автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Негильотинный прямоугольный раскрой на базе применения методов математического программирования в автоматизированных системах управления

РГ6 ом

- 7

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВАЛЕ ЕВА Аида Фаритовна

НЕГИЛЬОТИННЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ РАСКРОЙ НА БАЗЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ¿СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

05.13.06 — Автоматизированные системы управления

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Уфа 1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и кибернетики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научные руководителе — доктор технических наук,

профессор МУХАЧЕВА Э. А., кандидат физико-математических наук, доцент БРОНШТЕЙН Е. М. Официальные оппоненты — доктор технических наук,

профессор КУЛИКОВ Г. Г. кандидат технических наук, доцент НИКУЛЬШИНА Л. М.

Ведущая организация — Институт математики УРО АН России.

Защита состоится » 1 дд.ч г. в Щ часов

на заседании специализированного совета К-063.17.03 Уфимского государственного авиационного технического университета по адресу: 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Автореферат разослан « ^ » _1993 П

Ученый секретарь специализированного совета, доктор технических наук,

профессор В. И. Васильев

, ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современное производство, с одной стороны, связано с развитием технологического оборудования, а с другой, с условнением всех функций управления техническим процессом, что является следствием повывения требований к качеству выпускаемой -продукции и к рациональному использованию ресурсов в процессе изготовления изделий, В связи с этим, задача оптимизации технологической подготовки производства является актуальной, В качества подзадачи выступает автоматизация раскройно-загоговительных работ, выполнение которой невознояно без репения проблемы оптимального раскроя материала,

Б настоящее время возрастает удельный вес мелкосерийного и единичного производств. Зто связано с уиеньиешш аизненного цикла изделий, увеличения их номенклатуры, что требует автоматизации решения задачи оптимального раскроя. Вавным для создания автоматизированной системы технологической подготовки производства (АСТШ1) явилось внедрение оборудования с числовым программным управлением(ЧГШ) для газовой, плазменной, лазерной резки различных материалов, что позволило получать заготовки различной конфигурации и реализовать негильотиннае карты раскроя.

Известные приблияенные методы решения задачи негильотинного прямоугольного раскроя не всегда позволяют определить оптимальные или даае близкие к оптимальным реиения. Что касается точных методов, то с их помоиьп оказывается невозмомно реиать реальные задачи в виду их громоздкости. Кроме того, в практике использования различных алгоритмов обычно определяется один вариант раскроя. Однако задачи раскроя, как показывают результаты решения практических задач, имеют мнояество оптимальных реаений. В этом случае могут быть использованы различные технологические и организационные решения для окончательного выбора варианта раскроя. В связи со сказанным, актуальным является построение мнояества различных оптимальных или близких к ним раскроев с целью выбора наиболее технологичной карты раскроя.

В диссертации обобщены результаты работ, проводимых соискателем в рамках госбюдяетных исследований ИФ-ВК-43-93-03, выполняемых кафедрой вычислительной математики и кибернетики ЯГАТЯ.

Целью диссертационной работы является разработка методов определения мнояества оптимальных речений для задачи негильотинного прямоугольного раскроя на базе поиска локально оптимальных пря-

моугольно-ориентйроваинвх линейных раскроев, создание на этой основе программного обеспечения и методики включения его в автоматизированные системы технологической подготовки раскройно-заготов^гель-иого произволетваСЙСТП РЗП).

Для достижения дайной це)ш в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Исследование аппроксииационного подхода к решению задачи негильотинного прямоугольного раскроя.

2. Разработка оптимизационного катода для поиска локально оптимального прямоугольно-ориентированного линейного раскроя (ПОЙР) и получения дерева вариантое плотных укладок прямоугольников, из которая по заданному критерии ыоено выбрать мнозества оптималышк раскроев.

