Нейросетевые модели эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ядерных реакторов

Образцов, Сергей Михайлович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нейросетевые модели эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ядерных реакторов

доктора физико-математических наук: Образцов, Сергей Михайлович
город: Обнинск
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Нейросетевые модели эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ядерных реакторов»

Автореферат диссертации по теме "Нейросетевые модели эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ядерных реакторов"

УДК 519.28+621.039

На правах рукописи

4851762

Образцов Сергей Михайлович

НЕЙРОСЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 8 ИЮ/12011

Обнинск - 2011

4851762

Работа выполнена в Государственном научном центре Российской Федерации -Физико-энергетический институт имени А.И. Лейпунского

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор Рачков В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Коробейников В.В.

доктор технических наук, профессор Рисований В.Д.

доктор физико-математических наук Степанов В.А.

Ведущая организация:

Институт металлургии и материаловедения РАН им. А.А. Байкова.

Защита состоится Ц июня 2011 года в 10°° часов на заседании диссертационного совета Д201.003.01 при Государственном научном центре Российской Федерации - Физико-энергетический институт имени А. И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск Калужской обл., пл. Бондаренко, 1, конференц-зал Главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт имени А.И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск Калужской обл., пл. Бондаренко, 1.

Автореферат разослан « ¿Г» апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук Прохоров Ю.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Интенсивное развитие атомной энергетики требует новых конструкционных материалов с улучшенными свойствами. Так, перспектива создания быстрых ядерных реакторов, способных конкурировать на мировом энергетическом рынке (БН-1200), прямо зависит от качества конструкционных материалов, способных выдерживать напряженные условия эксплуатации и обеспечивать глубокое выгорание ядерного топлива. Прежде всего, существует острая потребность в сталях ферритно-мартенситного класса с повышенной жаропрочностью оболочек ТВЭЛ и чехлов тепловыделяющих сборок (ТВС).

Для безопасной эксплуатации ядерных энергетических установок (ЯЭУ) с реакторами на тепловых нейтронах таких, как ВВЭР-1000, необходимо усовершенствование корпусных сталей, устойчивых к радиационному охрупчиванию.

Как правило, оптимальный химический состав конструкционных материалов ЯЭУ определяют экспериментально путем изменения содержания одного из легирующих элементов при фиксировании остальных на определенных уровнях. В случае многокомпонентной системы такая стратегия приводит к недопустимым материальным и временным затратам. Часто требуется одновременно оптимизировать не одну характеристику, а комплекс служебных свойств сталей, что еще более усложняет и удорожает или делает вообще невозможным поиск перспективных материалов экспериментальным способом.

С другой стороны, недостаточная разработанность общей микроскопической теории механических свойств кристаллических тел при пластической деформации не позволяет пока определять из первых принципов эффективные технологии производства конструкционных материалов с заданными свойствами.

В этой связи в современном радиационном материаловедении возникает важнейшая проблема создания таких моделей, которые способствовали бы быстрому проектированию конструкционных материалов, удовлетворяющих требованиям безопасной и экономичной эксплуатации перспективных ЯЭУ.

Выходом из этой сложной ситуации может быть применение математико-статистических методов обработки экспериментальной информации об эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов в процессе эксплуатации ЯЭУ. На основе таких моделей становится возможным проведение вычислительных "экспериментов", имитирующих в главных чертах реальные физико-

химические процессы, и получение рекомендаций по оптимизации химических составов и условий термической обработки реакторных сталей и сплавов.

Важным стимулом для такого рода исследований послужило резкое увеличение вычислительных мощностей персональных компьютеров и развитие методов математического моделирования. Необходимым условием успешного применения регрессионного анализа является наличие массивов экспериментальных данных о свойствах материалов под облучением. Такие базы данных накоплены в атомной отрасли за десятилетия эксплуатации ядерных реакторов.

Отсюда следует, что в настоящее время сложились условия для создания компьютерных систем, обеспечивающих решение поставленных задач. Подчеркнем, что интерес к разработке имитационных систем, предназначенных для создания конструкционных материалов с заданными свойствами, имеет глобальный характер. Например, с 1998 года реализуется проект испытаний в виртуальном реакторе (Virtual Test Reactor - VTR), в котором принимают участие ведущие страны в области ядерной энергетики, в частности, Франция, Великобритания, США и Япония. Важным преимуществом подобных систем является отсутствие негативных экологических факторов, присущих реальным реакторным экспериментам.

Одним из наиболее употребительных методов анализа является оценивание параметров нелинейных регрессионных моделей. Однако идентификация существенно нелинейных многофакторных моделей большой размерности встречает цепь трудностей (плохая обусловленность матриц Якоби и Гессе, сильная зависимость от начального приближения и т. п.), непреодолимых инструментальными способами. Это приводит к необходимости привлечения диалогового подхода "человек-машина", в котором исследователю отводится роль диспетчера, распределяющего процесс поиска решения между различными методами. При этом возрастает вероятность принятия субъективно неверных стратегий движения к оптимуму, что может приводить к непроизводительным затратам времени и энергии.

Таким образом, сложилась тупиковая ситуация, когда управление высокотехнологичными процессами и получение нового знания требуют максимально точных моделей, а сложившийся аппарат нелинейного регрессионного анализа не может предложить эффективного способа их оценивания.

уделено последовательному внедрению в нелинейное оценивание бутстреп-метода как способа извлечения более полной информации из экспериментальных выборок малого объема, и нейросетевому моделированию, позволяющему синтезировать в единый подход методы случайного и последовательного поиска оптимума.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Целью работы является создание системы эффективных методов и алгоритмов нелинейного оценивания на основе современных информационных технологий. В связи с этим необходимо решить следующие задачи:

• исследовать природу закона Мейера-Нелдела;

• на основе этого исследования построить алгоритм бутстреп-идентификации параметров экспоненциальной зависимости;

• найти на основе нейросетевого моделирования способ решения общей задачи безусловной оптимизации и, как ее важного случая, нелинейной регрессии;

• разработать программное обеспечение, реализующее эти подходы и тестировать их при помощи имитационных экспериментов;

• оценить при помощи алгоритма бутстреп-идентификации экспоненциального отклика экспериментальные данные по технологии жидкометаллических теплоносителей в ядерной энергетике;

• разработать нейросетевые модели процессов эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ЯЭУ;

• разработать план реального эксперимента и получить первые образцы ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома с повышенными прочностными характеристиками.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА. Все алгоритмы, методы и программы, представленные в работе, разработаны автором лично либо при его прямом участии.

НАУЧНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ заключается в:

• проведенном впервые исследовании математико-статистической природы закона Мейера-Нелдела;

• построении оригинального алгоритма оценивания параметров аррениусовой зависимости при помощи бутстрепа;

• разработке нового метода решения общей задачи безусловной оптимизации и нелинейной регрессии на основе искусственной нейронной сети;

• создании нейросетевой модели эволюции механических свойств ферритно-мартенситной стали и расчете оптимального химического состава, обеспечивающего повышенную жаропрочность;

• подтверждении справедливости результатов расчета в реальных экспериментах;

• проведении имитационных экспериментов по исследованию зависимости максимумов предела прочности от температуры облучения;

• разработке нейросетевых моделей охрупчивания корпусных сталей ВВЭР, распухания аустенитных сталей и поведения механических свойств сплава 2г+2.5% №>.

ПРИКЛАДНАЯ ЦЕННОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Внедрение разработанных автором методов, алгоритмов и программ в атомную науку и технику позволили решить ряд важных задач, касающихся технологии жидкометаллических теплоносителей и радиационного материаловедения. Уточнены параметры аррениу-совой зависимости растворимости кислорода в жидком свинце и водорода в жидком натрии, жидкометаллических теплоносителях перспективных ЯЭУ. Разработка моделей эволюции механических свойств ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома завершилась первой серией материаловедческих экспериментов, подтвердивших расчетные выводы.

Численное исследование охрупчивания корпусов ВВЭР - явления, определяющего в значительной мере эксплуатационный ресурс тепловых реакторов, позволило наметить пути решения данной проблемы.

Разработанные программы внедрены в ЦИПК и НПО «Технология», что подтверждено актами внедрения.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Высокая эффективность разработанных автором нейросетевых алгоритмов нелинейного оценивания, бутст-реп-идентификации экспоненциального отклика и предсказания механических свойств новых реакторных сталей подтверждена численными исследованиями и результатами материаловедческих экспериментов.

АВТОР ВЫНОСИТ НА ЗАЩИТУ:

• математико-статистическую интерпретацию природы закона Мейера-Недцела;

• алгоритм бутстреп-идентификации экспоненциального отклика, основанного на выводах исследования механизма закона Мейера-Неддела;

• эмпирическую зависимость коэффициента самодиффузии железа от температуры всех аллотропических модификаций;

• нейросетевой алгоритм безусловной оптимизации и нелинейного оценивания;

• нейросетевую модель эволюции прочностных и пластических свойств сталей ферритно-мартенситного класса с.12% содержанием хрома;

• результаты экспериментального исследования образцов спрогнозированных сплавов ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома с повышенным содержанием марганца;

• результаты численных экспериментов по определению положения пиков предела прочности сталей ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома в зависимости от температуры облучения.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на российских и

международных научных семинарах и конференциях:

1. The second (statistical) FINSOV APL seminar, Joensuu, Finland, 1991.

2. The third international seminar on simulation of devices and technologies, Obninsk, Russia, 1994.

3. The international conference on APL: the language and its applications (APL'94), Antwerp, Belgium, 1994

4. The international conference on Applied programming languages (APL'95), San Antonio, Texas, United States, 1995.

5. The APL 96 Conference on Designing the Future, Lancaster, UK, 1996.

6. The International Joint Conference on Neural Networks, Washington, United States 1999.

7. XV Международная конференция по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению. Алушта, Крым, Украина, 2002.

