автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Об одном алгебраическом представлении графов и сетей

РГ6 од

„ 7

ЕЫЧИСЛИТЕЛЫШИ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДИЮ! НАУК

На правах рукописи

ЕЕЛТОЕД Лодшла Валериаиовна

ОБ ОДНОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРАФОВ И СЕТЕЙ.

Специальность 05.13.16 - Прииенение вычислительной

техника, ыатеыатического моделирования и ыатеиатических иетодов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фкзико-ыатеыатнческих наук

Москва - 1993г.

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской Академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Леонтьев В.К.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

ЮдшшиК С.А.

кандидат физико-математических наук Бушанов О.Н,

Ведущее предприятие: Научный совет РАН по комплексной проблеме "Кибернетика" " *

Защита состоится " ¿>4 " и ¿ОКА 1993г. в -/6" час. на заседании спеииа.пзированного со^та Д002.32.06 при

Вычислительном нентре РАН по а.мресу: 117967, Москва, ул. Завило г

дом 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН.

Автореферат разослан « Л " НСиЯ 1993Г.

Учены*" секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат.наук

О/и/^-г шрартин с.Ы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш диссертации.

Рост эффедоивности современного автоматизированного производства достигается как путем повышения его производительности, так и гибкости, вшшчаггцей в себя возможность перестройки в кратчайшие срока ав'лцатизированного производства и его систеш управления при коренной изменении выпрска-еыой продукции.

Функцией управляющей систеш любого дискретного автоматизированного производственного комплекса (единицы оборудования, подул?, линии, участка, цеха) является обеспечение координации и согласование функционирования оборудования коиплек-са.

В условиях перехода к рыночной эконсшже, свешанного с неизбежный постояшиш обновлением выпускаемой продукции н, как следствие, с повышением гибкости и степени .«автоматизации производства несомненна высокая актуальность создания основ построения иэтодов обеспечения гибкого управления производственными комплексами.

Решение этой проблемы опирается на формальные подели и методы, позволяющие строить наглядные и понятные пользователю модели, адекватно описывающие функционирование гибких производственных комплексов, просчитывая зкетреиалыше ситуации, создавать функции управлешя, позволяющие менять структуру подели, в соответствии с изменениями, происходивши в моделируемой системе, предварительно проведя анализ свойств новых измененных моделей. При этом эти модели долаш иметь средства для отражения параллелизма и иерархии процессов, протекает«

в гибких производственных комплексах, времени выполнения операций.

Известные в настоящее время модели: параллельные граф-схемы алгоритмов, системы взаимосвязанных графов, графы вычислений, графы, автоматы, сети Петри и их расширения недостаточно эффективны для описания и анализа Функционирования гибких производственных комплексов в условиях возможных переналадок оборудования комплексов.

Целью работа является создание формального аппарата на базе сетей Петри, позволявшего осуществлять моделирование гибких производственных комплексов с учетом перестройки их работы, и в целом, моделировать функционирование изменяющихся г процессе работы систем.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

1) разработка представления двудольных ориентированных графов в алгебраической форме;

2) разработка нового подхода к представлению сетей Петри, как представления адекватно описывающего структуру сети Петри, удобного для пользователя и использования для описания функционирования изменяющихся систем;

3) определение сетей, позволяющих менять свою структуру в соответствии с изменениями в реальной сис^аы., и разработка для этой цели комплекса операций, осуществляла« эти изменения;

4) разработка новых методов и подходов к исследованию и анализу свойств сетей Петри.

Методы исследования базируются на применении аппарата теории ¿шонеств, сетей Петри, теории графов, дифференциальных

авнений и математического анализа, элементов теории алго-шов и формальные систем.

Научная новизна состоит в: представлении графов и сетей Петри в алгебраической форме; представлении сетей Петри в виде полияоиа, разработке на тсвб этого представления операций" над сетями, позволяющими :сто и эффективно изменять структуру сети, создании па базе ассических сетей Патри их нового расширения - гибких сетей^ юншцих свов структуру в завасшоств от состояния модели, работоспособности, и форшфовании функции, управляющей ш изменениями;

заработке нового подаода к анализу сацоыодофицируешх оковы! сетей, который заключается в гтредполонеюга, что кционирование сети в целом и каждого перехода в отдельное-является непрерывным процессом, составлешш ди.фферегкиаль-уравнений изменения маркировки сети, а так же проведении пиза свойств отдельных фрагментов сети на основе^ нсследо-¡я решений дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы заюшчается в создании )рата для иоделирования изменяющихся или самоизаеняюпдахся тенией времени систем.