3. Разработка алгоритмов перестановки прямоугольных заготовок в раскройной карте на база исследования свойств плаиариых графов,

4. Создание программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритма иегияьотищюго прямоугольного раскроя.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследована возмойность сведения задачи двумерного прямоугольного раскроя к-решении задачи планирования одномерного раскроя; '

- Формализована интерпретация прямоугольной укладки на графах и разработан модифицированный алгоритм анализа плоских графов;

- разработан метод рацениз задачи негильотиниого прямоугольного раскроя с использованием свойств плоских графов;

- предлоЕена методика включения разработанный алгоритыов в комплекс программных средств "СиТ-СПВ".

На зациту выносится;

1. Методика реиенйя задач« ийгильотинного праиоугодьного раскроя на базе аппроксимации систеыой линейных раскроев.

2. Цетод построения мновества локально оптимальных решений, ориентированный на применение в АСУ.

3. Кодифицированный алгоритм анализа плоских графов и его использование с целью корректировки локально оптимальных решений.

Практическая ценность работи заключается в том, что разработанное программное обеспечение, как одна из составных частей,входит в комплекс программных средств (КПС) "Сит-САП".служащий для решения интегрированных задач линейного, прямоугольного и фигурного раскроя в условиях единичного и мелкосерийного производства.

Разработанной программное обеспечение мошет использоваться автономно для рейения задачи негильотиниого прямоугольного раскроя, а

_ б - . ■

такше для форыирования фигурного раскроя и слунить оптимизационным ядром в АСТПП и СППР "раокройно-заготовительного производства в различных отраслях промышленности. Результаты ' диссертационной работы прошли опытную эксплуатацию на Яфимскоы агрегатном производственном объединении и используются в учебном процессе ИГОТи в курсах "Конструирование программ" и "Математическое программирование".

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуидались на ;

- Республиканской конференции "Применение ЭВМ & решении научно-те хнических и народно-хозяйственных задач", г. Нфа, 1985 г.

- Конференция "Дкалог-человек-38М", г. Свердловск, 1Э8Э г.;

4- Республиканской научно -технической конференции " Автоматизация проектирования в энергетике и электронике" г. Иваново, 1991 г.;

- конференции "Математическое программирование и приложения" г.Екатеринбург, 1993 г.;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.

Объен и структура работы. Диссертация содеряит 93 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, включает библиографию (80 наиненоваиий), I приловения.

Содераанив работа

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на зашиту.

В первой главе обосновывается необходимость автоматизации технологической подготовки раскройно-заготовительного производства: рассмотрена классификация задач раскроя; фориулируагся задачи исследования; проведен обзор точных и приблияенннх нетодов решения задачи негильотинного прямоугольного раскроя.

Первые систематические исследования в области раскроя материалов были проведены Л.В.Канторовичем и В.Й. Залгаллером. В связи с все возрастающими требованиями к экономии материальных ресурсов задача раскроя и методы ее реиения получили дальнейшее развитие в работах И. В.Романовского,. Э.Мухачевой, Й.Г.Стояна.М.Й.Гиля.М.В.Но-воаиловой.А.И.Липовецкого, В.О.Березиева и др.

Наиболее изученными являются задачи линейного и пряноугольного гильотинного раскроя в условиях массового производства. К наименее исследованным и трудноформализцемым относится задача негильотинного прямоугольного раскроя в условиях единичного (мелкосерийного)

/

производства. Гэри и Даонсон установили НР-полноту этой задачи. Поэту велись разработки, направленные ка построениэ приближенных полиномиальных алгоритмов, а такве точных алгоритмов (решающих задачи раскроя для небольшого количества заготовок), которые ориентированы, в основной, на получение одного оптимального или близкого к нему решения. Исследования показывают,что в большинстве случаев задача негильотинного прямоугольного раскроя имеет мновество решений. В связи с этим предлагается подход на базе аппроксимации прямоугольной укладки линейным раскроен и получения прямоугольно-орионтирован-ного линейного раскроя (П0/1Р) в виде кортекей, с применением к ПОЛР метода динамического программирования, который (с последующей его модификацией) позволяет получить множество оптимальных прямоугольных укладок в классе П0/!Р, отличающихся порядком располовения элементов кортешей по вертикали.