8. 7 Российская конференция по реакторному материаловедению. Димитровград, Россия, 2003.

9. Семинар координационного научно-технического совета по радиационному материаловедению «Главные результаты исследований ферритно-мартенситных сталей, облученных при высоких повреждающих дозах, пути их совершенствования для оболочек твэлов и чехлов ТВС быстрых реакторов». Москва, 2002.

10. 13 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2003.

11. Российская научная конференция «Материалы ядерной техники. Радиационная повреждаемость и свойства - теория, моделирование, эксперимент». Туапсе, «Агой», Россия, 2003.

12. 14 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2004.

13. 2 Российская научная конференция «Материалы ядерной техники» (МАЯТ-2). Туапсе, «Агой», Россия, 2005.

14. 18 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2008.

15. V научно-практическая конференция материаловедческих обществ России. «Цирконий: металлургия, свойства, применение». Ершово, Московская область, Россия, 2008.

16. 20 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2010.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 228 наименований и включает 58 рис. и 26 табл. Общий объем 184 стр.

Во введении обоснована актуальность проблемы создания новых методов и алгоритмов нелинейного оценивания экспериментальных данных.

Первая глава содержит теоретическое обоснование корректности бутстреп-метода и примеры использования его в различных областях науки и техники. В связи с широким распространением экспоненциального отклика, основное внимание уделено исследованию правила (закона) Мейера-Нелдела (ПМН), которое заключается во взаимозависимости параметров экспоненциального отклика. Примечательно, что ПМН имеет место в самых различных активационных процессах: электронные процессы в аморфных проводниках, проводимость в ионных проводниках и т.п. Причину связи параметров для конкретных процессов пытаются объяснить специфическими свойствами исследуемых материалов, включая энергию образования дефектов, подвижность электронов, растворимость газов в металлах и др.

Так как ПМН наблюдается в разных, не связанных между собой процессах, то его объяснение с единой физической точки зрения маловероятно. Наряду с попытками содержательного объяснения ПМН выдвигается предположение о том, что это правило является следствием самой процедуры регрессионной оценки параметров уравнения экспоненциального отклика, которое в общем виде можно представить как:

Здесь В = {-Elk), Е - энергия активации, эВ; к - постоянная Больцмана; А - предэкс-поненциальный коэффициент; Т-температура, К; С - зависимая переменная.

Эта гипотеза представляется весьма продуктивной поскольку для активацион-ных процессов независимо от области исследования, общим является именно экспоненциальная форма отклика. Для исследования причин возникновения параметрической связи автор диссертации проанализировал структуру матрицы Якоби J.

Матрица/для (1) имеет вид:

J =

^-expf^

(2)

где символы А, В обозначают оценки искомых параметров, а индекс < - номер наблюдения в экспериментальной выборке данных.

При явной корреляции между столбцами в (2) имеем

эс, а эс,-э в ъа'

что можно представить в виде обыкновенного дифференциального уравнения:

йА_<№_ а'ТГ

(3)

после интегрирования которого получим искомую зависимость:

1п А = кх+к2В, (4)

где к\ - постоянная интегрирования, значение /с2 приближенно равно середине температурного интервала.

Учитывая, что кг выполняет роль тангенса угла наклона линии (4), автором диссертационной работы предложен принципиально новый алгоритм расчета бутст-реп-оценки (1), как точки пересечения прямых (4), построенных для различных усеченных последовательностей исходной упорядоченной выборки. Для ее расчета необходимо:

разделить исходный температурный интервал на несколько произвольных отрезков;

провести бутстреп-процедуру, получить линейные оценки 1с", к"2 для каждой частичной выборки данных;

1) 2)

рассчитать бутстреп-оценки In Ав,Вв для обратной задачи (4).

В итоге получается [\пАв = К 'г > гДе К\ и К2 = -К2 - мно-

жество частных оценок параметров (4), рассчитанных в пункте 2 приведенного выше алгоритма.

При помощи этого алгоритма были уточнена энергия активации самодиффузии железа, которое является основой конструкционных материалов узлов и деталей ЯЭУ. Для интерпретации и моделирования радиационного повреждения в чистом железе важно как можно точнее знать его коэффициент самодиффузии D. Последний часто описывают аррениусовой зависимостью:

D = D0 exp(-E/kT), (5)

где Do - предэкспоненциальный множитель, Е - энергия активации самодиффузии, эВ, А: - постоянная Больцмана.

На рис. 1 приведены оценки параметров (5), полученные разными авторами в разное время для а - железа. Видно, что полученные независимым образом оценки можно описать одной прямой (4), а разброс значений энергии активации достигает -1,4 эВ.

Для устранения неопределенности в оценках энергии активации автор использовал разработанный алгоритм бутстреп-идентификации экспоненты по экспериментальным данным о параметрах температурной зависимости коэффициента самодиффузии для всех аллотропических модификаций (а-, у- и 5-) железа.

10°

10"

10"2 U

<ч

ю-5

10*

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4

Е, эВ

Рис. 1 - Взаимосвязь параметров аррениусовой зависимости коэффициента самодиффузии а - железа

Идентификация параметров выражения (5) проводилась по данным измерения коэффициента самодиффузии для всех трех фаз железа. Вначале были рассчитаны оценки параметров по данным, полученным для температур выше точки Кюри перехода альфа-железа из ферромагнитного в парамагнитное состояние.

На основании пяти бутстреп-оценок для парамагнитной области были рассчитаны коэффициенты уравнения (4), которое записывается в виде:

1п V = -36,05+11,06-Е. (6)

С учетом бутстреп-оценки Е = 2,59 ± 0,2 эВ, разброс значений О0 определяется уравнением (6).

Поскольку в ферромагнитной области процесс самодиффузии железа не подчиняется закону Аррениуса, то для расчета энергии активации необходимо определить адекватную форму отклика. В диссертационной работе было предложено описать результаты измерений О в ферромагнитной и парамагнитной областях единым образом следующей зависимостью:

( (Т- ^ £> Гл*2 / с~| = 10"4 ■ ехр ехр(-Е/кТ), (7)

1 I \ Ь ))

где q^,q2,qiяE- подгоночные константы.

В результате идентификации отклика (7) расчета получены следующие значения констант = 2,8, = 972 К, сц = 147,5 К, Е = 2,63 эВ.

Для определения Д) и Е в у-фазе использовалась комбинированная выборка из литературных источников, которая обрабатывалась с помощью процедуры бутстреп-идентификации экспоненты. В результате расчета были получены оценки А) = 0,0000258 м2/с, Е = 2,84 ± 0,01 эВ и связывающее их уравнение 1п Б = -29,2+6,55-£'.

Аналогично, на основе выборки данных были рассчитаны параметры коэффициента самодиффузии для 6-железа: О0 - 0,000644 м/с, Е= 2,63 ±0,004 эВ. Уравнение, связывающее Оц и Е, имеет следующий вид: 1п Б = -21,4+5,34-£'.

На рис. 2 приведены экспериментальные и вычисленные значения коэффициента самодиффузии для а-, у-, и 5-фаз железа.

10"- ч

10-"- 1

ю-'5- V

,10"-

«Зю-.

ю-2'-ю-23- 7=1665 К Г=1183 К Г=1043 К

10"25 - - -I-1— 1 .....I- - 1 1 1 1

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1000/Т, К"1

Рис. 2 - Расчетные и экспериментальные значения О

С использованием разработанного алгоритма в работе также были уточнены параметры политерм растворимости кислорода в жидком свинце и водорода в жидком натрии. Проведенные расчеты показывают, что применение бутстрепа при нелинейном оценивании задач ядерной технологии существенно расширяет возможности традиционных методов прикладной статистики. Вместе с тем, развитие нейросетево-го моделирования и непрерывный рост мощности персональных компьютеров стимулируют дальнейшую разработку нетрадиционных методов оценивания и внедрения их в практику научных исследований в области атомной техники.

Во второй главе при помощи искусственных нейронных сетей (ИНС) развиваются алгоритмы безусловной оптимизации и идентификации по экспериментальным данным нелинейных моделей.

По определению, ИНС является параллельной, распределенной структурой обработки информации, состоящей из слоев элементов (нейронов или узлов) и упорядоченных связей между ними, когда выходной сигнал каждого элемента предыдущего слоя подается с некоторым весовым коэффициентом на вход каждого узла следующего слоя.

В дальнейшем под ИНС будет пониматься 4-хслойная сеть с произвольным числом эквивалентных узлов в каждом из упорядоченных слоев. Такая нейронная

сеть способна в процессе обучения вырабатывать устойчивые ассоциации, дающие адекватную реакцию на сигналы, которые не предъявлялись ей в процессе обучения. Каждый из нейронов реализует функцию вида:

где р - параметр, подлежащий определению.-

Для безусловной минимизации целевой функции F(x)

х*-arg min F(x) (9)

jeR"

разработаны методы, различающиеся порядком производных цели. Так, методы нулевого порядка используют в процессе поиска только значение цели F(x). Наибольшей скоростью сходимости к решению обладают методы второго порядка, но они требуют вычисления вторых производных цели и обращения матрицы Гессе. Это вызывает значительные вычислительные затруднения, приводящие к сильному смещению оценок.

В результате проведенного исследования автором предложен нейросетевой алгоритм безусловной оптимизации и нелинейного оценивания нулевого порядка. Далее описана схема разработанной ИНС для решения (11).

Входной слой (5-слой) состоит из п узлов, соответствующих размерности искомого вектора х, столько же узлов содержит второй скрытый слой (А2). Выходной слой (R) содержит один нейрон, количество узлов в первом скрытом слое (At) назначает пользователь.

