автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение методов теории классификации объектов для оценки структуры пространства параметров

Р73 ОД \ ДНК 1993

На правах рукописи

РЕДЬКО Ирана Николаевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 05.13.1б-Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н. Новгород, 1998 г.

Работа выполнена на кафедре теории колебании и автоматического регулирования; Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского(ННГУ).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Шалфеев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Кирьянов КГ.,

доктор технических наук Комаров В.Н.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Зашита состоится« ^ 3 » 1998 г в -час,

на заседании диссертационного совета Д^ОбЗ.77.09 & Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского, по адресу: 603600, Н.Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина 23 корпус Ч аудитория: №

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского университета.

Автореферат разослан« »__1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Черепенников В.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с изучением условий устойчивого геционирования сложных систем актуальными становятся вопросы деления в пространстве параметров областей, соответствующих различным шмам работы таких систем. Решение этих вопросов базируется на ильном изучении динамики соответствующих нелинейных математических целей. Родоначальники классической нелинейной динамики - А.Пуанкаре, ^.Ляпунов, Дж.Биркгоф, Б.Ван дер Поль, Л.И.Манделыптэм, \.Андроков, Н.Н.Есголгсбсв, Н.М.Крыло», Ю.И.Мтропольский ¡работали эффективные методы аяалюа нелинейных динамических систем, результаты, полученные на этом этапе, касались в основном двухмерных ;тем или предполагали определенное соотношение параметров, при горых рассмотрение многомерной математической модели сводилось к ^смотрению нелинейных дифференциальных уравнений не выше второго рядка.

Дальнейшее развитие качественной теории в рамках школы А.Андронова- Л.И.Мандельштама нашло свое отражение в работах .И-Неймарка, Н.Н.Баутина, Е.А.Леонтович, Л.П.Шильникова, С.Афраймовича, и других представителей этой школы. Появление в начале -х годов вычислительной техники дало мощный толчок развитию сленных методов исследования структуры фазового пространства гогомерных динамических систем и методов определения бифуркационных ивых и поверхностей. В работах Белюстикой Л.Н., Баталовой З.С., А.Леонова и др. разработаны методики, которые позволяют достаточно дробно исследовать структуру фазового пространства некоторых типов (намических систем Однако, в целом, выделение в пространстве параметров ластей, соответствующих заданным свойствам исследуемого объекта, талкивается на серьезные трудности, связанные как с высокой дмерностью фазового пространства и пространства параметров так и с тцественно нелинейным характером модели.

Одновременно с появлением ЭВМ возник и начал бурно развиваться идея математики, который получил название теории классификации )'ъектов. Классическая постановка задачи теории классификации зедгголагает создание обучающего множества из объектов, для которых гриорно известно, какому классу они принадлежат, вывод решающего завила определенного качества на основе информации об объектах 5учающего множества, установление класса новых объектов в соответствии с элученным правилом. Качество решающего правила характеризуется фоятностью ошибочной классификации новых объектов, отличных от эъектов обучающего множества. Настоящая работа посвящена разработке ового подхода к исследованию структуры фазового пространства

динамических систем методами теории классификации объектов определения эффективности применения этих методов для оценки структур заданной области пространства параметров нелинейных динамически систем. В работе рассмотрена постановка задачи использования метода теории классификации для оценки структуры заданных областей параметре для динамических систем, математической моделью которых являете система обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматриваютс вопросы эффективности и качества такой оценки, приводятся результат применения разработанного подхода для оценок областей параметре конкретных нелинейных систем. Эффективность применения методов теори классификации проиллюстрирована на математической модели систем] частотно-фазовой автоподстройки частоты и на кусочно-линейной систем дифференциальных уравнений третьего порядка (осциллятор Чуа).

Практическая ценность. Предложенный способ оценки структур: заданных областей параметров позволяет по результатам исследовани структуры фазового пространства в отдельных точках пространста параметров предсказывать динамические свойства системы для некоторы областей параметров, что является важным для исследования динамик объектов, математическими моделями которых являются сложны! существенно нелинейные многомерные дифференциальные уравнение Результаты оценки структуры областей параметров, полученные методам теории классификации можно рассматривать как основу для более детальног исследования структуры фазового пространства системы и для определенв различных динамических свойств.

