиения области и сгущения сетки.

№ LX LY LS %

1 7 21 29* G.8

2 9 21 29* 6.4

3 9 25 29* 5.4

4 9 31 29- 4.4

5 Я 31 31* 4.3

6 9 51 31* 2.6

7 9 51* 31* 0.9

к ох результатов АРНП связано с недостаточным измельчением сеток в окрестности передних кромок, где искомая функция перепада давления имеет особенность. Как показала расчёты, для плоских решёток минимальное количество узлов разбиения вдоль хорды равно 25-30 с определённым их сгущением около кромок. Эта эмпирическая оценка годна и для пространственной решётки. В рассматриваемом, случае величина шага около передней кромки была равной 0.1 от длины хорды, в отличие от величины шага разбиения у задней кромки равной 0.0125.

Влияние сгущения узлов в окрестности кромок на погрешность расчёта существенно не только вдоль хорды лопасти, по и в поперечном каналу направлении. Сказанное можно проследить по таблице №1. Рассматривался случай крутильных колебаний плоской решётки пластин в равномерном потоке. Параметры решётки 0 " 60°, т = 1. Лопасти колеблются в протввофазе {fi — ¡т). Число Струхаля к = 0.5, В этом случае ¡Cj| = 5.511 (АРНП). В таблице приведены величины относительной ошибки в зависимости от параметров разбиения. Обозначения: LX - количество узлов разбиения по высоте лопасти, LY — по ширине межлопаточного канала, LS — вдоль хорды лопасти. Величины, отмеченные звездочкой, указывают, что применялось сгущение сетки.

Тестовый расчёт НАХ решёток был проведён для прямой решётки пластин, обтекаемых под нулевым углом атаки, параметры которой 0 =• 60", т «= 1. Расчёт был проведён для случая крутильных колебаний пластин вокруг осей, проходящих также через центр хорд пластин, но с переменной по высоте пластины амплитудой с задан-

(тонки) е сравнении с результатами АРНП. Пространственная решётка пластин, крутильные колебания с переменной амплитудой по высоте, (1 = 60", г = 1, ц = !г, А = 0.5.

вой формой = ая(1 — сов(»гА)) где х - координата профиля пластины, начало

которой лежит на оси вращения, Л е [0,1] - координата сечения по высоте пластины. На рис. 6 представлены результаты сравнения расчётных зависимостей модуля коэффициента сил \С£\ от параметра Л с результатами работы (АРНП, фиг. 45, стр. 211), полученных при фиксированных значениях числа Огрухаля А: = 0,5 и сдвига фаз р = Я", Хорошее соответствие интегральных по размаху значений НАХ свидетельствует об эффективности предложенного алгоритма решения задачи в целом.

Влияние толщины профилей решётки на сё нестационарные гидродинамические характеристики иллюстрируют результаты расчёта, представленные на рис. 7. Точками изображены численные значения действительной и.мнимой частей нестационарной составляющей коэффициента момента гидродинамических сил, возникающих при крутильных колебаниях лопастей прямой решётки вокруг осей, проходящих через центр тяжести сечений, с числом Струхаля к => 0,5 для различных сдвигов фазы колебаний соседних лопастей (угол выноса решётки 0 = 60°, густота г«2, угол атаки набегающего потока а = 0°, толщина профилей чечевицеобразной формы, отнесенная к их хорде, Т « 0.1). Для сравнения сплошными линиями нанесены соответствующие зависимости коэффициента момента для решётки пластин (АРНП, табл. б, стр. 71). Качественно полученные результаты о влиянии толщины профилей на НАХ решётки согласуются с

£

1

И

1Г г/2 } 1 п X

N

ч

/ -2

Рис. 7: Результаты расчёта МКЭ коэффициента ОЩ для релямчнът сдвигов фазы (точки). Кольцевая решётка телесных лопастей, крутильные колебания, р = 60°, г = 2, А; = 0.5, Т = 0.1.

данными работы В.П.Рябченко )7[.

Пример расчёта нестационарных аэродинамических характеристик вращающейся решётки рабочего колеса модели реальной гидротурбины ПЛ587А приведён на рис. 8. Кружками нанесены зависимости коэффициентов обобщенных сил С,* = ^¡^¡рХ^З (V - относительная скорость набегающего потока в характерном сечении, 5 - площадь лопасти, } - номер моды колебаний), действующих на лопасти при их колебании по первой и второй моде в зависимости от величины сдвига фаз р*. Собственные частоты и формы колебаний лопастей были определены ранее [8). Соответствующие числа Струх&ля для первой и второй моды равны: = 148.56, к^ = 225.25. Программное обеспечение для описания геометрии проточной части рассматриваемой модели любезно предоставлено Скороспеловым В.А. Следует отметить, что величины полученных коэффициентов обобщенных сил удовлетворяют оценке

МЗД = 1т(С^) = 0{к}),

которая не противоречит имеющимся представлениям о поведении нестационарных аэродинамических характеристик решёток, полученным при рассмотрении нестационарных явлений по плоской модели.

Основные результаты работы. - Задача определения НАХ решёток колеблющихся лопастей сведена к решению крае-

вой задачи в односвяэяой ограниченной облаем.

