автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальное управление процессом кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией

На правах рукопиа

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МЕТАЛЛА ДЛЯ ОБЪЕКТА СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Специальность 05.13.18 —Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 3 ОКТ 2011

Москва — 2011

4856983

Работа выполнена на кафедре нелинейных процессов и управления Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор

Зубов Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Афанасьев Александр Петрович

кандидат физико-математических наук доцент

Бирюков Александр Гаврилович

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет ВМК

на заседании диссертационного совета Д 212.156.и5 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 кпм.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета). Автореферат разослан ЧгитЛ^е, 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного сс Федько О.С.

Защита состоится

мин.

Д 212.156.05

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Распространение тепла в различных средах оказывает большое влияние на характер протекания многих важных для практики процессов. Поэтому изучению вопросов, связанных с распространением тепла, посвящено огромное количество работ, как физических, так и математических.

Среди задач, связанных с распространением тепла, выделяется важный класс задач, в которых исследуемое вещество претерпевает превращения, в результате чего оно переходит из одной фазы в другую с выделением или поглощением тепла. Подобные задачи (они называются задачами типа Стефана) возникают в случаях плавления и затвердевания вещества.

Существенной чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами (жидкой и твердой), причем закон движения этой поверхности заранее неизвестен и его следует определять. Именно на этой поверхности происходит поглощение или выделение тепла, связанное с фазовым переходом. Термические свойства фаз по обе стороны движущейся поверхности могут оказаться различными. Задачи этого класса заметно сложнее тех, в которых отсутствует переход вещества из одной фазы в другую.

Важной и интересной задачей такого класса, которой посвящена настоящая работа, является задача оптимального управления процессом кристаллизации металла в литейном деле.

Актуальность представленной работы обусловлена как практической востребованностью математического моделирования процесса кристаллизации для объекта со сложной геометрией, так и необходимостью разработки методологии численного решения задачи оптимального управления этим процессом, что вносит вклад в теорию оптимизации сложными динамическими системами.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является создание адекватной математической модели процесса кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией, разработка методологии и алгоритма численного решения задач оптимального управления этим процессом, и реализация этой методологии и алгоритма в виде комплекса программ.

Практическая ценность работы

Возникающие практические задачи требуют не только описания и изучения процесса кристаллизации металла, но и оптимального управления этим процессом, т.к. это позволяет улучшить качество получаемых изделий. В настоящей работе исследуется процесс остывания жидкого металла в литейной форме, имеющей сложную структуру. Остывание объекта происходит в специальной установке, которая позволяет управлять этим процессом. Объекты и установки, подобные рассматриваемым в работе, используются в авиационной промышленности.

Научная новизна работы

Задача оптимального управления процессом кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией, рассматриваемая в работе, актуальна, интересна и до сих пор нигде не рассматривалась. Все полученные результаты являются новыми. Кроме того, решение сложных задач, подобных рассматриваемой в диссертации, обогащает общую теорию оптимального управления сложными динамическими системами.

На защиту выносятся:

— Разработанная математическая модель процесса кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией.

— Разработанные численные методы решения задачи расчета температурного поля для объекта со сложной геометрией (прямой задачи).

— Формулировка задачи оптимального управления процессом кристаллизации для объекта со сложной геометрией и разработанный эффективный алгоритм для её численного решения.

— Два программных комплекса, первый из которых реализует указанные численные алгоритмы, а второй позволяет визуализировать результаты решения прямых задач и задач оптимального управления.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 23-й международной конференции по исследованию операций (EURO XXIII) (Бонн, Германия, 2009); на международной конференции "Optimization and applications (OPTIMA 2009)" (Петровац, Черногория, 2009); на международной конференции "Моделирование-2010" (Киев, Украина, 2010); на международной конференции "MODELARE MATEMATICA, OPTIMIZARE §1 TEHNOLOGII INFORMAJIONALE " (Кишинев, Молдова, 2010); на 4-й европейской конференции по вычислительной механике (ЕССМ 2010) (Париж, Франция, 2010); на семинаре кафедры высшей математики МФТИ под рук. Половинкина Е.С. (Москва, 2010); на 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2010); на семинаре "Методы оптимизации" под рук. Ф.П. Васильева (факультет ВМК МГУ им. М.В. Ломоносо-ва)(Москва, 2011); на семинаре отдела прикладных проблем оптимизации ВЦ РАН (Москва, 2011); на международной конференции по исследованию операций (OR 2011) (Цюрих, Швейцария, 2011).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе две [8,9] - в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Личный вклад автора

