автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование внештатных ситуаций при функционировании технологического оборудования в ГПС

I .' ч .*

ШНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЬ! И ТЕИШЧЕСКОЙ 1НХПИ'ШШ1 РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ Московский станкоинструментальный институт

На п|к!и,1х рукописи

УДК: 658.52.011.56.012.3.001.57(043. Э)

Бекмурзаов Вдадий Александрой1!

Моделирование внештатных ситуаций при Функционировании технологического оборудования в П1С

05.13.16. Применение вычислительной техники и математических иетодов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени Ста нкоинструмента льном институте

Научный руководитель:

инициалы««; оппоненты

доктор технических наук, профессор В.Г.Митрофанов

доктор технических наук, профессор А.Ф.Прохоров

кандидат физико-математических наук, доцент В.Ф. Шаров

Ьедуцее предприятие №1У

Зацита состоится"_"_1992 года в часов на

заседании специализированного совета при

Московском станкоинструментальнон институте по адресу: 103055, Москва Вадковский пер., д. За

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского станкоинструментального института за один месяц до защиты.

Авю[к;$ерат разослан "_"_1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук / С.Б.Егоров

Об^ая анракткрнстили рпСнпп.

АвХХЗ'ЬВОСХ?» Создание ГИБКИХ ¡Ц/ЧИЧЬПЛГЛЪНННИХ Г»1 ([НО является ОДНИМ ИЗ (»¡(»."ПСКТИНКМЧ !Ш||мн;|'мП(Й совершенствования современного производства. В ииг пг/ш-ч время прогресс в этой области связан с [и-иигичи ин^юрма 1нкн и вычислительной техники, которий позволил на ионом уровне решать многие мпросы управления техьолигическими и производственными процессами. С накоплением омыта эксплуатации 1Т1С задачи управления становятся не« более сложными. Резко возрастают требования к уровню координации работы оборудования.

Решение координационных задач возлагается »и см-теяу оперативно-производственного планирования.

Система оперативно-производственного планирнмкыя 111'.' позволяет при минимальном участии обслуяива»пг-гп пе|».шит производить переналадку оборудования, осуи,<."*тьить максимальную загрузку оборудования, получить пеоб->п лиыус> плановую, отчетную и справочную информации о работ« оборудования в реальном масштабе времени.

Одним из необходимых условий эффективного решения задач оперативно- производственного планирования является

квартальное или месячное планирование, учитьгва>м^ее заданную производительность, загрузку оборудования и обеспечинаш.»-е требуемое качество изделия.

Экономические показатели работы П1С существенно зависят от подробного графика изготовления продукции при квартальном или месячном планировании. Такой график подвергается в течение этого периода лила, незначительным кор(якти|оьгаы. Этот график позволяет оптимально организовать производственный процесс и наиболее эВДэктияии использовать ике>*,иеся материальные, технические и людские ресурсы.

Однако на практике установлено, что оптимчдм-.^к пооперационный или подетальный график на ялитилып.й ш-речл часто оказывается бесполезный.

Это связано с тем, что любое планирование исногиго предполагаемом течении будущего хода прои^волстьеши-го процесса, причем качество пртгноза снижается но увеличения длительности интервала (горизонта) планиуюьчния.

Кроме того, всевозможные непрогнозируем!*; отксонония ч-, идеального графика работы производства существенно (лииил экономические показатели работи тегнологмчесгогэ

чборуЛ'ПМНИЯ.

Н^прогночируеш*» отклонения в работе технологического оборудование могут Йтг выэванм внутренними и внешними причинами, такими как ВЫХОД из СТрОЯ основного или нгппиммтелыюго оборудования, нехватка режуцего инструмента, н)1'1<|111Ь11,лич'!Ский ¡»чмонт некоторых станков и т.п.; срывы с^о-он поставки заготовок, появление приоритетных заказов, тм»н»нм" ном^нклатурти обрабатываемых деталей.

При этом система управления П1С долима оперативно |ш с'тми! ионий порядок запуска деталей на обработку так, чтби чиономичшкая эффективность гибкого щмиэводства была илкгщмлытй.

11н[»'р,»счо1 пцжэводстненного расписания И1С является ¡рулпой нычислиюлмшй задачей, поэтому для большого числа илн1|11[и>иннио обрабатываемых разнотипных деталей ее точное |1>м1»'ни(! с помощью комбинаторных методов практически ш-постижимо.

'1ради1(манным методом обеспечения эффективности производственного процесса является создание страховых ¡а тс «»(материальны«, в рентные) и резервирование.

Опыт показывает, что для бесперебойной работы оборудовании необходимо иметь большие страховые запаси.

По ыи[« увеличения выпуска продукции это ведет к увеличении плоцаден, необходимых для складирования, и к увеличению незавершенного производства.

