автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени

На правах рукописи ' /

Пахотинских Василий Юрьевич

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2005

Работа выполнена на кафедре «Автоматика и информационные технологии» ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ».

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, В.Н. Ушаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, А.Н.Сесекин кандидат физико-математических наук, доцент H.H. Петров

Ведущая организация - ГОУ ВПО «Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова»

Защита состоится « » ОеЫЬкА 2005 года в

И- . часов в аудитории на заседании

диссертационного совета Д.2И.296.02 при ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет», по адресу: 454021, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 454021, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет», ученому секретарю.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан « » !ла jS^J^ 2005 i

Ученый секретарь

диссертационного совета Д. 212.296.02, доктор физико-математических наук, профессор

В.И. Ухоботов

2,1 <№0 з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач управления нелинейными динамическими системами на конечном промежутке времени. Предполагается, что управления стеснены геометрическими ограничениями.

В диссертации изучаются, в основном, две задачи управления.

В одной из них задана управляемая система, в которой присутствует только управление и отсутствует помеха. Требуется построить управление, обеспечивающее сближение с заданным целевым множеством в конечномерном евклидовом пространстве. Эта задача рассматривается в рамках математической теории оптимального управления.

Во второй задаче, в управляемой системе, функционирующей на конечном промежутке времени, присутствует не только управление, но и помеха, стесненная также как и управление, геометрическими ограничениями. Эта задача рассматривается в рамках теории позиционных дифференциальных игр.

Современная математическая теория управления охватывает широкий круг актуальных задач, имеет богатый арсенал методов решения разнообразных задач управления, в том числе, игровых задач. Математическая теория управления имеет прочные связи со многими разделами математики и многочисленные приложения.

Становление математической теории управления относится к середине предыдущего столетия и в значительной мере связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JÏ.C. Понтрягина, Р. Айзекса (R. Isaacs), Р. Беллмана (R. Bellman), У. Флеминга (W.H. Fleming).

Большой вклад в развитие математической теории управления внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, Б.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, F.M. Clarke, R.E. Kaiman, G. Leitman, P.L. Lions.

Значительные результаты в математической теории управления и ее приложениях получили Э.Г. Альбрехт, В.Д. Батухтин, Р.Ф. Габасов, А.Я. Дубовицкий, С.Т. Завалищин, М.И. Зеликин, Ф.М. Кириллова, A.B. Кряжимский, М.С. Никольский, A.A. Меликян, A.A. Милютин, H.H. Петров, Л.А. Петросян, В.М. Тихомиров.М., Е.Л. Тонков, В.Е. Третьяков, А.Г. Ченцов, A.A. Чикрий, В.А. Якубович, M. Bardi, Basar, Р. Bernhard, A.E. Bryson, R.J. Elliot, A. Friedman, Ho Yu-Chi, N.J. Kaiton, cf.£ Olsder, E. Roxin, P. Varaiya, J. Warga и многие другие ученые.

В настоящее время практические потребности стимулируют повышен! внимание к задачам управления и дифференциальным шрам, а также вычислительным методам решения этих задач. Этому способствует бурн прогресс вычислительной техники.

Одной из важных проблем, тесно связанных с многими задачами управление ^ л подвергшихся тщательному изучению с разных сторон, является задача построек 4g множеств достижимости управляемых систем. Изучению этой задачи сопутствует ряд вопросов теоретической направленности, в частности, изучение свойств (в том числе топологических) множеств достижимости1-2,3-4. В работах5'''7* 9'10 предложены

к

42

14

III

<5 ti

'Благодатсках В.И. О выпуклости сфер достижимости //Дифференциальные уравнения. 1972. T.8, №12. С.2149-2155.

методы приближенного конструирования множеств достижимости, базирующиеся на пошаговых конструкциях.

В течение нескольких десятилетий успешно развиваются теория и методы построения верхних и нижних эллипсоидальных и полиэдральных оценок множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем11'12'13'14'15.

Возможность вычисления множеств достижимости, их верхних и нижних оценок можно использовать для решения ряда задач оптимального управления и дифференциальных игр. Так, вычисление множеств достижимости является одним из компонентов в попятных процедурах построения стабильных мостов в дифференциальных играх.

Большая часть исследований, посвященных построению множеств достижимости, интегральных воронок и их оценок, а также оптимальных управлений и траекторий относится к линейным системам5'13,16,17. Здесь достигнуты наибольшие продвижения в вопросе конструирования множеств достижимости. Однако в последнее время возрастает вес исследований, посвященных нелинейным управляемым системам.

В случаях, когда управляемая система подвержена неконтролируемым помехам, задача сближения с целевым множеством может быть формализована как дифференциальная игра. В теории дифференциальных игр важное место занимает проблема построения множеств разрешимости - таких множеств, в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного наведения на целевое множество1 19-20-21 -52'23. в теории позиционных дифференциальных игр эти

1Бяагодатских В И.. Фшиилов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление //Труды

математического института АН СССР им В.А. Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194-252.

3Никольский М.С. Две теоремы о накрытии и их применение дна опенки множеств достижимости снизу //Тезисы международной конференции, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина, Москва, Т. Optimal Control and App. M.: 1998. C.247-248.

*Овсеевич А.И. Область достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения. Автореферат на ооискание степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.02. Инст. проблем механики РАН М : 1996.21с.

5Комаров В. А Оценки множества достижимости для линейных систем //Изв. АН СССР. Серия математическая. 1984.

T.48.J64. С .865-879.

'Комаров В Л. Оценки множества достижимости дифференциальных включений //Мат. заметки. 1985. Т.37 Вып.6 С.916-925.

'Никольский MC. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения //Вестник

Московского университета, сер. 15 вычислительная математика и кибернетика. 1987.4. С.31-34. 'Ушаков В Н„ Хрипунов Л П. Построение областей достижимости нелинейных управляемых систем Свердловск-1989 50с. Дел. в ВИНИТИ 26.12.89, »7638-B89.

'Хрипунов А П. Построение областей достижимости и стабильных мостов в нелинейных задачах управления Диссерт. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, по специальности 01.01.02. Ин-т мат. и мех. Екатеринбург: УрО РАН. 1992.140с.

'"Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета / СИ. Кумков, В С. Падко, B.C. Пятко, A.A. Федотов //Труды института математики и механики Т.6. №1,2 Екатеринбург УрО РАН. 2000. С. 413-434. "Костоусова ЕК. Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-маг. наук по специальности 01.01.02, 01.01 07. //Ин-т мат. и мех. УрО PAR Екатеринбург. 2005.42с.

аЧерноусько ФЛ. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.319с.

13Черноусько ФЛ. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной

матрицей //ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С.940-950.

"Kurzhanski A.B., Vafyi /. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhäuser. 1997.321p.

"Kurzhanski A.B., Varoiya P Reachability analysis for uncertain systems - the ellipsoidal technique //Dynamics of

continuous, discrete and impulsive systems. Ser. В. 2002. V.9. №3 P.347-367.

"Kurzhanski A B The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems //Directions in Mathematical

Systems Theory and Optimization /Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. Berlin: Springer. 2003. P. 193-202. Куржгшский А Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.392с

"Понтржгин Л С. О линейных дифференциальных играх. I//Докл. АНСССР 1967. Т. 175. №4. С.764-766

"Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. И //Докл. АНСССР. 1967. Т. 174. №6. С. 1278-1281.

множества называются стабильными мостами21"23,24. Основная трудность при решении задачи сближения приходится на построение стабильного моста. В случае, когда стабильный мост построен, реализовать разрешающий позиционный способ управления можно разными путями23,25 , например, или в форме экстремального прицеливания на стабильный мост, или в форме процедуры управления с поводырем.

Существуют различные подходы к решению задачи выделения стабильного моста в пространстве позиций. Так, хорошо известен в теории дифференциальных игр метод программных итераций, предложенный в середине 1970-х годов А.Г. Ченцовым . Достаточно эффективными являются методы и алгоритмы приближенного построения стабильных мостов, основывающиеся на попятных конструкциях. Этим конструкциям уделено значительное внимание в научной тематике по дифференциальным играм27,21,29'30.

В работе21,24 конструкции стабильных мостов применялись прежде всего для всевозможных теоретических построений и рассуждений.

Доведение конструкций стабильных мостов до стадии разработки численных алгоритмов потребовало немало времени и дополнительных исследований даже для наиболее простых классов задач. На начальном этапе разработки алгоритмов и численных процедур построения стабильных мостов внимание специалистов было сосредоточено преимущественно на линейных дифференциальных играх. Свойство линейности управляемой системы существенно облегчает разработку численных процедур построения стабильных мостов, позволяя применять методы и алгоритмы выпуклого анализа и линейного программирования30.

Параллельно для линейных дифференциальных игр сближения с выпуклым целевым множеством развиваются методы вычисления альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина. Теоретическую основу этих методов составила опубликованная в 1967г. работа Л.С. Понтрягина19. Эта работа, в которой было дано определение альтернированного интеграла как некоторого предела альтернированных сумм, отвечающих дискретным разбиениям промежутка игры, стала источником многочисленных исследований в теории дифференциальных игр. К числу первых работ, ориентированных на численные методы приближенного

^Красовский И Н Игровые задачи о встрече движений. M.: Наука, 1970.420с.

2'Красовский Н.Н, Субботин Л.И Позиционные дифференциальные игры. M.: Наука. 1974.456с.

22Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И О дифференциальных играх с фиксированным временем //Кибернетика. 1970. №2.

С.54-63.

а Красовский Н Н, Субботин А Н Аппроксимация в дифференциальных играх. //ПММ. 1973. T.37. Вып. 2. С. 197204

п Субботин А И, Ченцов А Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. M.: Наука. 1981. 288с.

25Красовский Н Н Управление динамической системой. М.: Наука. 1985. 520с.

