автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование процессов деформирования металлов в условиях неопределенности параметров

,: л,,

1 о ФЕВ 1998

Па правах рукописи

ФЕДОСЕЕВ СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математически* методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь -1997

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование систем и процессов» Пермского государственного технического университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор П.В. Трусов

доктор физико-математических наук, профессор М.Б. Гитман

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Ташкинов

доктор технических наук, профессор В.А. Елтышев

Ведущая организация Институт механики сплошных сред

УрО РАН

Защита состоится « 10 » 1998 года в "гу^часов на

заседании диссертационного совета К063.66.07 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, д. 29а, (ауд. 423).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан « Г» 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент ___

С.Г. Николаев

//U6&-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность: Для выполнения современных требований, предъявляемых к качеству изделий в машиностроении, необходимы новые подходы и методы интенсификации и оптимизации процессов обработки материалов. Один из возможных путей - это математическое моделирование процессов пластического формоизменения, позволяющих заменить дорогостоящую и долговременную процедуру экспериментальной отладки технологических процессов экономически более выгодными численными экспериментами на ЭВМ.

Кроме получения экономического эффекта, моделирование на ЭВМ дает возможность более широко и глубоко исследовать влияние различных параметров на точность и прочностные характеристики деталей.

Моделированию процессов пластического деформирования металлов посвящены работы A.A. Ильюшина, Г.Я. Гуна, В.Г. Зубчанинова, В-Л-Колмогорова, A.C. Кравчука, Ю.И. Няшина, Б.Е. Победри, A.A. Поздеева, A.A. Рогового, П.В. Трусова, ИЕ. Трояновского и других отечественных и зарубежных авторов. Однако в указанных работах параметры рассматриваемых процессов как правило полагаются детерминированными и практически никак не учитывается тот факт, что большинство реальных процессов обработки материалов характеризуются случайным разбросом параметров.

Особенно важно учитывать возможный случайный разброс параметров при поиске рациональных режимов процессов пластического формоизменения, так как без учета разброса параметров найденное решение может оказаться не вполне адекватным.

Решению оптимизационных задач в условиях стохастического распределения параметров посвящены работы М. Аоки, В.А. Вознесенского, Ю.М. Ермольева, H.H. Красовского, P.JI. Страгоновича, Э.М. Хазена, Д Б. Юдина и других ученых. Однако в большинстве рассматриваемых работ не исследуются процессы пластического формоизменения, поэтому постановка и разработка подходов и методов решения задач пластического деформирования при стохастическом распределении параметров являются актуальными. Особенно важной является задача выбора рациональных режимов пластического деформирования материалов при стохастическом распределении исходных характеристик. С решением этой задачи связано несколько проблем.

Первая проблема порождается отсутствием в ряде случаев информации о законах распределения некоторых параметров. Для решения этой проблемы могут быть использованы специальные алгоритмы адаптации и задача оптимизации в условиях неопределенности параметров может быть рассмотрена с позиций теории адаптивного управления.

Различные вопросы адаптивного управления исследуются в работах А.Г. Александрова, Б.М. Готлиба, A.A. Красовского, А.Г. Кунцевича, В.Н. Фомина, Я.З. Цылкина, В.А. Якубовича и других.

Вторая проблема заключается в значительным увеличение времени счета. Для ее преодоления необходимо создание высокоэффективных алгоритмов, реализуемых на ЭВМ.

Цели работы:

а) разработка методики математического моделирования процессов обработки материалов при учете случайного разброса параметров этих процессов;

6) постановка и решение некоторых задач стохастической оптимизации с целью получения рациональных режимов процессов пластического деформирования, обеспечивающих при случайном разбросе параметров требуемые показатели качества.

Исходя из поставленных целей, можно сформулировать следующие задачи исследования:

1) постановка и решение задач доопределения неизвестных характеристик параметров управления, являющихся случайными величинами. По существу, задача сводится к определению плотности распределения некоторых параметров, характеризующих процесс пластического деформирования, при известных законах распределения остальных параметров;

2) построение эффективных алгоритмов решения краевых задач упругопластичности;

3) построение целевых функций в задачах стохастической оптимизации.

