Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях

Семенова, Ирина Владимировна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях

кандидата физико-математических наук: Семенова, Ирина Владимировна
город: Самара
год: 2010
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях»

Автореферат диссертации по теме "Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях"

4856567

Семенова Ирина Владимировна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ

НАПРАВЛЕННЫХ

НИЗКОЧАСТОТНЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О з [.¡АР 22

Самара - 2011

4856567

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Научный руководитель: Заслуженный работник высшей школы РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Степанов Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Осипов Олег Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Горелова Елена Яковлевна

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН 690041 г.Владивосток, ул. Радио, 5.

Защита состоится февраля 2011г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ГОУ ВПО "Самарский государственный университет" по адресу: 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1, ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Самарский государственный университет".

Автореферат разослан " П " чМЩМ ЧШ1т..

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.218.08 кандидат физико-математических наук

Зайцев В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многолетние исследования колебаний показали, что все источники, вне зависимости от природы излучаемых ими волн, можно разделить на группы в зависимости от их частоты, а также то, что для исследования излучателей, принадлежащих одной и той же группе, можно применять схожие методы. При этом большой интерес вызывают низкочастотные источники, так как именно в этот диапазон попадает достаточно много излучателей волн, которые может воспринимать человек.

Авторами основополагающих трудов по изучению волн различной природы, а также их источников являются Д.Ф. Aparo, П. Делярош, Г.Р. Герц, П.Н. Лебедев, Дж.К. Максвелл, A.C. Попов, Дж.У. Стретт (Рэлей).

Широкое изучение основных свойств волновых колебаний и их источников, развитие соответствующих модельных представлений и математических методов происходит еще в XIX столетии. Опыт, накопленный исследователями, обобщен и систематизирован в основополагающих работах ряда отечественных и зарубежных авторов: JI.M. Бреховских, X. Бриммера, Дж.Р. Вэй-та, В.Л. Гинзбурга, A.M. Гончаренко и В.А. Карпенко, В.Ю. Завадского, Л.Н. Захарова, C.HL Ржевкина, Л. Кампа, Ю.П. Лысанова, Л.М. Лямшева, С.Л. Пекериса, Е. Скучика, И. Толстого и К. Клея.

Для описания источников низкочастотных колебаний и изучения созданных ими полей чаще всего используется модель монополя — точечного ненаправленного излучателя. Однако многие реальные излучатели в большей или меньшей степени являются направленными, то есть амплитуда и фаза создаваемого ими давления волны оказываются зависящими от направления на точку наблюдения. Причем направленность излучателей оказывает существенное влияние на формируемое ими поле.

Вообще говоря, для описания направленности источников используются различные модели: параметрические и непараметрические. Однако при использовании непараметрических моделей, в которых рассматривается непрерывное распределение монопольных или дипольных излучателей по поверхности или объему реального источника, функцию распределения в общем случае сложно описать с помощью некоторой относительно компактной системы числовых характеристик. Параметрические модели в основном базируются на дискретном размещении небольшого количества монопольных излучателей вдоль некоторой линии, по некоторой поверхности или какому-либо объему. В качестве параметров таких моделей обычно выступают мощности отдельных монополей и геометрические характеристики их расположения в пространстве. Однако в результирующие выражения для полей таких модельных источников часть из этих параметров входит нелинейным образом, что значительно затрудняет решение обратных задач, которые связаны с опре-

делением параметров моделей на основании измерений амплитуды и фазы создаваемых ими полей.

В ряде случаев избежать этих трудностей можно с помощью точечной параметрической мультипольной модели направленных излучателей. Согласно этой модели, поле направленного монохроматического излучателя в однородном неограниченном пространстве описывается выражением:

N п

ф(г, </>) = £ £ Спт^\кт)Р^(соз 0)е<т* (1)

п=0 т—-п

где ф — потенциал поля скоростей давления волн; г, в, уэ — сферические координаты точки наблюдения, центр системы координат совмещен с излучателем; Спт — комплексные мультипольные моменты, описывающие направленные свойства источника; N — порядок мультипольности модели (наибольший порядок удерживаемых в выражении для потенциала мультиполей); г — мнимая единица; к = ш/с — волновое число; ш — круговая частота излучателя; с —фазовая скорость распространения волн в среде; — сферические функции Бесселя третьего рода порядка тх; Рп ^ присоединенные полиномы Лежандра.

Считается, что (1) представляет собой потенциал поля (функцию источника) модельного направленного точечного излучателя, эквивалентного исходному реальному излучателю. Направленность модельного излучателя полностью определяется параметрами Спт, имеющими смысл моментов элементарных сферических мультиполей, из которых состоит разложение. При этом модуль параметра представляет собой производительность, а его аргумент — начальную фазу колебания соответствующего мультиполя.

Условием применимости описанной точечной мультипольной модели излучателя для описания реального монохроматического источника конечных размеров является выполнение соотношений с1 < е/7/(1 + е) и 0.15е/(1 + е) и кЬ < £, где ¿ — линейный размер излучателя; й = Ь/г\ е —малая величина.

В общем случае задача определения поля источника сводится к решению краевой задачи, учитывающей не только модель источника, но и особенности среды распространения сигнала.

Очевидно, что самым простым является случай однородного пространства, когда фазовая скорость распространения волны с, а следовательно, и значения параметра к являются постоянными. В этом случае задача имеет точное решение, которое найдено и хорошо исследовано для различных моделей излучателей. Однако в общем случае фазовая скорость распространения колебаний является функцией координат области распространения сигнала с = с(х,у,г), и большинство реальных сред являются неоднородными. Задача определения поля источника в неоднородной среде решена лишь для ненаправленных излучателей. В связи с этим актуальным является изучение по-

лей, создаваемых направленными низкочастотными излучателями, описываемыми параметрической мультипольной моделью в неоднородных областях.

Цель работы — построение математических моделей, описывающих низкочастотные источники в неоднородных областях, постановка и решение краевых задач для наиболее важных частных случаев, выбор и модификация численных способов решения поставленных задач, создание соответствующего комплекса программ, изучение основных свойств полей рассматриваемых излучателей с помощью численного моделирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— построить математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях;

— поставить и решить краевые задачи нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мультипольной моделью, в случаях:

1) неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;

2) однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами;

3) многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью;

— выбрать и провести необходимую модификацию численных способов решения поставленных краевых задач;

— создать комплекс программ для реализации численных способов решения поставленных задач и исследования полученных результатов;

— проверить адекватность построенной модели путем сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов с данными натурного эксперимента, приведенными в литературе;

— провести вычислительные эксперименты с целью исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием методов теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексных переменных, а также сравнением с известными из литературы данными.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Построены математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2. Поставлены и решены краевые задачи нахождения поля мультиполь-ного излучателя в следующих областях:

— неоднородном полупространстве с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;

— однородном слое с неидеальными границами, окруженном однородными полупространствами;

— многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью.

3. Разработан комплекс программ для реализации моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в указанных выше волноводах.

4. Получены и проанализированы результаты численных экспериментов исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Практическая значимость результатов:

— получены соотношения, которые могут быть использованы для вычисления полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных волноводах с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны;

— разработан программный комплекс, с помощью которого могут быть выбраны наиболее подходящие условия наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных областях с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны;

— полученные результаты могут быть применены к исследованию конкретных объектов, которые могут быть описаны рассмотренной моделью, например, корпуса судов, гребные винты кораблей, акустические системы, звуковещательные станции, расположенные на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах, вертолетах и т.д.;

— полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач, связанных с прогнозом ослабления мощности волны при ее приземном распространении: определение шума вблизи аэропортов, железных дорог и современных автострад, прогноз максимального и среднего уровней шума при небольших взрывах и выстрелах орудий.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2. Постановки и решения краевых задач нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого точечной мультипольной моделью, в случаях:

— неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;

— однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами, или многослойной области как модели представления слоя с произвольной неоднородностью;

3. Результаты численного анализа влияния на поле направленного низкочастотного излучателя в полупространствах с волноводным и антиволноводным распространением колебаний таких факторов, как направленность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

- Третья межвузовская научно-техническая конференция, посвященная памяти заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, проф. Леонида Ивановича Кудряшева, г. Самара, Самарский государственный университет, 24-25 февраля, 2006 г.

- XI школа-семинар академика Л.М.Бреховских, совмещенная с XVII сессией Российского Акустического общества, г. Москва, 2006 г.

- Третья Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2006 г.

- Четвертая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2007 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагаринские чтения", г. Москва, МАТИ — Российский государственный технический университет имени К.Э. Циолковского, 1-5 апреля, 2008 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2010 гг.

- Пятая Международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности", г. Санкт-Петербург, 28-30 апреля, 2008 г.

- Пятая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2008 г.

- Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 1-4 июня, 2009 г.

- Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики", г. Воронеж, Воронежский государственный университет, 22-24 июня, 2009 г.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, проф. Д.Д. Ивлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 июля, 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад соискателя: выбор математических моделей; поиск точных и приближенных решений поставленных задач; создание комплекса программ; выбор численных способов решения поставленных краевых задач; проведение вычислительного эксперимента.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Объем работы —187 страниц, включая 88 рисунков и графиков и список литературы из 129 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность диссертационного исследования и его практическая значимость, сформулированы цель и задачи работы, приведен обзор литературы по соответствующей проблематике, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 рассматриваются постановки и решения задач для точечной мультипольной модели низкочастотного излучателя, находящегося в неоднородных полупространствах с законами изменения фазовой скорости распространения волны, допускающими точное решение вспомогательного дифференциального уравнения, к которому сводится задача определения поля, создаваемого излучателем в рассматриваемой области.

В разделе 1.1 приведены постановка и решение задачи о направленном излучателе в неоднородном полупространстве с произвольным законом изменения c{z).