- разработан алгоритм решения поставленной краевой задачи, основанный па применении мкэ.

- Построена специальная схема итерационного процесса решения для удовлетворения нестандартных краевых условий таких, как условие Жуковского-Кутта, условий на вихревых пеленах.

- Создана и протестирована программа ¡>асчёта, с помощью которой могут быть определены НАХ реальных конструкций решеток турбомашнп.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА {1] Verdón J.M., Caspar J.R. Subsonic flow past an oscillating cascade with finite mean flow

deflection / AI A A J. 1980. Vol. 18, №5. P 540-548. [2] Файзуллнн P.T. Расчёт методом конечных элементов нестационарных аэродинамических характеристик решёток в дозвуковом потоке идеального газа // Аэроупругость турбомашнн: Сб. статей. Новосибирск, 1984, С 57-65. [3| Осипов A.A. Метод расчёта нестационарных аэродинамических нагрузок на решетке телесных профилей, колеблющихся в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость лопаток машин: Сб. статей. / Тр. ЦИАМ. №1293, 1991. Вып. 6. С 35-50. [4] Рябченко В.П. Аэродинамические силы, действующие иа лопасти пространственной

кольцевой решёгки при нестационарном обтекании // ПМТФ. 1979. №4. С. 89-97. [5| Рябченко В.П. Аэродинамические характеристики пространственной кольцевой решётки лопастей, колеблющихся со сдвигом фазы в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость турбомашнн: Сб. статей - Новосибирск, 1984. С 48-56. {6] Горелое Д.Н., Курзнн В.Б., Capen В.Э. Аэродинамика решёток в нестационарном потоке. - Новосибирск: Наука, 1971. - 272 с.

[7] Рябченко В.П. Нестационарные аэродинамические характеристики решёток произвольных профилей, вибрирующих в потенциальном потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1974. №1. С. 15-20.

(8] Курзнн В.Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева JI.A. Собственные колебания лопастей однородной решётки гидротурбин в жидкости // ПМТФ, 1997. №2, С. 80-90.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ерофеев Ю.К., Толстуха A.C., Файзуллин Р.Т., Холмяиский И.А. Расчёт пространственного потенциального обтекания дозвуковым потоком венца слабонагруженных лопастей турбомашины методом конечных элементов // Омск: СибАДИ. 1986. Деп. ВИНИТИ №530-В87 23.01.87.

В этой совместной работе И.А.Холминскому принадлежит постановка задачи и алгоритм разбиения расчетной области; Ю.К.Ерофееву принадлежит разработка вариантов проточной части соплового аппарата (CA) турбины, в частности, обводов с поджатием и формулировка технических условий работы CA; Р.Т.Файзуллину принадлежит формулировка обобщённого метода Ньютона для приближённого решения задачи о потенциальном, течения газа, разработка технологии МКЭ, включающей способы удовлетворения граничным условиям, методы формирования и хранения разреженных матриц линейных систем, атак же процедур их решения; А.С.Толстухе принадлежит реализация алгоритма для случая пространственной решётки и численные расчёты.

2. Толстуха A.C. Расчёт пространственного дозвукового течения газа через венец турбомашины для определения скоростей и углов выхода потока // Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем: Тезисы докладов. Калуга, 1990. С. 126.

3. Толстуха A.C., ФаЙзуллня Р.Т. Применение МКЭ для определения потенциального течения в венце турбомашины // Тезисы Всесоюзной школы-семинара, Владивосток. 1991. С. 16.

В этой совместной работе Р.Т.Файзуллину принадлежат формулировки, алгоритмические реализации и примеры расчётов задач о двумерном потенциальном течении газа, А.С.ТЬлстухе принадлежит реализация алгоритма и численные расчёты задачи о потенциальном течении газа для случая пространственной решётки с учётом вихревых пелён, сходящих с задних кромок.

20

4. Толсту*а A.C. Расчет пространствен но го течения жидкости через решётку колеблющихся лопастей // Аэроупругость турбомашин: Тезисы докладов XIII Всесоюзной конференции. М.: ЦИАМ. 1991. Труды ЦИАМ №1294. С. 7.

5. Толстуха A.C. Пространственное трансзвуковое течение в осевом венце турбома-шины // Фундаментальная и прикладная математика: Сб. научных трудов. Ред. А.К. Гуц. Омск: ОмГУ, 1994. С. 130-135.

6. R.T. FaizuIIin, A.S. Tolstukha Unsteady 2 and 3-dimensionaI Calculations in Cascades / Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Türbo-machincs - Tokyo: Elseiver, 1995. P 39-53.

В этой совместной работе Р.Т.Файзуллииу принадлежит рассмотрение широкого круга задач о двумерном потенциальном течении газа, включающем случай стационарного и нестационарного трансзвукового течения. А.С.Толстухе принадлежит рассмотрение пространственных задач в потенциальной постановке, таких как стационарное и нестационарное течение жидкости, стационарное дозвуковое и трансзвуковое течения газа.

7. Толстуха A.C. Расчёт пространственных течений с распределённой завихренностью // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск: Иэд-во Института математики

СО РАН, 1998. Часть II. С. 126.