В коночной счете, создание страховых запасов становится не [¡инее слокний задачей, чем поддержание ритмичности работы технологического оборудования путём оптимального ш1<иш[ю1>а|шя.

Таким об{иэом, актуальной задачей в проммшгенности ншыетси создание систем управления производственными полраз делени-ши, обеспечиваищих высокую эксплуатационную гибкость, т.е. способность поддерживать стабильность своих г.ыкодиых характеристик при возникновении различного рода непрогнозируемых отклонений без ухудшения или с но иычигельнии ухудшением экономических показателей.

Щ>!'АШ!ТШ!__ысещ.'допация диссертации являются методы

илеттпчееиого моделирования эксплуатационной гибкости п[»)1Н1и1дстЕешшх систем, основанные на анализе динамики нотариальных потоков технологического оборудования в ШС.

Ноль раНгаты. Целью настоящей работы чпляытся шн'мионии производительности труда, сокращение времени простоя оборудования во внештатных ситуациях, уменьшение незавершенного производства.

Цель работы достигается на основе построения математической модели материального потока технологического оборудования ГПС в виде системы конечно-разностнмх уришений, позволяющих анализировать управляемость и устойчивость производственного процесса при возникновении непрогнозируемых отклонений.

Для достижения поставленной цели были сформули{*>ваны и решены следующие задачи.

¡.Разработана математическая модель, описывающая линамнку потока деталей ГПС.

2.Проведено идентифицирование параметров модели динамики потока деталей.

3. Осуществлено построение адаптивной математической модели на основе информации о материальном потоке.

4.Проанализированы условия перехода материального потока производственного процесса из одного состояния в другое.

5.Проведено исследование производственного процесса на устойчивость.

6. Разработано оптимальное управление работой технологического оборудования.

7. Разработан алгоритм корректировки графика работы оборудования при возникновении внештатных ситуаций.

Методы мсс ледова имя. Проведенные в работе теоретические исследования основывались на методах теории системной динамики, теории линейных систем, теории оптимального управления, теории оптимизации и методах вычислений.

Программная реализация осуществлена в среде Тиг1ю С на ЭВМ типа 1ВМ РС АТ.

Научная новизна работы заключается:

1. В использовании формального описания в виде системы конечно-разностпьк уравнений, заданных в пространстве состояний, для моделирования непрогнозируемых ситуаций в технологическом процессе.

2. В разработке единой математической модели, позволявшей отображать дипамику потока деталей в ШС.

3. В адаптивной корректировке параметров математической модели на основе новых данных о материальном потоке в ШС.

4. В формулировке критериев управляемости и достижимости для материальных потоков, представлении дискретной линейной моделью с двумя управляющими параметрами.

5. В разработке методики анализа внештатных ситуаций и в формировании нового оптимального графика работа технологического оборудования.

Практическая пенпость. Полученные научные результаты и разработанное в ходе диссертационной работы программное обеспечение реализованы в виде пакета программ, который используется в производстве.

Результатом работы является законченный комплекс программных средств для моделирования, идентификации, анализа и синтеза систем управления материальными потоками, предназначенный для широкого круга пользователей: инженеров, научных работников, студентов.

Программы используются при преподавании в учебных курсах: 'Теория систем", "Теория оптимального управления", "Специальные главы математики", "Системы автоматизированного проектирования" и рекомендуются студентам и аспирантам для решения конкретных задач по проектированию систем управления.

Аппрпбаппя работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Московском с та нкоинс трупе нта льно м институте, на международной конференции: СОМРСОНТРОЬ, Применение выч. техники в машиностроении, Братислава 1983г. Результаты диссертационной работы были использованы: на экспериментальном комбинате спортивных изделий "СПОРТ", в акционерном обществе открытого типа "ГРИМ", в международном центре развития малых предприятии ШБ, на малом государственном предприятии "ЭКОЛОШГ-АН РСФСР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура и обгеи диссертации. Диссертационная работа изложена на 101 страницах машинописного текста и состоит из пяти глав, библиографии (90 наименований) и приложения.

Ч

Содержанво работы

В первом глчво_исследуется традиционные методы,

используемые для профилактики непрогнозируемых отклонений в ходе производственного процесса. Обосновывается актуальность темы диссертационной работы и даётся постановка задачи исследования.

Во второй главе рассматривается представление материальных потоков технологических систем в виде динамических сетей.

Материальные потоки в ГПС тесно связаны с компоновочной структурой системы и являются её важной характеристикой. Наиболее простым способом определения штока является разложение его на составные элементы н выявление типичных маршрутов. На рис. I показаны типичные марарута корпусных деталей для металлорежущих станков в гибкой производственной системе ТУ-I (Фирма "Тоёта коки").

О'

* !

о

I ?

