автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование многокритериальной динамической системы с нечеткой постановкой для принятия решений при планировании производства

БРОДСКИЙ Михаил Ильич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКОЙ ПОСТАНОВКОЙ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА (НА ПРИМЕРЕ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ)

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тюмень-2006

БРОДСКИЙ Михаил Ильич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКОЙ ПОСТАНОВКОЙ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА (НА ПРИМЕРЕ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ)

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тюмень — 2006

Работа выполнена на кафедре АСОИиУ . ГОУ В ПО «Омский государственный технический университет»

доктор технических наук, профессор Чуканов Сергей Николаевич.

доктор технических наук, профессор Шапцев Валерий Алексеевич,

доктор технических наук, профессор Хомченко Василий Герасимович.

Федеральное государственное унитарное предприятие «Центральное конструкторское бюро автоматики», г. Омск

Защита состоится 19 декабря 2006 г. в 1200 часов на заседании диссертационного совета К 212.274.01 при Тюменском государственном университете по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская 15А, ауд.217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан « dh ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Бутакова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Сегодня в условиях жесткой рыночной конкуренции, руководители предприятий вынуждены опираться на помощь автоматизированных систем для принятия эффективных решений управления. В свою очередь, автоматизированные системы должны базироваться на современных математических методах, обеспечивать поддержку принятия сложных решений, учитывая многие цели и ограничения в работе предприятия.

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью многокритериального моделирования поддержки принятия решений при планировании производственных процессов на предприятии. Современные программные комплексы уже в успешно автоматизируют этап документооборота на предприятии, позволяют составлять различные аналитические отчеты и выборки. Однако системы поддержки принятия решений, позволяющие руководителю принимать математически просчитанные оптимальные решения, практически отсутствуют на рынке программных продуктов. Так, например, в работе приведено описание таких известных на этом рынке систем, как FINeCHAIN Manufacturing Solution, Factelligence, ORTEMS APS. Все эти системы решают множество задач автоматизации, но не решают проблему, поднятую в диссертации. Универсальные пакеты для решения задач оптимизации, такие как OPL Studio и GLPK, не позволяют учесть в модели все предъявляемые к работе требования. Использование же механизмов языка программирования Visual Prolog, на котором, как правило, создаются системы поддержки принятия решений, не столь эффективно для реализации алгоритмов многокритериальной оптимизации.

В основу работы положено три актуальных научных направления.

Во-первых, это многокритериальная оптимизация с учетом нахождения компромиссного решения в случаях Парето-неразрешимости исходной задачи. При внедрении систем оптимизации в работу, как правило, возникает вопрос о возможности результата удовлетворять сразу нескольким критериям. Поэтому высокую практическую значимость будет иметь система, базирующаяся именно на методах многокритериальной оптимизации.

Во-вторых, процессы, происходящие на предприятии, важно рассматривать с течением времени, анализировать по временным интервалам, поэтому следующим направлением стало использование принципов динамического программирования. Необходим подход, актуальный для использования в условиях динамично изменяющейся ситуации на рынке, и суть его заключается в том, что решение на каждом следующем шаге зависит от предыдущих.

В-третьих, для нахождения компромиссного решения в случаях Парето-неразрешимости исходной задачи был выбран нечеткий подход к выполнению целей и ограничений. Практика показывает высокую эффективность сочетания нечеткой логики и задач оптимизации, так называемую «фазификациию» целей и ограничений.

Тема исследования была выбрана следующая: создание программного комплекса для поддержки принятия решения в процессе Производства, в основу которой положен специализированный математический аппарат, объединяющий все три вышеуказанных направления.

Актуальность данной проблемы, недостаточная изученность отдельных теоретических и прикладных аспектов применительно к современным условиям определили выбор темы диссертационной работы и рассматриваемый в ней круг вопросов.

Состояние изученности проблемы. Вопросы многокритериальной оптимизации, динамического программирования и нечеткой логики исследовались большим кругом специалистов. Среди ученых, работавших над проблемой многокритериальной оптимизации, следует выделить Р. Штойера, основные работы по динамическому программированию принадлежат Р. И. Беллману, значительные разработки в области нечеткой логики - Л. А. Заде.

Не так давно возникло научное направление, объединяющее нечеткую логику и динамическое программирование, — нечеткое динамическое программирование. В рамках данного направления хорошо известны работы Дж. Кас-пржика, Т. Тэрано, А. О. Эзогби. Изучением применения нечеткого динамического программирования к задачам многокритериальной оптимизации занимались М.Л.Хуссеин, М. Фридман. Из российских ученых, работающих в данном

направлении, следует выделить Д. А. Поспелова, А. Е. Алтунина, М. В. Сему-хина.

Однако, несмотря на достаточно глубокую разработанность многих теоретико-методологических аспектов данной проблемы, в большинстве исследований мало внимания уделяется вопросам создания рекуррентных соотношений для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования, которая заключается в так называемом «проклятии размерности».

Соответствие паспорту специальности. Все вышеизложенное послужило основанием для выбора направления исследования, определения целей и задач диссертационной работы. Тема диссертации соответствует пунктам 5, б Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Цель и задачи исследования. Целью работы является создание программного комплекса для поддержки принятия решения в процессе производства и выпуска продукции, которая предназначена для моделирования и автоматизации деятельности управляющих структур предприятия и оптимизации выпуска продукции. При проектировании системы в основу должен был быть положен математический аппарат, способный решать задачи многокритериальной оптимизации динамической системы в нечеткой постановке — Multiobjec-tive Fuzzy Dynamic Programming (MFDP). В соответствии с целью диссертаци-: онного исследования были поставлены следующие задачи:

— разработать рекуррентные соотношения для решения задач многокритериальной оптимизации динамической системы в нечеткой постановке;

— создать комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

— провести моделирование на базе созданного программного комплекса.

В возможности программного комплекса должны входить: .......

— расчет объемов планируемого выпуска продукции по временным интер- . валам (дням, месяцам и т.д.) с учетом заданных ограничений;

— возможность указывать, по крайней мере, две цели оптимизации;

- использование лингвистических переменных для определения степени достижения целей и выполнения ограничений.

Методы исследования. В данной работе методы исследования следует разделить на теоретические и практические.

К теоретическим методам исследования относятся следующие научные направления:

- многокритериальная оптимизация;

- пошаговое принятие решений;

- метод динамического программирования Р. Беллмана;

- методы оценки взаимосвязи нечетких целевых функционалов К. Карлсон;

- нечеткая логика Л. Заде.

К практическим методам исследования относятся:

- реализация алгоритма на языке программирования С#, входящим в состав Visual Studio .NET;

- проектирование и создание базы данных на СУБД Microsoft SQL Server 2000.

Теоретической и методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных ученых, а также практиков в области организации оптимальных производственных процессов. В качестве исходных источников информации использовались производственно-технологические рецептурные карты ЗАО «Регион-продукт», материалы личных исследований автора, опубликованные монографии, статьи, авторефераты.

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей и задач применялись апробированные отечественным и мировым опытом методологические подходы, связанные с использованием системного анализа и частных математических методов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем: - выведены рекуррентные соотношения для метода многокритериального нечеткого динамического программирования, которые обеспечивают нахождение оптимального решения в задачах планирования производства;

- разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

- приведены результаты моделирования поддержки принятия решений в процессе производства и выпуска продукции пищевой промышленности.