8. Толстуха A.C. Перенос завихренности: вариационный подход // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 1993. Выпуск 2. С. 116-123.

9. Толстуха A.C. Обтекание решёток произвольных лопастей идеальной несжимаемой жидкостью // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 2093. Выпуск 11. С. 67-87.

10. Курзин В.Б., Толстуха A.C. К расчёту нестационарных аэродинамических характеристик вращающейся решётки колеблющихся лопастей в потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН. МЖГ, 2005. №1. С. 40-52.

В этой совместной работе В.Б.Курэиау принадлежит постановка задачи определения НАХ в первом приближении, граничных условий с учётом вращения венца лопастей, их деформации при колебаниях по некоторой форме и со сдвигом фазы в неоднородном поле основного течения, а так же качественный анализ результатов численных экспериментов. А.С.Толстухе принадлежит участие в постановке задач о стационарном и нестационарном обтекании, формулировка итерационных методов

определения разрыва потенциала скорости на поверхностях, моделирующих вихревую пелену, реализация алгоритмов МКЭ, численные расчёты, анализ точности.

11. V.B.Kurzin, A-S.Tblstukha Some Calculations of Unsteady Aerodynamic Characteristics of Cascades with Oscillating Blades / Tkrbomaehines; Aeroelasticity, Aeroacoustics, and ■ Unsteady Aerodynamics - Moscow; TORUS PRESS Ltd., 2006. P 115-127.

В этой совместной работе В.Б.Курзину, кроме постановочных, принадлежит рассмотрение концептуального вопроса о роли модели идеальной несжимаемой жидкости: будучи самой простой в иерархии моделей, она, тем не менее, позволяет учесть тонкие гидродинамические явления, имеющие вязкую природу. А.С.Толстухе принадлежит утверждение о важности для алгоритма, пригодного для инженерных расчётов, реализация итерационного подхода.

ТОЛСТУХА Александр Сергеевич

РАСЧЁТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЁТОК ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛОПАСТЕЙ, КОЛЕБЛЮЩИХСЯ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 14.11.2006 г. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 414.

Издательство Омского государственного университета 644077, г. Омск, пр. Мира 55А, госуимвсрситет

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ РЕШЁТКИ ЛОПАСТЕЙ

1.1 Уравнения движения идеальной однородной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат.

1.2 Область и основные уравнения.

1.3 Условие на лопасти

1.4 Условие на периодических границах перед венцом.

1.5 Условие на пелене.

1.6 Нагрузка.

2 ЗАДАЧА СТАЦИОНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЁТКИ

2.1 Постановка для потенциала скоростей.

2.2 Метод решения.

2.3 Метод решения в ограниченной области.

2.4 Переход к следующему приближению.

2.5 Вычислительные аспекты задачи.

2.6 Результаты вычислительных экспериментов.

2.7 Сходимость конечно-элементных аппроксимаций для краевой задачи типа Неймана.

2.7.1 Аппроксимацция.

2.7.2 Сходимость.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ

3.1 Постановка задачи для комплексной амплитудной функции

3.2 Метод решения.

3.3 Построение системы линейных алгебраических уравнений

3.4 Переход к следующему приближению.

3.5 Результаты вычислительных экспериментов.

3.6 Комплекс программ.

Определение нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ) решёток колеблющихся лопастей представляет собой актуальную задачу, решение которой необходимо для расчёта решёток турбомашин на флаттер, а также для расчёта уровня динамических напряжений в лопастях при их обтекании неравномерным потоком, который, в свою очередь, определяет ресурс и надёжность турбомашин.

Изучение аэроупругости турбомашин начались в 50-ых годах XX в. Результаты интенсивных исследований обобщены в монографиях [43], [9], [36], и обзорах [41], [10], [16], в которых имеется обширная библиография. Библиография за большой период опубликована также отдельной книгой [18].

В силу большой сложности соответствующих гидродинамических задач успех исследований аэроупругости лопаток турбомашин в значительной степени определялся развитием аэродинамики решёток в нестационарном потоке. В основу модели было положено предположение о бе-зотрывности обтекания и гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой поверхности тока течения через кольцевую решётку являются цилиндрические поверхности, на каждой из которых течение рассматривается независимо. Использовалось предположение об установившемся характере колебаний лопастей по гармоническому закону. Амплитуда колебаний принималась малой, что дало возможность линеаризации и постановки задачи о нестационарных возмущениях поля скоростей.

Решётка профилей в потоке несжимаемой жидкости может быть изучена наиболее полно, так как позволяет использовать развитый аппарат решения краевых задач для аналитических функций. В частности, методы решения задач теории крыла [39] , [26] с успехом были применены к задаче обтекания решётки пластин, совершающих синхфазные колебания под малым углом атаки [67], [58], [65], [71], [66], [37].

В 1955 году выходит работа Систо [66], в которой впервые рассмотрены колебания решётки пластин со сдвигом фазы между колебаниями соседних профилей. Примеры расчётов указывали на большое влияние величины сдвига фазы на величину аэродинамического демпфирования колебаний профилей.