Во второй главе рассмотрена задача негильотинного прямоугольного раскроя в полубесконечной полосе заданной ширина и линейный способ построения прямоугольной укладки; предложено использование метода динамического программирования для поиска оптимального прямоугольно-ориентированного' линейного раскроя: рассмотрен точный метод Р8зения задачи укладки прямоугольников; предлоаено применение алгоритмов проверки планарности графа.

Рассматривается задача негильотинного прямоугольного раскроя в известной постановив при заданных вирине полубесконечной полосы и размеров прямоугольных заготовон (сЦ * ) 5 I а 1 • ^ :

Найти ТОЩ (ЬЧ - % £>г ) ш

при

(2)

1.....П

где длина занятой части полосы; (X1,!/}- координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника;

Здесь (2) определяют -условия размеиения прямоугольных заготовок на участке полосы длины £ и условия взаимного непересвчения прямоугольных заготовок.

Расснатрнвается произвольная прямоугольная укладка, которая разбивается на К различных блоков одной и той яе ширины, не превышающей заданной ширины полосы I. Каждый блок мысленно разрезаем на отрезки длиной I. В результате получаем 5 различных линейных ра скроев. Прямоугольную укладку можно представить в виде совокупности кортеяей, элементами которых являются номера прямоугольников, укладываемых целиком или частично в К-й блок ширины Ь, характеризующиеся числом - длиной К-го блока или интенсивностью использования данного линейного раскроя. Обозначим кортеа в виде:

■(РтшРлк.-'/Рт**

где .¿..э; 1*1,..., тк ;

номера прямоугольников, укладываемых в К-й блок снизу вверх;

ЗА*-- количество элементов в К-м блоке. Тогда укладку прямоугольников заданных размеров Сем. рис.1 а) моино представить в виде следующего списка кортеяей ;

К-й блок ТПц кортея Хк

1 2

3

4

5

6 7 Й 9

При этом длина занятой части полосы равна £ я

Определение. Совокупность линейных раскроев, отвечакщих прямо-

3 (1.5,7) Ь7

3 (1.5,8) Ы

4 (2,3,5,8) Ь5

4 (2.3,6,8) ЬЗ

4 (2.4,6,8) Ь6=Ь8

8 (2,4,9.10,11,14) Ы1=Ы4 .

б (2,4,9.10,13.15) Ь9

6 (2,4,12,10,13,19) Ь2=Ы5

5 (4.2,10,13,15) Ь4=Ь2=Ы0=

гМЗ=Ы5

угольной укладке, назовем прямоугольно-ориентированным линейным раскроем (П0/1Р).

Введем обозначения; I -. список номеров заданных прямоугольников; • Iх- список номеров требуемых прямоугольников к моменту построения К-го линейного раскроя;

1ц - список номеров прямоугольников,входящих в Н-мй линейный раскрой.

Тогда ПОЛР будет удовлетворять, следувщш условиям:

1. Все элементы одного и того ае кортева различны, что означает неповторяеыость прямоугольников в укладке;

2. Для К-го линейного раскроя интенсивность его применения запишется в виде

■: '"х, - я1/й ; :

где ...

5/- длины пряыоугольников(основания); ^ а # ^

3.

4. Если/6/дг и I то I £ IК+£ .то есть прямоугольник .принадлежащий кортеву (к), является обязательным в корте-ве (к+1); •

9. Последующий кортеа отличается от предыдущего заменой одного или нескольких подряд идущих прямоугольников, не участвующих в предыдущих кортеяах.

Утвергдение. Существует взаимно-однозначное соответствие ыеяду прямоугольной укладкой И и ПОЛР р(Ц),щтъъ длина занятой части полосы наоборот, -¿СиА

Для поиска локально оптимального ПОЛР используется метод полиномиальной словности решения рюкзачной задачи следующего содер-нания;

- даны целые числа и целое число Я) , Существует ли

подмнояество М множества . В качестве

и ® берутся соответственно ширины прямоугольников и ширина полосы.