Потенциал поля давления, создаваемого рассматриваемым источником внутри полупространства, описывается функцией, которая является решением следующей краевой задачи:

найти функцию ф(г, 9, <р), удовлетворяющую

1) уравнению Гельмгольца Аф + k2(z)ip = 4tt5(z — z^Slr), где k(z) = = kon(z), S(z) — дельта функция; г = г cos в.

Чтобы избежать затруднений, связанных с решением неоднородного дифференциального уравнения, осуществляется переход к однородному уравнению

Аф + к2{г)ф = 0 (2)

с дополнительным краевым условием у излучателя в виде (5);

2) однородному граничному условию первого рода в случае абсолютно мягкой границы

№Л<р) Uo = o (3)

или в случае абсолютно жесткой границы

(S^Ju-Oi ' W

3) предельному краевому условию

\тгЩт,6,Ч>)-МгЛ<р)\ = 0, (5)

1—>о

где гро{г, в, ф) — потенциал поля в однородном неограниченном пространстве.

Для решения поставленной задачи использовался подход, предложенный JI.M. Бреховских. Полупространство двумя плоскостями разделяется на три области: При этом центральный участок толщиной h, в кото-

ром на расстоянии zo от его верхней границы находится модельный источник, считается однородным, то есть c(z) = const. Тогда решение рассматриваемой задачи сводится к определению поля, созданного источником в центральном однородном и двух неоднородных участках. Завершающий предельный переход при h —> 0 дает общее решение поставленной задачи в интегральной

форме:

2 i-"

Ф(г,= XnmDnmInm(r,0)eim*\ (6)

к0 ■ п

п=0 тп=—п

-Ьоо

где - / Я^Г^ЩШ^Ш дая г >

—00

+ 00

1 - ДЛЯ z < z\ ,

(r,0) = J

W{íp Uip2) —00

W = %(z)lp2(z) - %(z)ñ(z); Dnm = l/2Cnme-(m-")/2; Xnm = (_i)n+m. £ = k0sin/3; b = iy/Щ - £2.

Для выполнения граничных условий к (2) было применено преобразование Фурье—Бесселя, после чего были получены в интегральном виде общие решения поставленной задачи для абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границ, которые также удовлетворяют и предельному краевому условию (5). Кроме того, найденные решения являются обобщениями известных выражений для поля ненаправленного, монопольного источника, так как при п = 0 и m = 0 они совпадают с аналогичными выражениями для поля монопольного источника, полученными JI.M. Бреховских.

Вычисление контурных интегралов в (6) проводилось с помощью вычетов в полюсах подынтегральной функции.

В случае абсолютно мягкой границы решение поставленной краевой задачи имеет вид:

2i N "

ф{г, = XnmDnmInm{r, 6)eimv, 0 < z < оо, (7)

" n=0 т=-п

где/ (г С) .

где 1пт[г, о) - ¿пг ¿^ _ > , Хпш - { Ч

1=0 --вГ"]г=о,«=й

Нт —функция Хапкеля первого рода порядка т; р = г sin в — горизонтальное расстояние до точки наблюдения; Dnm = 1 /2Cnmen(-m~nV2; b¡ =

z), i>(£, z) — решения вспомогательного дифференциального уравнения

+ = о,

а в случае абсолютно жесткой границы: 2 i N "

ф(г, в, ф) = - Y, XnmDnmInm(r, e)eimv, 0 < z < оо, (8)

® n=0 m=—n

где/ (rf)

В разделе 1.2 общие решения поставленной краевой задачи уточнены для случая волноводного распространения низкочастотных колебаний, особенностью которого является изменение квадрата показателя преломления по линейному закону вида n2(z) = 1 — az, где n(z) = c(0)/c(z); с(0) — фазовая скорость при стандартных условиях. В этом случае вспомогательное дифференциальное уравнение <р" + {k2(z) — £2)<р = 0 может быть сведено к уравнению Эйри, частными решениями которого являются линейно независимые вещественнозначные функции Эйри u{t), v(t).

Тогда полученные в разделе 1.1 решения (7) и (8) примут вид: для абсолютно мягкой границы

2г N "

Ф{г, = XnmDnmInm(r, в)еш(9)

^ п— 0 m=-n

где Ur,fl ^¿»MfífM«, Я - <*)-■/»,

y¡ - ноль функции v{t), ti = z/H -yu tu ■= zi/H - yi, а для абсолютно жесткой границы

jv n

ф(г, M = ^ E E XnmDnmInm(r, в)еыV, (10)

" n=0 m=-n 10

, , т тгг ^ уЩЬйН&НМрМЩко))

где 1„т{г, в) = — > -г?-N->

Н ^ Х1Уг(-Х1)

XI — ноль производной функции у(Ь), = я/Я — х;, 4ц = /Н — х\.

Как показывает анализ дисперсионных уравнений «(О) = 0 и г/(0) = 0, в выражениях (9) и (10) следует выбрать расстояние кг 1, чтобы экспоненциально убывающие неоднородные волны успевали затухать и поле оказалось устойчиво сформированным.

В разделе 1.3 общие решения поставленной краевой задачи уточнены для случая антиволноводного распространения низкочастотных колебаний, особенностью которого является изменение квадрата показателя преломления по линейному закону вида п2(г) = 1 + аг, где п(г) = с(0)/с(г).

В этом случае вспомогательное дифференциальное уравнение <р"+(к2(г)-—£2)<р = 0 также может быть сведено к уравнению Эйри, однако теперь его частными решениями будет являться линейная комбинация функций Эйри комплексного аргумента и(£) и у(1). Для абсолютно мягкой границы это v(to)Z(t) — Z(to)v(t) и .£(£), а для абсолютно жесткой границы v'(to)Z(t) — -г'(Ьои г(г), где гц) = и{ь) + т{ь).

Рассуждения, аналогичные тем, что были проведены в разделе 1.2, позволяют привести решения (7) и (8) для случая антиволноводного распространения колебаний к виду:

для абсолютно мягкой границы

2? М "

ф(г, 0,<р) = -гУ,У\ ХпшОпт1пт(г, 0 < г < оо, (11)

/Сп

П=0 771=—П

где /пт(г,-ЩЩ-' 101 - У'6 '

а для абсолютно жесткой границы

2г М п

ф(г, 0, V?) = ГУ2Т ХптВпт1пт(г, д)еы0 < г < оо, (12)

/Сп _

п=0 тп=-п

где / (г в) - 2Е*'V ^ШЫ^ЩР^Шко)) _

ще 1пт(г,Н) - н .«м-а;/е .

Суммирование в (11) и (12) ведется по лежащим в верхней полуплоскости В диссертационной работе показана сходимость полученных решений.

В разделе 1.4 рассмотрен ряд других случаев распространения низкочастотных колебаний, допускающих точное решение вспомогательного дифференциального уравнения <р" + (/с2(г) - £2)</? = 0.

В главе 2 получены соотношения, позволяющие рассчитывать поля для

мультйпольной модели излучателей, находящихся в неоднородных областях, для которых может быть использована модель многослойного волновода.

В разделе 2.1 приведены постановка и решение задачи о направленном излучателе в однородном слое с неидеальными границами. Поле, создаваемое таким источником, находящимся в точке r = 0,z = zi,z1>0 однородного слоя толщиной ¿2 с неидеальными границами Е2 и Е3 на расстоянии zo от его верхней границы, описывается функцией, которая является решением следующей краевой задачи: найти функцию ф(г,9,<р), которая

1) в области fi2 удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2);

2) на границах Е2 и S3 волновода удовлетворяет условию сохранения непрерывности потенциала и его нормальной производной:

h% = 0, [#/dn]|s = 0, S = S2US3; (13)

3) удовлетворяет предельному краевому условию (5).

Искомое решение в интегральной форме получается методом мнимых изображений путем попеременного зеркального отражения исходного источника относительно верхней и нижней границ волновода.

Для вычисления полученных контурных интегралов использовался метод перевала, в результате чего было получено приближенное решение поставленной краевой задачи:

Ф(г,е,<р) = ц£ Е " )х (14)

í L—' КГ Sine7

п—О т——п

X(F* _ lF¡ _ 1И1Ж) _ п _ _

1 1 Skr sin2 в 2кг ' У sin 0 2krtgB Akr sm2e>ih

где F; = Р> '(cosß)Fi(ß)-, F.iß)-1 _ ^^-;

X™ = (l)n+W.

При заданных функциях V2(ß) и V^(ß), определяющих коэффициенты отражения плоских волн от границ волновода, эти расчетные формулы позволяют вычислять поле направленного излучателя, находящегося в однородном слое с неидеальными границами с точностью 0[ехр(—кг)].

В случае, когда волновод ограничен однородными полупространствами fix и ÍÍ3, характеризующимися постоянными плотностью и фазовой скоростью распространения волны рз и С3, р\ и ci соответственно, коэффициенты отражения Yziß) и Vz{ß) могут быть найдены следующим образом:

VJß2) = Zl cosß2 ~ P2CV»^"ft VJß) = Z3C0S

Z\ cos ß2 + P2C2 ' Z3 cos ß2 + P2C2

rj PlCl Г. ^ P3C3

где Zi =--—импеданс волны в полупрострстве iij; ¿3 =--—импе-

cos pi cos рз

дане волны в полупрострстве Пз; , /?2, /?з — углы падения волны на границы волновода в ill, и ^з соответственно.

В разделе 2.2 общее решение поставленной краевой задачи обобщено на случай трехслойной области, ограниченной однородными полупространствами.

В разделе 2.3 решение поставленной краевой задачи обобщено на случай многослойной области.