Реализация результатов работы осуществлена при иоделиро-и гибких производственных комплексов в Московской госу-твеннои технологическом университете "Станкин". Апробация работы. Основные результаты работы докладива-и обсуадались на V и VI Всесоюзных школах - семинарах цых ученых и специалистов "Прсшиленше роботы и гибкие латизированные производства" (Нарва 1986, 1988), на Рьс-асанской нзучно-лрпктичеекой кокфг-репцми молодых учишх и

специалистов Чувашской АССР (Чебоксары 1987), на х Всесоюзной семинаре "Параллельное программирование и высокопроизводительны" системы" (Уфа 1990).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 93 наименований, и приложение, содержащих доказательства теорем, программу на языке Паскаль для моделирования работы сельскохозяйственного уборочного комплекса с помощью сетей Петри и результаты моделирования, а также материалы, подтверждающие внедрение работы.

Обьем диссертации 194 стр., включая 51 стр. рисунков и таблиц, список литератур» на 12 стр. и приложения на 17 стр.

________________________________________СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение обосновывается актуальность работы, формулируются ее цель и решаемые в ней задачи, характеризуется научная новизна и практическая ценность работы, дается краткое изложение по главам.

Первая глава представляет собой обзор магматических моделей дискретных производственных процессов.

Здесь- рассмотрены шесть групп моделей: графы, автоматы, графы вычислений, системы взаимосвязанных графов, параллельные граф-схемы алгоритмов, сети Петри и их расширения. При 'описании каждой группы моделей даются основные понятия и правила функционирования моделей, рассматриваются цели и методы Г'роведения их анализа. Обсуждаются достоинства и не-

статкн этих моделей с точки зрения их пригодности для моде-рования дискретны* изменяться в процессе работы слстеи, в торых события происходит асинхронно и параллельно.

Основные задачи. решаемые с помощью графов, известны, о задача о нахождении кратчайшего пути, задача проведения рог и т.д. Применениями теория графов на производстве являем описаний порядка сборки различных механизмов и описание ¡рархш производств.

Транспортныз сети - это усовершенствование графов с ¡лью решения транспортных задач, а именно задачи о чаиболь-!М потоке и транспортной задачи.

К анализу транспортных сетей сводятся многие задачи, ганикавдие при планировании поставок, распределении товаров ¡аду потребителями, определении рационального распределения ¡рщрутов.

Но графы не могут моделировать временные моменты, а гешю одновреиешюсть событий, параллелизм, аашхронность, а папе недетериинизм, конфликтность.

Автоматы используют для описания вычислительных систем а низком уровне, если рассматривать аппаратное обеспечение а) на нескольких уровнях. Достоинствами автоматов является э, что они предусматривают параллельность (одновременность) эботы, но недостатком их является то, что они не могут моде-фо'вать конфликтность, недетершгеизы.

Графи вычислений - одна из наиболее слоеных моделей, люванная на графах^ предназначена для представления парал-зльного ■ выполнения программ, вычисляющих арифметические .фажения. Однако они не могут моделирс- принятие решений яи их условное выполнение, что ваяно для моделирования габ-

кого производственного комплекса.

Моделирование с помощью систем взаимодействующих графов (СНГ) предполагает использование метода "снизу вверх", т.е. сначала выполняют описание отдельных процессов, а затеи описание их взаимодействий. Достоинствами СВГ являются их модульность и наличие автоматного подхода.

СВГ хороши для моделирования отдельных агрегатов или единиц оборудования. Но описание функционирования сложных систем, таких как ГПК, предаюдчта^ельнее проводить методом "сверху вниз", т.е. сначала в терминах наиболее крупных операций с последующей их детализацией на нижестоящих уровнях.

