автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Применение методов распознания образов в научных исследованиях (анализ сигналов и диагностика)

Г о д

ТАГАНРОГСКИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИЕЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Белявский Григорий Исаакович

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РАСПОЗНАВАНИЯ 0SFA30B В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ(АНАЛИЗ СИГНАЛОВ И ДИАГНОСТИКА)

Специальности: 05.12.14-05.13.1S -

систеш ооработки информации и управления;

применение математических методов и ЭВМ з научных исследования:-:.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Таганрог, 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и вычислительной техники Ростовской - на - Дону государственной академии строительства.

Научный консультант: доктор технических наук,профессор Фалькович М.А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,профессор Галустов Г.Г. доктор технических наук,профессор Золотухин В.Ф. доктор технических наук Корноушенко Е.К.

Ведущее предприятие - Институт кибернетики им. Е.М. Г душков; АН Украины.

Заетта состоится_ 1994 г. в 14.СО часов на

заседают Ученого совета Д 063.13.02 по защите диссертаци на соискание ученой степени доктора технических наук при Таганрогском радиотехническом университете им.В.Д.Кашыко по адресу:

347^13, ¡сй-анрог,пер. Некрасовский,44, Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета..

Автореферат разослан _ 1994

Ученый секретарь совета к.т.н.,доцент

н.Н.Целых

Одной из важных задач кибернетики является создание устройств и алгоритмов.предназначенных для решения задач распознавания образов,так как задачи, решаемые методами теории распознавания образов,возникают в различных естественнонаучных и технических дисциплинах.

Целью настоящей работы является разработка новых методов распознавания,опирающихся на концепцию маломерного подпространства, и применение этих методов для решения некоторых задач анализа сигналов и диагностики. Формулировка этих задач в терминах распознавания образов позволяет найти новые подходы к их решению.

Актуальность.Задачи анализа сигналов возникают ео многих научных и технических отраслях,связанных с передачей,обработкой и хранением информации.Диагностика - это одна из дисциплин, без которых невозможно представить нормальную работу как технических, так и гуманистических систем.Поэтому исследования, в результате которых возникают новые методы и средства решения этих проблем, представляются актуальными.

Научная новизна.В работе получен ряд новых результатов, которые сводятся к следующему.

1. Получено общее решение задачи идентификации подпространства.

2. Модифицирована задача идентификации подпространства на основе учета особенностей выборки и установлено,что идентификация модели факторного анализа представляет частный случай данной задачи.

3. Предложен новый метод распознавания образов - метод подпространств, порождающий новые решающие правила,алгоритмы обучения и са}лообучения.

4. Для нормальных законов с ковариационными матрицами некоторой специальной структуры решены задачи конструирования решающих правил,обучения и самообучения.

5.Введен и исследован нечеткий аналог метода подпространств. Поставлена и решена задача оптимального разделения нечетких множеств.

6.Показано,что разработанные методы распознавания представляют эффективные средства решения исследовательских задач обработки сигналов и диагностирования.

Практическая ценность.Результаты доведены до программной реализации.Решены задачи психофизиологической диагностики,рас-

познавания отдельных машинописных знаков определения момента резкого изменения свойств сигнала,выделения контура на изображении, ЕосстаноЕления изображения,геологической классификации,синтеза контрольных соотношений для определения момента отказа технического объекта и синтеза распознающей системы фотодефектоскопа. Материалы диссертации,относящиеся к решению задачи синтеза систем функционального контроля,включены в отчеты по хоздоговорной тематике кафедры прикладной математики Ростовской государственной академии строительства и переданы заказчикам.Среди них РСПКЕ (г. Ростов - на - Дону),НШ1 МВС (г.Таганрог),ШЖИС (г. Ростов - на -Дону).Метод синтеза распознающей системы фотодефектсскопа внедрен на предприятии "Государственное специализированное конструкторс-ко-техническое бюро внешних запоминающих устройств", г.Одесса. Исследования, связанные с применением метода подпространств в психофизиологической диагностике, выполнены по заказу Одесского государственного университета и внедрены в этом учреждении.Блок распознавания включен з экспертную систему для оценки результатов натурного обследования и определения деформированного состояния зданий и внедрен в МПП ЖКХ Кировского района г.Ростова - на - Дону.

Достоверность изложенного в работе подтЕерзвдается доказанными утверждениями.результатами экспериментов,реализацией и внедрением результатов при разработке реальных систем.

Результаты диссертации отражены в монографии,в тринадцати статьях и двенадцати докладах на всесоюзных и всероссийских конференциях и семинарах.Ряд работ выполнен совместно с сотрудниками кафедры прикладной математики и вычислительной техники Фаль-ковичем М.А.,Ровицкиы А.К. .Корабельниковым Г.Я. и Корабельниковой Л.Н..В совместных работах автору принадле^лгг.^зк правило, математическая постановка задачи и метод решения.Автор выражает благодарность переделенным выше коллегам за предоставленную возможность использовать результаты совместных работ.Список опубликованных работ,отра^аюшдо основное содержание диссертации, приведен в конце автореферата.

Апробация.Материалы диссертации докладывались на всесоюзных и есероссийских конференциях в городах Москве,Ташкенте,Ереване, Саратове, Ростове - на - Дону,Таганроге и Севастополе.

Полностью диссертация апробировалась на семинаре кафедры методов математической физики Одесского госуниверситета,на семинаре отдела распознавания образов Института кибернетики им В.М.Глушкова АН Украины.

Основное содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения.

Содегслние первой и второй глав .В первой и второй глава", диссертации рассматриваются современные методы распознавания,обучения и самообучения,производится их анализ и классификация. формулируются нерешенные проблемы.

Бее разнообразие современных методов распознавания группируется вокруг следующих направлений:статистические методы распознавания, распознавание классов эквивалентности или алгебраические методы,распознавание сигналов,лингвистические или структурные методы,распознавание нечетких множеств.

Наиболее глубокие и обширные исследования в области развития современных методов распознавания образов выполнены в школах под руководством Ю.й.Журавлева,2. Н.Вапника и А.Я.Червоненки-са,Ш. Ю. Раудиса, Н. Г. Загоруйко, В. А. Якубовича, В. А. Ковалевского, М .И. Шлезингера,Г.Л.Гимедьфэрба,Т.К.Бингсока .Следует отметить и более ранние работы.Это прежде Есего работы М.А.Айзермана,Э.М.Браверма-на и Л.И. Розонсэра,З.М.Глушкова/З.Рсзенблатз,М.Минского и О.Пей-перта ,К.С.Фу, Я.3.Цыпкина, А.Г.йвахненко.

Содержание третьей главы диссертации.В третьей главе рассматривается решающее правило вида:

1(х) = arg min |A(k)x| , (1)

где | . ! - норма Фробениуса, А(к) - матрица полного ранга размера m х п, причем m < п. Уравнение А(к)х = 0 определяет в пространстве к - подпространство Щк) размерности q = п - т.Поэтому ¿етсд распознавания, который излагается в этой главе,называется методом подпространств. Задача обучения - это идентификация под-фостранства.

Параметризация подпространства.Пусть HfR - подпространс-:во размерности ш,тогда хбН <==> Ах = 0. Введем на множестве мат-зиц полного ранга отношение эквивалентности. Назовем А и С экви-

валентными, если множество решений системы Ах =0 совпадает с множеством решений системы Сх=0, т.е. они определяют одно подпространство, Является справедливым утверждение: "Матрица А эквивалентна С тогда и только тогда, когда существует такая невырожденная матрица D ,что C=DA".