Подобная задача оптимального управления для объекта простейшей формы (параллелепипеда) рассматривалась ранее коллективом, в котором работает автор. В работах с соавторами личный вклад соискателя состоит в разработке математической модели, алгоритмов численного решения прямой задачи и задачи оптимального управления (в том числе вывод сопряженной задачи и формулы для вычисления градиента целевого функционала на основе методологии быстрого автоматического дифференцирования) для объекта сложной конфигурации, который представляет практический интерес. Для реализации этих алгоритмов автором был разработан и отлажен комплекс программ. Также автором создан комплекс программ для визуализации результатов расчетов задач, описывающих сложные динамические процессы.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 111 страниц. Список использованных источников содержит 62 наименования.

Содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы: приводится обоснование актуальности выбранной темы, дан обзор публикаций по теме исследования, сформулированы цель и задачи работы, а также приведены структура и краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена разработке и исследованию математической модели процесса остывания и кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией.

Установка, в которой осуществляется остывание образца, изображена на рис. 1. Верхняя часть установки представляет собой плавильную печь, внутри которой перемещается литейная форма с первоначально расплавленным металлом (изображена на рис. 2).

Нижняя часть установки является охладителем и состоит из большой емкости, заполненной жидким алюминием. С одной стороны, объект медленно погружается в охладитель, благодаря чему происходит кристаллизация металла. С другой стороны, объект получает тепло от стенок плавильной печи, что не позволяет процессу кристаллизации протекать слишком быстро.

В разделе 1.1 приводится математическая постановка прямой задачи. В её основе лежит нестационарная трехмерная двухфазная начально-краевая задача типа Стефана. Процесс остывания металла и литейной формы описывается уравнением теплопроводности:

дх) ду\ ду) дх

02

где х, у, 2 - декартовы координаты точки пространства; I - время; Q — область рассматриваемого объекта с кусочно-гладкой границей Г; Т{х,у,г,{) - температура вещества в точке с координатами (х,у,г) в момент времени Функция теплосодержания

Н(т(х,у,г,1)) определяется соотношениями: \Н1 (г), (х, металлу,

Н(Т) = -

я,(г)=

н2 (г), (х, у, г) е форме, Р8сз{Т2~Т\)+РзУ т РвУТх

Т2-Т,

[р^{т2-Т2) Н2{т) = рфсфт,

Т2-Т\ '

+ 2 +РзГ,

Т<Т„

7] <Т <Т2,

Т>Т2,

где у — удельная теплота плавления. Коэффициент теплопроводности К имеет следующий вид:

к(т)=\К1 Уг ^ е мепгаллу>

{х,у,г)е форме, к5, Т <Т\,

1\ 12 М

т>т2,

Константы с$, с£, сф, р5, р1, рф, к5, к1, кФх, , Тх, Т2, Тъ

считаются заранее известными (индексы Ь и Б указывают на принадлежность величины жидкой или твердой фазе соответственно). Функция теплосодержания и коэффициент теплопроводности претерпевают разрыв на границе металл-форма. Требуется, чтобы на этой границе выполнялись два условия: условие непрерывности температуры и условие непрерывности потока тепла. Область, отделяющая твердую и жидкую фазы, определяется узким интервалом температур [7],Г2]. В этой области функция теплосодержания и коэффициент теплопроводности изменяются очень быстро.

