автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение эргодических свойств и декомпозиции при оценке параметров некоторых прикладных вероятностных моделей

< ^ л На правах рукописи

Талалаева Анна Борисовна

ПРИМЕНЕНИЕ ЭРГОДИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРОВ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 1998

Работа выполнена на кафедре математического моделирования и информатики Дальневосточного государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Гурами Шалвович Цициашвили

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится "2.-4 " алрьлА. 1998 года в ¿3 часов на заседании диссертационного совета Д 003.30.01 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, г.Владивосток, ул.Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан ** " миртл^ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор

Валерий Вячеславович Катрахов

кандидат технических наук, доцент Эдуард Иванович Антонов

Ведущая организация: Дальневосточный государственный

университет

д.т.н., профессор

Б.И.Коган

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При рассмотрении прикладных вероятностных моделей перед исследователем встает целый ряд проблем. Выбор исследуемой модели, как правило, осуществляется эвристически, без должного обоснования корректности, хотя он и определяет ход дальнейшего исследования. Если добиваться определенной адекватности модели изучаемому процессу, необходимо решить серию задач. При этом оценка параметров и проблема устойчивости являются одними из важнейших. При оценке распределений совершаются погрешности, проистекающие из конечности статистических выборок, неточности выполнения принятых гипотез, неполноты имеющейся информации, неадекватности модели оригиналу и т.д. Необходимость учета отклонений, вносимых в модель различными неточностями, приводит к проблеме количественной оценки степени устойчивости.

Из обширной литературы становится ясным, что при рассмотрении вероятностных моделей, оценке их параметров, исследовании устойчивости и связанной с ней задачи анализа непрерывности входных характеристик модели относительно возмущений выходных данных (для обратной задачи) большой интерес и большую практическую пользу представляет использование зргодических свойств исходной модели на основе декомпозиции наблюдений. При этом теорию эргодичности используют не как строгий математический результат, но берут ее "общую философию", извлекая некий эвристический принцип. Таким образом, при решении выше перечисленных вопросов "среднее по траектории" заменяют на "среднее по ансамблю".

Использование принципов эргодичности и декомпозиции наблюдений дает возможность:

• упростить модель, выделив последовательность независимых случайных величин из потока наблюдений;

• получить более обоснованные и точные оценки параметров упрощенной, а следовательно, и исходной вероятностной модели;

• дать количественные оценки устойчивости полученных оценок;

• спланировать вычислительные эксперименты.

Эти оценки можно использовать как основу при рассмотрении более сложных прикладных вероятностных моделей.

Вышеизложенное позволяет отнести проблему такого подхода при постановке и разработке методов решения некоторых прикладных вероятностных задач к актуальным проблемам прикладной математики.

Цслыо работы является применение единого подхода, основанного на использовании эргодических свойств прикладных вероятностных моделей и декомпозиции наблюдений при решении вопроса построения оценок параметров моделей, согласованных с наблюдаемыми выходными данными для ряда задач медицины, биофизики и теории испытаний.

Для этого необходимо решить следующие задачи.

• Подобрать вероятностные модели, согласованные с наблюдаемыми выходными данными для задачи статистического оценивания параметров распределения интервалов по неточным данным из приложений кардиологии, для задачи оценки параметров модели численности популяций Риккера по неточным наблюдениям и для разработки быстрой схемы испытаний.

• Построить статистические оценки параметров данных моделей.

• Решить вопрос количественной оценки устойчивости построенных оценок.

• Для подтверждения основных результатов провести вычислительный эксперимент.

Научная новизна. Ранее подобные прикладные задачи решались, не не вполне обоснованными для подобного рода задач эвристическими методами, которые либо давали сравнительно большую погрешность решения, либо требовали длительных вычислений. Например, ме^ наименьших квадратов для нелинейной модели численности популяций -модели Риккера приобретает характер эвристического, поскольку дает I численном эксперименте погрешность ~ 100%. К тому же из-за недостатка частной информации прежде рассматривались общие модели с большим количеством параметров в очень общих предположениях. Полученные оценки не вполне удовлетворяли исследователей. Отсюда возниклг необходимость в более частных моделях, более тонкой их классифика ции, но и в более точных результатах. Это и привело к декомпозиционному подходу при постановке задач. Поэтому и решения нуждались I серьезных математических изменениях. В процессе таких изменений пришлось внести существенные коррективы как в алгоритмы обработки

так и в схему организации наблюдений. Это привело к значительному уменьшению погрешностей соответствующих оценок.