В начале поиска устанавливается следующее распределение весов:

w^, = RAND(I), WAiAi =0, wj2j} = 2-х0, (10)

где W - матрица весов между соответствующими слоями, RAND(I) означает процедуру равномерного случайного выбора в интервале I, х0 - стартовая точка. После этого начальный набор (10) корректируется как W^^W^+nAW, где AWS/1] = RAND{I,), А\\'Л] Л2 = <7(0,0!), AW^ R = G(xk,a2). Здесь G обозначает

нормальное распределение, 0| и о2 являются небольшими положительными числами, скаляр ц получатся в результате одномерной минимизации интерполирующей функции:

F[AW(5)t>Wit+(iAW)]SO(n) = ^0+^n + ^2, (11)

где £ - некоторый вектор, подлежащий определению.

Входными сигналами являются компоненты искомого вектора, а выходной нейрон рассчитывает F(x). Алгоритм не имеет ограничений на область действия, поскольку всегда можно ввести новую функцию /^(х) = L + F(x), где L>0 является константой. Минимизация F\ приводит к минимуму F.

Алгоритм тестировался на классических задачах Розенброка, Пауэлла и Вуда. Точное решение этих задач достигается при значениях аргумента: (1,1); (0,0,0,0); (1,1,1,1), соответственно. Каждая из этих задач решалась 65 раз, после чего рассчитывалось среднее число Л^шг вычислений целевой функции и среднее значение полученной оценки xAVER. Использовалась сеть с числом нейронов во втором скрытом слое, равным 7. Условиями останова являлись уменьшение целевой функции до определённого значения или относительное замедление движения по каждой координате до 0,05%. Результаты представлены в табл. 1, где в третьем столбце приведены средние значения искомых переменных.

Таблица 1

Результаты тестирования алгоритма

Задача N "AVER XAVER

Розенброка 1100 0.9995;0.9999

Вуда 54000 1.0006; 1.001 ;0.9994;0.9989

Пауэлла 330 0.002;-0.0002;0.0005;0.0005

Отметим, что методом Нелдера-Мида не удаётся решить ни одной из приведенных тестовых задач. Метод Флетчера-Ривса (первого порядка) позволяет решить только задачу Розенброка, используя 250 вычислений цели и градиента.

Задача Вуда является наиболее трудной для решения, она имеет вид:

/^(х,,х2>*з,*4) = ь°°(*2 ~ х\ )2 + 0 ~ ? + 90(*4 - х\ )2 + 0 - хз )2 + +10,1[(х2-1)2+(х4-1)2] + 19,8(х2-1)(х4-1).

Чтобы исследовать сходимость к решению задачи Вуда подробнее, было

вычислено изменение отклонения ^ текущего приближения хк от оптимума х

в зависимости от номера итерации К. На рис. 3 представлен график $(1§К), иллюстрирующий особенности сходимости к решению.

Ж-*)1

ig(K)

Рис. 3 - Отклонение текущего приближения от оптимальной точки в зависимости от номера итерации поиска решения задачи Вуда

Из рис. 3 видно, что метод имеет устойчивую сходимость к решению. Повторенный несколько раз расчет коэффициентов функции Вуда показал, что траектория s(lgÄT) в среднем сохраняет представленную на рис. 3 форму. Это говорит о стабильности работы алгоритма.

Таким образом, удалось построить алгоритм, надежно работающий в условиях сложного рельефа целевой функции, на которую не наложено никаких ограничений. Поэтому вполне возможно применить его к актуальной задаче нелинейного оценивания.

В общем случае нелинейные модели можно представить как:

У = ч(х,В) + $, (12)

где q (л;, 6) - математическое ожидание Y при заданных независимых переменных jc; £ - случайная величина, имеющая плотность распределения вероятности /©; 0 - ¿-мерный вектор искомых параметров. Для оценивания 0 используют метод наименьших квадратов в его нелинейном варианте:

Л т

0* = arg min 5 = - л (*„ё)1' - (13)

ffc Rk , L J

В связи со сложностью решения (13) целесообразно применить нейросетевой метод безусловной оптимизации (10)-(11).

Изложенный метод апробировался вначале на отклике вида:

Т1 = е,1п(е2Х + вз). (14)

Решение (13) для этого отклика имеет следующий вид 5(115,2; 2,31; -22,022)=7,0133.

После 60-кратного расчета оценок из стартовой точки (-10, 100, -100), было обнаружено, что метод находит решение (115,16, 2,309, -22,00) в среднем за 45730 вычислений суммы квадратов отклонений. Для сравнения эта же задача решалась широко применяющимся методом Марквардта (первого порядка), который не привел в точку оптимума из этого стартового приближения ни при каких значениях регуля-ризирующего параметра.

Результаты проведенного тестирования свидетельствуют о больших вычислительных возможностях предлагаемого метода оценивания. Однако из описания алгоритма можно увидеть, что в случае увеличения размерности вектора параметров идентифицируемой модели сеть сильно усложняется из-за того, что входной сигнал одновременно подается на два слоя. Это ограничивает класс моделей, анализируемых с помощью нейросетевого алгоритма. Например, затруднение возникнет в случае, когда в качестве отклика применяется нейросетевая модель. Чтобы исключить дублирование входного сигнала и сделать работу алгоритма более экономной по временным затратам, автор модифицировал разработанный алгоритм.

Поскольку основным условием работы алгоритма является равенство

\У42/1 = 2 • Эд. на к-й итерации, то его необходимо сохранить в новой редакции алгоритма, отказавшись при этом от подачи текущего приближения 0^ на Б-слой. Пусть нейроны первого слоя генерируют сигнал, имеющий случайное равномерное распределение. В этом варианте алгоритма сохраняется 4-хслойная структура нейронной сети, и пользователь имеет возможность управлять ее сложностью, определяя число узлов первого и второго слоев.

Итак, пользователь задает число узлов во входном и первом скрытом слоях, соответственно, п3, /?/(|. Узлы входного слоя генерируют случайный вектор, принадлежащий равномерному распределению в интервале [0, 1]. Второй скрытый слой содержит N узлов, соответствующих размерности искомого вектора 0. Выходной слой содержит один нейрон, рассчитывающий сумму квадратов отклонений.

Автор тестировал модифицированный алгоритм при помощи отклика:

Л=—-Ч—■ (15)

е2+*03

Структура сети для расчета оценок параметров отклика (15) из стартовой точки 0О =0;0;0;0 состоит из =8, п/1) =10. В табл. 2 представлены четыре оценки, полученные из этого начального приближения.

Таблица 2

Результаты оценивания (15) из стартовой точки 0О = 0;0;0;0

ё, 02 9з 04 10"2

0,752 -0,152 1,09 3,31 0,897

0,755 -0,083 1,11 3,51 0,896

0,765 0,203 1,18 4,30 0,895

0,753 -0,129 1,10 3,37 0,896

Предварительные результаты позволяют сделать предположение о существовании множества локальных минимумов в случае отклика (15). Для их определения

изменим схему расчета, задавая случайным образом стартовую точку 90 из интервала [-40,40]. За ограниченное время работы программы было найдено 30 локальных минимумов. Для иллюстрации часть множества оценок представлена в табл. 3 по возрастанию суммы квадратов отклонений.

Таблица 3

Результаты оценивания (15) при случайном выборе стартового приближения

0! 02 бз 04 5, Ю-2

13,76 2,946 -1,21 2,27 0,89520

15,5 3,408 -1,21 2,62 0,89521

0,7741 0,522 1,25 5,16 0,89531

0,7751 0,568 1,26 5,28 0,89538

0,7760 0610 1,27 5,39 0,89545

0,7625 0,118 1,16 4,07 0,89546

44,1 11,04 -1,16 8,41 0,89553

84,01 21,7 -1,15 16,5 0,89567

254,4 67,2 -1,14 51,1 0,89578

Из табл. 3 видно, что при самом широком разбросе оценок сумма квадратов отклонений имеет практически одно и то же значение и для отсеивания несостоятельных оценок требуется анализ содержательной информации об объекте. Этот пример убедительно показывает, что формальная (только на основе критерия минимума невязки) идентификация приводит к многозначности решения задачи оценивания уравнения (15). Очевидно, в этом случае требуется репараметризация отклика для однозначной интерпретации решения. Поиск хорошо обусловленной физической модели может потребовать дополнительных затрат дефицитного времени, которые в случае очень большой размерности факторного пространства могут и не оправдаться.

В связи с этим аппроксимируем экспериментальные данные, использовавшиеся для оценивания (15), при помощи нейросетевого отклика. При нейросетевом моделировании особый интерес представляет влияние структуры ИНС на точность приближения расчетных значений отклика к экспериментальным данным. Для установления характера воздействия конфигурации сети на результаты оценивания, были проведены расчеты при различном числе узлов в скрытых слоях.

В табл. 4 приведены числа узлов в слоях А\ нАги сумма квадратов отклонения расчетных и экспериментальных значений выходной величины, соответствующих каждой конфигурации.

Таблица 4

Точность приближения в зависимости от структуры ИНС

Номер по порядку а, а2 Б, 10"2

1 2 2 0,965

2 2 5 0,967

3 5 2 0,873

4 7 7 0,421

5 7 10 0,851

6 10 7 0,512

7 10 20 0,515

8 20 10 0,494

9 20 20 0,497

10 30 30 0,506

Из табл. 4 видно, минимальное значение 5 достигается при параметрах сети, указанных в строке 4. Эти результаты говорят о необходимости предварительного поиска оптимальной структуры сети, обеспечивающей получение корректных результатов.

Как видно из этого примера, в многопараметрических задачах именно такого типа, в которых сложность препятствует получению фундаментальных зависимостей, но где важно выявить слабые, возможно, нелинейные, взаимодействия между переменными, нейросети оказываются незаменимым инструментом.