Рассмотрим еще одно утверждение. Пусть В - матрица полного ранга , О(А) - орбита матрицы А, тогда существует такая матрица А€ О(А), что АЕ=Е . Очевидно, что такая матрица А - единственная.Тагам образом, матрица В осуществляет проектирование.

Метод наименьших квадратов в задаче идентификации подпрос транотва.Общее решение задачи идентификации подпространства.

Имеется выборка íx ,... > - п мерных векторов, приближенно принадлежащих подпространству Н. Требуется "провести" подпространство таким образом,чтобы оно было как можно ближе к выборке. В соответствии с методом наименьших квадратов необходимо найти

min rr(ARAT) (2)

при условии ав=Е. В (2) R - ковариационная матрица,Тг(.) - след матрицы.Решение (2) дает формулу для сценки матрица А:

А = (ETR"1B)' BTR"1 (3)

при условии, что матрица Р. - невырожденная. Значение критерия при этом равно: Тг((ВтН В)" ) .Матрица А порожлде? класс эквивалентности О (А). Этому же классу экэддёлентности принадлежит матрица^ = BTR '. Последнее ?л~ зжение можно рассматривать как обще» решение задачи идент::с:::-зции - - :огранства.Формула (3) порождает отношение эквивалентности k-í .-.. матриц проектирована В. Будем считать, что матррт-, ^с:. . .-л В и В1 э^г/^элент ны, если эквивалента" ответетзугаш::; mi матрицы и Al, вычисли емые по фор»"'-_ ^ _ для Tor : чтс5*-! в и в1 были эквива üeобходимо и достаточно, 'ПСоы существовала невырожденнг матрица D, для которой ^граведливо равенство: В = 81D. Очевцг но,что оценка матрицы А зависит от классов эквивалентности i множестве матриц проектирования В.

Уравнение регрессии.Матрица А состоит из одной строки, а матрица В состоит из одного столбца . Оценка имеет вид: а = b R. Пусть b=e(i) , оценка а будет 1-й строкой матрицы R. Эта оценка соответствует линейной регрессии переменной х(1) на остальные переменные.Выбор b =e(i) означает, что допускается искажение только i-ro столбца матрицы X. Если мы хотим, чтобы ошибки измерения распределялись равномерно по всем переменным, мы должны b выбрать b=(l,l,..., 1). Еозмсжны промежуточные варианты, когда мы определяем,' что часть переменных измеряется с ошибками. При помощи вектора b мы можем учесть особенности процесса измерения. Наконец, мы можем зафиксировать норму вектора 1Ы =1. Затем из всех единичных по норме векторов выбрать такой, чтобы квадрат нормы ошибки был минимальным. В этом случае выбирать вектор b следует исходя из решения задачи: min (Rb,b)/(b,b). В работе вводится понятие согласованности оценок вектора а и доказывается,что максимально согласованная оценка раЕна минимальному по норме вектору из выпуклой и замкнутой оболочки столбцов матрицы R*

В рамках рассматриваемого подхода приведены решения задач наименьших линейных квадратов и полных наименьших линейных квадратов.

Далее в работе рассматривается модифицированная зздзча идентификации подпространства , когда элементы выборки X являются вектсрно значными функциями от векторного аргумента: x(i,d)=f(i,d). На векторный аргумент d накладываются определенные ограничения:dfD Задача идентификации гиперплоскости выглядит следующим образом: min min (Ax(i,a), Ax(i,d)) при ограничениях: AB = Е, d€D. Показано, что задача идентификации модели факторного анализа формулируется как модифицированная задача идентификации подпространства.

Исследуется возможность применения рекуррентных алгоритмов и алгоритмов,в основе которых лежат методы стохастической аппроксимации, для решения задачи идентификации подпространства в рассматриваемой постановке.

В главе показывается, что задача идентификации подпространства может формулироваться как задача идентификации оператора эбобщенного проектирования в заданном направлении.

Задача обучения в методе подпространств. Основным элемен-

том является задача идентификации подпространства. Возможны две постановки задачи обучения: изолированная и разностная.При изолированной постановке,на основании выборки V =L/V(k) определяются подпространства для каждого класса.Размерности подпространств являются параметрами алгоритма, они определяют сложность решающего правила.При разностной постановке подпространства H(i) строятся как можно ближе к элементам выборки V(i) и как можно дальше от остальных элементов выборки. Возникает двухкригериальная задача F(l) = min Tr(AR(i) £> и F(2) = max Tr(ARl(i)Ar ),где RI (i) = R- R(i).Ha основе F(l) и F(2) формируется критерий: F = minTr(AR(c)AT ),где R(c) = R(í) - cR (R(i) - ковариационная матрица элементов выборки i - го класса).

Самообучение в методе подпространств.Алгоритм самообучения относится к методу типа к средних. Роль среднего играет m -мерное подпространство. Расстояние совокупности элементов , принадлежащих ] - му кластеру,определяется величиной Тг(А(з)(R(j) -cR)A(3)). Обший критерий качества разбиения:

J= £ Tr(A(j)(R(í) - cR)A(j)). (4)

Минимум ищется по набору матриц {А(з)У и по всевозможным разбиения*

Проведено сравнение нашего метода с оптимальным квадратичным решающим правилом.

Применение метода подпространств в задаче прафессионзль-£ОТО cr£sp¿. РЭ'-а ццет о применении метода подпространств для определения профессиональной пригодности к тем или иным видам социальной деятельности.Было использовано понятие "эффективной лич-ноЬти". На основе этого понятия выделено три основных класса:"эффективная личность","личность средней эффективности" и "неэффективная личность".Рассматривалась задача определения пригодности к занятиям научной деятельностью.

Экспериментальная группа научных работников разбивалась на основании мнения экспертов на три класса. Каждому члену экспериментальной группы каждым экспертом были выставлены оценки, которые были соответствующим образом нормированы и усреднены. Эти оценки рассматривались как функции принадлежности к нечетким множествам, определявшим каждый иг трех рассматриваемых классов. Еыл<

введено два ограничения: исследование касалось только кандидатов наук и ограничивалось возрастом до тридцати лет. Литеры заполненных протоколов приведены в табл.1.

Таблица 1

г - -] |Ы 1 г ------ ---- Мнение 1 - го эксп. 1 |Мнение 2 - 1 го эксп. 1 . Среднее 1 ]

1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 i 2 3 1 1 2 з !

1 11 0.3 0.7 0.4 0.2 0.6 0.5 . . 0.3 0.6 0.5!

12 0.7 0.3 0.2 0.5 0.5 0.4 . . 0.7 0.4 о.з:

¡3 0.4 0.4 0.8 0.2 0.1 0.9 . . 0.3 0.2 0.8

1_I

Экспериментальная группа была подвергнута психологическому тестированию. Были использованы обычные для психологии методы,в частности, карты личности, ММР1, тесты Векслера, Гилфорда.Размерность пространства признаков в конечном итоге равнялась 17.

Экспериментальная группа составила 90 человек, из них математиков - 29, физиков - теоретиков - 41,химиков - 7 , философов - 13.Для каждого из классов были построены подпространства размерности три, которые при распознавании на этой же экспериментальной группе обеспечили хорошее согласование с мнением экспертов. Количество ошибок -7.