В предлагаемой работе сделана попытка модифицировать методы для получения более точных оценок на основании единого подхода к решению задач, основанном на использовании эргодических свойств исходных прикладных вероятностных моделей и декомпозиции наблюдений. Разработанные нестандартные приемы позволяют применить строгие математические методы, идеи и результаты теории устойчивости вероятностных моделей к решению ряда прикладных задач, построить конструктивные оценки параметров процессов, которые затем проверяются с помощью специальных методов теории вероятностей и дать количественные оценки их устойчивости.

При решении этих вопросов из теории эргодичности выбираются следующие понятия: среднее по траектории, среднее по ансамблю, период регенерации. И используется основной принцип теории эргодичности: замена среднего по траектории на среднее по ансамблю.

Достоверность полученных результатов. Основанием служит использование классических методов теории эргодичности, методов и результатов теории вероятностей и теории устойчивости вероятностных моделей. Достоверность определяется строгостью математических выкладок и приемов, внутренней непротиворечивостью.

Применение н практическая значимость работы определяется тем, что в работе критически анализируются и совершенствуются алгоритмы, применяемые в моделях популяционной динамики, при обработке кардиограмм, при планировании испытаний на отказ.

Апробация. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались:

• на XXXV, XXXVI, XXXVII научно-технических конференциях Дальневосточного государственного технического университета (г.Владивосток, 1995, 1996, 1997 гг.);

• на семинаре проф. Е.Я.Фрисмана в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (г.Владивосток, 1996 г.);

• на Втором международном сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г.Новосибирск, 1996 г.);

• на Первой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, посвященной 25-летию математического факультета ДВГУ (г.Владивосток, 1997 г.);

• на Дальневосточной математической школе - семинаре им. академика Е.В.Золотова (г.Владивосток, 1997 г.).

Работа в целом была доложена на семинарах:

• в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (г.Владивосток, 1997 г.);

• проф. А.Г.Зарубина в Хабаровском государственном техническом университете (г.Хабаровск, 1997 г.);

• в Дальневосточном государственном университете (кафедра математического моделирования) (г.Владивосток, 1998 г.).

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Основная часть работы содержит 132 страницы машинописного текста, 4 рисунка. В приложениях даны результаты вычислительного эксперимента, проведенного по трем рассмотренным задачам. Список литературы содержит 52 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель работы и ее научная новизна, приведен краткий обзор литературы, отражающий историческое и современное состояние исследуемой проблемы, даны краткая характеристика работы, подход к решению поставленной задачи и перечень основных результатов.

В главе I рассматривается задача, возникающая при статистической обработке кардиограмм. При этом большой интерес представляет анализ интервалов между максимальными точками -зубцов - кардиошггервалов. Характерное значение кардиоингервала а ~ 1 с, а характерная ширина 11-зубца и, следовательно, точность определения его максимальной точки 3 ~ 10"3 с. Поскольку 5 « а , то удается сформулировать и решить задачи статистической оценки среднего, дисперсии, закона распределения и некоторых других характеристик вероятностного распределения кардиоинтер-валов по неточным значениям максимальных точек Л-зубцов.

Статистические оценки, полученные для конкретной кардиологической задачи, допускают многочисленные обобщения. Основой этих

обобщений является рассмотрение последовательности максимальных точек Л-зубцов в виде рекуррентного потока, широко применяемого в моделях массового обслуживания и надежности.

Рассмотрим рекуррентный поток точек

Т= {0 = /0 </,+ != и+Х;, />0 },

где хо , XI ... - независимые случайные величины с общим законом распределения Дм) = Р{х,<и}, / = О, 1, ... .В исходной кардиологической задаче - это максимальные точки последовательных Я-зубцов.

Реально, вместо потока Тнаблюдается возмущенный поток (см. рис. 1)

т = {% = к + го £ 7, = I, + г7 < Т2 = и + г2 <...},

где го , п ... - ошибки наблюдений за точками исходного потока Т, являющиеся независимыми случайными величинами с законом распределения

ад = р{г,<м}, / = о,1,....

Таким образом подбираются максимально простые (в сравнении с методами спектрального анализа) модели ошибок г,-, г = 0, 1, ... наблюдений как возмущения рекуррентного потока. При этом возмущаем не весь интервал между соседними -зубцами, а только его края. Это позволит в дальнейшем устранить ошибку наблюдений при оценке параметров распределения интервалов.