Для ревения данной задачи строятся подмнонества М^ .содеркащиа всевозмоаные суммы вирин прямоугольников, не превышающие ширины полосы и при этом формируются кортеан из соответствующих номеров прямоугольников. В результате получаем дерево вариантов укладок

прямоугольников, в котором вершины - это ширины полос для последующего размещения прямоугольников, а ветки - Кортежи. В качестве критерия оценки укладки выступает длина занятой части полосы. При обходе дерева монет быть найдено множество оптимальных укладок в смысле минимума длины занятой части полосы.

Рассмотренный метод динамического программирования был применен для задачи геометрии о.разбиении квадрата и позволил найти ряд конкретных его решений.

Для поиска локально оптимального ПО/IP иногда целесообразно переставить элементы кортевей для освобождения максимально возможной области ширины полосы (см. рис.! а). Для осуществления такой перестановки предлагается интерпретация прямоугольной укладки на графах. Ширине полосы, являющейся объединением сторон прямоугольников с нонерами из I% , соответствует вершина графа, а ребра графа соответствуют прямоугольникам (см. рис.! б).

Утверждение i. Граф укладки является плоским.

Утверждение 2. При допустимых перестановках элементов в кортежах граф укладки изоморфен граФд исходной укладки. При этом корневая вершина, висячее вершины и вершины, соответствующие смежный прямоугольникам (с номерами изГ^), расположены во внешней грани. Получить искомое плоское расположение графа укладки (если это возможно") предлагается с помощью кодифицированного алгоритма построения плоской реализаци. графа. Данный алгоритм представляет собой процесс последовательного присоединения к некоторому плоскому подграфу графа укладки цепи, оба йонца которой принадлежат подграфу. Зта цепь разбивает одну из граней подграфа на две.

Модификация заключается в том, что в качестве начального плоского подграфа выбирается цикл, содержащий корневую вершину, висячие вершины и вершины, соответствующие номерам прямоугольников из мно-аества 1°, которые яелательно располонить рядом для размещения очередного прямоугольника. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет построена плоская реализация графа,причем на каждом шаге процесса присоединения цепи к подграфу осуществляется контроль принадлежности указанных вершин внешней грани.

Подлежащие контролю вершины графа укладки назовем помеченными. При выборе начального цикла и- графа укладки удаляются ребра, не принадлежащие циклу. Эти ребра-распадаются на один или более связных кусков.

В ходе построения плоской реализации графа для кэядого куска .определяются грани, которые с ним совместимы. Возможны три случая:

Y

I ;ü¡ й

i

о

iï i V № {i'i vm { Í5 ]

1 1 ' i л ¡

i i » t

i »

l 6

; a; i

i

i •

« i

i_'-i-

«

g ! i

11

m

■JO

Í3

15

a,)

8)

Рас. 1

1.Некоторый кусок , Н8 совместим ни с какой гранью графа укладки или не существует цикла, содеряащего помеченные вераины. Тогда не существует плоской реализации графа, изоморфного исходному графу укладки с нуяными свойствами,

2.Какой-либо кусок совместим с единственной гранью подграфа графа укладки. Тогда в этом куске выбирается цепь такая, что оба ее конца принадленат подграфу. Дополняем подграф ребрами и вершинами этой цепи, проводя цепь внутри выделенной единственной грани, так, чтобы помеченные вершины всегда оставались во внешней грани.

3.Если каадый из кусков совместим ,по крайней мере, с двумя гранями .подграфа,hosho .внбра1ь цепь в любом из кусков и действовать, как в случае 2. На рис.2 а) показан перестроенный пленарный граф, по которому восстанавливаем кортени. При этом появляется возмоеность разместить не укладывающийся ранее прямоугольник и получить безотходную укладку заданных прямоугольников (см. рис,2 б).

В третьей главе представлены алгоритмы построения множества плотных укладок прямоугольников в полуполосо заданной ширины, основанные на линейном способе построения прямоугольной укладки, алгоритме реаения рюкзачной задачи, интерпретации прямоугольной укладки на графах; проведано экспериментальное исследование алгоритмов укладки; рассмотрено использование предлокенных алгоритмов для построения рациональных планов негильотинного прямоугольного раскроя и Фигурного раскроя в качестве первоначального плана.