В диссертационной работе проведено исследование возможности создания алгоритма нейросетевой оптимизации с использованием бутстреп-метода. Результаты тестирования гибридного алгоритма (ИНС+бутстреп-метод) говорят о перспективности этого подхода.

Таким образом, использование ИНС позволяет решать сложные, плохо обусловленные задачи нелинейной регрессии. Учитывая вышеизложенное, можно заключить, что в результате применения ИНС удалось сконструировать алгоритм, эффективно решающий задачу нелинейного оценивания при самых "неудобных" стартовых приближениях и сложных многопараметрических моделях. А это означает создание машинного способа, реализующего диалоговый подход при минимальном участии человека, повышающего эффективность работы по идентификации нелинейных, стохастических объектов.

Типичным примером такого рода проблем являются задачи анализа физико-механических свойств и прогнозирования эксплуатационных характеристик конструкционных материалов ядерных реакторов нового поколения.

В третьей главе приводятся результаты разработки нейросетевых моделей эволюции в процессе эксплуатации механических свойств ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома.

Стали ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома являются перспективным материалом для изготовления узлов и деталей ядерных реакторов нового поколения со свинцовым и свинцово-висмутовым теплоносителем и демонстрационного термоядерного реактора. К их недостаткам можно отнести недостаточную жаропрочность и потерю пластичности при температурах 200 - 400°С.

В диссертационной работе описаны результаты разработки нейросетевых моделей изменения прочности и пластичности таких сталей. Однако наибольший интерес представляет модель одновременного поведения пластических и прочностных свойств. в качестве отклика были выбраны общее относительное удлинение 50 (%) и предел прочности св (МПа).

Матрица независимых переменных состоит из 348 строк, каждая из которых содержит информацию об условиях испытания и измерения кратковременных меха-

нических свойств цилиндрических и плоских образцов сталей ЭИ-852, ЭП-450 и ЭП-823 как в исходном, так и в облученном состояниях. В число факторов, лимитирующих изменение S„ и ов, включены температура облучения и доза облучения, температура испытания, полное содержание легирующих элементов и т.п.

Суммарное число столбцов матрицы независимых переменных составило 48, что соответствует числу узлов входного слоя ИНС, выходной слой включает два нейрона. Число узлов в двух скрытых слоях подбиралось методом проб и ошибок и составило 20 и 45, соответственно. На рис. 4 значками представлены экспериментальные данные испытания образцов стали ЭП-450 (закалка: 1050°С, 30 мин; отпуск 720°С, 1 час) облученной при температуре Тобл=350°С, до D = 0.52 сна и результаты расчета (кривые) по нейросетевой модели.

Результаты тестирования модели свидетельствуют о ее удовлетворительном качестве, что позволяет оптимизировать с ее помощью химический состав и условия термообработки сталей для реакторов с напряженными условиями эксплуатации.

Так как сталь ЭП-450 применяется в качестве материала чехлов TBC, то именно ее химический состав был взят за основу при поиске компьютерным способом оптимального сочетания легирующих элементов. Начальное содержание компонентов стали (в вес.%):

С Si Mn Cr № V Mo Nb В S Р

0,14' 0,25 ' 0,3' 12,0' 0,1' 0,Г 1,2' 0,3' 0,004' 0,0Г 0,01'

(16)

1600

1200

800

400

о ¡в ф 3 ю О

ЭП-450 Tu6jl=350oC, D = 0.52сна

Эксперимент

пластичность

прочность Расчет

пластичность прочность

150 300 450 600 750 Температура испытания, °С

900

Рис. 4 - Экспериментальные значения (значки) и расчетные зависимости (кривые) предела прочности и общего относительного удлинения облученной стали ЭП-450

а исходная термообработка для этой стали: нормализация 1050°С, 30 мин; отпуск 720°С, 1 час.

Целью вычислительного эксперимента было выяснение степени влияния различных комбинаций некоторых легирующих элементов на кратковременные прочностные и пластические свойства. Как показали предварительные расчеты, наибольшее воздействие на повышение Ов и 50 оказывают согласованные вариации содержания Мп, Мо и N1), а также В и V.

План компьютерного эксперимента можно представить следующим образом.

1. Критериями оптимизации выбраны суммарные значения предела прочности,

МПа:

5 = !>,(*]) (17)

и общего относительного удлинения, %:

я=ЕМг/). О»)

где Т- температура испытания.

Каждое значение св и 50 рассчитываются при фиксированных значениях температуры испытания 7}= 20,100, 200, 300,400, 500, 600 и 710°С. Повреждающая доза полагалась равной 100 сна. Принимая во внимание, что в быстрых реакторах температура облучения оболочки твэлов может достигать 710°С, именно это значение было заложено в расчет суммы (17). Поскольку ферритно-мартенситные стали обнаруживают низкотемпературное радиационное охрупчивание, то температура облучения при вычислении суммы (18) принималась равной 300°С.

2. В качестве базового химического состава был выбран состав стали (16).

3. Приоритетным критерием рассматривалась величина 5, которая максимизировалась путем расчета по нейросетевой модели оптимальных содержаний легирующих элементов. На величину Е было наложено ограничение, согласно которому она не должна уменьшаться более чем на 5%.

4. Эксперимент проводился в два этапа. На первом этапе содержание Мп задавалось в диапазоне 0.2 6 вес.%. В процессе оптимизации содержания Мо и N1) оставались свободными и выбирались такими, чтобы обеспечить максимальную прочность во всем диапазоне температур испытания.

На втором этапе варьировались содержание бора и ванадия и фиксировались значения других легирующих элементов. В первом и втором случаях баланс поддерживался за счет изменения содержания железа.

Анализ результатов расчета показывает значительное упрочнение сталей при повышении содержания марганца. Важно отметить, что пластичность с ростом содержания марганца меняется слабо. Этот факт хорошо согласуется с утверждением о том, что марганец заметно повышает прочность, не снижая пластичности, и резко уменьшает красноломкость стали, т.е. хрупкость при повышенных температурах.

Результаты расчета также позволяют сделать вывод о наличии отрицательной корреляции между содержанием марганца, с одной стороны и содержанием молибдена и ниобия с другой. Регрессионная зависимость между содержанием марганца и молибдена имеет линейный вид:

См„ = 6,28~1,04-См„ (19)

Уравнение связи между содержанием марганца и ниобия может быть представлено в виде полинома второй степени:

Смь = 0,546 - 0,056" СМп + 0,007-С2м„ (20)

Для определения адекватности нейросетевой модели решающее значение имеет экспериментальное исследование влияния марганца на прочностные свойства сталей ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома. В этой связи были выплавлены опытные сплавы с различным содержанием марганца и испытаны на прочность в НИТУ МИСиС под руководством профессора Беломытцева М.Ю. Содержание молибдена и ниобия изменялось в соответствии с (19) и (20).

В табл. 5 приведены значения содержания марганца, доля мартенсита и размер зерна мартенсита для каждого сплава.

Таблица 5

Содержание марганца и структурные характеристики экспериментальных сплавов

№ сплава 1 2 3 4

Содержание Мп, вес% 0,265 1,3 1,98 0,30

Доля мартенсита, % 90 40 100 50

Размер зерна мартенсита, мкм 5-12 150 70 8-20

Из табл. 5 видно, что сплавы сильно различаются по содержанию мартенсит-ной фазы, достигающей 100% в сплаве 3, и по размерам зерен мартенсита. Для унификации результатов измерений было использовано соотношение Холла-Петча, по-

зволяющее единым образом описать предел текучести сталей с зерном различной степени дисперсности: а*0,2= °о,2х ¿'л, (1 - размер зерна, а*0,2 - константа Холла-Петча. На рис. 5 приведены значения константы Холла-Петча в зависимости от температуры испытания Т.

800

Рис. 5 - Зависимость предела текучести от температуры с поправкой Холла-Петча на размер зерна

Поскольку при помощи разработанной нейросетевой модели можно имитировать эксплуатационные условия, то в диссертационной работе исследовалась зависимость предела прочности ферритно-мартекситных сталей от температуры облучения. При моделировании этой зависимости, проведенном при помощи бутстреп-метода, определялись пики прочности, которые описывались следующими уравнениями:

■■А-Е

а„

--Л-Х ехр 1=1

<=1(/-/,тах) +у,. (г-?,тах)2

(21)

(22)

Здесь сгв - предел прочности, индекс / обозначает номер горба распределения; / - температуру облучения, при которой наблюдается максимум; ?,тах среднюю температуру этого горба; у характеризует ширину горба; А - нормировочный коэффициент; к - число горбов в распределении.

На рис. 6 и 7 приведено имитированное распределение температур облучения и аппроксимации для стали ЭП-450 и ЭП-823 соответственно.

Результаты проведенного имитационного эксперимента, а также обработка данных при помощи сумм колоколообразных функций, указывают на существование у стали ЭП-450 двух пиков предела прочности, расположенных при температурах облучения -360 и 390°С. В случае стали ЭП-823 уверенно можно говорить о наличии максимума св при температуре облучения 390°С и с меньшей вероятностью можно ожидать максимума предела прочности при температуре 360°С.

320 340 360 380 400 420 Пиковые температуры облучения, °С

440

Рис, 6 - Имитированное распределение температур облучения, при которых предел прочности стали ЭП-450 максимален, и кривые, описывающие это распределение: 1 - уравнение (21), 2 - уравнение (22)

320 340 360 380 400 420 Пиковые температуры облучения, °С

440

Рис. 7 - Имитированное распределение температур облучения максимальных значений предела прочности стали ЭП-823 и кривые, описывающие это распределение: 1 - уравнение (21), 2 - уравнение (22)

Сравнение гистограмм распределения пиковых температур, изображенных на рисунках 6 и 7, показывает, что различное легирование приводит к изменению расположения пиковых температур.