Научная новизна работы состоит в том, что:

а) предложены методы построения целевых функций, используемых при стохастической оптимизации процессов пластического деформирования;

б) предложены методики определения плотности распределения одного из исходных параметров при известных законах распределения остальных исходных параметров и решения;

в) поставлена и решена задача стохастической оптимизации режимов процессов осадки, волочения и точной штамповки;

г) на основе метода конечных элементов разработана методика и эффективные алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) в процессах пластического деформирования, позволяющие исследовать изменение НДС металла при учете случайного разброса исходных параметров.

Достоверность основных научных положений и результатов подтверждается их удовлетворительным соответствием с решениями, полученными другими авторами, и известными экспериментальными данными.

Практическая значимость: Разработана универсальная методика для постановки и решения класса задач стохастической оптимизации процессов пластического деформирования материалов. Полученные в работе результаты могут быть использованы для моделирования различных технологических процессов при учете случайного разброса исходных параметров.

Результаты решения конкретных задач внедрены в АО «Пермская компания нефтяного машиностроения».

На защиту выносятся совокупность теоретических разработок, состоящих из постановок задач стохастической оптимизации и задач доопределения неизвестных характеристик параметров процессов, а также частные решения конкретных задач пластического деформирования.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на XVII Международном семинаре по устойчивости стохастических моделей (г. Казань, 1995 г.), на Международной конференции по оптимизации конечноэлементньгх аппроксимаций (г. С.-Петербург, 1995 г.), на X,

XI национальных (I, II международных) зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 1995 г., 1997 г.), на Международной конференции «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике» (г. Ижевск, 1996 г.) и на Всероссийских конференциях по математическому моделированию систем и процессов (г. Пермь, 1994 г., 1995 г., 1996 г.).

Публикации Результаты работы освещены в 8 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержит 28 рисунков и 15 таблиц. В приложении приведена копия акта внедрения, подтверждающая практическую ценность работы. Объем диссертации составляет 151 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, используемые методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы. Приводятся основные положения, выносимые на защиту, и краткое содержание всех глав.

В первой главе представлен обзор литературы, посвященной проблемам оптимизации в условиях неопределенности.

Приведена классификация задач стохастической оптимизации (ЗСО), сформулирована математическая постановка ЗСО.

Пусть (0,0, Р) - исходное вероятностное пространство; П - множество событий, на которых определена вероятность Р, й образует а-алгебру событий, <а бП - элементарное событие, которое представляет собой соответствующий процесс пластического деформирования при фиксированных значениях всех исходных параметров, т.е. а = со (А. у), Ь еВ, у еР . Здесь В и V - совокупность параметров управления и состояния, соответственно.

Пусть даны некоторые случайные функции /у(х(<а),ю), veO,т, определяющие решение и граничные условия задачи. Вектор-функция х(ш) покомпонентно измерима относительно С. В качестве критерия оптимизации (целевой функции) рассмотрим функционал ^{х(ш),<в}.

Теперь общая постановка исходной ЗСО формулируется как задача поиска О-измеримой вектор-функции х(ю), минимизирующей функционал Р {х{ш),(о} при некоторых ограничениях типа равенств и неравенств. Ограничения типа равенств - это уравнения, описывающие краевую задачу процесса деформирования металла; ограничения типа неравенств - это, как правило, интервалы изменения параметров управления и состояния.

В качестве целевой функции для различных моделей может быть использовано:

- математическое ожидание некоторой функции от решения (или самого решения) - М-модель;

- дисперсия некоторой функции от решения (или самого решения) - О-

модель;

- вероятность попадания решения (или функции от решения) в некоторую, вообще говоря, случайную область - Р-модель;

- минимальное (максимальное) значение некоторой функции от решения -ММ-модель;

- некоторая функция от решения (или само решение) - А-модель.

На практике также широко используются линейные комбинации этих моделей с различными весовыми коэффициентами. Кроме такого подхода к построению целевой функции в работе рассматриваются еще два. В качестве целевой функции используются нечеткое множество и случайная величина.

Под нечетким множеством А на множестве U (U - множество элементов в обычном смысле) понимается совокупность пар вида (u,\ij{uf), где и ell, а \ij(.U [0,l] - отображение множества U в единичный отрезок [0,l], называемое функцией принадлежности нечеткого множества А; ц^ (и) = 1 означает полную принадлежность элемента и множеству U, а Ил(и) = О означает, что элемент и множеству U не принадлежит. Если U ч R, то нечеткое множество называется нечетким числом.