Предлоненный во второй главе линейный способ позволил поиск оптимальной прямоугольной укладки свести к расчету оптимального пря-.ноугольно-ориентированного линейного раскроя.Для поиска оптимального ПОЛР на каадом ваге укладки используется известный, алгоритм полиномиальной слояности реиениа рюкзачной задачи с последующей его модификацией, который состоит в следующем:

1. Ие а 1°} •

2. Для J = 1.....п выполнить

* 0'

- для кавдого целого cL 6 Mj-i добавить к Mj cl и d

если cL 4- к. к <1 а. и d + dj вше не входят в Mj ;

- найти для d и cf+if/соответствующие номера иирин прямоуголь них заготовок в видо совокупности кортеяей.

3. Если L £ Мп ,то.выбрать соответствующие кортеаи, иначе выбрать d^eH/t: df^^d и соответствующие кортеви;

4. Вычислить новую ширину полосы.

5. Идти к 2.

dc,~ L

CL)

S

Jf

14

is

ib

10

9 f 1Z.

8) Рис. 2

При поиске локально оптимального П0/1Р возмояна ситуация.когда пря-прямоугольники с номерами из ннозества оказываются не рядом располоненными, т. е. меадц ними есть прямоугольники из мноаес-тва . В этом случае необходимо провести перестройку фрагмента укладки, чтобы прямоугольники из мнонества I* оказались рядом. В работе предлоаен подход, основанный на применении проверки пла-нарности графа с помоцьи модифицированного алгоритма построения плоской реализации * графа, который состоит в следующем:

1. В графе фрагмента укладки Б выбирается цикл С с понеченними вершинами, являющийся йланарно располоаённым. Полоаим в'- С .

2.Найти внутренние грани графа & и куски б относительное . Идти к 8.

3. Для кандого куска определить мнояество цепей

4. Осуществить проверку на совместимость цепи и внутренней грани. Если цепь и внутренняя грань несовместимы, то плоской реализации графа не' существует". Идти, к 9, иначе идти к 5.

3. Если существует цепьБбй ,для которой имеется единственная совместимая внутренняя грань, то идти к 7. Иначе идти к 8.

6. Для некоторой цепи выбрать произвольнуа внутреннюю грань.

7. Помечаем цепь5^5 в грань;замешиь б'наб^и перейти к 2,

8. Построена плоская реализация графа Фрагмента укладки и получены его грани. Идти к 9.

9. Конец алгоритма. 2

Алгоритм является быстрым, со слоаностьи ОСИ.). Он позволяет регулировать порядок располояеиия элементов в кортеяах, а такне сократить перебор при выборе оптимальной из полученного мноаества укладок. Предлозенный алгоритм решения задачи негильотинного прямоугольного раскроя состоит в следующем:

1. Построить нногество, содеряащее всевозмояные суммы ширин прямоугольников, не превышающих ширины полосы и получить комбинацию номеров прямоугольников, составляющих эти суммы, в виде совокупности кортеяей, пока мнояество прямоугольников, не вошедаих в укладку, не пусто.

2. Выбрать один из полученных кортеаей и выполнить: 2.1. Проанализировать ситуацию, находятся ли рядом прямоу-*

гольники с номерами из 1к ;

2.1.1. Если они располояены рядом, то продолиить укладку и выбрать ту, у которой длина эайятой части полосы минимальна, иначе строится граф фрагмента укладки и к нему применяется модифицированный алгоритм построения плоской реализации;

2.1.2, Если получено пленарное расположение графа укладки с нушными свойствами,то по пленарному графу восстанавливаются к.ор-теви с необходимым расположением в них элементов;

2.2. Вычисляется новая ш-ирина полосы для укладки оставшихся прямоугольников. Идти к 1.

3. Размещены все прямоугольники в полуполосе. Показано, что сложность алгоритма равна 0(П? L) . Предложенные алгоритмы программно реализованы на языке Паскаль в HS DOS и предназначены для включения в систему автоматизированного проектирования "CUT-CAD" для получения рационального плана нерегулярного прямоугольного раскроя и формирования Фигурного раскроя.