В четвертой главе представлены результаты разработки нейросетевых моделей изменения физико-механических свойств чистого циркония и циркониевого сплава Zr+2,5% Nb, корпусных сталей ВВЭР и сталей аустенитного класса.

Температура испытания оказывает сильное влияние на характер зависимости предела текучести сплава Zr+2,5% Nb от коэффициента стехиометрии гидрида циркония. На рис. 8 представлены расчетные кривые, показывающие эту взаимосвязь при различных температурах испытания.

Кроме того, в результате расчетов было обнаружено влияние содержания ниобия на расположение пика предела текучести сплава Zr+2,5% Nb на оси коэффициента стехиометрии гидрида циркония. Повышение содержания ниобия сдвигает расположение пика предела текучести вправо.

В диссертационной работе при помощи ИНС исследовалась зависимость радиационного распухания S аустенитных сталей от повреждающей дозы D. Экспериментальные данные, на основе которых строилась модель, характеризуются следующим рядом параметров: температура Т и доза облучения, химический состав (до 19 химических элементов); температура и время аустенизации; температура и время

800 700

са

С 2

sT 600

и г

g 500 и ч

й. 400 С

300 200

Рис. 8 - Расчетные зависимости предела текучести сплава Zr+2,5% Nb от коэффициента стехиометрии гидрида циркония при различных температурах испытания

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Коэффициент стехиометрии гидрида циркония

отжига; степень холодной деформации; способ измерения 5 (гидростатическое взвешивание или электронная микроскопия). Дополнительно в обучающую матрицу был включен функционал, описывающий кооперативное воздействие Ти О на &

Модель представляет собой четырехслойную последовательную нейронную сеть, конфигурация которой выглядит как 29 : 11 : 3 : 1. Адекватность модели проверялась на данных, не представленных в обучающей выборке. На основе модели было проведено исследование влияния Б! и И на дозовую и температурную зависимости распухания.

В качестве базового химического состава был выбран следующий: [С]=0,07; [Мп]=0,39; [81]=0,4; [Сг]=15,0; [№]=14,75; [Т1]=0; [N4=0,18; [Мо]=3,0, где квадратные скобки обозначают содержание соответствующего химического элемента в вес. %. На рис. 9 представлены температурные зависимости распухания при дозе 55 сна при различном содержании и "П. Кривая 2 соответствует базовому составу; кривая 1 получена при [81]=0,1; кривая 3 - [81]=0,8. Кривая 4 рассчитана при "добавлении" в базовый химический состав 0,3 вес. % "П.

Из рис. 9 видно, что увеличение содержания кремния и титана уменьшает радиационное распухание.

С точки зрения безопасной эксплуатации ВВЭР интерес вызывает нейросете-вой анализ влияния легирующих элементов на радиационное охрупчивание материалов корпусов. Для исследования этого явления была разработана нейросетевая модель, имеющая следующую конфигурацию: входной слой состоит из 14 узлов, выходной - из одного, ассоциативные слои включают 10 и 20 нейронов соответственно.

Рис. 9 - Температурные зависимости распухания при разных химических составах

На основе модели были проведены расчеты влияния легирующих элементов на радиационное охрупчивание. Суть вычислительного эксперимента заключалась в расчете сдвига температуры вязкохрупкого перехода (ТВХП) как функции флюенса нейтронов при заданном химическом составе корпусной стали. Характер и степень влияния химических элементов на радиационное охрупчивание выявлялась путем поочередного увеличения вдвое их содержания относительно базового, в качестве которого был выбран основной металл корпуса 3-го блока Кольской АЭС, вес. %: С 0,16; 0,23; Мп 0,41; Сг 2,63; № 0,15; Мо 0,66; Си 0,09; Б 0,01; Р 0,011; V 0,28; Ав 0,013; Со 0,012.

На рис. 10 приведены расчетные кривые, полученные для базового химического состава кривая (1) и увеличенном в 2 раза содержании Си, N1, V, Мо, (2, 3, 4, 5, 6). При увеличении содержания каждого из перечисленных элементов содержание остальных оставалось неизменным. Для сравнения представлена нормативная кривая (7) ДГК =18'/7"3, (I7 - флюенс в единицах 1019 см"2, Е>0,5 МэВ) для основного металла корпусов ВВЭР-440.

Из рис. 10 видно, что температура вязкохрупкого перехода резко возрастает в диапазоне флюенса Р от 0 до 7-1019 см"2, затем следует почти линейный рост до ~65-1019см"2 и начало выхода на плато в районе 100-Ю19 см"2. Увеличение содержания никеля и меди ухудшает пластические свойства под облучением, а ванадий, молибден и кремний оказывают положительное воздействие на радиационную стой-

^ 1019см"2

Рис. 10 - Расчетная зависимость сдвига температуры вязкохрупкого перехода от флюенса нейтронов при варьировании содержания отдельных легирующих элементов: базовый химический состав (1), Си (2), № (3), V (4), Мо (5), (6) и нормативная кривая (7)

кость корпусной стали. Варьирование содержания марганца в расчетах показало, что он не оказывает заметного воздействия на величину ТВХП.

Из анализа рис. 10 следует, что существует возможность компьютерного расчета оптимального химического состава корпусной стали с помощью нейросетевой модели, разработанной с учетом эксплуатационных факторов и на основе выборки большего объема. Для грубой оптимизации химического состава автор воспользовался тем, что, исходя из расчетов, в состав конструкционного материала входят химические элементы (81, Мо, V), компенсирующие отрицательные последствия увеличения содержания никеля до 1 % по массе. В качестве варианта оптимизированного химического состава предложим следующий: С 0,16; 0,5; Мп 0,41; Сг 2,63; № 1,0; Мо 1,5; Си 0,09; Б 0,01; Р 0,011; V 1,6; Ав 0,013; Со 0,012 вес.%. Для сравнения на рис. 11 изображена кривая при увеличенном содержании N1 (1 вес.%) в "базовом " химическом составе.

Из рисунков 10 и 11 видно, что зависимость температуры вязкохрупкого перехода от флюенса имеет три области, явно отличающиеся наклоном кривой, из чего можно заключить, что скорость радиационного охрупчивания снижается с ростом флюенса. Оцененная зависимость сдвига температуры хрупковязкого перехода от флюенса имеет вид:

АТкос 14,9^0'64. (23)

Показатель степени при флюенсе в (23) говорит о том, что эта зависимость является более консервативной, чем нормативная.

Рис. 11 - Расчетная зависимость сдвига температуры вязкохрупкого перехода от флюенса нейтронов при оптимизированном (1), базовом химическом составе (2) и увеличенном содержании никеля (3)

Исследовалась также зависимость сдвига ТВХП от приращения предела текучести по данным испытания образцов корпусных сталей ВВЭР-440 и ВВЭР-1000. В результате исследования выяснилось, что влияние № на охрупчивание нельзя рассматривать в отрыве от содержания вредных примесей, так из литературных данных известно, что в очень чистых экспериментальных сплавах корпусной стали ВВЭР никель даже пластифицирует материал. Напротив, при суммарном содержании Р и ЭЬ выше 0,01 вес.% увеличение содержания № приводит к резкому охрупчиванию корпусных сталей.

Необходимо отметить, что Мо и снижают радиационное охрупчивание. По результатам расчетов можно констатировать, что Мп не оказывает негативного влияния на радиационную стойкость материалов корпусной стали.

ВЫВОДЫ

Развитие современных методов математического моделирования (искусственные нейронные сети, бутстреп-метод), ориентированных на интенсивное использование компьютера, позволило создать систему алгоритмов и программ, предназначенную для решения нелинейных оптимизационных задач. Основной целью применения разработанной компьютерной технологии обработки экспериментальных данных является решение важной научно-технической проблемы извлечения из экспериментальных выборок информации, недоступной традиционным способам.

К основным достижениям диссертационной работы можно отнести следующее:

1. Впервые проведено исследование, позволившее выявить математико-статистическую природу закона Мейера-Нелдела. На основе этого исследования и бутстрепа разработан принципиально новый прецизионный метод оценивания параметров экспоненциального отклика, реализованный в виде компьютерной программы. Проведены имитационные эксперименты, показавшие корректность предлагаемого метода.

2. При помощи программного комплекса бутстреп-идентификации экспоненты уточнены оценки параметров политерм растворимости водорода в натрии и кислорода в свинце, играющие важную роль в технологии жидкометаллических теплоносителей.

3. Применение программного комплекса бутстреп-идентификации экспоненты позволило устранить неопределенность в оценках параметров температурной зависимости самодиффузии для всех полиморфных модификаций чистого железа

(754+1788 К). Предложена эмпирическая зависимость коэффициента самодиффузии в чистом железе, что крайне важно для интерпретации и моделирования радиационного повреждения реакторных сталей.

4. Исходя из способности искусственной нейронной сети вырабатывать ассоциативные связи входного и выходного сигнала в процессе обучения, предложен новый подход к решению задачи безусловной оптимизации и нелинейного оценивания. Отличительным признаком этого подхода от известных численных процедур является синтез случайного и детерминированного методов поиска. В зависимости от способа обучения и обрабатываемой информации разработаны следующие алгоритмы (а) первого порядка, оперирующий в процессе расчета первыми производными функции отклика, (б) нулевого порядка, использующий расчет только отклика. Тестирование алгоритмов на модельных задачах безусловной оптимизации и реальных задачах нелинейной регрессии показало их высокую эффективность.

5. Исследовано бутстреп-расширение нейросетевого подхода. Полученные результаты говорят о перспективности включения бутстрепа в процедуру обучения искусственных нейронных сетей и необходимости продолжения работы с целью повышения эффективности этого алгоритма.