1о 11 \.2 ... 1п+2 ... 12п

--_У ч_Л._..._-А_____-< ____-

. хо . XI . Х2 • « Хп-1 ■ Хп. Хп+1- Хп+2 ■ Х2п

• 1 « 1 1 •Гп+1 ■ 1

• Го ■ Г| Г2- ■ Гп • Гп+2 • Г2п

.... "г-. -......- -

* 0 I 1 * 2 ? п ' п+1 ' п+2 1 2п

Рис. 1. Наблюдение за рекуррентным потоком".

Предположим, что распределения ^(м), Я(и) удовлетворяют следук

щим условиям: Мх( — а, Dx¡ = Ь, Мг, — 0, г = 0,1,... , и при некоторы

у*

положительных V*, V , V*< и, 0 < 5< — выполняются соотношения:

Р{ъйх,< V} = 1, Р{|г,|<<5} = 1.

2

Тогда справедливо неравенство: Ог, < 8 . Последние ограничения говс рят о том, что порядок с вероятностью 1 точек г — О, 1, ... исходног потока в наблюдаемом потоке будет сохранен (см. рис.1).

I. Рассмотрим случай из приложений кардиологии: 5 « 1 Поскольку интервалы между наблюдениями за соседними зубцам , / = 0,1,... зависимы, использован прием, аналогичный методу выде ления периода регенерации в теории эргодичности. Т.е. объединим зне чения I i = + Т[, г = 0, 1 ... в интервалы таким образом, чтобы новы интервалы у{, / — 1, 2, ... ,т стали независимыми:

у\ = - Го = хо + п - го, уг=7ъ-7г = хг + п-п,

Ут ~ 72т-1 - Ьт-2 ~ х2т-2 + г2т-1 ~ г2т-2>

Таким образом, у\,уг, ... - независимые и одинаково распредели ные случайные величины.

Обозначим: ах = Ме}~х', ап = Ме2кх>, Р(а,р) - Р{а<х1</)},

\,аф> 0, г = 0,1,...

По наблюдениям Т построены следующие оценки а па, Ъ , а х

Р (а,Р) величин а, Ь, ад, Р{а,Р) соответственно:

1

« у1 , (О

ГПы\

1 т( ] т \2

^ГТтфг1^ . (2)

т т ,=1 т

Здесь т(а,Р)~ числог = 1,... , т,таких, что а < yi <(5.

Близость предлагаемых оценок к оцениваемым величинам измеряется в среднеквадратичной метрике р, определенной на множестве случайных

величин \р(х,у)= {м(х- у 2 ) и дается следующими соотношениями:

28г+Ь /г ч 282+тЬ

т 4 ' V т2

< 00 и

р\Ь,Ь\ <—т= л-282, если Мх\ ^ ' -4т

С - некоторое положительное число.

р{ах,ал)< -+ ал(е2Л" - 1), где а21& = Меш, Х>0.

ыт х '

Если закон распределения Р( и) имеет плотность /(и), ограниченную числом С, и Р(а < XI <Р) - А » 8, то тогда

Ар(а,р),Р(а,/3))<~ + 2С5, 5« 1 . ' Чт

Последние пять неравенств описывают качество оценок а и а , Ъ , а х, Р(.о,Р) в предположении 8« а . Отказ от последнего предположения требует выбора других оценок величин а, Ь, ах, Р{а,р).

II. Некоторые обобщения полученные результатов. Выходим за рамки кардиологической задачи и уже не требуем, чтобы 5 « 1 . В этом случае необходимо изменить вид оценок а , Ь, а ц. К тому же отказ от условия, что б « 1 приводит к иному построению у,-, I = 1, 2, ... , т. Получены статистические оценки а , Ь , а х параметров а, Ъ, ад соответственно,по наблюдениям Т, оценена степень близости построенных оценок а , Ь к оцениваемым параметрам а, Ь в среднеквадратичной метрике р(х, у).

Близость оценки а л к оцениваемому параметру Од дается в метрике х(х>У) - метрика ;г.и-Фан, определенной на множестве случайных величин {х(х,у) = 1Г>ГГ " ' Р(\х-у\>е)<е)).

В главе II решается задача оценки параметров модели Рмккера по неточным наблюдениям.

В начале 70-х годов начали проводиться исследования моделей динамики численности, подобных: = а1\'А • ЦЛ^), и — 0,1,... в работах А.П.Шапиро, Р.М.Мэя, А.Н.Шарковского и др.