Вопросы, рассмотренные в диссертации, являются частью научны исследований, проводимых на кафедре теории колебаний ННГУ.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждалис на XXXVI Всесоюзной сессии, посвященной Дню радио ( Москва, 1981), н Всесоюзной конференции "Проблемы повышегам эффективности и качеств систем синхронизации. " (Каунас - 1982, Львов - 1984), на VIII Всесоюзно конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( Горький, 1988), н Научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1993), на 4-конференции "Нелинейные колебания в механических системах"(нижни Новгород, 1996) Н2. научной конференции по радиофизике (Нижни Новгород, 1997).

Публикации и апробация результатов. По теме диссертаци опубликовано 13 печатных работ.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из Введена трех Глав и Заключения. Объем диссертационной работы 101 страница. И них 85 страницы основной части, 9 страниц рисунков, 13 страниц списк литературы (110 наименований).

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- постановка задачи и методика оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов для систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

- постановка и вариант решения задачи оптимизации качества оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

- применение разработанного подхода для анализа системы частотно-фазовой автоподстройки частоты, математической моделью которой является автономная нелинейная система трех дифференциальных уравнений с одной периодической координатой,

- применение разработанного подхода для анализа системы Чуа, математической моделью которой является автономная кусочно-линейная система дифференциальных уравнений третьего порядка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, формулировку целей исследования, оценку научной новизны, краткое изложение содержания работы. Перечислены основные положения выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена постановке задачи оценки структуры заданных областей параметров в терминах теории классификации объектов.

П. 1.3 и 1.5 содержат обзор традиционных методов исследования динамических систем и методов решения задачи классификации объектов.

В п. 1.3 приведена разработка основных этапов постановки задачи оценки структуры заданных областей параметров динамических систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений методами теории классификации объектов.

В п. 1.4 описан способ оценки качества полученного разбиения заданных областей параметров на области с различной структурой фазового пространства методами теории классификации.

В пункте 1.1 приведено описание алгоритмов, применяемых в процессе исследований.

В главе 2 рассмотрены особенности применения методов теории классификации объектов для оценки структуры заданных областей параметров диссипативной нелинейной неавтономной динамической системы с одной периодической координатой. Вводятся описания численных оценок установившихся движений, возможных в системе рассматриваемого типа, рассматриваются особенностивывода и оценки качества решающих правил. В качестве примера динамической системы указанного типа рассмотрена система частотно-фазовой автоподстройки частоты в частном случае одинаковых постоянных времени в частотном и фазовом кольцах:

Г С)

ш

и в общем случае: дх

тгу

¿у . Л у Ъ ,, . — = у-мпх—^ — ф№Лу)+г (2)

ш ее

ск _ 2 (1 - ^Хбш* - ^ )

Л £■

Динамика рассмотренных в работе систем частотно-фазовой автоподстройки частоты рассмотрены достаточно подробно. В работах В.Д.Шалфеева имеются результаты исследования динамики системы и структуры пространства параметров в частном случае, когда математической моделью системы является система дифференциальных уравнений второго порядка. В.Н.Некоркин исследовал динамику системы в общем случае и указал типы установившихся движений, возможных в данной системе

Рассмотрение математических моделей систем частотно-фазовой автоподстройки частоты в данной работе позволяет продемонстрировать эффективность применения методов теории классификации для оценки структуры областей параметров, сравнить их с оценками, полученными другими способами и одновременно получить некоторые новые количественные результаты оценки разбиения пространства параметров на области, соответствующие различной структуре фазового пространства.

Установлено, что для системы (1) минимум вероятности ошибки классификации разделяющей поверхностью хотя бы одного из обнаруженных классов достигается на обучающей выборке объема 1=108 и равен Рт]п=0,64. В пространстве параметров выделены области трех типов или три класса: класс 1 - параметры, соответствующие существованию в фазовом пространстве единственного устойчивого состояния равновесия, класс 2 -параметры, при которых в фазовом пространстве существую устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл, класс 3: параметры, при которых в фазовом пространстве существует устойчивое состояние равновесия и два устойчивых предельных цикла. Оценки областей получены в виде четырехмерных кусочно-линейных поверхностей.

Установлено, что для системы (2) минимум вероятности ошибки классификации разделяющей поверхностью хотя бы одного из обнаруженных классов достигается на обучающей выборке объема 1=270 и равен Рт;п=0,56.