Основные положения, выносимые на защиту:

— рекуррентные соотношения для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования;

- комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

-результаты моделирования поддержки принятия решений в процессе производства и выпуска продукции пищевой промышленности.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанной системы поддержки принятия решений для планирования производственных процессов на предприятиях РФ. Благодаря гибкости системы, она может быть настроена на расчет оптимального количества продукции для производства практически любой группы товаров, при условии, если исходные компоненты заданы количественно. Практическая значимость диссертационной работы подтверждается актом внедрения системы в ЗАО «Регион-продукт» (г. Омск).

Апробация проведенных исследований. Теоретические результаты исследований и, основанные на них, практические рекомендации докладывались и получили одобрение на ХЬ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (2002 г., Новосибирск), Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (2002 г., Новосибирск), Ежегодном научном семинаре аспирантов и студентов-выпускников «Под знаком «X» (2002 г., Омск), ХЫ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (2003 г., Новосибирск), XI Всероссийском семинаре «Нейроинформатика и ее приложения» (3-5 октября 2003 г., Красноярск), II Всероссийской научно-практической конференции «Молодежь и современные

информационные технологии» (2004 г., Томск), V Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (16-18 ноября 2004 г., Омск), III Международном технологическом конгрессе «Военная техника, вооружения и технологии двойного применения» (7-10 июня 2005 г., Омск), III Всероссийской научной молодежной конференции «Под знаком «X» (4-6 июля 2005 г., Омск), а также на научно-методических семинарах кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Омского государственного технического университета и семинаре в Тюменском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 158 наименований и приложений. Работа изложена на 113 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 22 рисунок и 4 приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается характеристика ее общей изученности, сформулирована цель и задачи, определены объект и предмет исследования, научная новизна, практическая значимость и основные направления апробации выполненной работы.

В первой главе приведен обзор существующих методов решения проблемы. Рассматриваются методы представлений дифференциальных уравнений динамики в нечетком виде: прямой метод Фридмана (нечеткая динамика как альтернатива статистической механики) и обратный метод Каспержика (многошаговое принятие решений в нечетких условиях при фиксированном времени окончания).

Кроме этого, в главе приведен алгоритм нечеткого итеративного динамического программирования (Fuzzy iterative dynamic programming - FIDP) и описаны работы по управлению динамическими системами в нечетких условиях.

Приведен обзор существующих систем для оптимизации производства.

• Во второй главе дается теоретическое обоснование и подробное описание используемого математического аппарата, используемого в программном комплексе поддержки принятия решений.

Формализуем постановку задачи в математической форме. Определим i-ый функционал

Ди,) = 2; = / (T(//G,(x,), и,))} I = Г(хл и,)> (1а)

где Т - треугольная норма, являющаяся моделью оператора конъюнкции для нечетких переменных, /4;,(х,) - функция принадлежности /-ой цели (/ = 1, ... ,7), /4{х,) - функция принадлежности ограничений, 7/— терминальный шаг (время изменяется дискретно от 1 до TJ).

Постановкой задачи является нахождение такой оптимальной последовательности решений {иь ... , и7}, при которой многокритериальные цели достигают их оптимальных значений одновременно в течение многоступенчатого процесса принятия решения:

max|Uf6iv = 1.... , т {[/i(uf)> ••• >Ли/)]| х,+ 1 =■ f(x, u/)}» (1)

где /(и,) - численное значение, достигаемое / - ой целью при формировании решения u,eQ на шаге /; Q - пространство векторов решений, удовлетворяющих соотношениям динамики системы и ограничениям:

П = {u,|x,4 = f(x„ u,); g(x„ u,)<b}, (2)

где х,^/?^- вектор состояния динамической системы; и— вектор решений, соответственно; g eRK — вектор функций ограничений; b eR* — вектор границ ограничений.

Принятие решений возможно, если имеется множество допустимых альтернатив решений umeQ. Альтернатива решений и' предпочитается альтернативе um, если f,(u')>f,(um), Vi. Альтернатива и' строго эффективна (оптимальна по Парето), если невозможно найти такую альтернативу uOT {l&ri), что /(uw) > f,(u') Vi и fj{um) > Ди') для хотя бы одного /'. Задача определения решения и*, такого что /(и*) > f,(um) tiim и Vi, может быть решена, если существует набор возможных "четких" альтернатив и имеется модель предпочтений.

Задача нахождения такой последовательности решений {иь ... , иг}, при которой многокритериальные цели достигают их оптимальных значений при выполнении нечетких целей Gi и нечетких ограничений Ск, может быть поставлена как задача нахождения максимума функционала:

тах|и/бП, t. 1.....-1 Т(//с(х,), //¿(х

/»и/))}> (3)

при выполнении динамических соотношений перехода: хж = и,).

Обозначим как и,) - функцию принадлежности выполнения ограни-

чений ^<х„ и,), Л=1, ... , К [10 - 14]:

Мск{*и и,) = 0, если и) > Ьк+рк\

«/) = [Ьк +Рк~ и,)Урь если Ък < gk(xtt и,) <Ьк+ рк; (4) Рск(х„ и,) = 1, если и/) < Ьк;

где рк - величины "нечеткости" офаничений.

Ограничения могут быть агрегированы с помощью треугольной Т - нормы: //е(х„ и,) = Т{/4:1(х„ и,), ... , и,)}.

В дальнейшем будем использовать функцию минимума в качестве Т - нормы:

//с(х„ и,) = тт{/^(х,, и,),..., /^А<х„ и,)}. (5)

Определим функции принадлежности }Ло1 выполнения I - ой цели:

А;/11) = 0» если/(и)<от,;

= (Л(и) - т,)т - т,), если т,<Ди)<Л/;; (6)

/4;,(и) = 1, еслиДи)>Л4

где максимальные требования выполнения цели М/ [<шах|иеГ^(и)]; минимальные требования /и, [>т/и!и£#)].

Если при принятии многокритериальных решений с взаимосвязанными критериями имеются находящиеся в противоречии цели, то не существует оптимального решения, удовлетворяющего всем критериям.

Пустьцелевые функции. Будем считать, что [1]:

I. / кооперируется с £ (/ГГ^), если из /(и )>/,(и) следует Ди 0>Ди); V и иеП;

II.У- конфликтует если из/(и 0>/(и) следуетДи )<Ди); и еП; Ul.fi инезависимы, иначе.

Пусть /, - целевая функция; введем степень взаимозависимости функции ^ от других целевых функций £

Л(Л) = {щ -кш1) + - (2^и>у); / = 1, ... , I. (7)

Вычислим для / = 1, ... , / и изменим функции принадлежности выполнения целей в зависимости от Д^) следующим образом:

Мс,(и,А)= /^,(«)ехр(аМ). (8)

Значение критерия тах„еП{дз(и)} - максимизируют совместно все цели; ¿гс((и)е[0, !]; ' = ••• » ^ Мз(«) = ... , Аз/»)}; поэтому критерий

тахиеП{/4;(и)} можно считать агрегированным критерием целей Сь ... , <7/. Если относительная важность задается набором весов: ч> - (и>ь ... , м/); \у,>0; Д _ /м>, = 1, то для афегирования может использоваться оператор Колмогорова:

М") = <р-1(Г1 Фь.СиЖ

где - гладкая монотонная функция и <р(0) = 0; <р( 1) = 1. Тогда в качестве критерия будет выступать значение:

тахиеП{<р'\Г] ^(^.(11)))}. (9)

При формировании решения должны выполняться нечеткие цели С и нечеткие ограничения С. Функция принадлежности степени выполнения агрегированной цели при формировании решения на шаге t может измеряться функцией принадлежности /4>(х/, и,) [2]:

и,) = Т{/А3(х/),/^(х„ и,)}; (10)