6. Впервые разработаны и тестированы нейросетевые модели изменения под облучением предела прочности и общего относительного удлинения при нейтронном облучении прочности и пластичности ферритко-мартенситкых сталей с 12% содержанием хрома. С помощью разработанной обобщенной нейросетевой модели предсказан оптимальный химический состав, обеспечивающий повышенную жаропрочность и пластичность ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома. Подтверждена важная роль марганца в химических составах сталей с заданными служебными характеристиками. Найдены регрессионные зависимости между содержаниями марганца, молибдена и ниобия.

7. Проведена экспериментальная проверка нейросетевых прогнозов, подтвердившая их корректность.

8. При помощи обобщенной нейросетевой модели проведено бутстреп-исследова-ние максимумов предела прочности ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома в зависимости от температуры облучения. Определены пики предела прочности для чистого железа и сталей марок ЭП-450, ЭП-823.

9. Разработаны и тестированы нейросетевые модели охрупчивания корпусных сталей ВВЭР - 440 и зависимости сдвига температуры вязко-хрупкого корпусных сталей ВВЭР - 440 и ВВЭР-1000 от приращения предела текучести. Компьютерные эксперименты на основе этих моделей показали положительное влияние молибдена, кремния и ванадия на устойчивость корпусных сталей к охрупчва-нию и резко негативное влияние суммарного соде ржания примесей фосфора, олова и сурьмы при повышенном содержании никеля.

10. Проведено нейросетевое исследование зависимости предела текучести сплава Zr+2.5% Nb от коэффициента стехиометрии гидрида циркония, обнаружено, что эта зависимость изменяется при варьировании содержания ниобия.

11. Разработан первый вариант нейросетевой модели распухания сталей аустенит-ного класса под воздействием нейтронного облучения. Имитационные эксперименты при помощи этой модели показали положительное влияние кремния и титана на радиационную стойкость сталей данного типа.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Louneva I.N., Obraztsov S.M., Shimkevich A.L. Solubility curve bootstrap classification / The third international seminar on simulation of devices and technologies / Obninsk.-1994.-P. 91.

2. Образцов C.M, Шимкевич А.Л. Бутстреп-идентификация экспоненциальной зависимости // Заводская лаборатория. - 2000. - Т. 66. - № 1. - С. 62-64.

3. Куприянов В.М, Лунева И.Н., Образцов С.М., Соловьев В.А., Шимкевич А.Л.. Статистический анализ данных растворимости кислорода в расплаве свинца: Препринт ФЭИ-2295. ОНТИ ФЭИ. Обнинск, 1992.

4. Образцов С.М., Шимкевич А.Л. Нелинейное оценивание растворимости кислорода в свинце / Сб.: Теплофизические исследования / Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ. -1999.-С. 225.

5. Obraztsov S.M., Shimkevich A.L. A zero order minimization algorithm using a neural network //Proceedings of the International Joint Conference on Neural Networks, Washington. July 10-16. - 1999. - V. 1. - 1999. - P. 643-645.

6. Коновалов A.B., Образцов C.M., Шимкевич А.Л. Нейросетевой алгоритм безусловной оптимизации: Препринт ФЭИ-2684. ОНТИ ГНЦ РФ ФЭИ. Обнинск, 1998.

7. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Соловьев В.А. и Рачков В.И. Нейросетевая модификация стали ферритно-мартенситного класса ЭП-450 по критерию максимума прочности и пластичности // Перспективные материалы. -2005.-№4.-с. 14-19.

8. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Соловьев В.А., Рачков В.И. Нейросетевое моделирование прочностных свойств реакторных сталей // Труды XV Международной конференции по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению. Алушта, 10-15 июня 2002. - С. 105-106.

9. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Соловьев В.А., Рачков В.И. Нейроносетевой анализ кратковременных механических свойств сталей ферритно-мартенситного класса // Физика и химия обработки материалов. - 2004. - № 2. - С. 92-97.

10. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Соловьев В.А. Нейросетевая модель поведения пластических свойств 12% хромистых сталей ферритно-мартенситного класса // Радиационная физика твердого тела; Труды 14 Международного совещания. -Севастополь, 2004. / М. НИИ ПМТ МГИЭМ (ТУ). - 2004. - С. 620-624.

11. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Соловьев В.А., ТрояновВ.М. Рачков В.И. Нейросетевая оптимизация химического состава стали ЭП-450 по критерию повышения пластичности / Сб. докладов 7 Российской конференции по реакторному материаловедению. Димитровград, 8-12.09.03 / Димитровград. - 2004. - Т. 3. -Часть 2. - С. 36-44.

12. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Рачков В.И., Соловьев В.А. Разработка нейросетевой модели кратковременных механических свойств реакторных сталей и интерфейса пользователя. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Материаловедение и новые материалы. - 2006. - Вып. 1. - 66. - С. 418424.

13. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Рачков В.И., Соловьев В.А. Нейросетевая модификация стали ферритно-мартенситного класса ЭП-450 по критерию максимума прочности и пластичности // Перспективные материалы. -2005.-№4.-С. 14-19

14. Образцов С.М., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Рачков В.И., Соловьев В.А. Нейросетевые эксперименты по взаимовлиянию легирующих элементов на механические свойства 12% Cr ферритно-мартенситных сталей // Известия вузов. Ядерная энергетика. - 2008. - №3. - С. 119-124.

15. Obraztsov S.M., Birzhevoy G.A., Konobeev Y.V., Rachkov V.I. // Bootstrap calculation of ultimate strength temperature maxima for neutron irradiated ferritic/martensitic steels // Journal of Nuclear Materials. - 2006. - 359. - P. 263-267.

16. Рачков В.И., Образцов С.M., Биржевой Г.А., Конобеев Ю.В., Печенкин В.А. Нейросетевой анализ влияния легирующих элементов на радиационное охруп-чивание материалов корпусов ВВЭР-440 // Атомная энергия. - 2006. - Т. 10. -Вып. 5, ноябрь. - С. 353-358.

17. Образцов С.М., Печенкин В.А., Примаков Н.Г., Андрианов А.Н. Нейросетевой прогноз максимума предела текучести сплава Zr+2,5% Nb в зависимости от коэффициента стехиометрии гидрида циркония // Физика и химия обработки материалов. - 2009. - № 2. - С. 33-35.

18. Образцов С.М., Конобеев Ю.В., Печенкин В.А., Соловьев В.А. Нейросетевое исследование влияния кремния и титана на радиационное распухание аустенитной нержавеющей стали // Радиационная физика твердого тела; Труды 20 Международного совещания. - Севастополь, 2010. / М. НИИ ПМТ МГИЭМ (ТУ). - 2010. - С. 63-67.

Подписано к печати 17.03.2011 г. Заказ №.115. Формат 60x84 '/16. Усл. п. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 50 экз.

Отпечатано в ОНТИ методом прямого репродуцирования с оригинала автора. 249033, Обнинск Калужской обл., пл. Бондаренко, 1 ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт имени А.И. Лейпунского.

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Образцов, Сергей Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. БУТСТРЕП - РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ЯДЕРНЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ.

§ 1. Теоретические основы бутстреп-анализа.

§2. Математико-статистическое исследование механизма ПМН и алгоритм бутстреп - идентификации экспоненциального отклика.

§3. Бутстреп-расчет параметров политерм растворимости водорода в жидком натрии.

§4. Бутстреп-расчет параметров политерм растворимости кислорода в жидком свинце.

§5. Бутстреп-расчет коэффициентов температурной зависимости самодиффузии железа в а-, у-, и 6-фазах железа.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА НЕЙРОСЕТЕВЫХ АЛГОРИТМОВ БЕЗУСЛОВНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ И ОЦЕНИВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ.

§6. Основные принципы нейросетевого моделирования.

§7. Нейросетевой подход к решению проблемы безусловной минимизации целевой функции.

§8. Нейросетевое расширение градиентного метода безусловной минимизации.

§9. Бутстреп-модификация нейросетевого метода безусловной минимизации.

§10. Нейросетевой алгоритм решения задачи безусловной минимизации нулевого порядка.

§11. Нейросетевое решение задачи нелинейного оценивания.

Глава 3. ОПТИМИЗАЦИЯ КРАТКОВРЕМЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СТАЛЕЙ ФЕРРИТНО-МАРТЕНСИТНОГО КЛАССА С 12%

СОДЕРЖАНИЕМ ХРОМА.

§12. Нейросетевой анализ предела прочности сталей ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома.

§13. Нейросетевое исследование пластичности ферритно-мартенситных сталей при различном содержании легирующих элементов.

§14. Нейросетевая модификация стали ферритно-мартенситного класса по критерию максимума прочности и пластичности.

§15. Определение регрессионных зависимостей между содержанием различных элементов в оптимальных химических составах.

§16. Бутстреп - расчет температурных максимумов предела прочности облученных нейтронами ферритно-мартенситного сталей.

§17. Экспериментальное исследование влияния марганца на прочностные свойства сталей ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома.

ГЛАВА 4. НЕЙРОСЕТЕВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ

СВОЙСТВ ФЕРРИТНО-ПЕРЛИТНЫХ, АУСТЕНИТНЫХ СТАЛЕЙ И

ЦИРКОНИЕВЫХ СПЛАВОВ.•.

§18. Нейросетевой анализ влияния легирующих элементов на радиационное охрупчивание материалов корпусов ВВЭР-440.

§19. Нейросетевое исследование зависимости охрупчивания от упрочнения корпусной стали ВВЭР.

§20. Нейросетевой прогноз максимума предела текучести сплава Zт+2,5% №> в зависимости от коэффициента стехиометрии гидрида циркония.

§21. Нейросетевое исследование влияния кремния и титана на радиационное распухание аустенитной нержавеющей стали.