В пятимерном пространстве параметров выделены области трех типов или три класса; класс 1: параметры, соответствующие существованию в трехмерном фазовом пространстве единственного устойчивого состояния равновесия, класс 2: параметры, при которых в фазовом пространстве существую устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл, класс 3: параметры, при которых в фазовом пространстве существует устойчивое :остояние равновесия и два устойчивых предельных цикла. Оценки областей голучены в виде пятимерных кусочно-линейных поверхностей.

В Главе 3 излагается постановка и решение задачи оценки структуры ¡аданных. областей параметров для автономной, кусочно-линейной системы щфференциальных уравнений . В качестве примера рассмотрена система Чуа:

I±с

— = а(у - т\ - 05{т§ - т\)^х + 1| - -1|]

йу

-£ = х-у + г (3)

й2 а

-1Г~Ру

В работах Chua L.O. и соавторов получены результаты разбиения шоскости параметров (а,Р) этой системы при ш0=0.142857, mi=0.285714 на (бласти с различным количеством установившихся движений разного типа.

Для модели (3) проведено сравнение результатов разбиения плоскости 1араметров (а,Р), полученные Chua L.O. с оценкой структуры этой области, юлучешюй методами теории классификации объектов. В этом случае рассматривалось разбиение плоскости двух параметров. Разделяющая эункния оптимального качества получается на выборке объема 1=195 точек, гри этом вероятность ошибки составляет Р=0,66. В заданной области [араметров выделено пять классов - областей параметров, соответствующих шличной структуре фазового пространства.

Получены новые количественные оценки разбивши четырехмерной власти параметров А (0< а <35, 0< (3 <15, -5< т0 ¿5, 0.01< mi <5). Минимальная вероятность ошибки Р=0.855 получена на обучающем шожестве объемом 1215 точек параметров. В четырехмерной области [араметров выделено семь классов. Высокая вероятность ошибки объясняется начительным количеством классов и сравнительно небольшой площадью властей в каждом классе, что приводит к появлению достаточно большого :оличества точек, близких к бифуркационным значениям параметров.

Известно, что структура фазового пространства при значениях параметров, близких к бифуркационным "размыта", что обуславливает высокую вероятность ошибки определения типа установившегося движения для каждой исследуемой траектории. Оценки областей параметров получены в виде четырехмерной кусочно-линейной функции. Результаты проиллюстрированы проекциями структуры разбиения пространства параметров на различные плоскости параметров. Как для частного, так и для общего случая получены оценки структуры заданной области параметров в виде кусочно-постоянных решающих функций оптимального качества. Приводятся проекции решающих функций на плоскости различных значений параметров.

Заключение содержит основные результаты работы и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В процессе решения поставленных задач получены следующие новые результаты.

1. Разработана постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

2. Разработана методика решения задачи оценки структуры заданной области параметров диссипативной нелинейной системы, математической моделью которой являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Разработанный подход позволяет:

в заданной ограниченной области пространства параметров диссипативной системы выделить подобласти, соответствующие различной структуре фазового пространства;

получить оценки границ указанных областей в виде уравнений поверхностей в пространстве параметров рассматриваемой системы.

3. Предложен вариант решения задачи оптимизации качества оценки областей существования установившихся движений.

Установлено, что при некоторой длине обучающего множества вероятность ошибки классификации достигает минимального значения. Уравнение разделяющей функции, полученное на обучающем множестве такой длины целесообразно выбрать в качестве оценки границ классов.

4. Основные возможности разработанного способа оценки пространства параметров проиллюстрированы ка конкретных матсматичсских моделях. 13 качестве объектов исследования были использованы модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты; а так же модель кусочно-линейной автономной системы Чуа.

Выбор моделей обусловлен тем, что для них известны некоторые результаты исследования структуры фазового пространства традиционными методами, и результаты исследования структуры пространства параметров в целом, что позволяет сравнить эти результаты с оценками, полученными

методами теории классификации. Разработанный подход позволяет также для этих систем получить некоторые новые количественные оценки структуры заданных областей параметров.

5. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности применения предлагаемого метода для получения количественных оценок структуры ограниченной области параметров диссипатшзных нелинейных систем, математической моделью которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Проведенное исследование позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый способ оценки полезен для быстрого предварительного "просмотра" заданной области пространства параметров и выявления наиболее характерных особенностей рассматриваемой динамической системы. Результаты такого исследования с одной стороны дают общую характеристику структуры пространства параметров, с другой - служат базой для более детального изучения характерных особенностей и для обнаружения более тонких структур.