На границе Г области задаются краевые условия, которые

д Т

можно записать в следующем общем виде: аТ + ¡3-= у, где а ,

дп

Р , у - известные функции координат (х,у,г) точки поверхности Г

и температуры т(х, у, г, ().

Раздел 1.2 посвящен детальному рассмотрению граничных условий. Выделяется четыре механизма взаимодействия исследуемого объекта с окружающей средой:

— остывание объекта за счёт собственного теплового излучения,

— приобретение объектом тепловой энергии за счет излучения стенок плавильной печи (только для точек поверхности Г вне охладителя),

— приобретение объектом тепловой энергии за счет излучения поверхности охладителя (жидкого алюминия),

— обмен тепловой энергией за счет теплопередачи между объектом и охладителем (только для точек поверхности Г в жидком алюминии).

Отмечено, что отдельные части внешней границы объекта находятся в разных тепловых условиях. Подробно рассмотрена задача расчета теплового излучения.

Раздел 1.3 посвящен численному решению прямой задачи. Объект аппроксимировался конечным набором параллелепипедов. Выбрана система координат, связанная с литейной формой. Её начало располагается на дне объекта, а ось Ог направлена вверх.

Строилась основная сетка, в узлах которой задается температура. Её ячейки целиком располагаются либо в металле, либо в форме. Вспомогательная сетка строилась таким образом, что её узлы располагаются по центру ячеек основной сетки, а на внешних поверхностях её узлы расположены на серединах отрезков, соединяющих узлы основной сетки. Ячейки вспомогательной сетки являются элементарными расчетными ячейками.

Рис. 3.

Рис. 4.

Решение задачи для объекта со сложной геометрией сопряжено с определенными трудностями, среди которых можно отметить следующие:

— учет затенения некоторых частей объекта (иллюстрация на рис. 3),

— перерасчет уровня жидкого алюминия, вытесняющегося объектом,

— возникновение элементарных ячеек сложной конфигурации на внешней границе объекта, подобных показанной на рис. 4.

В основе алгоритма численного решения прямой задачи лежит использование уравнения теплового баланса и переход от формулировки задачи в терминах температуры к формулировке в терминах теплосодержания. Основная идея этого алгоритма базируется на отказе от явного выделения поверхности раздела фаз. По своей сути этот алгоритм можно отнести к алгоритмам сквозного счета.

Закон теплового баланса для любого объема V с внешней границей 5 состоит в том, что изменение теплосодержания в объеме V за фиксированный промежуток времени Т равняется количеству

тепла, проходящему через поверхность 5 объема V за этот же промежуток времени:

1>+Т

V 1> 5

Для дискретизации по времени уравнения теплового баланса, записанного для каждой элементарной ячейки, использовались следующие схемы: схема Писмена-Рекфорда, неявная схема с весами и локально-одномерная схема.

Все рассмотренные схемы консервативные. Пространственная аппроксимация для всех схем одинаковая, а отличаются они только аппроксимацией по времени. Все рассмотренные схемы позволяют расщепить решение задачи на каждом слое по времени на три независимые подзадачи (по X, у и 2 направлениям). Во всех случаях для решения одномерных подзадач использовался итерационный метод с привлечением метода прогонки. Результаты, полученные с помощью всех трех разностных схем, сравнивались между собой.

Самой эффективной при решении прямой задачи оказалась схема Писмена-Рекфорда. Именно эта схема применялась при решении задачи оптимального управления.

В разделе 1.4 обсуждается вопрос о выборе расчетной сетки, как временной, так и пространственной. Раздел 1.5 посвящен детальному описанию итерационного алгоритма, который используется для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, полученных в результате дискретизации прямой задачи по схеме Писмена-Рекфорда. В разделе 1.6 детально описывается аппроксимация краевых условий.

В разделе 1.7 приводятся и анализируются результаты численного решения прямой задачи для объекта со сложной (использующейся на практике) геометрией, полученные при помощи разработанного программного комплекса.