Введение 2011 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Образцов, Сергей Михайлович

Для безопасной эксплуатации ядерных энергетических установок (ЯЭУ) с реакторами на тепловых нейтронах таких, как ВВЭР-1 ООО, необходимо усовершенствование корпусных сталей, устойчивых к радиационному охрупчиванию.

Выходом из этой сложной ситуации может быть применение математяко-статистических методов обработки экспериментальной информации об эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов в процессе эксплуатации ЯЭУ. На основе таких моделей становится возможным проведение вычислительных экспериментов, имитирующих в главных чертах реальные физико-химические процессы, и получение рекомендаций по оптимизации химических составов и условий термической обработки реакторных сталей и сплавов.

Одним из наиболее употребительных методов анализа является оценивание параметров нелинейных регрессионных моделей. Идентификация существенно нелинейных многофакторных моделей большой размерности встречает цепь трудностей (плохая обусловленность матриц Якоби и Гессе, сильная зависимость от начального приближения и т.п.), непреодолимых инструментальными способами. Это приводит к необходимости привлечения диалогового подхода "человек-машина", в котором исследователю отводится роль диспетчера, распределяющего процесс поиска решения между различными методами. При этом возрастает вероятность принятия субъективно неверных стратегий движения к оптимуму, что может приводить к непроизводительным затратам времени и энергии.

Данная работа посвящена разрешению этой коллизии путем создания методов на основе применения персональных компьютеров, с широким распространением которых открылась эра быстрых и дешевых вычислений. Особое внимание в работе уделено последовательному внедрению в нелинейное оценивание бутстреп-метода как способа извлечения более полной информации из экспериментальных выборок малого объема, и нейросетевому моделированию, позволяющему синтезировать в единый подход методы случайного и последовательного поиска оптимума.

• исследовать природу закона Мейера-Нелдела;

НАУЧНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ заключается в:

• проведенном впервые исследовании математико-статистической природы закона Мейера-Нелдела; построении оригинального алгоритма оценивания параметров аррениусовой зависимости при помощи бутстрепа;

• разработке нового метода решения общей задачи безусловной оптимизации и нелинейной регрессии на основе искусственной нейронной сети; создании нейросетевой модели эволюции механических свойств ферритно-мартенситной стали и расчете оптимального химического состава, обеспечивающего повышенную жаропрочность;

• подтверждении справедливости результатов расчета в реальных экспериментах;

• разработке нейросетевых моделей охрупчивания корпусных сталей ВВЭР, распухания аустенитных сталей и поведения механических свойств сплава Zr+2.5% №>.

ПРИКЛАДНАЯ ЦЕННОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Внедрение разработанных автором методов, алгоритмов и программ в атомную науку и технику позволило решить ряд важных задач, касающихся технологии жидкометаллических теплоносителей и радиационного материаловедения. Уточнены параметры аррениусовой зависимости растворимости кислорода в жидком свинце и водорода в жидком натрии, жидкометаллических теплоносителях перспективных ЯЭУ. Разработка моделей эволюции механических свойств ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома завершилась первой серией материаловедческих экспериментов, подтвердивших расчетные выводы.

Разработанные программы внедрены в ЦИПК и НПО «Технология», что подтверждено актами внедрения.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Высокая эффективность разработанных автором нейросетевых алгоритмов нелинейного оценивания, бутстреп-идентификации экспоненциального отклика и предсказания механических свойств новых реакторных сталей подтверждена численными исследованиями и результатами материаловедческих экспериментов.

АВТОР ВЫНОСИТ НА ЗАЩИТУ:

• математико-статистическую интерпретацию природы закона Мейера-Нелдела;

• нейросетевой алгоритм безусловной оптимизации и нелинейного оценивания; нейросетевую модель эволюции прочностных и пластических свойств сталей ферритно-мартенситного класса с 12% содержанием хрома;

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на российских и международных научных семинарах и конференциях:

1. The second (statistical) FINSOV APL seminar, Joensuu, Finland,

1991.

2. The third international seminar on simulation of devices and technologies, Obninsk, Russia, 1994.

3. The international conference on APL: the language and its applications (APL'94), Antwerp, Belgium, 1994.

4. The international conference on Applied programming languages (APL'95), San Antonio, Texas, United States, 1995.

5. The APL 96 Conference on Designing the Future, Lancaster, UK,

1996.

6. The International Joint Conference on Neural Networks, Washington, United States, 1999.

8. 7 Российская конференция по реакторному материаловедению. Димитровград, Россия, 2003.

9. Семинар координационного научно-технического совета по радиационному материаловедению «Главные результаты исследований ферритно-мартенситных сталей, облученных при высоких повреждающих дозах, пути их совершенствования для оболочек твэлов и чехлов TBC быстрых реакторов». Москва, 2002.

10. 13 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2003.

11. Российская научная конференция «Материалы ядерной техники. Радиационная повреждаемость и свойства - теория, моделирование, эксперимент». Туапсе, п. Агой, Россия, 2003.

12. 14 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2004.

13. 2 Российская научная конференция «Материалы ядерной техники» (МАЯТ-2). Туапсе, п. Агой, Россия, 2005.

14. 18 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2008.

16. 20 Международное совещание «Радиационная физика твердого тела». Севастополь, Украина, 2010.

Заключение диссертация на тему "Нейросетевые модели эволюции физико-механических свойств конструкционных материалов ядерных реакторов"

Выводы к главе 4:

1. Разработана и тестирована нейросетевая модель охрупчивания корпусных сталей ВВЭР-440.

2. Разработана и тестирована нейросетевая модель зависимости сдвига температуры хрупко- вязкого перехода корпусных сталей ВВЭР-440, ВВЭР-1000.

3. Компьютерные эксперименты на основе этих моделей показали положительное влияние молибдена, кремния и ванадия на устойчивость корпусных сталей к распуханию и резко негативное влияние суммарного содержания примесей фосфора, олова и сурьмы при повышенном содержании никеля.

4. Проведено нейросетевое исследование зависимости предела текучести сплава Zr+2.5% Nb от коэффициента стехиометрии гидрида циркония, обнаружено, что эта зависимость изменяется при варьировании содержания ниобия.

5. Разработан первый вариант нейросетевой модели распухания сталей аустенитного класса под воздействием нейтронного облучения. Имитационные эксперименты при помощи этой модели показали положительное влияние кремния и титана на радиационную стойкость сталей данного типа.

159

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие современных методов математического моделирования (искусственные нейронные сети, бутстреп-метод), ориентированных на интенсивное использование компьютера, позволило создать систему алгоритмов и программ, предназначенную для решения нелинейных оптимизационных задач. Основной целью применения разработанной компьютерной технологии обработки данных является решение важной научно-технической проблемы извлечения из экспериментальных выборок информации, недоступной традиционными способами.

К основным достижениям диссертационной работы можно отнести следующее:

1. Впервые проведено исследование, позволившее выявить математико-статистическую природу закона Мейера-Нелдела.

2. На основе этого исследования и бутстрепа разработан принципиально новый прецизионный метод оценивания параметров экспоненциального отклика, реализованный в виде компьютерной программы.

3. Проведены имитационные эксперименты, показавшие корректность предлагаемого метода.

4. При помощи программного комплекса бутстреп-идентификации экспоненты уточнены оценки параметров политерм растворимости водорода в натрии и кислорода в свинце, играющие важную роль в технологии жидкометаллических теплоносителей.

5. Применение программного комплекса бутстреп-идентификации экспоненты позволило устранить неопределенность в оценках параметров температурной зависимости самодиффузии для всех полиморфных модификаций чистого железа (754-^-1788 К).

6. Предложена эмпирическая зависимость коэффициента самодиффузии в' чистом железе, что крайне важно, для интерпретации и моделирования радиационного повреждения реакторных сталей:

7. Исходя из способности искусственной* нейронной- сети вырабатывать ассоциативные связи входного и- выходного сигналам в-, процессе обучения; предложен- НОВЫЙ1 ПОДХОД К решению!' задачи, безусловной^ оптимизации^ и нелинейного оценивания. Отличительным-признаком этого подхода от известных численных процедур является, I синтез случайного и детерминированного методов поиска. В'зависимости от способа обучения и обрабатываемой информации- разработаны следующие алгоритмы (а) первого порядка, оперирующий в процессе расчета первыми производными функции отклика, (б) нулевого порядка, использующий »расчет только отклика.

8. Тестирование алгоритмов на модельных задачах безусловной оптимизации и реальных задачах нелинейной регрессии показало их высокую эффективность.

9. Исследовано бутстреп-расширение нейросетевого подхода. Полученные результаты говорят о перспективности включения бутстрепа в процедуру обучения искусственных нейронных сетей и« необходимости продолжения работы с целью повышения эффективности алгоритма.

10. Впервые разработаны и тестированы нейросетевые модели изменения под облучением предела прочности, общего относительного удлинения и обобщенная нейросетевая модель эволюции под облучением прочности и пластичности ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома.

11. С помощью разработанной обобщенной нейросетевой модели предсказан оптимальный химический состав, обеспечивающий повышенную жаропрочность и пластичность ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома. Подтверждена важная роль марганца в химических составах сталей с заданными служебными характеристиками.

Найдены регрессионные зависимости между содержаниями марганца, молибдена и ниобия.

12. Проведено экспериментальное исследование нейросетевых прогнозов, подтвердившее их корректность.

13. При помощи обобщенной нейросетевой модели проведено бутстреп - исследование максимумов предела прочности ферритно-мартенситных сталей с 12% содержанием хрома в зависимости от температуры облучения. Определены пики предела прочности для чистого железа и сталей марок ЭП-450, ЭП-823.

14. Разработаны и тестированы нейросетевые модели-охрупчивания корпусных сталей ВВЭР-440 и зависимости сдвига температуры вязко-хрупкого корпусных сталей ВВЭР-440, ВВЭР-1000.