иЧенцов А Г Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом

окончания //Докл. АН СССР. 1978. T.240. №1. С.796-800.

vТарасьев А А/, Ушаков В И, Хрипунов А и Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления //ПММ. 1987. T.51. Вып. 2. С. 216-222.

Ухоботов В.И К построению стабильного моста в игре удержания //ПММ. 1981. T.45. Вып.2. С.236-240. мУшаков В Н. Хрипунов А.П О приближенном построении решений в игровых задачах управления //ПММ. 1997. T.61. Вып. 3. С. 413-421.

30Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр /Под ред. А.И.Субботина и В.С.Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР. 1984.295с.

вычисления альтернированного интеграла JI.C. Понтрягина, относятся работы А.И Пономарева и Н.Х. Розова31'32.

В последующие десятилетия разработка теории и методов вычисления альтернированного интеграла J1.C. Понтрягина успешно продолжалась33,34. Вопросы, связанные с вычислением альтернированного интеграла JI.C. Понтрягина для линейных дифференциальных игр, остаются в центре внимания специалистов и в настоящее время. В связи с этим отметим две работы А.Б. Куржанского и его учеников. Работа35 посвящена задаче нелинейного синтеза управлений в системах с линейной структурой и геометрическими ограничениями на входные параметры. В работе подчеркивается значение методов многозначного анализа и особая роль альтернированного интеграла JI.C. Понтрягина в построении предлагаемых решений; обсуждается их тесная связь с уравнением Гамильтона-Якоби. В работе36 предложен синтез управления для линейной системы при неопределенных возмущениях в условиях, когда управление стеснено одновременно геометрическими и интегральными ограничениями, а помеха - лишь геометрическим. Решение задачи управления достигается соединением модифицированных конструкций экстремального прицеливания H.H. Красовского и альтернированного интеграла JI.C. Понтрягина: синтез управлений строится как стратегия экстремальная к множеству разрешимости задачи, которое в свою очередь является пределом интегральных сумм.

В 80-х годах XX века была начата разработка алгоритмов и численных методов построения стабильных мостов для некоторых классов нелинейных дифференциальных игр27,29. При этом рассматривались, в основном, нелинейные по фазовой переменной управляемые системы на плоскости. Были предложены методы и алгоритмы приближенного вычисления стабильных мостов для таких систем37, базирующиеся на приближенном представлении сечений стабильного моста многоугольниками на плоскости и многократном применении операций пересечения и объединения многоугольников (в том числе, невыпуклых) на плоскости.

В середине 90-х годов XX века были предприняты первые попытки применить к решению задачи приближенного построения стабильных мостов для управляемых систем на плоскости пиксельные методы37. Обращение к пиксельным методам мотивируется простотой операций пересечения и объединения множеств, составленных из пикселов, что существенно упрощает и ускоряет процедуру построения разрешающих множеств в задачах управления и дифференциальных играх. Пиксельные методы являются одними из самых перспективных при

31Пономарев А.П, Розог H X. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина //Веста Моск. ун-та Сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1978. №1. С.82-90.

пПономарев АЛ. Оценка погрешности численного метода построения альтернированного интеграла Понтрягина //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1978. №4. С.37-43.

3Î Никольский U.C. Об альтернированном интеграле Л.С.Понтрягина //Мат. сб. 1981. Т. 116 №7.0.136-144.

34 Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр / Е.С. Половиикин, Г.Е. Иванов, М.В.

Балашов, Р.В. Константинов, АЛ. Хореев //Мат. сборник. 2001.192. №10. С.95-122.

}>Куржанский А.Б, Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и

уравнение Гамильтона-Якоби //Мат. сб. 2000. Т.191. №6. С.69-100.

Дарьин А.И., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях //Дифференц уравнения. 2003. Т.39. №11. С. 1474-1486.

Бабаяыев М.Х, Хрипунов А П. Об одном методе приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения //Инст. матем и механ УрО РАН Екатеринбург Деп в ВИНИТИ 27 06 94 №1590-В94.1994.19с.

построении множеств разрешимости в задачах управления и дифференциальных играх большой размерности. Основу пиксельных методов составляют сеточные процедуры приближенного построения стабильных мостов. Попятные сеточные процедуры приближенного построения стабильных мостов для нелинейных стационарных систем, базирующиеся на операторных конструкциях Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко3*'39, разрабатывались на кафедре оптимального управления вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова40.

Таким образом, разработка методов приближенного построения множеств достижимости в задачах управления нелинейными системами и стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх является актуальной. В том числе, является актуальной разработка пиксельных методов приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов.

Не менее актуальна разработка алгоритмов управления, обеспечивающих сближение движений управляемой системы с некоторой окрестностью целевого множества. Для разработки этих алгоритмов можно использовать предварительно приближенно вычисленные множества разрешимости.

Цель работы. Разработка пиксельных алгоритмов аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем и стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх размерностей 2 и 3 (здесь и далее нелинейность по фазовой переменной).

Разработка алгоритмов построения управления, обеспечивающего решение задач сближения для управляемых систем размерностей 2 и 3

Разработка попятных пошаговых конструкций, аппроксимирующих стабильные мосты в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями и обосновании сходимости этих конструкций (фазовое пространство Я").

Научная новизна работы. В диссертации представлены новые алгоритмы аппроксимации множеств достижимости управляемых систем и стабильных мостов в дифференциальных играх в пространствах размерностей 2 и 3, а также процедуры управления, обеспечивающие решение задач сближения с целью. Предложены новые попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями.

Основные результаты работы.

1. Предложены пиксельные алгоритмы аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3 на конечном промежутке времени.

2. Предложены алгоритмы построения управления для управляемых систем размерностей 2 и 3, обеспечивающего решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

3. Предложены попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в нелинейных дифференциальных играх с фазовыми

"Пшеничный Б Н Структура дифференциальных игр //Докл. АН СССР. 1969 Т 184. №2. С.285-287.

39Пшеничный Б Н„ Остапенко В В Дифференциальные игры. Киев: Наукова думка. 1992. 260с.

40Камюлкин Д В Методы решения некоторых классов задач оптимального управления и дифференциальных игр Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.01.02 // Московский гос. ун-т им. M.B Ломоносова. Москва, 2005,18с.

ограничениями (фазовое пространство Л") и обоснована их сходимость при длине шага, стремящейся к нулю.

4. Предложены алгоритмы построения управления с поводырем, обеспечивающего решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества (фазовое пространство размерностей 2 и 3).

5. Разработаны пиксельные алгоритмы приближенного построения стабильных мостов в нелинейных по фазовой переменной дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовый вектор управляемой системы имеет размерность 2 и 3)

6. Разработаны программы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов в задачах управления и гарантированного управления для управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3.

7. Проведено моделирование на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр с применением разработанных алгоритмов.

Практическая ценность работы. В диссертации разработаны алгоритмы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов для нелинейных систем управления размерностей 2 и 3; разработаны алгоритмы построения разрешающих управлений. Алгоритмы реализованы в виде программ. Алгоритмы и программы представляют практическую ценность, так как могут быть использованы для решения конкретных задач управления механическими системами, а также в экологии и биологии.

Методы исследования. В работе используются подходы, базирующиеся на идеологии динамического программирования, методе H.H. Красовского экстремального прицеливания на стабильные мосты. Метод экстремального прицеливания реализуется в виде процедур управления с поводырем.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на семинарах:

1. Семинар лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики РАН, Москва (рук. Ф.Л. Черноусько), 2002г.

2. Семинары кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ. 2002г., 2003г.

3. Семинар отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2004г.

4. Международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященный 60-летию академика А.И.Субботина., Екатеринбург, 2005 г.

и на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинск, 4-8 февраля 2002 года.

2. III отчетная конференция молодых ученых ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 2002г.

3. Научная XXXIV российская школа «Наука и технологии». Миасс, 24-26 июня 2003г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[Ю].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, объединяющих 10 параграфов, заключения и списка литературы. В диссертации приведены результаты моделирования на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр. Общий объем диссертации составляет 160 страниц, включая 16 примеров, 47 рисунков. К диссертационной работе прилагается CD диск. Библиографический список включает 153 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрываются цели и задачи диссертации, ее актуальность, а также кратко описываются основные результаты, полученные в диссертации.

В главе I рассматривается управляемая система на конечном промежутке [/0,0] вида

х =f(t,x,u), te[t0,ffl иеР. (1)

здесь х - фазовый вектор системы, содержащийся в евклидовом пространстве Rm, u~u(t)— вектор управления, содержащийся в компакте Р пространства Rp.

Предполагается, что вектор-функция f(t,x,u) непрерывна по совокупности переменных t,x,u, локально-липшицева по х и выполняется условие продолжимости решений системы (1) на [i0, в].

Исследуется задача о построении управлений u=u(t) на [ta,ff\, обеспечивающих приведение движений системы (1) на компактное целевое множество MczR" в момент в.

Разрешающее управление u-u(t) на [/0, в] реализуется в ходе некоторой процедуры управления21, отвечающей некоторому конечному разбиению Г отрезка [i0, в]. Управление u=u(t) в процедуре выбирается постоянным на полуинтервалах [f,,f,+1) разбиения Г. Управление u=u(t) доставляет при определенных начальных условиях x(t0) = х0 не точное решение задачи о сближении с М, а обеспечивает попадание точки х{в) в некоторую ¿-окрестность множества М.

Задача о сближении с М исследуется в работе с привлечением понятия множества достижимости дифференциального включения. А именно, вводятся в рассмотрение дифференциальные включения (д.в.)

x{t)eF{t,x{t)), te[t0,d], x(t)еRm; (2)

F(t, x) = co{f (t, x,u): ue P}- выпуклая оболочка множества {/(/, x,u): ue P} в R'™, z(r)eQ(r,z(r)), C2(r, z) = - F(t, z), T = t0 + 0-t, zeRm, (3)

где параметр г называется обратным временем.