Эти работы, в основном, выполнены в рамках линейной теории малых возмущений равномерного потока.

Влияние стационарных параметров потока на нестационарные характеристики было обнаружено Мусатовым [25] при исследовании несинфазных колебаний решётки пластин под углом атаки. Дальнейшее развитие связано с учетом кривизны, телесности профилей, их колебаниям в неравномерном потоке, условиях аэродинамической нагруженности.

Идея построения решения этой задачи заключается в применении конформного отображения основного периода колеблющейся решётки на внутренность круга предложена Г.Ю. Степановым [43]. Предпола-гаетя, что конформное отображение колеблющейся решётки на каноническую область можно считать совпадающим с отображением неподвижной решётки. Взаимное смещение рофилей в такой постановке учитывается. В работе Самойловича [35] в качестве канонической области использована внешность решётки кругов. В полной линеаризованной постановке, т.е. с учётом смещения профилей и наличия криволинейных вихревых следов за ними задача рассмотрена В.Э. Сареном [38].

Стремление построить эффективные алгоритмы расчёта привело к развитию численных методов решения задачи обтекания вибрирующих профилей. Метод интерференции предложен Д.Н. Гореловым для задачи обтекания слабо изогнутых профилей под малым углом атаки [7]. Важные для практики расчётные результаты и их анализ изложены в работе [8], в которой использован метод Хаскинда [55]. Для решётки профилей в сжимаемом потоке ряд результатов получен методом склеивания, развитым В.Б. Курзиным [15].

Широкое применение нашли методы, связанные с численным решением интегральных уравнений, эквивалентных соответствующей задаче обтекания. В случае решёток бесконечно тонких профилей успешно используется метод дискретных вихрей, развитый С.М. Белоцерковским [1]. Идея метода восходит к понятию о несущем вихре. Теоретические вопросы аппроксимации вихревого слоя системой дискретных вихрей рассматриваются, в частности, М.А. Лаврентьевым в [21].

Повторим, что в 50-60-х годах показано, что в результате интерференции нагрузки на колеблющиеся пластины в решётке отличаются от нагрузок на одиночный профиль.

Выявлено влияние нестационарного следа.

Доказана необходимость учёта скоростей стационарного течения.

Таким образом, на геометрически простых решётках были выявлены качественные механические закономерности, имеющие фундаментальный характер. Практические же потребности требуют рассмотрения решёток произвольных профилей, для получения точных числовых значений нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ), что стало одним из направлений дальнейших исследований.

Развитие вычислительной техники и сеточных методов решения уравнений математической физики позволили задачу о колебаниях лопастей формулировать как краевую и решать численно в физической области течения.

Используются два подхода: Один связан с интегрированием полной системы уравнений Эйлера или Навье-Стокса. Он даёт возможность моделировать развитие процесса во времени в отсутствии предположения о малости амплитуды колебаний. При этом усложняется постановка граничных условий, затрудняется механическая интерпретация полученных результатов. Велики затраты. Часто каждый расчёт уникален. Тем не менее, побуждаемый запросами практики, данный подход интенсивно развивается [62], [75], [68].

Другой подход основан на модели течения идеальной жидкости или газа. Сохраняются предположения об установившемся характере нестационарного процесса и о малости амплитуд колебаний. В силу этого, условия на подвижном профиле "сносятся" на среднее положение. Постановка задачи для плоских решёток произвольных профилей специально обсуждается в работе Курзина [17].

Первые реализованные постановки с достаточно полным учётом граничных условий изложены в работах [72], [73], [74]. Реализован метод конечных разностей. Трудности: (1) в силу сложности области расчётная сетка теряет в некоторых местах области регулярность, (2) спектральные свойства разностного оператора могут не аппроксимировать спектральные свойства оператора исходной задачи [23], [3]. Этого недостатка лишен метод конечных элементов (МКЭ). Другие плюсы: (1) простота удовлетворения граничных условий (2) разбиение универсальное (3) разреженная структура матрицы системы. Этот подход последовательно реализован в работах [54], [28]. Результаты позволили создать программу инженерных расчётов НАХ - её описание имеется в [4].

Представляет интерес развитие метода на случай пространственного обтекания венца лопастей.

Первый расчёт пространственных НАХ проведен Гореловым Д.Н. для решётки пластин, совершающих малые неравномерные по размаху колебания в однородном потоке газа [9]. Применялась техника разложения искомого решения в ряд по функциям Матье. Другой метод предложен Рябченко В.П. в работе [32]. Для пространственного осевого венца, лопасти которого представляют части винтовых поверхностей таких, что невозмущенное течение через венец является однородным, применён метод дискретных вихрей. Метод отличает способ удовлетворения условия непротекания на внешних и внутренних цилиндрических обводах: вихревая система на лопастях и вихревой пелене отражается относительно обводов. Развитие этого подхода изложено в [31]-[34].