7. В работе рассмотрен способ выделения в пространстве параметров областей, соответствующих неизменной структуре фазового пространства. Частным случаем такой постановки задачи является задача выделения областей параметров, соответствующих заданным динамическим свойствам системы, например областей глобальной устойчивости состояний равновесия.

8. Разработанный способ оценки структуры заданной области параметров апробирован на нелинейных динамических системах 2,3-го порядка. Традиционные аналитические и численные методы исследования динамических систем позволяют подробно исследовать динамику систем 1,2 порядка и определять структуру фазового пространства для отдельных точек параметров у систем более высокого порядка. Для существенно, нелинейных систем с высокой размерностью фазового пространства и пространства параметров решение задачи определения структуры пространства параметров значительно затруднено. Предложенный способ оценки структуры области параметров позволяет для таких систем целенаправленно получать информацию об отдельных динамических свойствах таких систем и структуре фазового пространства в целом.

9. В диссертационной работе представлен способ опенки структуры фиксированной области параметров методами теории классификации объектов только для динамических систем, математическими моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Представляется перспективным распространение полученных результатов на другие типы динамических систем, в первую очередь на отображения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1.Редько И.Н., Шалфеев В.Д. О динамике нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // XXXVI Всесоюзная сессия, посвященной Дню радио, тезисы доклада. Москва, 1981. С. 48.

2.Редько И.Н. О динамике нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты при действии гармонической помехи // Всесоюзная конференция "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", тезисы доклада. Каунас, 1982. С. 39

3.Редько И.Н. О величине полосы захвата двухкольиевой системы фазовой синхронизации // Всесоюзная конференция "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", тезисы доклада Львов, 1984. С. 41

4.0сипов Г.В., Панченко И.О., Редько И.Н., Хламова О.В. Шалфеев В.Д. Программный комплекс управления пакетами прикладных программ для решения задач моделирования динамики систем // Сборник "Оптимизация и моделирование в САПР", 1985, изд. ГГУ. С. 127-134

5.Редько И.Н. О величине полосы захвата системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Сборник "Теоретическая электротехника", №4, изд-во Львовского государственного университета, 1986. С. 58-61

6.Редько И.Н. Применение методов классификации для исследования динамических систем // VIII Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики", тезисы доклада. Горький, 1988.

7.Редько И. Н., Шалфеев В. Д. О численной оценке области глобальной устойчивости в пространстве параметров уравнения маятникового типа // Сборник "Теоретическая электротехника", № 5, 1989, изд-во Львовского государственного университета. С. 87-94.

8.Система автоматизации расчетов динамических характеристик типовых систем фазовой синхронизации // Отчет о НИР "Автомат"(заключительный),НИИ ПМК; руководители Белюстина Л.Н., Шалфеев В.Д., № ГР 81054239, инв.№0286.0083932, Горький, 1986.

9.Расчет динамических характеристик системы фазовой синхронизации при приближенном учете запаздывания и характеристик помехоустойчивости системы синхронизации по задержке при воздействии структурной помехи // Отчет о НИР "Автоматика" (заключительный), НИИ ПМК, руководители Белюстина Л.Н., Пономаренко В.П., № ГР 0184.0022498; инв. Ks 0285.0069161, Горький, 1985.

Ю.Редько И.Н. Оценка области глобальной устойчивости систем частотно-фазовой автоподстройки частоты методами теории распознавания образов,

Научная конференция по радиофизике, ННГУ, Нижний Новгород, 1993. С. 86

П.РедькоИ.Н. Оценка области глобальной устойчивости уравнения маятникового типа методами теории классификации объектов // 4-я конференция "Нелинейные колебания в механических системах" ННГУ, 1996 г. С. 45-46.

12.Редько И. Н. Применение методов теории классификации объектов для оценок областей существования установившихся движений // Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения МТ.Греховой ННГУ, 1997г. С.40

13.Редько И.Н. Оценка области глобальной устойчивости цепочки систем фазовой синхронизации с взаимными связями методами теории классификации объектов. Изв. вузов, Радиофизика, №12, 1998.