На основе полученных данных делается вывод о том, что скорость перемещения литейной формы в плавильной печи оказывает существенное влияние на характер протекания процесса кристаллизации металла. При некоторых режимах внутри объекта наблюдается образование и схлопывание замкнутых контуров или «пузырей», состоящих из жидкого металла, что приводит к плохому качеству отлитой детали.

Один из моментов процесса кристаллизации можно наблюдать на рис. 5. В данном случае процесс кристаллизации протекал при постоянной скорости погружения объекта в жидкий алюминий, равной 2 мм в минуту. На рисунке показаны два центральных сечения объекта. Черным цветом обозначена литейная форма, а тёмно-серым и светло-серым цветами обозначены области с затвердевшим и расплавленным металлом соответственно.

Хорошее качество детали получается только в том случае, когда образования пузырей с жидким металлом не происходит, при этом могут также накладываться дополнительные технологические требования на то, каким образом протекает процесс кристаллизации. Этого можно добиться при помощи решения задачи оптимального управления этим процессом, чему посвящена вторая глава.

Рис. 5.

В разделе 2.1 представлены результаты исследования, посвященного выбору такого функционала, который бы моделировал технологические требования к процессу кристаллизации металла. Рассмотрены шесть функционалов. Показано, что только четыре из них подходят для использования в качестве целевого функционала в задаче оптимального управления.

Задача оптимального управления процессом кристаллизации металла решалась численно с помощью прямых методов минимизации функционалов. Для этого необходимо вычислять градиент целевой функции.

В настоящей работе используется новый, эффективный способ вычисления компонент градиента целевой функции. Он основан на применении методологии быстрого автоматического дифференцирования и позволяет вычислить точное значение градиента целевой функции для выбранного дискретного варианта задачи оптимального управления.

Разделы 2.2-2.5 описывают применение указанной методологии к рассматриваемой задаче. Так, в разделе 2.2 дискретный вариант прямой задачи приводится к специальному каноническому виду. В разделе 2.3 описывается аппроксимация целевого функционала.

Раздел 2.4 посвящен выводу формул для вычисления сопряженных переменных. Подобно тому, как прямая задача разбита на три подзадачи, возникают три подзадачи для определения сопряженных переменных. Получающиеся при этом системы линейных алгебраических уравнений аппроксимируют начально-краевую задачу для уравнения обратной теплопроводности.

В разделе 2.5 приводится формула для вычисления градиента целевой функции дискретной задачи оптимального управления в том случае, когда в качестве управляющей функции выбрана зависимость от времени перемещения литейной формы в плавильной печи.

Разделы 2.6 и 2.7 посвящены непосредственно исследованию задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией.

В качестве целевого функционала в разделе 2.6 выбраны третий и четвертый функционалы из раздела 2.1, а в разделе 2.7 - пятый и шестой.

На рис. 6 приведен график оптимального управления в том случае, когда для расчетов используется 3-ий функционал, а на рис. 7 приведен один из моментов процесса кристаллизации, протекающего при этом управлении. В данном случае пузырей с жидким металлом внутри объекта не образуется, что приводит к лучшему качеству отлитой детали.

Рис. 6.

В третьей главе рассматривается программный комплекс, разработанный для визуализации расчетов задач, описывающих сложные динамические процессы. Визуализация заключается в создании видеоряда, который делает возможным рассмотрение всего динамического процесса целиком, не упуская при этом важных деталей. Отображение отдельных временных слоев зачастую не может срав-

ниться с информативностью полноценного видеоряда, что и было подтверждено при исследовании результатов настоящей задачи.

Рис.7.

В разделе 3.1 описывается структура получаемого видеоряда. В разделе 3.2 перечислены возможности программы по визуализации различных объектов. В разделе 3.3 описан процесс работы программного комплекса. Кроме того, там перечисляются возможные параметры исходного файла данных.