Если нечеткое множество А представить как случайную величину, определенную на множестве R, то в качестве функции принадлежности можно выбрать плотность распределения или функцию распределения этой случайной величины.

Для решения ЗСО в представленной постановке необходимо определить процедуру сравнения нечетких чисел. Эта процедура основана на введении четкой функции от нечетких аргументов (индекса ранжирования).

Индекс ранжирования - это процедура вычисления некоторой четкой функции Н(Л,В) от нечетких аргументов А и В. Значение индекса ранжирования для конкретной пары нечетких аргументов дает основание для решения вопроса о том, какое из двух чисел меньше.

Введенные индексы ранжирования могут быть дискретными, если они сравнивают между собой четкие значения соответствующих нечетких чисел, выбранные по некоторому определенному алгоритму, например Hi(A,B), который оперирует с элементами нечетких чисел, обладающими максимальными значениями функции принадлежности. Индексы, учитывающие при сравнении весь спектр распределения нечетких чисел, называются интегральными, например который учитывает вид функций распределения нечетких чисел. В

работе также используется специальный индекс ранжирования я{аг

позволяющий сравнивать нечеткие числа, компонентами которых могут быть различные физические величины.

Вторая глава посвящена постановкам и методам решения краевых задач пластического формоизменения.

При решении ЗСО в качестве ограничений типа равенств выступают уравнения, описывающие краевую задачу пластического деформирования металлов. Краевая задача упругопластичности в общем виде формулируегся следующим образом.

Определить поля перемещений, напряжений и деформаций, удовлетворяющие следующей системе уравнений:

уравнению равновесия У-а + Г = 0, V* еУ; геометрическим соотношениям

+ 0 = УхеУ-

определяющим соотношениям

сЬ = ПЫе, V* еУ\

начальным условиям

а(ж,0) = ог°(х), у(*,0) = у°(ж)> Ух еУ;

и фаничным условиям

у(х,/)=у*(х), Ух е^у;

п-о(х,г) = р*, Ух ;

Здесь а , ск, Ь - тензоры напряжений, приращений деформаций и деформации скорости; П - тензор четвертого ранга, задающий конкретный вид определяющих соотношений в зависимости от принятой теории упругопластнчности; Г - вектор массовых сил; и, у - векторы перемещения и скорости; р* - вектор поверхностных нагрузок; - поверхность, на которой заданы кинематические граничные условия; - поверхность, на которой заданы статические граничные условия; V - объем, занимаемый телом. Начальные условия должны удовлетворять приведенной системе уравнений и быть согласованы с граничными условиями.

Сформулированная задача упругопластнчности в общем случае аналитического решения не имеет, поэтому при исследовании реальных задач, как правило, решение получают с помощью численных методов.

С целью построения эффективных алгоритмов, легко реализуемых на ЭВМ, в работе были использованы метод конечных элементов (МКЭ) и метод верхней оценки (МВО).

В этой главе рассмотрены результаты решения краевых задач для процессов осадки сплошного цилиндра, волочения трубы и точной штамповки иш-щевого вала (рис. 1-3),

Г'* 1 Г

Р

1 5 / 1

Рис. 1. Схема процесса осадки

Рис. 2. Схема процесса волочения трубы

Задача осадки (рис. 1) решается с помощью МВО в сочетании с МКЭ. Задача волочение трубы (рис. 2) сводится к задаче обобщенного плоского течения. Для решения задачи точной штамповки шлицевого вала (рис. 3) также использовался МВО.

В третьей главе приведены решения ЗСО для процессов осадки сплошного цилиндра, волочения трубы и точной штамповки шлицевого вала.

Рассматривается решение ЗСО для процесса холодной осадки цилиндрического образца диаметром 100 мм и высотой 80 мм (сталь 12Х5МА). Осадка осуществлялась на 10 %.

Для исследуемого процесса считалось, что необходимо получить форму боковой поверхности в виде совокупности двух усеченных конусов, состыкованных по большему основанию по середине высоты цилиндра. При этом из условия несжимаемости материала было получено уравнение образующей боковой поверхности: у - -10,756* + 595,312 (мм); отсчет ведется от большего основания конуса.