М.Редько И.Н., Шалфеев В.Д. Применение методов теории классификации объектов для оценок областей существования установившихся движений, Вестник ННГУ, сер. Радиофизика (Нелинейная динамика - синхронизация и хаос), 1998г. (в печати)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 1

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 8

1.1. Обзор традиционных методов исследования структуры фазового пространства динамических систем. 8

1.2. Выделение групп подобных объектов методами теории классификации объектов. 12

1.3. Постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов. 14

1.4. Качество оценки структуры областей параметров динамических систем методами теории классификации объектов. 22

1.5. Методы и алгоритмы оценки структуры области параметров. 33 1.6 Выводы 41

2. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КООРДИНАТОЙ И ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ РАВНОВЕСИЯ РАЗНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА ПЕРИОДЕ. 42

2.1. Особенности динамики автономных диссипативных систем с одной периодической координатой. 42

2.2. Критерий классификации. Особенности структуры множества начальных условий. 43

2.3. Качество оценки структуры областей параметров. 44

2.4. Оценка структуры заданной области параметров в системе частотно-фазовой автоподстройки частоты. 48

2.5 Выводы. 60

3. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРОВ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ. 62 3.!. Критерий классификации и особенности создания обучающего множества. 62

3.3. Качество оценки структуры областей параметров. 64

3.4. Оценка структуры заданной области параметров системы Чуа для фиксированных значений та, ш,. 65

3.5. Изменение структуры заданной области параметров системы Чуа при изменении фиксированных параметров. 70 3.4.5 Изменение структуры фазового пространства системы Чуа в заданной области параметров. 81 3.4.7 Выводы. 83

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 88

ЛИТЕРАТУРА

92

Подписано в печать 10.11.98 г. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Усл.печ. 1л. Заказ 1358 Отпечатано ОПП ВВАГС Н.Новгород, пр Гагарина, 46

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

РЕДЬКО Ирина Николаевна

ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Шалфеев

Н. Новгород, 1997 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................1

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.........................8

1.1. Обзор традиционных методов исследования структуры фазового пространства динамических систем..............................................................8

1.2. Выделение групп подобных объектов методами теории классификации объектов...............................................................................12

1.3. Постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов................................................14

1.4. Качество оценки структуры областей параметров динамических систем методами теории классификации объектов...................................22

1.5. Методы и алгоритмы оценки структуры области параметров..........33

1.6 Выводы......................................................................................................41

2. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КООРДИНАТОЙ И ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ РАВНОВЕСИЯ РАЗНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА ПЕРИОДЕ..................................................................42

2.1. Особенности динамики автономных диссипативных систем с одной периодической координатой........................................................................42

2.2. Критерий классификации. Особенности структуры множества начальных условий........................................................................................43

2.3. Качество оценки структуры областей параметров.............................44

2.4. Оценка структуры заданной области параметров в системе частотно-

фазовой автоподстройки частоты................................................................48

2.5 Выводы......................................................................................................60

3. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРОВ

КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ...............................62

3.1. Критерий классификации и особенности создания обучающего множества.......................................................................................................62

3.3. Качество оценки структуры областей параметров.............................64

3.4. Оценка структуры заданной области параметров системы Чуа для фиксированных значений ш0, т1.................................................................65

3.5. Изменение структуры заданной области параметров системы Чуа

при изменении фиксированных параметров..............................................70

3.4.5 Изменение структуры фазового пространства системы Чуа в

заданной области параметров.......................................................................81

3.4.7 Выводы...................................................................................................83

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................88

ЛИТЕРАТУРА...................................................................................................92

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В связи с изучением условий устойчивого функционирования сложных систем актуальными становятся вопросы выделения в пространстве параметров областей, соответствующих различным динамическим свойствам системы. Структурные особенности современных систем требуют как можно более полного изучения соответствующих существенно нелинейных математических моделей. Родоначальники классической нелинейной динамики - А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, Дж.Биркгоф, Б.Ван дер Поль, Л.И.Мандельштам, А.А.Андронов, Н.Н.Боголюбов, Н.М.Крылов, Ю.И.Митропольский разработали эффективные методы анализа нелинейных динамических систем, но полученные результаты на этом этапе касались в основном двухмерных систем или предполагали определенное соотношение параметров, при которых рассмотрение многомерной математической модели сводилось к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений не выше второго порядка.

Дальнейшее развитие качественной теории в рамках школы А.А.Андронова- Л.И.Мандельштама нашло свое отражение в работах Ю.И.Неймарка, Н.Н,Баутина, Е.А.Леонтович, Л.Н.Белюстиной, Л.П,Шильникова, В.С.Афраймовича, Н.К.Гаврилова и других представителей этой школы. Развитие с начала 60-х годов вычислительной техники дало новый толчок для развития численных методов исследования структуры фазового пространства многомерных динамических систем и методов определения бифуркационных кривых для различных устойчивых многообразий. С 70-х годов интерес исследователей переключается на изучение хаотической динамики.