Содержание четвертой главы диссертации.Изучаются нормальные законы ,ковариационные матрицы которых тлеют следующую структуру:

С(к) = А(к)А(к) + Н, (5)

где матрица А(к) - прямоугольная матрица размера п-*т(к) .Причем т(к) существенно меньше чем п. Информация о классе содержится в математическом ожидании и матрице А(к).Получено выражение для определителя матрицы С (к) и для обратной ковариационной матрицы, что позволило выразить параметры дискриминантной функции

f(x) = агрпа*( L (x,b(i,k);f - 2(x,b(0,k)) - d(k)) через матрица А(к) и Н.Эти соотношения имеют вид:

(H"'a(i,k))m(k)f

d(k) = Е ln(i(i,k) + 1) + (Н'т(к),m(k))- L-----------------t(k)

j(i,k) + 1

(H~'a(i,k) ,m(k))

b(0,k) = E------------------H~'a(i,k) -Hm(k)

j(i,k) + 1

1

b(i,k) = H~a(i ,k)

JUUk)+l

Задача обучения.Решены три задачи обучения.В первой задаче предполагается,что матрица Н = U D и,где U - известная ортогональная матрица,D - диагональная матрица,подлежащая определению,во второй задаче матрица D = aDl + ЬП2,где а и b - параметры, подлежащие определению,в третьей задаче обучения предполагается, что матрица Н известна.Для решения задач обучения используется метод максимального правдоподобия.В третьей задаче обучения применен метод проекции стохастического градиента.

В работе приведены алгоритмы решения задач обучения и результаты численного эксперимента.

Далее в работе рассматривается задача самообучения в постановке М.И.Шлезингера.

Эллипсоидные решающие правила.Исследуются решающие правила вида: f(х) = к , если xfM(k),где М(к) - подмножества пространства признаков К , причем M(k)AM(l) = 0. В качестве множеств М(к) использованы эллипсоиды:(G (x-m),х-т)<0.

Решена задача выбора параметров решающего правила. Доказано,что задача сводится к решению уравнения Fl(l) = F2(l).Причем Fl(l) - убывающая выпуклая вниз функция,F2(l) - возрастающая

функция.

Рассматривается построение эллипсоидных множеств с использованием спектрального разложения ковариационных матриц: R = U D l/. Элементы матрицы D упорядочены по убыванию.Это решающее правило имеет вид:

(х - а,х - а) к 1 1 г

------------- _ г _ ----)Ш) ,х - а) < в. (6)

d(k+l) d(k+l) d(i)

Применение неравенства (6) интересно тем , что при его реализации вместо ковариационной матрицы используются ее к первых собственных векторов. Это позволяет постепенно наращивать сложность решающего правила.

Приведен алгоритм определения эллипсоида минимального объема,содержащего элементы выборки.

Разложение параметров оптимального решающего правила по главным компонентам.При распознавании нормальных законов с различными или одинаковыми ковариационными матрицами, а также при распознавании классов , которые описываются системой булевых признаков,при большой размерности пространства признаков и при большом числе распознаваемых классов может возникнуть задача экономного представления параметров оптимального решающего правила.

Оптимальным решающим правилом для распознавании нормальных законов с одинаковы}»! ковариационными матрицами является кусочно линейное решающее правило вида:

k = arg max ((b(i),x) + a(i)). (7)

Для нормальных законов с различными ковариационными матрицами оптимальное решающее правило имеет вид:

k = arg1 max ((G(i)x,x) + (b(i),x) + a(i)) (8)

При распознавании классов , которые описываются системой ¡улевых признаков,■• оптимальное решающее правило при условии неза-1ИСИМОСТИ признаков является кусочно линейным, т.е. имеет вид

(7).Рассмотрим вектор у, который для решающего правила (7) определяется следующим образом: у = (х^,х2,...,1),для решающего правила (8): у= (x, ,х2). . .,хя,х?-,х( x^.-..х, x„,xt,xz xj ,... ,xj хя , ..'. .Для вектора у решающие правила (7) и (8) обладаю'

одинаковой структурой: k = arg max (с(1),у),где вектор c(i) для решающего правила (7) имеет вид:с = (b,,Ь2,...,Ь*,а ),для решающего правила (8):с = (Ь, ,Ь1,... ,ЬИ,£„ ,Sga,... ..., 2gy

• •■•'S^e^.Sn,«)-

Решена задача аппроксимации векторов c(i) векторами:

f(i) = Lte(i) + е, ('3)

что приводит к решающему правилу:к = arg1 max (s(i) .iTy) ,где U -прямоугольная матрица размера:s*l.Применение этого подхода эффективно, когда s существенно меньше чем 1 и ш(числа распознаваемых классов).В работе приведено решение задачи аппроксимации.

Применение метода главных компонент для синтеза распознающей системы читающего автомата.Данная методика использована для синтеза распознающей системы читающего автомата.При этом предполагалось, что каждый распознаваемый знак является булевым вектором II KS5Cс описывается совокупностью законов с независимыми компонентами вида p(x/s) = f)p(xt-/s), s£S(k) .Отсюда следует , что решающее правило , основанное на методе максимального правдоподобия имеет вид: k = arg max max (у,с(s)),где у = (х,,хд ,..., х„,1).Для того чтобы воспользоваться этим решающим правилом, необходимо хранить card(S(k))*(n + 1) чисел . В реальных задачах это число велико.Поэтому возникает проблема экономного запоминания векторов c(s).

Практическая пригодность метода проверялась на группе букв Б,В,Ш и Щ как наиболее трудных для распознавания.Для описания этих букв использовалась модель, в которой каждая буква определялась совокупностью из 48 распределений .Были найдены по девять собственных векторов для каждой из букв.Проверка качества полученных решающих правил осуществлялась в соответствии с оценкой: г = max max p((y,c(sl) - c(s2)) < O/sl). Полученные результаты приведены в табл.2 и 3 .Первая строка табл. 2 соответствует паре Б-В, вторая - паре Ш-Щ.Данные (аргументы вероятности ошиб-

ки)приведены при различном числе собственных векторов, взятых для аппроксимации.Как следует из этой таблицы,удовлетворительный результат достигается уже при трех собственных векторах на класс,а четыре собственных векторз дают практически безошибочное распознавание даже для таких сложных для распознавания знаков,как Б-В и Ш-Щ.В табл.3 приведена доля суммарной дисперсии (в процентах), которая приходится на подпространства размерности от одного до девяти для букв Б,В,Ш и Щ.

Таблица 2

2 3 4

1 1.0037 2.6123 3.0172

2 1.0731 2.8547 3.0943

Таблица 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Б 68.9 84.5 89, ,0 92.1 94.1 95.6 96.0 96.4 97.0

В 68.6 84.2 аз. .7 91.8 93.7 95.1 95.6 96.1 96.7

Ш 62.1 74.9 83, ,4 '30.6 94.5 95.7 96.4 97.0 97.8

Щ 62.0 74.8 83, ,2 90.4 94.4 95.4 96.1 96.7 97.2

Рекуррентные алгоритмы синтеза оптимального решающего правила для нормальных законов. Задача рекуррентного синтеза состоит в следующем.На основании выборки получены оценки параметров „ оптимального решающего правила. К выборке добавляется один .элемент. Требуется выполнить коррекцию параметров с учетом этого элемента. Эта задача возникает в тех ситуациях,когда объем первоначальной выборки мал, но имеется возможность с течением времени получать дополнительную информацию.В работе получены рекуррентные формулы для оценок параметров оптимального правила. Алгоритм рекуррентного синтеза применен в первой очереди экспертной системы "Строитель", предназначенной для диагностики состояния строительных сооружений и принятия решения о их реконструкции.