4

□ □ □ <|— □

I. Горизонтальный многоцелевой станок (фрезерование, расточка). 2.Горизонтальный многоцелевой станок (сверление и нарезание резьбы). 3.Пульт управления. 4.Буферные накопители деталей. ¿.Устройство загрузки (разгрузки). 6. Транспортер. 7.Страховой запас деталей (склад).

Рис.1 Гибкая производственная система 17-1.

Для анализа потоков удобно представить их в виде динамических сетей. Потоковые диаграммы, в которых применяются только переменные: уровни(состояния), темпы, входы и выходы, называются сетевыми.

Поток деталей в производственном процессе представляется в виде следующей динамической сети Н(Х,и,У), где X обозначает множество состояний, и-множество темпов, V-множеств о входов(выходов). Структурная схема динамической сети

£

гфиирдука на рис. 2.

V3(k) ■

Рис.2 Структурная • хема ШС TY-I

Поток деталей, проходящий через станок, претерпевает ряд изменений. Связано это прежде всего с технологическим процессом. С этими изменениями связаны переменные состояния н переменные темпы.

Для записи состояния модели используется система линейных конечно-разностных уравнений вида.

х| (k*I )т ] - Ах(кт)+Ви (кт )*Hv (кт) р (I)

где х(к)- п-мерный вектор состояния (уровень) потока, обозначают« количество деталей, которые ожидают последующую обработку в k-й момент времени;

u(k)- ш-мерный вектор характеристики интенсивностей (ско^и-тск), с которыми совершаются переходы элементов системы из состояния в состояние за единицу времени, темп обработки заготовок на станке в k-й момент времени;

Л - матрица размерности п»п, указывает на то, какая доля н.ч 11}»?дмдуняго состояния участвует в последующем процессе;

П - матрица размерности п*га, коэффициенты которой шжаишамт, какое количество заготовок необходимо вычесть из за на с oll;

Ч - матрица размерности п»п коэффициенты которой ггокззмвамт, какое количество заготовок необходимо добавить к запасам; '

v(k) - вектор размерности п; для потока деталек характеризует темп подвоза (отвоза) деталей;

т - отрезок времени, величина которого определяется рассматриваемым технологическим процессом. В работе принимается т=1.

Переменная v(k) макет быть внешней возмущающей переменной для системы. В том случае, когда значения переменных u,(k),j = I,2,... ,ю, заданы, а также в зависимости от

а„ 0 0 0 ~ЪП 0 ~

А= 0 а22 0 0 . в» Ь2, 0 , н-

0 0 а33 0 0 Ь,2

0 0 0 а44 0 Ь42

производственных задач, переменный У((к), 1=1,2,...,п, иогуг выполнять роль управляемых переменных. Таким образом, вектор* и(к) и у(к) могут меняться местами и выполнять роль как управления так и возмуи,енич в систеие.

Система конечно-разностных уравнений для производственной системы ТУ-1 имеет вид:

х, (к*1 )-а11х1 (к)+Ьпи! (к)+йиУ, (к)*Ь16УЬ(к),

$3Х1 ^ ' $2и2 (к 5 (к 5575 (к),

х^ (к+1 )»з44зц (к )+Ь42и2(к )*й44у4 (к )»Ь46уь (к), или

х( (к+1) |=Ах(к)*Ви(к)+Ну(к), где __

~~ )»,, 0 0 0 0 >1|(1 о и2г о о ь25 о

О О Г.33 О п35 О О О О 0 1|15

Потоки деталей в ГНС тесно связаны с технологическими маршрутами, поэтому структура матриц А,В,Н в математической модели для различных технологических маршрутов может быть различна.

Ряд внештатных ситуаций ведёт к изменению технологических маршрутов, что отображается изменением структуры матриц А,В,Н, элементы которых становятся функциями от переменной т. Используя методы идентификации, можно определить новые параметры матриц А,В,Н.

Всевозможные непрогнозируемые отклонения от графика работы производства: срывы сроков поставок материалов, поломки оборудования, различного рода сбои при освоении новой продукции, могут быть отображены различными способами запаздывания в математической модели.

Представление потока деталек уравнениями в пространстве состояний дает возможность использовать различные способы описания запаздывания.

Отклонения от графика поставок заготовок, премеша.лз задержки с подвозом отображаются в системе запаздыванием по входной переменной у (к).

х(к+1 )=Ах(к)+Ви(к)*Ну(к-<1). (2)

Отклонения от графика обработки заготовок, задержки, связанные с переналадкой или выходом из рабочего состояния станков, отображаются запаздыванием по входной пе^цешгой

u(k).

x(k»l bAx(kbBu(k-d)»Hv(k). (3)

Для производственной системы TT-I при запаздывания по переменной и (к) на один такт система уравнений примет вид: Х| (k>I )=а,,х, (кЬЬцХ^кЬЬцУ, х2(k»I) =а22х2(к )+Ь21х5 (к bh22v2 (к bh25v5 (к), Xj(k+I )=aj3x,(k)tbj2u2(k)+hjjVj(k)*hj5V5(k), x^dc» I )=a44X4(k)tb42u2(k)th44v4(k)+h4jv^(k), x5(k»I )=u( (k).

