автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение математического моделирования в импульсном диэлектрическом каротаже

Г-.-.Г-г "т.'х^

Гт;ШИС^РСТВО ПО ДЕЛАМ науки, высшей школы ' И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи

^с^^Т' НАРТАКОВ Сергей Викторович

УДК 517.977.58+519.63

ПРИМЕНЕНИЕ ИШИАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ КАРОТАЯЕ,

05.13.16 - "Применение вычислительной техники, математического моделирования, математических методов в научных исследованиях".

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Институте математики СО РАН.

Научные руководители: член-корреспондент Российской

академии наук, профессор В.Г.Романов,

доктор физико-математических наук, профессор С.И.Кабанихан.

Официальные опионенты; доктор фазико-катематических наук,

профессор Б.Г.Михайлевхо

кандидат технических наук А.Б.Черяука

Ведущая организация: Институт фязвхи Земли, город Москва

Защита диссертации состоится " ^^ " 1993 г.

в /¿Г часов на заседании специализированного Совета К 063.90.05 при Новосибирском государственно.',I университете ¿о адресу: г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан * ¡993 г.

Ученый секретарь специализираванного

Совета, к.ф.-и.н. Н.Н.Сергеев-Альбоь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Электромагнитный каротаж занимает важное место в общем комплексе геофизических методов исследования . скважин. Он применяется при поиске и разведке полезных ископаемых, решении широкого круга геологических задач. В настоящее время развито больиоа количество методов исследования околоскважянного пространства. Наиболее исследованным как с практической, так и с математической точек зрения является случай периодически меняющихся во времени полей. Такие поля, создаваемые катушечными источниками малых размеров, использовались как для определения удельной проводимости (обычно на низких частотах), так и для нахождения диэлектрической проницаемости (на высоких частотах). Использование импульсных полей, в основном, связано с исследованием проводимости среды. Отличительной чертой индуктивной импульсной электроразведки является рассмотрение квазистадпонарного приближения системы уравнений Максвелла и поздней стадии процесса становления поля.

¿ИуамоеИ) гены, с появлением аппаратуры, способной регистрировать электромагнитное поле на очень коротких интервалах по времени (порядка наносекунд), а также с развитием' в работах В.Г.Романова, С.И.Кабаннхина и др. методов решения прямых и обратных задач для полкой системы уравнений Максвелла, становится актуальной задача детального исследования распространения электромагнитных волн от импульсного источника в ранней стадии процесса становления.

Цель, работ- Построение, обоснование я реализация

численных алгоритмов решения прямой н обратной задач диэлектрического каротажа,

ОЕЯогшг ашшд исследований!

- Построить а исследовать математическую модель процесса распространения электромагнитных волн в околосквагиином пространстве (для импульсных источников).

- Разработать и протестировать численные алгоритмы решения прямых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндрически-неоднородной среде.

- Провести цикл расчетов, обосновывающих новый метод диэлектрического каротажа с использованием импульсных источников электрического тока.

- Разработать п реализовать оптимизационный метод реиення одномерной обратной задачи об определении диэлектрической

, проницаемости среди.

КаНШУЗ НСшизиа, Рассматриваемый в диссертации метод предполагает использование импульсного источника тока длительность» в несколько иашэеекунд для определения диэлектрической проницаемости ереды в околоскважинном пространстве.. Основной особенность» этого метода является малость временного интервала, используемого для измерения поля, от 0 до 10 секунд. На столь малых временах токи смещения играют существенную роль, поэтому при исследования задачи рассматривается не квазйстацвонарное приближение системы уравнений Иаксвелла, а ее Полный, волновой вариант.-

В диссертации построены и исследованы численные алгоритмы решения прямой и обратной задач для двух типов источников -линейного и катушечного.

Иршшиешш аизяюшоь тО.ат. кетодама катеизткческого коделироянкия обоснована возможность применения зондов ккпульсного типа (георадарн) для определения характера паскшення пласта-коллектора. Результатами прогедеккых исследований могут быть оценка разрешающей способности и глубинности электромагнитного каротажа, обоснованный выбор оптимальных параметров зондов, решение вопросов методики измерения и проектирования новой аппаратуры.

Реализация результатов работы. Разработанные алгоритмы н программы используются для проведения численных экспериментов в КазВИРГ (г. Алма-Ата) и в ВНИИГИК (г. Тверь).