Разделение нормальных законов с одинаковыми математическими ожиданиями.Рассмотрим разделение двух нормальных законов

N(171,0(1)) и Ы(т,С(2)). Для разделения используется решающее правило вида:

d(x) =

1,1(1,х)1 & 1;

2, |(1,Х)1 > 1.

(Ю)

Задача синтеза рассматривается как двухкритериальная задача: d(l) = Ф(1/ (0(1)1,1)) — max,d(2) = Ф(1/ (0(2)1,1)) — min. Показано, что задача синтеза сводится к решению задачи: max (C(2)u,u)./(C(l,lu,и).Оптимальное значение и - решение уравнения: C(2)u = sC(l)u,rfle s - максимальный корень характеристического многочлена С(2) - sC(l). Решение исходной задачи при этом имеет вид:

1-й /У (Ф (t) (C(l)u ,u )).

(11)

Формула (11) даег возможность получить уравнение множества Парето для данной задачи: 6(2) = Ф(Ф*'(й(1))Л'з' ). Минимаксное решение получается при выполнении равенства:

6 = Ф(Ф"'^)//з" ).

Содержание пятой главы. Здесь рассматривается применение разработанного в предыдущей главе аппарата для решения ряда задач, относящихся к обработке двумерных и одномерных сигналов.Это задача обнаружения резкого изменения свойств сигнала в процессе его наблюдения, задача выделения контура на изображении, задача восстановления изображения после линейного искажения и задача синтеза фотодефектоскопа.

Обнаружение резких изменений сигналов в терминах распознавания нормальных законов.Задача обнаружения рассматривается в двух постановках (априорной и рекуррентной) .При априорной постановке имеется выборка у(0),у(2), ...,у(з) - наблюдений за время э.Эта выборкз образует случайный вектор у . Если за время наблюдений резких изменений не происходило, то случайный вектор у опи-

сывается следующей моделью:

y=x + tl+-n, Ах = г. (12)

В (12) вектор I = (1,1,...,1); t - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ,-п - вектор шума, нормальный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и ковариационной магрицей<?„'Е;г - нормальный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей<чЕ; А -матрица,реализующая разностный оператор.

Если в момент времени i =1,2,...s произошло резкое изменение сигнала, то случайный вектор у описывается моделью:

у = х + fe(i) + tl + п, Ах = г. (13)

В (13) вектор e(i) = (0,0,...,1,1,...,1),i = 1,2,....s;

1

f - нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией^,*.

Задача обнаружения момента изменения формулируется как задача -отнесения наблюдаемого сигнала к одному из классов: Н(0),Н(1),...,H(s),где Н(0) - изменения'сигнала не было,НЦ) -изменение произошло в i - й момент времени. Таким образом, сформулированная задача относится к задачам распознавания нормальных законов, рассмотренных в предыдущей главе. Показано, что оптимальный алгоритм принятия решения выглядит следующим образом.Сперва определяется:!* = arg min U(i,y).Затем, если U(i* ,у) > 0,то делается вывод,что разладки не было. В противном случае принимается решение о разладке в момент 1* . Функции U(i,y) = 8(i) - (g-(i) ,у) .Для параметров 0(i) и g(i) в работе получены аналитические выражения.

Для 6(i) и g(i) получены рекуррентные формулы,на основе которых решена задача обнаружения в рекуррентной постановке.

Приведено сравнение нашего метода с методом согласованной фильтрации.

Выделение контура на изображении.При решении задачи выделения контура используется ряд упрощающих предположений.

1. Рассматриваются контуры только восьми направлений.

2.Считается, что если в некоторой клетке сетчатки проходит контур одного из восьми направлений , то часть идеального изображения, попадающего в "поле зрения фильтра",имеет один из видов .представленных на рис.1 .

3.Предполагается, что часть идеального изображения, находящаяся вне "поля зрения фильтра", не зависит от того, какого направления контур проходит и проходит ли вообще в данной клетке.

При этих предположениях естественной выглядит модель', рассмотренная ранее,а именно у = а1 + х + п, Ах = г при отсутствии контура в данной клетке,у = а1 + Ье(к) +■ п,Ах = г при наличии контура к - го направления в данной клетке.Вектор е(к) соответствует одному из изображений на рис. 1.

1 1 1 1 1 1 1 I I 1 1*1

* ■к |

* * * |

* * * * |

1 * 1 * * * * | 1

* I * I —I-1

* I * I

( ' 1 1 ! ! i * i i i * 1 * 1

1 1 1 i ! ! * i i i * i * j

1 1 ! 1 1 1 * i i I * * ! i

1 1 I 1 1 1 * 1 I ! * I * 1

! 1 1 | | | * 1 ! 1 * 1 * 1

Рис.1

Нз рис.1 приведены изображения для контуров трех направлений.

На основе этой модели выделение контура происходит следующим образом.

1.Изображение сканируется полем зрения фильтра.

2.Для каждой части изображения z(t), попавшей в поле зрения фильтра, вычисляется набор дискриминантных функций U(i,z)

3.Далее определяется ii = arg min и(1,х),еоли U(ii,x) > О, то принимается решение об отсутствии контура в средней клетке части изображения x(t), в противном случае принимается решение о прохождении через данную клетку контура направления ii .

Синтез решающего правила обнаружения дефектов при фотоэлектрическом контроле"качества поверхностей. В ряде отраслей промышленности для обнаружения дефектов поверхности материалов и изделий используются фотоэлектрические дефектоскопы . Признаком брака у большинства из этих устройств является амплитуда сигнала у, генерируемого фотоэлектрическим датчиком дефектоскопа. Объект контроля признается бракованным , если амплитуда у больше либо равна некоторому пороговому уровню уп , постоянному для всей контролируемой поверхности. Как правило, сигнал представляет собой аддитивную смесь собственно сигнала х и шума п . В высокочувствительных дефектоскопах уровни сигнала х и шума п близки , поэтому событие у > уп может являться результатом отдельного выброса шума при отсутствии дефекта на контролируемой поверхности. Для снижения вероятности ложной браковки необходимо учитывать состояние поверхности в точках, расположенных в окрестности данной точки, и принимать решение в зависимости от степени различия между значениями сигнала в данной точке и сигналов в окрестности. Очевидно , что такая процедура должна опираться на какие - то предположения о свойствах сигнала и быть в некотором смысле оптимальной.

Для описания сигналов была применена следующая модель: у = х " + п , Ах = г,при отсутствии дефекта и у = х + п,Ах =

,к,.. )г,при наличии дефекта в точках о,к,..., где 0(з,к,...) — диагональная матрица,элементы которой

1,если 1 Ф з,к,....

сК1) =

снесли 1 = з" ,к,....

Задача синтеза рассматривалась как задача разделения нормальных законов с равными математическими ожиданиями и различными ковариационными матрицами.Решение этой задачи приведено в предыдущей главе.Особенностью данной задачи является то,что ее решение сводится к решению системы линейных уравнений.

Задача восстановления изображения.В задаче восстановления изображения используется модель:у = Нх + п,Ах = г. В системе линейных стохастических уравнений у - наблюдаемое изображение;х -изображение, которое необходимо восстановить;А и Н - известные

матрицы,причем первая отражает искажение изображения,вторая - априорные сведения о характере изображения.Матрицы А и Н могут быть вырожденными или плохо обусловленными.Чтобы не накладывать обременительных ограничений на матрицы А и Н,рассмотрим задачу в следующей постановке. Компоненту вектора х(1) можно получить в виде: х(д) = (е(1),х), поэтому задача восстановления изображения сводится к задаче оценки линейного функционала от вектора х по вектору у. Ограничимся рассмотрением только линейных оценок (£,у). Оптимальной назовем оценку,которая минимизирует дисперсию 0(д).В работе показано,что, при условии (Н - А) -матрица полного ранга оптимальная оценка имеет вид:£ = Н(НТН +*^1АТА) е(х).Следовательно, х = (ННТ+®^ААТГНТУ.