Запаздывание по переменным u(k) и v(k) включаются в матрицу Л и система в этом случае примет вид:

х(к*1 )=Л*х(к.ЬВи(к). ' (4)

В уравнении (4) матрица А* содержит запаздывание по не ременной v (к). При этом её размерность увеличивается по сравнению с размерностью матрицы А.

Идентификация параметров модели материального потока есть получение или уточнение по экспериментальным данным значений параметров математической модели потока, представленной с помощью того или иного математического аппарата.

Для материальных потоков, описанных в терминах пространства состояний, имеюцих вид уравнения (I), удобна идентификация по переменным u(k), v(k), x(k).

Наиболее эффективными методами идентификации для дискретных систем, описывахщих материальные потоки, являются такие методы, в которых неизвестные параметры модели определяются на основе того или иного способа решения системы уравнений. Среди этих методов можно выделить метод наименьших квадратов и регрессионный метод, основанный на методе наименьших квадратов.

В работе реализованы оба метода. Кроме того, рассмотрен случай использования нового измерения без повторения всего расчета полностью. Для «этого в работе применяется лемма об обращении матриц, и окончательная рекуррентная формула имеет вид:

F<iH>=FitPrw*:rU) lwrKfti)PrWíttl)*I l'1[str+1)-wf<rrt)Fjl,

М_,2.....n, (5)

где .

Fj» [Wr(k)«W(k)]"1W(k)Txl(k»i),

W(k) - совокупность измерений переменных u(k), v(k), x(k), w¿r+1) - совокупность новых измерений переменных u(k),

у(Ю, х(к).

Функция Рг вычисляется по формуле.

р^П^кЫШ)!'1.

Таким образом, при использовании г+1-го измерения можно

будет "уточнить" п векторов (1-1,2.....п) по

формуле(5). При этом, как видно из формулы, новые значения ^Уг+О складываются из определенных ранее Р, с линейным поправочным коэффициентом.

В технологическом процессе часто отсутствует непосредственный переход деталей с накопителя на накопитель, тогда при описании материальных потоков производственного процесса уравнениями состояния матрица А системы уравнений имеет диагональный вид. В этом случае, для идентификации параметров системы применяется метод последовательной линейной регрессии.

Тогда, уравнение для Ьго ребра динамической сети представляется в виде:

X}(к*I )=а*у/, (6)

где

\уМх^к),ии (к),и,2(к),уи (к).у12(к)1.

Вычисление зпачения вектора а* осуществляется таким образом,, чтобы оцепка аг минимизировала функционал

Здесь г обозначает число измерений.

В работе получено уравнение, связывание оценку аг рэкуррентпо с предыдущей оценкой а,^ по следухцей формуле.

ат=аг.1+Ргч^г[хг(к»1 )^ггаг.11, (7)

где

рг

Матрица Р,"1 обратима только при г>ш, где т размерность \^(к), г число рассматриваемых измерений.

Разработанные алгоритмы идентификации позволяют вычислять и корректировать параметры математической модели на основе новых данных о материальном потоке в ГПС. На рис.3 показаны результаты работы алгоритма в зависимости от начального значения с и от ошибок(при 7-м измерении). .

1.11,(1

е=11И'

6 Число измерен»«

с-10

Рис.3.Идентификация параметров по методу линейной

рег{юссии для ГПС ТУ-1. После идентификации и округления параметров производственной системы ТУ-1 матрицы А,В,Н примут вид:

"юоо" о" 0000 0 2

0100 . в- 3 0 . н- 0000-2 0

0010 0 -2 0000 2 0

0001 0 2 0000 0 -2

для

В_третьем глане рассматриваются динамика и поведение

производственных систем.

Строятся траектории полученных уравненнй, которые позволяют описывать динамику материальных потоков в ГПС. х

16 х х2(к)

12

О 4

Рис. 4. Траектории переменных в пространстве состояний для

ПК ТУ-1.

л

Пусть динамика материального потока производственной системы описывается уравнением (1). Предположим, что нуеется желаемый график работы оборудования, т.е. существует множество номинальных значений ^(к), uft(K), v,.(k). Они определяются наличными трудовыми ресурсами и технологическим оборудованием.

При этих значениях уравнение (П примет вид:

x^(KtI )"Ахл(к)*Вил(к)+Нул(к).

Однако различные непрогнозируемые отклонения поставок v(k) от планируемых приводят к тому, что реально уравнение имеет иной, "предполагаемый" вид

Xj,(k»I )«Axf (к)+Вир(к)+Нур(к).