Рассматривается точечный излучатель, находящийся в многослойной области, состоящей- из однородных в горизонтальном направлении слоев fii...iim...f2m+ri. Каждый слой fij имеет неидеальные границы Еи £¿+1 и характеризуется толщиной di, а также постоянными плотностью и фазовой скоростью распространения колебаний pi и с;. Над слоем f2m+n находится полупространство fim+n+i, а под слоем Oi — полупространство Г2о, оба являются однородными в горизонтальном направлении и характеризуются постоянными плотностью и фазовой скоростью распространения волны pm+n+i и Crn+n+i, pa и со соответственно.

Предполагается, что рассматриваемый модельный излучатель находится в точке г = 0, z — zi,zi > 0 слоя fim на расстоянии zq от его верхней границы.

Поле, создаваемое рассматриваемым модельным излучателем в области Г2т описывается функцией ф(М), являющейся решением краевой задачи (2), (5), (13), приближенное решение которой может быть найдено с помощью соотношения (14). "

Коэффициенты отражения Vm{0) и Vm+i(/3) имеют следующий вид:

£(>) _ z Z^ - Z

М _ (Z^-V + Zj)e-2ik^ + (ZW - Zj)e~2ik"Zi , _

ГД6 (Z«-1) + - {Z«-1) - Zi)e-2ik** ' * ™

У0 _ >7 _ PocQ yrn+n+1 _ <7 _ Pm+n+lCm+n+1 7 _ Pici

Zj — Zo — —, Z, — Zim+n+1 — ---, ¿i — —,

COS До cos/Jm+n+1 cosft

0Ji

m+1

к1г = к{ соsPi, /с, = —, fc¿ втД = fc¿-1 втД-ь ^ = - £ й9 +

^г q=i

т „ + + -

~ (^0+1) + - - Zj)e~2ikj*z> т * ; - (Ш + П)'

а).,

к]Х = к] соэ, к./ = —, kjsin|3j = kj+■ísilífЗj+■í, Zj = +

С] ч=тп+2

В главе 3 приводятся результаты численного моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в неоднородных волноводах.

В ходе вычислительного эксперимента исследовалось влияние на амплитуду и фазу создаваемого источником поля таких факторов, как направлен-

ность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.

В разделе 3.1 приводятся назначение и функциональные возможности разработанного для проведения вычислительного эксперимента пакета программ.

В разделе 3.2 приводятся результаты проверки адекватности построенной модели путем сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов с результатами натурного эксперимента, приведенными в литературе.

В качестве экспериментальных данных были взяты результаты экспедиционных работ в 12-м рейсе НИС "Академик Александр Виноградов" и НИС "Академик М. А. Лаврентьев" с 1 июня по 29 августа 1988 года, в ходе которых исследовались гидрофизические процессы в северо-западной части Тихого океана в системе течения Куросио.

На основании приведенных данных распределения фазовой скорости распространения волн по глубине был рассчитан квадрат показателя преломления для глубин от 100 до 800 м. Анализ полученных значений показал возможность их аппроксимации линейной функцией вида п2(г) = 1+аг при а = 0,000083м-1, что свидетельствует о наличии антиволноводного распространения низкочастотных колебаний на рассматриваемом участке распространения волны.

Н_ш

200

300 400 500 600 700

Рис. 1. Экспериментальный (точки), средний (тонкая линия) и рассчитанный с помощью построенной модели (жирная линия) уровни сигналов й на глубине гидрофона Я =

= 100м

Б_(1В

Н_т

200

зоп

400

500

600

700

-35

Рис. 2. Экспериментальный (точки), средний (топкая линия) и рассчитанный с помощью построенной модели (жирная линия) уровни сигналов 5 на глубине гидрофона Я = = 250м

Сравнение экспериментальных и рассчитанных с помощью построенной модели уровней сигналов на глубинах от 100 м до 800 м соответственно в точках приема 100 м и 250 м приведено на рис. 1 и 2.

В результате сравнения приведенных данных было установлено, что среднеквадратичное отклонение результатов численного моделирования от линии тренда экспериментальных уровней сигналов не превышает 15%. Таким образом, можно сделать вывод о том, что значения, полученные в результате численного моделирования, согласуются с экспериментальными данными и полностью отражают динамику их изменения, что свидетельствует об адекватности построенной модели и возможности ее использования на практике.

В разделе 3.3 приводятся результаты вычислительного эксперимента по расчету поля мультипольного излучателя в полупространстве с абсолютно жесткой границей.

Неоднородное полупространство с абсолютно жесткой границей является наиболее адекватной моделью атмосферы, где в качестве границы выступает поверхность земли.

Анализ фазовых скоростей распространения волн в атмосфере при разных условиях показал, что во многих практически важных случаях можно использовать линейную аппроксимацию квадрата показателя преломления вида r?{z) = 1 ^ ал, где безразмерная величина n(z) = c(0)/c(z). Из справочной модели атмосферы MSIS-E-90 были взяты среднемесячные значения температуры в году над некоторым усредненным участком земной поверхности западного полушария1, на основании которых были получены значения фазовой скорости распространения колебаний2.

В разделе 3.3.1 рассмотрен случай волноводного распространения низкочастотных колебаний.

Анализ значений квадрата показателя преломления показал возможность применения аппроксимации вида п2(л) = 1 — az для этой модели атмосферы, например, в январе для высот в диапазоне от 27 до 40 км (а = 0,000004м-1), а также в августе для высот в диапазоне от 20 до 50 км (а = 0,000003м-1).

В разделе 3.3.2 рассмотрен случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

Аппроксимация вида n2(z) = 1 + az может быть использована в августе для высот в диапазоне от 0 до 11 км (а = 0,000028м-1), а также в январе для высот в диапазонах от 2 до 8 км (а = 0,000019м-1), от 9 до 24 км (а = 0,000002м-1), от 61 до 77 км (а = 0) и т.д.

В результате проведения численных экспериментов для полупространства с абсолютно жесткой границей было установлено, что в неоднородной обла-

1 Описание модели и значения температуры взяты с интернет-сайта NASA. URL:http://'ommweb. gsfc.nasa.gov/vitmo/msis_vitmo.html

Зависимость скорости звука от температуры взята с интернет-сайта NASA. URL:www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/atmos.html

;

vx¡*

i.,,. Lfe Лг\

Рис. 3. Зависимость амплитуды полей от направленности источника в полупространстве с абсолютно жесткой границей и волноводным распространением низкочастотных колебаний: 1 - источник 81 (монополь); 2 - источник Э2 (диполь);

3 - источник ЭЗ (квадруполь);

4 - источник 84 (комбинированный источник)

Рис. 4. Зависимость фазы полей от направленности источника в полупространстве с абсолютно жесткой границей и волноводным распространением низкочастотных колебаний: 1 - источник (монополь); 2 - источник Э2 (диполь); 3 - источник ЭЗ (квадруполь); 4 ~ источник Э4 (комбинированный источник)

IIIII!

1 i • i • J ••• . a?so и

N NN i A \\\s

|, ] ГТТ V Jyi i

Рис. 5. Зависимость амплитуды полей комбинированного источника S4 в полупространстве с абсолютно жесткой границей и антиволно-водным распространением низкочастотных колебаний от степени неоднородности среды а: 1 -а = 0,01м-1; 2- а = 0,001м"1; 3-а = 0,0001м-1; 4-а = 0,00001м-1; 5 - а = 0 (однородное полупространство)

сти с антиволноводным распространением низкочастотных колебаний влияние неоднородности среды остается более существенным по сравнению со случаем волноводного распространения колебаний, в том числе и для больших значений высоты источника; в неоднородной области как с волноводным, так и с антиволноводным распространением низкочастотных колебаний существенное влияние на амплитуду поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем, оказывают направленность источника (рис. 3), степень неоднородности пространства (рис. 5), горизонтальное расстояние между источником и точкой наблюдения, частота источника, расстояние от него до границы области, а на фазу — лишь горизонтальное расстояние между ис-

точником и точкой наблюдения, частота источника, расстояние от него и от точки наблюдения до границы области (рис. 4). Схожим в обоих случаях является и характер влияния этих факторов. Исключение составляет лишь влияние степени неоднородности среды на амплитуду: если для случая анти-волноводного распространения низкочастотных колебаний характерно затухание амплитуды с увеличением данного параметра, то в среде с волновод-ным распространением низкочастотных колебаний наблюдается прямо противоположная ситуация; в неоднородной области как с волноводным, так и с антиволноводным распространением колебаний даже в случае вырождающейся структуры поля при больших значениях горизонтального расстояния между источником и точкой наблюдения, а также расстояния от источника до границы области (рис. 6) сохраняются существенные различия между амплитудами направленного и ненаправленного источников.

Рис. 6. Амплитуды звуковых полей направленного (1) и ненаправленного (2) излучателя в полупространстве с абсолютно жесткой границей и антиволноводным распространением звука при расстоянии от источника до границы области 2 = *—^—1—1—i—-1-1-1-= ЗОЛ

В разделе 3.4 приводятся результаты вычислительного эксперимента по расчету поля мультиполыюго излучателя в полупространстве с абсолютно мягкой границей.

Неоднородное полупространство с абсолютно мягкой границей является наиболее адекватной моделью водной среды, где в качестве границы выступает поверхность воды.

Анализ фазовых скоростей распространения волн в морской воде при разных условиях показал, что во многих практически важных случаях можно использовать линейную аппроксимацию квадрата показателя преломления вида п2(г) = 1 ^ аг, где безразмерная величина п(г) = с(0)/с(г).

В разделе 3.4.1 рассмотрен случай волноводного распространения низкочастотных колебаний.

Анализ значений квадрата показателя преломления для рассматриваемой среды показал возможность применения аппроксимации вида п2(г) = 1 — аг, например зимой, на глубине от 0 до 200 м (а = 0,000088м-1).