Отметим, что если матрицы Н и А - двумерные циркулянты, то матрица , которую необходимо обратить при вычислении х,- двумерная циркулянта. Отсюда при вычислении х можно использовать быстрое преобразование Фурье.

Некоторые подходы к обращению матриц.отличающихся от двумерных циркулянт.Как правило, матрицы А и Н не яеляются двумерными циркулянтами.При этом принцип пространственной инвариантности выполняется, однако пространственные сдвиги не образуют группу. Матрицы А и Н - прямоугольные матрицы с числом строк, меньшим числа столбцов.Дополним матрицы Н и А необходимым количеством строк так, чтобы они стали двумерными циркулянтами. Обозначим новые матрицы через НО и АБ. В блочной форме матрицы имеют вид:

но=С).

Для получения восстановленного изображения необходимо обратить матрицу вида: НТН + а АТА = Н0ТН0 + аА0тА0 - (Вг8 + а РТР). Матрица НОтНО +аАОтАО - двумерная циркулянта , матрица + арт Р -.матрица малого ранга, которая может быть представлена в виде:

Г Т(д),Т(д) - оператор циклического сдвига на двумерной сетчатке.

При другом способе вектор у дополняется набором переменных 2. так, чтобы в равенстве: V = Нх + п матрица Н была двумерной циркулянтой,у - расширенный подобным образом вектор у. Матрица А

при таком подходе должна быть двумерной циркулянтой. Оптимальное -значение вектора х линейно зависит от вектора v: х = Фу,причем матрица Ф - обратная по отношению к матрице, .которая является двумерной циркулянтой.Переменные z в векторе v - неизвестны. Найдем их , исходя из решения задачи:min (HOv - v).Минимум ищется только по переменным,входящим в z.Поскольку размерность z существенно меньше,чем размерность исходной задачи, то для ее решения требуется значительно меньше вычислительных усилий.

Далее анализируются методы декомпозиции, методы динамического программирования и методы нелинейного программирования в задаче восстановления изображений.Рассматривается нелинейная задача восстановления изображения.Для ее решения предлагается метод,в котором сочетаются метод динамического программирования и метод Ньютона.

Содержание шестой главы.3 главе задача распознавания образов рассматривается как задача обращения нечеткого отношения и как задача линейного разделения нечетких множеств.

Распознавание образоз как задача обращения размытого отношения.. Информация о классе задана в виде таблицы : 1 г ... s 1 ш(1,1) ш(1,2) ... .m(l,s)

М = 2 п(2,1) ш(2,2) ... m(2,s)

г т(г,1) п(г,2) ... т(г,з)

В этой таблице т(д,з) - степень интенсивности 1-го признака для ] - го представителя класса.Для упрощения обозначений индекс номера класса опущен.

Наблюдаемый объект, подлежащий распознаванию, описывается в терминах пространства признаков как вектор у = (у(1),у(2),...,у(г)),где у(д) - интенсивность проявления 1-го признака. На основе вектора у и матрицы М требуется определить степень сходства или различия наблюдаемого вектора у с классом.

Один из способов определения различия может быть следую-

а

щим:0(у) = min (у - ш(1)),где m(i) - i - й столбец матрицы М. Объект у относится к тому классу, для которого d(y) •• минимальна.

Другой способ:d(у) = min (у - Мх).При этом класс - это линейное подпространство, натянутое на столбцы матрицы М. Задача распознавания при таком способе определения различия является частным случаем задачи, рассмотренной ранее .

В основе следующего способа определения функции различия лежит обращение нечеткого отношения.Предположим, что на множестве S =(l,2,...,s) определено размытое подмножество х ¿(х(1) ,х(2),... ,x(s)>. Композиция размытого отношения , задаваемого матрицей М ,с размытым подмножеством х определяется соотношением :z(i) = (M*x)(i) = max min (m(i,j) ,x(j)). Определим класс как множество размытых подмножеств z = (z(l),z(2), ...г(г)).На основе данного определения класса представим функцию различия :d(y) = min roaxly(i) - (M*x)(i)|. Далее рассматривается задача распознавания для данной функции различия .В основе предлагаемого метода распознавания лежит задача обращения размытого отношения. Эта задача состоит в следующем: при заданном размытом подмножестве у определить такое размытое подмножество х, чтобы выполнялось соотношение:М*х = у. Решение этой задачи рассматривалось в работах М. А.ФалькоЕИча.А.К.Ровицкого и автора.

Алгоритм распознавания заключается в следующем . Для каждого из распознаваемых классов определяется минимальная величина г, при которой система уравнений А*х = w имеет решение. Компоненты вектора w w(i) - отрезки Cy(i)-s,y(i)+s].Вектор у относится к классу, для которого s - минимальна.

Размытая линейная зависимость. Сокращение размерности матрицы М ■ Матрица М,задающая класс, на практике часто содержит столбцы, соответствующие близким размытым подмножествам. Так как размерность матрицы существенным образом сказывается на скорости работы алгоритма распознавания, то естественно такие столбцы удалять. Дадим следующее определение.

Вектор а линейно зависит в размытом смысле от векторов го( 1),т(2),... ,п)(з), если уравнение М*х = а имеет решение.

Является справедливой следующая теорема. Пусть уравнение М*х = у имеет решение. Столбец с номером i линейно зависит размытым образом от остальные столбцов матрицы М.Тогда уравнение

M(i)*x = у также имеет решение.Здесь матрица M(i) получается из матрицы М вычеркиванием i - го столбца. Следствие.

Если уравнение М*х = у не имеет решения и вектор а -- линейно зависит от столбцов матрицу М, то уравнение М(а)*х = у также не будет иметь решения. Здесь матрица М(а) получается из матрицы М добавлением столбца а.

Из теоремы и следствия следует, что удаление столбцов, линейно зависящих размытым образом от оставшихся, не сказывается нз свойстве уравнения тлеть или не иметь решения.

Задача распознавания угленосных формаций. Известно ,что угольное месторождение, как и другие геологические аномалии, представляет собой сложную,плохо формализуемую систему.Как по площади, так и в разрезе оно характеризуется различными параметрами.Число этих параметров велико, связи сложны.

Существуют различные классификации угленосных формаций по

типам.