Общий случай задачи о малых колебаниях лопастей характеризуется, во-первых, неоднородным распределением стационарных скоростей на поверхности лопасти. Во-вторых, трёхмерный характер течения проявляется в переменной по высоте лопасти амплитуде разрыва потенциала, что приводит к "двунаправленной" вихревой пелене. Можно даже считать, что имеется два семейства свободных вихрей, сходящих с задней кромки и двигающихся согласно полю стационарных скоростей. Оси вихрей первого семейства направлены (приближённо) перпендикулярно осевым обводам, - они отражают изменение циркуляции вокруг лопасти в процессе колебаний. Другое семейство возникает из-за перетекания жидкости вдоль размаха лопасти - оси вихрей располагаются в плоскости пелены перпендикулярно задней кромке.

Следующая особенность - замыкающее задачу условие Жуковского-Кутта на задних кромках лопастей венца. Им определяется амплитуда разрыва потенциала на кромках. В случае плоских решёток в силу линейности оператора задачи решение является суммой двух компонент: непрерывной бесциркуляционной и разрывной. Напрашивается подобный подход для пространственной задачи: (1) найти непрерывную составляющую с условием непротекания на лопасти. (2) найти составляющие с единичным разрывом на каждом уровне разбиения по высоте. (3) взять линейную комбинацию полученных решений с константами, такими, чтобы удовлетворить условие Жуковского-Кутта на всех уровнях. Расчёты показали, что такой подход не срабатывает, так как коэффициенты для комбинации решений нужно икать при помощи решения линейной си-темы, элементы которой есть функции с особенностью в окрестности задней кромки.

Как отмечалось, нестационарные характеристики зависят от основного стационарного потока: во-первых, распределение стационарных скоростей по лопасти входят в граничные условия, во-вторых, нестационарные вихри, сходящие с задних кромок переносятся стационарным течением. Поэтому его определение является частью задачи. Представляет она и самостоятельный интерес.

Работы по методам определения пространственного течения в тур-бомашинах принято вести от работы [70] - квазитрёхмерная технология, расчёты проводятся последовательно для течений в "тонких" слоях. Осе-симметричное в меридиональном слое, приближённо являющемся средней поверхностью тока. Затем в построенном по осесимметричному течению цилиндрическом "тонком" слое, расчёт в котором позволяет учесть форму профилей и, наконец, расчёт в поперечном каналу слое, позволяющий определить вторичные течения. Решение в каждом из трёх слоев уточняет решение в двух других. Применяется в самых различных вариантах и содержательных контекстах, например, [40] - для нескольких ступеней со стыковкой условий (склейкой) на границах ступеней; [14] - осесимметричный в меридиональной плоскости МКЭ; [13] - слой переменной толщины на осесимметрической поверхности. [60], [57] - трансзвуковое течение.

Много работ посвящено определению течения в поперечных каналу плоскостях - так называемые вторичные течения. Этому вопросу неизменно уделяется внимание в экспериментальных и теоретических исследованиях пространственной структуры потока, [6] - монография, [5] -расчёт в направляющем аппарате, [61] - эксперимент.

Возникновение вторичных течений принято рассматривать в первую очередь как результат вязкого взаимодействия жидкости или газа с твёрдыми поверхностями межлопаточного канала - поверхностями лопастей и цилиндрических обводов. Действительно, к примеру, задача о натекании пограничного слоя с внутреннего обвода на угол в месте сопряжения с поверхностью лопасти в окрестности задней кромки [11] может быть рассмотрена только в рамках модели вязкой среды. Но вклад поверхности лопастей в образование вторичных течений можно учесть в рамках модели идеальной жидкости или газа. Действительно, наблюдаемая картина обтекания лопастных систем со сходом потока с задних кромок, возможная лишь в силу вязких процессов на поверхности лопасти, - в отсутствии вязкости реализуется применением условия Жуковского-Кутта на задней кромке; при этом вокруг лопасти возникает в общем случае переменная по высоте лопасти циркуляция скорости, а с кромки сходят свободные вихри, образующие вихревую пелену. Возникающая картина течения включает и перетекание в поперечных потоку плоскостях.

Таким образом, без учёта влияния свободных вихрей и положения пелены, нельзя получить правильную картину пространственного обтекания. В предположении идеальности жидкости (газа) вихревая пелена стационарного течения есть поверхность контактного разрыва вектора скорости. Если предположить, что вне поверхности пелены вихри отсутствуют и энтропия постоянна, то есть течение потенциально, тогда в силу ненулевой циркуляции скорости вокруг лопасти потенциал терпит разрыв на пелене. Рассмотрим, какие подходы предлагались для учёта течения за решёткой лопастей. Самое раннее - [69] уже упомянутый выше способ: линейная комбинация решений с единичным разрывом потенциала скоростей на уровнях дискретизации по высоте. Имеются попытки применения этого подхода: [56], [64]. Очевидно, что применение его возможно для области с предписанным положением пелены, или же требуется итерационная процедура уточнения, на каждом шаге которого требуется решить I +1 задачу (I - число уровней дискретизации по высоте), что нерационально. Дело осложняется тем, что вихревая пелена неустойчива [2].

Сформулируем цель диссертационной работы: Построить эффективный алгоритм численного решения задачи определения НАХ пространственной вращающейся решётки лопастей произвольной формы, совершающих малые по амплитуде колебания по заданной форме и с заданной частотой, со сдвигом фазы между соседними лопастями, в условиях безотрывного обтекания потоком идеальной жидкости.