В разделе 3.4 приводится список использованных при разработке технологий и методик. В разделах 3.5 и 3.6 представлены форматы файлов данных объекта и приведен пример заполнения такого

18

файла. В разделах 3.7 и 3.8 приводятся аналогичные данные для конфигурационного файла.

В разделе 3.9 описываются возможности по встраиванию разработанного программного комплекса в другие приложения. В заключительном разделе 3.10 говорится о практическом использовании данного программного комплекса при исследовании рассмотренной задачи оптимального управления кристаллизацией металла.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель нестационарного процесса кристаллизации металла для объекта со сложной геометрией, учитывающая воздействие стенок плавильной печи и охладителя на литейную форму, заполненную жидким металлом.

2. Разработан эффективный алгоритм численного решения прямой задачи для объекта со сложной геометрией.

3. На основе результатов численного решения большого числа прямых задач сформулирована задача оптимального управления процессом кристаллизации металла, призванная определять такой сценарий протекания процесса, при котором обеспечивается требуемое качество отлитого изделия.

4. Разработан эффективный алгоритм численного решения задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла, основанный на современной методологии быстрого автоматического дифференцирования.

5. Разработан и отлажен программный комплекс, реализующий алгоритмы численного решения прямой задачи и задачи оптимального управления.

6. Разработан и отлажен программный комплекс для эффективной визуализации нестационарных процессов. Этот программный комплекс имеет достаточно широкую область применений: при проведении научных исследований, в учебном процессе и т.д. В настоящей работе он использовался при исследовании задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла.

Список публикаций по теме диссертации

1. Audrey Albu, Vladimir Zubov. Study and modification of the Fast Automatic Differentiation technique // 23rd European Conference on Operational Research (EURO XXIII). Book of Abstracts. -Bonn, Germany, July 5-8,2009-P. 21-22.

2. Andrey Albu. Software for visualization of the results of optimal control problems // International Conference "Optimization and applications (OPTIMA 2009)". Book of Abstracts. -Petrovac, Montenegro, September 21-25, 2009-P. 10.

3. А.В. Албу, В.И. Зубов. О визуальной поддержке решений задач управления сложными динамическими системами // Оптимизация и приложения. Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии наук. -М., 2010 -С. 33-41.

4. А.В. Албу, В.И. Зубов. Программный комплекс для визуализации динамических процессов в сложных системах // Моделювання та шформацшш технологи . 36ipHHK наукових праць. Спещальний випуск. MaTepianH м1жнародпо'1' науково'1 конференцц «Моделювання-2010» «Simulation-2010» (12-14 травня 2010 року). -Украши, Кшв, 2010-Т. 2.-С. 73-78.

5. А.Ф. Албу, А.В. Албу, В.И. Зубов. Об одной задаче оптимального управления сложной системой // MODELARE MATEMATICA, OPTIMIZARE §1 TEHNOLOGII INFORMAflONALE. Materialele Conferinjei Internationale. -Chi§inau, 24-26 martie, 2010 -P. 109-118.

6. A.F. Albti, A.V. Albu. Mathematical Modelling and Optimal Control of the Process of Solidification for the Object with Complex Geometry // IV European Conference on Computational Mechanics ECCM 2010 (Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering). -Paris, France, May 16-21, 2010-2 p [PDF] (http://www.eccm2010.org/)

7. А.В. Албу, В.И. Зубов. Оптимальное управление процессом кристаллизации металла в литейном деле для объекта со сложной геометрией // Труды 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладная математика. /Моск. физ. - техн. ин-т. -М. -Долгопрудный, 2010 -Т. 3 -С. 89-90.

8. Албу А.В., Зубов В.И. О выборе функционала и разностной схемы при решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. —2011 —Т. 51. № 1.-С. 24-38.

9. Албу А.В., АлбуА.Ф., Зубов В.И. Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления сложной динамической системой // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. -2011 -Т. 51. № 5 -С. 814-833.