Методики, разработанные в рамках качественно-численных методов позволяют подробно исследовать структуру фазового пространства динамических систем при фиксированных значениях параметров, но

выделение областей параметров, соответствующих заданным свойствам исследуемого объекта наталкивается на трудности, связанные с высокой размерностью фазового пространства или существенно нелинейным характером модели.

Одновременно с появлением ЭВМ возник и начал бурно развиваться раздел математики, который получил название теории распознавания образов. Классическая постановка задачи теории классификации предполагает создание обучающего множества из объектов, для которых априорно известно, какому классу они принадлежат, вывод решающего правила определенного качества на основе информации об объектах обучающего множества, установление класса новых объектов в соответствии с полученным правилом. Качество решающего правила характеризуется вероятностью ошибочной классификации новых объектов, отличных от объектов обучающего множества.

Таким образом, сложилась ситуация, когда результаты полученные в качественной теории исследования нелинейных динамических систем позволяют подробно исследовать структуру фазового пространства динамической системы в отдельных точках параметров, а методы теории классификации объектов позволяют по результатам исследования отдельных точек параметров получить усредненную характеристику областей параметров, соответствующих заданным свойствам динамической системы.

Настоящая работа посвящена оценке эффективности применения методов теории классификации объектов для оценки структуры заданной области параметров нелинейных динамических систем. В работе рассмотрена постановка задачи использования методов теории классификации для оценки структуры областей параметров динамических систем, математической моделью которых является система обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматриваются вопросы качества такой оценки, приводятся результаты применения методов теории классификации для оценок областей параметров нелинейной автономной диссипативной

системы с одной периодической координатой и для кусочно-линейной системы Чуа. Эффективность применения методов теории классификации проиллюстрирована на математической модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты и на кусочно-линейной системе дифференциальных уравнений третьего порядка, известной как система Чуа, динамика которой при некоторых фиксированных значениях параметров подробно рассмотрена в работе [62].

Динамика рассмотренных в работе систем частотно-фазовой автоподстройки частоты рассмотрена достаточно подробно. В работах [37,53] имеются результаты исследования частных случаев математическими моделями которых являются системы дифференциальных уравнений второго порядка. В работе [53] установлены типы установившихся движений, возможных в данной системе в общем случае. Оценка структуры заданных областей параметров методами теории классификации объектов и сравнение полученных оценок с известными результатами позволяет проиллюстрировать эффективность применения методов теории классификации для оценки структуры областей параметров и получить некоторые новые количественные результаты разбиения пространства параметров на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства.

Изучение динамики системы Чуа также вызывает устойчивый интерес исследователей. Получены обобщающие условия возникновения, сохранения и разрушения странных аттракторов в фазовом пространстве системы. В связи с этим представляет интерес оценка областей существования странных аттракторов методами теории классификации и оценка общего разбиения областей параметров, содержащих области существования странных аттракторов. В работе [62] имеются результаты разбиения плоскости параметров т0,т] на области, соответствующие разной структуре фазового

пространства. В диссертационной работе на примере рассмотрения той же плоскости параметров продемонстрирована эффективность использования

методов теории классификации объектов для оценок таких областей, а также приводятся новые результаты разбиения решающими функциями заданной четырехмерной области параметров на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства.

Цель работы вытекает из актуальности темы и заключается в оценке эффективности применения методов теории классификации объектов для исследования структуры пространства параметров динамических систем; в разработке теоретических основ, алгоритмов и программных средств для оценки структуры областей параметров и для определения качества такой оценки.

Методы исследования. Согласно сформулированной цели диссертационной работы для исследования структуры фазового пространства динамических систем необходимо использовать методы качественной теории дифференциальных уравнений , метод точечных отображений, методы компьютерного моделирования, оценки структуры областей параметров выполнены методами теории классификации объектов.

Научная новизна диссертации. В процессе решения поставленных задач получены следующие новые результаты.

1 .Осуществлена постановка задачи оценки структуры областей параметров динамических систем в терминах теории классификации объектов.

2.Разработана методика оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов для систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.Предложен вариант решения задачи оптимизации качества оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

4.С помощью разработанных способов исследования, реализованных в программных средствах, получены оценки структуры заданной области параметров для системы частотно-фазовой автоподстройки частоты,

математической моделью которой является автономная нелинейная система трех дифференциальных уравнений с одной периодической координатой, и для автономной кусочно-линейной системы дифференциальных уравнений третьего порядка - системы Чуа.