где ^с(х„ и,) = Т{/А-,(х„ и,), ... , и,)} - треугольная Т - норма функций

принадлежности выполнения ограничений (см. (4)) на шаге Г; /^Хх,) - агрегированный критерий нечетких целей (см. (9)) на шаге /. Для множества решений

выбирается такой вектор решений и,*, который имеет наибольшую степень выполнимости /л^х,, и,):

/Ъ*(х„ 11/*) = тахи,еП, //д(х„ и,) = тахи,еПТ {/^(х,), <х„ и,)}. (11)

Прямое применение метода нечеткого динамического программирования для формирования оптимальных решений затруднено следующими обстоятельствами: (1) "проклятие размерности" - требование большого объема адресуемого пространства запоминающего устройства (в зависимости от количества узлов и размерности вектора состояния, количества узлов и размерности вектора управления и требуемого числа шагов); для решения этой проблемы необходимо применять итерационные методы; (2) требуемая траектория вектора состояния и вектора управления не совпадает с предусмотренными узлами вектора состояния и вектора управления; для решения этой проблемы необходимо применять методы аппроксимации между узлами; (3) для выполнения начальный условий, накладываемых на вектор состояния Х\, необходимо чтобы векторы состояния х, удовлетворяли динамическим соотношениям перехода:

х/+1 = Ци,, х,); / = 1, ... , Т- 1,

с требуемым начальным вектором состояния хР

Сформулируем многоступенчатый метод решения многокритериальной задачи в форме соотношения:

тах|И|бП/,-1.....7{/ъ(и(1))|х,ч = Г(х„ и,)}, (12)

где: А)(и(0) = Е,- Л/ъОь и/); и(1) = {и|, и2, ... , и7}; //¿>(х(, и,) - определяется из соотношения (10).

Определим величину Ф,(иЛ х,) на шаге / соотношением:

Ф,(и„ х<) = {А^(0(и)|х,+ 1 = Г(х„ и,); т>1] (13)

и оптимальную величину Ф,*(и„ х,) на шаге * соотношением:

Ф,*(и„ х,) = тах|иг€ПгГ^,.....г{Аз(°(«(/))|х/, 1 = Дх„ и,); г>0 (14)

где

Яо(,)(И(0> = иг); и(0 = (и„ и,+ь ... , иг}. (15)

Тогда принцип обычного динамического программирования в случае нечеткой постановки преобразуется в рекуррентное соотношение:

.ф/(и,/х,)■= max|u,6n,{/b(0(u(0) + Ф,+ 1 Wbx,+i)}; t = Г, Т- 1,... ,1, (16>

где цг - решение на шаге /; оптимальная последовательность векторов решений

"(/)*= {и/, и/+Л ... , и/}, при которых выполняется соотношение (16), должна определяться для всех узлов х,. После получения оптимальной последовательности решений u(I) = {ui , ... , и/} может быть определена последовательность векторов состояний, удовлетворяющих динамическим соотношениям:

хм, = f[u,*(x,), х,]; t = 1, ... , T- 1

и начальному условию Xj.

В третьей главе представлено описание программного комплекса поддержки принятия решений.

Комплекс создан на языке программирования С# из пакета Microsoft Visual Studio .Net с использованием СУБД Microsoft SQL Server 2000. Её целью является поддержка принятия решений управляющих структур предприятия по объемам выпуска продукции.

Для начала следует задать основные исходные данные о технологии производства. Для этого необходимо воспользоваться автоматизированным рабочим местом технолога производства: спроектировать и задать основные параметры производства каждого товара, составить рецептуру производства и определиться с количеством требуемого сырья, временем изготовления и прочими ограничивающими факторами. Затем требуется задать нормативно-справочную информацию, далее снять данные о количестве и видах сырья на складе. Этим занимается оператор склада на своём автоматизированном рабочем месте. В конце нужно выделить ряд критериев, которые требуется оптимизировать и задать их параметры.

Все данные нужно подать на входе системы, задав предварительно информацию о видах отчётов и получаемой информации. Основной алгоритм системы должен провести многокритериальную оптимизацию, то есть решить задачу оптимизации для всех заданных критериев с учётом ограничений. После этого

можно пользоваться полученными результатами для принятия конкретных решений о выпуске продукции.

На рис.1 приведены скриншоты некоторых диалоговых окон программного комплекса.

с=э а

•>. - о »А«-*»»«

ЕЗ а

.АЛЬфЛАЛб*»-«***- : • 1__Л ео

¡о

ГС ' £ИЗ

р м-"-*" йИЗ

§1 РТ

• р а" ч • • . | У"~1

ЕО

Р~1

Рис.1. Скриншоты диалоговых окон программного комплекса.

В четвёртой главе приведены результаты моделирования системы оптимизации. Проведено два варианта моделирования. Для первого варианта моделирования была избрана цель составить оптимальный план производства (первый критерий) и оптимальный план завоза основного сырья (второй критерий) для производства вареных колбас на год. Для второго варианта моделирования были выбраны аналогичные параметры для производства копченостей. Кроме того, одной из целей проведения моделирования вышеуказанных вариантов являлось обоснование достоверности функционирования разработанного программного комплекса.

Исходные данные для вариантов моделирования приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные для вариантов моделирования

Месяц План производства (с накоплением) (кг) Вариант N91 План завоза сырья (кг) Вариант №1 План производства (с накоплением) (кг) Вариант №2 План завоза сырья (кг) Вариант N>2

Январь 3000 2000 8000 5000

Февраль 5000 2000 15000 5000

Март 8000 2000 21000 4000

Апрель 12000 4000 28000 5000

Май 20000 5000 30000 3000

Июнь 22000 4000 35000 3000

Июль 25000 5000 39000 3000

Август 30000 4000 50000 4000

Сентябрь 35000 5000 58000 5000

Октябрь 40000 4000 60000 4000

Ноябрь 45000 5000 64000 5000

Декабрь 50000 4000 72000 4000

Результаты моделирования приведены на рис. 2 для первого варианта и на рис. 3 для второго.

Варвмыв колбасы

Оптимальное коп-во 51 050 кг в год. Основное сырьё - гоядина

— План про-ва -План сырья ...... Опт. план про-ва -Опт. план сырья |

у * sУ/

1 is), <гг оV

Рис. 2. Графические результаты моделирования (Вариант 1).

В ходе анализа полученных результатов моделирования первого варианта приводятся следующие данные: среднее отклонение оптимального плана производства от исходного составило 727 кг/месяц, что составляет около 1,5% от общего объема производства в год. Среднее отклонение оптимального плана завоза сырья от исходного составило 916 кг/месяц, что составляет около 2% от общего объема завоза сырья в год. Среднее значение функции принадлежности степени выполнения цели №1 составляет 0,93, цели №2 — 0,78, что является достаточно высокими результатами.

Копчёности

Оптимальное кол-во 69 640 кг в год. Основное сырьё - свинина (70%)

-План про-ва

■ План сырья

Опт. план про-ва

»Опт. план сырья

Рис. 3. Графические результаты моделирования (Вариант №2).

Данные, полученные в ходе анализов результатов моделирования второго варианта, следующие: среднее отклонение оптимального плана производства от исходного составило 926 кг/месяц, что составляет около 1,3% от общего объема производства в год. Среднее отклонение оптимального плана завоза сырья от исходного составило 167 кг/месяц, что составляет около 0,3% от общего объема завоза сырья в год. Среднее значение функции принадлежности степени вы-

полнения цели №1 составляет 0,89, цели №2 — 0,95, что является достаточно высокими результатами, как и у варианта моделирования №1.