Степень близости получаемой боковой поверхности и заданной определяется отклонением

" I *1 ¿=1

где п - количество узлов конечноэлементнон сетки, расположенных на боковой поверхности; х^ - абсцисса узла конечноэлементной сетки; -х\ -абсцисса точки заданной прямой, ордината которой совпадает с ординатой соответствующего узла конечно-элементной сетки.

Стохастическими параметрами в задаче осадки считались сопротивление пластической деформации о^ и коэффициент трения Зибеля /г. Анализ распределений перечисленных случайных величин показывает, что они чаще всего распределены по нормальному закону.

Таким образом, ЗСО для процесса осадки сплошного цилиндра формулируется следующим образом: найти вектор управления х = (ст5,/г),

обеспечивающий минимум целевой функции F0 = при ограничениях типа

равенств и неравенств. Ограничения типа равенств представляют собой уравнения, описывающие краевую задачу осадки сплошного цилиндра.

Для проведения расчетов были использованы следующие ограничения:

<3; - М(тс3, 15 МПа), та5 е[400, 560] МПа;

/г ~ Ы(т/г% 0,03), от/, е[0,09; 0,4].

Здесь тех и т/г - математические ожидания соответственно сопротивления пластической деформации о5 и коэффициента трения /г. Для решения задачи оптимизации использовался метод Нелдера-Мида.

Характеристиками (целевыми функциями) для задачи осадки были:

Я[ - математическое ожидание Д; а2 - среднее квадратическое отклонение Д; а3 - вероятность того, что Д не превысит некоторое наперед заданное значение (4,6 мм); а4 - максимальное значение Д по всей длине образующей боковой поверхности.

Решение задачи о выборе оптимального режима осадки при различных подходах к построению целевой функции позволило получить следующие результаты.

1. Целевая функция - отдельно взятая модель:

А-модель (детерминированный аналог с а5 = та5 и /2 = т/г): та1 = 400,0 МПа; м/г =0,159;

М-модель: та3 = 400,0 МПа; т/г = 0,183;

О-модель: /жт4 = 486,6 МПа; т/г = 0,243;

Р-модель: то15 = 400,0МПа; т/г = 0,212;

ММ-модель: тах = 412,8 МПа; т/г = 0,249.

2. Целевая функция представляет собой линейную комбинацию целевых функций для отдельно взятых моделей с коэффициентами значимости Ц[ = 0,8; И2 = 0,5; Из = 0,3; Ц4 = 0,7 для в^ а2, а3у а^ соответственно. При этом был получен режим: тс= 411,7 МПа; т/г = 0,213.

3. Целевая функция - нечеткое множество А со степенями принадлежности Р1 = 0,8; = 0,5; р.3 = 0,3; щ = 0,7 для а^а^а^а^ соответственно. Для сравнения использовался индекс Н^А.В). Был получен режим: тс, = 400,0МПа; т/2 =0,183,

4. Целевая функция - нечеткое множество Аг со степенями принадлежности Ц] = 0,8; ц2 = 0,5; ц3 = 0,3; щ = 0,7 для значений

Л3, а][, где совпадает с а;; совпадает с а^; а^ - дисперсия отклонения, 03 - вероятность превышения отклонением значения 4,6 мм. Для сравнения использовал индекс н\аг

При этом был получен режим: = 410,3 МПа; т}2 - 0,227.

5. Целевая функция аналогична целевой функции, определенной в пункт г 3 Для сравнения использован индекс Н$(А,В).

Для значений функции принадлежности щ = 0,8; Иг = 0,5; ц3 = 0,3; щ = 0,7 был получен режим: яю1 = 404,6 МПа; т/г = 0,186.

6. Целевая функция - случайная величина А, гистограмма распределения которой определяется гистограммами стохастических исходных параметров (о^

и /г) Для сравнения использовался индекс Н\ (Л, В).

При этом был получен режим: ша1 = 400,0 МПа; т/г = 0,159.

7. Целевая функция аналогична целевой функции, определенной в п. 6. Для сравнения использован индекс Н$(А,В).

При этом был получен режим: тах = 400,0 МПа; т/2 = 0,159.

Сравнивая решения, полученные в пп. 6 и 7, можно сделать вывод о том, что результаты практически совпадают. Это связано с тем, что в исследуемом случае при нормальном распределении о, и /г функция плотности распределения решения представляет собой функцию с ярко выраженным максимумом и достаточно большим эксцессом. В этом случае результат, полученный при применении инаехса Н${А,В), закономерен.