На основе этих двух уравнений имеем

х(к+1 )*Ax(k)+Bu(k)+Hv(k), (8)

где

хы-х^ы-х^к), u(k)=uf(k)-uft(k), víkbvpíkí-v^k).

Если известна оценка для величины х(к), то возникает необходимость определения корректирующего воздействия и(к) или v(k), которое минимизирует ошибку х(к»1).

Для этого необходимо знать, обладает ли система свойством управляемости в смысле перевода из любого заданного состояния в любое другое заданное состояние. Это приводит к необходимости использования введенных Калманом понятий управляемости и наблюдаемости.

Поскольку переменные состояния x(i), i=I,2,...,k, обозначают количество деталей, ожидаюднх последующей обработки, под достижимость» (управляемостью) понимается получение заданных показателей не меньше, чем за к шагов, по каждой переменной состояния. Возможность получения заданных показателей за меньшее, чем к число шагов зависит от ранга матрицы В.

В том случае, когда переменные x(i), u(i), v(i), i-1,2, ...,k, обозначают отклонения от плановых показателей, тогда под достижимостью (управляемостью) понимается получение плановых показателей не меньше, чем за к магов.

В работе приведен ряд критериев управляемости, который можно использовать для анализа динамики материального потока, таких как:

ranklB АВ А2В... Aft 2В1-п,

где п-размерность пространства состояний. Если rariUB^m и rankA»n, то

гапкШ АВ А В... А* тВ|=п.

Б производственном процессе часто возникает ситуация, когда подвоз(отвоз) заготовок на накопители не связан с производительностью станков.

6 этом случае управляющие переменные и (к) и у(к) линейно независимы, а приведенные критерии управляемости (достижимости) для уравнения имеют другой вид.

Состояние х(к) линейной системы (1) управляемо (достижимо), тогда и только тогда, когда выполняется условие.

гапк[В Н АВ АН А2В А2Н...Аь2В Аь2Н|»п. (9)

Пусть гапкВ»т и гапкН=г, а строки матриц В и Н между собой независимы, тогда имеем следующее утверждение.

Состояние х(к) линейной системы (I) размерности п управляемо (достижимо), тогда и только тогда, когда выполняется условие.

гаик[В Н АВ АН А^ А2Н... АЬ'ЧВ АЛ"*Н1=п, (10)

где

Например, производственная система ТУ-1 управляема, т.к.

имеек:

гапкВ=2, гап№2 и гапк{В Н1=4.

Состояние х(к) линейной системы (I) размерности п управляемо (достижимо), тогда и только тогда, когда (п*п)-

мерная матрица Грама \У-0*(}Г является невырожденной.

Разяеры накопителей, страховых запасов физически ограничены Т.е. для вектора состояния х(Ю выполняется

условие х(к)1М, где МТ=(т1 ,т2,... ,ть)-вектор ограничений.

В этом случае переход из произвольного состояния х(0) в произвольное состояние х(к) осуществляется в пространстве состояний только внутри а-мерного куба.

Если условие х(к)<М выполняется при любом к=0,1,2.....п,

то показана возможность использования приведенные в работе критериев управляемости и достижимости.

В производственном процессе часто возникает необходимость создания страховых запасов комплектов деталей в определенном соотношении , например, на участке сборки.

Данный случай соответствует переходу из заданной области пространства состояний в заданную область меньшей размерности. Рассмотрим переход из точки х(0) а-мерного пространства в точку х(к) подпространства, имеющего

размерность 1<п. Это подпространство можно представить в виде у-Ст, где размерность вектора у равна I и матрица С имеет размерность 1»п. В этом случае необходимое и достаточное условие перехода за конечное время из точки 1(0) в точку х(к) имеет вид:

гапк1СтВ СТН СТАВ СТЛН. . .СТЛП'ЧВ СтАП"н]-1. (II)

Рассматривается вариант выхода из строя оборудования (станка). В этом случае теш обработки и(к) на этом оборудовании становится равным 0 и, следовательно, соответствующая переменная и|(к)-0. Данную ситуацию можно отобразить тем, что в матрице В ]-Й |-1,2,..,т, столбец становится равным нулю. В дальнейшем, для анализа используются приведенные критерии управляемости (достижимости).

Переход системы из некоторого состояния 1(0) в некоторое состояние 1(к1), где к] момент отказа оборудования, можно представить' следующим образом. В пространстве состояний осуществляется переход из некоторой точки х(0) в точку х(к2), находящуюся в подпространстве Р с размерностью т<п, здесь п-т определяет число зафиксированных переменных состояния 3| (к). Дальнейшее перемещение' системы осуществляется в подпространстве Р.