10. Audrey Albu, Vladimir Zubov. On the controlling of liquid metal solidification in foundry practice // International Conference on Operations Research (OR 2011). Book of Abstracts. -Zurich, Switzerland, August 30 to September 2, 2011 -P. 13.

Албу Андрей Вячеславович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МЕТАЛЛА ДЛЯ ОБЪЕКТА СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 09.09.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № 76.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Московский физико-технический

институт (государственный университет)»

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Введение

Глава 1. Построение модели нестационарного процесса 8 кристаллизации металла в литейной форме для объекта со сложной геометрией.

1.1. Математическая постановка задачи.

1.2. Граничные условия.

1.3. Построение разностной схемы для решения прямой задачи

1.4. Выбор расчетной сетки.

1.5. Алгоритм численного решения прямой задачи.

1.6. Аппроксимация краевых условий.

1.7. Результаты численного решения прямой задачи.

Глава 2. Разработка алгоритма оптимального управления скоростью перемещения литейной формы в плавильной печи.

2.1. Выбор функционала качества задачи оптимального управления

2.2. Каноническая запись дискретного варианта прямой задачи

2.3. Аппроксимация целевого функционала.

2.4. Сопряженная задача.

2.5. Градиент целевой функции дискретной задачи оптимального 54 управления.

2.6. Численное решение задачи оптимального управления.

2.7. Численное решение задачи выпрямления поверхности раздела 65 фаз.

Глава 3. Разработка программного комплекса для визуализации сложных динамических процессов.

3.1. Структура получаемого видеоряда.

3.2. Визуализация различных объектов.

3.3. Описание процесса работы программного комплекса

3.4. Описание используемых технологий и методик.

3.5. Формат файла исходных данных.

3.6. Пример файла исходных данных объекта.

3.7. Описание формата конфигурационного файла.

3.8. Пример конфигурационного файла.

3.9. Версия для встраивания в другие программы.

ЗЛО Опыт практического применения.

В связи со все возрастающей конкуренцией производителей, сокращением материальных ресурсов и интенсификацией производства в последнее время все большую актуальность приобретают задачи оптимального управления, особенно задачи оптимального управления сложными системами с распределёнными параметрами. Математическим аппаратом для решения таких задач является вариационное исчисление, теория оптимального управления, методология быстрого автоматического дифференцирования. Большой вклад в развитие методов решения задач оптимального управления системами с распределёнными параметрами внесли российские учёные (А.Г. Бутковский, Ф.П. Васильев, А.И. Егоров, А.Н. Крайко, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинов, Ю.Д. Шмыглевский и др.). Настоящая работа использует накопленные за последние десятилетия знания и опыт в теории оптимального управления системами с распределёнными параметрами и направлена на системное применение новейших математических достижений для решения реальной практически значимой задачи оптимального управления тепловыми процессами.

Распространение тепла в различных средах оказывает большое влияние на характер протекания многих важных для практики процессов. Поэтому изучению вопросов, связанных с распространением тепла, посвящено огромное количество работ как физических, так и математических. С математической точки, зрения распространение тепла описывается краевыми задачами для уравнения теплопроводности. Эти краевые задачи подробно описаны и исследованы как в общей литературе (см. [0.1]—[0.4]), так и в специальной (см. [0.5]—[0.12]).

Среди задач, связанных с распространением тепла, выделяется важный класс задач, в которых исследуемое вещество претерпевает превращения, в результате чего оно переходит из одной фазы в другую с выделением илш поглощением тепла. С такого рода задачами (они называются задачами типа Стефана) сталкиваются' во многих случаях, из которых важнейшими и наиболее распространенными являются случаи плавления и затвердевания. Существенной чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами (жидкой и твердой), причем закон движения этой поверхности заранее неизвестен и его следует определять. Именно на этой поверхности происходит поглощение или выделение тепла, связанное с фазовым переходом. Термические свойства фаз по обеим сторонам движущейся поверхности могут оказаться различными. Задачи этого класса заметно сложнее тех, в которых отсутствует переход вещества из одной фазы в другую. Исследованию прямых задач типа Стефана и разработке методов их решения посвящены, например, работы [0.13]-[0.21].