В заключении обобщены результаты работы и сформулированы практические рекомендации по их использованию.

Программный комплекс, созданный в рамках диссертационной работы, позволят принимать математически обоснованные решения об объёмах производства, максимально выгодные, исходя из имеющихся ресурсов. Он заполняет нишу таких" программных продуктов, как СППР для производства, базирующихся на оптимизационных методах.

В целом следует отметить, что в результате применения программного комплекса для поддержки принятия решений удалось смоделировать оптимальный план производства, план поступления сырья и обойти Парето-неразрешимость с достаточно небольшими отклонениями от исходных планов, благодаря внедрению в многокритериальную оптимизацию динамической системы элементов нечеткой логики.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих научных работах:

1. Бродский М.И. Использование динамического программирования и нечетких методов для многокритериального принятия решений. // Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч.-техн. конф. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. Кн.1. - с. 355-359.

2. Бродский М.И. К вопросу об управляемости динамическими системами в нечетких условиях // Материалы ежегодного научного семинара аспирантов и студентов-выпускников «Под знаком «X»- — Омск: ООО «Издательство полиграфист», 2003. - с. 15-21.

3. Бродский М.И. Многокритериальная оптимизация в нечеткой постановке. Наука. Техника. Инновации // Регион, науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых.: Тез. докл. в 5 частях Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. Часть 1.-е. 34-35.

4. Бродский М.И. Многокритериальная оптимизация динамической системы в нечеткой постановке // III Всероссийская научная молодежная конференция «Под знаком «2]»: Тез. докл. - Омск: Полиграф, центр операт. печати, 2005.-с. 67-68.

5. Бродский М.И. Многокритериальная оптимизация динамической системы в нечеткой постановке: описание системы // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения: Матер. III Междунар. технол. конгресса. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2005 г. - Ч. И. - с. 17-18.

6. Бродский М.И. Нечеткая динамика как альтернативный метод обработки статистической информации // Материалы XLI Междунар. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Информационные технологии / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2003. - с. 104-105.

7. Бродский М.И. Нечеткая динамика как альтернативный метод обработки статистической информации // Материалы XLI Междунар. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2003. - с. 102-103.

8. Бродский М.И. Применение FDP к многокритериальным методам принятия решения // Математические структуры и моделирование: Сб. науч. тр./ Под ред. А.К.Гуца. - Омск: Омск. Гос. Ун-т, 2003 - Вып. 12. - с.5-9

9. Бродский М.И., Силков A.M. Опыт создания программного продукта для многокриетриальной оптимизации нечеткой динамической системы // Молодежь и современные информационные технологии. Материалы тр. II Всерос. науч.-практ. конф. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - с. 92-93.

10. Бродский М.И., Чуканов С.Н. Применение нечеткого динамического программирования в задачах многокритериального многоступенчатого принятия решения // Омский научный вестник - 2004 — №4(29). — с. 74-78.

11. Бродский М.И., Чуканов С.Н. Эволюционные NFS. // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы XI Всерос. семинара, 3-5 октября 2003 г. / Под ред. А.Н.Горбаня, Е.М.Миркеса. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003. -с .21-22

Бродский М.И.Опыт создания автоматизированной системы управления производством ЗАО «Регион-продукт» // Материалы ХЬ Междун. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Управление. - Новосибирск: СибАГС, 2002. - с. 20-21.

Отпечатано с оригинала-макета, предоставленного автором

ИД № 06039 от 12.10.2001

Подписано к печати 10.11.2006. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16 Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 718.

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11 Типография ОмГТУ

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НЕЧЕТКОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ СИСТЕМ.

1.1. Метод нечеткого принятия решений по Беллману и Заде.

1.2. Прямой метод Фридмана: нечеткая динамика как альтернатива статистической механики.

1.3. Обратный метод Каспержика: многошаговое принятие решений в нечетких условиях при фиксированном времени окончания.

1.4. Нечеткое итеративное динамическое программирование (FIDP).

1.5. Обобщенный обзор литературы.

1.6. Позиционирование MES-систем, обзор существующих систем.

1.6.1. Система FINeCHAIN Manufacturing Solution.

1.6.2. Система ORTEMS APS.

1.6.3. Система Factelligence.

1.7. История постановки задачи по управлению динамической системой.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА.

2.1. Классические методы оптимизации в однокритериальных задачах.

2.2. Многокритериальная оптимизация.

2.3. Принцип Парето.

2.4. Нечёткость в задачах оптимизации.

2.5. Алгоритм нечёткого представления данных.

2.6. Нечёткий подход к многокритериальному методу динамического программирования.

2.7. Постановка задачи многокритериальной многоступенчатой оптимизации

2.8. Формирование функций принадлежности выполнения целей и ограничений.

2.9. Оценка взаимозависимости целевых функций.

2.10. Рекуррентные соотношения для решения проблемы FDP.

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА.

3.1. Постановка задачи, цель и назначение программного комплекса.

3.2. Технико-экономическая и организационная сущность задачи.

3.3. Информационные потоки и структура программного комплекса.

3.4. Использование выходной информации.

3.5. Описание алгоритма функционирования программного комплекса.

3.6. Программное обеспечение.

3.6.1. Операционная система пользователя.

3.6.2. Операционная система сервера.

3.6.3. СУБД сервера.

3.6.4. Среда разработки.

3.7. Обоснование и выбор технических средств.

3.7.1. Требования к рабочим станциям.

3.7.2. Требования к серверу.

3.7.3. Требования к ЛВС.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

4.1. Вариант 1: Цель моделирования.

4.1.1. Вариант 1: Модель выпуска вареных колбас на год.

4.1.2. Вариант 1: Результаты.

4.1.3. Вариант 1: Анализ результатов моделирования.

4.2. Вариант 2: Цель моделирования.

4.2.1. Вариант 2: Модель выпуска копченых продуктов на год.

4.2.2. Вариант 2: Результаты.

4.2.3. Вариант 2: Анализ результатов моделирования.

4.3. Общий анализ результатов моделирования.

4.4. Практическое использование результатов работы.

Актуальность темы исследования. На сегодняшний день, в условиях жесткой рыночной конкуренции, руководители предприятий вынуждены опираться на помощь автоматизированных систем для принятия эффективных решений управления. В свою очередь, автоматизированные системы должны базироваться на современных математических методах, обеспечивать поддержку принятия сложных решений, учитывая многие цели и ограничения в работе предприятия.

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью многокритериального моделирования поддержки принятия решений при планировании производственных процессов на предприятии. Современные программные комплексы уже в совершенстве автоматизируют этап документооборота на предприятии, позволяют составлять различные аналитические отчеты и выборки. Однако системы поддержки принятия решений, позволяющие руководителю принимать математически просчитанные оптимальные решения, практически отсутствуют на рынке программных продуктов. Так, например, в работе приведено описание таких известных на этом рынке систем, как FINeCHAIN Manufacturing Solution, Factelligence, ORTEMS APS. Все эти системы решают множество задач автоматизации, но не решают проблему, поднятую в диссертации. Универсальные пакеты для решения задач оптимизации, такие как OPL Studio и GLPK, не позволяют учесть в модели все предъявляемые к работе требования. Использование же механизмов языка программирования Visual Prolog, на котором, как правило, создаются системы поддержки принятия решений, не столь эффективно для реализации алгоритмов многокритериальной оптимизации.

В основу работы положено три актуальных научных направления.