В четвертой главе дана методика включения разработанных алгоритмов для получения квазиоптимального плана негильотинного прямоугольного раскроя и для формирования фигурного раскроя в АСТП рас-кройно-заготовительного производства (РЗП); рассмотрены структура АСТП РЗП л подсистема раскроя, Функции АРК технолога заготовительного производства. . .

Разработанные программные средства включены в оптимизационное ядро комплекса программных средствеКПС) "СиТ-САО"для реиения задачи негильотинного прямоугольного раскроя, а также для формирования фигурного раскроя, что позволяет сократить расход материала от 27. до 157..

"CUT-CAD" имеет развитый интерфейс с пользователем, позволяющий формировать локальную базу данных раскройно-заготовительного производства, ' . .

Результатом реиения задачи негильотинного прямоугольного раскроя в КПС "CUT-CAD" является множество квазиоптимальных раскройных планов, которые могут храниться в локальной базе'данных. При этом технолог в режиме диалога кокет выбрать наиболее технологичную карту либо с це^вю последующей ее реализации "на конкретном оборудовании, либо использовать ее как первоначальный план для задачи фигурного раскроя (если решается задача фигурного раскроя) и далее с помощью средств "CUT-CAD" решать задачу фигурного раскроя, При решении задачи фигурного раскроя фигурные заготовки аппроксимируются прямоугольниками и предварительный расчет прямоугольного раскроя, с помощью разработанных алгоритмов, устанавливает оптимальный или близкий к нему порядок заготовок. Это позволяет избежать перебор порядка при формировании фигурного раскроя, что обеспечивает сокращение времени расчета в несколько раз с одновременным повышением коэффициента использования материала.

В прилояении представлены примеры полученных прямоугольных укладок, последовательность экранов' интерфейса с пользователем и акты о внедрении результатов предлагаемой работы,

Основные результаты работы,

1. Для реаения задачи негильотинного прямоугольного раскроя предложена аппроксимация прямоугольной укладки линейным раскроем, позволяющая свести поиск оптимальной прямоугольной укладки к поиск?) оптимального прямоугольнр-ориентрованного раскроя.

2. Разработана методика поиска локально оптимального прямоугольно-ориентированного линейного раскроя и предлонзно представ ление укладок с поыоцыо плоских графов.

3. Разработан модифицированный алгоритм построения плоской реализации графа укладки,позволяющий проводить анализ полученных прямоугольных укладок.

4. Созданы эффективные алгоритмы полиномиальной сложности для реивния задачи негильотинного прямоугольного раскроя.которуе вклвчантся в оптимизационное ядро НПС "СиТ-СПО" для поиска квазиои-тимальнйх прямоуголышх раскроев и формирования Фигурного раскроя.

5. Разработано программное обеспечение в составе оптимизационного ядра ИПС "СИТ-САБ" для ревения задачи негильотинного прямоугольного раскроя и формирования фигурного раскроя, которое позволяет экономить-материал от 22 до 152 в зависимости от количества и номенклатуры раскраиваемых заготовок.

Основные публикации по теме диссертации

1. Нухачева Э.Й.,Валеева А.Ф. К разработке базы данных САПР рационального раскроя// Применение ЭВМ в решении научно-технических и народно-хозяйственных задач:тез. докл. респ. конф.-9фа,Б'*ЧН СССР, 1985,с.95-93.

2. Нухачева З.А,, Николаева Н.А., Ибатуллина С.Н., Валеева А.Ф. Информационная система технологического проектирования "РАСКРОЙ" //Диалог-Человек-ЭВМ: тез. докл. нонф, -Свердловск,АН СССР,1989, с.50.

3. Нухачева З.А , Валеева А.Ф. Аппроксимационный подход к решению задачи нерегулярного прямоугольного раскроя/Автоиаткзациа проектирования в энергетике и электротехнике: Тез. докл. республиканской научно-технической конференции,- Иваново:113И, 1991, с.22-23

4. Бронштейн Е,М., Валеева А.Ф., Нухачева З.А. Линвйннй способ по-