В производственных системах, описываемых уравнениями состояния, тлеются ограничения на управляемые переменные и(к) и у(к), так например, производительность станков ограничена. Пусть имеется система 1(к»1)-Ах(к)»В*и*(к)*Н*у*(к),

а также тлеются ограничения на управляемые параметры ||и'(к)ЦМ, | |иж(к) ии.

Физическая система не всегда переводится .из произвольного состояния в заданное состояние при условях ограничений, даже, если условие управляемости выполняется.

Пусть дана управляемая система. Тогда существуют невырожденные диагональные матрицы К и Ь, которые указывают на зависимость между старой и'(к); Чг'(к) и. новой и(к), у(к) производительностью оборудования. " '

иМк)-Ки(к) и у'(к)-Ьу(к), (12)

такие, что система

х(к*1)-Ах(кЬВи(кММк),

где В-В*К и Н-Н'Ь, будет также управляемой.

Матрицы К и I позволяют определить нужную ицлизюдительность оборудования для того, чтобы система была переводима из одного состояния в другое за конечное время.

В четвертой главе рассматривается устойчивость материального потока технологических систем.

Поскольку переменные состояния х(к) материального потока обозначают количество деталей, ожидающих последующей обработки, то иод устойчивостью потока понимается отсутствие в производственном процессе переполнения накопителей.

Существует ряд различных способов для проверки дискретных систем на устойчивость. В работе рассматриваются те способы, которое лучше всего подходят для анализа материальных потоков технологических систем.

Система, описываемая уравнением (I), называется свободной, если u(l;)=v(k)=0 для всех значении к.

Система находится в состоянии равновесии, если XftkbAXjik) для всех значений к.

Если переменные ':(к) обозначают количество деталей, окидахдих последующей обработки, то для состояния равновесия имеем х,-(к)*0. Если переменные х(к) обозначают разность между плановыми и реальными состояниями, то состояние равновесия Xf(k) есть планируемые состояния.

Состояние равновесия хс(к) называется устойчивым по Ляпунову, если при малых отклонениях от состояния равновесия, решение остается в окрестности состояния равновесия.

Состояние равновесия асимптотически устойчиво, если

Umlx(k)-^ (к)]-0.

Это определение означает, что со Бременем уменьшается отклонение от графика работы оборудования.

Линейная система (I) ЫЬО-устойчива, если реакция на каждую ограниченную входную переменную |u(k)|im|<«> или |v(k)|<m2<<» будет также ограниченной выходной переменной |у(к)|<М<с°. Здесьт^п^иМ - константы.

Пусть y(k)=Cx(k), тогда имеем:

| у (к) МСх(к) | < |САкх(0) Ммс I.

где BIBO- (bounded-input-bounded-output)-ограниченный вход-ограиичешшм выход.

При этом получаем, что материальный поток, представленный ь виде стационарной линейной системы, на вход которой

подается ограниченный по величине сигнал, устойчива тогда и только тогда, когда все корнн характеристического многочлена лежат внутри окружности с радиусом, рчвнмм единице, в комплексной плоскости и центром в начале координат.

В примере с производственной системой ТТ-1 собственные значения матрицы А равны единице. Система устойчива, т.к. [х(к) |х(0) | при и(кЬу(к)=0. Если на ее вход поступают значения и(к)-у(к)»1, то амплитуда переменной состояния х(к) растет и система В1ВО-неустойчива рис.4..

Для анализа материальных потоков полезна ело луща я теорема.

Теорема. Если система асимптотически устойчива, то она также В1ВО-устойчива.

Для производственных систем под е-окрестностью понимается максимальный размер страховых запасов или максимально возможное отклонение от плановых показателей.

Другими словами, в случае устойчивых производственных систем пебольшие изменения начального состояния оказывают пренебрежительно малое влияние на появление системы.

Для определения устойчивости мате риз ль пых потоков в ГПС используются следующие методы:

1.Методы, основанные на свойствах характеристического многочлена.

2. Методы, ис польз ущие свойства элементов матрицы динамики системы.

3.Метод Ляпунова.

В том случае, если матрица динамики системы содержит параметры, то лучше всего использовать метода, основанные на свойствах характеристического многочлена. В работе используется метод Джури.

Если матрица динамики системы имеет диагональный вид, то тогда удобнее пользоваться методам основанным на норме матрицы.

Свободные системы и системы с ограниченным входои-выходом можно рассматривать как "близкие" линейнъч системы. Для исследования "близких" линейных систем удобнее использовать метод Ляпунова. Для построения функции Ляпунова используется уравнение Ляпунова. Решение уравнения Ляпунова ищется в виде ■ряда. При этом используется тот факт, что если система устойчива, то ряд сходится.

Рассмотрим свободную дискретную систему:

х(Ы ЬАх(к).

Функция Ляпунова для такой системы имеет вид:

У-хгРх,

уравнение Ляпунова принимает вид:

Р-АТРА=С|.