В разделе 3.4.2 рассмотрен случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

Аппроксимация вида п2(г) = 1 + аг может быть использована, например летом, на глубине от 0 до 200 м (а = 0,000212м-1).

Рис. 7. Зависимость амплитуды звуковых полей от направленности источника в полупространстве с абсолютно мягкой границей и волновод-ным распространением звука: 1 - источник (монополь), 2 - источник Э2 (диполь), 3 - источник ЭЗ (квадруполь), 4 ~ источник Э4 (комбинированный источник)

В результате проведения численных экспериментов для полупространства с абсолютно мягкой границей было установлено, что в неоднородной области как с волноводным, так и с антиволноводным распространением низкочастотных колебаний существенное влияние на амплитуду и фазу поля, создаваемого направленным низкочастотным излучателем, оказывают те же факторы, что и в случае неоднородной среды с абсолютно жесткой границей (рис. 7); показано более существенное влияние неоднородности среды при любых значениях рассмотренных параметров в неоднородной среде с абсолютно мягкой границей по сравнению со случаем абсолютно жесткой границы.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основании анализа математических моделей, описывающих направленность излучателей и неоднородность области, синтезированы математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

— однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами;

— многослойной области, как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью.

3. Произведен выбор и модификация численных методов решения поставленных краевых задач.

4. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для решения прямых задач, связанных с определением поля направленного излучателя в неоднородных волноводах.

5. Подтверждена адекватность построенной модели в результате сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов, с результатами натурного эксперимента, приведенными в литературе.

6. Проведена серия численных экспериментов по определению влияния на поле направленного низкочастотного излучателя в полупространствах с волноводным и антиволноводным распространением колебаний таких факторов как направленность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.

7. Проведенное моделирование подтвердило возможность использования полученных соотношений для расчета поля направленного низкочастотного излучателя в неоднородных волноводах, а также для выбора наиболее подходящих условий наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных средах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий

1. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в полупространстве с волноводным распространением звука // Вестник Самарского гос. технического университета. Естественнонаучная серия. 2009. № 2(19). С. 168-176.

2. Семенова И.В., Степанов А.Н. Поле направленного излучателя в полупространстве с антиволноводным распространением звука // Информатика и системы управления. 2010. № 1(23). С. 30-41.

Статьи и тезисы в других журналах и изданиях

1. Андреева И.В., Ефимов А.П., Степанов А.Н. Направленный излучатель в воздушной среде с изменением показателя преломления по линейному закону // Прикладные задачи в машиностроении и экономике: труды Третьей межвузовской научно-практической конференции. Самара: Изд-во "Самарский университет", 2006. С. 1623.

2. Звуковое ноле мультипольных излучателей в стратифицированной среде / И.В. Андреева, [и др.] // Доклады XI школы-семинара академика Л.М. Бреховских, совмещенной с XVII сессией Российского Акустического общества. - М.: ГЕОС, 2006. С. 23-26.

3. Андреева И.В., Ефимов А.П., Степанов А.Н. Мультипольный излучатель в волноводе с линейной аппроксимацией квадрата показателя преломления скорости звука // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Третьей Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2006. Ч. 2. С. 21-24.

4. Ефимов А.П., Семенова И.В. Оценка пеленга мультипольного источника звука по результатам векторно-скалярных измерений // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2007. Ч. 2. С. 65-67.

5. Семенова И.В. Поле направленного источника в непрерывно-слоистой среде при различных профилях скорости звука // XXXIV Гагаринские чтения: тез. докл. М.: МАТИ, 2008. С. 103-104.

6. Семенова И.В. Точное решение волнового уравнения в непрерывно-слоистой среде // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 3. С. 150-152.

7. Семенова И.В. Поле направленного источника звука в слоистом полупространстве // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: труды Пятой Международной научно-практической конференции. СПб.: Изд-во Политехи. Ун-та, 2008. Т. 13. С. 413-414.

8. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в трехслойной области // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2009. Ч. 2. С. 158-160.

9. Степанов А.Н., Семенова И.В. Направленный излучатель в неоднородном приповерхностном волноводе // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: труды Международной конференции: в 2 ч. Воронеж: ИПЦ Воронежского государственного университета, 2009. Ч. 2. С. 195-198.

10. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в неоднородном плоскопараллельном слое // Современные проблемы математики, механики и информатики: труды Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 271-274.

Подписано в печать 28.12.2010г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1933 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано на УОП СамГУ

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Семенова, Ирина Владимировна

Введение

Глава 1. Математическая модель задачи о направленном излучателе в неоднородном полупространстве

1.1. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в неоднородном полупространстве с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны.

1.2. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний.

1.3. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

1.4. Другие случаи распространения низкочастотных колебаний.

Глава 2. Математическая модель задачи о направленном излучателе в слое

2.1. Постановка и решение задачи о направленном излучателе в однородном слое.

2.2. Трехслойная область, ограниченная однородными полупространствами

2.3. Моделирование неоднородного по вертикали слоя системой однородных слоев.

2.4. Моделирование неоднородного но вертикали слоя системой слоев с линейным законом изменения фазовой скорости распространения колебаний.

Глава 3. Результаты численного моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в неоднородных волноводах

3.1. Назначение и функциональные возможности пакета программ

3.2. Сравнительный'анализ результатов численного моделирования и натурного эксперимента.

3.3. Моделирование для полупространства с абсолютно жесткой границей

3.3.1. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний

3.3.2. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

3.4. Моделирование для полупространства с абсолютно мягкой границей

3.4.1. Случай волноводного распространения низкочастотных колебаний

3.4.2. Случай антиволноводного распространения низкочастотных колебаний.

Введение 2010 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Семенова, Ирина Владимировна

Многолетние исследования колебаний показали, что все источники, вне зависимости от природы излучаемых ими волн, можно разделить на группы в зависимости от их частоты, а также то, что для исследования излучателей, принадлежащих одной и той же группе, можно применять схожие методы. При этом большой интерес вызывают низкочастотные источники, так как именно в этот диапазон попадает достаточно много излучателей волн, которые может воспринимать человек.

Авторами основополагающих трудов по изучению воли различной природы, а также их источников являются Д.Ф. Aparo, П. Делярош, Д.Н. Бартон, Дж. Генри, Г.Р. Герц, П.Н. Лебедев, Дж.К. Максвелл,

A.C. Попов, О. Рейнольде, Дж.Г. Стоке, Дж.У. Стретт (Рэлей).

Широкое изучение основных свойств волновых колебаний и их источников, развитие соответствующих модельных представлений и математических методов происходит еще в XIX столетии. Опыт, накопленный исследователями, обобщен и систематизирован в основополагающих работах ряда отечественных и зарубежных авторов: Р. Баранат [9], Л.М. Бре-ховских [15-17], X. Бриммера [98], Е. Бэйхэра [95], Дж.Р. Вэйта [126],

B.Л. Гинзбурга [26], A.M. Гончаренко и В.А. Карпенко [30], Г.Л. Джеймса [117], В.Ю. Завадского [38]. Л.Н. Захарова, Л. Кампа [43], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [46], Ю.П. Лысанова [19], Л.М. Лямшева [47], С.Л. Пеке-риса [55], С.Н. Ржевкина [40], Е. Скучика [72], И. Толстого и К. Клея [125], Р.Дж. Урика [81], Е.Л. Фейнберга [82], В.А. Фока [84] и многих других.

Источники волн классифицируются либо по типам создаваемых ими полей, либо по "механизмам" их возбуждения. Так пульсирующий шар создает в сжимаемой среде (газе, жидкости) симметричную сферическую волну (рис. 1, а). В природе подобные источники встречаются крайне редко. Одним из немногих примеров реальных излучателей симметричных сферических электромагнитных волн является совокупность квазичастиц, представляющих собой вариации в положении ионов в кристаллической структуре "спинового льда" 1 [102]. Примером излучателя симметричных сферических звуковых волн являются акустические системы, в основу которых положен принцип ортогонализации излучения фронтальной стороны диффузора головки громкоговорителя и излучения, рожденного внутри корпуса акустической системы2 [52].

В связи с этим, излучатели симметричных сферических волн чаще всего используются лишь как модельное представление при описании реальных источников и создаваемых ими полей в тех случаях, когда источник можно считать пульсирующим шаром, радиус которого мал по сравнению с длинной волны. Таким образом вводится модель монополя — точечного ненаправленного источника.

Рис. 1. Диаграмма направленности: а - монополя; б - вертикального диполя, в квадруполя

Потенциал скоростей поля давления волны я/jq монополя в неограничен

1Fennell Т. Deen Р., Wildes А., Schmalzl К., et al. Magnetic Coulomb Phase 111 tlie Spin Ice -URL:http://nrxiv.org/PScache/arxiv/pdf/0907/0907.0954vl.pdf

2Гайдаров A.C. Патент РФ № 2102838 (1998.01.20) Малогабаритный громкоговоритель. Рефераты российских патентных документов. а б в ном однородном пространстве имеет вид gi(u)t — kr) Г где г, Q,ip — координаты точки наблюдения в сферической системе, центр которой совмещен с источником; А — производительность монополя; к — = uj/c — волновое число; ш — круговая частота излучателя; с — фазовая скорость распространения волн в области; t — время. Потенциал поля монополя зависит только от расстояния г между излучателем и точкой наблюдения и не зависит ни от каких других координат.