Среди рекуррентные моделей подобного вида для математической экологии большой интерес представляет модель численности популяций Риккера:

хп+1 = ахп • е~ЬХ"» « = 0,1,..., (3)

где Хо > 0, а параметры а, Ъ удовлетворяют условиям:

а > 1, Ъ > 0. (4)

Для модели Риккера и практически, и теоретически важно оцени вать параметры а и Ъ по неточным наблюдениям уп, за состояниям1 хп, п — 0, 1,... . Это непростая статистическая задача. В силу нелиней ности модели Риккера применение метода наименьших квадрато! (широко используемого для оценки параметров случайных процессов I линейных системах) к оценке параметров модели Риккера не вполн удачно. Это подтвердили многочисленные компьютерные эксперименты

проведенные Н.А.Солоповым. Это объясняется тем, что (как обнаружили экологи, обсчитывая модель Риккера на машине) при некоторых значениях параметров а и Ь последовательность хп, п — 0, 1, ... обнаруживает псевдослучайный характер. То есть сама детерминированная траектория обладает свойством псевдослучайности и неустойчивости. И эта неустойчивость привела к тому, что при включении еще и ошибок в наблюдения, качество оценок параметров модели Риккера, полученных по методу наименьших квадратов, стало невысоким. Обращение же к эр-годическим свойствам модели Риккера дало существенно более точные оценки параметров а и Ъ .

В главе II строится статистическая оценка параметров а и Ъ рекуррентной модели Риккера (3) - (4) по наблюдениям уп за значениями х„, п = 0, 1, ... . При этом выбираем мультипликативную модель внесения ошибок (возмущений) £„, п — 0, 1, ... в наблюдения уп:

уп=хп-ег\ .4 = 0,1,..., (5)

более свойственную задачам оценки численности популяций. Здесь £ „ , п — 0, 1, ... - последовательность независимых, нормально распределенных случайных величин со средним 0 и известной дисперсией сг2.

В решении этой задачи можно выделить следующие этапы:

I. Получаем уравнения для вычисления параметров модели Риккера для детерминированного (без случайных возмущений) случая методом средних по траектории. При этом используются такие качественные свойства последовательности (3), как существование у нее предельного цикла длины д > 1 или предельного распределения.

Скажем, что последовательность х„, п = 0, 1, ... имеет предельный цикл ..., х^ длины <7, <7> 1 ,если

Пусть р(с!х) - вероятностная мера на а - алгебре измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [С/, 0 < С/ < со, 0 < С2 < °° . Ска-

жем, что р((1х) является предельным распределением последовательности х,„ п — 0, 1, ... , если для любого измеримого по Лебегу множества С с: [С;, С2] справедливо равенство:

Нт К(°'П) = ¡р(с1х) = р(С).

Л-» 00 О ^

Здесь К(С,п) - количество х,-, удовлетворяющих включению XI е С, 1 = 0,1 ,...,п-1.

Утверждение 1. При выполнении условий (4) существуют положительные числа С], С2 такие, что

С1<хп< С2, п> 0.

Утверждение 2. Если последовательность х„, л — 0, 1, ... имеет

(!) (я) ^ 1

предельный цикл х , ..., х длины q> 1 или предельное распределение р(йх), причем существуют положительные числа С; и С2 такие, что С] < хп < С2, и функция /(I) непрерывно дифференцируема на отрезке [С], С2], тогда существует

/(х)=Нт-^ Дх() п 1=о

Следствие. Существует среднее по траектории /(х) для моментов

/(х)=х, /(х)-\пх, /(х) = х2, Дх) = х1пх, Дх)--{х\пхУ. Логарифмируем соотношение (3):

1пх„+1 = 1по+ 1пх;) -Ьхп,тогда 1п2хл+1 = (1па +1пх„ - Ьхп)2.

Суммируя по п от 0 до N—1 и переходя к пределу при N —>■ со, получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров а и Ь :

\ln a = bx,

(0 = In2 a + b2x2 + 2Ina• Inx - 2b• Ina ■ x - 2bxInx,

из которой следуют уравнения для вычисления параметров а и b через f(x) при разных f(x):

lna = bx, (6)

, nxlnx - х ■ Inx

Ь=2 — -2 • (7> х - X

При построении уравнений (6) и (7) использовали такие понятия теории эргодичности, как существование средних по траектории для детерминированной последовательности и статистический метод моментов фазовой траектории (последовательности - модели Риккера).

II. Средние по траектории f(x) детерминированной модели (3) оцениваем по наблюдениям уп, /2 = 0, 1,... , т.о. производится включение в задачу мультипликативной модели (5) внесения ошибок в наблюдения.