Во-первых, это многокритериальная оптимизация с учетом нахождения компромиссного решения в случаях Парето-неразрешимости исходной задачи. При внедрении систем оптимизации в работу, как правило, возникает вопрос о возможности результата удовлетворять сразу нескольким критериям. Поэтому высокую практическую значимость будет иметь система, базирующаяся именно на методах многокритериальной оптимизации.

Во-вторых, процессы, происходящие на предприятии, важно рассматривать с течением времени, анализировать по временным интервалам, поэтому вторым направлением стало использование принципов динамического программирования. Необходим подход, актуальный для использования в условиях динамично изменяющейся ситуации на рынке, и суть его заключается в том, что решение на каждом следующем шаге зависит от предыдущих.

В-третьих, для нахождения компромиссного решения в случаях Парето-неразрешимости исходной задачи был выбран нечеткий подход к выполнению целей и ограничений. Практика показывает высокую эффективность сочетания нечеткой логики и задач оптимизации, так называемой «фазификацией» целей и ограничений [100,124,126,134].

Тема исследования была выбрана следующая: создание программного комплекса для поддержки принятия решений в процессе производства, в основу которого положен специализированный математический аппарат, объединяющий все три вышеуказанных направления.

Актуальность данной проблемы, недостаточная изученность отдельных теоретических и прикладных аспектов применительно к современным условиям определили выбор темы диссертационной работы и рассматриваемый в ней круг вопросов.

Состояние изученности проблемы. Вопросы многокритериальной оптимизации, динамического программирования и нечеткой логики исследовались большим кругом специалистов. Среди ученых, работавших над проблемой многокритериальной оптимизации, следует выделить Р. Штойера, основные работы по динамическому программированию принадлежат Р. И. Беллману [3,4], значительные разработки в области нечеткой логики - J1. А. Заде [18].

Не так давно возникло научное направление, объединяющее нечеткую логику и динамическое программирование, - нечеткое динамическое программирование. В рамках данного направления хорошо известны работы Дж. Каспржика [88-92], Т. Тэрано [138], А. О. Эзогби [92]. Изучением применения нечеткого динамического программирования к задачам многокритериальной оптимизации занимались М. JI. Хуссейн [84,85], М. Фридман [80]. Из российских ученых, работающих в данном направлении, следует выделить Д. А. Поспелова [22], А. Е. Алтунина, М. В. Семухина [1].

Однако, несмотря на достаточно глубокую разработанность многих теоретико-методологических аспектов данной проблемы, в большинстве исследований мало внимания уделяется вопросам создания рекуррентных соотношений для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования, которая заключается в так называемом «проклятии размерности».

Соответствие паспорту специальности. Тема диссертации соответствует пунктам 5, 6 Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п.5: «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п.6 «Комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Цель и задачи исследования. Целью работы является создание программного комплекса для поддержки принятия решения в процессе производства и выпуска продукции, который предназначен для моделирования и автоматизации деятельности управляющих структур предприятия и оптимизации выпуска продукции. При проектировании системы в основу должен был быть положен математический аппарат, способный решать задачи многокритериальной оптимизации динамической системы в нечеткой постановке - Multiobjective Fuzzy Dynamic Programming (MFDP). В соответствии с целью диссертационного исследования были поставлены следующие задачи:

- вывод рекуррентных соотношений для решения задач многокритериальной оптимизации динамической системы в нечеткой постановке;

- создание комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

- непосредственно проведение моделирования на базе созданного программного комплекса.

В возможности программного комплекса должно входить:

- расчет объемов планируемого выпуска продукции по временным интервалам (дням, месяцам и т.д.) с учетом заданных ограничений;

- возможность указывать, по крайней мере, две цели оптимизации;

-использование лингвистических переменных для определения степени достижения целей и выполнения ограничений.

Предметом исследования является разработка системы поддержки принятия решений в многокритериальных задачах динамического программирования.

Методы исследования. В данной работе следует разделить методы исследования на теоретические и практические.

К теоретическим методам исследования относятся следующие научные направления:

- многокритериальная оптимизация;

- пошаговое принятия решений;

- метод динамического программирования Р. Беллмана;

- методы оценки взаимосвязи нечетких целевых функционалов К. Карлсон;

- нечеткая логика JL Заде.

К практическим методам исследования:

-реализация алгоритма на языке программирования С#, входящим в состав Visual Studio .NET;

- проектирование и создание базы данных на СУБД Microsoft SQL Server 2000.

Теоретической и методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных ученых, а также практиков в области организации оптимальных производственных процессов. В качестве исходных источников информации использовались материалы: производственно-технологические рецептурные карты ЗАО «Регион-продукт», материалы личных исследований автора, опубликованные монографии, статьи, авторефераты.

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей и задач применялись апробированные отечественным и мировым опытом методологические подходы, связанные с использованием системного анализа и частных математических методов.

Научная новизна исследования. Основными результатами диссертационной работы, определяющими её новизну, являются разработанные лично автором:

- комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

-результаты моделирования поддержки принятия решений в процессе производства и выпуска продукции пищевой промышленности;

- рекуррентные соотношения для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования.

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносится:

-комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения моделирования поддержки принятия решений в многокритериальных многошаговых задачах нечеткого динамического программирования;

-результаты моделирования поддержки принятия решений в процессе производства и выпуска продукции пищевой промышленности;

- рекуррентные соотношения для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанной системы поддержки принятия решений для планирования производственных процессов на предприятиях РФ. Благодаря гибкости системы, она может быть настроена на расчет оптимального количества для производства практически любой группы товаров, при условии, если исходные компоненты заданы количественно. Практическая значимость диссертационной работы подтверждается актом внедрения системы в ЗАО «Регион-продукт» (г. Омск).

Апробация проведенных исследований. Теоретические результаты исследований и основанные на них практические рекомендации докладывались и получили одобрение на XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (2002 г., Новосибирск), Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (2002 г., Новосибирск), Ежегодном научном семинаре аспирантов и студентов-выпускников «Под знаком «X» (2002 г., Омск), XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (2003 г., Новосибирск), XI Всероссийском семинаре «Нейроинформатика и ее приложения» (3-5 октября 2003 г., Красноярск), II Всероссийской научно-практической конференции «Молодежь и современные информационные технологии» (2004 г., Томск), V Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (16-18 ноября 2004 г., Омск), III Международном технологическом конгрессе «Военная техника, вооружения и технологии двойного применения» (7-10 июня 2005 г., Омск), III Всероссийской научной молодежной конференции «Под знаком «X» (4-6 июля 2005 г., Омск), а также на научно-методических семинарах кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Омского государственного технического университета и семинаре в Тюменском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ [617].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 158 наименований и приложений. Работа изложена на 113 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц, 22 рисунка и 4 приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе приводится обзор существующих методов принятия решений в задачах нечеткого динамического программирования. Рассматриваются работы ведущих ученых в этом направлении. Также приведен обзор систем управления и оптимизации производства существующих на сегодняшнем рынке программных продуктов.

Приводится теоретическое обоснование и подробное описание используемого математического аппарата используемого в программном комплексе для поддержки принятия решений при планировании производства: рекуррентные соотношений для решения проблемы многокритериального нечеткого динамического программирования и алгоритм построения системы.

Программный комплекс, созданный в рамках диссертационной работы, позволяет принимать математически обоснованные решения об объёмах производства, максимально выгодные, исходя из имеющихся ресурсов. Он заполняет нишу таких программных продуктов, как СППР для производства, базирующихся на оптимизационных методах.