Пусть Z(r) = Z(r;i0,M), т е [t0, в] - множество достижимости д.в. (3), отвечающее моменту г и начальному условию Z(f„) = М.

Множество W' = {(<, х): t е [f(J, в], хе Z(t0 +6-t)}, сечениями которого являются множества Z(t) , T = to+0-t д.в. (3), есть максимальное слабо инвариантное

относительно д.в. (2) множество, удовлетворяющее краевому условию IV* (в) = М; здесь IV'(0 = {* е /Г: 0, х) е IV', * € [10, в]}.

Из слабой инвариантности IV' относительно д.в. (2) следует существование для любых (/.,х,)еЯг' и е>0 управления и =и(0, / е[/0, в], порождающего движение х(/), х((.) = х. системы (1), такое что х(в) е Ме.

В связи с этим в параграфах 1-3 главы I рассматривается задача построения множеств достижимости д.в. как самостоятельная задача.

Введем в рассмотрение разбиение Г ={*„,<,,...,/„, ,..., /ы = в} отрезка [/0, в], где = А>0, т =0,1.....N-1, ЛГ = (0-*о)/Д.

Множества достижимости Х(1Я) = Х((Я;(0,Х0) д.в. (2) связаны рекуррентным соотношением Х(1т+1) = Х((т+1;1т,Х(1т)), т = 0, [,...,N-1, что позволяет вычислять множества Х(1т) последовательно по шагам, начиная от Х((0) = Х0. При этом, в случае когда шаг Д разбиения Г достаточно мал, то, как показано в диссертации (теорема 1.2), для выделения множества Х(1т+1) достаточно использовать лишь граничные точки предыдущего множества Х(1т). Однако, даже для сравнительно простьпс дифференциальных включений, множества достижимости т = 0,1,..., N -1 точно вычислить не удается. В связи с этим

актуально приближенное вычисление множеств Лг(/т+]).

В параграфе 1 для д.в. (2) приводится пошаговый пиксельный метод построения аппроксимаций Х* {(„,), /и = 0,1,..., N-\ множеств достижимости Х((т) = Х((т; 10, Х0), 1те Г д.в. (2) с обоснованием сходимости. Точно так же выглядит пошаговый пиксельный метод построения аппроксимаций множеств достижимости 2(г, ) = 2(г, ;/0, М), г, 6 Г д.в. (3). Метод подробно описан в работе41 и приведен в параграфе 1, поскольку на нем базируются алгоритмы построения пиксельных аппроксимаций в последующих параграфах 2,3.

Согласно этому методу, множества X*((„), т = 0,1,...,ЛГ-1 состоят из точек дг*-" равномерной «кубической» решетки Nр пространства Л™, параметр р которой

согласован с диаметром Д = Д(Г) разбиения Г при помощи неравенства р < ПД^Д, где О - некоторое положительное число.

При разработке алгоритмов параграфов 2-4 использовалось пиксельное представление множеств в соответствующих евклидовых пространствах.

В случае пространства Л2 (см. параграф 2) под пикселом К(х) понимается часть пространства Л2, представляющая собой замкнутый квадрат со стороной Л = р42 и геометрическим центром в точке х = (х1,х2) (см. Рис. 1):

К(х) = {(У1,У2)е^: \Уг-Хг\*\}-

41 Гусейнов ХГ, Моисеев Л Н, Ушаков В Н Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем /ЯТММ 1998. Т.65. №2.

Для приближенного построения множеств достижимости д.в. (2) используется дискретное пространство Л2 с Л2 геометрических центров пикселов, накрывающих Я2 и удовлетворяющих условию:

Здесь ¡п1 АГ(х) - внутренность множества К(х) в топологии пространства Л2.

Пусть Х- некоторое множество в Л2.

В случае, когда для некоторой точки хеЯ2 пересечение К(х)£\Х Ф&, будем говорить, что пиксел К{х) аппроксимирует часть Л^дг^Л- множества Хс:Я2. В этом случае К(х) окрашивается в черный цвет. В случае К(х)(]Х = 0 пиксел К(х) окрашивается в белый цвет.

Символом Xй обозначается множество центров х всех пикселов, окрашенных в черный цвет: X* = {хеЯ2: К(хУ[\Х Ф 0}.

Множество Хл с Я2 представляет собой некоторую аппроксимацию множества X.

Кроме того, для хранения информации минимального объема в физическом смысле (т.е. в байтах) о множествах, а также для упрощения операций пересечения, объединения, вычитания и построения, используются бинарные таблицы и целочисленное преобразование координат центров пикселов.

Для этого алгоритмы работают не со всем пространством Л2, а только с теми его прямоугольными областями ПсЛ2, в которые вписываются полученные в процессе вычислений множества X4. При этом появляется возможность пронумеровать точки х, принадлежащие выделенной области П, а следовательно, для хранения информации о центре пиксела достаточно использовать бинарную таблицу, в которой будут храниться 0 (черный цвет) и 1 (белый цвет). Для

VxeR2, у е Я2, х * у, имеет место intЛГ(лс) f| intA^y) = 0.

Рис. 1. Пиксел

восстановления реальных значений координат всех точек х из области П необходимо также сохранить реальные значения координат одной из точек, принадлежащих области П, например, точки (min х,, шах д:,).

В алгоритмах, символом Т обозначены бинарные таблицы. Для записи дискретной информации о множестве Xd из пространства R2 в бинарную таблицу фиксированной размерности нам необходимо знать положение множества в пространстве, а также его размеры; тогда размеры таблицы Т можно вычислить по формуле

dim(T') =

Round

Round

( maxx, -min

xeX' xeXJ

max x, - min x-,

x*X' 2 xeXä 2

где Round- операция математического округления до целого.

Запись информации о цвете пикселов производится в клетки таблицы Т по координатам

'Л

Round

Round

х, - min X,

1 '

шахдг,

x*X< 2

Восстановление реальных значений координат центров пикселов:

гхЛ ( йч + тюх,

-й- /+тахд:, х*х< 2

Особенностью представленного в параграфе 2 алгоритма приближенного построения множеств достижимости д.в. (2) состоит в том, что он ориентирован на построение односвязных множеств. Алгоритм последовательно по шагам строит по X* (¡т) дискретные пиксельные аппроксимации множеств

Х(1т+1) = ХЦт;10,Х0), /и = 0,1,...,ЛГ-1, Х0 - компакт в Л2.

На начальном этапе множество Л"0 сzR2 дискретизируется в Л"'(/0)сzR2 и информация о координатах центров пикселов множества Х11 ((а) заносится в бинарную таблицу Т((0). В главном цикле алгоритма для каждого момента времени 1т е Г, исходя из дискретного множества Хл (/т), строится дискретное представление Л"'(гт+|)с Л2 множества достижимости Х(гт+1).

Описание основных шагов главного представления множества Xd(tm+t):

цикла построения дискретного

1. Регуляризация граничных точек дискретного множества XJ(t„), под которой понимается упорядочивание граничных пикселов по часовой стрелке, с записью в некоторый список L;

2. Определение размеров максимальных и минимальных значений координат

точек множества ^ ('я+i) для определения размеров таблицы X™ = mm (/<'>+A-/,(fm,/<'>,/>)),

'-0-W

хГ = max (/,<0 + А • /, (iM, , Р)),

/=O.Ji|

хГ = min Д./2(/„,,/<'>,/>)),

11 'et,

хГ = max (/<" + Д • /2(*т,/?\ Р)).

/=o.|if

3. Построение границы дискретного представления ^ ('m+i) множества достижимости, отвечающего моменту исходя из граничных точек дискретного

представления ^ множества достижимости X{tm).

Ö(tm,/„Р) = /, + W(tm,l„P), el, / = О.Щ,

Операция объединения по / осуществляется простым нанесением (огрисовкой) получившихся выпуклых многоугольников на дискретное пространство R2, представленное таблицей Г(/т+1).

4. Выделение граничных точек множества Xi{tm+i) по множеству U(tm+l).

В параграфе 3 главы I описывается алгоритм приближенного построения множеств достижимости для управляемых систем вида:

х = f(t, х, и),

(4)

'e[fo,0], xeR\ uePcR1, x(i0)eFT0 =X0 cÄ3, где правая часть дифференциального уравнения имеет вид

f(t,x,u) = f\t,x) + B(t,x)u, матрица B(t, х) и вектор и представимы в виде

О4 V

•В(1,х) - Ьх2(г,х) Ь22(г,х) 0 , и = «2

, 0 0 0,

На правую часть дифференциального уравнения накладываются условия, обеспечивающие существование и продолжимость решения. Вектор и выбирается из выпуклого компакта Р, множество начальных состояний динамической системы принадлежит ограниченному и замкнутому множеству Х0. Управляемый процесс изучается на конечном отрезке времени [го,0].

В этом алгоритме применяется метод дискретизации множеств, схожий с описанным ранее в параграфе 2. Для перехода к пиксельной модели представления множеств пространство Я3 разрезается плоскостями Я] = {(х1,х2, х3) е Я3: х}= г}, г-кк, к ъ.2, где й- фиксированный дискрет (0<й«1), Ъ- множество целых чисел.

Плоскости Я\ дискретизируются с помощью двумерных пикселов до плоскостей Я], как это делается в параграфе 2.

В связи с рассмотрением трехмерной задачи и аппроксимацией трехмерных множеств вводится понятие пиксела в Я3 : под пикселом К(х) понимается часть пространства Л3, представляющая собой замкнутый куб со стороной А и геометрическим центром в точке х = (*,, х2, х3) - (х,,х2, г), лежащим в Я2:

Л А Л

К(х) = {(у„у2,у3)еЯ3-- \У)~х,!<;-, \у2-х2\<.~, |у3-*3|<;-}.