Примем в качестве основных классов угольного месторождения четыре основных класса. Класс А(1) - геооинклинальный, разбивается на четыре подкласса:А(1,1) - собственно геосинклиналь-ные;А(1,2) - внутренних прогибов;А(1,3) - внешних прогибов;А(1,4)

- передовых прогибов.Класс А(2) - промежуточный, состоит из одного подкласса:А(2,1) - промежуточный, волновых прогибов.Класс А(3)

- платформенный (древние платформы),состоит из двух подклассов: А(3,1) - внутренних прогибов;А(3,2) - внешних прогибов.Класс А(4)

- платформенный (молодые платформы),разбивается на три подкласса: А(4,1) - внутренних прогибов;А(4,2) - унаследованных прогибов; А(4,3) - солянокуполъных прогибов.Для характеристики того или иного типа угольного месторождения выбраны четыре основных группы признаков:В(1),В(2) ,В(3) иВ(4).В(1) - мощность.В(2) - ритмичность. В(3) - угленосность.В(4) - метаморфизмы.Общее количество признаков равно 16.На основании мнения экспертов для каждого из рассматриваемых классов бьши составлены матрицы M(i).Так,например, матрица М(1) =

0.5 0.8 0.3 0.0 0.5 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 Q.O 1.0 0.5 0.8 0.8 0.0 1.0 0.1 0.1 0.1 1.0 0.3 0.0 0.9 0.4 0.0 0.3 1.0 0.5 0.8 0.5 0.0 0.1 0.1 1.0 0.1 0.1 1.0 0.1 0.5 0.8 0.0 0.0 0.7 0.7 0.3 0.8 0.0 0.2 1.0 0.3 0.1 1.0 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 0.0 0.5 0.8 0.4 0.8 0.0

Анализ матриц показал, что они не содержат столбцов, которые линейно в размытом смысле зависят от остальных. Следовательно, сокращение матриц невозможно.

Правая часть, по оценкам экспертов,для месторождения в Минусинском угольном бассейне на основе рассмотренных выше признаков имеет вид:

у = (0.2 0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.5 0.2 0.7 0.7 0.4 0.8 0.1).

Вычислены значения функции различия для матриц М(1), М(2), М(3) и М(4): d(l),d(2),d(3) и d(4).Результаты следующие:

d(l) = 0.1 при х = (0.5 0.2 0.8 0.5); d(2) = 0.3 при х = 0.5;

d(3) = 0.7 при х = (0.5 0.3);d(4) = 0.3 при х = (0.4 0.6 0.1). Замечание: приведенные наборы значений для х не являются единственными , могут быть предложены и другие варианты решений. На основании полученных значений для функции различия делаем вывод , что распознаваемое месторождение относится к классу А(1) - геосинклинальному. Этот вывод совпадает с мнением экспертов.

Линейное разделение размытых множеств . Решена задача оптимального выбора параметров кусочно - линейного решающего правила вида: d(x) = argmaxf(l(i),х) + t(i)), когда априорная информация о каждом из распознаваемых классов задается размытыми подмножествами с функциями принадлежности - m(i,x) .Параметры выбираются, исходя из минимизации критерия: r(-tl(i),t(i)>) = max max k(i,3>. Здесь k(i,j) = шах m(i,x),при условии:(l(i)-l(j),x) < t(j)-t(i). В работе задача решена для случая,когда выпуклые оболочки сечений:М(1,з) = -Cx,m(i,x) > s> - эллипсоиды.Доказано,что в этом случае задача сводится к-минимизации квазивыпуклой функции.

Содержание седьмой главы.В этой главе рассматривается за-

дача синтеза соотношений, которые позволяют определять наличие или отсутствие отказа в процессе функционирования технического объекта.Большой вклад в решение этой задачи внесли исследования П. П. Пархоменко,Л. А.Мироновског о,Е.К.Корноушенко,М.А.Фаль кови-ча,В.С.Юдовича.

Синтез системы контроля для комбинационных схем. Пусть комбинационная схема описывается системой булевых уравнений вида: У = Р(X).Допустимым набором назовем вектор Ъ = (Р(Х) X). Б - множество всех допустимых наборов.

Задача синтеза оптимального контрольного соотношения рассмотрена в следующей постановке:min nnd при ограничении:nd < к,где nnd - число недопустимых наборов,удовлетворяющих неравенству: (l,z) > t, nd - число допустимых наборов,удовлетворяющих неравенству: (l,z) < t. Алгоритм решения этой задачи состоит в к + 1-м повторении следующих двух операций:

1) определение оптимальных параметров контрольного соотношения для допустимого множества D(i) в следующей постановке min nnd при ограничении nd = О.

2) удаление из множества D(i) одного набора, получение следующего допустимого множества. Множество D(0) совпадает с D.

Первая операция.В работе доказано,что задача,решаемая при выполнении первой операции, сводится к определению минимального по норме вектора v, принадлежащего выпуклому многограннику V.

Операция удаления. Оптимальный вектор v выражается в виде линейной выпуклой комбинации некоторых "крайних" векторов из множества D(i): v = 5Za(J)V(о), где а(з) > 0 и La.(j) = 1. Естественно, что удаление одного из крайних векторов приведет к увеличению нормы оптимального вектора. Лучше всего удалить вектор, для которого коэффициент выпуклой линейной комбинации a(j) тлеет максимальное значение.

Пример синтеза системы контроля.Рассмотрим комбинационную

Контрольное соотношение:

'объект функционирует правильно", (1,Z) > t;

L(2) =

схему, которая описывается системой булевых уравнений( одно из таких уравнений приведено):

В данной схеме имеется восемь входов и пять выходов, т. е. речь идет об отделении подмножества вершин 13 - мерного гиперкуба. Были получены следующие результаты.

При к =0 параметры контрольного соотношения равны

- 0.0025 0.0017 - 0.0314 - 0.0214 0.0504 - 0.0763 - 0.1026 0.2050 0.4028 - 0.2380 0.0737 0.0177 0.0453 ,

порог t = - 0.2258, доля отделяемых вершин от общего числа вершин гиперкуба d = О.20;аналогичные параметры при к = 3 :

0.00:30 - 0.00292 - 0.0272 - 0.0138 - 0.0451 -0.0577

- 0.0758 0.1785 0.4945 - 0.2755 - 0.0701 0.0286 0.0230,

t = - 0.2689 , d = 0.14;при к = 6

- 0.0021 - 0.0041 - 0.0212 - 0.0050 - 0.0324 - 0.0446 -0.0427 0.1258 0.4936 -0.4027' 0.1007 -0.0703 0.0199

t = - 0.3511, d = 0.08.

Обнаружение и коррекция искажений в линейных системах. К таким устройствам прежде всего относятся устройства,предназначенные, для цифровой обработки сигналов.Математическая модель:

Ву = Ох или Hw = 0. (15)

При правильном функционировании w принадлежит пространству нулей матрицы Н. Согласно методу избыточных переменных построим контрольное уравнение:

dt = Fw = 0, (16)

по результатам решения которого можно судить о правильности функционирования контролируемого объекта. Р - контролирующая мат-

рица.Строки матрицы F должны принадлежать пространству, которое является ортогональным дополнением пространства нулей матрицы Н.

Уравнение (16) частично контролирует уравнение (15) , если выполняются два условия:

1) из Hw = О следует Fw = 0,2) из Fw t О следует Hw/ 0.

Уравнение (16) полностью контролирует (15), если выполняются условия:

1) из Fw =0 следует Hw = 0, 2) из Fw f О следует Hw î 0.

Первая ситуация означает, что кег(Н) принадлежит ker(F), вторая - кег(Н) = ker(F).Таким образом, для того чтобы осуществить контроль полностью, строки матрицы F должны образовывать базис в пространстве, дополняющем ортогонально пространство.нулей матрицы Н.

Если структура искажений иэвестна,то возможно сокращение вычислений.В работе рассмотрено двз случая .В первом контрольное уравнение состоит из одной строки.Во втором - из двух.