В целом следует отметить, что в результате применения программного комплекса для поддержки принятия решений, удалось промоделировать оптимальный план производства, план поступления сырья и обойти Парето-неразрешимость с достаточно небольшими отклонениями от исходных планов благодаря внедрению в многокритериальную оптимизацию динамической системы элементы нечеткой логики.

1. Алтунин А.Е, Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. 352 с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М: Наука, 1977, 344с.

3. Беллман Р, Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М: Наука, 1965.

4. Беллман Р, Заде J1. Принятие решений в расплывчатых условиях В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М: Мир, 1976, с. 172215.

5. Брайсон А, Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления М: Мир, 1972, 544с.

6. Бродский М.И. Использование динамического программирования и нечетких методов для многокритериального принятия решений. // Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч.-техн. конф. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. Кн.1. с. 355-359.

7. Бродский М.И. К вопросу об управляемости динамическими системами в нечетких условиях // Материалы ежегодного научного семинара аспирантов и студентов-выпускников «Под знаком «£». -Омск: ООО «Издательство полиграфист», 2003. с. 15-21.

8. Бродский М.И. Многокритериальная оптимизация в нечеткой постановке. Наука. Техника. Инновации // Регион, науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых.: Тез. докл. в 5 частях Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. Часть 1.-е. 34-35.

9. Бродский М.И. Многокритериальная оптимизация динамической системы в нечеткой постановке // III Всероссийская научная молодежная конференция «Под знаком «£»: Тез. докл. -Омск: Полиграф, центр операт. печати, 2005. с. 67-68.

10. Бродский М.И. Нечеткая динамика как альтернативный метод обработки статистической информации // Материалы XLI Междунар. науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2003. с. 102-103.

11. Бродский М.И. Применение FDP к многокритериальным методам принятия решения // Математические структуры и моделирование: Сб. науч. тр./ Под ред. А.К.Гуца. Омск: Омск. Гос. Ун-т, 2003 - Вып. 12. -с.5-9

12. Бродский М.И., Чуканов С.Н. Применение нечеткого динамического программирования в задачах многокритериального многоступенчатого принятия решения // Омский научный вестник 2004 - №4(29). - с. 74-78.

13. Бродский М.И., Чуканов С.Н. Эволюционные NFS. // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы XI Всерос. семинара, 3-5 октября 2003 г. / Под ред. А.Н.Горбаня, Е.М.Миркеса. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003. -с.21-22.

14. Бродский М.И.Опыт создания автоматизированной системы управления производством ЗАО «Регион-продукт» // Материалы XL Междун. науч.студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Управление. Новосибирск: СибАГС, 2002. - с. 20-21.

15. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его применение для принятия приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 165с.

16. Кини P.JL, Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М: Радио и связь, 1981, 560с.

17. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.-432с.

18. Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления. М: Мир, 1981, 179с.

19. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта (под ред. Д.А. Поспелова). М.:Наука, 1986. - 312с.

20. Норвич A.M., Турксен И.Б. Построение функций принадлежности. В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. М: Радио и связь, 1986, с.64 -71.

21. Понтрягин J1.C. Оптимальные процессы регулирования // Успехи мат. наук. —1959. —Т. 14, вып. 1. —С. 3-20.

22. Прикладные нечеткие системы (под ред. Т. Тэрано). М: Мир, 1993. - 512 с.

23. Рабинович М.Г. Многокритериальные модели и методы оптимизации в текщем планировании производства. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988. 190с.

24. Altrock C.V. and Krause В., Multi-criteria decision-making in German automotive industry using fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems, 63(1994) 375380.

25. Bana e Costa C.A. and Vincke P., Multiple Criteria Decision Aid: An Overview, in: C.A. Bana e Costa ed., Readings in Multiple Criteria Decision Aid, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg 1990, pp 3-14.

26. Bellman R. and Zadeh L.A., Decision-making in a fuzzy environment, Management Science, 17B(1970) 141-164.

27. Bellman R., Dreyfus S. Applied dynamic programming. Princeton: Princeton University Press, 1962, 460 p.

28. Biswal M.P., Fuzzy Programming Technique to Solve Multi-Objective Geometric Programming problems, Fuzzy Sets and Systems, 51(1992) 67-71.

29. Bit A.K., Biswa M.P. and Alam S.S., Fuzzy Programming Approach to Multiobjective Solid Transportation Problem, Fuzzy Sets and Systems, 57(1993)183-194.

30. Bitran G.R., Linear Multiple Objective Problems with Interval coefficients, Management Science, 26(1980) 694-706.

31. Bojkov В., Luus R. Optimal control of nonlinear systems with unspecific final times, Chem. Eng. Sci. 51 (1996) 905-919.

32. Bojkov В., Luus R. Time optimal control of high dimensional systems by iterative dynamic programming, Can. J. Chem. Eng. 73 (1995) 380-390.

33. Buckley J.J. and Hayashi Y., Fuzzy genetic algorithm and applications, Fuzzy Sets and Systems, 61(1994) 129-136.

34. Buckley J.J., Fuzzy programming and the multicriteria decision problem, in: Kacprzyk J. ed., Optimization Models using Fuzzy Sets and Possibility Theory, D. Reidel Publishing Co., Boston, 1987 226-244.

35. Buckley J.J., Multiobjective possibilistic linear programming, Fuzzy Sets and Systems, 35(1990) 23-28.

36. Carlsson C. and Fuller R., Interdependence in fuzzy multiple objective programming, Fuzzy Sets and Systems 65(1994) 19-29.

37. Carlsson C. and Fuller R., Multiple Criteria Decision Making: The Case for Interdependence, Computers & Operations Research 22(1995) 251-260.

38. Carlsson С., Fuller R. Multiple Criteria Decision Making: The Case for Interdependence // Computers & Operations Research. 1995, vol. 22 pp.251 -260.

39. Carlsson C., Fuzzy Multiobjective Programming with Composite Compromises, in: M. Grauer and A. Lewandowski and A.P. Wierzbicki eds., Multiobjective and Stochastic Optimization, IIASA, Laxemburg 1982.

40. Carlsson C., Fuzzy multiple criteria for decision support systems, in: M.M.Gupta, A.Kandel and J.B.Kiszka eds., Approximate Reasoning in Expert Systems, North-Holland, Amsterdam, 1985 48-60.

41. Carlsson C., On interdependent fuzzy multiple criteria, in: Trappl ed., Cybernetics and Systems'90, World Scienti с Publisher, London, 1990 139146.

42. Carlsson C., On optimization with interdependent multiple criteria, in: R.Lowen and M.Roubens eds., Fuzzy Logic: State of the Art, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1992.

43. Carrasco E.F., Banga J.R. Dynamic optimization of batch reactors using adaptive stochastic algorithms, Ind. Eng. Chem. Res. 36 (1997) 2252-2261.

44. Chakraborty D. and Rao J.R. and Tiwari R.N., Multiobjective Imprecise-Chance Constrained Programming Problem, The Journal of Fuzzy Mathematics, 1(1993) 377-387.

45. Chanas S., Fuzzy Programming in Multiobjective Linear Programming A Parametric Approach, Fuzzy Sets and Systems, 29(1989) 303-313.

46. Chang P.L.and Chen Y.C., A fuzzy multi-criteria decision making method for technology transfer strategy selection in biotechnology, Fuzzy Sets and Systems, 63(1994) 131-139.

47. Chen Ch., Sun D., Chang Ch. Numerical solution of dynamic optimization problem with flexible inequality constraints by iterative dynamic programming // FSS 127 (2002) 165-176.

48. Chen S.J. and Hwang C.L, Fuzzy Multiple Attribute decision-making, Methods and Applications, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 375 (Springer, Heildelberg, 1993).