Для представления пиксела К(х) в алгоритме используется его проекция Пр гК(х) на соответствующую секущую плоскость Я]: все точки пиксела К(х) в

процессе вычислений подменяются их ортогональными проекциями на Д2, а именно, любая точка = СУ|, у2,уъ)еК(х) подменяется точкой У = {У\,Уг,2) 6 К(х).

По аналогии с алгоритмом из параграфа 2, некоторое множество X из Л3 представляется в виде Ха - множества центров х всех пикселов, окрашенных в черный цвет. При этом множество Хл состоит из набора множеств X* = {л е Я] : К (л:)(~)Х * 0}, г = кк, к е 2. Так как множества X* - плоские, то к ним применяются алгоритмы и преобразования, подобные описанным в параграфе 2, с учетом дополнительной размерности пространства.

В отличие от алгоритма из параграфа 2, в этом алгоритме при пошаговом построении множества достижимости участвуют все точки предыдущего множества достижимости, а не только граничные точки. Это обусловлено тем обстоятельством, что в трехмерном случае мы не имеем эффективного алгоритма выделения границ множества.

В параграфе 4 главы I приведены дополнения к алгоритмам из параграфов 2 и 3, используя которые, появляется возможность строить множества достижимости управляемых систем при наличии фазовых ограничений.

Общий смысл этих дополнений заключается в исключении в каждый момент разбиения Г из дальнейших вычислений множества достижимости тех точек, которые принадлежат областям фазового пространства, запрещенным для попадания в них движений заданной системы.

В параграфе 5 главы I рассматривается задача о приведении движения системы (4) на целевое множество М (компакт в Л3) в конечный момент в из промежутка [/0, в\. Приводится вычислительная схема построения разрешающих управлений и движений управляемой системы (4), приходящих в окрестность целевого множества М

Для решения этой задачи управляемая система (4) записывается в обратном времени ге[*о,0]. Для управляемой системы в обратном времени целевое множество М трактуется как множество начальных состояний системы. Далее, вводится дискретное разбиение отрезка и для управляемой системы,

заданной в обратном времени, методами параграфа 3 осуществляется процедура приближенного построения интегральной воронки. В результате этой процедуры реализуется система множеств {Х'<(тт, Х0), т = 0,1,..., ТУ} в Л3; здесь Х0=М. При этом множество Ха{гг^,Х0) = Хл{в,М) состоит из точек х0, для, которых разрешима задача приведения на целевое множество М,- точнее на некоторую е-окрестность Ме множества М, в момент в движений системы (4). Приведение движений в ^-окрестность множества М обусловлено дискретизацией времени и соответствующей дискретизацией системы управления (4).

В параграфе 5 для таких точек х0 е Х'1(в, М) указана пошаговая процедура построения разрешающих управлений и движений системы (4), приходящих в некоторую окрестность множества М.

Кратко, процедура заключается в следующем.

Пусть в момент хт в результате построений на предыдущем промежутке [<0,/я] траектория пришла в точку х((п)еХ''((т). От этой точки х(гя) строится локальное множество достижимости и(/„, х^т), Р) = *(/„,)+ Д •/(*„, х((т),Р).

Далее, осуществляется операция пересечения множеств 0(/т,х((т),Р) и Х'/(ет^).

В качестве исходной точки х(/т+1) е Х* (ет+1) для следующей итерации выбирается любая точка из получившегося пересечения 0(/т, х(1т), Р)(^\Х'< (<я+1). Итерации продолжаются до тех пор пока т не станет равным N-1.

В первой главе приведены примеры моделирования на ЭВМ нескольких задач управления, иллюстрирующие возможности предлагаемых в диссертации методов.

В главе II диссертации исследуется дифференциальная игра сближения-уклонения с фиксированным моментом окончания21. В основном, глава II посвящена

исследованию задачи о сближении в позиционной постановке. Предполагается, что фазовый вектор конфликтно-управляемой системы стеснен ограничением, представляющим собой замкнутое множество в пространстве позиций.

А именно, задана конфликтно-управляемая система, поведение которой на промежутке времени [i0,0] (t0 <0<оо) описывается уравнением

х - f(t,x,u,v), x(t0) = х0, иеР, veQ, (5)

Здесь лг - т-мерный фазовый вектор из пространства Rm, Р и Q - компакты в пространствах Rp и R4 соответственно. Предполагается, что выполнены условия:

А. Вектор-функция f(t,x,u,v) определена и непрерывна по совокупности (t,x,u,v) на множестве IxRm xPxQ и удовлетворяет условию: для любого компакта DczIxRт найдется такое L = L(D)с(0, оо), что

II f(t, *<'>, и, V) - fit, *<2\ к, V)! < - *<2>|| (6)

для любых (t,xli\u,v) из DxPxQ; i= 1,2. Б. Существует такое число ц е (0, оо), что

||/(i,*,u,v)|| < /i-(l + |H|). (7)

для любых (t,x,u,v)eIxRm xPxQ.

Здесь I - отрезок времени, содержащий внутри себя [f0, в] (т.е. [/„, 0] <z int /.) Рассматриваемая дифференциальная игра сближения-уклонения с целью в фазовом пространстве складывается из задачи о сближении и задачи об уклонении21. Игра происходит в ограниченной и замкнутой области Ф пространства переменных t, х (fe[i0,Ö], xeRm). В задаче о сближении, стоящей перед первым игроком, владеющим выбором управлений и, требуется обеспечить выполнение условий (Г, x(t))еФ при / €[i0, в\ и х(в) е М, где М- замкнутое множество, содержащееся

Ф(в) = {xeRm: (в,х)еФ). Решение задачи требуется обеспечить в классе позиционных процедур управления первого игрока21. В задаче об уклонении, стоящей перед вторым игроком, требуется обеспечить уклонение движения *(/), (/, x(t)) е Ф, fe[fo,0] системы (5) в момент 9 от некоторой е-окрестности множества Л/в классе контр-позиционных процедур управления второго игрока21.

Для сформулированной дифференциальной игры справедлива альтернатива21: существует такое замкнутое множество W0 с Ф (множество позиционного поглощения), что для всех исходных позиций (/., x.)eW° управляемой системы (5) разрешима задача о сближении, а для всех исходных позиций (t,,x,)e Ф\№°

разрешима задача об уклонении. При этом установлено, что W0 есть максимальный стабильный (w-стабильный) мост.

Таким образом, при решении задачи о сближении с целевым множеством М важным моментом является построение максимального стабильного моста W0.

В параграфе 1 главы II рассматриваются конструкции, связанные с решением задачи о сближении и с построением максимального стабильного моста W0.

Стабильность некоторого множества W, содержащегося в Ф, означает слабую инвариантность W относительно некоторого семейства дифференциальных включений, связанных с системой (5) и рассматриваемых на [f0,0].

Следуя работам'-27, для описания этого семейства дифференциальных включений в достаточно общей форме (унификационной форме) вводится в рассмотрение функция (гамильтониан системы (5))

H(t,x,l) = maxmin(l,f(t,x,u,v)), leRm.

ueP «е

Считаем, что область Ф погружена в более широкую ограниченную и замкнутую область DcIxR":

Ф£. с: D, где Ф^. - е -окрестность множества Ф в пространстве переменных t, х.

Пусть G(t,x), (t,x)eD - выпуклые компакты в Rm, удовлетворяющие включению

F(t,x) = co{f(t,x,u,v): t/eP, ve0 с G(t,x);

К = max Ifti,х,и,v)l < оо.

Пусть также задано некоторое множество 4х элементов у/ и семейство {Fv : ^ е 4/} отображений Fv : (t, х) t-> Fv (t, x)aRm, (/, jr) e D, удовлетворяющее следующим условиям

Al. Для любых (t,x,iy)eDx*¥ множество Fv(/,х) выпукло, замкнуто в Л" и удовлетворяет включению F¥ (/, х) с G(t, х).

А2. Для любых (t, x,l)eD*S выполняется равенство

A3. Существует такая функция а (8) (co'(S) 0 при S -> 0), что d(F¥{U,x.),F¥(t\x)) <. й>'(|/.-i'l + Jj:.-/!), где (/.,лг.) и (/*,х") изД у/вЧ. Здесь hF(l) = sup(/,/) при FsRm, S = {leRM :Ц/| = 1},

d(F.,F')~ хаусдорфово расстояние между множествами F. и F' в пространстве R".

В качестве примера семейства отображений, удовлетворяющих условиям А1-АЗ, укажем семейство {F„: veQ} (Fy(t,x) = f(t,x) + B(t,x)P + C(t,x)v) в случае, когда правая часть управляемой системы (5) имеет вид

f(t,x,u,v) = f(t,x) + B(t,x)u + C(t,x)v. Здесь роль множества Ч* играет множество Q, а роль элементов у/ играют векторы v из Q.

При разработке в диссертации алгоритмов приближенного построения максимальных стабильных мостов для систем указанного вида используется определение стабильности, выраженное в терминах этого семейства {Fv\ v е Q}.

В случае системы (5) вида /(f,x,u,v) = f(t,x)+B{t,x)u + C(l,x)v если Р и Q -выпуклые многогранники с конечным числом вершин, то в качестве множества *Р можно взять набор вершин v'-" (j = 1,2,...,J) многогранника Q, а в качестве множеств F¥ (/, х) - множества FU) (/,*) = f(t,x) + B(t,x)P+ C(t, x)viJ), j = 1,2,..., J. В этом случае мы имеем дело с конечным семейством {FjJt: у = 1,2,..., J} отображений, удовлетворяющих условиям А1 - A3, и здесь

оператор стабильного поглощения, задающий свойство стабильности, определяется наиболее просто.