Аппробапия работы. Результаты работы докладывались на

- Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики (октябрь 1989, Алма-Ата)

- школе-семинаре по моделированию и исследованию устойчивости физических процессов (май 1991, Пиев)

- советско-японском семинаре по обратным задачам (август 1991, Новосибирск)

- Всесоюзном семинаре по методам решения обратных задач геозлектрнкн (октябрь 1991, Алма-Ата)

- Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики и анализа (кюнь 1992, Новосибирск)

- семинаре лаборатории волновых процессов №1 СО РАЛ (рук. член-корр. РАН В.Г.Романов),

- семинаре "Некорректные уравнения математической физики" лаборатории математического модёлирования НГУ (рук. академик АТН РФ В.II.Врагов)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных

работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит вз введения, трех глав, списка литературы и приложения. Общий объем составляет 92 страницы, включая 24 рисунка и I таблицу. Список литературы содержит 90 наименований.

рассматриваемых в диссертации постановок задач, излагаются основные результаты работы. Приведен обзор работ, близких к диссертации по тематике или используемым методам.

В дешсй главе излагается физическая постановка задачи и строится ее математическая модель. Рассмотрены два типа зондов в циллиндрически-неоднородной среде. Первый зонд - линейный источник и линейный приемник на оси скважины. Второй -круговой (катушечный) источник и круговой приемник, помещенные в скважину так, чтобы их оси симметрии совпадали с осью скважины. В каждом из этих случаев система уравнений Максвелла редуцирована к краевой задаче для уравнения второго порядка гиперболического типа (в циллиндрических координатах (г.ф.г)) относительно . соответствующей источнику компоненты электрического поля. В случае линейного источника, заданного формулой

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и новизна

относительно компоненты получена задача (11=Е„)

1л «-1

Л» - г Ыгвг) + ьи1 + ' = Ге(0'ЛЬ 1е(0Л) (ПД)

аи=о=°- ^и-сг0' иг!г=о=0' и1г=А=°-

Здесь а(г)=^. Ь(г)=|, Г(г, г)=^р(г)я' (г).

Для хругового источника, представленного в цилиндрической системе координат формулой

Л" -( ? )р<г.Я)Ч(г,. (2)

после разложения компонента поля Е^ в ряд $7рье по переменной г

Еф = + \ У!ссоз(к|^), (3)

И=1

где Ук(г,г)=[ ^Е(р(г,гА)соз(к^)аг, к=0.1.2.....

получим задачу (индекс к у функции V опущен)

аё?(г 2агП).+ьуг +,1У+г =0, ге(о.А). шо.т)

УК=о=°. М«.о'0' У1г-о=0' у1г=д=°-

(ПК)

2

Здесь а(г)=^, Ь(г)=§, г (г. I (г (г), й(г)=а(г)(|к] ,

число А - максимальное расстояние, на которое может распространиться поле за время Т от источника, сосредоточенного в области 121 ., 1гКс (А=Т// ц+с„), рк(г) - коэффициент

Фурье в разлоаенйи функции р(г,г) в ряд, аналогичный (3).

При гладких коэффициентах а,Ь,с!,г решение ищется в классе гладких функций. Если коэффициенты кусочно-гладкие, решения прямых задач (ПЛ) и (ПК) следует понимать в обобщенном смысле. В этом случае из условий непрерывности тангенциальных компонент поля на разрывах для решения задачи (ПЛ) следуют

уСДОВйЯ

Ш| к:=и(гЧ0Л)-и(г1с-0Д)=0, [И ]| к=0,

где гк, к=1,...,Ь - координаты разрывов. Соответственно, для задача (ПК) выполнены условия

т1 *=<>• 1УгЧг .-о. .....

Есла источник сосредоточен (иоделеруется яря помощз О-функции Дврака), то решение ищется в классе обобщенна! функций - липеЗних непрерывных функционалов ыа пространстве финитных бесконечно дифференцируеинх функций, а начальные ш краевые условия понимаются как равенства следов обобщенных функций. '

В качестве математического обоснования правомерности моделирования в §1.3 приведены теореаы, показывающие корректность краевых задач (Ш1) и (ПК).

Вторая глава-посвящена численному решению поставленных в главе I прямых задач (ПЛ) и (ПК) (т.е. вычислению поля при известных параметрах среды а источника). Использован конечно-разностный метод вычисления приближенного решения с привлечением.метода неполного разделения переменных (а случае кругового источника). Указанные методы применялась для гиперболических уравнений и систем многими авторани, начиная с Б.Г.Кихайленко, в задачах сейсмики (Б.Г.Михайленко, А,Г.Фатьянов, В.Н.Мартынов и др.) и электродинамики (В.Я.Арсении, Г.Д.Васильков, В.И.Загонов, С.И.Кабанвхнн, К.С.Абдиев и др). Решение волнового уравнения сейсмических колебаний в циллиндрически-слоастой среде рассмотрено

ЛЛ.Ананьевой, А.Г.Фатьяновым. В §2.1 п §2.2 для задач (ПЛ) и (ПК) построены консервативные разностные схемы второго порядка аппроксимации п получены соотношения на шаги сетки, при которых эти схемы устойчивы:

для (ПЛ) й2/т2 > шах(2а0,гаах(а1)),

для (ПК) Я2/х2 > гаах ( аД) + [Ц11]2 + ) ).