Практическая ценность. Предложенный принцип оценки областей существования позволяет по результатам исследования структуры фазового пространства в отдельных точках параметров предсказывать динамические свойства системы в некоторых областях параметров, что является важным для исследования динамики объектов, математическими моделями которых являются существенно нелинейные многомерные дифференциальные уравнения. Результаты оценки структуры областей параметров, полученные методами теории классификации можно рассматривать как основу для более детального исследования структуры пространства параметров и фазового пространства системы и для определения различных динамических свойств.

Вопросы, рассмотренные в диссертации, являются частью научных исследований, проводимых на кафедре теории колебаний и автоматического регулирования ННГУ.

Публикации и апробация результатов по теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Материалы диссертационной работы обсуждались на XXXVI Всесоюзной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1981), на Всесоюзной конференции "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации. " (Каунас - 1982, Львов -1984), на VIII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( Горький, 1988), на Научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1993), на 4-й конференции "Нелинейные колебания в механических системах"(нижний Новгород, 1996), на научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1997).

Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, целей исследования, оценку научной новизны, краткое изложение содержания работы.

Первый раздел посвящен постановке задаче оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов. П.п. 1.1 и 1.2 содержат обзор традиционных методов исследования динамических систем и методов решения задачи классификации объектов. В пункте 1.4 описан способ оценки качества приближения границ областей параметров, соответствующих неизменной структуре фазового пространства, методами теории классификации. В пункте 1.5 приведено описание алгоритмов, применяемых в процессе исследований.

Во втором разделе рассматриваются особенности применения методов теории классификации объектов для оценки структуры областей параметров диссипативной нелинейной автономной динамической системы с одной периодической координатой. Вводятся описания численных характеристик установившихся движений, возможных в системе рассматриваемого типа, рассматриваются особенности вывода и оценки качества решающих правил. В качестве примера динамической системы указанного типа рассмотрена система частотно-фазовой автоподстройки частоты [53]. Для нее получены оценки границ областей параметров, соответствующих неизменной структуре фазового пространства в виде кусочно-постоянных решающих функций оптимального качества. Приводятся проекции решающих функций на плоскости различных значений параметров.

В третьем разделе излагается постановка и решение задачи оценки структуры областей параметров для автономной, кусочно-линейной системы дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрена система Чуа:

— = а(у - щх - О,5(т0 - щ)\\х +1| - \х -1|]

йу

— = х-у + г

Л

сЬ

Известны [62] результаты разбиения плоскости параметров (а,(3) этой системы при ш0=0.142857, ш1=0.285714 на области с различным количеством установившихся движений разного типа. Исследуемая область параметров включает большое количество узких подобластей. Это обстоятельство обуславливает необходимость исследовать структуру фазового пространства для значительного количества значений параметров, близких к бифуркационным. Фазовое пространство при таких значениях параметров имеет нечеткую структуру, поэтому численное исследование, как правило, затруднительно.

Для указанных фиксированных значений тО и т1 приводится

сравнение разбиения плоскости параметров, полученные в [62], и оценки этих же областей методами теории классификации объектов с целью апробации разработанного подхода. Для рассматриваемой системы получена функция вероятности ошибки, достигающая минимального значения для обучающего множества определенной длины. Ограничение объема обучающей выборки в соответствии с изменением вероятности ошибки классификации позволяет сократить количество численных экспериментов для значений параметров, близких к бифуркационным.

Получены новые результаты разбиения фиксированной четырехмерной области параметров (а,Р,шО,т1) на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства. Выделены области, соответствующие существованию в фазовом пространстве системы установившихся непериодических движений. Для полученных оценок структуры параметров методами теории классификации приводятся характеристики качества полученного разбиения.

Заключение содержит основные результаты работы и выводы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Обзор традиционных методов исследования структуры фазового пространства динамических систем.

Успешное проектирование сложных технических систем требует всестороннего исследования динамических свойств физических объектов. Характерные особенности динамики системы удобно изучать на математической модели - совокупности понятий состояния динамической системы в некоторый момент времени и оператора Т, определяющего изменение состояния динамической системы во времени [15]. При этом состояние системы рассматривают как точку некоторого пространства, называемого фазовым пространством. Изменению состояния системы отвечает в фазовом простран