Выдвигаемые практикой задачи заключаются не только в описании и изучении процессов распространения тепла, но и в оптимальном управлении этими процессами.

Одной из важных и интересных задач такого класса, которой посвящена настоящая работа, является задача оптимального управления процессом кристаллизации металла в литейном деле. Одним из важных этапов литейного дела является кристаллизация расплавленного металла. От того, как протекал процесс затвердевания жидкого металла, зависит качество полученного образца. Установлено, что для получения образца хорошего качества желательно, чтобы поверхность раздела фаз была бы как можно ближе к плоской и чтобы скорость ее движения была бы небольшой.

Целью работы являются:

- построение математической модели нестационарного процесса плавления и кристаллизации металла в литейном деле для объекта со сложной геометрией;

- разработка и отладка алгоритма оптимального управления скоростью перемещения литейной формы в плавильной печи и решение этой задачи оптимального управления с распределенными параметрами;

- разработка и отладка программного обеспечения для эффективной визуализации нестационарных процессов.

Структурно диссертация разбита на три главы и заключение. Каждая глава разбита на разделы. Ссылки на использованные источники и рисунки содержат две позиции. Первая позиция указывает на номер главы, которой принадлежит ссылка, а вторая позиция - на порядковый номер ссылки в данной главе. Ссылки на формулы, встречающиеся в тексте диссертации, имеют три позиции. Первая позиция ссылки на формулу указывает на номер главы, в которой впервые встретилась формула; вторая позиция - на номер раздела данной главы; третья позиция - на порядковый номер ссылки в данном разделе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на примере задачи кристаллизации металла разработан подход к решению задач оптимального управления сложными динамическими системами.

Построена математическая модель нестационарного процесса кристаллизации металла в литейном деле для объекта со сложной геометрией, учитывающая воздействие стенок плавильной печи и охладителя на литейную форму, заполненную жидким металлом.

Разработан эффективный алгоритм численного решения прямой задачи. Этот алгоритм был программно реализован, отлажен и использовался для исследования нестационарного процесса кристаллизации металла в литейной форме.

На основе результатов численного решения прямой задачи была сформулирована задача оптимального управления процессом кристаллизации металла, призванная определять такой сценарий протекания процесса, при котором обеспечивается требуемое качество отлитого изделия.

Разработан и отлажен эффективный алгоритм численного решения задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла, основанный на современной методологии быстрого автоматического дифференцирования.

Разработано и отлажено программное обеспечение для эффективной визуализации нестационарных процессов. Это программное обеспечение имеет достаточно широкую область применений: при проведении научных исследований, в учебном процессе и т.д. В настоящей работе оно использовалось при исследовании задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла.

1. Лодыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -407 с.

2. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.-391 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

4. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. -352 с. 0.5. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралы{ева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М.: Наука, 1967. -736 с.

5. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // ПММ. 1963. T. XXVII. № 4.

6. Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1965. -Т. 5. №.5.-С. 828-840.

7. Васильев Ф.П. Об одном варианте метода прямых для решения задач типа Стефана // В сб. "Вычисл. методы и программирование". Вып.УШ. М: МГУ, 1967. -С. 139-164.

8. Васильев Ф.П. О методе прямых для решения однофазной задачи типа Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1968. -Т. 8. №.1. -С. 64-78.

9. White R.E. An enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys. -1982. -V. 19. №6.-P. 1129-1157.

10. White R.E. A numerical solution of the enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys. -1982. -V. 19. №> 6. -P. 1158-1172.

11. Дарьин H.A., Мажукин В.И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивной сетке // Дифференциальные уравнения. -1987. -Т. 23. № 7. -С. 1154-1160.1. Глава 1

12. Блох А.Г. Основы теплообмена излучением. — M.-JL: Госэнергоиздат, 1962. -331 с.

13. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. JL: «Энергия», 1971.-294 с.

14. Rose М. A method for calculating solutions of parabolic equations with a free boundary // Math. Comput. -1960. -V. 14. -P. 249-256.

15. White R.E. An enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys. -1982. -V. 19. № 6.- -P. 1129-1157.

16. White R.E. A numerical solution of the enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys.-1982.-V. 19. №6.-P. 1158-1172.

17. Албу А.Ф., Зубов В.И. О модификации одной схемы для расчета процесса плавления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2001. -Т. 41. № 9. -С. 1434-1443.1. Глава 2

18. Ahmed N.U., Тео K.L. Optimal Control of Distributed Parameter Systems. North Holland, New York -Oxford. 1981. -430 p.

19. Бутковский А.Г. Теория- оптимального управления системами, с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. -474 с.

20. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1975. -568 с.

21. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.': Наука, 1975. -480 с.

22. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление- системами, описываемыми дифференциальными,уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972. —414 с.

23. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука; 1981. -400 с.

24. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. -824 с.

25. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. -М.: Наука, 1978.-464 с.

26. Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М.: Изд-во Московского университета, 1999. -295 с.

27. Албу A.B., Зубов В.И. О выборе функционала и разностной схемы при решении задачи оптимального управления процессом кристаллизации металла // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. -2011. -Т. 51. № 1. -С. 24-38.

28. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradients in distributed dynamic systems // Optimizat. Methods and Software. -1998. -V. 9. -P. 45-75.

29. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977.-656 с.

30. Албу А.В., Албу А.Ф., Зубов В.И Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления сложной динамической системой // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. -2011. -Т. 51. № 5 -С. 814-833.

31. Албу А.Ф., Зубов В.И. Вычисление градиента функционала в одной задаче оптимального управления, связанной с кристаллизацией металла // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. -2009. -Т. 49. № 1. -С. 51-75.

32. Audrey Albu, Vladimir Zubov. Study and modification of the Fast Automatic Differentiation technique // 23rd European Conference on Operational Research (EURO XXIII). Book of Abstracts. -Bonn, Germany, July 5-8, 2009. -P. 21-22.

33. А.Ф. Албу, A.B. Албу, В.И. Зубов. Об одной задаче оптимального управления сложной системой // MODELARE MATEMATICA, OPTIMIZARE §1 TEHNOLOGII INFORMATIONALE. Materialele Conferintei Internationale. -Chi§inau, 24-26 martie, 2010.-P. 109-118.

34. H.B. Савельева. Основы программирования на PHP. Курс лекций. -М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005. 264 с.

35. Денис Колисниченко. Профессиональное программирование на PHP. С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2007. - 416 с.

36. ПолХадсон. PHP. Справочник. -М.: КУДИЦ-Пресс, 2006. 448 с.

37. Рич Боуэн, Аллан Лиска, Дэниэл JIonec Ридруэйо. Apache. Настольная книга администратора. -М.: ДиаСофтЮП, 2002. 384 с.

38. А. Матросов, А. Сергеев, М. Чаунин. HTML 4.0. С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2008. -672 с.

39. Эрик А. Мейер. CSS. Каскадные таблицы стилей. Подробное руководство. М.: Символ-Плюс, 2008. - 576 с.

40. Вирджиния ДеБольт. HTML и CSS. Совместное использование. -М.: НТ Пресс,2006.-512 с.

41. Дэвид Флэнаган. JavaScript. Подробное руководство. М.: Символ-Плюс, 2008. -992 с.

42. Audrey Albu. Software for visualization of the results of optimal control problems // International Conference "Optimization and applications (OPTIMA 2009)". Book of Abstracts. -Petrovac, Montenegro, September 21-25, 2009 -P. 10.

43. A.B. Албу, В.И.Зубов. О визуальной поддержке решений задач управления сложными динамическими системами // Оптимизация и приложения. Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии наук. М., 2010-С. 33-41.