В общем же случае определение оператора стабильного поглощения, задающего стабильность, таково

Полагаем X (t*;t.,x.), t0<t. <t* <>6 - множество достижимости в момент t*

дифференциального включения xsFv(t,x), x(t,) = x.; X~'(t.;t',Х') = {дг. eRm : Х¥(t';t.,x*)ПЛ"* #0}, где X* -множестваиз Л".

Определение 1. Оператором стабильного поглощения42 к в задаче о сближении назовем отображение (t.,t',X") i-»2*", (/.,/*,Лт)е Дх2я", заданное соотношением

лit.,f,x') = <1ЧЬ)П(П*;У

Здесь A = {(i.,/*): i0 </. <t' < в} - множество в [/0,0]х[f0,0].

Определение 2. Замкнутое множество W с Ф назовем »-стабильным (стабильным) мостом в задаче о сближении, если

W(9)cM; F(r.) с »(/.,/*,»'(/*)), (/.,*')€ Д.

Здесь W(t) = {xeRm: (t,x)eW}.

При решении задачи о сближении на основании позиционного подхода основная тяжесть ложится на построение моста W0. Известно, что описать мост fV° при помощи эффективных аналитических соотношений можно лишь для некоторых специальных классов управляемых систем. В общем случае эффективное аналитическое описание моста W0 отсутствует, и в общем случае приходится

*2Пахотииских В Ю, Успенский А А , Ушаков В Н Аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор. //Изв. Урал. гос. ун-та. 2002 №26, Вып. 5.

отказаться от точного вычисления fV° в пространстве позиций (/, х). В связи с этим на передний план выступает задача приближенного построения W0.

Решению задачи приближенного построения W0 посвящен пункт 1.3 из параграфа 1 главы 2.

Предполагается дополнительно к А1-АЗ, что семейство {Fv: е Ч'}

удовлетворяет условию.

А4. Существует А е (0, оо), такое, что

d(F¥(t,x.),F¥(t,x') £

для любых ц/ е Ч*, (/, дг.) и (/, х') из Ф£., где е" определено на странице 17.

В пункте 1.3 приводится определение аппроксимирующей системы множеств, ориентированное на приближенное вычисление множества W°. Понятие аппроксимирующей системы множеств возникает при подмене непрерывной (по времени) схемы м-стабильности дискретной схемой. А именно, промежуток [i0,#]

подменяется разбиением r = {tQ,ti,...,tN=$}, а множества Xv(t'-,t,,x.), уеЧ* из определения 1 подменяются множествами х, +(f* -t,)Fv(t., х.), у e*F.

Далее, используя эти подмены, определения 1 и 2 трансформируются соответствующим образом в определения, предназначенные для работы с дискретным временем tlt i = 0,l,...,N-l,N. Вводятся в рассмотрение множества

Xv(t*;t.,x.) = x.+(t'-t.)Fv(t.,x,),

X;\t.-,t',X*) = [x,eRm: X'()Xy(f;t„x.)*0},

где (/.,<*) e A, x.eRm, X' с Rm, у еЧ*.

Определение 3. Аппроксимирующим оператором стабильного поглощения л£ (е е (0,£*)) в задаче о сближении назовем отображение (t„t',x')н>2*", заданное соотношением

Kc(t.,t\x') = Ф{и)Е П (n x;\t.-,t',x')).

Обозначим

со(8) = sup со'(L - <1 + ||дг. - /11), к - <1 + |U. - jc*| < S,

(<.,*.)еФ., 1 1 " " 1 ' " 11

(/V)e»*.

(0(6) = Sa{(l + K)S), S> О,

где функция <а'(■) и число К определены выше на странице 17.

Задается последовательность разбиений Fn = {t0,tl,...,tNin)=e} отрезка [i0,в],

диаметры Ain) = А(Г„) которых монотонно стремятся к нулю при и-»оо. Моменты

разбиений Гп - свои для каждого разбиения Г„; однако, чтобы не усложнять обозначений, эту зависимость моментов от номера п явно не отражаем.

Каждому разбиению Гп ставится в соответствие последовательность {е,} чисел £, =£»(Дм) + (1 + ЛДмК-р * = 0,1,...,ЛГ(л),где е0=0.

Предполагается, что разбиения Гп выбраны настолько «мелкими», что для любого Гп выполняются неравенства

шах (1 + £)Д( = (1 + /:)Д(я) тах е, < в'.

Каждому разбиению Г„ ставится в соответствие последовательность множеств ^"'((^сЛ", еГ„, заданная рекуррентными соотношениями, начиная от конечного момента /д,(я) = в разбиения Гя.

Определение 4. Полагаем = М^, ) = (*,;/„, )),

I = Щп) -1, Щп) - 2,..., 1,0.

Так определенная последовательность '"'(/,)} представляет собой попятно заданную последовательность множеств ^"'(^сЛ*. Определим предел этой последовательности, когда Д(я) - диаметр разбиения Гл стремится к нулю.

Определение 5. Полагаем £1° - множество всех точек [и, х.) е Ф, для каждой из которых найдется такая последовательность

{(*„,*„): г„ =г„(/.), х„е&(я)(т„)}, (8)

что (/.,*.) = ит(г,,,д;.); здесь тМ.)- тт/,.

я-х» |,еГ,,,

Сформулируем один из основных результатов главы II.

Теорема 1,П°=»г0.

Из теоремы 1 следует, что максимальный стабильный мост IV0 можно вычислить приближенно как аппроксимирующую систему множеств И/(п)01), е Г„.

Как уже упоминалось выше, для систем (5) с правой частью вида /(*,*, и, у) = /*(*, х) + В0,х)и +С(?,д:)у и ограничениями ? и 0 - выпуклыми

многогранниками в Л" с конечным числом вершин можно ввести семейство отображений, удовлетворяющее условиям А1 - АЗ, которое соответствует конечному множеству В качестве такого множества можно взять набор вершин (у = 1,2,..., 7) многогранника Q, а в качестве множеств (г, х) - множества

С, *) = /*(/, х) + В«, х)Р+ С(Г, Х)у°\ } = 1,2,..., 3

В этом случае верно

иер

и, так как Ф . с: то

£

< ¿||х. -х'Ц, (9)

где I = ¿(Л) определено на странице 16.

Таким образом, семейство : / = 1,2,...,У} отображений (г,х)ь-> (<,х)

удовлетворяет, наряду с условиями А1-АЗ, также и условию А4 с константой А = Ь. Поэтому в этом случае будет корректным введение аппроксимирующей системы множеств, выраженной в терминах семейства : у = 1,2,..., У}.

Полагаем

(Л *.,*.) = *.+('*-<.)/>,('.,*.),

I

Х^л{и-Х,Х*) = {леЛ": (Л*.,*)*0},

где (/.,**)е Д, х.е/Г, Х'сй", ./ей.

В этом случае определим аппроксимирующий оператор стабильного поглощения 7гс (£6 (0, £*)) в задаче о сближении следующим образом

Определение б. Аппроксимирующим оператором стабильного поглощения яе {с е (0, £*)) в задаче о сближении назовем отображение (/.;<*, Х*)1~* 2я", заданное равенством

л*(и-,1',Х') = Ф{и)с п (П* <!,(/.; Л**)).

¡-и

Задается последовательность разбиений Гп = {<„,<,,...,=6} отрезка [<о>0]

таких, что диаметры Д(я) монотонно стремятся к нулю при л-»оо, и каждому разбиению Гп ставится в соответствие последовательность чисел

е, = йКЛ,) + (1 + )£>_,, ¡ = \,2,~;Щп),е0=0. Предполагается, что разбиения Гп достаточно «мелкие» (см. стр. 20). Поставим в соответствие каждому разбиению Г„ последовательность {^'"'(г, )}.

Определение 7. Полагаем = IVм (0) = М,

(г(">(0 = <Щ)С, П (а^'.С,;^,,^'^,». (ю)

где/ = ^(л)-1, ЛГ(я)-2,...,1,0.

Подписано в печать 01.11.05 Формат 60 x 84 1/16. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 75 Размножено с готового оригинал-макета в типографии «Уральский центр академического обслуживания» 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18

»21434

РНБ Русский фонд

2006-4 21920

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ПИКСЕЛЬНЫЙ ПОДХОД ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§1. Приближенное построение множества достижимости управляемой системы

1.1 Постановка задачи сближения с целью управляемой системы

1.2 Пиксельный метод приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения

§2. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в задачах на плоскости

§3. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в трехмерном пространстве

§4. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями

§5. Вычислительная схема построения траекторий управления динамической системой в трехмерном пространстве

ГЛАВА II КОНСТРУИРОВАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ МОСТОВ И РАЗРЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР УПРАВЛЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

§1. Дифференциальная игра сближения-уклонения с фазовыми ограничениями. Свойство стабильности в задаче о сближении и стабильные мосты

1.1 Дифференциальная игра сближения-уклонения

1.2 Оператор стабильного поглощения

1.3 Аппроксимирующая система множеств

§2. Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх на плоскости с фазовыми ограничениями

§3. Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями в трехмерном пространстве

§4. Процедура управления с поводырем первого игрока

§5. Вычислительная схема построения траекторий, порожденная процедурой управления с поводырем первого игрока в дифференциальной игре сближения-уклонения в трехмерном пространстве

Диссертация посвящена исследованию некоторых задач управления с геометрическими ограничениями на управления. При этом рассматриваются управляемые системы на конечном промежутке времени.

В диссертации рассматриваются, в основном, две крупные задачи управления.

В одной из них задана управляемая система, в которой присутствует только управление и отсутствует помеха. Требуется построить управление, обеспечивающее сближение с целевым множеством в конечномерном евклидовом пространстве. Эта задача рассматривается в рамках теории оптимального управления.