В §2.3 приведены результаты численной проверки алгоритмов следующими методами: сравнение с явным решением (при постоянных ц,а,е), сгущение сетки, возмущение входных данных.

В §2.4 исследована чувствительность модели по отпошенно к изменению параметров среды. Электромагнитный импульс, излучаемый источником, регистрируется в прнеакгасе (прямое поле) и распространяется в среде со скоростью (ф)~1/2. отражаясь от неоднородность^ и затухая в большей пли меньшей степени в зависимости от величины проводимости в среде. Еатеыатическое моделирование этого процесса сохраняет физические закономерность' распространения волн, что подтверждается ¡.юдельными расчетами. Например, для трехслойной модели среды каждому прохождению фронта прямой или отраженной от граница раздела электромагнитной волны через точку регистрации поля соответствует всплеск поля, отражающий форму исходного импульса. Смещение границы раздела вызывает соответствующее смещение времени прихода отклика. Изменение величины е., такие влечет сдвиг времени прн?ода отражения от границы г,, в связи с изменением скорости прохода волны через второй слой, и кроме того, меняет величины экстремумов.

соответствующих отражениям, ввиду того, что меняется отношения е,/е0 и е2/е3. Изменение значений проводимости о влияет на величину отклика, поскольку при увеличении о поле затухает сильнее. Время прихода отражений не изменяется, так как а не влияет на скорость распространения поля.

Результатом исследований, проведенных во второй главе, является обоснование положения о том, что процесс распространения электромагнитного поля при малых временах аналогичен распространению сейсмических волн и эта аналогия может быть использована при решении обратной задачи, т.е. задачи определения электромагнитных параметров в около-скваккнном пространстве по измерениям поля в скважине.

Третья глава посвящена • решению обратной задачи определения функции е(г) в околос-кважинном пространстве по измерениям поля в . скважине. Для численного решения обратной задачи применены методы теории оптимального управления. Основные принципы и обзор методов минимизации функционалов изложены в монографиях Ф.П.Васильева. Оптимизационный подход при решении обратных задач успешно использовали A¿Baniberger, G.CJiavent, P.Lally, В.А.Чеверда, Ш.Нямбаа, С. И. Кабаних ин, КЛ.Искаков и др.

Сформулируем постановки обратных задач. . ..

Обратная задача для линейного зонда (ОЛ) состоит в нахождении е(г), при r>rQ и U(r,t), при r>0, t>0 из соотношений (ПЛ) и дополнительной информации

B(r0,t) = 6,(t). t>0. (4)

если заданы ц, о(г), p(r), q(t), g,{t), а также £(г), при

г t- г .

о

СЗратиая задача для кругового зонда (ОН). Определить е(г), при г>г0 и У(гД), при г>0, 1,>0 нз соотношений (ПК) а

У(т0Л) = в2Ш, 1>0, (5)

при известных к, ц, а(г), рк(г), я(г), й2(1) и е(г), при г€г0.

Решение обратной задачи (ОЛ) рассматривается как управление е(г), доставляющее минимум функционалу т

3[е) = | [и(г0,г,е) - (6)

о

Для минимизации функционала (6) применен итерационный метод сопряженных градиентов. По некоторому заданному начальному приближении е0(г) строится последовательность

ех+Иг>= Бк<г) " еЛ(г)-

где

зе0=а'(е01, ^ = а'[ек] - р^.,. к=1.2.....