15. Компьютерные эксперименты на основе этих моделей показали положительное влияние молибдена, кремния и ванадия на устойчивость корпусных сталей к распуханию и резко негативное влияние суммарного содержания примесей фосфора, олова и сурьмы при повышенном содержании никеля.

16. Проведено нейросетевое исследование зависимости предела . текучести сплава Zr+2.5% №) от коэффициента стехиометрии гидрида циркония, обнаружено, что эта зависимость изменяется при варьировании содержания ниобия.

17. Разработан первый вариант нейросетевой модели распухания сталей аустенитного класса под воздействием нейтронного облучения. Имитационные эксперименты при помощи этой модели показали положительное влияние кремния и титана на радиационную стойкость сталей данного типа.

Библиография Образцов, Сергей Михайлович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

2. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Т. 1. — М.: Финансы и статистика, 1986.

3. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Т. 2. М.: Финансы и статистика, 1986.

4. Круг Г.К. и др. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов. -М.: Наука, 1981.

5. Налимов В.В. Анализ трудностей, связанных с построением нелинейных по параметрам моделей в задачах химической кинетики // Заводская лаборатория. 1978. - Т. 44. -№ 3. - С. 325-331.

6. Моисеев H.H. Алгоритмы развития. Академические чтения. — М.: Наука, 1987.

7. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

8. Форсайт Дж. и др. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980.

9. Григорьев Ю.Д., Иванов A.B. Асимптотические разложения в нелинейном регрессионном анализе // Заводская лаборатория. 1987. - Т. 53. — № 3. -С. 48-51.

10. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.

11. ПензинК.В. Вариант алгоритма Левенберга-Марквардта решения нелинейной задачи наименьших квадратов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. — Т. 31. — № 10. - С. 14441451.

12. Пугачев Б.П. Замечание по поводу применения метода наименьших квадратов к решению систем уравнений // Журнал вычислительной163 1 •математики и математической, физики. 1978. - Т. 18. — № 6. - С. 1593-■ 1595: ( :1 - ' '

13. Пугачев Б.П. О случаях расходимости метода наименьших,квадратов приг решении нелинейных систем; уравнений // Журнал вычислительною математики и математической физики. 1980: — Т. 20. — Лгп 3; -С. 763-765.

14. Деркуени К. Обнаружение;, резко выделяющихся; наблюдений до применения статистических методов // Теория вероятностей и ее применение. 1992. -Т. 37. - В. 2. - С. 360-363.

15. Кудинов Ю:И. и др. Об оценке адекватности моделей химико-технологических процессов // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 314. - № 2. - С. 422-425;

16. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. (Обзор) // Заводская лаборатория. — 1990. Т. 56. -№ 3. — С. 76-83.

17. Блюмин С.Л., Самордии П.В. Опыт применения метода складного ножа■ к моделированию технологических зависимостей в черной металлургии. // Заводская лаборатория. 1994. - Т. 60. - №10. - С. 59-62.

18. Орлов А.И: О реальных возможностях бутстрепа как статистического метода // Заводская лаборатория. —1987. Т. 33. — № 10. - С. 82-85.

19. Hinkley David H. Bootstrap Methods // J. R. Statist. Soc. B. 1988. - V. 50. -N 3. -P. 321.

20. Кожевник Ю.А. Асимптотические свойства бутстреп-метода (обзор) // Заводская лаборатория: 1987. - Т. 53. - № 10. - G. 76-82.

21. Эфрон Б. Улучшенные бутстреп-методы построения доверительных интервалов // Сб.: Нетрадиционные методы многомерногостатистического анализа. М.: Финансы и статистика. — 1988. — С. 175214.

22. Diciccio Thomas J. and Romano Joseph P. A Review of Bootstrap Confidence Intervals // J. R. Statist. Soc. B. 1988. — V. 50. -N3. -P. 338-354.

23. Hynkley D.V. and Shi S. Importance Sampling and the Nested Bootstrap // Biometrika. 1989. -V. 76. -N 3. - P. 435-446.

24. Торберн Д. Доверительные интервалы, основанные на модифицированном бутстрепе // Теория вероятностей и ее применение.- 1992. —Т. 37. -Вып. 2. С. 390-392.

25. Эфрон Б. Неторопливый взгляд на бутстреп, метод складного ножа и перепроверку // Сб.: Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика. - 1988. - С. 151175.

26. Freedman D.A. Bootstrapping Regression Models // The Annals of Statistics: -1981.-V. 9.-N6.-P. 1218-1228.

27. Moulton L.H. and Zeger S.L. Analyzing Repeated Measures on Generalized Liner Models via the Bootstrap // Biometrics. 1989. - V. 45. - P. 381-394.

28. Dikta G. and Ghorai J.K. Bootstrap Approximation with Censored Data under the Proportional Hazard Model // Commun. Statist. Theory meth. - 1990. - V. 19.-N2.-P. 573-581.

29. Адлер Ю.П. и др. Бутстреп-моделирование при построении доверительных интервалов по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. 1987. - Т. 33. - № ю. - С. 90-94.

30. Lee Kee-Won. Bootstrapping Logistic Regression Models with Random Regressors // Commun. Statist. Theory meth. - 1990. - V. 19. - N 7. - P. 2527-2539.

31. Srivastava M.S. and Singh B. Bootstrapping in Multiplicative Models // Journal of Econometrics. 1989. - V. 42. - P. 287-297.

32. Papadopulos A.S. et al. Bootstrap Procedures for Time Series Analysis of BOD Data // Ecological Modelling. 1991. - V. 55. - P. 57-65.

33. Блюмин C.JI., Самордин П.В. Опыт бутстреп-моделирования технологических зависимостей в черной металлургии // Заводская лаборатория. 1993. - Т. 39. - № 3. - С. 65-67.

34. Походзей Б.Б., Хрущев В.А. Бутстреп как метод оценки изменчивости геолого-технологических параметров руд // Заводская лаборатория. 1987. -Т. 33.-№10.-С. 86-90.

35. Красовский А.А. Неклассическая оптимизация и качественная теория оптимального управления // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 317. - № 5. -С. 1062-1065.

36. Красовский А.А. Стохастическая качественная теория поиска экстремума //Доклады АН СССР.-1991.-Т. 319.-№6.-С. 1346-1348.

37. Meyer W., and Neld Н. // Z. Techn. Phys. 1937. - 12. - P. 588.

38. Frank H. Transport properties of zirconium alloy oxide films // Journal of Nuclear Materials. December 2002. - V. 306. - Isueses 2-3. - P. 85-98.

39. YelonA. and MovagharB. Microscopic Explanation of the Compensation (Meyer-Neldel) Rule // Physical Review Letters. 30 July 1990. -V.65. -Number 5.-P. 618-620.

40. Амоненко B.M., Блинкин A.M., Иванцов И.Г. Самодиффузия в сильно разбавленных бинарных растворах. I. Влияние примесей олова и сурьмы на самодиффузию железа в а-фазе // Физика металлов и металловедение. —1964.-Т. 17.-Вып. №1.-С. 56-62.

41. Иванцов И.Г., Блинкин A.M. Само диффузия в сильно разбавленных бинарных растворах. II Влияние примесей свинца и висмута на самодиффузию железа в а-фазе // Физика металлов и металловедение. —1965.-Т. 19.-Вып. 2.-С. 274-281.

42. Иванцов И.Г., Блинкин A.M. Самодиффузия в сильно разбавленных, бинарных растворах. III Влияние примесей Sn, Sb, Pb, Bi на самодиффузию железа в у-фазе // Физика металлов и металловедение. —1966.-Т. 22.-Вып. 6.-С. 876-883.

43. Pierre Mialhe. Comment on the thermodynamic compensation law // J. Phys. D: Appl. Phys. 1989. -22. - P. 720-721.

44. Коковин Г.А. и др. О возможности решения некоторых "обратных" задач физической химии // Изв. СО АН СССР. Сер. Хим. 1975. Вып. 3. - С. 2535.

45. Горский В.Г., Спивак С.И. Нелинейные модели неполного ранга и нелинейные параметрические функции в обратных задачах химической кинетики // Заводская лаборатория. 1981.-Т. 47. — № 10.-С. 39-47.

46. Спивак С .И., Горский В.Г. Неединственность решения задачи восстановления кинетических констант // Доклады АН СССР. 1981. - Т. 257.-№2.-С. 412-415.

47. Горский В.Г. Планирование кинетических экспериментов. — М. Наука, 1984.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970.

49. Addison С.С. et al. // J. Chem. Soc. 1964. - P. 4895.

50. Vissers D.R. et al. // Nucl. Technology. 1971. - 12. - P. 218.

51. Obraztsov S.M. et al. Solubility curve bootstrap classification // The third international seminar on simulation of devices and technologies / Obninsk. -1994.-P. 91.

52. Образцов C.M, Шимкевич A.JI. Бутстреп идентификация экспоненциальной зависимости // Заводская лаборатория. — 2000. - Т. 66. — № 1.-С. 62-64.

53. Секимото X. и др. Некоторые проекты быстрых реакторов с тяжёлым жидкометаллическим теплоносителем // Сб. тезисов докладов ТЖМТ-98 / Обнинск. 5-9 октября 1998. - С. 39-40.

54. Марков В.Г. и др. Конструкционные материалы для ЯЭУ с теплоносителями свинец висмут и свинец // Сб. тезисов докладов ТЖМТ-98 / Обнинск. - 5-9 октября 1998. - С. 22.

55. Grosheim-Krisko K.M. et al. Uber dat Loslichkeit von Sauerstoff in Blei // Z. Metallkunde. 1944. - 36 Jahrgange. - Heft 4. - S. 91-93.58

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00