автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Определение излучающих объектов в неоднородных средах

Российская Академия наук (. .. •■.• • Сибирское отделение

1 3 ' * Вычислительный центр

На правах рукописи

;.1АТЕВ0СШ Ауамаис Хачикович

УДК 550.344

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧАЩИХ ОБЪЕКТОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЗДА1

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН.

Научные руководители:

академик РАН д.ф.-м.н., профессор А.С.Алексеев,

к.ф.-ы.н. Л.Г.Фатьянов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.И.Кабашшгн,

доктор физико-математических наук, профессор Г.М.Цибульчик

Ведущая организация:

Вычислительный центр СО РАН в г. Красноярске.

Защита состоится ф&ДэсЫ'А-- 1995 года в часов на заседании специализированного совета Д.0.02.10.02 Вычислительного центра СО РАН по адресу: 630090, г. Новоси-бирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра СО РАН. _ /?

Автореферат разослан ;€¡Я^У.О— 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

к.т.н. И.Г.Забиняко

Актуальность гевд. Использование динамических характеристик сейсмических полей является одним из перспективных и наиболее интенсивно развиваемых в последнее время подходов к изучению процессов, происходящих в очагах землетрясения. Это связано с тем, что привлечение дииашки позволяет пределлть не только геометрические характеристики очага (расположение и протяженность), но и такие ваяные параметры, как распределение напрянешш, скорость вспаривания и др. Однако, при реализации такого подхода возникают серьезные трудности:

- выбор подходящей модели (среди и источника), адекватно описывающей реальные геологические условия изучаемого региона;

- необходоюсть наличия быстродействующих алгоритмов для расчета сейсмических полей;

- развитие теории и численннх методов решения обратных динамических задач сейсмики.

Цель настоящей работы - разработка теоретических и численных методов решения обратных динамических задач определения излучающих объектов в вертикально-неоднородной изотропно-упругой среде.

Научная новизна. В диссертации рассматривается задача определения излучающих объектов в вертикально-неоднородной изотропно-упругой среде.

Для решения этой задачи получены следующие результаты:

- на основе использования спектрального представления волновых полей доказано, что излучающий объект, расположенный в верти- ■ кально-неоднородном изотропно-упругом слое или . полупространстве однозначно определяется по информации о режиме колебании свободной поверхности;

- предложен и обоснован оптимизационный подход к решению этой задачи, который сводится к отыскании 5очки шнимуиа целевого функционала, представляющего собой квадратичное уклонение зарегистрированного волнового поля от рассчитанного для текущей модели источника, причем показывается, что этот функционал имеет единственную точку минимума;

- предложена некоторая (осесиметричная) модель источника, которая при уменьшении ее размеров ведет себя, как источник "типа центра давления";

- решена прямая задача для вышеупомянутого источника (в случае, когда среда предполагается щнородно!;). Получены явные выражения для волнового поля в спектральной области, содержаще полуцелые функции Несселя;

- решена обратная задача (предложенным оптимизационным методом) для этого источника, при этом минимизация произведена по трем параметрам источника: глубины и по двум параметрам размера;

- проведена представительная серия численных экспериментов для изучения поведения линии уровня соответствующего функционала в зависимости рассматриваемых диапазонов частот, и по восстановлении параметров источника.

Практическая ценность работы. Разработана новая методика определения излучаицих объектов, основанная на оптимизационном подходе. Показана ключевая роль эффективных численны:: алгоритмов и программны:: средств расчета волновых полей при таком подходе.

Предложенная методика открывает возможность проведения численного эксперимента с целью осуществления планирования реальных систем наблюдения применительно к конкретным геологическим условиям.

Таким образом, предлагается замкнутая технология математического моделирования процессов формирования и распространения сейсмических волн, возбуждаемых в результате действия пространственно-распределенных источников, что может рассматриваться как пспвы;1 шаг в создании количественных методов изучения очаговых ROH.

ЛппоДация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института математики и Вычислительного центра СО РАН; на У1 конференции "Актуальные проблемы геофизики" для молодых ученых. ИФо РАН км. О.Ю.Шидта.

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 8 параграфов, заключения и списка''цитированной литературы из 68 наименований. Общий объем - м стр., в том числе IS рисунков.

Содержание работы Б диссертации рассматривается следующая задача:

где есть оператор динамической теории упрутости, описывающий процесс распространенш волн в вертикально-неоднородной изотропно-упругой среде (слой с несткой никнем границей пли полупространство). По дополнительной информации на свободной поверхности

1Г(Х, Я, - То (X, У,/ )

(2)

требуется найти функцию § , входящую в правую часть

(1).

Во введении обосновывается актуальность работы, приводится краткое описание истории исследования по теме диссертации, представляется аннотация основных результатов.

В параграфе I главы I изучается единственность обратной задачи (I), (2) для вертикально-неоднородного изотропно упругого слоя. Основной результат сфоомулирован в вице теоремы:

Теорема I. (Теорема единственности). Пусть заданы функции 21г)?1раг), г? С1С01н7 } 11?) ^ Сх >о 0 ъ С^>о ,

ъ С?> О . Пусть, далее £ ^

и £ , где У - компакт. Тогда, если

известна ж -о , < о , Г , го по информации

(2) функция определяется единственным образом ( Л1г> , , параметры Ламэ и плотность).

Для доказательства теоремы используются преобразование Оурье по X и ¿Мчто корректно ввиду гиперболичности задачи и финитности функций £ , 3 ) и спектральное разложение решения (I) через собственные функции оператора Ь? - и?*-- . г.то возможно ввиду самосопряженности этого оператора, что доказывается отдельной леммой).

Далее, для доказательства теоремы используется следующее преобразование по времени:

г

где ,-6) есть решение задачи (I) после преобразо-

вания Оурье по X Ч , что дает возможность использовать дополнительную информацию.