Во второй задаче в управляемой системе, стесненной фазовыми ограничениями и функционирующей на конечном промежутке времени, присутствует не только управление, но и помеха, стесненная, так же как и управление, геометрическими ограничениями. В этой задаче ставится вопрос о построении позиционного способа управления, обеспечивающего сближение с целевым множеством при любой реализации упомянутой выше помехи. Эта задача рассматривается в рамках теории позиционных дифференциальных игр.

Современное состояние теории оптимального управления и теории дифференциальных игр в значительной мере определили исследования отечественных математиков. Здесь отметим исследования Л.С.Понтрягина [96-101] и его ближайших сотрудников Е.Ф.Мищенко, Р.В.Гамкрелидзе, В.Г.Болтянского [19-24]; исследования Н.Н.Красовского [48-52] и его ближайших сотрудников А.Б.Куржанского, Ю.С.Осипова, А.И.Субботина [59, 60, 62-65,81, 107-110].

Важные результаты в теории дифференциальных игр принадлежат Б.Н.Пшеничному [103, 105] и его ученикам А.А.Чикрию, Ю.Н.Данилину, Г.Ц.Чикрий [130, 131].

Большой вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр внесли Ф.Л.Черноусько [124-129] и его сотрудники А.А.Меликян, Л.Д.Акуленко, И.М.Ананьевский, Н.Н.Болотник [1, 2, 72, 73, 134].

Значительные результаты получены также М.И.Зеликиным, А.В.Кряжимским, А.Г.Ченцовым, М.И.Гусевым, Н.Н.Субботиной, Т.Ф.Филипповой, В.И.Максимовым, Е.С.Половинкиным, Л.А.Петросяном, М.С.Никольским, Н.Л.Григоренко, Е.Л.Тонковым, Н.Н.Петровым,

A.В.Арутюновым, А.М.Тарасьевым, А.А.Успенским, С.Т.Завалищиным,

B.И.Ухоботовым, Н.Ю.Лукояновым, С.В.Чистяковым, Ю.С.Ледяевым, В.С.Пацко, А.Н.Сесекиным, В.Д.Батухтиным, Э.Г.Альбрехтом, В.Е.Третьяковым и другими (см. Литература).

Среди зарубежных математиков, внесших значительный вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр, отметим Р.Айзекса [3], Р.Беллмана [14, 15], Р.Калмана [140, 141], У.Флеминга [137, 138].

В настоящее время практические потребности и развитие вычислительной техники стимулируют повышенное внимание к задачам управления и дифференциальным играм, а также к вычислительным методам решения задач управления и дифференциальных игр. Одной из важных проблем, тесно связанных с этими задачами, и подвергшихся тщательному изучению с разных сторон, является задача построения множеств достижимости управляемых систем. Изучению этой задачи сопутствует ряд вопросов теоретической направленности, в частности, изучение свойств (в том числе топологических) множеств достижимости и интегральных воронок. Этому посвящены, например, работы [16, 17, 69, 79, 106]. В работах [30, 31, 45, 46] предложены методы приближенного конструирования множеств достижимости, базирующиеся на пошаговых конструкциях. В течение нескольких десятилетий успешно развиваются теория и методы построения верхних и нижних эллипсоидальных и полиэдральных оценок множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем [47, 74, 76, 80, 124, 125, 145, 148, 149]. Возможность вычисления множеств достижимости и их верхних и нижних оценок позволяет численно решать задачи построения оптимальных управлений и траекторий управляемых систем. В настоящее время достигнуты значительные успехи в решении этих задач. В немалой степени эти успехи достигнуты благодаря развитию вычислительной техники, в том числе, техники, позволяющей распараллеливать вычисления. Большая часть исследований, посвященных построению множеств достижимости, интегральных воронок и их оценок, оптимальных управлений и траекторий относится к линейным системам (см., например, [45, 47, 62, 124, 125, 142, 146, 147]). Однако в последнее время возрастает число исследований, посвященных нелинейным управляемым системам (см., например, [30, 31, 46]).

В случаях, когда управляемая система подвержена неконтролируемым помехам, задача сближения управляемой системы с целевым множеством может быть формализована как дифференциальная игра. В теории дифференциальных игр важное место занимает проблема построения множеств разрешимости - таких множеств, в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного наведения на целевое множество. В теории позиционных дифференциальных игр [48-56] эти множества называются стабильными мостами. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение или конструирование стабильного моста. В случае, когда стабильный мост сконструирован, реализовать позиционный способ управления можно несколькими путями (см. [50, 54, 56]), например, или в форме экстремального прицеливания на стабильный мост, или в форме процедуры управления с поводырем.

Существует несколько подходов к решению задачи выделения стабильного моста в пространстве позиций [56, 110, 123]. Достаточно эффективными являются алгоритмы приближенного построения стабильного моста, основывающиеся на так называемых попятных конструкциях. Этим конструкциям, введенным в [56], уделено значительное внимание в научной тематике, посвященной дифференциальным играм [85, 86, 112, 113, 120, 121]. В работах [54, 56, 110, 123] конструкции стабильных мостов применялись, прежде всего, для всевозможных теоретических построений и рассуждений. Доведение конструкций стабильных мостов до стадии разработки численных алгоритмов потребовало немало времени и дополнительных исследований. На начальном этапе разработки алгоритмов и численных процедур построения стабильных мостов внимание специалистов было сосредоточено преимущественно на линейных управляемых системах, которые надлежало привести на выпуклое целевое множество в фазовом пространстве. Это обстоятельство существенно облегчает численные процедуры построения стабильных мостов, позволяя применять методы и алгоритмы выпуклого анализа и линейного программирования [87, 112, 132]. Параллельно для линейных дифференциальных игр сближения с выпуклым целевым множеством успешно развивались такие методы построения множеств разрешимости, как методы вычисления альтернированного интеграла Л.С.Понтрягина [63, 75, 77, 92, 93].

В 80-х годах предыдущего столетия были начаты исследования по разработке алгоритмов и численных методов построения стабильных мостов для некоторых классов нелинейных дифференциальных игр [113, 121]. При этом рассматривались, в основном, нелинейные по фазовой переменной управляемые системы на плоскости. Были предложены алгоритмы и методы приближенного вычисления стабильных мостов для таких систем [113], базирующиеся на приближенном представлении сечений стабильного моста невыпуклыми многоугольниками на плоскости и на многократном применении операций пересечения и объединения невыпуклых многоугольников на плоскости.

В середине 90-х годов ХХв. были предприняты первые попытки применить к решению задачи приближенного построения стабильных мостов для управляемых систем на плоскости пиксельные методы.

Пиксел (сокр. от англ. picture element) - это минимальный элемент изображения. Пиксельные методы имеют ряд преимуществ перед упомянутым выше методом, базирующимся на многократном использовании операций пересечения и объединения многоугольников на плоскости. Одно из таких важных преимуществ - простота построения пересечения и объединения множеств, составленных из пикселов. Второе важное преимущество, впрочем, вытекающее из первого, состоит в том, что эти методы перспективны при построении стабильных мостов и множеств достижимости управляемых систем высокой размерности.

Настоящая диссертация посвящена разработке алгоритмов и программ построения множеств достижимости и стабильных мостов на базе пиксельных методов.

В диссертации также рассматриваются задачи приближенного построения стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор управляемой системы. Указана попятная схема приближенного построения стабильного моста на базе применения унифицированных конструкций.

Заключение

По окончании работы над диссертацией были достигнуты следующие результаты в решении поставленных задач.

1. Разработаны пиксельные алгоритмы аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3 на конечном промежутке времени, в том числе при наличии фазовых ограничений.

2. Разработаны алгоритмы построения управления, использующие пиксельный подход в представлении множеств достижимости и обеспечивающие решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

3. Разработаны попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в нелинейных дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовое пространство Rm) и обоснована их сходимость при длине шага, стремящейся к нулю.

4. Разработаны алгоритмы приближенного построения стабильных мостов в нелинейных по фазовой переменной дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовый вектор управляемой системы имеет размерность 2 и 3)

5. Предложены алгоритмы построения управления с поводырем, использующие пиксельный подход в представлении множеств разрешимости и обеспечивающие решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

6. Разработаны программы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов в задачах управления и гарантированного управления для управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3, реализующие предложенные алгоритмы.

7. Проведено моделирование на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр с применением разработанных алгоритмов.

1. Акуленко, Л.Д. Приближенное решение нелинейных задач оптимального управления колебательными процессами методом канонического разделения движений / Л.Д. Акуленко // ПММ. - 1976. - Т.40, вып. 6. -С.1024-1033.

2. Аверкян, В.В. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами с учетом энергозатрат / В.В. Аверкян, Л.Д. Акуленко, Н.Н. Болотник // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1976. - №5. - С.42-47.

3. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. М.: Мир, 1967. - 479с.

4. Алексейчик, М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры / М.И. Алексейчик // Мат. анализ и его прил. Ростов на Дону: Ростовский гос. ун-т. 1975. - Т.7. -С. 197-199.

5. Альбрехт, Э.Г. Об экстремальных стратегиях в нелинейных дифференциальных играх / Э.Г. Альбрехт // ПММ. 1986. - Т.50, вып. 3. -С. 339-345.

6. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э.Г. Альбрехт // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №1. - С.27-38.

7. Альбрехт, Э.Г. О дифференцируемости по параметру цены линейной игры сближения / Э.Г. Альбрехт, М.И. Логинов // Игровые задачи управления: Тр. ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1987. - С. 15-22.

8. Арутюнов, А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. / А.В. Арутюнов. М.: Факториал, 1997. - 254с.

9. Арутюнов, А.В. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость. / А.В. Арутюнов, С.М. Асеев // Докл. РАН.- 1994. Т.334, №2. - С. 134-137.