На путях достижения цели требуется решить следующиие задачи:

1. Осуществить постановку краевых задач определения основного течения и возмущённого нестационарного течения в первом (линейном) приближении.

2. Построить алгоритм численного решения вспомогательной задачи нахождения параметров стационарного обтекания, скорости которого входят в граничные условия для нестационарной составляющей течения.

3. Построить алгоритм численного решения задачи определения потенциала скоростей возмущённого колебаниями лопастей течения.

В соответствии с целью и задачами диссертации, работа состоит из введения, трёх глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача расчёта аэродинамических характеристик решётки произвольных лопастей, колеблющихся в потоке идеальной жидкости.

Осуществлена постановка краевых задач определения основного течения и возмущённого нестационарного течения линеаризацией на стационарном течении в предположении малости амплитуды колебаний лопастей по гармоническому закону. Выведены граничные условия краевых задач условия на поверхностях лопастей, на пелене, на задней кромке.

Так как в постановке граничных условий нестационарной задачи участвуют скорости стационарного течения, рассмотрена задача пространственного обтекания решётки стационарным потоком с учётом влияния вихревой пелены. Течение предполагалось потенциальным. Предложена постановка задачи, в которой вихревая пелена трактуется как поверхность контактного разрыва поля скоростей и реализована итерационная процедура определения распределения разрыва потенциала на задней кромке и положения вихревой пелены. Расчёты подтвердили, что распределение скоростей на поверхности лопастей и их аэродинамические характеристики в первую очередь определяется распределением циркуляции вдоль размаха лопасти, углом выхода потока - во вторую, и в меньшей степени дальнейшей эволюцией пелены.

Приближённое решение задачи определения комплексной амплитудной функции ищется в ограниченной области, содержащей межлопаточный канал. Реализована итерационная процедура для установления распределения величины разрыва функции на задней кромке для выполнения условия Жуковского-Кутта. Использован метод конечных элементов, базисом которых являются кусочно-линейные функции, определённые на тетраэдрах разбиения расчётной области.

Корректность постановки и программной реализации подтверждена сравнением с результатами, полученными ранее другими авторами.

Работа апробирована на XI (Ужгород, 15-17 сентября 1987 г.) и XIII (Севастополь , 31 мая - 2 июня 1991 г.) [45] Всесоюзных конференциях по аэроупругости турбомашин, на седьмом 7th ISUAAAT (Fukuoka, Japan. September 25-29, 1994) и одиннадцатом ISUAAAT-2006 (Moscow, Russia. September 4-8, 2006) международных симпозиумах по нестационарной аэродинамике, аэроакустике и аэроупругости турбомашин; на юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций - СибНИА, Новосибирск, 15-17 июня 2004 г. Апробации стационарной задачи в потенциальной постановке - на региональной научно-технической конференции "Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем", Калуга, 23-24 октября 1990 г. [46], на Всесоюзной школе-семинаре по механике, Владивосток, 1991 г. [47]; задачи о переносе завихренности - на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98), Новосибирск, 22-27 июня 1998 г. [48].

Постановка задачи и результаты обсуждалась на семинарах лаборатории аэроупругости Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, совместном семинаре лаборатории математического моделирования в механике омского филиала Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН и кафедры математического моделирования ОмГУ им. Ф.М.Достоевского.

Результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [12], [49], [59], [50], [51], [20], [63].

1. Белоцерковсий С.М., Гиневский А,С,, Полонский Я.Е. Аэродинамические силы, действующие на решётку профилей при нестационарном обтекании // Промышленная аэродинамика. Вып. 20. М.: Обо-ронгиз. 1961. С. 6-36.

2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. -758 с.

3. Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963. - 488 с.

4. Гидродинамика решёток в нестационарном потоке. Теоретическое исследование нестационарных гидродинамических сил, действующих на лопатки турбомашин в потоке газа // Отчет о НИР / Руководитель Курзин В.Б. №ГР 01860075782. Новосибирск, 1989. -166 с.

5. Гнесин В.И., Соколовский Г.А. Расчёт вторичных течений невязкого газа в пространственных решётках турбомашин // Проблемы машиностроения. Киев, 1983. №19. С. 91-95.

6. Гречаниченко Ю.В., Нестеренко В.А. Вторичные течения в решётках турбомашины. Харьков: Вища школа, 1983. - 119 с.

7. Горелов Д.Н. О расчёте аэродинамической интерференции системы тел в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. №5. С. 56-68.

8. Горелов Д.Н., Доминас JI.B. Расчёт аэродинамических сил и моментов, действующих на решётку пластин, колеблющихся в плоском потоке несжимаемой жидкости // Изв.'АН СССР. Механика и машиностроение. 1965. №3. С. 67-76.

9. Горелов Д.Н., Курзин В.В., Сарен В.Э. Аэродинамика решёток в нестационарном потоке. Новосибирск: Наука, 1971. - 272 с.