В параграфе 2 главы I рассмотрена обратная задача (I), (2) в вертикально-неоднородном изотропно-упругом полупространстве и доказана теорема.

Теорема 2 (теорема единственности), пусть заданы 'функции <£ сЧо,^) , 5 ?<-<.*)> С^

> о . Цусть, далее, £ и, 4,2} ¿г Л*. (И^) и

Ъирр , где V - компакт. Тогда, если

известна и ^^^ о , £< о > ^ Т , то по информации (2) функция ^(х, У,?; определяется единственным образом.

Эта задача рассматривается как предельный случай предыдущей при , что дает возможность получить спектральное раз-

ложение реиения и для этого случая.

Далее, для доказательства теоремы используютдя следующие

два преобразования по времени:

т

(4)

е>

о*3

(5)

,-гЧ п { I

в

Это связано со спецификой полученного спектрального разложения, т.е. возможностью существования как дискретного, так и непрерывного спектра, а такке их комбинации (т.е. одновременно мсгут существовать как дискретный так и непрерывный спектры). Отмене.!, что применение (4) дает возможность получить неизвестные коэффициенты в разложении для точек соответствующих дискретно-:.<у спектру, а (5) для точек соответствующих непрерывному.

В параграфе 3 главы I предлагается оптимизационный подход к решению обратной задачи (I), (2). Неизвестную функцию предлагается искать как точку минимума целевого функционала <|=> < Я > , характеризующего уклонение в некоторой норме зарегистрированного

волнового поля от рассчитанного для некущей модели. Наиболее употребительной при этом является норма пространства Ьа.

В качестве целевого функционала выбирается следующее выражение : _

«г.

(6)

где Б - оператор, переводящий функцию Р ("пробная"

модель источника) в волновое поле на свободной поверхности (т.е. решение прямой задачи (I) рассчитанное на свободной поверхности), а ^Гс^.^а ,«>0 - дополнительная информация.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы I (теоремы 2) функционал (6) имеет единственную точку минимума.

Очевидно, что любой процесс поиска точки минимума функционала (6) будет связан с необходимостью многократного решения прямой задачи (I). Поэтому для успешной реализации оптимизационного подхода к решению обратной задачи (I), (2) необходимо наличие эффективных методов расчета водновнх полей. Кроме того надо отметить немаловажную роль выбора подходящей "пробной" модели источника для решений прямой задачи, что иногда дает возможность получить решение прямой задачи в явном виде и существенно облегчает процесс расчета волновых полей.

В параграфе I главы Н приводится описание некоторого "пробного" модели источника (осесимметрпчного относительно оси в геометрической форме алипеоида вращения, с компонентами распределения массовых сил, которые в цилиндрической системе координат выглядят следующим образом:

(7)

4 >

У г У,

где , обобщенные функции, которые за-

даются следующими ¡¡функционалами:

(8)

\~2Г/

Ре - интенсивность силы, - 4 - объем излучающей

области, ~ полуоси элипса, - интенсивность вход-

ного сигнала по времени, а /2 = ТГ внешняя нормаль к гра-

нице излучающей области в точке .

В параграфе 2 главы П рассматривается прямая задача (I) для вышеупомянутого источника (7) в однородной изотропно-упругой среде. Для решения это«! задачи используются конечные интегральные преобразования Оурье-Еесселя, что исходную задачу приводит к вдупараметрическому семейству одномерных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате удается получить явные выражения для компонент вектора смещения в спектральной области (к,иг) , содержащие полуцелые функции Бесселя, которые на свободной поверхности выглядят следующим образом:

* о ¿у/,?* к ^^

где сделаны следутацие обозначения:

(Ю)

£ > Ь К'

Представляется ванным отметить, что предельный переход в выражениях (9) при О приводит к аналогичным выра-

жениям для источника "типа центра давления" т.е. в этом смысле предлагаемый источник мояно рассматривать как пространственно-распределенный аналог источника "типа центра давления".

В параграфе 3 главы П предложенный выше оптимизационный метод применяется для решения обратной задачи (I), (2), для источника (7). Предлагается провести минимизацию по трем параметрам источника: глубины 4 и полуосей Яг аг- . которые полностью определяют источник.

Параграф X главы 01 посвящен описанию численных экспериментов по исследованию поведения линии уровня соответствующего функционала, для организации .аффективного процесса поиска точки минимума. Рассматриваются разные диапазоны временны;-: частот в пределах от 0.5 до 5 Гл.,

Параграга 2 главы 11! посвящен описанию численных экспериментов по восстановлению параметров источника. Ввиду простоты выражения (9) для глшишзацш! предлагается метод простого перебора с некоторой стратегией построения сетки и нага минимизации, основы которой заложены в анализе поведения линии уровня. Расчеты проведены для диапазона временных частот от I до 2 Гц.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Матевосян А.Х. О единственности определения излучающего объекта в упругом слое // Труды ВЦ СО РАН. Математическое моделирование в геофизике, I. - Новосибирск, 1993, с. 125-133.

2. Матевосян А.Х. 0 единственности определения излучаюшего объекта в упругом полупространстве. - Новосибирск, 1991. -14 с. - (Препринт РАН. Сиб. отделение. ВЦ, 948.

3. Матевосян А.Х. О единственности точки минимума одного целевого функционала // Труды ВЦ СО РАН. Математическое моделирование в геофизике, 2. - Новосибирск, 1993. - с. 59-63.

4. Ыатевосян А.Х., Фатьянов А.Г. Методы расчета волновых полей для одной модели сейсмического объемного источника. - Новосибирск, 1994. - 22 с. - (Препринт РАН Сиб. отделение, ВЦ; 1029).