Синтез контрольных соотношений для авторегрессионной модели:

R(s)w(t) = r(t),v(t) = w(t) + n(t). (17)

В (17) вектор v(t) - наблюдаемый EeKTop,r(t) и n(t) - векторы белого шума . Рассмотрим составную матрицу RS = (R(1),R(1-1), ...,R(0)) и составные Еекторы W(t) = (w(t-l),w(t-l+l),... ,w(t)), V(t)= (v(t-l),v(t-l+l),...,v(t)),N(t) =(n(t-l).nCt-l+l),...,n(t)). В этих обозначениях уравнения (17) будут выглядеть следующим об-pa30M:RS W(t) = r(t), V(t) = W(t) + N(t).Контрольное соотношение зададим в виде: (f,V(t)) < df.Задача синтеза решается в следующей постановке.При заданной вероятности выполнения неравенства будем минимизировать параметр df.Показано,что при выполнении g = RSrf. задача сводится к min (RSTRS g, g") при ограничении (g, g) = 1.

Синтез контрольного соотношения для модели вход-состояние

- выход:

x(t) = Ax(t-l) + Bv(t),z(t) = Cx(t) •(- Dv(t),

y(t) = s(t) + n(t) и u(t) = v(t) + r(t). (18)

В работе предложено два метода синтеза контрольного соотноше-

ния.Первый назван методом двухэтапного синтеза,второй - методом прямого синтеза.

.При первом задача разбивается на две подзадачи. В первой подзадаче рассматривается система при отсутствии помех. Для этой системы добавляется динамическая система минимального порядка: Ь(1+1) = тЬ(1:) + а{Ь),такая что существует вектор 1,для которого выполняется контрольное соотношение в вида:

с! = (1,2(1)) +(0 1,V(Ь)) - (э.Ь^)) = О. (19)

В работе предложен алгоритм вычисления параметров ш,1 и б.

Во второй решается задача синтеза фильтра для обнаружения резкого изменения сигнала. Эта задача рассматривалась Еыше.Система контроля синтезируемая по этому методу приведена на рис.2.

и(1) I I у(1;)

-------1 ОК I---------

I I_I I I

I _ I-------1 ФИЛЬТР

I I 1Ьа)1 I_

— I СК I----

Рис.2

Метод прямого синтеза системы контроля.{у(1),и(1),у(2),и(2), ... ]--последовательность вход - выходных сигналов динамической системы,М^)- отрезок длины 1 этой последовательности. Выбор размера 1 определяются сложностью системы контроля,оперативностью при принятии решения и достоверностью принятого решения.Контрольное соотношение имеет вид:

- (е,х(1))[ < сй\ (20)

При этом предполагается,что для вычисления (е,х(1:)) существует динамическая система первого порядка.В работе задача синтеза решена в постановке,рассмотренной выше(при синтезе контрольного соотношения для авторегрессионной модели).

Примеры двухэтапнсго синтеза контрольного соотношения. Первый пример:

х(1,1) х(2,1)

х(ЗД') = 0.0 0.0 1.0 1.0 х(3,Ь-1) + 0.0 и^) х(4,1)

1.0 1. 0 0.0 0. .0 х(1Д-1) 0.0

0.0 1. 0 -0.3 0. ,0 х(2Д-1) и. 1

0.0 0. ,0 1.0 1. ,0 х(ЗД-1) + 0.0

0.0 0. ,0 0.1 1. ,0 х(4Л-1) -0.01

у(1Д) = 1.0 О.о 0.0 0.0 х(1Д) У (2 Л) 0.0 0.0 0.0 1.0 к(2,Ь)

хСЗД) х(4д) .

По методу двухэтапного синтеза получена система контроля второго по-ЭЯЛКЗ:

□ (1,т-) = 1.000 0.000 Ь(1,С-1) + Ь(2,Т.) - 1.200 0.002 Ь(2Д-1)

-и. 010 * и (С)

при этом контрольное соотношение имеет вид:

а = (0.000 1.С00) у(1Д) у(2Д).

о и

т 1

Значение оптимизируемого критерия кг равно 0.036. Второй пример:

х(1Д) ' -6.6 0 0 0 0

6.6 -6.6 0 0 0 х(2,Ы)

х(ЗЛ) 0 6.6 -6.6 0 0 х(ЗД-1)

х(4Л) 0 0 -187.5 -2.5 0 х(4Д-1)

к(5,Ь) 0 0 2.1 0.02 -0.002 х(5Д-1)

6.8 О

О и(и О

о

У(1.Л) 0 0.1 0 0 0 х(1Л)

У (2 Л) 0 0 0.1 0 0 х(2,ь>

у(3 Л) = 0 0 10 0.1 0 х(ЗД)

У (4, С) 0 0 0 0 0.1 х(5Д)

+

га -

Контролирующая динамическая система первого порядка имеет вид:

b(t) = -14.676*b(t-l) . Контрольное соотношение:

d = (0.3S9 -0.011 0.003 0.941) y(l,t) - b(t)

y(2,t) У(ЗЛ) У (4, t)

Значение критерия kr = 0.GQ9.

Ниже приведены параметры скользящего фильтра при различных значениях отношения шум / сигнал и различных значениях порядка фильтра. Отношение шум / сигнал обозначено буквой г .порядок фильтра - р.Результаты: г = 0.3 P = -

1 = 0.006 ü.w - 0.923 -1.000 ;

г = 0.5 р = 6

1 = 0.CÜ1 0.004 0.024 0.142 0.828 -1.GGQ ;

( параметры фильтра нормированы тагам образом, чтобы последняя компонента равнялась минус единице).

Моделирование работы контролирующей системы.Для анализа работоспособности контролирующей системы предлагаемого типа рассматривался первый пример .Применялся скользящий фильтр четвертого порядка. Выходные и входные векторы зашумливались случайными векторами с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационными матрицами 0.1*Е. Результаты моделирования работы системы контроля приведены в табл.4.

Таблица 4.

П: 100 200 400 800 1600 32Q0 6400 128Q0 25600 51200 100000 di: 0.03 0.13 0.45 0.65 1.12 1.37 2.85 4.03 5.72 8.96 12.75

d2: 0.00 0.01 0.04 û.Qô 0.09 0.14 0.21 0.32 0.43 0.75 1.89

ПерЕая строка соответствует числу итераций, вторая - абсолютному значению выхода контролирующего элемента (без скользящего фильтра), третья строка - абсолютное значение выхода контролирующего элемента (со скользящи фильтром). Результаты приведены при отсутствии неисправностей. Как видно из приведенной таблицы, фильтр существенно замедляет темп роста и даже при ста тысячах итераций значение выхода контролирующей системы остается в приемлемых рамках .

В табл.5 приведены результаты при условии, что элемент матрицы динамики А - а(1,2) изменился и стал равным 0.6.

Таблица 5 n: 1 4 10 30 40 dl: 0.57 1.76 4.34 8.65 13.32 d2: - 0.28 0.86 2.41 5.16 Если мы хотим обнаружить данную неисправность на первой итерации системой контроля при отсутствии фильтра, то мы должны назначить порог,равный, скажем, 0.5. Как видно из первой строки таблицы, ложное срабатывание системы контроля произойдет на восьмисотой итерации. Если наз устроит обнаружение на десятой итерации, то ложное срабатывание произойдет на итерации с номером в районе двадцати тысяч. Если мы обратимся ко второй строке, то обнаружил, что ситуация существенно лучше. Так, если нас устраивает обнаружение неисправности на четвертой итерации, то ложное срабатывание произойдет на итерации с номером двенадцать тысяч. Если нас устраивает обнаружение на десятой итеращш, то можно гарантировать , что ложное срабатывание не произойдет при пятидесяти тысячах итераций.

Заключение.В заключении приведены основные результаты,выносимые на защиту.