8. Целевая функция - критерий хи-квадрат, проверяющий гипотезу о нормальном распределении решения. В данном случае не просто сравниваются получаемые в процессе оптимизации случайные величины Л, и , а сначала

определяются для А, и Л|+1 значения критерия хи-квадрат и затем уже %} и

Х^ сравниваются между собой.

При этом был получен режим: та1 - 439,1 МПа; т/2 = 0,284, а X2 =0.154.

Полученное значение позволяет сделать вывод о том, что найденное управление обеспечивает приемлемость выдвинутой гипотезы о нормальном распределении решения с уровнем значимости а = 0,9.

На основании приведенных выше результатов можно сделать следующие выводы.

1) Решение ЗСО существенно зависит от вида целевой функции.

2) При прочих равных условиях выбор индекса ранжирования во многом определяет получаемое решение ЗСО.

3) При прочих равных условиях и использовании одинаковых индексов ранжирования решение зависит от структуры нечеткого множества, которое используется в качестве целевой функции.

4) Использование того или иного критерия оптимальности при решении ЗСО зависит от реальных условий и целей исследования.

Так, например, с точки зрения технолога М-модель может бьпъ использована в том случае, когда целевой размер имеет значительный допуск и достаточно обеспечить максимально возможное приближение этого размера к середине поля допуска; й-модель может быть использована, когда поле допуска целевого размера мало.

В массовом и крупносерийном производстве есть возможность получать большие статистические выборки. В таких условиях может оказаться целесообразным применение Р-модели, так как эта модель по определению минимизирует вероятность отклонения решения от некоторого наперед заданного значения, а это значение при наличии большого количества экспериментальных данных можно оценить с высокой точностью. И наоборот, в единичном и мелкосерийном производстве ввиду отсутствия достаточного количества опытных данных целесообразно применить ММ-модель для получения лучшего из наихудших решений.

5) При сравнении нечетких чисел можно пользоваться как "детерминированными", так и интегральными индексами ранжирования. При этом следует помнить, что интегральные индексы позволяют учитывать весь диапазон изменения нечеткого числа, а "детерминированные" выделяют элементы с экстремальным в некотором смысле значением функции принадлежности.

В четвертой главе представлен обзор литературы, посвященной проблемам адаптивного управления.

Во многих случаях для решения ЗСО необходимо доопределять неизвестные характеристики параметров, которые описаны случайными величинами. Процесс доопределения можно рассматривать как адаптацию математической модели.

Схема моделирования и оптимизации процессов деформирования в условиях неопределенности параметров и неизвестности некоторых их характеристик может быть записана в терминах оптимальных адаптивных систем. В исследуемом классе задач элементами предполагаемой схемы адаптивной системы являются:

объект управления - математическая модель некоторого технологического процесса, который необходимо оптимизировать в соответствии с заданным критерием качества;

управляющее устройство - параметры управления и состояния ЗСО;

адаптор - алгоритм доопределения (оценивания) недостающей информации о параметрах управления и состояния;

управляющее устройство в цели обратной связи - алгоритм используемого метода оптимизации. <

В соответствии с принятыми терминами год основным контуром будем понимать один из методов решения ЗСО. Под контуром адаптации будем понимать процедуру доопределения неизвестных характеристик параметров процессов.

В рамках принятого в работе описания неопределенных параметров случайными величинами общая задача доопределения (ЗД) неизвестных распределений параметров может быть сформулирована следующим образом.

Пусть функциональная зависимость случайной величины V от системы случайных величин X = {Х\, ..., Х„) известна: У = <р(Х|, Х2.....Х„). Пусть

1 и / два непересекающиеся множества индексов, причем I\JI - {l, 2, ..,, и}. Пусть также известны распределения случайных величин Y и (i el). Найти плотность распределения случайных величин Хк (к si).

В данной работе рассматриваются процессы, для которых ЗД может быть сведена к частному случаю (ЧСЗД). Сформулируем ЧСЗД.

Пусть функциональная зависимость случайной величины Y от системы случайных величин X = (A'j, Xj, ..., -V,,) известна: Y = 9(^1, Xj, ..., Х„) . Известны также распределения случайных величин У и Х^, к - {L 2, ..., 1-1, i + l, л}. Считая случайные величины Х^ независимыми, найти плотность распределения случайной величины Xj.