Однако многие реальные источники, как было показано в работах [10, 97,114,122,124], в большей или меньшей степени являются направленными, то есть амплитуда и фаза создаваемого ими в области давления волны оказываются зависящими от направления на точку наблюдения. Причем направленность излучателей оказывает существенное влияние на поле, которое формируется в содержащей рассматриваемый источник области. Направленные излучатели создают несимметричную сферическую волну. Так, малые колебания тела как целого, например вдоль оси г около некоторого положения равновесия (г = 0), дают несимметричную сферическую волну вида cos 0е*№~кг) Г где в — угол между направлениями радиус-вектора г и оси z\ D~ диполь-ный момент. Примером излучателя звуковой волны указанного вида является струна. Для описания источников таких волн вводится модель, которую называют диполем (рис. 1, б). Примером электромагнитного диполя является обычный магнит, поле которого может быть представлено как суперпозиция полей двух близко расположенных монополей противоположной полярности. Поле диполя уже не является симметричным, а зависит от направления наблюдения на источник, то есть обладает направленностью.

Некоторые излучатели можно рассматривать как совокупность двух диполей с равными но величине, но противоположными по знаку дипольными моментами. Для описания источников такого вида вводится модель квад-руполя (рис. 1, в).

Обобщением указанных представлений является разложение сферической волны на мультиполи, аналогичное разложению потенциала в ряд Тейлора. Рассмотренные ранее монополь, диполь и квадруполь являются частными случаями мультиполей нулевого, первого и второго порядков соответственно. В качестве примера такого представления можно рассмотреть поле, создаваемое винтом корабля (рис. 2). Нетрудно заметить, что оно может быть приближенно описано совокупностью вертикального диполя и монополя или какой—либо разновидностью квадруполя. Такой подход может быть применен к исследованию многих реальных объектов, например, корпуса судна, звуковещательных станций, расположенных на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах и вертолетах и многих других низкочастотных источников.

Вообще говоря, для описания направленности источников используются различные модели. Направленность излучателя может быть описана, например, с помощью функции распределения поля давления [14, 88, 90] или с помощью диаграммной функции [31,85,86,89], а также путем замены реального источника конечных размеров дискретной или непрерывной группой точечных излучателей, распределенных вдоль некоторой линии, поверхности или объекта [12,13]. Однако несмотря на все преимущества таких подходов, они обладают и рядом недостатков. При использовании

150° 160° ^ Р| ДБ 200° 210°

Рис 2 Пример горизонтальной диаграммы направленности поля, создаваемого винтом корабля с частотой 216 Гц непараметрических моделей, в которых рассматривается непрерывное распределение монопольных или дипольных излучателей по поверхности или объему реального источника, функцию распределения монополей или диполей по занятой источником области в общем случае сложно описать с помощью некоторой относительно компактной системы числовых характеристик. Параметрические модели в основном базируются на дискретном размещении небольшого количества монопольных излучателей вдоль некоторой линии, по некоторой поверхности или какому—либо объему. В качестве параметров таких моделей обычно выступают мощности отдельных монополей и геометрические характеристики их расположения в пространстве. Однако в результирующие выражения для полей таких модельных источников в различных областях часть из этих параметров входит нелинейным образом, что значительно затрудняет решение обратных задач, которые связаны с определением параметров моделей на основании измерений амплитуды и фазы создаваемых ими полей

В ряде случаев избежать этих трудностей можно с помощью параметрической мультипольной модели направленных излучателей, предложенной в [77]. Согласно этой модели направленность источника описывается следующим образом. Пусть в однородном неограниченном пространстве находится монохроматический источник низкочастотных колебаний конечных размеров и произвольной формы. Выбрав внутри такого излучателя произвольную точку О, построим из нее как из центра сферу 5о радиуса г о так, чтобы источник целиком находился внутри сферы. Построим далее сферическую систему координат, центр которой совмещен с точкой О. Давление Р, создаваемое монохроматическим источником в некоторой точке поверхности сферы, определяется вещественной частью функции Р

Р(гЛ<Р^)=шр0ф(г где г — го, </? — сферические координаты точки наблюдения; ¿ — время; г —мнимая единица; а; —частота колебаний; ро — плотность среды; ^ — потенциал скоростей поля давления. Считается, что потенциал ф(го,в,(р) представляет собой непрерывно дифференцируемую по крайней мере до второго порядка включительно функцию. Она интерпретируется следующим образом: модуль и аргумент потенциала ф на поверхности сферы единичного радиуса представляют собой приведенные амплитудную и фазовую соответственно диаграммы направленности рассматриваемого источника.

Колебания, создаваемые рассматриваемым источником в области вне сферы 5о описываются функцией, которая является решением внешней задачи Дирихле, поставленной для сферы 5о- Эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию ф(М), удовлетворяющую в области однородному уравнению Гельмгольца

Аф(М) + к2ф(М) = О, М е П (1) и принимающую на ее границе ¿о заданное значение

Ф(М)]Б0=Ф(М), Мея (2) где Д — оператор Лапласа; к — ш/с — волновое число; с — фазовая скорость распространения волны в области; М = М(г,6,(р)—точка рассматриваемой области П или ее границы 5о- Кроме того, на бесконечности искомый потенциал ф должен удовлетворять условию излучения Зоммерфельда [77] й+гк-ф(М)=о(1/г). (3) иг

Решение задачи (1), (2), (3) известно [79], оно единственно и для г > г о может быть представлено равномерно сходящимся рядом оо п

•ф(г,0,ч>) = Е Е СпшЫ£\кт)рМ{соз0)е^, (4) п=0 т=—п где Спт — мультипольные моменты, описывающие направленность источника; /гп ^ — сферические функции Бесселя третьего рода порядка щ Р— присоединенные полиномы Лежандра.

Считается, что (4) представляет собой потенциал поля (функцию источника) модельного направленного точечного излучателя, эквивалентного исходному реальному излучателю, то есть поле такого точечного излучателя совпадает с полем исходного излучателя конечных размеров всюду вне любой сферы, целиком содержащей в себе исходный источник. Направленность модельного излучателя полностью определяется параметрами Спт, имеющими смысл моментов элементарных сферических мультиполей, из которых состоит разложение. При этом модуль параметра представляет собой производительность, а его аргумент — начальную фазу колебания соответствующего мультиполя. Ряд (4) содержит бесконечное количество слагаемых. Однако на практике в данной сумме можно оставлять только конечное число слагаемых. Исходя из физических соображений и экспериментальных данных в большинстве случаев можно ограничиться моментами до второго порядка включительно, что соответствует удержанию в разложении: монополя, трех диполей и пяти квадруполей. При этом направленные свойства модели описываются с помощью 18-ти параметров С ami п = 0,1, 2; га = —п.п. Общее количество описывающих модель параметров L связано с порядком удерживаемых в разложении мультиполей N соотношением [77] п—0

Пусть IV — порядок мультипольности модели, то есть наибольший порядок удерживаемых в выражении для потенциала мультиполей. Тогда п = 0,1,., N и потенциал модельного излучателя (4) запишется в виде

N п

•ф{т,в,ч>) = Е Е Спт1^\кт)Р^(созв)е^. (5) тг=0 т=—п

В [79] показано, что для остаточного отрезка ряда, состоящего из отбрасываемых высших членов ряда (4), имеется равномерная оценка где М = max (г, с/?)| — максимальное значение второй производной по аргументу (р от потенциала ф на рассматриваемой сфере. СледовательN

L = 2 + 1) = 2 (N + I)2. n=N+1 но, подбором значения N можно добиться желаемой точности представления потенциала модельного источника.

Как показано в [77], условием применимости описанной точечной муль-типольной модели излучателя для описания реального монохроматического источника конечных размеров является выполнение следующих соотношений d < £i/7/(1 + £l) « 0.15е/(1 + е), kL < е, где L —линейный размер излучателя; А; —волновое число; d = L/r\ г — расстояние до точки наблюдения.

При вычислении полей мультипольпых излучателей в ограниченных областях с плоскими границами удобно использовать разложения потенциала (5) в совокупность плоских волн [77], описываемое соотношением

N п ф(г, Dnmlnrn(r, (6)

77=0 т=—п

7г/2—zoo где Inm(r, ¡3,9) = J H^(kpsmp)P¡rl(cosP)eikcos^ sin/ад

-7г/2+гоо

Dam — 1/2CnmellT^Tn~n^2] b = гк cos/?; Нш — функция Ханкеля первого рода порядка ш; р — г sin 9 — горизонтальное расстояние до точки наблюдения.

Очевидно, что самым простым является случай однородного пространства, когда значения параметра к в уравнении (1) являются постоянными.

В этом случае задача имеет точное решение, которое найдено и хорошо исследовано для различных моделей излучателей [15,23,77,86,91].

Однако в общем случае скорость распространения волн является функцией координат области распространения сигнала с = с(х, у, z), и большинство реальных сред являются неоднородными. Изменчивость среды в пространстве и времени имеет очень широкие масштабы — от 1 сантиметра до тысяч километров и от долей секунды до многих суток. Описать ее воздействие на создаваемые в ней поля чрезвычайно трудно. Крупномасштабные пространственные изменения чаще рассматривают как постепенное изменение условий распространения волны вдоль трассы [87]. Временные крупномасштабные, то есть медленные изменения условий приводят к медленным вариациям параметров поля вдали от источника. Мелкомасштабные изменения можно описывать как случайные стационарные процессы и в этих рамках искать их воздействие на волны. Таким образом при исследовании распространения волн в неоднородной среде практически всегда встает вопрос о ее модели, то есть статическом приближении, которое достаточно точно описывает ее усредненное состояние.

Исследования показали, что многие из неоднородных сред можно считать непрерывно— слоистыми, то есть допустить, что их свойства непрерывно изменяются в одном направлении (например, вертикальном) и остаются неизменными в других направлениях. В качестве характеристики таких сред удобно использовать показатель преломления n(z) = c(0)/c(z), являющийся отношением фазовой скорости при стандартных условиях с(0) к фазовой скорости в области c(z) на горизонте z. Вообще говоря, данный показатель является комплексным числом, величиной флуктуаций действительной части которого описывается степень взаимодействия волны со средой, а с помощью мнимой части — поглощение волн при их распространении в области.