10. Горелов Д.Н., Курзин В.В., Сарен В.Э. Современное состояние аэродинамики решёток в нестационарном потоке // Аэродинамика тур-бомашин. Сб. статей. Киев: Наукова думка, 1980. С. 36-46.

11. И. Гуревич Ю.Г., Шубин С.В.О взаимодействии пограничных слоёв в трёхмерных течениях // МЖГ. 1988. №3. С. 63-86.

12. Ершова JI.H. и др. К расчёту пространственного сжимаемого идеального газа в рабочих колёсах турбомашин // Гидродинамика больших скоростей: Труды 3 Всесоюзной школы-семинара. Красноярск, 1987. С. 92-95.

13. Заболотный Ф.Г. Расчёт установившегося осесимметричного вихревого течения несжимаемой невязкой жидкости в радиально-осевой турбомашине // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. №3. С. 147-155.

14. Курзин В.Б. Решение задачи о неустановимшемся обтекании решётки телесных профилей методом склеивания // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №3, С. 64-76.

15. Курзин В.Б. Аэродинамика решёток в нестационарном потоке // Динамические задачи механики сплошных сред: Сб. статей. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1978. С. 116-126.

16. Курзин В.Б. Постановка задачи о малых колебаниях решётки произвольных профилей в дозвуковом потоке газа // Тр. ЦИАМ. 1984. №1093. С. 49-50.

17. Курзин В.Б., Климина J1. А. Аэроупругость турбомашин: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1968-1982 гг. Новосибирск, 1983. - 154 с.

18. Курзин В.В., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачёва Л.А. Собственные колебания лопастей однородной решётки гидротурбин в жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. №2. С. 80-90.

19. Курзин В.В., Толстуха А.С. К расчёту нестационарных аэродинамических характеристик вращающейся решётки колеблющихся лопастей в потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН. МЖГ. 2005. №1. С. 40-52.

20. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ. 1932. Вып. 118, С. 68-96.

21. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 534 с.

22. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

23. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. - 424 с.

24. Мусатов В.В, К расчёту нестационарного обтеканя решёток профилей в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. №3. С. 166-181.

25. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.Ленинград: Изд. АН СССР, 1947. - 258 с.

26. Овсянников JI.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.- 368 с.

27. Осипов А.А. Метод расчёта нестационарных аэродинамических нагрузок на решётке телесных профилей, колеблющихся в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость лопаток машин: Сб. статей. Вып. 6. -Тр. ЦИАМ. 1991. №1293. С. 35-50.

28. Рябченко В.П. Расчёт пространственного обтекания лопаточного венца осевой турбомашины потенциальным потоком несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1979. №2. С. 119-127.

29. Рябченко В.П. Аэродинамические силы, действующие на лопасти пространственной кольцевой решётки при нестационарном обтекании // ПМТФ. 1979. №4. С. 89-97.

30. Рябченко В.П. Расчёт квазистационарных аэродинамических характеристик кольцевой решётки в дозвуковом потоке // Тр. ЦИАМ. 1983. №1064. С. 26-38.

31. Рябченко В. П. Аэродинамические характеристики пространственной кольцевой решётки лопастей, колеблющихся со сдвигом фазы в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость турбомашин: Сб. статей Новосибирск, 1984. С. 48-56.

32. Самойлович А.С. К расчёту нестационарного потока вокруг решётки произвольных профилей, вибрирующих с произвольным сдвигом фаз // ПМ. 1962. №1. С. 66-79.

33. Самойлович Г. С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решёток турбомашин. М.: Наука, 1969. - 444 с.

34. Саразетдинов Т.К. К обтеканию колеблющихся решёток // Тр. КАИ. 1958. Вып. 38. С. 66-70.

35. Сарен В.Э. Обтекание решётки тонких криволинейных профилей нестационарным потоком несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. М. С. 64-69.

36. Седое Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1980. 448 с.

37. Сироткин А.Я., Степанов Г.Ю. Установившееся осесимметричное вихревое течение невязкой жидкости в многоступенчатых турбома-шинах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. №6. С. 13-15.

38. Систо Ф. Обзор исследований по механике жидкости, связанных с аэроупругостью в турбомашиах // Теоретические основы инженерных расчётов: серия Д. 1977. Т. 99. №1. С. 6-36.

39. Скороспелое В.А., Турук П.А. Сплайны в задачах проектирования и изготовления рабочих колёс гидротурбин // Вычислительные системы. Новосибирск, 1977. Вып. 2. С. 56-64.

40. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решёток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. - 512 с.

41. Треногий В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984. - 256 с.

42. Толстуха А.С. Расчёт пространственного течения жидкости через решётку колеблющихся лопастей // Аэроупругость турбомашин: Тезисы докладов XIII Всесоюзной конференции. Тр. ЦИАМ. 1991. №1294. С. 7.

43. Толстуха А.С. Расчёт пространственного дозвукового течения газа через венец турбомашины для определения скоростей и углов выхода потока // Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем: Тезисы докладов. Калуга, 1990. С. 126.

44. Толстуха А.С., Файзуллин Р.Т. Применение МКЭ для определения потенциального течения в венце турбомашины // Тезисы Всесоюзной школы-семинара. Владивосток, 1991. С. 16.