В данной работе предлагается два метода численной оценки неизвестного распределения случайной величины Xj: расчетный метод и метод гипотез.

Основная идея расчетного метода заключается в том, чтобы получить распределение Xt расчетным путем, используя некоторые соотношения теории вероятностей и данные о распределениях Y и остальных компонент X. Этот метод применяется тогда, когда ничего не известно о распределении X,.

Основная идея метода гипотез состоит в том, что априори принимается гипотеза о виде неизвестного распределения Х{, а затем решается задача сигтимизации, минимизирующая отклонение получаемого распределения Y от заданного. Компонентами вектора управления в этом случае являются характеристики распределения X,. Этот метод применяется в случае, когда известен вид распределения Xit но неизвестны параметры этого распределения.

Рассмотрим эти методы подробнее на примере задачи осадки.

Пусть отклонение боковой поверхности получаемой детали от заданной Д является функцией от сопротивления пластической деформации as и коэффициента трения Зибеля /г

Д=ф(ол.Л).

где сj и /. имеют стохастический разброс. Прежде чем решать ЗСО, необходимо определить семейства распределений для as и fz и оценить их конкретные параметры. Распределение as может быть получено на основании лабораторных статистических исследований. Оценить распределение fz гораздо труднее в силу сложности экспериментов. Поэтому актуальной является задача поиска методов численной оценки распределения /, .

Для рассматриваемого примера расчетный метод состоит в следующем. Предполагается, что плотности распределения /д и /а соответственно для Д и а, известны, а также известен интервал разброса /г. Плотность распределения /с для коэффициента трения jz неизвестна, ее необходимо найти (здесь и далее для величин, относящихся к а,, будет использоваться индекс о, а для величин, связанных с /г , будет использоваться индекс v). Для этого соответствующие области определения функций, описывающих плотности распределения, разбиваются на интервалы (рис. 4), где п и к - произвольные целые числа, т= п-1.

т\ XI

• I "V-«-(-*-1-I 4 I-1-1-1-^ ~Т I !-1 I I ^

12 от Д 1 2 г О, 1 2 " /г

Рис.4

Каждому шггервалу соответствуют средние значения:

сД = МА+1 у А

' 2 ' к 2 ' > 2 и вероятности

Д,'+1 а1Ы1 А/+1

/д^А, 4°= [/а, р/= ■

Д/ А;

Считая аг и /г независимыми случайными величинами и используя элементарные соотношения теории вероятностей, можно получить систему линейных уравнений:

1\А = "цх, +а12х2+...+а1Пх„

= а2\х\ + а22х2+- ••+а2(А

0)

1 = х1 +х2+...+х„

где X] - это искомые вероятности я,у = > причем элементами суммы

к

являются только Щ, соответствующие таким с^, которые удовлетворяют условию: ф(с^,Су)с[Д,,Д/+1].

Однако данный метод оказался малопригодным в силу того, что последнее нормирующее уравнение не накладывает ограничений на положительность х 1. В

результате решение системы (1) может содержать отрицательные числа. Во избежание этого предлагается еще один вариант расчетного метода - решение канонической задачи линейного программирования: шт(с,х), Лх = Ь, X] > 0, } = 1 ,п,

где 1 е И", А - матрица гахя, Ь б Кт, с еН". В рассматриваемом примере А -матрица с элементами а,у, с - единичный вектор, Ь - вектор с координатами

рД / = 1, от, х - вектор, координатами которого являются искомые вероятности

р/, } = \,п. Для решения этой задачи используется модифицированный

симплекс-метод.

Метод гипотез основан на априорной гипотезе о семействе искомых распределений. В рассматриваемом примере на основании первичных данных физического характера выдвигается гипотеза о виде распределения f2 Затем решается задача оптимизации, в которой параметрами управления являются параметры распределения Jz, а целевая функция - отклонение 6 получаемого

качестве целевой функции для «измерения» отклонения может быть использован критерий хи-квадрат, норма Чебышева и др. При достаточной близости получаемого и заданного распределений величины А гипотеза о виде распределения fz принимается, а в качестве параметров распределения используются те параметры, которые были получены в результате решения задачи оптимизации.