Параллельные граф-схемы алгоритмов (ПГСА) наглядны и псосты в понимании. Они позволяют проводить описание сложных процессов методом "сверху вниз". Однако, ПГСА не отражают поведения систем в явной форме и не дают представление о внутренлей логике функционирования СЛУ. Их существенным недостатком является и отсутствие методов анализа корректности моделей непосредственно по ПГСА и необходимость перехода для этого к сетям Петри.

Сети Петри удобны и выразительны при моделировании СЛУ. С их помощью просто представляются такие важные свойства, как логические йзаимосвязи событий в системе, параллелизм, последовательность» альтернативность операций.

Классические сети Петри имеют развитый аппарат анализа. Однако, их моделирухад.г возможности недостаточны для описания реальных производственных систем, у них отсутствуют средства для отражения времени и иерархии процессов. А многочисленные расширения сетей Петри, обладающие достаточной моделирующей мощностью, имеют слабые разрешающие возможности (возможности

аналитического исследования). Так, одно из расширешД сетей Петри - динамичные сети Петри [Рыков В.А. Динамичные сети

Петри. ВЦ АН СССР. Москва. 1988, 24с.] имеют достаточные

р,

выразительные возможности для моделирования динамичных систем как то система расширяемого диалога, фрейиы на демонах. Динамичность моделей достигается за счет введения переходов с последействиями, которые воздействуют на структуру сети посредством изменения патриц инциденций и вектора маркировок, что довольно громоздко и ненаглядно. Катоды анализа динашпшх сет'йй Петри не известны.

Тагаш образом, графы, автоматы, графы вычислений, СВГ и сети Петра, имея развитый аппарат анализа, предназначены в основной для моделирования ГПК низпэго уровня - единиц оборудования, роботизированных технологических комплексов, гибких

о

производственных модулей. Для моделирования ГПК более высокого уровня - участков, цехов их выразительные возможности недостаточны, получаемые при этом модели имеют большую размерность, не наглядны и не адекватны, а трудоемкость их анализа, экспоненциально зависящая от размерности, велика. С другой стороны, у ПГСА и расширений сетей Петри,' имеющих развитые выразительные возможности для описания ГПК уровня участка н цеха, недостаточная разрешающая мощность, и основным методом для принятия решения на уровне моделей является имитационное моделирование, весьма трудоемкое и не гарантару-щее выявление всех "некорректностей" и узких мест. Отсутствие моделей с требуемыми качествам! определило необходимость разработки нового формального аппарата.

Во второй главе рассматривается граф-дерево и его представление в алгебраической форме в виде суммы произведений его вершин [Воробьев В.Н. ДАН СССР 1984 Т.274 ЛЗ]:

кБ(1, )'1!;Е(1, ,10)"-"кВ(1,,1г.....1т) т

*г.....V

) 'ГЬ^'

1Л ,1-.....1=1 г=1

12 т

в(11.1г.■•■■1Г.1)

где в(11,12,...,1г) = у ,

. ¿=0. <

3(1,)=!,. 1«1г«се(11§1г.....

При этом считается, что из вершины а1 выходит ровно дуг в вершины следупдего уровня, -а. всего существует ш урови

Приводятся примеры представления графов в такой форм Доказывается однозначность дащюго представления метод математической индукции.

Алгебраическое представление расширяется сначала } произвольного графа, а затем для двудольного ориентиров?®« графа произвольной конфигурации, используя формулу:

ш

¡С а} ,гу где символ В означает, что каздое а1(2

этом выражении умновается на свою сумму ^ при после,

вате;гнон изменении г от I до т.

Алгебраическая форма записи графа -позволяет колпак представить математическую модель технологического процес благодаря этому увеличивается быстродействие анализа эч графа на ЭВМ.

В третьей главе рассматриваются гибкие сети Петри. Сети 1етрп получили широкое применение для моделирования и анализа работы сло&шх параллельных и асинхронных систем. Но в реальной системе могут происходить различные изменения, приводящие к изменению саьой систеш:, ее структуры. Этот аспект и предлагается к рассмотрению. Отразить все структурные изменения могут гибкие сети Петри - сети, изменяющие свою структуру в соответствии с изменениями, происходящими в реальной системе и позволяющие решить вопрос как перестроить саму систему, чтобы наладить ее работу.