1 / 9\ 1 п~1

Обозначим: Гп=-5>,-» [Y I =~Zyf, ",•=0 V J" "/= о

[YlnY)n = ]^yilny., (lnY) „ yt.

n i=0 n (=0

В рамках условий утверждения 2 и равенств (5) справедливы следующие оценки:

_ _ст2 / _

х = lim MY„ -е /г , х2 = lim m(y2) -е"2^ ,

л->а> п—>оо \ 'п

hxx= lim M(lnY)n, (8)

___ — 0.2 /

xlnx = /гам((7/л7)и-ст2у„)-е" /2 .

III. Строим оценки параметров модели Риккера по неточным наблюдениям уп, п = 0, 1,...

Учитывая соотношения (8) в уравнениях (6) и (7), получаем в качестве оценки параметров а и b по наблюдениям у„, п — 0, 1,... величины а „ и Ъ „ соответственно, которые определяются следующим образом:

ап = ехр

-¿Л bn-Yn-e /2

(9)

И,

■М

IV. Рассматриваем погрешность решения. Используя равенства (8) и строя оценки .дисперсий:

DYn<^-, Dir2) Ä D(lnY) Ä DlYlnY) А " n \ '» n V n K tl

где Cj, C2, Cj, C4 - некоторые положительные числа, можно доказать

-а2/ _

сходимость при п—> оо в среднеквадратичном Y п е 2 —> х,

2 _ _ _а2 / _

(г2) е~2а ->х2, (lnY)n —> In х, ((У lnY)n-o2Yn}e /г х/ях/

Отсюда следует, что в рамках утверждения 2 и равенств (5)—(7), (9) случайная последовательность (а „, b „) сходится по вероятности к параметру (а, Ь) при увеличении длины ряда наблюдений п.

Таким образом, (а „, b П) является состоятельной оценкой параметра (а, Ь) модели (3)-{4) по наблюдениям (5).

В главе III представлен алгоритм ускорения испытаний долгорабо-тающнх объектов. Задача организации испытаний является традиционной. Однако разработки технологий по очистке от загрязнений (включая радиоактивные отходы), новых лекарственных препаратов,

испытание новых образцов техники с редкими отказами и т.п. требуют вновь обратиться к ней. Время до наступления редких отказов принимается распределенным по показательному закону F(t) - < -ifT

— \—е , t >0, где постоянная времени Т » 1 .

Такое распределение встречается в теории массового обслуживания, надежности, управления запасами и характеризует момент первого наступления редкого события, например, отказа в высоконадежной системе.

Особенностью данной задачи является большое время проведения испытаний, что неудовлетворительно при высоком темпе современной жизни. Возникает необходимость разработки быстрых схем испытаний. Таким образом, основной вопрос состоит в необходимости ускорения испытаний при заданной достоверности их результатов.

Модель одновременного испытания п независимо работающих приборов до отказа всех п приборов строим в виде потока точек {х,-,/>1|. Предположим, что х\,...,хп - независимые времена наработки на отказ, подчиняющиеся распределению F(t). Тогда Тп = (х]+...+хл)/л является несмещенной оценкой параметра Тс дис-

- Т2

Персией DTn =-.

п

Среднее время проведения комплекса из п испытаний удовлетворяет неравенству: MSn > Т » 1.

Чтобы уменьшить MSn, увеличиваем число испытываемых приборов в m раз, и все они начинают работать в нулевой момент времени. Обозначим 0 < Ц < ¡2 <...< \п моменты первых п из п-m возможных отказов и предположим, что 7{ = У1>Ъ.~Н = Уг>---,%г ~ Zi-l ~ Уп-Таким образом, длина интервала наблюдений уменьшилась за счет увеличения числа наблюдений. С позиции теории эргодичности "среднее по траектории" заменили на "среднее по ансамблю".

Тогда оценка

Тп =-{пту | +(ww-l)>'2+...+(nm-n + l)jrt)

будет несмещенной оценкой параметра Тс дисперсией ОТп= —.

п

Среднее общего времени 1п проведения испытаний удовлетворяет неТ

равенству: М(п <-, из которого следует тот факт, что увеличение

т-1

в т раз общего числа испытаний дает при сохранении среднего и дисперсии оценки параметра Т уменьшение среднего времени проведения испытаний в (т-1) раз.