49. Chen S.M. and Tan J.M, Handling multicriteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 163172.

50. Cheng C.H. and Mon D.-L, Evaluating weapon system by Analitical Hierarchy Process based on fuzzy scales, Fuzzy Sets and Systems, 63(1994) 110.

51. Czogala E, Multi-criteria decision-making by means of fuzzy and probabilistic sets, Fuzzy Sets and Systems, 36(1990) 235-244.

52. Czyzak P. and Slowinski R, A fuzzy MOLP method with graphical display of fuzziness, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp, 12(1991) 59-67.

53. Czyzak P. and Slowinski R, A visual interactive method for MOLP problems with fuzzy coefficients, in: R. Lowen and M. Roubens eds, /em Fuzzy Logic: State of the Art, Kluwer Academic Publishers, 1993 321-332.

54. Dadebo S.A, McAuley K.B. Dynamic optimization of constrained chemical engineering problems using dynamic programming, Comput. Chem. Eng. 19 (1995) 513-525.

55. Dadebo S.A, McAuley K.B. Iterative dynamic programming for minimum energy control problems with time delay, Opt. Control Appl. Meth. 16 (1995) 217-227.

56. Delgado M. and Kacprzyk J. and Verdegay J.L. and Vila M.A. eds. Fuzzy Optimization. Recent Advances, Physica-Verlag, 1994.

57. Delgado M. and Verdegay J.L. and Vila M.A, Solving the Biobjective Linear Programming Problem: A Fuzzy Approach, in: M.M.Gupta et al. eds. Approximate Reasoning in Expert Systems, North-Holland, 1985 317-322.

58. Diamond P. Fuzzy least squares // Inform. Sci. 46 (1988) 141-157.

59. Diamond P, Kloeden P. Characterization of compact sets of fuzzy sets // FSS 29(1989)341-348.

60. Diamond P., Kloeden P. Metric spaces and fuzzy sets, Corrigendum // FSS 45 (1992)123.

61. Ding Z., Kandel A. Existence and stability of fuzzy differential equations // J. Fuzzy Math. 5 (1997)681-697

62. Ding Z., Ma M., Kandel A. Existence of the solutions of fuzzy differential equations with parameters // Inform. Sci. 99 (3-4) (1997) 205-217.

63. Dubois D. and Prade H., A review of fuzzy set aggregation connectives, Information Sciences, 36(1985) 85-121.

64. Dutta D. and Rao J.R. and Tiwari R.N., Fuzzy Approach for Multiple Criteria Linear Fractional Optimization: A Comment, Fuzzy Sets and Systems, 54(1993)347-349.

65. Efstathiou J., Practical multi-attribute decision-making and fuzzy set theory, in: Zimmermann H.-J. ed., TIMS/Studies in the Management Sciences, Elsevier Science Publishers, Amsterdam , 1984 307-322.

66. Eldukair Z. A. and Bilal M. Ayyub, Multi-attribute fuzzy decisions in construction strategies, Fuzzy Sets and Systems, 46(1992) 155-165.

67. Fedrizzi M. and Kacprzyk J. and Roubens M. eds., Interactive Fuzzy Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag 1991.

68. Fedrizzi M. and R.Fuller, On stability in multiobjective possibilistic linear programs, European Journal of Operational Reseach, 74(1994) 179-187.

69. Felix R., Multiple attribute decision-making based on fuzzy relationships between objectives, in: Proceedings of the 2nd International Conference on Fuzzy Logic and Neural Networks, Iizuka Japan, July 17-22, 1992 805-808.

70. Felix R., Relationships between goals in multiple attribute decision-making, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 47-52.

71. Fodor J.C. and Roubens M., Aggregation and scoring procedures in multicriteria decision-making methods, Proceedings of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems, San Diego, 1992 1261-1267.

72. Fodor J.C. and Roubens M., Fuzzy Preference Modelling and Multicriteria Decision Support, Kluwer, Dordrecht, 1994.

73. Fodor J.C. and Roubens M., Fuzzy strict preference relations in decision making, Proceedings of the 2nd IEEE International Conference on Fuzzy Systems, San Francisco, 1993 1145-1149.

74. Fourali C., Fuzzy logic and the quality of assessment of portfolios, Fuzzy Sets and Systems, 68(1994) 123-139.

75. French S., Fuzzy decision analysis: Some criticisms, in: Zimmermann H.-J. ed., TIMS/Studies in the Management Sciences, Vol. 20, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, 1984 29-44.

76. Friedman M., Ming M., Kandel A. On the validity of Peano theorem for fuzzy differential equations //FSS 86 (1997) 331-334.

77. Friedman Y., Sandler U. Evolution of systems under fuzzy dynamics laws // FSS 84 (1996) 61-74.

78. Gaines B.R., Zadeh L.A. and Zimmermann H.-J., Fuzzy sets and decison analysis A perspective, in: Zimmermann H.-J. ed., TIMS/Studies in the Management Sciences, Vol.20 , Elsevier Sciences Publishers, Amsterdam, 1984 3-8.

79. Hannan E.L., Linear Programming with Multiple Fuzzy Goals, Fuzzy Sets and Systems, 6(1981)235-248.

80. Hussein M.L., Abo-Sinna M.A. A fuzzy dynamic approach to the multicriteria resource allocation problem // FSS 69 (1995) 115-124.

81. Hussein M.L., Abo-Sinna M.A. Decomposition of multiobjective programming problems by hybrid fuzzy dynamic programming // FSS 60 (1993) 25-32.

82. Hwang C.L. and Lin M.J., Group decision-making Under Multiple Criteria, Springer Verlag, New-York 1987 .

83. Kacprzyk J. and Fedrizzi M., Multiperson decision-making Using Fuzzy Sets and Possibility Theory (Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1990).

84. Kacprzyk J. and Orlovski S.A. eds., Optimization Models Using Fuzzy Sets and Possibility Theory (D.Reidel, Boston, 1987).

85. Kacprzyk J. Multistage Fuzzy Control, Wiley, New York, 1997.

86. Kacprzyk J., Esogbue A.O. Fuzzy dynamic programming: main developments and applications // Fuzzy sets & systems. 1996, vol.81 pp.31 - 45.

87. Kaleva 0. The Peano theorem for fuzzy differential equations revisited // FSS 98 (1998) 147-148.

88. Klir G., Yuan B. Fuzzy Set and Fuzzy Logic, Prentice-Hall, Engelwood Cliffs, NJ, 1995.

89. Kloeden P.E. Fuzzy dynamical systems // FSS 7 (1982) 275-296.

90. Kloeden P.E. Remarks on Peano-like theorems for fuzzy differential equations //FSS 44(1991) 161-163.

91. Korhonen P.J., A hierarchical interactive method for ranking alternatives with multiple qualitative criteria, European Journal of Operations Research, 24(1986)256-276.

92. Lai Y.-J. and Hwang C.-L., Fuzzy Multiple Objective Decision Making: Methods and Applications, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 404 (Springer-Verlag, New York, 1994).

93. Lee E.S., Li R.J. Fuzzy multiple objective programming and compromise programming with Pareto optimum // Fuzzy Sets and Systems. 1993, vol. 53 -pp.275 288.

94. Li L., Lai K. FDP approach to hybrid multiobjective multistage decision -making problems // Fuzzy sets & systems. 2001, vol.117 pp.13 - 25.

95. Li R.J. and Lee E.S., An Exponential Membership Function form Fuzzy Multiple Objective Linear Programming, Сотр. Math. App., 22(1991) 55-60.