Гибкая сеть Петри - это сеть, структура которой зависит ст времен^. Эту зависимость от времени удалось воплотить благодаря представлению сетей Петри в виде полинона:

ь = = ^¿(Ц^Пррс^),

и введению новых операций над сетями Петри таких как "сложение", "вычитание", "деление", "умножение", "умножение на 'шс.;о", "возведение в степень", "дифференцирование" и "интегрирование" по позициям и переходам.отдельных фрагментов сети и всей сети в целом. С помощью указанных операций можно проводить изменение структуры сети.в соответствии с изменениями в реальной системе и имитировать возможные состояния, неожиданные ситуп ми, возничагише в процессе работы системы.

Определение. Гибкая сеть - это сеть вида с=(Р,т,Ф,н,М0,П) или с=(ь,П), где р - конечное множество позиций сети р=£р±}1-ТТТ}; т - конечное множество переходов т=их| 1-Т7т}; Ф: р»т •» {о,п} - прямая функция инцидентности; Н: Т»Р -» СОИ} - обратная функция инцидентности; м0: Р -»г0 -начальная маркировка сети, функция задающая начальное распределение меток по позициям сети; множество неотрицательных

целых чисел; П - функция, заданная таблично и управляющая структурой сети по мере и смыслу поступающих сообщений, в ' зависимости от событий, происходящих в реальной системе. Однако задание структуры и маркировки сети в виде пятерки (Р,Т,Ф,Н,М0) - классическое представление может быть заменено представлением в виде полинома ь.

Использовать перестраиваемые структуры можно во всех тех

а

областях, в которых необходимо наличие гибкости сети. Например, в производстве, когда какой-либо станок, робот, агрегат о

вышел из строя и для продолжения работы нужно предусмотреть . иной путь движения заготовки или когда нужна переналадка производства в целом. Естественно можно предусмотреть и демонтаж производства.

Гибкая сеть может быть задана как структура, зависящая

ь1

от времени, а именно, так как индексы переходов и позиций, а

также их маркировка и кратность дуг изменяются, т.е. 1=1(1,),

;)=3(1;), ц-ц (г), к=Ш), то гибкая сеть представима ь виде о

Ъ=ь(1;), где т, - ее структурная формула.

Между предложенными операциями и событиями реальной системы существует прямая связь. Эти операции опосредованно выражают операции над реальными системами. Например, возникновение или исчезновение перехода, осуществляемое, например, с помощью операции интегрирования или дифференцирования, отражает возникновение или исчезновение какого-либо действия, процесса. А исчезновение или возникновение позиции отражает

исчезновение или возникновение каких-либо условий, ресурсов, о

Аналогично с дугами, их возникновение, исчезновение, избиение кратности - отражает изменение последовательности взаимодействий1. А зависимость маркировки от времени характеризует

изменяемость исходных средств, запасов, источников и прочих ; условий, необходимых для производства..

В Эх ой не главе приведен алгоритм нахождения тупиковых маркировок, как поиск таких маркировок, кюгорые обращали бы в нуль функцию Т~= ^il^t где Пц1 - произведение маркировок

позиций входных к переходу Ь,.

Приведены принеры гибкой сети Петри, моделирующей участок ГПК и ее функции управления, задающей при данных условиях структурную формулу сети.

В четвертой главе рассматриваются самомодафицируемые потоковые сети и дифференциальные уравнения их функционирования, в которых фишка заменяется потоком и считается, что происходит непрерывное изменение "разметки" позиций сети, а время начинает отсчитнваться с момента начала функционирования сети. Таким образом, сеть является временной и о определенного момента времени ее функционирование осуществляется непрерывно достаточно большой отрезок времени.

Благодаря перечисленным допущениям удается составить дифференциальные уравнения изменения маркировки сети, используя фотмулу смены маркировок дискретных сетей Петри: M=M0+Df(о),которое заменяется на уравнение:

i,:(t)=M(t0)+Df(o,t), (I)

где t - текущее время: tQ - начальное время; D - матрица" шщиденций; i(o,t) - вектор зажигапцей последовательности а, кавдый компонент которого задает число срабатываний перехода

V

Введем следующие обозначения: At=t-t0, AM(t)=M(t)-M(t0), I(t)=i(0,t)/At, а f(a,t0)=o, тогда уравнение (I) запишется в виде: AM/At=Di(t), где l(t) - век-

тор тока сети, З-тый компонент которого равен часчоте срабатывания перехода Ь . за время Лt.