Для полученного уравнения Ляпунова решение ищется в виде:

к+1)-Р.*(А^

где аа)-2к, Р^-О-

Ряд внештатных ситуаций в производственном процессе можно отобразить запаздыванием в системе. Введя дополнительные переменные состояния, получим новую матрицу динамики системы. В дальнейшем, можно использовать один из рассмотренных критериев устойчивости.

В пятой главе рассматривается оптимальное управление материальным потоком технологических систем в случае незапланируемой работы оборудования. Строится оптимально-откорректированный график работы оборудования с минимальным отклонением от плана и при минимальном наращивании мощности оборудования.

Предположим, что имеется желаемый график работы оборудования, т. е. существует множество номинальных значений х^к), ий(к), Уь(к), или желательная траектория исследуемой системы.

Из-за всевозможных отклонений поставок у(к) реальная траектория ыокет отличаться от планируемой. Вот поэтому необходимо,, чтобы выходные координаты исследуемой системы стремились бы к некоторым заданным траекториям. Задачи такого вида называются задачами о слежении.

Поэтому,- оказывается целесообразной следущая формулировка оптимизационной задачи: необходимо

минимизировать функционал по переменным х(к) и и (к),

1=1||х(к()-ха(к1) ||1 2 \ ||х(к)-хп(к) ||^||и(к)-ип(к)||^

1 -.(13)

где нормы в функционале (13) имеют вид 2 Т

2 Т

|х(к{)-хп(кг)|(3- [х(к{)-хп(кг)| <3 [х(к,)-хп(кг)|,

||u(kf)-un(kf)|J- [u(kf)-un(kf)]TR [u(kf)-un(kf)],

кг-конечное( финишное) время.

Задача минимизации функционала (13) при динамическом ограничении (I) является задачей дискретного оптимального управления. Для ее решения используется дискретный принцип максимума.

В результате, получена расчетная формула: u(k)--PqR"IBTP(k+I )Ax(k)+Pq(utt-R"IBT(P(k+I)Hv(k)-te(k»I) 1)

(14)

где

e(k)--Qia(k)»ATP(k*I)PqBun(k)-ATP(ktI)PqBR-IBTe(k^I)^

+ATP(k+l)PqHv(k)*Ie(k + I), (15)

где Рч-11+BR-JßTPik+I) l"1.

Нахождение оптимального управления требует решения матричного уравнения Риккати, которое можно представить в следующем виде:

p(k)-q+atp(k*i) ( bBR_IBTP(k* I) Г^А-

-Q^ATiP':l(k+l)>BR-:lBT]"IA. (16)

Решение уравнения Риккати осуществляется в обратном времени от к-кг до к-к0. Граничные условия для уравнений (15) (16) определяется из уравнения трансверсальности: P(kf)-S, e(kf)-Sin(kf).

Из изложенного следует, что задача формирования оптимальной следящей системы состоит из двух частей, одна из которых связана с решением уравнения Риккати, а другая с направляющей функцией е(к), которая зависит от требуетди значений х0(к) и и0(к), возмущений v(k) и коэффициентов матриц системы А,В,Н.

Следует отметить, что решение уравнения Риккати относительно Р(к) зависит только от матриц, описывающих анализируемую систему, и поэтому его можно решить заранее. Следовательно, матрицу коэффициентов усиления G(k) также южно вычислить ранее и сохранять в памяти ЭВМ.

Для производственной системы ГУ-I при условш A-I, В-1, Н*0 динамика систеш будет описываться следующим уравнением: i(k*l)-i(kbu(k).

Найдем оптимальное управление u(k), мннимизируещее критерий качества:

критерии качества:

Iев

Результата расчетов показаны на рис.5.

|С!\ Э,Р п

О 7 6 5 4

3 \ Р(Ю-к)

О

1

3

4

5

к

Рис.5.Графики коэффициентов Риккати при различных значениях 2.

Очень часто возникает необходимость перевода технологического процесса из состояния х(к„) в состояние х(1ц) за минимальное время. Поскольку производительность оборудования ограничена, управление подчиняется ограничению

|и(к) ЦМ, |у(к)|1М.

Решение этой задачи на быстродействие осуществляется мо711 дом последовательных итераций.

Рассмотрим Ьереход системы из некоторого произвольного состояния х(0) в состояние х(к)-0.

Тогда, при х(к)-0 из формулы(1) получим

А1'х(0Ь]£АкЧ-ЧВииЫМО]*0. (17)

р!

Перенося второе слагаемое вправо и умножая обе части уравнения слева на матрицу А'к, получаем -х(0ЫЗаиа)^у(О1,

к к где Бц-Еа-^В. З^^А"' 'Н.