1.Р.Калманом было доказано,что задача идентификации подпространства имеет множество решений.В работе предложена оригинальная нормировка, на основе которой получено общее решение задачи. Сформулирована и решена модифицированная задача идентификации подпространства.Показано,что идентификация модели,применяемой в

Факторном анализе,- частный случай этой задачи. Полученные результаты составляют теоретическую основу предлагаемого метода распознавания, названного методом подпространств.

Содержащиеся в работе алгоритмы распознавания и обучения метода подпространств относятся к алгоритмам регрессионного типа.К новым результатам,полученным з работе, прежде всего следует отнести формулировку задач обучения и самообучения как задач идентификации подпространства.На основе этого получены алгоритмы обучения и самообучения,учитывающие некорректность задачи.

2. Исследована задачз распознавания нормальных законов с равными математическими ожиданиями и различными ковариационными матрицами.Для ее решения применена двухпороговая линейная дискри-минантная функция,задача синтеза которой рассматривается как дзухкритериальная оптимизационная задача,получено множество Паре-то.

Рассмотрена задача распознавания нормальных законов с ковариационными матрицами,которые отличаются друг от друга на матрицы малого ранга.Исследованы возникающие дпскриминантные функции, заполняющие пробел между кусочно-линейными и кусочно- квадратичными функциями общего вида.Установлений,что используемая модель нормального закона является стохастическим аналогом модели, применяемой в методе подпространств.Решены задачи обучения и самообучения .

Предложены эллипсоидные дискриминантные функции,которые позволяют решать задачу их синтеза в изолированной постановке. Сформулирована и решена задача оптимального запоминания параметров решающего правила на основе применения метода главных компонент. Как задача самообучения поставлена и решена задача оптимального квантования сигнала.

3.Исследован нечеткий аналог метода подпространств для распознавания нечетких множеств.Введено понятие нечеткой линейной зависимости.Поставлена и решена задача оптимального линейного разделения нечетких множеств.

4.Полученные алгоритмы применены для классификации угленосных месторождений, для решения задачи психофизиологической диагностики личности в контексте профессионального отбора,распознавания отдельных машинописных знаков,выделения контура на изоб-

раженш, определения моментов изменения свойств сигнала ,синтеза распознающей системы фотодефектоскопа,восстановления изображения.

5. На основе разработанных методов распознавания решена задача синтеза контрольного соотношения для определения момента отказа различных классов устройств.Рассматриваемые системы относятся к функциональным системам контроля. Постановка задачи синтеза систем контроля в терминах распознавания образов позволила ввести естественные критерии оптимальности и на их основе предлагать решения,что дает возможность получать робастные оценки алгебраических инвариантов стохастических динамических систем.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах.

1.Белявский Г.И.,Сибирцев 8.Г.Способы решения некоторых задач оптимальной обработки и распознавания изображений// Обработка и распознавание сигналов.-Киев:ЙК АН УССР,1975.-0.62 - 76.

2.Белявский Г.И.Метод линейных подпространств в распознавании образов.//Распознавание образов. -КиевгИК АН УССР,1975.- 0.48 - 59.

3. Белявский Г.51. ,Ровицк;;н Л.л.,Фалькозич М. А. Некоторые вопросы диагностирования нечетких систем// Известия СКНЦ ЕШ.Техн.науки.-Ростов н/Д, 1984.-N1.- С. 37 - 40.

4.Белявский Г.К.О некоторых алгоритмах определения главных компонент з пространстве признаков//'Математический анализ и его приложения.-Ростов н/Д:йзд-во Рост.ун-та,1975.-Н7.- 0.63-67.

5.Белявский Г.И.Алгоритмы оптимального сжатия информации, получаемой в процессе эксперимента//Прикладные вопросы инженерной психологии. - Таганрог: ТРТЙ,1975.-Е'ып.2. - С. 42-49.

6.Белявский Г.И. О применении разложения Каруненз - Лоэва к построен™ эталонов для читающих автоматов// Распознавание образов.- 0.59-66.

7.Белявский Г.й.,Кукса Н.Н. Синтез решающего правила обнару-дефектов при фотоэлектрическом контроле качества поверхностей/Известия СКНЦ ВШ.Техн.науки.-Ростов н/Д,1980.- N4.- 0.29 -32.

8.Белявский Г.И.,Корабельников Г.Я.,Фалькович М.А. Применение теории кодирования для коррекции искажений в линейных системах// Там же .-1987.- N4.-С.25 - 29.

9.Белявский Г.й.,Корабельников Г.Я.,Ровицкий А.К. Обеспечение достоверности данных//Бестник Всесоюзного общества информатики и вычислительной техники.-М.,1990.-N1.- С.51 - 55.

10.Белявский Г.И..Ровицкий А.К. Применение аппарата теории нечетких множеств к задаче прогнозирования геологических аномалий /' Тезисы доклада на Всесоюзном семинаре по применению математических методов и ЗЕМ в геологии.- Новочеркасск,1983,- О. 3 - 4.

11.Белявский Г.И.,Ровицкий, А.К. Распознавание изображений, описанных нечеткими ограничениями//Проблемы нейрокноернетики.-Ростов н/Д,1983.- С. 9 - 10.

12.Белявский Г.И.,Фалькович М.А.,Корабельников Г.Я. Синтез самоконтродкруемых динамических систем с минимальной аппаратурной избыточностью// Методы и системы технической диагностики.- С'зра-товгйэд-во Сарат. ун-та,1990.- С.93 - 97.

13.Белявский Г.И.Дупикин И.И. ,Ровицкий А.К. Диагностирование цикличности угленосных формаций// Математические методы анализа цикличности в геологии.- М.:БЗПИ,1991.- С. 60 - 65.

14.Белявский Г.И.,Корзбедьникоз Г.Я. Диагностическое обеспечение информационных систем'/Проблемы повышения качества информации.- М. :.Моок.кн-т инж, .чел,-дор. тр-та, 1988,- 0.78 - 80.

15.Белявский Г.И. ,Фалькович М.А.Отказоустойчивая обработка цифровых сигналов//Тез. докл. на Бсерос. кокф. "Качество инзорма ш;и".~ М.:Моск. ин-т ияж, жел,- дор.тр-та,1992.

16.3.?£Я2СКлй Г.И. ,Корайельникоз Г,Я.Обеспечение отказоустойчивости динамических систем воздушных судов методом реконфигурации// Тез. док. Всесс-оз. кокф. "Проблемы совершенствования процессов технической эксплуатации авиационной техники,инженерно-авиационного обеспечения полетов в условиях ускорения научно-технического прогресса".- М.:Моек.ин-т инж. гражд. авиации,1986.

17.Белявский Г.И.,Корабельников Г.Я.,Логвинов Ю.Н., Фалько-вич М.А.Распознавание образов.Теория и приложения.- Ростов н/Д: Иэд - во Рост, ун-та,1993.- 123 с.

18. Белявский Г.И. Залача квантования изображения как задаче самообучения//Вопросы технической диагностики,- Ростов н/Д', 1981.0,23 - 32.

19. Белявский Г.И. Оптимальный пороговый фильтр для идентификации резких изменений сигнала //Вопросы технической диагностики.- Ростов н/Д,1980. - С. 72 -75.

Подписано в печать 25.04.94.Формат 60x84 1/16. Бумага писчая.Печать офсетная.Уч.- изд.л.£,0. Тираж 100 экз. 0

Редакционно-издательский центр Ростовской - на -Дону государственной академии строительства. 344022,Ростов-на-Дону,ул.Социалистическая,162.