1 сМ-

Ири А г стремящемся к нулю, получим: —=сг(1) (2)

То есть получено дифференциальное уравнение, связывающее скорость смены маркировок и скорость срабатывания переходов.

Проводится анализ решения этого уравнения, как функции от времени на максимум (минимум), что позволяет определить моменты времени, при которых маркировка достигает максимума (минимума). Находятся нули функции - когда маркировка нулевая и т.д.

То есть исследования решения дифференциального уравнения

(2) является анализом функционирования сети и ее свойств.

Предлагаются примеры составления уравнений и анализ

сетей. Рассматриваются примеры, когда смена маркировки сета

о

представляется разностным уравнением или системой разностныз уравнений, в том случае когда дугам сети приписана некотораг кратность.

Достоинством такого анализа является его быстрота проведения (минуя осуществление алгоритма построения дерева достижимости, матричного анализа и т.д.) и многогранность, т.е. возможность ответа на различные вопросы о свойствах сети используя решение дифференциального или разностного уравнения.

Три приложения к работе содержат следующее:

1) доказательства теорем;

2) пример прилунения аппарата сетей Петри для моделирования работы сельскохозяйственного уборочного комплекса;

3) материалы, подтверждающие внедрение результатов.

- 15 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

- Проведено доказательство однозначности представления ориентированного графа-дерева суммой произведений его вершин.

- Получено алгебраическое представление (в виде суммы фоизведений вершин) для двудольного ориентированного графа фоизвольной конфигурации.

- Один из важных результатов этой работы - представление :еги в виде полинома, что облегчает ввод сети в ЭВМ. В числе грочих достоинств такого представления сети - легкость напи-:ания полилома и легкость графического представления сети по ¡тому полиному, а так же наглядность, компактность. В такой 1аписи содержится вся информация о строении сети и маркировав.

- Получена формула, позволяющая определить переходы, уликовые в данной маркировке, а так же составить множество уликовых маркировок как ординарных, так и неординарных сетей етри.

- Предложен более широкий класс сетей Петри - гибкие ети, призванные отразить любые изменения в системе, касавди-ся как структурных изменений, так и изменений в разметке, ги изменения осуществляются благодаря использованию управля-цей функции.

- Введены и исследованы новые операции преобразования зтей с целью обеспечения гибкости моделей.

Операцги "интегрирования'' и "дифференцирования" для эделирования возникновения или исчезновения новых рабочих

мест (станков, модулей, лшшй, участков). Эти операции моде-лзфуют построение или ввод в действие какого-либо станка или других механизмов, отказ этого станка, т.е. его выбытие из работы сети, а значит и из работы реального производства. Отчасти эти результаты дублируют и другие операции. Ввод операций уменьшения и увеличения числа меток и дуг позволит управлять их количеством со стороны.

О

- Написано дифференциальное уравнение изменения марки-ров1си самомодафицируемой временной потоковой сети, в которой время начинает отсчитываться с качала работы сити и "марки-. ровка"-поток изменяется непрерывно.

- На основе полученного решения дифференциального уравнения проводится анализ сети на ограниченность и достижимость маркировки, минуя построение дерева достижимости.

Основные результаты работы отражена в следущих публикациях.

1. Федоров В.М., Хелтова Л.В., Волков Г.Г. О математическом моделировании технологических процессов. - АвтоматаЙа-ция управления технологическими процессами на прошшленных предприятиях. - Пермь: НИИУМС НПО "Парма", 1984. С. 187-195.

2. Желтова Л.В. Математическая модель работы промышленного робота. Республиканская научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов Чувашской АССР: Тез. докл.-(Часть I). - Чебоксары, 1985. - C.I0-12.

3. Волков Г.Г., Желтова Л.В., Сидоров H.H. Математическая модель работы гибкого производственного модуля. - Деп. в

о

ЦНЖГЗЙ-приборосТроенИЯ 20.07.85 £ 2982-Гф. - 21с. » •

4. Сидоров H.H., Желтова Л.В., Волков Г.Г. Математическая модель работа обрабатывающего оборудования. - Деп. в

ЦНШТЭИ-приборостроения 20.07.85 JS 2983-Iip. - 8с.