Г1г - о Ф

К Н^' 1е1с_11Ц- -

параметр 8к определяется аз условий !<£*>_

J' - градиент функционала (6). Получена формула

т

J'[eЦr) = | игг(гД)ф(гД) (П. (7)

о

в которой и - решение прямой задачи (ПЛ), (р - решение следующей сопряженной задачи:

£<*>и ' Щ- и Ь (г 8г<г ¥>) + 2(иЬ0.и-в, (1))в(г-г0). О,

Гв(0',А), 1б(0,Т), (СЛ)

ф| =0, Ф41 =0, ф| =0, ф| =0. Ч=т 1Ч=Т г=о Г=А

В случае катушечного источника выражения для целевого функционала и его градиента аналогичны формулам (6), (7), а сопряженная задача имеет вид

°ЧЧ-¡Г $Г & М +

ф! =0, ф+| =0, ф1 =0, ф| =0. (СК)

Ч=т гЧ=т 'г=о Г=А

Г6(0,А), и(0,Т),

В параграфе §3.2 для численного решения сопряжении задач построены разностные схемы и получены условия их устойчивости

для (СЛ):

для (СК): ^ > [ а1( 1 + ^—— ] + ^й2^ ]

Параграф §3.3 посвящен модификации метода сопряженных градиентов при решении обратных задач для случая кусочно-постоянной среди. Предположим, что границы г^, 3=1,...I, слоев известны, и требуется определить значения е^ в

зтих слоях, то есть, вектор 2= (в1.....еь)*. Так же, как и в

§3.1, рассмотрим целевой функционал

т

= _[ [исг0.г,е)-е1 (г)12 а

В этом случае формула для градиента функционала примет вид:

З'=(а'(1).....а'(Ь))\

гл т

ги>= I | Ф(гд) <зг с!г, .....1.

Г.)-1 о

В приложении приведены результаты численных расчетов. В первой часта расчеты для прямых задач демонстрируют процесс распространения волн и отраяения их от границ раздела сред п от оси скважины. Расчета проведены для системы приемников, разнесенных вдоль оси Ог в задаче (ПЛ), я для приемников, разнесенных вдоль оси скважины (оси Ог) в задаче (ПК). Во второй части приведены результаты численного решения обратных задач по алгоритмам, изложенным в главе 3. Рассмотрена непрерывно меняющиеся и слоистые среды. На графиках сопоставляются истинная и вычисленная функции е(г) , а такпе соответствующие им решения прямых задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

- построена математическая модель процесса распространения электромагнитных волн в околоскважинном пространстве от импульсных источников тока;

- разработаны и реализованы в виде программного комплекса алгоритмы численного решения прямой и обратной задач, система графического отображения результатов счета;

- обосновано положение о том, что ранняя стадия процесса становления электромагнитного поля (при 0<ию~7 сек.) содержит достаточно полную информацию о диэлектрической проницаемости е околоскважинного пространства н может быть использована для определения его структуры;

- показана принципиальная возможность решения одной из основных задач оперативной интерпретации данных геофизических исследований скважин на нефть и газ - задачи определения характера насыщения пласта-коллектора (в частности, размера зоны проникновения).

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1). Кабанихин С.И., Нартаков С.И. Исследование проекцнонно-разностного метода решения прямой и обратное задачи геоэлектрики. Новосибирск, 1988. 51с. (Препрант/AH СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т математики; * 13).

2).Ra6aHHXHH С.И., Нартаков C.B., Табаровскнй Л.А., Шифон Н.Я. Изучение диэлектрической проницаемости околоскважинного пространства в ранней стадии процесса становления //Исследования по условной корректности задач математической физики / АН СССР, Сиб. отд-ние. Ии-т математики. Новосибирск,

1989. с. 40-59.

3). Кабанихин С.И.,Нартаков C.B..Яоргунова Т.Ю..Подгорная Л.Е. Задача подповерхностной радиолокации при подземных иссле-дониях на. малых глубинах // Методы решения обратных задач /АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск,

1990. с. 61-71.

4). Кабанихин С.И., Нартаков C.B., Табаровский Л.А. Диэлектрический каротаж в ранней стадии процесса становления // Условно-корректные задачи математической физики: Тезисы докладов всесоюзной конференции (2-6 октября 1989г., Алма-Ата). Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. с.83.

5).Кабанихин С.И., Карчевский А.Л., Ыартаков C.B. Прямые и обратные задачи георадиолокации // Условно-корректные задачи матем. физики и анализа: Тезисы докладов VU] Всесоюзной

конференции 1-5 июня 1992. Новосибирск, 1992. с.148-149. 6). Мартаков C.B. Математическое моделирование в диэлектрическом каротаже // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тезисы докладов научной школы-семинара. Киев, 28-30 мая 1991. Киев, 1991. с.98.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям члену-корреспонденту РАН В.Г.Романову я доктору физ.-мат. наук С.И.Кабанихину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Подписано к печати 16.02.93 Формат бумаги 60*80 Заказ * 91

Объем 0,75 п.л. I уч.-изд. л. Тираж 100 экз.

Ротапринт Новосибирского государственного университета 630090, Новоскбирск-90, Пирогова, 2.