45. Толстуха А.С. Расчёт пространственных течений с распределённой завихренностью // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. Часть II. С. 126.

46. Толстуха А.С. Пространственное трансзвуковое течение в осевом венце турбомашины // Фундаментальная и прикладная математика: Сб. научных трудов. / Ред. А.К.1>ц. Омск: ОмГУ, 1994. С. 130-135.

47. Толстуха А.С. Перенос завихренности: вариационный подход // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 1998. Вып. 2. С. 116-123.

48. Толстуха А.С. Обтекание решёток произвольных лопастей идеальной несжимаемой жидкостью // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 2003. Вып. И. С. 67-87.

49. Тыркова Н.П., Холмянский И.А. Автоматическое разбиение некоторых трехмерных областей на конечные элементы // Проблемы прочности. 1982. №7. С. 60-61.

50. Фершинг Г. Основы аэроупругости. М.: Машиностроение, 1984. -599 с.

51. Файзуллин Р. Т. Расчёт методом конечных элементов нестационарных аэродинамических характеристик решёток в дозвуковом потокеидеального газа // Аэроупругость турбомашин: Сб. статей. Новосибирск, 1984. С. 57-65.

52. Хаскинд М.Д. Колебания решётки тонких профилей в несжимаемом потоке // ПММ. 1958. №2. С. 236-246.

53. Agrawal D.P., Yahya S.M., Asharya S. Analysis of flow in radial rotor of a cenrifugal turbomachinery using finite element method / hidro-turbo'89. 1989. P 85-95.

54. Cedar R.D., Stow P. Quasi-3d addings to finite element method for calculations of the transonic flow in cascades of the turbomachine / Int. J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1985. Vol. 5. No. 2. P 101-114.

55. Chang C.C., Chu W.H. Aerodynamic interference of cascade blades in sinchronized oscillation / Journ. of Appl. Mech. 1955. No. 4. P 166-172.

56. R.T. Faizullin, A.S. Tolstukha Unsteady 2 and 3-dimensional Calculations in Cascades / Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Turbo-machines. Tokyo: Elsevier, 1995. P 39-53.

57. W.G. Habashi, G.G. Yongson A transonic quasi-3D analysis for gas turbine engines including split-flow capability for turbofans / Int.'J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1983. Vol. 3. No. 2. P 1-21.

58. T. Kawai, T. Adachi, K. Akashita Structure and Decay of Secondary Flow / Bull. JSME. 1985. Vol. 28. No. 242. P 1611-1634.

59. Коуа М., Kotake S. Numerical analysis of fully three-dimensional periodic flows through a turbine stage / Trans. ASME: J. Eng. Gas Turbine and Power. 1985. Vol. 107. No. 4. P 945-952.

60. V.B.Kurzin, A.S. Tolstukha Some Calculations of Unsteady Aerodynamic Characteristics of Cascades with Oscillating Blades / Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics. Moscow: TORUS PRESS Ltd., 2006. P 115-127.

61. B. Maiti, V. Seshardi, R.C. Malhotra Analysis of flow through centrifugal pump impellers by finite element method / Applied Scientific Reserch. 1989. Vol. 46. P 105-126.

62. Nickel K. Ein Sonderfall des senkrechten Profilgitters bei beliebigen in-stationaren Bewegungen / Ing. Archiv. 1957. No. 2. P 134-139.

63. Sisto F. Unsteady aerodynamic reactions on airfoil in cascade / J AS. 1955. No. 5, P 266-251.

64. Songen H. Luftkrafte an einen schwingengen Schaufel kranzkleiner Teilung / ZAMP. 1953. Bd. 4. No. 4. P 66-77.

65. Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Turbomachines / Edited by Y. Tanida, M. Namba. Tokyo: Elsevier. 1995. 808 p.

66. Worster D.M. The calculation of fully three-dimensional flows in impellers using finite element method / Rep. from Dept. of Mech. Eng. at Heriot Watt Univ. U.K. 1973. 366 p.

67. Wo C.H. A general theory of three-dimensional flow in a subsonic and supersonic turbomachines of axial, radial and mixed flow types / Trans. ASME. 1952. No. 74. P 1363-1380.

68. Woods L.C. On unsteady flow through a cascade of aerofoils / Proc. of the Royal Soc. of London: Series A. 1955. Vol. 228. No. 1172. P 50-65.

69. Verdon J.M., Caspar J.R. Subsonic flow past an oscillating cascade with finite mean flow deflection / AIAA J. 1980. Vol. 18. No. 5. P 540-548.

70. Verdon J.M., Caspar J.R. Numerical treatment of unsteady subsonic flow past an oscillating cascade / AIAA J. 1981. Vol. 19. No. 12. P 1531-1539.

71. Verdon J.M., Caspar J.R. Development of linear unsteady aerodynamic analysis for finite-deflection subsonic cascades / AIAA J. 1982. Vol. 20. No. 9. P 1259-1267.

72. Zannetti L., Ayele Т. T. Time-dependent computation of the Euler equations for designing full 3D turbomachinery blade rows, including the case of transonic shock-free design / AIAA Pap. 1987. No. 7, P 1-7.