В приложениях представлены результаты относительно небольшого демонстрационного вычислительного эксперимента, проведенного по трем рассмотренным задачам. Эксперимент проводился с целью первой проверки некоторых основных результатов диссертации, для подтвержден™ обоснованности выбранных оценок и показал сравнительно хорошие результаты:

1. Относительная погрешность IV определения среднего а по формуле (1) через наблюдаемые значения у], у2, ..., ут = ——— ~ 3%.

а

2. Относительная погрешность 5 определения дисперсии Ъ по фор-

^_^

муле (2) на фоне неточных измерений Л-зубца: 5 = ---5%.

Ъ

3. Ошибка и определения параметра 1п а по формуле (6) для детерминированного случая (т.е. по точным наблюдениям): V ~ 1%.

4. Ошибка ^определения параметра 1п а по неточным наблюдениям (5), полученная, следуя принципам построения оценки (9, первой): IV ~ 2%.

Естественно было ожвдать, что при большом числе итераций будет накапливаться машинная ошибка вычислешш. Однако вычислительный эксперимент показал, что метод осреднения по траектории сглаживает и эту ошибку.

5. Ошибка оценки Тп параметра Т оказалась: IV ~ 10% . При увеличении испытываемых объектов, например, в 10 раз реализация общего времени проведения испытаний уменьшилась ~ в 50 раз.

Результаты вычислительного эксперимента подтвердили тот факт, что обращение к эргодическим свойствам прикладных вероятностных

моделей и декомпозиции наблюдений при оценке параметров вероятностных моделей позволили получить более точные и обоснованные решения поставленных прикладных задач. Эти решения могут явиться основой для проведения более крупных вычислительных экспериментов с использованием реальных практических данных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Решена задача статистического оценивания параметров распределения интервалов по неточным данным рекуррентной модели из приложений кардиологии. Даны некоторые ее обобщения .

2. Решена задача статистической оценки параметров модели численности популяций Риккера по неточным наблюдениям с мультипликативной моделью внесения ошибок в наблюдения.

3. Разработан алгоритм ускорения испытаний долгоработающих объектов.

В процессе решения данных задач

1. Подобраны вероятностные модели, согласованные с наблюдаемыми выходными данными.

2. Построены статистические оценки параметров рассмотренных моделей.

3. Даны количественные оценки их устойчивости, т.е. оценена степень близости выбранных оценок к оцениваемым параметрам в соответствующей метрике (в среднеквадратичной метрике р или метрике Ки-Фан %).

4. Проведен вычислительный эксперимент для проверки некоторых основных результатов и для подтверждения обоснованности выбранных оценок.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Талалаева А.Б., Цициашвили Г.Ш. Оценка распределения интервалов по неточным данным // XXXV научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ: Тез. докл. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1995. С.3-4.

2. Талалаева А.Б. Оценка параметров модели Риккера по неточным наблюдениям для мультипликативной модели ошибок // XXXVI научно-

техническая конференция преподавателей ДВГТУ: Тез. докл. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. С.23-24.

3. Талалаева А.Б., Цициашвили Г.Ш. Оценка распределения интервалов по неточным данным // Проблемы естествознания и производства. Тр. ДВГТУ; Вып. 117, сер.5. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996. С.44-46.

4. Цициашвили Г.Ш., Талалаева А.Б. Оценки параметров модели логистического роста и модели Риккера по неточным наблюдениям // Второй международный сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тез. докл. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996. С.38.

5. Талалаева А.Б., Цициашвили Г.Ш. Оценки параметров некоторых прикладных вероятностных моделей. Препринт №02. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997. 7 с.

6. Талалаева А.Б. Оценка параметров модели Риккера по неточным наблюдениям для мультипликативной модели ошибок // Проблемы естествознания и производства. Тр. ДВГТУ; Вып. 119, сер.5. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1997. С.22-23.

7. Талалаева А.Б., Цициашвили Г.Ш. Вычислительный эксперимент по оценке параметра роста в модели Риккера: Препринт №14. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997. 5 с.

8. Талалаева А.Б., Цициашвили Г.Ш. Ускорение испытаний долгора-ботающих объектов // XXXVII научно-техническая конференция преподавателей ДВГТУ: Тез. докл. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1997. С.27-28.

9. Талалаева А.Б. Применение эргодических свойств для статистической оценки параметров модели численности популяций по неточным данным // Первая Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию, посвященная 25-летию математического факультета: Тез. докл. Владивосток: Изд-во "Дальнаука" ДВО РАН, 1997. С.61.

Личный вклад автора. Работы 2, 6, 9 выполнены автором лично. В работах 1, 3, 4, 5, 7, 8 автором выбраны методы расчетов и проведены основные выкладки и вычисления.