Следует отметить, что термин «близость распределений» в смысле какой-либо нормы в общем случае еще не означает соответствия вида получаемого распределения заданному виду распределения величины Д. Поэтому представляется необходимым проверять вид получаемого распределения величины Д. Для этого можно использовать любой допустимый критерий, например, хи-квадрат.

Развитием этого метода является проверка сразу нескольких гипотез о семействе распределений jz, а затем выбор лучшей гипотезы в смысле минимальности 6 .

Приведем результаты использоваши расчетного метода для решения ЧСЗД в случае процесса волочения трубы, используя зависимость А = (р(Р[, as).

Дано:

1) J\ ~ N(18,870 мм; 0,005 мм) и Д - ^(0,222 мм; 0,002 мм);

2) а5 е[62; 68]МПа;

Найти: распределение сопротивления пластической деформации as.

Решение:

Положим т = 5 и п = 14.

Результаты решения для различных значений g - {20, 30, 50, 100, 150} (g - количество интервалов, на которые разбивается область определения функции, описывающей плотность распределения параметра представлены на рис. 5 По средним значениям строится гистограмма искомого распределения (рис. 6).

Анализируя приведенные графики можно сделать следующие выводы.

1) При использовании симплекс-метода некоторые Pj неизбежно равны

нулю, поэтому получаемое распределение может иметь сложный вид.

2) При имеющихся недостатках модифицированный симплекс-метод позволяет получить решение задачи ЧСЗД для процесса волочения трубы.

3)Решение, полученное в виде совокупности пар (сj\Pj), j = 1,", можно

непосредственно использовать в задачах, в которых плотности распределения параметров аппроксимируются гистограммами.

распределения от заданного распределения величины

В

Рис. 5

Ш ■да £

■ 1« <

ш *

■}Я)Г Г* ш- -л,Л- - 'Г. щш £№

¿Че**»

к

0.0 62.

,00 62,43 62,86 63,29 £3,71 64,14 64.37 65,00 65,43 65,86 66,29 66,71 67,14 67.57 68,00 <л,

МПа

Рис. 6

Приведем результаты использования метода гипотез для решения ЧСЗД в случае процесса точной штамповки. Примем

где кд и к5 - нормирующие коэффициенты; 5 - заданный размер (см. рис. 3); А - работа, совершаемая инструментом на перемещении

Д£

Пусть величина т^ является функцией от начальной высоты цилиндрической заготовки £0 и коэффициента трения Кулона /

где ¿о и / имеют стохастический разброс, причем распределение / неизвестно и его необходимо оценить.

Да!Ж

1) Ц ~ N(19,05 мм, 0,01 мм) и Т| ~ 0,967; 0,019);

2) математическое ожидание т/ е[0,1; 0,3] и среднее квадратическое отклонение а/ е [0,005; 0,020];

3) гипотезы о нормальном и равномерном распределении коэффициента трения /.

Найти: какая из гипотез лучше в смысле минимальности 5 .

Решение:

Решения, полученные при использовании критерия хи-квадрат и нормы Чебышева. соответственно представлены в таблицах 1 и 2. В этих таблицах ц -количества отрезков, на которые разбивались области определения распределений величин Х0, / и т|.

Таблица 1

Результаты решения задачи при использовании _критерия хи-квадрат ___

Предполагаемое распределение / Ч Кол-во шагов т/ о/ тг\, ОТ), X2 5

Нормальное 5 85 0,267 0,020 0,968 0,011 2,169 12,634

Равномерное 5 85 0,267 0,020 0,968 0,014 3,144 3,325

Нормальное 7 89 0,267 0,020 0,967 0,011 1,652 18,738

Равномерное 7 84 0,267 0,020 0,967 0,013 8,165 6,74

Нормальное 10 92 0,267 0,020 0,966 0,011 2,339 31,891

Равномерное 10 87 0,267 0,020 0,967 0,012 20,856 13,999

Таблица 2

Результаты решения задачи при использовании нормы Чебышева

Предполагаемое распределение / 1 Кол- во шагов о/ тц, сть х2 5

Нормальное 5 15 0,224 0,011 0,944 0,006 1,890 20,988

Равномерное 5 30 0,100 0,005 0,874 0,003 5,106 20,954

Нормальное 7 15 0,230 0,011 0,946 0,006 1,364 20,989

Равномерное 7 13 0,190 0,011 0,924 0,007 9,500 20.980

Нормальное 10 15 0,230 0,011 0,945 0,006 4,723 20,989

Равномерное 10 14 0,240 0,011 0,951 0,006 24,758 20,988

Нормальное 15 15 0,230 0,011 0,944 0,006 27,656 20,989

Равномерное 15 15 0,240 0,011 0,951 0,007 48,234 20,989

Нормальное 20 15 0,230 0,011 0,944 0,007 73,193 20,989

Равномерное 20 15 0,240 0,011 0,951 0,007 89,058 20,989

По данным, представленным в таблицах, можно сделать следующие выводы.