Среди реальных сред, которые могут считаться непрерывно-слоистыми, наибольший интерес с точки зрения изучения полей, создаваемых низкочастотными источниками, вызывают водные среды и атмосфера.

Разнообразие моделей водных сред возникло из необходимости учесть различные типы дна, химический состав среды и многие другие факторы.

Разработки в области гидроакустики привели к моделям, которые обеспечивают полные трехмерные отображения полей, включающие эффекты изменения рельефа дна из-за подводных гор, континентальных склонов и т.п., так же как и океанографические особенности, такие как фронты и вихри движения водных масс.

Большое количество работ посвящено распространению волн в соленой воде. Под соленой понимается вода, соленость3 которой составляет около 35%. В ходе подобных исследований было установлено, что основными параметрами, характеризующими воду с точки зрения способности к распространению волн, являются температура, ее соленость и статическое давление, то есть веса вышележащих слоев воды, выявлена их зависимость от глубины, а также установлено их влияние на изменение фазовой скорости распространения колебаний в области для различных акваторий [4]. Изменения солености по глубине оказывают незначительное влияние на профиль фазовой скорости распространения волн, хотя ряд исследований позволили получить способ вычисления ее значений в соленой воде по концентрации ионов [32,33]. Наиболее распространенным методом вычисления

3Соленость — количество твердых веществ в граммах, растворенное в 1 кг воды, при условии, что все галогены заменены эквивалентным количеством хлора, все карбонаты переведены в окислы, органическое вещество сожжено. скорости распространения колебаний в соленой воде является использование формулы Вильсона [8], предложенной в 1960г. и отражающей зависимость скорости от всех трех параметров.

Применение разработанных методов к исследованию пресных вод (то есть вод соленость которых не превышает 0.1%), позволило получить аналогичную зависимость фазовой скорости распространения волны в них от температуры и давления, а также вывести общую расчетную формулу, отражающую эту зависимость. Проведено ряд исследований, уточняющих общую формулу с учетом особенностей конкретных водоемов. Так в работе [93] такая формула приведена для озера Байкал.

Основной сложностью при определении закона изменения фазовой скорости распространения колебаний в атмосфере является то, что она имеет сложную структуру, а также то, что ее свойства сильно зависят от географического расположения области исследований, времени года, погодных и многих других условий.

Исследования в области атмосферной акустики показали, что особенно резко ее свойства изменяются по вертикали, поэтому по составу, температурному режиму, электрическим характеристикам атмосфера в вертикальном направлении была разделена на слои. Для исследования распространения волн в атмосфере также разработано большое количество моделей.

По многочисленным данным, полученным прямыми и косвенными методами, определены характеристики некоторой средней, или стандартной модели атмосферы. Это условная модель, для которой заданы средние для широты 45°32'33// значения температуры, давления, плотности, вязкости и других характеристик воздуха на высотах от 2 км ниже уровня моря до внешней границы земной атмосферы. По характеру вертикального распределения температуры средняя атмосфера состоит из нескольких слоев, в каждом из которых температура аппроксимирована линейной функцией высоты [78].

Другой смысл имеют справочные модели атмосферы, являющиеся обобщением знаний о пространственно—временном распределении термодинамических параметров, составляющих скорости ветра и их изменчивости. Комитетом по космическим исследованиям было подготовлено три справочные модели: CIRA 1961, CIRA 1965, CIRA 1972. Длительное время рекомендованной к использованию оставалась модель CIRA 1972. Практически она является моделью западного полушария, хотя и были сделаны попытки дать средние характеристики по "восточному меридиану". К недостаткам этой модели можно отнести отсутствие данных о меридиональном компоненте ветра и оценки среднеквадратичных отклонений от модели, которые можно рассматривать как меру изменчивости атмосферных параметров.

Модель стандартной атмосферы США описывает вертикальные распределения температуры, давления и плотности воздуха от уровня моря до высоты 90 км для каждого месяца года от экватора до полюса. На основе ракетной информации разработан также ряд региональных эмпирических моделей структуры и циркуляции средней атмосферы [7]. Для решения некоторого класса задач были созданы модель однородной атмосферы (плотность воздуха в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой), изотермическая модель атмосферы (температура воздуха не изменяется с высотой), политропная модель атмосферы (атмосфера характеризуется линейным изменением температуры с высотой), барометрическая модель атмосферы (модель для случая произвольного распределения температуры по высоте) [50]. Однако наиболее удобной для решения практических задач является модель, предложенная NASA, выражающая зависимость фазовой скорости распространения волны от температуры и давления 4.

Поиск решения краевой задачи для неоднородных областей сопровождается рядом сложностей: точное решение может быть найдено лишь для некоторых моделей среды, однако в этом случае оно имеет интегральный вид. В связи с этим, основу исследования полей, создаваемых источниками в неоднородных областях, составляют приближенные методы. Наиболее распространенным из них является приближение геометрической акустики. Лучевое приближение позволяет качественно объяснить основные наблюдаемые в эксперименте особенности распространения волн. Существенными недостатками данной теории является отсутствие возможности прогнозирования общей продолжительности регистрируемых сигналов в зоне наблюдения, а также проникновение волн в область тени. Указанные ограничения можно преодолеть методами волновой теории.

Распространенным методом исследования полей различных источников в неоднородных областях является метод разложения по нормальным волнам. Этот метод эффективен и хорошо исследован. В [27,39,61] для расчета нормальных волн предлагается использовать метод конечных разностей, в [22,94] — асимптотический метод, в [37] — распределение нормальной волны по глубине, в [54] — осциллирующие теоремы, а в [16,18] — теорию вычетов. В [1,21,58] приводится ряд численных реализаций метода, в [20] показана возможность его применимости на низких частотах, а в [75] натурным экспериментом подтверждена его работоспособность. Недостатком метода нормальных волн является то, что точное решение волнового уравнения

Описание модели и значения температуры взяты с интернет сайта NASA. URL:http://omni\veb. gsfc.nasa.gov/vitmo/msisvitmo. html можно записать лишь для достаточно ограниченных типов вертикальных профилей с(г), а также плохо контролируемая точность полученного результата.

Достаточно полное исследование поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой являются гладкими функциями координаты г и мало изменяются на расстояниях порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы: приближение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения [18]. Приближение ВКБ является основой большого числа асимптотических методов вычисления полей в океане. Однако это приближение дает неточное значение в окрестности точек заворота лучей. Если точка заворота лежит в области быстрого изменения показателя преломления. то возникают большие погрешности по всему дальнейшему ходу луча. В зависимости от способа интерполяции с(г) величина погрешности будет различной. В [57] показано, что величина погрешности применения приближения ВКБ при вычислении поля в слоистом океане связана с неточностью асимптотического представления функций Эйри.

Актуальность темы. Анализ исследований, проводимых в рассматриваемой проблемной области показал, что для описания низкочастотных источников и изучения созданных ими полей чаще всего используется модель монополя, которая является значительным упрощением представления излучателей, так как большинство из них являются направленными.

В случаях, когда необходимо учитывать направленность излучателя используются как параметрические, так и непараметрические модели. Основной недостаток непараметрических моделей — сложности, возникающие при задании и исследовании функций, описывающих направленность источника. В этом смысле параметрические модели являются более простыми. Однако в случае использования параметрических моделей, в основном, исследовались поля в однородных областях, что также является значительным упрощением представления реальных сред, так как большинство из них являются неоднородными. В связи с этим актуальным является изучение полей, создаваемых направленными низкочастотными излучателями, в неоднородных волноводах.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей, описывающих низкочастотные источники в неоднородных областях, постановка и решение краевых задач для наиболее важных частных случаев, выбор и модификация численных способов решения поставленных задач, создание соответствующего комплекса программ, изучение основных свойств полей рассматриваемых излучателей с помощью численного моделирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: построить математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях; поставить и решить краевые задачи нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мульти-польной моделью, в случаях: а) неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; б) однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами; в) многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью; выбрать и провести необходимую модификацию численных способов решения поставленных краевых задач; создать комплекс программ для реализации численных способов решения поставленных задач и исследования полученных результатов; проверить адекватность построенной модели путем сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов с данными натурного эксперимента, приведенными в литературе; провести вычислительные эксперименты с целью исследования влияния на поле направленного 1шзкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексных переменных, численные методы, вычислительный эксперимент.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1) Построены математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2) Поставлены и решены краевые задачи нахождения поля мультиполь-ного излучателя в следующих областях: неоднородном полупространстве с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородном слое с неидеальными границами, окруженном однородными полупространствами; многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью.

3) Разработан комплекс программ для реализации моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в указанных выше волноводах.

4) Получены и проанализированы результаты численных экспериментов исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки краевых задач нахождения полей направленных низкочастотных излучателей, описываемых параметрической мультипольной моделью, в неоднородных волноводах. Кроме того результаты исследования дают возможность решения обратных задач, связанных с распознаванием источника, находящегося в неоднородной области, по создаваемому им полем.

Практическая значимость заключается в следующем: получены соотношения, которые могут быть использованы для вычисления полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных волноводах с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны; разработан программный комплекс, с помощью которого могут быть выбраны наиболее подходящие условия наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных областях с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны; полученные результаты могут быть применены к исследованию конкретных объектов, которые могут быть описаны рассмотренной моделью, например, корпуса судов, гребные винты кораблей, акустические системы, звуковещательные станции, расположенные на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах, вертолетах и т.д.; полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач, связанных с прогнозом ослабления мощности волны при ее приземном распространении: определение шума вблизи аэропортов, железных дорог и современных автострад, прогноз максимального и среднего уровней шума при небольших взрывах и выстрелах орудий.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.