10. Арутюнов, А.В. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями / А.В. Арутюнов, В.Г. Благодатских // Тр. МИАН.- 1991. Т.200, - С.4-26.

11. Бабалыев, М.Х. Об одном методе приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения / М.Х. Бабалыев, А.П. Хрипунов; ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1994. -19с.

12. Деп. в ВИНИТИ 27.06.94, №1590-В94.

13. Барабанова, Н.Н. О классах стратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи / Н.Н. Барабанова, А.И. Субботин // ПММ. 1971. -Т.35, вып. 3. - С.385-392.

14. Батухтин, В.Д. Об условиях завершения игры преследования / В.Д. Батухтин, А.И. Субботин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1972. -№1. - С.3-8.

15. Беллман, Р. Динамическое программирование./ Р. Беллман. М.: ИЛ, 1960.-400с.

16. Беллман, Р. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. М.: ИЛ, 1962. 336с.

17. Благодатских, В.И. О выпуклости сфер достижимости / В.И. Благодатских // Дифференц. уравнения. 1972.- Т.8, №12. - С.2149-2155.

18. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И. Благодатских, А.Ф. Филлипов // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1985. - Т.169. - С. 194—252.

19. Брыкалов, С.А. Конфликтно управляемая система с нефиксированным моментом окончания. / С.А. Брыкалов // Тр. ИММ УрО РАН. -Екатеринбург, 2000. Т.6, №2. - С.313-319.

20. Болтянский, В.Г. Метод локальных сечений в теории оптимальных процессов / В.Г. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, №12 - С.2166-2183.

21. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408с.

22. Болтянский, В.Г. Опорный принцип в задачах оптимального управления / В.Г. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1973. - Т.9, №8. - С. 13631370.

23. Гамкрелидзе, Р.В. Основы оптимального управления. / Р.В. Гамкрелидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 229с.

24. Гамкрелидзе, Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах / Р.В. Гамкрелидзе // Докл. АН СССР.- 1959. Т.125, №3. - С.475^78.

25. Гамкрелидзе, Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. /Р.В. Гамкрелидзе // Изв. АН СССР. Сер. Мат.1960. Т.24, №3. - С.315-356.

26. Григоренко, Н.Л. К задаче группового преследования / Н.Л. Григоренко // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1988. - Т.185. - с.66-73.

27. Григоренко, Н.Л. Нелинейные динамические игры / Н.Л. Григоренко, С.Б. Колосов //Фунд. и прикл. мат. 1996. - Т.2, №1. - С. 113-124.

28. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями / С.В. Григорьева, В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // Математический сборник. 2005 - Т. 196, №4-С.51-78.

29. Гусев, М.И. Об устойчивости информационных множеств / М.И. Гусев // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000.- Т.6, №1.- С.55-71.

30. Гусев, М.И. Обратные задачи динамики управляемых систем / М.И. Гусев, А.Б. Куржанский // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987.-Т. 1. - С. 187-195.

31. Гусейнов, Х.Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем / Х.Г. Гусейнов, А.Н. Моисеев, В.Н. Ушаков // ПММ. 1998-Т.65, №2.

32. Гусейнов, Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения / Х.Г. Гусейнов, В.Н. Ушаков // Докл. АН СССР. 1988. - Т.303, №4. - С.794-796.

33. Дарьин, А.Н. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях / А.Н. Дарьин, А.Б. Куржанский // Дифференц. уравнения. -2003. Т.39, №11. - С.1474-1486.

34. Дубовицкий, А.Я. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения / А.Я. Дубовицкий, В.А. Дубовицкий // Автоматика и телемеханика. 1987. - №12. - С.25-33.

35. Дубовицкий, А.Я. Критерий существования содержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями / А.Я. Дубовицкий, В.А.

36. Дубовицкий //Дифференц. Уравнения. 1995 - Т.31, №10. - С.1611-1616.

37. Дубовицкий, А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений / А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 149, №4. -С.759-762.

38. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения. / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. М.: Наука, 1991.

39. Завалищин, С.Т. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алгоритмов / С.Т. Завалищин, В.И. Суханов. М.: Наука, 1985.- 144с.

40. Зайцев, В.А. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова / В.А. Зайцев, E.JI. Тонков // Изв. вузов. Математика. -1999. Т.441, №2. - С.45-56.

41. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров М.: Наука, 1974. - 479с.

42. Камзолкин, Д.В. Методы решения некоторых классов задач оптимального управления и дифференциальных игр: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Д.В. Камзолкин. Москва, 2005. - 18с.

43. Киселев, Ю.Н. Экстремальное описание неизвестных параметров в краевой задаче принципа максимума / Ю.Н. Киселев // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №1. - С.72-90.

44. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. М.: Наука, 1988.

45. Клейменов, А.Ф. Задачи построения динамики неантагонистических позиционных диффуренциальных игр / А.Ф. Клейменов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №2. - С.З80-393.

46. Комаров, В.А. Оценки множества достижимости для линейных систем / В.А. Комаров // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1984. - Т.48, №4- С.865-879.

47. Комаров, В.А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений /В.А. Комаров //Мат. заметки 1985 - Т.37, вып.6 - С.916-925.

48. Костоусова, Е.К. Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02, 01.01.07. / Е.К. Костоусова Екатеринбург, 2005- 42с.

49. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений/Н.Н. Красовский-М.: Наука, 1970.-420с.

50. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1968.-476с.

51. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский М.: Наука, 1985. - 520с.

52. Красовский, Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр / Н.Н. Красовский // Докл. АН СССР. 1976. - Т.226, №6. - С. 1260-1263.

53. Красовский, Н.Н. Унификация дифференциальных игр / Н.Н. Красовский // Игровые задачи управления. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1979. -Вып. 26.-С. 191-248.

54. Красовский, Н.Н. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н. Красовский, Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков // Изв. АН СССР.

55. Техн. кибернетика. 1965. - №4. - С. 1-11.

56. Красовский, Н.Н. Аппроксимация в дифференциальных играх. / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1973. - Т. 37, вып. 2. - С. 197-204.

57. Красовский, Н.Н. Задача о сближении управляемых объектов / Н.Н. • Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1968. - Т. 32, вып. 4. - С. 575-586.

58. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. // М.: Наука, 1974. - 456с.

59. Красовский, Н.Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1970. - Т.34, вып. 6. - С. 1005-1022.

60. Красовский, Н.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 2. -С. 278-281.

61. Кряжимский, А.В. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях / А.В. Кряжимский, В.И. Максимов, Ю.С. Осипов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. - Т. 37, № 3. -С. 291-302.

62. Кумков, С.И. Модельная задача импульсного управления с неполной информацией I / С.И. Кумков, B.C. Пацко // Тр. ИММ УрО РАН.w

63. Екатеринбург, 1992. Т. 6, № 1. С. 106-121.

64. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. / А.Б. Куржанский. М.: Наука, 1977. - 392с.

65. Куржанский, А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений / А.Б. Куржанский // Тр. Мат. ин-та. Им. Стеклова. -1999. Т. 224. - С. 234-238.

66. Куржанский, А.Б. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами / А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // ПММ. 1968. - Т. 32, вып. 2. - С. 194-202.

67. Ледяев, Ю.С. Об оптимальных стратегиях в дифференциальных играх фиксированной продолжительности / Ю.С. Ледяев, Е.Ф. Мищенко // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 286, № 2. - С. 284-287.

68. Ледяев, Ю.С. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр / Ю.С. Ледяев, Е.Ф. Мищенко // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. -Т. 185. -С. 147-170.

69. Лейтман, Дж. Методы оптимизации с приложениями к космическим летательным аппаратам/ Дж. Лейтман-М.: Наука, 1965.

70. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972. 574с.

71. Максимов, В.И. О динамическом решении уравнений в банаховых пространствах / В.И. Максимов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1998. - Т. 220.-С. 195-209.

72. Меликян, А.А. Сингулярные характеристики управлений в частных производных первого порядка / А.А. Меликян // Докл. РАН. 1996. -Т.351, № 1.-С. 24-28.

73. Меликян, А.А. Игровая задача простого преследования на двумерномконусе / А.А. Меликян, Н.В. Овакимян // ПММ. 1997. - Т. 55, вып. 5. -С. 741-751.

74. Никольский, М.С. Две теоремы о накрытии и их применение для оценки множеств достижимости снизу / М.С. Никольский // Тезисы международной конференции, посвященной 90-летию JI.C. Понтрягина. -М.: Т. Optimal Control and Арр, 1998. С. 247-248.

75. Никольский, М.С. Об альтернированном интеграле JI.C. Понтрягина / М.С. Никольский // Мат. сб. 1981. - Т. 116, № 7. с. 136-144.

76. Никольский, М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения / М.С. Никольский // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. -1987. Сер. 15, № 4. с. 31-34.

77. Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования / М.С. Никольский // Мат. сборник. 1985. - Т. 128, № 1. - С. 35^9.

78. Никольский, М.С. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля / М.С. Никольский, Мусса Абубакар // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т. 6, № 1. -С. 150-159.

79. Овсеевич, А.И. Область достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02./А.И. Овсеевич.-М., 1996.-21с.

80. Овсеевич, А.И. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем / А.И. Овсеевич, Ф.Л. Черноусько // ПММ. 1982. -Т. 46, вып. 5. - С. 737-744.

81. Осипов, Ю.С. Позиционное управлениие в параболических системах / Ю.С. Осипов // ПММ. 1977. - Т. 41, вып. 2. - С. 195-201.

82. Панасюк, А.И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости / А.И. Панасюк // Мат. заметки. 1985. - Т. 37, вып. 5. -С.717-726.

83. Пахотинских, В.Ю. Построение множеств достижимости динамических управляемых систем с заданными ограничениями на фазовый вектор / В.Ю. Пахотинских // Наука и технологии. Труды XXXIII Российской школы. Москва, 2003. - С. 306-316.