1) При использовании критерия хи-квадрат для «измерения» отклонения б (см. таблицу 1) независимо от ц величина 5 меньше для случая, когда рассматривалась гипотеза о равномерном распределении /.

При использовании нормы Чебышева (см. таблицу 2) величина 5 практически одинакова для нормального и равномерного распределения 10. Таким образом, использование нормы Чебышева в рассматриваемом примере не дает ответа на вопрос о предпочтительности одной из гипотез. Гипотезу о равномерном распределении <т5 можно принять на основании данных из таблицы 1, полученных при использовании критерия хи-квадрат.

2) Во всех случаях значение критерия хи-квадрат подтверждает гипотезу о том, что получаемое распределение величины Т1 можно считать нормальным с соответствующими параметрами, указанными в таблицах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе сформулирована математическая постановка задачи стохастической оптимизации процессов пластического деформирования материалов при произвольном распределении исходных характеристик.

2. Предложены две методики определения плотности распределения одного из исходных параметров задачи при известных распределениях остальных исходных параметров и решения. По существу, исследуемая задача является частным случаем задачи адаптивного управления.

3. Построены эффективные алгоритмы решения некоторых краевых задач упругопластичности.

4. Приведено построение целевых функций в различных задачах стохастической оптимизации процессов пластического деформирования.

5. Получены рациональные режимы для процессов осадки, волочения и точной штамповки, учитывающие весь диапазон возможного изменения соответствующих случайных характеристик.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Гитман М Б., Трусов П.В., Федосеев С.А. Оценка усилия деформирования в процессе осадки сплошного цилиндра при учете разброса физико-механических свойств материала и качества смазки // Математическое моделирование систем и явлений. Межвуз. сб. -Самара.: Изд. СГАУ, 1995. С. 30-35.

2. Гитман М.Б., Трусов П.В., Федосеев С.А Выбор рациональных режимов для процессов пластического деформирования металлов в условиях стохастического распределения начальных параметров П Тр. Междун. конф. «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике». - Ижевск, Россия: Изд-во ИПМ УрО РАД 1996. С. 81-84.

3. Гитман М.Б., Трусов П.В., Федосеев С.А. Стохастическая оптимизация процессов обработки металлов давлением // Изв. РАН, Металлы, 1996, №3. С. 72-76.

4. Гитман М.Б., Федосеев С.А, Гуревич Е.И. Определение рациональных режимов процесса волочения при стохастическом распределении параметров // Вестник ПГТУ. Технологическая механика. - Межвуз. сб. Пермь.: Изд.

• ПГТУ, 1996, Х°2. С. 72-81.

5. Гитман М.Б., Федосеев С.А, Выбор режимов осадки сплошного цилиндра при учете разброса физико-механических свойств материала и качества смазки // X • Зимняя (I международная) школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. УрОРАН. Пермь, 1995. С. 72-73.

б Федосеев С.А. Комплексный критерий качества в задаче стохастической оптимизации процесса волочения // Математическое моделирование физико-механических процессов. Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых. ПГТУ. Пермь, 1996. С. 23-24.

7. М.В. Gitman, P.V. Trusov and S.A. Fedoseev. Stochastic Optimization Problems of Plastic Metal-Working Processes // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 84, No. 3, April, 1997. P. 1109-1112.

8. Федосеев С.А.. Рациональные режимы процесса точной штамповки валов со шлицами // Вестник ПГТУ. Ракетная и авиационная техника. - Межвуз. сб. Пермь. :Изд. ПГТУ, 1997, №1. С. 93-97.

Сдано в печать 29.12.97 г. Формат 68x84/1 б. Объем 1 п. л. Тираж 100. Заказ -1й 1 £ .

Ротапринт Пермского государственного технического университета.