4*1 ¿»1

Можно заметить, что если имеет место соотношение (ю*г)*к>п,

к

то мнннхчльнов число Питов, за которое процесс мояет быть переведён в состояние равновесия, (мвно отношении п/(nur).

Вирэхение для х(0) прелставнмо п пиле

~ и(0) ~ v(0)

у(к-1)

В правой части последнего пиракопия размерногти п»п, поскольку она составлена из

стоит матриц

(18)

матрица

>1«

и S

размерности п«ш и п«г соответственно,

(1=1,2_____к)

(т«г )»к=п.

Совершая матричные преобразования, формулу к виду: и (0)

7(0)

=Gx(0),

приведем последнею

(19)

и(к-1)

где матрица 0 размерности шп имеет вил >4

й^-З'1» ...

.V

Элементами матрицы в являются матрицы (¡-1,2___к)

размерности (гтнгЬп. Отсюда можно найти вектора управляющих воздействий в виде

(20)

Ги(0)1 „ ... Ги(к-1)"1

Lv(0)}G'x(0)' v(k-I)}

(21)

=0кх(0).

Матрицы обратной связи Gj ищутся по обратной матрице 5"1 путём разделения её на блоки. Матрица образуется из первых т+г строк матрицы 5"', матрица С2 образуется из следух^нх пнг строк и т.д. ,а матрица из ¡-й группы т+г строк матрицы Б"'.

Если х(0) - начальное состояние процесса," из которого он переводится в состояние равновесия за к периодов, то из состояния х(1) он может быть переведён в состояние равновесия за к-1 периодов. Тогда, имеем:

х(к)=А1с-|х(1 )*Ак-1"ЧЬииЬНу 0)1=0. Отсюда получим: -х(1 )=[з11и(1)+з2^(1)1.

Так как и(к)-0 и у(к)-0, то последнюю формулу можно

записать в виде

иа Г и(1)

V(Г) V ( I )

, или

и (к) и(к)

у(к) ¥(к)

где матрица б определяется ранее введенным выражением. Отсюда следует,что и(1)-0[Х(1).

Аналогичным образом показывается, что и(2)*б|Х(2), и (к )-01х(к).

Последними выражениями определяется заков управления процесром, оптимальный по быстродействию. Матрица С1 в этих выражениях есть матрица обратной связи при оптимальном управлении.

Полученные уравнения показывают, что управляйте воздействия являются функциями переменных х,.

Если выполняется условие. п«(пиг).к«р, где р'(т«г), то минимальное число шагов будет равно к+1. Вычисление матрицы С и матрицы обратной связи 01, аналогично описанному ранее.

Оби,ше выводы щ результаты работы.

(.Для описания динамики и анализа свойств материальных потоков в ЛПС является удобным использование системы конечно-раз нос Т1{ьс{ уравнений в пространстве состояний.

2.Идентификация параметров на основе алгоритмов, использукмдх метод наименьших квадратов, позволяет адаптивно корректировать математическую модель.

3.Для анализа материальных потоков в [ПС следует использовать модифицнрэьааные критерии управляемости и достижимости.

4.При исследовании устойчивости производственного процесса целесообразно использовать методы, основанные на анализе свойств коэффициентов матрицы динамики системы.

5. Определена^ в корректировку оптимального графика работы технологического оборудования следует осуществлять на основе

квадратичного критерия качества.

6.Для оптимального перехода из внештатного состояния в заданное состояние следует использовать разработанный алгоритм оптимального по быстродействию управления.

7. Разработанные методы моделирования отклонений от графика работы технологического оборудования позволяют выдавать рекомендации по оптимальной эксплуатации этим оборудованием.

Основные положения лиссертадли опубликованы в следующих работах:

1. В. А. Бекмурзаев, А. Ф. Колчин, "Вопросы координации и управления автоматизированным производством", СОМРСОИТРОЬ, Применение выч. техники в мвшиностроении, Братислава, 1315.09.83, т. 2.

2. В. А. Бекмурзаев, И.А.Леонов, Е.А.Петров, "Вопросы управления гибким автоматизированным производством", Проблемы автоматизации проектирования и изготовления в машиностроении, Сб. научных трудов, М.Мосстанкин, 1983 г.

3. В.А.Бекмурзаев, "Методы оптимизации", Учебное пособие, М.Мосстанкин, 1990 г.

4. В.А.Бекмурзаев, "Моделирование материальных потоков в ГАП с использованием переменных состояния", Тезисы доклада, Республиканская научно-практическая конференция "САПР технологической и конструкторской подготовки пр-ва в машиностроении", Харьков, ХПИ, 1990 г.

5. В. А. Бекмурзаев, К. Г. Адамия, "Представление материальных потоков уравнениями в пространстве состояний. Тезисы доклада, Научно-практическая конференция "Вопросы обеспечения машиностроительных производств", Пенза, ППИ, 1992 г.

3«к 120 Тир <00