2. Постановки и решения краевых задач нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого точечной мультиполь-ной моделью, в случаях: неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами, или многослойной области как модели представления слоя с произвольной неоднородностью;

- XI школа-семинар академика Л.М. Бреховских, совмещенная с XVII сессией Российского Акустического общества, г. Москва, 2006 г.

- Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, МАТ И — Российский государственный технический университет имени К.Э. Циолковского, 1-5 апреля, 2008 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского .государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2010 гг.

- Пятая Международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности". г. Санкт-Петербург, 28-30 апреля, 2008 г.

- Пятая Всероссийская научная конференция с .международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая,

2008 г.

2009 г.

Личный вклад соискателя: построение математических моделей; поиск точных и приближенных решений поставленных задач; создание комплекса программ; реализация алгоритмов вычисления полученных решений; проведение вычислительного эксперимента.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

В главе I на основании метода вычисления поля ненаправленного низкочастотного излучателя в стратифицированном полупространстве, предложенного академиком Л.М. Бреховских, получены соотношения, позволяющие рассчитывать поля для мультипольной модели излучателей, находящихся в неоднородных полупространствах с абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границей и волноводньтм или антиволноводным распространением колебаний. Основное содержание этой главы следует работам [5,6,41,65-67,70,71,76].

В главе II получены соотношения, позволяющие рассчитывать поля для мультипольной модели излучателей, находящихся в неоднородных областях при наличии возможности разбиения их на слои, то есть в случаях, когда неоднородное пространство моделируется однородным слоем, ограниченным однородными полупространствами, трехслойной областью, ограниченной однородными полупространствами, совокупностью однородных слоев или совокупностью неоднородных слоев. При написании главы использовались материалы, опубликованные в работах [68,69].

В главе III приводятся функциональные возможности разработанного для проведения вычислительного эксперимента пакета программ, результаты проведенной с его помощью проверки адекватности построенной модели путем сравнительного анализа результатов численного и натурного экспериментов, а также результаты расчетов и численного анализа полей направленного излучателя в неоднородных полупространствах с абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границей и волноводным или антиволновод-ным распространением низкочастотных колебаний. Основное содержание этой главы опубликовано в работах [5,6,41,65-67,70,71,76].

В заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты и выводы.

Библиографический список к диссертационной работе насчитывает 118 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий

2. Семенова И.В., Степанов А.Н. Поле направленного излучателя в полупространстве с аптиволноводным распространением звука // Информатика и системы управления. 2010. № 1(23). С. 30-41.

Статьи и тезисы в других журналах и изданиях

2. Звуковое поле мультипольных излучателей в стратифицированной среде / И,В. Андреева, [и др.] // Доклады XI школы-семинара академика Л.М. Бреховских, совмещенной с XVII сессией Российского Акустического общества. - М.: ГЕОС, 2006. С. 23-26.

5. Семенова И.В. Поле направленного источника в непрерывно-слоистой среде при различных профилях скорости звука // XXXIV Га-гаринские чтения: тез. докл. М.: МАТИ, 2008. С. 103-104.

С. 413-414.

Заключение диссертация на тему "Моделирование полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных областях"

Основные результаты, полученные в работе:

2. Поставлены краевые задачи, а также получены их точные и приближенные решения, позволяющие находить поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мультиполь-ной моделью, в случаях: неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний; однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами; многослойной области, как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью;

3. Произведен выбор и модификация численных методов решения поставленных краевых задач.

Вместе с тем, необходимо отметить, что в реальности излучатели, также как и датчики колебаний, могут осуществлять движение. В связи с этим, в рамках дальнейших исследований по рассмотренной тематике, может быть получено обобщение построенной модели для случая движущихся источника или датчиков колебаний.

Заключение

Библиография Семенова, Ирина Владимировна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Агеева И.С., Крупин В.Д. Структура звукового поля в мелком море. // Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 3. С. 340-345.

2. Альперт Я.Л., Гизбург B.JL, Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн. М.: Гостехиздат, 1953.

3. Андреева И.В., Бреховских Л.М. Акустика океана. URL:www.akin.ru/spravka/socean.htm.

4. Атмосфера: справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 508 с.

5. Барк JI.С., Гансон П.П., Мейстер H.A. Таблицы скорости звука в морской воде. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1961. 180 с.

6. Баранат, Р. Вычисление интегралов в теории оптической дифракции: пер. с англ.; // Компьютеры в оптических исследованиях; под. ред. Б. Фридена. М.: Мир, 1983. С. 58-109.

7. Белогорцев А., Шоркина Е. К оценке направленности излучения протяженного источника в волноводе // Акуст. журн. 1994. Т. 40. № 3. С. 435-438.

8. Блажкун А.Д., Шарфарец Б.П. Поля направленных источников и отклики направленных приемников в регулярных и нерегулярных океанических волноводах. Владивосток: Препринт, 1990. 22 с.

9. Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Общие свойства и принципиальные погрешности метода эквивалентных источников. // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 5. С. 737-750.

10. Бобровницкий Ю.И. Соотношение для импеданса излучения и потока комплексной мощности излучателя конечных размеров. // Акуст. журн. 1997. Т. 43. № 5. С. 703-704.

11. Бобровницкий Ю.И. Физическая модель и характеристики ближнего поля мультиполя. // Акуст. журн. 1998. Т. 44. № 1. С. 11-20.

12. Бреховских Л.М. Акустика океана. М.: Наука, 1974. 695 с.

13. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 243 с.

14. Бреховских Л.М. Подводная акустика. М.: Мир, 1970. 496 с.

15. Бреховских JI.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

16. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.

17. Булдырев B.C., Явор М.И. Асимптотические методы расчета звуковых полей в подводных волноводах на низких частотах. // Акуст. жури. 1982. Т. 28. № 5. С. 601-606.

18. Вагин A.B., Мальцев Н.Е. Расчеты низкочастотных звуковых полей в слоистом океане. // Вопр. судостроения. Сер.: Акустика. 1977. Вып. 9. С. 61-81.

19. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982. 243 с.

20. Гаврилов A.M., Новиков Б.К. Особенности работы параметрического излучателя в однородном слое. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 3. С. 420-427.

21. Гинзбург В.Л. Теория распространения радиоволн в ионосфере. Го-стехиздат, 1949. 243 с.

22. Гинзбург В.JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 684 с.

23. Гладкий A.B. О решении волновых уравнений явным разностным методом. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 1. С. 37-42.

24. Годин O.A. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 225. № 5. С. 1069-1072.

25. Годин O.A. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред. // Вопросы дифракции электромагнитных волн. М.: МФТИ, 1982. С. 107-114.

26. Гончаренко A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. Минск: Наука и техника, 1983. 237 с.

27. Денисов Д.А., Абрамов A.B., Абрамова Е.П. Метод расчета скорости звука в морской воде. // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 4. С. 494-500.

28. Денисов Д.А., Абрамова Е.П., Абрамов A.B. Расчет скорости звука в морской воде по известным концентрациям ионов. // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 5. С. 609-613.

29. Ди Наполи Ф.Р., Девенпорт Р.Л. Численные методы подводного распросгранения звука. // Акустика океана; / пер. с англ.; под ред. Дж. Же Санто. М.: Мир, 1982. С. 91-176.

30. Долгих В.П., Шарфарец Б.П. Совместное направленное излучение и прием в регулярных волноводах // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 654-658.

31. Жельвис A.M., Ривелис Е.А., Славянов С.Ю. Новый метод расчета нормальных волн в акустических волноводах. // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 665-669.

32. Завадский В.Ю. Вычисление полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. 558 с.

33. Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волноводных задачах акустики. М.: Наука, 1982. 243 с.

34. Захаров Л.Н., Ржевкин С.Н. Векторно-фазовые измерения в акустических полях. // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 393-401.

35. Звуковое поле мультипольных излучателей в стратифицированной среде / И.В. Андреева и др.] // Доклады XI школы-семинара академика Л.М. Бреховских, совмещенной с XVII сессией Российского Акустического общества. М.: ГЕОС, 2006. С. 23-26.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / пер. с нем. 5-е изд. М.: Наука, 1976. 576 с.

37. Камп J1. Подводная акустика. М.: Мир, 1972. 328 с.

38. Кейлис-Борок В.И. Интерференционные поверхностные волны. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

39. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. ГТТИ, 1933.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. М.: Наука, 1982. 620 с.

41. Лямшев Л.М. Об одном интегральном представлении поля точечного иточника в движущейся среде. // Акуст. журн. 1964. Т. 10. № 1. С. 123-126.

42. Мастеров В.П. К вопросу о волноводном распространении звука в слоисто-неоднородных средах. // Акуст. журн. 1959. Т. 5. № 3. С. 332-336.

43. Мастеров В.П., Муромцева В.Н. Об одном случае антиволноводно-го распространения звука в слоисто-неоднородных средах. // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 3. С. 335.

44. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гид-рометеоиздат, 1984. 725 с.

45. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

46. Носов В. Акустическое короткое замыкание в громкоговорителе и его преодоление. // Радио, 2003. № 1. С. 14.

47. О некоторых результатах моделирования дальнего распространения инфразвука в атмосфере. / С.Н. Куличков и др.]. // Известия РАН. Сер.: Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 2. С. 232-246.

48. Окомелькова И.А., Шерешевский И.А. Применение осциллирующих теорем для расчета нормальных волн. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 3. С. 487-489.

49. Пекерис С.А. Теория распространения звука взрыва в мелкой воде. Распостранение звука в океане, пер. с англ. Л.М. Бреховских. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. С. 48-156.

50. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями. // Ученые записки ЛГУ. Сер.: Маетем. науки., 1952 №. 162. Вып. 26.

51. Плоткин A.M. Оценки применимости приближения ВКБ в методе нормальных волн. // Акуст. журн. 1985. Т. 31. № 4. С. 496-501.