96. Li R.J. and Lee E.S., De Novo Programming with Fuzzy coefficients and Multiple Fuzzy Goals, J. of Mathematical Analysis and Applications, 172(1993)212-220.

97. Li R.J. and Lee E.S., Fuzzy Approaches to Multicriteria De Novo Programs, J. of Mathematical Analysis and Applications, 153(1990) 97-111.

98. Luhandjula M.K., Fuzzy approaches for multiple objective linear fractional optimization, Fuzzy Sets and Systems, 13(1984) 11-24.

99. Luhandjula M.K., Fuzzy optimization: an appraisal, Fuzzy Sets and Systems, 30(1989) 257-282.

100. Luus R. Optimal control by dynamic programming using grids points and region reduction, Hungarian J. Ind. Chem. 17 (1989) 523-543.

101. Munakata T. and Jani Y., Fuzzy systems: An overview, Communications of ACM, March 1994 69-76.

102. Narsimha V. and Tiwari R.N. and Sastri K.S., Dynamic Programming Approach to Multiple Objective Control Problem Having Deterministic or Fuzzy Goal, Fuzzy Sets and Systems, 57(1993) 195-202.

103. Nishizaki I. and Sakcuva M., Two-Person Zero-Sum Games with Multiple Fuzzy Goals, Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, 4(1992) 289300.

104. Okada S. and Gen M., Fuzzy multiple choice knapsack problem, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 71-80.

105. Orlovski S.A., Multiobjective Programming Problems with Fuzzy Parameters, Control and Cybernetics, 4(1984) 175-184.

106. Ovchinnikov S.V., Transitive fuzzy orderings of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 30(1989) 283-295.

107. Pedrycz W., Ranking multiple aspect alternatives Fuzzy relational equation approach, Automatica, 22(1986) 251-253.

108. Rao S.S. Engineering Optimization — Theory and Practice, Wiley, Inc., New York, 1996.

109. Ray W.H., Szekely J. Process Optimization, Wiley, Inc., New York, 1973.

110. Rommelfanger H., FULP A PC-supported procedure for solving multicriteria linear programming problems with fuzzy data, in: M. Fedrizzi, Kacprzyk J. and M.Roubens eds., Interactive Fuzzy Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1991 154-167.

111. Rommelfanger M. and Hanuscheck R. and Wolf J., Linear Programming with Fuzzy Objectives, Fuzzy Sets and Systems, 29(1989) 31-48.

112. Roubens M. and Jacques Teghem Jr., Comparison of methodologies for fuzzy and stochastic multi-objective programming, Fuzzy Sets and Systems, 42(1991) 119-132.

113. Saaty T.L., Exploring the interface between hierarchies, multiple objectives and fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 1(1978) 57-68.

114. Sakawa M. and Sawada K., An interactive fuzzy satiscing method for largescale multiobjective linear programming problems with block angular structure, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 5-17.

115. Sakawa M. and Yano H. and Takahashi J., Interactive decision-making for Multiobjective Linear Programming Problems with Fuzzy Parameters Based on Solution Concept Incorporating Fuzzy Goals, Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems 2(1990) 66-577.

116. Sakawa M. and Yano H. and Takahashi J, Pareto Optimality for Multiobjective Linear Fractional Programming Problems with Fuzzy Parameters, Information Sciences, 63(1992) 33-53.

117. Sakawa M. and Yano H, A fuzzy dual decomposition method for large-scale multi objective nonlinear programming problems, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 19-27.

118. Sakawa M. and Yano H, Feasibility and Pareto Optimality for Multiobjective Nonlinear Programming Problems with Fuzzy Parameters, Fuzzy Sets and Systems, 43(1991) 1-15.

119. Sakawa M, Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optimization, Applied Information Technology, Plenum Press, New York 1993.

120. Sakawa M, Interactive multiobjective decision-making by the fuzzy sequential proxy optimization technique FSPOT, in: Zimmermann H. J. ed, TIMS/Studies in the Management Sciences, Vol. 20, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, 1984 241-260.

121. Sastry V.N, Tiwari R.N, Sastri K.S. Dynamic programming approach to multiple objective control problems having deterministic or fuzzy goals // Fuzzy sets & systems. 1993, vol.57 pp. 195-202.

122. Slowinski R. and Teghem J. Jr. Fuzzy versus Stochastic Approaches to Multicriteria Linear Programming under Uncertainty, Naval Research Logistics, 35(1988) 673-695.

123. Slowinski R. and Teghem J. Jr. Stochastic versus Fuzzy Approaches to Multiobjective Mathematical Programming under Uncertainty, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1990.

124. Slowinski R, A multicriteria fuzzy linear programming method for water supply system development planning, Fuzzy Sets and Systems, 19(1986) 217237.

125. Solymosi T, Dombi J, A method for determining the weights of criteria: the centralized weights, European Journal of Operational Research, 26(1986) 3541.

126. Stanley Lee E. and Li R.J., Fuzzy multiple objective programming and compromise programming with Pareto optimum, Fuzzy Sets and Systems, 53(1993)275-288.

127. Takeda E. and Nishida N.T., Multiple Criteria decision-making with Fuzzy Domination Structures, Fuzzy Sets and Systems, 3(1980) 123-136.

128. Tapia C. and Murtayes B.A., Interactive Group Decision-Making Using Fuzzy Programming with Preference Criteria, Fuzzy Sets and Systems, 45(1992) 1323.

129. Tapia C.G. and Murtagh B.A., Interactive Fuzzy Programming with Preference Criteria in Multiobjective Decision-Making, Computers and Operational Research, 18(1991)307-316.

130. Terano Т., Sugeno M., Tsukamoto Y. Planning in management by fuzzy dynamic programming // IF AC Fuzzy Inform., Marseille, France, 1983, pp. 381- 386.

131. Vassiladis V.S., Sargent R.W.H., Pantelides C.C. Solution of a class of multistage dynamic optimization problems. 2, problems with path constraints, Ind. Eng. Chem. Res. 33 (1994) 2123-2133.

132. Vincke P., Multicriteria Decision Aid, John Wiley & Sons, Chichester, 1992.

133. Werners В., Interactive Multiple Objective Programming Subject to Flexible Constraints, European Journal of Operational Research, 31(1987) 324-349.

134. Yager R.R., A new methodology for ordinal multiple aspect decisions based upon fuzzy sets, Decision Science, 12(1981) 589-600.

135. Yager R.R., Aggregation operators and fuzzy systems modeling, Fuzzy Sets and Systems, 67(1994) 129-145.145146147148149150151152153154155156157

136. Yager R.R., Connectives and quantifiers in fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 40(1991)39-76.

137. Yager R.R., General multiple objective decision-making and linguistically quantified statements, International Journal of Man-Machine Studies, 21(1984) 389-400.

138. Yager R.R., Goldstein L.S. and Mendels E., FUZMAR: An approach to aggregating market research data based on fuzzy reasoning, Fuzzy Sets and Systems, 68(1994) 1-11.

139. Yager R.R., Toward a unified approach to aggregation in fuzzy and neural systems, in: Proc. World Conf. on Neural Networks, Portland, Vol. 11(1993) 619-622.

140. Yamaguchi T. and Kono Y., Application of Fuzzy Multiobjective Linear Programming to Greenhouse Cultivation Planning, Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, 4(1992) 701-708.

141. Zimmermann H.-J., Methods and applications of fuzzy mathematical programming, in: Yager R.R. and L.A.Zadeh eds., An Introduction to Fuzzy Logic Applications in Intelligent Systems, Kluwer Academic Publisher, Boston, 1992 97-120.