84. Пахотинских, В.Ю. Численное моделирование решений управляемой нелиненой динамической системы / В.Ю. Пахотинских, Т.Б. Токманцев, А.А. Успенский //Наука и технологии. Труды XXXIV Российской школы-Москва, 2004. С. 270-280.

85. Пахотинских, В.Ю. Аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор / В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // Изв. Урал. гос. ун-та. -2002.-№26.

86. Пахотинских, В.Ю. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями / В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // ПММ. 2003. - Т. 67, вып. 5. С. 771-783.

87. Пацко, B.C. Квазилинейная дифференциальная игра качества второго порядка. I / B.C. Пацко // Задачи динамического программирования. -Свердловск: УНЦ АН СССР. 1989.

88. Петров, Н.Н. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, вып. 5. - С.784-797.

89. Петров, Н.Н. О существовании значения игры преследования / Н.Н. Петров // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 190, № 6. - С. 1280-1291.

90. Петросян, JI.A. Дифференциальные игры преследования / JI.A. Петросян — Л.: ЛГУ, 1977.-222с.

91. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры с неполной информацией / Л.А Петросян, Г.В.Томский. Иркутск: Изд-во ун-та, 1984. - 187с.

92. Половинкин, Е.С. Неавтономные дифференциальные игры / Е.С. Половинкин // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, №6. - С. 1007-1017.

93. Половинкин, Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх / Е.С. Половинкин // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, № 3. - С. 433-446.

94. Пономарев, А.П. Оценка погрешности численного метода построения альтернированного интеграла Понтрягина / А.П. Пономарев // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1978. - Сер.15, №4. - С. 37-43.

95. Пономарев, А.П. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина / А.П. Пономарев, Н.Х. Розов // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл.матем. и киберн. 1978. - Сер. 15, № 1. - С. 82-90.

96. Понтрягин, JI.C. К теории дифференциальных игр / JI.C. Понтрягин // Успехи мат. наук. 1966. - Т.21, №4. - С. 219-274.

97. Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. I / JI.C. Понтрягин // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 174, № 6. - С. 1278-1281.

98. Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. II / JI.C. Понтрягин // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 175. - № 4. - С. 764-766.

99. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. М.: Наука, 1961. - 391с.

100. Понтрягин, JI.C. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого / JI.C. Понтрягин, Е.Ф.Мищенко // Докл. АН СССР. 1969. -Т. 189, № 4. - С. 721-723.

101. Понтрягин, JI.C. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх / JI.C. Понтрягин, Е.Ф.Мищенко // Дифференциальные уравнения. 1971. - Т. 7, № 3. - С. 436-445.

102. Попова, С.Н. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова / С.Н. Попова, Е.Л. Тонков // Дифференц. уравнения. 1997. -Т.ЗЗ, № 2. - С. 226-235.

103. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184, №2. - С. 285-287.

104. Пшеничный, Б.Н. Дифференциальные игры / Б.Н. Пшеничный, В.В. Остапенко. Киев: Наукова думка, 1992. - 260с.

105. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н.Пшеничный, М.И. Сагайдак // Кибернетика. 1970. - №2. - С. 54-63.

106. Сесекин, А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.Н. Сесекин. Екатеринбург, 1997г. 35с.

107. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А.И. Субботин // Докл. АН СССР. 1972. - №1. - С.3-8.

108. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх: дис. докт. физ.-мат. наук. / А.И. Субботин. Свердловск, 1973. - 174с.

109. Субботин, А.И. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления / А.И. Субботин, Н.Н. Субботина // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2.1. С.24-32.

110. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. М.: Наука, 1981. - 288с.

111. Тарасьев, A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби / A.M. Тарасьев // ПММ. 1994. — Т. 58, вып. 2. С. 22-36.

112. Тарасьев, A.M. О построении стабильных мостов в линейной игре сближения-уклонения / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков. Свердловск, 1983. - 61 с. - Деп. в ВИНИТИ, №2454-83.

113. Тарасьев, A.M. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // ПММ. — 1987. Т. 51, вып. 2. - С. 216-222.

114. Толстоногое, А.А. К вопросу о решениях уравнения интегральной воронки дифференциального включения / А.А. Толстоногое // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, № 2. - С. 358-359.

115. Тонков, E.JI. Задачи управления показателями Ляпунова / Е.Л. Тонков // Успехи мат. наук. 1998. - Т. 53, вып. 4(322). - С. 146.

116. Тонков, Е.Л. Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы / Е.Л. Тонков // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, №5. - С.908-990.

117. Ухоботов, В.И. Непрерывная игра в пространстве с неполной линейной структурой / В.И. Ухоботов // Теория и системы упр. 1997. - №2. — С.107-109.

118. Ухоботов, В.И. Синтез гарантированного управления на основе аппроксимирующей схемы / В.И. Ухоботов // Тр. ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2000. Т. 6, №1.- С. 239-246.

119. Ухоботов, В.И. К построению стабильного моста в игре удержания / В.И. Ухоботов // ПММ. 1981. - Т. 45, вып. 2. - С. 236-240.

120. Ушаков, В.Н. О приближенном построении решений в игровых задачах управления / В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // ПММ. 1997. - Т. 61, вып. 3. С. 413-421.

121. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. - №4. - С. 29-36.

122. Хрипунов, А.П. Построение областей достижимости и стабильных мостов в нелинейных задачах управления: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. / А.П. Хрипунов. Екатеринбург, 1992. - 140с.

123. Ченцов, А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания / А.Г. Ченцов // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 240, №1. - С. 796-800.

124. Черноусько, Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем / Ф.Л. Черноусько. М.: Наука, 1988. - 319с.

125. Черноусько, Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей / Ф.Л. Черноусько // ПММ. 1996. - Т. 60, вып. 6. - С. 940-950.

126. Черноусько, Ф.Л. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация / Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотник, В.Г. Градецкий. М: Наука, 1998.-368с.

127. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, А.Л. Меликян. М.: Наука, 1976.

128. Черноусько, Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф.Л. Черноусько., В.Б. Колмановский. М: Наука, 1978.

129. Черноусько, Ф.Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф.Л. Черноусько., В.Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. - Т. 14.

130. Чикрий, А.А. Нелинейная задача об уклонении от встречи с терминальным множеством сложной структуры / А.А. Чикрий // ПММ. -1975. Т.39, вып. 1. - С. 3-11.

131. Чикрий, А.А. Групповое преследование в дифференциально-разностных играх / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Дифференц. уравнения. 1984.

132. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр /Под ред. А.И.Субботина и В.С.Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984.-295с.

133. Akbin, I. Monotone invariant solutions to differential inclusions /1. Akbin, F. Clarke // J.London Math. Soc. 1977. -V. 16. - P.357-366.

134. Ananevskii, I.M. Syntesis of a continuous control of a rheonomic mechanical system / I.M. Ananevskii // Appl. Math. Mech.- 2003.- V.67, №2.- P. 143-156.

135. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J.

136. Stern, P.R. Walenski. -N.Y.: Springer, 1998. 278p.

137. Chentsov, A.G. Asymptotic attainability / A.G. Chentsov. Dordrecht: Kluwer, 1997. -322p.

138. Fleming, W.H. The Convergence Problem of Differential Games / W.H. Fleming //J. Math. Annal and Appl. 1961. - V. 3.- P. 102-116.

139. Fleming, W.H. The Convergence Problem of Differential Games II / W.H. Fleming // Adv. in Game Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. -P. 195-210.

140. Haddad, G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory / G. Haddad // Israel J. of Math. — 1981. — V. 81.-P. 83-100.

141. Kalman, R. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems / Kalman R. // J.SIAM. 1963. - Ser. A., Control 1.

142. Kalman, R. Controllability of Linear Dynamical Systems. / R. Kalman, Y.C. Ho, Narendra. // Contrib. Diff. Equations. 1963. - V. 1, № 2.

143. Kostousova, E.K. Control sunthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations / E.K. Kostousova // Optimization. Methods and Software.-2001.-V. 14.-P. 267-310.

144. Krasovskii, A.N. Control under Lack of Information. / A.N. Krasovskii, N.N. Krasovskii. Berlin etc: Birkhauser, 1995. - 322p.

145. Kryazhimskii, A.V. Input reconstructiblity for linear dynamics / A.V. Kryazhimskii, Yu.S. Osipov. Ordinary differential equation (Working paper IIASA; WP-93-65). - Luxenburg, 1993. - 28c.

146. Kurzhanski, A.B. Identification: A Theory of Guaranteed Estimates / A.B. Kurzhanski // From Data to Model. Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

147. Kurzhanski, A.B. The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems / A.B. Kurzhanski // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. Berlin: Springer, 2003.-P.l 93-202.

148. Kurzhanski, A.B. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control / A.B.

149. Kurzhanski, I. Valyi. Boston: Birkhauser, 1997. - 321p.

150. Kurzhanski, A.B. Reachability analysis for uncertain systems the ellipsoidal technique / A.B. Kurzhanski, P. Varaiya // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B. - 2002. - V.9, №3. - P. 347-367.

151. Osipov, Yu.S. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems / Yu.S.Osipov, A.I. Korotkii // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М., 1992. - С. 108-117.

152. Quincampoix, М. Differential inclusions and target problems / M. Quincampoix // SIAM J. Control and Optim. 1992. - V.30.2. - P. 324-335.

153. Subbotin, A.I. Generalized Characteristics of First-Order Partial Differential Equations. / A.I. Subbotin. Rapp. Montreal Univ. Montreal, 1993. - №3, CRM-1848. -43p.

154. Subbotin, A.I. Generalized Solution of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective / A.I Subbotin. Boston: Birkhauser, 1995. 312p.