5. Волков Г.Г., Желтова Л.В., Сидоров H.H. Математическая модель работы робота. - Деп. в ЦНИИТЭИ- приборостроения 25.11.85 Jt 3116-пр. - 13с. О

6. Федоров В.М., Перегуда А.И., Яелтова Л.Ч., Волков Г.Г. Оптимизация периода автоматической коррекции размеров инструмента на оборудовании с числовым программным управлением. - Автоматизация управления технологическими процессами в приборостроении! и машиностроении. - Пермь: НШУМС НПО "Парна". 1985. - С.40-47.

7. Волков Г.Г., Желтова Л.В., Сидоров H.H. О представлении математических моделей технологических процессов в алгебраической форме. - Деп. в ЩШТЭИ-приборостроения 25.11.85

й 3117-пр. - 14с.

8. Во.т.ов Г.Г., Желтова Л.В., Сидоров H.H. О моделировании работы станка с N инструментами. - Деп. в ЦШ01ТЭИ-пр/.боростроения 25.11.85 Я 3118-пр. - 7с.

9. Волков Г.Г., Еелтова Л.В., Сидоров H.H. Моделирование зовнестной работы станка с числовым программным управлением и зобота. - Деп. в ЩШТЭИ-приборостроения 25.11.85 Я 3119-пр.-[2с.

10. Во тисов Г.Г., Желтова Л.В., Сидоров H.H. Использова-гае ориентированного графа при моделировании технологических [роцессов. - Деп. в ЦНШТЭЙ-приборостроения 2.01.85 % 3161-р.- 20с.

11. Волков Г.Г., Яелтова Л.В., Сидоров H.H. Моделирова-ие процесса работы гибкого производственного модуля.. - Деп.

ЦНШТЭЙ-приборостроения 02.01.85 Ä 3162-пр.- 15с.

12. Ефремов B.C., Яелтова Л.В., Сидоров H.H. Имитация

функционирования спожных систем программами средствами. Деп. в ЦНИИТЭИ - приборостроения 26.03.86 й 3252-пр.

13. Хелтова Л.В., Ефремов В.С. Сетевая модель систем массового обслуживания. // Экономика и организация сельско1 хозяйства. - 1986. - № 9.

14. Хелтова Л.В. Моделирование работы гибких произволе! венных модулей. V Всесоюзная школа-семинар молодых ученых специалистов "Промышленные роботы и гибкие автоматизирование производства": Тез. докл. - М.: МВТУ, 1986.

15. Хелтова Л.В., Федоров В.М. Алгебраическое представ ление графа для описания технологических процессов. - Перш НШМС НПО "Парма", 1986.

16. Покалев С.С., Желтова Л.В. Управление гибкими произ водетвенными модулями, vi Всесоюзная школа-семинар молода ученых и специалистов: Тез. докл. - lf.: МВТУ, 1988.

17. Желтова Л.В. Представление сетей с помощью полинома - Деп. в ВИНИТИ 23.05.89 № 3404-В89. - 21с.

18. Кьлтова Л.В. Алгебраическое представление двудольно го ориентированного графа.- Деп. в ВИНИТИ 14.09.89 й 5879 В89.- 13с.

19. Желтова Л.В. Представление сетей с помощью функций самоыодифицируемые сета. - Деп. в ВИНИТИ 25.09.89 Л 5990 В89.- 14с.

20. Желтова Л.В. Гибкие сети. X Всесоюзный семинар "Па раллельноз программирование и высокопроизводительные системы

о

методы представлен^ знаний в информационных, технологиях

' • г

„(Уфа. 19-26 июня 1990): Тез. докл. - Киев: Ин-т кибернетик

ИМ. В.М.Глушкова АН УССР, 1990.

2Í. Желтова Л.В. Гибкие сети. - Деп. в ВИНИТИ 2.08.90

й 4458-В90,- 19с. ;

Личный вклад автора. Все результаты, составление основное содержание диссертации, получены автороы самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве,о личный вклад автора состоит в слэдулцем:

в [1,6.7,10,15] - представление в алгебраической форме графовых моделей технологических процессов;

в [3-5,8,9,11-13,16] - разработка математических моделей гибких производственных систем разного уровня и анализ их функционирования в терминах сетей Петри.