52. Плоткин A.M. Быстродействующий алгоритм вычисления звукового поля в слоистом океане с помощью метода нормальных волн. // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 5. С. 703-705.

53. Пономарев В.В., Шарфарец Б.П. Оценка влияния движения направленного излучателя на характер его поля в регулярном волноводе // Акуст. журн. 1992. Т. 36. № 3. С. 562-567.

54. Пресняков JI.П., Собельман И.И. О распространении электромагнитных волн в среде с переменным показателем преломления. // Радиофизика. 1965. Т. 8. № 57.

55. Применение непрерывного анализа метода Ньютона для расчета волнового распространения звука в океане / С.И. Винницкий и др.]. // Акуст. журн. 1985. Т. 31. № 6. С. 787-790.

56. Рытов С.М., Юдкевич Ф.С. Об отражении электромагнитных волн от слоя с отрицательной диэлектрической постоянной. // ЖЭТФ. 1946. № 10. С. 285.

57. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1940. 243 с.

58. Савареиский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972.

59. Семенова И.В. Поле направленного источника в непрерывно-слоистой среде при различных профилях скорости звука. // XXXIV Гагарин-ские чтения: тез. докл. М.: МАТИ, 2008. С. 103-104.

60. Семенова И.В. Точное решение волнового уравнения в непрерывно-слоистой среде. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 3. С. 150-152.

61. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в трехслойной области. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием: в 4 ч. Самара: СамГТУ, 2009. Ч. 2. С. 158-160.

62. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в неоднородном плоскопараллельном слое // Современные проблемы математики, механики и информатики: труды Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 271-274.

63. Семенова И.В. Поле направленного излучателя в полупространстве с волноводным распространением звука // Вестник Самарского гос. технического университета. Естественнонаучная серия. 2009. №2(19). С. 168-176.

64. Семенова И.В., Степанов А.Н. Поле направленного излучателя в полупространстве с антиволноводным распространением звука // Информатика и системы управления. 2010. № 1(23). С. 30-41.

65. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976. Т. 1-2.

66. Слейтер Л.Дж. Вырожденные гипергеометрические функции / пер. с англ. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1966. 250 с.

67. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

68. Сравнительный анализ методов разложения акустического поля по нормальным волнам в волноводе: численное моделирование и натурный эксперимент / А.Г. Воронови и др.. // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 4. С. 661-669.

69. Степанов А.Н. Мультипольная модель гидроакустических источников. Самара: Изд-во "Самарский университет 2000. 212 с.

70. Таблицы физических величин: справочник / под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

71. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

72. Уиттекер Е.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа / пер. с англ. М.: Физматгиз, 1962. Т.1. 343с.; 1963. Т.2. 515 с.

73. Урик Р.Дж. Основы гидроакустики. М.: Мир, 1972. 417 с.

74. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 546 с.

75. Фок В.А. Таблицы функций Эйри. М.: ГТТИ, 1946. 212 с.

76. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 518 с.

77. Шарфарец Б.П. Поле направленного излучателя в слоисто-неоднородном волноводе // Акуст. жури. 1985. Т. 31. № 1. С. 119-125.

78. Шарфарец Б.П. О поле направленных излучателей в однородном полупространстве // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 5. С. 954-956.

79. Шарфарец Б.П. Применение квазиклассического приближения для представления поля направленного излучателя в неоднородных средах // Акуст. журн. 1992. Т. 33. № 3. С. 162-165.

80. Шарфарец Б.П. Поле протяженного излучателя в нерегулярном океаническом волноводе // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 2. С. 245-349.

81. Шарфарец Б.П. Использование метода диаграммных функций для расчета поля рассеяния в однородных акустических волноводах // Научное приборостроение. 2001. Т. 2. № 3. С. 52-61.

82. Шарфарец Б.П. Представление поля давления протяженного источника в виде геометрооптического ряда в двумерном случае // Научное приборостроение. 2001. Т. 2. № 4. С. 41-45.

83. Шарфарец Б.П. Поле сферического излучателя в идеальном акустическом волноводе // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 3. С. 410-415.

84. Пресняков Л.П., Собельман И.И. О распространении электромагнитных волн в среде с переменным показателем преломления. // Радиофизика. 1965. Т. 8. № 57.

85. Шерстянкин П.П., Куимова Л.Н., Потемкин В.Л. Особенности поля скорости звука глубокого пресного водоема озера Байкал. иЯЬ:Ьир: / / nti.lin.irk.ru/ЫЫ/епё/ 1'огт1.

86. Явор М.И. Асимптотическое вычисление звуковых полей в океане при наличии глубинного и приповерхностного волноводов // Акуст. журн. 1984. Т. 30. № 4. С. 553-560.

87. Bahar Е. Radio wave propagation in critical coupling media: Comparison of the generalized WKB and Katscnelenbaum's methods // Radio Science. 1958. V. 15. № 3.P. 573-579.

88. Bailey V.A. Reflection of waves by an inhomogeneous medium // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 865.

89. Bobber Robert J. Measurement of acoustic power radiation from underwater sound transduser // IRE Nat. Convent. Rec. 1958. V. 6. № 2. P. 185-188.

90. Bremmer H. The propagation of electromagnetic waves through a stratified medium and its WKB approximation for oblique incidence // Physica. 1949. V. 15. P. 593-608.

91. Bremmer H. Terrestrial radio waves. Theory of propagation. N.Y.: Elsevier Publ. Co., 1958.

92. Burman R., Gould R.N. The reflection of waves in a generalized Epstein profile // Canad. J. Phys. 1965. V. 43. P. 921.

93. Budden K.G. The wave-guide mode theory of wave propagation. Bristol: Logos Press Acad. Press., 1961.

94. Castelnovo C., Moessner R., Sondhi S. Magnetic monopoles in spin ice // Nature. 2007. V. 451. P. 42-45.

95. Elias G.I. Das Verhalten elektromagnetischer Wellen bei räumlich veränderlichen elektrischen Eigenschaften //' ENT. 1931. V. 8. P. 4.

96. Epstein P. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1930. V. 16. P. 627.

97. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. N.Y.: Mc Graw-Hill. 380 p.

98. Försterling K. Uber die Ausbreitung des Lichtes in inhomogenen Medien // Ann. Phys. 1931. V. 11. P. 1.

99. Försterling K., Wüster H.O. On reflection in inhomogeneous media //Ann. Phys. 1950. V. 8. P. 129.

100. Gupta R.N., Reflection of sound waves from transition layers //J. Acoust. Soc. America. 1966. V. 39. № 2. P. 255.

101. Haddenhorst H.G. Durchgang von elektromagnetischen Wellen durch inhomogene Schichten // Z. angew. Phys. 1955. V. 8. P. 487.

102. Heading J. Refractive index profiles based on the hypergeometric equation and the confluent hypergeometric equation // Proc. Camb. Phil. Soc. 1965. V. 61. № 4. P. 897-913.

103. Heading J. Propagation in an inhomogeneous gyrational medium // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. V. 22. № 1. P. 75-86.

104. Heller G.S. Reflection of acoustic waves from in inhomogeneous fluid medium // J. Acoust. Soc. America. 1953. V. 25. P. 1104.

105. Hines C.O. Reflection of waves from varying media // Quart. Appl. Math. 1953. V. 1. P. 11.

106. Horton C.W., Sabey A.E. Studies on the near field of monopole and dipole acoustic sources //J. Acoust. Soc. Amer. 1958. V. 30. № 12. P. 1088-1099.

107. Hufford G.A. A note on the wave propagation through an inhomogeneous medium //J. Appl. Phys. 1953. V. 24. P. 268.

108. Iamada R. On the radio wave propagation in a stratified atmosphere // J. Phys. Soc. Japan. 1955. V. 10. P. 71.

109. James G.L. Geometrical theory of diffraction for electromagnetic waves. Stevenage: Peter Peregrinus, 1976. 254 p.

110. Jones D.S. High-frequency refraction and diffraction in general media // Philos. Trans., Ser. A. 1963. V. 255. № 1058. P. 341.

111. Kahan T., Eckart G. A general account of asymptotic expansions in wave propagation. // Rev. sci. Paris. 1949. № 87.P. 3.

112. Lesser M.B. Uniformly valid perturbation series for wave propagation in an inhomogeneous medium //J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 47. № 5(2). P. 1297.

113. Muskat M., Meres M.W. Reflection and transmission coefficients for plane waves in elastic media. // Geophysics. 1940. № 5. P. 115.

114. Pachner J. On the dependence of directivity patterns on the distance from emmiter // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. V. 28. № 1. P.86-90.

115. Rawer K. Elektrische Wellen in einem geschichteten Medium. // Ann. Phys. 1939. № 35. P. 385.

116. Samsel R.W., Henry G.E. An underwater acoustics intensity probe //J. Acoust. Soc. Amer. 1953. V. 25. № 4. P.823-824.

117. Tolstoy I., Clay C.S. Ocean acoustics; theory and experiment in underwater sound. N.Y.: Mc Craw-Hill Book Co., 1966, 239 p.

118. Wait J.R. Electromagnetic waves in stratified media. N.Y.: Pergamon Press, 1970, 608 p.

119. Wallot J. Der senkrechte Durchgang elektromagnetischer Wellen durch eine Schicht räumlich veränderlicher Dielektrizitätskonstante // Ann. Phys. 1919. № 60. P. 734.

120. Ware J.A., Aki K. Continuous and discrete inverse-scattering problems in a tratified elastic medium. I. Plane waves in normal incidence //J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45. № 4. P. 911.

121. Westcott B.S. Soluble profiles for inhomogeneous gyrational media // Quart, J. Mech. Appl. Math. 1979. V. 23. № 3. P. 431-440.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00